L4Los vncroRns Y LA GEoMETRIA

ANALITICA EN EL ESPACIO

Las te,:torcs tie e dos alurale.as .1i\1i tas, u a geonltriT t la otta

algebrait(t. Patu po.let usartos u los apliuuones es nercsurtu entendet

oibo" n"prrto". fo, "uo

razin nuestrc disc sion osdlanl ente los dos

entaqueienfarizatulo alsu as \'?ces el aspecto geamitriu f otas el

oig"i*no.' e^p""ou*os con los vctorcs en un pla o Despuis de esto

e.t nry titit cene tizar el cancePto de vtlot a ttes dinensiones

simpinenre tomando en cuenta una terc?ra componente Tambiln

diriuriretnos algunos renas btisico! (le la geometria analitica en el espacia

incluyendo e! eitudio de tectas pt.t os (ilndros, \uperftics cuatltdrnas

r curvas en el esPacio-

I4.1 VECTORES EN DOS DIMENSIONES

Una cantidad fisica que se puede camcterizar complelamente por un numero

..ut esp"clnco, " u"""i lu llu.u-ot cantidad escalar o simpl€ment€ un escdsr'

gj..pl"" a" escalares son la temperatura' la masa o la densidad Las cantidades

vectoiiales tienen tanto nagnitud como dir€ccj6n Como ejemplo tenemos la veloc;

auJ ae uoa pa.ticrla "n

m-ovimrento' b luerza que actua sobre un punto o el des_

olalamienlo de un obieto d lo largo de und re(l" Se puede repre(enrar geomelrr_

iu-.nt. ,n".unnaua'uectorial nredianrc un segm€nto de recta dirigido' donde la

i"tgii"a vi. Oi.*"i0" ael segm€nro indican la magnitud y la direccion de la cantidad

,aro'..t,ur*.nt.. E*tos.eg'nenlos de recta dirigrdo' se lliman vectores' ' Sr uo u".to, uu d. un-punto ,'l tllamado el punto inicial) a un punto B (llamado

el punto final), se suele pone. una punta d€ flecha en I y se usa el simbolo '48 para

J"i"t"i "i

*i.*. a"-recta dirigido (vea la figua 14 1) Tambi€n usaremos letras

."gt"t ,"f"t ir*" " .l para den;tar a los vectores En los trab-ajos escritos donde

es;ificil di.tinguir las lelra" negras 'e puede usar Id nolaci6n Jo' ..

Si 77' es u-n vector' entonces la longitud del segmenlo de recta se llama la mrg-

nitud alel vecior y se denota por l,jl Se dice que los veclores A8 y C' son lgudes

"-." ".".iu" ;e"= CT si ambos tienen la misma magnitud y la misma direcci6n'

;;o s€ ilustra en la figlra 14 l Por consiguiente se pueden lrasladar los vector€s

de una posici6n a otra iiempre y cuando no se cambien ni su magnitud ni su direc-

li6n. A lo, vecro.es d. "ste

tipo se les llama frecuentemente v€ctor€s libres

I

)-

l-

VECTORES EN DOS DIMENSTONf,S I4.T

Fisuru l4.l

Suponga que usamos ;7' para representar €l desplazamiento de un punto a lolargo del seg:nento de recta comprendido entrc A y B, es decir la trayectoria que

recorrc un punto al moverse de ,4 a ,. Como se muestra en la figura 14.2 un des-

plazamrento .44=.eguido por un desplazamrenlo 8-C conducira al mismo punloque el de,plazamrento inrco ,4C=. Por definicion al tector ,-ra 'e le llama la sumr

de ,{A ) AC } escflbimo.

A7_4EIBCDebido a que estamos trabajando con vectores libres, se pu€den sumar rrdl€sglriela

dos vectores haci€ndo coincidir el punto inicial de uro con el punto final del otro yprocediendo despu€s como en (i) de la figura 14.2

(i) AC=/18+BC (i0 Ps = Pe) + /'R

Figura 14.2

otra manera de hallar la suma de dos vectores es considerar dos vectores iguales

a los dados pefo que tengan el mismo punto inicial, como se ilustra con P0 y PR

en (ii) de Ia figura 14.2. Si construimos el paralelogramo RPp S con lados adyacentes

PR'y FAentonces, como FF: Qi se sigue que

PS. P0 r Pi.

Si POy PRson dos fuerzas que actuan sobre P. en(once' PTe" Ia foerzs resultant€.

es d€cir la fuerza individual que produce el mismo efecto que las dos fuerzas com-

binadas.Si . es un numero real y ,'tR €s un veclor. enlonces 'e define el producto c,4E

como un vector cuya magnitud es lcl veces la magnitud de ;' y cuya direcci6n es

i4 Ltis vrlct(rkits Y r,A LriuMi,ii{r^ A:tALiilc,\ ItN i'L f'sfAelo

r{ r".\','. qLe .i oc ;; i, - ,r u lc o,'tlL,on upu(\rd a ,u o( ,{ ii 'r , t u sr dd

un. ilsu.cloli gec,xrellloa o€ csto €n in ,r8.,,i l'i 3

':'i;

5, lucus lus vcci.'Ies ba.jo consrderaclon esliin en un plano coordenado fijo'

c!to"!sj cs plsitrlc I'slgnal coc'rderadas a los puntos rnrciales y finales es d€crr'

es !uJ;uie d5uerdllcs p3rqas oldc('adas d€ nuneros reales y las alirmaciones acerca

ci. lo" "..rures "c pueiren lraducrr 31 ]€nguaje del rilgebra De esle modo los vectores

r,ii,s,r u,r !,!p(l duiil, dor)de .l Purlo dlj lista .rlSebratco surge de la geomeiria Es-

pu.;l,js L!i,L,rer tloid€n dc €stc desrrrL'llo. 'd"?s'zo'docon

una definici6n aigebrai-

!d i. rlj rcli.,ies y lbleiiet a .onlnudddn l:d rnlclpretrcion de los veclores como

s.Fnir),ios di,rg,,los llny vdDris ventajrs en este segundo enfoque Una de ellas es

qn. ilr d!,i,r:itllto]ies ds ias propredades de los lectores se con\'ierteD et sencillos

!Jqi:ios d€ llgetrri! €h luglr de problemas geomtlrrcos Despu6s es posrble oblener

l.",.suiiloos !:otr,etrtcus usando proc€dinnenlos algebraicos Otra ventaja es que

cr.riiogu€ irrg.'_brll((, es rlry Iiul de Benershar al caso de vectores de ires o mns

u'maii&ics. Luil E, iol, !oni€ilarlos er! nlenle daremosa con!inuaci6n una de6nrLion

-i:.Li:r.a o. los !.!toies Las representacron€s geom€trrcas las €studiaremos

J(\r'Lo u. r! LiLlr.',!lu'r

-: io,,iiuiscioLr 3igcLrnrca d€ ios vectores en dos drmensrores involucra parejas

oriicr'.iLias qc r,un,erus rehi€s Para evttal conlustones con la notaci6n para los in_

1!r".11.s "btertos o los punros en €i plano usaremos el simbolo (i.I) para denolar

ur',r trtrieti uroc n& qu€ represenla un veclor' Tambien denolaremos eslas pareias

,ii:nlois por jlmboios islas como a o a. Los nulneros reales se llamadn escalares'

(ri.ii DcllNlciO;\

Ll €sprcio recrorisl dc dos dimensiones l'; es el conjunto de todas las parejas

c,-'ieit.ici"s de Ilun€ros ledles (.v,.i,). liamados vectores. sujetos a los siguienies

(i) Sumr de vecto(es. Si a : (dr, ar) Y b : b,) son v€ctores, en-

/."

?*a 1g = qr, + b,.a1 r b1).

(ri) Nlultiplicacion de yector€s por escalares. Si a : <.,r'4?)vcesun€scalar'

VECTORES EN DOS DIMENSIONES I4.1

Los nrimeros dr y a, en <at, dz) se llaman las componentes del vector' Asi'

nara sumar dos veclores sumamos itl' componenles correspondienle: El v€cLor 'a[r" * "u'i.".

rf .rf,iolrcar cada una de las componenres de a por c se llama un

mflllplo $crlrr de r'

Ejenplo I

Soluci6n

S€aa: (3, -2) Y b:( 6.7) Encuenir€

(a)a+b (b)4a (c) 2a+3b

Aplicando la definicion (14.1) obi€nemos

Fiswa 14.4

(14.2) DEFINICION

a+b=(1, 2)+i 6.1)=( 3.5)

4r:4il. -:) = '.11. -8)2a + 3b = 2(1. - 2) + 3i 6.i) = 46. 4) i\ lEll"= -11 17)

Definimos el Yector cero 0 y el negativo -r del vecior s = (d1' d') como

sigue:

0: \0.0) -a= (.r'.d.)=( d,. ar)'

(a)

(b)

(c)

I'

Un vrclol dilerenle decero a - d, r: Io represenlaremo' €n un pldno co-

orden"do medranle un segmento de recLa drrigrdo PP con cualqurer punlo rnrcrar

p't ur u ton oun'o nnut Qtx - a' yI d)r' En la frgura 144'e mue'tran var'a\

renre'enraciones de a tlsimboloaeslacolocadojunlodcualqureriegmentodrngroooue reDrerenta al tector r de /: El vector 0 - 0 0\ se representa por cudlqurer

;;;'.;;] ;i";" Hablando e'rrictamenre un:egmenro de recra dr\E\do PQ 'ep'i;;;; ;;J;;;,

';" .'nt,'eo '"'tie" hablarenos de PQ- como r'rn vc' ro' Sera

"l^..'a"il""t"-r", si el t€rmi; "vector" se refiere a una pareja ordenada o a un

segflento de r€cta dirigido.

La magnitud a de un vector a : (41' ar) est6 dada por

lal:,/a1+ a't

(r4.3) j<

----.F

14 LOS VECTORI;S Y LA GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACTO

Se deduc€ de la f6rmula para la distancia que lsl es la longitud de cualquier

segmento de recta dirigido que representa a r. Note tambi6n que a > 0 y que

r = 0 si y s6lo si r = 0. No se debe confundir el simbolo para la magnitud de

un vector con el simbolo cl para el valor absoluto de un ntmero real .. Por ejemplo,

si a = (3, -2) €ntonces

l,t : L(1. -2) =./9+4=J13.Si P es un punto en un plano coordenado y O es el origen. entonces OT se

llama el vector de posici6n de P. Si a : <dr, d2) entonces el vector de posici6n

d7 d.el p,rnto A(at, a2) (vea la figura 14 4) se llama el vector de posici6n correspon-

diente a t Aunque r tiene muchas representaciones geom6r cas. hay solamente un

vector de posici6n corresPondiente a a.

TEOREMA

Si P1(nr, yr) y P,(tr, Jrr) son dos puntos, entonces el vector a en % cuya rcpr€-

sentaci6n geom6trica €s P,E es el tector

a: (r. - -r,,f, - ),).

Demostftcihn. Si &(jrL, yr) es el punto inicial d€ un vector correspondiente a

^ = <at, az> entonces su punto final es QGr + at, )1 + ar) Si 0 es igual

aPz62,y), entonces 12 - i.1 +rr y y, =./r + dr. Por consiguiente a :U;

- i,, t' - y,). En la figura 14.5 se muestra una ilustraci6n de P,{ junto

con el vector de posici6n correspondiente a a.

Ejenplo 2

Soluci6n

Fiswa 14.5

Dados los punlos P( 2. lr y 8r4. 5, encuenlre dos \eclore' a ) b que lengan reDre-

sen(aciones geomdrricas PO y 8.F re'peclivamenre. Dibuje P0. 0P y lo' lecrores

de posici6n correspondientes a a y b.

Aplicando el reorema r t4.3). Ienemos que el vector correspondiente a P?es

a:(a-( 2).5-l)=(6.2)y el vector co.respondiente a CTes

b = (-2 4.1- 5) : (-6. 2).

P( r. 3)

(i)

Fisuta 14.6

Los dihujos semu€stranen la figura 146 observe que b -- -a t'

L. lacil ohrener una representdcion geometrica para la suma de doc vecrolg)y b - \b,. rr). Prrmero repre.entamo" a t medianle un r'clor @

con ounlo inicial Pl t, ]J ! punro nnal Orr ,r'v, r/r' A continuacron repre'

senr;mo' a b por O? como \e mue\rra en la fieura 14 7. donde R e\ el prrnlo

R(x+dr +b1.-1 +ar+t:)

Si representamos a + b : <dr + ,r. a2 + ,,) por un veclor con punto inicial P.

entonces el punto Iinal tiene coordenadas

{-1 + d, + br.l + ir: + b1)

y por lo tanto. coincid€ con R. En consecuencia P?'€s uoa representaci6n geom6trica

de a + b. Esto concuerda con nuestra de6njci6n de la suma de segmentos de recta

dirigidos y muestra c6mo podemos oscilar entre los punlos de vista algebraico y

geonetlico de los vectores. El lector debe tratar de volverse un experto usando

ambos puntos de vista-

\,'ECTORES EN DOS DIMENSIONES I4.1

En el siguiente teorema enunciamos cuatro propiedades muy importantes de

(ii)

Q14.5)

R(J + a, + 6,. y +d1+ 6t

14 LOS VECTORES Y LA GEOMETRJA ANALITICA EN EL ESPACIO

(I4.4) TEOREMA

(r4.t

La demostraci6n del teorema (14.4) es inmediata a partir de la definici6n de

suma de vectores y de las propiedades de los ntmeros reales' Por ejemplo para

a".ori*. "r

io"l.o (i) tomamoi a : (a,' a') v b = (b1, 'r)

Corno dt + 'r

-b1 + at y a2 + b2 : b2 + a, podemos €scribir

a +b: (.r1 + b,,.r: + b): (,ht + '/,.ii: + rrr): b + a

F.l resto de la alemostraci6n se deja como ejercicio Es conveniente que el lector

tambi€n d6 interyretaciones g€om6tricas para las conclusiones de (14'4)

La operaci6n de resta entre vectores' que se denota por -' se define como

sigue:

DEFINICION

Si a, b, c son tres vectores cualesquiera €n /2 entonces

(i) atb:b+a(ii) ,+(b+c):(a+bl +c(iii) a+0=3(iv) s+( a):0

Sea a : (d,, d,) y b : (61, b,). Entonces -b : ( b" -b,) v d€ducimos

de las definici6nes (14.5) v (14.1) que

a - b: (d,..rr) + i-r1. br) = /'ut b, ut bt)

Asi, para enconlrar r b lo linico que lenenlos que hacer e' reslar las componente<

de b de la. componenles conespondientee de a

Seaa = (5, 4) y b: <-3,2).Encuentre(a)r b;(b)21 3b'

{a) a-b=(5,-4) (-3,2): (5 (-3). 4 - 2) = (8 -6)

(b) 2a 3b:2(5. 4) - 3(-3'2): (lo, -_8) (-e,9): (le' 14)

Es f6cil demoslrar que si a y b son vectores arbitmrios entonces

b+(a b) :a

esdecir, a - besel veclor cLlya suma con b nos da a Lslo nps- proporciona una

interpreiacion geomerrica para a b Si representamosa a y a bpor los vectote'

Ejemplo 3

Sean a y b dos vectores en I/, La dlferench a - b €sta dada por

r-b:a+(-b).

I

VECTORES EN DOS DIMENSIONES I4'1

Pp y FR'con el mismo punto iniciai' como se muestm en la figura l4-8' edtonces

PR'RQ PQ

y por lo tanto -RO represenia a N - b'

(14.6) DEFINICION

114.7) TEOREMA

Fisurc 14'8

Al brrnciDro de esta secrron usamos el slmbolo t'?B para denotar-In vector

cuva direccion €- la misrna que la de,{a-'r c > 0 y la opue"ta a la de '4'sr ' <ui"'**i""i" a-"i.rJo.

"os ia este mismo concepro para vectores en %'

No es dificil dernostrar que si b : '4,

ertonces los vectores de posici6n co-

*^*"a'"t,". u "

u f aslan \obre la mi'na recla que pasa por el origen Mas aun

.i "l o. *,o*.. L' punlo\ 6n.rle' '4 v I de lo' vectores de posrcron er(an en er

;".;:;;;;;;i. ;"';.r '"ii" 'j' "oo'a'""oo posirilo o nesarivor' sr ,. < 0

y I no.t,,i *U,. *n g, n .je coordenado enlonces 'l y Iest6n en cuad rantes d ra gona r-

___-__E.

Jonu"ni".tt" ,oponer que €l vector cero 0 tiene toldr las direcciones'

n""i-o, ou. ao" u..,or; r y b son psrrlelod si y solo si b = 's para algr'tn

".",t,, . En oanicular. dos veclore" a y b diferenles de cero <on paralelo! s' y soro

:l;:il; 'fi;;;;;;;.n o a',""'l;" opuesra Fr "rsuienre teorema revera rd

relaci6n entre las magnitudes de N y ca

Se dice que dos vectores s y b en I/2 diferentes de cero tienen

(i) Ia misma direcci6n si b : cN para algin escalar c > 0

(ii) direcci,6n opuesta si b = rr para algtn escalar c < 0'

Si a es un vector y c es un escalar, entonces lcal = lcl lal

14 LOS VECTONES Y LA GEOMETRJA ANALITICA EN EL ESPACIO

De msrtsci,n, Si a : (ar, ar), entonces $: <cat, ca)' Usando la definjci6n

(14.2) y alguaas propi€dades de los nirmeros 'eales

tenemos

,, = ',(,,,aFt.f : v'r('ri + d:)

= arl.;al + al:

'llalEl teorema (14.7) implica que la longitud de un segmenro de recta dirigido que- ..o," u ,

" ., 1.1 reces Ia longirud de un segmen(o de lecla que ftpresenta a a

F.ro estd de acuerdo con la inlerprelacion geomilrica que se discullo al lnlclar esta

:eccj6n y que se iluslra en la frgura 14l"-'''i. if1ltrlb.," "-ema

enirnciamos algunas propiedades de los mrlltiplos es-

calares de los vectorcs-

(14.8) TEOREMA

Si N y b son vectores en I/2 y c y dson escalares entonces

(i) .(a + b) =.a+.b(ii) (( + d)a : .s + da

(iii ) (.dE : c(da): d(.al

(i\) la: a.

(\) 0a:0 =.0

Dernostruci,n. Plobaremos (i) y dejamos las demostraciones de las demev pro-

piedaaes como e;ercicios. S€a a : (41, dr) y b : <br' 6'?) .Entonc€s

.(! + b) = '(rr1 +

'L.dr +,r)

i(r | + (b,..dr +.ir:)= 1,(11.(o)) + ,(b,.{br): (a + .b-

No es dificil recordar las propiedad€s enunciadas en el teorema (14 8) ya que son

oa."cidas a alg.rnas propieda'l€s muy familiares de los Dirmeros reales'

Los veclores especial€s i y i se definen por

i: (1.0). j: (0 1)'

Estos vectores se puealen usar paIa d€notar de otra manera los vectores en dos di-

-ensiones f*ptatam""te, si ' : (ar' dr) podemos escribir

a: (d,.0) + (0 dr) = 'r1(1 0:\ + "r(0

1)

es decir

(14.9) q=(dL ar)=d1i+azj

Ejemplo 4

VECTORES EN DOS DIMENSIONES I4.I

La suma de los vectores en el lado derecho de (14.9) se llama una combinaci'6n

lineal de i v i si tomamos b: <bt. b,> : bti + b,j v usamos esta notaci6n'

entonces las leglas anteriores para la suma, la resta y la muhiplicaci6n por un esca-

lar se pueden escribir como sigue:

(d1i + drj) + 11)ri+ /r:il: (d, + b,)i + {d: + br)j

(d,i+rrj)-(bri+brjl=1!r,-br)i - ldr - lr)j('(d,i +,rrj) - (r.rr)i +(rdr)j.

Estas formulas demuestran que podemos considenr las combinaciones lineales

de i y j como sumas algebraicas ordinarias.

Seana:5i + j y b:4i - 7j. Exprese 3a 2b como una combinaci6n lineal

deiydei.lr lb = ll5i + jr ll.li rir

: (l5i + 3j) iSi llj)_ir_i

Un re.tor unitado es un vector de magnitud L Los veclores i y j son vectores

unitarios.

(14.I0) TEORENTA

,-

Ejemplo 5 Encuentre un veclor unitario u que t€nga la misma direcci6n que 3i 4i

Soluci,n Corno lal : .ud + 16 : 5 sabemos del teorema (14.10) que

Si " *

"" * ai"itt. de cero. entonces el vector

I

es un vector unitario con Ia misma direcci6n que a

Demostru.i6n. Sea . : l/lal. Enlonces . > 0 y de acuerdo con (i4.6) el veclor

u - ca ti€ne ]a m,sma direcci6n que r. MAs ain, segirn el teorema (14.7)

, , , ],|Esto completa la demostraci6n.

u _ l{3i 4j): li lj.

La f6rmula para el vector a : (dr, dr). a : a1i + a1j' tiene una interesante

interpretacj6n geometrica. En (i) de la figura 14 9 se ilustran los vectores de posici6n

14 LOS VECTORES Y LA GEOMETRIA ANALTTTCA EN EL ESPACIO

(i) or)

Fisum 14.9

corresponalientes a i, j y a. Como i y i son vectores unitarios, dri y dri se pueden

reDres;ntar Dor un vector hori/onlal ) un vector verlical de magnilude' lar ] ar'

rerp.criuarn.nte. corno.e ve en {ill de la figura 14q Podemos considerar el vector

, "omo

la ".rma

de estos vectores Por esta raz6n a dr se le llama la compon€nte

ho zontal y a a, la component€ ve ical del vector !.

14.1 EJERclcIos

1 Demuestr€ los incisosdel(iil a](iv) del teorena(14.4). Tambi€n d6 argumentos geomdlricos que

justifi quen estas conclDsiones.

propiedades que se Piden

I ( l)a=-r5 (a+hr= !-b7 Si a+b=0enloncesb= a

9 Si .s=0 y 1+0entonces!=0

2 Demueslre los i.cisos del (ii) al lv) del teorema

04.8).

En los ejercicios del 3 al 10. donde a v b son vectores v ' es uD escalar' demueslre las

6 .(! br:.a - cb

8 Si t + b = t enlotces b = 0

r0 Si.!:0 y, +0ettonces.:0

En cada unodelos ejercicios.lel I I al 20 encuenlre a + b a - b.4r + 5b v 4r - 5h

ll r = (1. 3).b = il.4) 'r 12 a = (-2.6).b: (:.3)

l:1 ': -1i.-2),b:4(-l.l) l'l a=2(5 4)b= <60)

rs a:i+2j.b=li-5j 16 a= .li+ j-b: 3i+ j 17 !: -(4i j).b:2li lj)

l8 .=8j.b=(-3)( 2i+i) 19 a=2j.b= 3i 20 '=0b:i+jI-1 In. ejercrcro( del 2l al 26 encuenrre un vecto' t cuta tepresenldcion eeometrra sea PO

Diblje F0 y el vector de Posici6n correspord;ente a a

2r P{1. 4).0(5.3)

21 P( 4,6t,Ql-4.2)

22 Pt1. -3\.A\-2.4\

25 Pt -3. l).Q16.-4)

2r P{2.5).8( 1.5r

26 P(2.3t.0(-6.0)

llp vrcronrs EN TREs DtMENstoNEs

Para estudiar los vectores en el espacio se usan ternas o enadas y un sislema de coor'

denadas en tres dimensiones. Una terna ordenrdo (4, ,, c) es un conjunlo {d, b' c, de

tres nimeros d€ los cuales d se consid€ra el primero, , el segundo y c el tercero. La

colecci6n de todas las ternas ordenadas se denota por R x R x R. Se dice que dos

ternas ordenadas (at, dz, a3) y (rr, lt2, br) son igual€s, yse escribe (al, d2, di) = (bt, br, br), sj y s6lo si dr - ,r,a,=Uvaj=4.

Para establecer un sistema de coordenadas en tr€s dimen

siones, se escoge un punto fijo O(el origen) y tres r€ctas coor

denadas perpendiculares entre si (los ejes jr, /, z) con un origen

comtn O. como se iluslra en la Figura l4.2l Para visualizar

e(ra conrrr uccion. puede consideral(e que los eies y ) a se en_

cuertran en el plano del papel y que el eje ir apunla hacia

afuera de la hoja. Las tres rectas coordenadas determinan tres

planos coordenados que se indican en IaFigura 14.22: el ph-ro .tr, el plano J,a y el plano 'li.

Los tres ejes de la Figura 14.22 determinan un sistema

coordenado d€r€cho. Si se intercambian los eiesxyl, se ob-

ti€ne un sistema coordenado izq erdo El calificativo dele_

cro se debe a que si los dedos de la mano derecha se curvan

en el sentido de un giro de 90" d€ tos ejes en el plano r] (de

manera que la parte positiva del eje .r coincida con la parte

positiva del ej€ /), entonces el pulgar €xtendido apunta €n

la direcci6n positiva del eje z, como se muestra en la Figura

14.23. Por lo g€neral se usan sistemas coordenados derechos.

SiPes un punto en el espacio y su proyecci6n (perp€ndi-

Ft6URA la.tt

plano r?

CAPiTIJLO 14 VECTORES Y SUPERFICIES

FIGURA 1'.'3cular) sobre €l eje jr liene coordenada d, entonces d se llamacoord€nada.r(o aDsctsd) de P. Anelogamente, las coordeM-das , y c de las proyecciones d€ P sobre los ej€s/ y., respec-tivamente, se denominan coordenada )) (t ordenada) ycoordenada a (o e/eyacidr) de P. El simbolo P(a, b, c), obien (a, ,, c), denota el punto Pcon coordenadas d, D y .-Si P no se encuentra en un plano coo.denado, entonces lostres planos que pasan por P y que son paralelos a los planoscoordenado! forman. junto con ertoi ilrimos, un pr i\ma rec-tangular como el que se ilustra en la Fig$a 14.24.

El concepto de ubicar puntos es anAlogo al de dos dimen-siones- En la Figura i4.2J aparecen localjzados varios pun-tos. Para ubicar (3, 4, 2), se localiza primero (3, 4, 0) enel planort y luego se mueve ese punto 2 unidades l,dcia drd-Jb. Para situar (-2, 3, 4), primero se locaiiza (-2, 3, 0) enel plano r.y y luego se mueve el punto 4 unidades hocia afti

La correspondencia biunivoca entrepuntos er el espacioy ternas ordenadas de nfmeros reales es un sislema de coor-denadas rectangulsres en tres dim€nsion€s. Los tres planoscoordenados djviden el espacio €n ocho partes llamadas oc-tanles- La pa.te qu€ consta de todos los puntos P(a, b, c)que tien€n las tres coordenadas a, D y c positivas es el p meroctanle. No suelen numerarse los otros octantes,

Se puede efectuar la deducci6n de una f6rmula para ladisiancia d(Pr, P2) entre dos puntos Pr y P, en el espacio.Si Pr yP, se encuentran en una recta paralela al eje z, comose ilustra en la Figura 14.26, y sus proyecciones sobre eleje r son .4r(0,0, zr) y ,4r(0, 0, zr), respectivamente, por lo.!al d(PbP) = d(At,Ar\ = lz2-2, . Si la recta qu€pasa por Pt y P2 es paralela al ejen o al ejel, las f6rmulasson anelogas.

l\.1"Si se desea calcular la distancia entre dos puntos pl y -P2 tales que la recta que los

une no es paralela a Lu €je, se tiene una situaci6n como la qu€ se ilusrra en la Figura

69114,2 vectores en tres dimefsiones

14.27. El triengulo Pr,4P, es uno rectengulo y entonces' de acue'do con el Teorema

de Pitdgoras,

l(P,. Pr) =.fl{Pi. !)l: + [l(.1. P])l:

Como P, v ,4 se encueniran €n un plano paralelo al plano xl, la F6rmula de la Dis

tancia (1.9i dice que [d( pu ,t1l'z = <r' irr)'z + (v, /r)']. Sesnn ]os comentados an'

terio.es, [i(,r, prl]''= (z: - ir )':. sustiruvenao en ta lormula anlerio' para d(P" P2)'

se obiiene lo siguienle.

F6RMUTA DE tA (.l4,13)DISIANCIA

La dislancia entre dos puntos cualesquiera Pl().i' -v1, zr)

y P2l.x2, r.t, z) es

d\h.4) =,r*- -r'f - ry, -rr)2 + 1. ..1

observese que si Pr y P? est6n en el plano xl' de manera qu3 11 = '2

= 0' enlon

*r tr+-r:l t. reauce a ra rarmura ae la Distancia (1 9) cn dos dimensiones

EIEMPLO 1 Calcular Ia dislancia cnrre,4(-1, 3, l) v B(3.4' -2)

Soluci6n usando la F6rmula de la Distancia (14 13)'

l(,4. B) = \l(3 +lr + ('l + llr + (- I 1)'

:,'16+19+9:rr74

La siguiente definici6n generaliza el concepto de vcctores en /r a tres dimenciones

EEFrNrcroN (14.14) El c\pa(io \eclorial ll de lre' dimen\ione' e' el conrun

ro de toda' I)' lernd5 ordcnada\ 'x t l dc nimero'reales, llamadas veclorcs, tales que si s = (a., az. d3>,

b = (.b1, bt b1) v c es un escalar' €ntonces

(i) a + b - I,at + bt,az + br,a1 + br)

(li) c^ = <cot, ca, cq)

DEFtNrcloN (14,15) (t 0 = (0,0,0)(ii) -a = (dr, az, a; = t, ab oz' -at

liii; lal = rraf + ai + a,l

(iv) a-b = a + (-b) = <a\ - bt'a1- b'q b1)

Lot nlineros ar, ,r v dr son las component€s del lector (a1 d2 d') SiguieDdo el

-ir"- p."l"aitni"". i"e en r2, se deline el vecror ccro 0' el negativo -a de a' ia mas-

nirud tar de a \ la difeftnci! a h coro 'ieue

FtGUIA t4,ra Las propiedades de 1os vectores en dos dimensiones sepueden genemlizar sin ninguna dificulrad a I/3. Sdio hay quelomar en cuenta 1a rercera componente. En particular, es fii,cil demostrar las propiedades enunciadas en los T€oremas(14.5) y (1a.9).

Un vecror , : (rr. dz. d1) en % se puede representar

. por un sepmenro d]igido pp Lon punlo inrcaj arbitrnr:o' P(x, t, z)y punro final O()r + at, ! + o2, z + ar), como

se ilustra en Ia Figura 14.28. La mag tud de a es d(p, g).Ademds, lal > 0,y lal = 0siys6tosja = 0.Comoenel caso de dos dimensiones, pu€de demosrrarse que lcal =lcl ll, i.

EI vector O- en la Figura 14.28 es el vector tle posici(jn paft r - (dr. atr..rr) yel d€l punlo,4 (rl, a2, aj)- La jnrerpretaci6n geomitrica de la suma de vectoresis exactamenle la misma que en dos dimcnsiones,

EJEMPTO t Seana = (2,5. 3)yb=(-4, 1.7) Encontrar a + b,2a- 3b yla l.

Soluci6na + b= (2.5. 3> + (.-4.1.7>:<-2.6,4>2a-lb:2(2.5, -l) 3( 1. t.7):(4, 10,-6) < l2.t.2l)

: <16,7. 21)

lal : v(212 + (t, + (-r)r - \.8

Como en el caso de dos dimensiones, se dice que dos vectores a y b diferenres dece.o en 11 lienen la misma direccidn si b = ca para un escalar c > 0, o que rienendirecciones opuestas si b = ctparac < 0. Los v€ctores a y b son paralelos si b - ca

EJEI{PIO 3 sean

a:(15, -6.14). b=(5. -2.8). y c: (,,:i.3, t2).

Demostrarqueaybtienenlamismadirecci6nyqueayctien€ndireccionesopuesras.

Soluci6n Po. inspecci6n vemos que

a : lb o bien b: la.Como el escalar 3 (o bien j ) es posirivo, a y b rienen la misma direcci6n.

Tambi6n por inspecci6n,

a- 2c o bien c: la.Como el escalar -2 (o bien - j ) es nesaiivo, a y c iienen direcciones opuesras.

l4.t Vectores en tres dim€n5ion€s

El siguiente teorema y su denostraci6n son andlogos al 'feorema (14.4).

693

TEOREMA (,t4.16) Si Pr(xr, /', zt) y \Gz. rz, ,) son dos punlos cuales-quiera! entonces el vector s en % que corresponde af,Pl es

^=<x2-t,rz-tbz2-zt>.

El Teorema (14.16) se ilustra en Ia Fisura 14.29, en laque 0,4 es el vector de posici6n de a.

EJEMPTO 4 Si se tienen dados los puntos P,(5, 6, 2) y

&( 3, 8, ?), encontrar el vector r en ,/r correspondicnte a

P'P,Soluci6n por (14.16),

,:1 3 5.8 6.i+2)=( 8,2,9)

Un v€ctor a es un vector unila osi Ir| = L Losvec-tores unitarios especiales

i - 0,0.0), j : (0, l, o), k - (0,0. l)son impotuantes porque cualquier veclor r = (dr, dr, d3)puede expresarse como una combinaci6n iineal de i, i y k

^: (.at,a,, a1>: a; + a2i + a3k.

En la Figura 14.30 aparecen los vectores"de posici6n dei, j y k. La Fisura 14.3l muestra c6mo puede considerarse

al vector de posici6n para a = (.ar, ar at) como la suma de

los tres vectores correspondientes a dri, o2i y 4rkLas reglas pala la adici6n, suslraccion v mulliplicaci6n

por escaiarcs pueden traducirse f6cilmente a la nolaci6n con

i, j. k, como se hizo en la Secci6 l4.l para el caso d€ dos

dimensiones. A menudo resulta conveniente considerar a I/2

como un subconjunto de %, identificando el v€clor (d,. a,)

FIGURA 14.'9

l

Se dice que dos veclores P? y RStienen la misma direcci6n (o direcciones opues-

la9 si sus vectores correspondientes en % tienen la misma direcci6r (o direcciones

orue\ra\r. S; la masnitud , r0 I .e derine como ia dicrdncia enrre P I O enroncer

PQ nsrrgniric" que d'nbo. \ccrorec tieren la mr.ma m"gnilud v la miimd di'ec-cidn. Si a es el veclor en % correspondiente a PO, y c es un-escalar, entonces el v€ctor

ca ti€ne la representaci6n georn€tr;ca rFD. Los veclores P0 y xS- tienen la misna d!reccron si PO-.,Rsparac>0obiendireccionerop e(lassi PO-.ni para. - O

En cualquiera de estos casos se dice que P0 y RS son prla/e/os.

694 CAPITULO 14 . VECTORES Y SIJPERFICiES

con(.r,.rr.0). En esre sentido,los veclores i: (1.0) y j:(0. 1) son esencialmente

los mismos que i = ( 1,0.0) y i: (0. 1.0).

EJEMPTO 5 Expresar a = (.1. -4,2) en t6rminos de i, j y k y cncontrar un vectorunitario u que tenga Ia misma direcci6r que a.

Soluci6n Pued€escribirse

a: (1. -zl,2) = 3i - zlj + 2k.

La nagnirud de a es

a \rrir-r 4' -l \ o

Como en el Teorema (14.12), el siguiente veclor unitario u tiene la misma direcci6n que a:

lr 1,1 2u- a l1i 4i r'k- i j l'al \)a \)t \.'aPara r€rminar esta secci6n, se deducirdn algunas l6rmulas itiles usando vectores

La primera se enuncia como sisue.

FOR[l{.'E"A DEt (14.17)FU}.!TG J.dEDiO

Dem@tgracjain Sea P(r:, f, z) el punto medjo del segmen

10 PrPr (v6ase la Figura 14.32). El hecho de que P est€ a me

dia distancia enire Pl y P, se puede expresar en terminos devectores como sigue:

Fj=IP,{.obien (-! .!,,) ),,2 ;,)= 1(_{, - r,, r, f,..r zr)

Igualando las componentes,

.Y .r, : i(r, r1). .f - L : j()1 r,),.-.1::14.).

Despejando de estas ecuaciofies)., -r,3 se obti€nen las coordenadas del punlo medio P:

tr-:j(\L+rtr), I:j(-,,r+r,). z:l(:, +:tr) "

EiEMPLO tt Encontrar el puntomedio del sesmento que vade (2, -3.6)a(3,4, -2).

Solueir5tt Los puntos se tienen en Ia Fisura 14.25. Usando et Teorema (14.17) re-sultan las coordenadas del punto medio:

t) , -,,', r') /) rr)\: I ' ) \,) ) -)

69514,, Vectores en tr.s d menslon€s

'GURA 1/t.3!

1'

i ".-:- 1 "Lr.r', I i),1

).1

EJERCICIOS 14.2

Ejercictos l4: Sirne Io! punLo'.1 ) 8. v {a) cal.ule

dr 4, A); (b) dcuenrre elpunro medio de,4A: (c) en_

cuentre el veclor en la co.tespoldiente a 'iA

Elevan.lo al cuadrado ambos lados de esla ecuaci6n s€ obtiene el sigui€nte resultado'

TEOREMA (14.18) La esfera de radio / y centro Po(to,,to, zo) tiene por

(Jr - 'o)'? + (l - yo)'z + (z' zi' - ,'.

Desarrollando los cuadrados en la expresi6n (14 18) v simplificando' se ve que €sta

ecuaci6n de la esfera puede escribirse en la forma

x7 + r^'z + z'z + ar + bf + cz + d : 0

donde a, b, . ) d \on nnmero. reales lnversamente. n se empiela con una ecua\idn

d€ esta forma y la srefica existe, completando cuadrados puede llegarse a la forma (14 18)

y, por lo tanto, la grafica es una esfera o un punto.

EIEMPLO 7 D€scribir la grdfica de la €cuaci6n

x, + j't + z. 6r+ 8t,+42 + 4:0.

Solucidn completamo\ cuddrador como sigue:

(rr 6x) + l)'z + 8)) + (21 + 12): 4

(r'z-6r+9)+(}':+ 8r +16)+k'+42+4): 4+9+ 16+4

(x - 3)z + l! + 4)2 + (z + 2)'z : 25

Comparando la iltima ecuaci6n con (14.18)' vemos que la grafica es una esfera de ra-

dio 5 €on centro (3, 4, -2)

La gdfica de una ecuaci6n €n tres variables x, /' ? es el

conjunto de lodos los puntos P(4, r,.) en un sistema de

coordenadas rectangulares, tales que la terna ordenada(a, ,, c) es soluci6n de la ecuaci6n; es decir, que al susiituirx,/, z en la ecuaci6n por a, b y c, respectivamente, se obtie-

ne una igualdad- La grefica d€ una ecuaci6n tal es una su'perficie. Es fdcil oblen€r una ecuaci6n que tenga como grefica

a la esfera de radio r con centro en el punto P0(t0, -t0, z0),

Como se ilustra en la Figura 14.33, un punto P(x, ,, z) este

en la esfera si y s6lo si l4F I = r. Eouivalenternente'

j(x xJr + (y .rJ'+ (" ,o)

/(2.4, 5), A(4, 2. l)

A(1, 2.1). 812.4, 1)

i.

2,

696 CAPITULo 11 ' VEcToRTs y SUPERFICIES

3. -(-4,0.1). a(1. 2. 1)

4. ,1(0.5 4). A1l. r.0)s. r(1,0,0),,(0,j,rl6. ..1{0.0,01, ,( 8. l.4)?. Demuestr€ el Teor€ma (14.5) para 4.8. Demuestre el Teorena (t4.9) pJra yj.

Ejercicios e-14: Derermine b, 5a-4b. lsl.ra l, ll l!ll. . - b ! Ilr b .

9. a=1-2.6,t). b=(3. t, .l)r0. a=(t,2. 3). b_(-1.0. l)ll. s-li 4j+2k. h:i+2j ,5k12. a:2i j+41.b=i k13. a=i+j h= -j+k14. a=2i, b=:rk

Ejercicios 15-16: Trace los vectores de posici6n para!,b,2r,-3b,r +byr b.

rs. I : (:,l,4), b=(1, 2,2)16. a: i+2j+lk.b= 2j+t

Ei.rcicios l7-16: Encuentie un vecror unirdio que ren_g. la misma direccron que r.

17. a:2( 2.5, l) lE. a-.li 7jr 2k

Eje.cicios l9-2{:(a) Encuenke un vecror que rensa Ia mbma dtrecc;dn

y el doble de la magnitud que r_(b) Halle un veclor que reDga ta direcci6n opuesla y

un tercio de la magnilud de a.(c) Incden,le un vec.o, de ncsnirud 2 que

'enca ta

mrsma drreccron que r.19. a:14i I5j+6k 20. a=( 6, 1.6)

f,jercicios 2r-Z: Encuentre una euaci6n de la esferacon centro C y radio ..

21. (-(.1,-1.2).r=l

2a q-5,0.r). r= j

22. C(4. 5. i), r:524. C(0. l. 6r, r:i-l

25. Encuentre una ecuaci6! de la esfera con cenro(-2, 4, -6) que sea rancenie {a) al plano,y:; (}) alplano l:; (c) al plano ry.

26. Encuenlre una ecuacion de Ia €sfera que li€ne co-mo extremos de uno de sus dinmeros a los pun-tos /4(1.4, -2) y B(-7,r,2).

Eje.cicios 27-32: Derermine el centro y et radio de taesfera que tiene la ecuacj6n dada.

2?. rr+r.r+-r'4r 2r +2:+t:02E. Jr+)r+:r 6{ tor+63.r34=029. I t\.1 .1 8\+8:+t6:030. 4rr +.1_r: + 4:r :l\ + 8r - I = (l

31. -rr + )r + :r .! ,1r. = 0

32. rr.r r) +:r : = 0

Eje.cicios 33-36r Describa la regi6n R en un sisrenade coordenadas en rres dimensiones.

l3 R : 1(r, ),.)r .: + l' -.: < ll34. R = 1(\,l.:): r: + rr l. :r > tl35. rl={(\.r,:): \ <l, lr <2,::ll36. R = 1(r. r.:l: ,1 < \: + ri + :r < 9l

37. Demuesrre que los secnentos ptpi, prp;, hp;que unen los punros mediosdelas aristas opues-tas de un tetuedrc, se cortan en un mismo punto P qu€ divide en dos a cada seenento (v€aseh rtsva\. lsusercncia: Cotoque elvdrtice, so-bre el eje; y el trianculo /trc en el pleo nl.)

38. Un cubo tiene lado! de longitld t. Los cenlrosde las seis caras del cubo son los verricer de nnocraed.r, corno se muesrra en la figu.a_(a) HaUe las coordenadas de lodos los v6rtices

(b) Calcule la longitud de Ias arisras del ociae-dro en t6rminos de t.

14.3 Producto escardr 697

y orra pa.licula con carga I se coloca en A (vaa-

se la figura), enlonces la luerza de aLracci6n Isobre 6s!a ihima estd dada por

LtF: LRlts)l

donde lr es una constanle positiva-

40. Consuhe el Ejercicio 39. Se lijar particulas de

carga clictrica +./ en ios l.es punlos (1,0,0),(0. 1, 0) y (0. 0, l) y se coloca olra cnrga -l en

P\x, r, z).(a) Sea v = O/'. Demueslreque la fue.zatotal

I sobre la particula con carga negativa est,

[r i r i r L|-Lt l,,i,,i',tl

(b) Se desea colocar la particula con carsa e-

sativa en un punto P (r, ),, .) queequidktede las tres cargas positivas de manera quela fuerza total que actfe sobre la parriculasea 0. Encuentre las coordenadas de P.

Eltlta a () lN

39. La ler de Coulomb alirma que la magnitud dela fuerza de atracci6n entre dos cargas el€ctricasde sisnos opuestos, es proporcjonalal produclode las naenirudes q, y 4, de las cargas e inv€rsamente proporcional al cuadrado de la distan-cia dque las separa. Demuestre que si una par-ticula con carga +q se encuenraen un punlo,4

lS! rnooucro EscArAR

DEflNTCTON (14.191

Dos de los conceptos importantes relacionados con dos vectores s y b son el prcductoescdlar', que es desde luego escalar, y e] prcducto rectorial, g\!e es vt eector. En estasecci6n se define el producto escalar y se aplica a varios problenas inrportantes de lafisica y las matemdticas. El producto veclorial sc discule en la siguiente secci6n.

El producro €scAlar a b de ^ = <at, a1, a1> y b =

(bt, bz, b) es a . b = atbt + azbz + a1bt.

El simbolo a ' b se lee "a punto b". El producto escalar se ilama asimismo pro-ducto punto (o de punro), o bicn producto interior. Es imporrante tener presente que

a - b es un escalar y no un vector,

EJEMPIO 1 Catculara. b para

(r)a:(2.4. 3). b:( 1.5.2).(b) a:li 2j+k. b:,li+5j-2k.Soluci6n(a) (1.4. l).(-1.5.2):{2)( l)+(,r)(s)+{ 3)(2): 12

(b)(li 2j+kl (4i + 5j '. 2k): (3)(4)+ (-2)(5) +(l)( 2)-o "

698 (APiTI]Lo 14 . VECToRES y SUPERTIC ES

En el siguiente teorema se enuncian algunas de las propiedades del produclo esca-

lar para cualesquiera vectores a, b y c, y cuaiquier escalar c.

TEOREMA (14.20) (i) r.r: llall'?(ii)a.b=b.a( )4.(b+c)=a.b+a c

(iv) (ca) . b: r(4. b) = a . (cb)

(v)0 a=0.

Dcmostraci6n Se demostrare (iii) y se dejan al lector las demostraciones de las otras

propiedades. Si a: (4,, ar, d3), b = (rr, b,, b3), y c:(l],,cz,ca), entonces

a (b + c) : (d,,4,, a3) (b1 + c,, b, + c,,l'3 + .3): alb | + t) + d,(b, + c,) + arlbr +.t: (a& | + dzbl + a!b) + latti + t12c, + a3ca)

:a b+r.c

El producto escalar yel:ingulo entre dos vectores €stan estrechamente relacionados.

Sean a y b dos vectores diferentes de cero.

(i) Si b no es un mtltiplo escalar de a y si d y oTson los vectores de posici6n de r y b, respectivamen-te. entonces €l {ngulo, enrre s y b (o entre O,i yOE\ es el angrd'o AOB del triengulo determinado porlos puntos

"4, O y ,D (v€ase la Figura 14.34).

(ii) Si b = ca para un escalar c (es decir, si r y b sonparalelos), entonces, = 0 si c > 0 y 0 = r si

Si A es el dngulo entre dos vectores a y It diferentes de

a b = llall llb ll cos,

TEOREMA (14.22)

D€mottraci6n si b + cr, se tiene una situaci6n como la que se ilustra en la Figura14.34. Aplicando la Ley de los Cosenos al triangulo ,4O8,

l7tl':lal':+lbll' 2lal lb cosr.

DEFTNTCTON DEr (14.21)ANeuro exrnr

aY b

Se dice que dos veclores a y b son ortogonlles (o p€tpendiculrres), si0 = n/2 Porconvencidn, se dice que el vector cero 0 es paralelo y tambi€n perpendicular a todo vec

tor a.

i4.! Prodlcto escaldr

Por consjguiente,

(b, ,r,)'+ (h. d.)'+ (b. Lt J'-ki+,1 +.il) +(ii+b:+b!) 2la blcos{r

y simplificando,

2al)1 2o,b1 2aib): 2l!l lblcosP.

Dividiendo ambos lados de ]a ecuaci6n anterior entre 2 se obtiene lo que se queria

demoslrar.Si b = ca, entonces por las propiedades (iv) y (i) del Teorema (14.20),

a b=a (.a):4a a):. al'?.

Tanbi6nal b cos d : I a I I ca I cos 0 : ciiajrcos0.

Sic> 0, entonces lcl = c,a = 0y cl a | 'z cos 0 se reduce a c I al2.Porlotanto,

s b= lal lbll cosd. Si c < 0, enlonces c =-c,0= r y lc ll a I '?

cos d otra vez

se reduce a cl r |']. Esto completa la demostraci6n del leorema.

Dividiendo entre I a | | b I ambos lados de la f6rrnula en el Teorema (14.22) se obliene lo siguiente.

eeft&[Anro (14.231

€.iErnF:e ! Calcular el insulo entre a:(4, 3, 1) y b:(-1, 2,2)

::!:L;ciD;r Aplicando el Corolario (14.23),

^ a b (an lr -L-JI 2) (lX2)io\d al b. \tb,o-r\t 4 4

4 4\126 2i26{'.?b f _i"

o bien p : arccos (2J26i19) : arccos (0.2615).

Usando una caiculadora o consultando las tablas, se obtiene la aproximaci6n

0 - 74.84" = 1.31 radianes-

El siguiente teorema es consecuencia inmediata del Teorena (11 22).

' " ;".'{; (14.24} | Dosvec,ore5avbrononoeonale.'iv.olo5ir' b 0 lL.-

---..-. -.--

-l

699

700 CAPiTULo 14 . VEcToREs y SUPERFc Es

EJEI'APIO 3 Dcmostrar que los parcs de vectores que se dan, son orrogonales:

(:r) i, i (b) 3i ii + 2k, 10i + 4j - k

Soluci6n Calculemos los producios escalares. La demostraci6n se deduce del Teo-rema (14.24).

(s) i j - (1, 0.0) (0, 1.0) : (11{0)+ (0)(1)+ (0)(0):0(b)(3i-7j+2k) {10i + 4i - k) : l0 - 28 2:0. '

Los sigui€ntes dos resultados son validos para cualquier par de vecrores a y b.

DESTGUALDAD DE (14.25)CAUCHY- SCHWARZ

la bl < l all llb l.

llr+ bll = lall + lbl

Demostra(i6n El resulrado es evidente si a o b es 0. Si a y b son vectores diferenlesde cero, ertorces por el Teorema (14.22), a . b = lall lb llcosdl, donde 0 es elansulo entre a y b. Como lcosdl < l, resultaque a.l < llall lOll.

Sjs,b y a + b se representan geom€rricamenre comoen la Figura 1,1.35 y se usa el hecho de que ta longirudI a + b ll de uno de los lados del triangulo no puede ser mayor que la suma de las lorgirudes de los orros dos lados. seobtiene el siguiente resultado.

DESTGUATDAD DEr (14.26)lRIANGUIO

Se dara una demostraci6n alqebraica a.lrern tiva de la Desigualdad del Tridneulousando el producto escalar. (Este tipo de demostraciones e9 importante et1(jtgebra ti-nedl, en donde se consideran vectores en miis de tres dimensiones.)

Demostraci6n algcbtaica de (14.t6) Usando las propiedades del producto escalar,

a+bl'z:{a+b).(a+b):a a+2(a b) rb b

la+bl,: lall,+z(a b)+ lbi,.

Comoa b< a bl<lallbl (v6ase (ta.25)), se iiene que

a+br< la l, + 2la lllb l+ lb l.: { al+ b l),.

Tomando raices cuadradas, se obriene

lla+bl< la l+ lb

FlGUta 1a.36

-

14.3 productoescdrar

-

El dngulo entre vecrores de I/j se detinio en (t,1.21). Flangrrlocnrred..,e,rore. {.epmenro\diriSido.' |],.r I /F..define como el dngulo d entre sus v€crores conetpon.l;enle!a y b er ,/r. En la Figura 14.36 se jlusrr:r un ,ns{rlo lip;c,,entre dos veclores. En ella. D? y OB-son ios vectorrs ric r.r.'i.ion de. y b. re\ociri\cmerre. sr , r 2. cr , :.-e ,riy IR son ortogonsl€s.

El p.oducto cscalar de P! v rn cn la Fig rr r:i.ji, sedefine por

PO-.ui=" b= r ib cosrr.

como rpl -ia y lrR-l=ib,F0 Te - PA | -R= co. r,r.

Si Ff y r- rlenen cl mismo punto iniciai ! sj .5 e5 ti pro)e.rcion cle t sobre larccta que pasa por P )r R (v6ase ta Figura 14.37), cnronces el elcala. tOli cos, seItama componente de P! a lo largo {t€ P7, y se aorevia comp,; /'e.

,, ./,'

Obs6rvese que IFQ cos d es positivo si 0 = p < r/2,onegarivosir/2 < 0 < r.

Clando lJ = r/2, la compoDenre es 0. Se puecle ler que

- ttPpiP. tPQ .".,, r'Q ,^'-. r{- llPR I

El siguientc cnunciado ayuda a recordar este hecho.

La componente de Pp a lo largo de FR es iguat al pro-ducto escalaideP-q yunvector unirario quetienela mis-ma direccj6n que PF.

Sean a y b dos vectores er 4 con b + 0. La compon€n-re de a a lo largo de b se denota por compb a y se definepor

#b

TEOREMA (1{.27)

El conccplo dc componente tucde aplicarse a vectores a y b en 1,, repres€ntdndolo' eeoI e, ran.e"r, por PO ' PR. e'pe.':\imefle. F.ro da :i i.Il. nrc d, r ni rnr .

DEFTNTCT6N (14.28)

10, CAP|ILJIO 14 . VECTORES Y SL.JPERFICIE5

Si a = ari + ari + ark, entonces IJor la Definici6n (14.28)'

compra=a i:dri compta:a j:4,. v conpra:a k:'rr'

Por lo tanto, las componentes de a a lo largo de i, i y k son las mismas que las compo

nentes dl, d2 Y tr de a,

EJEMPIO 4 Seana - 4i j+5kyb=6i+3j-2k.Calcular(a) compha (b) comp,b

Soluci6n(a) Usando la Definjci6n (14.28),

compba -a o. o-',' -r''kr jroi ..lj-:kr

21-l l0 :!='o7

(b) Intercambiando los papeles de a y b en (14.28),

.omp.b b I, u 1,,i - rj- ll, ra;- j |'k,at \4:

24310-',

1l

J12

Para corcluir esta secci6n, se presentard una int€rpr€taci6n fisica importante del

producto escalar. De acuerdo con la Definici6n (6.15), el trabajo realizado cuando se

aplica una fuerza constante Fy se desplaza una distancia d, es ,t/ = Fd Esla f6rmulaes muy restrictiva, pues s6lo puede.usarse cuando la fuerza se aplica en la direcci6ndel movimiento. En general. sea P0 un vector que represenla una fuerza cuvo punlo

de apiicacidn se d€splaza a lo largo de un vector PR. Esto se ilustra en la Figura 14 38,

,/1z)Ll

eII la que una fuerza P0 se utiliza para tirar de un objetoa lo largo de una trayectoria horizonial de P a R EI vectorF0 es la suma de los vectores PS y s0. Como S0 no contribuye al movimiento horizontal, puede suponersc que el mo-vimierto de P a R es causado solo por PS. Aplicando (6.15)

se encuentra que el trabajo ,/ es el producto de la compo_nente de F0 en la direcci6n de PR- por la distancia Pn l.es decir,

w-{l P0 co.0, PR -tci PR.

Esto moiiva la sisuiente definici6n.

El lrabsjo realizsdo por una fu€rza constante F0cuan-do su punto de aplicaci6n se mueve a Io largo del vectorPR es P0 ' PR.

DEHNTCI6N (14.29)

EJERCTCTOS 14.3

Diercicios 1-10: Dados los vectores a = ( 2,3, 1),b '. 4. 5 ) . - l. '. 2 . calcule el numero in

EJEMPTO 5 La magnitud y la direcci6n de una fuerza constante est6n dadas pora = 5i + 2j + 6k. Calcular el trabajo realizado cuardo €l punio de aplicaci6n de lafuerza se mueve d€ P(l, -1,2) a R(4,3, -t).Soluci6n Por el leorema (14.16). el recror en 4 cole'pondrenre a PR er b -(3,4,3).SiP0esunarepresentaci6ngeom6tricader,entonces,segrinlaDefinici6n(14.29), el trabajo realizado es

FQ FR=a b- 15+8 l8:5.

Si, por €jemplo, la distancia est{ €n metros y la magnitud de la fuerza en newtons, en-tonces el lrabajo realizado es 5 J Coule9. Si Ia distancia esta en pies y la fuerza estden libras fuerza (lbl), entorces el trabajo realizado es slbf' pie (pielibras).

EJEMPI,O 6 Una vagoneta que pesa lO0ksf (kilogramosfuerza) se empuja hacia arriba por una p€ndiente que formaun angulo de 30" con la horizontal, como se muestra en laFigura 14.39. Calcular el trabajo r€alizado contra la gravedad cuando la vagoneta se desplaza una distancia de 80m.

Soluci6n plantearemos este problema en dos dimensio-nes inlroduciendo un sistema de coordenadas x/ como se en

cuentra en la Figura 14.40. El veclor F0 representa la fuer-za de gravedad que actfa ver.icalmente hacia abajo con unamagnitud de lookgf. El vector correspondiente F en I/, es

0i 100j. EI punto de aplicaci6n de ia fuerza se desplaza so-bre el vector PR de magnitud 80. Si PF corresponde a a =ari + rrj, entonces en el triengulo PrR vemos que

a, : 80 cos 10" :40\/3. d,=80s€n30'-40

El trabajo rcalizad,o pot lagravedades @ PF obienF(14. r9),

F a : (0i 100, (a0J3i + 10j):0 400 : 100 ksf

El trabaio realizado cortrd la gravedad es

a-40J3i+40j.

F a-400kgf.m.

3. a (b+c)5. (2a + b) 3c

a. Aplicando la Definicion

m (kilogrnmetros).

6. (r-b) (b+c)

10. comp. c2,bc

Ejercicios lr-1{: Calcrli€ el coseno del 6neulo enlre

ll. a= 4i+3j 3k.b=2i-j+kl?. a:i 7j+4k. b=5i k

l-ll t:-2i li b= bi+.ll14. a - (1, 5 1). b (2, I, l)

f,jercicios 15-20: Dados los punlos P(1, 2, l),O(1,5,4),R(2.0, 6) y S(-4, l, 5), obt€nsa la can

rs. P0 RS 16. 0- aji

17. El valor del dnsulo entre F0 y lr-

18. El valor del ensulo entre OS y Itle. La componenre de FS a lo lareo de 0i?0. La conponenle de 0d a io lareo de tS

Eiercicios 2r-?2: La macnilud y la direcci<tn de una

iuerrd en; . ddddr por e. \ecro, e. ca .ule el I dba;o

reali2ado cuando el punto de aplicaci6n se muele de

PaQ.

2r. != i+5j-ikr P(4,0. 71.0(2.1,0)

22. a : (E.0. 4)r P( l. 2. 5), g(1, 1.0)

23. Una fuerza conslanle de 4lbfde nagnitud tiene

la misma direcci6n que el lector t = i + j + kCalcule el kabaio realizado si el punlo de aplicacion !e nueve a lo larso del eje r de (0, 2, 0)a (0, l, 0)j las didades de dislar.ia son pies.

24. U.a frerza consrante de J N (newlons) de mas-nilud tiene ]a dnecci6n de la parre positiva del.jci. calcule el trabajo realizado cumdoelpuntode aplicacidn se nueve a lo larso de la recta que

\d de o|cen dl punro Pr l 2. l). oorde la. rnidades de dislancia son metros.

25. Una pcreona l1ra de una vasonera sobre un 1e'

rcno horizonral ejerciendo una fuerza de 20 kcfaplicada a un dngulo de l0'' con respecto ala horizontal (vaase la figura). Calcular el trabajo rea

lizado cuando la vagoDela .ecore 100 m-

26. Consulre el Ejercicio 25. CaLcul€ el trabajo rea

lizado si s€ tira de la vagonela con la nisma iueFza y se recoren 100 m hacia driba por un decliveque forma ut angulo de 30o con la horizontal(v€ase la fieura).

27. Use veclores para demostnr que si,4res el did

P es otro punto de la esfera, enronces ,4P, cs

on triensulo rectiingirlo. (Sugerencia: Detinar O i. r. OP. I e\nDa P4 v r8- en 'erminos de v, y vr.)

2E. Una caja re.raneular liene longiiud a, anchura

, ]' ahura . (vease la figura). Sea P cl cenlro de

la caja. Use vectores para encontrar una €xpre_

$on dcl lnsulo.lPA en rftmilo' de a. D i '

29. Consulte el Eje.cicio 28. La esfalerita es un mFneral en el que cada atomo de zirc est6 rodeadopor cuatro iilomos de uufre. los cuales lormanun retraedro, eslandoelrtomo dezinc en elcen'1.o (viase la fiAura). El !t suto de enlace A es ellormado por la combinaci6D S-zn-S- Use vecto-res para demostrar que ellngulo tetraidtico 0 es

de aproximadament€ 109.5o.

70514.4 Producto vectofdl

30. Dada un sucesidn ,4-A C-D de cuabo atomosenlazados, el 6Dgulo enlreelplano formado por,4, , y C, y el iornado por ,, C y D, se llamadngulo de torski A del e\lace. Este dngulo de

1oni6n se usa para expli.ar la eslabilidad de es-

tructuras molecllares. Si el seem€nto BCse co'loca a lo largo del ej€ z (v6ase la fisura), ;c6mopuede calcularse , cn Grmircs de las componen'

1es de los veclores B! Y CD?

t-l'..

\,r 1 I

]i ,' '-j i"i'jl t;

/:\

!, tos aagrbs airecto,*perlenecientes a un vec_

lor a : (dr. rr, ar)diferent€ de cero, se delinencomo los dngulos d, p y'i enlre elvector av los

vectores i, j y k, respectivamenle. Los crrerosdireclorer de a son co! o, cos B y .os l Com_

' '.o,1,(b)cos: a+cosr I+ cosr I : L

12. Consulte el Ejercicio 3l(a) calcule los cosenos director€s de ! =

( 2, 1,5).{b} Calcule los eneulos v los cosenos directores

de i,.i Y k-(.) l-n.uen re do. \edo_es !niranos que 'ar'(_

lagan la cotdicion

coso = cosF: cos -r.

13. Tres nfneros I, l', y tl. diferentes de cero' son

nine.os (lircctorcs de \$ !€clor ! distinlo de ce'

ro sison proporcionales a los cosenos diectores;es decir, s' exisie un ndmero positivo k tal que

/= &cosa, n:k.os?, r =tcos7.

Demuesbe que si /, m y , son nimeros directo-

res de ! y d = (/'? + n: + il1)r/', por 1o tantocoso = //d, cosp = n/d, cosl = n/d

3:r. Consulle el Ejercicio 33.Sear' lt, n\. aty 1,, ntn, nfmeros directores de ! y b, respectivamen_

te, Demueslre lo siguienlel(a) ! y b son orlosonales si Y s6lo si

lllr+ntn2+\nr=0(b) r r b (on paral€]o' cr \ \dlo sie\i're un nu

mero*ralquel - kt,n.- Lm Yn -

Ejercicios 35-40: Resuelva los ejercicios sD ,5d..omponenles de los vectores.

35. iEn qu6 condiciones se satislacen las sieuientes

(a), bl:ll! b lb),+b: 'll+lb16. Demueste que a b > all-llb

(Srgeler.iai Use t : b + (t - b)vla Desigual-

dad del Tri6neulo.)

3?. Demuestre que (a + b) (t - h): a a b b

3E. Demuesrre que a + b ']: ailr +:la b)+bl,.

le. P.uebeque a+blltr+la btr:2( 'lr + b:).

.l{}. pruebe que a b=i( !+b' , lll'l

!!!l rnooucro vEcToRlAt

En esta secci6n se analiz^ el plodulo vectotiat ^ x b de dos vectores a y b en /1 A

diierencia det producto escalar, esta nuevaoperaci6n produce un vector- Se puede defi

nir a x b geom6tricamente y obtener luego una forma algebraica con ayuda de un sis_

rema de coordenada! rectangulares Sin embargo, la presentaci6n se har6 a la inversa'

comenzando con una detinicion algebraica Este planieamiento encubre la naturaleza

geometrica de a x b, pero lLeva a demostraciones m'is sencillas de las propiedades

706 cepiruror.wi6iiilfiiiiilcrrs

Al lrabajar con productos vectoriales es convenie nte \tsar deteminantes. tJn delerminrnte de ord€n 2 se defin€ por

\" "'1,,,,-"0 'oen donde todas las letras representan nimeros reales. Los determinantes

1 -1] =o,,',-,-r,4) : to + 12 :22

4523 = (4)( 3) (51(21 : t2 t0 = 22

exhiben una propiedad que rienen los determinanres de todos los drdenes: el intercambio de dos renglones modifica el signo del determjnante.

Un determiosnlc dc orden 3 se expr€sa por

);1,, r't;';l:l;:;:1" l;; ;:1.,.1;r ;;1"

Esao se llama a veces derarrcllo del detetminante con rcspecto a ta ptimeru fita (o rcnglctr). El valor se pued€ obtener evaluando los dererminanres d€ orden Z en ei lado de,recho de la ecuaci6n

E*MPro 1 "",."* "

*",* ]-i

-i jj

Soluci6n poraelnict6n,

;jj]:_1,,i-ii,,1ii,= l-20 2)(2) (8 _ r)l 1l + ( 4 5)(l): 44+7 2'7: 64

DEFTNtCtON (14.30)

El simbolo a x b se lee "a cruz b,,. Obs6rvese que ta f6rmula para a x b se obtiene reemplazando cr, cr, q en la definicj6n del dererminanre de orden 3 por los yecto-

" llul

li + It' t'l )t'bz bt

El producto vectorial a x b de a = (d1,a2,(b,, b?, bl) es

70714,4 Producio v.ctoria

res unitarios i, j, k. Esto sugiere 1a siguienie notaci6n para la f6rmula en la Definici6n(11.30).

NOTAC|6N PARA Er (14.31)PRODUCTOVECTORIAI

TEOREMA (14.3!)

El simbolo del lado derecho en (i'1.31) no es un d€lerminante porque el primer rengl6n

tiene vectores cn vez de escalares sin embargo, Ia notaci6n de determinante es itil para

recordar la f6rmula en la Definicidn (14 30) que es algo complicada. Tomando en cuenla

esta dilerencia, (14.31) puede usarse para evaluar productos vectoriales, como en el si

suiente ejemplo.

EJIMPI,O t Enconirar a x b para a:(2, 1.6) v b-( 1,5, l).Soluci6n Escribiendo

2 I 6l--351

I tl ) |

'^h- "li - "'i- lt" "-l ' I -l I' J 5

=1 I 30)i -(2+ l8)j+(10-3)k: l1i 20j + 7k

Si a es cualquier veclor en Ia, €ntonces

rx0=0=0xapues si uno de los vector€s en la Definjcj6n (14 30) es 0, enionces iodos los deierminan-

ies tienen un rengl6n de ceros v por lo lanto son 0 (verifiquese esle hecho)' Tambi6n

es fdcil demostrar que a x It = 0 para lodo s.

El siguiente leo;ema enuncia una propiedad imponante del produclo lectorial'

El veclor a x b es ortogonal a3Yab.

Demostraci6n S€s[n el Teorema (14.24), basra demostrar quc

(axb) a=0 Y (rxb) b=o

ijk

b'bbt

708

en la lbrma (14-30) con a : (d,. d.. dr),

Porlotanto,a x besorlogonalaa- La demostraci6n de que (s x b) .b = 0esand-loga.

CAP|IULO 14 . VFCIORES Y SUPERF CIES

Tomando el produclo escalar de a x b

i"^b, ,=l', ',1,, -l''h, n. h)

: l't'b1- arb)al= izbta\ - atb,at:0.

laxblr=(axb) (axbl

i: i'.)' ,

(a\U a3h)a, + (aJ2 ozb))a3

a tblj + a 3b Jz + a\bja. - alb pj

En t€rminos geomedicos el Teorema (14.32) implica quesi dos vectores a y b diferent€s de cero corresponden a vecto-res no paralelos FO y PR- con el mismo punto inicial P. entonces a )< b correspondeaun vector l,r-- que es perpendjcularal plano determinado por P, O y R, como se ilustra en la Figura 14.41. Se €scribe entoncet

F3=PO'Fr'.La direccion de F3 puede encontrarse usando la regla de

la mano derecha que se ilustra en la Figura 14.42. Conc.elamente, si d denota el angulo enrre ?0 y Ftr. y los dedos dela mano derecha se curvan apuntando en el sentido de la ro,laci6n de un insulo d que lleve aP! a tener la nisna direcci6n que PR. entonces el pulgar extendido apunta en la direcci6n de P!- x PR-.

EI sigujente resultado da informacjdn acerca de ia mag-

.-1\

TEOREMA (14.33)

Dcmostlaci6n Usando el Teorema (14.20)(i) y ta Detinici6n (1.{.30).

Si, es el engulo entre dos vectores a y b djferenres de

lla x bi = la llbll senr.

: G,rbr drrl)tr + (,,r, -drbj)z+tt&)-a,b\jl= aih'1, 2a,a.b,b. + oibl + ulbl 2a\a.hir

+ o:bl + aih: - 2a,d)h\b,+ a:bl= l.ti + (1: + u1(bi + h: + h! lalhj + r,h) + arhr),

La rjhima igualdad se puedc veriljcar multiplicaDdo las expresiones implicadas La

form. v..rori2l d-- esra idenridad e\

rxb r:(.r b )r 1r b)l

o bien, como ll b: a lt b cos ll.

r!b tr:( ! ib )tr (r b )trcos':0:(a b)r(l cosz0) =llx b ):sen,'

Finalmente, tomando raiz cuadrada y observando que sen, > 0, resulta que

larb - a bsenp..

coRorARlo (14.34)

Demostraci6n Sean a y b dos veclores difercntes de cero v sea d el dnsulo entre a

y b. Los vectores son paralelos si y solo si 0 = 0 o bien, = tr. o equlvalentemente.

sisen, = 0. Por el Teorerna (l'1.33), esto equirale a a x b:0 Siaobeselvectorcero, la demostraci6n es trjvial.

Para inierpretar I a x bll geomei camente, conviene re

Ire\enrar r ! b oor \ecrore. Pn ) PR.or el mi.mo pun o

inicial P. Sea S el punto tal que los segmentos PO v PR son

lados adyacentes dc un paralelosramo con v6riices P, O' Ry s, como se ilustra en la Fisura 1,1.43 Una de las aliuras del paralelosramo es I b I sen, y por lo tanto, el .i.ea es

I a I I b ll sen d. Conparando esto con el Teorema (14.33) se

\e q\re la nagnnud del prcducto wttotial^ )< b es igual al(irea del paruleloEruno deterninado por z ! b

Dos vectores a v b son paralelos si y s6lo si a x b:0'

EJEMPIO 3 Calcular el drea deL triangulo delermjnado por P(1. 3' t)' Q(6' -4' 1iy R(1,2, 2).

Soluci6n Aplicando el Teorema (14.16), vemos que los vectores en rr que corres'

ponden a P0 y PR son a =(2. 1,6) yb =( 3,5. 1). respecrjvamente. DelEjemplo 2, a x b = 3li - 20j + ?k. Por 10 lanlo, el drea del paraielogramo con ]ados

rdyd.enre' P0 \ PR e.

axb =r'961 +40.)+4t:il+lo. - t

Entonces cl irea del i.;dns lo es j! 1'110 : 18 E.

Es importante conocer los producios vectoriales de Los vectorcs uniiarios cspeciales

i, j y k. Por ejemplo, aplicando la Definicion (11.30) con ll = i = (1.0.0) vb=i = \(l. 1,0

"0i r ,;i ., i ,, k k

710 A.1r,Jd . vnroR- y supERFr.rEr

Se pueden demostrar las siguientes igualdades:

(14.35) irj=k jxk:i kxi:jjxi= .k kxj= i ixk= jixi=jxj=kxk=0

El hecho de que i x j + j x i demueslra que el producto vecrorial no es conmutati_vo. La ley asociativa rampoco se cumple pues, por ejemplo,

ix(jxjl:ix0:0.v

li .jj.i t.j_ i.

. tl siguienre reorema enunria al8und. propiedade. imponanre( det p,oducro ve o_flar pard cuate\qulera tre\ !ectores 5, b. c, y cualquier e5calar n.

TEOREMA (14.36) (i)axb=-bxa(ii) (na) x b = n(a x b) = a x (nb)(iii) a x (b + c) = (a x b) + (s x c)(iv) (s + b) x c = (a x c) + (b x c)(v)(axb).c=a (bxc)(vi) s x (b x c) = (a. c)b-(a . b)c

Demostrdci6n Todas ta. propiedade\ se pueden demo\rrar aplicando directamenteld Definici6n tl4.l0r raunque a \eces ft procedimrento es targoi ror e;etnpto, .r a .

<ab 42 a3> v b : (b,. b,, br) , entonces

' " ": ll: 1t:l' ll; l:1,.lll l: L.

Puesto que si se cambian {ios renglones d€ un dererminanre cambia su signo, se tiene que

b a -l', '.1'- ,a, o ta t, ,.rl'-1,, a,lr la r,_l(

: axb.Esto demuestra la propiedad (i).

Si c : (.1, cr,.r), entonces Ia componenre segrin i de a x (b + c) es

ln, i.. r, *.. : .t,(b3 + c) - a3(b, + c))

: lt1.h3 - ojh) + la{3 - d|c,)

:l;:;tl.l:;:;

que es igual a la compon€nte segrin i de (a x b) + (a x c). Cdlculos semejanies de'

muestran que las componenles segin j y k d€ a ! (b + c) son las mismas que las de

(a x b) + (n x c). Esto demuestra (iii). Las demoslraciones de las otras propiedades

se dejan como ejercicios.

La f6rmula (vi) del Teorena (14.36) se llana tiple producto vectorial d.'a' b v c'

E.|EMP|,O 4 Encontrar una f6rnula para la distancia d de

un punlo R a una recta /.

goluci6n Sean P y I dos punlos de 1, y sea d €l enguloenrie P0 ) PR, como \e mue.rra en Ia tigura l4.44 Uljli-/ando ci hecho de que d - j"h .en d y P0 PR

IPQ I lr:- send, obtenemos

, _ IPA FRI

I] PA

EJEMPTO 5 Sup6nease que F0, Fi, v F3 representan lados advacentes del paralele-

pipedo oblicudngulo que se muestra en la Figura 14-45. Demostrar que sj a' b v c son

Ios vectores corr€spondientes en I/i, enlonces (a x b) cl es el volumen del parale-

lepipedo.

tt ;,/,1 r:/lLunf *]_\

! ,. bl

goluci6n El erea de Ia base es I a x b ll S€a d el dnsu

loentrecya x b, Como el vector correspondiente a a x b

es perpendicular ala base,la altura I del paralelepipedo estidada por l, - Ilcl lcosdl. D€be usarse el valor absoluto

lcos,I, pues d podria s€r un dngulo obtuso Entonces, elvo-lumen I/ del paralelepipedo es

I/ - (ar€a de la basexalrura)

= la x bll lclllcos0l= l(a x b) cl

El nfmero (a x b) ' c que se consider6 en el Ejemplo 5 se llama lripl€ producto

€scalar de a, b y c. Este nimero puede expr€sarse como un determinante de tercer or

den formado por las componentes de los tres vectores (v6ase el Ejercicio 2l)'El producto veclorial se utiliza para estudiar los efectos

Frc!E,\ 14,i6 de rotaci6n producidos po' las fue'zas Supongamos que 'rna

fuerza P- se aplica en un punto P de un objeto' como se

, t ilu'rraen laFigura 14 46. en la que se ha sobrepue'to un \r*\ ! rema de coordenadas en tres dimensiones. La fuerza tiende

', i \ a hacer girar el objeto alrededor de una recta que pasa por

po'icron OP Ll tector or delinidc p''l\. - tor oe

"n ' of =oF xFa.

CAPITULo 14 . VEcIoRES } SUPIRF].]ES

EJERCICTOS 14.4Ejercicios 1-10: Encuenrre ! x b.

l. r=(1, 2,3),b=(2, l, 4)2. a : ( 5, l, 1), b: (3,6. -2)J. a:5i 6j k. b: li + k4..=2i+i.b:-5j+2ks. a:(0, l,2), b=(1,2.0)6. n=-li+j+2k, b:9i 3j-6k7. a:3i j+8k, b:5jE. a: (0.0,.1). b=(-7, 1,0)9. a=4i-6j+2k, b= -2i+3j k

10. a=li. b=4k

lt. Sean r=<2,0, -l), b=( 3.1,0), yc=(1. -2.4). Hasa la determinaci6n a t (b x .)y(sxb)xc.

12. Sean t. b, c lo, \ecrore. del fjercicio ll. Encuenke I x (b c) y (a x b) (r x c).

13. Denueslreque(! x b) b:0paralodoslos

14. Denuestre las propiedades en (14.35).

15. Complele la demostracidn delTeorema (14.16).

16. (a) Si I x b = . x c y s + 0, ienrorces necesariamente b : c? Explique.

(b) Sea a + 0. Ponga de maniiiesro que si a xb-r cJa b-a c,enronre.b

Ejercicios 17-20: (a) Encuenrre un vecror perpendicu-lal al plano determinado por los punros p, O y I;(b) calcrle el erea del riengulo dererminado por p,Qv R

t7. P(1, 1.2), 0(0.l, 1), n(t, 4. t)

se llama momento de ls fuerza PO con respecto a (? (o bien sirnplemenre iector no-mento. o ro.qu€,. Ln fi\icd, o mds espectlicamente en mecanica, O/ lndlca rdnto lamagnitud como Ia direcci6n det efecro de rotaci6n (rnonenro) producido por la tuerzaPQ.

En el Capitulo 15 se presentaren orras inrerpreraciones fhicas del producro vecrorial.

tE.

,1e)-/0.

21.

P{ - 3.0, 51. 0(2, l, -l). R(4. l, 1)

P(1,0,0), 0(0, 5.0), I(0, 0. 2)

P(- 1,2.0), 0(0. 2, l). R(5,0, r)

Haga la demostracidn de que si ! : (llj . ar. ar ),tr: (.bt,4,bt> y. = (.j,.,,.r). erro.ces

22. Demuest.eque sia, byc serepresenlan median-te vectores con un mismo punto inicial, enloncesa (b x c) = 0 si y s6lo si los vectores sor

23. Dados P(I, -1. 2), O(0,3, -l) y R(3, -4, l),use €l Ejenplo 5 y el Ejercicio 21 para calcularel volumen del palalelepipedo que ri€De iados ad-yacelt.s OP, OQ y OR-

24. Dados A(2,l, -l), a(3, 0, 2), C(4, -2, t) y,(5. 3, 0). calcule el volumen det paralelepipedo qu€ tiene lados adyacentes AB, AC y AD.

Ejer.icios 25-30: Verifiqle Ia identidad sd lsar /arconponentes, corsiderundo que r. b, c y d son vecto

2s. (a+b)x{, b)=2(bra)26. a x (b ! c) + b t (c / el + c x (a ! b)=0

(saser",.?ir Use (vi) del Teorefta (14.36).)27. {,xb):c:(a c)b {b c)a

lE, tu bt r"^,tr='c h c

la d h dl29. (!ibJ x(.rd):{a!b d). {a:b.c)d30. (a,bl (bi.l r(c,!):la brcl)

l@ nrcrls v rulxos

atGURA trt,4t

t'

Con cualquier otro vector b dilerente de cero y paralelo al vector a del Teorema(14.37) se obriene la misnra recta, pues b - ca - <(d\. e:. (a\) , y la recta tiene ecuaciones param6tricas

r : rj + t,,)r. r, : rj -F kdr),i, . : z, -1"(cdr),,j r en I

Estas ecuaciones determinan la misma recta, ya que el punlo dado por / se obtiene con

EJEMPI.O 1

(r) Enconrrar ecuaciones param6tricas para la recta / q ue pasa por P (5, -2, ,1) y es paralelaaa =(j.2, :)(t,) tEn que punto / cona al plano ry?(c) Trazar el vecror de posicidn de a y la recla /.

En esta secci6n se describen las recias y lo! planos medianre los conceptos vecrorialesde porclelisma y o ogondllddl, respectivamenre. Se hace ta suposici6n de que las rec-tas y los planos estdn en un sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensioncs.

Sean a = (lj. ,. rr) un vector diferente de cero en I/r,Pl(xl,l,r, ?1) un punto arbit.ario y O.1 el vector de posici6nde a. Como se ilustra en ta Fisura 1,1.47, la recta / q'ie pasapor Pr(xr, .r,r, .r) y es paralela a a se deline como el conjunro de rodo, lo' pun o. Pr r. J. ar'dlL. q-c P,P e, D"'dleloa O,t. es decir,

PF : r oi p",u un escalar 1.

En t€rminos de v€ctores en ,/r,

(r .\!, _r ]r,.- :,) : r(dr..rr, dr) : (d,r. d,r, dn).

Igualando las componentes y despejando r., -f y ; sc

\: rj + d1r. }: rr + drr, .: t1 + d|I

para cualquier nimero real r. Estas son ecuaciones paramctricas para la recta /, con/ como parinetro. Los punlos P(jr, ,r, r) en / se obtienen variando I sobre todos losnlimeros reales. Qued6 demostrado Io sisuiente.

TEOREMA (14.!7) La recta que pasa por Pl(nr, /1, ir) y es paralela a a =(d1, d,. /r) tiene ecuaciones param€trjcas

x=xt+att, l = lt + a1l,Z= Zt + a3t:ten[X.

vEaToe€s v sUpERFlalEs

Soluci6n{a) Para eiilar ]:rs lracciones, utilizamos el\,ector b = 6r = a3, 12, 4)envezdea.De acuerdo con el Teorerna (14.37), la recta / tiene €cuaciones param6tricas

\:5+3r. rr= 2+12t, z:4 4t: tenR

{b) La recta co(a al plano xl en el punto R(x, -r, z) si l =4 - ,rt 0; e\ deLir, .i l - L L 'dndo la. ecuaciones para

m€tricas de la pane (a) se obtienen las coordenadas xy/ de R:

x=5+3(l)=8 y y=-Z + l2(1)= 10.

Por lo tanto, R es e1 punto con coordenadas (8, t0, O).

(c) El vector de posici6n 07 de a estd en Ia Fjgura l,{.48-Para rrazar 1a recta / se sirria el punto P(5, 2, 4) y el punto

R(8, 10, 0) que se enconrr6 cn la parte (b).

Para hallar ecuaciones param6tricas d€ la recta que pasa

por dos punros arbitrarios Pt(xt, rb zt) y PzG2, 12, z!),.omo se ilustra en Ia Figura 14.49. se usa el vector a correspon-dienteaP;4.osea

a : (_r, r,..1: _ .,,,,:, z,).

Sustituyendo en el Teorema (14.3?) se oblien€n las ecuacio-

.! : 11 + (\, x,)r. ) = -r, + (.1: ]r)lr::L+iz,-:,Jr; I€nR

Observ€se que r = 0 da ei punto Pl, / : j da el punto medio de P1P1y t = I da

EJEI PLO 2 Hallar ecuaciones param6tricas para la recta /que pasa porPr(3, 1, 2)y h( 2,1, 4).

Solucit5n gl "ecto.

a €n % correspondiente a PrPr es

^=1. 2 3.1 r. 4+2):( 5.6, 2).

Segfn €l Teorena (14.37), la recta 1 ti€ne ecuaciones param€tricas

r:3 5r, ]:l+61, z: 2 21; r€nR .

Siir y /lson rectas paralelas alosvectoresa = (d,,4r.d.) y b : (b,.br,br).respectivamerte, entonces se dice que los dngulos entre /r y /r son d y t - d, donde d

715

es el dngulo entre a y b (vdase Ia l-igura 14.50). Las rectas son orlogonales crandoa b = 0 o, equivalentemenre, cuando rrrr + aj) + a3\ = 0. Las rectas sonparalelas si b = cr para algln esca]ar q es decjr, sj bt = rc,, b2 = c6, b1 = car

Si Pr(r,, -|,, ., ) es Lrn punto sobre una recta /, entoncesel plano qu€ pasr por Pr I tiene la recta normal 1se definecomo ei conjunto de los punlos que sc encuentran en todaslas rectas /'que son perpendiculares a / en Pr, como sc ilustra en la Figura l:1.j1. Para una definici6n equivalente usando vectorcs, se escoge otro punro P: de / y se considera elveclor 1)jP, Como en la Fjgura 14.52, cl plano que pasa porPr J lienc el vcctor normal PrP, se define como ei conjuniode todos los punlos P lales que /)1P es orlogonal a -PrP,.Por el Teorenrd(l4.24r.Pe.raenel plano.i ).olo.r I IPP 0 tu"ndo J.. - corre.Donoe d f t e{oequivale enlonces a

El sigui€nte resullado se obtiene aplicando la definicidn del producto escalar (l,l.l9).

(d,, dr. dr) (-\ \1. _' I1. r ' :1) : 0.

El plano que pasa por Pr(tr, 'lr'r, zr) y tiene el vecrornormal a - r-../.. a. . Iiene como ecuaci6n

al().- jr,) + a|(y - tt) + a1Q - ^l

= o.

TEOREMA (14.38)

EJEMPIO 3 Encontrar una ecuacion del plano que pasa por el punto (5, 2, 4) y tiene el vector normal a - ( 1.2, 3).

Soluci5n Aplicando el Teorema (14.38) obtenemos

l(x 5) + 2()' + 2) + l(. -:1) = 0

1o cual se sjmplifica a

r+2y+3. 13=O-

CAP TULO 14 . VECTORES Y SUPERF C ES

Iarr *

EJOiPIO 4 Enconlrar una ecuacion del plano delenninado por los puntos P(4, -3, l), 8(6, -,1,7) y R(1,2,2).

Solucir5n ros puntos P. Oy R detcrninan un plano que

conliene al triangulo mostrado cn la Figura 1,1.53. Los vec-

tores r y b correspondiertes a tt y Pi son

a:(2.-1.6) y b-( 1.5. 1).

El veclor s x b es normal al plano dcterminado por P, 0y R (vease la Figura 14.41). Del Eicnpto 2 de la Seccion 14.4.

a:b: -lti 20j+7k.

Usando el Teorema (14.38) con Pr = P(4, -3, l) obtenemos la ecuaci6n

ll(\ 1) l0(l + l)+ l(: . lJ:0

ll-! 20r + 7: F 57:0

La ecuaci6n del plano cn el Teorema (14-18) se puede cscribir en la forma

d\+br.+(:+l:0donde a = dr, b = bb t: = t:t y d = -atxt - d,_/r - arar. Inversamcnte, dada lrr +by + cz + d = 0, con a,, y c no todos cero, se pueden encontrar nimeros rr. )r y

zr rales que dlr + btt+ czj +d=0.Entoncesd= a\ byt car,yporlo!an!o,

dr r.il +,: d\1 bt r (:r ,0

i/i\ (,)+ l,(_r _rL)+.(: :L):0.

De acuerdo con ei Teorema (14.38), la grafica de la Liliima ecuacj6n es un plano quepasaporP(irr,-rr,.r)yijeneveclornormal (d, b. .) . Una ecuaci6n de la forma a-r +by + cz + d: 0 con d, D y c no lodos cero, se llama ccusci6n lineal cn las tres va a-bles r, l. z. Qued6 demosrrado el siguienre teorema.

TEOREMA (14,39) La griifica de toda ecuacj6n lineal ar + ,l + c? +d = 0 es un plano con vector normal (a, b..).

A menudo, para abreviat, se di.e el plano ax + b! + cz + / = 0 en vez de e/plana con ecuacid ax + bl + c. + d = 0, que es mds preciso.

Para trazar mds frcilmente la grifica cle una ecuaci6n lineal es convenienre enconLrar la tmz, de la srifica en cada plano coordenado, es decir, la rccta de intersecci6ndel plano de la grdfica con cl plano coordenado. Para enconlrar la traza en el planor/ s€ suslituye r por 0. pues esto gcnera los puntos d€ la grafica que estln en el pta-no jrl. An6logarnente, para encontrar la rraza en el plano ). o en el plano .y:, se iomax = 0 o bien I = 0. respecrivamenre. enlaecuaci6n a\ + by + cz + d = O.

14.5 Rectas y ptanos 717

EJEMPIO 5 Trazar la grilica de la ccuacion 2r: + 3! + 4z = tz.

flGUnA 1t.54Solucirin nay rres punlos det plano que podemos ubi-car friciimentc: Ios punlos de inrerseccj6u dei plano con loscjes coordenados. Sultituyendo I y z por 0 en la ecuaci6n o btenemos 2n = 12, o sea -r = 6. Enronces. el punlo (6, 0, 0)esin en Ia s.ifica. Et nrimero 6 es la coordenada r. de intersecci6n de la grdfica con el eje r. An'ilogamente, sustitu-yendo jr y z por 0 obtenemos que la coordenada ), de laintersecci6n de la grdfica con el e.je -| es 4, y por lo tanlo,el punto (0, 4, 0) estii en la griifica. Reemplazando -ry,i, por0 se obtiene el punto (0, 0, 3). La lraza en el plano n), se en-cuertra sustituyendo u por 0 en la ecuaci6n dada. Al hacerloobtenemos 2x + 3l = 12, quc tiene como grdfica en el plano

xl a una recta con abscisa cn el origen 6 y ordenada en el origcn 4. Esta y las orrastrazas de la grdlica en los planos x? y _r; se indican cn la Figura 14.54.

DEFTNTCTON (14.40)

EJETiPLO 5 Demoslrar que las grdlicas de las ecuacioncs 2). 3l r 5 = 0 v6x + 9! + 3z + 2 = 0sonplanos paralelos.

Soluci6n Scenn el Teorema (14.39). Ias gralicas son planos con vecrores normales!:(2, l, l)yb=( 6.9,1). Comob: 3a, los vectores a y b son paralelosy enlonccs, segtn la Definici6n (14.40), tambidn los planos son paralelos.

E,TEMPLO 7 Encontrar una ecuaci6n del plano que pasa por P(5, -2, 4) y es parale10 al plano 3,r + .v- 6r + 8 = 0.

Soluci6n Seein etleorellla (l:1.39), elplano 3x + y -62 + 8 = 0 riene un vectornormal a : (i, l. 6). Por lo tanto n plano paralelo a 6ste tendre una ecuaci6n de

3);+)-6:+/:0para algin nrimero real d- Si P(5, -2, 4) este en este plano. enlonces sus coordenadassatislacen la ecuaci6n; es decir,3(5) + ( 2) 6(4) + d= 0obien/= ll.Estonosda3.,.+ /-6.a+ 11 =0.

El vector i = (1.0.0) es un vector normal ai plano t - Un plano que riene unaecuaci6n de la forma i rr = 0 (o sea ir = n,) tambien liene un vector normal i y,por lo tanto, es paralelo al plano /a (y onogonal a los planos jrl, y jrz). En la Figura

Dos planos con v€ctor€s normales a y b, respectivamen-

(i) parslelos si a y b son paralelos,

(ii) ortogonales si s y b son ortogonales.

118 CAPITULO 14 ' VECTORES y SllPERflClEs

(ii) r=b (iiD : =.

x-r1 _l-y\ z z1

14.55(i) aparece parte de la grdfica de la ecuaci6n J. = 4 que se encuentra en el primer

oclanle. Anillogamcnte, la grefica de I = , cs un plano paraieio ai plano Jr tal que

la coordenada y de su intersecci6n con el eje -| es b, y la grdfica de r = c es un planoparalelo al plano irl, cuya interseccj6n con el eje r tiene coordenada z igual a . lveanse(ii) y (iii) de la Fisura 11.551.

Un plano cuya ecuacion es de la forma ,l + c. + d = 0 tiene un vector normala : (0. b, .) y cs onogonal al plano /z pues a i = 0- Anilogamenle, las srdficasdeax + b| + d = 0y ax + ca + d - oson planos ortogonales al plano x-t y al plano rrl, resp€ctivamente,

EJEMPI,O 8 Trazar ta srefica de la ecuaci6n 3r + 5z = 10.

Solucir5n la grdfica es un plano onosonal al plano nrcuya intersecci6n con el eje xlienc abscisa (o coordeDada r)jgual a + , y su intersecci6n con el eje r tiene elevacion (o

coord€nada z) igual a 2- N6t€se que la lraza en el plano Jztiene la ecuaci6n 5r = l0 y por lo tanlo. es una recta parale-

la al eje I cuya intersecci6n con el eje z tiene coordenada tieral a 2 An;logamer e, la Irdra en el pl".lo.rl riene e(uaci6n 3n = l0 y es una recta paralela al eje, cuya inter-secci6n con eleje.i. dene abscisa ig ala {. LaFisura l'1 56

muestra una parie de Ia grAfica y las lrazas en los t.es planos

Las rectas pueden describirse como intersecciones de planos. Si una recra /esti da

da param6tricamente como en el Teorema (14.37) y si ar, a:, ar lon diferenles de cero,puede despejarse t de cada ecuacion y obtener

r:! lr. r:I J'. r:i jr

Resullaentonces que un punto P(x, -v, z) est, en /si y s6lo si se satisfacen las sigLricntes

ecuaciones, llamadas /otna sindtrica de la ccuaci6n de /.

FoRMA srMErRrga (14.41)DE IA ECUACION

DE UNA RECTA

719

La lorma sim€trica no es Linica para una recta dada, pues en (14'11) se pueden usar

otros tres ntmeros rl. br, 4 er vez de 0 t, ar, 4r, con lal de quesean proporcional€t

a aqu6llos, y ranbien es posible usar otro punlo de / en lugar dc (x,, yr, :r)Si en (14.41) se toman las expresiones indjcadas en parcs,

., r-t' : i,

se obtiene una descripci6n de / como la intersecci6n de dos planos' el prilr1cro d' lo\

cuales es oriogonal al plano x/, y el segundo, al plano iri. Si uno de kx nLinci!'s 'r,.r2 o a3 es cero, no se puede rtespejar I de las ecuaciones en (l_l '17) Por eienllli]' si

ar = 0 y ar a: * 0. enronces la tercera ecuaci6n se reduce a r = il vse obtilrrc la loF

HL -l -rr - -

que expresa de nuevo a lcomo la intersecci6n de dos platros Algo parecido !ucede cuando

ar =0obiend,=0.

€iEMPlO I Enconrrar la forma sim€trica de la ecuaci6n de la recta que pasa por

Pr(3, l, -2) y P2i2,1, 4).

