61 Vlatko Doleek, Mainski fakultet Sarajevo
Stanjenaponaunekojtakitijeladefiniesekaoskupsvihvektoranaponazasveravni
kojeprolazekroztutaku.Tostanjesemoeodreditiakoseznajukomponentevektora
naponautrimeusobnonormalneravni.Akojemainskailigraevinskakonstrukcija
sastavljenaiztankihploaililjuski,tadasemoepretpostavitiravnomjernaraspodjela
naponapodebljiniiproblemsepojednostavljuje.Naime,prostornostanjenaponasesvodi
naravnostanjenapona.Ravnostanjenaponanastaje,naprimjer,kadajetankaploa
optereenasistemomkomplanarnihsila,kojedjelujuuravniploe(slika3.1a).Tadasu
naponi (normalni i smiui) za jednu od tri meusobno normalne ravni
jednaki
nuli.Izploe,debljine,uokolinitake0izdvajaseelementarniparalelopipedijaje
zapreminadV=dxdy.Nanjegovimpovrinamajavljajuseunutarnjesile,odnosno
normalniismiuinaponix,y,xy,yx(slika3.1b).Vidisedasmiui(tangencijalni)
naponimadvaindeksa.Prviindeksoznaavapovrinunakojojnapondjeluje,adrugi
pokazuje njegov pravac. Znak normalnih i smiuih napona odreuje se
prema usvojenoj konvenciji (data je ranije u glavi 2.):
-Normalninapon je pozitivan ako senjegov smjer poklapa sa smjerom
vanjske normale na elementu povrine. -
Desnaigornjastranaelementasupozitivneiakosmiuinapondjelujenapozitivnoj
povrini u pozitivnom smjeru ose bie pozitivan (slika 3.1b). Ravno
stanje napona 62zxy0dxdyxxyxyyxyxxyy0a) b) Slika 3.1. Ravno stanje
napona u ploastom elementu Iz statikih uslova ravnotee elementa
prikazanog na slici 3.1b slijedi: -nema pomjeranja elementarnog
paralelopipeda u pravcu osa x, y, to ima za posljedicu da su
normalni naponi na suprotnim stranama jednaki, ali suprotnog
smjera; -nemaobrtanjaelementarnogparalelopipedaoko osenormalne na
x0y ravan, to slijedi iz statikog uslova ravnotee Mo = 0, odnosno
., 0 = == yx xyyx xydydx dxdy(3.1)
Izraz(3.1)pokazujedasusmiuinaponi,kojidjelujuudvijeuzajamnonormalneravni
jednakihveliina,ausmjerenisukapresjenojivicitedvijeravniiliodnje.Tosu
konjugovani naponi.
Naponjeposvojojmatematikojpriroditenzor,toznaidatrebapoznavatitrivektora
naponautrimeusobnookomiteravni,odnosnonaponjedefinisansdevetkomponenti
(32 = 9).
Tenzornaponazaravnostanjenaponaimaetirikomponente,tj.22=4,odkojihsutri
razliite (konjugovanost smiuih napona), te se moe pisati u obliku
matrice: [ ] ,(((
=y yxxy xij (3.2) analogno izrazu (2.5) za prostorno stanje
napona (poglavlje 2.1.). 633.1. Naponi u kosom presjeku
Analizanaponskogstanjaunekojtakitijelasvodisenaodreivanjepromjenenapona
zavisnoodpoloajapresjekakroztutaku.Zatoseelementtijelapresjecasravniija
normala zaklapa sa x osom ugao (slika 3.2.). Usvaja se da je
pozitivni smjer ugla smjer obrnutsmjerukretanja kazaljke na satu.
Naslici3.2.b pretpostavljeni su pozitivni smjerovi normalnog i
smiueg napona u kosom presjeku. yyyxnnxx0 0y yx xatna) b) Slika
3.2. a) Ravno stanje napona; b) Naponi u kosom presjeku
Naponiukosompresjekusemogudobitiizstatikihuslovaravnoteezaosunormalnuna
ravan presjeka ( n
) i osu u ravni presjeka ( t
).
Povrinakosogpresjeka(slika3.2.b)jea,gdjesuaiduinaiirinapovrinekosog
presjekaelementa(slika3.1b),apovrineukojimadjelujunaponixiysuacos,
odnosno a sin. Statiki uslovi ravnotee za ose n i t su: , 0 , 0 = =
tiiniiF F, 0 sin cos cos sin sin cos2 2= a a a a ay x n . 0 cos sin
cos sin sin cos2 2= + + a a a a ay x n Odavde slijede izrazi za
napone u kosom presjeku: ( ) ( ). sin cos cos sin, cos sin 2 sin
cos2 22 2 + =+ + =y x ny x n(3.3) 64Izraz za napon n se mogao
dobiti i iz izraza (2.15) kada je z = 0, yz = 0 i zx = 0.
