3. EA2 - Unidad 3 (Cap 3)_clases Al 09Jun15

I N G E N I E R A

C I V I L I N D U S T R I A L

Estadstica Aplicada II Dayana Jaque S.

I N G E N I E R A


UNIDAD III PARTE 1: DISEO DE EXPERIMENTOS

2

Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015

Definiciones Preliminares

Para llevar a cabo diseos de experimentos a menudo

utilizaremos los conceptos Factor y Niveles, lo que se

define a continuacin.

Factor: Es la caracterstica que diferencia a los

tratamientos o poblaciones entre s. Puede ser cuantitativo

o cualitativo.

Niveles: Los diferentes tratamientos o poblaciones.

3


Qu es un diseo de experimento?

Es el estudio del efecto que distintas situaciones

experimentales tienen sobre ciertas respuestas

cuantitativas.

Ejemplos: Un experimento para estudiar los efectos de cinco

marcas de gasolina en el desempeo de un motor de automvil (mpg).

Un experimento para estudiar los efectos de la presencia de cuatro soluciones azucaradas (glucosa, sacarosa, fructuosa y una mezcla de las tres) en el desarrollo bacteriano.

Un experimento para investigar si la concentracin de madera dura en la pulpa (%) tiene un efecto en la resistencia a la tensin de bolsas hechas de pulpa.

Un experimento para decidir si la densidad de color de especmenes de tela depende de la cantidad de colorante utilizado.

4


Diseo de Experimentos

Todo experimento involucra una secuencia de actividades:

1. Conjetura: la hiptesis original que motiva el experimento.

2. Experimento: prueba efectuada para investigar la conjetura.

3. Anlisis: anlisis estadstico de los datos obtenidos del

experimento.

4. Conclusin: lo que se ha aprendido de la conjetura original

con la realizacin del experimento. A menudo, sta

conduce a una conjetura nueva y a un experimento nuevo,

y as sucesivamente.

5

Diseo de Experimentos de Un Factor

Unidad III, Captulo 3: Diseo de Experimentos



Lo que deseamos probar es si la media de cada nivel del factor

(de cada tratamiento) es igual para todos, o bien, si el efecto de

cada nivel del factor es nulo sobre la verdadera media

poblacional, es decir:

La hiptesis alternativa es que al menos una de las verdaderas

medias de los tratamientos difiere de las dems.

Efecto del

tratamiento

sobre la variable

de respuesta

(nulo)

7


Ejercicio 3.1

Ejemplo 10.1 de Devore:

El artculo Compression of Single-Wall Corrugated Shipping Containers Using Fixed and Floating Test Platens (J. Testing and Evaluation, 1992: 318-320) describe un experimento en el cual se compararon varios tipos

diferentes de cajas con respecto a resistencia a la compresin (lb).

La tabla siguiente presenta los resultados de un experimento ANOVA

unifactorial que implica 4 tipos de cajas (las medias y desviaciones

estndar muestrales concuerdan con los valores dados en el artculo).

8


Ejercicio 3.1

Con i denotando la resistencia a la compresin promedio verdadera de las cajas de tipo i (i : 1, 2, 3, 4), la hiptesis nula es:

H0: 1 = 2 = 3 = 4.

Anlisis de caja comparativo:

9



ijiijY

Modelo estadstico lineal:

Tambin puede escribirse:

Efecto del i-simo tratamiento

ijiijY

Observaciones Tratamiento Totales Promedios

1 y 11 y 12 y 1n y 1 .

2 y 21 y 22 y 2n y 2 .

. . . . . .

. . . . . .

nA y nA1 y nA2 y nAn y nA .

y..

. 1 y

. 2 y

. nA y

.. y

... 2, 1,

... 2, 1,

nj

ni A

Residuo ~ N(0,2) n: cantidad de

observaciones por

tratamiento

10



Los efectos de los tratamientos corresponden a desviaciones

respecto de la media global .

Luego:

La prueba de hiptesis est definida por:

An

i

i

1

0

iH

H

ia

nA

una para menos al 0:

0...: 210

11



Los efectos de los tratamientos se anulan entre s

12


Tipos de Experimentos

Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados

Modelo de Efectos Fijos Modelo de Efectos Aleatorios

Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos

similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el

experimento no constituyen una muestra aleatoria)

Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos

similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una

muestra aleatoria)

13


Modelos de Efectos Fijos

Variabilidad

Variabilidad Total de los Datos (SST)

Variabilidad debido al tratamiento (SSTr)

(Variabilidad Entre)

Variabilidad inherente de los datos (SSE)

(Variabilidad Dentro)

SSESSTrSST

AAA n

i

n

j

iij

n

i

i

n

i

n

j

ij yyyynyy1 1

2

1

2

1 1

2

......

Dif. entre tratamientos (variabilidad entre)

Error aleatorio (variabilidad dentro)

14



Definiciones

An

i

iA nnSSTrE1

221 Puede demostrarse que:

Luego, si H0 se cumple, entonces:

2

1

An

SSTrE

Pero, si Ha es cierta, entonces:

11

1

2

2

A

n

i

i

A n

n

n

SSTrE

A

Cuadrado medio de los tratamientos

Si H0 es falsa, MSTr sobreestima a 2 , pero si H0 es verdadera MSTr es

estimador insesgado de 2

Considerando las hiptesis:

15



Definiciones

Tambin puede demostrarse que: 21 nnSSEE A

Luego, sin importar si H0 es cierta o falsa, se cumple que:

2

1

nn

SSEE

A

Error cuadrtico medio

16



Estadstico de Prueba

Si las poblaciones son normales, es demostrable que el estadstico F0

sigue una distribucin F-Fisher:

17



Estadstico de Prueba

Regin de Rechazo: f c

0| es verdaderaP F c H

TEOREMA:

Sea F = MSTr/MSE el estadstico de un ANOVA de un factor con nA poblaciones y el tamao de cada muestra es n. Cuando H0 es verdadera y se cumplen las suposiciones anteriormente planteadas,

entonces F tiene una distribucin F con 1 = nA - 1 y 2 = nA(n - 1).

Es una prueba de cola superior, cuya regin de rechazo es de la forma:

18



Frmulas de Clculo

An

i

n

j A

ijnn

yySST

1 1

2

2..

An

i A

i

nn

y

n

ySSTr

1

22 ...