Solucion como en el liemplo 2. ei ve.lor a correrpondient( a P.P <'

a:< 2-3,1 1, 1+2)=( 5.6. 2)

Por el Teorerna (14.37). la recta tiene Ia represertaci6n param€trica

r:l 5r. r:1+6t. z= 2-2t; renR

D€spejando l de cada ecuaci6n e igualando los resultados obtenemos la forma simetrica

Encontrar una i6rmula para la distancia,t de un punto P(jro' /0, z0)

by+cz+d=0.Soluci6n Sea R(r,:r, ,r'r, rr) un punto cualquiera del pl3'no y sea r un vector normal al plano. El v€cior p =(ro-.r1. )o ) 1, :o zi ) tiene una r€presentaci6n seom6kica RF. Como se iluslra en La Figura 14 57' la disiancia n es

r-3 1 l

En €L eiemplo sisuiente se utilizar m€todos vectoriales para calcular la disrancia

de un punto a un plano.

EJEMPTO 'IO

' th"

720 CAPirLrLo 11 . vEcToREs y supERFtctEs

Como (a. r,.) es un vector normal al plano, podemos definjr

1lllilf " = Jrr-r*.. <,. r' o.

':l'#" d(-ro - i(,) +,(/" - l,) + .(zo -:1)

"7,'+tr]V- l(dr" + Dr" +.?") + ( dxr - /,}- .,,)

rl? + uZ +;lComoRestdeneiplano,oxt + blt + c?r + d = 0y, porloranto.d = -a\-byt."r. De modo que Ia f6rmula anterior se puede escribir

)axo+b)a+tza+d)

",F+e+e

EJEMPI.O 1,I

Solucirin usanao h f6rmula que se ob.uvo en

, 14( ol 5{21 + 8(l) 7

': .Io+:s+o+-:

Calcular la distancia del punlo P(-6,2,3) al plano Ol:- 51, + 8r

el Ejemplo 10,

t7

i1o5

(FPl x 4E;)

EJEA.{PIO 1t Encontrar una f6rmuia para la disiancia minima dentre dos recras /,y /, que se cruzan.

Solucir5n oos recta, se c/r:o, cuando no son pafatelasy no se cortan. Escogemos Pr, Or en /r y prb, en /r, cornose ilustra en la Figura 14.58. Mediante et Teorema (14.32),P Q. P,Q, e(o osondl ap,q;)d p_0;.)porloranto, el vector unita o I definido por

r-.\,,. )^q

es ortosonal a nA y PU.Consideremos los dos planos con vector rormal n que pasan por pr y pr, respec,

tivamente. Estos planos son paralelos y contienen a /r y /2, respectivamente, La dis_tancia d entre los planos s€ mide a lo largo de una recta paralela a la normal comnnn, como se ilusrra en la figura. De esto se deduce que d es Ia distancja minima entre

I FO, P;d

d: conrp.FEl: n PlP' l

- llPOl, rn-atl tPAl ' FA) FEI '

711trt.5 Rectas y panos

EJERCTCTOS 14.5qercicios 1-2: Encuenlre las ecuacions pdmerricaspara la recta que pasa por Pr y Pr. Deternine lsi €s

posible hacerlo) los puntos ef, los que la recta corlaa cada plano coordenado.

l. P1(5, -2,4), P:(2, 6, r)

2. P1(-3,1, r), P:(7.11' 8)

Eiercicio3 3{: Enootre ecuaciones paranetric.as pdala recta que pasa por P y es paralela a !.

3. P(a,2. -3), i = (j.2,i){. P15.0. 2). a:(-1, 4.1)

s. P(0, 0, 0), a = jqP(1,2,11. a=i+2j+ll

/ r.J sea I ta rema con ecuaciones oaramilricas r -J s-lr,t' -2-t,z= I 9/.obtensaecuaciones paramdlricas para la recta que pasa porP(-6, 4, 3) y es paralela a /.

E. Establezca ecuaciones parmericai para h rec-

ta que pasa por P(4, -1, 0) y €s paralela a la que

p3sa por Pr(-3,9, -2) y P,(5,7,-3).

Ejercicios 9-12: Determine si las dos rectas se cortany, s, Io hbcen. eDLuenlr€ el punro de inlersecci6n

9. x = I +2t, | = | - 4t, z : 5 - tij=4 t. l:-i+6u.2:4+u

l0. r=l -6t, y=3+2t,z=1 2t,x:2+2tr,r:6+u.,:2+t

ll. r=l+r, j,=2 4t,z=tax=4 o,]:3+!.2:-2+3,

12. r=2-5r, !=6+2t. z= -3-2tax:4 3t, l:I+5t.::I+4r

ll. L(eelproduclo e( tlar Para evaluat la d(rdnciaddel punto -4 (2, -6, l) a ]a recta /que pasa por

B('t, 4, 2l y C(7,'t, 5)

14. Calcule la distancia del punto c(2, l, -2) a larecta con ecuaciones parmetricas r = 3-21'!=-4+3t,2=\+2t.

Ejercicios 15-20: Trace la srafica de la ecuaci6n en un

sistema tridimensional d€ coordenadas.

l'1. 2t 32 -9 =0l8- 5r+l-4r+20=019,2x l+5:+10=0 20. x+)+z=0

Ejercicios 21-2E: Encu€ntre la ecuaci6n del plano que

satisface las condicion€s enunciadas.

21. Pasa por P(6, -7, 4), es pdalelo (a) ar Phno t/;(b) ar pleo /z; (c) ar phno rz.

22. PasaporP(-2,5, -8)y tiene por vector normal(a) i; (b) j; (c) l.

23. Pasa por P(-11, 4, 2) y tiene por vetor nor'mala=61-5j-k.

24. Pasa pot P(4,2, -9) y t;ene por vecior normal

2s. Prra por P(2. 5. -6, y er pdalelo al pldo lrt+22-lO.

26. Pasa por el origen y es pdalelo al plano r - 6/ +4z:7.

27. Pasa por el orisen y por los puntos P(0, 2, 5) y

QG,4,o).2E. Pasa por los puntos P13,2,11, Qe\ l, -2, v

x(3. -4, 1).

Djercicios 29-32: Encu€ntre una forma sim6trica pa-

ra Ia recta que pasa por Pr y P?.

29. P15. 2,4). P 1\2,6.1)

10. P,(-3. r, 1), P,(7,lr, -8)31. P,(,{,2, l), P:( r. 2, 5)

!2. P\1.5. 7,1), P:( 2, 1,4)

Ejercicios 33-34: calcule la distancia d€l punto P al

33. 3x 'lJj + z 5 = 0. P(1. l' 2)

14. 2-! + 4] 5:+1=0, P(3,1.-2)

Ejercicios 35-36: Demuestre que los dos plrnos son

paralelos y calcule la distecia entre ellos

35. 4x - 2! + 6z : 3. 6r+ 3)-9: =436. 3l + 12r 62: -2, 5x + 20! - l0z = 115. 2r+1, 6=0 16. 3\ - 2z 24=O

71, cApiruLo 14 . v€croREs y supERactEs

.]r. La recra lriere parame[zacronr = ]/ l,/-2t + 4,2 = r - 3. Halle una ecuaci6n del pla-no que @nriene a 1y al punto P(5, 0, 2).

3E. Encuentre ecuaciones parametricas para la rectade inters€cci6n d€ los planoszx + ! + 4z = 8

y)t+3t-z=-1.

Eiercicios 30-40: Sea / la recla que pasa por '4 ) B'

I sea t la 'ec'a

qoe pa'a por C v D Calcule la dn'tancia enire 11 y L (vaase el Ejemplo l2).

39. /11. 2.3).412.0.5). C(4.1, -1), D( 2,3.4)

,r0. ,4(1. 3, 0). a(0,4, 5). c( 2, - 1, 2), D(5, 1,0)

l@ surenncres

FIGURA 1/'.59

En la secci6n anterior se defl]l'i6l^ trazI de la eftfica de una ecuaci6n lineal en un pla

no coordenado. En general, la lrtza de una superfici€ e un plano es la linea de inter-secci6n de la superficie con el plano. Para esquematizar una superficie s€ hace uso

frecuente de las trazas. Son d€ especial importancia las trazas en los planos coordena-

dos. Estas tres lineas se llaman ttsza x!, truzn tz y tmza 14, y sus ecuacion€s pueden

en€ontrarse a partir de 1a ecuaci6n de la superficie tomando z = 0, t = 0 v / = 0'

EJEMPTO 1 Encontrar las trazas, en varios planos, de la superficie con ecuaci6n

z - t' + t' y esquematizar la grefica de la ecuaci6r.

9oluci6n para encontrar la trazarz tomamos, = 0€nla ecuacidn z = x2 + !2 y asi z = y'?. Por lo'tanto, la tra_

za de la superficie en el planoli es una pardbola con vdrtice

en el origen y que abre hacia arriba, como se muestra en la

Figura 14.59.Para encontrar la traza.g tomamos / = 0 en z : x1 +

,y', y obtenemos z = 12. Por lo tanto, tambi6n la traza en

el plano ia es una parrbola.Para la trazaxy, se toma z = 0 y resultar'? + f2 = 0

La grefica de esiaecuaci6n consla d€ un solo punto, el origen.Ahora encontraremos las trazas en planos paralelos al

plano rr; es decir, planos con ecuaciones d€ la forma z =zo. Sustituyendo z por zo en la ecuaci6n dada, obtenemosx1 + y2 : 7o. Entonces, si zo> o, la tnza en el plano

z = zo es una circunferencia de radio Jzo. En la Figura 14.59 se muestran varias de es-

tas circunferencias. Si ?0 < 0, entonces t2 + ]2 = ?o no tielre grefica y por lo tanto,la superficie no tiene puntos abajo del plano ',r/.

Las trazas en planos paralelos al plano xz o al plano /z son pardbolas. Por ejemplo, la traza en el planol = I es la pardbola z = t2 + l. No se representan estas pa-

r:lbolas pues Ias trazas circulares que se obtuvieron son suficientes para mostrar Ia grdfica.

Se pu€de considerar que la superficie de este ejemplo fue generada haciendo girar Iaparabola r = '},'zen el plano /2, alrededor del eje z. Esta superficie se llama parubo-loid€ de r€voluci6n (o pffaboloide circular).

DEFTNtCt6N (14.421

143

La curva C en Ia Definici6n (14.42) es una directriz del cilindro y cada una d€ lasr€ctas paralelas a l que pasan por C es una generatriz del citado cilindro. El tipo mdscomin de superficie cilindrica es el cilindro circular rccto, que se obtiene cuando Cesuna circunfer€ncia en un plano y / es una recta perpendicular al plano, como se ve enla Figura 14.60. Aunque en la figura el cilindro aparece cortado €n sus extremos, lasgeneratrices se extienden irdefinidamente. Como se ilusrra en la Figura 14.61, la direc,triz C de una superficie cilindrica no tiene que ser una curva cerrada.

Consideremos el caso en que la directriz Cesta en el plano n], y riene por ecuaci6nI = /(r) para algum funcidn/. Supongamos tambi6n que las genemtrices son parale,las al €je z. Entonces, como se ilustra en la Figura 14.62, un punto P(r, J, :) este enet cilindro si y s6lo si O(jr,l, 0) est6 en C; es decir, si y s6lo si las dos coordenadasn, I de P satisfacen la ecuacion ), = /()r). Por lo tanto, _y - /(ir) es una ecuaci6n delcilindro ademes de ser la ecuaci6n de la direciriz en el plano ).1.

Sea C una curva en un plano, y / una recta que no esteen un plano paralelo. El conjunto de lospuntos en todaslas rectas paralelas a / que cortan a C se llama cilindro.

\,,.,,0'

1

ETEMPIO t Esquemarizar ta grdrica d. t - /T - I *

Solucir5n oe acuerao con los comenta os anteriores, lagrafica es un cilindro con generatrices paralelas ai eje z. Co-menzamos por trazar la $6fica de (x2/4) + (t2/g) = | enel plano r./. Esta elipse es la directriz C del cilindro. To-das las trazas en planos paralelos al plano Jrl son elipses congruentes con esta directriz. En la Figura 14.63 se muestraunaparte de la srafica (qu€ es n cilindro eliptico).

FTGUiA 14.6!

;.+=,

La gr:ifica de una ecuaci6n que s6lo contiene las variables] y zes un cilindro cuyasgereratric€s son paral€las al eje r y cuya traza (directriz) en el plano /r es la greficade la ecuaci6n dada. Anelogament€, la grefica de una ecuaci6n que no contiene a lavariable/ es un cilindro con generatrices paralelas al ejel y cuya directriz es la grdficade la €cuaci6n dada en el plano )rz.

CAPITULo 14 VECTORES Y SUPERFICIEs

EJEI{PIO 3 Esquematizar las greficas en tr€s dimensiones de las siguientes ecuaciones.

ld t2 = 9- z (b). - sen jr

Soluci6n{r) La grefica es un cilindro con generalrices paralelas al eje t y que tiene como direc-

triz er el plano yz a ia grdfica de -r''? = 9 - z. En la Figura 14 64 se muestra una parte

de la srefica (que es ur cilindro parab6lico).

(b) La grefica es un cilindro con generatrices paraielas al eje / y cuya directriz en el

plano nz es la grdiica de la €cuaci6n ? : senx. En la Figura 14.65 aparece rlna parte

de la grefica.

En el Capirulo l2 se vio qre, en dos dimensiones, la grefica de cualquier ecuaci6n

de segundo grado en x, .1,,

,4rtr + tsr] + Cl.r + t:( + t] + F : 0,

es una secci6n c6nica (excepto en los casos degenerativos). En tres dimensjones, la gre-

fica de ulla ecuaci6n de segundo grado €n ir, /, i,

Ax2 + ts,-z + Czt + Dx!'+ E\z + Flz + Gx + Hl + Iz + J -0.es una supe icie cu{drica (excepto en los casos degenerativos). Restringiremos el analisis de las superficies cuadricas al caso en que los coefici€nles r, E, F. G, H e I sotl

Hay tres tipos de superficies cuddricas: elipsoides, hiperboloides y paraboloides

Los nombres provienen det irecho de que las trazas en los planos paralelos a los planos

coordenados son €lipses, hip6rbolas y parebolas, respeclivamente.La grafica de la siguiente ecuaci6n, err la que a, b y c son nimeros reales positivos,

es un €lipsoide.

x't2zz,",-*-7-'.

1',

EU PSOTDE (14.43)

14,6 Super'ciei 12,

-1 11,

Las trazai del elipsoide ( x2 / a2 ) + ( 12 / bt) + lz7 / ct ) = I en los tres planos coor-

d€nados se indican en la siguiente labla:

La Figura 14.66 mD€stra una gr:ifica tipica de Dn elipsoi

de con sus trazas en los planos coordenadosPara encontrar la traza en un plano arbitrario .z - &

paralelo al plano r./, sustituimos z por t0 en la ecuaci6n del

elipsoide y asi

f +;:+ ,*l

l.I

.lt , ;I---l

Si lzo > c, entonces I - (23/cz, < 0 v no hav grefica

Por lo tarto, la grefica d€ (14.43) se encuentra entre los pla-

nosa=-ryz=c.Silzr < c, entonces I (zi/c'z\ > 0

y por lo tanto, la traza en el plano z = i0 es una elipse. co_

mo se ilustra erla Figura 14.6?. En Ia fieura tambi6n se mues-

tran las partes visibles de olras trazas en planos paral€los al

plano ry.Para un plaro / = yo paral.lo al plano t?, tenemos lo

siguiente: L,{_ db'

La Figura 14.6? rnuestra lambi6n las partes visibles de varias

de estas trazas (que son elipses) para -, < /0 < ,.Finalmente, tomando x

que lastrazas er planos paralelos al plano/z son elipses. (Es'

tas €lipses no estfu en la Fieura 14 6?.)

Si d =, = c, la grefica de (14 43) es una esfera de radio 4 con centro en el origen.

A v€ces lastrazasenlos lres planos coordenados son suficientes para indicar la for-ma general de una superficie cu{drica, como en la Figura 14.66.

La grafica de la siguiente ecuaci6n, en la qu€ a, , v c son ntmeros reales positivos,

es w hipetbotoide de un manto

r'lrPERs0LOrDE SE (r4.44)ui.i i{A,NT*

x! vt z2

n2 h2 c2

116 CAPTILO ]4 . VECTORES Y sUPERFICIES

Las trazas del hiperboloide (x1/a2) + l|1/bt) - (21/ct) = I en los lres planos

coordenados.e indican en la \iguienle labla:

Ecuaci6n de la tr^za Cnifica

i.#=, Elipse

d .:t Hiperbola

Tez ta i ;t:1 Hip6rbola

Lagrafica esta en la Figura 14 68 junto con estas trazas.

El eje ? es el eje d€l hiperboloide.La traza en un plano z = ?0 paralelo al plano Jrl' tiene

una ecuaci6n de la forma

" u'

'1,a,+ s:t+ 'y €s por io tanto una elipse (vease la Figura 14.68).

Las trazas en los planos Jr = x0 o bien,t = ,0; es decir,

€n planos paralelos al plano/? o al plano irz, respeclivamen

te, son hip€rbolas (verifiquese este hecho)

Las greficas de

"'*i "'= t

HTPERBOtOIDE DE (1/t,45)DOS MANTOS

5-'i.'n:' " r-n-i:'tambi€n son hiperboloides de un manlo, pero en el primer caso el e.je del hiperboioide

es et eje/, y en et segundo, el e.je del hip€rboloide es el eje r.- Por lo tanto' el t6rmjno

negativo en estas ecuaciones indica el eje del hiperboloide

Ei siguiente es un hiperboloide de otro tipo

z1

Las trazas en los planos coordenados son las siguientes:

Trrz Ecuaci6n de la lrrze Grdfica

-;F' No haysrAfica

Traza Ecuacidn de la traz! Grdfica

TIa'za xz -;t+ t:l Hip€rbola

'f nza tz ;i+ ':1 Hip€rbola

a ;* r-t

Las intersecciones con el eje : tienen coord€nadas -i igualesa }c y no hay interseccjones con el eje n ni con el e.ie /. Co-mo no haytrazaen el plano )aJ, se ve si haytraza en un planoz = za parolelo al plar'o xl. Sustituyendo z por ?o en la ecuaci6n dada se obt;ene

"''j , ouen -+!:a l.a' b' t'

Si lzol > c, entonces la traza es una elips€, como se indicaen la Figura 14.69. Las trazas €n los planos paralelos al plano

.y. o al plano }; son hip6rbolas (verifiquese este h€cho). Eleje z es el eje d€l hiperboloide.

Poniendo los signos negativos en o(ros t6rminos s€ obtienen hiperboloides de dos mantos cuyo eje es el eje r o eleje ,. (iQu6 terminos deben ser negativos en cada caso?)

Un cono (de dos mantos) puede considerars€ como unhiperboloide degenerativo qu€ se obticne sustituyendo por 0el nnnero I en (14.44) o (14.45). Esto dala $guiente ecuaci6n.

coNo (14.461

Las trazas son las siguientes:

xl v2 z2

a'1 b') c')

Ecoaci.tn de la lraza Gr{fica

TGza x! El orieen

-l=0Lasrectasz:+1x

Tftza yz )'_r' - n l-asrectasz=r*y

FIGURA 14.70

y por lo tanto es una elipse. Las trazas elr los planos parale-

los a los otros ejes coordenados son hiperbolas (verifiquese

este hecho).La grefica estd en la Figura 14.70. El eje z es el eje del

La gr{fica de la siguiente ecuaci6n, en la que 4,, y c sonnimeros reales y a y , son positivos, es \n paruboloide.

PARABOTOTDE (14.47)

El Ejemplo I es un caso especial de (14.47) con a = Z, = c = l.Sic > 0, enton-

ces la grifica de (14.47) es parecida a la que se muestra en la Figura 14.59, excepto que

si r + b, entonces las trazas en planos paralelos aln/ son elipses en vez de circunferen_

cias. Si c < 0, entonces elpaftboloide abre hacia dJ..iba. Et eje. es el eje del p&rsboloide. Las gr:ificas de las ecuaciones

La traza en un plano z = z0 paralelo al plano xJ tiene

Ia ecuaci6r

a-i.7

i+ u: cx

son paraboloid€s cuyos ejes son el e.je / y el eje x, respectivamente.Si en (14.47) se cambia el signo + por -, se obtiene ln paraboloide hipeft6lico

PARABOToTDE (14.48)HIPERBOTICO

A t': "La Figura 14.71 muestra un croquis tipico de esta super-

ficie, con c > 0, la cual tiene la forma de una silla de mon_tar. Intercambiando x, / y r en (14.48), se obtienen varian-tes. El paraboloide hiperb6lico es la superficie cuedrica mes

dificil de visualizar y se requiere mucha pfltctica para adquirir la habilidad de esquematizar la grefica. Trazas como las

de la Figura 14.71 pueden ser itiles. Obs6rvese que la trazaen el plano x/ tiene como ecuaci6n

; t,:O obien J':y es un par de rectas que se cortan en el origen. Esta tr^za no aparece en la Figura 14-71-

A continuaci6n se presertan dos ejemplos que son casos especiales de superficiescu{d casj es decir, los coeficientes tienen valores especificos.

1

l6x'1 9t' +J621 = lla

EJEMPI,O 4 Esquematizar la grafica de rcxx gvz + 3622 = l'+4, e identificar la su-

perficie.

Soluci6n Dividiendo ambos lados de la ecuaci6n entre 144 obtenemos

c ,i _tg td l:1Las trazas en los planos coordenados son las siguientes:

Ecuaci6n de la truza Grdfica

Teza t! 9 16Hip6rbola

i*e-t Elipse

Traza lz 4 16Hip6rbola

La Figura 14.72 muesira la grdfica de este hiperboloid€ de

un manto cuyo eje es el eje/. Las trazas en planos paralelos

al plano tz son elipses y las trazas en planos paralelos al pla-

no r./ o al plano Yi son hiperbolas.

i.

soiuei6n

EJEMPTO 5 Esquematizar la sr6fica de t2 + 422 = x e

jdentificar la superficie.

Las trazas son las siguientes:

Treza

Ttaza x] Pardbola

Parnbola

Ecuaci6n de la traza Grdficg

!2 + 421 =o El orisen

La traza en un plano t = to paralelo al plano ),z tienela ecuaci6n]'? + 422 = xo, que es una elipse si x0 > 0. Las

{r^za' en planos paralelos al plano i:z o al plano xv son pard-

bolas. La superfici€ es un paraboloide cuyo eje es el €je n vsu gr6fica €st{ €n la Figura 14.?3.

t30 CAPiIULO 14 t VECIORES Y SIJPERFICIES

Se llama saperJicie de reroluci6n a una qt)e se obtiene al girar una curva plana C

alrededor de una recla (el eje de rcwtucid ) en el mismo plano. En la siguienie discu-

sion se supone que C esta en un plano coordenado y que el e.je de revoluci6n es uno

de Io5 ete' de (oordendda\. Fl 'imbolo /(r. ,r \e u\a para Ieprerenrar una e\precron

en las variables ).yy. En este caso, /(d, ,) denota el n mero que se obtiene al sustituirn por d y J por b. Esta notaci6n se analiza mes a fondo en el Capitulo 16.

La ardfica de la ecuaci6n /(x, /) = 0 en el plano xf es una curva C (Aquj s6lointeresa lagr6fica en ei planorly no lagreficaen tres dimensiones, qu€ es un cilindro-)Para simplificar, supongamos que x yl no son negativos para lodos los purtos ()., /)en C y d€notemos por S la superficie que se obtiene al girar C alrededor del ejel, comose ilustra €n la Fisura 14.74. Un purto P()., ,, z) esla en S si y s6lo si O(nr, /, 0)

esd en C, donde xr = .i-tt + .'t. En consecuencia, P(),, /, ?) estii en S si y s6lo si

"f(.,xr + :'z, -r,) = 0. Entonces, para encontrar una ecua

ci6n de s, se reemplaza por jx' + rr la variable ). en laecuaci6n de C. Analogamente, si la grefica de /(),, ,) : 0gira alr€dedor del eje )., enlonces se obtiene una ecuaci6n dela superficie resultante reemplazando 7 por ./yr + ;'z. Paraalgunas curvas qu€ tienen puntos (x, ,r) con )li o t negativo,hay que sustituir x por i r,\r + :' o / por t rir'' + :'z, pa

.-:!!:t- ra gereralizar la discusi6n anterior. Si )r y / s6lo aparecen

en pot€ncias pares, como en el €jemplo siguiente, enloncesesta distin€i6n no es necesaria ya que el radical desaparece

cuando la ecuaci6n se simplifica.

c: /(r, j)= 0

EJEMPTO 6 La gr|fica de 9x2 + 4),2 = 36 gira alrededor del eje /. Encontrar una

ecuacidn de la superficie resultante.

Soluci6n para encontrar una ecuaci6n de la superficie sustituimos x'z por x2 + zz.

Esto da

9(x2+21\+4f2=36.

La superficie es un erpsoide de revoluci6 . Si dividimos ambos lados enlre 36 v orde-namos los t€rminos, resulta

que rifre la rorma de la ecudcion en (14.411.

: ],

Se puede hacer unadiscusi6n semej ante para Ias curvas q'pe se encuentran en et pla-

no /? o en el nz. Por ejemplo, si una curva C en el plano xa gira alrededor del eje z,

entonces puede encontrarse una ecuaci6n de la superficie resultante reemplazando x por

$- + F. Sl c gira alrededor del.eje )., hay que reemplazar .? por 1y'? + z2 .

Finalmente, cab€ mencionar que las ecuaciones de las superficies d€ revoluci6n s€

caracterjzan por el hecho de que dos de las variables aparecen en combinaciones comox2 + yr, y7 + z2 o blen x2 + 22.

4'9 4

Coorden.das c indricas y esfaricas

EJERCtCtOS 14.6

Di€rcicios 1-32: Esquematice la grefica en tres dimen-siones de Ia ecuaci6n e

'dentifique la supe.ficie.

Ejercicios 33-38: Oblenga una ecuacidn de la superri_

cie senerada al enar h srdfica de ia ecuacidn akede

dor del eje indicado. Esquematice la superficie

33. xl + 4!'1 - 16, eje r

fr,- z:"";"jef

.18. .t" = l; eje z

39. Aunque a menudo se utiliza la esfera como mo-

delo de la forna de laTiera, a veces se Decesita

una relaci6n mrs precisa para estudiar su topo-

srafia. A lin de establecer los puntos de conbolde la red geod6sica nacional de Fstados Unidos,se \titla el elipsoide de Ctart" ( 1866), cuya ecua

cion es (x'z/a'z) + O"/bz) + (zr/c1, = t con

a = b:6378.2064kll, y. = 6356 5838 km.(a) Explique brevemente la diferencia entre el

elipsoide de Clarke y la representacid! eelerrca que.e aco.lumbra para la.uperfi-ie

(b) Las cunas de igual latitud lospdrale/d) sonlas trazas en planos a : f. Desciba estas

(c) Lar curvas de isual lor\Eittd (los neridia'ro,r.on ralas en planos t nr. Descri-ba esus curvas.

40. Idehtifique la superfic;e z : ryhaciendounarotaci6n adecuada de los eies €n el Dlano :/.

L

3.

5.

t.9.

11.

13.

15.

t6.

17,

18.

20.

21.

22.

2t.21.

25.

26.

27,

2E.

29,

10.

tl.

4),1 + 922 :36

4x-3Jt=12

2. \'t + z2 :161. \1 + 521 :25

E. v:l10.2:+J=5

4rr + 9]r : 16: l,l. 8\: + 4)r + :r = 16

t6rr + 100Ir 25:tr :4oo

25x1 225!1 + 921 = 225

4x1 + f :922 19. x1 16!2 :421.1r,2 25zr = 100r

1611 25f + Ioo:: = 200

1611 4),'7-:tr+l=036r = 91tr +:rr,-9]r :1 9=0

4)'?+252r+100r=0

36r'? 16rr+9:r:0

4), = x) - z1 32. 1\2 + 16\' - .2

lftl coonotNADAs q(NDRlcAs v EsF6$cAs

Las coordenadas polares en el plano (vease la Secci6n 13 3) pueden servk para simplifi_

car ciertas ecuaciones. Por ejcmplo, para trazar la grefica en dos dimensiones de la si_

' -r" Jr.rl-: o

Se podria cambiar algebraicam€nte su forma; pero la expresi6n 12 + ,r2 sugiere usar

coord€nadas polares. Haci€ndolo,

J Jr 1-U obien u lr{/ 2\-0

73' CAPiTULO 14 . vECToREs y SuPERFICIE5

Por lo tanto, la griifica consta de dos circunferencias conc6ntricas r = I y r = 2conradios I y 2, respectivamente, y centros en el origen.

Se pueden definir sistemas de coordenadas en tres djmen_

siones que pueden usarse de manera parecida para las ecua-

ciones enx,/, -a. Su principal aplicaci6n, que es para simpli-ficar integrales miltiples, se presenta en la Seccidn 17.8.

El sistema de coordeladas polares se puede generalizar

a tres dimensiones. Basta representar un punto Ppor una ter-Ila ordenada (/, d, z), dond€.a (la elevaci6n) es la tercera coordenada rectargular d€ Py (r, d) son las coordenadas polaresde la proyecci6n P'de P sobre el plano ry (v6ase la Figura14.75). Este sistema coordenado se llama sistems de coorde-nadrs cilindricas.

Como se hizo un cambio a coordenadas polares en el plano r/, las l6rmulas delTeorema (13.8) dan las relaciones entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas cilindricas de P. A continuaci6n se enuncian de nu€vo esras f6rmulas.

TEOREMA (14.49) Las coordenadas rectangulares ()r, /, a) y las coordena-das cilindricas (/, d, r) d€ un punto P est6n relacionadascomo sigue:

x: rcosd, /=.send, tanl =+,

12=x2 +y2, z=2.

Si ro es una constante positiva, entonces Ia grdfica de Ia ecuaci6n r = .0, o equi-valentemente, de rr + J!,2 = rol, es un cilindro circular de radio ro con eje a lo largodel eje z. Si 00 y z0 son constantes, entonces la grefica de 0 : 00 es un plano que con-tiene al eje z y la grefica de z = ?0 es un plano perpendicular al eje :. En Ia Figura14.76 aparecen rcpresentaciones tipicas de estas superficies. En la Secci6n 17.8 se utili'zaran estas superficies para simplificar integrales miltiples.

I

ii

733ta.t Coordenadds cili.dricas y est€ricas

EJE^{PIO I Para cada una de las ecuaciones en coorde

nadas cilindricas, encontrar una €cuaci6n en coordenadas rec-

rangulares y esquematizar la grefica en tres dimensiones

\rj z = 4tz (b)r= 4send

soluci6n(a) De acuerdo con el Teorema (14.49), ia ecuacidn a - 4/ r

es equivalente a la ecuacidn rectangular

z=4lxz+lz) o bien z=4x) + 4)1

La grdfica es el paraboloide de revoiuci6n de la Figura 14 77

tbr Mulliplicando por r ambo( ladoi de / - 4 cen d oblene

mot12 ar.en0. U'dndo(14.49), re'ulrax -,: 'lv o

x2 + (v-2)2 = 4.

La grdfica es un cilindro con generatrices paralelas al eje zy se representa en ]a Figura 14.?8. El cilindro tiene como di-rectriz una circunferencia de radio 2 en ei plano xl, con cen-

tro (0, 2, 0) en coordenadas reclangulares.

i

1

uEAtPtO t Encontrar una ecuaci6n en coordenadas cilin-dricas equivalente a z'? = x2 + -vr, y representar la Srdfica

Soluci6n Usando el Teorema (14.49),

z1 =17 o bien z=r.

La griifica es un cono circular con e.je a lo largo del €j€ z,

como se ilustra en la Figura 14.79.

Tambi€r puede definirse el sislems decoordenadas esf6-

.icas en tres dimensiones. Para ello, un punto P distinto del

oigen s€ representa por una terna ord€nada ( p, d, d), don-

de , Lr]. o es el angulo enlre la palle posiliva del eie

r y nF, y d e' el engulo polat correspondienre a la prolec

ci6n P'alePsobre el plano jrl (veas€ la Fisura 14.80) El ori-gen se representa por cualquier terna de la forma (0, d' 0)

La grAfica de la ecuaci6n p : po , con po > 0' es una

esfera con centro en O. La grefica de d = d0 es normalmen

te un manto d€ un cono con v€rtice en o. Como en el caso

de las coordenadas cilinddcas, la grdfica de d = do es un plano que contiene al eje z'

Fn la Figura l4 8l aparecen greiicas tipicas de eslas \uperlicies

734 CAPITILo 14 . V€(IoREs y SUPERF|C|ES

, ,.r,il):.i.",, x: loFlcos0 y l: l07l seno

y ' IOQ : pcosd

La relaci6n entre las coordenadas esf6ricas (p, d, d) yIas rectangulares (x, ], z) de un punto P se pueden encon,trar analizando la Figura 14.82. Usando el hecho de que

I or-') =l@l - pseng

se obti€ne la parte (i) del siguienre teorema. La parte (ii) esuna consecuencia d€ la F6rmula de la Distancia (14.13).

TEOREMA (14.50) Las coordenadas rectangulares (r, ),, .?) y las coordena-das cilindricas (p, d, z) de un punto P est6n relacio-nadas como sigue:

(i) )r = psendcosr, J, = psendsena, ?: pcosd(ii:) p2 = x1 + t2 + 22

EJEA.IPLO 3 Encontrar una ecuacidn en coordenadas rectangulares equivalente a 1l =2 sen d cos d, y describir Ia grdfica de esta ecuaci6n.

Soluci6n uuttipticando ambos lados de la ecuaci6n dada por p, obtenemos 22 =2psend cos d. Aplicardo (14.50), obtenemos x, + !) + z2 = 2r o, equivalenremen-te, (). - 1)2 + y2 + z2 = l.Por (14.18), la srdfica es una esfera de raJio t cuyo cen-tro es (1, 0, 0) en coordenadas rectangulares.

EJEMPIO { SeaPelpunro con coordenadas esf€ricas (,t, tr/6, r/3). Obtenerlascoor-denadai rectangular€s y las coordenadas cilindricas de p.

Soluci6n Usando el Teorema (14.50)(i) con p:4,d = r/6ye = r/3, obrene-mos las coordenadas leclaneulares

":r,*;*,i:.(r(r:,

715

EJERCTCTOS 14.7

1 Cambie las coordenadas cilindricas dadas a coor-denadai .ectangulares.(a\ (s, r/2,3) (b) (6,

'./3, -5)

2. cambie las coordenada! esfaricas dadas a coor-denadas rectangulares.(z\ 14, n/6, t/2) (b) (t,3t/4,2a/1)

3. cambie las coordenadas rectangulares dadas a

coordenadas esferica.

,:,,*i"*i:-(jX*):.r

Para determinar las coord€nadas cil{ndricas, observamos que 12 = x2 + !2 = | + '3 = 4. Por lo tanto, las coordenadas cilindricas de P son(r,0, z) o Q,'t/3,2'13\.

.:,1-,1: +l!)::.^o \2./

4. cambie las coordenadas rectaneul&es dadas a@ordenadar cilindricas.(a, (2,11,2. -2, (b) (!r, -r5, D

5., Convierta lal coordenada 6f€.icas dadas a coor-denadas cilindricas.(^) (4, t/3, n/3) (b) (2, sr/6, r/a)

6. corvierta l$ coordenadas cilind.icas dadas acoo.denadas esfdricas.G\ d2, n/4, t) (3, r/3, l)

Eiercicios 7-20: Describa la grAfica de la eluaci6n en

9. 4=nl6 10. p=lll. r:4cosd 72. t:.ea2A13. p:4 cos d 14. p = sec.l)

rs. d=0 t6.6=xl2t1. t2 =coszA lE. ::l r2

19. pz-lp+2=020. t'1 ntr+(3n1lt6):o

Ej€rcicios 2r-30: Encuenrre una ecuaci6n en coorde-

nadas cilindricas y una en coordenadas esf6ricas para

h grefica de la ecuaci6n dada.

(a) (1, l, 1/2) (b) (1, v3, 0)

21. xz + 12 + 27:423.3x+r 42=12

24.x2_lz z2=1

25, !'1+zz=9

2E. r': 4:'z+ )'?= 0

29. !=\z

2.6, xt+21=9

30. ): x

l@ nnlsoDefina o di$utr lo sigqiente.

r. Escalar.

2. Vectores en % y I/3.

3. Mtltiplos escalares de vectores.

4. Adici6n (o suna) de veclores.

6.

7.

8.

Componentes de un ve€lor.

Magnitud de un vector,

VECTOR€S Y SUPERF C €5

9. Sustraccion (o resta) de veclores.

10. Veclores paraletos.

12. Sistema de coord€nadas rectangutares en lres di-

13. Fdrmula de la Distancia.

1.1. Fdrmula del Puto Medio.

15. Ecuaci6n de una esfera.

16- El producto escalar y sus propiedades.

17. Angulo enlre dos vectores.

lE. Vectores ortogonales.

19. Desiguaidad de Cauchy-Schwarz.

20. Desigualdad del Triangulo.

22. Trabajo realizado por una fuera.

21. Determinantes de o.den 2 y 3.

2;1. Producto veclorial y sus propiedades.

Ecuaciores de una recta.

Ecuaciones de un plano.

Cilindros.

Superricies cuedricas.

Coordenadas cilindri€s.

Coordenadas esfdricas.

25.

26.

21.

28.

29.

l.4a+b3. (a + b) (a :b)

s."l bii

2. 2a-3b4. la (5b + i)

6. a-bl

EJERC|CTOS 14.8

Eje.cicios u0: Sean ! : 2i + 5j y b - .{i j. Determine el vector o el escalar.

13. Obtensa la ecuaci6n del plano ral que su inler,seccr6n con el eje r riene por abscisa ., ,u in-teseccirjn con eleje/ tiene por ordenada *2, ysu intersecci6n con el eje. tiene cono elevacidn 6.

14. Encuentre la rcuaci6n del cilindro que es per-pendicular al plano .!y y que tiene como direc-triz la circunferencia en el plano {y con centroC(4, -3, 0) y radio 5.

15. Encuenre la ecuacidn del elipsoide con centro O,ral que su inteAeccion con el eje y riene ab\isa8, su intersecci6n con el eje, tiene ordenada 3y su inrerseccidn con el eje -i tiene elevacidn l.

16. Encuentre ua ecuaci6n de la superficie que se

obli€ne al girar la grefjca Ce la ecuacidn z = ralrededor del eje .2.

Eje.cicios U-2?: Represente la grafica de la ecuaci6n.

17, \2+t1 +12 l4-r+61-l:+ 10=0lE.4r-l: 15=019.3r 5)+22=1020. ):::+l21. 9x1 + 421 - 36

22. x' + 4y + 921 =A2f,. .x 1\2 = 9 4t2

7. El ansulo entre a e i.

8. Un lector unitario con la nismadi.ecci6n que b.

9. Un vector unitario ortogonal a a.

t0. El coseno del Anculo enbe r y b.

Il. Dados los puntos..l (5, -3.2) r Bl l,-4,3),(a) calcule d(,4, B).(b) halle las coordenadas del punto med'o d€l

segmenlo ,4r.(c) obt€nea una ecuacjon de la esfera con cen

t.o I que es mngente al plaro .L:.(d) eDcuentre una ecuaci6n del plano que pasa

po. A y es paralelo al plano tr:.(e) halle ecLraciones paran€tricas para la recta

que pasa por 4 y A.(l) halle la ecuacidn del plano que pasa por,4

y tiene vector normal ;E.12. Etrcuentre una ecuacidn del plano que pasa por

A(0,4,9) y B(0, -3,7) r es perpendicular al

14.8 Repaso

21. 2\r + .+:: r'1 : 0

li. :': 4x'? rr = 4

l$. i: + 2_r: + 1:r : 16

2ri. i (b-c)ll. b + c

16. Calcule el angulo entre las r€cias

'-r-rJ!:'l74E

r+l 6-] 2z+?1 - 2 - -a

Ljercicior 2a-44: Dado. t li - j 4k b 2i +5i 2l' y c - -i ol, derermine el vecror o el e\

28. l, 2b

.10. b+c

l?. Un lector unitario que lenga la milmadneccidn

ll. Los cosenos dileclores de a (v6ase el Eiercicio 3l

de la Secci6n 14.3)

.1,1. El coseno del angulo entre n v c.

:la. trb Jl' t (bxc)

.r. compbr .18. codp.(b x c)

]), a a '1t ata1r. {axc)+(cin) 12- tr(b+c)

'i3. Un vector que lensa direcci6n opuesta a b v el

doble de la magnitud de b

,i'1. Dosvecloresxnitariosperpendicularesabvac

4s. Dados los punros P(2, 1,0) QC3,2,0) vR(4, -5,3), encuenrre(a) elvecbr unitario normal respecto del pla

no deterninado Por P' O Y R.(b) la ecuacidn del plano determinado por P'

QYR(c) ecuaciodes patanelricas de la recta que pa-

sa por P y es paralela a la que p3sa por Oy x,

(d) 0i oR{e) el aneulo entre 0P Y 0R(f) el6rea del tridnsulo con vdrtices P, Ov R'

17. Obtenga ecuaciones param€tricas para cada una

de las dos rectas del Ejercicio 46

r!. Derermine n las siSurenre\ recrar se corlan. \ (ilo hacen, encuenre el punto de intelsecci6n:

r=2+,, 1= 1+t, z:1+7tlx: 4+51. j=2 2I-2=l 1I

19. Calcul€ el angulo entre las reclas del Ejercicio 48'

iiJ. sea / la recra con ecuacione( pdamarricas \Zt + l.! = t + 3,2 = 5r' Calcule ta distan_

cia de l(3, l, -l) a /.

5 ! . Sea P u punto con coo.denadas rectangulares(2. 2, l). Derermine la! eordenadd cilindricasy Ias coordenadd esl€ricas de P

5.1. Sea Pun pLrnlo que posee coordenadas csfddcas

t12, r b,3tr 4). Encuenrte la\ coordenada\ ci-

lindricas y las coordenadas rectangulares de P

Eie.cicios 5l-56: Obtengd una eLuacion equi\alenre

en coordenada. re'raneulares, descriDa la gtllica de

cada ecuacidn er t.es dimetsiones

s5. psen.rcos0:l

F iercicios 57d): Lncuenrte una ecuacron en coorde

n;da\ crund'icat v una en.oordenada' esferica cqui-

valentes a la ecuacidn dada.

ai. r,+1,=t 58.2=xr ,rSq'. rl+1.1+z: 2r=0 4{, 2r+-r 3::4

*rnr,a 15FUNCI ON ES VECTORIAI.ES

filn este capitulo se generalban los conceptos de limite,

derivada e int4ral a las funciones cuyos contradantntos canstdn

de vectores en lugar de nineros reales. La princtpal aplicacton

que se pr€senta de estos conceptos es dl estudio del

noviniento. En cdpitulos posteriores se dan nds aplicdctanes.

1J9

140 CAPiTULo 15 ' FUNCIoNES vEcToR]ALEs

lfl| ouxrcrolrrs v cunvls EN Er EspAcro

Una htncion es una .dls:pllslcjlque d:qcrq!_cada elemenro de r,n conjunro D teldominro) un elemento rln"rc-o de un conjunto / (rea'e ld Delinic on { 1.20'). Si I e'un.ubconiunro de R {lo( ndmero. realesr. se dice que la luncion riene valores realer oque es una funci6n escrl . Si E es un subconjunto de I/r, se dice entonces que la fun-ci6n liene wlorcs yectottules o que es una funci6n recto at, y se denora con simboioscomo . o i. En todo este capitulo, , sere un subconjunro de R. Entonces se tiene losieuiente.

Sea, un conjunto de rimeros reales. Una funcidn vec-lorial r con dominio D e5 una correspondencia que a.o-cia a cada nim€ro t en , un vector inico r( l) en t/r. Elcontradominio de rconsta de todos los vectores r(/) pa-

Si, es un subconjunto de R, entonc€s r es una funci6nvectorial con dom;nio, si y s6lo si, para rodo 1en D

r(t) =.f(tti + tt(t)i + h(t)k

donde/, gl y , son funciones €scalares con dominio D.

+ Qtl 3i + /rk para / en R.

vectores de pos;ci6n.

de posici6n de r(/) esrn en uno de los

DEHNTCTON (15.1)

El dominiorse puede representar geomEtricamente porpurtos en una recta real. En Ia Figura 15.I, , es un inrerva-lo cerrado, pero, podria ser un intervalo de orro tipo ocualquier otro conjunto de nrimeros reaies. La Figura 15.1muestra tambi€n el vector de posici6n de r(/) en un sisrernade coordenadas en tres dimensiones. Como cada t en D de-termina uno y s6lo uno de estos vectores, las componentes

de r(l) estdn determinadas de manera inica por I y son, por lo tanlo, funciones escala,re. /. v ! ll de /. Enronce, \e puede e,cribir

r(r) = /(r)i + ,(rI + lr{r)k para 1 en D.

Inversamente, si/, ./yl? son funcion€s €scalares, todas con el mismo dominjo r, enton-ces la ecuaci6n anterior define una funci6n r con valores vectoriales. Esro da lo siguienre.

TEoREMA (15.2)

EJEMPIO 1 Sea r(r) = (/ + 2)i(a) Calcular r(l) y r(2) y trazar sus

(b) aPara qu€ valo.es de I el vector

Deflnicion€s y curyas €n el€spacio

Soluci6n(a) Para obtener r(1) y r(2) sustituimos I por I v 2' v ob-

r(l) - 3i j+k Y r(2) ='li + 5j + 8k

Entonces, los puntos finales de los vectores de posici6n son

/(3, -1, l) y B(4, 5, 8), como se muestra €n Ia Figura 15 2'

rhr El vecror de po';. ion de rl I I e.ra en el pldno ry \i 'u com-

ponente segrin k, o sea /r, es igual a 0; es decir, si I =

0. El vector de posici6n est6 en el plano yi si la comporente seglin i, que es I + 2' es

igual a 0; €s de;ir, si I = -2. Finaimente, estd en el plano ).2 sj 2t'z I = 0; es decir,

si r= !J3,/2:11.225.

Si en el Ejemplo I se tiene qre I varia entre I y 2' entonces el punto linal del veclor

de posici6n d€ r(l).€corre una travectoria entre los puntos,4(3, l' 0) y B(4, 5' 8)

sen;lados en la Figura 15.2. En este sentido, r determina una cuva e,'? el espacio de

trcs dimensiones. Se definirii el concepto de cun'a en el espacio antes de generalizar

tal nocidn a una tuncion !eclorral arbilraria.(omo en la Delin:. :on (l r. l) dc un" cur\a plana. una ru.la en el espacio o cu s

rridinensiorrl,e'unconiunloCdeterna'ordenada'dela orma (Jttt'JtIt h\ttl'donde /, t/ y i son funciones conlinuas en un intervalo 1. La grafica de Cen un sistema

a".ooiaenaaas rectangulares consta de rodos los puntos P(/(l), g(1)' n(/)) corres-

pondiente\ a la. terna. o-denaddc l a. ecuacione'

x = J(t), ! = s(t). z= h(t)t tenlson ecuaciones pairm6lricas de C. Se dice que Ces curYa pammetrizada y que las ecua-

ciones son una paramelrizacii6n de C.Los conceptos de punto final, curva cenada, curva c€rads simple v longitud de

una curva se definel exactamente igual que para las curvas planas o en el plano (v6ase

la Secci6n I 3 . I ). Una curva C es regular (o alisrda) si iiene una parametrizaci6r )' =f(t), r = !t(t), z = h(t) tal q:ue f',9' v l?' son continuas v no se anulan simultanea-

mente, excepto posibtemenle en los exlremos. Tales curvas tienen una parametrizaci6n

alisante y, como en el caso ale tas curvas planas, su representaci6n no tiene picos ni inte_

rrupciones. Ei concepto d€ curYa alisada o regular parte por parte se defin€ como en

la Seccion 13.1.El siguiente resultado es andlogo al Teorema (13.5)

TEOREMA (15.3) Si una curva C tiene una tarametrizaci6n regular ). ='J(),j = g(tr,. = h(t).x < 1< b,vsiCnosecortaa si misma, excepto posiblem€nie en los €xtremos del in_

tervalo Id, bl, entonces la longitud l, de C es

r : J:.rt70]- + ti(,)]'+ [r'(,)]':./r

t,a, ) o'

FIGURA T 5,3

742 CAPTULO 15 . FIJNCIONES VECTOR]ALEs

Sea r una iunci6n v€ctorial tal que

sional).Una c'ibict

t(t) = f(r\i + r(/I + h(/)k

donde /' I y l? son funciones escalares continuas. Como se

;lusrra en la Fisura 15.3, si oP es el veclor de posici6n de

r( t). enronces cuando / varia, el punlo final P describe la cuFva C qu€ estl dada param€tricam€nte por

x = f(t), /= s(\, z = h(t).

Se dice que C es la curvs determinadr por r(/). En la Sec-

ci6n 15,3 se usara esta represenlacidn vectodal de C con Ipara describir el movimienlo de un punlo P en el espacio (tridjmen-

alab€ada es una curva que tiene una parametrizaci6n

x-at, t= bt', .= ct3

donde a, b y . son constantes diferentes de cero. La curva determinada por r(1) en elsigui€nte ejemplo es el caso especial con l1 = 1, b = | y c = l.

EJEMPTO 2 Sea r(r) = ti + t2j + rrk para / > 0. Trazar la srefica de la curva Cdeterminada por r( l).

Soluci6n C tiene las ecuaciones param€rricas

x=t, y=tz, !=tt; r>0.Como ).,1, z no son negativos, C se encuentra en el prjmer

Como ayuda para visualizar la srefica, se elimina el pa-remefo en las primeras dos ecuaciones, obteniendo/ = iz.Esto implica que todo punto P()r, /,.r) en C est6 tambienen el cilindro parabdlico J, = xr.

Si elilninamos el par6metro dex = lyz = rr, obienemos a = x3, que €s la ecuaci6n de un cilindro con genera-irices paralelas al ejel,. La curva C es la intersecci6n de losdos cilindros, = t2 y z = x3, como se muestra en la Fi-sura 15.4.

En I = 0, el punto final P():, /, z) del vector de posi-ci6n r(/)es (0, 0, 0). A medida que / aumenla, el punlo finaltraza la curva C, pasando por los puntos (1, I, l), (2, 4, 8),

(3, 9, 2?), etc6tera. Obs6rvese que, aumenta mes rrpidamenlc que r, y z, mes rep'da-mente que/. Asi, en t = l0 el punto final del vector de posici6n es (10, 100, 1000).

EJE PTO 3 Sea r(1) = acosri + asenlj + btkpaft t > 0, donde a y, sonconstantes positivas.(r) Esquemaiizar la srdfica de la curva C determinada por r(1).

15,1 D€finicion€s y clrvas en €l espaco 141

(b) Caicular la longitud de C entre los puntos correspondientes a I = 0 y I = 21t

Soluci6n(r) C tiene las ecuaciones param6tricas

x = acos/, _1r = asen1, z=bt; tz0.Si eliminamos el paremetro en las dos primeras ecuaciones (v6ase el Ejemplo 3 de laSecci6n 13.1), obtenemos

x7+1t2=42.

Entonces, cualquier punto P(n,l, z) en Cest;i en el cjlindrocircular con ecuacidn .n2 + /2 - d2. Si 1 varia de 0 a 2?r, elpunto Pparte de (d, 0, 0) y se mueve hacia arriba dando una'nrelta sobre el cilindro, como se ilostra en la Figura l5.5. Laspartes de la curva trazadas cuando / recorre otros interva-los de longitud 2r, son parecidas- La curva C es una h6licecirrulsr.(b) Usando el Teorema ( 15.3), podemos calcular la longitudde Centrelos puntoscorrespondientesa/ - O y t = Zn. Asi,

r.: f '" .r.1."* i + ^.n + t" "rr

-

1r1J. J,, r,.tr ,,, . ,-d;'- ," - t)2r .

EJEI.iPLO 4 Sea r(r) = (2r + l)i + (3r 4)j 5rk. Describir la curva C deter-minada por r( t).

Solucirin c tlene las €cuaciones param6tricas

x=2t+1, y=3t 4, z = -5t.De acuerdo con el T€orema. (14.37). C es la recta que pasa por el punto (1, -4, 0) yque es paralela al ve€tor (2,3. -5).

Como en €l Capitulo 14, se puede considerar a ,/, como el subconjunto de 4 que

consta detodos los vectores cuya tercera componente es 0 y entonces (15.2) toma la forma

r(r):/(r)i+s(t)j.

En est€ caso, la curva determinada por .(l) se encu€ntra en e1 ptano.irl

EJEMPIO 5 sea r(r):(:r cos,)i +{,rsendj para 0 <, < 3'r.

(a) Trazar la srafica d€ la curva determinada por r(/).rhr Calcular r(b) y lra-zar \u vecror de po(ici,in.

Soluci6n(al La curva se encuentra en el plano xl v tien€ ecuaciones parametricas

).=]tcosr, r =+tsent: O<t33r

144 CAPiTULo 15 . FUNCoNEs VE(ToRIALES

Pod€mos suponer que / es el valor en radianes de un dngulo d y escribir

.r : j0 cos 0. y : +{] senr; 0 en lR

) ldsen d-- ran d,. +l/ ..\ d

del Teorema (i3.8) se deduce qu€ , es un 6ngulo que se puede usar para expresar (-Y, -v)en coordenadas polares. Luego notamos que

x'z+ ],'z - ao'zcos':B + 102sen? 0

=:{t'lcos'? 0 +sen'? 0) = +d'z.

cambiando t'? + y2 a coordenadas polares,

r, = i07 obien t=:a.

(N6tese que r + - id, porque r = lr(l)l> 0.)La grefica d€ la ecuaci6n polar r = Jd para 0 < , <

3n es la parte de la espiral de Arquimedes ilustrada en la Fi_

EJERergos 15.1

Ejercicios 1-14: T.ace la erafica de la curva Cdeler

l r{r)=.lri + l1 9rtr)ji ren R

2.r(i)={l t)i+tj:,>0.r. r(r)=(r l)i+(l+2)j: 2<r<24. r(r) : (2 + cos r)i {l sen t)j: 0 < I < 2r

s. (r):.'cos ri.r €'senrjr 0<r<r6. (0 = 2 cosh ri + lsenh rj: r en l{

?. (r) = ri+ 4 cos rj + 9sentkr t>0ri. .(r) = ran ri + sec rj + 2k ni2 < t < nlz

!. (r) - ri + 2rrj + 3tki I en R

lo. (r: rri+ r:j + rk. 0<r<4ii (r) - (r'?+ l)i + rj + 3kr r e! [.{

12 (r): 6senti + 4j + 25 cos rki -2n < . < 2a

gura 15.6 (v6ase el Ejemplo 5 de la Secci6n 13 3).

(b) Sustituyendo I por 6, obten€mos

.(6) = (3 cos 6)i + (3 sen 6)i = 2.9i 0 8j

y se lraza r(6) como en la Figura 15.6.

l.l- (r) : ri + rj + senrk; r en R

11. r(rJ = ri + 2rj + e'kr I en R

Eiercicios 15-20: Calcule Ia longitud de la curva pa

ar\D \::,. r:r,r:=1,/i 0s,!l16. -\: rr, t:rsenr,:=rcosri 0<r<1It. r =.'cos r, t': e', : = z'sen tj 0<r<2r18. r=2r. !,=4sen3r, ::4cos3t: 0= I S 2n

19. r=1r'?. r=rr,::611 0<t<1:0- x=l 2i, ):4,, z:3+2i:: 0<r<22t . Una espiral concoi.le es una curva C con una pa-

rametrizacidn x = aett cosl, ! - aetl sent,z = berti | > 0, dondea, Dypson constanres_(a) Demuestre que C se encuentra en el co.o

dzz'=b'(x'+!1)

15.2 Limit€s, derivddas e integrates

(b) Trace lac.dfica de C pan a = b = 4 \(c) Calcule la lonsitud de C conespondienie al

inlcrvalo / [0, -).22. UDa curva C tiene una parametrizacidn

745

lelos). La fisum muestra un rectengulo ,4rC,de anchura 2tr. El lado.4r s€ une a1 lado tC,y el punto,.l se coloca en (1, 0, 0) para formarpa.le del cilindro .r: + l: = I que aparece en

la segunda ligura-(a) Demuestre que si / es el seemenlo que va de

,.1 a cualquier otro punto P del recldnguloy /, es la pondiente de /, entonces la curvaen la que /se conviene sobre el cilindro tie,ne la param€trizaci6n r = cos /,1 = sen r.

(b) Use la parte (a) para demosrar que la curva mas corla sobre €1 cilindro que une alplnto (1, 0, 0) con cualquier otro punro Pes una h€lice (vease el Ejenplo 3).

r = b sent cos r.

:=.cosri r>0,donde a, b, . y d son constantes positivas.(a) D€Fuestre que C se encuenba en el elipsoide

(Jtr/dr) + (//b))+ (?:r() = I(b) Demuestre que Cianbi6r se halla en u pla

no que conriene al eje z.(c) Utjlice los resultados de las partes (a) y (b)

pata iazar lz ctifica de C.

(a) Denuestre que h cnbica alabeadan = ,r.! = bt), z - crr; I > 0cortaacualquierplano a lo mas €n lres puntos.

(b) Calcule la lonsitud de dicha cibica alabeada x = 61, ! : 31r, ? = rr enlre los pun-tos conespondienres a r : 0 y t - l.

Un rectdngulo puede usdse pea construir un cilindro uniendo dos de sus lados opuestos (para-

21.

21,

f,ffi frurrs, DERTvADAs E INTEGRATEs

En esta secci6n se aprovechan los limites, las derivadas y las inregrales de lrs funcionesescalares paradefinir conceptos anelogos para funciones v€ctoriales. Comenzamos conuna definici6n de limire.

FIt:tF4rti'_1N (15.4) sea r(r) = /(/)i + ,(rI + ,t(r)k. Ei limite de r(/) cuan-

rimrrrr - fri," n,,l' - ju1r,,,li - Lllr,,,lusiempre y cuando/, y yl? tengan limite cuando t tiende

Se puede dar una definici6n 'emejanr< pa'a lo' limires Lnrlareralec. Si

y limtaltirn /(1) = s(t\ = a1

746 cApilrLo 15 . FUNcroNEs vEcToR ALEs

FTGURA 15.7 entonces

lim r(t) = ari + drj + 41k.

Si a = ari + ari + ark, entonc€s se tiene la situaci6n ilus

trada en la Figura 15.7: C es la curva determinada por r(1)'y Ol, y O,,{ son 1os vectores de posici6n de r(l) y a, respecti-

vamenle. Cuando t ii€nde a a. el vector OP tiende a O,4; es

decir, P se ac€rca a ,4.Se pueden demostrar teoremas paralos limites de las fun-

ciones vectoriales parecidos a los del Capirulo 2 para iuncio-nes escalar€s. Los Iimiles de las funcion€s vectoriales pueden definirse tambien usando

el erfoque €-6 como €l que se us6 en la Definicidn (2.10) (v6ase el Ejercicio 39)-

DEFTNiCTON (15,5) Una funcidn veclorial r es condnua en a si

lim r(t) = r(o)

Resuita qu€ si r(r) = /(r)i +si f, g I h son continuas en a. La

s(r)j + l'(i)k, entonces t es continua en a si ! sdlocontinuidad en un intervalo se define de la manera

DEFTNTCToN (.l5,6)

la Definici6n (15.6) toma la forma bien conocida para las derivadas de las funciones€scalares que se present6 en el Capitulo 3.

El siguiente teorema dice que 1'(/) se puede obten€r derivando cada componertede r(r).

Sea r una funci6n vectorial. La deriyada de r es la fun-ci6n vectorial r' definida por

r(r) - lim l. [r1r ' arr- rrrrl' r'-o A/ '

para todo / en que el limite €xiste.

1

^l[('+^, (,)l: I(+^4 (,

Si r(r) = /(r)i + s(r)j + ,(/)k, donde/, s, yl, sonderivables, entonces

t (t) = I'Qri + s'(t)i + h'(t)k.

TEOREMA (15.7)

15.2 limites, d€rivddas e integrales 147

Dcmostlaci6n De acuerdo con ta Definici6n (15.6),

. .. rk + Arl- rr|'(4: l:T" ^,

.,-_ [/,/ r A',i ./', Arri /l,1 Ark] LJlr i 4,lli- /"rll

1.

. fltr - a,r - /r,, . alr A/) q\tt . h\t . Arl /rt,) . I-lrmt tt : kld oL Ar A, " Lt I

Tomardo el limite de cada componente se deduce la conclusi6n del teorema.

Si r'(r) existe, se dice que r es dedvable en r- Las derivadas tambi6n se denotancomo sigue:

r'(t)=D!r(t)=ir(t).Las derivadas de drdenes superiores pueden oblenerse aniilogamente, Por ejemplo,

si /, sr y , tieren s€gundas derivadas, entonces

t"(t) = f"(t)i + s"(t\j + h"(t)k.

EJEA.{PLO 1 Sear(r) = (ln/)i + e 3'i + t2k.(s) Encontrar el dominio de r y determinar los nfmeros donde r es continua-(b) Encontrar r'(/) y r"(l).Soluci6n(a) Como ln l no esd definido para I = 0, €l domi o de r es el conjunto de los nnme'ros reales positivos. Ademds, r es continua en todo este dominio porqu€ cada compo-nente determina una furci6r cortinua.(b) Por el Teorema (15.7),

Irr,r- i- JL 'j - ),k

I

) r',r- ,i qf- j t-'1, .

El sisuiente teorema da f6rmulas de derivacidn para las funciones vecroriales, queson semejantes a las de las funciones €scalares.

TEOREMA (15.8) Si u y v son funciones vectoriales derivables y ces un es-

(i) ,.Iu(r) + v(r)] = u'(/) + v'(/)(ii) Dilcu(r)l : cu'(r)(iii) Drlu(,) - v(/)l = u(4 v'(/) + u'(r) ' y(/)(iv) Drlu(r) x v(t)l = u(t) x v'(/) + u'(/) x v(r)

748 APhi]Lo 15 . FL]NC]oNE5 VECToRALES

Denostraci6n S€ demostrara (iii) y las otras partes se dejan como ejercicio S€an

u(r): li(t)i + L(tij +i(t)kr(r): rr(l)i +,:(0j + rl(t)k

donde cada, y tr es una lunci6n derivable en l. Por la definici6n del producto escalar,

u(r) v(r) = l, (r)r,t) + /:(rlo,(r) + J,{0s.(r ) : i /.(r)slr).

D,[u(r) v(r)]=r, I l;(0r,(r): I D, l/;(')s"(')l

: t [r(r)ri(r)+ l;(0r*(r)]

= I l;(tailo + I /i(I)elr)

: u(r) v'(r) + u'(tl r(rl.

Para obten€r una interpretaci6n geom€trica de la derjvada r'(r) en la Definici6n(15.6), sea

r(r) = /(/)i + !t(t)i + h(t)k

donde/, s y , son funciones derivables y sea C la curva determinada por r( /). Si, comose muestra en la Figura 15.8(i), OPyOqsonlotvectoresdeposici6nder(l) y r(l + At),respectivamente, entonces

V0 : OA dF corlesponde a r(l + At) - r(r).

Por lo tanto, para todo nlimero real d/ diferente de cero,

t_ I

l, PU co''esponde d Ar lr(/ - A/) rrl)1.

Si Ar . 0, rntonce. \l ar;F@.. un \ecror PR que Iiene la mi'ma direccion que P8.Ad€m6s, si 0 < At < I, entonces (1./,^, > I y ]FR'l > lP0-],comose ilustra enla Fieura 15.8(ii).

(D (iiD

Limites, deriladas e int€grat€s

Si At * 0', se liene que O tiende a P a lo largo de C y como Fi se encuenrra enla recta secante que pasa por P y O, el veclor pR- d€b€ tender a un vector que se hallasobre la recta tangente a C en P. Pu€de .lecirse alAo parecido para Ar < 0. por esiaraz6n se expresa que r'(t). o cualqujera de sus representaciones geom6tricas, es un vec-lor langenle a C en P. Siempre se represenore a r'(/) mediarre ur vecror con puntoinicial P en la curva C, como se muesrra en la Fisura ts.S(iii). El vecror r'(r) apuntaen la direcci6n en la que se mueve el punto cuando t aumenra. Por definici6n, la rec(alangente a C en P es Ia recta que pasa por P y es paralela a r'(1).

Para el caso r(1) = /(r)i + 4(t)j, en dos dimensiones,el vector tangente es

r'(t)=f(t\i+rJ'Q\j.

Si/'(/) + 0, entonces la pendiente de la recta que pasa porP y es paralela a r'(l) es ,'(/)//'(1) (v6ase la Figura I5.9).Esto concuerda con la fdrmula en el Teorema (13.3) que se

obtuvo para las reclas tangentes a las curvas planas.

EJEMPTO 2 Sear(/) - 21i + (4-rl)jpara-2 < / < 2.Calcularr'(t)ytrazarlacurva C determinada por r(/). Ilustrar seom6tricament€ r(l) y r'(1).

Soluci6n Como r(/) estd en Il, usamos un plano nJ, para represenrar los vecro-res. Eliminando el paremeto en jr = 2t, ! = 4 /2, obtenemos

I:a ot"qu€ es la ecuaci6n de una pardboia. En la tabla siguiente apar€cen las coordenadas delos pultos de C que corresponden a algunos valores de l.

'=- (j)'

21 012021

3 430

La curva C es la parie de la pareboh que se ilustra en la Figura 15. I0. Como r(l) =2i + 3j, el vector de posici6n correspondiente a r( I) es -lt,

FIGURA 1510 donde P es el punto de coordenadas (2. 3). Derivando,

t'(t) = 2i Zti r'lt)=2i-2j.

De acuerdo con lo que se dijo previamente, .epresentamosr'(l) medianle un vector con punro inicial P y punto final(a, 1), corno se mueslra en la Figura 15.10.

C una curva con ecuaciones param€tricas

x=t, t=t2, z=t1; t>0.EJEMPTO 3 sea

CAPITULO 15 t FUNC]ONEs VECIORALES

Encontr"r ecracione\ paramelica. para la rec a .angente a a en fl punlo cotre,pon-dientear = )Soluci6n La curva C estd dererminada por

r(/) = ri + l'?j + t3k parat>0y €s la cibica alabeada d€l Ejemplo 2 de la Secci6n 15.1 (v€ase la Figura 15.4). De ladiscusi6n anterior,

r'(t)=i+2ti+3t2kes un vector tangente a C en el punto correspondienle a 1. En particular, el punto enC correspondiente a I = 2 es (2, 4, 8) y

r.(2)=i+4j+12kes un vector tangente. Por el Teorema (14_37),

x=t+2, 1=4t+4, z-12t+8; renRson ecuaciones param6tricas para la recta tangente correspondiente.

EJEMPIO 4 Demostrar que si r es derivabte y lr(1) | es consranie, entonces r'(/)es ortogonal a r(r) para todo /.

Soluci6n Si llr(t)ll = c, siendo c una consmnre, enronces

.(/) . r(r) = llr(/)ll, = c,y por lo tanro,

D,be).t(t)l=Dtc2-0.Usando el Teorema (t5.8) (iii) obtenemos

r(/) . r'(/) + r'(r). r(r) = O,

o bien 2bet . .'(t)l = o.

Entonces, por el Teor€ma (14.24), r(t) y r,(r) son ortogonales.

EI resulrado d€l Ejempto 4 es geom6rricamenre evideme porque si ll r ( , ll = ., en_ionces cuando I varia, el punto finat del vector d€ posici6n correspondient" u.frl ."."_rre una cun a a que .e encuentra en Ia superficre de una eslera de radio . con cenlroen e! oflgen, Lt vecror rangente a aes r tr ) y e5 siempre orrogonal al vector de posicidny, por lo tanto, a r(/).

Las inregrales definidas de las funciones vectoriales se definen como sigue.

DEFTNtCt6N (15.9) Sea-r(l) = /(r)i + s(t)i + h(t\k. La nttegrat defini-da desd€ d hsstr , de r es

I ",", = lf ',tatfi' l[) a,,atli - [: ^,,0,1,siempre y cuando, 9 y , sean integrables en la, ,1.

Limites, derieddas e intesrat.s

Si R'(t) = r(t), enronces R(r) es una antiderivada de r(l). El siguiente resu{tadoes anrilogo al Teor€ma Fundamenral del Celculo.

TEORET{A (15,10) Si R(t) es una antiderivada de r(/) en [d, ,], entonces

J,".rrrar - ntrrlb = R{r, - R(?).

La demostraci6n se deja como ejercicio.

EJEMPIO 5 Catcular I rrr)drpara rt!t - t2lri . d'j - \t l) 'k.loSolucidn pnconrrando una anriderivada para cadn comporente de,{1). ob,enemos

R(r) = 3rai + 2e,,j + tn (r + I)k.

Corno R'(l) = r(t), del Teorema (15.10) se deduce quc

.Jo r(r) dr : R(21 Rl0t

: (48i + 2erj + tn jk) - (0i + 2j + 0k):48i + 2(e4 l)i + ln 3k

La teoria de las integrales indefinidas de las funciones vectoriales es semejante ala de las funciones es€alares desarroilada en el Capitulo 5. Las demosrraciones de losteoremas requieren s6lo modificaciones pequeias y por lo tanto se omiten. Si R(I) esuna antidedvada de r(r), entonces cualquier otra anriderivada riene la forma R(r) + cpara algin tector (con\lanle) c, y se escrib<

fd4a,: ntrl* " para R'(r)= r(r)

EJERCTC|O' 15.2

Ejercicios r-4: (a) Encuen!.e el domlnio de. y dereFmine los ,nmeros en los que . es continua. (b) De,termine r'( 1) y r"(l).

l.ldr' \, ri F J2 'i 2. i,r i renJrj

l. r(t)=taDd+(r:+84ja. )ir = ""i +sen | ,j

Ejer.l.lo! 5-12: (a) I race la cur ta eD el ptano x, dete.minada por r(t). (b) Determine r'(r) y kace vec-lores correspondientes a r(r) y r'(r) para el valor de

S. (0 = :rri+ r:i. I = 2

6. tk): ez'i +. fi. t:ot. (4 - 4 cos d + 2sen rj,

E. .(r) = 2 sec ,i + 3 ran tj,

9. r(f)=rri+r-rj, ,=ll{}. (r: li + rrj. r: I

ll. r(r)= (2r l)i + (4 ,j,12. r(r)= 5i + rrj, r = 2

Ejercicios B-16: Encuenre el doninio D de r y de-termine d6nde r es condnua. (b) calculer'(r) y r"(r).

ll. (r) = r:i + lan rj + 3k

152 cApiruLo r5 . FUNCToNE5 vEcToRtALEs

Ill. nr)= i /i I , j+. I

15. r(r) = \ri !.rrj - rl16. r(r): ln 11 r)i + senrj + rr\

Ejercirios 17-20: Encuenlr€ ecuaciones param€tricas

para la recta tangente a la curva en P.

tl, r=2lr l, l= 5rrrl.:=81 +llr(1. 2. l0)

18. r .=,lrri. I : rr 10. ' :4/rr P{8,6. l)

t9. r=e', r =r.'.::tr+,| P(1,0.4)

10. !: I senr. r:rcosr,:=ri P(r,/2.0, nr2)

Ej€rcicios 2l-22: Det€rnine dos vectores unilarios lang€ntes a la curva en P.

2t. r=.),. ] :z'. :=l +4i P(1,1,4)

22, r : 2 +sen r. l : cos r. :: li P(2, 1 01

21. Consulte el Ejercicio 2l de la Secci6n 15.t De-

muesrre que la e.piral con.oide Iiele la propie_

dad especial de quesu vector tangente fo.ma unangulo consianre con la parte lositjva del eje z

24. La hilice Senerales tna curla cuvo vector tangente lorna un dngulo conslante con un vector

unitario fijo u. Dertuestre que la curva con pa-

rametrizacidnr : 3t - 13, ! = Y2..''lt +rr es una hdlice seneral v haile un vcclor u con

la propiedad mencionada

25. Un punto recorre una curva c de manera que

elvecior de posici6n r(/) siempre coincide con el

vector tangente r'(r). Obtenea ecuaciones pam-

neiricas para c y describa la curva.

2a, Un punlo P.ecorre una curva C de modo que

etvedordeposicidn r(r)yelvstortaryenter'(,son siempr€ odogonales. Demuestre que C se en-

cuenlra sobre una esfera con centroen el origen

{saaercnctar Demuesrre que D, ll.(0 l'? = 0.)

Ejercicios 27-30: Evahe la jnlegral.

:r. f: lorri Jri F -ttrJ/

tt. f' r-5'i + Er" ir'kr,1r

)'r. i"a tsenri - cos !i+ un rl{)dr

ro. I trJ"i+. ri I rir + l) hl./r

31. Detelmine u(r) si r'(r) = rri + (6! + l)i +

8lrk y n(o} = 2i 3j + k

'rl Deiernine r(1) si ''(t) = 2i 4lrj + 6!-lk v.(o)-i+5j+3k.

.l-1. Determine u(t) !i u"(l) = 6ri- l2l':j + k,u'(0) = i + 2j 3k Y u(0) = 7i + k.

.il. Halle r!/) n r rrr b/i 3j. r,0) 4ij+kyr(0):5j.

Ejercicios 35"36r Si una curva Ctiene un vedor latgenle a en un punto P, enlances cl ?lano no,ndla cen Pes el plano que pasa por P y tiene vect.n normala. Enclentre unaecuaci6t del plano no.hal a la cu.

15. r:e', r=r/.::rr+4i P(1.0.4)

16. r: t senli ) : I cos r. z : .r P(n/2.0. i/2)

:17. Demueslrelo siguiente suponierdo que ry s son

lunciones vectoriales que lienen limite cuando

(a) lim hr) + sftrl = lim (4 + Iim s(d

(b)rim lr(.) sol : lim (4 Iim(,(c) lin cr(, = .lim r(f) , donde. es un escala.

-11J. Demuesbe que si una lunci6n/y una funcionvectorialu tienen limites cuando r - 4, entonces

f tt II'm lrrrurrr= llm /tl I lirn u{'r L1,.t,.,1

:|,. Eleclie la deftoslraci6n de que lio,.,, u(r) = bsi y s61o si para todo . > 0exisrernO > 0demodo que lu(/l - bll< . siempre que 0 <lr a < 0. interpieie geom€tricamenl€ lo an-

'll), Demuesrreque si u y r son lunciones veciorialesque tienen limites cuando I + a, entonces

t tt 1l,m fu(r) . '1,r1= lim ('r I l,m ,tl I-,1',1',1

.11. Complete la demostracidn del Teorema (15.8).

.12. Demuestre el Teorena (15.10).

$. Demuestre que si/y u son furciones derivables

D, [/{r)u(r)] = /(r)u1') + /1rlu(').

.l.l. Denueslre la Reela de la Cadena para funciones

D, (/(r)): /',(r)u1/(0)

donde se supone qle u y /son derivables y sus

dominios estin resrrjngidos adecuadamen!e.

Denuesire que si u, r y r son lunciones deriva

D, [d(!] rlrt ! w(rrl-tulr' '(r)

x F(rrl Flq4 v'('l:wirll+L!(!l e{')xFL'll

Dcntucslre quc si u (/) y u (/) exisien, entonces

D,lu.r ! ulr)l :llir!uir).

Pnrbe que si u y r son integrables .n [u, b] y. es un escaiar, enlonces

(bt

4r Dcmue'rrequc.itre .nresrdb.een lo,,lrcc.un vecror arbilrario en %, entonces

f'" "r,r,.r,:" I "r,,,r,

Ej€rcicios 49-50: Deternine ,,[u(/) v(r)] y

D. [u(r) x r(r)].49. (r)= ri + r:j + rrk

{!) - senri + cos rj + 2sen rk

50. u(r):2d i 6.j + rrkr(r):cii e/j+k

J,' t,{rr + '(,)l

,/, : J- "i,),r, r J' '1,},rI

J' -o a, = . J" "ro,r,

16.

47,

EEE! n MovrA{rENTo

Frecuenienenle. el movimienio de una particuta se Umita a un plano. Por ejemplo, aun-que la Tierra se mueve en el espacio, su drbita se encuentra en un plano- (Esto se de

moslrara en h Seccion l5.6.) Para estudiar el movimiedo de un punto (o una particula)

en un plano coordenado, es necesario conocer su posici6n (jr, /) en todo momento.Como al riempo / la particula liene una posici6n nnica P(J., r), ias coordenadas x y_r,determinan funciones escalares de i: n - /(r) y I = ,(r). Si

r(r)_/ir)i+!/(ri.

enron( c..!"ndo / \ a rre, e, pirrrro linal d<l vecror de posicron OP de .l t I rrra la rrayrcroria C de la pa.ticula. Como r( l) determina la posici6n de P, se llarnare a r(1) et ve.-tor de posici6n de P. Como se lio en la Secci6n 15.2, la recta tangente a C en P es

paralela a

r (11 : ./'(ri + !,/ {r)j'

cono se jlusira en Ia Figura 15.1 1. La mag l d d€ este vec_

r'(l l= \''|/'k)l' + [s'(t)]'].

Sea r0 un nrimero cualquiera en el dominio de r, y sea

Po el punto en C co.respondiente a /0. S; C es regular. en-

ronces, por el Teorema (13.5), la longitud de arco s(l) de C

'r')=.1,1--Ir'lj * t,tirtfrt J' lr'1r)l rr

Aplicando el Teo.ema (J.25), obteDemos

s'(l) = l''(/) I

Por lo tanto, llr'(t)ll es la tosa de vanacidn (o ruzdn de canbio) de ta longitud de arcocon respecto al tiempo. Por esle motivo llr'(tl se llama mpidez (o celeridsd) de la paFricula. El vector tangente r'(t) se denomita, por definici6n, velocidad de la particulaal tiempo I y el vector r"(t) es la acele.aci6n de la particula. La velocidad y la acelera-ci6n siempre se representar6n geom6tdcamente por vectores con punto inicial P. Enla mayoria de los casos, r"(t) apunta hacia el lado c6ncavo de C, como se ilustraen Ia Figura 15.11.

La siguienle definici6i resume esre andiisis e introduce los simboios v y a para lavelocidad y la aceleracidn.

DEFTNTCt6N (15.11) Sear(r) = ri + ri = f(t)t + s(tti,

el vector de posici6n de una particuia en el plano ry, don-de / es el riempo y/y d lon funciones escalares con pri-mera y segunda derivadas. La velocidad, la rapidez y laaceleraci6n de Ia particula al tiempo t se definen comoj

V€locidad: .dxdlv{l)=r(/) =-i+ : idt /11 "

Acelerrci6n: a{4 = v'ir) = ,'1q = lai * d'! '

Uti4PtO 1 El vectorde posi€i6n de unaparticula que semueveen un Dlano coorde-

r(t) = (/2 + r)i + rrj para O<t<2.(a) Calcular la velocidad y la aceleraci6n de dicha particula al riempo r.(b) Traz ar la trayectoria C de la particula y representar geom6trjcamente r

,( I ) y r

,,(l ).

Soluci6n(e) La velocidad y la aceleraci6n son

v(t)= ]'(t, - (2/ + l)i + 3rrj y s(t) = r',(t) =2i + 6ti.(b) La curva C tiene la. ecuacione. paramilrjca,

x=t2+t, y=t)a O<t=2.(que se obtienende r(r)). La siguientetabia muestra las coordenadas de algunos puntos(t, y) de la curva:

15 2

2 3.75 6

i l.:l7i R

flGURA 15.12

iGlria 15.'1!

FTGURA 15. t'r

755

Situando algunos puntos y usando ta continuidad de ias com-ponentes escalares de r(t), obtenemos el croquis de C queaparece en la Figura 15.2.

En / = 1 la particula estd en el punto P(2, l) y

v(l)=r'(l)=3i+3j a(t)-r"(r):2i+6j.Estos vectores esten representados en la Figura 15.12.

EJEMPIO t Demostrar que si un punto P se mueve sobre una circunferencia de ra,dio i con rapide2 v consrante. enronces el vecror aceleracion tiene una magnitud cons-tante vzlk y est, dirigido de P hacia el centro de la circunferencia.

Solucirin podemos suponer que el c€ntro de esta curva este en el origen O de unsistema de coordenadas rectangulares. Considerernos que la posici6n injcial de p es

,4 (,t, 0) y que d es el angulo generado por OP al cabo de untiempo I (v6ase la Figura 15.13). La afirmaci6n de que .P semuere con rapidez consrante robre una ci'cunlerencia es equivalenteadecir quelatasa de cambio del6ngulo 0 con respec-to al tiempo; es decir, Ia rapidez rdguls. es una constante o.Este hecho puede expresarse mediante la ecuaci6n diferen,cieLld9/dt = o. lntegrando con respecto a r, obten€mos, =o/ + dparaalgin nimero c. Como 0 = ocuando / = 0,el nfmero c es 0; es decir, d = ot. Resulta que las coordenadas (x, -y) de P son

r = tr cos o t,

y la tray€ctoria de P este dada por

r(/) = icosoti + ,tseno/j.

v{.) : r'(r) : .)k senori + ot cos rrj.a(r) : r"(l) : .rrk cos (.)ti .r'?k senrdi,

a{r) : -ir:(l cos.Dri + ft sen.Drt : -o:r(r)-

Esto d€muestra que la direcci6n d€l vector aceleraci6n r(t)es opuesla a la de r(t), y por lo tanto, estd dirigido de P ha-cia O, como se ilustra en la Figum 15.14, dorde tambien apa,rece el vector v€locidad v(l).

La magnitud de a(r) es

lla(r)ll = li-o'?r(r)l = l-d']l ll.(r)ll = o,t,que es ulla constante. Ademds,

,: .(r) | : v-oftFsen' o;+ @h, cos- at : lGF : ek

156 CAPiIL]LO 15 . FUNcIoNEs VlcToRIALEs

ypo.tanto. o = r,/,k. Sustiruyendo esto en la l6rmula la(r)l = @?k, obrenemos lamagnjtud constante

ll"rr)ll = i.

F!GiJiA 15.i5

El vector aceleraci6n a(/) del Ejemplo 2 se denomina vector ae€l€raci6n aentripetayla fuerza queorigina a a(r) es una fuerz a centripeta. N6iese que la maenirud lr(t) ll =v2,/& aumenta si y crece o & disminuye, hecho que es evidente para cualquiera que ha-ya alado un objeto a una cuerda y lo haya hecho girar en una lmyectoria circular.

A continuaci6n se aederalizare ia discusi5n anierior ai caso de una pariicuta quese mueve en un sistema coordenado de lres dimersiones. Sup6ngase que ia posici6n deuna particula al tiempo t es P(t) = (JQ), !(t), }(a)), donde, !, y, son funcionesdefinidas en Dn intervalo t Si

t(t, = f(t)i + s(tlj + h(t\k

e. el veclo' de no'ici6n de una parricula. cnronce' cdando / varid. OP '. a/a la I aye( lo-ria. Como en la Definici6n (15.11), la derilada r'(t), cuando existe, es la velocidrd v(1)de la panicula al tiempo 1 y es un vecror tangenre a C en P(i). EI vector a(t) = r"(t)es la acelemciiin de la particula al riempo /. La rapidez !(1) de la parlicula es la magnitud I v(r) ll de la velocidad y, como en el caso de dos dnnensiones, €s igual a Ia tasade variacidn de la longitud de arco con respecro al tienpo.+

EJEA.IPLO 3t(t) = 2ti + 3t2j + t3kpara0 < / 3 2.Encontrarla!elocidad y la aceleraci6n de la parLicula al tiempo r. Irazarla trayecloria e ilust.ar geomdtrjcamente v(1i y a(l).SOluCi6n La vetocidad y la aceleraci6n son

!1rl=r(rl:li + 6rj+l.rk ! a(r) : r"{r) - 6j + 6rk.

En I = I la parlicula esii en el punro p(2,3, 1) y

El vector de pos;ci6n de rrna particula es

vtl): l; +6j+lk y !(11 =6j+6k

Estos veclores y la trayectoria de la particula esldn en la figu.4 15.15. La rayectoriaes una cfbica alabeada (vdanse el Ejemplo 2 y el Ejercicio 2i de la Seccion 15.1).

En la Secci6n 14-4, al discutir el concepto de momento de Iuerza (o torca), se observ6 que el producto veclorial se utiliza para invcstigar el movimienlo de rolaci6n. Elsieuiente ejemplo es otra muestra de este metodo.

1(N.dcR,)E a dilerenciacja. e rc lelo.ida.t y rnpide. Droviene de la nomenclalun en inglis, queurilizapaiaesefinlost€rniroswtocn!yspee.l,respecttlane.te Sinembareo, enla prncti.a se habla5i.npre dc velocidad" (lineal o an8ulat, Cuando hay que concretar se anadc el t€rn .o ivecror" y sc ticndasi el nombre "y€clo. velocidad". E a es la convenci6n que se aplica en el clso de la a.clda.i6n ,. yaque no .xhle una denoninaci{jn especial lara su magnitud lla(r) , qxe es ranrbien un esalar.

fiGURA i5.16

5EGUNDA [Ey DE (15,1q]NTWTON

157

EJEMPI,O 4 Una particula P sira alrededor del eje z so

bre una clcunlerencia de radio k que se encuentra en el pla'no. = ,, como s€ ilustra en la Figura 15.16. La rapidezangular drld/ es una constanie o. El vector o : ok que cstddirigido a Io larso del eje z y tiene por maglitud a d es larelocidad angular de P. Demoslrar que la velocidad v(t) deP es el produclo vcctorial de d con ei vector de posicion r( r)

Soluci6n Ceneralizando el Ejemplo 2 al caso de tres dimensjones, el movimiento de P estd dado por

EJEMPI,O 5 Se dispara una bala con una velocidad inicial v0 con un riJle cuyo cai6'r tieDe su boca a una altu.a de,0:neiros sobre el sreio. La fnica luerza que aclia sobre labala es la debida a 1a gravedad, que produce ia aceieraci6ng. Dclcrminar la posic;dn a Ios l segundos.

Soluci6n Intrrduclmos un sistcma de coorderadas, co-ino se nuestra en la Figura 15.17, ubicando la boca delcanon dcl arma en el pu lo {0, ll0). Denor€nos por P(J., l) laposicion de la bala a los l segundos, y sea r{r) el vecror .ie po'licion de P. Cono la gr.'cdad g actda ha.ia abajo.

g: vj y g = J :9.8 m/s,. o bien, 32 pie,,s,.

r(t) =,tcoso/i + ksenorj + rk.

Usando la delinici6n del producto vectorial,

i i tl

/. 1- r A\enu' I

: .)t sen.ri .,4 cos i,rj - rio - v(0 'l-a siguiente ley se uliliza para estudiar los objeros en movimie.rto.

En ei sisuiente ejemplo se uiard (1i.12) para determinar la posicidn de un objeloque se mueve c€rca de ia superficie de la Tierra sometjdo inicamente a la influencjade la gravedad; es decir, se considera.tue Ia friccidn del aire y olras fuerzas que podrianafectar la aceleraci6n, son despreciables. Tambicn se supone qu€ la superlicie es ho.izonral y que la curaatura dc la-lielra no es un factor que aiecle aia lrayecto.iadel objeto.

l-a fuerza F que actria sobre un objcto de masa consian-re n este relacionada con la aceleraci6n a del objeto co-mo sigue:

I=ma.

758 cApiruLo 1s . FUNcroNEs vEcToRrALEs

Por la Segunda Ley d€ Newton (15.12), F = ma, donde a es la aceleraci6n de la bala'

En este caso. za = mg o bien a = g, que da lugar a la ecuaci6n diferencial vectorial

r"(/) = g.

Tomando la integral ind€finida,

r'(t)=ts+c

para alSin vector constante c. Como r'(l) es la velocidad al li€mpo r,

Yo=r'(0)=c

y por lo tanto,

r'(t)=rg+vo

Integrando olra vez,

r(/) = +t'?g+rvo+d

donde d es un vector constante como r(0) = ltoi (v€ase la Fieura 15 17), resulta que

d = ,oi. De modo que,

r(r):jrrg+rto+loi.Como g = -gi, esto se Puede escribi!

r(r): (-jle + ro)j + ryo '

EJEI{PLO 6 supongamos que la boca del can6n d€l rifle del Ejemplo 5 eslli en el

origen O y que eavector veiocidad inicial Yo forma un angulo a con la horizontal'

(r) Obtener ecuaciones param6tricas y una ecuaci6n en coordenadas rectangulares pa'

ra la trayectoria de la bala.

(b) Calcular el dlcarce d€l proyectil, es decir, la distancia hodzontal a la que cae al

suelo. Zculil es el alcance mitiimo?

tc) Calcular la elevaci6n (ahura mAxima) de la bala.

soluci6n(r) Este caso especial del Ejemplo 5 se ilustra en la Figura

15.18. EI veclor u dado por

u = cos ai + sen dj.

es un vector unitario con la misma direccion que v0. Por lotanto, si llaoll = vo, se iiene que

iGUM 15.14

('o cosd)i + (vo sena)i.

15.3 El movlmiento 759

Utilizando la fdrmula para r(l) que se obtuvo en el Ejemplo 5 con ,1o = 0, obtenemos

r(r) : ( jerz)j + r[(rb cos r)i + (uo senr)j]: 4ro cos 1)i +( jril + r,osend)j.

Por consiguiente, la trayecloria tiene las €cuaciones param6tricas

r - (r,o cos d)r. ) : 1rr, + (risens)r.

Elimillando el paremetro, obtenemos la siguiente ecuaci6n en coordenadas rectan-gulares:

J_ ,4, \r rlrJnr,,

Esto demuestra que Ia trayecloria de la bala es parabdlica.(b) Para determinar el alcarce de la bala debemos ercontrar el punto D en la FiS ra1 J.18 en el que toca el suelo. Como la ordenada de, es 0, tomamos/ = 0 en la seCun-da ecuaci6n param6trica de la parte (a), y factorjzamos:

1(- lar + 'o

sena) : 0.

Por tanto,

I = 0 obien -lrr+rosenr=0.Se deduce €ntonces que la bala esri en O cuando r : 0 y en , cuando

-,? o.eno obien I 'o'en"ll

Usando ia segunda ecuaci6n paramdtrica de la pa(e (a), resuha la distancia d(O, D)deOaDl

r'o. /,r - L,o !o\ rrf2''sen ") - 'd'en2''\4tq

En particular, el alcance tiene un valor mt\imo vl/g para sen2a = 1;es decir, para.Y - 4J'.(c) D€ la parte (b) se sabe que la bala lleaa al suelo

^ | = (2vasend)tg. por to tanro,

alcarua la altura mdxima a la mirad de esle valor; es decir, cuando I = (vos€no)/r.Sustituyendo eslo en la ecuacidn parametrica para /, que se €ncontr6 en la parte (a),obtenemos

,',/,.*,) ",,"*n,,r,.sen:, .3serii

l\ /,/ " \.r,i 'n

EJERCTCTOS 15.3

Ej€rcicios r-s: sea r(,) er vector de posicion de una i '(u=i:'tlll:-lt ':lpaJticula que se mueve en un plano coodenado. De- 2 (r) : (4 - 9rr)i + lrj r:lrerminelavelocidad.laerelerdcionrlarap,de?dela l. n. 2i I , , ,panrcul. al empo /. , - I'

760 aAPITULo 15 . FUNaONES VECIORALEs

.l- (.) : \, ' i + ( r + \ I )j. .:1

5. (r):sen ri+,1cos 2rj. r:'16('. r(l:.os: ri r lscn rj. r : lni.ll. nr)- ?r'i+ | 'i. r : IE. r(r)=lri+c "j. .:l

Ejercicios 9-16: Sea r(l) elveltor de Posicidn de ulaparllcula que se 6ueve en el espacio (iridinensional).Encuentre la velocidad, la aceleraci6n y la rapidez al

9. ni) = cos ri I senrj - rk: r :0. r,:1, nrl10. (r): rri I lj + rt: r - 0, l. 2

ll. r(r: r:i r :\ rj + 1\,rrk: r : 1.4. 9

12. (I) : 4sen Ii + 2rj r 9 cos rki r : 0. nr:, ln'l13. r(rl= r'{.os ri+sen rj + kl. r-0,n,.1.x':t4. r(r)= 4cos /i +senrirrkL r-0.n4,,i1ls. nrr: (1 + 4i +:lj - (2 r lrll{. t 0. 1, l16. r(r): lri j + i)r:[. I :0. l. ]17. Demuestre que si una parlicula se mueve con .a-

pjdez costalle, entonces Ios leclores velodidady aeleracidn son ortosonales. (Slaelencti?r ve$eel Ejemplo 4 de la -c$ci6n 15.2.)

18 Demuestre quesila aceleracion de unaparticulaen morimento h srenip'e 0. enronre. el mo\i-mierlo se realiza a lo lar8o de una Iinea recia.

Eje.cicios r9-?2: Resuelva lsando los resuhados del

Ejenplo 5.

lt. Se dispara una bala con rapidez inicial de

1500 pie./s yrngulo de elevacidnde l0o. Calcxle(ar la \<lo(,rdd al riempo'. rbr ld dl,ura mdima. (c) el alcance y (d) la rapjdez con la quc labala llesa al suelo.

10. Resuelva ei Ejercicio 19 para un 6nsulo de ele-

2l Un jucador Je oe''bol la rd uia tr-lo. d ur. di.tancia dc 250pie- i,Cunl €s Ia rapidez inicial d€

la pelota si fuc lan?ada a !n angulo de 45" con.espe.ro at sueio?

21 Se disrarauna bala horizonlalmente cox tiiarapjdez de 600 m./s a una ?hura de 30om sobr. el

suelo. ,Ddnde r cuindo llega al suelo!

Ejercicios 23-2,1: Resuelva usando los resuitados del

Ejenplo 2. Tome el radio de la Tielra cono 6400 km.

23. Un trasborda.lor espacial liele una orbita circu-

lar 250km adba de la superlicie de La Tierra'Calcule (a) su rapidez v (b) el liempo que t1rda

en dar da welta cotnplela aliededor de la Tiera

24. Un sarelile que ti€ne ura 6rbita circular da una

vueltxalaTiera cada 88 min. Calcule su altura.

25. Se coloca a un asfonauta e! el exlremo de unaparaio ccnlrildgador (v€aseta iisura) parn pro

bar su catacidad lle soporl aceleraciones. Elaparato $a con una rapidezangular o, t cl b.a-zo delapararo midc 30lie. Caiclle elnnDcro de

rcvolLrciol€s lor iceundo que se necesjta larap.o\o.drun"".cl.,dJi, nre-d abg.{l \ g

32pie/s:.)

b-- ,A

,r"t,

26. Las 6rbiras de la Tierra, Venus y l,leptuno 1ie-

nen rorma.asi circular. Dadala i!lormaciondela iabla, calcule aproxinadarnenF ]a rapid€z me

dia de crda rno re r{o. ,ra rerd. .01 -na p ec

si6n de 0.1 km/s.