Uvoenjemsmjena,22 cos 1cos2+= ,22 cos 1sin2=, cos sin 2 2 sin = ,
sin cos 2 cos2 2 =izrazi (3.3) prelaze u: . 2 cos 2 sin2, 2 sin 2
cos2 2 + =+++=y xny x y xn(3.4) 3.2. Glavni naponi
Uinenjerskimkonstrukcijamaznaajnesuekstremnevrijednostinaponakaoipravac
njihovog dejstva. One se dobijaju iz uslova ekstrema funkcija datih
izrazima (3.4). Ekstremne vrijednosti normalnih napona dobijaju se
iz: ( ) [ ] , 0 2 cos 2 2 sin = + === y xndd to daje .22y xtg =
(3.5)
Ugaoodreujeravanmaksimalnogiliminimalnognormalnognapona,odnosno
ekstremnih normalnih napona u algebarskom smislu.
Jednaina(3.5)imadvakorijena1i2,jerjevrijednosttangensaudvadijametralno
suprotnakvadrantaista.Zatotrebaispitatiznaksin2ilicos2dabisetanoodredio
pravac dejstva ekstremnih normalnih napona. Uvoenjem smjena: ( ) (
)2 2 2 22 242 cos ,422 sin,2 112 cos ,2 122 sin + =+ =+=+=y xy xy
xtg tgtg(3.6) iuvrtavanjemu izraze (3.4) dobijajuse konaniizrazi za
ekstremne vrijednosti normalnih napona: 65( )( ). 0, 4212, 42122 22
min22 21 max=+ += = =+ ++= = ==+ == ny xy xny xy xn(3.7)
Normalninaponi1i2suglavninormalninaponi,aravniukojimadjelujusuglavne
ravni. Pravci njihovog dejstva zovu se pravci glavnih normalnih
napona. Uravnimadejstvaglavnihnormalnihnaponanedjelujusmiuinaponi,
to se dobija kada se uvrste izrazi (3.6) u (3.4). Iz izraza (3.7),
nakon sabiranja napona 1 i 2 dobija se: .2 1consty x= + = + (3.8)
Relacija(3.8)pokazujedazbirnormalnihnaponaostajekonstantanprirotaciji
koordinatnog sistema i predstavlja prvu invarijantu napona, to se
moe dobiti i iz (2.22) za z = 0. Ekstremne vrijednosti smiuih
napona dobijaju se iz: ( ) [ ] , 0 2 sin 2 2 cos = === y xndd to
daje .22 y xtg = (3.9) Ugao odreuje ravan maksimalnog ili
minimalnog smiueg napona. Iz izraza (3.4), uz koritenje smjena za
sin2 i cos2, analogno izrazima (3.6) dobija se: ( )2 22 ,
1minmax421 + = = == y x n(3.10) ili ,22 12 , 1 = (3.11) to se
dobija kombinacijom izraza (3.10) i (3.7). Iz izraza (3.5) i (3.9)
se dobija: 66, 1 2 2 = tg tgto je uslov ortogonalnosti pravaca, te
je: 4 = .(3.12) Izraz (3.12) pokazuje da ravni dejstva ekstremnih
smiuih napona zaklapaju ugao od /4 s ravnima dejstva glavnih
normalnih napona. Iz jednaine (3.4) uz ugao odreen s (3.9) i
koritenjem smjena za sin2 i cos2 dobie se: ,2y xo += (3.13) to znai
da u ravnima ekstremnih smiuih napona djeluju normalni naponi. 3.3.
