3 EL CAMPO ELÉCTRICO...6.3. Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss 6.4. Protección frente a campos externos: una consecuencia del teorema de Gauss Técnicas

68Unidades didácticas Física 2.º Bachillerato

EL CAMPO ELÉCTRICO

Con esta unidad se inicia el estudio de otra de las interaccio-nes fundamentales: la electromagnética. Este estudio se ha estructurado sobre la base de las siguientes ideas: las

cargas eléctricas en reposo generan campos eléctricos (Unidad 3); las cargas en movimiento (campos eléctricos variables) generan campos magnéticos (Unidad 4), y los campos magnéticos varia-bles generan campos eléctricos (Unidad 5). Esta estructura permi-te tener al final una visión de conjunto de todo lo que implica el concepto de electromagnetismo. En esta unidad se revisa la inte-racción electrostática desde el concepto de campo eléctrico. Constituye una ampliación de la primera aproximación al concep-to efectuada en el libro de 1.º de Bachillerato.

Objetivos1. Conocer y aplicar la ley de Coulomb para el cálculo de fuerzas

entre dos o más cargas en reposo.

2. Comprender el concepto de campo eléctrico debido a una o más cargas puntuales y conocer y calcular sus magnitudes pro-pias en un punto.

3. Conocer las formas de representar campos mediante líneas de fuerza y superficies equipotenciales.

4. Comprender las relaciones energéticas en un sistema de dos o más cargas y aplicarlas al movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos.

5. Aplicar el teorema de Gauss en casos sencillos.

Relación con las competencias clave

La competencia comunicación lingüística está presente en la co-rrecta interpretación del texto y los enunciados de las actividades pro-puestas, así como en la exposición oral y escrita de las propuestas de Investiga. La competencia matemática y en ciencia y tecnología está presente en todo el desarrollo, así como en el uso de las Herra-mientas matemáticas. La competencia digital se relaciona funda-mentalmente con las propuestas de Investiga y de la sección Técnicas de trabajo e investigación. La competencia de aprender a apren-der es inherente al propio desarrollo autosuficiente de la unidad, basado en la idea primordial de toda la obra de que esta pudiera servir para el aprendizaje autodidacta del alumnado en caso de baja.

Temporalización

Se aconseja dedicar ocho sesiones lectivas al estudio de la unidad.

3

P R O G R A M A C I Ó N D I D Á C T I C A D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje Relación de actividades del LA

Competencias clave

Interacción electrostática: origen y descripción❚❚ ¿Qué sabemos de la carga eléctrica?❚❚ Ley de Coulomb

1. Reconocer los principios de cuantización y conservación de la carga eléctrica.

1.1. Calcula el número de entidades elementales de carga que corresponde a un valor de carga cualquiera.

A: 1, 2AT: 2

CMCCTCAA

2. Describir la interacción entre dos cargas mediante la Ley de Coulomb.

2.1. Usa la ley de Coulomb correctamente y analiza su carácter vectorial.

A: 3E: 1AT: 3

CMCCTCAA

3. Aplicar el principio de superposición a sistemas de varias cargas.

3.1. Aplica el principio de superposición, vectorialmente, para determinar la fuerza sobre una carga testigo debida a la presencia de varias cargas.

A: 3E: 1

CMCCTCAA

Campo eléctrico: una forma de explicar la interacción

4. Asociar el campo eléctrico a la existencia de carga y caracterizarlo por la intensidad de campo y el potencial.

4.1. Define la interacción electrostática en términos de campo vectorial (intensidad de campo) y escalar (potencial).

AT: 4 CMCCTCAA

El campo eléctrico desde un punto de vista dinámico❚❚ Intensidad del campo eléctrico❚❚ Representación del campo mediante líneas de fuerza

5. Definir el campo eléctrico en términos de su intensidad.

5.1. Relaciona correctamente la fuerza que actúa sobre una partícula cargada con el campo eléctrico existente.

A: 4, 5 ER: 1AT: 16

CMCCTCAA

5.2. Compara los campos eléctricos y gravitatorios estableciendo analogías y diferencia entre ellos.

AT: 1

6. Reconocer su carácter radial y su variación con el inverso del cuadrado de la distancia.

6.1. Calcula el campo eléctrico debido a una carga puntual en un punto a cualquier distancia.

A: 6ER: 2AT: 19

CMCCTCAA

69

3El campo eléctrico

Unidades didácticas Física 2.º Bachillerato

P R O G R A M A C I Ó N D I D Á C T I C A D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje Relación de actividades del LA

Competencias clave

El campo eléctrico desde un punto de vista dinámico❚❚ Intensidad del campo eléctrico❚❚ Representación del campo mediante líneas de fuerza

7. Aplicar el principio de superposición en el caso de dos o más cargas.

7.1. Usa el principio de superposición para el cálculo de campos creados por una distribución de cargas puntuales.

A: 6-8E: 2AT: 15, 18-22

CCLCMCCTCAA

7.2. Analiza cualitativamente la trayectoria de una carga situada en el seno de un campo generado por una distribución de cargas, a partir de la fuerza neta que se ejerce sobre ella.

E: 2ER: 3AT: 17

8. Representar gráficamente las líneas de campo de sistemas de una o dos cargas.

8.1. Representa gráficamente el campo creado por una carga puntual o por sistemas de dos cargas mediante líneas de campo.

A: 9, 10 CMCCTCAA

El campo eléctrico desde un enfoque energético❚❚ Energía potencial asociada a la posición de una carga en un campo eléctrico❚❚ Potencial del campo eléctrico❚❚ Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico❚❚ Relación entre las magnitudes propias del campo (intensidad y potencial)

9. Reconocer el carácter conservativo del campo eléctrico por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial eléctrico.

9.1. Compara las expresiones de la energía potencial eléctrica y gravitatoria estableciendo analogías y diferencias entre ellas.

A: 11, 12AT: 27-30

CMCCTCAA

9.2. Aplica el principio de superposición, para determinar la energía potencial de un sistema de varias cargas.

A: 13, 14

10. Caracterizar el potencial eléctrico en diferentes puntos de un campo generado por una distribución de cargas puntuales y describir el movimiento de una carga en términos de la diferencia de potencial entre dos puntos.

10.1. Calcula el trabajo necesario para transportar una carga entre dos puntos de un campo eléctrico creado por una o más cargas puntuales a partir de la diferencia de potencial.

A: 21AT: 23, 25

CMCCTCAA

10.2. Reconoce superficies equipotenciales en campos debidos a una carga puntual o debido a placas planas cargadas homogéneamente.

A: 20AT: 24, 26, 28

10.3. Calcula ddp en campos uniformes en función de la distancia.

A: 17-24; ER: 4AT: 27, 31-33

Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme❚❚ Movimiento de partículas que inciden en la dirección del campo❚❚ Movimiento de partículas que inciden perpendicularmente al campo

11. Interpretar las variaciones de energía potencial y cinética de una carga en movimiento en el seno de campos electrostáticos.

11.1. Predice el trabajo que se realizará sobre una carga que se mueve en una superficie de energía equipotencial.

A:25, 26E: 3, 4ER: 5AT: 34-36

CMCCTCAACD

11.2. Calcula trayectorias y velocidades de partículas cargadas en el seno de campos eléctricos.

A: 25, 26E: 3, 4; ER: 5AT: 34-36

12. Describir el movimiento de partículas cargadas en el seno de campos eléctricos uniformes en función del ángulo de incidencia y reconocer aplicaciones.

12.1. Describe aplicaciones del uso de campos eléctricos para mover o acelerar partículas, en particular el tubo de rayos catódicos y los aceleradores lineales de partículas.

ER: 5TTE

CCLCMCCTCAACD

Cálculo del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss❚❚ ¿Qué es el flujo del campo eléctrico?❚❚ Teorema de Gauss❚❚ Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss❚❚ Protección frente a campos externos: una consecuencia del teorema de Gauss

13. Asociar las líneas de campo eléctrico con el flujo a través de una superficie cerrada y establecer el teorema de Gauss para determinar el campo eléctrico creado por una esfera cargada.

13.1. Calcula el flujo del campo eléctrico a partir de la carga que lo crea y la superficie que atraviesan las líneas del campo.

A: 27, 28AT: 37-39

CMCCTCAACD

13.2. Determina el campo eléctrico creado por una esfera o una placa plana cargada homogéneamente aplicando el teorema de Gauss.

A: 27, 28AT: 37-39

14. Valorar el teorema de Gauss como método de cálculo de campos electrostáticos en distribuciones simétricas de carga.

14.1. Aplica el teorema de Gauss para el cálculo de campos eléctricos en distribuciones simétricas y homogéneas.

A: 27, 28AT: 37-39

CMCCTCAACD

15. Aplicar el principio de equilibrio electrostático para explicar la ausencia de campo eléctrico en el interior de los conductores y asociarlo a casos concretos de la vida cotidiana.

15.1. Explica el efecto de la Jaula de Faraday utilizando el principio de equilibrio electrostático y lo reconoce en el mal funcionamiento de los móviles en ciertos edificios o el efecto de los rayos eléctricos en aviones y coches.

Recursos CMCCTCAACD

LA: Libro del alumno; A: Actividades; E: Ejercicios resueltos; TTE: Técnicas de trabajo e investigación; ER: Estrategias de resolución; AT: Actividades y tareas

PARA

EL

PRO

FESO

RPA

RA E

L A

LUM

NO

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

Video: Interacción electrostática

Animación: Campo eléctrico

1. Interacción electrostática: origen y descripción

1.1. ¿Qué sabemos de la carga eléctrica?

1.2. Ley de Coulomb

4. El campo eléctrico desde un enfoque energético

4.1. Energía potencial asociada a la posición de una carga en un campo eléctrico

4.2. Potencial del campo eléctrico

4.3. Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico

4.4. Relación entre las magnitudes propias del campo (intensidad y potencial)

2. Campo eléctrico: una forma de explicar la interacción

3. El campo eléctrico desde un punto de vista dinámico

3.1. Intensidad del campo eléctrico

3.2. Representación del campo mediante líneas de fuerza

5. Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme

5.1. Movimiento de partículas que inciden en la dirección del campo

5.2. Movimiento de partículas que inciden perpendicularmente al campo

Presentación

Unidad 3: El campo eléctrico

3 El campo eléctrico

70

BIBLIOGRAFÍA

Alonso, M. y Finn, E. J.Física, Madrid: Fondo Educativo lnteramericano-Aguilar (distribución española), 1977, tomo I, II y III. Clásico de referencia en cualquier tema de física, con tratamientos adecuados y rigurosos.

FEynMAn, R.The Feynman Lectures on Physics. Panamá: Fondo Educativo Interame-ricano, 1971. Es un clásico de la física, en edición bilingüe, con explicaciones muy prolijas.

MAtvEEv, A. n.Electricidad y magnetismo. Moscú: Mir, 1988. Libro idóneo para resolver cualquier duda sobre todo lo relacionado con la electricidad y el magnetismo. Pese a su claridad expositiva, el prolijo tratamiento de los temas motiva que su nivel resulte a veces demasiado elevado para alumnos de 2.º de Bachillerato. Como otros libros de esta editorial, este se caracteriza por su sobriedad ilustrativa.

sEARs , F. W. y ZEMAnsky, M. W.Física. Madrid: Aguilar, 1973. Clásico de referencia obligada.

tiplER, p. A.Física preuniversitaria, tomo I y II. Barcelona: Reverté, 1992. Se trata de una obra muy recomendable para este nivel.


Documento: 1. Benjamin Franklin; 2. El experimento de la gota de aceiteAnimación: Ley de Coulomb

Documento: Campos eléctricos originados por distribuciones continuas de cargaSimulador: Cargas y campo

Simulador: Cargas y campo

Animación: Movimiento de cargas en un campo eléctrico

71


Test de autoevaluación interactivos

Pruebas de evaluación

Documento: La forma espiral de las borrascas.

Pruebas de evaluación

6. Cálculo del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss

6.1. ¿Qué es el flujo del campo eléctrico?