)i. Unsardlile Lieoe una 6rbita cir.uhr alrededor de

la lieffa a lna alru.a ./ desde la superlicie. Lamagnitud de la fu.rza de atraccidn r entre elsa-

tn \lF : I,

r1{ I ./ldonde a es ]a nasa delsatalite,,Lles la nasa de

la Tiena, R es el radio terestre y G es la crnvtarte de la gravitacion universal Use los resulrados der Ejenplo 2 para C.drci ia t?12n te!de -(erle. para drbira. .kcular€s:

Jr':Tt= tA )\(;ttdcrde fes el periodo de revolu.idn .iel sat€iil.,\lndica.id,: F rambien esLi dado por

"1llt \t) .)

i65llll7

761

24.

15.4 Curvaturd de lineas

Consulte et Eiercicio 27. Si el Deriodo de un sa

ftite se lide en dias, ertorces la rercera ley de

Kepler para orbilas cncllares se puede escribir7::0.003461r+(d/Rtr.(a) Un sar€lite tiene una o.bitr circular a 1600

km sobre la $rpcrlicie de la Tiera. Suponiendo que el radio lerres1.e es de 6110km,calcule el periodo dclsal€lile con nrapreci-sioD de 0.01 horas.

(b) Se dice que un salelte esra en uft.jrbita geo-

si ctana si se encuenrra siemp.e sobre el

mismo purto de la superficie de ln Tieraics dccir, si el periodo del satelite es de undia. Calcule la djstancia de la superficie te

restr€ a unodeesios sat€lites, conunap.e-cision de un kildnet.o. (Esta i'fornacidnes ne.esa.ia para los satelites de relecomu'

Un !an/ador {pn.n€l) dc bcisr'ol de ligas nayores suelta su bola ripida a una allura de 6 pie del

suelo y a 5E pie de "bome", con una velocidad

de loomi/h. Si no hubiera gravedad. la pelota

viajaria en linea r€cla y cllrzaria el "home" a,l pie desde el suelo (v€ase la rrgu.a) Caicule lacaida d causada por la sraledad.

^4oNTiaUrO DEr ) - -1

LANTANDOR

30. Elq a e.back de nneqxipo de fulbolamericaro lanza un pase soltando el baidn a un dngulode 30' con ia horizontal. Esiime la velocidad a

le que debe soharie la bola para alcanzar un re'ceptor que se encuelt.a a 150pie de distarcia.(Desprecie la friccidn del aire.)

29.

IEE cunvrrunL or dners

vEcToR UNTTARTO (15.13)TANGENTE

vEeToR UNtTARtO (.!5.141NORMAI PRINCIPAT

Cuando una panicula .eco..e una curva C, puede canbiar su velocidad r6pjda o lenlalnenre, depcndiendo de si C se dobla brusca o gradualmente. Para medir la rapidez conquc C se enco.va, o canrbia de fonna, se usa e] concepto de ctrtdlr,'a. Comenzamospor introducir ciartos v€ctores unitarios tangentes y nornales a Ias cur!as, que son tti-les para esrudiar ene concepto. Si r es una funcion vcctoriat y la curva C deterninadapor r(.) es regular. entonccs se sabe (por lo discutido anteriormente) que r'(1) cs un

vecror tangente a C. Si r'( r) + 0, entonces el ve.1o t unitdtio taneenteT (t) de C se defi'

Como iT{t) = I para lodo I, del Ejcmplocs dcrivable. enlonces T (1) es crrogonal a'I(/).N(r) .lc C se defrne como cl \.ctor unitario que

r'r) = lftp r{/)

4 de la Seccidn 15.2 vemos que si TEl veclot uritario normal pincipaltien€ la misma direccj6n que T (r,

nrt, = frr-t',,,

76, cApiruLo 15 . FL]N'IONESVE'TOR]ALES

Las f6rmulas (15.13) y (15.14) se pueden aplicar tantoa las curvas planas como a las curvas espaciales (o en el

espacio).Cuando T(r) y N(/) se representan mediante segm€ntos

dirigidos, se loma ei punto inicial en el punto Pde Ccorres-pondiente a r, como se ilustra en la Figura 15.19. Como elvector tang€nte r'( l) apunta en la direccidn en que el puntose mueve cuando l aumenta, tambi€n T(1) apunta en esa di,

EJEMPI,O 'l Sea C la curya plana determinada por r(r) = tri + tj.(a) Encontrar los veciores unilarios tangente y normai T(l) y N(r.(b) Trazar C, T(l) y N(l).

Soluciiin(a) Por (15.13) con r'(r) = 21i + j,

I)trt'''-,o,,, tl r:Ii i,- tor'.tl',i 1a; -i,,.jDerivando las componentes de T(l) obten€mos

r'6t :70V2;11rri - 14#ty-j:1a,,* oau,t;- zil.

Es fecil verificar que llT'(/)l - 2/(4t: + l). Aplicando(15.14) y simplificando, obtenemos

INtu):,+l + L,' 'li

:'it

(b) El punto P correspondiente a t = 1 es (1, 1). Por susti-tuci6n,

11r1= f 1:i +) ), N(r):+(i 2n.'' \r5 " r,5

Eslos v€ctores y la curva (que es una parAbola) estAn en la Figura 15.20.

EJEMPTO t Sea C ta curva dererminada por

r(r) = a cos /i + 4 sen rj + 3rk para, > 0.

Trazar C y de.errninar T(r) y N(1).

Soluci6n La curua €s h helice circular de radio 4 que se mu.stra en la Figura 15.21(vease el Ejempio I de ia Seccidn 15.l). D€rivando r(r) y aplicando la Definici6n (15.l3),obtenemos lo siguiente:

r'(r) : -4 sen ri + 4 ros rj -i' 3k

ll.'(r)l : v/i6;;tr + r6;;str +l: vrro i q :./,--::

flGUiA 15.t1 t0): [.h,'(,) = ]senri+]cosd+lr,Derivardo T(t) y usando la Definici6n (15.14), obtenemos

44T1d = i cos ri

5sen rj

rlrr l=

N(,): lrhr'(,) - cos ri - senri.

)r = ,f(sl _1, = 9{s) para t : ['P.

/h):fi+fj:/'(")i+rclLa magnirud de r'(s) es

r.1")r:r4,y;.il=/eJ- .

para lo qu€ se us6 (11.6). Entonces, r'(s) er &/, vectot unitaio tansente aC en P. Como

en (15.13), este vector unitario tangente correspondiente al parametro s se denota por

T(s).

4j

FTGURA 15.t4

La Figura 15.21 muestra vectores unitarios T(/) y N(l) tipicos. N6tese que el vec

tor Lrnitario normal principal N(l) de Ia h6lice circular es siempre palalelo al plano xfy apunta hacia €1 eje ..

A continuaci6n se define la curvatura, prim€ro pam las curvas planas y mes ade'lante para las curvas elr el €spacio.

Una curva plana reaular Ctien€ muchas parametrizaciones diferentes. A veces es conveniente usar como paremefola longitud de arco medida a lo la(go de C. Sea,4 un puntofijo de C y sea t la longitud del arco ,4P que va de,4 a unpunto arbitrario P(r, .v) de C, como se ilustra en la Figura15.22. Supongamos que C tiele ecuaciones param6tri€as

Enionces, a cada valor del paremetro s le corresponde un punto P(/(s), 9(s)) en cque estd ar unidades de,4, medidas a lo largo de C. En los Ejercicios 49-52 s€ desarro'lla un m€lodo para obtener parametrizaciones de este tipo. La direcci6n posjtiva de Cse determina por ios valores crecientes de s. El s se llama parimetro longilud d€ Nrco

de la curva C. La posici6n d€l punto fijo 4 no imporla.Como se muestra en ia Figura 15.22, el vector de posici6n P(n, J) es

r(s) = xi +.1,j =/(s)i + r(rl.Derivando con respecto a .s se obtiene un vector tangenle a C:

T6,ro,,/ia25 25 V25

764 CAPiTULO 15 . FUNCIONES VECTORiALES

Para cada valor de.r, sea A el dngllo entre T(s) e i (v6ase Ia Figura 15.23). N6teseque 0 es una funcidn de s porque P y T(s) son funciones d€ s. Se puede usar la tasade vatjacl6n dq/ds de 0 con respecto a .r para medir cuento se dobla la curva C en losdiversos puntos. Por ejemplo, sea P un punto que se muev€ a lo largo de la curva Cen la Figura 15.24. En el punto R la curva se dobla levemenE y se ve que el engulod €ntre T( s) e i cambia lentamente, es decir,

J d0lds I es pequena. En el punto g la curvase inclina o dobla abruplam€nte y ldoldsl es grande. Estas observaciones sirven comomotivacidn para la siguiente definici6n.

DEFTNTCT6N (15.15)

Para la curva de la Figura 15.24 la curvatura es relativamenre pequeia en los pun-tos -R y S, y €s srande en O y Z. Los dos e.jemplos sisuienres ilustran la Definici6n ( I 5. i 5).

HGUNA 15.24

lo

..,,

ni

Sea C una curva plana regular dada por x = /(s) yj/ = ,(s), donde el pardmetro.r es la longitud de arcoy sea P el eDgulo entre el veclor unitado tangente T(s)e i. La curvatura r( de C en el punto P(r, J,) es

da

ll,l

HGUNA I5.25 IJEMPIO 3 Demostrar que ta curvatura de una recra /es 0 en iodos sus punlos,

Soluciiin Como et vector unitarjo rangenre T(s) a /siem-pre s€ encuentra en / (v€ase la Figura 15.25), et insuto d €sel mismo para rodo r, es decir, 0 es constanr€. por lo lanto,

K' lP u-Lr .Ji

Demostrar que la curvaiura en todos los punros de una circunfer€ncjaEJEA.IPIO 4de radio ,t vale l/kSoluci6n Podemos suponer qu€ la circunferencia .iene centro en O y que et punto

primer cuadranle, como se muestra en la Figura 15.26. S€a s la lonsitud

15.t Curyetur6 d€ linaas

Observese que en el Ejemplo.{, cuando ei radio t de Ia circunferencla aumenta,

la curvatura 1( = I /t disminuye. Si r derde a infinito, enron€es r tiende a 0, que

765

del arco lP. Si d es la medida en radianes del angulo PO,4,

r-t4 obien c: iDe la Figura i5.26,

A:r+\

,1n : J"' !i=.. oF r'

Id _ tlA J'J\ ls J\

HGUBA 15.2?

Derivando,

Por coffiguiente,

medio de

(b)

-t'2

d, ,i z\ i I.:/).1;+.1=;+r):ds\Arla,itJ0l IK:Ild' L

es la curvatura de una recta. Cuando el radio i 1i€nde a 0,

la curvatura r( crece sin acolacidn alguna,Sea Cuna curya que es la g!6fica de una ecuacidn en coor_

denadas rectangulares / = /, (x), donde , ' es continua en algin intervaio. Sean T(s) y d como se definieron en (15.15)y como se ilustran en la Figura 15.27. Como/' es Ia pendiente

de la recta langent€ en P, se ve qtre

(a) tan 0 = ! o bien 0 = tarr-t J'.

De acuerdo con la Defidci6n (6.I l), se puede definir la funcidn longitud de arco s por

donde a es 1a abscisa del prnto fijo ,'1 en C. Si l" existe, €ntonccs, por la Regla de ia

Cadena,

,ai ^

l.'

(c)

De las ecuaciones {a) v (b) se obtiene

fi)"./r-l+lr')2 r ,l:.it;i'i-.

TIGUIA 15.t8

Sustituyendo en (c) se llega al siguiente teorema.

TEOREI4A (15,16) Si una curva reciular C es la gflifica de), : if(t), enton-ces la curvatura f en P()t, /) es

ly" I

ti + t./ )'Pn

EJEMPI,O 5 Trazar la grdfica de J, = 1 ).'z y calcularla curvatura en los punlos (n, f), (0, 1), (1, 0) y (2, -3).SOluCit5n U grdfica (una pardboia) estA en Ia Figura15.28. Como l' : -2x y y = -2, del Teorema (15.16),

i(: :-(l + 4")''

En particular, se ve que en el punto (0, 1), /( = 2; es decir, el dngulo d asociado al vec-tor T(s) varia a raz6n de 2 radianes por unidad de cambio en la longitud de arco. Enel punto (1,0), r: 2/(5)r/'? = 0.18, lo que demuestra que la curva es menos ahusa-da ahi que en (0, 1). Esto puede notarse tambi6n en la sr6fica. Finalnente, €n (2, -3),K - 2/(17\t/2 = 0.03. Obs€rvese que cuando r tiende a infinito, la curvatura tiendea0.

A continuaci6n se deduce una f6rmula para calcular lK cuando C este descrita entdrminos de t,'| par:imelro t, Sea C una curva con ecuaciones param6tricas

x = -f(t\, v = q(r)

dondef" y g" existen para todos los ndmeros I que interesan. De la discusi6n anterioral Teorema (lJ.16),

da ln tlJs ld1,/r I

Como la pendiente de la recta tangente est{ dada por a'( 1),f'( 1) (v6ase el Teorema (1 3.3)l

siempre y cuando /'(t) + 0. Por iantc,

datit: r ilaitjtft

Ademds, por ( 13.16),

'(nobien P:tan-'i;

f'(t)!r"k) - s'(tJf'6 fltq"ft) !t'(t)f"(t)

r^"0:{9J'@

t"/'(r)l U'{ttl' + ts't))'

fl:,-r,,a."s,',.1-

Sustiluyendo en ia f6rmula X' = l@A/dtt/@s/dt)l obtenemos lo siguiente.

TEOREI'{A (15.17)

En el siguient€ ejemplo se usa el Teorema (15.17) para resolver de nuevo el Ejem-plo 3.

EJEMPTO 6 Demostrar que la curvarura en todos los puntos de una circunferenciade radio ,t es ieual a 1/,t.

Soluci6n La circunferencia de radio .{ con centro en el orisen tiene ecuacionesparam6tricas

\: kcosI=/(l), l = ksenr:a/(l).Derivando,

l(r)- ksent. l"{t):-[cost.y s (r)- k cos r. 9"O: lsenl

Sustituyendo en (15.17),

Si una curva plana C este dada param6tricamente porx - .f(t), r - sG\, dondef" y 9" existen, entonces lacurvatura ,( €n P(r, ,) es

K= 1 f ' (t) s" (r) - s' (t)f"(t)ll( f'(tl\z + (s'Qt\'zlr/z

lt-kscnr)r ksentl - (k Los rll t cos.l

[(-ksenr)r + (k cos r)'z]3':

t2senr I + k'cos'zI k'z k1 |: tl-"e" I + lti.itiPt :

(tt1ir: : It : t

Si la curvatura fen un punto P de la curva Cno es cero,enbnces Ia circunferencia de radio p = 1r(, cuyo cenlro s€

encuentra del lado c6ncavo de C y que tiene la misma rectatangente en Pque C, se llama circlnlerencir de curvstun de

P. Su radio p y su centro son el rrdio dc curvrtur! y el cen-tro de curvr(urs, respectivamente, en P. Segin los Ejemplos3 y 6, ta curvalura de la circunferencia de curvatura es l/po l(, y por lo tanto, es igual a la curvaiura de c. Por esta

raz6[, se puede p€nsar que la circunferercia de curvatura es

aqu6lla que m€jor se adapta a Cen P. La Figura 15.29 mues-tra dos circunlerencias de curvatura,

EJEI{PIO 7 Sea C la curva con ecuaciones param€trjcas -,. = 12, ,v = rr. Calcularla curvatura en el punto P correspondiente a 1 = t. ^frazar Cy la cicunf€rencia de

768 capiTLrlo 15 ' FrNaroNEs vEaToRtALEs

Soluci6n Deliniendo.f(t\ = t1 y s(/) = tr obtenemos

/ (I) - lr. /'(I) : I q'lil : lrr' (/'irl - 6r'

Sustituyendo en el Teorema (15.17),

r ': ror' rr ,,,, - |,.,r ,, ..t ,. ,.

Sii=1, entonces6'.1 96

A : = 0.77.rl5 l6J' lli

El punlo correspondiente a r-1 riene coordenadas (i. ily el radio de curvarrra p en ese punto es I /,( o sea l=; = 1.3.

l,a rcpresentaci6n de C I' la circ[nferencia de ctlrvalu.a es-

tdn en 1a Figura 15.30. N6res€ qne la curvatura en el orjgenno existe porque Jl no esld definida para / = 0.

La defiDici6n d€ curvaluraK - )d(t/ds para curvas pla-a". no riene,rn "ralogo lm"diJro cr rre. oimer,.'une' tolque e] vector unitario iangenle T(s) no se puede derenni.ar

{r s"nai-.o.ni =li: -"

I

,/(-,,\

con un solo eneulo d- Por lo tanto. !a.a lac curvas en el esPacio se necesita usar otroenloque. Por supuesto. debe d€mostrarse quc ]a nueva definicion de curvatura coincidecon la anrerior (15.15) para las curvas planas.

A lin de obtener una definici6n adecnada, observamos primero que en dos dimen-siones, el vector unitario tansent. 1(s) se puede €scribir

T(r) = cos ri + scn dj

donde I es el :ingulo enlre T(r) e i (vease la Fisura 15.24). Co siderando d comc unaluncion de i y derivando,

trntonces,

r.r- | *.r'l'),-(*',J1),-li, sen,ri +.os,,ii

lT(j) =

Se usard este hecho para delinir la ctrvaiura en tres dinensiones. Se d€be describir cl

vector unitario tansente T(s) sl/, hacer referencia ai iingulo d y luego derrir tr como

lr'(j)l .

Sea C una curva con ectaciones paranetricat

t="/(s), .i = e(s), z= n(s)

donde /"(.t, s'(s) y ,t"(r) exist.n y s e, la lonsitud dc arco nledida a b largo de Cd€sde un punro rijo I hasta el punto P(/(s), e{s), n(i)). Como en e1 caso de dos di-mensiones, si r(s) = /(s)i + !(s)j L(r)k e$ el vector de posicidn dc P, entonces

r'(s) es un vector uniurio iangente a C en P que se denota por T(s.). Como llT(s) I

flGUIA 15.3r

EJERCICTOS 15.4

ajerctcios 1{: Delennis€ los veclores unilarios tan'

trnrerrormdl. lrrr\ \r,r."1" urvdr derermi

nada po. r(/). Trace l3 g.efica de C y represenre

seom6t.ican€nte los vectores T(l) v N(r) conespon_die't6 ,l valor dado de L

l. (r): ri - ii':jr r - 1

2. (rl= r:i+?ri: r=13. r(r)-rri+-lrir r=l4. t(t) = (4 + cos ri - (.1 seD0j;

' = u16

5. (tl= 2senti+ lj+ 2c.srki r= r/4

15,4 Curvatura de rincds

es una constante, resulta que T'(.s) es ortogonal a T(r) (v€ase el Ejemplo 4 de Ia Sec-

ci6n 15.2). Si T'(r) + 0, se define

DEFTNTCION (15,181

INlsl: I l\ltlrliEl vector N(s) es un vectorunitado ortogonal aT(.t) y se lla-mavector unitrrio oormal principsl a Cen ei punto P. Estosconceptos se ilustran en la Figura 15.31.

Habiendo oblenido un vectot unitario langenre T(s) ysuponiendo queT'(.t) existe, sepuede definir lacurvatura en

lrcs dimensiones como sjgue-

Sea C rna cu a r€gular en el espacio con parametrizacidn

)r -,/(r), .y = 9(r), z = h(s)

donde el paremeto s es la longitud de arco. Sean r(r) --/(s)i +,(s)j + n(s)kyT(s) = r'(r) Lac rvrturs Xde C en el punto P(.x, ], z) es

,( = llrlr) il.

Como se demostrd ant€riormerte, esta definici6n se reduce a (15.15) cuando C es

una curva plana. N6aese que

ur,r-|r'i,1 o bien lrs) . KN(.'

159

La f6rmula para rKen la Definici6n (15.18) es a veces djficil de aplicar en Ios pro-blemas especificos. En la siguienie secci6n se obtendra una f6rmula mes prictica para

calcular la curvatura.

6. r!) - Ii+ j.'1j Lrk: I = I

E ercido! ?-1t: Calcul€ la oFvaiur! dc la olrva €n P.

t. r: 2 - rrj P(1. l) E r'= r'i P(1,l)

9. r: /: P(0. l)

r0. r = ln (x 1)t P(2,0)

ll. l = cos 2rj P(0, l)t2. ) = sec x: P(n/3,2)

13. r:r l, r:irj P(3,2)

14. r=r+1, l:l+4r+lj /,(1.1)

15. r=!-.l. I=l rri P(0,1)

16. r = t ser L r: I cos ri P(ir l. l)

1?. r = 2sen t, ! = I cos rr P(1,lJlr2)

tE. r : cosr r, I =senr rj P(ait/4,.J,/4)

niqcicios 19-22: Para la curva y el punro P dados,

{a) calcul€ €l radio de cunatlra, (b) calcule el certrode cunalllra y (c) trace la ora y la circunfereDcia de

19. ) =sen t. P(r/2, lJ

2t. y = €"r P{0, l)

Ei.niciff 23-21: Encuentre los puntos de la curva endonde la cwatua es mrxina.

39. l.a rosa de cualro p€talos r = scn 2d para 0 <

l(). La espira! r : ed.

4r. SeaP(r, )) un punto en la srrlica d€] : /(t)en el que ( * 0. Demuestre que si (r, k) es elcenlro d€ cunatura oo(espondienle a P, entonc€s

, ,fl+lL)rl , [L F{r r':]

fl

42-46. Use las fdmulas del Eie.cicio 4l para encontrar el centro de curvatura corespondienie a Pen Ios Eicrcicios ?'ll.

47. A una carr€tera y una de sus rampas de salidase sobrepone utl sislema coordenado reclangu.ld de ndera que la ca'rerera coincide.on eleic,y. La rampa de salida comieua en el origen Oy su trayecioria sigue la curva / = :L;r

r entreOyelpuntoP(3, l); lueso cofllinfa aio laJgodel a.co de circunferercia que se muesira en lahgrra. Sea((r) la curvatura de la rampa de sa-

lida en (x. r). En(ueture el cenro deldco d. cir-cunferenciaque hace que la curvatura sea continua en .! = 3 (es decir, e. cl punlo P(3, -l).

EIERC|C O 47

4t. D€nuestre que lar r€ctas y Ias cirenferen.ias soths nrica.s curvas (o lined) p/4r4s que ti€nen cuFvarrra consranre. (Fl Ejercicio l7 de la Seccid"l5-J demuestra que 6te.6ullado no escieno pa-

.a las cu.var en el espacio.)

Eierclclo! 49-52r Si la cufli C de la Fisurd 15.22 rie-

ne una parametrizacidn .€sular x =/(l),/ = d(r,entonces, por el Teorema (13.5), la relaci6n €ntre elparAmerro r y la lonsilud de arco s este dada por

,= l'. tr r,rl'+ t,rrl_,r,donde a s el valor oe t cor,((punJi(r e rl punro rUu.4. Use sta .€laci6n pa.a expres?J la curva dada enteminos d€l parametro lo.giiud de arco r, suponien-do que e, punto iijo.4 cor.eslonde a I : 0. (5r8ercncia: Etzli. ptimerc \a integral para enconrar larelaci6n entre I y r, y luego reemplace I en las ecua-ciones paran6tricas.)

23. t:e'25. 9r'?+ 4rr = 16

27. r: hr x

33, t: xa - 12r'1

2E. r' :sen r

36. r=t ?

29. U* Ia ec!&i6nrr = la( + , para d€mostre que

la curvatura etr todos los puntos de una recla es

0 (v€ase el Ejenplo 3).

$. Demuestre qu€ la trl{\ima curvatura en ura parAbola se da en el veitice.

JI. Demu€stre que la mtrima y la midma curvatu'.as etr una eUp* \e dan en los exrrenos del ej<mayor y del ej. menor, respecliveente.

32, Demuestre que la mdrima cuNatura en una hi-p€rbola ocure €n los extreDos del eje transversal.

Ej.riiciG 3i)-36: Ercuentre los puntos de la cuna enlos qu€ la curvatura es 0.

37. S€a C una curva que es la srefica de una e€ua-

c,on Dolar. - /(r) Hass p3renre que .i ,dt/do y /' = dtt/d,',la curvatura(en elpun

l)r\} ti + i' f(ir, + 'lr-

(S/se.rrcta.' Use ' = rcos 0 !! = . s.t'ptacrpres3! C.n forma paramerica.)

E .rddo. !t-,10: Calcule la cu atura de la curva po

l.t d,ada €n P(r, ,) usando la f6rmula del Ejercicio 37.

36. Ir6dioide/ = a(l cose)pu.O<0<2n.

l5.t Conponente _d.9errd , rorratde c s(€.rdcror 711

49. i=,1. J. r=lr+5i r>0

51. r:.1cosr, I::lsenlj 0<r<ln52. x - rlcos r. r,:.rsen/: r>053. Demuestre que si k es um funcidn positira y @n,

linua en un irtervalo 10, ]?1, entonc€s exisre uracurva plana Ctal que,t representa la cu.vaturade C como una funcjdn de la loneitud de arco.

(Srs€rcnctar Para r en 10. al. defina

r'(,t = .[ trr,r,.

'=1e:f-.aaar.r' : r(s) = t senh(.).rr.l

54. Use el Ejercicio 53 pea resolver de nuevo d EjeF

lfip courorilTEs TANGENcIA.T y

- NORl,lAt DE tA ACELERACI6N

FIGURA I5.!'

En esta secci6D se aplicaren los corceptos de la anterior al movimiento de una particula.

TEOREMA (15.19)

Damo5uaci6n El croquis en la Figura 15.32 es ulla repre-sentaci6n geom6trica de la f6rmula para a(/).

Recordemos que el vector unilario tangente T(r ) e$e da-do por

IT(\l: -. -, .k)ir )l

y por tanto, r'(r) : I r'(r) lT(J-).

Como r'(r) =v(1)y lr'(t)l = llv(r)ll = d.r/d/, esto da la f6rmula para la velocidad

vt) = A r(s).

Derivando con respecto a / y aplicando 1as Reslas de la Cadena en los Eje{cicios 43y 44 de la Secci6n 15.2, se obtiene

Sea Puna particula que al tiempo t tiene vector de posi-ci6n r(t) y sea s el par{metro longitud de arco pala lacurva C determinada por r(t). Si T(r) y N(s) son los vec-tores unitarios langente y normal principal, y si .Kes lacu atura de C en el punto corespondiente a s, entolcesla velocidad y la aceleraci6n de P pueden escribirse

, (r) : A Tls)

"(r) -d,r /,/sV

rr.t + r \f] N(")

,(, : /(,) = # r(.) r f *4 rr"r :

i!,1 rr"r * f; f; r'r"r

112 C^P TI.]LO 15 . FUNC ONES VECTORIALES

De acuerdo con el comentario siguiente a la Deiinjci6n (15.18), T'(s) - fN(s) Porlo l3Io, Ia rormLla anlerior .r nuede e5cribir

.t /d,Ya{,r _

r,. rrJ K\d,] \,,r . '

Si la rapidez de movimierto llv(l)ll = dsldt se denota por v, entonces ias f6rmu-las del Teorema (15.19) se convienen en

,, ' -,t,. v ',' j' n*' - "','La segunda de estas f6rmulas expresa ia aceleraci6n a(l) en tdrminos de una compo-nente tangenLial ar y rna componenle normal aN, donle

lL 1'zr /,ts t'z4:,t,:i " ,^=.,':"lr,jLas componentes tangencial y rormal de la aceleraci6n son rltiles para el esludio

de las fuerzas que actian sobre un objeto en movimiento que recorre una curva C. Ob-servese que la componente normal aN = Kvr depende solamente de la rapjdez de P yde la €urvatura de C. Si la rapid€z o la curvatllra son grandes, tambidn lo es la componente normal de ia aceleracidn (siempre y cDando la otra no sea muy pequeila). Esleresultado, obtenido te6ricamente, confi.ma el hecho conocido de que el conductor deun autom6vil debe disminuir la velocidad para empezar a tomar una curva muy pro-

Tambi6rt se pueden obtener f6rmulas para las componentes tang€ncial y normalde la aceleraci6n que dependen s6lo de r(t). Aplicando el producto escalar de v(1) ya(t) en el Teorema (15.19),

IJ\ I fr , /,1.\) I't'r at,r -

| ar r{.r

| | J,, rrn - (1,,,] \1.,

]

/,4\ /,/:,\ /ls\r- l;,J(;, )lr' 1' l

^ l;-) 'r{ \ 'r

cor{PoNENTE (15.20)TANGENCIAT DE

TA ACETENACI6N

Como T(.r) tiene magnitud I y es ortogonal a N(s), esta tima igualdad se reduce a

/,t,\ /,i .'\!{" at'r-l rl(d, l\,'

lo cual pu€de escribirse en tgrminos de r como

n1\i,rr r',r - r{ri ,,; I . ,, ,,,

Si r'(/) + 0, esto da la f6rmula siguienle.

r'(t) t"(t)llr'( r) ll

Cofipon€nt€s tanqefcia y formalde a dceerdct6n

coMPoNENTE (15.21)NORII,IAI DE I.A

ACETIRACI6N

Si en vez del produclo escalar se toma el produclo vecrolial de a(/) y v(r, entonces

J.\,,',,, ,', { )l ,. lir" I l ^l )[r ' \ l

El producto vectorial de un vecror consiso mismo es 0 y por Io tanto, T(s) x T(s) = 0.Ademris, cono T(s) y N(r) son vecrores uniiarios ortogonales, llT(s) x N(r)ll = I(trease (11.33)). Entonces, la fdrmula anterior da

' " ^(i,t, ,,.1.\.) forto an'o. ,.-n\r,/ - ..,

Escribierdo esto en ldrmjnos de r se obtiene lo siguienie.

.- ld' \' llr'(r) r"rrllon = "la,.l = il.1,,1

EJEMPI,O 1 Ei vector de pos;cj6n de una partjcula al tiempo I (en segundos) es

r(1) = ri + trj + l3kparat = r < 4.

(r) Encontrar las componeries langencial y normal de la aceleraci6D al liempo L

(b) Calcular dN, dr y lv(l)leriostiemposl = l, 2, 3 y 4 con una precisi6n de dos

decimales y descibir el movimiento de la particula.

Soluci6n(a) Derivando obrenemos

v(r) : r'(r) = i + 2rj + -lrzk

a(7)- r'10 - 2j + 6rk

Y0l = i(r) =(l +4rrI9ra)'

r(rl r"(r) '1r + l81l".

: jFt,l = (r +.Ff ei.jr.

Por (lS.)0),

Para enconlrar dN, primero calculamos

r'(r) x r"(r) : &']i - 6rj+21

Aplicando (15.21) resulta

' ,:i' r\rl ' r _' ro/" a/ r /

(b) La trayectoria de la particula, cs decir, la curva C dete.minada por r(l), es la paft€de la cubica alabeada que se discuti6 en et Ejemplo 2 d€ la Se€ci6n t 5.1, q

iikI lr lrr02 6t

114 (AP'IULO 15 ' FUNCIoNES vEcToRIAlEs

tta entre (1, I, l)y(4, 15,64) (vdase ia Figura 15.4). Susrituyendo en las lormulas ob-tenidas en la part€ (a), obteremos la siguiente tabla de aproximaciones.

Posici6r deP

i"(,)ll

__l 4 lt3,9.211 (.r, 16.61)

:.06 2.01ir. r. 1)

2.335883.71

e..1. El212

11.98 11.99

27 68

2:100

Por lo tanto, cuando l aumenta de I a 4, la particula recorre C de (1, l, l) a (.1, 16, j4)aumentando su rapidez. La componenre normal d€ 1a aceleracj6n aN tiende a 2 (n6rcseque limr-- aN = 2). La componente tang€ncial dr aumenta a unas 6 unidades porsegundo.

Se puede obtener una f6rmula alternativa para la componente normal de la accle,raci6n- A lin de sirnplificar la noraci6n, se designa a T(r), N(r) y a(1) del Teorerna(15.19) por T, N y a, respecrivamenre. Entonces,

i=@rT+dNN.

ComoTyN son vectorcs unitarios mutuamente perpendiculares, T . N = 0, TyN.N=l.Portanto,

lsi'? :a a:{.rrr +dNN) (drT+dNN}

- di(r r) + 2aNar(N D + dN(N r.'):.l?+,i

Despeiando r\ de e,ta ecuacion \e obtienc lo..tJienrei

T= l

TEOREMA (15.221

El anterior Teorema (15-22) debe usarse cuando es dificil encontrar la oomponenrcnormal por medio de (t5.21).

EJE|IPIO , Encontrar d! en el Ejemplo I usando el Teorema (15.22).

Solucirin Como en la solucidn d€l Ejemplo l, obtenemos

Entonces

,1r + l8l3t4 : (i 4i+ s.i)i 'j

a^=.lql' "i

y a=r"1r) =2j+6rk.

: fs+x,,, (11+l!|r.\i I+,1rr+9I1'

Simplificando esia expresi6n se obtiene la aN del Ejemplo l.

EJElilPtO 3 Sea P un punto que se mueve con rapidez constante y sobre una cir'cnnferencia d€ radio l. Encontrar las componentes tangencial ynormal de ]a acel€raci6n.

Solucirin ccrno v = r1sldr es consranre, la componente rangencial dr = dzs/tltres 0.

Del Ejemplo 4 de la secci6n anrerior sabemos que la curvatura de la circunferenciaes l/k. Entonces, la componenle normal de la aceleraci6n (v6ase (15.21)) es (l/l)y2.Esto demuestra que la aceleraci6n €s un vector de magnitud consianle v]/f dirigidodesde Phacia el cenlro de la circunferencia (veas€ el Ejenplo 2 de la Secci6n 15.3).

Se puede obtener una f6rmula para ia curvarura de una linea C en el espacio m€-djante (15.21). Si C estd dada param6triaamente por

15,5 aompon€nt€s tdnS€ncidl y normal d€ a aceterdci6n

x - f{t)' r = su), z = h(t)

entonces C queda determinada por el vector de posici6n

r(, =/(1)i + !t(tli + h(t)k.

Despejando K de la ecuaci6n (t5.21) y Lrsando el hecho de que d,s/dt = llt'(t)1|,ob.ienc el siguiente teorema.

775

Sca C una cu a en el espacio dada por x = IGr, f =!t(1, y z : h(trdo]d'def", g" y i" exister. La curvatu-ra /K en ei punto P(r., /, ?) de C es

K: llr'(r) x r"(t) ll 1= 'N r[itrr'lr'(t) ll3

rEoREllA (15.23)

Esta l6.nrla lambi6n puede servir para cu.vas planas (v€ase el Ejercicio 16).

EJEMPI.O 4(a) Encontrar la curvatura r( de la cibica alabeada x = t, y - 12, l = 13 en el punto(x, v, z).(b) Calcular ,(en los puntos correspordientes a t - 1, t - 2, t = 3 y I = 4 con unapre.isi6n de cuairo decimales,

Solu€i6n(a) Si definimos

.(t)=ti+t)i+t3k'se yc que ia curva es la nisma que se consider6 en el Ejemplo l. Sustituyendo r'(/)y r'(1) x r'(l) en el Tcorena (15.23) por las expresiones que se obtuvie.on en dicho

, ),r- I.rl rlr'''' 1r7o ' 41' 1r' '

FI]N'IONES VE'TORIAIES

*i,

(b, Re€mplazando I = l, 2, 3 y 4 en la f6rmula para r que se obtuvo en la parte (a)

y usardo ulla calculadora, obtenemos las siguientes aproximacion€s (compirense los

resultados con los de la tabla de la ptgina 77,1).

L l 4

(\, t. :) (r, 1. 1) (2.1,8) (3.9,27) (1, r6.64)

0.r664 0.0132 0.0027 0.0009

Usando los teoremas sobre limites, podemoscir, que la curvatura de la linea dada tiende a la

demostrar que limr,-f = 0, es de-

de una recta cuando t anmenta,

EJERCTCTOS 15.5

Ej.rcido3 ljr obtenga f6rnular senerales pda lascomDonentes lansencia! y normar de h accl€raci6n ypara la cnrva.um de la linea C determinada por r(r).

l. (r: rri + (3i + 2)j

2. .(r): (2r: l)i + 5rj

3. .(,)= 3ti+ rrj + 3r:k

,t. (rl:4.i + rrj + lr:k

5. r(rl = r (cos ri + senrj)

6. (r): cosh ti +scnh ri

?. rir)=lcosri r I senri+ rk

t. dr) = .'kenri + cos ri + kl

\ e. \na paaLula,e m,e'e.ob,era Darabolar -\-,4 de mane'a q.c ia (orpo en,e hori/onraldF

su velocidades sienpre L Calcule las componenre! tansencjal y rormal de la aceteraci6! en €lplnio P(I. l).

10, Reru€lva el Ejercido 9 suponieDdo que la parllclrla s. mueve sobre la grafica de / = 2rr - ir.

ll. Dcnu€sre que si ura par.icula raore ut6 cur-va C cor rapidez coDstas!€, entof,ces ta @leraci6tr si€opre es nomal a c.

12, Us el T€or€ma (15.23) pata d€most dquesiwapartlcula s! mucve en €l sp&io con aceleraci6n

sienpre isual a 0, entoncd rc mueve sobre una

Denueste que si una Dart{cnla P recone 'M

oFva c con rapid€z corstante, entonces la Mgni-lud de la aceleracidn es directamente proporcio-nal a la curvatura de c, es decn, t I = cI:para

Demues.re que si €n el Ejercicio l3 otra parti@-la Q rccorre C con el doble de rapidez que P, e!torc€s la masnitud de la acel€raci6n de O €s

cuatro veces mayor que la de P-

Demu.s.re que si un. pdticuia se mueve sobre

la srlfica de/ = IG\pNaa < t < ,, enlon-c€s la componerte flormal de la ac€leraci6n en

n punto de inflexi6n es 0. llustre este hecho !ti-liado r(r) = tt + rrj.

Aplique et Teorema (15.23) para demostral que

si una curva plana €s.6 clada paramerricamentepotx: J0),!:9.(r),donde/" y s" erisren,eniolces la curvarlral( estd dada por elTeore-nla (lJ.l7).

DemlesFe que la curvatura en cualquier psnlodelab6lic€clculer = rcos t, / = a sen t, z :,7, con a > o, esta dada pot K : a/la1 + b1).

Determine ra cu.vatura en {x. r, z) de la hili.eeli,rlca qle tiene ecuaciones paramericas r -a cos r..r, = , ser t,: - .l dondea, D y c son nn-neros.eales posilivos.

13.

15.

16,

14-

t7.

18.

TEYES DE KEPTER

Es juslo concluir este capitulo poniendo de manifiesto el poder y la elegancia de losm6todos vecloriales, cuando se aplican a la deducci6n de tres leyes clrsicas de la fisica.Lo que se presenta en esta seccidn no es sencillo porque el problema que se considerano 10 es. Sin embargo, el estudio de lo que aqui se presenta proporciona una experien-

cia impo(ante que val€ la pena adquirir.Tras hab€r analizado durante varios afios una gran cantidad de datos empiricos,

el astr6nomo alemrn Johannes Kepler (15?l_1630) formul6 tres leyes que describen el

movimiento de los planetas alr€dedordel Sol. Eslas leyes pueden enuncialse comosigue

tEyEs DE KEPT ER (15.?41 P.im€rs L€y: La d.bita de cada planeta es una elipseque tiene al Sol en uno de sus focos.

Segundr L€y: El vector que va del centro d€l Sol aldel planeta en movimiento describeereas iguales en tiempos iguales.

Terc€ra Leyi Si el tiempo que requiere un planelapara recorrer una vez su 6rbita elipti-ca es f Y el eje mayor de tal elipse es

24, entonces f2 = kar para una cons-

tante k

Unos cincuenla aios mas tarde, Sir lsaac Newton (1642_1727.) demostr6 que las Le-

yes de Kepler son consecuencja de su Ley de la GraYitaci6n Universal y de su Segunda

Ley del Movimiento. La aportaci6n de estos dos hombres fue extraordinada porque

estas leyes explicaron toalat las observaciones astron6micas que se habian realizado hasta

esa fecha.En esta secci6n se demuestran las Leyes de Kepler utilizando vector€s. Como la fuerza

gravitatoria que€l Sol €jerce sobreun planetaes mucho mayor que la ejercida por otros

cuerpos celesles, se despreciardn lodas las otras fuerzas que actdan sobre un planeta'

Desde este punto de vista s6lo hav que considerar dos objetos: el Sol v un planeta que

sira alrededor de 61.

atGUM 15.43

Es conve ente introducir un sistema coordenado con el

centro de masa del Sol en el origen O, como se ilustra €n laFigura 15.33. El punto P representa el centro de masa del pla-

neta. Para simplificar la notaci6n se denotar{ al vector de

oosrcion de P por r en ve,/ de r(r) ! se usaren v y e para

ienorar la velocidad r (r) ) la aceleracion r I / l. recpec'iva-

Antes de demostrar las Lev€s de Kepler, s€ probare que

el movimiento dei planeta se realiza en unplano. Sj se define

r = ll r ll, entonc€s u = (1//)r €s un vector uniiario que ti€-

778 CAPI]ULO 15 . FUNCIONES VECTORIALES

ne la misma direccidn que r. De acu€rdo con la Ley de la Craviracion de Newton, laf erza F de alracci6n gravitaloria sobre ei planeta esti dada por

UntF- d=:u

dond€ ,rl4es la masa del Sol, m la dei planeta y c es la constante de la gravitaci6n uni_versal. La Segunda Ley del Movimienro de Newton (15.12) afirma q;e

F: mr.

Igualando estas dos expresiones de F y despejando a se obtiene

,.-t,(a)

Esto demueslra que a es paralela a r = ,.u y por lo tanto, r x a = 0. Ademes. comov v.0..evequeJhdtJ,tt 't-t -u- )t I

i 1.i- 1-'- --, L,''\"r,

De modo que

(b)

Sustituyendo en c

Comouxu=0,

(c)

-rxr+!x!=O

rxv=cdonde c es un vector constante. El vector c desempeiarA unpap€l imponanre en la demostraci6n de las Leyes de Xepler_

Comor x v = c, el vecror. es perpendjcular a c paralodo valor de /. Esto implica que la curva lrazada por pesrden un plano, es Cecir, /a d/'rrta del,Dlaneta es unacw|d plana.

A continuaci6n se denuestra la primera Ley de Kepler.Puede suponerse que ei movimiento d€l planeta se realiza enel plano irl. En eslecaso, elvector c es perpendicutar a dichoplano y se puede considerar que c tiene ia misma direccidnque la parte positiva del eje r, como se iiusrra en ta FiSura1i.34.

Puesto que I = I'u, entonces

dr ttu .it

tlt LIt dr

= r x v y usando las propiedades del producto veclorial resulta

/,lu ,n \c=ru {,-+ -ultar a, l" / ru\ ,tr=t \x. ,,,)+r1,ta

Usando (c) y (a) jumo con (ii) y (vi) de1 Teorema (14.36), se ve que

"..: ( n':,"). t,.(". #)l

: ",1".(".i:)lr . ,/" .,ul- ',.vll" ,, l" ,"

",,,,]

Como I u I = l, del Ejemplo 4 dc la Seccion 15.2 sededuce que o' (dtt/dt, = 0. Ade-

mAs, u u= llul'?= l y por lo tanto, la iltima f6rmula para a x cser€ducea

Jn ./I c C1r Jr /,,0tlu'Esto puede esc.ibirse tambitn

,rJ" ,t, '

y por consiguiente.

'l tl rr;Mul.

'(!\c):lr.lntegrando ambos lados de la ecuaci6n, se obtiene

(d) r:c-GMu+bdonde b es un v€ctor constante

El vector v x t es orlogonal a c y por lo tanto, esri en

el plano r]. Como u tambi6n €std en el plano :r),, se deduce

de (d) que b este en el mismo Piano.Haeta ahora la demostmci6n ha sido independiente de la

posici6n de ios ejes jr y y. Se escoge ahora un sistema de co-

ordenadas tal qu€ la parlc positiva del eje x tenga la misma

direccion que el vector constante b, como se ilustra en la Fi-gura 15.35.

Sea't (r, ,) las coordenadas polares del punlo P, donde

/ = lrl . ResLtlra entonces que

u.b = lull lbl cos, = bcosd

donde b = lb I. Si se defjte c = | c l, enLouces usando (b) junto con las propiedades

dc los productos €scalar y vectorial v tambien (d)'

779

.r:c c-ir:r) c:r {vxc}= (/u) ((;lau I b)

: /Glr{u u) + rlu bl

= rC l,t i rb cos ll.

780 (APITULO 15 . FUNCIONES VECTORIALES

Despejando r de esta ecuacidn,

cM+bcosdDiyidiendo el numerador y el denominador de la fracci6n entre CM se obtjene

(e) r= I'1+ccos(,l

donde p = c2/CM y e = b/cM. De acue jo con ei Teorema (13.t7), ta grdfica deesta ecuaci6n polar es una c6njca con excenlricidad e y foco en el orisen. Como la 6rbita es una cur\a cerrada. se rene que 0 < e < I ) la conica e5 rn coniecuencia un" e,ip_se. Esto completa la demostracidn de la primera Ley de Kepler.

A continuaci6n se demostrare la Sesu.rda Ley de Kepier.Puede suponerse que la 6rbila del planeta es una elipse enel plano i,. Sea r =,/(0) una ecuacidn polar de la 6rbiracuando el cenrro del Soi estd en el foco O. Sea p0la posi-ci6n del planeta al iiempo h y P su posici6n en cualquiertiempo I > t0. Como se iiustra en ta Figura 15.36, denota,mos por d0 y , los engulos que con la parle positiva del e.tex forman Drtl y -?, respectivamente.

_- PorelTeorema (13.11), el drea,4 descrita(oba'rida) porOP durante el intervalo de tiempo lln, 1l es

y rror lo tanto, fi:iuS;":''"=+"

.:,'0 i1-,';';,.

Usdndo esre hecho y la Regta de ta Cadena,

(f) dA dA de

Ahora observamos quecomo r = /cosdi +.senrj + 0k, el vector unirario u =(l//)r s€ puede expresar en la forma

ll0 dt

u : cos 0i + sendj + 0k.

,lu . d0 Jt),.: send d i+(!\//A j+0k.

Mediante ciiiculo directo s€ puede demostrar que

rtu de:kit dtSi c es el vectorqu€seobruvo en la demosrraci6n de la primera Ley de (epler, enaoncesde (c) y la fllima ecuaci6n,

15.6 t res d. K.du 781

y asj,

(g) , =j,l:r::combinando (0 y G),

LIArh' - 1"

.11

es decir, la rapidez con que el vector O7 describe el ,rea / es cofftante Esto demues-

lra la Segunda Ley de Kepler.Para probar la Tercera Ley de Kepler se aprovechard la notacion d€sarrollada en

las demostraciones de las primeras dos leyes, En particular, se supone que la 6rbita del

planeta tiene la ecuaci6n polar

I' t+,.r,ddotde p = c2/OM y e = b/AM $ease (en.

Sea Tel periodo, tiempo requerido por un pianeta para dar una vuelta compieta

alrededor del Sol. De acuerdo con (h), el 6rea descrita durante el intervalo d€ tjempo

[0, ]"1 esd dada por

,. r ,.1 I.lll 1,,'', -!", ' r

Esto es igual tambidn al drea de la regi6n del plano d€limitada por la elipse En el Ejem-plo 4 de la Secci6n 12.3 se encontrd que I - ,rdD para una elipse cuyos ejes mayory menor tjenen tongitudes 2d y 2r, respectivamente. Por consiguiente,

tLcT.- na; o ,oirn 7:2J4.Por (12.8),

u,o. i;

y asi, r- o oren fl a Lt e)l

.. 4r)a'1b' 1r'a111 /)Enronces, I - ..De la demostraci6n del Teorema (13.16) (er donde se us6 p = de) se sabe que

p' ,' obien '-.ll , r l-1

ln't,n,\ D.jr ranlo. , \,/Como p = c2/GM,lo anierior s€ reduce a

1n'1r.:;na,_k".

donde k = 4r2/CM. Esio completa la demostraci6n-

182 CAP|TULO I5 ! FL]NC]ONES VECIORALES

In las demoslraciorcs que se dieron de las Leyes de Kepler se supuio .lue Ia nnicafuerza gravitacional que acrfa sobre un planela es la del Sol, Si se tonan en cuenlalas iuerzas ejercidas por olros planetas, entonces nparecen irrcgulari.lades en las 6rbi-tas elipticas. l,as irregularidnlt€s observadas en el moviniemo de lJrano lle!aron ai as-tr6nomo bitAnico J. Adans {1819 1892)yal asrr6noino frances U. Leverrier (1811-187?)a predecir la existcncia de un planera desconocjdo que era ta causa de ias irresutarida,.re' l l'l:/ando e,a' prcdic. io,,ec. cn l8.]r. ct Jnr onomn atar.an t. CaJlr or,ei.o r. r,,c6picamentepor primera vez a este planeta, que mi! raidc recjbjo el nombredc Neptrino_

ffi nrrasoDelinr o disulr lo sigli€nle.

i. Funcion escalar.

2. Funcidn vectorial.

3. Curva en €l espacio.

4. Longitud de una curla c! ei elpacio.

5. Lirnite de una fun.ion vecto.iat.

4. Conliluidad dc ula lunci6n vectorial.

7. Derivada dc una fun.idn rccrorlal.

8. Fonnllas de deriea.ion para las funciones vec

13, lecror unitario ta,reelte <je una .u.va.

14. Vector unilario normal principal de una curva.

t5. Llngirud de arco de u|acurva como pnra rero.

16. Cunalura de uha linea curva ptana.

17. circunfcrencia de curvatura.

18, Radio de curvatura.

19. CurvaiLtra de una linea c\rrva e! el espacio.

20. Compoxente tangencial de la aceleraci6.-

21. Componente norhrl de la aceleracidn.

22. te)es de Kepler.

10.

11.

ve.tor rang.rnc a una curlir.

InteAraies de las lunciores le.ro.iales.

EJERCTCTOS 15.7

Ij€rci.ios 1-2: La posi.i6n de una pa.ricula qle se

mulF er un phno Looldenro. e.rd JauJ por r(/..Calcule su velociCad. aceleracion y rapidez al Uemlo r.

l. nr) =. rri + r,1r' r')j2. r(rl : (r serr)i - (l co, rlj

3. La .urva C cst6 dere.dinada por

('t : rt/ scnrli + 1.i cos 1rj + .'lpara 0<ral

(a) Halle un vector uiiario iangehre a C en elpun$ coflespondiente a 1 = 0.

{b) Calcule Ia loDcilud de c.

El vector de posici6n de xna particula al liempo

(/r:3ri+ rrj - rrk.

(a) Calcuie la velocidad y la aceleraci6n al lierr

(b) Calcuic Ia .apidez en I - l

Sea C la cu.!a determjnada por

(rr - 1rr .r l)i +,lj(a) Encuenrre los vectores uniiarios rargelle y

oonnal T(1) y N(r).(b) l'race la curva C jurro con 1(l) y j\{t).

5.

6. Sed u{r) = r,i + 6rj + 1} y y(r) = ri51i + 4rzk. Dncuenbe los valores de I para tosque u(r) y v'(r) son orrosonales.

?. Sean !(t y v(l) como en et Ejercicio 6. Encuent.e D, h(/) x v(r)l y p, [u(r) . vir)].

s. Evalft J(sen3ri + e :,j + .c( rftl lr.

9. Evotne f'r4ri+ r'i l(r,1,

10. Deterbine u(, suponiendo que u'(/) =eti-lsen2ti + 3fk y !(0) = -i + 2j.

Ej.rcicios u-I2: verifiqueta identidad sin usar con-

r1. D,ll4rlilr =:u(.) tri.)

12. ,,luk) u(4 : u"G)l: u(d u'{r)x u"(')

Eierciclos B-r5r Calele la curvaftra de la linea en

13. r=v': P(0.0)

I

14. ' : lli.l)

15. r: lr:. I: r4. : = 4,: Pl\. f,:)16. Encuenre las abscisas de Ios puntos de la grdfi-

ca Ce l' - 13 3-r en los que la curvatura es

17. Sea Clagrafica de.', = coshr. Obtenga laecua-ci6n de la circunferencia de curvatura de C enel punro P(0, l).

rE. Dada la curva llamada limudn. : 2 + sena,calcule su radio de cuwaiura en el prrnto P(r, 2).

f,i..cicios 19-2ft r(r) es el vecloi de posici6n de unapartiilla, Obtenea las componentes tangencial y nor-mal de la acele.aci6n al dempo r.

19. .(r) = sen:!i i cos rj

20. 4rl= lri + lrj + .[

*rrrrr16DERIVADAS PARCIALES

pn este capitulo se Seneraliza el concepta de derivacla al caso

de funciones de n6s de una variable. Esto tiene aplicaciones al

cdlculo de tdzones de canb;o nd\,nas, nin;nos \

aproxinaciones usando diferenctales.

785

786 CAP ULO 16 . DERVAOAS PARCIALES

FUNCIONES DE VARIAS YARIABIES

En los capituios anteriores las funcjones tenjan solo una variabte independienae. Esasfunciones tienen muchas aplicaciones; sin emba.go, en algnnos problemas aparecen rd-/ids variables independienres:

El 6rea de un recidngnlo depende de do.r canridades, la longirud y la anchura.Si un objeto se halla en el espacio, entonces la remperarDra de un punto p en €lobjeto puede depender de las res coordenadas recrangulares x.,r, ? de p.

Si la remperatura de un objero en el espacio varia en el riempo /, enronces se tienencuatro vatiables x, t, z y L

Un fabricanre puede saber que el cosro C de producir cierto articulo depende delmaterial, la mano dc obra, el equipo, el coslo de rnanrenimierto y los gastos gene_rales. Entonces, C depende de clrco va.iabies diferenres.

En esta secci6n se definen las funciones de varias variables y se discuren algunasde sus propiedades. Recordemos que una funcidn/es una correspondencia que asociaa cada elemenro de un conjunto, un inico elemenro de un conjunro E. Si D es unsubconjunto de R x [l y

'. es un subcon]unro de I{, enronces / es una funcidn de

,1u' tatiable. (rpalp\r. La jrguicnre e\ otra mJnera de enuncrar to dn.crior.

DEFTNTCTON (16.1!

-+' '

Sea, un conjunto de pares ordenados de nrimeros rea-les. Unafunci6n/de dos vadabtes es una corresponden,cir oue a,ocra a cada par {x. ), cn D Ln dnico nimeroreal que se denotapor/()., ,y). El conjunro Des el domi-nio del. El cootmdominio dej consra de rodos Ios nti-rneros reales /(x, J,) para ()., /) en D.

El dorninio, en la Definjci6n (t 6.1) se puede represenrar por pun,o. en un DlJno \ r \ el . ^nrradominio po punlo.en una recta reai. por ejemplo un eje )r,, como se ilustra enla Figura 16.1. Hay varias flechas que van de los pares orde-nados en , a los nimeros corresfondienres en ei cortrado-minio. Como aplicacion, consideremos una trmina del-qadadc meial que riene Ia forma de ,. A cada punro (_r, f) dela lanina le couespondc una temperarura /(jr, -!) que pucde medirse con un term6meiro y se represenm en et eje w.-l'ambi€n podria pensarse que D es la superlicie de un lagoy./(r, -y) la profundidad del asua bajo el punro (r, l,). HayDruchas otras interpretaciones fisicas de ta Definicidn (16.1).

A rnenudo se utiliza una expresi6n en ). y / para especificar./(x. ]), y se suponeque el dominio es el conjunto de rodos los pares {r,.}r) para los que la expresi{in tienesentido. Enlonces se dice que/ es una {unci6n d€ r r r.

15.1 Funciones de !arids v.riabas

An6losamente, /{ I , 2) =dicados en la Figura 16.2

187

€JIMPIO 1

\l 5Sc" J, \.lr ,. F1.on.rit cl Jo'ninro D de /

:\f \esquematizar, y r€presentar los nimeros /(2, 5), /(l, 2) v/( 1,2) sobre un eie )t, como cn la Figura 16.l

Solucidn Analizando el denominador de/()., /), v€nosque el dominio D es el conjunto de todos los pares ()r, ,t) ta'

t les que t - r2 es positivo: es decir,.r > jr2. Enionceg, la grri-' fica de D es la parte del plano r.-| que se encuenlra arriba de

A veces se usan f6rmulas para definir las funciones de dos variables. Por ejemplo,la l6rmula t/ - orr, expresa el volumen I/de un cilindro circular reclo como unafunci6n de la altura, y el radio de la base /. Los simbolos / y ft se llanan larisblesindcpendient€s y / es la variable dependienle.

Una lunci6n / de tres variables Gealet se define como en (16.1) excepto que el do-minio D es un subconjumo de R x [d x [:1. En ene caso, a cada terna ordenada

().. t. r) en , se le asocia un nnico nnmero real /()., l. i).Si D se representa como una region en ires dimensiones,como se ilusrra en ]a Figura 16.3, entonces a cada punlo(-y, -r, r) en r le corresponde un nico punto /(x, l. z) en

el eje w. Como aplicacidn, se puede considerar a D como unobjeto s6Udo y a /(t, t, ;) como la t€mperalura en (x, t, .).

A menudo las funciones de tres variables se d€finen me-

diant€ expresiones. Por ej€mplo,

la pardbola -r = n2, y s€ muestra en la Figura 16.2.

Sustituyendo valores,

r2rr5r j j/ll 5r:r -'

l') + 1

: y le1,2) = ;. Esros vaiores de la funci6n esrin in-tobre el eje l'.

FtcuRA t6.a determina una funcion de:r, }, y ?. Tambidn se usan lormD-

_ lrc como Z - /)rr, que es el volumen de un prisma rectan'i gular de lados I ryy.4, para definir furciones detres variables.

. | .. Regresemos a la funci6n / de las dos variables n v /., , ,, ',..i' .- La grnfica de /es, por definicion, la grefica de la ecuacion

' I ' . = t(x. -t) en un sisteina de coordenadas rectangulares en' t tres dimensiones y es, en general, una superficie S de cierlo

i tonces el par (r, /) en , queda represenlado por el punlo

,/ ' ,' i r'\-, '|. 0). Los valores de la funcidn /(ir, t) sor las distan-

4 1.".1.6, cias (con sisno) delplanojr/ a S, como se ilus.ra en la Figurat5.4.

788 aapilrJro 16 ! DFRvADAs pARaAL€s

EJEIIPLO 2 Sea / la funci6n con domjnio , tal que

I(r,r):e r' -r,: Y D - l{r. rl: !tr + r'' < 9}.

Trazar la gralica de/e jndicar las trazas en los planos. = 0, a = 2, z - 41 z =y.=8.

Irrzar cn.nlares en los plano\ : - ,{

Crna! d. nir.l9 r: rr {

Otro m€todo e.rifico que cs ntil para describir una funcion /de dos variablcs con-siste en trazar en el piano rl las sr.ilicar de las ecuaciones /(-t-, l,) = I para varios valor.-s de t. Las gr.ilicas que se obrien€n de esta manera son las curlas de nivelde la funci6n

, Es nnportante obscrvar q c cuando un pLrnto (x.,f) se muc\e sobre una curva dcnivcl, los valores /(x, -y) de la lunci6n no canrbian-

Soluci6n El dominio D se puede representar por lodoslo. fLnro. del cr-c-lo lelimir.roo Dor la crrc.rnlcrencja \:l'] = 9 en el plano.rr. La grdlica de /es Ia parte de la sri

:-9 rr t..

(un paraboloidc) que se encuentra ar.iba del plano jrl (v6ase

la Figura 16.5).Para €ncontrar la traza cn el plano ? = k, consjderamot

li-9 r: tr o bien rIl'':9 ,i.

Tomando t = 0, 2,,1, 6I8 obrenernos las circunferenciascon radios I, lt, rs, vi y i, respeclivamente, que se mues

rran en la Figura 16.i.

EJE|{PLO 3 Trazar algunas curlas de nivel de la funci6n

/ del Ejenpio 2.

Solucir5n I-as c,.ua! de njvel son las greficas de ecua

ciones dc I:r lorma /(r. r) = k, es dccir,

9 r: r''=L o bien \2+r::9 l

en el pianor]. Estas son circunferencias cuando 0 3 k < 9

En la Fisu.a 16.6 se tienen las curvas de nivel correspondienres a f - 0, 2, 4, 6 y 8. Estas curvas dc nivel son las pro)ec-ciones en el plano -tl de las Irazas circulares ma.cadas en la

F;sura 16.5.

Si/es una funci6n de dos vaiables y se trazat las curvas de nivcll(r., ]) = k para

valores €quidjstantes dc k tales como * = 0,2,,1, 6 y 8 en el Ejempio 3, enronces la

cercania dc curvas suces'vas da informacion ace.ca del declive en la grrfica de/: En

ia Figura 16.6 las curvas de nivel correspondientes a k = 0 y k = 2 est6n mes cercauna de otra que las correspondientes a * = 6 y r = 8 y csto indica que la superficie

16.1 Fu.ciones de vdrds vdrdb €s 789

iluslrada en la Figura 16.5 esri mes inclinada en los puntos cercano! al plaro r:r qxe€n los puntos mas alejados de €1.

Las curvas de nivel se usan frecuertemenre en la claboraci6n de mapas orolarificoso planos de configuraci6n. Por ejempio, sea /()., _y) Ia ahitud (en merros) en un punro(x, _r) con latirud r y iongirud _!r (coordenadas geograficat. En la monlaia represenlada en la Figura 16.7, se indjcan curvas de nivel {en rres dimensiones) correspondientcsa las allitudes de 0, 100, 200, 300 y.10O nerros. Se pucde pensa. que estas curyas seobtienen "rebanando" 1a colina con planos horizontaies paralelos a la base. Una persona que camine a lo Iaago de una de estas curvas esiare siempre a ia mirma aldtud.Las curvas dc nivel (en dos dimensiones) correspondienres a las mismas attirudes se muestran en la Figura 16.8. Esras curvas represenran la monhna cD el piano .tc contjguraci6n como vi*a direcramente hacia abajo desde un avj6n.

Allirudes en u.a montana

<:f .rm

-::=ar'-\::;--.\:-

curvas de nivc! der.tI, r,:l

MaJr^ o'ogrtiii.o (rcprcsenraci6nde l! monrana anrerio.)

Pa.a indicar la configuracidn del fondo dc un lago se em-plean planos similares (mapas hidroerdficos). En t: Figura16.9 se licne un ejemplo; ahi /(r, -r) es ta profundidad (enpies) bajo cl punto (f, ,f). itQu€ pa.tes del laeo tendria,i qreevitar los esqLriadorct?

ED la Figu.a 16.lC apa.ece orro ejcmplo de curvas de ni-vel en un mapa m€leoroldgico o climdtico dc risrados Uni-do'. en aord( /rJ..yr Lleno:d ta l(mnerr.Jrr md\ md (!r,grados Fahrenheit) en ()., 'l) duranre cierro dia. t.as crirvrsdc nilel son las isotcrmrs y a 10 largo.te cada uua Ia remperatura cs consrante. Se puede rrazar Lrn mapa Dreteo.ologicodiferente en cl queJl r, /) represente la presion armost!ri.aen (-r, _y). En esle caso, tas curvas de nivel se Iiamrn isobaras.

Si /es una funciol de rrcs variablei _y, /, ., enronces,por definicion, las supcrtici€s de nivel de I ron las sri]j.asde/(ir, J,, .) = k para los dive.sos lalores resles de k. Si selomair k = n6 wr ! r, las grriliras re\{ritanr$ $n tassuperficies .especlilas,S0, .tr y Sr, ilu radas cr la FigLrrsl6- l l. Si un punro (r,.),, ;) se nueve sob.e una de estas !uperficjes, enlonces /(r., .|, r) no cambia. Si /(t, }, :) e, ja

790 CAPITULO 16 T DERIVADAS PARCIALES

temperatura en ()., /, z), €ntonces las superficies de nivel se llaman superficies isot6r-micas y la temperatura es constante en cada una de ellas. Si /()., J, ?) representa el

potencial el€ctrico, entonces las superficies de nivel son las

superficies €quipol€nciales y miertras ()r, /, a) permanezca

en na de ellas, el potencial (o voltaje) no cambia.

EJEMPI,O 4 Sea ,r. r. r . ;' r '1. E,qu(nariraraigunas de las superficies de nivel de,So|uci6n Las superficies de nivel son las greficas de

-,. obren ,,t 'l .t

para cuaiquier nrimero t. Para cada k se obliene un conocircular recto con su eje a lo largo del cje z. En la Figura16.12estAn representados los casos k = l,t= 0,k= Iyk=2.

!upen,cre\ oe nr\er

(ii) (urvas de.ivd: t = (r) + rr rl ti'il .: -l=

(iv) : = rr 2\lr .: r: (") Curlas de nivel: I - \r

16.t Funcon€s de varids variabes 191

, t 2cos(r:+)')

(v,,,r _ jcoslll:+r:r

{x) . : cos r + 3 cos (3\ + t

/

v l|lv l'lvlrv I'lv lvi

/t' l,- ' u,/ i I "1, </ (xiD r:l r ., si 'r:r/t tlJp-

Se pueden usar las computadoras para representar grdficamenle las curvas de ni-vel, las trazas de una superficic en varios planos y superficies en diversas perspectivas.Los croquis que se obtienen de esta manera se llaman g ficas de computadon o grdfi-cat genetudas porcomputadoru. LaFig)ra16.13 y las de los Ejercicios 2l-26 muestranvarias jlustraciones obt€nidas por medio de computadora.

792 cApaTULo 16 . DERTvADAs pARcrALLs

EJERCTCTOS 16.1

Ejercicios l-6: Determine el dominio de /y el valorde /en Ios puntos indicados.

l. /(r./)=2_r .rri ( 2,5),(5.-2),(0. 2)

2. /(r, _r, = (I + 2l/rj (3, l). (1. l), (2,0)

3. i!, r) : ,ri(, 2r): {2, 3). ( 1.4). (0, l)

{. /(r. n = jt .J .,''": (r. r), (q 41. ( l. r)

s. /a. r. J = \'x - r? j -:,: (1. 2,2r.

1,3,0.2)6. /{r.r,:):: + trn r + l,sen:: (n14,4.n,16),

(0.0.0)

Eje.cicios ?'r2: Describa la $afica de f.r. 71',11 : ,! '--, J8. /(r.fl:r: rr:-le. /h. ),) : 6 2r - 3_!

10. /tr. )) = !]; 4rr l6

ll. /(1, r,) : \.-7t a\L t j

12. /(-\. lJ - irr + 4rr , 25

trje.cicios 13{6r T.ace algunas de las curas de nivel

13. _/(r. r) = r' .'14. tlr. ;) = lr 2r

-'f rs. /('. r): r' - i16. l(\. r) = rr17. /(i.Il: r: + rr -.1J + 6I ! ll18. /(i. r):,rtr: + r:19. Sea /(x, -v ) : / arctan r. Encuentre una ecra-

ci6r para la curva de nivel de /que pasa por eipunro P(1,4).

20. Sea /(x, /, z) = t: + 4]2 z?. Encuenlre unaecuacion para Ia superficie de nivel de/que pa

sa por el punlo P(2, -1, 3)-

Ejercic'os 2l-26: Se da una funci6n de dos variablescon su correspondienle sisrcma de curlas de nivelldentifiquela srtiica por computadoraen (a)_(f) que

corresponde a cada iunci6n.

21.::15'Lr' ':irrt

21.

25.

'7<\<7, 1<r<7

2<r<,2, -l<l <2

-2<r<1, 2<) <2

16.1 funco.es de vdrids varlabl€s

26. z = 1,4 8), 4rr. (t)

-3<r<1. l<r<3

791

Ijericior 2l-J2: De.-, rba la. Jupertr-€. de nNelde J.

27. ./(r. r,:) : \r + rr + :,26. /(r. r'. jl : +r:+,|l29- /(r. l.:): \ + lI + 3:10. /(,. r. :l : \: + r, :l31. (x. L.:) = \r + r,r 12. /t\.r.:)::3J. Una limina de melal plda estd situada e! un pla-

no .rl y la t€mperatura Z (en 'C) en el punlo(r, r) es inversamente proporcional a la distan-

(a) Describa las isotermas.(b) Suponiendo que la tetnperatura en el punto

P(4, 3) es40oC, encuentre una ecuaci6n dela isoterma correspondiente a la tmperatura

3.t. Elvoltaje I/€n un punto P(x,l, z) esta dado pory= 6/(x, +4t1 + 921)tD.(a) Describa las superlicies equipotenciales.

Lb) hncJe|,e dna ecuacion para la \uperlicieequjporencial I/ : 120.

35. Segnn h ley de la cravitacidn uiiveBal deNeN'ron, Lna parr'cu'a de ma(r V que esrd en el o i-gen de ur sistema de coordenadas rectansLrlaresejerce una luerzal.sobre una pa.ticula de masan localizada en el punto (', /, z), dada por

tl donde I es una constante. Exprese P comouna luncion de / y r' y describa las curlas de

nivel de esta funcio . acudl es el sisnificado fi-sico de estas curvas?

37. La potencia P producida por una rueda de vien-to (iurbina edlica) es proporcional al p.oductodel erea,4 descrita o barida por las aspas, y larercera potencia de la velocidad d€l vienlo !.{a) rxp-e\e P cono una fL,n.ion de .4 y

'(b) Desqiba las curvas de nivel de P y expliquesu sisniricado ihico.

(c) Si el diimetro del6rea circular baffida porlas aspas de una rueda de viento es de 3 mylavelocidad delaire es 30 km/h, entoncesP = 3000w(watto. Obtenga una ecuacidnpara la curva de Divel P : 4000.

38. Si r es la velocidad del viento (en m/t y/ es larempe a ura,el'.). enrone\ et Id.tot dp en, nnicnto pot v(nrc f \en \cdr rt hr e'ra dadoporF = (33 -/)(loV.Y-n + 10.5).(a) Describa las velocidades y lemperaturas pa-

ra las que el factor r es 0. (Suponga que

(b) La piel humana expuesta se congela cuan'do ,F > 1400. Trace la grefica de la curvadenivelF= 1,100.

39. En la ficura se muestran curvas de nivel del dreade la superfici€ del cuerpo hunano (€r m2) en

funci6n del peso r (€n kg), y la estarura,r (en cm).Utilice este sistema de curvas de nivel para calcular rprorimadamenre el i,ea dr la.uperlicrede su propio cuerpo. Compare este crlculo conuno mAs preciso que se obtiene usddo la l6rmulade Dubois y Dubois

s:0.007184J0{L015

CMm .t?

tdonde G esla consianle de lagralitacion- icuen'tas variables independientes ha) en esra expre

si6n? Tomando My n como conslantes, describatas superficies de nivel de Ia funcidn resullantede x, r, i. i,cudl es el sisnificado fisico d€ esras

supert'cies de nivel?

16 Secin la /e, d€ /os cdses i.leales,la ptesi'n P,elvolumen t/y ]a temperarura lde un sas ence',ddo e.r.in re.acionaJd\ por la ldrmulc P/ -

La frontera superior de la resi6n semicircular quese muesi.a cn la fisu.a se maniene a una iempe-rarura lo'C, y la frontera inferior, a 0'C. A la

40.

194 CAPTULO 16 t DERIVADAS PARC|ALES

larsa, cuando se atcance el estado estaciondtio.laiemperatura ren unpunto (r, ),)de laregi6n

T{\,1)-:ttLrl

Demuestre que las isolermas son arcos de circun-ferencia que tienen su centro eD la pafle posirivadel eje,r, y pasar por los runlos {-1. 0) y (1, 0).

Trace la isoterna corespondiente a la lemPera

l, .lr ..l

ffi frurss y coNTrNurDAD

Sea /una funci6n de dos variables y consideremos /(n. ,r) cuando (x, ,y) varia denrrodel dominio D de /. Como un ejemplo fisico, supongamos que una ldmina de meral

xotlct6x or lfiltrr 1to.ly lim flx, t) = L.

L{M NA IE{4PEPATURA

I nEMEr.r

. r+

_1+,t

plana tiene la forma de la .egi6n D en la Figura 16.14. A ca-da punto (n. l) de la lAmina Ie corresponde una temperatura/(x, -y) que se mide con un rermomelro y se reprcsenra cn eleje r,. Cuando el punro (.y. t) se mueve dent.o dc la lamina,la temperaiura aumenta, disminuye o permanece constante\ por lo lanro. el punro en el eje h .orre.ponoicr l( a I {r, r ,,s€ mueve en la direccjdn posiliva, en la direcci6n negativa opernranece quieto, segnn et caso. Si la tempera.ura /(jr, /)se acerca a un valor lijo t cuando (x, ]) se aproxima cadavez mes a un punlo fijo (a, r), emonces esro se denora co,mo sigue.

Eslo puede leerse: el limi{e de /(x, ,) cuando (i,.r,) tiendea la. b) es L.

PJra Jf linir (16.1) d( manerd marcnrinLamenre pr(. ird.procedemos como sigue. Para lodo € > 0, considdrese el in-tervalo abierlo (L -., L + E) cn el eje w, como se iluslraen la Fieura I6.15. Si (16.2) se satislace. enronces existe un6 > 0 ral qLtc para rodo punro {\. }) dentro del circulo deradio 6 con cenLro (.2, r), cxccplo posiblemente en (l1, b)mistno, cl valo. de la luncion /(.,r. -)]) este en el intervalo(L E, L + €) Esto equivalc al sisuientc enunciado:

Si 0. \h d)r + {r 1'): <,J.

entonces il1\,.r') J. < r:.

Por io ianto, se tiene lo siguiente.

19516,! Lim t€s y cont nLrdad

DEFINTCT6N DE 16.3)r.iMrrE

Sea/ una lunci6n de dos variables definida en todo €l

intedor de un circulo con centro (a, ,), excepto posible-

menre en (d, ,) mismo. El enunciado

trm l\x, !) = L(,. i)_(d, r)

significa que para todo. > 0, exisle un 6 > 0 ta1 qu€

ti o<'{r of +(r,-af <a,

entonces lf(x, )'\ L < ..

Si se considera 1a srdfica de/ilustradaen la F;gura 16.16,

cntonces (intuitivamente) la Definici6n (16.3) significa que

cuando cl punto (jr, ], 0) liende a (d, b, 0) en el plano x, -t',el punlo correspondienle (:r, r, /(x, r)) en ta grdfica S de/tiende a (a, ,, /) (que puede estar o no en S). Es Posible de'mostrar que rl e/ /,;?lle L existe, enlonces es ico.

Si/y I son funciones de dos variables, entonces/ + Lf- g, I(t y f/! se definen de la manera acostumbrada vpuede gencralizarse a este caso el Teor€ma (2.15), r€lerente

a sumas, productos y coci€ntes de limiles. Por ejemplo, si/ v i7 ti€nen limite cuando(n,lr) riende a (d, ,), entonces

Iim [/{-Y, r] + t(\. r)l : lim /(r. -r') + lim v(r. r).

Lim / ir. r)', /(' ll r, ',-,, rl''i Lmt\"'0, " /1 .') rrm /t\'ll

l,m ,/ . J.' I; ;. ' ri lim ',..,r 'n

U na lunci6n / de dos ! ariables es una fonci6n polinomio si /( x. t ) se puede cxpre-

sar cono una suma de t6rminos de la forma cx-I" donde c es un nimero leal' y m

y'? son entcros no negaiivos Una fnnci6n racional es un cociente de dos polinomios'

bono en ei caso ae tas funcjones de una variable, los limites de ios polinomios y las

funciones racionales de dos variabl€s pucden calcularse por sustitucion'

EJEMPIO 1 Evaluar

(!) iim (\r 4rrr + 5r 7)

ll') lim - :.

I , r..! +,'

195 CAP|IULO 16 ' D€RIVADAS PARCIALES

Solucirin(a) Como xr _ 4xy' + 5-y - ? es un polinomio, podemos calcular el linite ,ustituyendo x por 2 y _1, por -3. Entonces,

lim (rr - 4rrr + 5! 7) = 2r 4(2)(-.1)2 + 5( 3) _ 7

-E 12 15 1= R6(b) Es posible proceder como srgue:

lim (-r'z - -r r)

9_ 16

J lim (.r2 + t,?)tlm .yr' + f-7 1

\r9 + 16

EJEI.{PIo 2 Demosrrar que 1,

rim o ,-! ;i * **.

/(_r. r) :

La funci6n /€s racional; sin embargo, no se pueden sustjruir .r y,r por 0 porque esodaria un denominado! nulo.

Sea (n, 0) cualquier punto en el eje x. Entonces,

t1 -o/l\.01 . ^ J ciempre que \-,0Para cualquier punto (0, l) en el eje /,

0- rl/r0,r-0,f - I .rempreque r,0

5oluci6n sea

Por lo tanto, ro./o circulo con centro (0, 0) conriene puniosen los que el valor de/es I y puntos en ios que el valor de/es _1, como se ilustra en ia Figura 16.l?. Se deduce queel limiie no existe porque sj se toma € = i en ta Definicicn(16.3) no hay ninain intervalo abierro (Z - €, , + E) enel eje )r que contenga a t y a -l. Por lo tanto, es jmFosiblehallar ninerin 6 > 0 que satisfaga ias condiciones de ia de,

La Figura 16.i8 muestra l]na grdfica de/generada por compuradora. Obs€rvesequepara.r+0yl+0iag.ificacontiene-todoslospuntos(x,0,t)y(0,1,,-L),comose observ6 anl€riormente. Puede dernostrarse que todx la grdfica se encucnira entreIosplanos. = lyz=1.

REGLA DE tAs DOs (16.41

TRAYECTORIAS

En el Capirulo 2 se demostro que lim-.-,/ (x) no cxislepara una funci6D con una discontinuidad de salio en t = d,

probardo que limr-, /().) y lim.-,,./(ir) no son iguales.Cuando .e con.dc.3r) ra'c. rir'ire. unrlaterales. ,e pienrd que

el punto sobre ei eje).con coordcnada ). tiende al punto concoordenada d por la izquierda o por la derecha. La siluacidnandloga pa.a las funciones de dos variables es mds complicada porque en un flano coordenado hay una inlinidad de

cur\]as diltrentes o tray€tlo as a lo largo de las cuales (J.. ])puedc ace.carse a (a, b). Si el limite en la DelinicioD (16.3)

existe, entoncesJ(-r:, -v)tiendc al limite Z indepcndientemenle de la trayecloria escogida. Eslo ilustra la siguiente regla

para analizar los limhes.

Si dos trayectorias que llevan a un punto P(.l, b) produ_

cen dos valores limiles diferentes para, enlonces

lim flx, y')

no €xiste.

A continuacion se resuelve el Eienplo 2 usando (16.'1)

EJEMPLO 3 I'rlro. xr qJ( rrru ' l no ",,''.

Soluci6n Si (x, i,) tiende a (0,0) a lo largo del eje Y, entonces Ia coordenada,r

sicmpre es cero y ia expresion (.t2 Jr)/{r'] + fr) se reduce a,t)/.,r) o a l Enlonces,

el valor iimite a lo Iargo de esta trayectoria es 1.

Si (x. r) liende a (0, (i) a lo largo del eje -t, entonccs ia coordenada t es cero v{irr - }r)/(rr + vr) se reciuce a -)'2llr o a -1. Como se oblienen dos valores dift'renles. por la Regla de lat Dos Trayectolias (16.4). el limite no exisle'

Por supueslo, pu€den escogerse otras trayectorias que llegan al origen. Por ejem

plo, si (r., J) tiende a (0, 0) a 10 lareo de la recta I = 2-Y, entonces

r: - -r: . r2 -'1r: lr: l_\r I r.z t: r.:1\r 5rr 5

y por lo lanto, cl limjte a Io largo de la recta -r' = 2x es i'Para dar una solucidn alternativa, podenos cambiar la expresi6n en rr yJ, a coorde

nadas polares como siguc:

r: r, r: cos. t/ l..nr , .u., , sen: 0 : cos 2Lr.rt + ].,

Cuando (x,l) - (0, 0) a lo larso de cuatquier ravo, - k, el valor de la luncion es

OFRIVADAS PARCIALES

siempre cos 2k, y por lo lanto, /(n, l) tiene €ste valor limile. Tomando valores apro-piados de k, podemos hacer que /(.rr, /) se acerque a cualquier valor entre I y l. Entonces, por (16.4), el limiie no €xisle.

EJEMPI,O 4 Demo'rrd- aue I;m no c\i\re.' ..,o.o-'-t5oluci6n s' l). J r riende a r0, 0, a lo lareo de cualquier recra u - nj: que pa.cpor el origen, vemos que sj m + 0,

, \ (,4\)Im ll-n

0- lim -n--\tu,

Podria suponerse que el limite cuando (x, -r) tiende a (0, 0) es 0. Sin embarso, si (jr, f)tiend€ a (0,0) a lo largo de la parebola I = x2, entonces

\ L \:)lim --:

lim';:;;"'-r': -; rr\-:':

: rim 1: 'r' 1=1_, .,,, ", 2," , , .,o I l

Por lo lanto, no todas las trayectorias qu€ pasan por (0,0) lievan al mismo limite yenlonces, por la Regla de las Dos Trayectorias (16.4), el limite no existe.

(i) Punro inrerior de R

"1'_,'

l-- -lii) Punlo ei la tonrera de i

Si R es una resi6n en el plano ).1, €ntonces un punto(a, r) se denomina punto interior de R si existe un circulocon centro (.r, ,) que s6lo contiene puntos de R. La Fisura16.19(i) itustra un punto intenor. Un punto (d, ,) es un puntoetl la ftonlera de R si cualquier circulo con centro ( d. , ) contiene puntos que esten €n R y puntos que no estan en R, co-mo se ilustra en la Figura 16.19(ii). El concepto de punio(a. b, c) interior (o er la fronrera) de una reei6n en /rer di-rnensiones R, se defin€ de manera semejante usando esferas

en vez de circulos.S€ dice que una regi6n es cerrNdr si contiene a iodos sus

puntos en la frontera, Una regi6n es sbi€ns si no contienea r/'rgrr?o de sus puntos en la frontera; es decir, si todo punto de Ia regi6n es un punto jnterior. Una regidn que contienealgunos puntos en la frontera pero no todos no es abierta nicerrada. Eslos conceptos son anAlogos a los intervalos de

t,

t--nimeros reales cerrados, abiertos y semiabiertos.

Sea/una funci6n de dos variabl€s definida en todos los puntos (.r, /) de una re-

si6n R, exceplo posiblemente en (a, l)). Si (4, b) es un pumo int€rior, entonces puedeusarse la Definici6n (16.3) para analizar el limiie ale / cuando (r., /) iiende a (a, ,).

Si (a, b)esunpuntoe laftontera,seusaId Dertnici(in (16.3) con tarestriccidn odicio-nal de que (x, !) debe eslat tanto en el ctTculo de rxdia 6 como en R. Los ieoremassobre l{mites pueden entonces generalizarse para puntos en la frontera.

Una funci6n/de dos variables es conl:nua en un punro inlerior (r, ,) de la regionR sj f(a, b) existe, /(r., /) tjene un limite cuando (Jr, _r) ti€nde a (ll, ,) y

ljm ll\, fl = /{a b).

Esle concepto se puede generalizar para punros (a, b) en ia frontera de R aplicandolas restricciones mencionadas para los limjtes en punros de la frontera. Si R estA conte-nida en el dominio D d€ /, entoncesrtes continua en R sj es continua en todo par (a, b)de n. Si/es continua en R, entonces un cambio pequeno en (r. l,) produce un cambiopequeno en /(r,l). Haci€ndo referencia a la grdfica S de/(v€ase la Fisura 16-16),si (r, l) estri cerca dc (rr, b), el punto {jr, 1,, /(.r, 7)) en S estri cerca de (a, t, l(a, bt\.Por lo ranro, en la grdlica de una funci6n conrinM de dos vadables no hay hoyos ni

Se pueden demoslrar teoremas sobre ld continuidad de las funciones de dos varia-bles que son andlogos a los de las funciones de una variable. En particular, los polino-mios son funcion€s continuas en lodas partes y las funciones racionales son continuasexcepto en los puDtos donde ei denominador es cero.

La discusi6n anierior sobre limjies ycontinuidad puede generalizarse al caso de fun-ciones de tres o mes variables. Por ejemplo, si /es una funci6n de lres variables, seliene la siguienre definici6n.

DEFTNTCT6N (16.51 Sea/una funci6n de tres variabl€s definida en cl jnlcriorde una esf€ra con centro (a, ,, c), excepto posiblementeen (d. ,, .) mismo. El enunciado

lim .flx, ),.) = L

significa que para todo s > 0 exisle un 6 > 0 tal que si

0< (x-a)']+(r-b)2+(z-c\z

lI$, r, z) - Ll < t.

Se puede dar una interpretaci6n grefica de la Definici6n (16-5) parecida a la quese iluslr6 en la Figura 16.14. La diferencia es que en tr€s dinensiones en vezde xn citcu-1t, cn cl plano -rl se usa una eyela de radio 6 con centro en el punto (a, b, .). Especificamenle, para cualquie. E > 0, se considera el intervalo abierto (Z -., Z + €) en eleje w, como en la Figura 16.20. Si (16.5) se cumple, enronces existc un 6 > 0 tal quepara lodo pnnto (J. _f, .) en la esfera de radio 6 con centro en (l1, ,. c), excepto posiblememe para (a, b, .) mjsno, cl valor de la funci6n J(r,1,.) estd en el intervalo(L-E,L + El.

CAPiTULO 16 DER VADAS PARCIALES

La definici6n de limite (16.5) puede generalizarse al caso

d€ un punlo (d, b, c) en la frontera de una regi6n R' agre-

gando la restricci6n de que (jr, -v, .) esi€ tanto dentro de la

esfera de radio 6 como en R.Una funci6n /de tres variables es conlinua en un punto

lnterior (a, D, .) de una resi6n si /(d, b, c) exisle, /(x, ,',, ?)ri€ne un limite cuando (-y,.r,, z) tiende a (a, t, r) y

lirn l\x, r. ): Jla. h.4.

La continuidad en un punto de Ia frontera se define usando

la generalizaci6n de la Definici6n (16.5) para puntos €n la

Puede genc.alizarse la definici6n de limite de una funcion a cuatro o mes variables,pero en esos casos no se dan interpretaciones geom6tricas.

En la Secci6n 16.5 se estudiard la composici6n de funciones de \,arias vadables.Como un ejemplo sencillo, si/es una funci6n de dos variables r. y),, y !/es una funci6nde una variable /, ellonces sus valores se denotan por /(r. ,r) y 1/(r) y se puede obtenerLrna funci6nl? de dos variables sustituyendo l por /(x, /); es decjr, definiendo /i(t, l) =,(/(.,r, ))) siempre y cuando el contradominio de/est6 €ontenido en el dominio de v.Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPIO 5 Expresar y(/(.r. r)) en tarminos de ir y f, y encon!.ar el dominio d€ lafuncidn compuesta resultante.

(a) /1r.I)=-r.], e(r):3r'?+. + I

(b) 11".', v) : i 4r:, ./(r): senrli

Soluci6n En cada caso sustituimos , por /().. r,). Asi:

(a) e(l(.i }.)) : s(r-cr) : lr:err + r?, + I

(b) e(.(r,.r)) : r(] 4.\':) = sen!), 4.!l

El domjnio en la parte (a) es il{ x R. y en la part€ (b) consia de iodos los pares orde-

nados ()r, J) tales que / > 4x'].

Para funciones del tipo ilustrado en el Ejemplo 5, se puede demoslrar €l siguiente

resuitado que es anAlogo ai Teorema (2.27).

TEOREMA ('16.6) Si una funci6n/de dos variables es continua en (a, r)y una funcidn 8: de una va+able es cortinua en /(a, b),entonces la funci6n i definida por r(a J,) = SGG, !))es continua en (a, ,).

El T€orema (16.6) ayuda a verificar la continuidad de la composici6n de funcioncsde varias variables. como el sisuienre ejemplo lo ilustra.

1

+

'+

16.t Lihites v coniinurdad

EJEMPIO 6 Sea r(-r, Jr) = eri Jr'+.vr. Demostrar que, es contjnua en iodo par(a, hJ.

Soluei<in sr aer,nim.. rr,.,, . - 5,r l, r..r/, .,\\L...,qire/,1\,r,,,{/r). },)l . ,'noJ u. un potinorn o. e. rn. t, ,(.or ..onr:nuo en .Jo p"r (J. Aj. \Jcmds a/ es conrinua para todo I = /{d, ,)_ por to tanto, segtn el Teorema 06.61. 11 escontinua en (r, D).

801

EJERCTCTOS 16.2[jercicios l-r0: Calcular el limire si exisre.

r. r- ll?Gr-ioo,31\r

- 2,: rj,, r _,0 r 1.+:1.

'1. I'm - :l,,, ",, l '+ 4r'

s. r,m -''l tsupr..,.,i,, u,", .i u \. + r. coorden,dd, potares.)

6. lio --k,-,o.oir' l r'"

(r 2\ r+l.,,,r',_+L l\ 4r!l

E. lLn, l\ I

-,-,"n5\*+lL'q. r,. r'' -1+\ r,'

10, nr !r liir,I r, Lo! r1-;r.+--

Ejercicios 11,16: Ejccute el andlisis de la continuidad

11. /(r f)- In {r i -r - l)

Iz. 11r y1: -:\.rl''

tl. Itr. r. z): . 1, -r. + t.- :-

la. -(r.l,:) = jrr ran:

rs. /{I. r): \ r!' ' r

16. /(r..r = \ 2i \r rllt. Er la ligura se ilustra u.a Srilica senerada Dor

compuradora de

/i.. rl :. - -tn{!+L)Sise definel(0, 0) como 0, enronces parece que

/es continua en (0,0). lnvesiisu.tiq, _") 10 o,/(r, 'r)

usando coorderadas polares.

FJERCC]O 17

I E. En la lisura se nues1ra ura grdfica eenerada por

jentt,r + rr)/l . rJ: r_rI"p"'d 0.8 . .r - 0.8 ) 0.. /.r - 0rr Pd,.ce haber una "srieta" en la s.aiicajuslo atribadPl o'rE.n \..lle hr, ., ,,. .,. tu.rrdo l- 1.,,,,. n I id L, Jc ,o\o d r.(Sls?rcrdnr Use la Resla de L'Hdpiial.)

UERC C O l3

802 GpiruLo 16 . DERVADAS pARcrALEs

Ejercicios re-22: Encuenlr. hl', )) - a(flx, !)J vuse el Teorema (16.6) para determinar en ddnde es

19. /{r, f): r' r'r. a{rl - {rr a)'r

20. l(\. r') = lx + 2t 4. o(') : ln {t + 5)

:1. /lr,l):r+tan), .,1:)::r + 1

22. /(\. r) : ) ln r. e(w) - ."Lr. sean n\, /J - t: l). rt' c \ h(t\ '

r: - 3/. Ercuenlre !t(.l!, r). h(^x, !i) v

.fkrU), h(t)).

t,t, Sedn J(r,r. zr 2r !P ) .rr,' /: Fn-

cuerrre g(/tr, r. zt)

2s. Sean/(!, !) : ur 3u + Y, elx. r) = x - 2ryk(r.,)=2x+/Encuenrre,(s(.r, l), k(r,.v)).

26- sea l(x, r) = 2x + !.Encuenlre i /(.Y,,), /(r. r)).

Gelcralice la Delinicion (16 3) a las iuncionesde

Demueslre que si/es una lunci6n cortinua de

dos variabl€s y /{4, ,) > 0, enlonces erisre un

ctrctrlo Cen elplano tt con centro (d. ,) tal que

/(r, -!') > 0 para todo par (-r, /) qu€ €stt en el

dominio deJy en C.

Demuesn e, dlrectamenle a partt de la Detinici6n(16.3). que

D€muestre. direcramenre apartir de la Definici6n(16.3), que sjlimG,)(, ,)"(J, )) = L v. es u

nunero .eal arbitrario, entonccs

lid ./(\'r) r1-

21.

2E.

10.

lff,! trnlvmAs PARclAtEs

En el Capitulo I se deiini6 la derivada /'(jr) dc una funcion de rrra variable cono

,, tt tt 1l t

/( l_nmh

Esta f6rmula se pued€ int€rpretar como sigue: Primero se incrementa la !ariablc inde'

pendiente r. en una cantidad l], luego se di!ide enlre I el incremenro corr€sPondientc

/(J. + ll) -/(x) de.t y fiMlmente, s€ hace tender l? a 0 Para las luncioncs de larias

vadables se puede aplicar un procedimicn(o analogo Asi' dada /(-r, -t), primero se in-

crementa ll;a de las variables, digamos x, en una cantidad /r, luego se divide enlre l,

el incremento corrcspondienle /(n + ,. ] ) - ./( -r, I ) de /, v iinalmenle ' sc hace lendcr

/, a 0. Esto ll€va al concepto de la cteiva.la parcial f"lx, r) de f con rcspecto a x, q.Je

se define en (16.7). Para la variable } se eigue ur procedimienro similar'

DEFrNrcr6N (16.7) Sea/una funci6n de dos variables. Las primeras d€riY5'

dasparciales de/con respecto r'xv avson las frrn'iones

,vtd€finidasPor.. lb + h, y) -.f\x, J')

/"{ Y, Jr) = r,m

-

n-. .. flr, ! + h) l\^, t)

J,tx. yt = tt):l-- ---- h

En la Defuricion (16.7), r y r, son lijar (pero arbilrariat y, es la inica lariable.Por csle motivo se usa la noracion para limiles de funciones de una yariable en lugarde la noiaci6n "( x, t) - Q, b)" que se p.esenr6 en la seccion anrerior- Si se tomaJ, = 6 y se definc una funci6n g dc una variable por s(r) = /(n, b), enronces !/ (r) =f,(x, b) = J,g. r). Asi, pan dete nina| f,(x. t) se considera I como una constan-te .r se de \)o f(x, r\ con respetlo a -r. Andlogamente, para deterninar ftlx, l) laraiable x se considero cotno na conslunte ! f(x, r) se detiya rcn rcspecto a I. EsIemdtodo se ilustra en el Ejcmplo L

En el siguiente recuadro se presentan notaciones comunes para las derivadas par-

NOTACTONES PARA (16.8)tAS DERIVADAS

PARCIAIES

Si lr = /(x. l), entonces

"udJ', 3x. J| - a]

a awf\lx,t\ = ax.f(x,r) = a, =",

a a||/,rr. t) - -

ftx. v\ - -

- wr.d] - ' (tl

Por brevedad. se mencion^ a AI/Ax o Afidt simplemente como parcial def respet-/o a J., o bien respecto a !, respectivamentc.*

EJEI{PIO 1 Sea /{jr,l,) = .irr'vr 2i2r + 3jr.