Morov (Mohr) krug napona
Jednainezaraunanjenaponaukosompresjekukroznekutakutijela(3.4)moguse
predstavitiugrafikojformi,pomouMorovih(Mohr)krugova.Ovografiko
predstavljanjejeveoma korisno,jeromoguuje da se
vizualizirarelacijaizmeu normalnih
ismiuihnaponakojimajeizloenanekataka u napregnutom tijelu, da se
odrede glavni normalni i maksimalni smiui naponi. Ponovo su
napisane jednaine (3.4) u obliku: . 2 cos 2 sin2, 2 sin 2 cos2 2 +
=+=+y xny x y xn(3.4) Da bi se eliminisao parametar 2, ove jednaine
su kvadrirane i zatim sabrane. Dobija se: ,2 22222 +||.|
\| = +||.|
\| +y xny xn(3.14)
topredstavljajednainukruga.Koordinatesunin,radijusje 2 /
1222(((
+||.|
\| = y xR , a centar kruga ima koordinate ||.|
\| +0 ,2y xC . Morov krug se moe nacrtati koritenjem jednaina
(3.4) i (3.14) na dva razliita naina. 67 Slika 3.3. Dva naina
crtanja Morovih (Mohr) krugova
Prikoritenjujednaine(3.4)zacrtanjeMorovogkruganormalninaponnjepozitivan
desnoodkoordinatnogpoetka,asmiuinaponnispodkoordinatnogpoetka(slika
3.3.a),augao2jepozitivanzasmjerobrnutokretanjukazaljkenasatu.Akosekoristi
jednaina(3.14)zacrtanjeMorovogkrugasmiuinaponjepozitivaniznadkoordinatnog
poetka, a ugao 2 je pozitivan u smjeru kretanja kazaljke na satu
(slika 3.3.b).
TakenaMorovomkrugunaponaodreujusvemoguenaponeunekojtakinapregnutog
tijela.
Morovkrugsemoenacrtatiakosupoznatinaponix,yikojidjelujunastranicama
elementa (slika 3.4a). Kada se Morov krug nacrta mogu se odrediti
glavni normalni naponi, maksimalni smiui naponi, kao i naponi u
bilo kom presjeku. Procedura crtanja Morovog kruga (slika 3.4.b) je
sljedea: -U koordinatnom sistemu n0n odrediti centar kruga ||.|
\| +0 ,2y xC ;
-UdijagramunaznaititakuAkojajepredstavljenanaponskimstanjemnaxpovrini
elementa (voditi rauna o znaku napona), slika 3.4a;
-UdijagramunaznaititakuBkojajepredstavljenanaponskimstanjemnaypovrini
elementa (voditi rauna o znaku napona), slika 3.4a; -Spojiti take A
i B. Ova linija je prenik kruga koji prolazi kroz centar C, tako da
se na
ovajnaindolazidocentrakrugaibeznjegovogodreivanjanaosnovukoordinata
centra prvi korak; -Nacrtati krug iji je centar C, a radijusCB CA =
. 68Da bi se odredili glavni normalni naponi i maksimalni smiui
naponi treba:
-NaznaititakeP1iP2presjekaMorovogkrugasosomn,gdjesusmiuinaponi
jednakinuli,anormalninaponiimajuekstremnevrijednosti.Tetakeodreuju
glavne normalne napone. Na primjer, ,21 1R CP OCy x++= + = to
odgovara izrazu (3.7).
-Ugaokojiodreujeravanglavnihnormalnihnaponanalaziseprekougla2.Ugao
2 je jednak uglu izmeu radijusaCA i 1CP . Taki A odgovara ugao = 0.
, 2 sin ,22 cosR Ry x ==
-toodgovaraizrazu(3.6).UgaojeperiferijskiugaonadlukomAP1iliugaoizmeu
dui pAA i 1A Ap.TakaAPjeprojekcijatakeAnakrunici.Ovetakesusiste
strane n ose.-Naznaiti take S1 i S2 u kojima su ekstremne
vrijednosti smiuih napona, te je: ,1 1R CS = = to odgovara izrazu
(3.10).
-Ugaokojiodreujeravanekstremnihsmiuihnaponanalaziseprekougla2. Ugao
2 je jednak uglu izmeu radijusaCAi 1CS . (Voditi rauna o znaku
ugla, tj. kojim smjerom se dobija u odnosu na taku A). Ugao je
periferijski ugao nad lukom AS1 ili ugao izmeu dui PAAi 1S AP.
Naponi u bilo kom presjeku, za poznati ugao , odreuju se na
slijedei nain: -Nanijeti ugao 2 u smjeru suprotno kretanju kazaljke
na satu od radijusaCA , jer taki A odgovara =0 i ona je referentna
taka u odnosu na koju se odreuje ugao. Ugao 2 odreujetakuDije su
koordinate n1in1, a vrijednostitihnapona mogu sedobiti i iz izraza
(3.4);
-Nacrtatielementijanormalaimanagibuodnosunaosuxinaznaitinaponen1i
n1 (slika 3.4c); -U Morovom krugu naznaiti taku D nasuprot taki D.