6.2. Teorema de Gauss 6.3. Cálculo de

campos eléctricos a partir del teorema de Gauss

6.4. Protección frente a campos externos: una consecuencia del teorema de Gauss

Técnicas de trabajo e investigación¿Qué es un acelerador lineal de partículas y cómo funciona?

Síntesis de la unidad Estrategias de resolución

Actividades y tareas

Unidad 3: El campo eléctrico

WEBGRAFÍA

https://phet.colorado.edu/sims/charges-and-fields/charges-and-fields_es.html Simulador para trabajar con cargas y visualizar las líneas de campo




SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

EL CAMPO ELÉCTRICOSe ha abordado el estudio del campo eléctrico diferenciando cla-ramente desde un principio las magnitudes propias del campo en un punto (intensidad y potencial) de las que responden al efecto de un campo sobre una carga testigo (fuerza y energía potencial del sistema). Hecha esta primera aclaración, se ha creído conve-niente estudiar el campo eléctrico desde los dos enfoques clási-cos, el dinámico y el energético, es decir, se ha procedido a descri-bir la interacción electrostática en función de las fuerzas entre cargas y, posteriormente, en función de las transformaciones energéticas que tienen lugar. Por último, se introduce el concepto de flujo eléctrico con el fin de explicar el teorema de Gauss como un procedimiento de cálculo de campos eléctricos apropiado para distribuciones de carga de gran simetría.

Vídeo: INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA

Presentación en forma de diapositivas de recorrido de la unidad. El profesor la puede utilizar tanto al principio de la unidad como al final.

PRESENTACIÓN

En el apartado Conocimientos previos es importante comprobar si los alumnos recuerdan lo que se necesita saber. Para ello, es im-portante que resuelvan las actividades propuestas en Comprueba lo que sabes.

1. Interacción electrostática: origen y descripción (páginas 89/91)

En el presente libro, al igual que en el de 1.º de Bachillerato, se pone en conexión el desarrollo de los conceptos de la física con el momento histórico y social en el que aparecen. Se pretende con ello llenar una importante laguna, demasiado extendida en la en-señanza de esta disciplina: el desconocimiento de cuándo y cómo surgen los distintos conceptos y principios físicos.

Dentro de este apartado debe quedar clara la idea de cuantifica-ción de la carga eléctrica y de que esta es una propiedad funda-mental de la materia al igual que lo es la masa. Se vuelve a expo-ner (ya se hizo en el curso anterior) la ley de Coulomb. Es muy importante recalcar las analogías y diferencias entre esta y la ley de Newton. Por lo que respecta a las diferencias, cabe citar que la interacción electrostática puede ser atractiva y repulsiva, que su valor depende del medio en el que están inmersas las cargas y que existe la posibilidad de aislarse de la interacción electrostática (as-pecto que se estudia en el apartado del teorema de Gauss).

1. BENJAMIN FRANKLIN2. EL EXPERIMENTO DE LA GOTA DE ACEITE

DOCUMENTO:

Animación: LEY DE COULOMB

2. Campo eléctrico: una forma de explicar la interacción (página 92)

Se vuelve a incidir en lo que ya se explicó en la Unidad 2: las dife-rencias conceptuales entre la idea de campo y la de acción a dis-tancia:

❚❚ Acción a distancia. En ella, una partícula ejerce acción directa e instantánea sobre otra partícula lejana, sin intervención del medio.

❚❚ Campo. Aquí, una partícula perturba las propiedades del espa-cio circundante; los valores de dichas propiedades en función de la posición definen el campo. Posteriormente, el campo inte-racciona con la partícula lejana. En este caso, pues, la interac-ción no es instantánea y se propaga a una velocidad finita.

Animación: CAMPO ELÉCTRICO

3. El campo eléctrico desde un punto de vista dinámico (páginas 93/96)

Debe trabajarse con problemas que impliquen el uso del principio de superposición para el cálculo del campo eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas.

Documento: CAMPOS ELÉCTRICOS ORIGINADOS POR DISTRIBUCIONES

CONTINUAS DE CARGA

El alumnado puede trabajar con una sola carga (de 1 nC), positi-va o negativa, visualizar las líneas de campo y colocar sensores de campo (cargas testigo) en cualquier punto. La cinta métrica nos permite determinar las distancias. De ese modo, debe calcularse previamente cuál es el valor del campo eléctrico en el punto de la carga testigo a partir de la información del ángulo y la distancia. Posteriormente se recomienda trabajar con sistemas de dos o más cargas y repetir el cálculo del campo eléctrico en un punto a partir de las informaciones de los ángulos que se ofrecen en pan-talla.

Simulador: CARGAS Y CAMPO

4. El campo eléctrico desde un enfoque energético (páginas 97/103)

Es muy importante que se entienda que este enfoque es posible debido al carácter conservativo de la fuerza de Coulomb. De ese modo, es posible asociar una energía potencial a un sistema de cargas. Resulta muy conveniente incidir en el criterio de signos expuesto en el subepígrafe 4.1. La figura 3.15 ayudará a com-prender por qué la energía potencial de un sistema de cargas opuestas aumenta al alejar dichas cargas. Dentro de este epígrafe debe contemplarse especialmente la idea de la diferencia de po-tencial entre dos puntos en el seno de un campo uniforme. En el subepígrafe 4.4, donde se aborda la relación entre las magnitudes propias del gradiente de una función escalar. Ha de recordarse a los alumnos que la idea de derivación parcial y la forma de desa-rrollarla vienen explicadas en la página 13, dentro de la unidad Herramientas matemáticas de la física.

73



Con este simulador se puede trabajar también con potenciales, así como dibujar superficies equipotenciales y verificar que en cualquier punto de una superficie equipotencial el campo es per-pendicular a dicha superficie.

Simulador: CARGAS Y CAMPO

5. Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme (páginas 104/105)

Se recordará, al exponer el subepígrafe 5.2, de qué manera pudo J. J. Thomson determinar la relación carga/masa del electrón. Es importante que el alumnado asimile adecuadamente los conteni-dos de este apartado, porque volverán a aplicarse en la siguiente unidad, al analizar aspectos tales como el selector de velocidades o las diferencias existentes en el movimiento de partículas carga-das en un campo eléctrico y en uno magnético.

Animación: MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO

6. Cálculo del campo eléctrico mediante el teorema de Gauss (páginas 106/109)

Conviene incidir de modo muy especial en todas las consecuen-cias que se derivan de este teorema, particularmente en la distri-bución de la carga en la superficie de un conductor y las implica-ciones que ello conlleva, algunas de las cuales se mencionan en la página 109. Una pregunta que puede planteársele al alumnado es cuánto tiempo tarda un conductor en alcanzar el equilibrio electrostático al verse sometido a un campo externo. Dicho tiem-po, denominado tiempo de relajación, depende del material. Es posible calcularlo multiplicando por la resistividad del material, ρ. En el caso del cobre vale 1,5 ⋅ 10−19 segundos. No es descabellado, pues, decir que el equilibrio se produce de forma instantánea.



Comprueba lo que sabes (página 88)

1. ¿Cuáles son las características de la interacción electros-tática?

La interacción electrostática es la que se ejerce entre cargas en reposo. Puede ser atractiva o repulsiva, si la interacción es entre cargas de distinto signo o del mismo signo, respectiva-mente.

2. ¿Qué similitudes y diferencias existen entre esta inte-racción y la gravitatoria?

Igual que la interacción gravitatoria, la electrostática varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia entre car-gas.

La fuerza que describe tal interacción es central y conservati-va. Pero al contrario que la interacción gravitatoria, el valor de la fuerza electrostática depende del medio.

La interacción gravitatoria solo es atractiva entre dos masas.

3. ¿Qué propiedades tiene la carga eléctrica?

❚❚ La carga eléctrica está cuantificada y su unidad más ele-mental es la carga del electrón.

❚❚ La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso dado en un sistema aislado.

❚❚ La fuerza entre dos cargas varía con el inverso del cua-drado.

4. ¿Por qué razón se habla de dos tipos de carga eléctrica?

Se habla de dos tipos de carga eléctrica (positiva y negativa) porque hay dos clases de electrización (atractiva y repul-siva).

5. ¿Puede una partícula cargada permanecer en reposo en el seno de un campo eléctrico?

Si la carga está sometida a la acción exclusiva de un campo eléctrico, nunca podrá permanecer en reposo.

Actividades (páginas 89/109)

1 Determina la carga correspondiente a 1 mol de electro-nes. Dicha carga se conoce comúnmente como la uni-dad de Faraday.

La carga correspondiente a un mol de electrones (N electro-nes) es:

Q = Ne = 6,022 ⋅ 1023 ⋅ (−1,6 ⋅ 10−19 C) = −96 352 C

2 Determina la carga correspondiente a un mol de los si-guientes iones: ion cloruro, ion sodio, ion hierro(III) e ion carbonato.

La carga de 1 mol de iones cloruro es −96 352 C; la corres-pondiente a un mol de iones sodio vale 196 352 C; la de 1 mol de iones hierro (III), 1 289 056 C (es decir, le correspon-den 3 ⋅ 96 352 C), mientras que la de 1 mol de iones carbo-nato es −192 704 C (2 ⋅ 96 352 C).

3 Dos cargas, Q1 y Q2, de +10 nC se encuentran en los pun-tos (0, 0) y (8, 0) de un sistema de referencia XY medido en metros. Determina la fuerza neta que ambas cargas

ejercen sobre una tercera, Q3, de +5 nC cuando esta se encuentra situada en los puntos:

a) A (4, 0) b) B (4, 4)

La situación descrita se muestra en el siguiente dibujo:

Y

XQ1 A(4, 0) Q2

B(4, 4)

45º

a) El punto A es el punto central del segmento que une Q1 y Q2. Al ser iguales ambas cargas, por simetría se concluye que el campo en dicho punto será nulo.

b) Por otro lado, el punto B pertenece a la mediatriz del seg-mento que une Q1 y Q2. Por simetría se concluye que la componente X de la fuerza neta será nula, pues se com-pensan las fuerzas ejercidas por las dos cargas.

Por su parte, la componente Y de la fuerza ejercida por ambas cargas será la misma, y la resultante será, por tan-to, el doble:

F

13 = 2k Q1Q3

r2 sen 45° j

=

= 18 ⋅ 109 ⋅ 10 ⋅10−9 ⋅5 ⋅10−9

32

2

2 j

= 1,99 ⋅ 10−8 j

N

4 Se aplica un campo de 500 N/C a una disolución de cloru-ro de sodio. Compara las aceleraciones que adquieren los iones cloruro y los iones sodio. Ten en cuenta que la masa atómica relativa del cloro es 35,5, y la del sodio, 23.

Puesto que la fuerza que actúa sobre los iones es la debida al campo, se cumplirá que:

ma = QE fi a =QE

m

Así pues, el valor y el sentido de la aceleración dependen de la relación Q/m y del signo de Q. Si consideramos 1 mol de iones cloruro y sodio, sus masas serán, respectivamente:

mCl− = 0,0355 kg/mol

mNa+ = 0,023 kg/mol

Sus cargas son −96 352 C, en el primero de los casos, y 196 352 C, en el segundo; por tanto:

aCl− = −96352 C

0,0355 kg ⋅ 500 N/C = −1,357 ⋅ 109 m/s2

aNa+ = +96352 C

0,0355 kg ⋅ 500 N/C = 2,094 ⋅ 109 m/s2

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES (páginas 88/108)

75



5 Un electrón y un protón son abandonados en reposo en una región donde el campo eléctrico es E

= 200i

N/C. Determina:

a) La fuerza (en notación vectorial) que actúa sobre cada partícula.

b) La aceleración que adquieren.

c) La distancia que habrán recorrido en 1 μs.

a) La fuerza que actúa sobre cada partícula es:

F

= QF

x

Sustituyendo los valores, en el caso del protón es:

F

p = +3,2 ⋅ 10−17i

N

y en el del electrón:

F

e = −3,2 ⋅ 10−17i

N

b) Las aceleraciones que adquieren estas partículas, dadas por a = F/m, serán:

a

p = +1,91 ⋅ 1010i

m/s2

a

e = −3,5 ⋅ 1013i

m/s2

c) Aplicando la expresión x = 1/2 at2, se obtiene para t = 10−6 s:

xp = 0,009 55 m xe = 17,5 m (en sentido opuesto)

6 Determina el campo eléctrico total en el punto P de la siguiente figura (ver figura 3.11, página 94 del Libro del alumno).