(a) Encontrar /,{jr.,v) y r(jr. r). (b) Calcular l,(2, l) y r(2, -l).Solucirin(lr) Consideranios a -y como una constante y se derjva con respecto a n:

l.l\' r') = l\r\: '1\r + 3

Considerando a r. como una constanle y derivando con resp€cto a -r, obtenemos

/,lr' r) = :-\r-r 2\l

(b) Susriruyendo x = 2 y ) = -l en las expresiones de la parte (a),

lJ2. l):3{2)1 l)r 4(2)( l) + 3:23/,{:. ll:2(2)i( l) 2(rlr: 2,1

Hay f6rmutas para las derivadas parciales parecidas a las d€ las funciones de unavariable. Por ejempio, si u = f(x, y) y ! = !(,y, f), entonces la Regla del Productoy ia Regla del Cocienle para las derivadas parciales son

- {ar):,. r,ia ii

' /11 " "

i rN. d0 R,) El smbDlo iJldr o ,,ra ! et 56lo or..a.ional. El simbolo d que inrerviene !nilogantenrc! ln I en la noracjrin de Loibnrz se ilama d de lacobi y t\ una nrodilica.ion de Ia letra d aplicada por

.ne n,arr rdrico pa.a denoar la dellada Darcial. Desde lueso, r/ra d A/dj I

I., 1,., 1

I+"

CAPTI]LO 16 " DER]VADAs PARciALEs

o, con la noiaci6n de subindices,

\t.,.. ,r...41 , (l-" .'La Regla de la Porencia para las derivadas parciales es

lnt:",t''!!ir ''-' '' lrdonde n es cualquier nLimero real, De manera parecida,

?aulfr- cos!: s€nr-

EJEMPLO, obtener -

para w = xy2e\.

Soluci6n Se escribe '' = ().]'])(e'i) y se deriva:

' " : 1',,,- id.,t+(e''l:' L\r':)._! .ri a)

: xt'?(r'e")+."r(2x-rJ: (rr + 2lxl."' '

A conlinuaci6n te aplica la Definicion (16.7) al ejemploftsico que se dio al principio de la secciSn anierio.: /().. /)es 1a temperatrua en el punto ().. l) de una lAnina de metalplana que s€ encue tra en un plano xl. N6tese que los pun-

ios (x, t) y (n + ,, /) est6n en una recia horizontal, comose indica cn la Figura 16.21. Si un punto se lrueve horizon-lalmente desde (r, ,v) hasta (Jr + lr, /), entonces la dilerencia:nx + h, !) - f(x, r) es el cambio nero de la tenpera-tura v se tiene

de la tempcralural

Por ejemplo, si la temperatura varia cn 2 grados y la distancia,/, es 4, enronces el cam-

bio nedio de la temperalura desde (x, l,) hasta (Jr -F ,, .tJ) es , o sea Asi' en p.o'zedio, la temperatura varia a raz6n de grado por unidad de cambio en la djstancia.Tomando el limite de la variaci6n mcdia cuando /l iiende a 0, se ve que I(r, l) es laraz6n o tasa de cambio (instanldnea) de ]a tcmperatura con respecto a la distancia cuando

e. punro {.r. ,, lr drrcccron hori/onraiAnrloganente, si un punlo se mueve sobre una recta ver_

tical desde (-r, J) hasla (n. y + i), como se muestra en laFigura 16.22, se obtiene

1'

L'

Variaci6n media

/(r + /r. f) /(\, r)

4\l+/,) l{i-r1'

1

lHaciendo render i a 0, se ve quc r(jr, l) es la tasa de cambio (instantdnea) de la tenrteratura cuando el punlo (-!, l)se mueve en la direcci6n verlical.

flGUn t6.t3

16.3 Deriv.daspdrcldres 805

Como otra aplicaci6n, supongamos que, represenra la superfjcje de un iago y que/(jr, /) es la profundidad del agua bajo el punto (x, /) en la superficie. En este caso,,(r.,,) es 1a tasa o intensidad con la que varia la profundidad cuando un prnto sealeja de (jr, ,) paralelament€ al eje x. Analogamenre, /,(j, l,) €s la tasa de variaci6nde la profundidad en Ia direccidn del eje y.

Consideremos ahora una inlerpretaci6n geomdrrjca dela Detinici6n (16.7) en tErminos de la grifica S de I Para iiustrar t(r, /), considerenos los punios M(x, t, 0) yN()., / + ,, 0). EI plano paralelo al plano.}'l que pasa porM y N corta a S segin ia c"i.1 C (vtase la Figura 16.23).Sean P y 0 los puntos de C que tienen proyecciones M y Nen el plano j./.

si se introduce un sistema de coordena.i.,s rectangulares

en el plano qu€ contiene a M, N, Py 8, entonces la p€ndien-

te mpe de la recta secant€ ipa ertre P y O es

,, ^r.

! + lr) - /(r, }lnpa_ _ h

El limite de npQ cuando ll tiende a 0, es d€cir, la derivada parciai r(x, ]), es la pen-

diente de Ia recta tangente 1 a C en P.Anelogamenre, sj C es la lraza de S en un plano paralelo al plano x. que pasa por

M, entonces i(x,l,) es la pendiente de la recta langente a C' en P.Las primeras derivadas parciales de las funciores d€ ir€s o mds variables se definen

de manera parecida a (16.7). Concrelamente, todas las variables menos una se conside'ran constant€s y se deriva con respecto a la otfa variable. Dada /()., /, z), se pueden

encontrar r, t y I (o equivalent€roente, A.f/Ar, Af/At y a/Ar). Por ejempto,

i _,/r1 /..r.-r/-{, r' 7r _ lim ': ' ''

h

Como una aplicacj6n, sea /()r, ),, z) la temperatura en el prnto P(jr, /, r). La de-

rivada parcial r(jr, -y, z) es la tasa de variaci6n de ta temperatura con respec.o a Ia dis

tancia a lo largo de una recta qre pasa por P y es paralela al eje z Las derivadas parciales

f,(x, y, z, f ft6, r, z) son las tasas de variaci6n en la direcci6n del eje rr v la del eje

-r, respectivam€nie.

EJEMPTO 3 Sea w : x'zl3 senr + er'. Encontrar awlar, Aw/Ar y A||/d..Soluci<in pro.eaemo(como.igue:

considerando r y z como conslartes: i-I : z-*1t."". + .""

(on{der"ldol} r como fon\ranre\:

( onslderando r J I como con\lan'e\:

Si/es una funci6n de dos variables n y /, enlonces /. y t son tambi€n funcionesde dos variables y se puedeD considerar rr.r primeras derivadas parciales. E las soo las

s€gund$ derivdas parcirles de /y se denotan como sigue.

806 aApiTULo 16 . DERVADAS PARCTALES

sE€uNDAs (16.9)DERIVADASPARCIAIES

{t=u,t,=t.=

lr = <r,t, = r,, =

a,d" J, r./,,, - J.r -

] r, = rt,," = t,, =dt

a I dt \a- l*/+(#).l,,,)a laf\dv \ av I

arf77

azfay ax

arf- Arat

arfar'

Si lr = /(jr, f), se escribe

ir rl:u^./l .r) /.( . ) ,'..

..r' ,'"'- r''. t

N6tese que rr signilica quc primero se derila con respeclo a). v luego con respec'

to a /, y que /"" signilica que se deriva primero con respecto a I v desp es con res

pecio a x. Cuando se usa la nolacion "a", cl orden es al relas, es decir, para encon'

lrar aTajrAl se deriva primero con respecto a ]' y despues con respecto a rr.

"/.1 r l. se ilaman segundas derivadas psrcialcs mixtas (o cruzadas) d€ / (o sim

plelrlenrc, parciales mixlar r/e/). El siguienle teorema afirma que, en condiciones ade-

cuadas, las parciales cruzadas son iguales, es decir, elorden de derivacion no altera el

resulrado. La demostracion se pued€ consultar en libros de Cdlculo avanzado.

TEOREMA (16.10) Sea /una furci6n de dos variables x y I. Si /, ,, ,f', /;,y l,. son continuas en una regidn abierta R, entonces

I'v = f. en n'

I-a mayoria de las funcioncs qu€ aparecen en el Cdlculo v sus aplicaciones satis

lac€n la hipotesis del leorema (16.10). An.{logamcnte, si w = .f(x, 1,.) vl tiene se

gundas derivadas parciales cont;nuas, entonccs las parciales nixtas o cruzadas salisla-cen las siguienter isualdades:

i:rr i':r rllr' iru ritrr i':'r'I i

EJEMPIO 4 obtener las segundas derivadas parciales de/para

./(_r. r,l:.rrr.r - 2rr] + }.

16.3 Derlvadas pdrcidles 807

Soluci6n Estudiamos esta funci6n en cl Ejemplo I y obtuvimos

/.1r. r') =3r:r: 4\1 +l y /,(r..r)::\rr l\r.Por lo tanto,

ill"(t. r'l = - 1,(r. rl = ;i (l\r-}'? 4rr + 3) = 6.ryr 4r

ia,.r .. '-1.,".rr- lr'' .i d\i-rr-b t 4\

, ',.ll

.,,..,' ,..''. I ' r br:J ,r'

t,,.r'. rr: - lJ'. r)= ir (l\rr. r\r) -1.\r

Las derivadas parciales de tercer orden y de 6rdenes superiores se definen de mane-ra parecida. Por ejemplo.

i i //'rl\ .rl-.;

^. = /-, = ri l;ia j : ,.,,.

|, -, -- ""\- 'll\ ','/ ,,

etcetera. Si la primera, la segunda y la tercera derivadas parciales son continuas, enton-ces el orden de derivaci6n ro afecta el resultado de las segundas derivadas, es decir,

/...-./,.. = 1"." v "4.., =./",, =-/,,,

Por supuesto, se pueden usar letras diferentes de )r yf para las variables independien-r€s. Si /es una funci6n de / y r, enionces

son los simbolos de las derivadas parciales.Para las parciales de funcjones de mds de dos variables se usan noiaciones semejan-

tes y se ti€nen resuhados andlogos.

EJERCTCTOS 16.3

Ejercicios I-lE: Obtenga las primeras derivadas paF .t. /tl, r): (r]\) (\t)cialer d€ t s. /tr, I) _ \.i + rsen \

l. /(\.O-2\r.fr \rr*lr+r 6. /(.r.r.r=.11 \rr /. .r.l 7

3. /1,,t:\rrir. s. l1r. n) = arcran (,,,rr

808 cApiTULo 16 . DERVADAS pARcrALas

9. ./(\.I )- rcos 1\ r)

lo /1\, fl: .,{r Lr se. r11. ilr. r Il: f:rr'..r /

j /(!. I r) - l{r rrt (i 'sen lr)tl. /(\.r';)-{r'r | "rl't1. /1. r. rl : (lr - lj)""15. /{r. r.: .r.' r!'+:f'16. /{,.1.,. fr rLtanr+\*' i()slli7. /1(.r.\t :sen'.4 -'.',,,'1E. /lr. r. :) ' \f:r!'

Ejercicios l9'Z: Verifiqle que vrr, = ,rr

It. | : rlr :\'r'+ 4\' lr

2t. r -rrr r' ,r :cosr

22. n .. rrf '+ ll,{\:rrrl23. tr : \r ..-.h {: n

14, r-1:r+r:-:l25. Sea a - l!:'rr i. z.rriz? l,r. Ilalle !t/,.

26. Sea r = !au: - 3rv1rr- Halle .,,,,.

27. Sea,r = ! sec/r. Haile !,,..

2E. Sea v : -r ln(r: + z1). Obl€iea t,?.

29. Sea , = sen.{}". ObLenga art/az A} 6r.

30. 5ea *, = r:/(-i,r ' rr). Encuenre arr./r: i]r:.

Jl. \eb " /r, r l. P . ve, iqle que ",,

12. Sea / = lanrr + zln(, + t). Verifique que

Ejcrricios 3l-36: Una iuncidn / d€ i y } se llada6,i1tdni1 si (a!J/aI]) + (A1tlar:) = 0 en todo cldominio de,a Demu$trc que la funcio, dadA es ar

-13, /ir.rt=ln\.r. rl14. rrr !r.- rrcrxni \r35. li\. rr : ..i \\.rh r i \.n \ .o\li r

36. /1\ ! =.31 Sea | : cos (r - l,) + li (-r + r,). Denuestrc

que {ar'rar:) (a1w/a,r): o-

33, Sea lr = (/ - 2r)r-.r :' o"*o"tr." qu',.. 4b, = o.

19. Sea , - a'r'sen.x. Demuesbe que ?-: t/para lodo numero rcal c

40. La ley de los gases ideales s€ puede enuncia co-

no PIl = rrr. donde , es ei ntmero d€ nolesdelgar, /elvolumen, ?.la lemperatura, Pla pre

sibn y t una consiante, Demuestre que

it a't aP

,1 aP il

f,jercicios 41-42: Demuestre que ! satisface la P.ru-

,lrL , t'rr--rj

:'- 'ta

'r1. r : (sen4trxsen rf,)

]t.t:(x atJa + cos(j + ar)

Ej€rcicios ,{3-,i6: Demueslre que las iutciones ! y v

satislacen las e(udciones de Cauchl'Rienann u\ = v"

13. !(r. il: rr - r', (r.rl:2rrLr4" Llr. rr: r'lrr + r:r. dr. r)= rr1lr + rrl45. !l\. r) .- .'.o\ i {r.r)...'senr{6. (r,li: coi \ co$r i + serrsenh r'

, (r I ) : .os r c.sn I ser rscnh I.1?. Escriba rodas las segundas de.ivadas parcialcs de

w - Il'' r' .)48. S€a w = /{.r,,y, r, t, v). Deiina P, como un

.19. Una lamina de meiaL plana se encuentrr en una

tlaio 4 y la tempe.alura fen (x, r') est, dadapor r = io(r: + l':)':, donde rse mide en gra-

dos r l y y en centi etros. Calcule la tasa de can-q,o o \J rrr rF dc / con r(rpe\ro 0 lr' J'.dn.iden ei punto (1, 2) en la di.eccidn (a) del eje x;

50. La superficic dr nn lago se represetia mediaDreuna region , en el plano x-f de fianera que laprJr-fd, I d.,,, L., )es,1 JdJ. por /rr./, -

l0o - 2rt l-r), .ionde r. ,1, y /(r, /) se midenen metros. Una joven esd en el agua en el pun-10 (4,9). Calcule la rasa o iniensidad con la que

16,3 Derivddas pdrcia es

cambia la prolundidad bajo esajoven cuando na-d, en ld dire.cidn \d) d(let! \: (b)del qe r.

51. El pot€ncial el€crrico t/en un punlo (x, /, i)es-td dado por t/ = ln/(x, + /, + :,), dorde rse mideen volts yr._1,. ren centimetros. Calculela -dlon de .drbio de / con re.pe.lo d la di-,an.rr' en er pdn,o P(2. 1, l) cn ld direccidn(a) del eje ! (b) del eje r; {c) d€l eje z.

52. UD objeto se encirentra en un sistemade coo.de-nadas recmngulares y la temperatura ?enelpun'to P(x, t. z) estd dada por 7 : 4xz t2 +16z:, donde I se mide en srados y i. /, . en

centimetros. Calcuie la razdn de cambio de lco!rcspecto a la djstancia en el punto P(4. -2, l)en ladireccidn (a) dei ejer: (b) del ejeli (c) del

53. Cuando una chimenea de/l metros de ahura aJro'jahumo queconiiene un contaminanre, como el

6xido nitrico, a laldga,la conceniraci6n C(i, z)(en Fe n r der con.an,inar re en un punro o I l.l6netros de la chimenea y a z metros de allura(v€ase la fisu.a) se puede tepreseniar po.

809

51.

.r.,.r: '1 i,,

donde 4 y b son consranles posilivas que d€pen'der de las condjciones atmosfericas y de la |asa

de enisi6n deL contaminanre. Suponga que sa.

""' lCalcule e interprek acldr y aclar en el punto(2, 5).

t;"

IL____'---

(,.i

5'1. En el:mdlisis de algunos cifcuitos eldctricos se uti'liza la tdrmula .t : r,,!'Rr * /-i,r , donde /eslacorriente, I/la tensi6n o voltaje, R larsisten-cia. -L la indu.rarcia y d una consiame posiiivaCalcdle e inlerpreie ,1/AR y a/al.

a5. En la ingenieria de carlel€ras, al esludiar la pe-

neiraci6r del coneelanienro en los caminos, larempe.a:ura ?al tiempo r en horas v a una p.o-

59.

lundidad derdetos esrd dada aproxinadmenle

I : 7r. "sen ld -;\rdonde I,, d y I soD constanres. EI periodo de

sen {oi Ir) es 24 horas.

la\ Calctle e i etptete aT/at y AT/ax.(b) Denueslre que ?ratisface la ecuaci6n del

calor en una dimensidn

;'f i.T-=/ :- Pa.a una constante k

56. Demuestre que cualquier luncidn dada por

r': lsen,rl(cos rr). ;:*:'

satislace Ia ecuaci6n de Laplace en rres dimen_

irrl ir,1. r:rr--+- l:;:0

La capacidad vital l/de los pulmones es el ma_

yor volunen (en ml) que se puede e{halar devpu6s de una inhalacion mAxima de aire. Para unhombre lipico, I'est6 dado aproximadanreniepor v : 27.63! - O.tr2xr, donde x es la edad(en anot y ] Ia altura (en cn).(a) Calcule e interprete A t7dr.(b) Explique por qud AITdl es dificilde inter-

La intensidad delailuminaci6tr solar 1(r, ,) (en

luxet al ti€npo I en un dia claro y a una pro_

fundidad xen el ocdano esle dada aproximada-

/(r. r) = 1". t'sen3 (rtrD)

donde ,Io es la inlersidad al medio dia, , es la

duracidn del dia (en horas) y & > 0. Suponien-do qu€ /o = 1000., = 12 y k = 0.10, calcuie. intetptela AI/ y a1lax cuando I = 6 horas

Sea C la traza del paraboioide i = 9 - r: /':en el plano r = 1. Obiensa ecuaciones peam6'rrjcas para la recla taneente 1a la curva Cen elpunlo P(1, 2. 4). Esquemaiice el paraboloide, la

curva Cy la recta /. (Srse/€rcic: vdase ia Fisural6_23.)

Sea C la faza de la e.6lica de

. -. 6 1t' -,t)'en el piano / = 2- EncneDtre ecuacione! para

mericas eara ia recta ra senle / a la cuna C erei punlo ( 1 , 2, Jll). Rep.esente la supe.ricie, la

60.

810 CAPITULO 16 ' DERIVADAS PARCALTS

ll$ rxcnsMiNTos y DlrrnexcllrrsSi/es una lunci6n de dos larjablcs \-y-f, entonces los simbolos Air y A-t'dcnolanlos increnentos dc I y ']). N61cse que A/ cs n incrcnlento de la variable independienleJ y no es lo mismo que se delini6 en (3.20) para rna ratiable dependiente ]r. En termi-nos de esta notacion de incrementos, la Definicion (16.7) se puede escribir

EI incremento de 'r,

ornxro6x lto.try

' /1'

/i('. rr= rim, l(\r 1^rr lll ll

= /(j, r) se define cono sisue.

Sea }' = /(jr,.l,) y sean A). y A), los incrementos de ry], respectivamente. El iocremento Al' de }' = f(.r, /)

AD - Jii. + ^x,r

+ Ay)- f(x,r\.

' ^rr Il ll\tlA\

N6tcsc {tue el incremenio A n represeDta el cambio en elvalor de la lunci6n cuando (r, /) varia a (J + Ax. _r + At).Si se suponc que/(x, t)es la temperatura en el punro (jr,l,)de una ldmina de metal ,, como se muestra en la Figural6-24, entonces A l1, es cl cambio neto en la temperarura alpasar dc ().. _r) a (jr + ,\r,.}] + At).

EJEMPTO 1 Sea x, = /ljr, /) = l-v: xr.(:l) Strponicndo quc Ios incrcmenLos dc -r y J, son Ar y A_r,

(h) ApUcar Aw parr calcular el camb;o en J(r. -r) cuando(i',.) ) !aria de (1, 2) a (1.01, 1.98).

Soluci6n(e) Usando la Delirici6n (l6.ll),

dn = l(.r + Ar-. r' + A) ) /(\. J )

- [](.\ + ^\)tr

(\ + ^\)(r'+ ^)jl [3.\] .!.rl

= ll.\r + 6\ A\ + l{.\\l:tri + .Y,\r'+ r A\ + A\ Alil 3\r + -\r'

: 6\ d\ + 3(Ar)r r Ar'.. r'Ar At AL

(b) Si (,r,l) varia de il, 2) a (l.01, 1.98), se tiene la sirua-cj6nilustradaenlaFieura.l6.25. Susrituyendox = 1,/ = 2,

1,,r' _iil, '+'l

^=.f J'l' -1'

f- .J't

81116,4 lncrem€ntos y dlferencla€s

air = 0.01, Al - 0.02 en la lormula para ,jw,

,{tr:6{r){0.01) + 3(0.01)r (ll{ 0.02) 2(0.01) {0.01)( 0.01)

: 0 0605

Este nrlmero puede enconlrarse tambien calculando /(l 0l' I 98) /(l' 2)

La f6rmula para Alt en la Delinicion (l6 l t) s6lo sirve para calcular la diferetuia

de los ralores funcionales en dos puntos No es adecuadapara oblener resultados sobre

la variaci6n de /(r:, l). El siSuiente teorema da una formula mds utiL en las aplicacio-

nes. eara simptilicai et enunciado se utilizan las abreviaciones !r v €: para ciertas fun-

ciones de A:r y 4,r,, y para sus ralorcs q(Lx' A-t) y Er(Ajr' A-v) en (A)r' a-!)'

TEOREMA (16,12) Sea r, - /()., -r,), donde/es una lunci6n definida en una

regi6n rectanguiar

R = {(x,}):d < x < b, c < J < dJ.

para la cual I' y /y existen en toda R v son continuas

en el punto (n0, -t0) de R. Si (-t0 + A)., /0 + a/) es

trienRy;!ri = /(xn r An, -v0 + ,l.l) - /(r:0' /0),

A' = i(r:o, ,v0) ajr + t(ir0, )0) Ar + €r Ax + ,2A]

donde rr y E, son funcionet de Ar y A/ que tienen li_

nir€ 0 cuando (jx, Ar) - (0.0)-

Demostraci6n La grdfica de R v los puntos que se qure

ren considerar esten en la Figura 16.26

Restando y suNando /1-Y0, -v0 + a-t), cl incrcmento aw

de {16.11) se puede escribir como sisue:

(!) An = U(\,i + A\. ro + dl) - /(:\o. ro + Ar)l

+ U(\o. r" + Al) - /(.!0. r"ll.

Luego se detine una funci6n a de u'd variable x corto

t/1\) = /(\. r,) + Ar) Par't ir < \ < h

Resultaque 4(-Y) = J'(r.l'0 + A'!)parad < -r < '

Aplicando elTeorema del va

lor Medi; (a.12) a g en el inlervalo l'r0, & + AII' se obtienc

r(\. + a\) !/(!o) : ./ l'lA\

oararertre.\ ) \' lY como r''r /r\' v lr' r\r / {r' t lr)i"

".,racion anterlor puede c\ctihrrs'

(b) /(\0 + ir. rl) + A1J /(ro lo + jr') = / (r' r' + l1) A\'

j-- r

81' CAPITULO 16 ' DERIVADAS PARCTALES

Asimkmo, definiendo r(.],) = ,(r0, r) para . < , < 11, se tiene h'(./) - f{xo,tl.{pli.a10o el leorema oe Va.or \4edio a la Jllcron I en el rntrrvalo lto, -yo Atl,

i(-f,, + Ar) /](]o): /r'(r)^l

para r enire l0 y /0 + Ay, o equivalenlcmente,

(c) /(\0. r. + all /(\o, ro) - t(ro, r) ^r.

Suslituyendo (b) y (c) er la expresi6n para Ir en (a),

(d)

,'" ',: . |, 6, = i('r, )o + Ay) -

^(ro. ),o)

t = [(xo, ,t l;(ro, ro).

Aw = /,(ll. lo + dy) d:r + /,(-ro. d AI.

La Figura I6.27 muestra punlos tipicos correspondientes a(r,lo + A),) y (iro, r).

Sean €r y rr funciones dadas por

Usando el hecho de que,/, l,! son continuas y norando que u - j0 y v - _y0 cuandoAx- 0 y A'|,-0, respectivamenre, puede demostrarse que Et y rr tienden a0cuan-do (Ax, Al) * (0,0). Si las ecuaciones anteriores para €1 y €2 se escriben como

i(,. )o + Al, = /;(ro, r.o) + €1

[.(ro. ,,) : l;(_r{,. }o) + ,,

y se sustiluye esto en la expresi6n (d) para Arr, se ve que

^N = [ t r]0, _r.ol + r,l

^j + [t(ro. ]o) + €,1

^r,que lleva a la conctusi6n del teorema.

EJEMPI,O , Sea w = 3x'?- x/. obtener expresiones para rr y ., que satisfagan laconclusidn dei Teorema (16.t2) con (r.0, 1,0) = (r.,.',).Soluci6n De la sotuci6n del Ejemplo t,

An : 6r A\ + l(Ar)'z r Ar , ] Ar , \ ii,.que tambien se puede escribir

A'r=(6r-))A.r+( r) dJ + (3 Ar)l^r) + ( Ax)A).

Esto eslii en la forma del Teorema (16.12) con

i(r. _r) - 6r - r,. .4(r. r) : r.,i,:l^\. i:,:( ^-r).

N6tese que.r y r? no son [nicas pdes lanbien se puede escribir

dn = (6r r')dr+l r)iI+(34\-Ar)A\+iOtAr€ncuyocaso:r,:(l \ Ar) y r:::0.

16,4 hcrem..tor y difer€ncidles EIJ

En el Capitulo 3 se d€finieron las diferenciales de las funciones de una variable.Recordemos de (3.22) que si , = /(r) y ,lr es un incremento de -r, enlonces dx =Ax y du = f lxldx. La siguienre definici6n generaliza esre concepto a las funciones de dos variables.

813

DEflNrCr6N (16.13) Sea )r = /(x, J,) y sean Ax y A/ incremen.os de t y l,respectivamente.

(i) Las difercncirles d.! y d/ de las variables indep€n

dientcsryrsondx=Lx y dy = L!.

(ii) La diferencial d', de la variable dependiente lt es

aw Awdw - t.tx. !'aj t l.(t..vl'lv - -I.x d'( ' -o! dr'

Si /satisface la hip6tesis del Teo.ema (16.12), entonces por Ia conclusi6n de ese

teorema con (jr, -v) €n lusar de (x0,10), se ve que

l' : Jtr + L, lr .r rrr Al.

Ar ln -rrA\+r::Ary tanto €r como €, tienden a 0 cuando (Ax, Af) - (0, 0). Resulla quc si A-r y A-| son

pequeios, entonces An - dw = 0; es decir, d- = Arr. Esle hecho puede usarsc para

calcular aproximadanente el cambio en debido a un cambio pequeno de x y ].

EJEMPIO 3 Sea w = 3x: -')rt. Encuenire dw y isela para calcular aproximada

mente el cambio en 'r

cuando ()., r) varia de (1, 2) a (1.01, 1.98)- ic6mo es csia esti-

maci6n comparada con el canbio exacio en ltlSoluci6n Fsta es la misma funci6n que se consider6 en los Ejemplos I v 2. Apiicando la Defin;ci6n { 16.13),

, /,, . ./, "'J.\ l}

: (6{ r') r/r + { *)i) /r.

Sustiiuyendo r. = t,t = 2, dr = Air - 001 v 4 = ^v

= 002 obienemos

d{: t6 2)(0011+ (- lr{ 0.0:)= 0.06.

ED el E.,enrplo I denoslramos que At : 0 0605 Por lo tanto' el error que se colnete

al usar dx es 0.0005.

814 CAP]ruLO 16 t DERIVADAS PARCALES

EJEIIPLO 4 El radjo y la altura de un cilindro circular reclo miden 3 y 8 pulgadas,

respecli\amenlc. con un crror posiblc rn la medicior de 10.05 pulg. Usar dilerencjalespara estimar el error meximo que se comete al calcular el volumen del cilindro.

Soluci6n Ei m6todo es parecjdo al que se uso para las

funciones de una variable lv€ase el Ejemplo I de la Scccion3.,1). aolnenzamos considerando la l6rmula geae,al paracl volunen / de un cilindro de radio 7 y alrura ,, es decir,I, - r/:,1. Considerenos a / )r a, como los valorcs medidos con errores mdximos.1/ y dr. respectivamente en la mcdicion. La Fisura 16.28 iluslra un caso en el quc ./. y ./l1 sonposilivas. Por supuesto, el error en una o en las dos medidaspodria ser negativo. El error en el cdlculo dei volumen es elcambio en I/ correspondiente a dr y dh. Usan.lo diferencia-le.. lerero' qr.e. de acueroo con lo. comenraflo. anienore.a 1a Definicion (16.I3) (ii),

il ,-l\l . ./l - .tr - ,]h - t.,l r. ,]t

FinalmenLe, suriiluimos los lalores especificos de las variables. Tomando r = l, , = 8y (lr = dh = a0.05, obtcncmos la sisuieDte aproximaci6n al error maximo:

./r/ : 48d 10 0a) + 9n( i 0.051 = t: 85n : 18.95 pulgr.

Para una lunci6n de una variable. decir que es dy'ere,l.iarl€ es io mismo que dccirque es derilable, o sea que 1a derivada exisre. Para las funciones de dos variables, seusa la siguiente delinici6n que c(6 basa.la cn Ia lormula par a 1, en el Teorema (16.12).

DEFTNTCT6N (16.14) Sea if = /()., .',). La funcion/ es difer€nciable en (Jr0.10)

si A w se puede expresar en la forma

A}f = i(iru ],0) A). + t().0. .l,0) A_r, + sr ar + €2 A.r,

donde rj y €, tienden a 0 cuando (An, A !) - (0, 0).

Se dice quc una funci6n /de dos variables es diferenciable en una regi6n /l si es

dilerenciable en todos los puntos de R. El siguienle lcorema es.onsecuencia direciadclTeorema(16.12)ydelaDefinici6n(16.la).Elftrminorcsid rcctanquldr sjsnl cauna rcgi6n lomo la descrita en (16.l2).

TEoREMA (16.15) S' )' = /(n,,v) y "t y , son continuas en una regi6nrectanguiar R, enlonces /es diferenciable en R.

El si8uien!e resulrado nruestra que una funcion difcrcnciable es conlinua. quc csuno de los notlvos por los que se usa la Definici6n (16.l4) como definicidn de dileren

81516.4 ncrementos y dlf€renc aes

Resulta que

TEoREMA (16.16) Si una funci6n / de dos variables es diferenciable €n

()r0, -r0), entonces / es continua en (x0, t0)

DcmostraciiSn Sean l,r y .ar lot incremenios Puede escribirsc I' de dos maneras

usando (16.11) y (16.11):

An - r'(.\(, + Ar. r'o r 4I) l(\o. ri)

^I : f/,{.ro, }o) + /jrl

^\ + [lr(\0. )o) + 'j]l .1r.

Si se igualan eslas expresioncs y se loman \ = rr + Ari.l = )o + A-t' enlonces

J(\. r'l ll\o. r,,l : [L(\" ]o) + ,1ll\ ro) + [,/"ir". ro) + r:](r' ]b)

lim [ /(r. r] i\,,.10)l:0

lim /l\, ll = /(-\". ]").

Por lo tanlo, / es continua en (n0, /r).

Si r y r son conlinuas, enionces por el Teorerna (16 1 5), /es diferenciable Eslo

da cl sigujenle corolaio del Teorema (l6 iat

coRorARro (16.17) Si /es una funcion de dos variables v L v , sor con-

tinuas en una regi6n rectangular R, entonc€s /es conli-

Se pucde demosirar por medio de ejemplos que la simple enir/e'cid de L v /' no

cs suficiente para asesurar la conlinuidad de /(vaase el E.jercicio 29) Esto es diferente

cn clcaso de LrDa sola \ariable, donde la exictencia de / inplica la conrinuidad de /La discusion anterior se puede Eeneralizar al caso de fuDciones de mis de dos varia-

bLes. Por.jcnrplo. sea , = /1-Y, -v, z). donde /esli definida en una regi6n apropiada

R (ronn por (:enrp o Jn Ddrdlelcl p.do,: / . J,. /. e\i\r(n en R v \on \^n'inua' en

(\.,.--l S' \' '.. \(rrr.rcre|rrr en _\'L l'r' t l' elc'li\"men[ 'nron'c\el rn

cremcnto correspondiente

\n : Ir\ l 1r.I -F 41. : -f A:) /i\. r.:l

se puedc esc.ibir en la forrna

An : ^1\.

r'.:)]\r + ^(\.

r.:) Ar + l'(\. -r' j) A: + r, A\ + tr AI + xr A:

donde.r, .r I .r sort lunciones de Ar, l.! v l. que lienden :i 0 cLrando (i\-r, A] Az) '10,0,0). Para las funciones de trcs variablcs \e pueden demostrar resulLados anrilosos

a 06.l5)-(16.17).La sisuiente dclinicion es una generalizaci6n de (16 13) para funciones de trcs va'

CAPITULO 16 . DERIVADAS PARatALEs

DEFTNtCION (16.18) Sea w = j.()r, ,, r) y sean Ai:, A.l y Az incrementos det, I y a, rcspectivamente.

(i) Las diferenci{les d.r, dJ, y dl de las variables ind€,pendieniesx,/yason

dx = Lx, d) = Ay, d?. = Az.

(ji) La dif€rencial dlr de la variable dependiente w es

dw ^,1 a, - ?^* dy . a_. ,tr.trx dy dz

Sc puede usar d}1] para calcular aproximadamentc A, cuando los incremenros der, / y ? son pequeiios. La diferenciabilidad se defire como en (16.14)_ La generaliza-cion a cuatro o mds variables se bace de mairera aneloga.

EJEMPI,O 5 Los lados (er cm) de un paraletepipedo recransutar cambian de 9. 6 v4 d 4.02. 5.97 I4.01. I e.nc( ri\ amen.c. U\e dite-enciate, pai. L alcutar ap orimaoamcnie el cambio del volumen. tcuel es ta variaci6n exacra del votumen?

Soluci6n gl mdtodo de soluci6n es semejante at que s€ us6 para el cilindro circularrecto dei Ejemplo zl. Comenzamos con Ia iormula general ,/ = .,r/.? para el volumende un paralelepipedo recrangular de lados.y, _r y r. Luego consideramos r/r, dl y dlcomo errores d€ medici6n. Enlonces, el error en el cdlculo del volumen es

iV .: tly = ). dx + \. t) + xj.!1..

Finalmcnte. susriruyendo los valores especiales .! = 9, }, = 6, : - I, dx = O.02. dr =-0-03 y ./: = 0.01, obtenemos

lrl = 24i0 0rl + t6a_003)+54(0.01):0.18.- 1.08 + 0.5.1= 0.06

Por lo tanto, el volumen aumenra €n aproximadamenre 0.06 cnlr.Ei cambio exacto del volumen es

i/r/:(9.01)(597)(1.0r) - (9X6)(4) : 0061906 .

EJERCTCTOS 16.4

Ejercicios 1-4: Eneu€nr.e los valor€s de., y €r que satislacen la Definicj6n (16.14).

l. .trr.I).-.,1rr ll +tr2. /i\. i): (2\ r)l3. /1\. rl = rr r rl4. t(r..n 2r: {r: - tr

Eje.cicios 5-12: Derermine d-.5. tr: rr \:l + itr6. r:5\r+4r l\rl?, r' rr.en_L + t|r r

E. x k:' l\l

n.rementos y diferencid es

!. n : rr ln (r': !: ) 10. r, - rr)-r- r ., r:11. ! =|:.(r r r :) 12. ! =rr.r.+ rln:13. Use diferenciales pa.a calcular aproximadamen

te la lariacidn en

lh, r.l = !r lrrr.: + 4r - 21.r + 6 20.

cuando (r, )) varia de (-2, 3) a (-2.02. 3.01)-

14. Use dilerenciales para calcular aproximadmen

el ane y en el agua, respeciivamente. Las me'didas son '1 = \2kef y W = 5 kgf, con erroresne{imos de 0.015 ksf en el aire y 0.030ksf en

el asua. acu4i es el eror maimo en el varo. ca,l-

La presib e el volun€D 4 la temperaru.a ]"(en

K) de n! sas encerado estnn relacionada-! porla ley d€l sas ideal P|/ = rI, donde ,t es unaconstante. Calcule el cambio en P cuando I/yr varian de t/ - 6,l cmr y ? = 350K a ?0 cnltr 1.15(, respeclivamente, siendo la presion ini-

l.a.esislenciaeleclricaRdeunalambreesdnec-tamente proporcional a su loneilud e invenanente proporcionalal cuadrado de su didnelro. Eleror posible en la medida de la longirud es de

lq0yenlamedida.teldj4rnerroesde3q0. acualcs el nnximo ero. porcenlual en el valor calcu

En la Secci6n 6.9 se mostr6 que el flujo sangui-neo a travds de una aneriola 6tA dado por f :trPRa,/(8!/), dond€ les la longitud de e*a, R elradio, P ta diferencia de presi6n en los extr@sy ! la viscosidad de la sansre. Suponiendo qu€

r y / son constantes, calcule el canbio porcen-

tual er el flujo, usddo diferenciales, cuando elradto disminuye en 2q0 y h presi6n aumenla en

La lemperarura len el purio P(n, -/, z) en unsistema de coordenadar rectegulares esla dadapo. T = a(2xz + !,v2 + 9:'?1'. Use diferenciaies para calcular aproximadament la diferencia de temperaruras entre los Puntos (6, 3, 2)

y (6.1, 1.3, 1.98).

Calcule aproximaddente el cdbio en el 6r€de un rridngulo is6sceles cuando los dos ladosjsuales aumenta de l0O a 101 y el anc o entreellos disminuy€ de l20o a 119'.

Cuando la cumbre de una moftana se ve desde

el punto P segfn s€ muertra en la figura, el dn-

sulo de elevaci6n es d. Desde un punto O que

est, r unidades fris er@ de la monhna, et 6n'sulo de elevaci6n aumenta a P.(a) Denuestr€ que la altura n de la crmbre es

. sen,entten l/r rl

(b) Un top6srafo mide d y P con una precisi6n

/(J. r,:): r':r ir:r+r r+:r'rrr:

cuanllo cl valor dc (r,.y, i) va.ia de (1, 4, 2) a0.02. r.97. L961.

l<. I o. l.Jr\ de un paidlelepipedo re.raneLl.r mr-den 3, 4 y 5 pies, con un error posible de r!6 depulgada. Use diferenciales para esliftar el errormt\imo en el valor calculado de (a) el ,rea de

la suDerficie del paralelepipedo; {b) el volunen

t6. Los catetos de un tridngulo rectdnsulo nidenJ cn y a cm,

' e.pecli!amen,e. con un dro, po.i

ble de0.02c.1. Use dilerenciales para estimar eleao ndrimo en el ralor calculado de (4, la hipolenusa; (b) el area del tridnguto-

17. Una lata cilind.ica d€ hojalala. sin tapa, tiene undidmetro de 3puls ) una thura de 4 pulg. Usedikrenciales para calcular aproximadmente la.anridad de marerial que hay en 'd lata \ie(ra rie

ne un eroso. de 0.015 pulg.

18. La resisrencia lotal R de tres resislenciss Rj, R2

y Rr cooedadar €n paralelo (vease Ia fislra) es-

1111R R, /{. 8r'

Los valo.es de R,, R2 y rRr soa l0O, 200 y 400 O(ohms), resDectivamente, con ut eror m'iximode l9o en lar medrcione'. Enime el e or mt\i_mo en el calculo del valor de R.

23.

21.

22

24,

25.

La densidad relariva de un objeto esl6 dada por

s : A/lA w),do'de A v It' son sus pesos en19.

Ejercicios 2?-2E: Demuestre que/es diferenciable en

todos los puntos de su dominio

27. f(r. v) : --

- :'+l\+r1:

.IE- / (.. r.:):

-

' r''l r_ +:'2e. Sea t{r, L):

I \I1 siL,.Ll+(00)1!'+ r_

L siL,. ,r : lo. o).

(a) i(0, 0) yr(o, 0) exisLen. (Suzerqria: Lrte(r6.7).)

(b) /no es continua e. (0, 0).(c) / no es diferenciable en (0, 0)

30. Sea /1r.I,, =

Demuestre que t. , y 4 existen en (0, 0, 0)pero/no e, diferenciable €n (0. 0, 0).

de 30'(o 0.000145 rad) y obli€re los valoreso = l5o, p = 20' yz = 2000m. Use

diferenciales para estimar con unaprecisi6nd€ 0.1 m ]a precisi6n con la que debe m€-

dirse la longitud para que el error ma\imoen el calculo de n no sea nayor de l0n.

P ,-a.,'o ,.',1

-.-:-26. Cuardo un nediceenio se ingieie, el tiempo 1"

en el que hay mayor cantidad del produclo en la.angre \e pueoe ca.!ula, el rerminos de la .emr

vida rdel medicamento en el est6mago y la se-

mivida I en la sangre. Para ldrmacos conunes(como la penicilina) Z est'i dado por

- \lrlnr lir)'= r. o":

Pda un mcdi.dreFro en particultu. r l0m ly] = I h. acunl es el na{ino enor en el calcu-

lo de I si el eror n4ximo en la esrinacidn de

las semividas es de loqo?*

i- :': .,,,^ i. )*r0.0,0)1'- + ,',+:',I 0 (' ll. ,.:): (0 0.01

REGTA DE tA CADENA

Si / y t son iunclones de r,?, variable lales que

n =t(r) y !r:a(r).

entonces la composici6n de / con s estd dada por

' : /(t(r))'La derivada de n con resp€cto a ',r se pued€ €ncontrar aplicando la Regla de la cadena

(3-26) como siguer

* (N. de R,) La senivida es el iiempo de reducci6n a la mrt"d . n ,-.d. netial S ld1'a ho oprdmenr'' vidd neoia oorrrodr.c"r rr-or eua" erninoen rele,a{,,'P

16.5 Regd de . cadena 619

En csla seccion se generaliza esla l6rmuLa a las funciones de variac variables.Sean /, ay ,t tres funciones de dos lariables iaies que

!' -- /(a. r). y , ==rt\. Lr. r: t(r, rl.

Si para cada pa. (r, J) en un subconjunto, de R x R, el par (r, y) que le corresponde esr, en el dominio de /, entonces

r' : llr(r. -r). klr. r)l

define w como una luncion (conpuesta) de jr y r. Por ejemplo, si

r' l1:+reinr rnC r:tt,)r. r:r_rentonces rr : Ir?4r + \.z'senr_r.

El siguiente teorema proporciona i6rmulas para expresar,ltla). y trlal en t6rmi-nos de las prim€ras derivadas parcjales de las funciones |], t y /. En el enunciado delteoreDla !c supone que los dominios fucron escogidos de manera que la f|ncio! compuesta estd delinida en un dominio apropiado D. Cada una de las f6rrnulas enunciadasen el Teorema (16.19) se lla]trla Regla de la Cldena.

REGLA DE rA (16,19)CADENA

Si w - /(r,y) y u = sG,r\, t = r()., t), donde /, sy k son diferenciables, enronces

A AN Au +Aw arAr h dx dr Ax

AN aw Au Av, A|d! Au A! Av At

Dcnostraci6n Si x se jncrementa cn ax y -y se manriene consranre (es decir, ar = 0),se obtienen los sigui€ntes incremenlos de, y v:

A! = ,(-! + .\I. l) s(-\. r)(a,

AL : t{\ + ,!:.1) (-r. })

Estos a srl uez producen el siguiente increnrento de i':

Ar : /(, + A,,, + r) /(,. f)

Como / es diferencjabie, de la Definici6n (16.14) se liene que

l-xll..N(b) Alr:: Ae + ,r,:

A. +.1 A! + r,Ir

paracienaslunciones€ry€r:delryl'quetiendena0cuando(X,, ,\')-(0,0).M:isalln, sc puede suponer que €, y €, son 0 cuaDdo (-\,, -\') : (0,0) porque si !o lo son.pueden sustituirse por orras funcioncs pr y p' que lcngan esia p.opiedad y quc sean igua'

8q0 CAPiTULO 16 . DERIVADAS PARCLALES

les a Er y €? en lodos los otros valores. Hecho esto, las funciones €1 y €, en (b) resultan

continuas en (0, 0). Dividiendo ambos lados de la ecuaci6n (b) entre Ax se obtiene

Al, ax & tw Au A At)+.. + L.Ar a! A\ l! A.x AI Ax

Si w se considera una funci6n de t y J, enlonces

. A' blrm;:',

^' ,.'

Tambi€n, de las ecuaciones (a),

.. Lu ?u Au jr,' oA dr d A' ;'

Si Ajr tiende a 0. de (a) se deduce que A, y dt tambi6n tienden a 0, y por lo tartoEj y .? tienden a 0. Por consiguienle, tomando el limite en la ecuaci6n (c) cuandoA). - 0,

;W

La segunda f6rmula en el enunciado

Para recordar la Regla de laCadena(16.19) se pu€de usareldiaElama de dtbolenla Figura 16.29. Para construir ei dia-gfama se lrazal famas (segmentot de 1' a l,l y v, para indjcarque )r es una funci6n de estas dos variables. Como , es fun-cidn d€ ir yf, se trazan ramas deIl atyl. Tambien se dibujan ramas de r a r: y f. En el diagrama se han indicado las

derivadas parciales correspondi€ntes a las varjables m€n-

La Figura 16.29 s€ emplea como sigue. Para erconlraraplar., se toman los productos d€ todos los pares de deri-

vadasparcialesquevandewar,esdecir(awlar)(au/ax)y(a\\'/av)(avlrir),vluegose suman. Esto da

,r i,ir ,"it.r ,r,^ ,lr,r

La l6rnula para a w./r/ se €ncu€ntra usando las ramas que van de ), a /.

EJEMPI,O 1 Sean p = 13 + szyt= pqz, s = p2senq. Use la Resla de la Cade-

na para encontrar altlap y aw/aq.

5oluci6n N6tese qu€ lt, es una funci6n (compuesta) de p v q. Pod€mos sustituirr y s por sus expresiones y obtener

(c)

6w iu tw iI

9'',,/">;+,

"),)-'. r9'''

del teorema se d€muestra de manera an:lloga,

rv : (pq'?)tr + (p'zsen q)']

15.5 R€gia de ta Cddena

-rr'il- /'

'i -/:.

j". r' d' r

1;.. ,t

Sustituyendo r y s,

8r1

y luego encontrar Aw/Ap y aw/aq directamente. Sin em,bargo ei objetivo es ilustrar la Regla de la Cadena.

Como '' es una funci6n de /yr y tanto. como s sonfunciones de p y 4, consiruimos el djagrama de drbol en laFigura 16.30. Consultando el diagramatomamos los produc-tos de todos los pares de derivadas parciales que van de lt

, 1,, .1)r e/ ?$ as

t? it ip is lp: {lr':l(q':l + (2s)(2p sen4)

Si ahora surlitujmos t = pql y s = p2sen4, resuita

'' 1. pq ):,4:, L2fTsenq12p5enql.l: 3P'46 + '1,,rsen':q.

Haciendo referencia olra vez al diagrama de la Figura 16.30,

fN iv tr ,w tstq .t tq .\ .q

: (3r:)(2p4) + (2s)(p']cos 4).

= 3(pq'l'(2p,/) + l(p'sen,l)(p'cos ,1)

t{ ;n a, iw au an, ir-:-,i+i"4-+7;;;

= 6lrq5 + 2P'senq cos q

Obs€rvese qu€ despues de aplicar la Regla de ia Cadena en el Ejemplo I, se sustitu-yeron r y s con lo ctral Aw/Ap y Alrl44 quedaron expresadas en t6rminos de p y 4.Esto se hizo para recaicar el hecho de que D es una funci6n (compuesta) de las dor va-riabl€s p y q.

La Regla de la Cadena poede aplicars€ a las funciones compuestas de cualquier ni-mero de vadables y es posible conslrun diagramas de erbol corno ayuda para formularla regla. A pariir de ahora no se escribi.tn en las ramas los simbolos de derivada par-

cial. Queda entendido que si una rama lleva la variable )t a orra variable r, como en

la Figura 16.30, entonces la derivada parciai correspondiente es , )t/ar. Sin embargo,si n es una funci6n de rd sola lariable r, enlonces se escri-bc dv/dr efl lugar de A),/Ar'

Por €jemplo. sea rv una iunci6n de r, r y /, donde Il,r y r sor cada una frnciones de x, ), y a. Esto se indica en

el diagrama de ia Figura I6.1l. Si se desea encontrar a /r,1,,,e roman io, producro, de lo, parer de derivdda. parcialesque llevan de lr a f y se suman, con io que se obtiene

822 CAPIIULO 16 ' DERVADAS PARCIALES

EJE PTO 2 Sean *,= rr +$, + /r y ,= x'+ lt + zr, s = r];. r' = xe" v

I - t.r. Usar la Regla de la Cadena para enconlrar altl'r'

Soluci6n t'torese que w es una funci6n de /' s' v' / v que

cada una de estas cuatlo variables es a su vez funci6n de x'

-yv z. La Figura 16.32 muestla ei diagrama correspondienle'

Como se desea enconlrar a)'/di, recorremos todas las ramas

quc van de w a z. Esto da

i\' ,ii .1, arr ir ir ir ir rlt

i -;iE+i, i+i;i+ i-= (l,J(l:) + {r]l - (0) + (3rr){2.}':)

:,1:(r' + r: +:r)+ rzrl-{l) + 0 + l(}zr)r(2-r:)

= ,1:(rr + r: + ::) + .YrI!' + 6r'r:'

Si w es una funci6n de varias variabies, cada una de las cuales es fLrnci6n de ll,1ll

sola variable, digamos I, entonces w es una funci6n de la variable r v s€ puede aplicar

a dwl../l la Resla de la Cadena, como en el siguieDte ejempio

.//.\ '., /:,

\,-rl

EJEMPTO 3 Seanrv=-tr + fly.Y = 3r: + t'1= 21 4,r= /r' Enconlrar

Soluci6n Para aplicar la Regla dc la Cadena construimos el diagrama dela figura

16.33. Los pares de ranas que van de }' a I dan lo siguiente, donde usamos el simbolo' ita, pota la dcrivada con respecto a la "i'a

variable t:

/ii tii i1\ i't rl; tu d:I .. 1, ,i

: (lr)(6r)+ :(2)+ l(3rr):2(ll' + l)6r + rr(2)+ (2r ,l)3r']

: 44t1 1\1 + 12!

El problema tambi€n podria resolverse sin usar la Resla de la Cadena escribiendo

tr : (l!r + 1)r + l2l '1)tr

y encontrando lLtego dt't/dt con los metodos de derivacion respecto a una sola va-

riable.

La Resla de la Cadena es nt para resolver problemas de r3pjdez de variaci6n rela

cionadas, iomo los que se discutieron en la Scccion 3 8 El m6todo se ilusrra en el si-

16.5 R€gta de 16 Cadend

FrGUiA.t5.34

L

FIGURA I6,35

Sustituyendo,

8t3

EJEI.{PIO 4 En un circuito el6ctrico simple se lienen unar€sislencja R y una tensi6n l/(v€ase la Figura 16.34). Enciertomomenio l/vale 80 V (volts) y crece a rz6n de 5 V/min mjentras que R es de 40O (ohrns) y disminuye a raz6n de 2 0/min.Usar la ley de Ohn 1 = I7R y la Regla de Ia Cadena paracalcular la rapidez de variaci6n de la cor.ientc 1(en amperes, A).

Solucir5n como res funci6r de t/ y R y lanlo l/comoR son funciones de t (en minutot, se riene €l diagrama dela Fisura 16.35. Aplicando ]a Resla de la Cadena,

dI eI dv aI lRi: i)i dt + ii ,1,

dv lRI.-qn a, <. R r0. f t, :.

/r\,.1r / r\ rR:l^Ja *l clr

11 (.1) ( li.t ' -i ' ,' n "''"

Las dedvadas parcial€s se usan para obterer las dedvadas de las funciones que es-

len dererminadas implicitamenle. Como cn la Secci{in 3-6, supongamos qu€ unaecuacidn F(x, /) = 0 determina una lunci6n derivable /tal que -! = /(ir), es decir,r(r.. /(jrt = 0 para todo jr en el dominio D de/. Definamos la funcion compuesraF como sigue:

r':F(r,l) con *::, r:,1(-r)Esto lLeva al diagrama de la Figura 16 36 Con la Regla de

flGunA 15.36 la Cadena y el hecho de que , y/ son funciones de ,lra va

. ry _ rv du r.L! 'l_vix A l\ ?r /1r'

como }, = l?(x, ,f(;)) = 0 para todo x, resulla qu€ dvldy = 0. Aden.is, como ! = xy y = .flx), se riene que

.la dtI v .' t(),.1\ .l 'Por lo lanto, la R€gla de 1a Cadena para d /dt se convi€rte en

i,r l'!n r')- Jt',

821 cApirulo 16 . DERTvADAs pARCALES

Si Awlar + 0, enlonces (dado que .l = n)

/1e - '141: :"'il = *:+ rltr/.lf .1r,/e} I,(-t, -r')

Esia discusi6n puede resumirse como sigu€.

TEORET{A (16.20) Si una ecuaci6n F()r, 'y) = 0 determina implicitament€

una funci6n derivable / de una variable 1 tal que ) =

dJ F,(.x, Jldx = Flx, t)

EJEMPI'O 5 Enconrrar J' suponiendo que ] = /(r) sarisfac€ la ecuacj6n

lr+l] 1r 5r I:0Soluci6n s; f(r, r) es la cxpresion en e1 lado izquierdo de la ecuaci6n, entonces

por el Teorema (16.20),

.,, 12i!'?-5- l2).':+54)tr+3 4y'+s

Es ilustrarivo comparar esla soluci6n con la del Ejenplo 2 en ia Sccci6n 3 6 que se ob-

tuvo usando m€todos para una sola variable

Dada una ecuacion como

.rr 4rr+2t-7:0,se puede despejar z. obleniendo asi

:-lt \r+,1lr+ 7)

que es de la forna: = /(\. ]l

Por analosia con el caso de una sola variable, se dice que la funci6n /d€ las variables

jr y I estd determinada impticitamente pot la ec'raci6n dada. EI siguiente teorema pro

porciona f6rmulas para encontrar t v, o equital€nlemente' a?,/ax v a./a/, sin des-

pejar I d€ la ecuaci6n.

TEOREMA (16.2 t) Si una ecuaci6n F().' 'f, a) = 0 delermina implicitamen

re una funci6n dilerenciable / de dos variables i y f !a_

les que ? = /(x, -r) para todo (-Y, l) en e] dominio de

Az F,.(x, y, z) Az Ft(x, !, z)ar - 7,tx. r..t' U -- - t ,tt v.,t'

8t516.5 R€3a d€ a Cad€na

Dcmostraci6n La afirmaci6n "F(x, J, z\ = 0 determina una funci6n / tal que

z = f(x, r\" sisnifica qu€ F(x,,t, /(x, l)) = 0 para todo (jr, y) en et dominio de ,f'Se define la funci6n compu€sta F de n v -v como sigue: .

$:r{,.r,:) Y ll:\. u:}'. r-:/(r.})

Observemos que ll v v son funciones de x y / pues se puedeFrGrlRA 16.37 escribir, = Jr + (0. f) y ! =/ + (0..ir). Consultando

,,'/ \ el diagrama de ia Figura 16 37 v recorriendo las ramas que

,/ -_, van de tt a x, se obtiene

,1 " r-\ rr .rcJ u , ,-;\

-' Como u = F(x' l' /(x' ]t = 0 para lodo ir v para to-

do y' resulta que a l'lair = O Adem6s' como aulAx = I y

Arlax = O.la f6rnula de la Regla de la Cadena para altlAt se convierte en

.,i: :l' i': iY, sj a w/ai + 0' entonces

az atr/.,l); r'(x' I';)'x er/t: F.(r' r":)

La l6tmnla para Az/Ay se puede obtener de manera aneloga'

EJE|.{PIO 6 Sea . = /(jr,,r) tal que

r'z:r+xt'2 :r+41:-5-0.

enco\t^t az/ax Y Az/ar.

Soluci6n sl aenotamos porF(t' /, z) a la expresi6n en el lado izquierdo de la ecua-

ci6n dada, enlonc€s por el Teorema (16.21)'

?z 2xz'1 + Y'& 2x>' - 3tz + 1r

r.: 2xu + 4z .it - 2-t'?: 3:? + 4Y

EJERCICIoS 16.5

Ej€rcicios 1-2: Us€ la Regla de la cadena para encon Ejercicios 3-:l: Utilice la R'gla de la Cadena para ha-

iN a /ax \ av/at. lN a\r/at Y Aw/as

t. $:Lsenr. L=r:+tl. ,:x) ll- "'='r+2rr ':/lts r:2r+s

!. w:!!+D2. ,=rsen!. u=lsenr 4 w=.'r" I:r+s. !=rs

846 CAPITULO 16 t DERIVADAS PARCIALES

ljercicios 5-6: Aplique la Recla de la Cad€na para obt€lret Az/Ax y az/ ar.

5.::rr+s+rr,6,.:pq+qtt, p=2r-r. ./=r lr.

\.: 2tr + 2I

EjerciciosT-8: UselaResladelacadenaparaencon'dat a Au, A./av y At/At.

7. r=rh), r=3!+rr. f =!f.E. r=Drcos:.

9. Eyafte Ap/At, donde p : ,1 + 3r2 - 4w2,u: )t-3t + 2t s,y = 2r + !- t + 2s,v=-x+2!+f+s-

10. Evahe dslat, donde s = r/ + ue', t = r!22,r = fyz, u : xtzz, v = va.

Eiercicios 11-14: Use la Reela de ]a Cadena para en

rl. 'r = rr r'1 I : 1,(r + 1), r: r,lr + 1)

12. tr:ln("+ul. u=e 1t, t:t3 i13. w=rr stanr. r:so:r. ::cosr. r=+r14. r: lir:1, -t = 2l+ t. ],: lr - 2,

::5f+4

tjercicios l5.lE: I-ncuentre l' .uponrenoo que I -/(r) satislace la ecuaci6n dada.

15,2rr+xrr+lr=It6. r1+ 2\:.r: 3rlr + l\:0l?. 6r + jrr : ll 4 lE. rrlr + r.2r ?l

Ejercicios 19-22: Encuenlre az/a, y Ax/A! svpor,ierfdo que . = /(r, _y) satisface la ecuacidn dada.

19, 2r:r ll:r + !trJr + 4: = 020. \:r + 2r,), ,11r: + ll I :0

22. )Jr + zr + cos rt.;:421. El radio / y la altu.a , de un cilindro circular

.e.to aumentan a razdn de 0.01 cd/min y 0.02cmlnin, respectivasente. Use la Regla de la Ca'dena para calcular la tasa decrecimienlo del vo-lume! con respecto al riempo, cuando / : 4cmy /l : 7cm. icon qu6.apidez varia el area deIa superficie cuNa?

24. Los lados jguales y el ensulo entre ellos de untriAngulo isdsceles aumenBn a raz6n de 0.1 m/ht 2'lh, respectivamente. Uiitice la Regla de lacadena para evaluar la iasa do cr€ciniento del6rea d€l tridngulo en el momenlo en que la lon-eitud de los lados iguales es de 20In y el rnguloentre ellos es de 600.

25. La presi6n P, el volunen /y la temperarura Ide un sas encerrado estin relacionadas por laley del gas ideal PZ : kI, donde,tes unaconsranr€. \uDonieldo que P) /vaaal con ld rapi-dezdP/dt y d V/ dt, rcspecrivamenre, ercuenrreuna f6.nula para evaiud dzdr, usando la Re-gla de la Cadena-

26. El radio de la base I y la altura , de xn cilindrocircular recto tienen razones de cdbio con respecto altiempo dr/dt y dhld/, respectivdente.Use la Regla de .a r adena para ndllar und toFnula parc dV dt, dolde t/e. elrolumen de ci-

27. Un gas obedece la iey del gas idealPl/: 8l El8a\ (e calienrd a ralon de 2"C mrn ) la pre.ionaunenta a razdn de 1 Gevcn,)/min. En cier-to momento, la lemperatura es de 200oC v lapresi6n es de l0kgf/cm'. Calcule la rapidez decambio del volume! en ese nonento.

26 Por !n acujero de un recipiente sale arena arazdn de 6cnr/hin. Al caer va lormando u!monliculo con la forma de un cono ci.cular rec-to cuyo radio en la base aumenta a razdn de0.25 cm/nin. En el momento e! que han salido40cmr de arena. el radio es de 5 cn. Calcule larapjdez con ia que la altura del nonticulo au-

29. A los dos anos, un nino iipico mide 86cm deestalum, pesa 13 kg y crece a razdn de 9 cn/anoy 2 lg ano U,e la rormula de Dubos y Dubo .

para el erea de la superlicie del cuerpo hunanos = 0.007184x0.4r),0.2r, donde r es el peso y ),es la estatura, para calcular aproximadamente la,dpidez de.rec'Tieflo der ;red de la superf.cie(vdase el Ejercicio 39 de la Seccidn 16.l).

30. Cuando se tienen ea consideracidn el ramano delas molaculas y sus fuerzas de atraccidn, la pre-sion P, el volumen ry la temperatlra lde utmol de uD sas encer.ado es.dn relacionadas porla ecuacidn de wh det Waals

f'r ,L),, r,: ,.

8r716.5 R€gla de h Cadena

donde a, , y t son consrantes positivas. Supo-niendo que I es eltiempo, use la Regla de la Cadena para hallar una l6rmula para dndr en.€tmi.nos de dP/dt, dV/dt, P y Y.

31. Si se conectan n resistencias R,. ,Q2, . , R, enparalelo, entoDces la resistencia totalR estA da-

adf'I 4l

Demuestrequepara r - I,2,., n,

, R /l{ \'=t I48, \F, /

32. Se dice que una funci6n/de dos variables es

honosinea de studo n s\l\tx, 0) = t'.|(x, !)para iodo 1 tal que ( /.Y, ,/) estd en €l dominio de

/. Ejecutc la denostracion de que para lales

tunciones, rr(r, /) + [,lx,r) = nf(x' t)(Susetencid:Deti\e f(t\, tr i con respecto a r')

Ej€.cicios 33-36: Encuentre el srado n de la funci6nhonosdnea/(consulte el Ejercicio 32) v verifique Ia

rll-!, L) + -,4(r, i) : ,t1r, r).

33. /(r, r)= 2\r - 3-\rI + -r'3

I14. 15. I -'r' rin

3?. Sean r: /(r, f),r = /cosd Y]: /sen,.De-

38. Sean w = "t(x,l) v r: e'cosd t' = ?'se"-

ir 6rw ..1r I alw I ,wttn tr= t,'* F n'*; i

a0. Sea y = J(x - a0 + u(r + dt), donde /v s tie

nen segundd derivad4 parciales Demuestre que

r salislace la ecuaci6n de onda

a:t, . tlr/)t' tx'

(Coftpare este eje.cicio con el Ejercicio 42 de laSecci6n 16.3.)

Sea , : cos (i + /) + cos (Jl: - l). Sin usar

las ideniidades rriSonometricas, demuest.e que

Sea , = /(r, + l'). Efectde la demostraci6n

de q\te /Qw/ax) - xQw/at\ = o (S serencia:Definau=n:+]tr.)Seanw = /(2, v) y u = a(x, rr, r = k(x, rr.

,l:" ,):,u, rr ,r / lrt J':r \ ir . r

,r, ..,: \.,,/ \irar ir,,r/rrri,':tr,l/,r ,rar! ir,':I-r;ItJ +; *ti;'

"*" r, , r

" **"

"r " ":ercicio 43, pruebe q e

t1w l)2|| ,t tu i:'1tr au At i1\t ;u i)t

;). r, :,,, tt -',. a, trt + t, .)t

alv b ai eN a'u a* 6:r,+ ;,,' -- * .; a] r. +t,),t'

Demueslre el sisuiente Teorema del Valor Me

dio para una funci6n /de dos variables r v /:Si / tiene primeras derivadas parciales conli_

nuas en una regi6n reclangular

R = Ilx,r)t o < x < b, c < ! < dly si,a (!,. 11) y a(tr, /:) son puntos de R, en

lonces existe un punto P(J*, r'*) en el segmen-

/1-\tr, r, /(r1, r,) : L(r.. )*)6, r,)+ l(a.. _r+)(j: - i,).

1+r42.

43.

41.

45.

l, J tl.)':(;)'''-f+)'

,.rN ')l\-+- . =d "l-+-l

39. Sean, =,rft,rl Y, = r"",4,r :,*'a'

40. \'12,e Je, LFr(icio 45 Ddrd poner de manrfie. o

la siguiente cen eralizacid n deiTeorema (1.33): Si

LG, ,i = 0 r I,G. !) = 0 para todo (r, /) eD

una regidn recrangular R, entonces /(x' l) es

,17. Generalice el Ejercicio 45 al caso de lunciones de

4E. Oeneralice el Ejercicio 46 al caso de iunciones de

49. Sean ! = J(t, ,) y y : !{x, r) funcioDes que

sarhfacen ld eea.iones de Cauchv-Rienann

8t8 CAPiTILO 16 . DER VAOAS PARC1ALES

u, = r' Y u, : -v,. Demuestre que si .r =rcosd y,y = /send, entonces

50. Sean r = f/(r, + /r) y r = .r/(x'z + /':). Ye-rifique directamente las f6tmllas pala Au/at y,v/d/ en elEjercicio 49, sustiiuyendo r por rcos dy I por rsent, Y derivando luego-i-;.n Y

ffS orruvloAs DtREcctoNArEs

Sea 1t = /(x, )), donde /es una funcidn con dominio r. R€cordemos que si /(1, /)es Ia temperatura de una limina plana de meial en el punto P(r, Jr) del plano r._y, enron-ces las derivadas parciales J,G, y) y ft(x, f) dan las razones de cambio o rasas de va-riacidn (instanteneas) de la temperaiura con respecto a la distancia en las direccion€shorizontal y vertical, respectivam€rte (vdanse las Figuras 16.20 y 16.2t). En esta sec,ci6n se seneralizar.i esto a la raz6n de cambio de f(x, y) en cualquiet di.recci6n.

Sea u = ,li + rri un veclor unitario. Si u se repre-senta con un veclor con punlo inicial P(r, r), como er laFigura (16.18Xi), entonces el punto firal tiene coordenadas(.x + ut, ) + u?). Se desea definir la raz6n de cambio de/()., /) con respecto ala distancia en ladirecci6n derermina-da por u.

Sea / la recta que pasa por P y es paraiela a u, y sea Ounpunto cualquiera en /, como se ilusrra en la Figura 16.38(ii).El vector FQcorresponde al mtltjplo escalar su = (srr)i +($rI para algfn s- Por lo tanto, las coord€nadas de O son(x + .r!l,l + srr). Como u es un veclor unitario,

lPdi =*-l"i"l :"1Entonces, ,r es la distancja (con signo) desde P medida a lolargo de /. Sir > 0, entonces su riene la misma di(ecci6n queu. Si s < 0, entonces su tiene la direcci6n opuesta.

Si la posici6n de un pumo varia de P a O, enronces el incremenro A l' de y = /(n, _1,)

Ar: l(r + s!j,] +s,r) /(-r. _v).

La ruz{in media de can io de /(x, ,y) es

4! : I(. ljtr ,! 1 .4 -lt,_.il

Por ejemplo, sea w = /(x, J) la temperatura en (ir, /). Si la temperatura en P es

50' C y la temp€ralura en Oes 5l.5o C. enlonces dw = l-5" C. Si F0] - 3 cn1, enla tasa media de variaci6n de la temperatura cuando el punto se mueve de P a 0 es

AN : 0.5.C,/cm.

Como se hizo antes con Ias derivadas, para encontrat l^ ft26\ de cambio instantd-

l1'(ii)

-

re.o o"riuuou, at".ffi 8t9

neo de f(x, y) en P en la direccion determinada por u, se loma el limite de la raz6n

o tasa m€dia de cambio Alt/s cuando r - 0. Esto motiva la sisuient€ definici6n

DEfiNTCTON (16.22) Sea lr = /(t.l,) y sea u = u'i + uri un vector ur ta-

rio. La denyada dir€ccional de/en P(x, /) en la direc-

cidn de u, re denor.r pot D,Io' v) ) se deline por

,.,t(x,l) = tgBf(x + sut, Y + su) f(x' ll

Las primeras derivadas parciales de /son casos especiales de la derjvada direccio_

nat concretamente. si u = i, entonces ut= l,b = 0 v el limite en la Definici6n

(16.22) se reduce a

. rr, ". rr /('. .)D, /( , .1- lrm

Si u = j, entonces ,r = 0, ,, = I Y

rrr., .r /r. r)D ,'. r lim - '.1) J'

Si a es cualquier vedor con la misma direcci6n que u, tambi€n se afirmard que

D,,f(x, y) es la d€rivada direccional de / en l' direcci6r de r'"-it

iiguiem. teo..-a p:oporciona una f6rmula para encontrar las derivadas direc-

TEOREMA (16'23) Si/es una funci6n diferenciable de dos variabl€s v u =Irri + rrj es un vector unitario, entolces

D"f(x. r\ = f,(x, J)ut + f'(x, Y)u,.

Demostraci6n Se coNid€ra que )., f, ar v !, son fijos (pero arbitrarios) v se consr

dera 9 como la funci6n de una variable s definida por

sG)-l{r+s!!,t+rrtr)De ias Definiciones (3.1') v (16'22)'

,'0, -. L.r'' ' ''0''.-n'0

: li- l[+ ",.r +,1.] II:II

= /), /(\, 1).

Luego se considera a g como una funci6n compuesta tal que

$:e(n=l(r.r) Y r:r+s,,. t:|+s,tr

830 CAPiTULo 16 . DERIVADAS PARCIAL€S

Como se indica en el diagrama de la Figura 16.39, )t es unafunci6n de r.y r, y ry v sor funciones de rnd variablei. Apli-cando la Regla de la Cadena se obtiene

d\t e|| tb !A$ dtds ir ds 3r ds

Usando tas definiciones de ]r - ,(s), r y !, esto se pu€de escribir como

s1t _ r(r, r!1 + r(r, r)ur.

Si se toma .r = 0, enaonces r" = )r, ! = _r y, de ta primera pa(e de la demostnci6nse deduce que g'(0) = D,f(x, y). Por lo ianro,

Dr l(x, ri : i(_!, r)l1 + f"(x, ),ju, . .

EJEMPI,O 1 Sea JG, )i) = xtyz.(a) Calcular la derivada dir€ccional de/en et punto p( l, Z) en la direcci6n det vectora = 4i-3j.(b) Explicar el significado de Ia parre (a) suponiendo quejr(n, /) es la remperatura en(x, r').

9oluci6n(s) El vecror a = 4i - 3j con punto i cialp(-1,2)esrdre-presentado en la Figura 16.40. Se desea catcular r,/(-i, 2)pa]a el vectot unitatio n en la djrecci6n de a. De acuerdo con

rj el Teorema (14.12),

'-rr4l t_ | a-.,t4i_ 1j)_.i -i.l"l ) ) )

l(x. y) : 3_t,r, y i(r, ].) : 2xrr,

de (16.23) se deduce que

/4 / 'o,,,..1,. .t, ,r(:1.2, !l -.1.\5'l \ "/Por lo tanto, en P(-1, 2),

/t\ / 1\D,'r-r.2, o, trr',{-l 1-rrr.:'{ 1)\)./ \ r,/

96 12 108 - )1 6555(b) Si /(j., _y) es la temperarura (en "C) en (jr, r), enronces ,./(-1, 2) = 2i.6 diceque si un punto la direcci6n de u, Ia lemperarura en P arm€ntara araz6n de 21.6oC por unidad de dhrancia. Es interesante comparar este valor conf,( |, 2\ = 12 y f,(-1 , 2) = 4, queson las razones dc variaci6n en las direccion€shorizontal y vedical, respeciivamenre.

Der vddas dt€cc onales

El Teorema (16.23) sirve para expresar una derilada direccional medianie el pro

duclo escalaa de dos vectores como sigue:

D,, /(r. rl: [.[(r. ])i + l;(r.r,Il [,,i +,trj]

El vector colocado entre los primeros corchetes, cuyas componentes son las primeras

deri\.rdd! Darcrdle' de /(i,lr). e' mu) rmlorranle sede'lora por !/('r' !l) releda(l roml'-e (.pe.,al de $rdrcatc d. J (L' 'rrnbolo v 'e llama det t

DEFTNTCT6N (16.24) Sea /una funci6n ale dos variables. El gmdient€ de / (o

de /()r, /)) es la funci6n vecrorial dada por

vf(x, },) = J;()r, })i + f,(x, Jri.

A veces en las aplicaciones, se denola al sradiente v/(-r, /) pot gr8d/(n, f)' De

la discusi6n anterior se liene lo siguiente

DERTVADA (16.t5)DtRECCTONAt (EN

TiRMINOS DEtGRADIENTE)

D,f(x, y) = vJ(ir, /) 'r.

EntoDces, para obtenet ta deivada dircccionat de f en la dirccci6n del vectot nitario

v, se toma et ptoducto escatar del grudiente def co, u En todo lo que sigu€, para en-

contrar ,u /(.ir, .),) se usard esta f6rmula en lugar del Teorema (16.23)'

El simbolo v es rn opeftldot .lifercncial wctotial y se deline pot

v-i=l *i1'.. t!

S s propiedades son parecjdas a las del operador d/dt (v6anse los Ejercicios 3l_36)'

Operando sobre /1-y, f), prod ce el vector gradiente de la Definici6n (16 24)'

EJEMPIO 2 Sea.f(x, y) = x2 1xv

(a) Encontrar el sradiente de / en el punto P(1' 2) v representarlo greficamente'

(b ) u sar dicho grad iente para calcular la d€rivada direccional de / en P ( 1 ' 2) en la di-

reccion de P(1. 2) a Q(2,5)

Soluci6n(a) Scctn la Definici6n (16.24),

vJ(r. r) - (2r a-r)i 1-!j.

v/(1. 2) = (l 8)i 4j - 6i 4j.

Por Io tanto en P(1,2),

tlt-----i;srLrlo 1 6 . DERrvaoes pmcreLrs

1

El vecror estd en ]a Figura 16.41 con su punro iniciai enP(\,2).(b) Si tomamos a = P0, entonces

a=(l 1.5 l)=(t.t)=i+lj(v6ase la Figura 16.41). El vector unita o en la direcci6n dePj- .t

Aplicando (16.25).

TEOREMA DEt (16.26)GRADIENTE

':1;1 ' -." ti * :;r

D, /(1. 2l - v/[,2) u

l(i + ljl

, tr

r:1: 1-8 = ,., .

'/ l0

:l 6i 4j)

= l-., o-\'r1o'

Sea P(x, t) un punto fijo y consideremos la derivada direccionai ,, /(x. ,) cuando u Para un \ecror unilario u da.lo, td deflrada direclional Due.te,er po. r\ d (erdecir, l"rr.

' ).rumenrdr. nesari\a ly',.lr)dr,minL)e)o pr.a.,".0. r,muchas aplicaciones es imporlante encontrar la at..."itn

"n ru qu" 7ir, _,,) aumenra

mes rdpidamenre y tambidn catcular la raz6n de cambio mdxina. El s;sui..i. t"*"-"proporciona esta informaci6n.

Sea /una fun€i6n de dos variables que es djferenciableer el punto P(r, /).

(i) El valor m:i;imo de ,, "{r., J) en p(n, }) es

llv.t(r., r)il.(ii) La tasa de crecimienro rndxina de /(n, l) en p(x, l)

se alcanza en la direcci6n de y/(x, r).

Demostraci6n(i) Consideremos at punto p(x, l, ) y al vecror v /(.,r, I ) co

no fijos (pero arbnrariot y al !,ector unjtario u comovariable (v6ase la Figura 16.42). Sea l el dnguio enrre uy v fG, r), por (16.25) y el Teorema (14.22),

D,/('I, ].) -. V/(r. r) u

: iv/{-r.r')l trlcosl= llvir. r')llcos l

IlA:-,,

16.6 Derivddasdneccionai.s 833

Como-l < cosr < l, el valor mdxino de rtr /(.y, I ) se alcanza cuando cos 1 =l, y en esre caso, D"f(x, y) = I v/(jr, /) I.

(ii) La derivada direccional ,u /()., _y) €s la raz6n de cambio de /(jr, /) con respecroa ia distancia en P(r,l) y en la dir€cci6n determinada por u- Como en la parte(i), esla lasa dc cambjo lona su valo. maxjmo cuaDdo cos 1 = 1, es decir, si-y = 0.Sin embargo, si -y - 0, entonces u lienc la misma direcci6n que v/(r., r,).

En la demostraci6n del Teorema dei Gradiente (l6.26\, se ve qre el valor nininode D"f(x, yl se alcanza cuando cosl : -1. En este caso 1 = r (o .y - 180') yD" f(x, !) = - I v/(.y, r) il, que es la lasa mdxima de decredmiento de f( x, |). Estoda el sigui€nte corolario del Teorema (16.26).

coRorARro (16.27)

EJIMPLO 3 Sea /(n. ,r) = n'] 4xl. Enconuar la di.ecciitn en ]a qoe /(x,l) au-menta nds rdpidamenie en el punto P(1,2) y enconlrar iambi€n la tasa m6xima de

goluci6n En el Ejemplo 2 consideramos la funci6n/y encontramos que v/(1, 2) =6i 4j. Entonccs por el Teorena (16.26), /(r., /) crece mas rapidamente en P(I, 2)

en ta direcci6n del veclor 6i 4j (v€ase ta Figura t6.41). La tara mtxima de creci-

i Vr(1.2) : 6' ljl - J36 + 16 - ,/52 = t., .

La derivada direccional de una funci6n /de tres variables se define de manera pa-

recida a como se hizo para dos variables en la Definici6n (16.22). Concretamente, si

u = lr'i + aJ + ,rk es un vector unnario, se iiene lo siguiente-

Sea /una funci6n de dos variables que es diferenciableen el punto P(r, J).

(i) El valor minimo de D"f(x, !) en P(x, y) es

ll v/(,r, r) ll.(ii) La tasa mjnima de crecimiento (o m:ixima de decr€-

cimierto) de /(r, r) en P(x, y) se alcanza en la direcci6n de - v/(Jr, /).

DERTVADA (16.t8)DIRECCIONAL DE

f (x, v, z)

D\f(x, r, z) =

lin f(x + sut, t + su1, z + su1) fG, y, z\

Cono en el caso dc dos variables, D" /(', /, z) es la razdn de cambio de/con respec

to a la distancia en P(r', L r) y €D la direcci6n de 't.

El gEdienre d€/(o d e rcx, v, z))se denota por v/(-!, /, z) o por grrd/(jr,/,.) y se deiit'e como sigue.

SF.aDTENTE BF (16.99)f (x, y, zt

El siauiente resultado €s

TEOREMA (15,301

1 f(x, r,z\ = LG,y,z)i + f,(x,!,2)i + I.G,!'z)k

la versi6n para tres dimensiones del Teorema (16.23).

Si / es una funci6n diferenciable de tres variables yu = ,li + r2i + ,rk es un vector unitario, entonces

D"f(x, r, z\ = e f(x, !, z\ ' t'= f,(x, y, z)q + f,(x, y, z)u2

+ f'G' t' z)uT

At igual que en el Teorena (16.26), de todas las posibles derivadas direccionales

D" /(.Y, t, z) €n el ponto P(x, r, z),la que tiene la derivada mavor cs la correspon-

dienie a la direcci6n de if(x, t, z) y el valor maximo de la derivada dir€ccional es

I v/(Jr, ,y, z) ll .

UEA PLO { La temperatura len un punto (t, /, .) de un sistema de coordenadas

rectangulTes en el es;3cio €sta &da por la f6rmula r = 100/().2 + t2 + z2).

(a) Calcularlaraz6ndecambiodelcorrespectoaladistanciaenelpuntoP(l,3'_2)en la direcci6n del vector r = i-j + k.

(b) aEn qu6 direcci6n a partir de P aumenta mis repidamente f? icudl es la iasa mA

xima de variaci6r de r en P?

Soluci6n(a) Por la Definici6n (16.29), e! gradient€ de T = 100/(xz + vt + z2) es

vl rirtlj lrl.rr 6)

Como

i7' 200r iT 200-l eT 2002

- = ['+ r:;,:1'' it - e +i + ?f' tz - (x'z + Y1 +:2\z'

200vr-Grt-(ri+I+'?k)'Si denolamos por VTlp al valor de v?ren el punto P(1,3, -2), entonces

r00rTl. - t, ''

'i rj )L'.

El vector unitario u €n la direcai6n de a = i -j + k es

':1ri i*rr.J3

16.6 Derivadas dk€ccionares 815

De acuerdo con el Teorema (16.30), la tasa de cambio de fen P en Ia direcci6n de s es

'0ntt_ J_:) 20nD"tlp-vtl, n- ,--- - r2.4.qor r

Si por ejemplo, f se exprcsa en grados Cehius (o centigrados) y la distancia €n centime-tros, entonces 7 en P aum€nta en la direcci6n de s a raz6n de 2.4"C/cm.(b) La tasa mdxima de crecimiento de ?en P se alcanza en la direcci6n del gradiente,es decir, er la di.ecci6n del vector i - 3j + 2k. La tasa maxima de carnbio es iguala la magnitud del sradiente, es decir

.00 --r\/lPl tq6\l

q 4:1.8 '

En esta secci6n se us6 el gradiente de una funci6n /principalmente para calcularderivadas direccionales. Mds adelante se considerardn otros aspectos mis imporlantes.Para terminar esta secci6n se da una aplicaci6n en la termodiruimica.

Sea T = /()., l) la temperatura en estado estacionarioen el punto (r, /) de una regi6n bidimensional R. (tslIdoestacionatio sianificaqte res independiente del tiempo.) Zdlq de Fowiet de la trusmisidn de calot dice qne la intensi-dad 4 con l. que el flujo tdrmico pasa por un pu o P(t, ,)en la frontera de lR es dire€tamente proporcional a la com-ponente del gradiente de temperatura vT€n la direcci6n delvector unitario d normal (exterior) a la frontera en P (vease

la Figura 16.43). Entonces, q = icompd vT = kvr' npara un escalar k (v€ase la Definici6n (14.28)). Se deduce que si 9f n = 0, la com-ponente en la direcci6n de la rormal ser{ 0 y e[tonces no saldra calor de la regi6n porP. Se dice que la regi6n esrii aidddd en el punto P . La regi,6n esl6 aisloda en una paftede la frcnteru si lo esti en todos los puntos de esa parte. Puede decirse algo parecidopara regiones en tres dimensiones,

UEMP|O 5 Sea R la regi6n reltangulal del plano.ry quese mu€stra en la Fiaura 16.44 y se T= /(r, f) la tempera-tura en estado estacionario en (J., y). Encontrar condicionespara Tque hagan que est6 aislado (a) el lado Bc; (b) el ladoAB.

9oluci15n(a) Podemos tomar el vector i como el vector unitario nor-mal n al lado ,C. Entonces BC esle aislado si y s6lo si Daratodo punto P en ,C,

VI.i:0 o biena'fi:--0./rr. i7.\

\i. '+ ,\ r/

gsto significa que la raz6n d€ cambio de r en h direcci6n horizonrd es 0.

DERIVADAS PARCIALES

(b) El vector unitario normal al lado jB es j. En este caso, l8 estd aislado si v s6lo si

vi' j=0 o equivalenterncnre, f :0i

es decir. la razon de cambio de I en la direcci6n vertical es 0.

EJERCTCTOS 15.6

Ejercicios 1-6: Encuentre el gradiente de/en et punto

1. /11, f)- !'rr + ir. r'( 4,l)

2. /1r, )J:7j - 5r. P{2.6)

3. l(J, j) : cr' Ian l, P(0. q4)

4. /(r, ]J = : lD {r - ,). P{5.4)

5. /(\.r,:)=l:r 2rr, P(2. l, l)6. t(\. r,:): \ri,". /r(:. 1.0)

Djercicios 7'20: Calcule la derivada direccional de/en el punto P en la djreccidn ildicada.

?. /(J. t) : rr 5\r + l]r. P(1. l).

u- (\,112)(i rj)

E. /(r.l):rr- lr1 rr. P(1, -2),u-j('i+iril

o, / .)'- ,.r,a.J ,/ ,-r4. d,. , :i 'J

l0 j{(. r'l= \r ln f, P(5. l). a = i + 4j

ll /(!, r)= \r9r: 4rr 1. P(1. 2). a : i + 5j

12 /1!, r) - (r rlr(r + r). P(2- l). a - li + 4j

lt. /1r, r): r cosr r. P(:. r,,.a). a : (5. l)rr'. /(\,r):\"r,. P(a.o). a=( 1, 1)

rs. /{r. .!.:r - \rJ:r. Pll. 1.41. a = i + 2j lk16. /(\, r.:) - \r + .ll: + .1\1. P(1.0, 5).

r=2i lj+kI?. /1r.-r.:)::rc", Pl 1,2. 1), !-li+j 5k

lE. liJ. ],:): J-(r'sen:. P(1.9, n/4).

.:2i +lj lk

19. tlr. r.:) =. t\ + r')(r I J. P(5, r. l).!: (-1.0. 1)

20. /(r. r.:) - :r l^n I (\ + r). /'(0, 0.4).

Ejercicios 2l-241(a) Calcule la derivada direccional de / en Pen la di-

Ol rn.len ,e Lr vpao, unira o en Ia di-ecridn de md

\rrno,rec.m.enro de /en P y cdlcule la rd.a de . re. .

nienio de/en esa djrecci6n.(c) Encucnlre un vector unitario en la direcci6n en laque / disminuye m6s .ipidanente en P y calcllela razon de canbio de/en csa d;eccidn-

2r. /(r. f)= rr1 a. P(2.0). Q( l, l)22. /(\.r1.- !er(2r r'). /i( nr.n'6t Q0.0)

zr. /t',-',.t: '.-'1 r'+7, r( :,.1.1).

0(0, 5,4)

21. /(r. 1.:): ((,r) - (r':). P(0, - 1.:1.

0(1, r. 4)

25. La tempe.atura Tenunpurto(x, ])de unaplacade meLal colocada en el planoD,es inversame!-te p.oporcional a la distancia al origen. l"a tem-perdrurd en P(1.4, e l00'C. (:lcule la rald.de cambio de ? en P en la direcci6n del vectori + j. iEn que direccion aumenla nris repida-me ue ren P I it-n qu( J e.crondi'r.a!.emd.repidamente len P? ;En qle d;ecci6n !e arulala tasa de variacidn?

26. La strperficie de un iago esta rep.€sentada po. unaregi6n D en el plano 4, de manera que la pro-fundidad (en mctros) bajo cl punlo cor.espon-dienre a (x. y) es l(t, tj = 300 - 2x1 3t1.Una nina est, e! el aeua en el pDnto (4, 9). iEnqu6 direccidn debe nadar para que la profundi-dad del agua bajo eua dismiruya mai rapidamen-te? i,En qui direccidn permanecera constarle la

27. El potencial eleclrico /en un punlo P(r, ),, i)de un sislema de coordenadas rectangulares es

V = x2 + 4),1 + 9a2. Calcule la rasa de cambio de y en P(2, l, 3) en la dire.ci6. de P al

16,7 Planos tangentes / recias normdies a as superfic es 837

origen. Encuenr.e ia dleccidn que prodre Ia md,xima lasa de caNbio de t/en P. icu.il es la iasanixnna de canbio en P?

28. La temperalura Ien un punto P(r, r, .) de uD

ob.jeto qle este colocado en un sist€ma de.oordenadas rectangulares esLi dada por 7 = 4x'/) + 16r:. Calcule la tasa de cambio d€ Zen el

punlo P(4, 2, l) eD ]a direcci6n del veclor 2i +

6j 3k. aEn qu€ direccion aumenlamds ripidamentc len P? acuiles la tasa mdxima de cam-

bror -Halra qud direr!:or di.rnrnu)e md. ;pidamente len P? acuii es Ia razdn de cambiocor.espondiente?

Ejercicios 29-30: Consulle ladiscusidn previa alEjeFplo 5. En este caso r es h temperalura .n (r. /).29. La lisura muesrra una regi6n semicircular R.

(a) Usc coo.denadas rectarguiares pa.a demos-Irar que la l.onrera superior .44 esta aisla-da siy solo si 6776r : 0. (S!8erer.id. Pon-

e. de n anrlre oq,.c.I 't ,

.-o.a. j /.en". e o.,F d/ d

(ilr/at) co! d r (d]7d]) scn r.)(b) llrerprete dZdl como una razdn de cam-

Djercicios 31-36: s€an a : /(r, /). I = s(x, /),donde/y vson diferenciables. Demuesre la identidad

31, Vt.!t - . V, , para cualquier .on$anre ..12. V(r+r)=Vr+Vr33. V(,rl:rVri+rVL

/)r, ) vr uf114. v( J- rr con'*{r'

*. vJ 1,"' 'v,,, para io.ro ntnero real ,.sq16 si tr : /,1!L enlonce\ lir : ll

17. Sean u un veclor unita.io y, el 'ing

o que forma co! la pane positiva del eje r, nedjdo€n sen-

iido contrario al del reloj.(a) Demuestre que

D, /(!, _rl - /.(r, ) )cos , + /j(\ ]) scnrl

tbr sean /r\, r,) \ )\, r, v d

5r,/6. calcule r,/{2, 3}.

18. Consulte el Ejer.icio 17. Calcule D,./(2, l),cuando /(*,-t,) = (ry + -Yr)r Y d . n/:1.

E]ER( CO tt

10. La ligura mxestra un sector circular cuya frontera ,3, este aislada-(a) Usc coo.de.adas polares para demostrar

que la cotrdici6n de anlamjento es equiva]€nre a ar/30 : 0 en todos los punros delsegme o,4E.

(b) interprere dllad codo ua raz6D de cam_

Demueslre qoe si /, ,t, y ./" son continuas y

v/(r, /) - 0 en una regi6n rectansular F =1(r,/): a<r< r,.<t<./1, Por lo que

/(r. J) es constante €n R (v€ase el Ejerci.io 46

Sea.' : /(J.t), r : r(i),/ : r(r). donde

lodas las funcioner son diferenciables. Demueitre que si r(r) : ri + ]j, entonces

19.

lfi$ ruNos TAllGENTEs Y REcTASNORMATES A tAs SUPERFICIES

Sea S una superficie que es laprimeras derivadas con!inuas.

grdfica de una ecuacion F(x, t,Sea Po(xo, -ro, ro) un punro de

.) = 0. donde F tieneS en el que 4, I;yil

838 cApiruLo 16 . DtRtvADAs pARctALEs

no son lodas cero, Una recta / con tangencia a .9 en Po es, por definici6n, una recta

tang€nte a cualquier curva C que se encuentre en .S y que conliene a P0' como se ilut-tra en la Figura 16.45.

sea c una curva con ecuaciones palam€tricas

x: IO, y: s(t). . : h(t).

Si r(,) = ( /(/), 4(r), /l(r)), ento'rces r'(i) : (/'(4, e'{ti, l'(r)) es

un vector tang€nte a Cen P(t, /, -?) (v6ase ia Figura 16.45)

(viase la Figura 16.45).Para cada r el punto (/(/), s(l), n(r)) en c tambi6n es

t, en ,t y por lo tan1o,

-F(/0). s(t), i(r)) : 0.

Si se toma

: r(r. r. r) Y r : /1t), | = s(.t), 3: h(1,

€ntonces aplicando la Regla de la Cadena ytomando en cuenta que !t = 0 paratodo I'

t|,r Jqd' irJt ,wtl.41

"'d,-o1,dr|; ,tr-u

De maIrera que

r',(j, r", :).r'(t) + I,1r, r,:)s'lt) + F"(\. r, z)h(, :0o, equivalenaemente,

vr(x, ). :) r'O:0para todo punto P(n, y, a) er C. En particular, si corresponde P0().0, )0, ao) a / - /0, entonces

VF(ro, )0, :o).r'{to) - 0

como r'(1o) es un vector tangente a c en P0, esto implicaq\e el |ectot \ F(xo, yo, zi es petpendicular o toda recta

langente I o s en P0 t!ea<e la l'igura 16 46,El plano que pasa por P0 y tiene como vector normal

9F(xo, yo, k) es el plano taogente a,S en Po. Qued6 de_

moslrado que toda recla langenle t a S en Pose encuentra en el plano tangente en Po.

El siguiente reorema resum€ esla discusi6n

TEOREMA (16.31) SeaF(x, /, a) una funci6n con prim€ras derivadas par-

ciales continuas y sea Po un punto en Ia grafica S deF(x, f, z\ - 0. Si &, F) y Fz no son todas 0 en P0, €n-

tonces el vector vF():0, /0, ?o) es normal al plano lan

Sediceque el vector V.F(x0, -t0,:o) en ei Teorema (16.31) es un v€ctor trr d/d

t6.7 Planos tansentes f r€ces normaEs a tas supedices 839

la supeticie S en Pa. Aplicando €l Teorema (i4.38) se obtiene el siguiente corolario,en el cual se supon€ que 4, & y & no son todas 0 en (.t0, /0, _zo).

coRor"ARro (16.32) El plano tangente a Ia grefica de F(jr, r, z) = 0 en elpunto Po(.&, /0, ?0) tjene como ecuacidn

I;(.r0, /0, zoxr - ro) + Fr(xn, yo, .4\O - ro,+ F.(xu, to, zik - za, = 0.

