3. 원형축의 비틀림

Metal Forming CAE Lab.Department of Mechanical EngineeringGyeongsang National University, Korea

원형축의 비틀림 – 문제의 정의와 가정

이론 전개 대상 축의 형상: 원형축 (Circular shaft)

용도: 동력전달(Power transmission), spring, etc.

이론 전개를 위한 가정(대칭성 논리의 적용을 전제)

End-effects are negligible (Saint Venant Principle)

Uniform cross-section

Geometry and material are axisymmetric

Symmetric expansion and contraction are neglected

Lengthening and shortening are neglected 참고 : Torsion 문제는Mechanically axisymmetric 문제가 아님`

Shaft

: tM Tw isting momenttorque

Geometrically axisymmetric O O O O X

Material is axisymmetric O O O X

Circular shaft O O O X X

,tM T

,tM T

좌표계의 설정, 용어 정의, 이론 전개 개요

기하학적 적합성(Geometric compatibility, 변형의 기하학(Geometry of deformation)

응력-변형률의 관계(Stress-strain relationship), 구성방정식 (Constitutive law)

원통좌표계용어의 정의

이론 전개 개요

축(Shaft),tM T

,tM T

: Angle of twist

: Rate of twistddz

z

x

y

z

r

z

r

( , , )x y z •

y

x

( , , )r z

cossin

x ry rz z

Reference coordinate system

Local coordinate system

변형률

중실축, 중공축

비틀림모멘트

동력

힘의 평형(Force equilibrium)

Geometry of deformation , Geometric compatibility

Rule of symmetry (대칭성의 논리)

기하학적 적합성 조건에

어긋남. 그 원인은 단면이

불룩하게(오목하게) 된다는

가정이 잘못된 것에 있음

대칭성 논리의 결론

Diametrical straight line remains straight line

Plane section, perpendicular to the central line, remains plane

원형축의 비틀림 – 기하학적 적합성

Assumed deformed shape

upsidedown

Assumed deformedprofile

대칭성논리의 적용 법위:중실축, 중공축, 복합재료 축

Cavity

tM

tM

tM

tM

기하학적 적합성 조건에

어긋남. 즉 중심을 지나는

선분이 변형으로 곡선이

된다는 가정이 잘못되었음.

변형률 성분(Strain components)

원형축의 비틀림 – 변형률과 비틀림각의 관계

0rx

r z planer plane

0rr zz

0r r 0rz zr

z

z

z z

r z

rz

drdz

x x x y x z r r r r z

y x y y y z r z

z r z z zz x z y z z

: Angle of twist

: Rate of twistddz

r

( )z z

( )z

z

z

z

r rz

z전단변형률 와 회전각의 관계

법선변형률:

가정으로부터

전단변형률: 전단변형률:

z

r

z

z

좌표계와 응력성분 (Stress components)

z planez

rz r plane

r plane

r face

( ) face

zz

zr

z

rz

rr

r

z

r

z

r

z face

y face

x face

zz

zyzxyz

yyyxxy

xx

xz

z

xy

z face

y z plane

z

xy

z x plane

x y plane

z

x

y

z

r

z

r

( , , )x y z •

y

x

( , , )r z

cossin

x ry rz z

Reference coordinate system

Local coordinate system

원통좌표계와 직각좌표계 응력텐서

Lz z

dG Gr Grdz L

응력-변형률의 관계(Stress-strain relationship), 구성방정식 (Constitutive law)

비틀림시험에서 후크법칙

원형축의 비틀림 – 후크법칙

G

1

1

E

1E1E1E2 1 1

E

2 1 1E

2 1 1E

xx xx yy zz

yy yy zz xx

zz zz xx yy

xy xy xy

yz yz yz

zx zx zx

G

G

G

등방성 재료의

일반화된 후크법칙

2(1 )EG

E

Lxx xx

uduE E Edx L

인장시험에서 후크법칙

G

힘의 평형조건-단일재료 축

원형축의 비틀림 – 힘의 평형조건

r

dr

2dA rdr

dF dA

dAA

r

2

2

t A A A

t A

t tz z

dM rdF r dA Gr dAdz

d dM G r dA GJdz dzM M rd

dz GJ J

응력분포

1 1AG2 2A G

rr

GJ

1 2

2

2 21 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( )

,

t A A A

t A A

t i t

dM rdF r dA Gr dAdz

d dM G r dA G r dA G J G Jdz dz

M G rMddz G J G J G J G J

02 3 4 402 ( )

2i

R

iA RJ r dA r dr R R

1 1

2 2i

G if r AG

G if r A

힘의 평형조건-복합재료 축

단면극관성모멘트

: 비틀림강성 dF

용어정의

, ,0; 0x t AB t ABM M T M T

, 4

0 0,

32L Lt ABt

BA

MM TLdz dz J dGJ GJ GJ

예제 3.1

한단고정-균일비틀림강성-비틀림모멘트 축

max 34

162 2

32

d TdT TJ dd

, 4

0 0,

32L Lt ABt

BA

MM TLdz dz J dGJ GJ GJ

, ,0; 0x t AB t ABM M T M T

< F.B.D. >

AT T

비틀림각의 계산

최대전단응력의 계산

힘의 평형조건

0; 0x A AM T T T T

ABtM T

2 1

2 2 1 1

CA CB BA

BC ABT L T LG J G J

A B CT T T BT CT1 1G J

2 2G J

한단고정-불균일비틀림강성-비틀림모멘트 축

예제 3.2

힘의 평형조건:

0;0

x

A B C A B C

MT T T T T T

,

,

t AB B C

t BC C

M T TM T

비틀림각의 계산:

