IV Ravno Kretanje 12

7/21/2019 IV Ravno Kretanje 12

http://slidepdf.com/reader/full/iv-ravno-kretanje-12 1/32

RAVNO KRETANJE KRUTOG TELA

Zakoni kretanja tela i putanje taakaRavno kretanje krutog tela je takvo kretanje pri kome se za sve vreme kretanja

sve take tela kre#u u ravni koja je paralelna nepominoj unapred uoenoj ravni.

Ravno kretanje predstavlja kombinaciju dva najprostija kretanja :

translacije i obrtanja oko ose iji je pravac nepromenljiva položaj u prostoru promenjiv u toku vremena.



Pri prouavanju kretanja ravnog

tela dovoljno je posmatrati kretanje preseka S.



Primeri ravnog kretanja krutih tela



Primeri ravnog kretanja krutih tela



Za potpuno opisivanje položaja reprezentativnog preseka potrebno je i dovoljno

poznavanje položaja proizvoljno izabranog pola A i ugla za koji se presek zaokrene

oko ose koja prolazi kroz pol A i normalna je na reprezentativni presek.

Da bi se poznavalo kretanje pola A

treba znati vektor položaja:

A A Ar x (t) i y (t) j.= +r rr

Da bi se opisala rotacija treba znati

zakon promene ugla j (t ).

Konane jednaine kretanja krutog tela

(zakoni ravnog kretanja):

A A

A A

A A

x x (t),

y y (t),

(t).

=

=

j = j



0xyz - nepokretni koordinatni sistem.

A%&' - pokretni koordinatni sistem vrsto vezanza telo.

Koordinate položaja proizvoljne take

M preseka S u odnosu na A%&(:

% = AM cos) = const ,& = AM sin) = const ,

' = 0 .

Koordinate položaja proizvoljne take M preseka S u odnosu na Oxyz:

Položaj proizvoljne take M reprezentativnog preseka M Ar (t) r (t) AM= + uuuurr r

( )

( )

M A

M A

x (t) x (t) AMcos t ,

y (t) y (t) AMsin t .

= + a + jé ùë û

= + a + jé ùë û

A A A A A Ax x (t), y y (t), (t).= = j = jzakoni ravnog kretanja



Pomeranje reprezentativnog preseka iz jednog položaja u drugi

može da se ostvari jednom translacijom (preseka zajedno sa polom A)

i jednom rotacijom oko pola za ugao j ilisamo jednom rotacijom oko ose istog obrtanja.



RAZLAGANJE RAVNOG KRETANJA NA TRANSLACIJU I OBRTANJE.OSA KONA#NOG OBRTANJA

a) Komponentalna kretanja ( translacija i obrtanje )

Ravno kretanje krutog tela sastoji se iz dva osnovna kretanja: translatornog i

obrtnog kretanja oko ose koja prolazi kroz proizvoljno izabrani pol u ravni

figure S a upravna je na tu ravan.

Posmatramo položaje ravnog preseka S u trenucima vremena t0, t1 i t2

(uoi#emo materijalnu duž i posmatra#emo položaje ove duži):

1 1 0t t tD = - 2 2 1t t tD = -





b) Konano i infinitezimalno isto obrtanje ( jedno obrtanje )

Šalova teorema: prevo*enje figure S iz položaja u trenutku t0 u položaj

u trenutku t1, a zatim u položaj odre*en trenutkom t2, može se izvesti ikonanim istim obrtanjem.

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

A B P A B P ,

A P A P ,

B P B P ,

D @ D

=

=

Prema tome, možemo smatrati da smo

ceo presek zajedno sa pomenutim trouglom

preveli iz položaja u trenutku t0 u položaj

u trenutku t1 konanim istim obrtanjem

za ugao oko take P1.

Ravno kretanje preseka S se može shvatiti kao skup

infinitezimalnih obrtanja oko centara iji se položaji

me*usobno razlikuju (take P1 i P2).

