3. Análisis de error y estabilidad - Diagramas de Bode

/ Análisis de error y estabilidad Diagramas de Bode1Universidad SimóEn Boívar Departamento Procesos y SistemasProf. Elimer Mata

Resumen: Identificación Diagramas de Bode

1. Definiciones planteadas:• Valor Pico de Resonancia (Mr): valor pico de la Magnitud de una función cuadrática en una

frecuencia ωr .este valor se obtiene cuando la función del denominador alcance un mínimo. El valor del Pico de resonancia se calcula:

donde ωr se denomina Frecuencia de Resonancia, el cual es solo real para ξ < 0,707 • Frecuencia de Resonancia (ωr ): es la frecuencia donde ocurre el máximo valor de la magnitud. Este

valor de frecuencia se obtiene:

Mr=∣G jω∣max=1

2ξ1−ξ2para 0ξ0,707

Mr=1 para ξ≥0, 707 Mr=∞ para ξ 0

para 0ξ0, 707 como ωr=ωn 1−2ξ2

2. Utilizando los bosquejos de los diagramas de Bode de los diferentes factores de manera individual, debemos ser capaces de :•Dada una Función de transferencia, obtener el Diagrama de Bode de una función compuesta por los

factores ya estudiados.•Dado un Diagrama de Bode, identificar la función de transferencia que originó tal respuesta frecuencial.


II.3. Análisis de error a partir de la respuesta Temporal

Recordemos que: • Un cambio en el valor de la referencia provoca inevitablemente errores en la respuesta transitoria, pero también producen errores en la respuesta permanente. Este último es producto de la incapacidad del sistema de seguir los cambios de determinados tipos de entrada.•La ganancia de una FT con realimentación unitaria, escrita en forma canónica, está directamente relacionada con el error en estado permanente y se obtiene:

•En cuanto a Precisión y Estabilidad:• Para un sistema: mayor tipo ⇒ mayor precisión• Para un sistema: mayor tipo ⇒ menor estabilidad

De allí que el diseño sea un compromisos entre la precisión necesaria en el estado permanente y la estabilidad relativa del sistema

ess=lims0

s R s 1GH s

para H s =1


Donde K es la ganancia del sistema a Lazo Abierto.Escalón: Tipo 0 ⇒ error finito

Tipo 1 y 2 ⇒ error nulo

• Rampa: Tipo 0 ⇒ no sigue la entradaTipo 1 ⇒ error finitoTipo 2 ⇒ error nulo

• Parábola: Tipo 0 y 1 ⇒ no sigue la entradaTipo 2 ⇒ error finito.

Ent rada ⇒Sistem a ⇓Es calón Ram pa Par ábola

Tip o 0 1/(1+ K) ∞ ∞Tip o 1 0 1 /K ∞Tip o 2 0 0 1/K

El error en estado estacionario depende de la entrada y del tipo de sistema:


Entonces existen diferentes constantes de error estático:

•Kp Error de posición estático:

•Kv Error de velocidad estático

•Ka Error de aceleración estático

Estas constantes describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria H(s)

de reducir o eliminar el ess. En gral. con la finalidad de disminuir el ess se puede:

• Se aumenta el valor de la constante (ganancia a lazo abierto), mientras la respuesta

transitoria sea aceptable, o

• Se aumenta el orden de la FT. ⇒ lo que implica perder estabilidad.

K p=lims0

GH s =GH 0 ess=1

1K p

Kv=lims 0

s GH s = ess=1

K v

Ka= lims 0

s2 GH s = ess=1Ka


II.4. Análisis de error a partir del Diagrama de Bode de GH(s)

Para identificar el tipo del sistema a partir de la Respuesta Frecuencial, basta con verificar la pendiente del diagrama logarítmico de magnitud bajas frecuencias:

•Si la pendiente es 0dB/dec ⇒ el sistema es tipo 0•Si la pendiente es 20dB/dec ⇒ el sistema es tipo 1•Si la pendiente es 40dB/dec ⇒ el sistema es tipo 2

Luego, para determinar los errores estáticos, será necesario determinar la ganancia del sistema a lazo abierto (como ya se discutió anteriormente). Para ello utilizando el DBode de lazo abierto, realizaremos el análisis del error.


1. Determinación de las Constantes de error estático de posición Kp:

K p=∣GH jω ∣ω 0


1. Determinación de las Constantes de error estático de velocidad Kv:

A bajas frecuencias el término que tiene efecto es el polo en el origen.•Método 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la frecuencia ω = 1.

•Método 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la la magnitud 0 dB.

20 log∣K v / jω1∣=0 dB

⇒∣Kv / jω1∣=1⇒K v=ω1


A bajas frecuencias el doble polo en el origen es el que tiene efecto.•Método 1: Leer el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la frecuencia ω = 1.

•Método 2: Leer la frecuencia donde ocurre el corte de la recta de (1/s) o su proyección con la la magnitud 0 dB.

