3. Bab

DISTRIBUSI FREKUENSI

Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008 3-1

BAB III


1.1. Pendahuluan

Dalam pertemuan ini Anda akan mempelajari beberapa pandangan tentang

cara menata atau mengorganisir data yang besar kedalam bentuk kelompok.

Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam

kelas atau selang dalam setiap kelas. Dari beberapa pandangan ini akan membantu

anda dalam mengikuti perkuliahan berikutnya tentang cara menentukan ukuran

pemusatan dan letak data. Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat;

(1) Menyebutkan arti dan manfaat distribusi frekuensi, (2) Menyusun distribusi

frekuensi data kualitatif dan data kuantitatif, (3) Menggambar grafik frekuensi,

frekuensi relatif, dan frekuensi kumulatif.

1.2. Penyajian

Tabel 3.1Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 100 Mahasiswa Universitas A

Tinggi Badan Frekuensi

151 – 153

154 – 156

157 – 159

160 – 162

163 – 165

166 – 168

169 – 171

172 – 174

3

7

12

18

27

17

11

5

Data yang jumlahnya besar perlu ditata dengan cara meringkas data tersebut

ke dalam bentuk kelompok data. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan

cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang. Suatu pengelompokan atau

penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan

dengan masing-masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi.

Tabel 3.1 merupakan distribusi frekuensi dari data tinggi badan (dalam cm) 100



mahasiswa pada Universitas A.

Tabel 3.1 terdiri atas dua kolom. Kolom pertama berisi kelas-kelas data

tinggi badan yang terdiri atas delapan kelas yaitu 151-153, 154156, 157-159, 160-

162, 163-165, 166-168, 169-171, dan 172-174. Lambang yang menyatakan kelas

seperti 151-153 dalam Tabel 3.1 disebut selang kelas (interval kelas). Susunan atau

ringkasan data dalam bentuk distribusi frekuensi, seperti Tabel 3.1, sering disebut

data berkelompok.

1.2.1 Limit Kelas, Batas Kelas, Nilai Tengah, dan Lebar Kelas

Nilai terkecil dan terbesar pada setiap kelas disebut limit kelas atau tepi

kelas. Pada kelas pertama dalam Tabel 3.1, yaitu 151-153, nilai 151 disebut limit

bawah kelas dan nilai 153 disebut limit atas kelas. Pada kelas kedua, 154-156, nilai

154 disebut limit bawah kelas dan nilai 156 disebut limit atas kelas, demikian

seterusnya.

Nilai tengah antara batas bawah kelas dengan batas atas kelas disebut nilai tengah

kelas. Kelas 151-153 dengan batas kelas 150,5-153,5 mempunyai nilai tengah 152;

kelas 154-156 dengan batas kelas 153,5-156,5 mempunyai nilai tengah 155;; dan

seterusnya. Dalam praktek, cara yang dipakai untuk menghitung nilai tengah kelas

untuk masing-masing kelas adalah:

2

kelasatasbataskelasbawahbataskelastengahNilai

Selisih antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas disebut lebar kelas. Pada

umumnya lebar masing-masing kelas dibuat sama.

1.2.2 Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi

Secara umum langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat tabel

distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

1. Tentukan nilai maksimum (terbesar) dan nilai minimum 1 terkeeil) dari data

mentah, kemudian tentukanlah range atau jangkauannya, yaitu dengan

menggunakan:



imumnilaimmaksimumnilair min

2. Tentukanlah banyaknya kelas dengan memakai rumus empiris Sturgess, yaitu k =

1 + 3,3 log n, di mana k adalah banyaknya kelas dan n adalah banyaknya data.

Pada umumnya banyaknya kelas yang diambil antara 5 sampai dengan 20

bergantung pada banyaknya data.

3. Tentukanlah lebar kelas (c) dengan cara membagi jangkauan data (r) dengan

banyaknya kelas (k), yaitu = k

r. Penentuan kelas dengan cara seperti ini hanya

bersifat pendugaan atau perkiraan saja.