Taka P1 – centar konanog

obrtanja za vremenski interval

+t1 = t1 , t0



BRZINE TA#AKA TELA KOJE IZVODI RAVNO KRETANJE

a) Veza izme%u brzina dve take tela

Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja

pri ravnom kretanju imaju stalni pravac,

koji je normalan na reprezentativan presek:

zk k ,Vw = j = j n = w = w nr rr r r

& &

z

dk k .

dt V

we = = j = jn = e = e n

r r rr r r&& &&

Položaj take B ravne figure S u odnosu

na nepokretni pol O:

B A A Br r AB r .= + = + r

uuurr r r r

B Adr dr dAB.

dt dt dt= +

uuurr r

Diferenciranjem po vremenu:

Pri emu je:def def

B A BB A

dr dr dv , v , ?

dt dt dt

r= = =

uurr rr r



Bd?

dt

r=

r

B B BAB .= r = x l + h muuur rr r

( ) BB B

dAB d d

dt dt dtx= x l + h m =

uuurr r B

B

d d

dt dtl hl + x +vr

B B B

d.

dtmm + h = x l + h mr vr r& &

cos i sin j,

sin i cos j.

l = j + j

m = - j + j

r rr

r rr

( )

( )

dsin i cos j sin i cos j ,

dt

dcos i sin j cos i sin j .

dt

l= -j j + j j = j - j + j = jm

m= -j j - j j = j - j - j = -jl

r r r r r r& & & &

r r r r r r& & & &



k w = j = wn

rr r

&d

k ,dt

dk .

dt

lw´ l = j ´ l = j ×m = = l

mw´ m = j ´ m = -jl = = m

rrr r rr r &

& &

rr rr r r r&& &

( )BB B B B B B B

d d dAB,

dt dt dt

r l m= x + h = x w´ l + h w´ m = w´ x l + h m = w´r = w´vr r uuurr rr r r r r rr r

a to je u stvari brzina take B kad bi taka A bila nepokretna a telo vršilo obrtanje

oko nepomine ose koja prolazi kroz taku A i upravna je na ravan reprezentativnog

preseka. Ovo je brzina take B u odnosu na A:

A BB

dv AB.dtr= = w´r

uuurrr

d d, .

dt dt

l m= l = jm = m = -jl

r rr rr r& && &

AB A A Bv v AB v v .= + w´ = +

uuurrr r r r

Brzina proizvoljne take B preseka S jednaka je geometrijskom zbiru brzine pola A i

brzine take B pri obrtanju preseka S oko ose koja prolazi kroz pol A a upravna je na

ravan preseka.



Brzina proizvoljne take B preseka:

A

B A A Bv v AB v v .= + w´ = +

uuurrr r r r

Ugaona brzina ravnog preseka ne zavisi od izbora pola.

ABv ABsin( ,AB) AB ,= w w = w = rwuuur

r r

Vektor je odre*en slede#im elementima:

- po intenzitetu je:

ABv

r

- leži u ravni preseka, pošto je upravan na vektor ugaone brzine

- smer mu je takav da sa ovim vektorima ini desni trijedar.



Osobine brzina taaka tela koje izvodi ravansko kretanje

Teorema o projekcijama brzina:

Projekcije brzina bilo koje dve take reprezentativnog ravnog preseka na pravukoja ih spaja, jednake su.

AB A Bv v v ,= +

r r r

Poznati su:

- intenzitet, pravac i smer brzine take A,

- pravac vektora brzine take B.

( ) ( ) ( )AB A BAB AB AB

0

v v v .

=

= +r r r

14243

B Acos v cosb = a

Projektovanjem na pravac prave AB:

ABv AB^

r

a



Kliza A se kre#e po pravoliniskoj vo*ici brzinom konstantnog intenziteta vA=v0, a kliza C

brzinom konstantnog intenziteta vC=2v0 po lunoj vo*ici poluprenika R=l .

Poluga 1, dužine l , je krajem A zglobno vezana za kliza A, a krajem B za polugu 2, dužine l,

koja je drugim krajem vezana za kliza C. U prikazanom položaju sistema odrediti brzinu i

ubrzanje zgloba B.

A C

B A B B C Bv v v , v v v , (1)= + = +r r r r r r

A C

B 1 1 B 2 2v AB i v BC . (2)= w = w = w = wl l

A C

A B C B

A C

B C B

A C

A B B

v v v v ,

x : 0 v cos30 v v cos30 ,(3)

y : v v sin 30 0 v sin 30 ,

+ = +

ü- ° = - + ° ïý

- - ° = - ° ïþ

r r r r

1 0 2

0 1 2

3 32v ,2 2 (4)

1 1v 0 ,

2 2

ü- w = - + w ïïýï- - w = - w ïþ

l l

l l

A01 B 0

C02 B 0

v 2 3 2 31 , v v 1 ,

3 3(5)

v 2 3 2 31 , v v 1 .