20 log∣Ka

jωa 2∣=0dB ⇒ ∣

Ka

jωa 2∣=1

⇒K a=ωa

2 ⇒ K a=ωa

1. Determinación de las Constantes de error estático de aceleración Ka:


Utilizando los DBode podemos:

• Trazar el Dbode de una FT dada.

• Identificar a partir de una RF dada (Dbode ) una FT que originó

dicho diagrama.

• Identificar el tipo del sistema: según la pendiente de la curva de

magnitud a bajas frecuencias.

• Calcular el valor de la constante de error correspondiente: Kp, Kv y

Ka.

• Calcular el error en estado permanente del sistema ante una entrada

dada.


Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (

deg)

Mag

nitud

e (d

B)

60

40

20

0

20

40

101

100

101

102

103

180

135

90

45

0

1. ANCHO DE BANDA (BW): Es el

rango de frecuencias (desde ω → 0

hasta ω = ωb para el cual la Magnitud

[dB] de la respuesta frecuencia de

FTLC no desciende de 3dB.

2. FRECUENCIA DE CORTE (ωb ):

Es la frecuencia en la cual la Magnitud

[dB] de la respuesta frecuencia de

FTLC está 3 dB debajo del valor en la

frecuencia ω = 0

II.5. Ancho de Banda (BW) y Frecuencia de Corte (ωb )

En el dominio de Frecuencia es común utilizar otras especificaciones de desempeño :

← 3dB

← ωb

BW


El Ancho de banda (BW): indica la frecuencia a la cual la ganancia empieza a rebasar su valor de frecuenca baja (3dB). Por lo tanto es un valor que indica que tan bien o mal registrará el sistema a una entrada sinosoidal.

Además el Ancho de banda (BW) ese un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo, ya que este relaciona la respuesta frecuencial con la respuesta transitoria.

De allí que BW es un indicativo de las propiedades del sistema en el dominio del tiempo

BW↑⇒el sistemamassensible⇒Respuestarápida⇒tiempo delevantamientomenor

BW↓⇒el sistemamenossensible⇒Respuestalenta⇒tiempo delevantamiento mayor


Considerando que BW relaciona la RF con la velocidad de respuesta transitoria, sería

deseable tener sistemas con BW alto.

Pero considerando :• A altas frecuencias la respuesta se vería afectada por los ruidos, ya que la sensibilidad

a los mismos es mayor a altas frec. • Existe una relación entre el tiempo de levantamiento y el valor de ξ. Recordemos que

la Resp. Transitoria tiene un comportamiento oscilatorio mayor para valores de ξ muy

bajos.

⇒ Se concluye que BW no debe ser muy grande.

¿Para que sirve la definición de Ancho de banda (BW) ?

Esta definición permite comparar respuestas frecuencial de sistemas diferentes.

⇒ Es un término comparativo


En la industria es posible que se desee cambiar instrumentación del Proceso. Para

escoger el instrumento (siendo importante la velocidad de respuesta) es necesario

comparar la RF del sistema con uno o mas instrumentos incorporados.

Considerando que la definición del Ancho de Banda se ha establecido para FTLC,

¿Como podemos aplicar esta definición a la RF de FTLA?

El diagrama de magnitud de FTLC, siempre será tipo 0, ya que la función será:

Pero la FTLC tendrá la misma RF a altas frecuencias de la FTLA ( a pesar de no tener el

mismo comportamiento a bajas frecuencias). Entonces será suficiente determinar BW

en los D Bode de la FTLA, para concluir de manera comparativa respecto a otro

sistema.

FTLC=1

1GH s


II.6. Sistemas de Fase Mínima y No Mínima

• Sistemas de Fase Mínima : Este tipo de sistemas tienen todos los polos y ceros de parte real negativa, es decir que todos se encuentran en el semiplano izquierdo.

•Sistemas de Fase No Mínima: En este caso existen factores con parte real positiva, es decir que se encuentren en el semiplano derecho. Estos factores modifican el comportamiento del diagrama de ángulo de fase de la RF del sistema, sin modificar el diagrama de magnitud del mismo.

De allí que por simple inspección del diagrama de fase se puede concluir sobre la existencia o no de factores de fase NO Mínima.

El factor de retardo se considera un factor de fase no mínima.


II.7. Análisis de la Estabilidad Relativa basados en Resp. Frecuencial

• Margen de Fase : Es la cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de la

ganancia de cruce que se requiere para llevar el sistema de fase mínima a la frontera de

la inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la

magnitud de la FTLA es 0 dB.

•Margen de Ganancia: Es el recíproco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la

fase . Esta frecuencia es donde el ángulo de fase φ = 180°, entonces:

K g=1∣G jω1 ∣

K g [dB ]=20 log Kg=−20 log ∣G jω1 ∣

K g [dB ]0 ⇒Sistema estable ⇔K g1


Margen de fase y Margen de Ganancia

Bode Diagram Sistema Estable

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

102

101

100

101

102

225

180

135

90100

50

0

50

MF + →

←MG +

Bode Diagram Sistema Inestable

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

101

100

101

102

225

180

135

9040

20

0

20

40

60

80

100

MG →

←MF

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