Muestras con distinto tamao en cada tratamiento

Muestras con igual tamao en cada tratamiento

SSTrSSTSSE

A in

i

n

j

ijN

yySST

1 1

2

2..

An

i i

i

N

y

n

ySSTr

1

22 ...

19

Qu opinas

sobre esta

cita?

20



ANOVA

TABLA ANOVA (con igual tamao muestral en cada tratamiento)

Todos los clculos necesarios para llegar al estadstico f pueden

escribirse utilizando el formato de la tabla.

TABLA ANOVA (con distinto tamao muestral en cada tratamiento)

Fuente de Variacin

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio f

Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1) MSTr/MSE

Error N-nA SSE MSE = SSE / [N-nA]

Total N-1 SST

Fuente de Variacin

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio f

Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1) MSTr/MSE

Error nA(n-1) SSE MSE = SSE / [nA(n-1)]

Total nAn-1 SST

21


Ejercicio 3.2

(Ejemplo 10.13 J.L. Devore)

Los datos adjuntos se obtuvieron con un experimento que compara el

grado de manchado de telas copolimerizadas con tres mezclas

diferentes de cido metracrlico (datos similares aparecieron en el

artculo Chemical Factors Affecting Soiling and Soil Release from Cotton DP Fabric, American Dyestuff Reporter, 1983: 25-30).

Use el anlisis de varianza (ANOVA) para determinar si existe un efecto

de las mezclas de cido metracrlico en el grado de manchado de las

telas copolimerizadas.

22


Ejercicio 3.2 Solucin:

La hiptesis a probar es:

Se deben calcular las sumas de cuadrados a fin de completar la tabla ANOVA.

A una significancia del 5%, F5%,2,12 = 3,89

Conclusin: Como el estadstico de prueba (f=0,987) es menor al punto crtico (F=3,89) no hay evidencia para rechazar Ho, por lo tanto, no se puede decir que existen diferencias significativas entre las mezclas que afecten en el manchado.

Fuente de Variacin

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio

f

Tratamientos 2 0,061 0,0304

0,987 Error 12 0,370 0,0308

Total 14 0,431

23



Mtodos de Comparaciones Mltiples


Mtodo LSD de Fisher

Mtodo de Tuckey

Fcil de calcular

Trabaja con la distribucin t Student

Muy sensible a pequeas variaciones

El nivel de confianza es individual y no grupal

Trabaja con la distribucin de rango estudentizado

Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias

El nivel de confianza viene dado en forma grupal

Concepto de tasa de error por experimento

24




Definiciones

Sea la variable T:

Un Intervalo de Confianza del 100(1-)% para la media de los Tratamientos i es:

)1(~/

nn

ii

At

nMSE

YT

n

MSEty

n

MSEty nniinni AA )1(,2/)1(,2/

25




Definiciones

El inters es encontrar un IC para la diferencia entre las medias de dos tratamientos, digamos i j . El estimador puntual de i j es:

La varianza de este estimador es:

As, la varianza estimada y su desviacin estndar son:

ji YY

nnn

YYV ji222 2

n

MSEs

n

MSEs

jiji YYYY

222

26




Definiciones

Luego se tiene que:

Intervalo de Confianza del 100(1-)% para la Diferencia entre las Medias de dos Tratamientos i - j es:

)1(~

/2

nn

jiji

At

nMSE

YYT

n

MSEtyy

n

MSEtyy nnjijinnji AA

22)1(,2/)1(,2/

Si el IC calculado contiene el 0, diremos que las medias de los

tratamientos, no son significativamente distintas.

27




1. Mtodo LSD de Fisher (least significant difference)

Sea la variable T:

Entonces, el par de medias i - j se considerar significativamente diferente si:

)1(~2

nn

ji

At

n

MSE

YYT

LSDyyji

n

MSEtLSD nnA

2)1(,2/

ji

nNnn

MSEtLSDA

11,2/

Igual tamao de muestra por tratamiento

Distinto tamao de muestra por tratamiento

28


Ejercicio 3.3

Un fabricante de papel utilizado para fabricar bolsas de caramelo, est

interesado en mejorar la resistencia a la tensin del producto. El grupo

de ingeniera del producto piensa que la resistencia a la tensin es una

funcin de la concentracin de madera dura en la pulpa, y que el

rango de inters prctico de las concentraciones de madera dura est

entre 5% y 20%.

El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar

cuatro niveles de concentracin de madera dura: 5, 10, 15 y 20%. Para

ello, deciden fabricar seis especmenes de prueba para cada nivel de

concentracin, utilizando una planta piloto.

Los 24 especmenes se someten a prueba en un probador de tensin

de laboratorio, en orden aleatorio.

Concentracin de

madera dura (%)

Observaciones

1 2 3 4 5 6

5 7 8 15 11 9 10

10 12 17 13 18 19 15

15 14 18 19 17 16 18

20 19 25 22 23 18 20

29


Ejercicio 3.3

Los datos son:

nA = 4, n = 6, MSE = 6,51 y t0,025;20 = 2,086.

Las medias de cada tratamiento son:

A partir del mtodo LSD de Fisher concluya si existe diferencia entre los

tratamientos, identificndolos.

[psi] 17,21

[psi] 00,17

[psi] 67,15

[psi] 00,10

4

3

2

1

y

y

y

y

30


Ejercicio 3.3

Solucin:

El valor de LSD es:

Por lo tanto cualquier par de medias observadas de tratamiento que difiera en

ms de 3,07 (LSD), implica que el correspondiente par de medias son distintas.

Comparaciones entre las medias de tratamiento observadas:

07,36

51,62086,2

220;025,0

n

MSEtLSD

3,07 5,67 00,1067,15 1 v/s2

3,07 1,33 67,1500,17 2 v/s3

3,07 7,00 00,1000,17 1 v/s3

3,07 4,17 00,1717,21 3 v/s4

3,07 5,50 67,1517,21 2 v/s4

3,07 11,17 00,1017,21 1 v/s4

12

23

13

34

24

14

yy

yy

yy

yy

yy

yy

31


Ejercicio 3.3

Solucin:

A partir del anlisis, se deduce que existen diferencias significativas entre todos

los pares de medias excepto los pares 2 y 3. Esto implica que el 10% y 15% de

concentracin de madera dura producen aproximadamente la misma

resistencia a la tensin y que todos los otros niveles de concentracin probados

producen diferentes resistencias a la tensin.