3 3

üæ ö æ öw = - Þ = - ïç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷ ïè ø è ø ýæ ö æ ö ïw = + Þ = +ç ÷ ç ÷ ïç ÷ ç ÷è ø è ø þ

l

l

A A

B Bx By B B A B 0 0

3 1 2 3v v i j v cos30 i v sin 30 j v j v 1 i v 1 j.

3 2 3

æ ö æ ö= + n = - ° - ° - = n = - - - +ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷è ø è ø

r r r r r r rrr

Vektor brzine take B:



Trenutni pol brzina

Ravansko kretanje krutog tela može da se posmatra kao isto obrtanje oko ose trenutnog obrtanja,

može da se pretpostavi da u ravni preseka uvek postoji taka ija je brzina jednaka nuli.To je taka prodora ose trenutne rotacije kroz tu ravan i ona se naziva trenutni pol brzina P.

P PA P A Av v v 0 v PA.= + = + = w´

uuurrr r r r

Ako se zna položaj te take onda je brzina proizvoljne take A:

Ako je poznato Av i w

rr

onda položaj trenutnog pola može da se dobije

na slede#i nain:

AP A P Av v v v AP /= + = + w´ w´

uuurr rr r r r

( )P A Pv v AP , (a) v 0, jer jebrzina pola jednaka nuli.w´ = w´ + w´ w´ w´ =uuurr r r r rr r r

2

a (b c) b(a c) c(a b),

( AP) ( AP) AP( ) AP ,

jer je AP, pa je AP 0. (b)

´ ´ = × - ×

w´ w´ = w w× - w× w = - w

w ^ w× =

r r rr r r r r ruuur uuur uuur uuurr r r r r r

uuur uuurr r

2A A2

1(b) ( ) v AP AP ( v ).® Þ w´ = w Þ = w´

w

uuur uuurr rr ra

( ) AA A A2 2

A

1 1 vAP v sin ,v v ,

jer je v .

= w w = w =ww w

^ w

r r

rr



Posebni sluajevi odre%ivanja trenutnog pola brzina

Metoda okrenutih brzinaAko je poznata brzina neke take A i pravac brzine take B, trenutni pol brzina P nalazi sena normali na pravac brzine, odnosno u preseku normala na brzine u A i u B.

Dužina AP se izrauna na osnovu geometrije, a ugaona brzina je Av.

AP

w =

Smer ugaone brzine je saglasan smeru brzine Avr

Brzina bilo koje take u datom trenutku vremena, na primer take B: Bv PB.= w



Kotrljanje bez klizanja cilindra po nepominoj površi

Pošto nema klizanja na mestu dodira pokretnog tela i površi, brzina take

cilindra kojom ovaj dodiruje površ jednaka je nuli. Prema tome ova taka je

trenutni pol brzina.

A Bv AP, v BP.= w = w

Brzine proizvoljnih taaka A i B su:



Vektori brzina taaka A i B su paralelni i upravni na duž AB.Potrebno je odrediti ugaonu brzinu i položaj trenutnog pola brzina.

Trenutni pol brzina je na normali na brzine taaka A i B. Položaj trenutnog pola brzine

je prividno neodre*en, jer se normale na ove brzine poklapaju.

a) Brzine taaka A i B su istog smera

A Bv AP, v BP= w = w

( )A Bv v AP BP AB- = w - = w

A Bv v

AB

-w =

Intenziteti brzina su linearno zavisni od rastojanja tih taaka od pola, pa se pol brzine

nalazi u preseku prave koja spaja vrhove vektora brzina i prave AB.



a) Brzine taaka A i B su suprotnog smera

A Bv AP, v BP= w = w

( )A Bv v AP BP AB+ = w + = w

A Bv v

AB

+w =



Vektori brzina taaka A i B su paralelni i nisu upravni na duž AB

Ako su brzine taaka paralelne, a take nisu na istoj normali, tada su normale na

brzine dveju taaka paralelne i seku se u beskonanosti.

A

A A

v AP

v v0

AP

= w

Þ w = = =¥

AP ® ¥

AB A B Av v v v= + = + wrr r r r 0

AAB v´ =

uuur r

B Av=r r

Brzine svih taaka su paralelne i jednake, pa se kaže da telo izvodi prividnu translaciju,

jer u sluaju stvarne translacije nisu samo brzine jednake ve# i ubrzanja, što u ovom sluaju nije.



