Upload
others
View
35
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Teoría de Circuitos:
Diagramas de Bode
Pablo Monzón
Instituto de Ingeniería Eléctrica (IIE)Facultad de Ingeniería-Universidad de la República
Uruguay
Segundo semestre - 2019
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Contenido
1 Escalas logarítmicas y decibeles
2 Transferencias de primer orden
3 Transferencias de segundo orden
4 Ejemplos
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
Transferencias de segundo orden
Miremos ahora el caso en que hay raíces complejas.
En este caso, vienen en parejas complejas conjugadas, y tienen elmismo módulo.
Construyamos un polinomio (normalizado) de segundo orden, condichas raíces z y z̄:
p(x) = (x− z)(x− z̄) = x2 − (z + z̄)x+ |z|2 = x2 − 2re(z)x+ |z|2
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
Transferencias de segundo orden
Consideremos un polinomio de coe�cientes reales y veamos si tiene ono raíces complejas conjugadas.
Para ello lo escribimos de una forma estándar que viene de la física:
p(x) = x2 − 2re(z)x+ |z|2 = x2 + 2ζωnx+ ω2n
ωn = |z| > 0 es la frecuencia natural.
ζ = − re(z)ωnes el factor de amortiguamiento.
Calculemos las raíces en función de ζ y ωn.
x =2ζωn ±
√4ζ2ω2
n − 4ω2n
2= −ζωn ± ωn
√ζ2 − 1
Raíces complejas ⇔ |ζ| < 1 (si ζ = 0 hay raíces imaginarias puras!!).
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
Ejemplo
Consideremos p(x) = x2 − 5x+ 1.
Directamente obtenemos ωn = 1.
Entonces −5 = 2ζωn ⇒ ζ = − 52 ⇒ raíces reales.
Ejemplo
Consideremos p(x) = x2 − 5x+ 10.
Directamente obtenemos ωn = 10.
Entonces −5 = 2ζωn ⇒ ζ = − 520 ⇒ raíces complejas.
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
Transferencias de segundo orden
H(jω) =ω2n
(jω)2 + 2ζωn(jω) + ω2n
Para obtener una aproximación asintótica, veamos las posibles posicionesrelativas entre jω y las raíces del polinomio.
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
(jω − z)(jω − z̄) ≈ (z)(z̄) = |z|2 = ω2n
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
(jω − z)(jω − z̄) ≈ (jω)(jω) = (jω)2
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n
Miramos la banda de baja frecuencia:
ω � ωn ⇒ H(jω) ≈ ω2n
ω2n
= 1⇒{|H(jω)|db ≈ 0dbarg H(jω) ≈ 0o
Miramos la banda de alta frecuencia:
ω � ωn ⇒ H(jω) ≈ ω2n
(jω)2
⇒{|H(jω)|db ≈ 20. log(ω2
n)− 40. log(w)dbarg H(jω) ≈ ±180o
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n
Nuevamente el diagrama asintótico de módulo consta de dos rectas,una horizontal de 0db y la otra a −40db/dec, que se cortan en ωn.
Hay que tener cuidado con la fase, porque la aproximación asintóticanos da dos rectas horizontales, separadas 360o.
La fase presenta una variación total de 180 grados!!
Para unirlas de manera continua (si corresponde) hay que ver si lafase atrasa o adelanta!!!
Sugerencia: mirar qué pasa en ω = ωn.
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Transferencias de segundo orden
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n
H(jωn) =ω2
n
(jωn)2+2ζωn(jωn)+ω2n
= 12jζ
⇒{|H(jωn)| = 1
2ζ
arg H(jωn) ≈ −sg(ζ)90o
Todo depende del signo de ζ.
El caso ζ = 0 hay que mirarlo con cuidado.
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n
Variación del módulo con ζ
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n
Variación del argumento con ζ > 0
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n, ζ > 0
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
H(jω) =ω2
n
(jω)2+2ζωn(jω)+ω2n, ζ < 0
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Diagramas de Bode
H(jω) =ω2
n
(jω)2+ω2n, ζ = 0
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro pasabajos de segundo orden
H(jω) = K1+a(jω)+b(jω)2 (hallarla!!!)
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtros activos
Filtros activos
Basados en ampli�cadores operacionales.
Características principales al momento de diseñar:
Transición abrupta
Banda pasante plana.
Fase lineal
(dos requerimientos asociados a la no distorsión).
Existen procedimientos sistemáticos para diseñar �ltros que prioricenalgunas de las caracteríticas anteriores.
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro de Butterworth pasabajos de cuarto oden (banda pasante plana)
H(jω) = 11+2,6131(jω)+3,4142(jω)2+2,6131(jω)3+(jω)4
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro de Bessel pasabajos de cuarto orden (fase lineal)
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro de Chebyshev pasabajos de cuarto orden (bajada abrupta)
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Circuito de un �ltro pasabajos de segundo orden
Estructura Sallen-Key
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro pasa altos de primer orden
f
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Circuito de un �ltro pasa altos de primer orden
Estructura Sallen-Key
Escalas logarítmicas y decibeles Transferencias de primer orden Transferencias de segundo orden Ejemplos
Filtro pasabanda (pensar un circuito posible)