Přenosová vedení

- 1 -

3 Přenosová vedení

V předchozí kapitole jsme se zabývali šířením elektromagnetických vln ve volném

prostoru. Vlna se šířila od svého zdroje (vysílací antény) do celého prostoru, který ji

obklopoval. Šíření vlny volným prostorem tedy s výhodou využijeme pro distribuci

televizního signálu či pokrytí území signálem mobilních komunikačních služeb.

Chceme-li však signál doručit do jediného místa (např. z výstupu přijímací antény na

vstup televizního přijímače), je lépe využít přenosové vedení. Nejčastěji používaným

přenosovým vedením je koaxiální kabel (obr. 3.1). V koaxiálním kabelu je elektromagnetické

pole uvězněno v dielektriku mezi vnějším vodičem a vodičem vnitřním. Vlna se šíří ve směru

podélné osy tohoto vedení

Obr. 3.1 Koaxiální vedení.

Převzato z http://en.wikipedia.org/wiki/coaxial_cable

Budeme předpokládat, že námi studované koaxiální vedení sestává z dokonale elektricky

vodivého vnitřního a vnějšího vodiče. Konstantní vzdálenosti mezi vnitřním a vnějším

vodičem je dosaženo díky bezeztrátové homogenní dielektrické výplni s permitivitou

a permeabilitou .

Vedení je napájeno harmonickým proudem. Při správném připojení zdroje na vstupu

vedení a zátěže na výstupu vedení je proud tekoucí vnitřním vodičem ve směru z je roven

proudu, který se vrací ve směru -z po vnitřní straně vodiče vnějšího. Vedení je konfigurováno

takovým způsobem, aby se veškerá energie, dodávaná do vedení generátorem, spotřebovávala

v zátěži a neodrážela se zpět.

Na obr. 3.2 jsou znázorněny siločáry elektrického a magnetického pole v příčném

průřezu vedení. Díky vysoké elektrické vodivosti vnitřního a vnějšího vodiče je intenzita

elektrického pole k povrchu vodičů kolmá (složka tečná k povrchům musí být nulová).

Z Ampérova zákona celkového proudu vyplývá, že siločáry magnetického pole mají tvar

soustředných kružnic se středem v ose koaxiálního vedení. Siločáry magnetického pole jsou

tedy kolmé k siločárám pole elektrického. Magnetické i elektrické siločáry jsou současně

kolmé ke směru šíření. Podél koaxiálního vedení se tedy šíří příčně (transverzálně)

elektromagnetická vlna (TEM).

Při práci s přenosovým vedením je snadnější používat namísto vektorových intenzit

pole E a H skalární napětí U a proud I.

Transmission lines

- 2 -

3 Transmission lines

In the previous chapter, attention was turned to the propagation of electromagnetic

waves in free space. The wave has propagated from a source (a transmit antenna) to the

surrounding space. The free-space wave propagation can be therefore conveniently used for

TV broadcasting or covering an area by the signal of mobile communication services.

The signal is going to be delivered to a single user (from the output a receive antenna to

the input of a TV receiver, e.g.), a transmission lines (TL) is more convenient to be used.

A coaxial cable (Fig. 3.1) is the most frequently used TL. The electromagnetic field is trapped

in dielectrics between the outer and inner conductors of a cable. The wave propagates in the

direction of the longitudinal axis of the TL.

Fig. 3.1 Coaxial transmission line.

Source: http://en.wikipedia.org/wiki/coaxial_cable

The investigated TL is assumed to consist of a perfectly electrically conducting (PEC) inner

conductor and a PEC outer conductor. Thanks to the lossless homogeneous dielectric filler

with permittivity and permeability, a constant distance between the conductors is acquired.

The TL is fed by a harmonic current. If the source at the TL input and the load at the TL

output are properly connected, the current flowing through the inner conductor in the

direction of z equals to the current returning back in the direction of -z along the inner wall of

the outer conductor. The TL is configured to deliver all the energy produced by the generator

to the load to be consumed here; no energy is expected being reflected back.

The lines of force of the electric and magnetic fields in the cross section of the TL are

shown in Fig. 3.2. Thanks to the high electrical conductivity of the inner and outer

conductors, the electric field intensity is perpendicular to the surfaces of conductors (the

component that is tangential to the surfaces has to equal zero). Lines of force of the magnetic

field have the shape of centric circles with the center located on the longitudinal axis of the

TL, in accordance with Ampère's law. The magnetic lines of force are thus perpendicular to

the electric lines of force. Both the electric and the magnetic lines of force are perpendicular

to the direction of propagation as well. Hence, the transversally electromagnetic (TEM) wave

propagates along the coaxial TL.

When working with the TL, the scalar voltage U and current I are easier to be used

instead of the vector field intensities E and H.

Přenosová vedení

- 3 -

Celkové napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem získáme postupným sčítáním

elementárních napětí du = E(r) dr v radiálním směru

a

bdrrEU

b

aln

2

(3.1)

kde symbol značí podélnou hustotu náboje ve vnitřním vodiči, a je poloměr vnitřního

vodiče a b poloměr vodiče vnějšího. Vztah (3.1) lze přepsat do tvaru

a

brrEU ln (3.2)

díky němuž přejdeme od intenzity elektrického pole E k napětí U.

Obr. 3.2 Rozložení pole v příčném průřezu

koaxiálního vedení.

Vztah mezi intenzitou magnetického pole H a proudem I je dán Ampérovým zákonem

l

IdlH. (3.3)

Integrovat budeme po libovolné kružnici, která leží v příčné rovině a má střed v ose vodiče.

Vzhledem ke kruhové symetrii vedení bude velikost magnetické intenzity na této kružnici

konstantní a vztah (3.3) na tvar

rHI 2 (3.4)

Zavedeme-li charakteristickou impedanci vedení ZV jako podíl napětí a proudu v určitém

místě vedení, dojdeme na základě (3.2) a (3.4) ke vztahu

a

b

H

E

I

UZV ln

2

1

(3.5)

Dosadíme-li za podíl intenzit elektrického a magnetického pole vlnovou impedanci TEM vlny

v bezeztrátovém dielektriku

0Z

H

E (3.6)

dostáváme se ke vztahu

a

bZV ln

2

1

(3.7)

Transmission lines

- 4 -

The total voltage between the inner conductor and the outer one can be obtained by

successive summation of elementary voltages du = E(r) dr in the radial direction

a

bdrrEU

b

aln

2.