El campo total será:

E

total = E

0 + E

3 + E

6 = 9 ⋅ 109 ⋅

⋅ +20 ⋅10−6

0,092−

3 ⋅10−6

0,062−

5 ⋅10−6

0,032

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟ i

= −3,53 · 107i

N/C

7 Determina el valor y el sentido del campo creado por el dipolo de la aplicación anterior en un punto A que se halla a una distancia x del origen en el semieje X+. Apli-ca la aproximación x >> d.

La siguiente representación gráfica ilustra la situación plan-teada:

�Ed d

x

A�E

Como puede observarse:

E+ = kQ

( x + d )2; E− = k

−Q

( x − d )2

Por tanto, el campo total en el punto A es:

Etotal = kQ1

( x + d )21

( x d )2

kQ4 xd

x= kQ

4d

x34

Como 2dQ = μ, podemos escribir:

Etotal = −k2µx3

8 Una carga de −2 μC se encuentra en el origen, mientras que otra de −6 μC se halla en el punto (0, 2). ¿En qué

punto es nulo el campo eléctrico? ¿Y si las cargas fuesen de distinto signo?

Representemos gráficamente el enunciado:

2 C

2 y

y

Q

Q’6 C

P

Y

X

Como se observa en la figura, el campo será nulo en un pun-to P donde se cumpla que:

kQ

y2= k

Q’

(2− y )2

Es decir:

2

y2=

6

(2− y )2

Resolviendo y, obtenemos que y = 0,73, luego las coordena-das del punto P son (0, 0,73).

Si las cargas fuesen de signos opuestos, el punto P estaría en el semieje negativo de las Y.

En él se cumplirá que:

2

y2=

6

(2 + y )2

Resolviendo y, obtenemos que las coordenadas del punto P son (0, −0,73).

9 ¿Podría una partícula cargada permanecer en reposo en algún punto del campo originado por dos cargas iguales del mismo signo? ¿Y si las cargas iguales fuesen de distinto signo?

Como se desprende de las representaciones gráficas del cam-po, una partícula podría permanecer en reposo justo en el punto medio entre dos cargas iguales del mismo signo, don-de E

total = 0.

Por el contrario, si las cargas son de distinto signo, no hay ningún punto a distancia finita donde el campo sea nulo, por lo que la partícula no puede estar en reposo.

10 ¿Pueden cortarse dos líneas de fuerza del campo eléc-trico? ¿Por qué?

No. Las líneas de fuerza son tangentes en cada punto al vector campo E

, y este vector es único para cada punto del espacio. Si dos líneas de fuerza se cortaran, en el punto de corte habría dos posibles valores del campo, lo cual es imposible.

11 Al acercar dos cargas de distinto signo, ¿aumenta o dis-minuye la energía potencial? ¿Por qué?

La energía potencial asociada a dos cargas de distinto signo es negativa y viene dada por la expresión:

Ep ( r ) = −kQQ’

r



Como se ve, la energía potencial se hace cada vez más nega-tivo cuando las cargas se aproximan, pues la distancia entre ambas se reduce. Por consiguiente, la energía potencial dis-minuye.

12 Tenemos dos cargas de +3 μC y −2 μC inicialmente sepa-radas 30 cm. Calcula el trabajo para acercarlas 15 cm. Explica el significado del signo del trabajo.

El trabajo para acercar dos cargas de distinto signo viene dado por la expresión:

W = −∆Ep = Ep(r = 0,3 m) − Ep(r = 0,15 m)

Calculamos por separado las energías potenciales del siste-ma cuando están separados 30 cm y cuando están separa-dos 15 cm tenemos:

Ep ( r = 0,3 m) = kQQ’

r= 9 109 +3µC 2µC

0,30= 0,18J

Ep ( r = 0,15 m) = kQQ’

r= 9 109 +3µC 2µC

0,15= 0,36J

W = −∆Ep = −0,18J − (−0,36J) = 0,18J

El signo del trabajo que nos ha dado el resultado es positivo y esto explica que es el campo el que realiza el trabajo a cos-ta de su energía potencial almacenada debido al carácter atractivo de la interacción.

13 ¿Podría ser cero la energía potencial de un sistema de partículas que se encontraran a distancias finitas?

Dado que el signo de la energía potencial electrostática de-pende del signo de las cargas, sí podría ser cero la energía potencial total del sistema. Este sería el caso, por ejemplo, de una disposición de cargas +Q, −xQ, +yQ situadas en los vér-tices de un triángulo equilátero, siempre que se cumpla que:

y =x

1− x

Es decir, la energía potencial de un sistema de cargas +Q, −0,5 ⋅ Q, +Q, o bien +Q, −3 ⋅ Q, − 1,5 ⋅ Q, dispuestas en los vértices de un triángulo equilátero sería nula.

14 ¿Cuánto vale la energía potencial del sistema de la figu-ra 3.17? Razona el significado físico que se deriva del signo del resultado.

La Ep del sistema será:

Ep = kQ1Q2

r12

+Q1Q3

r13

−Q1Q4

r14

−Q2Q3

r23

+Q2Q4

r24

−Q3Q4

r34

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

Resumiendo, obtenemos:

Ep = k −4

1+

2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ 4 ⋅10−12 = −0,093 J

Al ser negativo el signo, es el campo eléctrico el que realiza el trabajo.

15 Que el potencial en un punto es cero, ¿significa que no existen cargas en las proximidades de dicho punto?

Como consecuencia del principio de superposición, el poten-cial en un punto puede ser cero si es debido a dos cargas de distinto signo. Por tanto, no hay necesariamente ausencia de cargas.

16 Una carga puntual de −5 ⋅ 10−6 C está localizada en el punto de coordenadas (x = 4 m, y = −2 m), mientras que

una segunda partícula de 12 ⋅ 10−6 C se encuentra en el punto (x = 1 m, y = 2 m). Calcula el potencial en el punto (x = −1 m, y = 0), así como la magnitud y dirección del campo eléctrico en dicho punto.

Representamos el enunciado gráficamente:

5 C

�E1

P

�E2

r1

r2

Q1

Q2 12 C=

=

Y

X

Como puede observarse:

r1 = 22 + 52 = 29 m

r2 = 22 + 22 = 8 m

Por tanto, el potencial total en el punto P será:

V = V1 + V2 =

= 9 ⋅109 ⋅−5 ⋅10−6

29+

12 ⋅10−6

8

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 29 827,5 V

El valor del campo en el punto P debido a Q1 es:

E1 = kQ1

r12= 1551,7 N/C

Su dirección, como se desprende de la figura, es de −21,8° bajo el eje X. Así pues:

E

1 = E1x i

+ E1y j

= 1 440,7i

− 576,2j

N/C

El valor de E2 en el punto P es:

E2 = kQ2

r22

= 13 500 N/C

y su dirección es de 225° con el semieje OX; por lo que:

E

2 = −9 546i

− 9 546j

N/C

De este modo, el campo total será:

E

total = E

1 + E

2 = −8 105,3i

− 10 122,2j

N/C

donde tg θ = Ey/Ex y forma, pues, un ángulo de 231,3° con respecto a OX1.

17 Utiliza la expresión 3.14 para deducir las ecuaciones del potencial en los puntos A y B si el campo es originado por una carga puntual positiva.

Si partimos de la expresión 3.14, obtenemos lo siguiente:

VB −VA = −A

B

∫ E

⋅ dr

= − kQ

r2A

B

∫ dr =

= −kQ −1

r

⎡

⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥A

B

= kQ

rB− k

Q

rAPor tanto:

VB = kQ

rB y VA = k

Q

rA

77



18 Tres puntos (A, B y C) están situados en la misma recta y tienen un potencial de 10, 20 y 30 V, respectivamente. Si dejamos en libertad un electrón en el punto B, ¿a dónde se desplazará, hacia el punto A o hacia el C? ¿Por qué?

El electrón se acelerará hacia el punto de mayor potencial, pues:

W = ΔEc = −e (V1 − V2)

Así, V1 debe estar a menor potencial que el punto 2, hacia donde se dirige. Por consiguiente, se moverá hacia C.

Se llega a la misma conclusión si estudiamos la energía po-tencial. Al tener el electrón una carga negativa, la energía potencial en los tres puntos (A, B y C) será también negati-va. Siempre que se suelta una partícula en el seno de un campo, dicha partícula tiende a desplazarse por efecto del campo en la dirección en que disminuye la energía poten-cial. En este caso, la energía potencial disminuye si la partí-cula se aproxima a C, luego esa será la dirección que tome el electrón.

19 Dos cargas testigo (+Q’ y −Q’) son lanzadas desde un punto A con velocidad v0i

en el seno de un campo eléc-trico Ei

. Expón lo que ocurrirá con su energía cinética a medida que se mueven en el campo.

El trabajo que realiza el campo para desplazar las dos cargas una distancia d es:

W = ΔEc = Q´Ed

Por tanto, si la carga es negativa, su energía cinética dismi-nuirá, mientras que aumentará si es positiva.

20 ¿Cómo son las superficies equipotenciales en el campo eléctrico entre dos placas planas paralelas de signo opuesto?

Las superficies equipotenciales son planas y paralelas a las placas, pues todos los puntos situados a una misma distan-cia, d, de las placas se encuentran al mismo potencial.

21 Una carga puntual Q cuyo valor es 10 μC se encuentra situada en el punto (1), de coordenadas (x1 = 0, y1 = 0), en el seno de un campo eléctrico uniforme de valor 500 V/m. Esta carga ha sido desplazada, a velocidad constante, desde el punto (1) al punto (2), de coorde-nadas (x2 = 4 cm, y2 = 2 cm), y desde aquí al punto (3), de coordenadas (x3 = 6 cm, y3 = −1 cm), como se ilus-tra en la figura 3.21. Calcula el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los dos desplaza-mientos.

Puesto que el campo tiene la dirección del eje X, no realiza trabajo en los desplazamientos en la dirección del eje Y. Por tanto:

W12 = QE (x2 − x1) = 0,02 J

W23 = QE (x3 − x2) = 0,01 J

de donde:

Wtotal = 0,03 J

22 Deduce la expresión del campo eléctrico originado por una carga puntual a partir de la expresión de su poten-cial en un punto y comprueba que el resultado coincide con el obtenido en el epígrafe 3.1.

Si consideramos un punto del eje X y la carga situada en el origen:

V = kQ

x

Por tanto:

E

= −dV

dx i

= kQ

x2 i

Esta expresión puede extenderse a cualquier dirección del espacio, pues la elección del eje X es arbitraria. De aquí se concluye que la fórmula vectorial del campo es de carácter radial, con lo que se llega a la expresión 3.18.

23 Si el potencial en cierta región es constante, ¿qué pode-mos decir del campo eléctrico en esa región?

El campo eléctrico en una región donde el potencial es cons-tante, es nulo, pues la derivada de una constante es cero y E

= −∇

V.