Koordinate take D su naponi n2 i n2, a vrijednosti tih napona mogu
se dobiti i iz izraza (3.4) za ugao 2 + . 69Naslici 3.4dprikazan
jeelementizloendejstvuglavnihnormalnihnaponainaznaene su
povrinenakojimanaponskostanjeodgovaratakamaP1iP2naMorovomkrugu(slika
3.4b). 2C2y x + nn12y211xnP1P1S1S1APP2P2S2S222Pravac dejstvaglavnog
naponaPravac dejstvaekstremnogsmiueg naponaBn1DD'000yyxx
+e)d)yx0yxBAn1n2n10yxD'Dn1n2c) a)b)00A Slika 3.4. Konstrukcija
Morovog kruga za ravno stanje napona a) element u ravnom naponskom
stanju b) Morov krug za ravno stanje napona prikazano na slici 3.4a
c) Element pod nagibom u odnosu na poetno stanje d) Element izloen
dejstvu glavnih normalnih napona e) Element izloen dejstvu
ekstremnih smiuih napona 70Naslici3.4e.prikazan jeelement izloen
dejstvuekstremnih smiuihnaponainaznaene
supovrinenakojimanaponskostanjeodgovaratakamaS1iS2 na Morovom krugu
(slika 3.4b.). 3.4. Specijalni sluajevi ravnog stanja napona
Optisluajravnogstanjanaponamoesesvestinajednostavnijestanjeuspecijalnim
sluajevima. 3.4.1. Element izloen dejstvu napona samo u pravcu
jedne ose
Ovajsluajjeprikazannaslici3.5.Tadasunaponiukosompresjeku,naosnovu(3.4)
jednaki: ( ). 2 sin2, 2 cos 12xnxn =+ =(3.15) Glavni naponi su 1 =
x, 2 = 0, to se dobija iz (3.7), a ugao koji odreuje ravan glavnog
napona dobija se iz (3.5.) i iznosi = 0. Ekstremni smiui naponi su
1,2 = x/2, dobijeno
iz(3.10),augaokojiodreujeravanekstremnogsmiuegnaponajenaosnovu(3.9)=
/4. xx0yx Slika 3.5. Element izloen jednoosnom naprezanju 3.4.2.
Element izloen dejstvu samo smiuih napona
Ovajsluajjeprikazannaslici3.6.Tadasunaponiukosompresjekunaosnovu(3.4)
jednaki: . 2 cos, 2 sin ==nn(3.16)
71Glavninaponisu1,2=,dobijeniiz(3.7),augaokojiodreujeravanglavnognapona
dobija se iz (3.5) i iznosi = /4. Ekstremni smiui naponi su 1,2 = ,
dobijeno iz (3.10), a ugao koji odreuje ravan ekstremnog smiueg
napona je dobijen iz (3.9) i iznosi = /2. 0yx Slika 3.6. Element
izloen istom smicanju 3.4.3. Element izloen dvoosnom naprezanju,
ali nema dejstva smiuih napona Ovaj sluaj je prikazan na slici 3.7.
Naponi u kosom presjeku ponovo se raunaju iz (3.4) i jednaki su: .
2 sin2, 2 cos2 2 y xny x y xn =++=(3.17)
Glavninaponisu1=x,2=y(x>y),tojedobijenoiz(3.7),augaokojiodreuje
ravanglavnognapona,dobijeniz(3.5)je=0.Ekstremnismiuinaponisu 22 ,
1y x = ,dobijenoiz(3.10),augaokojiodreujeravanekstremnogsmiueg
naponaje na osnovu (3.9) = /4. yyxx0yx Slika 3.7. Element izloen
dvoosnom naprezanju 723.5. Veza izmeu napona i deformacije
Usluajuravnognaponskogstanja,kaoposljedicadejstvavanjskogoptereenja,javljase
deformacijatankeploeitolinijskadeformacijailidilatacija()iugaonadeformacijaili
klizanje().Dilatacijajeposljedicadejstvanormalnognapona,aklizanjejeposljedica
dejstvasmiuegnapona.Dabiseuspostavilavezaizmedjunaponaideformacije,
pretpostavlja se da je materijal homogen, izotropan i linearno
elastian.
Priraunanjudeformacijamoeseprimijenitiprincipsuperpozicije.Naprezanjeserazlae
nadvasluajaaksijalnognaprezanjainaistosmicanje(slika3.8).Moeseprimijeniti
Hukov (Hooke) zakon, tj.: , E = (3.18)
toznaidapostojilinearnazavisnostizmedjunaponaideformacije.Koeficijent
proporcionalnostijeJangov(Young)modulelastinosti,kojijekarakteristikamaterijala,a
izraava se u Pa.