En ocasiones es de utilidad dibujar un grfico de las medias de tratamiento

observadas con las medias que no difieren significativamente subrayadas. Este

grfico revela los resultados del experimento y muestra que el 20% de madera

dura produce la mxima resistencia a la tensin.

32





Mtodo LSD de Fisher

Mtodo de Tukey

Fcil de calcular

Trabaja con la distribucin t Student

Muy sensible a pequeas variaciones

El nivel de confianza es individual y no grupal

Trabaja con la distribucin de rango estudentizado

Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias

El nivel de confianza viene dado en forma grupal

Concepto de tasa de error por experimento

33




2. Mtodo de Tukey

Objetivo: Identificar cules son las medias que difieren entre s.

Utiliza una distribucin de probabilidad llamada Distribucin de rango estudentizado.

Esta distribucin depende de dos parmetros: grados de libertad m del numerador y grados de libertad del denominador.

Ver Tabla de valores crticos para la distribucin de Rango Estudentizado (Pg. 682, J.L. Devore)

,,mQ Valor crtico de cola superior donde m = nA y = nA(n - 1)

34




2. Mtodo de Tukey

Proposicin:

Con el reemplazo de los valores apropiados en el enunciado siguiente

se obtienen enunciados simultneos de confianza acerca de las

diferencias entre las medias de tratamiento

35

1)1(,,)1(,,

n

MSEQYY

n

MSEQYYP nnnjijinnnji AAAA




2. Mtodo de Tukey

Procedimiento:

1. Seleccione y encuentre Q, nA, nA(n - 1) de la tabla.

2. Determine:

3. Haga una lista de las medias muestrales en orden creciente y subraye los pares que difieren en menos de W. Cualquier par de medias muestrales no subrayadas por la misma lnea corresponde a un par de medias de tratamiento significativamente diferentes.

36

nMSEQW nnn AA /)1(,,

Cualquier par de medias que difieran en ms que la cantidad definida por W, sern juzgadas como significativamente diferentes entre s.


Ejercicio 3.4

(J.L. Devore)

Se efectu un experimento para comparar 5 marcas distintas de filtros

de aceite automotrices, en relacin con su capacidad para capturar

materia extraa. Se us una muestra de nueve filtros de cada marca y

se obtuvieron las siguientes cantidades promedio:

Los datos indican que la cantidad promedio real de material

capturado depende de la marca de los filtros? Utilice un nivel = 0,05.

Si es as, use el mtodo T para identificar diferencias significativas.

37


Ejercicio 3.4

38

1.- Hiptesis a probar:

2.- Calcular estadstico de prueba a partir de la tabla ANOVA

f=37,73

3.- Comparar con valor crtico

F, nA - 1, nA (n - 1) = F0,05, 4, 40 = 2,61

4.- Concluir

Como 37,73 >>> 2,61, H0 es rechazada al nivel 0,05

En caso de que la Ho se rechace, utilizamos el test de Tukey para

determinar si existe diferencia significativa entre los tratamientos.


Ejercicio 3.4

39

Procedimiento de Tukey:

1.- Para = 0,05 el valor de Q, nA, nA (n - 1) es igual a: Q0,05; 5; 40 = 4,04 2.- Clculo de W:

3.- Listado de las medias: Las cinco medias muestrales se disponen en orden creciente y se subraya cada par que difiera en menos de 0,4.

4. Conclusiones:

Las marcas 1 y 4 no son considerablemente diferentes entre s, pero son considerablemente ms altas que las otras tres marcas en el verdadero promedio de su contenido.

La marca 2 es considerablemente mejor que la 3 y la 5, pero peor que la 1 y la 4; y las marcas 3 y 5 no difieren en forma significativa.

4,09/088,004,4/)1(,, nMSEQW nnn AA

5 3 2 4 1y y y y y

13,1 13,3 13,8 14,3 14,5




2.1. Procedimiento de Tukey Kramer (tamaos muestrales desiguales)

Se consideran tamaos muestrales diferentes n1, n2, ..., nnA razonablemente cercanos entre s. Se utilizan promedios en parejas (es decir 1/ni en vez de 1/n).

El nivel de confianza simultneo es al menos del 100(1-)% (solo aproximado, no exacto), para tamaos muestrales desiguales.

40

ji

nNnijnn

MSEQW

AA

11

2,,


Ejercicio 3.5

(J.L. Devore)

Un artculo present los siguientes datos del mdulo de elasticidad, en

GPa, obtenidos con un nuevo mtodo ultrasnico, para muestras de

cierta aleacin producida con tres mtodos de colado diferente.

Los datos indican que el mdulo de elasticidad promedio depende

de la forma del proceso de colado que se utilice? Si es as, utilice el

procedimiento de Tukey-Kramer para identificar diferencias

significativas entre las medias de tratamiento.

41

ni yi. i.

Moldeo permanente 45,5 45,3 45,4 44,4 44,6 43,9 44,6 44 8 357,7 44,71

Colado a presin 44,2 43,9 44,7 44,2 44 43,8 44,6 43,1 8 352,5 44,06

Moldeo de yeso 46,0 45,9 44,8 46,2 45,1 45,5 6 273,5 45,58

y.. 22 983,7


Ejercicio 3.5

42

1.- Hiptesis a probar:

2.- Calcular estadstico de prueba a partir de la tabla ANOVA

f=12,56

3.- Comparar con valor crtico

F, na - 1, N-na = 3,52

4.- Concluir

Como 12,56 >>> 3,52, H0 es rechazada al nivel 0,05, por lo tanto, hay pruebas convincentes para llegar a la conclusin de que el mdulo de elasticidad promedio depende de cierta forma del proceso de colado que se utilice.


Ejercicio 3.5

43

n1 = 8, n2 = 8, n3 = 6 y na = 3, N na = 22 - 3 = 19, MSE = 0,316. Por lo tanto, un nivel de confianza simultneo de aproximadamente 95% requiere:

2. A presin 1. Permanente 3. Yeso

44,06 44,71 45,58

Esquema de subrayado:

Se concluye que 1 y 2 no son considerablemente diferentes, sin embargo, tanto 1 como 2 parecen diferir en forma significativa de 3.