(3.1)

where symbol denotes the longitudinal charge density in the inner conductor, a is the radius

of the inner conductor and b is the radius of the outer conductor. Equation (3.1) can be

rewritten to the form

a

brrEU ln (3.2)

With that, we pass from the electric field intensity E to the voltage U.

Fig. 3.2 Field distribution in the cross section

of a coaxial transmission line.

Relation between the magnetic field intensity H and the current I is given by Ampère's law

l

IdlH. (3.3)

Field intensity is integrated along an arbitrary circle in the transverse plane with the center on

the axis of the inner conductor. Considering the circular symmetry of the TL, magnitude of

the magnetic field intensity along that circle is constant, and (3.3) is of the form

rHI 2 (3.4)

The ratio of voltage and current on a certain segment of the TL is called the characteristic

impedance of the transmission line ZV. Considering (3.3) and (3.5), we get

a

b

H

E

I

UZV ln

2

1

(3.5)

Substituting wave impedance of a TEM wave in a lossless dielectrics for the ratio of the

electric and magnetic field intensities

0Z

H

E (3.6)

we get

a

bZV ln

2

1

(3.7)

Přenosová vedení

- 5 -

Díky výše uvedeným krokům jsme při analýze koaxiálního vedení přešli od vektoru intenzity

elektrického pole E ke skalárnímu napětí mezi vodiči vedení U a od vektoru intenzity

magnetického pole H ke skalárnímu proudu vodiči I. Místo popisování vedení permitivitou

a permeabilitou dielektrika mezi vodiči můžeme vyjádřit parametry vedení kapacitou

a indukčností na jeden metr délky. Na základě výše uvedených parametrů lze vytvořit

náhradní obvod vedení, tvořený obvodovými prvky se soustředěnými parametry, a vedení

analyzovat pomocí postupů, známých z teorie obvodů. Na této myšlence je založena klasická

teorie vedení.

3.1 Teorie vedení

Pro lepší představu uvažme klasickou dvoulinku jako představitele vedení. Není pochyb

o tom, že každý vodič dvojlinky bude mít svou indukčnost L a svůj odpor R. Dále je zřejmé,

že mezi vodiči dvojlinky bude existovat vzájemná kapacita C. Pokud nebude dielektrikum

mezi vodiči dokonalé, bude moci mezi vodiči protékat příčný vodivý proud, což vyjádříme

příčnou vodivostí G.

Je jasné, že se s růstem délky vedení zvyšuje i jeho celkový odpor, indukčnost, kapacita,

vodivost. Abychom se této délkové závislosti parametrů vedení zbavili, zavádíme indukčnost

na metr délky L1 [H.m-1

], odpor na metr délky R1 [.m-1

], kapacitu na metr délky C1 [F.m-1

]

a vodivost na metr délky G1 [S.m-1

].

Úbytek napětí na elementárním úseku vedení dz je dán podélnou impedancí na jeden

metr délky

Z R j L1 1 1 (3.8)

tedy

dU I Z dz1 (3.9)

Naproti tomu úbytek proudu na elementárním úseku vedení dz závisí na příčné admitanci na

jeden metr délky

Y G j C1 1 1 (3.10)

tedy

dI UY dz1 (3.11)

Následnými úpravami pak dospějeme ke vztahům

d U dz U Z Y2 2

1 1 (3.12a)

d I dz I Z Y2 2

1 1 (3.12b)

Vztahům (3.12) se říká telegrafní rovnice.

Obecné řešení diferenciální rovnice pro napětí (3.12a) lze zapsat ve tvaru

zBzAzU expexp (3.13a)

kde konstanta šíření je dána vztahem

R j L G j C1 1 1 1 (3.14)

Transmission lines

- 6 -

Thanks to the steps shown above, we have moved during the analysis of the coaxial TL from

the electric field intensity vector E to the scalar U voltage between the TL conductors, and

from the magnetic field intensity vector H to the scalar current I flowing on TL conductors.

Instead of describing the TL by permittivity and permeability of the dielectrics between

conductors, parameters of the TL can be specified by capacity and inductance per meter.

Based on the parameters shown above, an equivalent circuit of the TL can be made of circuit

components, and the TL can be analyzed using circuit-theory approaches. The classical

transmission line theory is based on this idea.

3.1 Transmission line theory

Attention is turned to a classical twisted-pair TL as a representative of transmission

lines. Every conductor of the twisted pair has its own inductance L and resistance R.

Obviously, there is a mutual capacitance C between the conductors. If the dielectrics between

the conductors is not perfect, the transverse conductive current can flow through which is

expressed by the transverse conductivity G.

Increase of the length of the TL clearly increases the total resistance, inductance,

capacitance, and conductivity as well. To eliminate this length dependence, we establish an

inductance per meter L1 [H.m-1

], a resistance per meter R1 [.m-1

], a capacitance per meter C1

[F.m-1

] and a conductivity per meter G1 [S.m-1

].

The voltage decrease on the elementary segment of the TL dz is given by longitudinal

impedance per meter

Z R j L1 1 1 (3.8)

accordingly

dU I Z dz1 (3.9)

On the opposite, the current drop on the elementary segment of the TL dz depend on

a transverse admittance per meter

Y G j C1 1 1 (3.10)

accordingly

dI UY dz1 (3.1

Consequent mathematical steps yield the equations

d U dz U Z Y2 2

1 1 (3.12a)

d I dz I Z Y2 2

1 1 (3.12b)

Equations (3.12) are called the telegraphic equations.

General solution of differential equation of voltage (3.12a) can be written as follows

zBzAzU expexp (3.13a)

where the propagation constant is given by the equation

R j L G j C1 1 1 1 (3.14)

Přenosová vedení

- 7 -

Obr. 3.3 Náhradní schéma dvouvodičového vedení.