24 El potencial a lo largo del eje X varía según la expresión V(x) = x2 + 2x − 8 V.

a) Representa la gráfica del potencial.

b) Deduce la expresión del campo eléctrico en cual-quier punto.

c) Calcula y representa el vector E

en los puntos (−4, 0) y (0, 0).

a) Dando valores a x, obtenemos los de V:

x/m −4 −3 −2 −1 0 1 2

V/V 0 −5 −8 −9 −8 −5 0

Luego la representación gráfica es:

x/m

−4

−5

−9

V/V

b) Puesto que V solo depende de x:

E

= − dV

dx i

= −(2x + 2) i

N/C

c) El valor del campo en los puntos (−4, 0) y (0, 0) es, respe-civamente:

E

(−4, 0) = 6i

N/C

E

(0, 0) = −2i

N/C



Como se ve, se trata de sendos vectores en la dirección del eje X, positiva en el primer caso y negativa en el se-gundo. Esto se debe a que el campo eléctrico es positivo cuando el potencial decrece y negativo cuando crece, como se deduce de la expresión matemática que relacio-na ambas magnitudes.

25 Un protón es abandonado en reposo en una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 400 V/m. ¿Cuál será su velocidad después de recorrer 30 cm?

La aceleración que experimentará el protón es a = QE/m. Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acele-rado, podemos aplicar la expresión que relaciona velocidad con espacio recorrido:

v2 = v20 + 2as

En nuestro caso, la velocidad inicial es nula. Sustituyendo el valor de la aceleración, tenemos:

v2 = 2QE

ms ⇒ v = 2

QE

ms

Sustituyendo los datos del enunciado, se obtiene que v = = 1,52 ⋅ 105 m/s.

26 Un electrón se proyecta en el interior de un campo eléctrico uniforme E

= −2 000 j

N/C con una velocidad v

0 = 106 i

m/s.

a) Compara la fuerza gravitatoria que existe sobre el electrón con la fuerza eléctrica ejercida sobre él.

b) Determina la desviación que sufre el electrón des-pués de haber recorrido 5 cm en la dirección X, indi-cando la dirección y el sentido de dicha desviación.

Datos: masa del electrón = 9,1 ⋅ 10−31 kg; e = 1,6 ⋅ 10−19 C

a) El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta el elec-trón es Feléctrica = QE, mientras que el módulo de la fuerza gravitatoria es Fgravitatoria = mg. Veamos el valor de cada una de ellas:

Feléctrica = 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 2 000 = 3,2 ⋅ 10−16 N

Fgravitatoria = 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 9,8 = 8,9 ⋅ 10−30 N

Como se ve, el valor de la fuerza gravitatoria es desprecia-ble frente al de la fuerza eléctrica.

b) Al entrar en el campo eléctrico, el electrón sufre una des-viación parabólica tal como se observa en la figura 3.24. La componente X de la velocidad se mantiene constante e igual al valor inicial, mientras que en la dirección Y el elec-trón se ve impulsado por una fuerza vertical y hacia arriba:

F

= QE

= −1,6 ⋅ 10−19 ⋅ (−2 000 j

) = 3,2 ⋅ 10−16 j

N

Puesto que la velocidad horizontal es constante, podemos determinar el tiempo que tarda el electrón en recorrer los 5 cm:

t = x/v0 = 0,05/106 = 5 ⋅ 10−8 s

En este tiempo, el electrón se ha desviado una distancia y que viene dada por la conocida expresión de movimiento uniformemente acelerado:

y =1

2at2

La aceleración que experimenta dicho electrón es a = Feléctrica/m = 3,52 ⋅ 1014 m/s2. Sustituyendo en la ecua-ción anterior, resulta:

y = y =1

2at2 ⋅ 3,52 ⋅ 1014 ⋅ (5 ⋅ 10−8)2 = 0,44 m = 44 cm

27 Un hilo conductor rectilíneo y muy largo tiene una den-sidad lineal de carga uniforme λ. Determina el valor del campo eléctrico que origina en un punto P (alejado de los extremos) que se encuentra a una distancia r del hilo. (Sugerencia: considera como superficie gaussiana un cilindro de radio r y altura L cuyo eje principal sea el hilo conductor.)

Para aplicar el teorema de Gauss, debemos construir una su-perficie imaginaria, que en este caso, por simetría, se trata de un cilindro:

λ

E�

LdS

�

r

Por simetría, sabemos que el campo eléctrico debe tener di-rección radial perpendicular al hilo conductor.

El flujo del campo a través de la superficie cerrada del dibujo será la suma del flujo a través de la superficie lateral más el flujo a través de la «tapa» y el «fondo»:

Φ = Φlateral + Φtapa y fondo

El flujo a través de la tapa y el fondo es nulo, pues el vector superficie en esas caras es perpendicular al campo, con lo que su producto vectorial es nulo; es decir:

Φ = E∫ E

⋅ dS

= E∫ tapa/fondoE

⋅ dS

+ E∫ lateralE

⋅ dS

= E∫ lateralE

⋅ dS

En la cara lateral cilíndrica, el vector campo es paralelo al vector dS

en todo punto.

Además, el campo es idéntico en todos los puntos de dicha cara, pues todos están a la misma distancia del hilo.

Teniendo esto en cuenta, podemos simplificar la expresión del flujo:

Φ = E E∫ dS

= E ⋅ Slateral = E ⋅ 2πrL

Por el teorema de Gauss sabemos que el flujo eléctrico es el cociente entre la carga encerrada en el cilindro y la constante εo. La carga encerrada es el producto de la densidad lineal de carga por la longitud del cilindro, L, luego:

Φ =λLεo

= 2πrLE ⇒ E =λ

2πεo r

28 Si se coloca de forma vertical una superficie plana car-gada uniformemente y se cuelga de ella, mediante un hilo de seda de masa despreciable, una esfera de 2 g con una carga de 4 nC, observamos que el ángulo que forma el hilo es de 35°. ¿Cuál es la densidad superficial de carga de dicha superficie?

La representación gráfica de esta cuestión es la siguiente:

79



�mg

�Ty

�Tx

35°

�Fe

�T

Como se observa en la figura:

T sen 35° = Q’E

T cos 35° = mg

de donde:

tg 35º =Q’E

mg

Como, a su vez, el campo eléctrico uniforme debido a una superficie plana cargada uniformemente es:

E =σ

2εo

entonces:

tg 35º =Q’

2 omg

Despejando σ, obtenemos:

=2 omg tg 35º

Q’

y sustituyendo los datos:

σ = 6 ⋅ 10−5 C/m2

¿Qué es un acelerador lineal de partículas y cómo funciona?

Análisis1 Se diseña un LINAC para acelerar iones Pb2+ que opera

a una frecuencia de 5 MHz y un voltaje de 1 MV. Tenien-do en cuenta los valores de masa y carga del ion, calcula la velocidad de los iones en el décimo tubo de deriva, así como la longitud que debe tener este.

A partir de la expresión v =2nQΔV

m, donde n = 10,

Q = 3,2 ⋅ 10−19 C, ΔV = 106 V y en la que la masa de los iones

de Pb = 3,44 ⋅ 10−25 kg, sustituyendo los valores se obtiene que:

v10 = 4,3 ⋅ 106 m/s

En cuanto a la longitud que debe tener el décimo tubo, esta viene dada por la expresión:

L = v ⋅T

2=

1

2⋅v

f= 0,43 m

Propuesta de investigación2 Busca información y haz una presentación acerca del

acelerador lineal de Stanford (USA) o SLAC.

Respuesta libRe.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES TÉCNICAS DE TRABAJO E INVESTIGACIÓN (página 110)

Guía de repaso1 Indica las analogías y las diferencias existentes entre el

campo eléctrico y el campo gravitatorio.

Analogías:

❚❚ Ambos campos son conservativos.

❚❚ Las dos interacciones varían conforme al inverso del cua-drado de la distancia.

❚❚ En ambos casos puede definirse el potencial en un punto.

❚❚ Las expresiones de la intensidad y el potencial, del mismo modo que la relación entre ambas magnitudes, son similares.

❚❚ En los dos casos puede asociarse una energía potencial al sistema de masas o cargas en función de sus posiciones.

Diferencias:

❚❚ La interacción gravitatoria es siempre atractiva, mientras que la electrostática puede ser atractiva o repulsiva.

❚❚ La constante de gravitación, G, es universal y no depende del medio; por el contrario, la constante k de la ley de Cou-lomb y, en consecuencia, la intensidad de la interacción, dependen del medio.

❚❚ Considerando como valor cero de energía potencial el co-rrespondiente a una distancia infinita, la energía potencial gravitatoria es siempre negativa, mientras que la energía potencial electrostática puede ser negativa (cargas de sig-no opuesto) o positiva (cargas de igual signo).

SOLUCIONES DE ACTIVIDADES Y TAREAS (páginas 114/115)



2 ¿Cuáles son las propiedades de las cargas eléctricas?❚❚ La carga eléctrica está cuantizada y su unidad más elemen-tal es la carga del electrón.❚❚ Existen dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa.❚❚ La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado.

3 Señala analogías y diferencias entre la ley de Coulomb y la de gravitación de Newton.La expresión de ambas es similar: la fuerza eléctrica y la gra-vitatoria dependen del inverso del cuadrado de la distancia y son directamente proporcionales al producto de la corres-pondiente propiedad de la materia (cargas o masas). La fuer-za electrostática puede ser atractiva o repulsiva, y su valor depende del medio, mientras que la gravitatoria es atractiva e independiente del medio.

4 Define las magnitudes propias del campo y las magnitu-des que se refieren a la interacción campo-carga testigo.Las magnitudes propias del campo son la intensidad (subepí-grafe 3.1) y el potencial (subepígrafe 4.2), y las referidas a la interacción campo-carga testigo, la fuerza (subepígrafe 1.2) y la energía potencial del sistema (subepígrafe 4.1).

5 ¿Qué signo tiene la energía potencial electrostática en el caso de dos cargas de distinto signo? ¿Y tratándose de cargas del mismo signo? ¿Qué significa este signo?Signo negativo en el caso de cargas opuestas y positivo si se trata de cargas iguales. En el primer caso, nos indica el carác-ter atractivo de la interacción y disminuye su energía poten-cial con el acercamiento de las cargas. En el segundo caso, nos indica el carácter repulsivo de la interacción y aumenta con el acercamiento.

6 ¿Qué representa la energía potencial de un sistema de varias cargas? Cita un ejemplo.Para la primera pregunta véase el subepígrafe 4.1. La energía reticular de un compuesto iónico es un caso de interés relati-vo a este punto.

7 ¿Qué significado físico tiene la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico?Equivale al trabajo que debe realizarse contra el campo para desplazar la unidad de carga testigo desde un punto a otro.

8 ¿Qué dos formas de representación gráfica del campo eléctrico existen? ¿Qué reglas se siguen en ambos casos?El campo eléctrico se representa mediante líneas de fuerza y superficies equipotenciales, cuyas reglas pue den consultarse en los subepígrafes 3.2 y 4.3.

9 ¿Qué ocurre si una carga se mueve a lo largo de una superficie equipotencial?El campo eléctrico no realiza trabajo alguno sobre ella (véase el subepígrafe 4.3).

10 ¿Cómo puede obtenerse el valor del potencial en fun-ción de la intensidad?Mediante la expresión:

VB − VA = −Eddonde d es la distancia entre el punto A y el punto B medida en la dirección del campo.

11 ¿Cómo hallar la intensidad en un punto si se conoce el modo en que varía el potencial?Mediante la expresión:

E

= −gr

ad V

12 Las partículas cargadas se mueven de modo espontáneo en un campo eléctrico, ¿cómo lo hacen: en el sentido de aumentar o en el de disminuir su energía potencial?

Puesto que es el campo eléctrico el que realiza el trabajo, el sentido será siempre el de disminuir la energía potencial del sistema. El trabajo realizado por el campo es positivo e igual a la disminución de energía potencial.

13 ¿Qué es el flujo del campo eléctrico?

El flujo del campo eléctrico es una medida del número de lí-neas de fuerza que atraviesan una superficie dada. Se expre-sa matemáticamente para cualquier superficie con la expre-sión 3.20 del Libro del alumno.

14 Enuncia el teorema de Gauss y sus principales aplica-ciones.

El teorema de Gauss afirma que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga neta contenida dividida por εo. Una de las aplicaciones más importantes es la de protegernos frente a cargas externas.