Ubrzanja taaka tela pri ravnom kretanju

a) Veza izme%u ubrzanja dve take ravne figure

AB A A Bv v AB v v ,= + w´ = +

uuurrr r r r

Diferenciranjem po vremenu relacije koja povezuje brzine dve take ravne figure

dobija se slede#i izraz:

B A

def B

B

def A

A

B

dv dv d d(AB)AB ,dt dt dt dt

gde je

dv,

dt

dv ,dt

d,

dt

d(AB) dAB,

dt dt

w= + ´ + w´

=

=

w= e

r= = w´

uuurrr r uuurr

rr

r

r

rr

uuur r uuurr

a

a ( )B A AB AB .= + e ´ + w´ w´uuur uuurr r rr ra a

ABv

r



Kako je : ( ) ( ) ( ),´ ´ = × - ×r r rr r r r r r

a b c b a c c a b

( AB) ( ABw´ w´ = w w×uuur uuurr r r r 0

2) AB( ) AB- w× w = - wuuur uuurr r

ABw ^ uuurr

AB 0w × =uuurr

AB

2B A AB AB .= + e ´ - w

r

uuur uuurrr r1442443

a

a a

AB A B= +

r r ra a a A 2

B AB AB .a e w = ´ -uuur uuurrr

Obrtno ubrzanje take pri obrtanju ravne figure oko ose koja prolazi kroz pokretni pol A:

A AB B T( ) ( ) AB.e = = e ´

uuurrr ra a ( ) ( )A

B ABsin ,AB AB .e = e e = e

uuurr raIntenzitet:

Ubrzanje usmereno ka osi take B priobrtanju ravne figure oko ose koja prolazi kroz pol A:

( ) ( )A A 2B B N

AB.w = = -w

uuurr ra a

( )A 2B AB .

w = w

uuura

Intenzitet:



( ) ( )A AB A B B .a a a a

e w = + +

r r r r

Pri ravnom kretanju je ubrzanje proizvoljne take B ravne figure jednako geometrijskom zbiru ubrzanja pola A, obrtnog ubrzanja iubrzanja usmerenog ka osi take B pri obrtanju preseka – figure okopola A.

A

BA 2 2B

( ) ABtg( ) AB

ew

e eb = = =w waa

A A 2 A 2 2 4B B B( ) ( ) ABe w= + = e + wa a a



b) Trenutni pol ubrzanja

Trenutni pol ubrzanja je taka ravne figure ije je ubrzanje u datom trenutkuvremena jednako nuli.

Poznato je ubrzanje pola A, ugaona brzina w i ugaono ubrzanje e . Iz take

A pod uglom u odnosu na vektor ubrzanja take A nanosi

se vektor , intenziteta:2

arctg e

b w

=

AQuuur

A

2 4QA ,a

e w =

+

iji vrh odre*uje taku Q.

A Q A ,

Q

a a a= +

r r r

Q 0,a =r

A 2 4Q AAQ .a ae w = + =



Ubrzanje take B:

A A C C

B A BT BN B C BT BN, , (7)a a a a a a a a= + + = + +r r r r r r r r

( )

( )

( )

2A A 2 2 0A

A BT 1 1 BN 1 1

22 20C C 0

C CT CN CN CT CN

K

2C C 2 2 0BT 2 2 BN 2 2

d0, AB , AB 7 4 3 ,

dt 32d 4

, 0, , (8)dt R

CB , BC 7 4 3 .3

vva a l a l

l vv v v

a a a a a al l

va l a l

l

e e w w

e e w w

ü= = = = = = = - ï

ïïï= + = = = = = = ý

ïïï= = = = == +ïþ

r r r r



Izjednaavanjem desnih strana jednaina (7) dobija se vektorska jednaina

sa dve skalarne nepoznate veliine1 2i ,e e koja može da se projektuje na ose x i y kao:

A A C CA BT BN C BT BN ,a a a a a a+ + = + +r r r r r r

A o A o C o C o

BT BN BT BN

A o A o C o C o

BT BN CN BT BN

x : cos30 cos60 0 sin 60 sin30 ,(9)

y : sin 30 sin 60 cos60 cos30 .