Řešením (3.12b) dospějeme k výsledku

zBzAZ

zIV

expexp1

)( (3.13b)

kde

11

11

CjG

LjRZV

(3.15)

je tzv. charakteristická impedance vedení.

Ze vztahů (3.12) vidíme, že rozložení napětí U( z) a proudu I( z) je vyjádřeno

obdobnými vztahy, jakými jsme popisovali rozložení intenzity elektrického a magnetického

pole rovinné vlny ve směru šíření. Na základě této analogie můžeme přímo bez dalšího

odvozování objasnit fyzikální význam vztahů (3.13):

Člen exp( -z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se ve směru osy z, tedy od

zdroje k zátěži. Tuto vlnu nazveme vlnou přímou a budeme ji značit horním indexem P:

UP(z), I

P(z). Integrační konstanta A, resp. A/ZV, udává napětí, resp. proud, přímé vlny na

počátku vedení z = 0.

Člen exp( +z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se proti směru osy z, tedy od

zátěže ke zdroji. Tuto vlnu nazveme vlnou zpětnou nebo odraženou a budeme ji horním

indexem Z: UZ(z), I

Z(z). Integrační konstanta B, resp. B/ZV, udává napětí, resp. proud,

zpětné vlny na počátku vedení z = 0.

Z technického hlediska je vhodnější vyjadřovat napětí a proud na vedení v závislosti na

vzdálenosti od konce vedení. Napěťové a proudové poměry na vedení jsou totiž, jak se za

chvíli dozvíme, podstatně ovlivňovány zakončovací impedancí Zk. Zavedením substituce

z = l (viz obr. 3.4) přejdou vztahy (3.13) na

expexpexpexp lBlAU (3.16a)

expexpexpexp)( VV ZlBZlAI (3.16b)

Obsahy hranatých závorek vyjadřují napětí nebo proud přímé nebo zpětné vlny,

transformované z počátku na konec vedení

exp0exp0 ZP UUU (3.17a)

exp0exp0)( ZP III (3.17b)

Na základě vztahů (3.17) můžeme udělat následující závěry:

Transmission lines

- 8 -

Fig. 3.3 Equivalent circuit of a two-wire transmission line.

Solving (3.12b), the following result is obtained:

zBzAZ

zIV

expexp1

)( (3.13b)

where

11

11

CjG

LjRZV

(3.15)

is so-called characteristic impedance of the transmission line.

Equations (3.12) show that the distribution of voltage U( z) and current I( z) is described

by equations which are similar to relations describing the distribution of electric and magnetic

field intensities of the plane wave in the direction of propagation. Considering this analogy,

the physical meaning of equations (3.13) can be explained:

The term exp( -z) denotes the voltage, or current of a wave that propagates in the

direction of z axis; from the source to the load. This wave is called the forward wave

and is denoted by the superscript P: UP(z), I

P(z). The integration constant A, or A/ZV,

gives the voltage or current of a forward wave at the beginning of the TL z = 0.

The term exp( +z) denotes the voltage, or current of the wave that propagates against

the direction of z axis; from the load to the source. This wave is called the backward

wave or the reflected wave and is denoted by the superscript Z: UZ(z), I

Z(z). The

integration constant B, or B/ZV, gives the voltage, or current of the backward wave at the

beginning of the TL z = 0.

From the technical viewpoint, voltages and currents are more suitable being expressed

depending on the distance from the end of the TL because voltages and currents on the TL are

strongly influenced by the load impedance Zk. Using the substitution z = l (see Fig. 3.4),

relations (3.13) can be rewritten to

expexpexpexp lBlAU (3.16a)

expexpexpexp)( VV ZlBZlAI (3.16b)

The expressions in the square brackets express the voltage or current of forward or backward

wave that is transformed from the beginning to the end of the TL

exp0exp0 ZP UUU (3.17a)

exp0exp0)( ZP III (3.17b)

Considering equations (3.17), we can conclude:

Přenosová vedení

- 9 -

Celkové napětí ve vzdálenosti od konce vedení U( ) je dáno součtem napětí přímé

vlny UP() a napětí vlny zpětné U

Z() na dané souřadnici .

Celkový proud ve vzdálenosti od konce vedení I( ) je dán rozdílem proudu přímé

vlny IP() a proudu vlny zpětné I

Z() na dané souřadnici .

Napětí přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení UP()je přímo úměrné proudu

přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení; konstantou úměrnosti je charakteristická

impedance ZV (3.15). Totéž platí pro odraženou vlnu

P

V

P IZU , Z

V

Z IZU (3.18a, b)

Poměr celkového napětí a celkového proudu není roven charakteristické impedanci

U

I

U U

I IZ

I I

I I

P Z

P Z V

P Z

P Z

0 (3.19)

nýbrž impedanci Z( ), kterou bychom naměřili na vstupu našeho vedení, dlouhého a

na konci zatíženého stále stejnou impedancí Zk.

Obr. 3.4 Vedení zakončené impedancí Zk.

Poměr napětí (záporně uvažovaného proudu1) odražené vlny k napětí (proudu) vlny přímé je

nazýván činitelem odrazu

U

U

I

I

Z

P

Z

P (3.20)

Vyjádříme-li ve (3.20) jednotlivá napětí (proudy) pomocí napětí (proudů) na konci vedení,

dojdeme k výrazu

2exp0 (3.21)

Činitele odrazu ve vzdálenosti od konce vedení () můžeme vyjádřit pomocí impedance

v daném místě Z()

V

V

ZZ

ZZ

(3.22)

Ze známého činitele odrazu v určitém místě vedení můžeme určit impedanci v tomto místě

1 U proudu odražené vlny respektujeme záporným znaménkem skutečnost, že se při odrazu

od zátěže mění fáze proudu o 180o; proto je také celkový proud rozdílem přímé a zpětné

vlny.

Transmission lines

- 10 -

The total voltage in the distance from the end of the TL U( ) equals to the sum of the

forward voltage UP() and the backward voltage U

Z() at the coordinate .