Zanaponskostanjeprikazanonaslici3.8.naponxizazivauxpravcudilatacijux/E
(izduenje), to se dobija iz (3.18), a od napona y u tom pravcu
dilatacija je -y/E, tj. doi e do skraenja. Naime, poprena
dilatacija je jednaka: , =pop(3.19)
gdjejepodunadilatacija,ajePoasonov(Poisson)koeficijentiodreujese
eksperimentalno.Analognosedobijazaypravac.Izduenjejeposljedicadejstvanapona
y, a skraenje dejstva napona x. yyyyxxxx Slika 3.8. Ravno stanje
napona Moe se napisati: ( )( ).1,1x y yy x xEE = =(3.20) Do izraza
(3.20) dolazi se i iz izraza (2.56) za z = 0. Pored dilatacije
javlja se i klizanje, koje se rauna koritenjem Hukovog (Hooke)
zakona za smicanje: 73,Gyx xy = = = (3.21) gdje je G modul klizanja
i rauna se prema: ( ).1 2 +=EG (3.22) Izrazi (3.20) i (3.21)
predstavljaju Hukov zakon za ravno naponsko stanje. yyxx Slika 3.9.
Deformacija elementa pri ravnom stanju napona
Naponskomstanjuprikazanomnaslici3.8.odgovarajudeformacijeprikazanenaslici3.9.
Crtkanom linijom je prikazan poetni oblik elementa, a punom
deformisani. Ukoliko je deformacija uzrokovana priratajem
temperature T, tada je dilatacija jednaka: , ' , ' T Ty y x x + = +
= (3.23)
gdjejekoeficijenttoplotnogirenjaipokazujekolikajedilatacijapriprirataju
temperature za 1K ili 10C. Jedinica za je|.|
\|C K01 1. Izrazi (3.23) mogu se dobiti i iz (2.72) za z = 0. Iz
jednaina (3.20) i (3.21) mogu se dobiti naponi i oni se raunaju iz
izraza: ( )( ).,1,122 GEEx y yy x x=+=+=(3.24) Ako se javljaju
toplotne dilatacije, tada su normalni naponi: 74 .1',1'TETEy yx x =
= (3.25) 3.6. Deformacioni rad
Deformacioniradiliradunutarnjihsilajednakjeraduvanjskihsilaakoprideformaciji
nemapromjenekoliinetoploteutijeluiakonemapromjenekinetikeenergije,tose
postie pri statikom optereenju. Statiko optereenje se moe ostvariti
ako sila na poetku svoga dejstva postepeno raste od nule do konane
vrijednosti.
Priravnomstanjunapona,deformacioniradpojedinicizapremine,odnosnospecifini
deformacioni rad, rad unutarnjih sila jednak je: ( ),21' + + =y y x
x dW (3.26) to se dobija iz (2.78) za z = 0, yz = 0 i zx = 0. 3.7.
Primjeri i zadaci Primjer 3.1. U taki, u napregnutoj oblasti, na
vertikalnoj povrini elementa djeluje normalni napon x = 130 MPa i
nepoznati negativni smiui napon. Maksimalni glavni napon u taki je
1 = 150 MPa, a maksimalni smiui napon je 1 = 100 MPa.
a)Analitikiodreditinepoznatenaponenahorizontalnojivertikalnojpovrinielementa.
Ove napone, kao i glavne napone prikazati na skici (prikazati
orijentisani element). b)Grafiki, pomou Morove (Mohr) krunice,
odrediti nepoznate napone. Rjeenje:
a)Maksimalnismiuinaponsedobijaizizraza(3.11)( )2 1 121 = ,teje
minimalni glavni normalni napon . 50 200 150 21 1 2MPa = = = Prva
invarijanta napona (3.8) omoguuje dobijanje napona y, tj.: . 30 130
50 150 ;2 1MPay y x = = + = + 75Iz izraza za glavne normalne napone
(3.7) dobija se smiui napon , tj.: ( ) , 42122 21 + ++=y xy x ( ) ,
4 30 13021230 1301502 2 + + += . 60MPa = Pravci glavnih normalnih
napona se odreuju iz (3.5): , 75 , 030 13060 2 22 =+ ==y xtg a2 =
-36,890, odnosno = -18,4450. Na osnovu (3.6) jasno je da jesin2
< 0, te je 2 = 3600 36,890 = 323,110, a = 161,550.