Campo eléctrico desde un enfoque dinámico15 Dos partículas cargadas con +2 ⋅ Q y −Q culombios, res-

pectivamente, están separadas entre sí una distancia d. Determina un punto del espacio en el que el campo eléctrico sea nulo. Justifica la respuesta.

En dicho punto habrá de cumplirse que los valores de la in-tensidad debidos a una y otra carga sean iguales y de signo contrario.

2 Q�E

Qd x

P

�E

Así pues, si denominamos x a la distancia existente desde la carga a −Q al punto P, en el que el campo es nulo, tendremos:

k2Q

(d + x )2= k

Q

x2

Resolviendo x, obtenemos:

x = 1± 2( )d

El punto P representado en la figura corresponde al valor:

x = 1+ 2( )d = 2,41⋅d

El signo negativo indica un punto entre ambas cargas donde el módulo de los dos campos es igual, aunque no se cance-lan, al tener el mismo sentido.

16 Deduce los signos de las cargas y la relación Q/Q’.

Q Q'

81



La carga Q es positiva, pues las líneas son salientes, mientras que Q’ es negativa, al ser entrantes. Puesto que de Q salen 12 líneas y a Q’ van a parar 3, la primera carga es cuatro ve-ces mayor que la segunda, es decir: Q = 4 ⋅ Q’.

17 ¿Qué movimiento describirá una partícula cargada ne-gativamente que es abandonada en un punto P distan-te del eje de simetría de un anillo cargado de modo uniforme con carga positiva? Razona y demuestra tu respuesta.

Como puede verse en el problema resuelto número 3 (pági-nas 112 y 113), el campo resultante en cualquier punto del eje del anillo (salvo en su centro) es saliente y está dirigido en el sentido del eje. Dado que la fuerza que actuará sobre la carga negativa es F

= −QE u

e (donde u

e es el vector unitario en la dirección del eje y tiene sentido saliente), la partícula se acelerará hacia el centro del anillo.

Si bien no hemos hecho el estudio matemático de la función campo obtenida en la página 113, puede demostrarse que dicha función presenta un máximo para cierta distancia al centro del anillo. Para valores menores de x, el campo dismi-nuye, hasta llegar a 0 cuando x = 0. Rebasado este punto, el campo y, en consecuencia, la fuerza, invierten su sentido, si bien sus valores son idénticos en valor absoluto a los de los puntos situados a la derecha del anillo.

Así pues, la partícula efectuará un movimiento oscilatorio sobre la posición de equilibrio (centro del anillo) a lo largo del eje.

18 Si cuatro cargas están situadas como se muestra en la figura, entonces el campo resultante es cero en:

a) Todos los puntos medios de los cuatro lados.

b) El centro del cuadrado.

c) Los puntos medios de los lados superior en inferior.

d) Todos los casos anteriores.

e) Ninguno de los casos anteriores.

a) No es cierto. Como se ve en el siguiente dibujo, en los puntos medios de los lados el campo no es nulo, pues no se anula en ningún caso: en el punto medio de los lados verticales se anula el campo producido por las cargas más cercanas, pero no el producido por las más lejanas; por su parte, en el punto medio de los lados horizontales, solo se anula la componente vertical del campo generado por las cargas más lejanas, pero el campo resultante no es nulo.

E 1

�

E 4

�

E 3

�

E 2

�

E 3

�

E 2

�

E4

�

E1

�

E 3

�

E 2

�

E 4

�

E 1

�

E 2

�

E 4

�

E 1

�

E 3

�

1 2

4 3

En los cuatro puntos, la resultante del campo tendrá por tanto dirección horizontal y estará dirigido hacia la de-recha.

b) No es cierto. Como se ve en la siguiente figura, el campo generado por las cargas positivas se suma al producido por las cargas negativas. El campo resultante también será horizontal y estará dirigido hacia la derecha.

E 3

�

E 4

� E 2

�

E 1

�

1 2

4 3

c) Esta opción tampoco es cierta, como hemos visto en a).

d) Tal como hemos visto, no es cierto.

e) Esta es la única opción correcta.

19 ¿Qué le ocurre a una partícula con carga negativa si es abandonada en el punto B de la figura? ¿Y si es aban-donada en el punto A?

De modo análogo a lo que ocurría en la cuestión anterior, el campo resultante en B tiene la dirección positiva del eje Y, es decir, E

= Ej

. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la carga negativa será F

= −QEj

, de modo que se moverá a lo largo del eje Y hacia A. La función campo a lo largo del eje Y es similar a la obtenida en la actividad resuelta 3 (página 113). Es decir, el campo tiene un máximo para cierto valor de y, y para distancias menores comienza a decrecer hasta hacerse nulo cuando y = 0. Rebasado este punto (semieje negati-vo Y), los valores del campo se invierten.

Así pues, al igual que en el caso anterior, si la carga es aban-donada en B, experimentará un movimiento oscilatorio a lo largo del eje Y, alrededor de la posición de equilibrio A. Si la carga se abandona en A, permanecería en reposo, al ser nulo el campo en dicho punto.

20 Sobre una carga de −2 μC situada en el origen actúa una fuerza de 0,002j

N. Calcula:

a) El campo eléctrico en dicho origen.

b) La fuerza que actuaría sobre una carga de +10 μC.

a) Puesto que el campo eléctrico en un punto se define como la fuerza por unidad de carga situada en dicho pun-to, su valor es:

E

= F

Q

= −1 000j

N/C

b) La fuerza que actuaría sobre una carga de +10 μC situada en dicho punto sería:

F

= QE

= −0,01j

N



21 Una bolita de corcho de 2 g de masa pende de un hilo ligero que se halla en el seno de un campo eléctrico uniforme E

= (4i

+ 3j

) ⋅ 105 N/C. El ángulo que forma el hilo con la vertical es de 30°. Halla:

a) La carga de la bolita.

b) La tensión del hilo.

Representamos el enunciado gráficamente:

�mg

30°

30°

�Ty�T

�Tx�Fx

�Ex= Q

�Fy�Ey= Q �F �E= Q

a) La condición de equilibrio estático de la bola exige que las fuerzas que sobre ella actúan se anulen.

Esto requiere que:

❚❚ Eje X:

Tx = QEx

❚❚ Eje Y:

Ty + QEy = mg

Es decir:

T sen 30° = QEx

T cos 30° + QEy = mg

Resolviendo Q, se obtiene:

Q =mg tg 30º

Ex + Ey tg 30º

y sustituyendo los datos, se llega a:

Q = 1,97 ⋅ 10−8 C

b) Conocido el valor de Q, podemos obtener la tensión del hilo a partir de:

T sen 30° = QEx

Despejando T:

T =QEx

sen 30º

Se obtiene:

T = 0,016 N

22 Dos esferas de 5 g están suspendidas de sendos hilos de 20 cm de longitud. Si las esferas tienen cargas de +3 ⋅ 10−8 C y −3 ⋅ 10−8 C, respectivamente, y se hallan en el seno de un campo eléctrico uniforme en la dirección del semieje X+, determina la intensidad del campo eléctrico cuando el sistema queda en equilibrio y los hilos forman un án-gulo de 15° con la vertical.

La representación gráfica de la cuestión planteada es:

�mg

�Ty

�Tx �EQ

l

15°

15°

�E

d

�T

�Fe

Como puede observarse en la figura, donde se han dibujado las fuerzas que actúan sobre la carga positiva, la situación de equilibrio requiere que:

❚❚ Eje X:

T sen 15º + kQQ’

d2= QE

❚❚ Eje Y:

T cos 15° = mg

Resolviendo el sistema, se obtiene:

E =mg tg 15º + k

QQ’

d2

Q= 462 817 N/C

donde:

d = 2l sen 15° = 0,103 m

Campo eléctrico desde un enfoque energético23 En los puntos (−2, 0) y (2, 0) de un sistema cartesiano

cuyas dimensiones están en metros existen dos cargas fijas de −2 μC y +2 μC respectivamente. Calcula:

a) La fuerza ejercida por estas dos cargas sobre una ter-cera de −3 μC situada en el punto (0,4).

b) El trabajo realizado para trasladar dicha carga desde el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4).

a) La siguiente figura ilustra la cuestión planteada:

83



�F13

Q = 3 C �Ftotal

�F23d

3

Q = 2 C1 Q = 2 C2

Y

X

Por simetría, podemos concluir que la componente Y de la fuerza ejercida sobre Q en A será nula, mientras que la componente X será la suma de las dos componentes ge-neradas por las dos cargas inferiores, que son idénticas.

Es decir:

Fx total = 2 Fx = 2kQ1Q3

d2

Como se puede observar, la distancia de Q1 y Q2 a Q3 puede expresarse mediante la expresión:

d = x2 + y2 = 20 m

Por tanto:

Fx total = 2 ⋅9 ⋅109 2 ⋅10−6 ⋅3 ⋅10−6

20cosθ

Puesto que cos θ = 2/d, podemos calcular Fx total:

Fx total =54 ⋅10−3

10

2

20= 2,41⋅10−3 N

b) El trabajo que piden será:

WA→B = Ep (A) − Ep (B)

Ahora bien, por simetría resulta que la energía potencial en A debida a Q1 es idéntica y de sentido contrario a la debida a Q2. Por tanto:

WA→B = −Ep (B)

La energía potencial en B será la debida a la carga Q1 más la debida a Q2:

WA→B = −kQQ1

d1

+Q2

d2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟=

= −9 ⋅109 ⋅ (−3 ⋅10−6 ) ⋅−2 ⋅10−6

52+

2 ⋅10−6

20

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

WA→B = 27 ⋅103 ⋅2 ⋅10−6 ⋅−1

52+

1

20

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 4,59 ⋅10−3 J

Como se ve este trabajo es positivo. Es fácil llegar cualita-tivamente a esta conclusión, pues, por simetría, la energía potencial debida a Q2 es idéntica en A y en B, luego el trabajo vendrá determinado por la carga Q1. Al tener Q1 y Q2 el mismo signo, las cargas se repelen, luego el campo realiza un trabajo positivo al alejar ambas cargas.

24 Ilustra mediante una gráfica cómo varía el potencial eléctrico creado por una carga puntual Q positiva si nos alejamos de ella. ¿Y si la carga es negativa?

En el caso de la carga positiva, el potencial disminuye confor-me a 1/r a medida que nos alejamos, hasta hacerse cero en el infinito, mientras que, en el caso de la carga negativa, au-menta desde valores negativos conforme a 1/r, hasta hacerse también cero en el infinito.

V

rcarga positiva

V

r

carga negativa

25 Una carga puntual Q crea un campo electrostático. Al trasladar una carga testigo q desde un punto A hasta el infinito, se realiza un trabajo de 10 J. Si se traslada des-de el infinito hasta otro punto B, el trabajo resulta ser de −20 J.

a) ¿Qué trabajo se realiza cuando la carga se traslada desde el punto B hasta A? ¿En qué propiedad del campo electrostático se basa tu respuesta?

b) Si q = −2 C, ¿cuánto vale el potencial en los puntos A y B? Si el punto B es el más próximo a la carga Q, ¿cuál es el signo de Q? ¿Por qué?

a) La disposición de cargas descrita en el enunciado es:

Q q

B

q

A

∞

∞

W 10 J

W 20 J

¿W ?

Siguiendo el criterio de signos visto en la unidad, el trabajo realizado por el campo para trasladar una carga desde cierto punto hasta el infinito es W = Ep (r), mientras que si se traslada la carga desde el infinito hasta dicho punto, el trabajo es W = −Ep (r). Por tanto, conocemos la energía potencial en los puntos A y B:

Ep (A) = 10 J; Ep (B) = 20 J

De donde se puede concluir que ambas cargas tienen el mismo signo. Si ahora queremos trasladar la carga q des-de B hasta A, el trabajo realizado por el campo será:

WB→A = Ep (B) − Ep (A) = 10 J



Para llegar a este resultado, nos hemos basado en el he-cho de que el campo eléctrico es conservativo, con lo que el trabajo no depende de la trayectoria, sino solo de los puntos inicial y final.

b) Puesto que q es negativa, Q también lo será, pues, según hemos visto, ambas cargas han de tener el mismo signo. Conocemos la relación entre el potencial y la energía po-tencial:

Ep = qV ⇒ VA =10

−2= −5 V

VB =20

−2= −10 V

26 ¿Hacia dónde tienden a moverse los electrones: hacia regiones de mayor o de menor potencial?

