3 bledy pomiarowe

MODELOWANIE PROCESÓWMODELOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH

Robert Aranowski

tel.: 347 23 34e-mail: [email protected] // t h l i d l/d d kt k /03http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/03-04/1/modelowanie/modelowanie.html

Katedra Technologii ChemicznejKatedra Technologii ChemicznejWydział Chemiczny

Politechnika Gdańska

Szacowanie błędów pomiarowychSzacowanie błędów pomiarowych

Błąd pojedynczego pomiaru:gdzie: xi – wartość zmierzona xz μgdzie: xi wartość zmierzona

zi – błąd pomiaruμ – wartość rzeczywista

ii xz −= μ

)(lub)( bzaPnmbzaP

nm

<<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<<≈

nn n⎠⎝ ∞→

Rozkład błędu przypadkowego:gdzie: P – prawdopodobieństwo znalezienia wartość z w przedziale (a,b)

m – ilość pomiarów w których wartość z znajduje się wewnątrzprzedziału (a,b)

Katedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska

p ed a u (a,b)n – ilość pomiarów

Szacowanie błędów pomiarowych – cdSzacowanie błędów pomiarowych cd.

Gęstość prawdopodobieństwa p(z)

b

( ) ( )dzzpbzaPa∫=<<a

Gęstość prawdopodobieństwa p(z) musi spełniać następujące warunki:

( ) ( )∫−∞

==∞<<∞− 1dzzpzP )()( zpzdP=( ) ( )∫

∞

∞<<∞ 1dzzpzP )(zpdz

=



Funkcja rozkładu normalnego (Gauss’a)Funkcja rozkładu normalnego (Gauss a)

( ) ( ) ( ) ⎤⎡⎤⎡ − 22 11 μ zx( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= 22 2

exp2

12

exp2

1σπσσ

μπσ

zxzP

Po raz pierwszy wprowadzona przez Moivre’a.P j i i j t i lk ś i 2 ( i ji)Precyzja pomiaru opisywana jest wielkością σ2 (wariancji)



Zależność gęstości prawdopodobieństwa od wartości z:) dl óż h t ś i i jia) dla różnych wartości wariancji

b) dla z wyrażonego poprzez wielokrotność σ



Wartość średnia w rozkładzie normalnym:n

xx

n

ii∑

=≈ 1μn

x i=≈ 1μ

Błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru:ą y p j y g p

( )2−∑ xxn

i( )1

1

−=∑=

ns n

i



Odchylenie standardowe wartości średniej:

( )−∑ xxn

( )( )1

1

−=∑=

nn

xxs i

i

x ( )1nn


Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych

Złożona wielkość zależna od p parametrów

( )fy( )pxxfy ,...,1=

( )pfy μμ ,...,1=

( )py 1

Wartości obarczone są błędami pxx ,..., pxx ss ,...,1

Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach

( ) ( )xxfxxf22 ⎤⎡∂⎤⎡∂

Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach można przedstawić w postaci

( ) ( )px

p

px

py s

xxfs

xxfs 212

1

12 ,...,...

,...,1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

μμ


Szacowanie błędów pomiarowych świelkości złożonych – cd.

Przykłady 1:Określ wariancję pomiaru stałej szybkości reakcji chemicznej, która jest opisana następującą zależnością:

xk =

11

ln1

x−1τBłąd pomiaru czasu τ jest bliski zeru, natomiast pomiar stopnia przemiany x jest charakteryzowany wielkością sx jest charakteryzowany wielkością

1xs



ssks =⎟⎞

⎜⎛ ∂=

1122

xxk sx

sx

s−

=⎟⎠

⎜⎝ ∂

=1τ

Im wyższa jest wartość stopnia przemiany tym wyższa jest wartośća więc większą dokładność stałej prędkości reakcji uzyskamy dokonując pomiarów w początkowym etapie reakcji

1xs

pomiarów w początkowym etapie reakcji.



Przykłady 2:Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie

2ln kR

Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie z równaniem:

1

2

11

lnk

RE =

21

11TT

−

zakładamy, że pomiar temperatury dokładnym pomiarem



2

2

2

2

sconstsconsts ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= 112

sk

sk

s kE ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=

Zakładając, że błąd pomiaru stałej szybkości reakcji jest stałyto:

ks k /

sss kEk 2( ) k

skkE

si

ks

consts kEkE

12 /ln2

2 ==

Zatem błąd względny oceny energii aktywacji jest większy kilkakrotnie od oceny błędu względnego stałej szybkości reakcji.