Pravciekstremnihsmiuihnaponaseodreujuprema(3.12),tj.zamaksimalnismiui
napon bie: =161,550 450 = 116,550. Normalni naponi u ravnima
ekstremnih smiuih napona su prema (3.13): . 50230 1302MPay xo==+=
Orijentisani elementi su: =-60 MPa1=100 MPay=-30 MPa 0=MPa 502=-50
MPax=130 MPa1=150 MPa0 0y y yx x x-18,45161 5 , 5-63,45116,55a) b)
c) Slika 3.10. a) Element u ravnom naponskom stanju b) Element
izloen dejstvu glavnih normalnih napona c) Element izloen dejstvu
ekstremnih smiuih napona
76b)Morovkrugsecrtapremauputstvimadatimupoglavlju3.3.,anaosnovupoznatih
veliina u primjeru koji se radi. 0 CP2S2P1S1ABAP22102y1xnn Slika
3.11. Morov krug za ravno stanje napona prikazano na slici 3.10.
P1(1, 0) poznato 1CP= R = 1 na osnovu (3.10) i (3.14) poznato Preko
take P1 odredi se centar C i nacrta se Morov krug. Centar Morovog
kruga je ||.|
\| +0 ,2y xC , te je 1 1CP OC + = , a odavde je: oy xMPa OC = =
=+= 50 100 1502.Za x = 130 MPa oitano sa slike = -60 MPa.
KoordinatetakeB(y,),oitanesaslikesuy=-30MPa,=60MPa.KoordinatetakeP2
(2, 0), oitane sa slike, su2 = -50 MPa, = 0.
DabiseodrediliugloviitrebanaznaititakuAP.OnajeprojekcijatakeAna
krunici s iste strane n ose.
77Ugao,kojiodreujeravanglavnognormalnognapona1,jeugaoizmeudui PAA i
1P AP. Ugao,kojiodreujeravanekstremnog smiuegnapona1, je ugao
izmeudui PAAi 1S AP. Primjer 3.2. Rezervoar za komprimiranigas
leina nosaima kao na slici 3.12. Nosai su izvedeni tako
daneuzrokujunikakvepodunesilenarezervoaru.Ovajcilindrinirezervoar(d
=
800mm)jenapravljenodelinetrakedebljine=10mm,kojajespiralnozavarena.Zavar
durezervoaraformiraugaood250spoprenomravni,kojajenormalnanaosucilindra.
Unutarnji pritisak je p = 1,2 MPa. Odrediti: a) napone x i = y, b)
napone u pravcu normale i tangente na zavar. 25x Slika 3.12.
Rezervoar za komprimirani gas Rjeenje: a)Naponi u stijenci
cilindrinog rezervoara pod pritiskom prikazani su na slici 3.13.
Rezervoarjeprvopresjeenpoprenomravni(vidisliku3.13b).Statikiuslovravnotee
sila za x osu daje: . 0 22= = pr r Fx x(a) Iz uslova (a) dobija se:
. 2401 , 0 24 , 0 2 , 12MPaprx== =78yyxxxxppxr = y ya)b) c)px Slika
3.13. a) Naponi u stijenci cilindrinog rezervoara b) Naponi u
poprenom presjeku cilindrinog rezervoara c) Naponi u uzdunom
presjeku cilindrinog rezervoara
Zatimjerezervoarpresjeensdvijepopreneravninaudaljenostixijednomuzdunom
kroz osu rezervoara (vidi sliku 3.13c). Statiki uslov ravnotee sila
za y osu daje: . 0 2 2 = = x r p x Fy (b) Iz uslova (b) se dobija:
. 4801 , 04 , 0 2 , 1MPapry== = = b)Naponi u kosom presjeku
dobijaju se prema izrazu (3.4), tj. , 2 sin 2 cos2 2 +++=y x y
xn(c) . 2 cos 2 sin2 + =y xn(d) 79yxyx25n Slika 3.14. Element u
okolini take na zavaru Element na slici 3.14. jeizloen dvoosnom
naprezanju, ali nema dejstva smiuih napona ( = 0). Naponi u
presjeku zavara dobijeni iz (c) i (d) su: , 3 , 28 50 cos 12 36 50
cos248 24248 240 0MPan= =++= . 2 , 9 50 sin248 240MPan= = nnyx
Slika 3.15. Naponi u pravcu normale i tangente na zavar Naponi u
pravcu normale i tangente na zavar su prikazani na slici 3.15.
Primjer 3.3.
Stanjedeformacijeutaki,napovrinielinogmainskogdijela(E=210GPa, =
0,3), odreenojesdvijedilatacijex=650m/miy=475m/miklizanjem = 550
m/m. Odrediti naponske komponente x, y, u toj taki. 80Rjeenje:
Normalninaponixiyismiuinaponsuizraunatikoritenjemizraza(3.24).Modul
klizanja je izraunat iz (3.22): ( ) ( ) , 183 , 0 10 475 3 , 0 6503
, 0 1210162 2GPa vvEy x x= + = += ( ) ( ) , 155 , 0 10 650 3 , 0
4753 , 0 1210162 2GPa vvEx y y= + = += . 044 , 0 10 550) 3 , 0 1 (
2210) 1 ( 26GPavEG = + =+= = Primjer 3.4.