4. Tentukanlah limit bawah kelas untuk kelas pertama dan kemudian batas bawah

kelasnya. Tambahkan dengan lebar kelas (c) pada batas bawah kelas untuk

memperoleh batas atas kelas pertama tersebut.

Contoh 3.1

Nilai ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa sbb.

68 52 69 51 43 36 44 35 54 57 55 56

55 54 54 53 33 48 32 47 47 57 48 56

65 57 64 49 51 56 50 48 53 56 52 55

42 49 41 48 50 24 49 25 53 55 52 56

64 63 63 64 54 45 53 46 50 40 49 41

45 54 44 55 63 55 62 56 50 46 49 47

56 38 55 37 68 46 67 45 65 48 64 49

59 46 58 47 57 58 56 59 60 62 59 63

56 49 55 50 43 45 42 46 53 40 52 41

42 33 41 34 56 32 55 33 40 45 39 46

38 43 37 44 54 56 53 57 57 46 56 45

50 40 49 39 47 55 46 54 39 56 38 55

37 29 36 30 37 49 36 50 36 44 35 45

42 43 41 42 52 47 51 46 63 48 62 49

53 60 52 61 49 55 48 56 38 48 37 47

5. Daftarkanlah limit bawah kelas dan batas atas kelas untuk kelas berikutnya

dengan cara menambahkan lebar kelas (c) pada limit bawah kelas dan batas atas



kelas dari kelas sebelumnya.

6. Tentukanlah nilai tengah kelas untuk masing-masing kelas dengan cara

mengambil nilai rata-rata limit kelas atau batas kelasnya.

7. Tentukanlah frekuensi dari masing-masing kelas.

Dari jajaran data tersebut, diperoleh jangkauan atau range data, yaitu;

452469

min

imumnilaimaksimumnilair

1 Banyaknya kelas data adalah:

k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 180 = 8,4

Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira mendekati 8, bisa

kurang dari 8, atau bisa lebih dari 8.

2 Lebar kelas adalah ;3,54,8

45

k

rc mendekati 5.

3 Karena nilai minimum data adalah 24, maka kita dapat memilih limit bawah

kelas pertama adalah 24, 23, atau 22 dan diusahakan agar tidak terlalu jauh

dengan nilai minimumnya.

Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3

22 – 26

27 – 31

32 – 36

37 – 41

42 – 46

47 – 51

52 – 56

57 – 61

62 – 66

67 – 71

23 – 27

28 – 32

33 – 37

38 – 42

43 – 47

48 – 52

53 – 57

58 – 62

63 – 67

68 – 72

24 – 28

29 – 33

34 – 38

39 – 43

44 – 48

49 – 53

54 – 58

59 – 63

64 – 68

69 – 73

Perhatikan bahwa banyaknya kelas adalah 10, bukan 9 meskipun berdasarkan

rumus Sturgess diperoleh banyaknya kelas adalah k = 8,4 sehingga yang paling



mendekati adalah banyaknya kelas k = 9. Tetapi bila banyaknya kelas adalah 9 dan

dengan lebar kelas c = 5, maka akan ada nilai yang tidak dapat tertampung (dimuat).

Oleh karena itu, kita pakai banyaknya kelas adalah k = 10 dengan lebar kelas c = 5.

Selanjutnya nilai tengah kelas ditentukan dengan cara sebagai berikut.

Nilai tengah kelas pertama (23-27), yaitu = 252

5,275,22

, dengan cara yang sama

dapat diperoleh nilai tengah kelas berikutnya.

Dengan memakai jajaran data dari nilai ujian akhir mata kuliah Kalkulus I tersebut,

maka diperoleh turus dan frekuensi data, yaitu sebagai berikut.

Tabel 3.2

Limit Kelas Turus Frekuensi

23 – 27 228 – 32 433 – 37 1538 – 42 2143 – 47 3148 – 52 3553 – 57 4658 – 62 1163 – 67 1268 – 72 3

Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data nilai ujian akhir

semester mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa adalah sebagai berikut.