EJEMPIO 1 Encontrar una ecuaci6n del piano tansente al elipsoide ;n2 + 3l: +a: - I2 en el punro Po(2, l, f,O y hacer un croqui..

Soluci6n para usar el Corotario (16.32) expresarnos pdmero la ecuacidn de la su-peficie en la forma F(n, /, ?) = 0 definiendo

f(r. rr, z) ::r, + 3y, + ', - 12 = 0

Las derivadas parciales de F son

FJx, !, z) :ix, f;(r. .].. z) : 6I. F.(x, y, a :22,

y por lo tanto en Po(2, l, i6),

4(2, l, !/6) = 3, Fj(2, l. !6) : 6, 4(2. r. J6) - 2 \/6.

Aplicando el Coroiario (16.32), obtenemos la ecuaci6n

l(x.- 2) + 6(-l, r) + 21G(' - G):0.que se simplifica a

3r+6)+2J62 24=0.

Las coordenadas x, / y z de las inrersecciones del elipsoi-d€ con ios ejesr,/y z, respectivamente, son +4, !2 y tJl2.En la Figura 16.47 se presentael €lipsoide. El plano tangente€n el punto Poe, 1, !6) .iene un vecior normal

vr-{2, 1. J6): ri + 6j + 2i6k.

que se muesr.a en la figura,

Si r = /(jr, y) es una €cuaci6n de s, entorces tomando F(x, l, :) = .f(x, r) - z'la ecuali6n €n el Corolario (16.32) se convierle en

LG$ td{x - x + f,(xa, lar, -:ti + (-1)(: - ?o) = 0

Esro da el siauienie resultado-

El plano tangenle a la srdlica de { = /(x, }) €n el pun-to ().o, ]0, zo) dene como ecuacion

TEOnEMA (16.33)

840 CAPTULO 16 . DERVADAS PARCIALES

l r--= J,txo.vor x-xat -l,rx6.16ttv v; l

La recta perp€ndjcular al plano tangente en el punto P0(Jro, /0, z0) de la superficie

S es la r€cta normrl a s en P0. Si S es la grefica de F(t, l, z) - 0, entonces la r€cta

normal es paralela al vector vF(xo, f0, -?0).

EJEIiPLO t Encootrar una €cuaci6n de la recta normal al eiipsoide ]x2 + 31'z +z' = 12 en el Dunto Po(2, I, V5).

5oluci6n esta superficie €s la misma que s€ consider6 en el Ej€mplo 1. Por lo tan'

VfL'. .. . b, . li - i.i \ o[.

que se muestra en la Figura 16.47, €s paralelo a la r€cta normal. Usando el Teorema(14.37), ob.enemos las siguientes ecuaciones param€tricas de la recta normal:

r=2+lr, ):l+6r, ::,16+2\i6r: renR'

Sea/una funci6n de J. y -v, y sea S la srafica de la ecuaci6n z = /()., /). El plano

tangenie a S en Po(:ro, lo a0) puede servi. para ob[ener una interpretaci6n geom€trica

de la diferencial,i: :

^(.t0.

ro)^\ + l,(ro, )ol ^r

definida en (16.13). Como

A: = /(ro + A\.l.o + Ar) /(.r0. rJ,el punto P(jr0 + Ai:, lo + A/, z0 + Atr) estd en s (vdase la Fjgura 16.48).

Sea r(xo + Ar, ]o + Al, a) un punto en el plano tangente y consideremos lospunros ,4 (jro + Ajr, t0, 'r' At, 0) y B().0 + A)., '},0 + A,r, a0) que se muestran en la

Figura 16.48. Como, est, en el plano tangenle, sus coorderadas satislacen la ecua-

ci6n del Teorema (16.33), es decir,

: :o : l.(-\o. \'J(ro + A\ J+1,(r0.-ro){Jo+^r'--ro): l.(r.. rJ

^\ + 4(to,Io)AJ: l:.

84116.7 Planos tdngentes y r€ctds normdl€s d ds superfcies

En l6rminos de distancias, s€ denostrd que az = lEDl,esdecrr, d:les/adrslancia de B al punto de! plano langente que se encuentra utiba (o abajo) r1e B. Esto

es aniiloso al caso r = /(x) de una variable preseDtado en la Secci6n 3.4, en donde

se ioterpret6 /lcomo la dltancia a un punto de ia rectatangente a la grilfica de/{veasela Fjgura 3.13). Se deduce que cuando se usa dz como una aproximaci6n a1 cambio

en., se supone que la superficle S casi coincide con su plano tangente en los puntos

Como una aplicacion del andlisis en esta seccion, supongamos que la tempe'atura

en el punto P(x, -f. r) de un s61ido, un liquido o un gas en un sislema de coordena-

dd.enrr('drmen''unc'e'd- l(Y r'7, S Por \^ -, ) e\ Ln fullo I'jo enlunce'

la grifica de la ecuacion

I'(x, Y, z) = F(xo ro, ro)

es la superficie de nivel (isoierma) que pasa por P0 En to

dos los puntos d€ esta superficie la temp€ratura es lto =F(no, -r0, z0). Es conveniente visualizar iodas las posibles su-

perficies de njvel que se pueden obtener escogiendo diversos

puntos. La Figura 16.49 muestra varias superficies que pa

san por los puntos P0, Pr y P, v corresponden a tempera

turui ,0, tu,-y )'r. Por el Tcorema (16 31), vF]a,, vFlP vv/ ]p .on lo' \e.rore\ aormale' a ld5 \Jperiicies corre'non-

dientes en los puntos P0, Pl y P2, respectlvamenle.

En la Secci6n 16.6 se vio que h mexina tasa de varia-

ci6n de F(.rr, f, z) en P0(x0, /0, .0) estd en la direccion de

vF().o, /0, io) De acuerdo con los comentarioq anteriores'

esla raz6n ma-xima de cambio se alcanza en una dir€cci6n nor

mal a la superficie de nivel de F que contiene a P0.

fl Lguiente reorem.r re5ume e'lo\ comenlariot'

!it,

TEoREMA (16.34) Sea Funa funci6n de tres variables que es diferenciable

en Po(ro, .v0, zo) y sea S Ia superficie de nivel de F que

contiene a Po. Si V F()ro, /0, .?0) + 0, ertonces est€ vec-

ror gradiente es normal a S en Po En con'ecuen\ia. e'normai a S la direcci6n en la que la raz6n de cambio d€

F()l;, l, z) en Po es mexima

Este teorema s€ ilustra en ta Figura 16.49 meilianle las superficies isotermas Tambi€n

s€ ilustra en la i€oria de ia electricidad donde F(x, J. i) se interpreta como el potencial

en P(r. y, r). Si una particula se mueve sobre una de las superficies de nivel (€quipo-

tencialet, el potencial perman€ce constante. El potenclal canbia mes repidamente cuan

do la parlicula se mueve en la direccion normal a una superficie equipotencial'

EJE|iPLO 3 sea F(.!, /, .) = x2 + !1 + z Esquematizar la superficie de nivel de

I: que pasa por el punlo P( I , 2, 4) y trazar un vector con punlo inicial P que correspon_

da a vF(I, 2, 4).

84' CAPITULO 16 ' DER|VADA5 PARqALES

5OluCi6n Las superficies de nivel de F son gr:ificas de ta forma I(y, J, x) = c,donde c €s una consranre- En parricular, la superficie de nivei que pasa por p(1,2, a)€s la grdfica de

F(-r. f. :) - fil. ?.11.

rr + Jr +.-: {l)1 r(2): +4:9

,-:9 - r' _r.).

La representaci6n deesta superilcie de nivel es un paraboloj-de de revoluci6n y esrd eD ia Figura 16.50.

El gradienre de -F es

V.ii(.\ r. :) - l\i + 2j.j + k.En P(l, 2, 4),

v.r.i r. 2. 4) = l(1 )i +2(2)j+ k:2i +4j+k.El yecror v n'(1, 2, 4) con punto iniciat p esrd en la Figura16.s0. S€gdn el Teorcma (16.34), vF(l, 2,4) es orrosonala la superficie de nivel en P.

El siguient€ resulEdo para funciones de do,r variabies es an.itoeo al Teorema (16.34).

TEOREMA (16.35) Sea/ na funci6n de dos variabies que €s dif€renciabteen P0(r.0, ]0) y sea C la cu a de nivel de/que conrienea P0. Si V/(ro, .r0) + 0, entonces este vector gradientees perpendiculat a C en P0. En este caso, la dire€ci6n delmdximo cambio de /(r., ,,) en Po es ortogon"l a C.

Como ilustracidn del Teorema (16.35), coD!rd€remos/(r, -r) .. 9 -.r? -!7- Entonces, las curvas dr ni.el esidndadas por 9 - x2 y) = ,t, doncle ,+ es ull ninero rcal(\'iase el Ejemplo 3 de la Secci6n 16.l). En la Figura 16.51aparecen aigunas de estas cui vas de nilel (qu€ son cjrcunfe-rencias). Por clTeorema (15 l.. la tasa rndxima (o minima)oe va.iacidn de /(J., /) s€ alc:iuza cuando (n. i ) se mue,een la direccl6n perpendicular a esras circunferencias, es de,cir. a lo largo de las re.1x5 que pasan por el origen. Estoequivale a qle el punr . ,.. .1,, /(r, ]) suba io baje) ell laparte de niayor inclina{ , xi dc ta srdfica de /que se ve enla Figu.a 16.50.

o equivalentemenre,

- -+-+i ii:rI /?i,

.- _ +,..\+ + + i-+-+-l- ---

;:

16.7 Panos tdng€ntes y rectas normd es d las sup€rflcL€s 84r

EJERCTCtOS 16.7

Eje.cicios l-10: Obtenea eoadones para ci plano ran

gentey la recta no, mala la grdlica de la ecuacid! d2'da en el punto P indicado.

l. 4r' ): | 3:r = 10. P(2, l, 1l

2. 9rr - 4_rr 25!tr = .10, I',14. 1. :]J. : - 4r': + 9lr- P{ 2. 1,25)

,1. ::4r: rr. P(5, 8. 361

s. !_'. 2u - x:r + l0: 0. r( 5,5. l)

6, Jr 2trr' r :r r r'-t + 6 = t, PLl.4, l)?. r * 2. ' .os.!. Plo. t,l. 1)

EJE^.{PIO 4 Sea f(x, y) = !2 + 2y2.

(a) Trazar la curva de nivel C de/que pasa por el pu o P(3, i) y un vector con puntoinicial P que co esponda a v/(3, l).(b) Explicar el sisnificado de la pa.te (a) en t6rmiros de ]a grdlica de /.

Soluci6n(s) Lacurvadeniveldc/quepasaporel puntoP{1, l) eslidada por./(r, !) = -t(3, 1), es decir. por

x1 +21')= (l)r + 2(i)r = lt.

La grafica es ia eljpse quc apa.ece en la Figura 16.52 El gra-

v/ir, r) = 2-Yi + ,tj

y por lo larlo,

v113, l) = 2(3)i + (l)j = 6i + 4j.

La l-iglrra 16.52 muestra el vector v/(3, l) con punto inicialP. De acuerdo con el Teorema (16.15), cste vector es ortosonal a la curva de nivei C.

(b) t,a grailica de/l es decir, de. - x: + 2-vr, es un para

boloide eiiptico (v€ase la Figura 16.51). La crirla de njvelr1 + 2yl = I I en el plano .,.t corresponde a la traza del pa

raboloide en el plano r = ll. La razon md{ima de cambiode /(x, ]) en P(3, l) se alcanza cuardo el punto (r, -t) se

muevc cn el plano rq, en Ia direcci6n de v/(1, 3). Esto equivalc a que el punto (x, l. /(-y, -l))se mueva haci4 ardba so'bre la parte de mrixima inclinacion del paraboLoide en el punto

o(3, r, 11).

8. : : ln rr. P(1. :| ul

e. \ : ln (lrtr:), P(0,2. l)

Itr. r_r: -.1l:r + lr - 10. /'l l.2. ll

lijerci.nrs i l-1,1: D.muen.e que ei plano tangenre a

rr..p< 1.,. Jrd i'r o'dd ct' c 'r'oPr'.r,..,)(ie.c la ecuacion ind'lada.

l!- ' '' + _ I l1+'r' 1=a:ltl,'

12. - + .:r. :e ++ l:

844 CAPiTULo 16 . DEQrvAoas paRaraLFs

1l. I'

14.

t7.

15.

t\\ tiL,r+.r:!:i -+ =!i:+:ol

Enaentre los puntos del hiperboloide rr - 2r,:4r'? = 16 en los qu€ el plano tangenie es para-lelo al plano 4ir- 2/ + 4. = 5.

Demueslre qu€ la suma de los cuadrados de lascoordenadasr,

',. de las interecciones co! los

ejesn,,r. i de cualquier plano tansenle a la 9.6'tica de la ecuacj6n x)/r + !1. + z.^ = a1/les igual a la constante 4:.

Demuestre que cualquier reda normal a una es

iera pasa por el cenrro dc dsra.

Encuenre los punbs del paraboloide z = 4r: +9-yt en los que la recta normal es paralela a larec1a que pasa por P{-2, 4,3) y QO, 1,2).

Se dice que dos superlicies s ar onogohales en \!node sus puntos de inleneccjdn P(r,.r,, r) si sus rec-tas Dormales en Pson pe.pendiculares. Torne palenre que las srificas de l.(x, ], :) = 0 y deC(r,)',2) = 0 (dondeFy C lienen derivadastarcialet son o.loaonales en P si y solo si

F\Gr + F!G, + F.G.: 0.

20. Demueslre quc ld c5lc.a r: + l: + .r = d: y

cl cono rr + rr :r = 0 son ortoEonales er Ioo.\'u.FJ ro.d! |r..*.." n,\P3eel f'. f_

Ejercicios 2l-24: Trace la cu.va de njlel C de / quepasa por el punlo Py un vector (con runlo inicial P).orrespondientc a v/]r, (vtanse los Ejercicios t3 l6

2l /tt.,t:rt rt, rl.l t)

22. /l\ r): l\ tr r{ t. tl21. /(r, _r) : i: f. p( t. 5)

21. l.('t, r) : \), p(1. :)

Ejercicios 25-30: Esquenatice la superiicie denivel.tdeFque pasa por el punto Py un veclor (con puntoinicial P) conespondiente a vrlp (veanse los EjeFcicios 27-32 de la Seccidn l6.l).25. r(\. r'. i : \: r r: + :', P(1.5.2)

20. Fir. L.:t=: \r rr. p(:. t. it27. F(r. r.:): r + :r il:. P(.1.,1, l)28. F(r. r . J = \: + ,r :1. p{1, t. l)29. j:(\, r,:) = rr + lr. P{2. o, j)30. t(,, ,..J =.. p(2.1.,11

IEEI r,rAxruos y AliNtmos DE FUNCtoNEsDE VARIAS VARIABTESEn el resto de este capitulo, una regi6n formada por los puntos de un plano coordenado que se encuenlran dentro de un rectAngulo cuyos lados son paraielos a los ejescoordenados, te llamard regi6n rectrngular. Si se incluyen los puntos de f.ontera schablard de una r€gi6n leclsngular rerrads. Se dice que una region R es acotada si esliicontenida en alguna regi6n reclangular cerrada.

Una funci6n/de dos variables tiene un miximo local en(d. b) si existeuna regi6n .cctangular R que conti€ne a (a, b)lal que/()., r) < /(d, b) paratodo par (r, .,') en ft. Ceometricamente, esto rignifica que si una superficie 5 es la grdficade, enlonces los mdximos Iocales corresponden a los pun,tos mils alios de ,S. como se ilustra en la Figura 16.54. Sj/"e\ine. fnronLc, como,e.enalo er la Sec.ron 16.3, I to, b,c. la pendienre de la recrd angen e a l, rra?a C de .t en elplano x = d (v6ase la Figura 16.21). Se deduce que si /(.?, b)es un mdximo local, entonces t (d, b) = 0. Andlosamente,f,(1, b) = o.

La funci6n/tiene un ninimo local en (c, d) si hay unaresi6n .ectaneular R que {ontiene a ( c, d) tal que /(', _y ) >

Mdtrmos v minrmos d. nrn.iones.le vdri.s varidhl.s

/(c, d) para todo (r., t) en R. Si/tiene primeras derivadasparciales, 6stas se anulan en (c, d). Los mininos locales co-

rresponden a los puntos mas bajos de la grdfica de/, comose ilustra cn Ia Figura 16.55.

5; und luncio' / Je du. \ar'ablF c. .on'iruJ cn una regi6n cerrada y acotada R, entonccs/liene un miximo abso'

lulo /(d, ,) y un minimo absoluto /(c, d) en puntos (d, ,)y (., d) de R. Esro significa que

l {t. r/) < /(r.I) < /('r. /,l

para todo (r, /) en R. La demostaci6n de esle hecho se puedc

enconrrar en Libros de cilculo avanzado.

Sea/una funci6n de dos variabi€s. Un par (a' b.i es un

purto critico de / si

(1) ft@, bt = o Y ft(a, b\ = o, o bi€n

(ti) .fx@, b\ o .^{4, ,) no exisre.

' ri-ll

Los meximos y minimos locales son los lalores erlremos locales de/ Los valor€s

extr€mos incluyen al mAximo y al minimo absolulos (si es que existen) Si/tiene prime-

ras derivadas parciales continuas, eDlonces dc acuerdo con la discusi6n anterior' los

pares de nnmeros que dar lugar a valores ertremos local€s son soluciones dc las dor

ecuaciones siguienlesi

/.{\. r) : 0

Cono eD el caso de las funciores de una variable, los miximos y minimos locales se

pueden alcanzar lambien en pares de nfnreros en los que, o bien /' no exist€ C'omo

iodos esos pares de nnmeros son importantes para enconirar los mdximos v minimot

locales. se les da un nombre especial-

DEFTNTCTON (16,36)

si / renc orlme-d. derrvad-' pa . i"le' conrinJd"' nloncP'esnn d l eo-Pma' l6 J rl

rl plano ranccrrr a la g'alica di tet lr' b,Jtd b'r ricne la ('uacion

. I@, b) = f,(u, b)\x a\ + .f)(a. b)(t b')'

Si(a. b) es un pLrnto critico de/' entoncesl'(a, b) = or Lla, b) = 0vlaecuacion

se ieauce a: - /1d, r), es decir, el plano tansenie es horizonial'-' pu**-**i ro.rnriximos y minimos locales de una funci6n se comienza buscan-

do los puntos criticos v luego se pr eba cada punto para verificar si corrcspoDdc a un

mdximo o un minimo local.eimrlxi,no o ct rninirno de una lunci6n de dos variables se puede alcanzar en un

ou.o.n i,'-"'.* a..u domrnro R I a in\p.rrbr. ion oe r"'e' m,\imo5 t minimo\

".i"i.""i*, ,i""r.* " menudo un nro'edimiLrr'u e'pe' ral como en el ca\o Jc 'o' n'i

"].'.t " .1"f-.t * r" frontera de funciones de una sola lariable Si la lroniera no

,L;; """'"., o.' eJerr'o.'i R e' ro,l. <l plano rr o el n er ior dc un c'ulo crron'e'

no puedc haoo ea la l-nn erd

846 CAPiIULO ]6 ' DER vADAs PAR.IAIFs

UEti{Pl,O f Sea/(jr, }) = I +.r2 + y2paraa < x2 +,r, < 4. Encontrar ]os md-ximos y minjmos de,Soluci6n El dorninio -R deles la resi6n del plano rt que consta de la circunfereD-ciax2+y2=4ysuinterior.DeacuerdoconlaDefinici6n(16.36)(i),iospuntoscri-tico) 'on solucionet del \isrema de do\ ecuacione'

./.(\, r) = 0. /"(^.-. )l : 0.

2,:0. lr =oEl Linico punlo qu€ saiisface ambas ecuaciones es (0, 0) y por lo tanto,lo, 0) _ I esel inico valor extremo local posible. Adem;is, collo

/(J. r): I +r: +r'?> I si(x. rl +(0.0)

/tiene un ninimo local I en (0, 0). Esre hecho rambien sepuede v€r de Ia srafica de z = /(J., )) que se riene en la F!gura 16.56. Obs6rvese quc el nnmero/(O, 0) = I rarnbi6n es€l mjnimo absolulo de /.

Para encontrar los posibles mdximos y minimos en lafrontera, estudiamos los puntos (d, b) cle la frontera deldominio de/. es deci!, de la circunferencia x2 + /2 = 4.Consultando la Figura 16.56, se ve que cualquiera de estos

puntos, por ejemplo el (0, 2), da conlo resultado el n6ximoabsoluro /(0, 2) = 5.

Como se ilustra en el siguiente ejempio, no todos los nLjme.os criricos dan lusara mtximos o minimos.

EJll,lPtO I Sea /(r, /) = /, - x, con dominio R x R. Enconrrar tos miiximosy minimos de /:Soluci6n Segfn la Definici6n (16.36), Ios punros criricos son so]uciones det siste_ma de dos ecuaciones

J^G, r) = -2r = D, .f,(x, t\ = 2J = 0.

Como en el Ejemplo I, el inico valor exrremo local posiblees /0. 0r - 0. 5rn embarso. n .y + 0. enroncc. /r0. ) j -.r . 0: l 'ir + 0. enroncesi-y,0) . r? . 0. por toran-lo, cualqujer regi6n rectangular del plano )ry que contengaa (0, 0) contiene punros €n los que el valor de la funcidn esmayor que /(0, 0) y tambien puntos en los que el valor dela funci6n es menor que/(0, 0). Por consjgui€nre, /no rienemaximos o minimos locales. Esle resuttado es evidente a partirde la gr.ifica de z = /(jr, l) en ta Fieura 16.57. Debido a taforma de la superfjcie certa de (0, 0, 0) se dice que esrepun-

I

.L:

r6.s M6ximcs y mininos de irn",on", O" uurur u*uOr"t 847

to de la gr:ifica es uD punro silla (de montao. Como el dominio de.l no ticne fron-tera, no hey mdximos o mininos en la frontera.

El siguiente criterio que se enuncia sin demoslracj6n es itjl para las funciones mds

complicadas- En cjerto sentido, es andlogo ai Criterio de la Scgunda Derivada para las

fxnciones de una variable.

e TERIO PARA (16.37)

AtAxlMos vMiNt"tos

Sea/ una funci6n de dos variables que tiene segundas

derivadas parciales continuas en una regi6n rectangular

Sysea

L)(x, v) = f*(x, ,, f!t(', - If',(x, Y\l'

para todo (x, /) en 8. Si (a, b) esta efl Q v fx@, b) =0, ,(4, D) = 0, entonces

(i) ./(a, b) es un ndxirno local de /si ,(4, ,) > 0 v

L,@, b) < 0-

(ii) /(a, r) es un minirno local de/si s(4, b) > 0 v/;(d, b) > o.

(iii) /(a, b) no es un valor extremo de/si t(d, ,) < 0.

Es f:tcil recordar la f6rnuta para r(r., v) obse.vando que est6 dada por el deter-

' = ll, i': - /., t. ( /.,1'

Obsdrvese qu€ si 1/(d, ,) > 0, entonces t(d' blfyt(a, b) es positivo v por lo

tanto

^1a, b) y fafu, b) tienen el mismo signo. De modo que, puede srlstituirse

,{-(a, ,) en (i) y (iit pot f,(a, b\. Si !(a, b) = 0' el criterio no da inrormaci6 En

.rie.aso "r

n""esatio utar-un m6todo m;is directo como el que se us6 en los ejemplos

UEMPIO 3 sea /(x, r) = xz 4x! + !1 + 4't Encontrar los mtximos v minimos

Soluci6n Corno /,(x,!) = 2x 4Jv ft(x'v) - 4x +3)'r+4, los puntos cri-

ricor:on 'oluciones del 5i\lema de dos ecuaiione'

2x 41 -0. 4r+llr+:1=0

Resolvi€ndolas simuldDeamente obt€nemos los puntos (4' 2) v (r!. 3) (verifiquese este

Las sesundas derivadas parciales de / son

/;,G.ll : 2, L'1',.!) = a, "4,(r. ]) : 6)

qPiruIO 16 . DERVADAS PARCIALES

,(\' r)'. {ll(6-r) ( 1)r: l2r 16

Como ,rt:+. il = 8 < 0, de (16.37) (iii) se ve que /(1. il no es un valor extremo de

t Como v(4, 2) = 8 > 0 y./.,(4, 2) = 2 > 0, de acuerdo con (16.37) (ii), / tieneun minimo local f(4,2) = o.

EJEMPIO 4 Sea /(n, /) = x1 4x| + lt + 4/. Encontrar el mrximo y el minimoab.olu'o\de/enldiesidnrriangularRqueiieneLomovenrce\{-t. lr.(-. t)} (-, 1

Soluci<in La trontera de R consta de los segmenlos Cr,C, y q que se muestran en la Figura 16.58. En el EjemploI encontramos que/tiene un minimo iocal0 en elpunro (4, 2)que estd dentro de R. Por lo tanto solo hace falta buscar Iosmdximos y minimos en la frontera.

En Cr tenemos l, = I y enionces, los valores de /estan dados por

f(x, 1)-x'z +4n l-4=r':+?tjr-5-

Esto determina una funcidn de una variable cuyo dominio es el intervalo l-1,71. Laprimera derivada es 2). + 4, que es igual a 0 enr : 2, pero esre nimero se encuentrafucra del intervalo I-l, 71. Por lo ranro no hay mdximos o ninimos locales de /(J., -l)en I l,7]. Corno /(r, 1) es crecienre €n rodo este inlervalo, €l minirno y el mdxi-mo en la frontera son

,( l, -l) .= 8 y f(7,-1) = 72.

En C, tenemos n = 7 y los valores de/errin dados por

fe,y) = 49 zB! + y3 + 4y = t3 _ 24], + 49

para _1 < I < 7. La primera derivada de esla funci6n de/ es 31, - 24 y por lo ran-to, hay un nfmero critico si 3.],2 = 24, o I - rI8 = 2\,U. Usando la segunda derivada6] de /(7, r) vemos quc/(7. 2V2) es un rninirno local de f en et se7mento Cz. Sin embargo, como/(7, 2.,t2) - 49 32]'=3.7yf(-1, -l) = -8, no se rrara de un minimo absoluto de/en R. Los valores de/en los exrremos de C2 son

f(1, t) : 72 r0,1) = 2)1.

Finalmente, en Cr se tiene que I = n y los valores de/estdn dados por

f(x, x) = x'1 4x2 + x3 + 4x = xt 3r2 + 4x.

La primera derivada 3jr? 6x + zl no tiene .aices reales y por lo ranto, no hay nime-roscriiicosde/(n,x).Yahabiamoscalculadolosvalores/(-1,-1):8y-t(7,7)=224 en los extremos. Por lo ianlo, estos valores en los eftremos son el minimo y et mii-ximo absoluros de /eD la resi6n rriansular R. .

EJEMPTO 5 Se clesea contrui. una caja sin tapa coD la forma de un pa.alclepipedorectanguiar que tenga rn volumen de 12 pier. Ei coslo por pje cuadrado del marerial

que se usard para el fondo es $4 (ddlares), el que se usard para dos de los lados opuestos

es $3, y el que se usaii para los otros dos lados opuestos es de $2. Calcular las dimen-siooes de la caja para las que el costo es minimo.

SOlUCitin Sean x y y las dimensiones (en pies) de la base, v sea z la altura (iambi6n

en pies). Como hay alos lados de fuear?y dos lados de area/e, el costo C del material es

C:4xr+3(2n)+Z(zyz)donde x, ], ? deben ser todos diferentes de 0. Como ryz = 12, rcs:u't'a qre z = 12/ (x!) -

Sustituyendo en la fdrmula para C y simplificando obtenemos

C:41y +

La frontera no iieoe puntos porque x > 0 y / > 0 para todo (x, J). Por lo tado, no

puede haber mdximos o m{nimos en la frontera. Pard encontrar los m:iximos y mini-

mos locales resolvemos el siguiente sistema de dos ecuaciones:

48C. :4t _ _: 0,

Estas ecuaciones implican que

.t2t,: 12 Y ry'z- 18.

De Ia primera resulta ] - 12lx2. Sustituyendo en la segunda,

18 o bien 144 - 1813

Despejando x obtenemos xr = 8' oseat = 2 como ! = l2lx2, el valor correspon-

dientedey es +, o 3. Usando el Teorema (16.3) podemos ver que estos valoles de -ty / corresponden a un minimo de c. Finalmente, usando z - l2l(t!) obt€nemos z =l2/(2 ' 3) :2. Por io tanto, el costo minimo se obtiene si l'os lados de la base son

de 3 y 2pie, y la altura es de 2 pie. Los lados mes largos son los que deben construirse

con el material de $2, y los m6s cortos con el de $3.

Los resultados de esta secci6n se pued€n Seneralizar a las funciones de mlis de dos

variables. Por ejemplo, dada/(t, f, z), se defined los meximos y minimos locales d€

malera aneloga al caso de dos variables. Si/tiene primeras derivadas parciales' un wa-

tor extrerno local siempre se alcarza en un punto en el que r, /} y , son todas nulas_

Es dificil obtener criterios para determinar si tales puntos son meximos o mlnimos o

no lo son. Sin embargo, en las aplicacion€s esto se puede dilucidar frecuentemente ana-

lizardo la naturaleza fisica del problema

EJERCICIOS 16.8

Eiercicios 1-l4r HaUe los md$mos v mininos de ,

1. /(t,)) = r2 + 2rY + 3)'1

'72 48+-

12Ct = 4x. , =o.

'l;'/ =

2.. x,i=x'-3xy !'+2y 6x

3. /(r, r) : rr + 3x, )r1. Ilr, y) = 4x' - 2x1r + Y1

850 cApiTuLo 16 . DERTvADAS pARCtALEs

5. /(r, r): r'1+ 4)'z { + 2}r

6. /(i,)):5+.{i 2\:+l)-y'z7 ./(r. )) = xn + r-r + 32r - 9IE. /(r, ].1 = cos r + cos rr

e. /(j{, r) = ?'se! rr0. /{r, r) = r senr

I l. /(r,Il: .tl

12. /1r. r,) = a13. /(x, r)=senx +senr + sen(x + r').

0Sx<22.0<_v<2tlr+r+llr

14. /(\. j,=

-:-ls. La fiCura presenra una grefica gene.ada porcomputadora de

Ax, r) = G2 + 3!2)e , !'

Parc€e hab€r cuat.o puntos criticos. Demu€st.eque d realidad hay circo puntos c.lticos y en-lucntre ld mdriEos y r nimos del.

EIERCC O t5

denadar de es.os cuatro puntos pero demuestre

que hay una infinidad de puntos crilicos ademtrde €slos. aEn d6nde 3e hallan?

Eicrcido! -22: Encuedr€ €l mtrimo y el minimo ab-solutos del suponiendo que el dominio es la residnR indi@da. (consuLe los Ejercicior 1-6 para obtenerlos ndxnnos y ninirnos locales.)

17. t(r, v) = r1 + 2xf + 3flR=l(i,),): 2<-\<4, l<)<31(Sugercncia: Paft determinar los m{ximos ymlnimos en la frontera, considere las sisuienlesrunciones de ,n, variabl€r t(.r, -l), /(.r, 3),

Jl-2, v) v f(4, rl.)lE. flr v): r: - 3xy - r,: + 2r - 6J:

R:{(x,)) } <3. }l<2}t9. JO., t) = .r3 + 3ry - /rt la resi6n triansular

R con v6nices (1,2), (1, -2) y (-1, 2r.

20. f(x. v) = 4rr - 2r:f + rri la region rR acotada por las graficas de/ = xz y y : 9.

21. f(x, r, - x' + 4t2 - x + 2!i la rcsi'5a R aco'trda por la €lipse xz + 4/? = L

22. f(x, t) - 5 + 4x - 2x2 + 3/ - /?; la resi6nIrianeular A a.orada por r.\ recra! ., - r. / -tv!:2.

23, Eslablezca la dislanci4 mas cona del puntoP(2, t, -r) ^l

plano 4x - 3y + z - 5.

24. calcule la distancia m6! corta entre los planos2t+3r z=Zy2x+3y-z=4,

2s. Hallelos puntosenlasraficaderyrz'z = 16qu€

r6. La risura of.ece una sr6fica ge.erada por compu

/{'' ))= r}'" G")'r/a

Par€cc hab€r fl4ro purtos. Brcumtr las coor-

UERC|C O t6

eslan m6s cerca del orieen-

Ercuentre tres trtmeros reales positivos cuya su-ma s€a l00O y su producto sea mSximo.

Si una caja abierra con forma de pdalelepipedore€taryular d€be tener volumen I/, ,icon qu4 di'm€nsiones es rdnima el tuea dc su superficie?

Si una caja abiena coD forma de paral€lepipcdo

rectanSula.r d€b€ t€ner supe.fici€ c.n ir€a ,4, aquddimensiones haren qu€ €l volumen s€a md.xino?

Encumtre l.s dimdions d€l paralel€pipedo rec-

.ansule de volunen maximo con cara parale-

Ias a los Iadd que Duede insribiBe d el eliDsoide

26.

27.

u.

,9.

l6xr+4yr+922=t44.

MAximos y minimos de funciones de varids variables

30. Ceneralic€ el Ejelcicio 29 a un eiipsoide arbitrario

(xz/a,t + (t1/b,) + (zt/cz, = t.

31. Caicule lar din€nsiones del paraleleDip€do re,tangular de volum€n miximo que riere tres de\ur caras en lo5 plano coordenados, un vidiceen el origen y otro vartice en el primer octantesobre el plano 4.r + 3y + z = \2.

.]2. Ceneralice el Ejercicio 3l a un plano arbirario('/o) + (t/ b\ + (z/c) = I, donde4, rycsonnfme.os real€! positivos.

33. Una compania planea fabric{ cajas cerradas conla forna de un paralelepip€do rectangular conun volumen de 8 pier. El material de Ia tapa ydel fondo cuesta el doble que el de los lados. Cal-cul€ las dimensiones para las que el costo es

34. Una ventana deb€ tener la forma de un rect6n-

Sulo coronado por un tridne'rlo is6scet€s, comqse ilustra €n la figura. El perim4ro de la vetta-na debe ser de 4 n. i,Que vabres de.x, / y d p.o-ducen la mrf,ima 6rea?

la.lonAdaslkea/,?'e te,esdeci y = nx + bpa-ra nimeros D y ,. Entonc€s, quede encontraruna recta / cuya ecuaci6n sea la que "nejor se

ajuste" a lo3 datos, como se ilustra en la ficxra-Los estadisticos llaan a I rccto de Eetesida

S€ puede encontrar / usando el nltodo .lem{ninos andndos. PaJa aplicar €ste m€todo,se considera para cada k, la desviacidn ve.ticald* = lk- (n\ + ,) del punto (xr, r*) con res-pecto a la recta/ = D.r + , (v€ase la fisura).Entonces, los valores de rn y , se deterninan bus-cando el ninilno de la suma de los cuadrados

li=, di Ge usan los cuadrados di porque alsu-nos valores de dr pueden ser negalivos). Susli-ruyendo dr se obliele la si8uienle funci6n / de

/1,,. b) = I (r^ n.(r - r)r

Demuestre que para la r€ca a y = nx + b qtem€ior se ajusta a los datos,

35.

al€Rc a o 3!

Al siruar los putos (rr, r.), un inv€stisado.puede conjeturar que ld variables x v / estrn re-

ts1-l

EI servicio Posral de Estados Unidos no aceptacajas recangulares tales que la suma de su lon-gitud y el perimetro de una secci6n transversalperpendialar a dicha longitud, sea mayor que

108 puls. Calcule las dimensiones de la @ja demayor volumen qu€ puede envia$e por coneo.

Enoentre un veclor de ma8ritud 8 €n tres dimen-siorcs, tal que la suma de sus componentes sea

lo mes grande posibt€-

A menudo, en lo! dperim€ntos ciendficos los va'lore, de dos cantidades corr€spondientes n y / se

escriben €n una tabla, como sieue:

Por lo tanto, la re€la puede encoftrarse r€solvi€n-do esl€ sistema d€ dos ecuaciones en ,n v ,.

EJERC C O

3E. Dadd las €cuacioDd d€l Ejcrcicio 3? d€mleslreque es 0la sucra Ei r dr de 16 d€tviacrond ver-

ricales. (E!to sisnifica que la desviaciones posi-

tivas y neSativar s€ cancelan muluamente y €s una

de las razones por las qu€ * "'a

Dl=' ai * am6lodo de minimos cuadrados-)

Eiercicios 39-ao: Aplique el n€todo de mlnimos cua_

dradod (v6are el Ejercicio 37) para €ncotrtre la recta

) = ro +, que m.jor * ajusta a los datos.

37.

85t

39.

CAPiIULO 16 . DERIVADAS PARCIALES

111

I .1 56

1.1 661124

La sisuiente rabla muestra una lista de la rela-

cidn enirc los promedios durante el semestre y las

..1iriciciones en el exmetr final de diez estudian-

tes en una clase de mat€mrticas.

40 5i 6? 68 tt t6 80 86 90 94

ro .15 65 lt 60 8l 16 92 8ll 9lJ

mas de los cuadrados de las djstancias a los pue-

blosA, B) C s€ ninima Encuentre la posici6n

relativa del sjtio para la consiruccidn

&.

41.

UERC|CTO 4:

u,

45.

GeDeralice el Ejercicio 43 al ca$ de x pueblos

lo.aliados en los puntos Or(nr,rj), 3:(.b vr),

El Eie.cicio 3? se puede generaliar alproblemadeencontraJelplano? : dr + r, + .quemejor se ajustaa los datos (rr tr zi),lx! t1,4)'.... (x,, r, z"). 6l m€todo de miDimos cuadla'dos consisie en determinar los valores d, , v c

l1a. b, o:,i, li - ar- -ir* it'

sea ntnima. Encuerrre un siltema de kes ecua_

ciones en las tres ircognitas 4, , v c- Obtenga elplano que mejor se ajusta a los dalos (0, 0, 0)'(0, l, 0), (0, 0, t, y (1, 1,2). lsueercncia: Re'srelva el sistema de tres ecuaciones t = 0,

.f" : o' f. - o.j

46. Tres alelos (variaDies de un een) A, B v O dete!minan los cuatro srupos sanguineos del gdnero

hunaDo: A (AAoAO), B (BB o BO), o (OO)

y AB. La ley de H&dy_Weinberg alirna que la

Droporcion de irdividuos en una poblaci6n que

tiene dos alelos diferentes esla dada por la 16r'

mtl^ P = 2pq + 2p + zrq,doadep'qr tsonlas proporciones en Ia poblaci6n de los alelos A,B y O, rcspectivamente. Demuesire que P debe

ser menor que o isual a 4. tuseencia: p > 0'q>0,.>OYP+q+/=l)

Ajust€ una recta a esios datos y tisela para pre

decir la calificaci6n en el examen final de un eell]dianle con un promedio dnrante el semestre de

70.

42. AI estudiar el diagrama de carga v alargamientode un daterial ehstico sometido a tersi6n (v€a-

se la pigina 287) un ineeniero encuenraque unaparte de la curva pa.ece ser lineal En la tabla

aparece una lista de algunos valores expe.jnen

Ajusle una recta a estos daios y estimeel alarga-

miento para una carga de 7.5 kgf.

43. La figura muestra las posiciones relarivas de trespueblo\ A. B y C Lo" urbanisras adopran el cri

terio de minimos cuadrados paia d@idir en d6nde

construir una nueva escu€la secundaria para dar

sewicio a las trcs comunidades. La e$uela se

conslruire en el punto P(r. l) en el que las su_

Cdga (kef) 1 22 ?1 16 28 3A

Alareamienro (cn) 0.10 0.10 0.40 060 070 0.90

ftp munrucADoREs DE TAGMNGE

Las definiciones de m6ximos y minimos dadas en Ia secci6n anterior s€ pued€n generali-

zar a funcior€s/de cualquier nfmero de variables En muchas apljcaciones' para calcu-

lar los mAximos y ninimos de /, hay que lestringir las variables de alguna manera.

16,9 Multiplicadores de Ldgrdnge 853

Por ejemplo, supongamos que se desea calcuiar el volunenmeximo de uD pdraielepipedo recrangular con caras paralelas a ios planos coordenados, que puede inscribirsc en el eljp'soide l6xr + 4!'z + 922 = 1.14. Por simctria basta anallza.1a parte contenida en el primer octante, que se ilustra cn laFisura 16.59.

Si P(r,1, ;) es el v6rtjce que muestra la fisura, enronces el volumen I/del paralelepipedo es I/ = &ry1 Se desea

calcular el lalor meximo ce I/sujelo a la reslritci6n (o con-dicidn adicional)

16\1 + 4r':+ 9:' l4'1 - 0

Despejando l de esla ecuacidn y sustiiuyendo €n la f{trmula para I/ se obliene

, ,0. -'.

Entonces, es posibl€ ercor,trer el miiximo usando (16.37). Sin embargo, esle m6lodoes complicado debido a la dificultad de caicular las derivadas !-srciales y hallar los pun

ios criticos. Otra desventaja de este m6rodo es que e dg.rilos problernas parecidos puede

ser inposible despejar r. Por eslas raTones resulia a veces ma! frcil usar el m€todo dc

1os m tipli&doret de Ldglrixge que sc presenta en esta seccior'+Ccno un segunCo .jenplo, sea /(r, )) la temperaiura

en el p nto P(r,l) de la l6rnina plaxa de metal que se ilus-tra en la Figura 16.60 y sea C una !ur!a con ecuaci6n reclan-gutar !/().,1) = 0. Se desea encoDtrar lo! puntos de C en

donde ia lemperatura es mexima o minima. Eslo equjvale a

calcular los mdximos y minknai de fix, fl co la rcsficci4nS{r. t) = 0. Un Clodo para hacer esto consiste en aplicarel siguiente resuilado.

TEORE A DE (16.38)TA6RANGE

Sean/(x, l) y 9(n, /) dos lunciones con primeras deri-vadas parciales continua. tales que/,iEne dri maximo o

minimo /(.r0, fo) cuando (r, .y) esta sujelo a la restric-ci6n 9(x, J) - 0. Si vy(xo, ]o) + 0, €irtonces existe un

ntmeio reai X tal que

Y/(ro, Jo) = Ivr(jro, /r).

Denostraci6n La sr.ifica de a()., -t) = 0 es una curva c en el plano ir] Se pnede

demostrar que en las condiciones dadas C tiene una paramelrizaci6n regular

x - h(t\' ! '- k(t)para r en alg[n interva]o I. Sea

r(r) = ri + ti = h(t)i + k(t)i

' Ese metodo lue descubierro pol el nratemati.o fri cis Joseph Louis LagraoCe (1716 18 rl)

854 aAp[uLo 16 . DERIVADAS PARCIALES

el vector de posicidn del punto P(ir, /) en C (vease la Figura16.61) y sea Po(io, /o) el punto en el que/alcanza el valormt\imo o minimo y que corresponde a / = r0, es decir,

r(Io) = xoi + ]oj = l(,o)i +,t(lo)J.

Si se define una funci6n F de una variable I mediante

entonces cuando t varia, se obtienen valores de la funcidn /(x, f) qu€ correspondena (.x, ,) en C, es decir, /(x, ]) est{ sujeta a la restricci6n t(r, /) - 0. Corno /()r0, lo)es un mrximo o minimo de/bajo esta restricci6n, resulta que F(to) = lh1d, k(h\\es un miiximo o minimo de F(/). Entonces F'(to) : 0. Considerando a F como unafunci6n compuesta y usando la Regla de la Cadena,

dt dLr {/r- '.r\.,);- ,,'r.)r:'- ,,{'. f)/r',,, I'.\.r/iI'

Tomando t = lo,

0 : I (ro) : i(ro, -vo)r'(tJ + ,(ro, yJk'lrJ : V/{ro, ro) r'(rJ.

Esto demuestra que el vector v/(ir0, l0) es onogonal al vecto. langente r'(4) a C (v6ase

el Teorema (16.35)). Pero Vg(iro, /0) tambi6n es orrogonal a r'(/0) porque C es una

curva de nivel de r/. Como v/(Jfo, /0) y vr(xo, y0) son ortogonales al mismo veclor'son paralelos, es decir, v/(ro, yo) = trva(xo,l0) para alcin X.

El ndmero tr que aparece en el Teorema (16.38) es un multiplic|dor de Lagrange.Para aplicar este m€todo se comienza considerando las ecuaciones

FQ]| = Iq(tt, k@),

vf(r, )l : i.vr(r, ,y) Y ,(\.11 : 0

o, equivalentemente,

(16.3e)

si/, sujeta a la restricci6n g(x, r) = 0, tiene un mdximo o minimo en ().0, )o),entonces (xo, /o) debe ser soluci6n de todas las ecuaciones en (16.39). Por lo tanto, paradeterminar los m{ximos y minimos se necesita encontrar los puntos (4, b) que para al-gtn valor adecuado \ satisfacen las tres ecuaciones en (16.39). Si /ti€ne un maximoo un minimo, 6ste serd el mayor o el menor de los valores de la funci6n en esos puntos.

EJEtitPLO 1 Calcular los milimos y minimos de /(x, y) = ry para (x, /) r€string!do a la elipse 4xz + lz = 4.

5oluci6n En este ejemplo la restriccj6n es ,(x, r) = 1x2 + y, - 4 - 0. Tomando v/(-t, J) = Xvr{x,l) obtenemos

/.{ .t):7r.(\,-r). l,(\. t):,,.r,(r.l) y s{\, }J =0.

,i+xj=X(8ri+2.yj)

i,.9 Multiplicadoret d€ Lagr.nge

y las €cuaciones (16.39) asumen la forma

855

-/ = 8x)., x:2y^ y 4xz+y2-4=0.Hay muchas manems de resolver este sistema de ecuaciones, UIra de ellas consiste enescribir

Lo cual lleva a

yporlotanto,jr = 0obientr = a i. Sir = 0, entonces sustituyendo en la ecuaci6n4x2 + y2 - 4 = O, se obtiene/ = :t2. Por lo tanto, los puntos (0, 12) son posiblesvalores extremos de /(r, /). SiX = 141,entonces/ = 8rX = &(r l)obien/ = a2r.Usando otra vez el hecho de que 4r2 + y2 - 4 = 0, resulta

lxr + 4rr 4 = 0, 8r, :,1. o bien x = !11J2: !\42i2.

Los valores coarespondieltes de ] satisfacen

r-2 = 2(8rl)I = l6r\'?.

n- 16112 = 0 o bien r(1 - 16\'?) = 0

4G)+1': 4=0. -l,'::2. o bi€n !: t !/2.

Y 4{r. !.:l : 0

Esto da los puntos (f72,,r,1-2) y t'f2/2, !{D. En la siguiente tabla aparecen los va-lores de / en cada uno de los puntos que €ncontramos.

Por ello, /("r, /) alcanza un valor meximo de 1 en (i2l2, V2)y e\F{2/2, -{4,y u valor minino de -l en (i2l2, -J2)asi como en (-V2l2, V2). Estos puntos estdn indicados so-

bre la elipse en la Figura 16.62.

EI T€orema de Lasrarse (16.38) se puede generalizar a

funciones de mds de dos variabl€s. Por ejemplo, para det€r-minar los meximos y minimos de /(x, "v, ?) con la restric'ci6n a(x, t, z) = 0 se puede comenzar encontrando las so-

luciones del sistema de ecuaciones

(16.40)

o equivalentement€, del sistema

(16.41) .1"-)s- 1"=i!1,. i,-r.u- s=oescrito en notacion simplificada en la que se omiter los simbolos de Ias variables fun-cionaies y los de sus derivadas. Pueden d€ducirs€ sistemas de ecuaciones semejantes pa

ra funciones de cuatro o mds variablesEl sisuienie €jemplo se discuti6 brevement€ al principio de la secci6n

856 cApirulo 16 . DERtvADAs pARqALEs

EJEl,tPl,O 2 Calcular el lolumen m:ixjmo del paralelepipedo redangular con caras

paralelas a los planos coordenados que se puede inscribir en el elipsoide l6xt t 4!' t922 : lM.Solucirin La figura 16.59 muestra una posici6n tipica del paralelepipedo. Se desea

obtener el valor m6ximo del volumen

v : f(x, y, z):8xY'

sujeto a la reslricci6n

!lx, )J, z) : 16\2 + 4j,'z + 92' - t41 :0

Como en (16.40), comenzamos escribiendo Vf\x,y. z): )Vg(x, !' z)' o

8]zi + 8i!zj + 8rlk: i.{32ai + 8f + 18zk)

Esto, iunto con g(x, J, z, : O, da el siguiente sistema de cuatro ecuaciones:

8I, : 32:(i, 8i: - 8/,1. 8x] : 182.'., I6x'z + 4!'. + 92'1 - 114: 0

Multiplicando la primera ecuaciSn por x, la segunda porr' la tercera por z y sumendo'

24\rz :32xt1+ 8y'z)- + l8z1).: D"(16" + 4t'z + 9'z)

Esto, junto con el hecho de que 16.2 + 412 + 922 = 144, implica que

24xyz:Dr(.144J o bien rYz-l .

Esta dltima ecuaci6n sirve para encontrar x, f y z. Por ejemplo, multiplicando por ).ambos lados de la ecuaci6n 8/z = 12ttr, obtenemos

SxYz : 32x1)

8(t2i) : 3212 i961 32x? i: o

322(3-x'z:l=0.

Por consiglierte, x : 0 or. = V3. Se puede rechazar tr = 0 porque esta soluci6n lleva

axl. = d y entonces v = 8^tz = 0 Por lo tanto, Ia fnica posibilidad para n es 16'Analogamente, multiplicando por / ambos lados de la ecuaci6n 8xz = 8yI, ob_

SxYz :9Y'z)

8(121):8Y'z,1

96i 8ji'1)':0

8.,i(12 - _v,) :0y por tanto, y: JD-2\14

Finalmente' por z multiplicando la €€uaci6n 8x/ = t8zx v usando €l misnlo m6to-

do, resulta z - 4tr3l3. Concluimos que el volumen des€ado es

r/- u.rj- -8,\t 2,J,(q:-1)- oa\ I r rri .\r,/

16,9 Multiplicddores de Ldsran9e 657

EJEMPLO 3 Sea/(x, -y, z) = 1xl + !2 + 522. Encontrar el purlo del plano 2x +

3/ + 43 = t2 en el que /()., ], z) alcanza su valor minimo.

Soluci6n Se desea encontrar el minimo de /( x, !, z, = 4x2 + /2 + 5?2 sujela a

la restricci6n (/(x, y, z) = 2x + 3t + 4z - 12 = 0. Como en (16.40)' tomamos

v(4xt + yz + 5,1): lvl2' + 1t + 4z 12)

o, equivalentemente,

8.Yi + 2rj + 1o'k: i.(2i + lj + 4k)

Igualando las compolentes, se obtiene el sjguiente sistema de tres ecuaciones:

8x:21.2r=3i, 102: q

Despejando X de las tr€s ecuaciones,

).: 4x : i! :12.

Estas condiciones implican que

r=6x Y ,:9xSustituyendo en la ecuaci6n 2t + 3! + 4z- 12 = o,

2ir+l8r++r-l2:0.obienx =*. Porende,y = 6(aJ-i+ v z = (t)(iil =* concluimos que el valor

minimo se alcaua en el punto (,5,, r{,ft).

Algunas aplicaciones requier€n mis de una restricci6n En particular, considere-

mos el problema de encontrar los mdximos v minimos de /()r, /, z) sujeta a las dor

!'(r.!.2):0 y 4r. -y. :) : 0.

Si /sujeta a estas restricciones tiene un meximo o un minimo' entonces se debe satisfa-

cer la siguiente condici6n para algunos nimeros reales tr y 4:

V/(r.I. z) : lvs(i. Y,:l + PVI(r. t',:)

En el siguiente ejemplo se ilustra especificamente esta situaci6n. El m6todo tambien

puede g€neralizarse a funciones de mAs de tres varjabl€s sujetas a mes de dos restricciones'

EIEMPIO 4 Sea claparte en el primer octante del arco de curva que es la intersec-

ci6n alel paraboloid€ 2z = 16 - r'? - v2 con el plano 'Jr + v = 4. Encontrar los pun-

tos de CmAs cercanos al origen y tos mds lejanos. Calc lar las distancias minima vm:ixima d€ C al origen.

Soluci6n La curva C se encuentra en ia Figura 16 63 Sea P(ir, /' r) ']n punto

arbirrario de C. Quer€mos estimar el mavor y el meno' de los valores de d(O' P) =

858 cApiiuro.r; . DfRIVADAS PARCIAIES

"'Fi.rt + r'. gs posible €ncontrar estos valores determi-nando las ternas (J, ),, z) en las que el radicando

flx, !. z) : x'1 + J,' + z'

al€anza su mriximo y su minimo sujeto a las restricciores

r/(r, Y.:) : r1 + -r'? + 22 16 :0v

l(r,].2)=-r+-v-4:0.Como en ia discusi6n anlerior, consideramos

v(i!r + -y'z+::): iv(.r2 + r2 + 2: 16)+ tv(r + J 4).

o equivalentemente,

2xi + 2tj + 2zk: i(2xi + ?),j + 2k) + di + j)

: (2i; r ll)i + {2},,i + t)j + (2i.)k.

Igualardo las componentes y usando las dos restricciones, obt€nemos el siauien.e siste-ma de cinco ecuaciones:

2x_2xl+tt2r:2r,"+tt2z:!.

\? +l'+22 16-0\+]-4:0

Restando la segunda ecuacidn de Ia primera:

2\ - 2t :121. + pJ lzv). + ttj=2i.-2y)

2(.\ ]) - 2;(r I) : 0

y por lo tanto,2(.r )){l -.i) - 0.

En consecuencia, I= I obien).= y.

Si \= l, tenemos qtre2z-2x = 2(t) o bien ? = l. La primera r€stricci6nx2 + y7 + 2a- 16 = Oda;r: + !2 - 14 = 0. Resolviendo esta ecuaci6n simultenea-mcnreconx y-4 - 0. enconlramo5 que

FGURA 16.63

Por lo tanto, los puntos de C en donde pueden alcanzarse los valores extremos son

P,(l + \il,2 - jl. l) y Pr(2 \,i3,2 + \rJ. l).

Las distancias correspondientes desde el oricer o son

r:l+\il. ]:l-J3 0 bien .t:2 r'1. ):2+.,/3.

d(o, P,) : .rl5 : dlo, P1).

85916.9 MuLtipllc€dores de Lagrdnge

Sijr = .Jr, entonces usando la restricci6n x + l- 4 = 0' obtenemosx + x-4 =0,2.{ 4, o \ea y 2. L5ro da P,12. 2.41 y dlo Pit 2Jo.

Respecro a la Figura 16.6J podemos hacer las riguienLes observaciones Cuando un

punto Pse mueve continuamenre a lo largo de C desde,4t4. 0. 0) ha'ra 810 4 0) su

distancia al origen comienTa en d{o ,4, - 4 disminu}e a un !alor minino vl5 en

Pr y luego aumenta a un valor maximo 2\6 en Pr. La distancia disminuye otra vez a

x=4-t, J=t,y por lo tanto, puede escribirse

EJERCTCIOS 16.9

Ejercicios l-10: Use el mCiodo de los multiPlicadores

de Laerance para calcular los maximos v mininos de

Ia luncion / .ujera i las re5rricciones enuncrada'

l. /(r,)1=rr 4r) +4r:i rr+r::l2. /{x.r)=zJr+r} Lr+.r'i 2J+lI:Il. /1r,],,:r+r+:: 11 i lr +.r::54. /(r, r.:) = \r + rr +:r: \+l+:=15s. /(r. r,:): J: + ]r + ::: .-r'+.= 1

6. /(r. r,:) = r + 2j - r:: :: rl-\r + r:?. /lI. r.:l = \r + f: + :r: r r:1:

E. /(r,1.:):. r2-r:. r+-L+:=l:

9. /(r.i,:.t=rl:r: t-:=2, fr+.=4r0. /1\. r,:, t): rr + )r + :r + r:i J+-r +l::1i

l\-:+.=2: l +l:+lt= -lll. Encuent.e €1 punto .le la eslera -Yr I /: + l':

9 rnes cer.ano al Punlo (2. 3' 4)

12. Sea Cla reda de inle.secci6n de lo! plarcs 3t +2:l +.=6rx-4! +2z=8 Encuentre el

punto de c m6s cercano al orisen'

13. se desea cooslruir una caja con ia forna de un

otraleleDrDedo reflangula que tenga un \olumen

i. r ',"i. rt "ouo po, p,..uadrado del nare al

Jli en P2 y aumenta hasta el valor 4 en B.

Para verificar la solucidn, obse amos que C tiene ecuaciones pamm6tricas

z=4r-tz; O=l<4.

f(x, Y, z) = (4 - t\2 + tz + (q - t1)2

Se nueden calcular los m6ximos y minimos de/usando m6todos para una sola varia-

ble. Se deja al lector demostrar qu€ se obtienen los mismos puntos'

para los lados, el londo v la tapa es $1.00' $2.00

y Sl-50 (en d6lares), respectivamente. .Paraqn€.limensiones se obtiene el costo minimo?

14. Encuentre el volumen midmo del paraielepipe-

do rectangular tal que rres de sus aristas est6n en

las partes positivas de ios ejes t' f v., respecti-

vam€nte, y uno de sus v€rtic.s €s&i en el plano

2x+3'+42=12.15. Se d€sea consrruir un recipieni€ con la forna de

un citindro circular recto con lapa. aQu6 dimen-

siones producen el volumeD mtximo suponien'

do queelarea de la superricie Irene un \alor iiios?

16. Demuesrre que el triangulo de mavor nr€ con

perimetropes equil{tero. {Szs€rexcia: Si los la-

dos son x,l ) . v t p 2. enlonces eldrea e'

ieual a b(r -.t)(r - /)15 - z llL ':.)

l7-2o. Reiuelva lo' rrertic,o 2l_12 de la 5eccioi

16.8 por el marodo de los multiplicadores d€ La8'aige

2?. Demuest.e que el producto de los senos de los

dnsulos de un tridngulo alcanza su mavor valo'cuando el triringulo es equilatero-

2t. Una caja sin tapa cot 13 lorma de paral€lepipe-

do ledansular debe lener un lolumen fijo /i.Para qud dimensiones el erea de la superficie es

860 cepirurolo .-diii 6IiJI IE29. La resistencia de una viSa de secci6n transversal

retdgular es proporcionai al produclo de su an,chura y elcuadrado de ru perafte (o alrurar. Fn-cuenlre las drmensiones de la \isa

'eflangul mar

re.i'renre que \e pued€ e\traer de un rronco ci.lindrico cuyas secciones transvenales son etipses

con eje mayor de 24cm y eje neno. de 16cm.

30. Para fabrical /(n, "y) unidades de cieno producto

se r€quiereD r unidades de capital y/ unidadesde ndo de obia. Lalrzcih de prcduccidn de

Cobb Doull8 se detlile.omo f(x, ')

= kx'rb,donde k es una constante y d y, son nnmgr6sposilivos tales que u + r: l Suponsamos que

f(x, !) - ).r/s!a/5, lre cada unidad de capitaltiene un costo C y cada unidad de mano de

obra tiene un costo Z, y que la cantidad noneta'ria total disponible para cubrir estos gastos es M,de manera que .rC + -vZ : M. ecldntas unida'des de capital y de nano de obra deben enplear-se para lograr la produccidn mtxima?

lllElnrprsoDefim o d$cula lo siguienlc.

1. Funciones de varias va.iables.

2. Curvas de nivel.

3. Superficies de nivel.

4. Limiles de las funciones de varias veiables.

5. Puntos 'nteriores

de una reci6n.

6, Punlos en la frontera de una regi6n.

T Regi6n cerrada.

t, Conlinuidad de las funciones de v&ia variables.

9. Primeras de.ivad6 parciales.

r0. Derivadas parc'ales de orden superior.

ll. Indementos de ls iun.iones devdias v&iables.

t2.

13.

14.

15.

16.

17,

18.

19.

7.

8.

Funci6n diferenciable.

Derivacj6n implicila usando las derivadas paF

La derivada direccional.

El gradiente y sus propiedades.

Planos tangenbs y rectas normales.

Mixinos y minimos de funciones de va.ias va-riables.

Multiplicadores de Lagrance.20.

6.

EJERCTCTOS'16,'10

Ejercicios l-4: Determine el doninio de /.

1. /(a, )) = J36 - 4xr + 9l:2. /(r, r) : In r)3. /1:. rr,;): (!r x: ]'1-rr4. /(r.r,:l = (sec tt(\ - l)

Ejercieios 5-6: Calcule el limite si es que existe

Use coordenadas polares para demoslrar que las

orvas de nivel de tG, lt = xr/G' + J')!'1son rosas de cuatro p€talos. ,Cuel es el valor delim(., 1)-(0, o /(', _y)?

La craiica generada por una computadora de

.f(x, r) = "!1/(x2

+ r2' que se muestra en lafisura. jndi@ que/tiene primeras dtrivada paFciales en (0, 0) pero no es continua ahi. verifi-5 lim

3].r + 5

EJER"]O €

Eiercicios 9-14: Obiensa las primeras derivadas par 25.

24.

13.

t4.

/(r, )l = rr cos ) - l: + 1-\

/(r, f. j) : (rr + l2)i(.!r + :r)

/(1, r..) : ! ln (tq .16.

l:. r,:.,)= rr:\rl +I/1r), I = .r cos r + sr cos I

22, Sean z = fex, x = t + st, f = 2r + 3s- t.Ha]]e Az/at,lz/As y az/at.

Ejercicios 15-16: Endentre las secundas derivada! pd-

t5. /(r,j):rr-rr lrrr.rrd lr' l

t6. /(r,l, z) = \:." "17. sea, (r Demuelre que

+ + .:l)l.I.t'i:-

(a) Delernine el valor dw para la elpresion

||-jr?ntxl+2t-!(b) Deternine dv para w = t'senlz

Encuenrre A, y d, para , = t2 + 3x! - !'1.Use Aw pa.a encont.ar el cambio exado v d, pa-

ra ercontrar una estimaci6n del cambio de vcuando (r,)) varia de ( l, 2) a ( 1.1' 2 l)

Supongamos queal usd la levdeOhmR = Z/1har errores porcentuales de 3'70 v 2q0 etr las me'

diciones de /y de 1, respectjlamenie Use dife_

renciales para estimar el eror porcenlual m{rdno

en el lalor calculado de t-

Ej€rcicios 2l-23: Use la Reela de la Cad€na para ob'

21. Seani. rr )r ' lv r '4x- ! y e: -i + 2l E cuentle aslar Y

As/ A!.

Sean, =.vsen/Z,.r = \at, ! - 11, z = 3t.

Obtenea la derivada direccional de /(:, r) =3r, - l2 + 5ry en el punlo P(2, l) en Ia direccidndet vectort : 3i -4i icuel6s la tasa

maxima de creciniento de JQ, r) e'1 P1

Suponga quela lemperaluraen elpunto (.t, /, .)cst6 dada Por T(\, !, z) = 3t'1 + b': 42.

Determine el valor correspondienle a la lasa de

variaci6n de r en el punto P( I , -3 , 2) en la di_

recci6. de Paipunto O(-4, 1, -2) ecudlesIahs, mn\ima de variaci6n de Z en P?

Un nodelo de ta densidsd u/bard es una f6rmu-Ia que relaciona la densidad de poblaci6n (el

nnmero de habitantes por unidad de erea, por

ejemplo, km'?) con Ia distancia al cenlro de lacjudad. Sea , la densidad de poblaciitn en la ve-

cindad delpuntoP(x,l) de un sistema decooFdenadas rectangulares con el origen en el centro

de la ciudad. Para la lunci6n de densidad Propuesm. encuentre la direcci6n e!laquelapoblacidn crece mas rripidamenle en P.(a) D=ae r, "' ,' , donde d y , son constan

(b), = ae r.-" "" r"'1'r,dondea, Dycsonconsmntes positivas.

Halle ecuaciones para el plano ransenre v la rec-

m Dornal a la srrlica de 7. = 4x2 - 2t2 en.tpunro P( 2, 1,2).

23.

9.

10.

ll.12.

18.

19.

m.

27.

2E. Una curva C esid dada paramdtricanenle por

x = t, t : tr, z = /r. sea/(r,],2) = /: +rz. Caicule ,,/(2, 4. 8). donde u es un veclo.unitario langente a C en P(2, 4, 8).

29. Use .terivadas parciales para obten€r /'(x) su-

poniendo oue I -/rt'.ari.'a.ex - 44'3/+x 2=0

30. Demuestre que cuatquier plano tangente al cono

; -a,:0pasa por el orieeD-

31. suponiendo que i = /(.r, J) satistace t2, +icos, jrir : O, eacreatte az/Ax Y Az/at

CAPITULO 16 . DER]VADAS PARCIALES

Ejercicios 32-33: Encuentre los miixinos y ninimos

32. /(r, v) = ir 6r cos | + e

/h, rt= r':+ .lr'- rl34. El naterial para €l londo de una caja en forma

de un paralelepipedo rectangular cuesaa el doble

Dor centlmetro cuadrado que el que se usa para

los lados y la tapa. icurles con 16 dinensionesrelativas con las qu€ es minimo el €osto para un

35. Dada t(r, /) = .! r2 + ,1, /', trace valias cur'vas de nivel de/y represente v/lr por un vec'tor para un punto P de cada curva.

16. Dada f(.y. l. z) - . - 4rr , 9/ ), ft ace r diasuperficies de nivel de r y represenle v Flp porun \ecror paJa un punro P en cada superficie.

3?. Use el mdtodo de los multiplicadores de Lacran_ge para calcular los mt{imos y miniinos localesd€ /(x, /, z) = .r/z sujeta a la restricci6n r1 +41'? + 2?'z = 8. Tanbi€n hesalo usando elTeo-rcma (16.3?).

3E. Use el n&odo d€ los multiplicadores de Lasran-ge para calcular los meximos y mlnimos 10@16

de l(x, r, z) = 4n'? + /'? + i'sujeta a las r€s'

tricciones ?t v + z=4Yx+2!-.= l.Yerifique su respuesta usando melodos de una

39. Encuentre los puntos de la ernfica de ir' +2! 1 + 3z-t = 1 mes cercanos al oriSen

40. Se des€a construir la tolva de un silo (o elevadorde sranos) en forina de un cono circular recto de

2 pie de radio, coronado por un cilindro circularredo, como se muestra en la figura. El volumende la tolva debe ser de 100 pier. Carcuk las al-turas I y t del cilindro y del cono, .espectiva_

m{te, para las que el lrea d€ la superficie e,

EjERC CrO ,lC

,-rl-[-jt\r'

I

^rnrr"l7INTEGRATES MUtTIPLES

pn este capitulo se generaliza el cancepto de integral definida

que se presento en el Capitulo 5 a las funciones de varias

variables. Se definen lds integtales dobles, las integrales triples y

lds integftles de supeficie y se discuten algunas de sus

prcpadades funddmentales y sus apttcac,ones.

853

INTEG[ALES M[LTIPLES

lf,ll rxrreurEs DoBtEs

La integral definida {l /(t) d. de una funci6n /de una variable se defini6 en (5 8)'

En este capitulo y €n el siguiente se consideran integrales de las funciones de larias va-

riables: integlales dobles, inteSrutes ttiptes, integrules de supetficie e inlegrales de linea.

Cada una de 6s!as se define de manera parecida a Ia que se utiliz6 para las integrales

de las funciones de una variable. La diferencia principal es el dominio del integrando'La integral Ji /(r)dt se puede definir en los siguientes

FIGURA 17 1 "uut.o

p"roi. (El P".o I y el Paso 2 se ilustran en la Figura

+];-* r.+ir-*r-+ it.t.)

Ir] l- Paso I Tomar una partici6n de [4, ,] escogiendo a - to <\<x2<-<xn:b

Piso 2 Para cada k, elegir un numero lt* en el subintervalo lxr r' r*]Plso 3 Considerar la suma de Riemann lk/(lte)ax*, donde Axr = x*- xk-].

Paso 4 Establecer que

donde llPll

f'lt.) a, : ri- I/(wJ ^.\!.!q LPt_o r

es la norma de la partici6n (el rnavor Atr).Si /no es negativa en [4, ,], entonces la suma de fu€-

mann lu,f( ltk) Axr del Paso 3 es una suma de ,reas de rec-

dngulos como los que se ilustan en la Figura I 7.2. Esta suma

se aproxima al6rea de la regi6n queseencuentra bajo la 916

fica de/entre rr = a y J = , Si el limite de las sumas de

Riemann cuando llPll - 0 existe (Paso 4), entonces se ob

tien€ ta integral definida J: /(x) dx cuvo valor €s el erea (exac-

ta) baio ,a sr:lfica.Sea/una funci6n de dor variables tal que /(t' ,v) existe

en toda una regidn cerrada R del plano )rf. A continuaci6n

FIGUiA I7.3

se definire la integral doble j.fx /("r, /) d'4 La definici6n seguire el proceso de cuatro

pasos usaalo para las funcjones de una variable. Para Io que sigue las regiones en el

plano ry de Ios tipos ilustrados en ta Figura 1?.3 son de particular impo ancia Se su-

;one que las funciones tr, u, y ,r, ,2 son contiruas en los intervalos [4, bl y Ic' d],respectivamente, y satjsfacerr,(n) < 9,(x) para iodo x en [d' b] v hllt = h2O) pa'ra todo / en lc, dl. La resi6n ilustrada en la Fiaura 17 3(i) es una regi6n del Tipo Iy la ilustrada en la Figura 17.3(ii) es una regiSn del Tipo II.

l rl\u)tA

Obs€rvese que si R es una rcgi6r del Tipo I, entonces toda recta yertical x = k pa-ra a < k < b co a ld ftonteru de R a lo mds en dos prrtos. Si R es del Tipo ll, enton,ces loda fecla hofizontal y = k paru c < k < d cofta Is Jtontera de R a Io mds en

En lodo esle capitulo, R d€notard una regi6n que se puede descomponer en un n'i-mero finito de subregiores del Tipo I o del Tipo II. Una de estas regiones R est, siem-pre contenida en un rectdngulo cerrado t/. Si F/ se divide en rect{ngulos mds pequeios

mediante una malla de rectas verticales y horizontales, en-tonces el conjunto de todas las subregiones rectangulares ce-

rradas que estiln completament€ conlenidas e R se llamprrtici6n internl P de R. (Esto corr€sponde al Paso I del

Los rectingulos sombreados en la FiSura 17.4 ilustralluna partici6n interna, Si a estas subregiones rectangularcssombreadas se les denota por Rl, ,R2, . ,., R,, entonces lapartici6n intema P se denota por {R*}, La longitud mayorde la de las diagonales de los Rr se de[ola por llPll y se na-ma normr de ls prrtici6n P. El simbolo A,4, denota el dreade R*. Para todo * se €lige un punto (rr, vr) en Rr, comose ilustra en la Figura 17.4. (Esto corresponde al Paso2.) l,asrumas de Riemann (Paso l) se definen como sigue.

DEANTCT6N (17.1) Sea / um funci6n de dos variabl€s definida en una te-gi6n rR y seaP = {Rr} una patlici6n interna de -R. Uoasums de Riemrrn de / para P es una de la lorma

L fiu,. v"\ ^A".

para los pares (rk, vr) estrn en Xt y Alr es el rrea deR*. l,a suma se extiende sobre todas las subregiones nt,R2, ..., R, de P.

Finalmmte, se toma el limite de las sumas de Riemann cuando llP ll + 0 (Paso 4).

Se puede demostrar que si/es codinua en,e, €ntonces cuando llPll - o, las sumas

de Riemann en la Definici6n (17.1) tienden a un nimero teal /-, independientemen-

te de los puntos (r*, ,*) elegidos en las subr€giones Rr. El nfmero a es la integnldobte I[afG, y\dA. A.ontinuaci6n se da una definicidn matemdticamente rigurosa

del limile de estas sumas de Riemann.

DEFTNTCI6N (17.!) Sea/una funci6n de dos variables que est d€finidia enuna regi6n R y sea Z un imero real. La elpr€si6il

I ta"ItmltP -o vk)LA* - L

866 cAPiTIILo 17 r NTFGRALFS MLILTIpLES

significa que para todo € > 0 existe un 6 > 0 tal que si

P - {n*} €s una particidn interna de R con I Pll <6'L-l+ ftur,

"t a Ak - Ll <,

para cualquier elecci6n de los pares ( *, vr) en nr.

La Definici6n (l?.2) afirma que se puede hacer que las sumas de Riemann dels€acerquen al tanto como se quiera escogiendo particiones internas de norma llP I sufi-

cientemente Pequefra.La integral doble de / se define como sigue:

DEANTc!6N (17.3)

DEHNTeTDN (17.4)

Si la integral doble de/sobre R existe' €ntonces se dice que/es integrable sobre

R. Se puede demostrar qu€ sj /er conlinua en n' entonces / es integrable sobre nH;y una interpretaci6n geometrica itil para tas sumas de Riemann v las intesrales

dobles en el caso en que/ es cortinua v /(r' l) > 0 en todo R- Sea S la grefica de

, y g el s6lido (es d;cir la regi6n en tres dimensiones) que se €ncuentra abajo de S

y aniUu a" -R, co-o ""

ituslra en la Figura 17.5. Si Pr(rr' vt, 0) es un punto en la re-

gi6n Rr de una partici6n intema P de R, entonces/(!*, vr) es la distancia del plano ''t'r'

"t punto r*

"n S qu" ..

"ncuentra directam€nte arriba de Pr. El ndmero /('t, v*) A'4r

es il volumen del prisma con base rectangular de area A'4*, cono se iiuslra en la Figu

ra 17.5. La suma de los vohimcn€s de todos los prismas (v6ase la Fisura 17 6) es una

aproximaci6n al volumen I/ de O. Gsto €s analoso a la suma d€ los recdnsulos qxe

se muestran en la Figura l7-2 para las sumas de Riemann d€ las funciones de una varia_

ble.) Como se ve que la aproximacidn ai volumen mejora cuando lPl tiende a cero'

I/se define conro €l limite de las sumas d€ ios nimeros /(trr, vr)A/k Aplicando {17 3)

se obiiene Io siguiente.

Sea/una funci6n d€ dos variabl€s que este definida en

una regi6n R. La integral doble d€/sobre R se denotapor l[ nf6, t\dA v se define por

ll rrx. ttd,q - lrm I /t,^., ,^)-r ar.

siempr€ y cuando €l limite €xista

Sea / una funci6l contin a de dos variables tal que

/(x, /) > 0 para todo (.r, /) en una regi6n R EI volu-m€n l/del s6lido comprendido bajo la grefica de z =/(r, y) y sobre la resi6n R es

v = I] JG. t\d.a.

l7.l lnt€grales dob es 861

r

.,1

Si /(J., ),) < 0en lodo R, entonces la integral doble delsobre R es i9r l al negali-vo dei volumen del s6lido comprendido s.,bre la Ere ca de f y bajo la teel6n R.

En el siguiente teorema se presentan, sin demostraci6n, algunas propiedades de lasintegrales dobles quecorresponden a las de las integrales definidas dadas en el Capirulo5. Se supone que todaslas regiones y las funciones son tales que las integrales indicadas

TEOREiltA (17,5)

En (iii) del teorema, qre no se sobrcponen sientfica quelas regiones Rr y R2lienen en comin, a Io sumo, s6lo pun-tos de frontera, como se ilustra en la Figura I7.7.

l.EJERCTCtOS 17.1

Ej.rcicios 110: Determine sj la.egion es (a) del Tipol, (b) delTipo II, o (c) noesdclTipo I ni delTipo II-

7.

(i\ )JcI('. rtdA c J)I\x. rtdA pard rodo nume

(iD IJI/(r, r,) + s(x. lrldA - Ilrc, tat+ ll a(x- v\ dA.

(iii) Si R es la uni6n de dos regiones Rr y R2 que no se

sobreponen o traslapan,

.lJ /r\.)rd,a )) tt'. rda , .lJ ,,'. ',/4{iv) Si /(x, /) > 0 en toda una regidn R, entonces

)J A,. v)dA > o.

868 .APiTUIo 17 t INIEGRAL€S MfLTIPLES

"+s l*T-- -

6.

17. 9z f(t, r\ = s< + 2r + I v sea R la regi6n d€lprimer cnadrate acotada por los €i6 coordem-dos y la srAfica d€, : a- it'.S€{R.}Pa'.at = l, 2, . . .,7la panici6n intema de R que

se Dueslra d h nsxx a. Calcule la suma de Rie-

nannlr/(rb vr)a'4! si p&a cada k' (s.' vi)

(a) d€ la esquha inferior izquierda d€ R*(b) de la esquba sup€rior d€recha de Rr.(c) o el cotro de Rr-

12, Se f(x, y) = ,r/ v s@ -R la regi6n acotada porel &ap€cio @D vtrtices (0, 0), (4, 4), (E' 4) v(12, O). Sez P la panicnttr inlema de ( delermi-

nada por las redas vethcales cor abscisas 0' 2'

4, 6, 8, 10, 12, y por ld rectas horizontales con

ordoadas 0, 2, 4 Carcub las sumas de Riemann

como en (a){c) del Ejercicio 11.

13. Sea R la regitu triancdar con v6rties (0, 0)'(6, 0), (6, 12) y se.a P la partici6n interna de R

dereiminada por la\ redas venicates @n abscr

sas 0, 1,3,4,6, y por las rectas horizonlales con

ordenadas o, 2, 5, ?, 8, 12. cal@le la suma de

Rienann para la partici6n P de la funci6n / da

dapot Jlx, t) = ir':l, donde (/k, ti) es el cen-

14. Sea

R 1(r. v): 0 < r < 5. 0 < , < . 'y sea P la particidr d€ ,R d€terninada por las r@_

ta venicates con intercepcions x iSuales a 0' 2'

l, 4, 5, y por las rectas horizontales con intercepcionesf iglales a 0,2,4. 5- calcule la sudade Ri€mann para P de la funci6n / dada por

/(x,'y) = a - x/, donde (!r, 'r)

es el punto en

la esquina inferior de.eha de lRk

SedR = {(r,r): d < x < b, c < r < dl Y

,f(x, -v) = t para lodo (', /) en R Hasa la d€-

mostraci6, de que la inregral doble de /sobreR es ieuai a k(D - a)(d .). lsando (a) Ia De-

linici6n (l?.li y O) la Detinicion (17 4)

Seatr /y s dos funcions int€Srables sobr€ R ta-les que /(r, /) >e(x,/)p&atodo(r,/)enRUse las propiedades d€ las integales dobl€s pda

.f.f ^'.

r M > ll s{'' )'t dA

?. l,

<P=l

15.

16.

17. Demusre el Teorena (17.5) (i). (S!8ercncia:

vea$ h deioeraci6n del 'Ieorema (5 14) en el

Demudtre el Teorema (t7 5) (11\- (Sueetacia:

Vea!€ la dqnostraci6n del T€orema (5 15) en et

Apendice rI.)

1E.

rvnulct6x DE tAs INTEGRALES DoBtEs

Excepto en algunos casos elementales, es casi imposible calcular el valor de una integral

aouf" fJ- lt*, rl al aircctament€ a partir de la Definici6n (17 3) En esta secci6n se

l1,t Evatudcion de tds ntegrate! dobes 869

1'

1+ E;-l-,lrr| ;t ,:

demuestra que si R es una r€gi6n del Tipo I o del Tipo II,entorces la integral doble puede expr€sarse en t6rminos dedos integrales sucesiws..ada una de ias cuales tienc sdlo unavariable r'ndependiente. Comenzamos con el caso m:ls sim-ple, ei de una funcidn /que es continua en una reci6n rec

tansuhr n del tipo ilustrado en Ia Figura 17.8.El simbolo i"d /(r, y) df significa que Jr se toma como

constante yl es la variable de integraci6n. Evaluar esta inte-grat equivale a una integraciritr parcial con resp€cto a )r- Acada r en el intervalo [d, ,] le corresponde un valor inico

de esta integral. Esto determina una funci6n.4 tal que el valor,4(t) esta dado por

aGt _ I It!. t\ Jl

Se puede demostrar que la funci6n ,4 es continua para n en el intervalo [d, ,].Tambien se puede efectu3r una integBci6tr parcial con rcspecto a x que se denota por

arjr .1, / r.\. r)r\

En este caso,r se considera constante y se iniegra con respecto a )a. La funci6n B qu€

se obti€ne de esta manera es continua para / en el intervalo [c, d].

EJElilPl,O 1 Realice las sisuientes ;nteg.aciones parciales.

la) .lL l,'+4-rl,/r {b).1 .(r'+4rl/\

Soluci6n(a) La diferencial dt indica que se debe integ.ar con respeclo a !, considerando a xconro conslante. Despu6s de iniegrar tustituimos los exlremos (o limitcs) de integraci6npara la variable /, como sigue:

.j r\'-4'r,-\r-r' I

: (2-rr + 8) (jr + 2l

:13+6(b) La diltrencial dr dice que debemos intcgrar con rcspecio a t, cons\derando a'r co-

mo consrante. Dcspu€s de integrar se sustituyen los extremos de irlegraci6n para la

variable x. como sisue:

.l ,r'-r'rJ .' r"j- (64.r 16r) (.1 8r'l

=60+8r,Como la funci6n,4 en la discusi6n antcrior es continua en [d, b], l(]] se puede

integrar con resp€cto a t:

i"' rr.r a- = | [.1' /,,.'),1.J1 J'

870 cAp rulo 17 t r'.,rlrcneLLs M J. Trpl Es

Andlogallente, puede integrarse B(/) con respecto a / y se obtiene

J'4.''"'. f"f ''' ""'''laLas int€grales en el laalo derecho de las dos l6rmuias anleiores se llaman integrsles

dobles iteralivss. Es cost mbre simplificar la notaci6n omitiendo los corchetes, como

se especifica en la 'iguienre

deinicidn.

DEFNTCT6N (17.6).fl .l! rc, t o' a, = f [f rt', ,r ,,] *!! ll *,'t a, a' - J' [f n,..,r a'] a,,

Obs€rvese que en (17.6) la ptimeru dilerencial ala derccha del inteeftndo f(x' r'determina la variable ie la primera inte|.:iac:5n parciat' El primer simbolo de integral

alaizquietda de f(x, t)€sp;cifica los iimites o exlremos de integraci6n de dichavaria-

ble. esi, al evaluar una integral iterativa se determina primero la integral de adentto

EJEMpro t e'"ruu' f,'Ji, tz, + 6x2v)drdx.

Soluci6tt por la Definici6n (17.6),

lf [Ji, rz'- " o""lar] a' : J [:-r + :'1;l' , a'

= Ii tr't' * 12r') (-2ir + 3r-'1il dr

:ftox+r.'tax

- :*' + :"]l : z:+

EJEMPTO ! r'aruar J', J" t:. + o"L'l,t. dr

Solucicin por ta oefinici6n (17.6),

J', [Ji e" * o"rra''] 4." : f', [" + u"r]l ar

: I, ft'u * 128)) - (l + 2)'j)l dY

- J ' llol r<r 'iv

-63n-'+15r']',=23a

El hecho de que 1as integraies iterativas en los Ejenplos 2 y 3 son iguales no es

una casualidad. si 7 "s co"tl"ua, entonces las dos inlegrales iterativas en (17 6) son

sterrzle isuales. (La demostraci6n puede enconrrarse en ijbros de Cdlculo avanzado )

Se dice qne el resultado de la jnregraci6n es independierne del otden en que se intesre'

€vaiuaci6n d€ las int€S6 er dobtes

Pued€ definirse una integral doble iteraliva sobre regiones que no son rectaDgula-res. En particular, sea /continua en una regi6n rR del Tipo I o del Tipo II, como semuestra en la Figura 17.9. Las integrales itelativas de / sobre las regiones ilustradasen (i) y (ii) de la figura, se definen como sisue:

DEFTNtCt0NES DE (17.7)INTEGRAI.ESITERATIVAS

(i) f J'l:] it',, d/d' = JJIjj;" :r,..,ra,1a"

ri't !! Jii" rr,. y a'o - [! ll!L' re,,t a.]or.

I'

/Yr-J-z:--lj. , - -

En la Definici6n (17.7) (i) se realiza primero una integraci6n parcial con respecto

a / y se sustituy€ la vadable I por 9, (t) y g, (x), en la manera acostumbrada. Luego,

la expresi6n enrresullante se integra de d a r. En (ii) d€ la definicidn se integra primero

con r€specto any despues de sustituir xpor r:(/) y ir(/), se integra el resultado conrespecro a-r, de c a d. Asi. como €n la D€finici6n (7.6) para las regiones r€.langular€s'se iabaja de dentro hacia afueru.

EJEMPIO 4 e'al'". f"'Ji t,' + +r'lal a.*.

Soluci6n Por la Definici6n (17.7) (i),

t I:' " + ''',1"''' l"'[ '-:'r'a= I; t(2r'+ sr') - (a'+ 2r')l dr

_ c,, ;*li _.i

EJEMPI,O 5 avauar Jtr f"' :1 cos -t ax ar.

So!uci.in Por ta Definicidn (17.?) (ij),

.ff [],'" z' *' , a'l ,rr : J' f:r *",1'; ,rr

: J' 1:r senr' - rt 'ir

E72 CAPiIULo I7 ' INTEGRALES MILTIPLES

,*, .,1,

:( cose-:) ('cos1 i):cos L cos9 4!-255 '

El siauiente teor€ma dice que si Ia regi6n R es del Tipo I o del Tipo II, entoncesla intcgral doble definida en la Seccidn l7.l se puede evaluar mediante una integral ire'rativa.

TIOREMA PE (17.8)EVATUACION

DE INTEGRATESDOBIES

(i) Sea R la regi6n del Tipo I que se muestra en la Figu-ra 17.9(i). Si /es continua en rR, entorces

)J ftx. ytdA - ), J4,..fix.ytdydv

(ii) Sea R la regi6n del Tipo II que se muestra en la Fi-gura 17.9(ii). Si /es continua en -R, entonces

f[ra.'tan = I! l,l,l],' tr', 't **.

En el Teorema (1?.8) (i) ta r€gi6n -R deb€ tener como fronten inf€rior la sreficade una ecuaci6n ] = 9, ('t) y como fronterr superior la grelica de una ecuaci6n

f = sr(r.) (v€ase la Figura 17.9(i)). En (ii) i debe tener como f.odt€rx izqaierda la grd-

fica de una ecuaci6r -r = ,r(.y), y como fronlem der€cha la grdfica d€ una ecuaci6n, = /l2(,v) (v6ase la Figura 17.9(ii)). Cuando una regi6n es mes complicada, a memr'do puede dividirse en subregiones de los tipos requ€ddos y luego aDlicar (i) o (ii) a cadasubreei6n.

La demostraci6n del Teorema (17.8) puede encontrarseen libros de C.iiculo avanzado. A continuaci6n se da una ex'plicaci6n intuitiva para funciones no negativas. Supongamosque /(x, ]) > 0 en la regi6n R de Tipo I que se ilustra enla Figura 17.9(i), Sean S la 8refica de /, Q el s6lido que se

encu€ntrabajo Sysobren, y Zel volunende 8. Consideramos primero un plano paralelo al plano /? que corta al e.ie

x en un punto (x, 0, 0) con a < x < ,. EII ]a Figura 17.10se ilustra la traza C de S que estii en este plano. Los puntosPt(x, stE), o) y P2G, s ?(.r), 0) son en los que el plano cor-ta a las fronteras / = grrJ, y y = g?(x) de R. En Ia figurase muestra la parte del plano que se encuentra arriba del seg-

menlo PtP2 y abajo de la superficie S.

D€ acuerdo con lo que se vio en el Capilulo 6, el trrea ,4 (') de esta parE del plano es

/(r): f"', /1r. r)dr.

Como A(x) es el 6rea de una cecc;6o rransversal rlpica de O. de (6.8) ie deduce que

r : | ,rr,t a. - f Jllj'/r,, r,r a', a,

87317,t Evdluac6n d. lds inte9ra es dob€s

Aplicando el hecho de que I/ esd dado tambidn por la D€finici6n (17.4) se ob-tiene la

l6rmula de evaluaci6n en la parl€ (i) del Teorema (17.8). Puede darse una lustllrcactonan6ioga para la parte (ii).

Antes de usar el Teorema (17.8) en la evaluacidn de una integral doble es impotton'le esquematizar Ia regidn R y determinar su frontera. Los siguientes ejemplos enseian

c6no aplicar el Teorema (17.8).

EJIA PtO 6 Sea R la regi6n d€l plano ).J acotada por las

srdficas de / = / y t = 2x. Evalua! il1 (irr + 4l)d,4'(b) usando el Teo(a) usando el Teorema (17.8)(i), Y

rena (17.8) (ii).

soluci6n(a) La regi6n R estd en la Figura l? ll. N6tese que la regidres tanio del Tipo I como del Tipo II. Consider€mos a R co-

mo una regron aet Tipo lcuya lronlera inferior es t - x'y cuya frontera superior es/ = 2.rr para 0 = x < 2 Se ira'za ur segmento vertical entre estas fronteras para indicar

que la primera integraci6n se realiza con respecto al (de la frontera inlerior a la fronte_

ra superior). S€snn el Teorerna (17.8) (i),

.l.J ....'.r,l I J r\r. rrr.i'dr

Del Ejemplo 4 sabemos qu€ esta inlegral es ieual a *(b) Para usar €l Teorema (17.8) (ii) considerarnos a R como una r€gi6n del Tipo II vse despeja t en t€rminos de I de las dos ecuaciones' obteniendo

r: !I y x='ly paral<t=4

Ei s€gmento horizontal en ia FiSura 17.12 va de la frontera

izquierda a la frontera d€recha indicando que la primera in-

regraci6n se efectia con respecto a ).. lUerced al Teorema

(17.8) (it,

JJ/(r,rrdr:J".], ,,r. +'rt ta' ,u

j" l"' +' ' ,." '" 'l'"

EJEI{PIO 7 Sean h r€gi6n acotada por las arrificas de las ecuacionesv = Vx,r =i. rS.y u - 0. y \ea /una lunci6n conrintra en R EYpresar la inresral doble

tl. lx. )tdA como una inresral e irerari!a.

: f [+,' + +r..];;.,, ar

(a) usando el Teorema (17.8) (i)' y {bl empleando el Teorema 117.8)(iil.

INTIGMLES MljLTIPLES

Solu(i6n Las graficas de I = vt y .y = nili tt sonlas mitades superiores {te las pardbolas !2 = x y }2 =31 18. La regi6n R est6 en la Figura 17.13.

(r) Si s6lo queremos usar el Teorema (17.8)(i), es necesario. utilizar dos integrales itrrativas porque para 0 = I < 6 la

frontera inlerior de la regi6n es ia gr:ifica de y = 0, y para6 sn < 9.la frontera inleriores la gr:ifica de/ - ,f. -fS(Los segmentos verricales en la Fisuta 17.13 van de la fron

lera inferior a la frontera superior de R.)Si Rr denola Ia parte d€ la regiitn R que se encuenlra entre x = 0 y ). = 6, y Rz

denota la parte entrejr = 6 y x = 9, enlonces.lQr y 12 son regiones del Tipo L por

It ra. rt uo = !!rt', t aa + jft.', tt a,t

: li l""rr,,,r a,u a, * ll Li.,,rr..,'rr, ^(b) Para usar el Teor€na (17-8) (ii), despejamos jr en t6rmi-nos de / de cada una de las ecuaciones, obteniendo asi

t2+18 : ],r.' + e paraosl<:

El s€gmento horizontal en la F;gura 17.14 va de la fronteraizquierda a la frontera der€cha, En este caso se requjere s6lo

una integral iterativa porque R es una regi6n del Tipo ll. Asi,

Li/r'. rra.q : f fi"''-" r.. ,ra' a, '

Los Ejemplos 6 y 7 muestrancdmo pueden evaluarse cierras inregrales dobtes usan,do (i) o (ii) del Teor€na (17.8). En general, la elecciSn del olden de integrucidn dydxo dx d) depende de la forma de /()r, /) y de la regi6n R. A v€c€s es muy dificil, o hajtainposible, evaluar una integral doble iterativa. Sin embatgo, inyitiendo a |eces el o/-den de integracitjn de dydx z dxdy, o yiceyerca. se puede obtener una irtegral dobieiterativa que es posible evaiuar fiicilmente. Este meaodo se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEI{PIO I nuau ll J.' r.o'"',rrd), inveriir €l o.den

de integraci6n y evaluar la integral resuitante.

soluci6n El orden de inregraci6n indicado dr:dy sef,alaque la regi6n n es del Tipo II. Como se ilustra en la Figura17.15, las fronteras izquierda y derecha son las greficas dex ='lt y x = 2, respectivamente paia}

= ! < 4.

875l7,t Evdluaci6n de as int€gral€s dobles

Observamos que R es tambi6n una regidn de Tipo I cuyas front€ras inferior y supe_

rior estdn dadas porl = 0 y,t = x2, respectivamente, para 0 < x = 2 Por lo tanto'sesnn el Teorema (17.8) (i),

1"" L'"." -. .' 4.. ar : lfi "o,.'' ar : ji f',-' "

ar 4..

: J; ;*"''li' ^ = l; +""'''..: i,; .i.' {cos .'ltsr"l a-.

= -1sen.!'l; : + senl2 - o o55

EJERCICNOS 17.9

Eje.cicios 1-2: Verifique que

f J'r.. rrai a' = J.lJjrt., 'r a' ar '

t. u=t.b=2.. - -1. l=2: /(\.)1=

2. d= ),h- l,,=0d=l: /{r.r)=

Ejcrcicios 3-12: Evahie la ilttegral iterativa.