Bakarnatraka(E=100GPa,=1610-61/K)duine1,5mtrebadaosiguradastranice
kutijeinecjelinukaonaslici3.16.Meutim,kutijajeneznatnoveaimalistezni
prstenovi su smaknuti za 1 mm.
a)Odreditizakolikotrebazagrijatitrakudasedovoljnoizduidabudemogueuvui
iglu kroz otvore na steznim prstenovima.
b)Odreditinaponkojievladatiutracinakontoseonaohladinapoetnu
temperaturu. Stranice kutije smatrati krutim. 1 mm1,5 m Slika 3.16.
Kutija zategnuta bakarnom trakom Rjeenje: a)Dilatacija prema
(2.42), (3.18) i (3.23) iznosi: . TE ll + == (a)
81Akosetrakaslobodnoisteezal=0,001mpriporastutemperaturezaT,utracie
napon biti jednak nuli, te se iz (a) dobija: ( ) , 001 , 0 5 , 1 10
16 06m T l TEl = + = |.|
\| + = (b) a iz (b) se dobijaT = 41,670C (K).
b)Akotrakaostajeistegnuta1mmnakontojeohlaenanapoetnutemperaturu
(priratajtemperatureuodnosunanedeformisanostanjeT=0),tadanaponmora
porasti da se zadri istegnutost trake. Bie, na osnovu izraza (b): .
001 , 0 5 , 1 010 1009m l TEl = |.|
\|+= |.|
\| + = (c) Iz izraza (c) se dobija MPamN7 , 66 10 67 , 6626 = .
Zadatak 3.5. Element u ravnom naponskom stanju izloen je naponima
x=0,85105 Pa, y = -0,29105 Pa i = -0,32105 Pa, kako je prikazano na
slici 3.17. Odrediti: a)Glavne normalne napone i prikazati ih na
skici pravilno orijentisanog elementa. b)Ekstremne smiue napone i
prikazati ih na skici pravilno orijentisanog elementa. yx0yx Slika
3.17. Element u ravnom naponskom stanju 82Rezultat: 0 0y yx x'=75,2
30 '= ,22=-0,37 10Pa50,28 10Pa50,28 10Pa51=0,93 10Pa50,6510Pa5a) b)
Slika 3.18. a) Element izloen dejstvu glavnih normalnih napona b)
Element izloen dejstvu ekstremnih smiuih napona Zadatak 3.6.
Utaki,navanjskojpovrinitankostijeneposudepodpritiskom,javljajusenormalnii
smiuinaponinahorizontalnimivertikalnimpovrinamaelementaunutarkogaje
posmatrana taka, kako je prikazano na slici 3.19. a)Odrediti glavne
normalne napone i ekstremne smiue napone u taki (xy ravan);
b)Prikazati napone na pravilno orijentisanom elementu. F FMM80
MPa100 MPa40 MPayx Slika 3.19. a) Posuda pod pritiskom b) Element u
ravnom naponskom stanju 83Rezultat: a) Glavni naponi i ekstremni
smiui naponi 02 102 183, 90, 2 , 41 , 2 , 41, 38, 8 , 48 , 2 , 131
== = = == = MPaMPa MPaMPa MPao b) Grafiki prikaz yxyx-38-831120
Slika 3.20. a) Element izloen dejstvu glavnih normalnih napona b)
Element izloen dejstvu ekstremnih smiuih napona Zadatak 3.7.
Elementuravnomnaponskomstanjunapovrinivelikemaineizloenjedejstvunapona
x=1,03105Pa,y=0,34105Pai=0,27105Pa,kakojeprikazanonaslici3.21.
Pomou Morove krunice odrediti sljedee: a)napone koji djeluju na
element pod uglom od 400 s osom x, b)glavne normalne napone,
c)ekstremne smiue napone. Sve rezultate prikazati na pravilno
orijentisanom elementu. 84yxxy Slika 3.21. Element u ravnom
naponskom stanju Rezultat: y y yx x x0,36 10 Pa5 1,02 10 Pa5
DD'0,29 10 Pa5 0,25 10 Pa5 0,69 10 Pa5 0,69 10 Pa5 0,44 10 Pa5 1,13
10 Pa5 =40=19,3=-25,7P1S1S2P2a) b) c) Slika 3.22. a) Element pod
uglom od 400 s osom x b) Element izloen dejstvu glavnih normalnih
napona c) Element izloen dejstvu ekstremnih smiuih napona Zadatak
3.8. Ravno naponskostanje postojiutaki na povrini napregnuteposude,
kakoje prikazano na slici 3.23.. Odrediti napone koji djeluju u
ravni pod uglom od 750 kako je prikazano na slici 3.23. 85yx7546
MPa19 MPa12 MPa Slika 3.23. Element u ravnom naponskom stanju
Rezultat: yx=-151,4 MPa32,6 MPa31,0 MPann1n = -32,6 MPa Slika 3.24.