Luego, utilizando el procedimiento de Tukey-Kramer, tenemos que:

771,0 ,771,0 ,713,08

1

8

1

2

316,059,3

11

2

231312

19;3;05,0

WWW

nn

MSEQW

ji

ij


Verificacin de supuestos del Modelo por medio

de Residuos

44

i ij ij ij ie y y y y

Supuestos del modelo:

Normalidad (eij ~ N(0, 2 ))

Hacer grficas de probabilidad normal

Homocedasticidad (igualdad de varianzas)

Hacer grficas de los ei vs. los niveles del factor

Hacer grficas de los ei vs. medias de tratamiento observadas


Ejercicio 3.6

45

Un economista obtuvo datos sobre la mejora en la productividad el ao pasado, para una muestra de empresas que producen accesorios para equipos elctricos. Las empresas fueron clasificadas de acuerdo al promedio de los gastos en investigacin y desarrollo en los ltimos 3 aos (nivel bajo, moderado y alto). Los resultados del estudio se detallan a continuacin, donde la mejora en la productividad se mide en una escala de 0 a 10.

a) Construya la tabla ANOVA para estos datos

b) Basndose en la mejora de productividad de las empresas, existe diferencia atribuible a los distintos niveles de I&D? considere una significancia del 5%. Si lo hubiera, Qu grupo de empresas difieren estadsticamente de las dems?

c) Verifique los supuestos del modelo

Gasto en

I&D

Mejora en la productividad

Bajo 8,9 8,5 8,6 5,1 6,1 8,5 5,3 6,4 5,4 7,4

Moderado 7,8 6,8 8,4 7,7 6,3 7,7 9,3 7,1 7,2 6,1

Alto 8,9 8,7 7,7 9,7 8,6 9,0 8,9 8,8 8,7 8,5


Tipos de Experimentos

Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados

Modelo de Efectos Fijos Modelo de Efectos Aleatorios

Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos

similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el

experimento no constituyen una muestra aleatoria)

Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos

similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una

muestra aleatoria)

46


Modelos de Efectos Aleatorios

En muchas situaciones, el factor de inters tiene un nmero muy grande de niveles posibles. El analista est interesado en obtener conclusiones acerca de la toda la poblacin de niveles del factor. Si el experimentador selecciona al azar nA de estos niveles de la poblacin de todos los niveles del factor, entonces se dice que el factor es un factor aleatorio.

Dado que los niveles del factor utilizados en el experimento fueron escogidos al azar, las conclusiones alcanzadas sern vlidas para toda la poblacin de niveles del factor. Se supondr que la poblacin de niveles del factor es de tamao infinito o lo bastante grande como para ser considerada infinita.

47



ANOVA y Componentes de la Varianza

48

ijiijY

El modelo estadstico lineal es:

Variable aleatoria que explique el efecto

aleatorio del factor,

i ~ N(0,2)

... 2, 1,

... 2, 1,

nj

ni A

(Para efectos fijos, se supone que

2 = 0)

Residuos,

ij ~ N(0,2)

Los i son independientes para i = 1nA, cada uno con varianza 2

Los ij son independientes para i = 1nA, y j = 1n cada uno con 2

Los i y ij son independientes para cada combinacin de i y j




49

La hiptesis de que las {i } son independientes, implica que la

hiptesis usual de que:

La varianza de la respuesta es:

donde cada trmino en el lado derecho es llamado

componente de la varianza.

del modelo de efectos fijos no se aplica al modelo de efectos aleatorios.

22 ijYV

01

An

i

i




50

Para un modelo de efectos aleatorios, las hiptesis apropiadas a

probar son:

La descomposicin ANOVA de la variabilidad total sigue siendo

vlida:

0:

0:

2

2

0

aH

H

SSESSTrSST




51

En el modelo ANOVA de un solo factor, experimento completamente

aleatorizado, el valor esperado de la media de cuadrados de los tratamientos

es:

Y el valor esperado de media de cuadrados para el error es:

Los estimadores de los son:

y

221

nn

SSTrEMSTrE

A

2)1(

nn

SSEEMSEE

A

MSEs 2

n

MSEMSTrs

2


Ejercicio 3.7

52

En el texto Design and Analysis of Experiments de Montgomery, se describe un experimento de un solo factor donde se utiliza un modelo de efectos aleatorios,

en el que una compaa textil produce una tela en varios telares. La compaa

tiene inters en la variabilidad de la resistencia a la tensin de un telar a otro.

Para investigar esta variabilidad, un ingeniero de produccin selecciona al azar

cuatro telares y determina la resistencia a la tensin de las muestras de tela

tomadas aleatoriamente de cada telar. Los datos obtenidos aparecen en la

siguiente tabla:

1 2 3 4 Totales Promedios

1 98 97 99 96 391 97,50

2 91 90 93 92 368 91,50

3 96 95 97 95 386 95,75

4 95 96 99 98 392 97,00

1537 95,44

Telar

Observaciones


Ejercicio 3.7

53

Solucin:

Desde el Anlisis de Varianza, se concluye que la resistencia a la tensin de los telares en la planta difieren significativamente en su capacidad para producir telas de uniformes. La varianza es estimada por s2 = 1,90 y:

Fuente de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Media de

Cuadrados f 0 Valor P

Telar 89,19 3 29,73 15,68 1,88E-04

Error 22,75 12 1,9

Total 111,94 15

96,64

90,173,292

s


Ejercicio 3.7

54

Por lo tanto, la varianza de la resistencia en el proceso de fabricacin es estimada por:

As, la mayor parte de esta variabilidad es atribuible a las diferencias entre telares.

86,890,196,6 22 ssYV ij


Ejercicio 3.7

55

Este ejemplo ilustra el aislamiento de diferentes fuentes de variabilidad en un proceso de fabricacin.

Problemas de variabilidad excesiva aparecen con frecuencia en programas de mejora de la calidad.

En el ejemplo anterior, las estimaciones de los parmetros del proceso son:

Si el lmite inferior de especificacin de la resistencia est en 90 [psi], entonces una parte sustancial de la produccin se encuentra degradada (aprox. 3,37%)

[psi] 98,286,8[psi] 45,95

ijY YVs

y


Ejercicio 3.7

56

Si el ingeniero o administrador lograra detectar y eliminar las fuentes de variabilidad del proceso, asociadas a las diferencias entre los telares, la reduccin en la variabilidad del proceso sera notable: En este nuevo proceso mejorado, la reduccin en la variabilidad de la resistencia disminuye en gran medida la degradacin del proceso, lo que trae como resultado:

un costo menor

una calidad mayor

un cliente ms satisfecho

una posicin competitiva mejor para la compaa.