The total current in the distance from the end of the TL I( ) is given by the difference

between the forward current IP() and the backward current I

Z() at the coordinate .

The forward voltage in the distance from the end UP() is directly proportional to the

forward current in the distance from the end; the characteristic impedance ZV (3.15) is

the proportionality constant. The same applies for the backward wave

P

V

P IZU , Z

V

Z IZU (3.18a, b)

The ratio of the total voltage and current does not equal to the characteristic impedance

ZP

ZP

VZP

ZP

II

IIZ

II

UU

I

U

0 (3.19)

but to the impedance Z( ) that would be measured at the beginning of the TL, with the

length of and terminated by a load of the same impedance Zk

Fig. 3.4 Transmission line terminated by the impedance Zk.

The ratio of the backward voltage (negatively weighted current2) and the forward voltage

(current) is called the reflection coefficient

U

U

I

I

Z

P

Z

P (3.20)

If the individual voltages (currents) are expressed in (3.20) using the voltages (currents) at the

end of the TL, then we get

2exp0 (3.21)

Reflection coefficient in the distance from the end of the TL can be expressed using the

impedance at this coordinate Z()

V

V

ZZ

ZZ

(3.22)

The known reflection factor at allows us to determine the impedance at the same coordinate

2 The negative sign in the backward current reflects the fact that phase of the current is

changed for 180° during the reflection. Consequently, the total current is the difference

between the forward wave and the backward wave.

Přenosová vedení

- 11 -

1

1VZZ (3.23)

Výsledky, jichž jsme dosáhli prostřednictvím klasické teorie vedení, budeme diskutovat

v následujících odstavcích.

3.2 Stojatá vlna na vedení

V předchozím odstavci jsme konstatovali, že se mohou podél vedení šířit dvě vlny –

přímá a zpětná. Výsledná vlna na vedení je dána superpozicí těchto dvou vln. Napětí výsledné

vlny v místě je dáno součtem napětí přímé vlny v a napětí odražené vlny v

exp0exp0 ZP UUU (3.24a)

Proud výsledné vlny je rozdílem proudů přímé a odražené vlny

exp0exp0)( ZP III (3.24b)

Pro tento okamžik položme v (3.24) =0 (jsme na konci vedení)

U U UP Z0 0 0 (3.25a)

V

Z

V

P

Z

U

Z

UI

000 (3.25b)

Známe-li charakteristickou impedanci ZV, celkové napětí a celkový proud na konci vedení

U(0) a I(0), můžeme z (3.25) vypočíst napětí přímé a odražené vlny na konci vedení. Po

dosazení do (3.24) dostáváme:

sinh0cosh0 IZUU V (3.26a)

sinh0

cosh0VZ

UII (3.26b)

Při odvozování vztahů (3.26) jsme uvážili, že

sinh 12e e , cosh 1

2e e

Díky (3.26) můžeme vypočíst celkové napětí a celkový proud kdekoli na vedení na základě

celkového napětí a celkového proudu na jeho konci. Celkové napětí a proud mohu na zátěži

přímo naměřit, kdežto napětí resp. proud přímé a odražené vlny přímo změřit nelze.

Pro bezeztrátové vedení ( 0) přejde soustava (3.26) na

sin0cos0 IZjUU V (3.27a)

sin0

cos0VZ

UjII (3.27b)

Je-li vedení zakončeno téměř nekonečnou impedancí (je na konci naprázdno), teče zátěží

zanedbatelný proud I(0) 0. Výkon spotřebovaný v zátěži P(0) = U(0) I*(0) bude tím pádem

rovněž zanedbatelný. To znamená, že veškerá energie, nesená přímou vlnou, se vrací ve

formě energie odražené vlny zpět ke generátoru. Amplituda napětí resp. proudu přímé a

odražené vlny budou stejné. Výsledná vlna, která je superpozicí přímé a odražené vlny, tedy

nepřenáší žádnou energii, tedy se nešíří. Říkáme, že na vedení vzniklo stojaté vlnění.

Transmission lines

- 12 -

1

1VZZ (3.23)

Results obtained thanks to the classical TL theory are going to be discussed in the following

paragraphs.

3.2 Standing wave on transmission line

In the previous paragraph, propagation of two waves along the TL was identified – the

forward one and the backward one. The resultant wave is given by their interference. The

voltage of the resultant wave equals to the sum of the forward and the backward voltage in

exp0exp0 ZP UUU (3.24a)

The resultant current is the difference between the forward current and the backward one

exp0exp0)( ZP III (3.24b)

Assuming =0 (we are on the end of the TL) in (3.28)

U U UP Z0 0 0 (3.25a)

V

Z

V

P

Z

U

Z

UI

000 (3.25b)

If characteristic impedance ZV, the total voltage and the total current at the end of TL U(0) and

I(0) are known, the voltage of forward and backward waves at the end of TL can be computed

from (3.25). Substituting to (3.24), we get

sinh0cosh0 IZUU V (3.26a)

sinh0

cosh0VZ

UII (3.26b)

When deriving eqn. (3.26) we took into consideration that

sinh 12e e , cosh 1

2e e

Thanks to (3.26), the total voltage and current anywhere along the TL can be computed from

the total voltage and total current at the end. The total voltage and current can be measured on

the load but the voltage or current of the forward and backward waves cannot.

For the lossless TL ( 0), the system (3.26) shifts to

sin0cos0 IZjUU V (3.27a)

sin0

cos0VZ

UjII (3.27b)

If the TL is terminated by almost infinite impedance (the open end), a negligible current

I(0) 0 flows through. The power consumed by the load P(0) = U(0) I*(0) is therefore also

negligible. I.e., all the energy of the forward wave returns in form of the backward wave back

to the generator. Amplitudes of voltage or current of the forward and backward waves are the

same. The resultant wave formed by the superposition of the forward and backward waves,

does not carry any energy (does not propagate), and a standing wave is formed.

Přenosová vedení

- 13 -

Obr. 3.5 Vznik stojaté vlny na vedení na konci nakrátko.

Modrá: přímá vlna, černá: odražená vlna, červená: stojaté vlnění.