Los electrones tienden a moverse espontáneamente desde pun-tos de menor potencial hacia puntos de mayor potencial, pues:

ΔEc = Q (V1 − V2) = −e (V1 − V2)

Por tanto, para que el electrón se acelere de modo espontá-neo (para que aumente su energía cinética), el resultado de la diferencia del paréntesis ha de ser negativo, es decir, V1 < V2. Así pues, se moverá de manera espontánea hacia puntos de mayor potencial (acercándose hacia una carga positiva, por ejemplo).

27 Un campo eléctrico uniforme de valor 200 N/C tiene la dirección del eje X. Si se deja en libertad una carga de +2 μC que se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas:

a) ¿Cuál será la variación de energía potencial cuando la carga se encuentre en el punto (4, 0)?

b) ¿Cuál será su energía cinética en ese punto?

c) ¿Y la diferencia de potencial entre el origen y el pun-to (4, 0)?

a) Como se desprende de la expresión 3.16:

Ep B − Ep A = −QEd = −0,0016 J = −1,6 ⋅ 10−3 J

donde B es (4, 0) y A es (0, 0).

b) Por un lado, sabemos que:

W = −ΔEp = 1,6 ⋅ 10−3 J

Además, se cumple que:

W = ΔEc = 1,6 ⋅ 10−3 J

Dado que la energía cinética inicial en A es cero, entonces:

Ec B = 0,0016 J = 1,6 ⋅ 10−3 J

c) La diferencia de potencial entre A y B será:

VA − VB = Ed = 800 V

28 ¿Pueden cortarse las superficies equipotenciales?

No pueden cortarse, pues, según las normas de trazado de las superficies equipotenciales, estas son perpendiculares al vector E

en cada punto. Dado que en un punto solo puede haber un valor del campo, tal y como se desprende del prin-cipio de superposición, no pueden existir dos superficies equipotenciales que se corten, ya que esto supondría la exis-tencia de dos vectores E

distintos en un mismo punto.

29 El potencial en el interior de una corteza esférica carga-da es constante. ¿Cómo es el campo eléctrico en el inte-rior de la corteza?

Puesto que E

= −∇

V, si el potencial es constante, el campo en el interior de la corteza es nulo, lo que es congruente con el teorema de Gauss.

30 En una región del espacio, el campo eléctrico es nulo. ¿Será también nulo el potencial eléctrico? ¿Por qué?

El potencial será constante en dicha región, como se des-prende de la expresión 3.14.

31 Dos esferas conductoras tienen por radios 90 cm y 45 cm, respectivamente, y se hallan cargadas de modo que sus superficies están a un potencial respecto del infinito de V1 = 10 V y V2 = 20 V. Si se encuentran en una zona del espacio vacío y entre sus centros existe una separación de 10 m, calcula:

a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas.

b) El campo eléctrico en el punto medio de la recta que une sus centros.

c) La carga que quedará en cada esfera si ambas se unen con un cable conductor de capacidad despreciable.

Para puntos exteriores a las esferas, el potencial es:

V = kQ

r

Podemos hallar la carga de cada esfera aplicando dicha ex-presión cuando r = r1 y cuando r = r2:

Q1 =V1r1k

= 10−9 C

Q2 =V2r2k

= 10−9 C

Para las preguntas a) y b), se puede suponer que la carga está concentrada puntualmente en el centro de cada esfera:

a) Según esto, la fuerza existente entre ambas esferas (repul-siva, pues las cargas son positivas) será:

F = kQ1Q2

r2= 9 ⋅10−11 N

b) Puesto que las cargas son iguales, el campo en el punto medio es nulo.

c) Si las dos cargas se unen por un conductor, sus potencia-les se igualarán; de modo que:

kQ’1r1

= kQ’2r2

⇒Q’1r1

=Q’2r2

Por otra parte, si el conductor tiene una capacidad des-preciable, la suma de las cargas (Q’1 + Q’2) ha de ser igual a la carga total inicial (Q1 + Q2) por el principio de conserva-ción de la carga; de modo que:

Q’1 + Q’2 = 2 ⋅ 10−9 C

de donde:

Q’1 = 2 ⋅ 10−9 − Q’2 Sustituyendo este valor en la expresión anterior y resol-

viendo, obtenemos:

Q’1 = 1,33 ⋅ 10−9 C y Q’2 = 0,66 ⋅ 10−9 C32 Una esfera de 5 g de masa tiene una carga de −4 μC.

a) ¿Cuál debe ser el campo eléctrico que habríamos de aplicar para que la esfera permanezca en reposo sin caer al suelo?

85



b) Si dicho campo ha de ser suministrado mediante una diferencia de potencial establecida entre dos placas metálicas planas y paralelas separadas 5 cm, ¿cuál debe ser la diferencia de potencial que debe estable-cerse?

El enunciado del problema puede ilustrarse del siguiente modo:

�E−

�F

�mg

a) La condición de equilibrio se cumplirá cuando:

mg = QE

Por tanto, el campo eléctrico será:

E = 12 250 N/C

Como la carga es negativa, el campo debe estar dirigio hacia abajo; por lo que:

E

= −12 250j

N/C

b) La relación entre la diferencia de potencial entre dos placas planas paralelas y el campo en su interior es VB − VA = Ed, luego:

VB − VA = 12 250 ⋅ 0,05 = 612,5 V

33 Una pequeña esfera de 0,5 g y carga 6 nC cuelga de un hilo. Cuando el sistema se introduce entre dos placas planas verticales y cargadas, separadas entre sí 10 cm, se observa que el hilo forma un ángulo de 15° con la ver-tical. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?

El enunciado puede ilustrarse mediante la siguiente figura:

�mg

�Ty

�Tx

�EQ

15°

�T

Cuando la bola está en equilibrio, se cumple que:

Tx = QE ⇒ T sen 15° = QE y Ty = mg ⇒ T cos 15° = mg

Dividiendo ambas magnitudes y despejando E, obtenemos:

E =mg tg 15º

Q

Como:

VA − VB = Ed

entonces:

VA −VB =mgd tg 15º

Q

Sustituyendo, obtenemos:

VA − VB = 21 882,5 V

Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos34 Analiza el movimiento de una partícula cargada que

incide de forma oblicua en un campo uniforme si:

a) Su carga es positiva.

b) Su carga es negativa.

Suponemos que el campo tiene dirección X positiva. En los dos casos, la carga describirá un movimiento parabólico, si bien el sentido de dicho movimiento dependerá del signo de la carga. La componente de la velocidad normal al campo no sufrirá variación, mientras que la componente de la veloci-dad en la dirección del campo se verá afectada, de modo que:

vx = v0 x +QE

mt

Por tanto, si la carga es negativa, dicha componente dismi-nuye hasta invertir su sentido, mientras que si es positiva, su valor aumenta. Así pues, las trayectorias serían similares a las indicadas en la figura:

�vy

�E

�vx

35 Entre dos placas planas y paralelas, separadas 40 cm en-tre sí, con cargas iguales y de signo opuesto, existe un campo eléctrico uniforme de 4 000 N/C. Si un electrón se libera de la placa negativa. ¿Cuánto tarda en chocar contra la placa positiva? ¿Qué velocidad llevará al im-pactar?

El movimiento del electrón será acelerado desde el reposo, de modo que:

x =1

2at2 ⇒ t =

2x

a

Por otra parte:

eE = ma ⇒ a =eE

m



Por tanto:

t =2xm

eE= 3,3 ⋅10−8 s

El trabajo realizado al pasar de una placa a otra es:

W = eEd = ΔEc

Como la energía cinética inicial es nula:

Ec f = eEd = 2,56 ⋅ 10−16 J

Para este valor de energía, el aumento de masa relativista Δm = Ec/c

2 es despreciable, por lo que podemos suponer que la masa del electrón permanece invariable. En consecuencia:

vf =2ECm

= 2,3 ⋅107 m/s

36 Un electrón entra a 2 ⋅ 106 m/s en una región con un campo eléctrico uniforme de 10 000 N/C. Halla:

a) La aceleración que adquiere el electrón.

b) El tiempo que tarda y la distancia que recorre en el seno del campo hasta quedar en reposo.

c) La diferencia de potencial existente entre el punto de entrada y el punto donde su velocidad se hace cero.

a) La aceleración viene dada por la expresión a = eE/m, luego:

a =eE

m=

1,6 ⋅10−19 ⋅104

9,1⋅10−31= 1,76 ⋅1015 m/s2

b) Sabemos que el electrón se va frenando una vez que en-tra en el campo, pues llega un momento en que está en reposo. Por tanto, la aceleración será negativa.

Podemos aplicar las ecuaciones de movimiento uniforme-mente acelerado: v = v0 − at.

Cuando el electrón alcanza el reposo, se cumple:

0=2 ⋅106−1,76 ⋅1015 ⋅ t ⇒ t=2 ⋅106

1,76 ⋅1015=1,14 ⋅10−9 s

Para determinar esta distancia, hacemos uso de otra ecuación del movimiento uniformemente acelerado:

v2 = v20 − 2as

Sustituyendo en el momento en que el electrón queda en reposo:

0 = (2 ⋅ 106)2 − 2 ⋅ 1,76 ⋅ 1015 ⋅ s ⇒

⇒ s = 4 ⋅1012

2 ⋅1,76 ⋅1015 = 1,14 ⋅ 10−3 m

Es decir, el electrón recorre poco más de un milímetro.

c) Si llamamos A al punto de entrada y B al punto donde el electrón queda momentáneamente en reposo, se cumple:

VA − VB = Ed = 104 ⋅ 1,14 ⋅ 10−3 = 11,4 V

Teorema de Gauss para campo eléctrico37 Si el flujo neto del campo eléctrico a través de una su-

perficie gaussiana tiene valor cero, ¿cuáles de las si-guientes afirmaciones son correctas?

a) No existen cargas en el interior de la superficie.

b) La carga neta en el interior de la superficie es nula.

c) El número de líneas de fuerza entrantes en la super-ficie es igual al número de líneas salientes.

Puesto que el flujo neto del campo eléctrico es Φ = Q/ε0 y dicho flujo es cero, la carga neta en el interior de la superficie gaussiana debe ser forzosamente nula, luego la afirmación b) es cierta. Además, el hecho de que el flujo neto es cero significa que el flujo entrante es igual al saliente, por lo que la proposición c) también es correcta.

38 Una esfera conductora hueca de pequeño tamaño está cargada uniformemente con una carga +Q. Concéntrica a ella y separada por vacío la rodea otra esfera conduc-tora hueca de mayor tamaño y cargada uniformemente con carga −Q. Haciendo uso del teorema de Gauss, de-termina el campo eléctrico:

a) En un punto entre ambas esferas a una distancia R del centro común de ambas.

b) En un punto exterior a ambas esferas a una distancia r del centro común de ambas.

La disposición descrita en el enunciado puede verse en el si-guiente dibujo:

QR2

¿E ?�

¿E ?�

R1

R

Q

a) Aplicando el teorema de Gauss para una superficie de Gauss imaginaria de radio R mayor que R1 pero menor que R2, y considerando la simetría de ambas esferas, resulta:

Φ = E∫ E

⋅ dS

= E∫ E ⋅ dS = E E∫ dS = E ⋅ 4πR2

Por otro lado, sabemos que el flujo es el cociente entre la carga y la constante ε0, luego:

4πR2E =Q

ε0

El campo queda:

E =1

4πε0

◊Q

R2

b) Siguiendo el mismo procedimiento, se llega a la conclu-sión de que el campo en un punto situado a una distancia r > R2 es nulo, pues la carga neta en el interior de la su-perficie gaussiana es nula.