[psi] 38,190,12 ssY


Diseo completamente aleatorizado por Bloques

57

El diseo aleatorizado por bloques es una extensin de la prueba

para datos pareados, donde el factor de inters tiene ms de dos niveles.

Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4

Diseo aleatorizado por bloques

t1 t2 t3

t1 t2 t3

t1 t2 t3

t1 t2 t3



58

Por ejemplo, considere la situacin donde cuatro diferentes mtodos

fueron usados para predecir la resistencia al corte de vigas de acero.

Digamos que ahora se usan 4 vigas como unidades experimentales.

1 2 3 4

1 y11 y12 y13 y14

2 y21 y22 y23 y24

3 y31 y32 y33 y34

Tratamiento

(Mtodo)

Bloques (Viga)



59

Procedimiento general para un diseo aleatorizado por bloques

completo:

Bloques Tratamiento 1 2 nB Totales Promedios

1 y 11 y 12 y 1nB y 1 .

2 y 21 y 22 y 2nB y 2 .

. . . . . .

. . . . . .

nA y nA1 y nA2 y nAnB y nA .

Totales y. 1 y. 2 y. nB y..

Promedios

. 1 y

. 2 y

. nA y

.. y 1 . y 2 . y nB

y .



60

El apropiado Modelo Estadstico Lineal es:

Asumimos que:

tratamientos y bloques son inicialmente efectos fijos.

bloques no interactan.

dentro de cada bloque las unidades son homogneas frente a otros factores que podran afectar la respuesta.

ijjiijY

0y 011

BA n

j

j

n

i

i

... 2, 1,

... 2, 1,

B

A

nj

ni

Cantidad de bloques



61

Estamos interesados en probar:

La suma de cuadrados para el experimento completamente aleatorizado

en bloques es:

O equivalentemente

iH

H

ia

nA


0...: 210

A BBAA B n

i

n

j

ijij

n

j

jA

n

i

iB

n

i

n

j

ij yyyyyynyynyy1 1

2

1

2

1

2

1 1

2

............

SSESSSSSST BA

(tratamientos) (bloques)



Valores Esperados Cuadrados Medios

62

1

A

AA

n

SSMS

1

B

BB

n

SSMS

11

BA nn

SSEMSE

11

1

2

2

A

n

i

iB

A

A

n

n

n

SSE

A

11

1

2

2

B

n

j

jA

B

B

n

n

n

SSE

B

2MSEE



63

A Bn

i

n

j BA

ijnn

yySST

1 1

2

2..

An

i BA

i

B

Ann

yy

nSS

1

2

2..

.1

BA SSSSSSTSSE

Bn

i BA

j

A

Bnn

yy

nSS

1

2

2..

.1

Las frmulas de clculo para la suma de cuadrados en el anlisis de

varianzas para experimentos completamente aleatorizados en bloques

son:



TABLA ANOVA

64

Fuente de

Variacin Grados de

Libertad Suma de

Cuadrados Cuadrado Medio f

Tratamientos nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

MSB / MSE

Bloques nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1)

Error (nA-1)(nB-1) SSE MSE = SSE / (nA-1)(nB-1)

Total nAnB-1 SST


Ejercicio 3.8

65

(13-5 Montgomery, 4th ed.)

Se realiza un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias

qumicas diferentes sobre la resistencia de una tela. Las sustancias se emplean

como parte del proceso terminal de planchado permanente. Para ello se

escogen cinco muestras de tela y se aplica un diseo completamente

aleatorizado por bloques mediante la prueba de cada sustancia en un orden

aleatorio sobre cada una de las muestras de tela. Observe que cada muestra de

tela puede tener caractersticas propias que haga obtener distintas resistencias,

sin deberse esto a la sustancia qumica aplicada (por eso se bloquear el posible

efecto de la muestra de tela en el experimento). En caso de existir efecto por

parte de las sustancias qumicas sobre la resistencia de las telas, se identificarn

aquellas sustancias que provoquen efecto sobre la resistencia, con = 0,05.

Muestra de Tela

Sustancia Qumica 1 2 3 4 5 Totales Promedios

1 1,3 1,6 0,5 1,2 1,1 5,7 1,14 2 2,2 2,4 0,4 2,0 1,8 8,8 1,76 3 1,8 1,7 0,6 1,5 1,3 6,9 1,38 4 3,9 4,4 2,0 4,1 3,4 17,8 3,56

Totales 9,2 10,1 3,5 8,8 7,6 39,2

Promedios 2,3 2,5 0,9 2,2 1,9 1,96


Ejercicio 3.8

66

Solucin

A partir de esta informacin, MINITAB entrega los siguientes resultados:

Minitab -> Estadsticas -> Anova -> Modelo lineal general (modelo: factor,

bloque)

ANOVA: Resistencia de la Tela vs. Sustancia Qumica. Muestra de Tela

Factor Tipo Niveles Valores

Sustancia Qumica fijo 4 1. 2. 3. 4

Muestra de Tela fijo 5 1. 2. 3. 4. 5

Anlisis de varianza de Resistencia de la Tela

Fuente GL SC MC F P

Sustancia Qumica 3 18,0440 6,0147 75,89 0,000

Muestra de Tela 4 6,6930 1,6733 21,11 0,000

Error 12 0,9510 0,0793

Total 19 25,6880

S = 0,281514 R-cuad. = 96,30% R-cuad.(ajustado) = 94,14%


Ejercicio 3.8

67

Solucin

En la tabla ANOVA se observa que el estadstico de prueba f0 = 75,89 > f0,05;3;12 = 3,49, concluimos que hay diferencias significativas en las resistencias de las telas bajo los distintos tipos de sustancias qumicas. Y adems como el valor p = 0, entonces esta decisin no cambia independiente del nivel de significancia usado en la prueba.

Comparaciones Mltiples Aplicaremos el mtodo LSD de Fisher:


Ejercicio 3.8

68

Notamos que el mtodo se aplica tal cual como lo vimos anteriormente, con la

salvedad de que el nmero de muestras por tratamiento en este tipo de diseos lo

denotamos por (bloques) y no por .

Del grfico anterior se desprende que la sustancia qumica 4 da como resultado

una resistencia mucho mayor a las otras tres sustancias.


Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo

69

Para este tipo de diseos, los residuos los definiremos como:

Note que el valor ajustado representa la estimacin de la respuesta

promedio cuando el i-simo tratamiento se efecta en el j-simo bloque.

ijijij yye

jiijy

........ yyyyy ji .... yyy ji

jiijijyyyye ....



70

En la siguiente tabla se muestran los residuos calculados del experimento

para el tipo de sustancia qumica, visto en un ejemplo anterior.

1 2 3 4 5

1 -0,18 -0,10 0,44 -0,18 0,02

2 0.10 0,08 -0,28 0,00 0,10

3 0,08 -0,24 0,30 -0,12 -0,02

4 0,00 0,28 -0,48 0,30 -0,10

Tipo de

Sustancia

Quimica

Muestra de Tejido

Lo siguientes grficos muestran importantes grficos de residuos

calculados para el experimento para el tipo de sustancia qumica.



71

Grfico de probabilidad normal de los residuos del diseo

completamente aleatorizado por bloques.



72

Grfico de residuos por tratamientos (tipo de sustancia qumica).



73

Grfico de residuos por bloques (muestra de tela).



74

Grfico de residuos versus ij

Diseo de Experimentos de Varios

Factores

Unidad III, Captulo 3: Diseo de Experimentos

Qu opinas

sobre esta

cita?

76


Diseo de Experimentos de Varios Factores

77

Un experimento es una prueba o una serie de pruebas.

El diseo de un experimento juega un papel principal en la eventual solucin del problema.

En un diseo experimental factorial, los ensayos del experimento (o corridas) se ejecutan con todas las

combinaciones de los niveles de los factores.

El anlisis de varianza (ANOVA) ser usado como una de las herramientas primarias para el anlisis estadstico de los

datos.


Experimentos Factoriales

78

Por experimento factorial entendemos aquel donde en cada ensayo o rplica completa del experimento se investigan todas

las combinaciones posibles de los niveles de los factores.

Definicin

Factor B

Factor A Bbajo Balto

Abajo 10 20

Aalto 30 40


Experimento Factorial sin Interaccin

79


Experimento Factorial con Interaccin

80

Factor B

Factor A Bbajo Balto

Abajo 10 20

Aalto 30 0


Experimento Factorial con Interaccin

81


Grficos Experimentos Factoriales

82

Grfico tridimensional de superficie de los datos del experimento sin interaccin,

mostrando efectos en los dos factores A y B.


Grficos Experimentos Factoriales

83

Grfico tridimensional de superficie de los datos del experimento, mostrando el

efecto de la interaccin entre A y B.


Configuracin Experimental

84

Cada combinacin de dos niveles de diferentes factores se conoce como CONFIGURACIN EXPERIMENTAL. La cantidad total de observaciones es: N = nAnBn.


Modelo Estadstico Lineal

85

Yijk: es la k-sima observacin tomada en el i-simo nivel del

Factor A y en el j-simo nivel del Factor B.

An

i

i

1

0

Bn

j

ij

1

0

An

i

ij

1

0

Con:

ijkijjiijY

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

nk

nj

ni

B

A

Bn

j

j

1

0 2,0~ Nijk


Anlisis Estadstico del Modelo de Efectos Fijos

86

A B

A

B

n

i

n

j

n

k

ijk

n

k

ijkij

n

i

n

k

ijkj

n

j

n

k

ijki

yy

yy

yy

yy

1 1 1

1

1 1

1 1

...

.

..

..

nnn

yy

n

yy

nn

yy

nn

yy

BA

ij

ij

A

j

j

B

ii

......

..

....

....

B

A

nj

ni

... 2, 1,

... 2, 1,


Pruebas de Hiptesis

87

iH

H

ia

nA


0...: 210

jH

H

ja

nB


0...: 210

ijH

H

ija

nn BA

pareja una para menos al 0:

0...: 12110


Estimadores

88

A continuacin se definen los estimadores puntuales insesgados de los

parmetros desconocidos , i , i y ()ij.

........

.....

.....

...

yyyy

yy

yy

y

jiijij

jj

ii

Se deduce de y de .)( ijij yYE ijjiijYE )(

.............. yyyyyy jiij

. ijijji y

jiijij y .


Estadsticos

89

Para probar H0: i = 0 use la razn

Para probar H0: j = 0 use la razn

Para probar H0: ()ij = 0 use la razn

MSE

MSF A

MSE

MSF B

MSE

MSF AB


Frmulas Sumas de Cuadrados

90

BAAB

BA

BA

n

i

n

j

ij

AB

BA

n

j A

j

B

BA

n

i B

iA

BA

n

i

n

j

n

k

ijk

SSSSSSSSTSSE

SSSSnnn

y

n

ySS

nnn

y

nn

ySS

nnn

y

nn

ySS

nnn

yySST

A B

B

A

A B

2

1 1

2

2

1

2

2

1

2

2

1 1 1

2


ANOVA

91

Fuente de

Variacin Grados de

Libertad Suma de

Cuadrados Cuadrado Medio F

Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE

Interaccin (nA-1)(nB-1) SSAB MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)] MSAB / MSE

Error nAnB (n-1) SSE MSE = SSE / [nAnB(n-1)]

Total nAnBn-1 SST


Ejercicio 3.9

92

Se aplican pinturas tapaporos para aeronaves en superficies de

aluminio, con dos mtodos: inmersin y rociado. La finalidad del

tapaporos es mejorar la adhesin de la pintura, y puede aplicarse en

algunas partes utilizando cualquier mtodo. El grupo de ingeniera de

procesos responsable de esta operacin se encuentra interesado en

saber si existen diferencias entre tres tapaporos diferentes en cuanto a

sus propiedades de adhesin. Para investigar el efecto que tienen el tipo

de pintura tapaporos y el mtodo de aplicacin sobre la adhesin de la

pintura, se realiza un experimento factorial. Para ello se pintan tres

especmenes con cada tapaporo utilizando cada mtodo de

aplicacin, despus se aplica una capa final de pintura y a

continuacin se mide la fuerza de adhesin. Los datos de este

experimento aparecen en la siguiente tabla.


Ejercicio 3.9

93

Tipo de Tapaporo

Inmersin Rociado yi ..