Vlevo: t1 = 0, t2 = T / 32, t3 = 2 T / 32, t4 = 3 T / 32,

Vpravo: t1 = 4 T / 32, t2 = 5 T / 32, t3 = 6 T / 32, t4 = 8 T / 32.

Transmission lines

- 14 -

Fig. 3.5 Formation of a standing wave on a transmission line terminated by a short cut.

Blue: forward wave, black: backward wave, red: standing wave.

Left: t1 = 0, t2 = T / 32, t3 = 2 T / 32, t4 = 3 T / 32,

Right: t1 = 4 T / 32, t2 = 5 T / 32, t3 = 6 T / 32, t4 = 8 T / 32.

Přenosová vedení

- 15 -

Pokud dosadíme do vztahu (3.27) I(0) 0, zjistíme, že amplituda napětí výsledné vlny

bude mít kosinový průběh. To znamená, že v určitých místech bude neustále nulové napětí.

Tato místa nazýváme uzly napětí. Vzniknou na těch souřadnicích, na nichž se potkávají přímá

a odražená vlna v protifázi. Naopak v místech, v nichž se potkávají přímá a odražená vlna se

stejnou fází, bude amplituda napětí výsledného vlnění maximální. Říkáme, že v těchto

místech vzniká kmitna napětí.

Právě vyřčené myšlenky ilustruje obr. 3.5. Grafy zde znázorňují v různých časových

okamžicích rozložení napětí přímé vlny (modrá), odražené vlny (černá) a složené vlny

(červená) na vedení, které je zakončeno zkratem (pravá strana grafu). Jelikož celkové napětí

na zkratu musí být nulové (předpokládáme jeho nekonečnou vodivost), musejí být napětí

přímé a odražené vlny stejně velká s opačnou fází.

V okamžiku t1 = 0 (první graf v levém sloupci) jsou přímá a odražená vlna v protifázi.

Jejich sečtením dostáváme nulové napětí podél celé délky vedení. V následujících okamžicích

se přímá vlna posouvá zleva doprava o odražená vlna zprava doleva. Složení vln začíná

formovat kmitny na pozicích 1/ = /4 a 2/ = 3/3. Pozor, vodorovná osa grafů je

cejchována od zdroje k zátěži, takže pro souřadnici by mělo být cejchování převráceno

(vlevo hodnota 2, vpravo hodnota 0).

Na pozicích 3/ = 0, 4/ = a 5/ = 2 jsou zřetelně vidět uzly stojatého vlnění. Ve

všech sledovaných okamžicích je v uzlu velikost složené vlny nulová. V kmitnách se velikost

složené vlny mění od nulové hodnoty (obrázek vlevo nahoře, přímá a odražená vlna jsou

v protifázi) po hodnotu odpovídající dvojnásobku přímé vlny (obrázek vpravo dole, přímá a

odražená vlna jsou ve fázi).

Obr. 3.5 znázorňuje napěťové vlny v první čtvrtině periody. Ve druhé čtvrtině periody

hodnota napětí v kmitně postupně klesá k nule. V druhé polovině periody se popsaný děj

opakuje s opačnou fází.

Dosud jsme mluvili napětí, avšak vše platí i pro proudy výsledné vlny. Jediná odlišnost

spočívá v tom, že v místech uzlů napětí se nacházejí kmitny proudu a naopak. Tento rozdíl

vyplývá ze skutečnosti, že napětí výsledné vlny je dáno součtem napětí přímé a odražené

vlny, ale proud výsledné vlny je dán rozdílem proudů přímé a odražené vlny.

Stojaté vlnění je kvantifikováno poměrem stojatých vln (PSV). PSV je pro bezeztrátové

vedení definován jako poměr amplitudy napětí (proudu) stojaté vlny v kmitně k amplitudě

napětí (proudu) v uzlu

min

max

min

max

IU

IUPSV (3.28)

V našem případě vedení nakrátko byly napětí a proud v uzlech nulové, a tudíž hodnota PSV

konvergovala k nekonečnu. Za této situace hovoříme o (ryzí) stojaté vlně.

Opakem ryzí stojaté vlny je vlna postupná. Ta na vedení vzniká tehdy, když je veškerá

energie, nesená přímou vlnou, spotřebována v zátěži. Tím pádem má zpětná vlna nulovou

amplitudu. Amplituda napětí a proudu výsledné vlny je za této situace totožná amplitudě

napětí a proudu přímé vlny. Na bezeztrátovém vedení jsou zmíněné amplitudy konstantní

U() = Umin = Umax = UP (totéž platí pro proud), a tudíž PSV = 1. Takovému vedení říkáme

výkonově přizpůsobené.

Transmission lines

- 16 -

If I(0) 0 is substituted to (3.27), amplitude of voltage of the resultant wave shows

cosine behaviour. In certain points , the voltage is permanently zero. These points are called

voltage nodes. Nodes appear at coordinates where the forward and backward waves meet with

the opposite phase. In points where the forward and backward waves meet with the same

phase, amplitude of the resultant voltage is in maximum (voltage antinodes are there).

The described phenomena are illustrated by Fig. 3.5. The graphs represent the

distribution of the forward voltage (blue), backward voltage (black) and standing wave (red)

on the TL terminated by short circuit (the right side of the graph). Since the total voltage on

short circuit has to be zero (assuming infinite conductivity), the forward and backward wave

voltages have to be of the same magnitude and the opposite phase.

In the time instance t1 = 0 (the first graph in the left column), the forward and backward

waves are in the phase opposition. Summing them together, we get zero voltage along the

whole TL. In the following time instances, the forward wave shifts from the left to the right

and the backward wave shifts from the right to the left. The wave adding starts to form

antinodes at the positions 1/ = /4 and 2/ = 3/3. Careful, the horizontal axis of the graphs

is calibrated from the source to the load, and therefore the calibration for the coordinate

should be reversed (value 2 on the left, value 0 on the right).

The nodes of the standing wave are clearly seen in positions 3/ = 0, 4/ = and

5/ = 2. The magnitude of the complex wave in antinodes changes from the value 0 (figure

on the upper left, the forward and backward waves are in the phase opposition) to the double

value of the forward wave (figure on the lower right side, the forward and backward waves

are in the phase).