El montaje descrito es un condensador esférico, cuyo campo es no nulo en los puntos situados entre ambas esferas, y nulo en el resto del espacio.

39 Se tiene un plano de grandes dimensiones con una den-sidad superficial de carga de +3 ⋅ 10−9 C/m2; calcula:

a) El campo eléctrico uniforme que genera.

b) El trabajo que se realiza al desplazar una carga de −2 μC desde A, a 2 cm de la placa, hasta B, a 8 cm de la misma.

87



a) Como puede observarse en la página 108, deducida me-diante el teorema de Gauss, el campo que genera una placa plana es uniforme y de valor:

E =σ

2ε0

= 169,6 N/C

b) El trabajo viene dado por:

W = Q’Ed = Q’E (xB − xA) = −2 ⋅ 10−5 J

El signo negativo implica que el trabajo debe realizarse en contra de la fuerza eléctrica y se traduce en un aumento de la energía potencial del sistema al alejar la carga negativa.



RÚBRICA DE ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE

Está

nd

ar d

e ap

ren

diz

aje

eval

uab

le

Her

ram

ien

tas

de

eval

uac

ión

(act

ivid

ades

d

el L

A)

Exce

len

te

3

Sati

sfac

tori

o

2

En p

roce

so

1

No

log

rad

o

0Pu

nto

s

1.1.

Cal

cula

el n

úmer

o de

en

tidad

es e

lem

enta

les

de c

arga

qu

e co

rres

pond

e a

un v

alor

de

carg

a cu

alqu

iera

.

A: 1

, 2

AT: 2

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

2.1.

Usa

la le

y de

Cou

lom

b co

rrec

tam

ente

y a

naliz

a su

ca

ráct

er v

ecto

rial.

A: 3

E: 1

AT: 3

Apl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da la

ley

de

Cou

lom

b.

Apl

ica

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

pero

vál

ida

la

ley

de C

oulo

mb.

Apl

ica

con

erro

res

la le

y de

Cou

lom

b.Re

spon

de d

e m

aner

a to

talm

ente

err

ónea

o n

o re

spon

de.

3.1.

Apl

ica

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n, v

ecto

rialm

ente

, pa

ra d

eter

min

ar la

fuer

za s

obre

un

a ca

rga

test

igo

debi

da a

la

pres

enci

a de

var

ias

carg

as.

A: 3

E: 1

Apl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da e

l prin

cipi

o de

su

perp

osic

ión.

Apl

ica

de m

aner

a al

go in

com

plet

a pe

ro

válid

a el

prin

cipi

o de

su

perp

osic

ión.

Apl

ica

con

erro

res

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

4.1.

Def

ine

la in

tera

cció

n el

ectr

ostá

tica

en té

rmin

os d

e ca

mpo

vec

toria

l (in

tens

idad

de

cam

po) y

esc

alar

(pot

enci

al).

AT: 4

Expl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da lo

s té

rmin

os

inte

nsid

ad d

e ca

mpo

y

pote

ncia

l.

Expl

ica

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

pero

vál

ida

los

térm

inos

inte

nsid

ad

de c

ampo

y p

oten

cial

.

Expl

ica

con

erro

res

los

térm

inos

inte

nsid

ad d

e ca

mpo

y p

oten

cial

.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

5.1.

Rel

acio

na c

orre

ctam

ente

la

fuer

za q

ue a

ctúa

sob

re u

na

part

ícul

a ca

rgad

a co

n el

cam

po

eléc

tric

o ex

isten

te.

4, 5

ER: 1

AT: 1

6

Rela

cion

a co

rrec

tam

ente

la

fuer

za q

ue a

ctúa

so

bre

una

part

ícul

a ca

rgad

a co

n el

cam

po

eléc

tric

o ex

isten

te.

Rela

cion

a de

man

era

algo

inco

rrec

ta, p

ero

válid

a la

fuer

za q

ue

actú

a so

bre

una

part

ícul

a ca

rgad

a co

n el

cam

po

eléc

tric

o ex

isten

te.

Rela

cion

a co

n er

rore

s la

fu

erza

que

act

úa s

obre

un

a pa

rtíc

ula

carg

ada

con

el c

ampo

elé

ctric

o ex

isten

te.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

5.2.

Com

para

los

cam

pos

eléc

tric

os y

gra

vita

torio

s es

tabl

ecie

ndo

anal

ogía

s y

dife

renc

ia e

ntre

ello

s.

AT: 1

Expl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da la

s di

fere

ncia

s y

anal

ogía

s en

tre

cam

po

eléc

tric

o y

grav

itato

rio.

Expl

ica

de m

aner

a al

go in

com

plet

a pe

ro

válid

a la

s di

fere

ncia

s y

anal

ogía

s en

tre

cam

po

eléc

tric

o y

grav

itato

rio.

Expl

ica

con

erro

res

las

dife

renc

ias

y an

alog

ías

entr

e ca

mpo

elé

ctric

o y

grav

itato

rio.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

6.1.

Cal

cula

el c

ampo

elé

ctric

o de

bido

a u

na c

arga

pun

tual

en

un p

unto

a c

ualq

uier

dist

anci

a.

A: 6

ER: 2

AT: 1

9

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

7.1.

Usa

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n pa

ra e

l cál

culo

de

cam

pos

crea

dos

por u

na

dist

ribuc

ión

de c

arga

s pu

ntua

les.

A: 6

-8

E: 2

AT: 1

5, 1

8-22

Apl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da e

l prin

cipi

o de

su

perp

osic

ión.

Apl

ica

de m

aner

a al

go in

com

plet

a pe

ro

válid

a el

prin

cipi

o de

su

perp

osic

ión.

Apl

ica

con

erro

res

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

7.2.

Ana

liza

cual

itativ

amen

te

la tr

ayec

toria

de

una

carg

a sit

uada

en

el s

eno

de u

n ca

mpo

ge

nera

do p

or u

na d

istrib

ució

n de

car

gas,

a p

artir

de

la fu

erza

ne

ta q

ue s

e ej

erce

sob

re e

lla.

E: 2

ER: 3

AT: 1

7

Ana

liza

de m

aner

a ad

ecua

da la

tray

ecto

ria

de la

s ca

rgas

en

el

seno

de

un c

ampo

.

Ana

liza

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

pero

vál

ida

la

tray

ecto

ria d

e la

s ca

rgas

en

el s

eno

de u

n ca

mpo

.

Ana

liza

con

erro

res

la

tray

ecto

ria d

e la

s ca

rgas

en

el s

eno

de u

n ca

mpo

.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

8.1.

Rep

rese

nta

gráf

icam

ente

el

cam

po c

read

o po

r una

car

ga

punt

ual o

por

sist

emas

de

dos

carg

as m

edia

nte

línea

s de

cam

po.

A: 9

, 10

Repr

esen

ta d

e m

aner

a ad

ecua

da e

l cam

po

crea

do p

or c

arga

s.

Repr

esen

ta d

e m

aner

a al

go in

com

plet

a el

ca

mpo

cre

ado

por

carg

as.

Repr

esen

ta c

on e

rror

es

el c

ampo

cre

ado

por

carg

as.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

89



Está

nd

ar d

e ap

ren

diz

aje

eval

uab

le

Her

ram

ien

tas

de

eval

uac

ión

(act

ivid

ades

d

el L

A)

Exce

len

te

3

Sati

sfac

tori

o

2

En p

roce

so

1

No

log

rad

o

0Pu

nto

s

9.1.

Com

para

las

expr

esio

nes

de la

ene

rgía

pot

enci

al e

léct

rica

y gr

avita

toria

est

able

cien

do

anal

ogía

s y

dife

renc

ias

entr

e el

las.

A: 1

1, 1

2

AT: 2

7-30

Expl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da la

s di

fere

ncia

s y

anal

ogía

s en

tre

las

expr

esio

nes

de e

nerg

ía

pote

ncia

l elé

ctric

a y

grav

itato

ria.

Expl

ica

de m

aner

a al

go in

com

plet

a pe

ro

válid

a la

s di

fere

ncia

s y

anal

ogía

s en

tre

las

expr

esio

nes

de e

nerg

ía

pote

ncia

l elé

ctric

a y

grav

itato

ria.

Expl

ica

con

erro

res

las

dife

renc

ias

y an

alog

ías

entr

e la

s ex

pres

ione

s de

ene

rgía

pot

enci

al

eléc

tric

a y

grav

itato

ria.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

9.2.

Apl

ica

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n, p

ara

dete

rmin

ar

la e

nerg

ía p

oten

cial

de

un

siste

ma

de v

aria

s ca

rgas

.

A: 1

3, 1

4,

Apl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da e

l prin

cipi

o de

su

perp

osic

ión.

Apl

ica

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

el p

rinci

pio

de s

uper

posic

ión.

Apl

ica

con

erro

res

el p

rinci

pio

de

supe

rpos

ició

n.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

10.1

. Cal

cula

el t

raba

jo

nece

sario

par

a tr

ansp

orta

r una

ca

rga

entr

e do

s pu

ntos

de

un

cam

po e

léct

rico

crea

do p

or u

na

o m

ás c

arga

s pu

ntua

les

a pa

rtir

de la

dife

renc

ia d

e po

tenc

ial.

A: 2

1

AT: 2

3, 2

5

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

10.2

. Rec

onoc

e su

perf

icie

s eq

uipo

tenc

iale

s en

cam

pos

debi

dos

a un

a ca

rga

punt

ual o

de

bido

a p

laca

s pl

anas

car

gada

s ho

mog

énea

men

te.

A: 2

0

AT: 2

4, 2

6, 2

8

Iden

tific

a de

man

era

adec

uada

sup

erfic

ies

equi

pote

ncia

les.

Iden

tific

a de

man

era

algo

inco

mpl

eta

pero

vá

lida

supe

rfic

ies

equi

pote

ncia

les.

Iden

tific

a co

n er

rore

s su

perf

icie

s eq

uipo

tenc

iale

s.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

10.3

. Cal

cula

ddp

en

cam

pos

unifo

rmes

en

func

ión

de la

di

stan

cia.

A: 1

7-24

ER: 4

AT: 2

7, 3

1-33

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

11.1

. Pre

dice

el t

raba

jo q

ue s

e re

aliz

ará

sobr

e un

a ca

rga

que

se m

ueve

en

una

supe

rfic

ie d

e en

ergí

a eq

uipo

tenc

ial.

A:2

5, 2

6

E: 3

, 4

ER: 5

AT: 3

4-36

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

11.2

. Cal

cula

tray

ecto

rias

y ve

loci

dade

s de

par

tícul

as

carg

adas

en

el s

eno

de c

ampo

s el

éctr

icos

.

A. 2

5, 2

6

E: 3

, 4

ER: 5

AT: 3

4-36

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

12.1

. Des

crib

e ap

licac

ione

s de

l us

o de

cam

pos

eléc

tric

os p

ara

mov

er o

ace

lera

r par

tícul

as,

en p

artic

ular

el t

ubo

de ra

yos

cató

dico

s y

los

acel

erad

ores

lin

eale

s de

par

tícul

as.

ER: 5

TTE

Entie

nde

de m

aner

a ad

ecua

da la

s ap

licac

ione

s de

l cam

po

eléc

tric

o.

Entie

nde

de m

aner

a al

go in

com

plet

a pe

ro

válid

a la

s ap

licac

ione

s de

l cam

po e

léct

rico.

Entie

nde

con

erro

res

las

aplic

acio

nes

del c

ampo

el

éctr

ico.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

13.1

. Cal

cula

el f

lujo

del

cam

po

eléc

tric

o a

part

ir de

la c

arga

qu

e lo

cre

a y

la s

uper

ficie

que

at

ravi

esan

las

línea

s de

l cam

po.

A: 2

7, 2

8

AT: 3

7-39

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.