Tabel 3.3Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester

Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa

Limit Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi

23 – 27

28 – 32

33 – 37

38 – 42

43 – 47

48 – 52

53 – 57

58 – 62

63 – 67

68 – 72

22,5 – 27,5

27,5 – 32,5

32,5 – 37,5

37,5 – 42,5

42,5 – 47,5

47,5 – 52,5

52,5 – 57,5

57,5 – 62,5

62,5 – 67,5

67,5 – 72,5

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

2

4

15

21

31

35

46

11

12

3

1.2.3 Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif

Tabel 3.4Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Ujian Akhir Semester

Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa

Interval Kelas

Batas KelasNilai

TengahFrekuensi

Frekuensi Relatif (%)

23 – 27

28 – 32

33 – 37

38 – 42

43 – 47

48 – 52

53 – 57

58 – 62

63 – 67

68 – 72

22,5 – 27,5

27,5 – 32,5

32,5 – 37,5

37,5 – 42,5

42,5 – 47,5

47,5 – 52,5

52,5 – 57,5

57,5 – 62,5

62,5 – 67,5

67,5 – 72,5

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

2

4

15

21

31

35

46

11

12

3

1,1

2,2

8,3

11,7

17,2

19,4

25,6

6,1

6,7

1,7

Jumlah = 180

Jumlah = 100%

Dengan memakai tabel distribusi frekuensi tersebut kita dapat mengolah data

pada tabel tersebut menjadi distribusi frekuensi relatif dan distribusi frekuensi

kumulatif. Distribusi kumulatif ada dua jenis, yaitu distribusi kumulatif kurang dari



dan distribusi kumulatif lebih dari.

Distribusi frekuensi relatif dari nilai ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I

adalah sebagai berikut.

Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi

masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya

untuk kelas 23—27 dengan frekuensi f = 2, maka frekuensi relatifnya adalah

%1,1%100180

2x dan seterusnya.

Sedangkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi

kumulatf lebih dari adalah sebagai berikut.

Tabel 3.5Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ujian

Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa

Interval Kelas

Batas KelasFrekuensi Kumulatif

Kurang dari

Persen Kumulati

f

23 – 27

28 – 32

33 – 37

38 – 42

43 – 47

48 – 52

53 – 57

58 – 62

63 – 67

68 – 72

Kurang dari 22,5

Kurang dari 27,5

Kurang dari 32,5

Kurang dari 37,5

Kurang dari 42,5

Kurang dari 47,5

Kurang dari 52,5

Kurang dari 57,5

Kurang dari 62,5

Kurang dari 67,5

Kurang dari 72,5

0

2

6

21

42

73

108

154

165

177

180

0

1,1

3,3

11,7

23,3

40,6

60,0

85,6

91,7

98,3

100,0



Tabel 3.6Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ujian

Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa

Interval Kelas

Batas KelasFrekuensi Kumulatif

Kurang dariPersen

Kumulatif

23 – 27

28 – 32

33 – 37

38 – 42

43 – 47

48 – 52

53 – 57

58 – 62

63 – 67

68 – 72

Lebih dari 22,5

Lebih dari 27,5

Lebih dari 32,5

Lebih dari 37,5

Lebih dari 42,5

Lebih dari 47,5

Lebih dari 52,5

Lebih dari 57,5

Lebih dari 62,5

Lebih dari 67,5

Lebih dari 72,5

180

178

174

159

138

107

72

26

15

3

0

100,0

98,9

96,7

88,3

76,7

59,4

40,0

14,4

8,3

1,7

0

1.2.4 Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif

Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan

distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi

frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Cara

untuk menyajikan data dengan histogram, poligon frekuensi, dan ogif adalah sebagai

berikut.

1. Histogram

Suatu histogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing-

masing mempunyai:

a. Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan lebar kelas

interval; dan

b. Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas.



2. Poligon Frekuensi

Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dari frekuensi kelas yang

menghubungkan nilai tengah-nilai tengah kelas dari puncak batang histogram..

Histogram dan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi data ujian akhir semester

mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa sebagaimana dinyatakan pada Tabel 3.3

adalah sebagai berikut.

