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RUBÉN ALVA CABRERARUBÉN ALVA [email protected]
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)
3
45 512
13 20
21 29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
qq=CatetoOpuestoasenHipotenusa
CatetoAdyacenteacosHipotenusa
HipotenusasecCatetoAdyacentea
HipotenusacscCatetoOpuestoa
CatetoAdyacenteacotCatetoOpuestoa
CatetoOpuestoatanCatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
12
35
H 2 2 2H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12373537
1235
cot
sec
csc 3512
37353712
EJEMPLO :
EJEMPLO :Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
23
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1sen csc
1cos sec
1tan cot
EJEMPLOS
o1A) sen36
ocsc 36 o1B) cos 17
osec 17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc 2 1o oC) tan 49 cot 49 1
oE)cos 63 sec 1 o63
F) tan 2 cot 1 2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD : “LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
sen cos
cos
tan
sen
cot a
b ccot
sec
csc
tan
csc
sec
EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60
ocos 65ocot 47ocsc 30
.............................................
o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90
oD)sen cos 20 o O20 90 o70
E) tan 5 cot o5 90 o15
F)sen 5
cos
5 2
2 5
3 rad10
TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3o30 (
)
O60 1
1
2o45
o45
(
)3
4
5o37
o53
(
)
osen30 12
otan 60 3
osec 45 2 ocot 37 43
otan 30 13
3x 333
osen45 12
2x 222
)) ((o30
o37 o45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
8 3 3cot 4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
HHsen
H cos
L sec L tan
L
5o62
o5sen62
o5 cos 62
8
8 tan8 sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L
L cot
L csc ko24
ok csc 24
ok cot 24EJEMPLO
)
)
mCalcular L en términos de m y ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
SOLUCIÓN
m
m tanLL m tan
m
cot L m tan m cot
L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
F
yFxF X
Y
xF F cos
yF Fsen
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
abS senC2
bcS senA2
acS senB2
EJEMPLO
5m
8mO60
o(5)(8)S sen602
(5)(8) 3S ( )2 2 210 3m
ÁNGULOS VERTICALESLos ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o37O53
70
12k 12k
) O539k) o37
16k+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).
DIRECCIÓNLa dirección de B respecto de A es E30N o N60E o
La dirección de C respecto de A es oS56 O S34O o
o
o
RUMBOEl rumbo de Q respecto de P
o47El rumbo de M respecto de P
o27 al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O30
O56A
B
C
EO
S
N
P
Qo47
o27
M
)(
()
ROSA NÁUTICAGráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o1511En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o3022
N
S
EO
NNE
ENE
NNO
ONO
OSO
SSO
ESE
SSE
NENO
SO SE
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
E
NE
NNNE
ENENE41E
E41NE
NE41NN41NE
NNO
NO41NN41NO
NOO41NO
ONONO41O
O
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones NE1/4N y NO1/4O ?
Rpta. o90
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN N
S
EO
o53 )
o45
o45
4040 2
60
x
o37
24
321640 20 12
16
OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLEX = 20
F
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico)
2
2
a
bc
c ))
(
) 2
tan 2
b
c a
c ab
+
EJEMPLO :Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2
SOLUCIÓN
8
24
7
25
425
24tan 4 25 7
24tan 4 32
3tan 4 4
4 2
3
4
5
5
3tan 2 9 1tan 2 3
(
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