1 4,0; 4,5; 4,3 12,8 5,4; 4,9; 5,6 15,9 28,7

2 5,6; 4,9; 5,4 15,9 5,8; 6,1; 6,3 18,2 34,1

3 3,8; 3,7; 4,0 11,5 5,5; 5,0; 5,0 15,5 27,0

y. j . 40,2 49,6 y = 89,8


Ejercicio 3.9 (Solucin)

94

72,1018

8,890,5...5,40,4

2222

2

1 1 1

2

nnn

yySST

MtodosTipos

n

i

n

j

n

k

ijk

Tipos Mtodos

58,4

18

8,89

6

0,271,347,28

2222

2

1

2

nnn

y

nn

ySS

MtodosTipos

n

i Mtodos

iTipos

Tipos

91,4

18

8,89

9

6,492,40

222

2

1

2

nnn

y

nn

ySS

MtodosTipos

n

j Tipos

j

Mtodos

Mtodos



95

24,0

91,458,418

8,89

3

5,152,189,155,119,158,12

2222222

2

1 1

2

.

MtodosTiposMtodosTipos

n

i

n

j

ij

Interac SSSSnnn

y

n

ySS

Tipos Mtodos

99,0

91,458,424,072,10

MtodosTiposInterac SSSSSSSSTSSE



96

Fuente de Variacin

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Media de Cuadrados

F0 Valor P

Tipo de Tapaporos 4,58 2 2,29 28,63 2,7 E-05

Mtodos de Aplicacin

4,91 1 4,91 61,38 5,0E-07

Interaccin 0,24 2 0,12 1,50 0,2621

Error 0,99 12 0,08

Total 10,72 17


Anlisis de Varianza desde Minitab

97

En Minitab (Estadsticas -> ANOVA -> Dos factores (para detectar la interaccin no

debe estar pinchado ajustar modelo aditivo))

ANOVA de dos factores: Fuerza de Adhesi vs. Tipo Tapaporo.

Mtodo de Aplica

Fuente GL SC MC F P

Tipo Tapaporo 2 4,5811 2,29056 27,86 0,000

Mtodo de Aplicacin 1 4,9089 4,90889 59,70 0,000

Interaccin 2 0,2411 0,12056 1,47 0,269

Error 12 0,9867 0,08222

Total 17 10,7178


El modelo nos indica que no hay efecto de interaccin

Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015 98

Grficos de Interaccin

Grficos que nos ayudan a inferir si los factores interactan entre s o no.

Paralelos (ms o menos)

Paralelos (ms o menos)

(Curvas paralelas implican que no hay interaccin significativa)


Grficos de Efectos Principales

99

Grficos que ayudan a inferir el efecto de cada factor en la respuesta.


Adecuacin del Modelo

100

Los residuos se definen como: .ijijkijk

yye

Mtodo de Aplicacin

Tipo de Tapaporo Inmersin Rociado

1 -0.27, 0.23, 0.03 0.10, -0.40, 0.30

2 0.30, -0.40, 0.10 -0.27, 0.03, 0.23

3 -0.03, -0.13, 0.17 0.33, -0,17, -0.17



101

Grfico de probabilidad normal de los residuos del ejemplo 3.9



102

Grfico de los residuos versus tipo de tapaporos



103

Grfico de los residuos versus mtodo de aplicacin



104

Grfico de los residuos versus los valores estimados


Experimentos Factoriales Generales

105

Modelo para el experimento de tres factores:

ijklijkjkikijkjiijY

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

nl

nk

nj

ni

C

B

AInteracciones de 2 factores

Interaccin de los 3 factores


ANOVA

106

Fuente de

Variacin Grados de Libertad

Suma de

Cuadrados Cuadrado Medio F

Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE

Tratamiento C nC-1 SSC MSC = SSC / (nC-1) MSC / MSE

Interaccin AB (nA-1)(nB-1) SSAB MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)] MSAB / MSE

Interaccin AC (nA-1)(nC-1) SSAC MSAC = SSAC / [(nA-1)(nC-

1)] MSAC / MSE

Interaccin BC (nB-1)(nC-1) SSBC MSBC = SSBC / [(nB-1)(nC-

1)] MSBC / MSE

Interaccin ABC (nA-1)(nB-1)(nC-1) SSABC MSABC = SSABC / [(nA-1)(nB-

1) (nC-1)] MSABC / MSE

Error nAnBnC(n-1) SSE MSE = SSE / [nAnBnC(n-1)]

Total nAnBnCn-1 SST


Ejercicio 3.10

107


Un ingeniero mecnico estudia la rugosidad superficial de una

pieza producida en una operacin de corte de metal. El inters recae en tres factores: la rapidez con la que se hace el corte (), la profundidad de ste () y el ngulo de la herramienta (). A los tres factores se les asignan dos niveles, y se realizan dos

rplicas del diseo factorial. Los datos aparecen en la siguiente

tabla.


Ejercicio 3.10

108

Profundidad de corte (B)

0,025 '' 0,040 ''

Rapidez de Corte (A)

ngulo de la herramienta (C)


15 25 15 25 yi

20''/min. 9 11 9 10

75 7 10 11 8

16 21 20 18

30''/min. 10 10 12 16

102 12 13 15 14

22 23 27 30

Totales BxC

y.jk. 38 44 47 48 177 y.


Ejercicio 3.10

109

Modelo lineal general: Rugosidad Su vs. Rapidez de C. Profundidad . ...

Factor Tipo Niveles Valores

Rapidez de Corte (A) fijo 2 20. 30

Profundidad de Corte (B) fijo 2 0,025. 0,040

ngulo de la herramienta (C) fijo 2 15. 25

Anlisis de varianza para Rugosidad Superficial, utilizando SC ajustada para

pruebas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P

Rapidez de Corte (A) 1 45,562 45,562 45,562 18,69 0,003

Profundidad de Corte (B) 1 10,563 10,563 10,563 4,33 0,071

ngulo de la herramienta (C) 1 3,063 3,063 3,063 1,26 0,295

Rapidez de Corte (A)* 1 7,563 7,563 7,563 3,10 0,116

Profundidad de Corte (B)



Profundidad de Corte (B)* 1 1,563 1,563 1,563 0,64 0,446



Profundidad de Corte (B)*


Error 8 19,500 19,500 2,438

Total 15 92,938



Diseos Factoriales 2k

110

Si un experimentador desea estudiar al mismo tiempo el efecto de k

factores diferentes en una variable de respuesta y los factores tienen I1,

I2, . . . , Ik niveles, respectivamente, entonces un experimento completo

requiere por lo menos I1, I2, . . . , Ik observaciones. En tales situaciones, el

experimentador a menudo puede realizar un experimento de filtracin con cada factor a solo dos niveles para obtener informacin preliminar sobre los efectos del factor. Un experimento en el cual existen

k factores, cada uno a dos niveles, se conoce como experimento 2k

factorial. El anlisis de los datos de tal experimento es

computacionalmente ms simple que para experimentos factoriales

ms generales. Adems, un experimento 2k proporciona un entorno

ms simple para introducir los importantes conceptos de confusin y

rplicas fraccionarias. (J.L. Devore)



111

Diseo 22



112

Diseo 22

El efecto principal del factor A es estimado por:

El efecto principal del factor B es estimado por:



113

Diseo 22

El efecto interaccin AB es estimado por:



114

Las cantidades entre corchetes, se llaman contrastes.