Fig. 3.5 illustrates the voltage waves in the first fourth of the period. In the second

fourth of the period, the value of the voltage in the antinode slowly decays to zero. In the

second half of the period, the described process repeats with an opposite phase.

All said about the voltage applies for resultant currents as well. The only difference is

that current antinodes are situated in voltage nodes, and vice versa. This difference reflects the

fact that the resultant voltage is given by the sum of the forward and backward voltages

whereas the resultant current is given by the difference of the forward and backward currents.

The standing wave is quantified by the standing wave ratio (SWR). For the lossless TL,

SWR is defined as the ratio of amplitudes of the standing wave voltage (current) in the

antinode to the voltage (current) amplitude in the node

min

max

min

max

IU

IUPSV (3.28)

In our short circuit case, the voltage and current in nodes were zero and therefore the SWR

value converged to infinity. In this situation, we are dealing with the standing wave.

The opposite of the standing wave is a travelling wave. It occurs at the TL if all the

energy carried by the forward wave is spent in the load. Then the backward wave has zero

amplitude. The resultant wave voltage and current amplitude is identical to the forward wave

voltage and current amplitude in this case. On a lossless TL, the mentioned amplitudes are

constant U() = Umin = Umax = UP (same applies for the current) and therefore SWR = 1. Such

TL is called power-matched.

Přenosová vedení

- 17 -

Jelikož v kmitně se potkávají přímá i zpětná vlna ve fázi, bude v tomto místě napětí

stojaté vlny dáno součtem amplitud přímé a zpětné vlny

U U UP Z

max (3.29a)

V uzlu mají přímá a odražená vlna fáze opačné, a tudíž napětí stojaté vlny bude v tomto místě

dáno rozdílem amplitud přímé a odražené vlny

U U UP Z

min (3.29b)

Dosazením (3.29) do (3.28) a úpravou s uvážením definice činitele odrazu (3.22) získáme

PSV

1

1 (3.30)

Vztah (3.30) již můžeme použít i pro ztrátová vedení. Jelikož se na nich PSV s podélnou

souřadnicí mění, musíme počítat jeho hodnotu v místě z veličin v tomtéž místě. Nyní by

tedy mělo být zřejmé, proč je pro ztrátová vedení (3.28) nepoužitelný.

3.4 Příklady

Před řešením konkrétních příkladů si projděme nejdůležitější vztahy, které budeme

potřebovat. Uvažovat vždy budeme homogenní vedení, které má v celé své délce konstantní

parametry. Za nejdůležitější parametry lze považovat charakteristickou impedanci ZV a

činitele zkrácení .

Činitel zkrácení [-] udává poměr délky vlny na vedení v [m] k délce vlny ve vakuu 0

[m] při stejném kmitočtu signálu

0

v (3.31)

Připomeňme, že délku vlny ve vakuu určíme dle vztahu

f

c0 (3.32)

kde c [m/s] je rychlost světla ve vakuu a f [Hz] značí kmitočet.

Známe-li délku vlny na vedení v, můžeme snadno určit měrnou fázi [rad/m]

v

2 (3.33)

Měrná fáze udává, o kolik radiánů se změní fáze signálu na úseku vedení, dlouhém jeden

metr.

Je-li homogenní vedení zakončeno impedancí Zk [], která se liší od charakteristické

impedance vedení ZV [], šíří se podél vedení kromě přímé vlny (směr –) i vlna odražená

(směr +).

Transmission lines

- 18 -

Since the forward and the backward wave meet in the antinode in a phase, the standing

wave voltage will is given by the sum of the forward and backward wave amplitudes

U U UP Z

max (3.29a)

In the node, the forward and the backward wave have opposite phase and the standing wave

voltage is given by the difference between the forward and backward wave amplitudes

U U UP Z

min (3.29b)

Substituting (3.29) into (3.28) and modifying definition of the reflection factor (3.22), we get

1

1SWR (3.30)

Eqn. (3.30) is now applicable even for a lossy TL. Since the SWR with the longitudinal

coordinate changes in the lossy TL, its value in the point has to be computed using the

quantities from that point. Obviously, (3.29) is useless for the lossy TL.

3.4 Examples

Before solving particular examples, let us go through the most important equations

needed. In all examples, homogeneous transmission lines with constant parameters in all its

length are assumed. The characteristic impedance ZV and the velocity factor are the most

important parameters.

The velocity factor [-] determines the ratio of the wavelength on the TL v [m] to the

wavelength in vacuum 0 [m] at the same signal frequency

0

v (3.31)

Let us recall that the wavelength in vacuum is

f

c0 (3.32)

where c [m/s] is the speed of light in vacuum and f [Hz] stands for the frequency.

If wavelength the on TL is known then the phase constant [rad/m] can be computed

v

2 (3.33)

The phase constant indicates of how much radians the phase of a wave changes on a TL

segment of one meter.

If the homogeneous TL is terminated by the impedance Zk [], which differs from the

TL characteristic impedance ZV [], then the forward wave (the direction of –) propagates

along the TL together with the backward wave (direction of +).

Přenosová vedení

- 19 -

Obr. 3.6 Homogenní vedení

Poměr napětí zpětné vlny UZ a napětí přímé vlny U

P (resp. proudu vlny zpětné I

Z

a proudu přímé vlny IP) se nazývá činitelem odrazu [-]

I

I

U

U

(3.34)

Činitele odrazu v místě [m] můžeme určit ze znalosti impedance vedení naměřené v daném

místě Z() a charakteristické impedance ZV

V

V

ZZ

ZZ

(3.35)

Impedanci Z() lze vypočíst jako poměr celkového napětí U() a proudu I() v místě

I

UZ (3.36)

Celkové napětí v místě je dáno součtem napětí přímé a zpětné vlny UP() a U

Z() v tomtéž

místě

PZP UUUU 1 (3.37)

kdežto celkový proud v místě je dán rozdílem proudu přímé vlny IP() a vlny zpětné I

Z()

PZP IIII 1 (3.38)

Vztah mezi napětím a proudem přímé (zpětné) vlny je dán následujícími vztahy

P

V

P IZU (3.39a)

Z

V

Z IZU (3.39b)

Potřebujeme-li z napětí (proudu) přímé vlny v bodě 1 určit napětí (proud) v bodě 2,

využijeme vztahů

121212 expexp jUU PP (3.40a)

121212 expexp jII PP (3.40b)

V případě napětí (proudu) zpětné vlny platí

121212 expexp jUU ZZ (3.41a)

121212 expexp jII ZZ (3.41b)

Ve vztazích (3.40) a (3.41) značí [m-1

] měrný útlum vlny a je měrná fáze [rad/m].