Wykorzystanie kryteriów statystycznych do i i i kó b d ń d ś i d l hwyciągania wniosków z badań doświadczalnych

Ocena statystyczna wyników doświadczalnych jest pomocna przy:pomocna przy:

1. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych jeśli były one wykonane w odmiennych warunkach

2. Podejmowaniu decyzji, które z kilku dopuszczalnych równań (jaka teoria) opisuje najlepiej dany proces


Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnychPorównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych

Do porównania wyników doświadczalnych stosuje się metodę Fisher’a W pierwszej kolejności należy określić wariancję zFisher a. W pierwszej kolejności należy określić wariancję z obu serii i stwierdzić czy różnią się statystycznie. Fischer wprowadził funkcję: 2s

22

1

x

xe s

sF =

Z prawdopodobieństwem P wariancje pomiarów są równe jeśli ( )vvpFF ≤ ( )21 ,, vvpFFe ≤Metoda Fisher’a nadaje się również do odrzucenia wyników

b h i óKatedra Technologii ChemicznejPolitechnika Gdańska

grubych pomiarów.

Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnychPorównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych

W przypadku sprawdzania zależności teoretycznych można wykorzystać metodę Fischer’a zastępując wariancję pomiarów wariancją resztową:

( )yyn

iei −∑ 2

kns i

r −=∑−12

k – liczba współczynników równania teoretycznego ocenianych na podstawie doświadczeń.P ó i i ji h bli h dl óż h l ż ś iPorównanie wariancji rusztowych obliczonych dla różnych zależności teoretycznych pozwala na określenie równania najdokładniejszego o najmniejszej wartości wariancji rusztowej


Planowanie doświadczeń – metoda l k ósimpleksów

Simpleksem p zmiennych jest wielościan w p-wymiarowej przestrzeni o p+1 wierzchołkach uzyskanych przez przecięcie p-hiperpłaszczyzn. Przykładem p p y ysimpleksu w przestrzeni dwu zmiennych jest trójkąt, a w przestrzeni trójwymiarowejprzestrzeni trójwymiarowej czworościan.Metody planowania simpleksowego wraz z ich modyfikacjami są oparte nawraz z ich modyfikacjami są oparte na powszechnie stosowanej simpleksowej metodzie poszukiwania k t


ekstremum.

Planowanie doświadczeń – metoda l k ó dsimpleksów – cd.

Metoda postępowania jest następująca:Początkowo określa się wartość y w punktach określonych zbioramiwartości x1,...,xp, stanowiących wierzchołki simpleksu. Następnie wybierasię wierzchołek z najniższą wartością y i określa się nowy wierzchołekpołożony symetrycznie względem przeciwległej ściany. W nowymp y y y g ę p g j y ysimpleksie opierającym się na wszystkich wierzchołkach starego simpleksuz wyjątkiem tego, który został zastąpiony nowym wierzchołkiem, wybierasię wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się Wsię wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się. Wten sposób następuje posuwanie się w kierunku optimum. Ponieważ przydużej liczbie zmiennych do każdego wierzchołka można zbudować wielewierzchołków symetrycznych to jako środek symetrii wybiera się środekwierzchołków symetrycznych, to jako środek symetrii wybiera się środekciężkości pozostałych punktów początkowego simpleksu.



Współrzędne środka ciężkości można ocenić, posługując się rachunkiem wektorowym. Wektor rc środka ciężkości c punktów pozostałych po codrzuceniu wierzchołka j o najniższej wartości y można przedstawić przez wektory tych punktów rl:

rn

∑( )jl

p

rr l

l

c ≠=∑=1

Wektor rj’ punktu j' symetrycznego do punktu j względem środka ciężkości c można znaleźć na podstawie wektora rj punktu j wektora cł k j iłączącego punkty j i c

crr jj 2' −=



Wektor c jest różnicą wektorów rl i rc

cj rrc −=

rp

∑( )jlr

p

rrrr j

ll

jcj ≠−=−=∑=1

' 22

Zgodnie z tą zależnością, dla zmiennej xi w punkcie j’ symetrycznym do punktu j , mamy

p

rp

il∑( )jlx

p

rx ij

lil

ij ≠−=∑=1

' 2



Przy stosowaniu planów simpleksowych, tak samo jak przy planach czynnikowych i powtórzeniach ułamkowych, stosuje się zmienne bezwymiarowe. Pewne trudności sprawia wybór postaci simpleksu y p y p ppoczątkowego.We wczesnych pracach stosowano simpleksy foremne, o równych bokach.W przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może byćW przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może byćczworościan równoboczny o krawędzi równej jedności (wysokość czworościanu jest równa ok. 0,82 długości krawędzi).



Istotną zaletą planowania simpleksowego jest możliwość dołączeniaw trakcie doświadczenia nowego (p+1)-ego czynnika, który wcześniejnie był uwzględniony (miał ustaloną wartość). Wprowadzenie tego czynnika, wymaga przeprowadzenia tylko jednego doświadczenia uzupełniającego, podczas gdy przy planowaniu czynnikowym należałoby p ją g , p g y p y p y y ypodwoić liczbę doświadczeń.


Documents

3 bledy pomiarowe