J. I i .:r,lL.r,

1. .i'1f'Il.rr r rr'),r.rlr

s f' f' 1r, 11,t,.t,

6 l; Jl,l, (-" + )'l /' rr'

'i' J'J:."d,,'a. J" .f" t*.,s r - l cos J)rr' rr

a J'J- rn , J,r, 'u. l; J, i -'/'r'

It. l" f"' i, +sen \ldt l'rr. l"' f'" , c., , Jr .l'

I i.rcicio' l.]-lE: f\.lJemdl J' ld ecro' R d(oladr

, o' r' a';|l.. de las e Larrone' dadJ' , erpre\e'tt, lt^. v'dA co^o un^inregral rlerariva nredranre

rij et reorema r t r sr rit. v (br el Teorems ( 17 8' hi)

13. l'=.t. -:4. ):014. l'=!ir, l={), }-215. r,=rr, r=0. y:8

16. -r=\r. \:2. t=0tr. y = ./x, y:

"18. ]:r'l -rr. f=0

Ejercicios l9-Z: Exprese Ia inteeral doble sobre R co-

mo una inlee.al iterativa y calcule su valo..

le. {1. (.1, + 2.r) d,4; la.esidn rechnsular R con

v€rtices {-1, -l), (2, -l), (2,4) v l-t,4).20 lin (-r - 'y) d.4; la resi6n ltiangular R con v6'

tices (2, 9), (2, l) y (-2, l).

lt. llRx!1dA,la regi6n triangular R con vCrtices

(0,0), (3, l) Y ( 2, l).

t7. [l* (l + lrd,4: la resion R enrre las sieficasis7- *nr1Y - co\\deY-0ar-r'4

lr. lli y cosrj d,a: b resion A acoradd por las

giaricar,ie r = r:. / = o Y x - 2.

24. llRelt dAi ta regi6t i acotada por las grdfi-

casde!=2x,!=-xY!=4.Ejerci(ios !5-.]0: Rep'esenrc la regi6n R arorada por

la. arelicai de Ie ecJd.iooc' dada' Suponiendo que

/ es una runci6n contjnua en i, exprese IJ R /(r. r') l/l.omo rn" .rm" 4t dos ii esrale( rrerari!d' Jel ripo

usa{ro en (a) el reorena (17.8)(i) v (b) el Teoreda(17.E) (ii).

876 CAP]TULO 17 . INTEGRALESMILTPLES

25.8r,=rr, ,.' r=4, .1r+r=926. x:2,r1, i3r=\! r=2\+52?. r=\i3 j', r'::\. \+r+3=02E, r+2_r,:5, \ t=2. 2r+1.- 2

29. 1,:r', 1:lnr, r+r':1. \+r:t+r30. )=senJ, rl:2.Ejercicios Jl-38: Rep'erenre Ia re8ion de inregracioncorrespondiente a la integral irerativa_

,,. J .l r .. /r. rr,/r ,/,

J2. l' f it' ura';.

JJ. f l' li. ,r,r.,/,

14. | - lr, /ir rl,r\ /r

rs. f .1",,,,1r,. rtar a.

:r. .f' .fi"i" rr., oai,r'

:2. .il, Jil*.'rr.. ,r a. ar

:t. f"Jll,.'r',rr,t-,irEj€rcicios 39-,14: lnvierta el orden de inresraci6n y €va-Ite la inlesral resullanle.

3e. J' J' .,,', /) ,/, 40. J" -f' sen,.,rr dl

4r. J' J-l)c"st,/'rr 4r. .f .i""''rr,,rjc. 1,'Ji'- l .a.ar

s. l f l*n'.o, .r',r'JOJ J I

lE AnmyvoruMEN

En la secci6n anterior se vio que el volumen I/ de un s6iido que se encuenrra bajo lagrdljca de. = /(x, ],) y sobre una regjdn del Tipo I en el plano xl, esr:i dada por

-b ^r a, 1-I J 4r\l r, . J. J, , ir,. !r dr d\

dond€ I (x) es el erea de una secci6n transversal ripica del s61ido (vdase la Fieura t7.10).Estas iniegrales pueden considerars€ limires de sunas. por la f6rmula (6.8) para deter-minar el volumen por secciones:

r-f .rr '.t. - tim L r,r-,^donde P' es una pariici6n del intervalo [r, r], ,r es cualquier nimero en el ,t-6simo

subintervalo lxr r, n*] de P' y Axk = rk xr-r. Como seilustra en la Figu.a 17.i6, /(rr)A.r* es ei volumen de unaregion laminar l,r con caras paralelas al plano /3 y cuya ba-se es un rectiingulo de ancho Arr €n el plano r]. Entonc€s€l volumen I/puede corsiderarse como el limite de las sumasde lo, \olumene. de cnas regione. laminare\.

La t]]tggJal tetutita t/ : l: S,l';l:l .f(x, !) d! dx se pred,eexpresar tambien como iimite de sumas. Prjmero se aplicaIa definicion dc la integrai definida como sigue- Si x est:i enla, rl, enionces

,t'', f' ,' , JJ - I'm \ ,r.. ,,. A.JlP,aa.

donde P" es una particion del intervalo [g,(-r),91(r)] en el eje 1,nlimero en el j 6sino subintervalo [y, 1, -l,]] de P' y $,j = yj - tj-t.todo ,* en [.r. bl,

Atut: tkn I /(,.. r,y'

^]iP -o j

y por lo tanto,

t f" A,ta - Iim ) '," \..J, Pl'oT

!r es cualquierEntonces, para

: lim

Omitiendo los limiles en esta f6rmula se obliene una suma doble:

I I /(,,,, ,'y' ^r, ^',

En cuanto a la Fisura 17.17 n6lese que /(!*, r]j) A/t Ai.res el volumen de un prisma con erea de Ia base A-vr Axi y al-

1u-a hu-, v,t. l a.urna doble'c puedeinterpre ar como(i-gue. Manleniendo r /r?, se suman los voltmenes de los

prismas en la direcci6n del eje ]; asi se obtiene €i volumen

de la rcgi6n laminar qu€ se iluslra en la Fisura 17 16. Lueso

se suman los volfmenes de estas regiones en la direccidn del

eje n. En cierlo senrido la integral iierativa efeclfa esto y al

mismo tiempo loma los timiles cuando la base de cada pris-

ma se contrae a un punto. Esta inierpretaci6n es itil para vi

su3lizar las aplicaciones de la integral doble Para recalcar

es.epunrodet.raa vece"ee\pre.d(l roh,mencomo';8ue:

Er. YOTUMEN COMO (17.9)I.|MITE DE SUMAS

DOBIES

/ = lim t t /(r,, r,,) Ay, Axktrr-0 T;

: i' f""" rt", rt,t",.rv

El simbolo JIA I ' 0 se usa para indicar que todos los Ar( v A-vl tienden a 0.

Las 6r€as tambi6n se pueden considerar como limites de sumas dobles Se comien

za denorando la integral doble JJa t d.r por jJx r/1. Si R es una resi6n del Tipo I como

la que se ituslra en la Figura 17.9(i), entonces por cl Teorema (17 8)(i)'

llao- I l'" raLa^ - i'rl'" arJJ J,.',q,,, ', J'tpD.

- J" ",trt u t.t1a'

que seerin el Teorema (6.1), es igual al ,r€a,4 de R. Lo mismo sucede si R es una resi6n

i€l Tipo lI. Estos hechos tambien resultan evidentes a partir de la definici6n de la inte-

sral d;bie, pues si /()., /) = I en todo r, entonces la suma de Riemann €n la Defini-

INTEGRALIS MI]LTIPLFS

cidn (17.3) es ulla suma de las dreas de los rectrngulos de una partici6n interna P deR. Cuando la norma lPll liende a cero, los recrengllos cubren una parre mayorde R y el limite es igual al erea de R.

Si se usauna integral iterativapara calcular un drea, Duede considerarse como limi-te de una suma doble, como se hizo para volimenes. Concretamente, como en (17,9)pero con /(x, /) = 1, se tiene lo siguiente.

Er AREA €OnO (17.10)LII{ITE DE

SUMAs DOBIES

La suma doble en (17.10) puede interpretarse como sigue. pri-mero, manleniendo xfua, se suma sobre todos los rectingu-los de dreas A/l A]:r en la direcci6n del eje -l, desde ia sr6fi-ca de l, - ,r (n) hasta la grdtica d€ _y - 4r(x). Esro da el:irea de una franja rectangular paralela al ejet. como se ilus-tra en la Figura 17.18. Luego se 'rbarre" la regi6n R sumandosobre todas estas franjas desder = a hasta r: : b. El limitede las sumas dobles (es decir ia integral irerativa) efectia es-to ai mismo tiempo qu€ hace tender A).r y A/j a 0.

EJEMPTO 1 Calcular el iirea de la regi6n acotada por las greficas de

2!:16-x2 y x+2!-4=O-Soluci6n La regi6n se €ncuen.ra ba.jo la parabola I =8 - }x'? y ar.iba de la rect^ ! = 2 - lx. como se ilustraen la Figura 17.19. En la figura tambi€n se muestra un rec-tangulo tipico de area Arr^)rk, y la franja que se obtiene su-mando en la direccidn del e.ie l. Usando una integral iterativa

Si s€ usa el Teorema (17.8) (ij) para calcular dreas, emonces

Esta doble suma puede int€rpretarse como sigu€. Ptimeto, manteniendo /Jt?, se su-ma sobr€ los r€ctdngulos d€ ereas A)rr Al,J en la direcci6n del eje x, desde ta grnfica

e : f, ll ,ll,i'" at a. :.f . 'l: ;;i'&r. f' r:t , r\l-J,Ll8 rJ l' ,ji^l4l

=6r t I - :7,t56 a I , t2

e: ffaa: !' [,1';,'x.0 - ,rim" t: ^.r, ^.r,j

.. fb f'tr'A:lldA=l I dvdt = tim IIay.a',

8t9

de'! = 11(/)hastalagraficadex = i?(]) Estodaelareade una lranja rectangular paralela al eje r, como t€ iluslraen la Figura l?.20. Luego s€ barre la regi6n R sumando so

bre todas Ias tranjas desdel - c hasiat = / Como anres,

1a intesral iterativa efcct[a €sto al mismo tiempo que hace

tendcr Anr y ,\)j a 0.

EJE*{PLC t Calcular el drea,'1 de la regi6n en el plano xtacotada por lat grdicas den = lr,x + }, = 2 y }, = 0

5oluci6n La regi6n esta en hFigura il.2l junto con un

rectenguto lipico de irea Atr A/j y una lrania que se obtie_

ne sumando en la direcci6n del ej€ x.Usando una jntegral iterativa,

Tambjen podemos caicular el :irea usando el Teolema (17.8) (i). pero en este caso hav

que dividir la regi6n R en dos part€s separadas pot la recla vertical que pasa por (l' l).

I= 1,, .1,, /'r. +.1, .lo ,r!'r\ '

En los siguientes dos ejempios sc caiculan volinenesrsarldo (17.9)

EJEI{?|O 3 Catcular el volumen l/del s6lido en el primer

octanle acotado por los planos coordenados y por las grafi-

cal de ia\ ecuacione. 7 - x 'r1 I I)2i: v-2'Ssluci6n Corno se ilustraen laFigura 17.22(i), el s6lido

se encuentra bajo el paraboloide z = x'? + )'? + I y sobre

la regi6n trianguldr R €! elplano iq acotada por los ejes coor-

denados Ylarecla/ - 2 2ir.De acu€rdo con la Definici6n (tt.4), para f(x' r) =

x2+yz+1,

I = lfr" + ,' + tr ,1,.1.JJ '

Como en (17.9), esta integral puede interpr€tarse como

limite de sumas dobles

I t /(r\. rJ) ^rr ^r,

: I I (!; + ri + r) ^]j

ar.rj

F!GURA 17.81

ti)

880 CAPiII.]Lo I 7 . INTEGMLES Mi]LTIPLES

€n doncle (r; + t + l)ArAxr representa el volumen de un prisma como el que se

muestra en Ia Figura 17.22(i). Primero se suma en la direcci6n del eje,v, desde I = 0

hasta.r, = 2 2ir. El croquis en Ia Figrra 17.22(ii) muestra la res;6n R en el plano irfy una franja correspondienle a la primera suma. Esta primera suma da ei volumen de

una regi6n laminar con caras paralelas al plano )2. Ahora sumamos los volimenes de

estasregioneslamjrarerenladirecci6ndele.je).desde).=0haslan=l.Usandounaintegral iteraiiva,

( Yrtr r l0rr l0\+r.4)/\

a .'<. lll ,'*-,'t"="Tambi6n podemos calcular ,/irtegrando primero con respecto a Jr. En este caso la inie-eral iterativa liene ia forma

EJEI{PI,O 4 Calcular el volumen I/ del s6lido acotado por las er6{icas de x2 +v2=9yrz+22=9-Soluci6n Las sreficas son cilindros de radio 3 cuyos ejes se co.tan ortogonalmente. En la Figura 17.23(i) se jlustra la parte de est€ s6lido que est6 contenida en el primeroctanle. Por simelria, basta calcular el volumen de esta parte y multiplicar el resultadopor 8. En la pane (i) de Ia figura se ve que el s6lido se encuentra bajo la grdfica d€

z : J9 f' y sobre Ia regi6n R acolada por el eje x, por el eje -}, y por la grafi-ca de jr2 + yr = 9. Entonces por la Definicion (17.4),

J '' l 1.,,d' I' f',-, "'"r=j'=J;

v=81[(.s-!-1)'1'.1A.

r = J' J'""' t" + ."' + t) dr d.]. '

Pod€mos considerar la integral como limites de sumas dobles de los volimen€s deprismas, como se muestra €n la Figura 17.23(i). Primero se suma er la direcci6n del

(0

eje x, desde i = 0 hasta )l: = (9 - f'])r/'?. El croquis en la Figura 17.23(ii) muestra laregi6n n en el plano r), y una franja correspondienie a esta primera suma. Esto da elvolumen de una regi6n laminar con caras paralelas al plano x?, Luego se suman estosvohimenes laminares en la direcci.jn del eje/, desdel = 0 hasra / = 3. Usando unaintegral iterativa,

= r Jj iv - r'r a-" = r ler 3r']i - r++.

La integral doble tambi6n se pod a evaluar integrando primero con respecto a /; sinembarao, Ia integraci6n en este orden es mucho mes complicada.

": t I"'1"""' ts r't''' r"or'-tj,j kn-r'i""]i """'a,

EJTRCTCIOS 17.3

Ejercicios l-t0: Rep.esente la regi6n acotada po.lasereliq de las regiorq dadas y calcule el 6rea por me-diodeinreSralesdobles. lnrerprer. cadr una de I.s in.tesrales dobles cc'mo Iimite de sum6 dobl€s trazandoun rect6nSuto lipico de ,rea A,rr Axr y la franja rec-tangular correspondienle a la primera suma de la su-

l, r:1/r1, y: -rtr, x:1, J:::. v="&. y= x. J-1, r=43. .y'= -t. . )=4, r= l, v=2,1. r:.ft, t r=2- )= 2. I=35. l: r, ) : 1,\. r 1. l:46. -\ _1'+l:0.7r ) 17:0,2x+r+2=07, i=e', J =sen-\,

E. i=li rl, )=0, _f :l9. t=i'], l=l/(l+x'7)

10, y=cosh\t=senhr, J:-1. x=l11. Calcule el volumen d€l !6lido que se encuentra

bajo la srlfica de z = 4jr' + /'y sobre la re-

si6n lec.angular R en el pleo ry con v6ni@s(0, 0,0), (0, l, 0), (2, 0, 0) y (2, l,0).

12. Calcule el volurnen del sdlido que se encuent.abajo la srafica oe ? : 12 + 4/'y sobre la re_

regi6n triangular R del plano ry cuyos ldrticesson (0,0,0), (1,0,0) y (1,2,0).

Ejercicios 13-20: Represente el s6lido contenido €n elprimer octanle y acotado rJor las graficas de ld coa-ciones dadd; calcule su volum€n.

ll. rr+2,=9, '.=2r,

r'=0, z=0

14. z=4 x:, r+)i=2, r=0, t=0, :=015. li+),+z:4, x=0, -v=0, z:016, y1=2, ,:t. t=4. z=O17. z=\'z+!1, t=.1 r'z, i=0,)'=0, z=0lE. z=13, r=rr, r:0, 2=0, /:119. z = rr, r:4)r, l6y = r'z, t:020. rr +.i/ = 16. x= z. !:0, z =0

Ejercicios 21-24: Calcule €l volunen del s6lido a@ia-do por la grAfica! de las @uacions dadar.

21.,-\,+4, y=4 x', r+t=2. z:0??. y=xr. y=ra, . x y:4, z=O

23. x2 + 21 = d2 y r'?+ ),'?= a: donde a > 0

24 Y:r3 + )':ir + 'rr3 d,/r donde d > 0

Elerqcrc 25-30 La integral iteradva reP.Mta el vo-

lumen de un s6lido. Desoibalo.

2s. J_,l. ir'+ r')a' 'r\

26. I:l:-" Ja-7-dyd'zt. ll tu)a+ ta'atua. l"'l,1f ,eT7a'arzs. J! Jl,t ar a"

u. 1;1""'aya'

CAPiTULO 17 ]NTEGRALES MULTIPLES

l@ lxncmms DoBrEs EN cooRDENADAs potAREs

(D

En esta secci6n se discute c6mo evaluar una integral doble

sobre una regi6n R en un plano coordenado y que esle aco-

tada por grdficas de ccuaciones polares. Consideramos pr!mero la regi6n polar elemenral de la Figura l7-24, delirnita-dn por arcos de circunferencia de radios rr y /zi con centro

en el origen, y por dos rayos que parten de este punto. Si A0denola la medida en radianes del ,ngulo enire los rayos y

At - r)- rt. enronces el drea rr,4 de ia regidn e\

LA : :t3 ^e

- it:I ^e.

Esta f6rmula tambidn puede escribirse cono

^A : :n) - ri)

^0 : +lr: + /,)(r, r,)

^d.Si se denora el radio medio j(/", + ,'r) por ., entonces

LA=rLrL0.Luego se considera una regi6n R del tipo ilustrado en la Figura 17.25(i), acotada

por dos rayos que lorman ensulos positivos o y B con el €je polar, y por las sr6ficasde dos ecuaciones polares r = s1@) y , : !t,(0\. Sup6ngase que las funciones u, ytrsoncontinuasyquegl(r)<gu(r)paratodo0enelintervalold,Pl.SiRs€subdi-vide por medio de arcos de circunferencia y rayos como semuestraen la Figura 17.25(ii),entonces ei conjunto de regiones polarcs elementales Rr, Rr, -.., R, que estdn com-pletamente contenidas en R es una partici6n polar inte or P de R. La norrna lPl de

P €s la longitud mayor de las diasonales en las Rr. Si se escose un punto (,'r, di.) en

Rr ta1 que /* es €l radio medio, entonc€s

LAP = 7r6'1 46r'

Pa.a una funci6n continua/de las variables polares r y d, se puede demostrar el

siguiente resultado.

TEOREMA (17.11) lim :/('*,

= J,, J. ,^,

IJrc'ttoof(t,0\tdtd0.

FIGURA I','5

hiegr.l€s dobl€s en coord€nddas podr€s

IIGURA 17.16

El integrando al lado derecho de (17.11) es el producto de /(r., d) y /. Esto se debe alh€cho de que A,4 es igual a &ArrAd,{.

La integral iterativa (17.I l) puede considerarse como li-mite de sumas dobles. Primero se mantiene fijo , y se sumaa lo largo de la r€gi6n en forma de cuia, ilustrada en la Fi-gwa 17.26, desde 1a gdfica de s t hasta la eftfica de a,. conla segunda suma se describe la regi6n haciendo variar d de

a a /3. La integral ilerativa denota el limite de estas sumas

cuando llPll iiende a cero.Si/(r', r) - I €n toda R, entonces la integral en (17.I l)

es igual al 6rea de R. Esto se concluye tambi6n de los resLrl-

SOluci6n r-areei6n este en la Figura 17.27junto con una

cuna dpica de regiones polares elementales obtenida al su-

mar desde la frontera r = d hasta la frontera J. : 2d sen d,

Luego se describe o barre la regi6n haciendo variar d de ,r/6a 5trl6. (Con frecuencia se comete el error de hacer variard de 0 a tr. aPor qu6 es incorrecto lo anterior?)

Del Teorema (t7.11) con fO, A) = 1,

tados del Capituio 13, ya que despu6s de la primera integraci6n parcial con respectoa /, se obtiene la forrnula del Teorema (13.12).

EJEIIPIO 1 Calcular el erea de la regi6n R que se encuentra fuera de la grefica de

r = d y dentro de la grifica de / = 2asend.

: f"',,,1"" ae - | \ad .en, p a1)dn

-, l''(o' -co'20- r)",4-,,["1r -2cosre,/b

t:fiat:[)i"f"""'Para simplificar las operacjones puede usarse la simetria de R con respecto al ej€ /.En este caso se hace variar 0 de n/6 a tr/2, y se mulliplica por 2 el resultado. Asi

a: l!ae =z l'l 1"""'

:,[,_"*"]",.:,.(;_i (; f)l=o[ir*]='-'

EJEMPIO t Calcular el erea de la regi6n R acoiada por un rizo del l€mniscaio (o

lemniscata) r: = a2sen20 donde a > 0.

INTEGRALFS MILTIPLES

FIG{ RA 17.98

l"'l^*""*ou- l .. i''"'n- .I 'a,se odo

- ',.".:e].'. idl t tl-',a,.

En condiciones adecuadas, una integral doble en coordenadas rectangulares se puedetransformar en una integral doble en coordenadas polares. Primero se sustituyen enel inlegrando las variables , y ,t por r cos d y r sen 0, Luego se sustituye en la integraliletaliva dj dx o bie dtdtpot rdrd0obientdAdr. La siguiente f6rmula muestra laforma general alel integrando. Ei simbolo de integral doble il" debe reemplazarse porun simbolo de int€gral iterutiva apropiado.

(17.12',t

Si el integrando /(.r., , ) de una integral doble i f* /(x, t) d,4 contiene la expresi6nrl y: o 'i la fiontela de Ia region R incluye arco; de circunlerencia, eoronces el usodelas coordenadas polares facilita laevaiuacj6n, Esto seilustm en el siguiente ejemplo.

5oluci6n La curva est6 en la Figura 17.28 junto con una

cuia de regiones polares elementales obtenida sumando des-

de el orig€n (/ = 0) hasta la frontera rr = a'?sen 2d de R en

el primer cuadrante. Luego se describe tal rizo haciendo va-riar d de 0 a n/2. (Obs6rvese qne t no esld definido patur/2 < e < r o bien 3r/2 < 0 < 2r.)

Por el Teorema (17.11).

EJETTAPLO 3 Usar coordenadas polares para evaluar

t : !!ae

llta. tt at a' = [!tt, "os d. r send) r d/ rd.

J "J" (\'

SOluCi6n La regi6n de integraci6n estd delimitada porIasBrdtrca,deu-0(el ejex, yy .n Jtmedracrr-cunferencia), como se muestra efl la Figura 17,29, Primero

sustituimos x2 + f'z en el integrando por 12 y df dx po! tdt d0. Luego se cambian losiimites a los de coordenadas polares. Haciendo referencia a la Figura 17.29, obtenemos

.1.,.t" (r? + y'z)3r'? d_r'dr : fi lt,"d,uIl't]i'"*:t:t 1;*

+,l::+

l7.l lntegrales dobl€s en coord€n.das poares 885

Las coordenadas polares pu€den usarse tambidn para integrales dobles sobre una

regi6n R del tipo ilustrado en la Figura 17.30(i). En este caso R estii acotada por los

arcos de dos circunferencias de radios a y ,, y por las grificas de las ecuaciones polares

0 = ht7\ y 0 = ft2(r), doDde las funciones /,r y ft2 son continuas, y ht(t, = h2O\para todo r en el intervalo [4, ,].

Si /es um funci6n de r y d que es continua en n, entonces el limite en (17.11) existey la f6rmula de evaluaci6n correspondi€nte este dada como sigrie

TEoREMA (17.13)

La integral iterativa en el Teorema (17.13) se puede inlerpretar en t6rminos de limiiesde sumas dobles. Primero se mantiene. fijo y se suma sobre un arco de circunferencia,como se ilustra con la regi6n coloreada en la Fig ra 17 30(ii) Lueso se describe R su-

mando los t6rminos correspondientes a cada una de estas legiones anulares d€sde,' = d

hasla r : b. El siguiente ejemplo ilustra este m6todo.

EJEMPIO 4 c:tcularpolar, las grAficas de rentre0:iy0-1.

el drea de la m€nor de las dos regiones acotadas pot el eie

= 1, r = 2 y la parte de la espiral t, = I que se encuentra

Soluci6n La regidn R esd en la Figura 17.31 junto conuna subreei6n anular formada por regiores polares elemen-

tales. Aplicando el Teorema (17.13) con /(/, d) = l:

lf rr',otae = [j llj,',",'n,.et,aoa,

- t:,a):' ,b = l:,(:),b-ta,:,li:z-t:t

,e- fiae= tj []'',aoa,ffiSi/(r, d) > 0 en toda una resi6n polar R, entonces la inlecral doble jjr /(r, ,)d,4

en (l7.ll) pu€de considerarse como el volumen de un s61ido. La diferencia principalcon las coordenadas reclansular€s es que s€ consjde.a la gr6fica S de z = IO,0\

886 cAPhuLo 17

FtGUtA 17.32

. INTEGRALES MI]LTIPLES

en coordenadas c//idn.as El s6lido se encuentra bajo la 916_

fica de S y sobre la regi6n R. Si se usa una partici6n polar

d€ R, entonces la expresi6n f(tk,qitkL4AAken(17 11)

puede jnterpretarse como el volumen de un prisma de altura

/(/k, Pr) y lrea de la base rrAr*40k, como s€ iluslra en la

I rgura l7.J). Fl lrmile de la' 5un,as de e'ta. e\pre'ionet e\

igual al volumen.

EJEMPI,O 5 Calcular el volunen l/del s6lido acotado por

el paraboloide r = 4 - r'] - -v'] y por el plano v.l-

Soluci6n La parte del sdlido incluidaen el primer octante este en la Figura 17.33(j).

Por simetria, basta encontrar el volumen de esta parte y multiplicar el resultado por

4. En coordenadas cilindricas, la ecuaci6n del paraboloide es I = 4 - rr. La regi6n R

en €1 piano jry este acotada por los ejes coordenados y un cuarto de la circunferencia

r = 2. Esto se muestra en la Figura 17.33(ii) iunto con una cuna de regiones polares

elementales.De acuerdo con la discusi6n anterior a este ejemplo, cor f(t,0) = 4 - t1,

La ,,u a, aeI 4ll,/ -,,J1 a.lo ,"

- o,l ' 1,,- l'' l;,i, - + J- 4 Jd - ri'4- - 8

El mismo problema, en coordenadas rectangulares, lleva a la siguiente integral dobl€:

:+J'J"" "t+--."1ara'.v-4lls x' i'),tA

FIGURA 1?.33

(i)

La evaluaci6n d€ esta illima iniesral convencera de las ventajas de usar coordenadas

cilindricas (o polares) en cjertos problemas-

it.5 Area de una slp€ficie

EJEnCTCtOS 17.4Eiercicios 1-6: Use una jntesrat dobte para catcularel fuea de Ia regidn indicada.

1. Un rizo de. = 4sen3d.

2. Un rizo de / = 2 cos4d.

.]. Dentro de. = 2 2cor0 y fuera de r J.

4. Acotada por / : 3 + 2 sen ,.

s. Acotada por el rizo de rr = 9cos29 que !a de0= n/4a0 = i/4.

6. Denlro de / = 3senryfuerade.: I + senr.

Ejercicios 7-12: Use coordenadas polares para evaluaJla integral.

?. JJn (n2 + r')312 (u pta ta tesi'n R acota.lapor la grefica de.r: + /r = 4.

8.

9.

ilR x'(x'1 + /1)3 dA para la regi6n I acohdapor las graficas de/ : r/l r' y r = O.

ll^ Ixl/(x1 + ,'1)ldA pata la resi6n R que se

encuentra ente las circunferencias conc€nbicasx1 + y2 = a2 y ).2 + ))z = rr, donde 0 <

10. IJR (x'l + -','z) d'a para la resi6n ,R acotada porh srefica de (x': + !'zr'1 = x' - 11.

11. ljn (x + l)d4 para la recidn R acotada por la

srdfica dei' + y1 2! = Q.

12. JJR \itr + r': d/ para la reci6n triansuld li con

v€rrices (0, 0), (3. 0) y (3. 3).

Ejercicios 13-18: Evalf€ la integral.

r..l ,j, . "-'ira'14. .1".1" i! +i'r"J.L /,

Irr i1 /r /.J Ji \,r + Jl

16. .1, J, e ' .rr /

887

l'f t'i.n.,.'r "r,t,

,r'

Calcule el volumen del lolido que se encuentradentro de la esfera x] + !'z + 21 = 25 y f*t^del cilindro -!'z + r,'? = 9.

Calcule el volumen del sdlido qu€ se obtiene cor-tando el elipsoide 4i'? + 4/: + z2 = 16 con €lcilindlo t'1 + .),tr = l-Caicule el volumen del s6lido deftnitado por elconoz= /yel ciliDdro. = 2cosd.

Calcule el volumen del s6ljdo delimitado por el

paraboloide z = 4/:, el cilindro / = 3sen0 y

23. calcule el volumen del s6lido que se encuentra

den o de la. graiicat de x'1 1!'1 zi 16tx1 +rr_4r=0.

24. calcule el \ olumen delsoldo aco@do por la5era

ficasdez=9-r2 ,2yt=5,25. Sea R, la re8ion acotada por la cironferencia

:l-) r l: = .rr. Evatie Ia inlegral impropia de

finida por

f'f . /./,, r,,n ffe ,a.,.'-126, (a) Se puede denostrar con metodos avanzados

I l'. ,,.-i d'f d,JJ

Use esto y el Eiercicio 25 pda d€mostrar que

f:. r " l-r = G. lnterprete geomet.ica-

menre este .csu1lldo.(b) Use ia parte (a) para demostrar que

ll'," "''^:'(Este resultado es importante en el campo

11.

18.

t9.

20.

21.

22.

lffi Anu DE UNA suPERFlclE

En la Secci6n 6.5 se obluvieron l6rmulas para el drea de una superficie de revoluci6n

En esta secci6n se presenta un m6lodo para calcular las dreas de superlicies mes genera'

888 cApirulo 17

'IGURA 1',]4

. rNrEcMLEs MiLTtPLES

I"L:./ ..,

'\l'

DEITNtCtON DEt (17.14)AREA DE I,'NA

SUPEIIFICIE

les. Sea/una funci6n con primeras derivadas parciales con-tinuas, tal que /(r, /) > 0 en toda una regidn R del plano

)./. Sea S la pane de la giifica de / cuya proyecci6n en elplano rl es R, como se ilustra en la Figura 17.34. Para sim-plificar la discusi6n, se supondrd que ningfn vector normalaSes paralelo al plano nl. A continuaci6n se definire el6rea,4 de Sy se obtendrd una f6rmula que puede usarse para calctrlar A.

Sea P = {Rtl una pa(ici6n int€rior de R, donde laslongitud€s de los lados de los rectangLlos R,r son Air* y A&.Sea {x/. v/. 0l un punto cualquiera localiTado en'R^ r .eaB/a, y7, fQ1,, ys)) el punro correspondiente en S. Consi-

,4 = Iim IA/l.

Para encontrar una f6rmula intesral para ,4 s€ escoge(rr, /*, 0) como la esquina de R* miis cercana al origen.Sean a y b los vecto.es con punto inicial ,8r (r*. lk, /(r*,.r,*,que son tangentes a las trazas de ,9 en los planos.1, - 7* yir = ,T*, respectivamente, como se iluslra en la Figura 17.35,en la que se muestra un recringulo aislado. Usando la inr€r-pretaci6n g€om6trica de las derivadas parciales dada en Ia Sec-ci6n 16.3, Ias pendjentes de las r€ctas delerminadas por s yb en esios planos son r("yb f*) y ,().*, lr), resp€€rivamen-

deremos ahora el plano langente a S en rr, Sean A7* y ASk las dreas de las regionesen el plano tangente y en S, respectivamente, que se obti€ne proyectando Rr vertical-mente hacia arriba (v6ase la Figura 17.34). Si la norma ll P ll de la pa(ici6n es pequeffa,enlonces A f* es una aproximaci6n a aSr. y I. A Ir e\ una aproximacion al drea / de.S. Como esta aproximaci6n mejora cuando l]Pll tiende a 0, se obtiene el siguiente re-sultado.

a = A.r,i + l,(_\,. ]J A_rkk

b _ Arij + l(_r.,.].,) dltrk.

El Area AZk del paralelogramo determinado por a y b es lir x b ll. Como

k

l,(rk. ],i) ^],r

rJ

o ali

a x b = ,.{xr, }'r) ^rtr ^}ri

- l;(xtr, Jr) ^rr ^r,rj

+ djrk a}rk.

17.5 ired d€ un. supedici€

Por lo tanto,

donde Axk A/k = A,4*. Si, como en (17.14), se toma el limile de las sumas de ias A r*y s€ aptica la d€ainici6n de la integral doble, se obtiere lo siguiente.

^=II'.(x, r)1'z + Ifix, tt]') + t ae.

E89

TNTEGRAT PAnA Er (17.15)AREA DE UNA

SUPERFICIE

.41

I

La f6rmula en (17.15) tambi6n puede servir aunque /(),, /) < 0enalgunospuntosdeR.

EJEMPI,O 1 Seaf la regi6n rriangular drl planoxlcon vdrlices {0.0.0). (0. I.0,) (1. l, 0). Calcular el drea de la superficie de la parle de la Srdfica de z = lx I /'que se enc entra sobre R.

Soluci6n La .eglan R del plano jr, esta acotada por lasgrdficas de/ = x,t = oy J = 1, como se muestra en laFigura 17.36. Empleando /(x, /) = 3). + /2 v aplicando(17.15), obtenemos

.r : lf .",3'+ r:rt- + r a; : l"' f tro + +r't',' a' ar

: .["'tro + +v1'"'1" 2': f"'{ro * +r1"'r ar

_ r ,r,, ,0,,,,,-l, ra., Io,, - rit2'lol'

EJEMPIO t Calcular el erea de la superficie de la parte dela grdfica de la ecuaci6n z - 9 -.x2 - ]2 que se encuentrapor arriba o en el plano r/.$qluci6n I-a grari.u esta en h Figura 17.37. Por (17.15),

t= lt.tl-iiil-rlF+ r a,t

: li.,4i-l4;i + r d',1"

para la regi6n R del plano r/ acotada por la circunferencia *2 + l'z = 9. Si usarnos

coordenadas polares para evaluar la integral dobl€, entonces la ecuaci6n de la fronteracircular de R es t : 3 Y Dor lo tanto,

t: [] tl rwn , a, ae.

Podemos il€mostrar que A : t(311/2 - l\/6 - ll1 3

890 cApiTULo 1? t TNTEGRALES MllLTtpL€s

Se pueden obtener ldrmulas semejantes a (17.I5) cuardo la superficie S tiene proyecciones adecuadas sobre los planos /.? o )az. Por ejemplo, si S es la grefica d€ una

ecuaci6n l, = 4(x, ?) y su proyeccidn en el plano ).z es Rr, entonces

.r - il. Lr, ,l' , 1,,.,.. ,l , r da..1., 'l

Tambi6n se puede dar uila l6rmula de este tipo cuando S est.i dada por x : i(1, !).

EJERCTCTOS 17.5

2.

3_

L 6.

1.

8.

1.

5.

Calcule el 6rea de Ia superlicie de la parte de la

srdfica de.z = , + l\: {tue se encuenta sobrela regi6n cuadrada del plano x/ con v€rtices(0,0, 0). (1, 0, 0), (1, l, 0) y (0, l. 0).

Determine el area de la regidn delplano: = _y +I que se encuenlra dentro del cilindro rr +

Calcule ei tuea de la parte de la grdfica de la ecua-cicn,(r/a) + (!/b) + (?,/c) = I queesteden-rro del cilindro r, + !1 = d1, dorde a. b, c yd son lfmeros reales positivos.

Plante€, pero no evalne, una intesral para cal-cular el rrea de la superficie de Ia parte de la es

lee x2 + t2 + z2 : 4 que se encuentra sobrela regi6n cuadiada del plano ry, con v6rtices(1. 1, 0), (1, t, 0), (-1, I, 0) y ( l, -1, 0).

Calcule el 6rea de la superficie de la parle de laesfera con ecuacidn r: + 1': + z2 = a': que sehalla denrro del cilind.o 11 + !) a! : o.

Calctrleel area de la superficie de la pane delci'lindro ),t + z2 : a2que se encuentra denbo del

cilindro x: + f: = a':.

Calcule el 6rea de la superficie de la pane del pa'raboloide ? = x' + /2 que se obtiene al cortar-lo por el plano z = t.

SeaR Ia resi<jn triangular delplano 4v con v6ni-ces (0, 0. 0). (0, 2, 0) y (2, 2, 0). Calcule el areade la superiicie de la pane de la gralica de z =-r,r que se encuenira sobre R.

Calcule el ,r€a de la superficje de la parle de lagrafica de z = ry que esti dentro det cilindro

Calcule el drea de la superficie de la parte del pa-

raboloide hjperb6lico r x: - r: que se en-

cuenlra en el primer octante denlro del cilindro

10.

lff rxneurEs TRrPrEs

Las integrdles triples de una funci6n/de lr.es variablesx, /,. se pu€den definir siguien-do un proceso de cuatro pasos parecido al que se usd para las funciores de dos vada-bles en la Seccidn 17.1. A continuaci6n se definen para el caso mes sencillo, cuando

/ es continua en un paralelepipedo rectangular O dado por

Q = IG, r, z): d = ir < b, c = ! = d, m = z < nj

como s€ ilustra en la Fisura 17.38(i). Si se divide O en subregiones Cr, o,, ..., O"'x.e-diante planos paralelos a los tres planos coordenados (v6ase la Fisura 17.38(ii)), enton-ces el coniunto {Or} es Lrna partici6n P d€ O. La norma llPll de la particidn es la

891

flGUnA 17.la(t (!ii)

longitud d€ la mayor d€ las diagonales de todos los Q*- Si A)r*, A} y Aa* son las lon-gitudes de los lados de Ok, corno en la Fisura 17.38(iii), entonces su volumen d r/* es

AIl : drr Arr A:r.

Una suma de Riematrn de / para la partici6n P es una suma como

I l(r,, r,, '.)aY'donde (rr, v*, l,r) es un purto arbitrario en Oi. El limite de las sumas de Riemann

cuando llP | * 0, se detine como en el caso de las funcicnes de dos variables. Si el

limite exjste, se denota por Illaflr, r, z)ttVy settama inregml triple de/sobre O.A continuacion se tiene. usando la nolaci6n de limites-

tNIEGRA|. TRtPr.E (17,16)DE f SOBRE O

Se puede demostrar que si g es la regi6n en la Figura 17.38(i), entonces

La integral iterativa del lado derecho se evalfa de dentrc hacia afueft. Asi, primerose iniegracon respeclo a ir (manteniendo y y? fijas); luego con respecto a/(rnanteni€n-do ? fija) y despu6s con respecto a z. Hay otras cinco integrales iterativas equivalertesa la integral triple de /sobr€ 0. Por ejemplo, si el ord€n de integraci6n es/, z, rl:, se tiene

!t[tt'. t', -.t av : [^ 1' j) 1t",t,'td'a:'d"

Jlf n', r. e ar : | | I,' t(',,-, ),lt,t, d'

Cuando O es el paralelepipedo recrangular sombreado en la Fisura l7-38(i), el or-den de ini€graci6n no altera el resultado.

ltll". ra av =a

I/(rk, llk, "tr) ^vtr

lim

899 cAPiIULo 17 . INTEGRALES M0LTtpLEs

tJEMPto 1 Evaluar JlJ3xlr?r drl para

Q - {G,!,2): -l < r 3 3, I < } = 4,0 < z < 2}.

Soluci6n De las seis integrales iterativas posibles elegimos la siguient€:

lf Ji, J"' r',"' a. a' ar : J,' Ji, 'r'.'l; a' ;v

- ji ji, a.'''r' o' : ji+"v'l' , a"

: Ji r:o-u' +r.'i ar, - rr'll : zoro.

En el Ejercicio t se pide evaluar la inlegral con los otros cinco 6rdenes de jnlegra-

ci6n.

Pueden definirse las integrales tdples sobre regiones m6s complicadas. Por €jem-plo, sea R una regi6n del plaro rf que se puede dividir en subregiones del Tipo I ydel Tipo ll, y sea O la regi6n en tres dimensjones definida por

Q = 1$, t, z): (x, /) este en R y kr(x, r) < z < kz/jr, ])ldonde las funciones kr y k, tienen primeras derivadas par-ciales continuas €n /Q. La regi6n qse encuentraentre las gre-ficasdez= kt(x, r) y z - kr(x, /), y ardba o abajo dela regi6n R (v6ase la Figura 17.39). Si I se subdivide medianteplanos paralelos a Ios tres planos coordenados, entonces losparalelepipedos (pequeflos) Or, qr, ..., g, resultantes quese encuentrar completamente dentro de O son una prrtici6nitrterna P de 8. En ta Figura 17.39 se muestra un elem€ntotipico q* de ulla particidn interna de O.

Una sumr d€ Ri€mantr de /para la partici6n P es una^Gsuma de la formal*/( uk, t'k, wi Lyb donde (rr, v*, )rl) es un punto arbitrado en

O^, y AIl* es el volumen 8*. La integral triple de / sobre O se define tambi€n comoel limite en (17.16). Si /es continua en 9, se puede d€mostrar el siguiente resultado.

TronEMA DE (17.171

EVATUACIONIfito.,.au, - filli',i)'-'r<". '.

*,la,qo

La notaci6n en el lado derecho de (17.1?) significa que se integra primero con res-pecto a .? y luego se evalia la inreeral doble resultante sobre la regi6n R del plano {tusando los m6todos de la Secci6n 17.2. Si R es del Tipo I, como en ta Figura 17.9(i),

fi[ tt', :', a dv = f' S",il,' Li;;' ^",

],, /, rl,'a

El simbolo del lado derecho de esta ecuaci6n es una integral triple it€rutivr. Se evalfacon int€graciones parciales d€ /()., /, z) en el or&n z, y, x, sustituyendo los limites

de integraci6n d€ la manera acostumbrada. Analogamerte, si R es del Tipo II, comoen la Figura 17.9(ii), entonces

Es Litil considerar a una de las dos inlegrales como el li-mite de nna suma t ple:

:: t l(,,. ,r, '.) ^,, ^], ^*,,I jk

donde la primera suma (cor respecto a k) corresponde a una

columna de paralelepipedos (pequeiot en la direcci6n del eje

z, desde la superficie de abajo (con ecuaci6n z = kr(x, l))haita la superficie de arrjba (con ecuaci6n z = k1e, ! )), .o'mo se ilustra en la Figura 17.40, Las otras dos sumas se efec-

itan sobre la regi6n n del plano xl, como en el caso de las

integrales dobles de la Secci6n 17.2.

EJEMPTO t Expresar JJjB/()r, y, z) d/ como una jntesral iterativa, para la regi6r

O en el primer octante acotada por los planos coordenados y las grrficas de : 2 =x'+it'yx?+y2-1.5oluci6n Como se puede ver en la Figura 17.41(i), I se encuentra bajo el parabo-

loidez = 2 + ).']+ i,r2 y sobre la grdtica de z = 0(el plano irl) LaregidnRdelplano.r,l, esd acotada por los ejes coord€nados y la grafica de / = Jl i!r. En la figura tambiEn aparece una columna que corresponde a la primera suma sobre los para_

lelepipedos de volfmenes, Axr^/r^rq en la direcci6n del eje :. Como la columna va

del plano r] (. = 0) al paraboloide, el limit€ inferior de integraci6n con respecio a zes.z = 0 y el limite superior es : = 2 + x'1+ ri yz La segunda v ia tercera integra-

ciones son sobre la regi6n R del plano )rf (v€ase la Figura 17.41(ii)) Entonces, la inte-gral en (17.17) liene la forma

)J.t, , 'Jt-j J. J., ,',.r:,.r_;rrro

";' lJ-

fr r.ri, ar+ ._Lr l:J, I" J" lt\. )'..) rlz tlt dx '

(i)

894 CAPITULO 1 7 . INIEGRALES M'LTIPLES

Si /(x. /,.) = I en I, entonces la integral triple de /sobre O se escribe comojjj? dt'y su valor es €l volunen de la regi6n O. El volumen ,/d€ la resi6n O del Eiem-plo 2, iiustrada en la Figura 17.41(i) es

I i'f I {. ''' a.,rya,.JJoJo

EJEIiPLO 3 Calcular el voiumen del s6lido acotado por el cilindro, = a2 y los pla-nost + ? = 4 y ? = 0.

Soluci6n El s6lido esrri en la Figura 17.42(i)junro con lacotumna correspondienrea la primera suma en la direcci6n dei eje z. Obs6rvese que la columna va de z = 0 az = 4 -/. Laregi6n,R d€l plano xJ] se muestra €n la Figura 17.42(ii)junroconlafran-ja correspondiente a la primera integraci6n (de una inregral doble) con respecto a f.Aplicando (17.17) con.f(x, y, z\ = I,

u-J,J, l" r r) l, _ J ,.1^ ta - )td, d,

_ L 14, _ i,'1. d\ ., (8 ar: I ;\')J,

- 8r ir,.r + ,;,,]1, - ,- - r.Si usaramos el orden d.d/ para la integral doble, entonces la franja €n la Figura

17.42(ii) serja horizontal y

v:l'l'' f."a.a'a,.JO J iJO

Se puede demostrar que el valor de esta intesral es tambien 1+

Algunas int€grales r.iples se pueden evaluar mcdjante una inregrat triple iterariva,en la que la primera integraci6n se efectia con respeclo a /. Asi, sea

0 : 1(r, L :)r d < x < b, h,(xj =, < h,(x), k 1,I, z) < ]r < r,(x, z)l

donde ir y ,2 son funciones continuas en Ia, bl y kt, y k2son funciones con primeras derivadas parciales coniinuas enla regi6n R del plano i-?, que se muestra en la Figura 17.43.Ndlese que O se encuenlra entre la5 gnificas de I = fr(x, ;)y ! - kzq, z). La proyeccion R de Q sobre el plano xz es

una regi6n del Tipo L En este caso se tiene el siguiente re-

TEOREMA DE (17.18)EVAIUACION !ff n . o. a a, - I'I,i"' fil'1--,,. e,,r,

^.a

La integral iterativa en (1?.18) se puede interpretar como el limite de las sumas triplesque s€ obtienen sumando primero sobre una colomna horizontal de pequeflos paralele-pipedos, en la direcci6n del eje /, desde la superficie de la izquierda (con ecuaci6n l, =kl (rr, z )) hasta la superficie de la derecha (con ecuaci6n ), - t, (jr, z)), como se indicaen la Figura 17-.13. Se puede evaluar la intesral dobl€ resultante sobre la regi6n R delplano -rz, como se ilustra €n el siguiente ejemplo.

EJEMPIO 4 Calcular el volumen de la regidn I acotada por las grrificas de e = 3r'],z-4-x?,!=0yz+!=6.5oluci6n como se puede ver en la Fisura 17.44(i), O se encuentra bajo el cilindroz = 4-.x2, y sobre el cilindro.e = 3,)rr, a la derecha del plano 13 y a la izquierda delplano z + / = 6. Enronces, 0 es una regi6n del tipo ilustrado en la Fisura 17.43, don-de kj(r, ?) = O y k2@, 2) = 6 - ?. La regi6n R del plano xt aparece en la Figura17.44(ii). Aplicando (17. l8),

r -tJJdr -J J Jo t,r-d., - ) . J,. ,o rd.dr

I l" ,..1, , _ I ,ro 2n,: 4\",dr. o: I 2ur

FIGURA 17.44(D

Si usfuamos un orden de integraci6n diferenle, seria necesa-

rio elaluar \aria. 'nregrales

lriples. {;Puede \e'se a que \e

debe esto?)

Finalmente, si C es una regi6n del tipo ilustrado er laFigura 1?.45, dondepr y p2 son funciones con primeras de-

rivadas continuas en ura regi6n adecuada R del plano fz, en-

I J,l.t,1JIJ /r\. '._rJf JlLJ,,,.,/".' ,

o

v: fi f]'l'. d'd,a.

d.*{.,\6J

atEn Ia iltima integral doble iterativa d,4 se puede reemplazar pot dzd, o bien dJ dz.

EJtllPl,O 5 En el Ejemplo 3 se consider6 el s6lido delimitado por el cilindro y = x'?

ylosplanos] + z = 4y z = 0. Calcular el volumen integrando primero con respecto

Soluci6n El s6lido aparec€ otra vez en la Figura 17.46. lntegrar primero con res-

pecto a)a corresponde a una suma sobre una columna de pequenos paralelepipedos enla direcci6n del eje r, desde la grafica de r = -iy hasta la grdfica d€ n = V/. La reci6nR del plano lz se encuentra srtre estas graficas y esd acotada por el eje y, el eie z yla rccta y + z = 4, como se muestra en la Figura l?.46(ii).

Si la seeunda integracidn es con respecto a,, como se indica medjante la franjade rectdryulos en (ii) de la figura, entonces

Puede verificarse que el valor deesta integral es +. Si hacemos la segunda iniegraci6ncon respecto a z en vez de con respecto a /, entonces la jn.egral iterativa es

' J"'J; J",J,d,r,

En la siguiente secci6n se usaren integrales triples p ra encor'trat el centro de mdsa

de un s6lido- Se concluye esta secci6n con el analsis d€ la prim€ra aplicaci6n: calcularla masa de un s6lido.

{0

17.6 lnt.gra €s iriples 897

Se dice que un sdlido de masa /, y vol umen tr/ es homog6neo si la masa estd distri-buida unilorncmcnte en el s6lido. La densidad (o masa especificr) 6 se define por

n = 6l/6=+

entonces 6 es masa por unidad de volunen. Si, por ejemplo, ,z se mide en gramos (g)

y t/en cm3, 6 se expresa en g/cm3,A continuaci6n se coNidera un sdlido no homog6n€o,

es decir, uno en el que la densidad no es la misma en todoel s6lido. Por €jemplo, un objeto puede estar lbrmado pordiferenles metales. como cobre, hierro y oro. Comenzamos

iniroduciendo un sistema coord€nado, como en ia Figura

17.47, en el que la region Q liene la forma del s6ljdo Para

definir la densida.l 6(-y, f. z) en un punro P():.1, .), consj

deramos la subregion con forma de paraleiepipedo Or que

contiene a P, y tiene volumen A fr y masa Ar?r (v6ase la Figura 17.47). Si la mayor de las diagonales lA t'r I del para-

lelepipedo es pequeia, entonces se espera que AmrlA I/k sea

una aproximaci6n de 6(jr, /, r). De esta manera se ti€ne la

sisuiente definici6n.

DEF|NtCtON DE (17.19)

DEN5IDAD

Lh,,{Y. v.:) : lim -+lrr,l-o arr

Si el limite en (17.19) exist€ v IAI/rl = 0' entonces

Lnk = 6(x, r, z) LVk.

En aigunos casos se conoce la densidad 6()., J, i) y se qui€re calcular la masa Si 6 €s

una f;nci6n contirua y O es una regi6n adecuada, se considera una padci6n interna

{Or} de I €scosiendo un punlo (.r*, ,rr, zr) en cada Ok v se forma la suma de Riemann

illtr*, r*, :*l a vr. e continuaci6n se define la 'nasa

m d€ O como el limite de estas

I I Ltl\ u. zl lllMASA DE UN (.l7.20)s6uDo

EJEl.tPtO 6 Un s6lido tiene la forma de un cilindro circular recto con radio de la

base d y altura r. Calcular la masa suponiendo que la densidad en un punto Pes direc-

tam€nte proporcional a la distancia a una de las bases.

898 cAPiruLo tt . INTEGRALES MlLtLpLEs

Solucirin tntroducierdo un sistema de coordenadas como en la Figura l7.zl8, se ve que el s6lido esd acotado porlas grrificas dex'z .r !2 = a2, z = 0 yz = r. Por hip6te'sis,la densidad en(x, /, z)es6().,], ?) - kiparaunacons-tante k. Por la forma de A y la simetria dei s6lido, se puede

calcular n para la parte que se encuentra en el primer octante y multiplicar el resultado por 4. D€ acuerdo con (17.20),

" ,- ,'' 1':

Las unjdades son las d€ masa pot unittad de.jrca, como g/cm2. Se puede obtener unaforma andloga a (17.20) para una ldnina.

^ = JIae.t a,t

1r.1" .1" t dr lr

:21,L. [' 1F x. ax2

l'nd"a,a,=

:",'(+)

,tr

Se puede obtener un resultado semejanle para una ldmina (superficic de pequcno grosor) con la forma de una regionR en el plano jrl,. Consideramos una subregi{in rectangularRr que contiene al punlo P y ti€ne erea Al* (v6ase la Figu-ra l?.49). En este caso, la densidad superficial en P(x, /) se

MASA DI UNA (17.?t)IAMINA

HGURA 17,50

EJEMPIO 7 Una ldmina tiene la forma de un tridngulo rectAngulo is6sceles con catetos de lonsitud d. Calcular su masa suponiendo que la densidad en un punto P es pro-porcional al cuadrado de la distancia al vdrtice opuesto a la hipotenusa.

Soluci6n Conviene introdncir un sislema de coordena-das, como en la Figura 17.50, de manera que la hipotenusadel tridngllo este sobre la recta .n + I : 4 y el v6rtice opuesto€n el orisen. En la fisura se muestra tambi6n un rectrngulotipico Rr (de fuea Alr) de una partici6n interna con un pun-to ().r, ]r) en el rectingulo.

Por hipotesis, la densidad en (jr,l) es de ,(ir, ]r) =,t(x'? + r'?), para una conslante k. Aplicando la Definici6n(17.21) y el Teorema (17.8), obtenemos que la masa es

-: li*,-'

I

+ fl at - l' J' ' *(" + r')ay a-.

17.6 rn.€gid,s v o e) ---- Egg

:rf [,'i+]."'li "/',:rf ['1, r)++(d- rlrrSe puede verificar que el valor de esra mt;ma jnte|.Jal es + ka|.

EJERCICTOS't7.6

I. Evahe Ia inteeral del Ejemplo t usando los cinco ordenes de rn,egrdcidn orteren.e! dl que.e u.o

2. Evalfe

Q = l\x,r,z\: t <r< 2, I <t <0,0 <z< 3),

lli. + r, + .r' ,rr

para la regidn de seis maneras dife.enres.

Ejercicios 3{: EvaiUe la inreeral irerativa.

r l' i' l ' ,,r',r ,r.

a. lL j! .l . :rr J, J:

5. I l, J^ r.'.' ':

dr ,r,

6. l: Jo .lr r/L+ i+:rr\J:/r

Ejercicios 7-10: Realice la r€presentacion de la re-ei6n O acotada por las eraficas de las ecuacion€s da-das y exprese JJ.JaiJ, /, :) d/ como seis intesrales

1. x+?y+32=6. ,=0, y=0, z=08. rJ+yi=9. z:0, z=29. z:9-4Ir )r. z=0

10. 3612 + 9]'1+ 4:'? : 36

Ejercicios 11-20r Represenie la reeidn acotada por lasgri'ica de la. e.uac,one, dadas ) u"e una rnresralrri-ple para calcular su volumen.

tt. z+x1 :4. )+:=4. ]r=0, :=o12. x1 + .'z= 1, f +21:413. r=2 21, l=:r, r+z=4, r=011. z-4!1, z=2, r=2, x:0

15, l'+:7=1, r+t+::2. J=016.2=x'1+!1, y+z=217.:=9 x']. ::0, ]= t, ):2ltt. z=e'-]: I:3_{, r=2, r:0, :=019.:=rr. :=Jr, r':'1 r=020. r,: rtr +:'?, z = x:. z:4. r = 0

trj€rcicios 2l-26r La intesral iterativa representa el vo-lumen de una resi6n O. Describala.

:r. l' I " f'r. a' ,r.

::. i I :f. r, ,r. a.

::. l' ll l -'a.;' a.

zr. J,'f'["a"ari..) r.. t. 1:s. I J .. J .1dt d\ t.

26. j,.l .l l ,,1\ di d:

Ejercicios 27-28: L n,6lido riene la for ma de la reBidnacotada por las graficas de las ecuacion€s dadas y sudensidades 6. P/arree la integralpara calcular su ma-sa -: e' decir. erprese d como una rnregral irerarrva

2?. . r2iT. .4 '-0.. 0.: 0: ir...'..'_

2E. z=4 xr rr.::0i ,(r,I,:)=hEjercicios 29-30: Calcule ia masa de la ldmina que tienela forma de la regidn acorada por las greficas de tasecuaciones dadas y la densidad indicada.

29. r =. ', I:0, r = 0. J = li ,(\,1) = r

30. \rr = r- .r.: I, r = 2: d(r, r) = r: + rl

cAPiILtLo 1t . NTEGRALES MLirrprFs

ffiEl momexros y cENTRo DE MASA

FtGUiA 17.5i

En la Secci6n 6.8 se estudiaron los momentos y el centro de masa de una ldmina homo-g6nea. En esta secci6n se usan las inregrales dobles para generalizar estos conceplos ar^al{mina no honoslnea Z con la forma de una resi6n R del plano jr]. Si la deDsidad

{en este caso la masa por unidad de area) en el punto (r, t) es 6()., /), donde 6 es unafunci6n continua en R, entonces por (l?.21), la masa m de l, eslii dada por

4 lJ.',, ,rd4

Sea P = {Rr} una particjdn inrerna de R donde, para cadak, (xk, ]k) es un punto arbitrario en Rr (v€ase la Figura17.51). Como 6 €s continua, un cambio pequefro de (n, /)da lugar a una variaci6n pequena er Ia densidad 6(jr, /); es

decir,6 es casi constante en Rr. Entonces, si I Pll = 0. lama\a Alnr correspondienre a Ri .e puede apro\:mar por6(.,rr,.lr)A.1r, donde A.1r es el drea de Ri. Suponiendo quela masa Am,( cstzi concentrada en el punro (r.r,l*), su momerilo con respecto al eje Jde este €lemento de a, es el pro,ducto lr 6 (xr, /r ) A/ r. lnluitivamente se espera que la sumade lo. momcnlo,I. r,ory...y,.] 4^.ea una apro\irnaciolal momento de la /imira con respecto al eje x. Enronces, sela masa de L con respecto al eje jr como sigue:

rrm t r,ntr,. r',t^q,: flri,, rtJ.aPt aT "iAnalogamente, el momento Mr de la masa de l- con respecto ai eje.), es

r.1. r,"r I',o,,.. .,6a. - i[,',.''ar.F .o: tComo en las Definicjones (6.22) y (6.23), se define el centrc de masa de lal m;na

como el punro r. . i ) ral que i Mj n. i t4 n.Asi se tiene la siguiente defiDicidn.

DEANTCT6N (17.2r) Sea l, una Umina con la forma de una regidn R del pla-no )ry. Si la densidad (masa por unidad de drea) er (r, /)es 6(r, y), y 6 es continua en R, entonces la mtsa n, losmomento6 Mr y MJ, y el ceniro de nasa (.r-, -t) son

\it n = )Jht\.rtc|A

tir V. )) yt'r. ytrtt, v. - .l) uut.,'ae

, !1",n'r."oo u. f[^,^.'.,'.t o

riiit x ---l-n ll|a, rrA n JJR1,,.,,l1

deline el momento M" de

M.:

Momenios v cenno d. mas6

Si Z es homog€nea, entorces 6()., l) es constante y se puede cancelat en (i1.22)(iii). Asi, como en la Seccion 6.8, el centro de masa de una iamina homog6nea dependes6lo de su lorma y 1\. _1,) se ilama centroide de la regi6r R.

EJEMPIO 1 Una liimina tiene ia forma de un iriansulo rect.inguio is6sceles con ca!e-

tos de longitud d. La densidad en un punto Pes directamente proporcional al cuadrado

de la distancia alv€rtice opuesto a la hipotenusa. Encontrar su centro de masa'

Soluci6n Esta lemina es la misma que la que se conside16 en el Ejemplo 7 de Ia Secci6n 17.6, donde se coloc6 el triangulo como en la Figura t7.J2. Usando Ia densid-ad 6(x, .i,) =,t(n': + -v':), encontramos que /, = +,tda. De acu€rdo conIa Definicior (17.22) (ii),

,vr, : IJ.(*, + i') r.i : I I;' ^ '(.-' + 11 ,1r /',

que es igual a +rds. Seenn (17.22)(iii),

,',[,' ,\: Lrr :5"'

Analogamente, Mj - *kat y t = i 4 Por io tanio el centro de masa (el putode equitibti.)) de h hmina es (3d,34)

EJEI,|PIO t Una ldmina tiene la forma de la regi6n R del plano x/ acotada por las

srilicas de r = J,r y jr = 4. La densidad en el punlo P(x, -y) es directamente propor-

cional a la distancia al eie t. Calcular el centro de masa.

Solucilin La region esta en la Figura 17 53. Por hip6te'sis, la densidad en (jr, .1,) es 6(.r, t) = tn, para una constan

te k. Por la lorma de 6 y la slmetria de la regi6n vemos que

el centro d€ masa este sobre el eje jr, es decir, y = 0.

De acuerdo con la Definicion (17.22) (i) e intesrando pri-mero con respecto a x, como indica la franja de rectangulos

en la Figura 17.53. obtenemos

* = llr' at: r fi, Ji. a' o

{l ..)-,f,?, ikJ ,jo ",,/, -ir3A

Segfn la Definici6n (17.22) (ii),

,vr, : lf'rr'r a.r : r.fi. Ji " a. ai

: t Ji, +"]i ,rr : :i jl. (61 - i6),r,1' : ='k

De modo que, ,1r 5l:t 5 20 - -_7 l28k 7

Por consiguiente, el centro d€ masa es (:.0, 0)

902 cApirulo 17 . TNTEGRALES MllLTtpLEs

Los momentos M, y M, de la Definjci6n (17.22) se llaman tambi6n los pinetosmomentos delamasa de a con respecto a los ejes coordenados. Si se usan los cradm-dos de las distancias a los ejes coordenados, se obl\enen los segundos momenlos, o mo'mentos de inercia,.l, y /r con respecto al eje n y al ej€ -v, respectivamente. La suma/o = 1, + 1" es el nom€nto polar de inercia o momento de inercia con r€speclo al po-lo u origen. En la siguiente f6rmula, 1() s€ puede obtener tambi6n como el limile deuna suma usando el cradrrdo de la djsrancia del orjgen a ().k,lr) en ta Figura 17.51.

oMENTOS DE (17.23)INERCIA D[ UNA

I.AMINA

UEMPTO 3 Una lamina tiene la forma del semicirculo ilus-trado en la Figura 17.54. La densidad es directamenle pro-po.cional a la distancia al eje jr. Calcular el momento deinercia con respeclo al citado eje x.

Soluci6n Por hip6tesis, la densidad en (n. _r) esrd dadapor6(i., l) :,t1. Aplicando(17.21), resultaqueel momenlo de inercia con respecto al eje r: cs

t I t L,a,,,./, r -Al ,l 'r,' J .Jo J._ ln

: ll l' r,' lrr i: + ,tr ,1,.'Jo

Integrando, obtenemos 1. - 1:tdr. .

Los momentos de ine.cia son itiles en problemas en iosque un objeto gira alrededo. de un eje ii.jo, como lo hace unarueda (o un disco) alrededor de su eje (vease la Fieura 17.55).Si P es una particula en la ruecla que li€ne masa m y esre a

una dislancia k del eje de rolacion, el momento de inercia1de la masa m de Pcon respecto al eje es l,?k'?. Si la rapidez(o velocidad) angular drldl es una constanre o, entonces la

lineal v de la particula cs td. Por delinici6n, la enersia cin6tica

EK - :M.Ek = :nklt : :ro,

.apidez (o velocidad)t{dePes

De nanera que

6Qt, !, dA

5( x, t) dA

il,'ff,,,

r, - tim I yi 6(i+, fr) A,4r =

.r, = limo I xi 6(x*, ]{.)A.ar =

/o= lim t()ri + ri)6(xi.,rr)

- llt" + ftarx, rae

Momentos y centro de masd

Si se representa la rueda medianre un disco, enronces se puede deducir la misma ldrmu-la para la encrgia cindtica de ia rueda inrroducjendo un limire de sumas. La f6rmulatambi€n puede gencralizarse a ldminas con formas no circulares. para un ingeniero oun fisico, la energia cindiica de un objeto que gira represenla el r.abajo necesario parahacer que el objeto se detenga. Como tr = j L'], se ve quc la energia cin€tjca es directamente proporcional al momento de inercia. Para una d lija, cuanto mayor es lajnercia, lanto mayor es el trabajo que habria que realizar para delener la rotaci6n.

Consideremos ahora un sdlido con la forma de una region O en tres dim€nsionesy supongamos que la densidad (masa por unidad de voiumen) en (n, /, ?) es 6 (J., -v, .?),

donde 6 es continua en Q. Sea lQr i una particion interna de I y sea AIl,{ el volumende Or. Para un punto (xi, ]r^, zi)en A (lease la Fisura 17.56), la masa que corres-porde es aprorimadamente 6().r, l(, .1)A/i. Il€ acuerdo con (17.20), la masa dels6lido es el limite de estas sumas, es decir, la6(r, r, .) dv.

El omento con rcspecto r/pldro xl de la parte del solidocorrespondiente a Or es aproximadarnente ar6(r.,{,lk, ik)A },(lease la Figura 17.56). Sumando y tomando el limile se ob-tiene el momenlo M,r del s6lido .on respecto al plaro.rl(vease (17.2a) (ii)). Los momenlos M,. y M{ con r€speclo alplano rz x al plano ),r, respeclivamenie. se ob!;enen de ma-nera parecida. El cenlro de masa (i, t, a)del s6lido se defi-ne en (17.24) liii).

o

MOITENTOS y (17.24)CENTRO DE MASA

EN TRESDIMENSIONES

tit n = I[latx; t. ztavo

(:i) ttr,, - l[!z\x, y. z)ava

v = ttl ,u'.,. ztav'. )J)'

o

u,. = l[!'ar', y, ztava

M. M" M.liii) .i=;i t= nt .=;

El centro de masa del sdlido en la Figura 17 56 es el punto en el que se puede con'centrar la masa total m sin que cambien los momentos con respeclo a los plalos coor

Si el s6lido es homog€neo, entonces la densidad A es constante v 6 se puede cancelar

despu€s de sustituirla en (l?.2,1) (iii). Por lo tanto, ei centro de masa de un s6lido ho-

mogeneo depende nnjcamente de la forma de O. Como en dos dimensiones, el punlocorrespondiente en los s6lidos eeomatricos se llama centroide del solido. Para encon-

trar los centroides se roma d(.r, v, z) = | et' (17 24).

EJEMPTO 4 Un solido tiene la lorma de un cilindro circular recto con radio de la

base d y altura ,t. La densidaci en un punto P es directamente proporcional a la distan'cia a una de las bases. Encont.ar su centro de masa.

INTEGRALES M[LT PLES

Soluci6n El sdlido se considero en el Ejemplo 6 de la

Seccion 17.6 y ahora aparece en la Figura i7.57. Tomando

6(x. r, z, - tz, encontramos q:ue n - Iknhltl '

Resulta evidente que ei centro de masa estii sobre el eje

? y por lo tanto, basta calcular : = M.r/m. Adem6s, por laforma de 6 y la simetria del solido, podemos calcular M.]para la parte que esta en el p mer octante y multipljcar el

resultado por cualro. Usando (17.24),

r., : * lJ I;"'' f ,tk. tz t,,tx : & [: !;":': ir3,rJ dI

:tr l' , - ,'J. :Lh:i-;,. ,Lth -'' Ju '

Finalmente,

_ v , tL' t''-' ,,.v l(.1..-'Por lo tanto, el centro de masa este sobre el eje del cilindro, a una djstancia de la base

inrerior itsual a do' rercro' de la aiLJra.

En el sigulenle ejemplo s olamente se planteaftjn las integrales n€cesarias para obte_

ner la solucion. es decir, se escribiren las integrales iterativas pero no se evaluardn.

EJtl{Pl,O 5 Un s6lido tiene la forma de la regi6n en el primer octante acotada porlas grificas de 4 - r = 9xz + t2, y = 4jr, r = 0 y / = 0. La densidad en el puntoP(x. l, r) es proporcional a ladisrancia al origen. Planlear 1as integrales necesarias pa-

ra calcular r.Sgluci6n La regi6n est6 en la Figura 17.58. La densidad

en (.n,,i, .) es 6(x, L z) = k(rr + y: + zr)r/r, para un va

ior k. Usando (17.24),

. J"J" J ,, '''z",rrl', l: J._ J.

" ',' , ' J:diJ'

v

Si una particula de masa m se encuentra en el punto (n, -v, .?), enlonces su distanciaal eje; es (x'? + -r,'?)l'r y su *o-noto oe inercit 1. con .especto al eje r se define como(rr + l2)rz- enatogamente, los momenlos de in€rcia 1, y 1, con respecto al ej€ .r y alejel, son (]'1 + zz')n y (x') + z'?)m, respectivamenre- Para los s6lidos que tienen latorma de Q en la Figura 17.56 se usan limites de sunas de la manera acosrumbradapara obrener lo sisuiente.

905lt.7 Mom€.tos y ceftro de mdsa

MOMENTOS DE (.l7.25)INERCIA DE UN

L

Ir

= lIJ,'' . r2Jb(x, r,.\dva

= lTrr' t z'))iitx, v' rdvo

= lll," . .,)b(r.y,z)dv

soUDo

EJE PlO 6 Calcular el momento de inercia con respecto al eje de simetria del s6lido

cilindrico descrito en el Ejempio 4.

goluci6n El s6lido esta en h Figura 17.5? v 6(x' l' t) = kz Usando (17 25) v la

,. :. J; j;'" " I't.'' +,'rr.a,ar 4,.

^,.....- .(.l;.1, " , r' :r' /, /\.:ruJf,, r.'" t.

:zkr'I l-'.,,'7 '- + +.J'[- -{:)r] dr.

La iltima inlegral pued€ evaluarse con una sustitucidn trigonometrica o usando una

tabla de iniegrales. El resultado es I": iakrhlaa

EJEMPTO 7 Un s6lido homogeneo tiene la forma de la regi6n I acorada por las gr'-

ficas dexr--t''z + | = ov v = 3. Plantear una inlegral triple para calcular el mo-

mento de inercia con respecto al eje J.gaiucidn La reei6n es una parte dei cono circular recto

de la Figura 17.59. N6lese que la traza del cono en el plano

xJ es el par de rectas x = a/. Si denotamos la densidad cons_

tante por &, aplicando (17.25) obtenemos

i t. I I r., )k rj- J. .],'I .Jo J LJ

Tambi€n es posibl€ calcular ! multiplicando por 4 el mo-

mento de inercia de la parte del s6lido que se encuentra en

el primer octante. Asi,

r _a I,f I \!r -)tJ. J..ttt .

Para concluir esta secci6n se presenta el siguienre teorema sobre solidos de revoiu'

ciOn, que rie'a a nomlre del malemetjco Pappus de Alejandria (c'r'cd 300 D'c )'

906 CAPITULO 17 . NT€GRALES MULTIPLES

TEOREI4A DE t,17,26'PAPPUS

Sea R una regi6n del plano que se encuentra toda a unIado de una recta /en el mismo plano. El volumen gene-

rado cuando R gira una vez alrededor de /es el productodel 6rea de n por la distancia recorrida por el centroid€de R.

EJERCTCTOS 17.7

Ejercicios l-E: Calcule la masay elceltro demasa dela ltmina que riene la rorma de la resi6n acorada porlas sr,ficas de Ias ecuaciones dadas y la densjdad in

Oemostraci6n Podemos suponer que / es el eje l, y R es

una regi6n en el primer cuadrante, como se muestra en la Figura 17.60. Sea 1R(I una parlicion interna P de R y dcnotemos por A/( al itrea de R*. Para cada k, sea (,y1, ]() elcentro del rectiingulo Xk.

Si n gira alrededor del eje f, entonces como se muestraen la Figura 17.60, Rr senera una envolveme cilindrica devolumen 2tr.r,r4,1r. Entonces, el volumen rdel s6lido ge

l- nn ) 2..-Aa.- ll_'r,,r4P -. i

Aplicando la Definicidn (17.22) al centroide, tomando 6(J., l) = I y /r? = ,4, obt€nemos

r :^ if..rq ra \/ - r ..r.

Entonces, podemos calcuia. el volumen ,/ m ulriplicando el er€a .4 de R por la distancia2tri que el centro de sravedad recorre cuando R da una vuelra alrededor del eje

EJEMPIO 8 Un circuto de radio d gira alrededor de unarecia / en el plano del circulo. y que se encuentra a una dis,tancia b de su centro, donde, > a (v6ase ia Figura l?.61).Calcular el volumen rdel s6lido resulranre. (La superficiede este s6lido en forma de rosca o argolla se llama torcide

Soluci6n 91 c1r6u16 tiene 6rea 'd: y ia disrancia reco-rrida por cl centroide es 2Tr. Por Io tanro, segtn cl Teoremade Pappus (17-26),

v=(2rb)(tat)=2r)a)b.

l.r':'rr, .:9, .i=0i ij(\.t)=\+2.r:i\, r:li, I:0i lJ,_t=rl

l

5.

7.

10.

13.

t!.

9.

3.

8.

17,7 Momentos y cenvo de masa

, = r'?,l = 4; la densidad en el punto P(x, /)€s directamenle proporcionala la distancia de Pal eje f.-l, = rr, / : 2x; la densidad en el punto P{J, r)es direclameDte proporcionala la distancia de P

f=e'r,-',=0. r: -1. r: i: J(r. r):l\j'r=senr. l:0. r:0. \:zr )(\.))=r):secr. r: nl4. \=n14. y=112:

J(r. J): a

l:lnr. l=0. r=2i .j(r.1): lr\

Determine 1x, 1, y 1() para Ia ldmina del Ejerci-

Determjne /,, 1, y 10 pa.a Ia ldmina del Ejerci-cio 2.

907

densidad en el punto P(n, /, .) es directamentepropo.cional a la distancia de P al plano ta.

Ejercicios 19-20: Plantee, pero noevalte,ld integra-les necesarias para calcular el centro de masa del s6li-do O que tiene la foma descrila y la de6i&d indiadad(r, r. z).

19. O es., acotado por €l paaboloide x = t1 + 422y por el plano x = 4i 6lr, !. z) = x, + 2,.

20. O estd acotado por el hiperboloide /'?- x?.'- I \ por el pldno ) - 2: 6(y./,., -

Ejercicios 2l -22: Planrce, pero no evaltie,las integra-les necesarjas para delerminar el centroide d€ la re-gidn homogenea que se muestra en Ia figura.

2r.oemisferio)

t2.

Determine /., 4 y

Unal6mina homog€neatiene lafornade un cua'drado de lado a. Calcule el momento de inerciacon resp€cro a (a) un ladot (b) una diaeonal; (c)

Una lrmina homog€nea llene la forma de untridnguio eqlilrlero de lado a. Calcule elmomen-to de inercia con respecto a{a) una aliura; (b) un

1o p3ra la lamina d€l Ejerci'

..o para la ldnina del Ejerci-

15. Si un sdlido de nasa, tiene momenlo de incrcia lcon respecto a una recta. entonces su /ddiode g'io es, por delinicidn, el n'imero positivo dtal gue I = nd2. Esta ldrmula implica que elradio de giro es ladistancia de Ia recta en la gue

loda Ia masa puede concenrrarse sin que el momento de inercia dels6lido cambie. Calcule elradio de siro €n (a) del Ejercicio 13.

l{. con\uke el tJercicro 15. CaL.ule elradio de ciroen (a) del Ejercicio 14.

Ejer.icior l7-lE:.alcule el cenro de masa de q.

17. La densidad en un punloPde un cubo O de la-do d es dir€cudenre proporcional al cuadradode la distancia de Pa una esqlina lija del cubo.

lE. Sea O el letraedro acotado por los planos cooFdenados y por el plaro 2r + 5t + a : 10. La

23.

21,

Sea O els6lido en elprimer octante acotado porlos planos coordenados y las graficas de z =9 x2 y 2x + , : 6. Plante lar inieerales ne

cesarias para deteminar el cenlroide y luego use'las para calcular sus coordenadas.

Planle€, pero no evahe las integrales necesarias

pa.a determinar el cenroide del s6ljdo acotadopor las grdlicas de z = x2. ! = x!, ! = x3 vz-0.

Ejercicios 25-2E: Plantee la intesral pa.a calcular elmomenio de inercja con respecto al eje z del s6lido

2s. Una eslera de radio a con centro en el orisen;6(x. r, zi = x'1 + t1 + 21.

2b. fl 'oldo d.orado por las erdrica. de .: - 9/tz1 = 0y z= 36;6(x,y,zJ: x1 + r'z-

908 (AbITJ.O ]/ ! NTEGRALII MJ-IIP-15

27. El tetraedro homogineo delimitado por los pla-nos coordenados ! por la srilica de (ra) I{r/b) + (z/c) = l, donde !, , y. son nime-ros reales positivos.

28. El s6lido homogeneo acorado por el elipsoide

-+ '_ :l

Ejercicios 29-30: UseelTeorema d€ Pappus paracalcularelvoluden generadoalgirarelcuadrihteroconv6rtices /, a. C. D. con respeclo a (a) el eje f; (b) el

:9. ,1(1, 0)i B(1, 6)j C(]1.6)j D(9.0)

10. ,{(2,2)l ,9(1. 3lj C(4.6)t D(5.51

Ejercicios 3l-34: Use elTeoremade Pappus en la so

11. Calcule el centroide de la recidn en el pritlglclqdrante acotada por la grdfica de f : \/ir': -\ry los ejes cooldenados.

12. Determire el cemroide del triengulo con v€rticesO(0,0), 410, dr,8(r.0t. donde a ) ,.on rJmeros positnos.

31. Calcule el volunen del s6lido cenerado algirarla recion del plano r/ aco drd por ) - t' \] : 8 n: alrededor del eje J.

31. Calcule el volumen delcilindro circular recio dealtura A y radio de la base d.

I NT,EGRATES TRIPLE,S EN COORDENADASCIIINDRICAS Y ESFERICAS

En la Secci6n 14.7 se estudiaron las coordenadas cilindricas (., d, r) y las coordenadasesltricas (p, d, d) de un punlo en tres diDrensiones (veaDse las Fisuras 1,1.75 )r 14.80).

Estas coordenadas se pueden usar para evaluar ciertas inlegrales. El caso mds sencillopara las coordenadas cilindricas se tiene cuando una funcion de r, d y z es continuaen una regi6n de la forma

Q = IO,A, z): a < r < b,c 3 0 3 d, m < z 3 nl.

Primero se subdivide 0 €n subregiones Oi, 8r, . . . , O. con la misma forma de 0 usan

do las graficas de ecuaciones de la forma r = sk, e = ck y r = mr para n meros arbitrarios dr, cr y m, en los intervalos Ia, bl, tc, dl y t'11, ,1, resp€ctivamente (vease

la Fiqura l?.62(i)). Esras sreficas son cilindros circutares, planos que conlienen al eje

? y planos paralelos al plano jr-y, respectivamente (\,6ase la Figura 14.76). En la Figura17.62(ii) esld una subregi6n Or tipica con sus dim€nsiones, adem6s del radio medio rk

de la base de Ok. El volunen A I/r d€ qi es el producto del 6rea de la base ,i At^ Ad^y la altura Azr. Asi,

avk = trarkaatLzk.

17.8 ntegrar€s iripies en coordenddds c indricds y esr€ricas 909

Si (/r, dr, t*) es un punlo arbirrario en 8r, entonces la integral triplc de/sobre O es

jll,,,,, ,./r rir.r I,,r .,,:..1r..':"

La norma lP I es la longitud de ia mayor de las diagonales de er. Se puede demos-

.r.tJ .r, , ,,i r J. .1. .l ,,.. u. ,. ,i,,,d /:

0

Hay otros cinco 6rdenes dc jnreeracion diferentes para esra inrcg.al.Las integrales triples en coordenadas cilindricas se pueden definir sobre regiones

m:is complicadas usando particiones internas. Si R es una regi6n polar como las quese usaron en la Seccion 17.4 y

Q = lV, 0,.): (r, ,) est, cn R y ktO, A\ < z = kO, 0)j

donde kr y kr soD luncion€s con primeras derivadas parciales continuas en toda la R, entonces se puede demostrar que

Jlf r'. r. .r ar - JJ[1"',1)i,' rL,. a, t a') a,t

En parlicular, sea R una regidn d€l ripo ilustrado en la Figu-ra 17.63- Enlonces la intesral triple de/sobre I puede eva

| ! | n.'., t o, = | : l:',:,' t,:,:::' ^,.

a, z )r d z dr d a.(17 .27'tTEoREA{A PE

EVALt .{€tON(cooRDENADAS

c .tNDRtCAg)

La inlegral ileraliva cn (17.27) se puede inlerpretar com^ rn lrmlle de .uma' riplc.cn cl que la pflmera .uma .ereaUza a Io lareo de una colulnna de subrcsioD$ Or, d€sdela superficie rnferior (con ecuaci6n: = r.r{r, r)) h:ea Iaslperlicie superior (con ecuaci6n z = kr(r, d)) (v6ase Ia F;gura 17.64)- La segunda suma se realiza sobre una fila de es

ias columnas con , lijo y / variable- Hasta este momento se

ha sumado sobrc una tajada de 8, como se iluslra en la Figura 17.64. Finalmenlc, se descrjbe o barre O haciendo qued varie de a a ,.

E.,EMPLO 1 Un solido tiene la rorma dc la resi6n O quese encuentra dentro del ciiindro r = a y de la eslera r, +z1 = 4a1. y por arriba del plano rr. Calcular el centro demata y el momenlo.lc inercia4 supoDiendo que la densidad

R/ |/\

CAPi'ULO 17 I INIEGMLES MOLTIPLES

€n un punto Pes direciam€nte proporcional a la distancia de

Soluci6n La regi6r O esln en la Figura 1?.65 junto con

una columna correspondiente a la primera suma en la direc

ci6n del eje z. Como la densidad en el prnio P(r, d, {} esia

dada por ki para una constante k, la masa m se puede calcu-lar aplicando (17.21) con fO, e, z') = kz:

j J I;' ,t. , (t: ar ,,F - r J.'- J - ',.'" -",,rI I 'a-, r'tlrle ^t''n,' ,'l n'Jo Jo - J " Jo

= En'k )o ,tH : -u"nk

Para calcular /, usamos (17.25) y coordenadas cilindricas. obleniendo

, - i' i; l; / a,t r. .r, uo - r !" f , -'1"" a,oe

.,, f' l",qx,. rtdlJA_:a"t' .,o Jo

Tambi6n pueden considerarse integrales triples en coordenadas esf6ricas. Sea/unafuncion coniinua de p, d y d en una resi6n de Ia forma

Q = llp, 4. 0l: u < p < b, ( <'S < d. m =

0 =

nl.

Sean Or, 0r, . . .. 8a las subregiones de O con su rnisrna forma qu€ se obiienen dividiendo O mediante grnficas de ecLraciones de la fotma p = ak,6 = cky 0 = nk(v'a-se la Figu.a 17.66(i)). Estas srdficas son esfera5, conos con eje a lo largo del eje.y planos que contjenen al eje z, respectivamente (v6ase la Figura 14.8l ). En la Figura17.66(ii) esla una subregi6n tipica Ok correspondiente a los incremenios A/t. Adk yLar

{t (ii)

EI volumen de la subresi6n 8* puede calculars€ aproximadam€nte consjderdndolacomo dn paraielepipedo rectansular. Si P(/*, d,(, ,r) es una esquina del paralelepipedo, entonces como s€ ilustra en ia Fisura 17.66(ii),.las dimensiones del paralelepipedo

17.8 ntegrd es tript€s €n coordenddas citindrcds y esfdricas

son ap.oximadamenre Ap., p, Aq, y ,r sendrAdr.de Oi, enronces

911

Por lo tario, si A I/r es el volumen

LY t.: fi sen.h Ark jil)t ^a\.

La integralrriple de./ sobre e se puede deiinn conro ellimire de las sumas de RiemannI. r,,,. ^ . p{rA(. luedc demu.ra.,e el .rg rienre r(L'remi

TEOREMA PE (17.28)EYAIUACION

(cooRDENADASESFERtCAS)

tftJJJltt.d.A\JV' 1.. I .1, n r.,. p,,'*'t a Jt, ro ln.

Hay otros cinco 6rdenes de integraci6n posibles para esta inregral.Las coordenadas esf6ricas rambi€n pueden usarse en regiones mes complicadas uii-

lizando partjciones iniernas. En este caso ]os limites de inlegracirin en la iniegral iterativa deben escogerse de manera adecuada.

IJEMPIO 2 Calcular el volum€n y el cenrroide de la re,gi6n O acotada arriba por la €sfera l] = a, y abajo por elconod = c, dondeo < . < r/2.goluci6n La resi6n O estd en la Figura 17.67. Ei votu

/ = J" J" l" /,r \cn4' i//, Jc J/r

J f,*"nr,ro ,.L' *"j".,- d.l. rl .o. ,J/) J l r'^.r

Por simetria, el cenrroide esl:i en el eje :. Si (J., t, i) son las coordenadas r€dangularesdeunpunto, enronces por el Teorema (t4.50), z = /)cosd. Usando (17.2d) con6(t, r, z) = l,

rr - ifl.,rr i' I I ',...,e',' \enElrlEt1,' JJJ J4 .ln.lo '0

-l J., j,,'*" \\,ad,,ru{.1, ;J".1,; ,en +loJd

- ia'se.' , J" la : 1-rsen, ..

Las coordenadas reciangulares del centroide son (0. C.:), cronde

:- ]=" rt+cosr). .

INTEGRALES MULTIPLES

ErEnctcroS 17.8

Eje.cicios ll0: Use coordenadas cilindricas.

I . Calcule el volumen y el cenroide del sdlido acotado por las grrficas de z = x1 + !1, x2 +!2=4vz:o

l. Cal.ule el lolumen y localice €lcenlroide del sd-lido acotado por las giificas de ? : \.r: + r:,x:+/::4,v::0.

1. .alcule el mom"r,o de rnercra de un cilindo cn-cular recto de ahura lr y radio de la base a, conrespecto a (a) eleje del cilindroi (b) un dirnerro

1. Un sitlido homJglqeo elrd acorado po.las grd-licasde: =\rrr + r'? y i; = r'? + ft. Calcu-le 'a, e .enr,o de ma.a; (b) e moaenro de ine,. a

con respeclo al eje z.

5. La densidad en un punto Pde una esfera s6lidad",adi' Je d.r(r,'menrr pruDor-.uncl d lr dr'tancia deP a una recta lija / que pasa por elcen-tro del solido. Calcule ia masa del cuerpo.

',. Calcule la ma.d del . ono 'dl,do d o ddo por la'graficas de.a =!]r+rr yz = 4 suporiendoque la densidad en un pLrnto P es directamenreproporcional a la distancia de P al eje z.

7. Calcule el momento de inercia con respecto a /del s6lido descrito en el Ejercicio 5.

r. Cal.Jle elDonenro oe ine(E con re,pa,o a-lejez del solido descrno en el Ejercjcio 6.

O=1lr. v. a): l<l<\-Y: !:.Yr-l)> ll.

La densidad en elpuntoP(r, /, z)es dire.tamen!e proporcional a la dislancia de P al plano ry-Calcule la masa y el centro de masa de O.

10. calcule la masa y el centro de nasa d€l s6lidoq-e se encrer',a Llenuo oei (ilirdro v l'2] : 0 y de la esferar: + -y': + .'] = 4, supo-liendoque la densidadenelluntoP(x, /, z) es

di.ectamenteproporcional aladistanciadePal

Ejercicios rr-18: Use coorderadas estericas-

I L Calcule la masa y el cenlro de masa de una me-dia esfera solida de radio d suponiendo que ladensidad en un punto Pes direciamente propor-cional a la distancia de P al cenko de la basc.

12- Calcule el volumen yelcentroide del s6Lido ncolado por ld5 gralr.a5 de ? r/i'r J-. \' !J2 : 4 y. = 0 (!6ase el Ejercicio 2).

13. Calcule elnomento de inercia del hemisferio delEjercicio I I con respecto a su cje.

l.{. Calcule el momento de inercin de una nedia es-

fera sdlida homogenea de radio z con respecioa un diddebo de la base-

15. Calcule el volumen del s6lido que se encuentra

adba del cono z, = x, + y2 y denrro de Ia es-

fetu x2 + )r1 + z1 = 42,

16. Calcule el volumen del sdlido que se halla fueradel cono i: = r'?+ 12 y denho de la eslerax2 + ),1 +22=1.

ll. Calcule la masa del s6lido que se encuenfa luera de la esierax': + l'? + ?': = I y dertro de laeslera 12 + t: + z' = 2. suponiendo que lad€nsidad en un punto P es directamente proporcional alcuadrado de la dismncia de Pal centro

18. t nr ca'ca d eslerica homocin€a rieoe ,adio interior a y radio exterior b. Calcule su momentode inercia con respecto a una recla qle pasapor

Eje.cicios r9-m: Evalne Ia intesral embjando a coor

tr) I I I

20tt I

Ejerci.ios 2r-22: Evalle la intecralmbiando acooF

2r. L I I .. , :t.1. til

22. 1.| r. . tt,l

Cdmbo de vdriable5 en tas int.grales mLjttpes

CAMBIO DE VARIABIES EN IAS INTEGRAIES MULTIPIES

En la Secci6n l7.4 se estudio como canlbiar una intesral doble en coorde!adas rectan-gulares a una integral doble en coordenadas polares. En la secci6n anterior se conside-raron integrales triples en coordenadas cilindricas y esf€ricas. A coniinuaci6n se presenraun mdtodo mas general para cambiar las variables en las integrales m[ltiples. Esre m€,rodo esta intinamente relacionado con las trcnsfornaciones (a rotespondencias) deun sislema de coordenadas rectangulares a otro,

Comenzamos considerando una funci6n I cuyo domi,nio , es una region en el plano x.l, y sr contradominio E es

una regi6n en el plano lly. Como se ilustra en 1a Figura 17.68,a cadapurlo (jr, /) enrle corresponde un [njco punto (r, !)en t tal que 7 (r. I ) : (r, v); I es una irsnsformacidn decoordcnadas delplanoxt ai plano ry. Como cada par (r, y)esta determinado de manera nnica por (x,l), entonces,l yr son lunciones de r. y.t. Se tienen ast las siguienles l6rmulaspara la transformacion I:

! = ll\. r). r =,/(\.rli i,.rrenD. lr.r)ent

donde / y , son funciones que tienen el nismo dominio D que r.Dada la transformaci6n de coordenadas (l?.29), se divide Ia region del plano rl,

med;ante rectas vertical ... y rectas horizontales r = dr,,=dtv= dr, . Las curras de nivel correspondientes de/y./. es decir,

ncuaa i7.69

paruj = 1,2,3, ... y k - 1,2,3, ..., determinan una p.irlicldn cwvilinea de'rnaregi6n en el plano x/. La Figura 17.69 muenra cualro curvas de nivel de cada tipo correspondi.nter a cierla transformaci6n r-

Las curvas, = flx. r) = .r y' = r(r,,v) = .Jk en el plano r) se denominan cur-vas, y co ns l,,, respectivam€nte. Por supuesto, el tipo de cuNas que se obtiene depen-de de la naturaleza de las funciones /y r. Et siguiente ejemplo iluslra un caso en elque las curvas , y las cur\as ! son reclas.

(17.291

Sea r la ansformaci6fl de coordcnadas delinida porUEMPIO 1

u=x+2!, t=x 2!.

914 (APiTULO 1] . INTFGRAIFS MIJITIPLES

Trazar en ei plano rv las rectas verticales u = 2, u = 4, u = 6, ,l = 8 y las rectas

horizontales v = l!r = ,j v = l,v = 5. Trazar las curvas, y las curvas t corres-

pondientes en el plano jr.)'.

Soluci6n I-as rectas vcrLicaLes y horizontales en el plano ,v cstdn en la Figura

i7_70(D.Las curvas Il en el plano "yl, son las rectas

x+2Y-2, x+2f =4, x+2j=6, x+2Y=8y las curvas l son 1as rectas

v )r -r 1-:ru I r ), _ I I )u = I

que se ilustran €n la Figura 17.70(ii).

La translormaci6n Z en el Ejemplo I es biunivoca o uno a uno: si (tr, tr) +(xr, lz) en el plano xt, entonces 7()rr, /1) + Z(xr, ),r) en el plano !lr,. En general, si

7es una transformaci6n uno a uno de coordenadas, entonces invirtiendo Ia correspon-dencia se obtiene una transformacion f_1 del plano ,lv ai plano x/ llamada inv€rsa de

t Se puede esp€cilicar f ' )nedianle ecuaciones de la forna

x = F(u. \,), ! = G(u, t,)

para ciertas funciones F y C. Si se ilustm una transforma-ci6n biunivoca 7 mediante una fiecha, como en Ia Figura17.68, entonces la inversa I I se puede ilustrar trvi,'1ie,?dola ciiada flecha, como en la Figura 17.71. Obsdrvese quer l(r\,.y)) - k, r) y 7'(r 1(,, t,)) = (u, v) para todo(.ir. ]) en D y para lodo ('r, v) en E.

EJEMPTO 2

(a) Hallar la inversa de la transformaci6n a deiinida en el Ejemplo l.(b) obtener la curva en el plano al] que I I transforma en la elipsc r.r + 41,'] - lsoluci6n{a) La lransformaci6n f estd dada por

u=x+2y,r=x 2t.

17.9 (dmbo d€ vdnabl€s en as tnt€grd e5 mlltipres 915

Sumando los lados de eslas ecuaciones obre|emos , + v = Zr. R€slando los lados co,rfespondienles oblenenos I l, = 41. por lo ranlo, I I estd dada por

x= l(u+v),r=+Q v).

(b) Como ir y '', estdn rclacionadas medianre las dos ecuacio,la pr e ial. los punro\ tr. r, corre.pon

drenre. a r! af- I deben .dt:.tacer ta ecuacron

| ',' - al ,,,. .,1 - I

Esto se simplifica a

u)+v2=2,Resulta quc la circunlercncia de radio r2 con cenrro en et o.igen del plano ll, se rrans,forma bajo I-r en la elipse x2 + 4/, : 1 (v€ase la Figva t't.72). .