Transmission lines

- 20 -

Fig. 3.6 Homogeneous transmission line

The ratio of the backward voltage UZ to the forward voltage U

P (or of the backward current I

Z

to the forward current IP), is called the reflection factor [-]

I

I

U

U

(3.34)

The reflection factor in the point [m] can be determined using the knowledge of the TL

impedance measured in the point Z() and the characteristic impedance ZV

V

V

ZZ

ZZ

(3.35)

Impedance Z() can be computed as the ratio of the total voltage U() and current I() in

I

UZ (3.36)

The total voltage in is given by the sum of the forward and backward voltages UP() and

UZ() in the same point

PZP UUUU 1 (3.37)

whereas the total current in the point is given by the difference between IP() and I

Z()

PZP IIII 1 (3.38)

The relation between the voltage and current of the forward (backward) wave is given by

P

V

P IZU (3.39a)

Z

V

Z IZU (3.39b)

If the voltage (current) of the forward wave in the point 2 is to be determined from the

voltage (current) in the point 1, then the following equations are used

121212 expexp jUU PP (3.40a)

121212 expexp jII PP (3.40b)

In case of voltage (current) of the backward wave, the following equations apply

121212 expexp jUU ZZ (3.41a)

121212 expexp jII ZZ (3.41b)

In (3.40) and (3.41), [m-1

] is attenuation per unit length and is phase constant [rad/m].

Přenosová vedení

- 21 -

Pro celkové napětí U() a celkový proud I() platí následující transformační vztahy:

1211212 sinhcosh IZUU V (3.42a)

121

1212 sinhcosh

VZ

UII (3.42b)

kde = + j.

Je-li vedení zakončeno jinou nežli charakteristickou impedancí, vznikne na něm stojaté

vlnění. Místa maximálního napětí (proudu) se nazývají kmitnami napětí (proudu), místa

minimálního napětí (proudu) se nazývají uzly napětí (proudu). Poměr napětí (proudu)

v kmitně Umax (Imax) a v uzlu Umin (Imin) je tzv. poměr stojatých vln PSV [-]

min

max

min

max

I

I

U

UPSV (3.43)

Poměr stojatých vln v místě lze rovněž vypočíst z velikosti činitele odrazu v tomto místě

1

1PSV (3.44)

__________________________

1. Homogenní vedení s charakteristickou impedancí Z0 = 75 , s činitelem zkrácení =2/3

a se zanedbatelným měrným útlumem 0 je napájeno napětím o kmitočtu f =

50 MHz. Na konci je vedení zatíženo odporem Rk = 25 . Na zatěžovacím odporu bylo

naměřeno napětí Uk = 10 voltů. Vypočtěte:

a) Fázovou konstantu ;

b) Napětí přímé a odražené vlny na konci vedení;

c) Proud přímé a odražené vlny a výsledný proud na konci vedení;

d) Polohu kmiten a uzlů napětí a proudu;

e) Výsledné napětí a proud v kmitně a uzlu;

f) Poměr stojatých vln na vedení;

g) Výkon přímé a odražené vlny na konci vedení, přenosové ztráty a účinnost vedení;

h) Jak se změní dosud vypočtené výsledky, bude-li vedení vykazovat měrný útlum

= 0,5 m-1

.

[ a) = /2 rad/m; b) UP(0) = 20 V, U

Z(0) = 10 V; c) I

P(0) = 0,267 A,

IZ(0) = 0,133 A; I(0) = 0,4 A; d) U max = I min = 1 m, I max = U min = 0 m;

e) Umax = 30 V, Umin = 10 V, Imax = 0,4 A, Imin = 0,133 A; f) PSV = 3; g) Pf(0) = 5,33 W,

Pb(0) = 1,33 W, P(0) = 4 W, Pztr = 0,75, = 1]

[ a) až d) řešení beze změny; e) Umax = 39 V, Umin = 10 V, Imax = 0,4 A, Imin = 0,36 A;

f) PSV(0) = 3, PSV(1) = 1,45; g) výkony beze změny, = 0,29 pro vedení dlouhé

l = 1 m]

Transmission lines

- 22 -

For the total voltage and total current apply the following transformation relations

1211212 sinhcosh IZUU V (3.42a)

121

1212 sinhcosh

VZ

UII (3.42b)

where = + j.

If the TL is terminated by a different than the characteristic impedance, a standing wave

occurs. The points with the utmost voltage (current) are voltage (current) antinodes; the points

with the minimum voltage (current) are voltage (current) nodes. The ratio of the voltage

(current) in the antinode Umax (Imax) to the voltage (current) in the node Umin (Imin) is standing

wave ratio SWR [-]

minmaxminmax IIUUPSV (3.43)

The standing wave ratio in can also be computed from the magnitude of the reflection factor

1

1SWR (3.44)

__________________________

1. A homogeneous TL with characteristic impedance Z0 = 75 , velocity factor =2/3 and

negligible attenuation per unit length 0 operates at the frequency f = 50 MHz. The

TL is terminated by a load resistor Rk = 25 . The voltage measured on the load resistor

is Uk = 10 V. Following quantities should be evaluated:

a) Phase constant ;

b) Voltage of the forward and backward waves at the end of the TL;

c) Current of the forward and backward waves and the resultant current at the end of TL;

d) Location of the voltage and current antinodes and nodes;

e) Resultant voltage and current in the antinode and node;

f) Standing wave ratio on the TL;

g) Power of the forward and backward waves at the end of the TL, transmission losses and

the TL power efficiency;

h) How will these results change if the attenuation per unit length on the TL equals to

= 0.5 m-1

.