Por ejemplo, el contraste de A es:

ContrasteA = a + ab b (1)



115

Estos contrastes se utilizan para estimar el tamao de los efectos

(principales e interaccionales).

Tambin se utilizan para calcular las sumas de cuadrados:


Ejercicio 3.11

116

Un artculo publicado en el AT&T Technical Journal, describe la

aplicacin de diseos factoriales de dos factores a la fabricacin de circuitos integrados. Un paso bsico de procesamiento en

esta industria es el crecimiento de una capa epitaxial sobre

pastillas de silicio pulidas. Las pastillas se montan en un dispositivo

sensible y se introducen en una campana de percusin. Despus

se introducen vapores qumicos a travs de boquillas ubicadas

cerca de la parte superior de la campana. Se gira el dispositivo

sensible y se aplica calor. Estas condiciones se mantienen hasta

que la capa epitaxial tiene un espesor suficiente.


Ejercicio 3.11

117

La tabla anterior presenta los resultados de un diseo factorial 22 con = 4 rplicas utilizando como factores A: tiempo de descomposicin y B: rapidez de flujo de arsnico. Los dos niveles de tiempo de descomposicin son: = , + = . Los niveles de rapidez de arsnico son = 55% y + = 59%. La variable de respuesta es el espesor de la capa epitaxial (m). Las estimaciones son las siguientes:


Ejercicio 3.11

118


Ejercicio 3.11

119


Anlisis Residual

120

Grfico de

probabilidad normal

de los residuos para

el experiemento del

proceso epitaxial.


Anlisis Residual

121

Grfico de los

residuos v/s el

tiempo de

descomposicin


Anlisis Residual

122

Grfico de los

residuos v/s la

rapidez de flujo

de arsnico


Anlisis Residual

123

Desviacin estndar del espesor de la capa epitaxial en las cuatro corridas del diseo 22.



124

Diseo 23



125

Diseo 23

Figure Geometric presentation of contrasts corresponding to the main effects and interaction in the 23 design. (a) Main effects. (b) Two-factor interactions. (c) Three-factor interaction.



126

Estimacin de efectos principales de A, B y C por:



127

Interacciones de dos factores:

Interacciones de los tres factores:



128



129

1. Aparte de la columna de la identidad (I), cada columna tiene la

misma cantidad de - y de +

2. La suma-producto de cualquier pareja de columnas es cero; es

decir que las columnas son ortogonales

3. La multiplicacin de cualquier columna por I no cambia la columna;

es decir que I es un elemento de identidad

4. El producto de cualquier pareja de columnas da una columna que

est en la tabla,

por ejemplo: A B = AB AB ABC = A2B2C = C

Propiedades de la tabla anterior:



130

Clculo de los contrastes:

Efecto Contraste

n2k1

SS Contraste

2

n2k


Ejercicio 3.12

131

Considrese el experimento de rugosidad superficial descrito en el ejemplo 3.10 (14-2 Mont.). Este es un diseo 23 en los factores velocidad de corte (), profundidad de corte () y ngulo de la herramienta (), con = 2 rplicas. La tabla presenta los datos observados de rugosidad superficial.


Ejercicio 3.12

132

Solucin:

Para A se calcula:

Se hace igual para los otros factores (columnas).

Minitab entrega los siguientes resultados:


Ejercicio 3.12

133

Eliminar interacciones del

modelo


Anlisis Residual

134

Grfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rugosidad superficial.


Rplica nica del diseo para k grande

135

Segn aumenta k, el nmero de observaciones que deben realizarse

aumenta, haciendo difcil poder realizar rplicas del diseo.

Adems, la falta de rplicas hara que el nmero de grados de libertad

disminuyera.

Una solucin es considerar solo algunas interacciones.


Ejemplo 3.13

136


Un artculo publicado en Solid State Technology describe la

aplicacin de los diseos factoriales en el desarrollo de un proceso

de grabado nitroso sobre una sola oblea de plasma de grabado.

El proceso utiliza C2F6 como gas reactivo. Es posible modificar la

rapidez de flujo de gas, la potencia aplicada al ctodo, la presin

en la cmara de reaccin y el espaciamiento entre el nodo y el

ctodo (hueco). Lo usual en este proceso es que el inters recaiga

en varias variables de respuesta, pero en este ejemplo slo se

considera la rapidez de grabado del nitruro de silicio.


Ejemplo 3.13

137

Para investigar el proceso se hace uso de una sola rplica de un

diseo 24. Puesto que es poco probable que las interacciones

entre tres y cuatro factores sean significativas, el plan tentativo es combinarlas como una estimacin del error. Los niveles de los

factores utilizados en el diseo son los siguientes:


Ejemplo 3.13

138

La siguiente tabla presenta los datos provenientes de 16 corridas

del diseo 24. Los signos de las columnas de esta tabla pueden

emplearse para estimar los efectos de los factores. Por ejemplo, la estimacin del efecto del factor A es:


Ejemplo 3.13

139


Ejemplo 3.13

140


Ejemplo 3.13

141

Solucin: Verificar (usando Minitab por ejemplo) que el conjunto completo de

estimaciones de efectos es:


Ejemplo 3.13

142


Grfico de probabilidad normal de efectos

143

Grfico de probabilidad Normal de los efectos del experimento de rapidez de grabado.


Grfico de interaccin AD

144


Anlisis residual

145

Grfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rapidez de grabado.

I N G E N I E R A


Estadstica Aplicada II Dayana Jaque S.

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3. EA2 - Unidad 3 (Cap 3)_clases Al 09Jun15