EJEMPI,O 3 Sea p(n, r,) un punto con jr + 0 en er plano ).1 y sea

.v,. 0 arclan_r,

y sea P{0, r) el punto correspondiente a r = b,A = T/2.En-tonces, / y d son coordenadas polares de P y las ecuacionesanteriorcs definen una iransfornaci6n de coordenadas Idel plano nJ al plaDo ,"d. Representar en el ptano /d las grdficasder= t,r=2,r= 3 y r=1. d:j. r-:. Tra-zar las curvas r v curvas d correspondientes en el plano:L:1,.

Soluci.in Las grdficas esldn en la Fisura l?.73.

En la Secci6n 5.5 se discuri6 c6mo cambiar variables en una integrat definidaJil/{r)ar.eajocierrascondjciones,sjsesustiruyeJr=a(r),enroncesdx=a(u)duy

J.',' '] ,1. ht,.,,,:.th

dondea = a (c) y, : U(d) (v6ase(5.34)). A conrinuaci6n se obtieneuna f6rmutapar"."mbidr vd'rable' en la\ inres ale. doble,.

Consideremos llRF\x.llrlA en una resi6n R del plano jry y una susrituci6n

x = .f(u. v), r - !(u. y)

donde /y .r lienen segundas derivadas parcialcs continuas.Esras ecuaciones deiinen una translormacion de coordenadas t/ del plano ,y al plano xt. Despues de suslituir i y./,el integrando se convierte en una funci6n de , y t,. Se debeencontrar uDa regi6n .S en el plano l'ly que se rranslorme cnR bajo ltl, como se ilusira en la Fisura 17.74, tal que

J.r i,. , / I .1.ltt,tt. t,..t ..,,,t1

916 CAPiIULo 17 t INTEGMLES MOLTiFLES

Para que exista una regidn S apropiada, hay que poner restricciones a la regi6nR y al integrando i(r, _r). Se supone que R consta de lodos kx puntos que estAr denlroo sobre una curva cerada simple C que es regular por partes, y que ./' liene primerasderivadas parciales en toda una regi6n abierta que contiene a R. El sentido (o direc-ci6n) positivo a lo llr.go de C es tal que cuando el punto P recorre C, la regi6n R quedasiempre a la izquierda. Con el sentido negaliro, R queda a la derecha. Tambi6n se re,quiere que lrl transforme una .esion S dei plano,v de manera biunivoca a R y queS este acolada por una cu r! a cerrada simple ,( que sea regular po r partes y quc I/ translorma en C. El nlrimo requisiio $ quc cuando (a, y) recona li una vez cD e] senridopositivo, el punto correspondienle ()., l) rrace C una vez ya sea en la direcci6n positjvao en la negativa. Se pueden suavizar estas condiciones pero esro queda fue.a ciel alcancede cste libro.

La lunci6n dc u y r que se define a continuaci6n se usard en el cambio de variables.Lleva el nombre del matemilico alem.in C. c. Jacobi (1804 1851).

DEFTNTCTON (17.30)

TEOREMA (17.31)

En elAp€ndice Il se da una demosrracion del Teo.ema 07.31) basada cn et Teoremade Creen (18.19).

tJE^{Pl,O 4 Evaluar llxcl' tarcsj6n^enct plano'acoradapor el trapecio con v6rtices (0, l), (0,:), (2,0) y (1.0).

Sean x - /(!, v\ y J = !(.u, v). Ei jacobiano de J. y fcon respecto a y y se denota por A(jr,l,)/A( , r) y se

define por

a(n, _r)aA]) = - .l

au At I

A.r Ay Ay axau dr a, dr

En el siguienle teorema todos los simbolos tienen el mhmo signilicado que antesy se supone que las re8iones y las funciones satisfacen las condiciones mencionadas.En el enunciado del teorema se usan las notaciones dx dy y du d r en lreat de dA paftevirar confuiiones acerca de la resi6n de inregraci6n.

Si x = f(u, v), r = g(u, y) es una transformaci6n decoordenadas, entonces

ll r',.;'a,a,, ll t,t',.,t.,r,.,,,!''' u' ouo,

Se escoge el signo + o el signo - dependiendo de que,si cuando (r, v) recorre la frontera f de ,l una vez enel sentido positivo, el punto correspondienle (x, /) traza la froniera C de R una vez en la direcci6n positiva oen la direcci6n negativa, respectivamente.

Cdmbo de vdrdbl€s en tas inteqral€s nitt pt€5

Soluci6n El hecho de queJ ir y -r + n aparezcan en €l inlegrando sugiere la si-guiente sustiluci6n:

u=y x,y=)+x.

Eslas ecuaciones definen una lransformacion f del plano r./ al ptano rv. para apli,car el Teorema (17.31) debemos usar la transformacion inversa r I. para enconira.f L clcspejamos x y y en !6rminos dell y y de las ecuacioncs anrerior€s y obtenemos

': j(, ,r. ] = j{, + rl.

Sesrin (17.10) el jacobiano es

a('. r)a(l], u)

La regi6n R este en Ia Figura I7.75(i). Para determinar la region S en el plano rvque se transforma en R, observamos que los lados de R estdn sobre las rectas

\=0, _r,:0. r+_v:1, \+_f =2.

Usando las ecuaciones de las transformaciones fy I I vemos que las curvas respecti-vas correspondientes en el piano llv son

_u,t,=l,t=2.

Estas rectas torman la frontera de la regi6n lrapecial S que s€ muestra en la Figura17.75(ii). Podemos demostrar que los puntos interiores de Scorresponden a puntos in-teriores de R y que cuando (,, ') recorre la irontera de S una vez cn el sentido positiyo(contrario al del reloj), el punto correspondiente (jr, )) traza la frontera d€ R una vezen el sentido negali|o (.o sea, el del !eloj). Aplicando el Teorema (17.31).

918 cAPirulo 17

I'

' INTEGRALE5 MOLTIPLES

.letermina una transformaci6n del plano /'B al plano -(.i cuvo jacobiano es

EJEMPI,O 5 evaruar JJ. e ('' ")/rd:v para la rcgion R

et1 cl princr cuadrante del plano r:'' qre se encuentra enlre

los arcos de circunfercncia quc se mueslran en Ia Figura l7-76'

Soluci6n Esla integral se puede evaluar cambiando a

coordenadas polares como se hizo en la Seccidn 17.4. pero

nuestro objetivo es mostrar c6mo se usa el Teorema (17 3l )'

x=rcosd, "f = / send

,la rr eosl/ ,lenlri,. rrr l\rn r/ r L,r /l

Podenos verificar que la rcglon reclangirl S del plano rP

acoiada por r' - I,t = 2,0 = 0y0 = r/2 (vdase la Figu-

ra 17.77) corr€sponde a R baio esta transformaci6n. Ademas,

cuando (r', 0) tecorre la lrontera de S una vez en el sentido(o direccion) positivo, el punto corrcspondienle (r., -t) rcco-

rre R una vez en la direcci6n positiva. Enronces segln el Teo

rema (17.31),

11) ,! :l :

La sustituci6n polar

I"tl" .",t, ,x): 1"," ),, '')' ,il)

'I / " ''|o-'.'Fl Tcorema {17.31) puc.le generalizarse a integral€s lriples Dada una Iranslbr

! : /(,r. f. tr1. r = !l1,. f. r'). : - i{ . i, tr)

de un sislema de coordenadas lll,u a un sistena de coordenadas x,rr, se define eliaco-

birno n(\, r. -) drr. r. {r oe l" rrJr'lorn"c'in .omo

: ['' [.tJ"

(17.33) I ii'r". 'r'r' 'rr i'

(17 .321

Si R y S son feqioncs en los sistemas:!:r. y ufl{ que se lranslorman una en Ia otra bajo

esta lransformacion y su invcrsa, enlonces bajo ciertas reslriccionc5,

donde la €xpresjon O{?/, r,, r,) se obticne sustiruyendo las de n, I y i en F(r, /, .i)

i7,t (dmbo de vdriabtes en tds jntesrdles nnrt'p,es 919

Por ejemplo, usando las f6rnulas de las coordenadas esfericas (14.50), entonces

\:2sen4,cos0. I : p scnd sen0. :: /, cos d.Se puede demoslrar (v6ase el Ejercicio 27) que

Por lo ranlo (17.33) loma la forma

JJJ// \/ 1/- .l.i.l "' '' senr'/, r 'J"

Esto corcuerda con la f6rmula (17.28) que se obtuvo irxuitivamente_Esta sccci6n lermina con un problema aplicttdo que requie.e un cambjo de variablc

cn una i esral doble.

EJEl.tPl,O 6 El bndo de nuchos lasos riene la forma de una senoide lo sinusojcie)e/?trcd. Supongamos que la lroflrcra de ur Iaeo es Ia elipse (_r:,/dr) + ( r)/b., = |y sea lM la prolundidad mdxima dcl agua. Enronces pued€ suponerse que el fondo dellago tiene Ia forma de la srrfica de la scnojde eliprica dada por

,r /^' rtr/(\.rr=,\,rir\i- i,+_l\r Vd b J

para lxt/o'l) + lftb)1 = I (viase ia Figura 17.78). Calcu-lar el lolulneD r y la profundidad media ,..d det agLa delIago.

Soluci6n Si R cs la region ctiplica correrpondiente a tasuperlici. dcl lago (yaarc la Figura 17.7C(i)). enronces

La forma dei irlegrando suejere hacer la srsLitucion

{$

r = .[ r(.\ r) ,.., = ," g-. (] ui" r ;1)-

r=ar. r=lr.ED e't€ caso el jacobiano es ac, !\/aQ, y) = db y la resion S correspondicnte a R es el circulo ,r + r, < t iveasela Figura 17.79(ii)). Aplicando el reor€ma (l?.31),

\' ", 11."1. .)-t..,

Pod.n]J r'.r1,r., . r, r'.es-:rJu "rJulJ.d.rirLLior,tJ ..,odcna.las polares ! - rcosd, y : /sena. Esro da

"o1

r, = ,,,r,,,1;'J,l -.(;,),,, ,',,

9r0 CAPiIULO 1I I INTECRALES M|]LIIPLES

Inlegrando por partes o usando la Fdrmul:83 de la Tabla de Integrales,

I ^. Ir ,r/,, I Lcnt I '."11'J '\_ 'r ,l

.-,/l I r'b,,J"1, )''"/,1- .l', r l''lr'}I'"

\r r /Esta formula puede usarse para eslimar el volumen del agua de un lago a parrir de las

tres medidas a, , y ,\r.Podemos demostrar que el 6rea de la regi6n eliplica R es r4r' Aplicando una defi

nici6n para integrales andloga a la Definicidn (5.21), obtenemos la profundidad media:

I r./'. ll ' .'i '

I

J for lo .an.o ,r "' L /)

rl4' '. \, . 04h'-rv

Un esludio de l0l lagos en todo el mundo dio un valor ncdio para ,''.,r/rNr de 0.467

EJERCTCIOS 17.9

Ej..cicios l-E: Sea rla l.anslormaci6n del plano l,al plano !v delinida lor las ecuaciones dadas.(a) Dcscriba la\ .urvas r y hs eurva\ L{Lr) Suponiendo que res u

cioncsr I(,, '),-, = C(r, !)qucdflerninfllT

l. != l\, r-5t 2. :c'. r:.r3. :! t. r:lrrl\,1. !- jr .|. I-lr+-lr5. r=lx+J. r:\r6, u=rr. r:r'+.1

ll. !=\+1. r=rr r

9 s.r / o.ran.o. nd.onde inodcn(l re,..iol EDcucntre la curva en elplano r! que corres-ponde al re.rangulo con verdces (0. 0). (0, ll,(2, l) y (2, 0) bajo r rorn curla cotresponde, la cncunlerencia u.itaria Ir + I: = l?

10. Sea rla transiornacidD delinida en el Eiercic'o.1. Encuentre la curva en elplano rv que conesponde a1 tdansulo con v€tic€s (0,0), (0, l),(2. 0, iQJi . u,\d .one.pond. d k ,( d .

2!:11

tjer,nio. ll tl: l"..d .bo .dc' ira idnd!|"'.obiano a(r, rtr6(4, v).

ll. \=rr rr. r:lr.12. r = .'sei,. r: C cos

'13, r-P :'. t:arc14. a:r1!:+r:). i:r(,/r- rr)

Ej€rc,.ios rsl6: Deternine AQ, j, z)/a(u, v, w).

15, r=l!+1. t. I:r 5r. ::!-4tr16. \=,r+rr. .':2r+rr'". ::lrtrEje.cicios U-20: Useelcambio de variabl€s indicadopara erp.esar la integral.omo Dna i.regraldoble sobre unaregidnsen el plano ry. (NoevalUeh nrregral.)

17.10 Repdso

17. l.lR (r - x)dxdr; R es Ia reei6n acorada po.

-!, = 2r,,! = 0,r : 2.., = u + r, ! : 2r.

lE. jlA (lr - 4_r)./t.1f: .R cs la region acorada DU,

-r = lr.lr -.r,r1 4ir:, :!,! _lr

re. JJ, (irr + lr:) d\ r[ ^

= l(r. r): .l!. + ,1_i. < I ]l\-2! r -lii20. t ,L 4 + ld.(g.on d-orrJd po J

2i2 r,r = 0,r - 0ir - u1- v1,r =2ut.Ejcrcicios 21-26; Evatie l: intesral haciendo el cam'bio de v?riables indicado.

21. Il . ,^ J r.o. , \ ' r)drJr. /i e, ld e8:oracotadapor elcuadradocon vdrtices (0, l), (1, 2),(2. 1), (1,0)j !: x |,it i x + t.

22. llr s€n [(-/ - r)/(/ + r)].t./r; R es el rape-' ^ .n \en .e\ ' L ll. (/, r. r4. nr. r'.

^r: ,

,-r,!=-']-J.2J. il I \ 2) rJ.dr. /i -, td rpe.or e , el p-i

ne u"Jr ' . r.. "dd ror L Cr.ri'. d( "I,r-) ',1 2\. ,,.21. ifR 1{ 4r r l) : drd-l R cs 1a reeion acora

dapori:\ lrr=r+t,

25. l;!,2r ''. -2i\dtdtt R. c.',rre ^..n \e r.- ( l,01. \ 2.01. (u. al.

'0. 2). /y 2r,r:2t+r,

26. JiR 1\ \ - 2r' - I r2) d.fdri R es cl triansL'|..r- \-4r.-. \0, 0), i4. 0'. !1. 2t- L ' !. v -

verilique que para la iranslormaci6n a coorde-

i,. . :l- .:]].!en,l'\p. !. t))

Usando el Teorema (17.13) deduzca una formu

lllrr .. r..r,t' .iL ,t:

cor€spondienle a una rranslormacion de coordenadas rectangulares a cilindricas.

Denuesire que si Ia tra sforma.ion de coordc-

nxda\ r = /i,, !), / - ,(,. v) es uno a uno'

a(r. r.l a(1. rl j

a{r. f) ,(J. rl - '

(Slserencidr Use la siguiente propiedad de ]os de_

921

28.

21,

29.

',',,,i:=:il:; llj:)30. Dadas las transfornaciones r = /(,, r), ) =

,(u. v, y u = r{/, s), r = ,{(/, r), demuestre

i1!. rl i(!. , ) al\. r )

a(r/. r) i(,. r) liit. n

(/r.r.a.ni,r Use la sugereneia del Ejerci.io 29 )

fillnrrmoDefina o discuta lo siguiente.

1. Parriciones inrernas en dos y tres dimensiones.

2 Sumas de Riena.n pa.a tunciones de varias va-

3. La inlegral doble.

4. lDtegrales dobles iterativas

5. Evaluacion de intesrales dobles

6. Deterninaci6n de nreas y voltmenes usando in-

7. lnresrales dobles er coordenadas polares.

8. El drea de una supeilicie.

9. l.a inlegral riple.

10. lntegrales riples iterativas.

922 cAprrrrlo r? . htr€cRALEs M0tlpLEs

IL Elaluacidn de inreerates triples

12. Densidad.

13.

Cenbo de masa de una lanina y de u! solido.

ls. Momentos de ine.cia de una lamina y de un

16. Teorena de Pappus.

17. Inleerales rriples en coordenadas cilindricas yes

18. Cambio de variables de inlegrales milriples.

EJEnCtCtOs,t7.10

Djercicios F6: Eval[e la irtegral.

t 1" 1. .. .,,.,-rL.l.'

t 1 ,1, ,1,

f ' )ll lt

4 .1 l, i 1, , rr,r, i\ /:

s. J,J,l r:,i \,/:,/r

" J, ., j, r,\e,i,,/r,i.",r1r

rjerci.io\ 7-10: f\Dre'e fJ ,,,. /'ilr.oro rnd lleeral nerariva donde R es la regi6n acotada po. lassr.ificas de las ecuaciones dadas_

7. \2 t::4. \:.1E, \r fr=:1. r:,1. r:()9, tr-.1 r\. rr=.1 \

10. f- \:+,1 r. 1\:

Ejcr(icios ll-12: Ld nireg,al rcp.esenra ei irea deuna region fi cD el plano.!r. Deseriba R.

r. f'f ,. 12. i I ..,.Ejercicios l3na: lnviena €iorden de inreg.aci6n y e!a-Ue la inlegral resultante,

rJ. I ,, rn. ilJ -l'.l

15. Cakuleel dreade lareeidn acorada porel ejepo-lary laserdficasde/ = e, y / = 2entred : 0rd=1n2.

16. Use coordenadas polares para evalua.

I I ,'+,' /L /,

17. c"r""r" e;"o;"'"r der s6rido que se encuentabajo ta erdlica.le . : q? y sobre el rectdneuloeD el plano ry con vdrrices (1, t,0), (2, 1,0),(1,3,0) y (2, 3,0).

18. Exprese JIIo /{r, r, z)z/rde seis maneras diierentes como una intcgral jreradva, donde O esla regidD acotada por Ias srnficas der : rr +

Ejercicios 19-20: Calcule la masa y el cent.o dc Dasade la lenina que riene la forma de la recidn acoradapor las sriificas de las ecuaciones dadas y riene laden

19. l, : x, ) = 2r, _r = l; ta densidad en el punroP(r, r,) es direcranente proporcjonata la distan-cia de P al eje I.

20. rr = j, x = 4i la deDsidad en el punto p(r, f)es dire.tamente proporcion.l a la distancia de pa la recta cor ecuaci6n r : L

21. Una |imina riene la torma de la regidn quese en-cuenfa denfo de la srafica de r = 2 + sen, yfue.a de Ia grrlica de, = l La densidad e. elpunto P(/, ,) es inversamerre proporcionala ladisiancia dc P al polo. Catctrle Ia masa,

22. I ,. "n 'd e..'.t, i .dn tr. td, ,r ..r.J. ,t(

J , r, \. \.u d"n.,Jdd en et F. oP(r, r) es direcraoenre prcporcionala la disra!cia de P al eje r. Calcule /., /" y /o.

t7.to Repaso

23. Lrna ldmina riene ta torma de un rriinsuto recr;inBUlo col rJu. .lp

^nC.,r'de. J, , .. t,Su densidad es d'rectamenre p.opor.ionata tadistaici! alcaL€rode longitud a. catcute et monen rode inercia con rcrpeclo a ta.ecta que conliene atcareto de longirud a.

24. Una lamina rienc 1a tormade Ia residn conprendida enrre dos circunleren.ia5 concen$icas de radios a y b con a < ,. Su densidad en un puntoPes directamenre p.oporcionala la dislancia deP al cenro. Use coordenadas polares para cal-cLrlar el mornento de ine.cia con respeclo a unarecta que pasa por el cetrrro.

25. Aplique integ.ales triples para cal.ula. el voru-Ter . i, a oide dcl .o|do a.orodo por 'a. gra-

20, I n ordo Na dcotalo por ld. gra r.a, de 7

9r: + f: t : = 9. Su densidad en el punloP(J, r, :) es inlerlamenre proporcional alcua-drado de la disrancia de P ai punro {0, 0, t).Plantee una integral biple para el momenro dein€rcia con respccto al eje ..

2?. Un sdlido esti delimitado por las srilicas derr -fr +.r: l,J = 0 y.r : 4. Su densidaden el punlo P{r, rj i), es directancnie propor-cional a la dNtancia dc P al eie r. Plantee una

29.

30.

92X

inleeraltriple para elnomento de inercia con respedo al eje.r,.

Un sdlido hodoseneo esta acolado por lagrafica de r = 9 )r: - /r, el inlerior det citindrox2 + t'l = 4, y el plano.rr. Use coordenadascilindricas pam delermind (a) Ia masa; (b) €l cen,tro de masa; (c) el monenro de inercia con res

Un sdlido tiene la lo.na de una eslera de radioa. Su densidad en un punro P es direcramenteproporcioral a la dktancia de P al centro. Usecoordenadas esfericas para calcular la nasa.

Calcule eldrea de la superlicie de la parte detcono. : (n'? + /r) /': que queda dentro del ciliD

Sea Zla ranslormacion del plano }l :l plano rtdadapor! = 2r + 5/, r = 3r- 4/. Encuentra:

12.

31.

('1) a(r, r)/d( r, r)delarectaar+rtr.-0de la circuillrencia rr + r: =

Evrlic h inresrat flil":dilnre el crnbio de rariablcs , = r r,, i =

*rnr,a18cArcuro vEcToRtAr

filn este capituio se presentan primero tos canpos vectoialesy se define la integrcl de linea. Luego se consideran los

teorenas de evdludcion y se deternindn condicianes pdra ldindependencia de la trayectoria. Despues se demuestra elfeorena de Green para lds resianes planas elementales.

Este importdnte resultada propotciond una conexion entre las

integrdles de linea y las integrdles dables. Tanbien se investigan

h divergencia y el rotacional de un canpo vectotidly se presentan dos de los tearends nds inpartantes del Cdlculo

vectorial: el Teorcna de la Diveryencia y elfearcnd de Stokes.

925

996 CAP,TULO 18 ' CALCULO VECTORIAL

lE[ curpos vEcToRtArEs

--.\ril!'-lFTttFIGURA 18.'

'=$=$=.r=--

i

./

Si a cada punlo,( de una region se asocia un veclor irnico

con punlo inicial K, entonces el conjunto de tales vcctores

se Ilama crmpo rectorial. I-a Figura l8.l ilrslra Lrn campo!cctorial determinado por una rueda que gira alrededor deun cjc. A cada punto de la rueda le corresponde un vectorvelocidad. Un cafilpo vccto.ial dc csrc tipo es un crmpo dclelocidad (o dc velocidades). Tambiin un nujo de agua o unacorricntc de aire pu€den determinar campos de velocidad. LaFigura 18.2 muenra \ecrorel vclocidad asociados a las particulas dc agua quc sc lllLrelen en un rio. Los croquis de esretipo muestran solamenrc uno\ cuanlos elcnrcDlos del canrpovectorial. Hay que recordar que ro./o punLo de la rcgior tiene un veclor asociado a cl.

Olro tiDo nru), conin de campos vectoriaies es el campode fuerzs, (o de fuerzas), que se uriliza mucho en el esrudjo de la mecdnica v de la elec-lricidad. Las ilusLraciones sc han limitado al caso en el que los recrorer \on indepcndienles dcl ricmpo. Estos campos recioriales eslacionsrios son los Linicos que se

considerarin cn este capitulo.Dado uD campo vectorial. se supore que hay un sistema

de coordenadat reclangularcs y cl vccror asociado al punloK(r, t,.) se dcnola por l(-{. t. i) lvease la Fisura 18.3).Como 1as conponeDtcs del lector F(,r, _y, .)dependen de lascoordenadas de K, se prede escribir

F(.!, f.:) = M(\. ).:)i + N(r. r.:)j + Pt.\, r. :lk

donde M, Ny P son funcionei ercalares de tres lariables. Inversancrte, roclaccuacidn de esta fonna deiermina un caff

puede consjderarse qu! un canlpo vectorial es una lunci6n Fdelinici6n.

po vectorial. EnIonces,como la de la sig ienle

oerrNrcrox 1t a..11 Un campo reclorial en tres dinension€s es una funcionF cuyo dominio res un s bconjunro de R x R. x iR ,y cuyo contradominio es un subconjrnlo de t/r. Si()., _r,, z) este en /], enlonces

f(jr, l' r) - M(x, y, z)i + N(x, J, z)j + P(n, /, .)k

dondeM, Ny Pson tunciones escalares de t.es variables.y cuyo contradominio conslituye un subconjunto de I/r.Si (n. l. r) estd en ,, entonces

Si el dorninio, cs una regiontradominio es un subconjunro dc

en el plano .\_f y si cl conY, (!6ase la lrieura 18.4).

18.1 Cdrnpos veciorial€s 9C7

cntonces se oblienc cl caso especial de {l8.l) de un campo leclorial l' cn dos dimensio-nes, que es una luncidn .lada por

F(\. r)= Mt\. rli + ^(\.

r.)i

donde M ) N son funciones escalar€s de dos variables.Si las lunciones escalares M. N y P se dciinen por nedio de erpresiones sinples,

entonces el campo lectorial fucdc describirse r.azando \ectores corresponctienlcr aF(r, r, t) o a F(r,l). Esto se ilusrra en el sisuienre ejenplo.

EJEr'^PtO I Rerlizar la descripcion del campo lcctorial l'dado por F(.Y, _y) = li + r-j.Solucirin I-a ;iguienre rabla muesrra tos vecrores F(-r, l)asociados a varios punlos (-r, , ) senalados en la Figura 18.5 -

FIGURA 18.5

\-

/ '++r /--.\

t\. r') I rt.. r'l1: rl(l.l)

L 1. l)(t.l)

il. l)

F (\. r )

i+iii+

(!.:r)I 3. 1)

(1. 1)

{1. l)

li+ ji3jliji+3j

I'I

son semejanlcs a los asociados a la rueda siraroria de Ia Figura 18.1.Para llecar a una descripci6n de un campo vcctorial l'

se considera ur punto arbitrario K(J., t) y se deiine el vcctorde posicion r = xi + .rj de ((ir,.y) (vease la Figura 18.6).Se ve que ! (jr, v) es orrogonal a r y por lo Lanlo, es langentea la circunferencia de radio lrl con centro en el origen. Esrehccho pucde dcnrcstrarse probando que r F(-r,.r) = 0,como sigue:

r Ir(\. r)= (\i + rjl ( ri + \j).. \_f +_r\=0.

F(\.r') :\''j:+i: - rlPor lo lanlo, Ia masnirud de F(,r, -v) es isualal radio de la circu ferencia. Esto implicaque cuando el punro ((-r, ,r) se aleja del origen, la magnjrLrd de F{jr, t) aunen!a comosucede en e1 caso de la rueda giratoria de l: Fig ra i8.1.

La siguienle d€finicion presenta uno de los campos vectoriales mds imponanles de

Sea r = iri + /i + f,li el vector de posicion de un puntok'(J., t, :). Se dice que un campo vectorial F es un cam-po de variaci6n inrersa sl cuadrado de la distancia si

DEFTNTCT6N (1S.r)

92E CAP'TULO 18 r cALcULo VECToRIAL

ftx' r":) = -1; ulrl'dorde c e. un c'calar ] u es un veLlor unirario queliene

lr mr.ma dire(cion qLe r ) eni dado por u = | -ir'

UEMPTO 2 Dcscribir el campo ! ()., ). r) q e cumple la Deii ci6n (18.2) para c < 0.

Soluci<in ,omou r) r .i j .l

Lr.. I'i ,i k

Podemos escribir 13 Lihinla cxpresion en Ia Iorma (18.1). Sin ernbargo. cs m6s iAcil ana-

lizar los vectores del canrpo usando la expresi6n en terminos de r. Como F(,r, L r) es

un mulriplo escalar negalivo de r, la direccj6n de l'(-!. t. t) es bacia el origen o. Ademds,

Clmpo recronal del ripo.1.rrri.ciin in\crsa al cualr.lo

F{,.j.:r :i-il. u:i,,1

y por lo tanto. la magnitud de F(], _r, :) es inversamenre proporcional al cuadrado de 1a distancja del punto (r, 1,, i) alorigen O. Esro signilica que cuando el punto ((-y. -r, .) se

aleja del origcn, la longilud del vector asociado l (r, .r', .)disminuyc- En la Fig ra 18.7 se indican alsuDos vccLores

tipicos de un campo F deltipo dc "va.iaci6n inversa alcua

La fucrza de la graledad determina un canpo de Iipo de variacntn invcrsa al cua-

drado. Segin la l€t de la gravilacidn unirersal de Newlon, si una particula de masa

,{1 se coloca en el origcn de ur sislema de coorderadas reclangulares. enlonccs la luerzaque eierce sobre una pa.Licula de masa

'7, localizada en r(x, r,:) es

t' . , ,; \/".u

donde G es Ia constanle de la gravilacion univo sal, r e( el \'eclor de posicion dcl !unlo(yu = (1./lrllr.

Tambi6n en la lco.ia de la electricidad apareccn Ios campos de tipo de variaci6nin\.ersa al cLradrado. La ley de Couktmlr alirna que si una carga electrica puntual I(en coulonrbs) sc cDcuenr'a en el orisen, cnlonces la luerza I (:!, 1,. .l que ejerce tobreotra carga puntual ./ (cn coutombs) localizada en ((-Y, ), "-) es

donde c es una consranre; r y u lon lo misno quc en la Definicion 08.2). Observes€qLe ld le) Je { .rlomb riene ld minnd torma cue la .e) de la grd\ilacron univer.dl de

Si ' = /(i, _y, z), entonces (v€ase (16.29)) el gradienteVw de ly es et campo vectorial dado por

Vr : / r\ r.. -)i + tL(\. r, :)i + L{ .1. :lk

SesLin el Teorema ( l6. 34), la direccion del lector v r en cual-quier punto K('jr. t, :) es normal a la superlici. de nivel Sde/que pasa por ,( (v€ase la Figura 18.8). Ademns, h magnitud de vr es igual a Ia tasa o razon nixima de variaci6nde./en €l punto r(. Estos hechos son de especial importanciacuando cs la tcnperatura (o el poiencial) en r((x, ,y, .).

En tal caso la direcci6n en que Ia raz6n dc cambio de la temperarura (o del potencial)es mrrima, es normal a la superficie isolt.mica (o equipolencial) que coDtiene a.r'(.

r/l-i..:

\:,/-

i

DEFrN!CrON (1S.3)

Si F es conse ativo, enronces la funci6n /d€ la Definici6n (18.3) es una funci6npotencial para F, y /(J., 1,, ?) se llama polencial en el punlo r((x, /, l).

TEoREMA (18.4) Todo campo vectorial deltipo delariaci6n inversaal cua-drado (o de r;po gra\ird(,onat e. con.ervari\o.

Demostracion Si F es un canpo de tipo gravitacional, enronces como en la soluciondel Ejemplo 2,

F ' l . ,r r i L. J r i ' "-

k

para aiguna constanle.. Segnn la Definici6n (18.3), si I es conservativo, existe unarunci6n escalar / tal que F(n, .r, :) = q/(I, -},, :), y las componentes de F sor igualesa f,(x. J. z\. f,(x, !. z) y l,(,r, .v. r). respectivamente. lniesrando parcialmente es'a\ compolenre\ con re\Decro d J..f \ 7. re.pecllrdmenle. \e r. que

It'. ',') :,.. * ;-i _-1, ,

Se dic€ que un campo vectorial tr es un campo vectorislconsenriiyo si es el gradiente de una funci6n escalar, es

decir si

Flx, r, z) - Yf(x, r, z\

para una funci6n /.

930 cApiTULo i8 . CALCULo VECToRTAL

Calcuiando las derivadas parciales se demuestra que esta funcion /es lo que se busca_

ba. Por tanlo, se tiene 10 sjguicnte:

lr f: \' , \l i donde ' t't

En la tisica. la funci6n de polencial de un campo vectorial conseNalivo F se define

cono una funci6n p tal que l (jr, /, :) = Vp(r, .r, ?). En este caso, tomando p =

-/en ia demostraci6n del Teorena (18.4), se obriene F(x, -}'], z) = v(c/,'). Mds ade-

lantc en cl capitulo se esludiaren mas a fondo los campos vccloriales conservativos.El operador diferencial vectorial v en tres dimensiones es+

v I i -r..(.)i r lSegnn (16.29), si v actria sobre una funcjdn es.d/drf da como resultado el gradiente

rar v 'i .'j .'L.\ .IA continuacion se usare v como un operador sobre un campo rrecro,"d/ para definirotro campo vectorial, el rctacional deF, que se denota por rotF, o por v x F.

DEFTNTCtON (18.5) Sea I una lunci6n vectorial en tres dim€nsiones dadapor

F(x, r, z) - M(x, y, z)i + N()., r, z)j + P(x, r, z)k

donde M, -^r'y P tienen derivadas parciales en alguna re'gidn. El rotacional de F estd dado por

roil'= vxF=laP a I IaM aP\. laN aM\I ar - a. J' ' lr. - a',fi' Ia' - a.r,

Jk

Se usard el simbolo rotF o bien v x F para denotar el vector rotf(.jr, L z) ov x [(jr, /, :), asociado a (x. -r, :). La i6rmula para rot f se puede considerar comoel "desarrollo" de un delerminante (con respecto al primer rengl6n).

ro , COMO UN (18,6)DETERMINANTE

' (N- d€l R.) Elc simbolo se lee del debido a que es una dejta maynscula inverlida. Tanbian se le djce''.abla", por su rarecido con un instrunento nusical anii8uo senejanre a h lna y que dene s€ nombre.

ijkaaadx dt dz

rotF = Vx F =

Esta nolaci6n es ambigua porque el primer rengl6n consta de vectores, el segundo ren-gl6n de operadores para derivadas parciales y el rercero de funciones escalares. Sin em-bargo, es una consideraci6n muy ritil para recordar la complicada f6rmula dada en laDefinicidn (18.5).

EJE,'^PLO 3 Encontrar v x F para F(-ir, _y, r) = xrlz4i + (2x2! + z)i + !3zzk.Soluci6n Aplicando(18.6).

jr,, tlil i--

t:':r+:t rr-21

: (l_rtr:tr l)i r,hr::ri + (4rr 2rir:a)k 'En ]a Secci6n 18.7 se ver6 que s;f es elcampo de veloci

dades en un fluido (ljquido o gas) que se mueve a traves deun sistema de coordenadas rectangulares, entonces rot F dainformaci6n acerca del aspecto giratorio o /oldllvo del mo-vimiento. Si s€ considera un punto r()., -y, z) alrededor delcual el fluido gira, entonces rotF coincide con el eje de rota-cion (v6ase la Figura 18.9) y se puede emplear para describirlas propiedades rotacionales del campo.

El operador v se usa rambiin para obrener una impor-tante funci6n esc?/dr a partir de un campo vectorial F, comosicue.

DEFTNTCT6N ('18.7) Suponsa que F(.r, l, ?) - M(x, y, z)i + N(t, t, z)j +P(x, r, z)k tal qw M, N y Plienen derivadas parcialesen alguna regi6n. La divergencia de F se denota por div F,o por v I, y estd dada por

djvF = v.p =94*i!-+3L.Ax Ay dz

Se usa el simbolo v F para la diversencia porque la f6rrnula puede establecersetomando lo que palece ser el producto escalar de v y F, como sigue:

V F:I-i

... (r,t) ..1\) . (Pl

El simbolo v F tambi6n sirve para denoiar €l valor runcional ( vmo en el siguienle ejemplo.

* -li * - r,) (Mi + rvj + Pk)

F)rx, /, .), co

CAPiTULo 18 ' CAICULo VECToRIAL

EJEMPTO 4 Determinar v FparaF(x,f, z) = x]2 zai + (2x2! + zri + !3 ztk.

Solucir5n oe ta oeiinici6n (18.7),

Vt- ,:.r'.,-it,'ral

: rr:1+ 2\r + 2t.r;

En Ia Secci6n 18.6 se verd que sj F es el campo de velocidades en un fluido, enton-c€s div l'da informaci6n acerca dei/rjo o desplazamiemo de la masa. Si div F < 0

en un punto l((r, l, z), enlonces la masa fluye d.il? el punto y se dice que hay un s,midero en K. Si divF > 0, entonces la masa fluye desde el punlo y se dice que hayunafuerl?en.(. Lacondici6n divl = 0 es caracterisdca de los fluidos incompresibles.*

Los operadores dil y /o/ tienen varias propiedades algebraicas. Una de ellas que

es andloga a la regla del producto para derivadas se presenta en el siguiente ejemplo.Er1 los Ejercicios 23-26 se presentan otras de ellas.

ErtA.tPlO 5 Sea /una funci6n escalar y F una funci6n vectorial. Demostrar que si

las derivadas parciales existen, entonces

v UFI: /[v.ts] + [vt] F.

Soluci6n Si escribimos F = Mi + Nj + Pk, donde M, NyPson funciones d€

lF=lI,Ii+fNi+IPk.Aplicando la Definici6n (18.7),

v rll-.,rrV' ;v{rA, ,.-',P,

ru t \4 t/'.v .'v'l P '! P' z ?:

Reordenando los terminos, obten€mos

. (N. del R-) De enas con\idera.io.es se erpli.a elnod,bre de dirercencia. Etl ria lneate las ,.lineas de eeto,cidad'/irprap, al cmdnar o salndel pu.ro; se dice que la diversencia es posilva. En un sumjdero las tineas.rnycrA€, al Ile8ar al pun.o, y por .anro la divcrCencia es nesativa.

18.1 cdmpos vectoriat€s 933

Finalmente, si un canpo vecto.ial F se describe cono en ( 18.1), enronces puedendeiinirse iirnites, continuidad, der.ivadas parciates e integrales mliitipl€s usando las componenles de F{x, /, z), como se hizo en el Capitulo 15 para las funciones vectorialesde una variable. Por ejemplo, si se quiere derivar o inree.ar F(Jr. ], i). hay que dc.jvaro integrar cada componente, Se pucdcn cstablecer los ieo.emas acoslumbrados: F e!conrinua si ) s6lo silas luncioncs componenres M, Ny P son continuas; f tiene dedva-das parciales si y s6io si M, N y P las riencn; etc6lera.

EJERCTCTOS 18.1

Ejercicios r"r0: Represenle suiicienres vectores parailustrar el patr6n o pauta que sisuen los vecroies del

l. F(r, r,): ri - i,j 2. li(r, 'l: -\i + I

.1. r'.J,-li .ri 4. 1".,i j

5. F(\, L) = (-\: + f1) I'r{ri + _rj)

6 F(J. r,:l = ri + :k7 F(J, ], :) : -ri ],j :k8. ts,,,.r .i-L,i-+

9.F(!r,:)-i+j+k10. F(r, f.:)= 2k

Ejerciciot tl-14: Encuenlre un campo vectorial con'serlatllo que tenga el potencial dado.

1r. J(r, '.:) = rr l]:+1:l12. .l(\. r.. r) = sen(r) + ).r + :r)I3. l{r. f) = arcrar (\.})

14. /(r._jJ=rr. r'

Ej€rcicios15-18:Encuentre v x I !' I l'.

15. F(r, -r, :) : r::i + r:\j + 1r + 2:)k

16. F(r. r.:): {i\ + r'li - rrr:j - \:rkl?. F(\. -r,:): -l\r:ri+ lr sen:j- rer'k

rE. t1\. r.:) - \r in + r? ,j tll + ::)k

Itr. S.. r i j I D.n' .., tue ', \r:3r(b)v!r=0i (c) vlr -rlrl .

10, Sern r = ri +r,j-trk!!,u.\.clorcotstan-te Dedruesnc lue (a) rol (r : r) 2ar (b)

div(.rr)=0

21. Demuesrre que la dilersencia y el rotacionaldeun campo de iipo gravitaciolal son ce.o.

22. Denuestre que s; un carnpo vectorial F es con-lervativo y lienc derivadas parciales, entoncesroiF = 0.

trje.cicios 23-26: verifique la idenlidad.

21. V!(FrG):VxF+VxG21. !.(1. + C)= v F+V.c2s. V x UF): /(V I F)+ (v-/) rF26. V tr-xGt:(v:F) {] (vxcl F

Ej€rci.io! 2t-30: Verilique la identidad suporiendoque /y F lienen segundas derivadas pa.ciales contiluas y a es u! vector constante.

28. div rot F : 0

29. rot (erad / + rot F) - rot rotF

30, roia = 0

31. Sean r : xi +-vj +:kyr= ilrl. Denueslreque si F(r,-r. i) - (./rr)r, donde c es unaconnanre y k es cualquier ntnrero real positivo,entonces el rotacion:lde t es0. (Sr8!r€r.Ii7r Lrse

el Eje.cicio 25.)

32. EI orerador dilerencial \a)/ax]) + (a|/Ar2) +(r:/rr:) se denola por v: - v v. Cuandoopera sobre /(r, f, z) p.oduce una furcidn e$.alat llamat)a toptudtna ie J que €n, dada po.

9X4 cApiruLo 18 . cALCLlro vEcroRtAL

Denueslr€ que si / y a son funciones escalaresque tienen seguldas derivadas parciales,

hlv (vt) : vr/(btVr(/41= fvr,, + rvr/ + rvl v4

Ejercicios 33-34: Usando la noiaci6r del Ejercicio 32demuestre que la funcidn s aislace Ia ecuackjn de Ls-p/dce vT = 0. (Las funciones de este tipo se llamanotn6nicas y rieren imponantes aplicaciones en lafisica.)

ls. Si F estd dado po. (18.1), se define

lim trt\. r.. :) = a

de manera an,loga a ia Dehnicidn (15.4). Dd lnadefinici6n de este limite en terminos de npsilo,\t)) detta\ol

"(udle\ ei.igrificado geomdni-

co de tal linitel

S6 Suponiendo que I est, dado por (18.1), delinala rcc\6n de conti uidad en (xo, -yo, zo) de ma-nera analoga a la Definici6. (15.5). icurl es el

signilicado geomdtrico de una luncirin vectorial

l.l. /{x, }. .) =34 16, !, z) = + bl + cz2 donde d + b +

lf,p rxrrcurEs DE dNEA

En el Capitulo 5 para definir Jlix) dn se comienza dividiendo el int€rvalo td, ,l ensubintervalos de longitudes Airl, Arr. . . .. dir,,. Luego se escogen nnneros arbilrarioslrr en cada subintervalo y se toma el limite d€ las sumas de Riemann L l($r)A.r{cuando todos los,.\-y,( tienden a 0. Puede s€guirse un procedimiento similar para delinir las inlegrales de lined de funciones de varias variables sobre curvas en dos o tres

En la Secci6n ll.I se vio que una curva plana C es regulat (o a/i.rada) si liene una

\:414. r:lr(r) t<t<h

talque4'yr'soncontjnuasynoseanulansimuhaneamenteenld,bl.Paralascurvasen el espacio se considera una tercera funcion k del misno tipo, tal que r = i(l). Elsentido, u o entaci6n. positivo sobre Ces la direcci6n en que se mueve un punto alaumentar /. Se dice que una cDNa C es rcgular parte por parte si Io, bl se puedc d;vidiren subintervalos cerrados de manera que C sea regular en cada subjntervalo.

Sea /una lunci6n de dos variables r. y I quc es continua en una regi6n ,. la cualconti€ne una curva r€gular Ccon una parametrizacion x = lt ( t ). ! = h (t\ a < t < b.Se deiidren tres int€grales diferentes de /sobre C. Comenzamos dividiendo el interva-lo del pardmetro [d, ,] escogiendo

a:to< t1<tj< <t,,-h.

La norma de esla partici6n, es decir, la lonsiiud del mayor subintervalo [ir r, rr], sedenota por llA ll . Sj P().k, /*) es el punto de C correspondiente a 1*. entonces los pun-ro. P0. P. Pr. .. . P, dividen d ( P P ,.omo 5e rlu. a en ra lrgurJ

Ar, : r, .. ,. At* : -'i - ti ,. Asu = longirud de { .,},.

FIGURA I8-10

, +, i

18.t lnt€Srdle5 de lrned

TNTEGRALES DE (18.8)TINEA EN DOsDIMENSIONES

TEOREMA DE (18.9)EVAIUACION

PARA INIEGRAI,ESDE LfNEA

935

Para cada i, sea 8(,rr, rr ) un punio del subarco i{ jPr co

rrcipondiente a algin nnmero en lre i, lr] (v€ase la Flgura18.10). Considercmos ahora las tres sumas

:/{l,r.r{r^\. I/({i.r,)^\,. :/(,,,.,,)^\Si los limites de estas sumas €xisten cuando lal - O. ,onentonces las intcgrales de lines de/sobre C con respecro :.

r. \ y.t. re\pecnramenr,. ) ,e denordn como .rgre

Jl, ra. ,t a'

1,. t,. rt a,

1,.lx, tar

= lim Iil?,, v, ) ^s,

= ri"' I/t,., ,.t a",

= lim L fQk, \1k)

^yk

Si um cu.va resular Ceste dada por -r = ll ( t). ! = h(.):a = t < b, y f(x, y) es continua en una regi6n D que

contiene a C, entonces

,i' J,,.,,a' J '',., ,, ,, ,

rir) .j, /1, r)rir : J /t,ilr)./?i/t)./irr,/r

(iii) l./1.1. rrJ, :.l /rar/l. rr,r)nlrl,l/

El termino "iniegral de tin€a"se refiere a una integral sobre una linea clrva, qucpodria ser en cjenos casos una /rred rectd. Se le podrja liamar tambj6n genericamerteinteqrul de cutta.*

Si /es continua en D, entonces los hnites en (18.8) exislen y son los mlsnos paratodas las parametrizaciones (siempre y cuando rengan la milma oricnraci6n). Adenirs,las integrales se pueden evaluar sustituyendo,r = ll(.1),J i(/),osealaparanerriraci6n de C y reemplazando las dilerenciales por

r' :;: r ' L ;rJ- lr' r ,

l\ : a'(l dt. tL\ = h\t\ d!

Observese que segtn la Definicion (13.6), la l6rnula parn ./s es Ia dittrencial de Ia lon,situd de arco. A continuaci6n se enuncian eslos hechos como relerencia.

| (N. delRJ En la rer.rin.losia ndcrririca cD cspdilol, ,t!, iisnifi* cn !.nerdlLna.r7,, o una pdd.de manera qle el nonbre ,r€sr,/./. Ited ro causa co nainn. En in-el6s s ocu.c porque /,r, r iecrs. denorabiisiclmenre !na reda, For lo que ,rp atregral pare.e cxpr.sa. e\en.,limenre que se fara d. unx i.Lelrll

936 cAPiIULo 1s . cALClLo vEctoRtA

1 E'aluar I r]-d\. donde C riene ld pardmeur/acron y Losr, ] -

Soluci6n La culva Ces Ia parre de ta circunferencia uni-taria con centro en el origen que se encuentra en el primercuadrante, como se muesrra en la Figura 18.11. La punra deflecha en C indica el senrido positjvo (es decir, la direcci6nde integraci6n). Aplicando el Teorema 08.9) (i).

EJEIIPLO 2 Evatuar .J6.:r7r dr y l. x/:dJ, donde C es la parre de ta parabola_,, =n'] enire (0,0) y (2,4).

goluci6n La srdfica de/ = nr enrre (0. 0.) y (2, d) esld en la Figura t8.12. C riene ecuaciones paramdtricas

r: r. _l :,:j 0 <. < 2.

Las dif€renciales son

dx - lt, d)j = 2t dt.

Aplicando las partes (ii) y (iii) det Teor€ma (r8.9),

lrr'd. ltl').lt-l itu t' -.r, J., J , '' /o

l- t,tt I^,rl,r-t2"d , ] -. lo-

Si C es La srdfica de una ecuaci6n _r, = !/(-{) para a < ir < b, entonccs C riene ecuaciones param6tricas

\-r. l=4(rJ: 0<t<h.

La discusi6n anterior se puede generalizar a curvas mds complicadas- En particu-lar, sea C una curva regular parte po. parte que se puede expresar como la uni6n deun nimero finito de curvas regulares Ct, Cz, . . ., C,, tales que el punto final de Cies el punto inicial cle Cr+r para k = 1.2,...,, L En esre caso. Ia inregral delioea de J sobre C se define como la suma de las inregrales de linea sobre cada una

Se pueden demosrrar propiedad€s de las iniegraies de linea semejantes a ias quese obtuvieron para las irtegrales definidas en el Capitulo 5. por ejempjo, invertir ladireccidn de integraci6n cambia el signo de la integralj la integral de una suma de dosfunciones es la suma de las integrales de cada funci6n, etc6rera.

EJEIi{PtO

1'

D,,-

FtGUiA 18.1!

93718.2 lntesrales d€ lin€a

Entonces, ias intesrales de linea (ii) y (iii) d€l Teorema {18.9) se pueden cvaluar como

sigue:

I.,,,'"' t"',,,,' l"' ^,"t.i ,, ., ,. . | ,".^''u.,'0, J'r,'.4',.,'n,-.'.r,

Esto demues!.a que para las curvas dadas en la lbrma rectangular -v = 9(x) con a =). 3 6 no hay que usar las ecuaciones param6tricas sino que basla suslituit I = ,(x),dr - q'lx)dx,y$ata y , com o limiies d€ integracion - En el Ejemplo 2, donde v =r'], se podria haber escrilo

[', , ].1, , I l, '1'")r' .o

l,- l.2,'Jr-';'.1. \'-J -.l. \r\',/ '

Puede obtenerse una aplicaci6n lhica de la inlegrai de tinea /(x,l')dr conside-

ran{lo la curva como un alambre delgado de densidad variable. Si el alambre se repre-

sentaporlacurvaCenlaFisural8.l0yladensidrdlineal(esdecir,lamalaporunidadde longitud) en e1 punto (:r, .'r) estd dada por 6(x, -v), entonces 6(!r, vr) Asr es apro'xjmadamente igual a la masa Amr de la parle del alambre que esid entre P* 1 v P(.La suma

: ^m,

- I t(rk, '),)^s,

es una aproximacj6n a la masa lotal ,, del alambre Para delinir n se toma ei limitede esras sumas y se obliene lo sigui€nte.

MASA DE UN (18,10)ATAMBRE

EJEMPIO 3 Un alambre delsado tiene la forma de rnedia circunlerencia de radio a.

La dcnsidad lineal de masa en un punto P es directamente proporcjonal a la distancia

de P a la recla que pasa por los extremos del alanbrc Calcular la nasa del alambre.

Soluci5n Introducimos un sistema de coordenadas de

mane.a que la forma del alambre coincida con la mitad su

perior de la circunferencia de radio a con centro en el origen(v6ase la Fieura 18.13); Ctiene las ecuaciones param€lricas

.n = acos1, _t: asenl; 0<l<T-Por hip6tesis, la densidad lineal de masa en P(.Y, l') est6 da

dapor6(x,/) = k-},, para alguna constante t Seenn(18 10)

la masa del alambre es

', - .], ', ., ," -.l t-,enr,o'sen , , ..'r ' ,/,

L..,''en,,.,r, - aa'"', lA., .Jo l.

J.o1x,1;as

938 (APITULO 18 t (ALCULO VECTORIAL

En las aplicaciones relacionadas con el trabajo, aparecen integrales de linea combi-nadas en la forma

.,. rr, \ rr d, - .1. \'r' rr Jr

dondeMyNson fuDciones continuas sobre un dominio, que contiene a C. Esra sumase abrevia escribi6ndola como

[ .u'..,'.t. v,,. r1 ,,.J'

EJEMPI,O 4 rvatuar f. xyax + r, r/1, suponiendo que(a) C consta de los segmentos que van de (2, l) a (4, t) y de (4, t) a (4, 5).(b) Ces el segmenro que va d€ (2, 1) a (1,5).(c) Ctiene ecuaciones param€rricas Jr - 3t I,y = 3t7 2tit < t < 1.

Soluciiin(a) Si se divide C en dos partes Cr y Cr, como se muesrraen la l-igurd I8.la. e,ras curvJs rienen la, ecuaciones para-m6tricas

C1: r:1. l:lt 2<t<4

+

+l1 ,J,

-- 1 r } +-*

FIGURA '8.15

C2: \:4. fru 1<l<5.

La integral de linea sobre Cpuede expresarse como una suma de dos integrales de linea,la primera sobre Cr y la segunda sobre Cr. Sobre Cr renemos dJ - O, dx = dt y por

f, ,r, a-. + ,. ar. - l,' r(r) dr + 0 = jr,]i : 6.

Sobre C, ienemos dx = 0. dy - dt y asi

f. 'y a, +

" a; : .i't) + 16lr = 16r'15 - 64

Por lo tanto, la integral de linea sobre C es igual a 6 + 64,

(b) La grdfica de C estd en la Figura 18.15 y tiene la ecua-ci6ny = 2i: - 3 t...2 < jr < 4. En este caso d_r = 2dry

f'r'/.. r-,.ir - f',rt- .rr.r, , , 2,i,Jr''2

I'a' -l.rd\ r;oJ2'

(() Lagrdfica de Ces parte de una pardbola (vease la FigrraI 8. I 6). En esle caso, usando las ecuaciones paramerricas r =3t I,y-312-2t i</ < : , oblenemos dr = 3 d/.dt : (6t - 2)dt y ja intes.al de tjnea es isual a

J, {1r ln r, L,Jttr -t3t tr'tb, 2tdr

+

i/.ffi

18.2 tntesrdtes d€ linea 939

Se puede demosrrar que et vator es 58.Otra manera de resolver esto es usar la ecuacion / = + (x, _ l) de la parabola

para 2 < )r < 4. Entonces obtenemos la integrai

r {\, l)t_r + rllx)dj(.

(rtr - +rlrr : ir4 .1;]] : 58 .

J.",r'+'.ar-J:ii

En el ejemplo anterior se obtuvieron tre, vatores diferenres para ta integral de lineasobre tres trayectorias distinlas de (2, t) a (4. 5). En la Secci6n tS.:

"" esrr;iu.an int"

grales de linea que tienen el mismo valor sobre rodas las curvas que van a. ," p"rr.,4 a^un punto 8. De esas integrales se dice que son intlependienies de ta trulectoria.

Si una curva C en lres dimensiones riene una parametrizaci6n

r:r(r), l:t(r), z:k(r); i<t<b.entonces las intearales de linea de una funcjdn /de 1re, var i"b'e..e de inen Je mdnira pare, ida a Ia, de do, rarrabte,.En este caso, en lugar de usar, como en Ia Figura lg.l0, alxk, li y (uk,

'*) como las coordenadas de pr y O,t en C,se usan (xk, f(, z,{) y (ur, v*, r'r), respecrivamenre (\,6ase laFigura 18.17). Enionces

.i,,- . ,r,- r,m 1,rd..,..u.,^,^" lol-o iEsia integral se puede evaluar usando la f6rmula

.J rryrrr. tr,r. rr rr.,1,,r1, ftr,,rl:.,rrrrli;,Sj un alambrc liene la forma de C, y/(n, _r, ,) es Ia densidad Uneal de masa en (jr, /. .),entonces el valor de esia integraj es la masa rotal del alambre.

19em6 de ;, in,es'ate\ I, J,r.r. 1,d.y ri, /r.{.r. d.!,.Jnaruncidndcrre,raridble, .ne ambien una rnregrdt de lner.or re.pecro a i ddda por

i .,.,. ,.r,- rrm lrra,.r. ".,a-^

donde A-?r = ?t ir-r. Como en el caso de dos dimensiones. esias integrates aparecen a menudo en sumas que se abrevian como

.1. \/t..,.: /, - \',. J.:r,rr - p," ..-.Jdonde M, N y P son funciones contiDuas en una resi6n que contiene a C. Si C estddada param€rricamente, enronces esta integrai de tinea puede evaluarse sustituyendo)., -v, a, de la misma manera que en el caso de dos variables.

EJEMP|,O 5 Evaruar J r;ax + xzd! + x!.j2. dona'e C estd dada por

x-t, !=t), z = tr:, O=l<2

9{0 cAPiIULo 18 . CALCULo vEcToRtAL

FTGUIA 18.r8 Soluci6n u curua C (una cibica alabeada) €std cn laFisura 18.18 (v€ase el Ejemplo 2 de Ia Secci6n l5.l). Puede

susfituirse n, -r, a, y $at dx = dt, d), = 2t dt, dz - 3t1.ll:

[' f ,tr + zt, ,tt .+ :r',rr: J'or',ir - r.l': o+ .

nGURA 18.19

Una de las aplicaciones mis imponantes de las integrales de linea a la fisica tiene que ver con campos dc fuerza.Suponlamos que Ia fuerza que actrla sobre el punlo (ir, y, z)

l (r, /, r) = M(x, t. z)i + N(J., _r, ?)j + P(r., 1, .)kdo,rde M, Ny P son lunciones continuas. A continuacion se

define el trabajo realizado cuando el punto de aplicaci6n deF()., l. r) recorre una curva regular C con parametrizaci6nx = !(t), ! = 1)\t), z = k(t)t a < t = b. Sesuponequeelmovimiento €s en la direcci6n correspondiente al.r.,cm;p,

Se djvide C mediante los pirnLos P0, Pr, Pr, . ., P,,. ta-les que P^ tiene coordenadas (x{., _r,t, i,() (viase la Fisura18.19). Si la norma lA es pequena, entonces Pi estii cercade Pr+ | para cada k. Por lo tanto, el trabajo realizado porF(x, .y, .?) a lo larso .le ff. -', se puede estimar por el tra-bajo Awr realizado por la fuerza conrtante F (xt. !t. .klcuando su punlo de aplicaci6n recorrc PfPr,r.

Si A)ri = rr+| rr, A.r j: = Jt tt- lk y Ali = zr-l?, entoDces PrP L corresponde al lecror jrq i + A_rrj +A.,(k de rr (lease la Figura 18.20). Segnn (14-29), el rra-bajo l'rr realizado por l (xp, 71, :1 ) a lo largo de P1-- es

Alrr = F(\r,, rr.:J {A\ri + lrkj + Azrk): M(rr. rr. :r) ,^\r + N(r,. I (, :r) A)r + P{\{. r.r. :i) A:r.

El lrabijo W ekctusdo por. F a lo largo de Cse define comosigue.

"t'",

-j. ''

DEFtNtCtON DE (18.11)TRABAJO

tt, = Im IArr

Jr \r, .r.: / \,r... lJ, - P(.,..'d.

En las aplicaciones, 1a integral ( l8.l l) se expresa frecuentemcnle en forma vecro-rial. Si se define

r(1)=-ti+-tj+'kdonde )r = s(r), .), - h (t) y z = k(r), enroDces r(r) es el vecior de posjcion del punto

14,,

Q8, /. z) de C. Si s denota la longitud dc arco medida a lo largo de C, entonces comoSecci6n 15.4, el vector unitario T(s) dado po'

,1 ,l\ )t l:ltj) - - nrr: i+ i+ k.

es un vector unitario langente a C en O. Los vectores r(l),f(t,/, ?) y T(.t) sc ilusrran cn la Figura 18.21.

l-a componente iangeEcirl de l' en O (v6ase la Figural E.2l ) es

/\ ,rF1\.r.:) T{j) =,\'/lr.r,:) , +N{.\.r.rlr +

p1\. r.. J +N6tesc quc erra coDrponente es positiva si el engulo eDlre I (.ir, f, r) y T(r) es agudo,y negativa !i el ensulo es obluso. La l6rmlrla (l8.ll) puede escribirse ahora

r'. f rq. . r,.,,..

es deck, el trabdjo realizado cusndo el punto de aplicacijn de F(x, ), .) rccorre C es

iquul a la inteErut rle lined nn respecto a s de la (onlponente tttnEencial lle F a lo lstgadeC.Parasimplilicarlanoracionsedenotar,l(.r.J.r)porF,yT(s)porT,ysedeline

tlt = dxi r dri + dzk = Tds.

L, di,.u.on ar rllo pueder, I '. 'crro.:g,.e.

Sean C una curva reguiar en €l espacio, T un vector uni'lario tangente a C en (r, /, i), y F la luerza que acttaen (ir, /, r). El tribajo IT realizsdo por I a lo largo d€Ces

donde r =.ri +Jrj + tL.

,=l,r.r/'=lF.dr

18,21

DEFTNTCT6N (18.12)

EiEMPIO 6 Un campo de ruerza del tjpo

tr(\. r. -_t =

Calcular el Irabajo realiza.lo por t cuardo su

del eie r derde ,4(1. 0, 0) basta B(2. 0, 0).

InruitivameDr., te puede considerar qLre F /renlal)efinici6n(t8.12)representael trabajo rrnlizado cuando el pLrnto de aplicaci6n dc F sc nuevc a b largo del vecrordr rangenre a C. La inlcgral rcp.csenta el Ijnite de las sudras de los elementos de lraba-jo F dr.

gravitacional I csid dado por

L

i't''punto dc aplicacion se nruevc a Io largo

CAPiIULo 18 . cALCi]Lo VECIoRIAL

Soluci6n sea c el segmento de / a t: c tiene ias ecuaciones param€Iricas 'Y = ',) = 0, z = o; I = / 3 2. Comoenel Ejemplo 2de la Seccion 18.1.

/ifr .,.:r r'i "i'kr' (.-Tr - l

Aplicando la Definicion (18.12),

r: I o i' : { 6;j;,;r':(rr\ + ].,/.'. + :./:)

Sustituyendo x, ,1,, I por las €cuaciones parametricas

rt14 L. t,lt I J'-J ( )'

L". unidade. de dependen dr ld. de la di\ran(ia J lF(jr, r, .) I.

11/ :f M(\.r),/\+N(\,r1,;r.:In ar

donde r = xi + /i.

EJEMPI,O 7 Sea c la parte de la pa,nbolal = r: que se

encuentra entre (0, 0) y (3, 9) y seaF(n. "',) = -J,i + irj. Calcular el trabajo realizado por F a lo largo de C.

Soluci6n El campo leclorial F re estudi5 cn cl EjemploI de la Seccidn I8. L En la Figura 18.22 se muestran algunosvectores de fuerza tipicos actuando sobre C. Por ejemplo,

F(1, l) = -i + j. F(2. 4) = 4i + 2j,

t (J e) -ei 'iObs6rvese el cambio de direcci6n y magnitud de F(.ir, /)cuando P(ir, t) r€corre C de (0, 0) a (3. 9).

las ecuacion€s param6tricas x = r, l=/2:O=t<3,tt:iF,./r=l ,.i.*..t,J.J''

r' l'- l" -..,' \)tt.tt- | t,Jt -, Irl0

de C, obt

i'l' , !, l, :

Si la discusion anlerior se restrinee a dos dim€nsiones, entoDccs el campo de fuerzapuede expresarse en la forma

F(x' )') = M(n' -t)i + Nijr' l)j'

Si C es uDa curva plana finita regular parle por palte, entonces el trabajo realizado

cuando e1 punto de aplicaci6n de F{jr, -},) recorre C es

Como C ii€ne

Si, por ejemplo, I Fl est6 en newrons (N) y s en mer.os (m), entonces lrl = 9 joules(J).

EJERCTCTOS 18.2Ejercicios l-2: Reaiice la evaluaci<tn de las inteeralesde linea .l. /1-\, }.) !/s, i. flr, I) lr, y J./(r, )) /r la-ra la curva C con la paranetrjzacidn dada.

l. /(r,rj=rr+r', \:ir. r-rrj 0<r<l2. /(r, -rt: Jlr's. r=1. r:r5''r 0<r<l

Ejercicios 3-6: Evaln€ Ia intesral de iinea a lo largo

l. I( 611 /r + $dliCes la erefica de] = rr +l enrre (-r,0) y (1,2).

1. j. r lJ + (r + r'l.r'ti Ces la grhli.a de / = r: +2r enrre (0, 0) y i2, 8).

s. J. (\ ri dr + rlli c es la eralica de -yi - rentre (4, 2) y (4, 2).

6. J. \ldr + \rrr lj,i C es 1a eraiica de r : ,lentre (0,0) y {1, l).

?. Evalie.l. x"',dr + (x + ),) d:'' para cada una delas curvas Cque van de(0, 0) a (1, 3), ilustradasen (a)-(d).

'-lL - 'f

i

Evalne J.(r'] + .r':l z/r + 2\ dl para cada una de

las curyas cque van de (1,2) a ( 2.8), iluslra-das en (a) (d).

-*1" ,

'$=

t0.

9. Evalne j. rz dr + (r + :)df + rzl:; c es laer.iri..deY P,r P,/- P to- t< l

ll.

Evalte J. r, dx + . .1.i, + :! dii a es la grdlica dex: sen/i /= 2s€nl, z = sen':li 0< /<r/2.

Evaltie

.J.l\ + +:ld, +(r 2\ + l:llr+{2x+! z),1:

dondeCesiacurvaquevade(0. 0, 0)a(2, 3, 4)en (a)-(c):(a) C consta de tres seementos Gectilireos): el

primero paralelo al eje r, el segundo paraIelo al eje / y el terccro paralelo al eje :.

(b) C consta de tres sesmentos: el primero paralelo al eje r, el segundo paralelo al eje xy el tercero paralelo al eje /.

(c) c es un solo sesmento.

Encuentrej.(' rrdx + \r z)dt + 'dz.donde C es la curva qre va de {1, 2,3) a

( 4, 5,2) de los dposdescritos en las partes (a)

t2.

13. Eval[e .f. r,i dsi Ces clsegmerto enrrc(0,0, 0)v (1,2,3).

Il. Eval[e J.(rr r i)ds;a.es]ahalicev = acos/,!=lsent.a=ht:O:. 1<2a

ls. La luePa en (r, ],) es I(r, .1,) : r.rri + x?j.Calcule el L,abajo .eatizado por F a lo ]arso delas curvas (a),(d) del Eje.cicio 7.

!6. La luerza en (J, ),) es F(1, _y) = (2r + r)i +(r + 2l)j. calcute el rrabajo reaiizado por F aio lareo de las curvas (a) {d) del Ejercicio 8.

17. La fue.zaque act[aen unpunro (r, /)deunplaDo coorde.ado es F(a, _',) : (a,/ rllr)r, donder = ri .r

-1,j. Calcule el rrabajo .eatizado por Fa lo largo de Ia milad superior de la circunfere.-ciar: + r: = a:dc(,,0) a (4, 0).

lli. l-a fre.za en un punro (r, )) de un flano coo.-denado es I(r, r) = (xr + ,r)i + I}j. calcu-Ic el rrabajo reatizado por F(r, f) a to larso dcla enilica de.r = xr dcsde (0, 0) hasla (2, 8).

l,). La tuerza cn uD punro (r, ,. i) cn rres dinen,siones esle dada por F(r, ),, r) = ri + ij + rk.Calcule el rrabajo rcali,ado por r(r, t, z) a lol. eo d( lJ .uDi.r dl"be,dd1' dc (0. 0, o) a (2, 4. 8)

2l). Resueh,a el Ejercicio 19 si I(r,),,:) = e.i +

:1. Un objero se nucve a lo tarso de un campo deluerza I de manera que en cada punro (r, ]' i)elvector de velocidad cs orrogonata r(x, /. z).Dedueste que ei rrabajo realizado po. r.sobre

21, D'nue.re ,u. .r urd tuer/a ..qnanre . qclujsobreun objetoen movinienro quc da una vuetta al.ededor de una cncunferencia, enronces eltrabajo realizado por c sobre et objeto es 0.

21. Si un alamb.e deleado tiene la ionna de una cu,va plana Cr su densidad ljnealde masaen (r. ])

Use limjtes de sumas para dcmonra. que esrasdefini.iones de M, v ,47, so. ..naturales.,. Elccnr'o de masa (r. r-) det atanrbre se deiine me-diant. i = M,/n y i = M,/h, donde ,? cs tamasa delalambre. DererniDe et cenr.o de masadcl alambre del Ejempto l.

24. Consuhe el Ejercicio 23. Un alanbre delgadosobre un plano &ordenado riene Ia torma de ta partc de la pardbola .), : 4 - J1 €nrre ( 2, o) y(2, 0). La densidad en ei punro {r., /) es dir€cl.amenle proporcional a su dislancia ateie

',. Cal

cul€ Ia masa y encuenfe ct cenbo de masa.

25. Ceneralicetas deliniciones de los momentos y el' en'ro dr n du dp ur d,.mbre c I'e, drr enrioDes (vdase el Eje.cicio 2l).

26- Un alambre de densidad consknre riene la foFma de Ia hdlicer = , cos r, i, : a sen r, i = br:0 < / < 1tr. Calcule 1a nasa del atambre y encuentrc su centro demaea (v€.re elEje.cicio 25).

2t. Para un alanrbre delgado de densjdad variablerepresentado medianre una curva Cen el planory, defira los monenlos de ine'cia 1r y /" conrespecto al cje x y al eje -'1. rcspecrivamcnre.Calcule /. e /, para el atambre del Ejemplo 3.

18. Dde n.r( .o, rumenro. o. rn-l .d /. \ /, detdlambrc del Elercrcio 2l

29. Para un alanbre delgado de densidad variablerepresenrado po. unacurva cn resdimensiolcs_dclinalos momenLosde inercia con respeclo a los

Jfl. Cdlcdle elmomenr, Je rner.,a ion.e\Fcro ateje.z delalambre del Ejercicio 26 (vcase tanbidn elEj€rci.io 29)-

es 6(r, )), eDionces los mrnentas co ktpcoa// ei. r,

"/ e/'?, sc delincn codo

,v, = J r,r(\. i) r, y r. : I rr(\, 'r

.r,

A una curva regular parte por parre con exrremos.4 y A se le llama a veces tmJecroiade,,l a B. A continuacion sc obrienen condiciones bajo tas cuales una iniegral de lineaes independicnte dc h trayecloria en una regi6n, en el sentido de que si .1 y,a ron puo_tos arbjrrarios, enronces se obrienc el mhmo valor para rozras tas trayectoriar de ,4 ,

-

rar rno"p"no"n"iu 0"ffi, en esa regi6n. Los resultados se demostrariin para integrales de linea en dos dinen_siones, Las demostraciones para el caso de tr€s dimensiones son similares v se oftiten.

Si la inregral de lineaJ, /(\,r)dresindependienredelarrayecroria,sedenoLaareces porl'; /(.r. frdr porque et lalor de la inregral d€pende s6to de los extremos 4y, de ta curva C. Una notaci6r simitar se usa par a Ic f d, D dx y ! c f e, t\ dy y paruIas integrales de linea en tres dimensiones,

. E-n toda esra seccion se supone que todas la5 regtone( del plano son concxss, E osrSrulica que dos punros cualesqLliera en una regidn se pueden unir por una cur\a regu_IaJ. parte por parre contenida en la regi6n. Tambi6n se supone q;e las ,"gion", ,'ontrierlos, es decir, para todo punto ,4 de una regj6n D existe un

"i."uto "oi ""rrt.o,qcompletamente contenido en /.El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F es

conrinuo. enronces la integral de lnea J. F . dr es independrcnte de ta traveclotia srY 5.tlo si F es consPnativ.

TEOREMA (18.13) Si F(a 7) = M(x, r)i + N(r, /)j es continuo en unaregi6n D abierta y conexa, eDtonces la idtegal Jc F . dles ind€pendiente de la tray€ctoria si y s6lo si F()r, /) =V/(x, /) para alguna funci6n escatar /.

Demo3tfaciiin Supongamos que la integral es independiente de la trayectoria en D.Si (x0, ]0) es un pumo fijo en D, se puede definir / por

Fdr/(', r : l;'1",para todo punio (r, /) en D. Como ta inregral es indepen,diente de Ia trayectoria, /depende sdlo de ). y /, y no de latray€ctoria C de (xo, )' z (x, )rr. Etijase un circuto en ,con centro en (i, ),). Sea (xr, /) un punto denrro del circu-to tal que.rr + .r. Sea Cl cualquier trayectoria de (,r0, /o) a(xr, /) y sea C, el sesmento horizonrat de (r.r, /) a (.r, J),como se ilustra en la Figura 18.23. Se puede escribir

/1.r. y) - l, F dr+[cF dr

:Jo"'r a.+Ju"lr.a.Como Ia pdmera integral no depende de r,

d /L,,vr-o- I l'^' e a,

Escdbiendo F dt = M(x, r\ dx + tr'(i, /) dJ, y usando el hecho de que zrl = 0 €nC? (v6ase ta Figura 18.23), se obtiene

C dr-o.t,, t,_ l, J,l,_",,,,

ur,. na,.

FTGURA iA.r!

cAPiTULo 18 . cALcuLo vEcToRtaL

Como t, es fija en esta derivaci6n parcial, puede considerarse ei integrando corno unafunci6n de una variable x. Aplicando (5.25),

- /(r. r,) : M(', /).

Andlogamente, si se escoge la trayecroria que se muestra enla Figura 18.24 y se deriva con resp€cto a /, se obtiene

')- /( i, r') : N(r. t)ay

Esto demuestra que v/()., t) = M(x, r)i + N(r:,1)j =I(x, f); es decir, f es conservativo.

Inversamente, si existe una funci6n /tal que F(r, /) = V.F()., 't,), entonces

Mi\, f)i + N(r. J)j : L(r r)i + i(j, 1,)i

o equivalentemente,

M(x, ]) = l.(x, rr) y N(r, ,v) : r{r, ,).Entonces, si ,4(,r, /,) y B(xr,./r) son punros en la resj6n, y C es una curva rcgular por partes con extremos ,4 y B(v6ase la Figura 18.25), entonces

J r a. = _i v1.. 11 a, + N(r. ]) d.],

: L f"tx, y) ,)x + f,tx, y) d!

Si Ctiene una parametrizacjdn regularx = q (t\, y = h(t);t1 3 I 3 t2, entooces aplicando el Teorema (18.9),

f n . a. : .f

" tr,rarrr, r' oDs'Q) + fyts(t), htt))h,(t)l dt.

Aplicando la Regla de la Cad€na y el Teorema Fundamental del Cdtculo,

i r a, f d. Itrart'.nr,1,trJc Jt, dL Lr

: f bb), hk)) - .f (ak,t, h(t,)): 16,, y) fl",y,).

Por lo tanto, la integral de linea depende solamente de las coordenadas de A y B y node la trayectoria C, que €s lo que se queria demostrar. La demostraci6n puede g€nerali,zarse a curvas regulares parte por parre dividierdo C en un ntmero finito de curvasregulares.

La demostraci6n del T€orema (18.13) contiene un m€rodo para evatuar integralesde linea que son ind€pendientes de la trayectoria. Esteresultado, que es anelogo al Teo"rema Fundamental del Cdlculo, puede enunciarse como sisue.

18.3 Indep€ndefcid de td trdy€ctoria 947

TEoREMA (18,14) Se F(x, y) = M(x, Jr)i + N()., ),)j coffinuoenunare-gi6n abierta y conexaD, y sea Cuna cuna regular partepor parte en , con exrremos,4(rr, /r) y B(xr, )). SiF()r, ),) = V/(r,.1,), entonces

l" u6, y1a" + N(x, j)d!

: "fth, D /e1, tt\

El siguiente corolario es una aplicaci6n del Teorema (18.14) a los campos de fuerza

coRotARto (18.15) Si un campo vectorial de fuerza F es conservativo, en,tonces el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria Cde-4 a I es igual a la diferencia de potencial entre.4 y B.

EI corolario se ilusr.a en la Figura 18.26, en la que Cr,C2 y Cr son curvas regllares parte por parre. Se requiere lamisma cantidad de trabajo para cualquier trayecroria de ,4a A- Sj C es una cu.va cerrada, es decir, si ,4 = B. enroncesel trabajo realizado al recorrer C es 0. Hay un resultado in-verso de 6ste, concreramente, si J.F . dr - Opara toda cuFva cerrada simple C, entonces la jniegral es independiente dela trayectoria, y por lo ranto cl campo es conservatrvo. Es

tos hechos son importantes en las.aplicaciones, pues muchos de los campos vectoria_les que aparecen en la naturaleza son de tipo gravitacional y por 10 tanto, conservativos(v6ase el Teorema (18.4)). En t€rminos de fisica, sj una parlicuta da una vuelta comple-ta sobre una curva cerrada que se hatla en un campo de luerza conservativo. entoncesel lrabajo realizado es 0. Al final de esra secci6n se discurir:in con mayor detaile loscampos conservativos.

El Teorema (18.14) y el Corolario (18.15) pueden seneralizarse a campos vectoria-les en tres dimensiones. El siguienle ejemplo itustra esros resulrados.

EJEI.{PIO I Sea F el campo sraviracionat producido por una particuta de masa ,lzcolocada en el origen de un sjstema de coordenadas recransulares. Calcular el trabaiorealizddo cuando una particula de mara n.e mueve de /{2. l,4r a A(t,0.0r.Soluci6n De Ia pdgina 928, la fuerza ejercida sobre una particula de masa , coto-cada en tr()., y. z) es

- Jii,ll'" ^

Mhl\. ',,): c lr[t

r

9{8 CAPITULO 18 . CALCULO VECTORIAL

donde r = ri + ]j + zk Como en la demostraci6n del Teorema (18 4)' F(t' /' u ) =v/(x,l, z) donde

GMnl

^,.y,4:e +i;VFtEntonc€s por el teorema €n tres dimensiones an{logo al Teorema (18 14) (o al Corola-

rio (18.15)),

.u CMn / l\'4-j"F dr-,,,.,-;';., .l ," - 6M.{ I

,;o) .

Si la integral k M(x, i)dx + N(r, f) d/ es independiente de la travectoia' en-

tonces por el Teorema (18.13) exist€ una funci6n /aal que

Por lo tanto,

M: d\

aM d,.far al fr

Si My N tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces /tiene seS,tddr deri_

vadas parciales coniinuas y, por lo tanto, el orden de derivacidn no altera el resultado,

es decir,

,,=fr

AM dN

fr 6r

AN E,TY a': a';t

El resultado inverso a €ste es falso a menos que se impongan condiciones adicionales

al dominio, de F(r, /). En Darticular, si , es una r€gidn simpl€mcnte conexa en el

sentido de que €l interior de toda curva cerrada simple C en D contiene s6lo puntos

de D (no hay "hoyos" en la regi6n), entonces la condici6n AMla, = aNlax implicaque la inregral de linea l, VIx, y)dx - N(x r)dv es independienle de la trayecloria

rLa demosrracron 'e p,i.d..nconrrut en libro( de C:ilculo avanzado ) Esla discusi6n

pued€ resumirse como sigue-

(18.16) Si M(x, /) y ir'(x, /) tienen primeras derivadas parcia-

les continuas en una regi6n simplemente conexa D, en-

tonces la integral de llnea

J.Mlx, y)dx + N(x, y\dy

es independiente de la trayectoria en , si y s6lo si

AM 'lr'at = -ax

1!.! rid€p€ndencia de la iray€ctona * "---949

EJEMP|O 2 Demostrar que si F(r, y) = (2x + f3)i + ('rl2 + 4)j, enronces

J. f ' dr es independienre de la trayecroria y evaluar Jr',' l 1r

Soiuci6n La funci6n vectorial tr ti€ne primeras derivadas parciales continuas paratodo (x, /) y por lo tanto se puede aplicar el Teorema (18.16). Tomando M = 2x +y3yN=3ry2+4vemosque

AM,dNat-tf - a'

Por lo tanto, la integral de iinea es independiente de la rrayectoria. Segin el Teorema(1E.13), existe una funci6n (de potencial) /tat que

t(r, ]r) - 2jr + )3 y i(jr, y) - 3r],, + 4.

Si integramos (parcialmente) ,(x, f) con respecto a x,

/(x, ]) = r' + i!]3 + l(])

donde I es una funci6n que depende sdlo de y. (Hay qu€ usar ,t(/) en lugar de unaconstant€ en la int€gracidn parcial para obtenet la exprcsi'n mds generul de f(x, t)tal que t(x, /) = 2x + y1.)

Derivando jf(r, /) con respecto a f, y compamndo cor la expresi6n i(r, l,) =3x.r'? + 4 obLenemos

f,(x' ll = 3xJ" + k'(v) :3xv' + 4

Por Io tanto, k'(f, = 4 o bien ,t(/) = 4/ + c para una constante c. Entonces

/(r,)):-\':+ry3+4r+.define una funci6n del tipo deseado. Aplicando el Teorema (18.14),

f ''',.u,+ u'rar , rlt('z 4r.. rr-r I\v't4'J,or

-\4+54+12)-4:66.No usamos la constante c porque para evaluar Ia integral puede usarse cralquiet flurr-cidn de potencial t

EJEI'{PIO 3 Determinar si I x')vax - *y')ay esindependienre de la rrayecroria.)('Soluci6n Si definirnos M: x2t y N = 34,'z, entonces

dM , iN -,i, -r- Y ,l;-r''

Como AM/Ay + AN/AI,U integrat no es inOepencliente de la rrayecroria, de acue.docon el Teorema (18.16).

tn el Ejemplo 2 'e obru!o una Iuncidn de polencral /para un campo vecrorial con

5e'varivo e; dos dimensioner. I a solucion del eJemplo siSuienLe iluslra un melodo que

puede usars€ €n tres dimensiones.

EJEI{PLO 4 Demostrar que si F(.rr, }, z) = ,']cosiri + (2}sent + etz\i + 4'e2'k'entonces J. F dr es independiente de la tray€cloliay enconlrar una funci6n de poten

cial /par; F. Suponiendo que F es un campo de fuerza, calcular el trabaio realizado

por F a io larso de una curva C de (0, 1,:) a (n/2, 3, 2).

Soluci6n La integral es independiente de la lravectoria si exisle una funci6n dife_

renciable / de ir, /, z tal q]ue v f(x, r, z) = F(x, /, z), es decir,

L1{. }, , = }: cos :(

(a) /'(j' ]' :) : 2lsen-\ + 'r'l,(\, t, z) - 2,-e"

Si intesramos (parcialmente) ,()., ], ?) con respecto a jr' vemos que

(b) /{r,I. :) : r: s€nr + u1}, '-)

para a,guna luncion dde I ) ?, {Debemo5^usar./l,t. ar paia oblener laerple'ion nas

seneral f\', y,:) lal que /Jr.r.1,. Jr /'co'r )

Derivando /en Ia ecuaci6n (b) con respecto a /, y comparando el resuitado con

Ia ecuaci6n para t en (a), obten€mos

i.t\.J -.r ', lr renr L'

htegrando parcialmente con respecto a .v, obtenemos

s(j..) : \,ei' + k(,)

dond€ i es una funci6n solo de z Por consiguiente' de la ecuaci6n (b),

/(r. I. z) : trz senr + rrztr" + i(:)

Derivando con respecto a. y usando la ecuaci6n para, en (a),

l 'l\. t" ') :2je1' + k'lz) = 2!e/"

Por lo tanlo, k ( z) - 0 o bien t(z) = c para una constante r y

l(r. -r'. :) : J: serr + -ve:" + .

deline ul1a funcj6n de potencial para F.S€enn la generalizaci6n del Teorema (18 l4) a tres dimensiones' e] trabajo r€aliza

do por F a lo largo de una curva C cualquiera de (0, l,:) a (r/2'3'2)es. ,l'- ':,

.1. F .r' r'sen ' r.-'J r

:(9+le1 (0+"1:9+3ca-c- 170 .

18.3 nd€pend€ncia de ta tray€ctoris

r.Ey DE (18,18)CONSERVACION DE

IA ENERGTA

951

Para concluir esta secci6n se consideran algunas aplicaciones de la independ€rciade la lrayectoria. La siguiente definici6n se usa en la fisica.

DEENtCtON (18.17) Sea F (x, /, z) un campo vectorial de tuerza q ue es con-seNativo y que tiene una funci6n de potencial /. Se defi-ne como la €nergia potencialp(-r, ], z) de una paniculaen un punto (x, /, z) a

p(x, !, z) = -f(x, y, z).

Como la erergia porencial es el aegarivo del potencial /(n, /, z), se riene que

F(r..L z) : Vr'(r. ),,).Si,4 y, son dos puntos, entonces como en el Teorema (t8.14), el trabajo r€alizadopor F a lo largo de una curva regular C con exrremos ,4 y B es

W - )tF h. t,. r. jr _pr4i /,r8r

dondep(,4 ) y p(B) denotan la enersia polencial en,4 y 8, r€spectivamente. De modoque el trabajo t/es la diferencia de las energias porenciales en I y B. Er parricutarsi -8 es un punto en el que el potencial es 0, enronces W = p (A ). Esto concuerda conla descripcidn fisica cldsica de la energia porenciai como la energia que ur cuerpo rienedebido a su posici6n.

Si una pa rticula liene masa m y rapidez y, entonces s1] enercia cindtica es : my) .

Por lo tanto la energia cifttica es la energia de un cuerpo debido a su velocidad (rapi-dez)yasumasa,

A continuaci6n se enuncia ia ley fundamental de la fisica que senala la raz6n principal por la que ciertos campos vectoriales se llamarr conser|ativos-

Si una particula se mueve de un punto a otro en un cam-po vectorial de fuerza conservativo, entonces la sumade las energlas potencial y cin6tica permanece conslante,es decir, la energia total no €ambia (se conserva).

Dcmostraci6n Sea F un campo conservativo y suponga,mos qu€ ulra particula se mueve de,4 a B a lo largo de unacur!a regular parre por Darre C de manera que su posrcional tiempo rest6 dadapor x = s(t). t = h(t),Z = k(t): a =r < b. Si r - iri + )j + tk es el vector de posici6n de laparticula (vease la Figura 18.27), entonces la velocidad yla aceleraci6n al tiempo I son

,11'= ,1t Y

951, CAPITULO 18 . CALCULO VECTORIAL

donde se utilizan los simbolos abreviados v y r en vez de v(t) y r(r), respectivamente.La rapidez de la particula es r(t) = 1' = | vlJ. El trabajo realizado por F(x, /, ?) a lo

largo de C es

w=l"r.,t,- f' /r. /') a, - f''r ",,r,.J. J"\ JtJ ro

De acuerdo con la segunda ley de Newlon (1t. 12), F - n ^ = n (dr / dl, y por lo tanto,

r, /dr \ r, ti' J'\;, ')'tt=J n;irr'l nat

. ndtn l" "-\u,)tu - im,lb

: +mt1\b\11 - +ntL,ta))z .

Como la energia cin€tica de una particula de masa n y rapidez (velocidad) v es ! nv2,la ecuaci6n anterior se puede escribir

17:K(B)-r((,1)

donde 'K(,4) y r((8) denotan la energia cin6tica de la particula en,4 y I, respectiva-mente. Como w - p(A) - p(Br, se ti€ne que

p(A) - p(B)= K(B) KIA)o bien

p(A) + K(A): p(B) + KIB).

La riltima f6rmula significa que si una partlcula se mueve de un punto a otro en uncampo vectorial conservativo, ertonces la suma de las energias potencial y cinetica es

EJERCTCTOS 18.3

Eje icios 1-10: Deternine si i. F - dr es indepen-diente de la trayectoria y si lo es, encuentre una fun,ci6n de poEncial / para f.r. F(x, r) : (lrrr + 2)i + (r3 + 4)3)i

?. F(x,.r,) : (6r, 2rl,)i + (2x:r + 5)j

3. F(l,r): e'i+ (3 e'senI)j1. F(r, r) - (x'z + j,'?) 1i,( f + xi)s. F(r..f) = 4xJri + 2xrrj6 F(r, )) = 13 cos i - 3],:sen lj7. Frx, r. :r= (J \e!: , -J?ill+#i r{-t l.

.

s. Fr'. L.;r - rr :I - {; ?yli; ri "';fi " "9. F(r ],,,) = 8x:i + (1 6]zr)i + {4rr 9r':z'1)k

r0. F(!],:l : e'i + zri + v-'kEje.cicios 11-ll: Demuestre que la integral de lineaes indep€ndienle de la trayectoria y calcule su valor.

rr. lr:;'i, (l' + 2'!)L + (r' + 2i)),t12. f" ': "'..n' ,r, +,'.n' ' ,.r'

rs. ll "''j'') te'r'+ z,1a' + r',r,,ll

+ (4rz + l) d:

14. .J,4 0 j, rrz - lrJ| rr- - l)4 ,..* tr./

15. Sea Frx, ,, z) una tue,a d;reida hacia et ori-gen coh una nagnitud que es inversamente pro,

l8.a Teor€fia de Green

porcional a la dhtancia al origen. Demueslre quef es conservativa y encuentre una lunci6n de po-tencial para f.

16. Sea F(x. /, z, una tuerza diri8ida de\de el ori-gen cuya magniiud es directment€ proporcionalaladistanciaal origen. Demuestre que f es con-sewativa y encuentre una funcidn de potencialpara F.

rr. Hasa la demoslracion de q\!e si IcMg, !, z)dx +N(t, y, zrdr + P(.x, /, .)d. es independienlede la trayectoria y M, N y P tienen primeras de-

rivadas parciales coniinuas, entonces

.1M ;N .]M 'P

iN ;P.|

'\ t: !\ t: !J

18. Demuest.e el teorema para integrales de linea€nlres dimensiones analoso al T@relna (18.13).

Ej€rcicios 19-20: Use el Ejerciclo 17 para demoslFrque la intesral de linearo es independiente de la tra-

I',. f 2rL ,/r + r"7 +:,r Jr + E l:

ro. I ''co':,lx+ rdco\:J' + \r sen:d:

2i. Demuesre que si F es una fuerza consknte, eltrabajo realizado a lo larso de cualquier curvaquevadePaOesF t0.

22. Dgnuestre que si r(i, r, z, = seJi + h(t)i +

k(r)k, donde r. l! y k son iunciones continuas

de una variable, enionces F es cons€rvativo.

sea r(x, ,) = M(.!, /)i + N(.r, /I, donde

M(r, )l = -)/(rr+yr) y N(.r, y) =:r/(rr+]:1.

Demuestre que aMla) = aNlar para lodo (x, /)en el dominio D de I pero que I. r ' dr no es

independiente d€ la trayectoria en D. (Sugetdcia Consider€ dos mediai circunierencias con exlremos (-1, 0) y (1, 0).) iPor qu€ esto no con

tradice el Teorema (18.16)?

Un sat6lite de masa n eira alrededor de la Tie'rraa una altura consraDte dell kil6meros y que

da una vuelta completa cada t minutos. Toman-do el radio delaTierracomode6400km, calcu'le el trabajo realizado por el campo sravitacionalterestre durante cualquier

'nlervalo de dempo.

Sea F un camDo del lipo de variaci6n inversa alcuadrado, tal qu€ r(.x, /,.) = (c/lrllr)r,don-de r = xi + /i + zk y.es una constanle Seatr

Pr y P2 dos punlos cualesquiera .uya. distanciasal origen son dr y 4, resp€ctivamente. Exprese

el trabaio realizado por r a lo largo de cualqui€r

curva resular parte por parte que va de Pr a 4,en l€rminos de d' y 4.Cuando una particula s mueve por un campo

veclorial conservalivo, !u energia potencial dis-minuye a raz 6n de k unidades por segundo. acudles Ia rapidez de variaci6tr de su energia cin€tica?

953

23.

24.

t5.

26.

fiffi rronrml DE GREEN

Sea Cuna curva r€gular plana con parametrizaci6n .r = S(/),, = h(t\a a < t < b.

R€cordemos si, = (g(O, n@\\ : (s(b), h@)) = B, entonces C€s una curva regu-

lat ce ada. Si C io se corta a si misma entre ,4 y B, se dice que es sr-nple. La circnnfe-

rencia y la elipse son ejemplos comunes de curvas regulares cerradas simples Una c r-ra regular patte pot parte t cerroda si ple es una uni6n finita de curvas regulares

C* tales que cuando I varia de d a b, el punto P(l) que se obtiene de las parametriza-

ciones de las C* traza o r€corre C exactamente una v€2, con la excepci6n de que P(a) =P(r). Una curva de este tipo es la frontera de una regi6n R del plano x/ y, por defini-ci6n, la direcci6n positiva a lo largo de Ces tal que X se encuentra a la izquierda cuan'

do P(t) recorre C. Esto se ilustra en la Figura 18.28, en donde las flechas indican el

senrido posirivo a lo largo de C. La erpresi6n

q u{\.rrlx ' Nr\. !iJ}

95r cAPiTULo 18 . cALcuLo vEaroRrAL

d€nou una integral de linea a lc larao de una curva cerrada

simple C recorrida una vez en la direcci6n positivaEl siguienre leorema, que llet'a ei nombre del fisico ma-

temetico ingles Ceorae Green (1793 l84l), exhibe una rela

ci6n entre la integralde linea alrededor de Cy cierta integraldoble sobre R. Para simpliiicar elenunciado se usan los sim-bolos M, N, aM/Axy lN/Al en los irtegrandos para denotarlos valores de estas funciones en (r, l).

TEOREMA DE CREEN (18.19)

Demostraci6n para un caso especial Se demostrara €l teorema para una regi6n Rque es tanto del f ipo I como del Tipo II (v6ase la pagina 871). Entonces puede escribirse

R = {(r.}):, < r < b.s,(.) < } < r,(r)}

R - {(r, y)r r < y < d, h'(}) < r < n.(r,)}

,2 son funciones regular€s o alisadas. Basta d€mostrar 1as siguien-

Sea C una curva regular parte por parte y cerrada sim-ple, y sea R la regidn que consta de C y su intedor. Si,rl4yNson funciones continuas que tienen primeras deri-vadas parciales continuas en una regi6n abierta I' quecontiele a R, entonces

6 uax + uav - ll(u^' - Y\oo.rt - #\r* oyl

6 va'= ll4a,qJ' JJ IV

$.r,'av: fJTa.r

v

tes dos igualdades:

(s)

(b)

porque sumando estas intesrales se obtiene la conclusi6n deseada.Para demostrar (a) hacemos referencia a la Figura 18.29

y observamos que C consta d€ dos curvas Cr y C, que tje-nen €cuaciones _y = StGl y f = ,r(r), respectivam€nte. Laintegral de linea $c Md-y se puede escribir

: [' u1,. g,$y a' + J' M$, s]xD dx

: I' *t,, n,ay a' - [' Mg,s]x)) dx.

$ ,v a- : J , v1-. .'1 a' + f., ,vr', y1 a'

18.4 T€orena de Green 955

Aplicando el Teorema (17.8)(i) a la intesral doble JJx (rMlat)d,4 se obtiene

rc iM .r r,,1., ?Mll -dA:

I l' -rJrd-t#,,

: l. Mrx. \)l'L /\

-J- lrtl^..r.r, " - Mt'.,trwtldt

Comparando la expresi6n anterior con Ia que se obtuvo para

$c Mdx, se Ilega a (a).La f6rmula en (b) se puede demostrar de maneta pareci-

da haciendo referencja a la Figura 18.30.