a a a a

a a a a a

ü- - = + - ïý

- + = - - ïþ

( ) ( )

( ) ( )

2 2A0 01 BT2

2 2C0 0

2 BT2

v v7 3 8 , 7 3 8 ,33

(10)v v

16 7 3 , 16 7 3 ,33

üe = - Þ = - ïïýïe = - Þ = - ïþ

al l

al l

( )2 20 0

B Bx By

2i j 14 6 3 i + j. (11)

3 3

v va a a

l l = + = -

r r r rr



A const, AB 4r.v = =

Mehanizam se sastoji od klizaa I koji se kre#e po kružnoj vodjici, poluge AB i cilindra II koji se kotrlja

bez klizanja po horizontalnoj nepominoj ravni. Take A i B su cilindrini zglobovi ije su ose paralelne

izvodnicama cilindra. Ravan vo*ice, osa štapa AB i normalni presek cilindra leže u ravni kretanja.Odrediti brzine i ubrzanja karakteristinih taaka i ugaone brzine i ugaona ubrzanja štapa i cilindra u

prikazanoj konfiguraciji.

Zadatak



A A1A 1 1 1

2AP 4 2 , (1)

8r 4r 2

v vv r w w w = = Þ = =

A1B 1 1 A

2 2BP 4r 4r , (2)

8r 2

vv vw w = = = =

2B 2 2 A 2 A

2 2BP 2R , , (3)

2 4R v v vw w w = = = Þ =

2C 2 A A

2 2CP R , (4)

4 4v v v

Rw = = =

Brzine

Taka A se kre#e po krugu, pa je njeno ubrzanje u odnosu na

prirodan koordinatni sistem

Ubrzanja

A AT AN

AAT A

2

AAN

2

A

A AN A AN

,

d0, ( const)

dt

(5),

r

, .r

a a a

va v

va

va a a a

= + üïï= = =ïïý

= ïïï

= = = ïþ

r r r

r r



A A

B A BT BN , (6)a a a a= + +r r r r

A

BT 1 1

22

A 2 A ABT 1

AB 4r ,

2AB 4r . (7)

8r 8r

= =

æ ö= = =ç ÷ç ÷

è ø

a

v va

e e

w

Ubrzanje take B treba odrediti iz vektorske relacije:

C CB C BT BN , (8)= + +r r r ra a a a

C

BT 2 2

22

C 2 ABN 2 A

CB R ,

2CB R , (9)

4R 8R

= =

æ ö= = =ç ÷ç ÷

è ø

a

va v

e e

w

Kako taka B pripada i cilindru, važi jednaina u kojoj je kao

pol izabrana taka C:

2C 2CPv w = 2CP R const.= =

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )

2 2 2 2C

2CC 2

C 2

d CP t d R t R d td,

dt dt dt dt

d tda kako je i t ,

dt dt

R t . (11)

v

va

a

w w w

w e

e

= = =

= =

=

pošto se taka C cilindra kre#e po pravoj liniji i tokom itavog kretanja je

Ovako predstavljena brzina take C

može da se diferencira po vremenu:



A A C C

A BT BN C BT BNo A C

A BN C BT

o A C

A BT BN

,

x : cos 45 ,(12)

y : sin 45 0 ,

a a a a a a

a a a a

a a a

+ + = + +

ü- - = - - ïý

- - = - ïþ

r r r r r r

( )2 2

A A1 2

2 2 r 11 , 1 4 2 , (13)

8 8 R r 16 rR

v ve e

æ öæ ö= - = +ç ÷ç ÷ç ÷

è øè ø

( ) ( )2 2

A AC 2 C

1 1R 1 4 2 , 1 4 2 i, (14)

16 r 16 r

v va ae = = + = - +

rr

( ) ( )2 2 2

C C A A AB C BT BN 2 2

1i j 2R i j 1 4 2 i j. (15)

8R 8 r 8R

v v va a a a e e = - + - = - - = = - + -

r r r r r rr

Izjednaavanjem desnih strana vektorskih jednaina (6) i (9) dobija se vektorska jednaina

sa dve skalarne nepoznate veliine, koja može da se projektuje na ose x i y:

odakle se dobija:

Relacija (11) važi za svaku konfiguraciju mehanizma, pa i za prikazanu na slici, pa je ubrzanje take C:

a ubrzanje take B na osnovu relacije (8):

Documents

IV Ravno Kretanje 12