[ a) = /2 rad/m; b) UP(0) = 20 V, U

Z(0) = 10 V; c) I

P(0) = 0.267 A,

IZ(0) = 0.133 A; I(0) = 0.4 A; d) U max = I min = 1 m, I max = U min = 0 m;

e) Umax = 30 V, Umin = 10 V, Imax = 0.4 A, Imin = 0.133 A; f) PSV = 3; g)Pf(0)=5.33W,

Pb(0) = 1.33 W, P(0) = 4 W, Pztr = 0.75, = 1]

[ from a) to d) no change in results; e) Umax = 39 V, Umin = 10 V, Imax = 0.4 A,

Imin = 0.36 A; f) PSV(0) = 3, PSV(1) = 1.45; g) powers without change, = 0.29

for the TL of the length l = 1 m]

Přenosová vedení

- 23 -

2. Homogenní bezeztrátové vedení s charakteristickou impedancí Z0 = 300 a s činitelem

zkrácení = 2/3 je napájeno napětím o kmitočtu f = 20 MHz a zakončeno je

1. Odporem Rk = 600 .;

2. Odporem Rk = 150 .;

3. Impedancí Zk = (300 + j 300) .;

4. Impedancí Zk = (300 – j 300) .

Vypočtěte:

a) Činitele odrazu na konci vedení;

b) Poměr stojatých vln na vedení;

c) Polohu první kmitny a prvního uzlu napětí stojaté vlny od konce vedení;

d) Velikost napětí v kmitně a v uzlu, protéká-li zátěží proud Ik = 100 mA.

k PSV km [m] uz [m] Ukm [V] Uuz [V]

1 1/3 2,00 0,00 2,50 60,0 30,0

2 -1/3 2,00 2,50 0,00 30,0 15,0

3 0,447.e+j63

2,62 0,88 3,38 48,7 18,7

4 0,447.e-j63

2,62 4,13 1,63 48,7 18,7

3. Vedení má charakteristickou impedanci ZV, zanedbatelné ztráty a délku l = v/3.

Zatíženo je impedancí Zk a napájeno napětím Up. Vypočtěte:

a) Proud tekoucí zátěží;

b) Impedanci na počátku vedení;

c) Impedanci na počátku vedení, zvýšíme-li dvojnásobně kmitočet signálu.

[ a) Ik = -j Up/ZV; b) Zp = ZV2/Zk; c) Zp = Zk ]

4. Na zátěži homogenního bezeztrátového vedení s charakteristickou impedancí ZV = 75

a s délkou l = 10 m byl naměřen proud Ik = 0,5 A a napětí Uk = 25 V. Délka vlny na

vedení je v = 2 m. Určete:

a) Napětí a proud přímé a odražené vlny na konci vedení;

b) Polohu uzlů a kmiten napětí a proudu;

c) Napětí a proud v uzlech a kmitnách;

d) Výkon, nesený přímou vlnou a odraženou vlnou;

e) Přenosové ztráty;

f) Účinnost vedení, pokud uvážíme nenulový měrný útlum = 0,15 dB/m.

[ a) UP(0) = 31,25 V; U

Z(0) = 6,25 V; I

P(0) = 417 mA; I

Z(0) = 83 mA;

b, c) = 0,0 m - uzel napětí Umin = 25 V a kmitna proudu Imax = 500 mA;

= 0,5 m – uzel proudu Imin = 334 mA a kmitna napětí Umax = 37,5 V ;

d) PP = 13,0 W; P

Z= 521 mW; e) Pzt = 0,96; f) = 0,69 ]

Transmission lines

- 24 -

2. A homogeneous lossless TL with the characteristic impedance Z0 = 300 and the

velocity factor = 2/3 operates at the frequency f = 20 MHz and is terminated by

1. Resistor Rk = 600 .;

2. Resistor Rk = 150 .;

3. Impedance Zk = (300 + j 300) .;

4. Impedance Zk = (300 – j 300) .

Following quantities should be evaluated:

a) Reflection factor at the end of the TL;

b) Standing wave ratio;

c) Location of the first antinode and the first node of standing voltage from end of TL;

d) Magnitude of voltage in the antinode and node, if load is fed by Ik = 100 mA.

k SWR km [m] uz [m] Ukm [V] Uuz [V]

1 1/3 2.00 0.00 2.50 60.0 30.0

2 -1/3 2.00 2.50 0.00 30.0 15.0

3 0.447.e+j63

2.62 0.88 3.38 48.7 18.7

4 0.447.e-j63

2.62 4.13 1.63 48.7 18.7

3. TL has characteristic impedance ZV, negligible losses and a length l = v/3. TL is loaded

by the impedance Zk and fed by voltage Up. Following quantities should be evaluated:

a) Current that flows through the load;

b) Impedance at the beginning of the TL;

c) Impedance at the beginning of the TL if we double the signal frequency.

[ a) Ik = -j Up/ZV; b) Zp = ZV2/Zk; c) Zp = Zk ]

4. A current Ik = 0.5 A and voltage Uk = 25 V have been measured on the load of a lossless

TL with the characteristic impedance ZV = 75 and the length l = 10 m. The wave

length on the TL is v = 2 m. Following quantities should be evaluated:

a) Voltage and current of the forward and backward waves at the end of the TL;

b) Locations of the voltage and current nodes and antinodes;

c) Voltage and current in the nodes and antinodes;

d) Power of the forward and backward waves;

e) Transmission losses;

f) TL power efficiency, when considering the nonzero attenuation per unit length

[ a) UP(0) = 31.25 V; U

Z(0) = 6.25 V; I

P(0) = 417 mA; I

Z(0) = 83 mA;

b, c) = 0.0 m – voltage node Umin = 25 V and current antinode Imax = 500 mA;

= 0.5 m – current node Imin = 334 mA and voltage antinode Umax = 37.5 V;

d) PP = 13.0 W; P

Z= 521 mW; e) Pzt = 0.96; f) = 0.69 ]