1 2m ax m ax

1 2

, BCAB T rT rJ J

최대전단응력의 계산:

<F.B.D.>

1 2

max

1 [( ) ]

( )( / 2)

CA B C C

B C

T T L T LGJ

T T dJ

< F.B.D. >

균일비틀림강성-동력전달 축의 비틀림

AT

예제 3.3

힘의 평형조건:

0;0

x

A B C A B C

MT T T T T T

,

,

t AB B C

t BC C

M T TM T

비틀림각도와 최대전단응력

A B C1L 2L

B CT TBT CT

기어를 매개로 한 동력전달 축

11

22 1CA CD DA

2 2 2 1 1

22 1 1

2 2 2 1 1

r T LrTL rG J r G J

TL r TLG J r G J

11 1 2 2 2 1

2

rr rr

예제 3.4

힘의 평형조건

22

11

2

,

1,

2

0;

0

x

A A

t DC

t AB A

MTr F T Fr

rT r F T Tr

M TrM T Tr

기하학적 조건

비틀림각의 계산

1

F

1

2

r Tr

F 2T

AB

DC

12r

1 1 1,L G J

22r

1

2

r Tr

2 2 2,L G J

AT

T

균일비틀림강성-부정정계 문제

< F.B.D. >

,

,

0;0

x

A C C A

t AB A

t BC C A

MT T T T T T

M TM T T T

0CA

1 2

2

1 2

1 [ ( ) ] 0CA BA CB A A

A

T L T T LGJ

L TTL L

A B C

AT T CT

예제 3.5

힘의 평형조건 기하하적 적합성:

, 1 1 2 1 2

1 2 1 2

maxmax max

1( )

, max( , )

t AB ABA

A C

M T L L L T L L TdxGJ GJ GJ L L GJ L L

T r T T TJ

점 B 의 회전각도와 최대전단응력

< F.B.D. >

0CA

,

,

0;0

x

A C C A

t AB A

t BC C A

MT T T T T T

M TM T T T

1 1 21

1 1 1 2

ABA A

T L X X TX TG J X X

1 2

1 1 2 2

1 2

( )

( )

A ACA BA CB

iA A i

i i

T L T T LG J G J

LT X T T X XG J

2

1 2

1

1 2

A

C A

X TTX X

X TT T TX X

A B C

AT T CT

예제 3.6

불균일비틀림강성-부정정계 문제

힘의 평형조건 0CA 기하하적 적합성:

점 B에서의 회전각도 계산

축의 설계

Ship

1hp 76kg m / s1 176 lb ft / s

0.453 0.3048

260 hp, 3800 rpm, 30,000 psiaP n

6

3

33max 3 2

4

260 hp 260 6600 in lb / s 1.716 10 in lb / s2 rad rad3800 rpm 3800 39860 s s

4.31 10 in lb

( / 2) 16 lb 16( 30 10 )in

32

aa

P

P T T

T d T Tddd

①

②

① + ②

예제 3.11

주어진 값

설계 과정

23

16 0.90 ina

Td

< F.B.D. >

3

8kW 8000 N m /secrad rad15Hz 15 2 30sec sec

84.88 N m

16 24.3mma

P

PT

Td

T T

P T

예제 3.12

축의 설계

< Method Ⅰ> 0q

( )tM x

x ( )L x

균일분포 모멘트-한단고정 축

< F.B.D. >

0

20

20

( ) ( )

( )2

(0) 0

( )2

tM x qd L xdx GJ GJ

q xLx CGJ

Cq xx LxGJ

( ) =

0

0

0; ( ) ( ) 0( ) ( )

x t

t

M M x q L xM x q L x

예제 3.13

힘의 평형조건

비틀림각과-비틀림모멘트와의 관계

B.C.

0q : 단위길이당 모멘트

x

0 , , ,q L d G

max 0max 2 4

T d dq LJ J

00; ( )x t AM M x T q x

0( ) (1 )2q L xx xGJ L

0

20

( ) , (0) ( ) 0

1 [ ]2

t A

A

M x T q xd Ldx GJ GJ

qT x x CGJ

20 0

(0) 0 0

( ) 0 02 2A A

Cq q LL T L L T

< F.B.D. > 0q L

AT 0 Aq L T

L

A BA B

0AT q x0 Aq L T

( )L xx

A B

예제 3.14

균일분포 모멘트-양단고정 축-부정정계

비틀림모멘트와 비틀림각의 관계

힘의 평형조건

최대전단응력의 계산

x

x

T0

2q L

0

2q L

원형축의 비틀림 총정리

z

r

Strain Stress

Hooke’s lawForceequilibrium

rr r rz

r z

zr z zz

0 0 0

0 0

0 0

dGrdz

dGrdz

tMddz GJ

•

•

•

•

•

•

1

1

1

rr rr zz

zz rr

zz zz rr

rr

zz

zrzr

E

E

E

G

G

G

복합축일 경우

1 1 2 2

...tMddz G J G J

tz z

M rJ

21 ;2

t

L L

t

L

Md dz dzdz GJ

MU dzGJ

Strain energy

• 대칭성 논리

• 가정 :

• 변형의 기하학 :

0rr zz

00

z z

r r

rz zr

drdz

원형 축의 변형에너지

,, ,tT eq

M L GJG kGJ L

2 2 221 1 1 1

2 2 2 2t t t

T eq L

M L M MUU k U dzJG L JG JG

Hooke’s law

Strain energy

1

G

,P P

: shear modulus of elasticityG

Stress

Strain,tM tM

2 22

2

22 22

2

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

t

t tV L A L L

M ru G GJ

M M dU udV r dAdz dz GJ dzGJ dzGJ

,T eqk