Element pod uglom s osom x Zadatak 3.9.
Izzidaelinogcilindrinogrezervoaraisjeenjeelementijajejednastranaparalelnas
izvodnicomcilindra(slika3.25.).PrenikcilindraD=100cm,debljinazidaje=10mm,
unutranjipritisakjep=2MPa.Cilindarjepritisnutprekoosnovaaksijalnimsilama
F=500 kN.
Odreditinormalniismiuinaponupresjekukojijepoduglomod600sizvodnicom
cilindra. Slika 3.25. Cilindrini rezervoar Rezultat: n=50,6 MPa i
n=-28,5 MPa F
600 F
86Zadatak 3.10.
Glavnipritiskujuinaponnavertikalnojpovrinielementa,unutarkogajetakana
drvenombloku,jednakjeetverostrukojvrijednostiglavnogpritiskujuegnaponana
horizontalnojpovrini.Ravandrvnihvlakanajepoduglomod600,kaonaslici3.26.
Normalniismiuinaponi na ovoj ravni ne smiju prei vrijednost od 2,5
MPa (normalni) i 1,2 MPa (smiui). Slika 3.26. Element u okolini
take na drvenom bloku
PomouMorovekruniceodreditimaksimalnidopustivinaponnahorizontalnojpovrini
elementa. Rezultat:ymax = 0,769 MPa 3,077 MPa0,769 MPa Slika 3.27.
Element u ravnom naponskom stanju Zadatak 3.11.
Dvaelementaprikazananaslici3.28amorajubitisastavljenaucjelinulijepljenjem.
Povrina poprenog presjeka je ah, a = h = 1 cm. Ako je potrebno oni
mogu biti zalijepljeni tako da se naini kosi presjek, kao na slici,
3.28b. ha Slika 3.28. Elementi pripremljeni za lijepljenje a) b)
87Prvaslika(3.28a)jeustvarispecijalnisluajdrugeslike(3.28b)za=900.Poslije
lijepljenja,ovielementitrebadapodnesuaksijalnooptereenjeod100N.Ljepilomoe
podnijetimaksimalninormalninaponod0,587MPaimaksimalnismiuinaponod0,47
MPa.Odreditinajveuvrijednostugladaovoljepilomoebitikoritenozalijepljenje
ova dva elementa. Rezultat: < 350 Zadatak 3.12. elina ipka (E =
2,11011 Pa, = 1110-6 1/K) krunog poprenog presjeka, poluprenika
r=6mm,imaduinul=1,8m.Odreditipromjenunjeneduinenakontojeizloena
dejstvu zateue aksijalne sile F = 22,25 kN i padu temperature od
280C (K). Rezultat: l = 0,627 mm Zadatak 3.13.
Tankostijenacijevjeizraenaodelinihploaspojenihzavarivanjemuzduspiralne
putanjekaotojeprikazanonaslici3.29a.Cijevjenakrajevimaizloenamomentima
uvijanjatakodajeelementcijeviA,izdvojenizcijevinamjestuzavarenogspoja,izloen
dejstvutangencijalnihnaponaod40MPakaotojeprikazanonaslici3.29b.Zatezna
vrstoa zavaraM =400MPa, avrstoana smicanje M = 250 MPa. Izraunati
koliko je puta vrstoa zavarapri zatezanju i smicanjuvea od
normalnihismiuih napona u ravni zavara. Mt Mt3030 = 80 MPaAa)
b)Zavar Slika 3.29. a) Spiralno zavarena elina cijev b) Element u
okolini take na mjestu zavarenog spoja Rezultat: n = 69,3 MPa, M/n
= 5,8 n = -40 MPa, M/n= 6,2 88 Zadatak 3.14.
OdreditimaksimalnuvrijednostsileF,kojomjeoptereendrveniblok(slika3.30.),ako
se zahtijeva da napon smicanja uzdu vlakana ne prekorai vrijednost
d = 0,75 MPa, a napon pritiska normalan na vlakna ne prekorai
vrijednost d = 1,2 MPa. 60Pravacvlakana200 mm120 mm320 mm Slika
3.30. Drveni blok optereen silom F
Napomena:Normalninaponraunatiprema AFx= ,gdjejeApovrinapoprenog
presjeka drvenog bloka Rezultat: Fmax 38,4 kN F