Gambar 3.1 Histogram dan Poligon Frekuensi

3. Ogif

Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau

distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif.

0 216 21

42

73

108

154165

177 180

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5

Nilai

Fre

kuen

si K

um

ula

tif

Gambar 3.2 Ogif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari.

B 2

15

4 4 C

21

31

35

46

1211

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

022,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5



180 178 174159

138

107

72

2615

3 00

20

4060

80

100

120

140160

180

200

22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5

Nilai

Fre

kuen

si K

um

ula

tif

Gambar 3.3 Ogif Frekuensi Kumulatif Lebih Dari.

Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada Gambar

3.2 dan Gambar 3.3 dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang

mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif

lebih dari yang gambarnya dijadikan satu sebagai berikut.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5

Nilai

Fre

kuen

si K

um

ula

tif

kurva ogif kurang dari Kurva ogif lebih dari

Gambar 3.4 Kurva Ogif Kurang Dari dan Lebih Dari.



1.3. Penutup

Berdasarkan uraian di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa data

dengan jumlah besar perlu ditata ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan

segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dianalisis. Pengelompokan data tersebut

dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan

menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas yang disebut

frekuensi kelas. Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data

yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya

disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi.

Soal Latihan

1. a. Berikan penjelasan seperlunya apa yang dimaksud dengan:

(1) limit kelas;

(2) batas kelas;

(3) nilai tengah kelas;

(4) frekuensi;

(5) frekuensi kumulatif,

(6) histogram;

(7) poligon;

(8) ogif.

b. Sebutkan kelebihan dan kelemahan penyajian data dengan distribusi

frekuensi!

2. Data umur 40 buah aki mobil yang serupa jenisnya dan dicatat sampai

sepersepuluh tahun terdekat disajikan pads tabel distribusi frekuensi berikut.

Aki-aki mobil tersebut dijamin mencapai umur 3 tahun.

Kelas Interval Frekuensi

1,5—1,9

2,0—2,4

2,5—2,9

3,0—3,4

3,5—3,9

4,0—4,4

4,5—4,9

2

1

4

15

10

5

3



a. Berapa persen aki mobil yang berumur kurang dari 2,95 tahun?

b. Berapa persen aki mobil yang berumur dari 2,0 tahun sampai 3,9 tahun?

c. Berapa persen aki mobil yang umurnya lebih dari 3,4 tahun?

3. Data hasil ujian Mata Kuliah Statistika dari 60 mahasiswa Universitas

A adalah sebagai berikut.

23 60 79 32 57 72 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

a. Buatlah tabel distribusi frekuensi yang berisi kelas interval, batas kelas,

nilai tengah, frekuensi, dan frekuensi relatif dalam persen!

b. Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan. kurang dari!

c. Buatlah histogram, poligon frekuensi, ogif, dan kurva ogif.,

4. Data berikut merupakan daya tahan sampai mati, diukur sampai sepersepuluh

menit terdekat, dari sampel acak 60 lalat yang telah disemprot dengan bahan

kimia baru dalam suatu percobaan di laboratorium.

2,4 1,6 3,2 4,6 0,4 1,8 2,7 1,7 5,3 1,2

0,7 2,9 3,5 0,9 2,1 2,4 0,4 3,9 6,3 2,5

3,9 2,6 1,8 3,4 2,3 1,3 2,8 1,1 0,2 1,2

2,8 3,7 3,1 1,5 2,3 2,6 3,5 5,9 2,0 1,2

1,3 2,1 0,3 2,5 4,3 1,8 1,4 2,0 1,9 1,7

2,8 3,7 3,1 1,5 2,3 2,6 3,5 5,9 2,0 1,2

a. Buatlah tabel distribusi frekuensi yang berisi kelas interval, batas kelas, nilai

tengah, frekuensi, dan frekuensi relatif dalam persen!

b. Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan kurang dari!

c. Buatlah histogram, poligon frekuensi, ogif, dan kurva ogiff!



Documents

3. Bab