Está

nd

ar d

e ap

ren

diz

aje

eval

uab

le

Her

ram

ien

tas

de

eval

uac

ión

(act

ivid

ades

d

el L

A)

Exce

len

te

3

Sati

sfac

tori

o

2

En p

roce

so

1

No

log

rad

o

0Pu

nto

s

13.2

. Det

erm

ina

el c

ampo

el

éctr

ico

crea

do p

or u

na e

sfer

a o

una

plac

a pl

ana

carg

ada

hom

ogén

eam

ente

apl

ican

do e

l te

orem

a de

Gau

ss.

A: 2

7, 2

8

AT: 3

7-39

Resu

elve

cor

rect

amen

te

las

activ

idad

es.

Resu

elve

de

man

era

algo

inco

mpl

eta

las

activ

idad

es.

Resu

elve

con

err

ores

las

activ

idad

es.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

14.1

. Apl

ica

el te

orem

a de

G

auss

par

a el

cál

culo

de

cam

pos

eléc

tric

os e

n di

strib

ucio

nes

simét

ricas

y h

omog

énea

s de

ca

rga.

A: 2

7, 2

8

AT: 3

7-39

Apl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da e

l teo

rem

a de

G

auss

.

Apl

ica

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

pero

vál

ida

el

teor

ema

de G

auss

.

Apl

ica

con

erro

res

el

teor

ema

de G

auss

.Re

spon

de d

e m

aner

a to

talm

ente

err

ónea

o n

o re

spon

de.

15.1

. Exp

lica

el e

fect

o de

la

Jaul

a de

Far

aday

util

izan

do

el p

rinci

pio

de e

quili

brio

el

ectr

ostá

tico

y lo

reco

noce

en

el m

al fu

ncio

nam

ient

o de

los

móv

iles

en c

iert

os e

dific

ios

o el

ef

ecto

de

los

rayo

s el

éctr

icos

en

avio

nes

y co

ches

.

Recu

rsos

Expl

ica

de m

aner

a ad

ecua

da h

echo

s co

tidia

nos

del e

fect

o de

ja

ula

de F

arad

ay.

Expl

ica

de m

aner

a al

go

inco

mpl

eta

hech

os

cotid

iano

s de

l efe

cto

de

jaul

a de

Far

aday

.

Expl

ica

con

erro

res

hech

os c

otid

iano

s de

l efe

cto

de ja

ula

de

Fara

day.

Resp

onde

de

man

era

tota

lmen

te e

rrón

ea o

no

resp

onde

.

LA: L

ibro

del

alu

mno

; A: A

ctiv

idad

es; E

: Eje

rcic

ios

resu

elto

s; T

TE: T

écni

cas

de tr

abaj

o e

inve

stig

ació

n; E

R: E

stra

tegi

as d

e re

solu

ción

; AT:

Act

ivid

ades

y ta

reas

.

91



1. La fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales:

a) Es conservativa.

b) Es universal y solo depende de las cargas y la distan-cia existente entre ellas.

c) No realiza trabajo alguno.

La respuesta correcta es la a).

2. Si una partícula cargada incide en un campo eléctrico:

a) Puede moverse con velocidad constante al entrar en la dirección del campo.

b) Cambiará su velocidad siempre.

c) Describirá un movimiento parabólico al incidir per-pendicularmente al campo.

Las respuestas correctas son la b) y la c).

3. Las líneas de fuerza de un campo eléctrico:

a) Son radiales y salientes de una carga positiva pun-tual.

b) Se entrecruzan en la interacción entre un conjunto grande de cargas.

c) Se dibujan de modo que su densidad es proporcional al valor del campo.

Las respuestas correctas son la a) y la c).

4. La energía potencial asociada a la interacción entre car-gas puntuales es:

a) Siempre negativa.

b) Siempre positiva.

c) Positiva si las cargas puntuales son negativas.

La respuesta correcta es la c).

5. El campo neto en el interior de un conductor en equili-brio electrostático sometido a un campo externo es:

a) Constante.

b) Nulo.

c) Igual y del mismo sentido que el externo.

La respuesta correcta es la b).

6. El campo eléctrico en un punto exterior debido a una esfera cargada homogéneamente es:

a) Cero.

b) El mismo que si la carga fuese puntual y concentrada en su centro.

c) Distinto al de una carga puntual y de valor igual a kQ/r.

La respuesta correcta es la b).

7. La desviación que una partícula cargada sufre al incidir perpendicularmente con velocidad v a un campo eléc-trico constante es:

a) Tanto mayor cuanto mayor es su carga.

b) Tanto mayor cuanto mayor es su masa.

c) Tanto mayor cuanto menor es su masa.

Las respuestas correctas son la a) y la c).

PRUEBA DE EVALUACIÓN A



1. Dos partículas con cargas de +1 μC y de −1 μC están si-tuadas en los puntos del plano XY de coordenadas (−1, 0) y (1, 0) respectivamente. Sabiendo que las coordena-das están expresadas en metros, calcula:

a) El campo eléctrico en el punto (0, 3).

b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y.

c) El campo eléctrico en el punto (3, 0).

d) El potencial eléctrico en el punto (3, 0).

Dato: constante de Coulomb, k = 9 ⋅ 109 N m2/C2

a) Los vectores E

tienen la dirección y sentido que se obser-van en la figura.

1

+1µC – 1µC (3,0)

α

(0,3)α

10

E Total

E - E+

Dado que el valor absoluto de Q y la distancia r son igua-les, los módulos del vector E

debido a cada carga son también iguales, por lo que las componentes Y de ambas se cancelan. Así pues, el vector resultante está orientado en la dirección X, siendo su módulo:

⎢E

total⎥ = 2 ⎢E

⎥ cos α

Donde:

⎢E

⎥ = kk =| Q |

r2= 9 ⋅109 ⋅

10−6

10= 900 N/C

cos α =1

10

Por tanto:

= 2 ⋅900 ⋅1

10

N

C= 569,2

N

CE

i

i

b) En todos los puntos del eje Y, el potencial es nulo, pues:

Vtotal = kQ

r+ k

(−Q )

r= 0

Dada la simetría del problema respecto al eje Y, este eje es una línea de potencial nulo.

c) El campo eléctrico en el punto (3, 0) es:

E

(3,0) = kQ −1

22+

1

42

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ i

N/C = −1 687,5 i

N/C

Y el potencial en dicho punto es:

V( 3 ,0 ) = kQ−1

2+

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −2 250 V

2. Se disponen tres cargas de 10 nC en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determina en el centro del cuadrado:

a) El módulo, la dirección y el sentido del vector eléctrico.

b) El potencial eléctrico.


a) Dado que las tres cargas son iguales y su distancia al cen-

tro del cuadrado r es la misma, e igual a 2

2, se puede

observar que el campo resultante equivalente a E

B:

1

10 nC

A

2

ED

B C1

2

10 nC

10 nC

45o

EC EB

Cuyo módulo es:

EB = kQ

r2= 9 ⋅109 ⋅

10−8

1

2

= 180 N/C

Su dirección es la de la diagonal del cuadrado que parte de B (en la disposición de la figura) y su sentido es saliente de B. Vectorialmente, sus componentes son:

Ex = E cos 45° = 90 2

Ey = E sen 45° = 90 2

E

= 90 2 (i

+ j

) N/C

b) El potencial vale:

Vtotal = VA + VB + VC = 3kQ

r=

540

2V

= 381,8 V

3. Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas concéntricas de radios r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss, calcula:

a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas.

b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.

Dato: permitividad eléctrica del vacío, εo = 8,85 ⋅ 10−12 N−1 m−2 C2

PRUEBA DE EVALUACIÓN B

93



a) Elegimos como superficie gaussiana una esfera de radio 6 cm:

r = 6

r = 1

Y aplicamos el teorema de Gauss:

∫ ⋅d =Q

εo

E

S

Puesto que en todos los puntos de la esfera el campo eléctrico es paralelo a la superficie, entonces:

E ⋅ 4πr2 =Q

εo

⇒ E =1

4πεo

⋅Q

r2= 25 000 N/C

El resultado es equivalente al que se obtendría si toda la carga estuviese concentrada en el centro (carga puntual).

b) Al considerar una superficie gaussiana de radio r = 1 cm y aplicar el teorema de Gauss, se obtiene que el resultado es:

E = 0

Debido a que la carga neta es nula en el interior de dicha superficie, ya que esta se reparte por la corteza compren-dida entre r = 2 cm y r = 4 cm.

4. Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1, 0), y otra de valor Q2 en (−1, 0). Sabiendo que todas las distancias están ex-presadas en metros, determina en los dos casos si-guientes:

a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0, 1) sea el vector E

= 2 ⋅ 105j

N/C, siendo el vector unitario en el sentido positivo del eje Y.

b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el po-tencial eléctrico en el punto (2, 0) sea cero.


a) Dada la simetría expuesta en el problema, el campo resul-tante solo puede estar dirigido a lo largo del eje Y si las dos cargas Q1 y Q2 son positivas y del mismo valor.

En ese caso:

2

145o

45o

2E cos 45º = 2 ⋅105 ⇒ kQ

r2⋅ 2 = 2 ⋅105 ⇒

⇒ Q =2 ⋅105 2( )2

9 ⋅109= 4,4 ⋅10−5 C

b) Para que el potencial sea cero en el punto (2, 0), las cargas han de tener signos contrarios y debe cumplirse que:

kQ1

r1−

Q2

r2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟= 0 ⇒

Q1

1−

Q2

3= 0

| Q2| = 3⋅ | Q1|

Es decir, el valor absoluto de Q2 ha de ser el triple de Q1, pero ambas son de distinto signo.

5. Un electrón, con velocidad inicial 3 ⋅ 105 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X, penetra en una región donde existe un campo eléctrico uniforme y constante de valor 6 ⋅ 10−6 N/C dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determina:

a) Las componentes cartesianas de la fuerza experi-mentada por el electrón.

b) La expresión de la velocidad del electrón en función del tiempo.

c) La energía cinética del electrón 1 segundo después de penetrar en el campo.

d) La variación de la energía potencial experimentada por el electrón al cabo de 1 s de penetrar en el campo.

Datos: valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6 ⋅ 10−19 C; masa del electrón, me = 9,1 ⋅ 10−31 kg

Observa el dibujo:

v0

E

a) Las componentes cartesianas de la fuerza experimentada por el electrón:

Fx = 0

F

y = −eE

= −9,6 ⋅ 10−25 j

N

b) La velocidad tiene dos componentes:

vx = v0 = 3 ⋅105 m/s

vy = −at = −eE

m⋅ t m/s

= v0 −eE

m⋅ t m/sj

i

v

c) Los valores de las componentes de la velocidad al cabo de 1 s son:

vx = 3 ⋅105 m/s

vy = 1,055 ⋅106 m/s

Ec = 1 / 2mv2 = 1 / 2m vx2 + vy

2( ) = 5,47 ⋅10−19 J



d) La variación de energía potencial del electrón al cabo de 1 s podemos resolverla de dos maneras, o bien considerando el carácter conservativo de Fe, en cuyo caso la Em se con-serva, de modo que:

ΔEc = −ΔEp ⇒ ΔEp = −ΔEc

Dado que la Ec0 = 1/2m v20, entonces:

Ec = 1/2m v2 v02( ) = 5,06 10 19 J

Por lo que:

ΔEp = −5,06 ⋅ 10−19 J

O también podemos resolverla calculando el trabajo reali-zado por la única componente de fuerza −Fy en el despla-zamiento Δy realizado por el electrón, siendo:

W = F

⋅ Δ y

= −9,6 ⋅ 10−25 j

⋅ −1

2⋅eE

m⋅12

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ j

=

= 5,06 ⋅ 10−19 J

Positivo, pues es el campo el que realiza el trabajo. Por tanto:

W = −ΔEp ⇒ ΔEp = −5,06 ⋅ 10−19 J

NOTAS

Documents

3 EL CAMPO ELÉCTRICO...6.3. Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss 6.4. Protección frente a campos externos: una consecuencia del teorema de Gauss Técnicas