Aunque no se demostrard aqui, el Teorema de Green es

vrilido para regiones cuyas fronteras incluyen segmentos ho-rizontales o verticales. Entonces el teorema pued€ generali-zarse al caso en que R es una uni6n finita de tales regiones.Por ejemplo, si, como se ilustra en la Figura 18.31, n =Rr U R, y si Ia frontera de Rr es Cr U Ci y la de R, es

C2 U Cj, entonces

fl (# #)',*:9,"., va'+r'ra,

La suma de las dos integrales dobles es igual a una integral doble sobre R. La int€gralde linea a lo largo de C; en el sentido indicado en la Figura 18.31 es igual al nega-tivo de Ia integral a lo lareo de Cj porque las curvas son iguales pero con orientaci6nopuesta. Por lo tanto, la suma de las dos integrales de linea se reduce a una inregralde lin€a a lo largo d€ Cr U C2 que es Ia frontera C de R. Entonces,

lf /1 -a)a'a':6 M dx + N dv.* \.r ay I

Ahora se puede demostrar el resultado por inducci6n mat€m:itica para cualquier unidnfinita, La demostraci6n del Teorema de Green para el caso mes general est, fuera delalcance de est€ libro.

EJEMPIO 1 Aplicar el Teorema de creen para evaluar fc sxy dx + x3 d!, donde Ces la curva cerrada que consta de las grdficas d" t = t' y ! = 2r entre los puntos(0, 0) y (2, 4).

Soluci6n La resi6n R acotada por c se ilustu "ni'u

pi"rru 18.32. Aplicando elT€orema de Creen con M(x, /) = s.irl y N(x, l) = ).r,

{l(# #)',^:f.,".,

956 CAPiTULO 18 . (AL'!LO VECTORIAL

rf sxr',i., t'ar. iflj,'.', d o-,,.lr,J, JJl.x ,y 'l

: fi 11' o.' - s-i a' a"

- l?rj Jo r\'' )rrl, d\

", )a- J" rtt" tox' lJt/.-

15

La integral de linea tambien puede evaluarse directamente.

p

EJEMPTO t Usar el T€orema de c ara evaluar la integral de linea

, ,, _irrJ,g 2rv.ir + (i

donde C es la elipse 4x2 + 972 = 36.

Soluci6n La resi6n R delimitada o acotada por c se ilus-rra en la Figura 18.33. Aplicando el Teorerm de Green conM(x, r, = 2r, Y N(x, J,) - 12 + J,'?,

O 2*y d* + tr' I yl dr - | | (2\ 2r)d,4

= ffo;e .- u.)J

N6tese que no usamos Ia curva Cen la evaluaci6n. Se puede demostrar que la integral

de linea es independiente de Ia trayectoria y por lo tanto, es cero para c/alquiet Nacerrada simple C (v6ase el Teorema (18.14)).

tJtMPLO 3 Evaluar $.(4 + er'1dx + (seny + 3x2)dJ, donde ces la frontera de

la regidn R entre dos cuartos de circunferencia de radios a y ,, y dos segmentos sobrelos ej€s coordenados, que se muestra en la Figura 18.34.

Soluci6n Si aplicamos el Teor€ma de Green y luego se

cambia la integral doble a coordenadas polares, obtenemosque la int€gral de linea es igual a

.,.1 l6x 0) 1a = Ja J" 6t $s an h t0

: !l''2,' *" o)iu : fi''z2(b1 a3)cos a do

: 2lbr - a3l senlla'z : 2(b3 .,,

r..r reo.ema d. cr..n 95t

Puede llegarce a tener una mayor apteciaci6n del teorema si se trata de evaluar la

integral de linea de este ejemplo directam€nte.

El Teorema de Green sirve para deducir una f6rmula para calcular el erea ,4 de

una regi6n R acotada por una curva regular parte por parte y cerrada simple C Defi-niendo M - 0 y N = x y usando (18.19) se obtiene

,a -JJ/a-q \,/r

Sin embargo, definiendo M = -l y N = 0 el resultado es

a - ifa,r .- -6 ' a*JJ J,

Se pueden combinar estas dos f6rmulas para,4 sumando las dos ecuaciones y dividien'do entre 2. Esto da el siguiente resultado.

TEOREMA (18.20) Si la frontera de una regi6n R en el plano ]', es una cur_

va regular parte por parte y cerrada simple C, entonces

el &ea ,4 de R es

t - $,^at - -{.r0, - L$,* av 't a,.

Aunque las dos primeras f6rmulas en (18.20) parecen m:is fdciles de aplicar' se enun-

€ia la tercera porque para ciertas curvas lleva a una integraci6n mes sencilla Si el lec-

tor tiene dud;s de €sto, debe tratar de calcular el erea en el Ejercicio 16 usando $. x dIo $1-r dx.

EJEMPTO { L5ar elTeoremall8 20rpa,acalcular el area de 1" .lio" 'j -;] t

Soluci6n La elipse C tiene las ecuaciones param€tricas x = acos lt I = 'sen

/;

O < t < 2n. Aplicando la tercera f6rmula en el Teorema (18 20),

r:+rfrdr-vdx'l(

: 1J"'" {. cos O{r cos O ai - (bsenr)(-d s€nt lr

- ; Jo " at'tco': I + sen' tt J'

-"b I' t, -n^,2n, no,)Jo )

958 CAPIULO 18 . CALCULO VECTOR AL

El Teorema de Green puede Seneralizarse a una regi6n

R con hoyos siempr€ que se int€gre sobre /od4 la fronteramanteniendo la regi6r lR a la izquierda de C. Esto se ilustracon la regi6n de la Figura 18.35 en dond€ la integral doblesobre R es igual a la suma de las integrales de linea sobre Cry C2 en las direcciones indicadas. La demostraci6n se hac€

cortando R como se ilustra en la figura y observando que es

cero la suma de dos integrales de linea a lo largo de una mis-ma curva recorrida en direcciones opuestas. se puede usar un argumento similar pararegiones colr varios hoyos. En €l siguiente ejemplo s€ usa esta observaci6l.

EJEA PTO 5 Sean Cr y C2 dos curvas regulares parte por parte y cerradas simplesque no se cortan y que tienen al origen O como un punto inlerior. Demostrar que siM=-y(t2+y21 y N= n/(r2 + /2), entonces

LL,tdx Ndt -9_vd.',vd,Soluci6n Si R denota la regi6n entre Cr y Cz, enionces se tiene una siluaci6ncomo la que se ilustra en la Figura 18.35 con O dentro de Cz. De acuerdo con los co-mentarios antedores a este ejemplo,

Hemos utilizado el simbolo O para indicar Ia orientaci6n positiva a 10 laryo de C2 conrcspecto a R. Como

aN (x, + )1(l)- r(2x, y' x' aM

^ - {i-+l-i ir I y+- ty'

la int€gral doble sobre R es cero. Por lo tanto,

I MJ\+\lv--9-Md\+NJr.Como la orientaci6n positiva a Io largo de C2 con respeclct a la reqi6n dentrc de C,es opuesra a la

'ndicada en la inregral anrerior.

$.

que es lo que se queria probar.

EJEMPIO 5 Demo'rarqueri F{\.}r -rrl,:t-ui -.ir.enronce' fi,r a,-npara toda curva regular parte por parte y cerrada simple C que tiene €l oriaen en suinterior.

$,, u a,, n at * $,.u,)" + N dy - [l (X a!)dA

Mdx+Nd!=O,Mdx+Ndli,

Soluci6n sidefinimos[(x' !\ = Mi + Nj' entonces My Nson las mismas que en el Ejemplo 5. Entonces si se toma

una circunfer€ncia Cr de radio a con centro en el origen que

se encu€ntra alentro de C (v6ase la Figura 18 36)' usando el

Ejemplo 5,

9F rr=gc,F rr

Como Cr ti€ne las ecuaciones param€tricas

r:acosl, ):dseDt: 0<t<2n,

dr a.:,6 l-l*1 ,- .,ivJ. Jc t'+y' \.+y.dcosi

= J-. ",i'''- r- asen rrdr - : -:' {a cor rrlr

- J""'sen't +cos- r)dI - J lr -'tr

$"r.ta" = f.[r o ' r) . ra.rFORMA VECTORIAt (18.21)DEt TEOREMA

DE GREEN

La conclusi6n del Teorema de Green (18.19) s€ puede €xpresar en forma vectorial

Primero observamos que si F es un campo v€cto.ial en dos dim€nsiones' puede €scribirse

F(x'])=Mi+Nj+0k

donde M = M(x, y) y N = N(r, t). El rotacional de F es

El coeficiente de k tiene la forma del integrando de la integral doble en €l Teorema de

Green (18.19). Sea s la longitud d€ arco a lo larSo de C v sea

dx. d:. dz,T-l,i ,i j*drk

el vector unitario tangente. Usando esta notaci6n el Teor€ma d€ Creen puede expre-

Como ( v x f) ' k es lacomponente de rotF en la direcci6ndel ejez' se lellamacom_pon€nre normrl (a R) de rct F En otras palabras (18 21, dice: La integrul de linea de

Ia componente tangencial deE tomada una veza lo laryo de C en Ia dircccitjn posilivaes igual a Ia integral doble sobrc R de la componente notmal de totr. El resultadoandlogo a €ste en tres dimensiones es el Teotema de Stokes qve s€ presenta en la Sec-

ci6n 18.?. Ahi mismo se estud;aran Ias interpretaciones fisicas de rotF.El Teorema de Green es importante en la rama de las matemeticas llamada l/orid-

ble Compleja q\!e es un tema fundamental para muchas aplicaciones de las ciencias fisi-cas y la ingenieria.

EJERCtCtOS 18.4

Eje.cicios t-14: Us€ el Teo.ema de creen para eva-luar ia integral de linea-

t. i. \x'z + r\dx + x!'zdrr ces la curva ceradadada por J'] = r y }, = -x de (0, 0) a (1, -l).

2. ii G + l'z)dx + (l + x,) d.)r; Ces la curva ce-rrada dada por I = rr y I = x' de (0, 0) a(1, t).

l. $c x:y':dr + (.r'-f':)d/i ces elcuadrado converlices (0,0), (1,0), (1,1) y (0, l)-

a. tc6dx+ lFdr; Ces el trienaulo con v€rricq(1, l), (3, l) y (2, 2).

s. i, trdx t ,J Jldv: Ce' la cxcunfe'enciaunilaria con centro en (0, 0).

6. {. €'sen / dr + er co! } d} C es la elipse 3x, +ar2 = 24

7. icadx+ senld/; Ces el tridngulo con vertices (1, l), (2,2) y (3,0).

8. {. tan r:d} + 3xd,y; C es el r<ldngulo conv€rtices rl,0), (0, I), (2,3) y (3,2).

e. $, ),rrl rr ) dx - 4 Gn | , dv: C e\ ta B'a-fica de rr. + ),r3 = L

\0. I.Gz + rzrdt + 2rydl; ces la rrontera deIa regi6n acotada por las ereficas de / = Vr,!=OYx:4.

tt- ,, tx" - ,dx + \, dri C e. ld cardio'dr / -

t2. +. tadx - (.r: + )),d]; Cer el rizo en el pri-m€r cuadrante de r : sen2d.

tj. l.G + r)dx + (y + x2Jdli C es la ftonte.ade la regidn entre las greficar de r2 + -'r = IYx2+j2=4.

tl. {. lt - x,)'\ dx + sen}dy:Cesla frontera dela reeidnque se localiadentro del cuad.ado conv€rrices (:r2, :r2) y fuera del cuadradocon verri-

Ej€.cicios 15{6r Use elTeorema (18.20) para calcu-lar el ,r€a de la resi6n acotada por la curva C.

t5. Ces la hipocicloide r = acosrt,y = aserrr;

16. Ces la curya regllar parte por parte que constadel rolio de Descarres r - ]l (l I rr), , =3t'1/\1 + t]\io < I < I yel sesmento de rectade(:,j)a(0,0).

Ejercicios 17-rE: Use el T€orema (18.20) para calcu-Iar elrrea dela regi6n acotadapor las grAficas de las

17. !=4x'1, r l6x lE.t=x3,t2:x19. Sea f(r, /)un cmpo vectorial endosdimenso-

nes tal que J, F . dr es independiente de la ka-yectoria en una regi6n D. Use el Teorema deCreen para denosrar que f. F - dr = 0 paratoda cura regular parte por pane y cerrada sim,

20. Sean /y s dos funcion€s derivables de una va-riable. Demueslre que $./( x)dx + s(t)dr : op&a toda curva regular parte por parte y cerra-

21. SeatM: !/(xz + r" y N = -x/(x'+ r,t.Demuestre que si i es la reci6n aco(ada por lacircunferencia unitdia Ccon centro en el o.iseu,

'tr Md,+Ntiyf llI": =::\aa..- 1' \,1 tt /

l.iegra es de slpefficre

Expljque por qud el Teorema de Creen no se cum,

Sea F(x,.),) un caftpo vectorial con primeras de,rivadas parciales continuas en una region simple6ente conexa R. Demuesrreque si rorl : 0enR, eDtonces $. f dr = 0 para ro.la curva regular parte por parte y cerrada sirnple C en R.

Sea R la regi6n acotada por una curva recularparte por parre y cerrada simple c en et planory. Use el Teorema de Creen para denostrar quesiel area de R es.1, entonces el ceniro de grale-dad (i t) estd dado por

lr, lr.'=:,1 .li '''r' ': ', Jl ''"

24. Una lnrdina hodogdDea de densidad k liene lalorma de la regi6n en el plano -rf acotada poruna curva Cregular parle po. parte y cerada sinple. Denuenre que los momentos de inerciaconresp€do al ejc r r al eje I son

, : |d, ,,, , :lj ,,'23.

25. Use el Ejercicio 23 para encolirar el cento de

cravedad de una regidn seinicircular de radio a.

26. Use el Ejercicio 24 para calcular el momenlo deinercia de una residn circular homose.ea de ra-dio a con .especro a lno de su! di:inern.

lfp rNrreurEs DE suPERFtctE

Las integrales de linea se evaltan a lo largo de curvas. Las inlegral€s dobles y triplesse d€finen sobre regiones en dos y tres dimensiones, respectivamente. Tambi6n se pu€-de considerar una integral de una funcj6n sobre una superficie. Para simplificar la dis'cusi6n esta secci6n se r€stringe a superficies que son las srdficas de ecuaciones muysencillas y las demostraciones quedarrn a un nivel intuitivo. En libros de Cdlculo avan-zado puede encortrarse una exposicidn rigurosa.

Si la proyecci6n de una supcrficie S sobre un plano coordenado es una region comolas que se consideraron para las inlegrales dobles, entonces se dice que S tiene una pro-yeccidn regular sobre el plano coord€nado. Si S tiene una proyeccjdn regula. sobre elplano tr, el plano xr o el plano lz. la regi6n se d€nota por R,l, R,. o RE, r€spectiva-mente. Para tales proyecciones se supone que S es la grefica de una ecuacion de Ia forma z = f(x, t\, r : h(x, z) o x = &(y, ;), respectivamente, como se muestra en laFigura 18.37. Ademes se supone que la funci6n /, , o tr ti:ne prjmeras derivadas parciaies continuas en la regi6n respectiva.

(D

G"

!t

(iit

I

,,-.

(ii)

i :l{)c

96t cApilrLo 18 . cAL(uLo VECToRTAL

]]].

Se considerard solo el caso de la grefica s de ' = /(x' ])l\ ed,e la fieura 18.1-xi)). Ln el Caprrulo I- 'e derin:d el arca

.4 de J- Pu;de u.a^e .rn merooo .emeidnle para del'nir una

integral de v(r., -r, z.) sobre la superficie S si la lunci6n g es

*"inuu .n ioao unu t"gi6n qre contiene a s Se utiiizar:l

la notacjoD de la Scccion 17.5 Entonc€s, como se ilustra

en 1a Fjeura 18.38, AS, y Afr denoran las ereas de S v del

plano tangente a S en BkQk. lk, zk\, respectivamente, que

se proyectan sobre el reciangulo Rk de una partici6n inte-

rior de R,,. Se evalia / en Br para rodo k v se forma la su

ma Irv (i*, rr, zr) A7r- La inlegrsl de superficie de I sobre

J se define como el limite de esias sumas cuando ia norma

de la' p. rrr' iorreq liende a 0 j 'e denola como s gue

i[o{r. r. rrdS - lim t ,/(.(^, )*, .i'Ar\1"" ' Ljr-oi

:.]

ir,,l l g',iirrat (18.?C)ill git;1F:i{ii(iE

TEFRI!i.,lA r)E (1 8.t3)L:rrAil".trp.Ctei'i FI{BA

i$lrEGtuli.[5 0[$$I'ERF!{!E

r. }. zl dsolj= il qLr. r. /rx, "l) . t7i.. )!

Ii + [l)(.r, j,)]'z + I d,4

riir .l.l 4{x. r, .)ds

. )l"rt.nr.,t. 't"[ij'1'l-- 1n,-,4' t a,a

iiii' .l.la(x. r, r) dr

= .fir(rrtY' "1'r' ' r"i'lYE +l(i'fria.q

Si S es la unio. ltc la.ias superficies del tipo adecuado' entonces la integral de sup€r

licie se define como la suma dc las integrales de superficie individuales. Si ,(r' l,' z) =I larn lo.lo (i:, -!, r), entonces (18.22) se reducc a (17.15) v la inlesral de superficie

es icual al drea de la-luperlicie de S.

Una aplicacion fisica de este concepto se refiere a una hoja muy delgada de metal'

como cl papel de ectano, con ]a forma de S. Si la densi'lad superficial de masa en (n' -v' z)

es ;r(r, i, rl. enronces (t8.22) da la masa de la hoja. El centro de masa v los momentos

ac in.t.iu puca.n ott"nerse aplicando los m6lodos usados para s6lidos en el Capilulo

l7 (lease cl Eiercicio 21)

De mancri semejante a como se hizo en el desarrollo de la f6rnula (17 15) para

cl irea dc una superlicie, la integral de superficie (18.22) puede evaluarse usando la f6F

mula (i) deL sigu;ente leorema Las l6rmulas (ii) v (iii) s€ usan para superficjes del tipo

ilunrado er la I'icura 18.37 (ii) v (iii).

htesral€s de superficie

z = (x2 + rzJ\'! = J(x, r),

I,/.(.,'. , , , '

/(..r1lr_ r'J ( r I i

Aplicando (18-21) (i) y observando que el radical se reduce a !i. obrenemos

li. "rs fI",,, 11 .,ir/.4.

Usando coordenadas polares para evaluar la integral doble.

EJE$PLO I Evaluar JJ Jr'zz ds suponiendo que S es la

parte del cono circular rt = :r' + ]]t que se encuent.u en-trelosplanosz=1yz=4.

Soluci6n Cono se nuesira en la Figura 18.19, la pro-yecci6n R,, de S sobre el plano ,t,y es la regi6n anular acota,da por las circunferenciai de radios I y 4 con centro en elorigen. Si escribimos la ecuacion para S en la forma

. i0'l\: I I co..2,Jr_'rr,,rlr, ',""r"1-5J':IL,L

102:r.i2n

EJETiPIO t Evaluar iJ! ().r/"y) dS, doDdeSesla partedelcilindro n = l: que se encuentra en el primer ocrante ertrelosplanos. = 0, z = 5, ! = | y r = 4.

Soluci6n La superficie Sestd en la Figura 18.40 (con unaescala difercnte en cl eje x). La proyecci6n R): de S so-

bre el plano,tz es el .ecrdnsulo con v6rtices (0, 1. 0), (0, 1, 0),10, 4, 5) y (0, 1,5). Enronces. por el T€orema (18.23)(iii) conk( t, zl = Y)

li'a',f [ .r:., L,' .a-,',., ',

_.J. l.' 4 -r/./r J '\4, ,l. l"r,

:f Ji r'.,!F + rar: l:lar'+ r)''']]

: r':[65r'' - 5]1'z1 : 534.2

ff", ,is : f ' J' r". "",. d),.vt r, dr : ,! l;'-,. ,.1, ,

954 CAP'TULO 18 T CALCULo VECIoR AL

Las f6rmulas en el Teorema (18.23) presuponen quc las funciones, ,,i v k tienen

Drrtrerd\ oer' lJa\ larcrale. corrlinr""obre R R ) R re\pec \amenre Fl algu-

'^'!d\o.puedequrrr\ee.lcr(.rrrccronuJrdoundinregrdl irnpropia como\ehace

en el riguien!c ejemplo-

i!G!,lEA 18.4i

&Wi;--

I'

" ''i.r ;.t

EJEMPIO 3 gvaluar jj'(; + t)dS, donde Ses la parte de

la grefica de . = .r I rr que se encucnlra en el primer oc-tante entre el plano xr y el plano.l, = 3.

5oluci6n La superficie.S es la pane que se encuenlra en

cl prjmer octante del cilindro )r? + a: = I entre I = 0 y,1, = 3. La grdfica este en Ia Figura 18.41. La proyecci6n R,lde S sobre el plano ).t es la r€gi6n rectangular con v€rtices(0, 0, 0). (1, l, 0), (1, 3,0) y (0. l, 0). S; usamos el Teore'ma (18.23)(i) con /(jr, f) = .J'l - r':.

I.r "l ,..1 I I u', '\l ,lObservanos que L(jr, l) no esta definida en -y = I y por lo tanto no es continua en

todo R.". Sin embargo, puede aplicarse el Teorema (18.23)(;) con 0 < r < I v usar

luego una integral impropia como sigue.

ll ,'li . ' .,..J ..

:lf'Ir lllr,a.JrjJi\ \t .\:/

I - rJ. I'1, I o lr'Jo '\t . I J' i.t ,,1r9rl: rm l. lt.

-

,/r'- " L \ -l

: Ljnr []r + :arcsentl : I + ;r : 10.1

Sea F un carrpo veciorial en tres dimensiones dado por

F(.r. ].:) = ,'|1(r -r.')i + N(\. ].:)j + P(.!, ),:)kdonde M, N y P son funciones (escalares) continuas. En laSeccion 18.2 se considero Ia iniesral

.J. I r'r

donde T es un lector unitario tangente a una curva regular

_ parte por parte C en el punro (r., /, u ) (v€ase ia Fisura 18.a2).I Si F es uD campo dc fucrza, enronces segnn (18.12), el valor

de esta inte8ral es eltrabajo realizado por F a 1o largo de C.

18.5 lntegra €s de supedci€ 965

Sea S una superficje y n un vector unjtario normal a "S en (jr, t, .), cono 5c ilusl'rien la Figura 18.43. Si las conponentes de n son funciones conrinuas de -r, -1, :, entoncrsF n es una funcjon (escalar) continua y se puede considcrar la siguiente integral d.superficie sobre S que (por razones quc se discuten al final de la secci6n) se llama inle-gml de fluio (iniegral de suDerficie) de F sobre .S.

TNTEGRAT DE FI.UJO (18.24)DE F SOBRE J flr.'as

Para evaluar (18.24) es necesario precisar las propiedades del vector unilario n. Sila superficie S es la gr6fica de una ecuaci6n z = f(x, r), y se define 9(.!. r-,.): /(r, t,), entonces S es tambi€n la greiica de la ecuacion q(-r, _r, ;) = tl. Cono clgradiente vg(jr,_!,,.)esunvectornormalalagrAlicadeg(jr,/,.) = 0enel pLrnlo

(J., t, a). el veclor unitario notmal n se puede obtener como sigue:

" v.r,.J.-, ,..r'! r., rrj- lv' ' ,,1- ,,. ..,1

Se pueden esrablecer formulas semejanies cuando S esili dada por -r = l(-r, :) o por

x = k(.y, z). Observese que para el caso r = /(:r, )) el vector unitario n es el lectornormal superior a Sporquc su componente k es positiva. El vector normal inferiores r.

Por el reslo de esle capitulo se supone que loda superficie ,t estd ori€ntada (o es

orienlabl€) en el sentido de que existe un vector normal unitario n en todos ios punlos(n, _r, .) que no esrin en la frontera, y las componenles de n son funciones continuasde:r,1, z. En este caso se di.e q& t raia conlinua,?erle sobrc la superficie s. Tarnbiadse supone que S tiene dos lados, lales como el "lado de arriba" y el "lado de abajo"de la grdfica de I = /(r., -1,) en la Figura 18.43. Para una superficie r€'?da.S contouna eslera, pueden considcrarse la "parle de afuera" y la "parle de adcnLro ' de s. Ereste fltimo caso. n se llama v€ctor unitrrio normsl exterior. o reclor unitario normalintedor (v6anse las Fieuras 18..14 y 18.45).

)L-

Las resrricciones impueslas sobre 5 elnrnian las srpeti.ies rrildrerdllr cotro licinra \o banda) de Mobiur', luperlicie que lleva eL nonbre del malemdtico alcnr:in

A. F. M6bius (1790 1868). Se puedelener materialmente u na cint a de llobius IoDr.tndouna !ira rectangular larga de papel y unicndo sus dos extremos despuas dc rorce.la unt

t'

/

966 CAPiTULo 18 ' CALCULo VECIoRIAI

flGUnA r8.46

-_ _,na--

vez. como se ilustra en la Figum l8 46 Si un pintor comenza-

ra a pin'ar la cinra de.de Lrno de .us punros. y 'e propu'ieracubrir s61o un lado de la banda, a la larsa regresard al puntode parlida, habiendo pintado toda la cinta sin cruzar por las

orillas. Esta es una superficie unilateral no orieniable.

Para dar una interpretaci6n fisica a la inlegral de flujo118.24), consideremos a S como una membrana delgada a tra'v6s de la cual se fihra un liquido o un gas. Supongamos que

S €s1ri sumergjda en un fluido qu€ liene un campo de v€loci-dad F(r., /, r). En la parte inferior de la Figura 18.47 s€ mues-

tran algunos vectores tipicos del campo, Cada vecior es lavelocidad de una particula (o mol6cula) del fluido.

Sea dS un pequeio elemento de iirea de S. Si F es conti_nuo, entonces es casi constante sobre dS y la cantidad de flui_do que atraviesa dS por unidad de liempo es aproximadamente igual al \'olumen de un prjsma con erea en la base dsy aiiura F n, como se ilustra en la Figura 18.47. Si d/de-nora el volumen del prisma de la figura, enlonces dll =

F n dS. Cono dllrepres€nta ta canridad de flu;do que cruza dS por unidad de tiem'po, la inlegral de flu.jo es el limite de las sumas de los elemenlos de volumen y por loranro, da el volumcn de fluido que cnza s por unidad de tiempo. Esta canlidad es el

.fluja deF a tra\,!s de S. Si F y S salisfacen las condiciores impuestas, entonc€s se tieneIo siguienre.

DEFtNtCtON (18.t5) El flujo de un campo vectorial F a traves de (o sobre)

una superficie S es

lJr nas

Sl en la discusi6n anterior el fluido riene densidad 6 = 6(J.. iJ. i), enronces el valorde la inlegral de fiujo Jj,6F ndS es la mdsa de fluido que atraviesa S por unidad

El campo vectorial F de la Definici6n (18.25) tarnbi6n podria representar flujo ter-

mico estacionario, un gas que se expande uniiormenenle, una corrienle el€ctrica (u otros

carnpos que aparecen en la teoria de la electricidad). En estos casos, "flujo" corresponde a cantidad (por unidad dc tiempo) de calor que cruza S, de gas a trav6s de S,

o de carga el6ctrica a trav6s de S, respectivamente.Para una superficie cerrada como una eslera, si n es el vector unjtario ,ormal enle-

/i.,.. enlonces el fluio mide el desplazomiento neto hscia afuetu po( rnidad de tiempo

'(N. del R.) El conccpro de /,ri, se er|lende de la mecenica de ttuidos a ta eLecricidad (flujo etecri.o omagnitico,dondenoseconsideraeltiempo) Cuandor.csvelocidadelDroductol_ n{componenrenormalde ra veroliJad) cr propiamc.tcl^ itnensnJult.telujo lo roltnren que uuye por unidad de ri.mro y pot uni.lad de d.ea). La i^tc1t^l ae llujo da, .ooo sc indiu, el volunren toral quc Uole por unidad de riempo a

FIGUAA I8.47

Si la inlegral de flujo es positiva, e] flujo hacia aluera dc S es mayor que el flujo hacia

adenlro y se dice entonces que hay una fuente de I denlro de S. Si la integral es negativa, entonces el flujo hacia adentro de S es mayor que el ilujo hacia afuera de .5 v se

dice que hay un sumidero denrro de S. Si laintegrales 0, entonces el flujo hacia adent|oy el flujo hacia afuera de S son iguales, es decir, las fuenlee y los sumideros se comp.nsan.

EJEMPIO { sea s la parte de ta e'itica dc r = 9 - nl,y'? tal que z > 0 y sea F(t, ], .) = 3-yi + 3fj + .k. Calcular el flujo de F a travcs de S.

Soluci6n La grAfica esrd cn la Figura 18..18 junto con

el v€ctor unitario normal superior n y cl lector l (jr, J, .)Como se dijo anteriormenle, para obtener n definimos

a(r.f.:l =: {9 \r r'tr1 =: 9 rr+r'r.

t8.5 ht?grdies de superrci€ 967

Val\. r.:l :\i + lrj + kn= J[v(i r'') :.1.'+'1i' 'r

Segnn (18.25), el flujo de F a trav6s de S es

lin",. li' 'J,J.\Jt.l

Aplicando el Teorema (18.23) (i),

ile n.i" l'i" I 4 /r{'r

' --- jJ r" I

l[,;. ), , J/]JJ

donde Re es la residn circular en el plano ry acotada por la srilica de rr + ]r : 9

Cambiando a coord€nadas polares,

+9tt hll)- :890.6.

Si, por ejemplo. F es el campo de velocidad de un gas en expansion v Ir se rnide

en cn'/i. entonces la unidad de flujo es cmr/s- Po. lo tanto, el flujo de gas a fra!'sde la superficie S en la Figura l8'18 seria ap.oximadanente dc 890 6cm'/s'

ll r ",rs: l'" i'L;"

En la sisuiente secci6n se presenta un resultado quo recibe el nonbrc dc leor'e,ra

de la Diyeryencia qt)e perrnile evaluar el llujo a rra!€s de una superlici€ cetrada usando

968 cAPiTlLo r8 ' aALcLlLo vEcToRtA

EJERCTCIOS 18.5

Ejercicios l-:l: Evahe IL r(\,.r..:)rs. (r': + r')1/2 que est, dentro del .ilindro r1 +

14. F = ri + r'j + zk:ses lapartedel plano 3.r +2! + z = 72 acouda por los planos r = 0,

|=O.x:lyJ:2.

Ejercicios rs"r6: Calcule el flujo de F a rrav€s de S.3.

2.

fjercicio\ 5-8: PlaDrce. pero no evalUe, ia inresraldesuperlicie usardo la proveccion de 5s^bre (a) elplano -v. y (b) el plano :i.

91r, ). .) = rzi 5 es la mitad superior de la esfera j, r rr + 71 = 4r.

q(.t, /, .) = rr + -v: + lzi .! es la pane delplano i - )r + 4 que esrd dent.o del cilindro

{(.t, r, .) : r + -r; J es la parre delplano 2r +3/ I a = 6 conrclida en el primer ocranre.

r(r,r,,.) = (r: + r,: + l)r:;Seslaparledelparaboloide 2: = l2 + .l: que se encuentradent.o del cilindro r1 + r,? = 2ty.

F(-y, t. z) = ji + lj + zk; Ses lapan€ dei plano 2.r + l/ + z - 6 conrenida en el primer

En este caso F(r, ), i) = (x1 + z)i + !,.i +{r'? + '|r + .u )k; A es la parte del paraboloidez = rr + f: contenida en elprimer ocranre yacotada por el pla.o z = 4.

t5.

16.

10.

t1,

12.

8_

Ej€r.icios u-r4: Calculei . r . n dS, donde n es ellector unjiario normal supe.ior de S.

,(rrr.r dS; S es la parre dei plano 2J + 3/ +4l - 12 corlenida en .1 primer ocla.!e.

I!- (rz + 2])dsi S es Ia pa.re .lc la e.nfica de.y = rr que se encuertra entre los planos f = 0,}=E,.=2yj=0.ll,(r: 2r + r) d.!: s es la parrc de la ereticade .lx + ] = 8 acoLada por los planos coorde-nados y por el plano : = 6.

il. (rr + ,' + ::) d,si r-- es la parre e! el prinerociante de la grrlica dc r: + l. = ,l acotadapor los planos coordenados yelplanor- + i = 2.

IDlerprete ii\ r(r. /, :) /s en rinninos geomd-Iri.os suponjerdo que / es la luncion constanten1;,-lr.i) = ccon c > 0 y 5 tiene una proyeccid. resular sobre el plano ry.Demuesrre qle la inreeral doblejja /(r. '),) d,-1 es

un caso espccial de una iniesral de superficir.

Ejercicios l?J6: Determine el fiujo de I a travds dela superiicie cerada 5. (Utilice la nornal €xlenbl a S.)

lt. r(j,,, .) = (r + r)i + a + rzki Ses la superlicie del cubo con venices (rl, al. al).

18. F(r, /, r) = n ,i + .k; S es la superlicie dels6iido acokda por ]as gralicas de z = xr + r1

19. Demuestre que si S estn dada por r = t(f. z)yF:Mi+ryj+Pk,enronces

._l l\/ r',. I L..-:ld'dz.

20 seeun ld le) oe Coulomb. .i \e colo, a c1 rl o, -gen una carea puntual de q coulonbs, €Droncesla fuerza ejercida sobre una carsa unitaria en(J, ), ?) estli dada po. F(r, !, zJ : \cq/ llr liJtdondc r = ri + lj + zk. Denuesrre que si .ts cuaiquie. eslera con cenfo en el origeD, enronces el llujo de I a trav€s de S es 42.4.

2r' Si una hoja delCada de meral Z riene la formaCe una superlicie S y una densidad superticial6(x, /. i), enloncesios roaerrosde Icon.es-pecto a los planos coordenados se definen con,u

r/ Jl . /r. v .tl.)'. .r./sv r,.=J.l \Jl, r:r,/r

l = ri + ,j + .k; S es la mitad superior d€laesterar: + !1 t zl=a).I = ri )jj S es la pane en el primer octantede la eslera r: + !2 + 21 : al.

F = 2i + 5j + lki S es la parle del cono z =ll.

18.6 T€orema de d d verg€ncia

Use L'mites de sumas para demostrar que estasdefiniciones son ',natu.a]es.. . Et cenio de nasa(r_, tr : ) esld dado por

!n : ,ttj.. tr = ,11,.. :-,! : M,,

donde m es La nasa de ?. Un embudo de neraltiene la forma de la superficie S desc.ita en elEjemplo I (vdase la Fisu.a 18.39). La unidad de

959

longitud es el cenlimelro y la dersidad sup€rfi-cial (o masa por unidad de area) en el purio(r, ], i) es.'?glcn:. Calcule la masa y localiceel centro de masa dei enbudo. Deternine elIno-mento de inercia deiembudo con rcspedo al eje z.

22. consuhe el Ejercicio 21 . Una hoja delsada de m€-1al que tiene densidad consrante t, tiene Ia forma del hemisferio : : id: rr-l EmNi-tre su centro de masa.

lfll rronmr DE rA DtvERGENctA

Uno de los teoremas mds importartes del Cdlculo vectorial es el Teorcna cle la Diw-gsrcra. A veces se Ie llama Teorcma de Causs en honor de Carl Fri€drich Causs (1777-1855), a quienes muchos consjderan el matemetico mes grande de todos Ios tiempos. Ei

leorema se refiere al flujo de un campo vectorial a travds deuna sup€rficie cerrada S que es la frontera de una r€gi6n Oen tres dimensiones. Por ejemplo, S podria ser una esfera,un elipsoide, un cubo o un tetraedro. El Teorema de la Di-verg€ncia puede de'nostrarse para resiones muy complicadas,pero hacerlo asi implica incursionar en el Celculo avanzado.En lugar de eso, a lo [argo de toda esta seccldr, se suponeque O es una regi6n sobr€ la cual las integrales triples pue,

- den evaluarse usando los mdtodos desarrollados en el Capi' tulo 17. Tambien se supone que las jntegrales de superficiese pueden evaluar sobre ,S. En esta secci6n n denota un vec-tor unitario normal eirtelior a S, como los que se ilustran enla Figura 18.49.

Ias reslricciones impuestas a O y ,S, el Teorema de la Divergencia se puede

Sea O una regidn en tres dimensiones acotada por unasuperficie cerrada S y sea n un veclor unitario normalexterjor a S en (x,,r, z). Si F es una funci6n vectorialque tiene derivadas parciales con.inuas en O, entonces

= lJJ"a

iJ" ndS F dV.

El Teorema de ta Divergencia (18-26) afirma que elftuto de F a truvds de S es iluatd lo integrul tiple de la diversencia de F sobrc Q. Si

Con

TEOREMA DE r.A (18.26)DIVERGENCIA

F(.r. r..:) - t/{r. _r. i)i + N(r..},. r)j + P(r, }.. z)k,

970 cAPirulo 18 . CALCULo vECToRAL

seusare lanotaci6nsimplificadaF = Mi + Nj + Pk. Usando las propiedades del pro

ducto escalar y la definici6n de F, la l6rmula en el Teorema de la Diversencia se puede

FIGURA IA,50Para demostrar esta igualdad basta probar que

f r ttf iMlJ rri n,rs = IJJ - d'lso

,. r.. tNll,vi nJ,s= lll-Jr'.' 'd' 'r.t ttr ?PllPk nJs= lll-dl

JJ J.I J I '

Como en la Secci6n 18.5, para encontrar el vecror unitario normal (supe.ior) a Sr se

er(r,.f, il : : ,(-!, -r)y se calcula

vr,(r. J, :)Ve1(r.l. :)

Entonces k n = 1i\i[!,(r.]llr+[l],G,],)lr+ l Aplicando el Teorema (18.23)(i) conR = R", y ,l(x, /) = /(r,l), los radicalcs se cancelan y se obtiene

../,v ,\ P\ll,.\li n ' \i n Pl nr./( llll llv.JJ " " /

Lfru "as:lJ*."as + lJrl ",rs

lJ* " as : lfri,-. 1,,1'. r11,r.r

Como las demostracjones de las tres ldrmulas son semejantes, s6lo se probard latercera. Mrs aun, Ia demostraci6n se restringe al caso que se ilustra en la Figura 18.50,donde la superficie S es Ia frontera de una regi6n O que se encuentra eDtre las graficasde r = v(x, ,r) y r = ,(r, /) sobre una reci6n R apropiada en el plano n'',. La superficie superior se d€nota por Sr, la inferior por Sr y la lateral por Sr. En la figura se

muestran algunos vectores unitarios normales exterjores tipicos.En Sr,la componerte k de n es0y por lo tanto, k n = 0. Entonces, la integral

de flujo sobre 53 es 0 y se puede escribir

ri-(-r. _rri r"(r, ],)j + k

It,.r'. rrl' + d,L'-'tl- + r

En S, se define

s,(i. r. ,) : : - (r. I)y se usa el vector uniiario normal lrlerrol r dado por

I vg.(-r. .', ") I [L ir. J )]: + ft,(r, I rlr + I

18.6 Teorema de ld div€rsencia

Aplicando de nuevo (18.23) (i), se obtiene la inregral de flujo sobre Sr:

[fpr n.r: - . flr''.,.,r..1r'ar)J JJ

Sumando las integrales de flujo sobre Sr y 52.

lJft " as - f.fter,, i, !(r. l,)) p(x. ),,(r ],))l r,.1

: $ll:::: *et,,l,^- t[#*,

que es lo que se queria poner de manifiesro. No es dificjl generalizar esta demostraci6na uniones finitas d€ regiones del tipo considerado. Las demosrracjones de las f6rmu-las para JJsMi n dS y j.lsNj n d.s son semejanres si O y S cumpten las condicio-

EJEI.{PI,O 'l Sean O la resi6n acotada por las gr:ificas dex) + y2 - 4,. = 0 yde i = 3,,tla fronr€rade O yF(x, y, z) = xri + y3i + ?rk. Use el Teorema de la Divergencia para evaluar JJ"F . ndS.

5oiuci6n 6n 13 p;gura 18.51 se repr€sentan Ia superfjcieS y algunas posiciones ttpjcas dei vector n. Como

V.F : lrz + 3), + l:r :3(x, + y, + ',),por el Teorema de la Divergencia (18.26) renemos que

lJn "as : : flJr,.. + f + z,i dv

Usando coordenadas cilindricas para evaluar la inregrai triple, se liene

JJr ";s : : f^f l"' f + t)r dz dr do

: : ji J"' [,., - :,.]l, a, ae = s f" l' o; + s), * ao

:t fl"p,,'+2,'lin:: f":oao: roo]j": rio'

EJEMPTO ? Sea g la regi6n acoiada por el cilindro z =4 x'1. el plano r + z - 5, el plano x]) y el plano n:. Lle,var a cabo la e\aluacron oeJJ.F ndr pa'a Fr,. r. .,r\' .enrri tx'r co'.rj - e" rk.dondela,uperficie S es la superficie de 8.Soluci6n 1a ,."15n O estd en ta Figura 1E.52 junto convarios vectores unitarios exieriores. Seria muy dificil evaluar

971

a+1

912 CAPiTULo 18 . CALCULo VECToRIAL

la integral de superficie directamente. Sin embargo, usando el Teorema de la Divergen'cia puede calcularse el valor de la integral triple

iflq.,rJll 1r i, , J,, /rAQ

Consultando la Figura 18.52 para obtener los limites de integraci6n y usardo (17.18),vemos que esla integral es igual a

J ,J" lo 4('d, d:d' .l r.'o 4,15 lrd:,/,

- J . [r'', ,""]. ,'I - laSx' 4.(" :,')J,;.;:---:1ll 7 .

35

El Teorema d€ la Divergencia puede usarse para dar una interpretaci6n fisica a ladivergencia de un campo vectorial. Por el Teorema de1 Valor Medio para InrearalesDefinidas (5-20), si una funcj6n / de una variable es conlinua en un inrervalo cerradollt. ,1, entonces existe un nimero c en (a, r) tal que

J t(<r d. - t,c)L

donde Z = b - d es la longitud de [a, r]. Se pueder demostrar resultados andlogospara las integraies dobles y triples. Asi, si una funcidn /de tres variables es continuaen una regidn esf6rica O, entonces exisle un punto,4 (jrl, fr, ?l ) en el interior de q talque

JJ.J,rr. L _r J/ _ |r{,. r, :rl, I

o

donde Zes el volumen de Q y l.flr, t, z))^ = f(x,, tt, zt). Este resuhado se lamaTeorema d€l Valor Medio pa.a Int€grales Tliples. Resulta que si f es una funci6n vec-torial continua. entonces

lfJv rar: pv n;, r,

tv Fl/= JjJ v Fdr.

Aplicando el Teorema de la Divergencia,

t..Lv Fi, r JJ F n/s

dond€ la superficie S es la frontera de O. EI t6rmino del lado derecho se puede conside-rat col]]o el fqo de F a tray6 de la esfera pot u,tidad de ,r'olunen.

T€orena d€ Ld div€rgencla

Ahora seaP un punio arbitrario v F un campo veclorial

continuo en una regi6n que contiene a P en su interior' Sea

Sr la frontera de una esfera de radjo t con ceniro en P' De

acu€rdo con la discusi6n anterior, para todo I existe un pun-

to Pr dentro de S/. lal que

LV Fl"^ ,r fiF ndr4 i."

donde ,/r es el volumen de la esfera (veas€ la Figura 18.53).

Si ,t * 0, entonces P*' P y se obtiene lo siguienle.

rA DTVERGENCIA (18.27)

COMO UN TiMITE

Asi, ta di\teryencia de F en P es el thite det flujo por unidad de rolumen a trures.de

una esfero cin centro en P, cuando et rudio de dicha esfera tien'le o o En particular'

si F r;resenta la velocidad del fluido, enronces tdivFlP se puede interpreial c:lo la

tasa d; p6rdida o ganancja de fluido en P por unidad de volumen v por uridad d€ tiem-

n..Si i- a,t. r,i u r e\ la densidad en r'ir. / ?).enronce'ldivbllPe'el cambiode

,za.a por unidaide !olumen \ por uniddd de liempo De lo' comenldrio\ al final de

ta SecciOn ts.s se conctuye que hav una fuente o un sunidero en P si [divF]P > 0 o

talu rl" < O, ."tp""tiuumen;e. Si el fluido es incompresible v no hav fuentes ni sumi

ieros,-entonces no puede haber ganancia o perdida dentro del elemento de volumen

I/*, y por lo tanto, en todo Punlo P,

,u .A ,P -JrtF- - ,-, ' - -u

Esra f.irmula se llama ecuaci6n de continuidad para los fluidos incompresibles'

La expr€si6n de la divergencia como un limite (18 27) tanlbien se puede aplicar a

onos conieptos fhicos como el flujo electrico o magn6tico ya que tjenen muchas carac-

teristicas semejantes a las del movimiento de un fluido Analogamente, si F repr€senta

el flujo de calor o t€rnico en una re8i6n v si I v ' FIP > 0' entonces havrlna fuenle

de caior en P (srr/e energia lermica por Py por lo tanto la temperatura en P disminuye)

Si I v flp < 0, entonces P absorre calor (o la temperatura en P aumenta)'

EJ EMPTO 3 S€a S una superficie cerrada que es la frontera de una regi6n O que tiere

al o igen O como un punro inlerior' Demuesrre que 'i 'e Iiene un campo de vatiaci6n

inrer; al c adrado (o de ipo sratirdcronal) dado por F - {q '''r' donde q es una

"onrrunr",, = iri + ]j + zk y r = llrll, enlonces el flujo de F a trav€s de S es 4'4

ind€pendientemente de la forma de 8.

Soluci6n Cono F no es continuo en O' el Teo.ema de la Divergencia no se puede

aplicar alirectamente; sin embargo, podemos procede' como sigue S€a Sr una esiera

tdivFr" = I,$+ lJr .nas

CAPiIULo 18

de mdio d con centro en O completamente contenida dentrode S (v6ase la Figura 18.5,t) y sea O, la rcEion fuem de St yderlro de S. Como F es continuo en Cr, podemos aplicar el

Teorema d€ la Divergencia y obtenemos

Es posible demostrar que si F es ur campo de tipo gravi-tacional, entonces V . F = 0 (v€ase el Ejercicio 2l de la Sec-ci6n l8-l) y por lo tanto,

-g-,,/ I'1l

.flLiv r,rr : fJn "as + lfr."as

Ois

fJr'" as = JJr.",rs

Como n, el vector unilario normal a Sr es extetiot, apunta hacia afueru de la rcgia,n

01 que tiere a,tr como una parte de su frontera. Por lo tanto, en Sr el v€stor unitarionormal n apunta rdcr'.r el odgen. Entonces n = (-ll.)r con,. = d y

El Ejemplo 3 tiene una aplicaci6n importante en Ia teoria de la electricidad. Seginla ley de Coulomb, si se coloca una carga de4 coulombs en el origen, entonces la fuerzasobre una carsa unitaria en (x,/, z) es F(r,L z) = (cqtllrll3\r, donde I = xi +/j + trk y c es una constanre. Resulra que el /rro (o lluJo eldctrico) deF a traees decualquier superficie cerrada que cortiene al origen es 4rc4. Por lo tanto, el flujo el6c-trico es independiente del ramaio y de la forma de S y s6lo depende de q. No es dificilgeneralizar esto al caso de varias cargas puntuales dentro de S. Este r€sulrado, que sellama lef de Gauss, tiene consecuencias importanres en el estudio de los campos el6ctricos.

-- --l,\ , , \llp n,rs: lll1l. I .l,is,., ji rr,/ \ r /

: illr' '.r,rs= i[1",.s

: - ))Lrs: -Atrx): arq .

EJERCTCTOS 18.6Ej€rcicios 1-:l: Utilicc el Teorema de la Divergencia(18.26) para evaluarJls F . Dds.

L F = .), sen li + t'1zi + G + 3;)k; la superiicie S es la fronrera de la reei6n acotada por los

Planos x = +1,), = al,l = al.

| : t3e.t xti + xarcran-ckt la superficie,ses Ia frontera de la residn acorada por tos pla-nos coordenados y el plano x +, + z = L

r = (r':+ senlz)i + (}]-re r)j + z:k; lasuperficids es la frontera de la reeidn acorada

Teor€md de td diverg€ncid

lor las srdficas dex) + ))i: ,x +. = 2\:=0..t r - 2,fi . r,o\t ri ,rr _ l.en rr[:.r \u_

pertrcre 5e\ 1a tror.er3 de td ree.dn a-oradd porlas grjiilasder = rr + y: r z = L

ljercicio5 5-t0: L.e el Ieoremd de,a Dlereehcid pd-ra determinar et fiujo de f a rraver de S.

5. F(x, -!,..) = Jri + I:j + x_yk; Ses la sraficadex2t3+,7/t+z2/r-6. Sea F(r, _p, .) = (x, + r,)i + (!, - 2xy)j +

{42 2,y.)Ii la superficie S es ia tronter;de hregron dcoradd por elcono \ _ \l ) el

7. F(\,r.{r lri- r:j , z:t . la .dpert,cre ses la fion'era de ta regron acoradd por er Dara-boloide z = 4 - x: -.) r y et pteo lr.

x. f(r. /. a) - xt,i . ,?,! | a)tt ta,upe rcre5 e, ld l onre d de td ree on que se rncuenrra sn-lre los ciiindros r, + !2:1yx1 +!1 =9yente los planos r = -t y z = 2.

q. I(\,).:' 2,zi uai ]zt; ta,uoeificieSes la frontera de la regi6! acotada porlos pta-nos coordenados y las grdficas de, + 2. = 4Y/=2

10. f(t, r, .) = Jri + _y3j + rrki ta superficie S esla frontera (superficie) de ta regi6n que se encuen_u? denrro del cono .\. , ,tae,reraxr + ],r +.': = 25.

Ejercicios ll-l4i re riqueet reorema de ta Divereen.ia r l8.20r evaluando Ia inreerat de ,upe.,,c,e y ia .n-

rl. f : ri + /j + ik; s es la srdfica de.Y: + y, +

12. I=11 +/':j + d'?k; S es la fronle.a del cuboacotado por los planos coordenados y los planosx : a, ! : a, z = a, dondea > 0.

13. F = (J + ?)i + (r +.)j + (x + t)*iscorrcsponde a la frontera de Ia regid'n designadacomoQ - 1\x, r, z):0 = r1 +zu < 1,0<r<2I.

lt. I lr rpcrdr n rj,7[,Sr.tre,a-fica de r: + r: + r: : dr.

t5 Demuesire quesi ilsF n d,5 = 0paratodaslas

superficies ceradas del ripo considerado €! elTeo.enade la Divergencia, entonces div F = 0.

16. Sirvase del Teoresa de la Divergencia para de,mosrrar que siuna tuncion escalar/iene sesun-da. derivada. ndr.Ete. .oflinla,, \e .:ene qlellto9: l dv - tt D^J ds, donde a" / er ld de-

rrvada direccional de / en ladireccion detveclorunitario normal tr exterior a S_

Ijercicios l?-lEi sLpon:enqo que J \ g,alistacerta,.ondrcrore\ de leorena de Ia Divercencid ) que/ y, (on rur.ione, es.atare. que rienen seSunda, deri,a-od. parc'ales conrinua). d€muerrre td idenridad dada.

l?. IJJ(/v'!+r/ vqrrv=J.ll/v./r nJs

(Suse/",.rir Sea F = /v e en (18.26).)

rx. lllr/vJ 'v"d/_ ll,,ve_./v/, n"/sa"i

isrserca.ri?r Use ta identidad del Eje.cicio 17 ju.-ro con la que se obriene inrercanbiando /y e.)

Eje.cicios 19-22: Suponsa que .t y O satisfacen las con_diciones del Teorema de la Divergencia.

lI). Pruebe que si t es un campo vectoriat conservario. oI I.rn-ior de potelciat ,.).i.1\I 0,*,,"*" l, E . E dv = lls Ji nds

20. Demuestrequesir =Ii +rj +zky r/esetvo_lumen dr O. enronce. / I JI. r n ds.

21. DernJe.rre que.iF riene,e8undd. der i\ada par-.idle. con' nud. en,once.lL ,or F.nds .0

2:. Demue\r.e que .ja e.ronce'llss.nds:0

Ejer.icios 23,24: La inregral de sup€.iicie (o la inle-cral triple) de una funci6n vecroriat se deti.e coo,ola suma de las iniegral€s desuperficie(o las inlecraiestriple9 de las componenles de Ia tunci6n. Use este hc-cho y suponga que 5 y O sarisfacen las condicioncsdel Teorema de la Divergencia para rlemostrar el re-

r. iJsFx nds= lJLv ' Fdv. (sueerenca:Aplique el Teorena de la Divergencja y el Ejercicio 26 de la Secci6n lE. t a c x rpara un vec-tor constanre arbit.ario ..)

24. JJ,/n/s :.llio v/ dz (s!eetencia: ^pti.qre.tTeorema de la Divergencia a /c para un vecror

conshnte arbitrario.,)

Demueslre que sien cualquier punto (.r, /, z) F

e! oaoeondl a \. enronce: ili{ ror r'lr =026. Demuestrc que si r es el vcclor de posici6n de

t^.t.?t t r llr ..e ie,eque IJJardrj ils rn rs25.

fiffi reonet*lDEsToKEs

flGURA I8,55

En (18.21) se presentd la siguiente forma vectorial del Teorema de Creeni

en donde la curva plana Ces la frontera de R. Este resultadose puede generalizar a una curva regular parte por parte yc€rrada simple C en tres dimensiones que es la fronrera deuna superficie S. El cioquis de la Figura 18.55 ilustra el casoen que S es la gr6fica de z = /(x, l), /tiene primeras deri-vadas parcjales continuas y la proyecci6n Cr de C sobr€ elplano r/ es una curva que es la froniera de una regj6n R deltipo considerado en el Teorema de cr€€n. En la figura, n esun vector unitario normal rrpffio," respecto a S, Se toma como sentido positivo a lo largo d€ C el que corresponde a la

orieniaci6n positiva a lo largo de Cr. El vector T es un vector unirario tangente a Cque apunta en la direcci6n positiva. Si F es un campo vectorial cuyas componertes tie-nen derivadas parciales continuas en una regidn que conrien€ a S, entonces se riene elsiguiente teorema, que lleva el rombre del fisico maremeaico ingl6s ceorSe C. Stokes(1819-1903).

TEOREMA (',|8,28)DE STOKES

El Teorema de Stokes se puede enunciarcomo sigue: La integrclde [lnea de la com-ponente tangencial de F a lo latgo de C rcconida una yez en la otientaci6n positi|aes ieual a la inteSnl de supedicie sobrc S de Ia cofipo ente normal de rotF. Si f €s

un campo de fuerza, el teorema afirma que ei trabajo realizado por F a lo larao de Ces igual al flujo de rot F a trav6s de S. La integral de linea en (18.28) tambien se puedeexpresar corno $. r . d. donde r es el vector de posici6n del punro ()., l, ;) de C. paraanalizar situaciones mes senerales que la ilustrada en la Fiaura 18.55, hay que consid€,rar ulla superficie or?rtadr S y definir un sentido positivo a Io largo de C de maneraadecuada. (La demostraci6n del Teorema de Stokes se puede enconrrar en libros deCdlculo n6s avanzados.)

kdA$ a ra":JJr'otrr

$ r.ra":lJt.ot F) nds

18,7 Teoremd de Stokes

EJEMPTO 1 Sea S la parte del paraboloide z = 9 -i2-.r,2parai > 0, y sea Clatraza de S en el plano xl. Verificar el Teorema de Stokes (18.28) para el canpo vecto-rialf=3{i+4xi+2yk.Soluci6n Queremos demostrar que las dos integrales en el Teorema (18.28) tienen

La superficie es la misma que consideramos en el Ejempto 4 de la Secci6n 18.5 (v6asela Figura 18.48) donde obtuvimos que

2jri+2ti+k.14x,+4t'+t

Segnn (18.6),

:2i+3j+4k.

JJt."trr'"as:lJ -1#=as.J4_!,+4),+l

Usando (18.23) (i) para evaluar esta integral de superficie, resulta que

JJ rror F, n /s - Jl ,a. - 6r I a)/,4

donde R es la regidn en el plano )a, acotada por la circunferencia de radio 3 con cenlroen el origen- Cambiando a coordenadas polares, obtenemos

fftror rt n a: i-' l-' ro' ... o v 'enl - a)r h leJJ JO JO

-i'f t.'q-.e, bsenot +)tud0Jt Ju '

- .l; rlo co. d - 54 'en 0 t 18) l0

I l6\en a 5a.o' i' - 18,]o - 16.

La integral de l{nea en el Teorema de Stokes (18.28) se pu€de escribir

qF r/-9F ir-9t J' t4'Jr 2r /-

donde c es la circunferencia en el plano rl, con ecuaci6n;r2 + y2 = 9. Como z : O

en C, esto se r€duce a

gF dr g4\dv_49.d'

rot F

lr r kI

l? a .,'r ,11 iz

cALCULo VECToR AL

t"I

f-t(\q*,i.

(rot ! )

De acuerdo con el Teorena (18.20), {. jrdl es el :irea de la resi6n acolada por C (ei

circulo de radio 3) y por lo tanto.

lf rr lla\-16que es el mismo vaior que el de la integral de superticie.

Se puede usar el Teorema de Stokes para dar una inter-pretaci6n lisica a rot F. Para un punto cualquiera P, sea Sk

el disco cjrcular de radio & con centro en Py sea Cr la fion-tera de S* (v€ase la Figura 18.56)- Aplicando el Teorema deSiokes y el teorema del valor medio para integrales doblesse llega a

9. I r ,i. Jl {,o t, n,rs - ,.,,11 , ni" , L

donde Pr es cualquier punto interior de Si y rl']es cl nrea de 51. Por io tanio,

t o l n. lj n '",.

Si k - 0, enronces Pr - P y se tiene el siguiente resultado.

'nUN

c.oMo (18.29)U^,{tTE

[(rotF) n]r = lg:#$.-o tr"

SiFeselcampodevelocidadesdeunfiuido,entonceslaintesraldelinea4l.F.Tdses la circulaci'in ahededor d€ C. Mide la tendencia media del fluido a c,icrld/ o moverse alrededor de la curva. De (18.29) se ve que i(rot F) . nlp proporciona inlormacl6nacerca del movimiento del fluido alrededor del borde de un disco circular perpendiculara n, cuando ei disco se comrae a un punto. Como [(rot F) . nlp alcanza sr valor md,ximo curndo n es Daralclo a ror I, la direccjon de rot F en P es aquella para Ia qrc la

circulaci6n alrededor de la fronrera de un disco peIpendicular a rol F alcaDza su valor mdximo cuando el disco se con-

Para visualizar estas ideas. consideremos un "medidordc roiacional" imaginario; por ejemplo, un Drolin.-te cLryaspaletas estdn en planos que pasan por el eje. como se ilustraen la Figura 18.57. Un campo de velocidad que rodee las pa-lctas puede hacer girar el rnolineie sobre su ejc. Tonando unvcctor unitario n en la direcci6n del eje, s€ tiene que el "ro'taciondmelro" gira nis rdpidamente cuando n es paraieloa rotF,

Ei €scalar (rot l') . n so llama la rotacionrlidad de r at-red€dord€ n porque permi.e apreciar la lendencia delcampo

i8.t Teoremd de stok€s 9i9

vectorial a /o/a/ o girar alrededor de p. * Si ro! F = 0 en u na regi6n, enronces (rot F )n = 0 y la circulacidn alrededor de cualquier curva cerrada C es 0. Tambien la roracionalidad de I'alrededor de n es 0. por eso se {lice que I es un campo veclorial irrotacio_nal cuando rott = 0.

EJEl.tPlO , Sea I()., r) = ai + bj + ck, donde !1, , yc son conslantes. Analizar las propiedades roracionales delcampo F.

Solucir5n roaos tos \'ecrores del campo F tienen la misma magnirud y direccion, como se ilusrra en la Figura 18.58para 4. b y. positivos. Si se inrroduce un medidor de rola-cional (o moiinete) en cualquier punto de esle campo vecto-rial, las paletas no giran. Observanos que

I I I.l

i- - . =0

,r h r

Por lo tanto. I es irrotacional.

EJEMPIO 3 SeaF(x,/,2) = 3(1, + t)ri + 0j + 0k para l.rl <,1. Describir elcampo vectorial F y analizar la circulacion dc l'alrededor de varias circunterencias C{en el plano rt. aD6nde tiene (rot F) - n sr valor mdxin1o?

Soluci6n Si restrineimos nuestra aienci6n al plano ir/,1os lectores de I lbrman

"-l parr6n que se muesrra en ta Fisu,

ra 18.59. (Verificar esle hecho-)En cualquier plano paraietoal plano .n/ se repile cl mismo parr6n.

Consideremos a F como el canpo de velocidades de unfluido que se derplaza por un 1ubo. Observamos que la velo-cidad del fluido es nayor a lo largo del cje,,. y disminuye amedida que el punro (xj t) se acerca a las recras I = r?1.Si consideramos la circunferencia Cr, enronces evidentemenle {., F 1'ds > 0 porque cuando se recorre Cr en el sentido positivo, la componente rangencial F . T es grande ypositiva en la parte inferior de Cr, y es negariva (pero cercana a 0) en Ia milad superior. Si se introduce un medjdor

' lN, del R.) Aunquc en ingLis se le llamrl Tororo, al producro (ror t,) . n no €s c.n\eni.nrc taduci. enerirmino po. 'ror..i6. '. y, (rue renrlrrria co.lLM. EI nonrbrc rcla.Dnatirtud adoDtado e. eja lertbn e\tc.'1,.roe,o..-DoJ.or".,d"..."iri.-,\o o'.rorr ' o', "n.,."rr,,o .. o. ,o..' o .L , . r. ri,a.', d ..'J o _i.r d.. ,,.

'- te.r ., ..o, rrnD-, J.qtre \e renrlri. .or F = lrot F) n

-+'=\+r +:f:.1:.::.:

980 CAPITULO 18 . CALCULo vEcToRIAL

de rotacional en el c€ntro de Cr con su €je perpendicular al plano xl, las paletas gira-

rdn en el sentjdo contrario al de1 reloj.Considerando otra vez los valores de F T, vemos que {.,F Tdr < 0 y

$c.r ' Tds - 0. Un medidor de rotacional en C2 giraria en el sentido del reloj v €n

Cr no giraria.Podemos demostrar que

.otr = i=k.(r' + tt

Como el veclor unitario normal n es k,

Gotl) n=Gotl).k: -q- - '(f'+ tl"

Observamos que (rot F) n es positivo para puntos arriba del ejer., negativo para punlos

abajo del eje r. y 0 para los punlos en el eje ).. Derivando,

D,i(,orF) .t:iirify por lo lanto, los limeros criticos de (rot f) n son./ = alli3 = 10.577. Con el

criterio de la primera derivada vemos que se trata de un meximo y un minimo. Porlo tanto el valor meximo del (rot F) n se alcanza en cualqujer punto de la recta hori-zonta.l y = !l/13.

Para iluslrar otra relaci6n entre rotF y los aspectos ro'tacionales del novimi€nto, consideremos un fluido qu€ giraunjformemenie alrededor del eje z como si fuera un cuerporigido. Concentrando la atencidn sobre una pardcula delflui'do que se encuertra en el punto P(n, 1,, z), dondex,.r', z son

lunciones del tiempo /. se llega a una situaci6n semejante a

la que se ilusrra en la Figura 18.60. donde r(r) = ni + /j +

rk es el vector de posici6n de P y o = ori + o:j + o:kes la velocidad angular (constante). Con referencia a la Figura 18.60. tlq/dt = lal .

Denotando la velocidad (lineal) r'(/) de P por F resulta. como eD el Ejemplo 4 de la

Secci6n 15.3, que

Segnn (t 8.6),

F:a tt:l(')2. .,r))i+(r,3r orrj+1.",] o:rlk

.otF:

.r. ".D1r .!3x - 01, .ily (,1\

k

il

&

Usando el hecho de que @ es un vector colrstanle se puede verificar que

rotF = 2oLi + 2.rzi + 2.rrk = 20.

Esro demuestra que la magniiud de rot f es ei doble que la de la velocidad angular yla dir€cci6n de rotF es a lo larao del eje de.otaci6n-

18,7 Teorema de Stok.s 981

TEOREMA (18.30) Si I(r,.y, i) tiene derivadas parciales continuas en todauna regi6n simplemente conexa D, entonces rot F = 0en D si y s6lo si $. f . at - 0 para toda curva cerradasimple C en ,.

Deno5traci6n S; rotF = 0, enronces por et Teorerna de Srokes (18.28),

In\er\drDenle,:r-rpongamo, que $ F ../r 0 para roda cuna ce,rada \impte C. Sien algLn pun o P. ror l - 0. enron.e, por conrinurdad eri5re und ,ubregron de D quecontiene a P y deniro de la cual rot I' + 0. Escogiendo un disco circular del ripo ilustradoenlaFiguralS.56conrenidoenestasubregionyparaelcualnesparaleloarorF,

O F Jr-.llUo{ }i nJs -0.

10 cual es una contradicci6n. Por io ranto, rot tr = 0 en rodo r.

Si F es continuo en una regi6n apropiada, Ia condicj6n de que $. F . dr = 0 paratoda curva cerrada simple es equivalente a ia independencia de la rrayectoria. Ademds.como en el Teorema (18.13), la independencia de la i.ayecto.ia es equivalente a F =V/rara una luncion e5cald' /(e, de.ll. F e, .on,enari\o). Combrnando e\roc hecho\ conel Teorema (18.30) se obtiene lo siguiente.

TEOREMA (,t 8.31)

En Ia discusi6n sobre inregraies d€ linea independientes de latrayecroria se inlrodu_jo el concepto de una regi6n simptemente conexa en el plano. Esre concepro se puedeCei,erJi,/dr a. rres dimen\ione5. nn embargo. la der;nicion aconumbrada requrere de pro.predade. de lar c ll!a. ) ld. (upe,ficie\ que se e5rudian en cur.o. md. avanrado\. paralo' p"opos o, de e.le libro ce dice que una region D en tres drmen,ioner e, simplrmenleconexr si toda curva cerrada simple C€n, es la frontera de una superfici" Sen D;;;satisface las condiciones del Teorema de Srokes. En ."gion." a..rr"itpo .uuiqui", J,lva cerrada simple se puede contraer continuamenre a un punto en, sin cruzar ta fron_lera der. Por ejemplo, la regidn dentro de una eslera o deun paralelepipeao ,".tuoguf^.es simplemente conexa. La regj6n denrro de un toroide (o toro) (uni superficie en for,ma de rosca) Do es simplemente conexa. Usando esta restricci6n se puede dernostrarel siguiente resultado.

f r a':JJr..rr "as:o

(i) F €s

(ii) i r

Si F(x, ),, ?) tiene primeras derivadas parciales continuasen una regi6n simplemente conexa ,, entonc€s las si-guientes condiciones son equivalentes.

conservativo, es decir, F = V/para una/.' dr €s independiente de ta rrayectoria en D.

982 CAPIIULo 18 . (ALcULo VECToRIAL

(iii) $. F dr = 0 para toda curva cerrada simple Cen D.

(iv) F es irrotacional, es decir, rorF = 0.

EJEIAPLO 4 Demostrar quc siF(jr, ),,.)

Soluciiin La funcj6n F Liene primeras(jr, /, r). Como

= 13)-r + .1,2)i + 2rlj j:2k, enlonces F

derivadai parciaies coriinuas para todo

: (0 - 0)i + (0 0)j + (2r 2),)k - 0,

! es conservativo de acuerdo con el Teorema (18.31) (iv).

EJERCTCTOS 18.7

Ejercicios 1-Er Veriliqu. el Teorema de Stokes paralvs.l. F = l:i + .rj + x,kt 5 es ta parre .lel ptano

r + -t + a = I que se encuentra en el priner

2 l' 2r,i .j + -lkj.Ses la parrc delpa.aboloidc

" I -, rtu..eFr..r r'dc.rooelindro\r+yr=1.

L l i .j k: 5P..t t-"n.cro -(a: Jr - r,:) :.

4. F = r:i - yrj + :rki S es la parre del cono. = (r, + -rr) : acorada por el plano: = l

5. Suponca que L = (3: senJ)i + (r: r e )j +(-yr cos..)k. Use el Teorcnra de SLokes para€laluar 1'. r' dr, donde Ccs Ia Nrla dada porJ: cosrj_f = seD/, i = l0<r<27.

6. Sean l = r,:i + -y_rj + j:k y a el cuadrado converlices (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1. l, 2), (0, l, 2). Useel Teorema de Stokes para elaluar $. F . ./r.

?. Sean l = 2ri + erj - arcranrk y 5la pa.re dclparaboloi.le . = 4 j: /r reco.ra.ia Do. elplano !. Use el Teorema de Sto kes para evaluar

E. Sean f : rrri + r.:j + rr:k y S el fti:ireulocon virri.es (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, :l). Use elTeorema de Srokes para evalua srorr .nd.S.

Ejercicios 9-12: Trace alsunos de los vecror€s der(r, r. i) yanalice las p.opiedail€s rolacionales de !'usando un medidor de.otacionaly ror F. aDdDde atcanza (rol F) n su valor mrximol

9. F(\. r.:): (rr - :r.li + 0j + oki i < llll. F(r, r', :) : 0i + sen rj - oki 0<rlrll. r(.r.r,, z) = -_!i + rj | 0k (vdansc el Ejempto

I de ia S€ccion l8.l v la discusion quc sisre atEjemplo I en la pneina 980).

12. F anpodc rpo.p,. io.ro,., d.l:Dcl ,i.,,,(18.2).

l.l. Pruebe que si f(r, f,.) = ri + (r + e:)j +(l + re.)k, enron.* t es iroraciolat.

r4. Un canrpo vedoriall e\ui.dmpo dejetzd.eh.,?/siI -./rdonder - xi + rj +.k)./e5

rt,.. Dd,.rc...e _-e , ,,. J,,.

'cnciabJe, erronces t es irroraciorai.

98316.8 Repdso

I5 Sea n el veclor unitario normalexrerior er cualquier pnnto P e. la frontera S de una esjlra.Demuest.e que si I tieDe prjmcras dcrivadasparciales .onrinuas en S y derr.o de S, enronces

Ij.rct r ndS - 0. Uriljce{a) elreoremadelaDivereencia; (b) el Teoreha de Stoles.

16. Lliilice (18.28) para demostra. que si 5 r C sa-

tislacer las condicion.s del Teorema de Stoke\y f es una iunclon veclorial .onslanle. enlonccs

C(F-Tdr=0.

ljercicios l?{9r Demucstre la idenlidad bajo la hiporesisde que Cy Ssarisla.en las condiciones delTeo-

17..{.Jr,-dr:fjs(e/x v!l) n ds, donde

/) r/ son iu.cion$ escalares.

lE. 9 r ' dr ls ll n /1. donde a e\ 'rn

re.-

t, /,ir - Ji.. x e/.1s, don.le/es uDa ruDcion

Sean ,v, N y P lunciones de r. _r. z que ti€ncn

trimeras derivadas parciales continuas en una re-

ei6n sinplenenre .onera. Demuesrre que

-1, 1r{, I :r / \(,. r.:t /L + /,r\ ),1.

es jldependieDte de Ia ira)ectoria si y sdlo si

atr aN ,i,r1 aP aN iP

19.

lf[ nrrrsoDefinr o discuh lo siguienle.

l. Carnpos vecroriales en dos y en tres din€nsiones.

2. ( drfo d' ipogJ|d,or.".,oJe\a,ia.idrirvena ,l .Dadrado de la dislancia).

3. campo veclorial conservaliyo.

:1, Frncion de potencial.

6. Di!ergercia.

? lntec.al de ]inea.

E. Apli.aclones de la inr€eral de linc!.

9. Independencia d€ la rrayecloria.

EJERCTCTOS 18.8

Ej€rcicios l-rri Dt u a descripcion geoNenica dcl.ad

l. F(r.r):li F ji2. F(\. r :l: ri+ rj + k

3. F(\.r.:r: k

{. Fl\. r'-:l : v(\r-r r'+ ::r ' l

5, Encucntre un cadpo lectorial conserlarivo e.

Inlesrales de supcr r'icie.

Superficie orien(.da.

Teorema dc la Divt.s€ncia.

La di\ergencia cono un limitc.

La rota.ionaUdad (rot I') n cono un linire

Campo vectorial irrolacional.

dos dimensiones quc tcnea la luncion de polen

cial j(r, -r) = /rranr.6. Encdenue un campo lecto.ial conservatilo et

(res dinensiones qdc lcnea la atrn.ion de polen-

ci.l/(r. r,i) = ln(r + / + .)-

Ejercicios 7-10: Evalne J, t:dr + rr dr, a lo lareode la cu.va Centre 11, 0) r, ( l,,l)quesenruest'aen

t0.

.

t2.

14.

16.

17.

la.

98{ CAPiIULO 18 . CALCULO YECIORJAL

rl Evalne J.ryds; C es la grefica de _y = xa de(-1, l) a (2, l6).

Eiercicios 12-14: Evahe

I r/r +t\ + r)dj +1, + I + _-)d:

a lo largo de la curva dada C de,-1(0, 0. 0) aB(2,1,8).

12. Cconsia de tres segmenros, el primero paraleloal eje., el seeundo paralelo al ejei y elterceropariJelo al eje /.

ll. C es el seCmento de,,l a 8.

I4., rieleld odrdme,'izaciol \ - t.) - t

ls. Sean r(r. r) = (x + ',,')i + (r /)j y C dadapo'J .o)/,], =.en/; r < / <0.E\alnej, F ,/r.

16. La luerza I en un punto (x, r,, 3) en lres dimer.ione\ \e encuenfia dada Ilor t(\, /, -,r:r,i + f:zj + rr'zkj Ces el cuadrado con vertices.jr(1. l. l),,.11( l, l, l),/r( 1, I, l) y,.1r(l, l, l). Calcule el trabajo realizado por Fcuando su punto de aplicacidn da una vuelta a1() largo de C en el seniido determinado por eliDcreme.ro del subindice de ,1r.

Eje.cicios l7-1E: Demuestre que la inteeral de lineaes independienle de la rayecioria y calcule su valor.

,, _1, ri\+IL\+(,+II/lrr. fr''1s,' :,,,. l:J!+{tr: lrrl:

19. Consid€rese el caso de F(x. r. z) = 2xe"i +2(x,e, + ! corz)i _y2csd.k. Demuestre que

JcI dr es independiente de la trayectoria y encuentre una funci6n de potencial / paia F.

Ejercicios 20-22: Use el Teoreba de creen para e!a-lua. Ia integral de Iinea

f9. xl ,r + lr' + tr'rtr

donde C es la curva dada.

20 C es la cuna cerrada determinada por/ = .!r y,'-r=2entre( I,l) y (2,4).

21. C es el tririaculo con v€rlices (0, o). (1,0) y(0. 1).

22. C es la circunfe.encia con ecuaci6n r, f ,:2x=0.

21. Caicule div F, rotf para F(], -y, i;) = xrzri +{t'zrj + r:}:k.

24. Demuestre que si / y t son funciones escalaresde t.es variables. v.(.fqa)- fv)s + ef'Vr.

)s L%tueJi \rrd\: se,tapa edet ptdno--r + )]que se encuentra ar.iba de Iaregi6n i.ian-cular delplanorycon v€rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0)y (0,2,0).

26 rvalue JJ'r 1'd5: t er la mlldo ,uper or de. crlindro-y': + d'] = 4entrer - 0 y r : l-

27. Sea q la reci6n acotada por el cilindro r, +/: I,lo. plaro./ 0)i LSrF=x3i + -yrj + zrk. us€ el Teorena de la Divergencia para evaluar.llsF - nds donde la superL.ie \ e' la rronrera de ? y n e, el vec or uniraiiolormal exlerio. a S.

:'1. \ crlroue elTeoremd de la Di\ergen.." pdra I -2ri + tj - zk; la superficie Ses la fronlera delFralelepipedo acotado por los planos r = J1,!=!2,2=):3.

Ej€rci.ios 29-30: Verifique elTeorefta de Stokes pa-nIvS.20 t J:i '.j .'k.5e.et Lerr.teno{ -

(4 xt - )'1) l'1.

30. F = (' + ),)i + (l + :)j +(,+z)li;Sestaregidn acotada por el tiingulo curos vdrrices son(1,0,0). (0, t,0) y (0,0, l).

*rnr,al9ECUACIONES DI FERENCIATES

fllna ecuaci6n diferencial es una ecuacion en la que aparecen

cietivddas o diferenctales. Si una ecuacion cantiene s6lo

derivadas de una funcion de und variable, entonces se dtc€ que

es ordinaria. Una ecuaci6n difercncial parcial contiene

derivadas parciales. En este cdpitula se desarrollan algunos

nebdos para resalver los tipos basicos de ecudciones

diferenciaies ordinarias. La intenci6n de este dnalisis no es una

disertacion sobre el rema sino mds bien servir de intraducct6n a

estd 6red tdn vasta y a la vez tan inport]nte de las natendticas.

9t5

985 CAPiTULO 19 . FTLJA.IoNFs DIFERFN.ALES

lf, tculctoNEs DTFERENcTAIEs sEpARABtES

UIla ecuaci6n en la que aparecen x, t, -v', y'l . .. y,('), donde l' es una funci6n de

r yf(n) es la n-6sima derivada del, con respecto a )., es una ecuaci6n diferencial ordi-naris de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones diferenciales ordinarias del

orden especificado:

Orden 1: l'= 2r

l'r - /a r\orden r: ./. . .

lJ.] )51 0

Orden 3: (y"')a .!:(_!")' + 4r] :.re'

/J", \ ,/,Orden4: 1,.,) l-,'r.

En las Secciones 4.7 y 7.6 se consideraron brevemenlc las ecuaciones diferenciales.Recordemos que una funci6n / (o /(Jr, es una soluci6n de una ecuacidn diferencialsi al sustiruirl por/(n) se obtiene una identidad para 1odo.x €n un intervaio. Por ejem-plo, ta ecuaci6n diferencial

r' = 6x1 -5tiene como soiuci6n

f(x)=2.xr-sx+cpara lodo n{mero real C, porque al susrituir / por /i}) se llega a la identidad 6r'? -5 = 6rr - 5- Se dice que"f(r) = 2xr -sx + C es la soluci6n general dey' - 6xr- sporque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una soluci6n psrticulsr asig-nando valores especificos a C. Porejemplo, tomando C = 0 se obtiene la soluci6n paFticular, = 2xr - 5n. A veces se dan condiciones inicieles para determinar una soluci6nparticular, como se ilustra en el siguiente ejemplo (vdase tambi6n el Ejemplo 2 de laSecci6n 4.7)-

EJEMPI.O.I(5) Encontrar la soluci6n general de la ecuacion diferencialr' = 2x e ilustrarla gr:ifi-

(b) Oblener una soluci6n particular de ) = 2r. que satis

fasa la sieuiente condicionr / = 3 cuando r. = 0.

soluci.in(a) Si /es una soluci6n de y' - 2y, entonces /'(.ir) = 2x.La integral indefinida lleva a la soluci6n seneral

/:/(r:)=-r'?+c.Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores especificos a C. Asi obtenemos la familia de pardboias

r = x'z + C que se ilustra en la Figura 19.1.

19,1 Ecuaciones diferenclal€s sepdrables 987

(b) Si ] = 3 cuando r= 0, entonc€s sustituyendo en / = ).2 + C obtenemos3 = 0 + C, obienC = 3. Por lo tanto, la soluci6n parlicular es/ = )r? + 3. La gre-tica es la pardbola de la Fisura 19.1, cuya intercepci6n ]] (ordenada en el origen) es

3. .

Ecuaciones djferenciales como la del siguienie ejemplo apar€cen en €l anelish delas vibraciones y se consideran con detalle en las Secciones 19.3-19.5.

EJEMPI,O t Demostrar que la ecuaci6n diferencial t " - 2s] = 0 tiene como solucion

flx) = g'"s' * "r" "

donde Cl y C, son nl'imeros reales.

Soluci6n lertvanaoobrenemos

f'(x) = sc!5t 5C2e s'

vf"(xl = 25cte'! + 25C2e "

Sustiluyendo ] por /().) en la ecuaci6n diferencial y - 25y = 0, lleganos a

(25c1e5r + 25C)e 5') 25(Cre5' + C2e-5') = 0

(2scr€r'- 25crei') + (2sc2e * - 2scf *) = O.

Como el lado izqujerdo d€ la ecuaci6n es 0 para rodo n, resulta que /(J.) es soluci6n

La soluci6n Crer' + Oe )J del Ejemplo 2 es la solucion seneral de y - 25t =0. obs€rvese que it ecuaci6n difer€ncial €s de orden 2 y la soluci6n general tiene dos

constantes arbitrarias (llamadas pardmetros) Cl y C2. La definici6n precisa de solu-ci6n general involucra el concepto de parimetros independienl€s y se €studia en cursosde Cdlculo m6, avanzados. Las soluciones generales de las ecuaciones djferenciales de

,? asimo orden tienen /? parrmetros independientes Cr , C2, . . , C, Las soluciones par

ticulares se obljcnen asignando valores especificos a cada pardmelro. Algunas ecuacio

ncs dilerenciales tienen soluciones que no son casos especiales de la soluci6n general.

Taics soluciones singul'rr€s no se discuten en este libro

En las soluciones de los Ejemplos I y 2 se erpresa / explicitamente en terminos de

r. Las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se dan en lorma implicita, y para

verificar tales solucjoner hay que derivar implicitamente, como se ilustra en el siguiente

eiemplo.

oemostrar que xr + x'?! 2!1 = C es{na soluci6n implicita de

(? - 6!')y +3x2+2xy=o.

EIEMPTO 3

9EE cApiluLo 19 . ECUAcToNEs DTFERENciaLEs

Solucir5n Si.l' = /().) satisface la primera ecuaci6n, entonces deriYando implici-

3x1 +2xt + xzy' - 6y2y' = 6

(x2-6yz)y +3x2 +2tl],=o.

Por lo tanto, /().) es una soluci6n de la ecuaci6n diferencial.

Una de las clases mes sencillas d€ ecuaciones diferenciales es

MrJ, \,,)' -o obien t/r'' + v',,j!-0

donde M y N son funciones continuas. Sj / = /(r) es una soluci6n, entonces

M(r)+NU(r))/'(x)-0.Si /'(x) es continua, ertonces la integral indefinida lleva a

., VlrldY+

'\1/r,))/irrJL

- C

o bien )M(\'tdt - JNIr]'dt - c.

La iltima ecuaci6n es una soluci6n (implicita) de la ecuaci6n diferencial. Se dice quela ecuaci6n diferercial M().) + N(]D' - 0 es sepsBble porque las variables tyl sepueden s€parar, como se indic6.

Una manera fecil de recordar el m6todo de separaci6n de variables es cambiar la

M(r)+N())9-0

a la forma difetencial

M(x) dx + N(J) d], : 0

y luego integrar cada t6rmino.

EJEftPtO 4 Resolver la ecuaci6n diferenc ' 'Ivtat,'e''+-E=0.

Soluci6n Escribiendo la ecuaci6r en la forma diferencial y separando luego tas va-riables, obtenemos

rlez'dx + d! - ovsiv+0.

"t,6, _ l^ay _ o.

vIntegrando cada t€rmino, obt€nemos la soluci6n (implicita)

tla"" rt:c.

lt.l Eclaciones dil€rcncjat€s s€parabtes 989

Multiplicando por 6 ambos lados de la ecuacidn, la soluci6n adquiere la forma

3e"-:-=K

donde l( = 6C. Si se quiere una forma explicita hay que despejar ), y asi se obtiene

/)'- 1.," '- *j

Hemos supuesto que y + O; .in "-tu.go,

y = 0 er una soiuci6n de la ecuaci6n diferencial, En ios siguientes ejemplos no se mencionan estas soluciones singulares.

EJEMPI,O 5 Resoher la ecuacidn diferencial 2.y - ,,- ut j' - 0 con r i o.

Soluci6n Podemos expresar la ecuaci6n en forma diferencial como

2] lr + (i(i, + 3j!) dy : 0

o bien 2y dx + \(r + 3') dr : 0.

Es posible separar las variables dividiendo entre )ry ambos lados de la fllima ecuaci6n.Esto da

, r, , (, , r),u_o. \J.i't\

o bien '-l -|l-lldJ =ox \ v/

Integrando cada t6rmino llegamos a las siguientes ecuaciones equivalentes:

2ln x +y+3ln l:.ln x'?+in yl3:c y

ln r'Yr: j-Y'

Cambiando a la forma expon€ncial,

x.l3="" i:ete y_ke-,

dond€ k : e'. Derivando puede demostrarse que

x'y1 :ks" o bien x2Y3e':k

es una soluci6n implicita de la ecuaci6n diferencial.

EJEl.tPl,O 6 Resolver la ecuacisn diferencial

,t r:r -rt +,',j',-o

CAPiIULo ]9 ECUACIONES DIFERENC]ALE5

Soluci6n Escribiendo la ecuaci6n en forma diferencial v luego separando las va

riables,

(1 + -r,:)di + (1 + r'z) dJ = 0

' ,.. I.J, o.l"

Inlegrando cada termino obrenemos la solucion (implicita)

tan'r+ra,r Lr-C.Pard enconrrar una ,olucion e\plrci a ,e oe,Deja r como sigue.

tan rl:C_lan tr

,},:tan(C-lanrr).Podemos cambiar la forma de esta ecuaci6n usando la l6rmula para la raneenre de ladiferencia de dos dngulos v asi

tan C tan (tan 1 r)I + tan C tan (tan- I -r)

Definiendo k = tanc y usando el hecho de qu€ (tan-rx) = )., puede escribirse

t-r] : a+ i.. '

}.=2r+6;r= j\+. Una trrJectoria ortogonel de una famllia decurvas es unacurva que cota perpendicularmente a todas las curvas de lafamilia. La discusi6n se restringe a curvas en el plano. Porejemplo, dada la familia/ = 2r. + b de todas las rectas dependiente 2, todas las rectas -| = lx + .con pendjente

I son trayectorias ortogonales. En la Figura 19.2 apare-cen varias curvas de ambas familias. Se dice que esias dosfamilias de curvas son rnutuamente ortogonales. Como otroejemplo,la familiat = mjr de todas las recras que pasan porel origen y la familia J.'] + l'? = a'] de todas las circunferen-cias con centro en el orig€n son mutuamente ortogonales (vaa

se la Figura 19.3).Los pares de familias de curvas mutuamente ortogona-

les aparecen muchas veces en las aplicaciones de las matemd-ticas a la flsica. En la teoria del electromagnetismo las lineasde fuerza asociadas a un campo dado son trayectorias ortogonales a las correspondientes curvas equipotenciaies. Demanera parecida, las lineas de corriente qu€ se estudian enaerodinemica e hidrodiniimica son trayeclorias ortogonales

^ las c$\as equipotenciales del canpa de velocidades. Co-

mo un nlrimo ejemplo, en el esiudio de la termodindmica el ilujo de calor a trav6s deuna superficie plana es ortogonal a las isotermas.

En el sieuiente ejemplo se iluslra un metodo para encontrar las irayectorias ortogo-nales de una fanilia de cu.vas.

re.l Ecudciones dtr€refciales sepdr€bes 991

EJEl.tPtO 7 Enconlrar las trayecrorias ortogonales de la familia de elipses r, +3y2 = c, y trazar r'arias curvas de cada familia.

SoluCir5n lerivanao impliciranente ta ecuaci6n dada, obtenemos

2j Fb, 0 o oien ;Por lo tanto, la pendienle de la recra rangente en un punto (x, _r) de alguna de las elip-seses.r, = -xl(31) Si d]/dir es Ia pendiente de la recta rangente en una trayecroria or-togonal correspondientc, entonces debe ser igual at negarivo det reciproco de /,. Estolle!a a la siguienle ecuacion dilerenciat para la familia de lrayecrorias orrogonates:

FIGURA 1'.4

EJEnqqoS 19.1

Ej€r.icios l-:lr (a) Obrenea la solucion gencral de lac.'m id d ir,-n(

". c lu. rela s.a i.amenr". roJ L .

cuent.e la solucidn parricular que salisiacc la condicion/:2cuando-v = 0.

1. r':3rr 2. r':\ 1

:. t': -]. 4. ) =l

Ejercl.ios 5{0: Demuestre que, es una soluci6n dela ecuaci6! dileren.ial dada.

5. r' 3I ..1-ll : ii -! = Cjd + ( r.r'6. I +:lI-0: I:C. r'

7- 2^rr+1. r : :u r=a,'

E. riir'+r':L/ 3r_r' lr:0: I=a\'

Separando las variables,

- Integrando y escribiendo la consianre de inregraci6n comoh kl, obtenemos

dr 3J

+=,+

ln r, = 3ln ).1 + In ,tl = ln li..,rrl.

Resulta que J = trr es una ecuaci6n de la lamjlia de trayectorias ortogonales. En laFigura 19.4 aparecen varias cuNas de la Ianilia de elipses (en tono oscuro) y 1as corres-pondientes trayectorias orlogonales (en tono claro).

,', i u. r. , i

dt -10. L, :'. ' r_:(

Ejcrcicio\ ll-26: Rc.Je rd la ecua.idn d.ttr.ncral.

ll. scc \ lr 2r l\ - {)

12. \r df csc :r.lr = 0

13. rlr )rr:01,1. 14 + ):l d: + 19 + rr)dr = 0

t5. 3r./r + (rr + 5r)dr : 0

t6. (rl :t:llA +(rrr +J)r/r:017. l:\ l+rI IlE. (r + rxl l], + (r + rrr)/! : 0

992 cApiTULo 19 . EcuACroN€s DTFERENcALEs

t9. l+lt dx e" ' tlr o 10. sec 2l dr cos'? r d) = 0i ) : z/6

20. cosxll )lr=0 cnndot=n/42t. i,(l +rr)f +rtr{l+y1)=0 11. (rr + x) l' + J4 + rr dv = 0i /:1zz. rry lrr=1 cuandox = 0,

23. rranr )"secr:o r:. _ay "t t',t, =0; J,:lcuandox = L24. r] l- 1i,1"r ln I : 0 33. cor r.tl (1 + ),)l\ :0; I : I25. ?l senx dJ - costr I ll = 0 cuan.tojr:0.26. sen)cos\lr+(l +senrr)dl=0 34. cscldr .'lt=0i _r=0cuandor:0.Diercicios 2?-34: Encu€ntr€ la solucidn parricular de trjercicios 35-40: Determin€ las lrayecrorias onoso-la euaci6n diferencialque satisrace la condici6n dada. nales a la familia de curvas. Trac€ las grrficas.

21.2!1!'=3y-t t= I cuardox:3. 3s. x:-v.:c 36. rr=c:1. .,".r' .,! = rr"r'; i =,1 cuando r = 9. 3?. .t,1 = cr 38. ), = cr:

29. rO (2r+l)e rdl=0i )=2cuandon= l. 19. ):=.rr 40. I=..'

fiEFl rcurctoNEs DrrERENclArEs uNEAr.Es

- DE PRIMER ORDEN

Las ecuaciones diferenciales del siguiente lipo aparecen muchas veces en el estudio delos fen6menos fisicos.

Una €curci6n diferencial linerl de primer orden es unaecuaci6n de la forma

Y'+P(x\r=QQ\

donde P y O son funciones continuas.

DEnNrCr6N 09.1)

Si en la Definici6n (19.1), Q(r) = 0paratodo-,r, se obtiene/' + P(tD, = 0quees separable. Concretamente, se pued€ escribir

l 'l,i pq;r o bien iJr pD,t'.j d, r

siempre que , + 0. Inteerando se obtiene

rn lr,l : JP(r)rr + rn lc .

La constant€ de jnt€graci6n s€ ha expresado como ln Cl para cambiar Ia forma de lafltima ecuaci6n. como sigue:

Ecu.cioner dit?rencial€s lineales de primer orden

f.lPnt ^ = c.Ahora se observa que

Dr [irerPG)'r] : I,?IP1')r'+ p(r)]eiP6)r"

: eJp1.)e[-y,+ p(r]tl.

Por lo tanto, si se multiplican por eJP('i?'.ambosladosde/' + P()r), = q(.r.), ta ecua-

ci6n r€sultante puede escdbirse como

D* [],€rPG)&l : o(r)eIPG' ^Integrando ambos lados de la ecuaci6n se obtien€ la siguiente soluci6n implicita de laecuacidn diferercial lineal de primer orden en la Definici6n (19.1):

foae" "" at , x' .t.donde 1< es una constante. Desp€jando , de esta ecuaci6n s€ obtiene una soluci6n expli-cita. Se dice que la exprcsi6n ,?JP(")a'es un frctor d€ integr.ci6n (o irtegrrlivo) de laecuaci6n diferencial. Qued6 demostrado el siCuiente resultado.

In lr ln c L : -lP(r),ix

i: .f"o'"l

= " r'r""

1n

TEOREIi{A (19.2) La ecuaci6n diferercial lineal de primer ordeD /' +P(.t), = 9(x) se puede tralsformat en utra ecuaci6n d!ferencial separable Eultiplic.ndo ambos lados de la ecua-

ci6[ poi el factor de integaci6n €iPG)/'.

UEA{PIO 1 Resolver la ecuaci6n dife rcnciat !* - *'t - xz.

Soluci6n La ecuacidn diferencial tiene la forma en la Definici6n (19.1) con P(.') =-3xz y Q@\ = )r2. Segtn el Teorema (19.2),

e! 3'ztt e-'1.

es un factor integrativo. No necesitamos intrcducir una constante de integraci6n por-que e '3

+ " : e"e ", que difiere de e '" en un factor coosta e €'. Multiplicando am_

bos lados de la ecuaci6n difer€ncial por el factor de iniegraci6n ? ", obtenemos

",f z,:" 'i! = xze "D,\e-"i: *e-".

Integrando ambos lados de la iltima ecuaci6n,

"-"y: t,"" { dx= -!e } +c.

994 capiluLo 19 . tcuActoN€s DjFERENCTALES

Finalmente, multiplicando por e" obtenernos la soluci6n explicita

,v- :+Ce''.

EJEMPIO I Resolver ta ecuaci6n diferencial x2y' + 5x] + 3r5:0 si r*0.Soluci6n para encontrar un factor ale inlegraci6n, comenzamos expresando la ecua-ci6n diferencial en la forma tipica de (19.1) cor el coeficienie de/' igual a 1. Asi, divi-diendo ambos lados entre x2, obtenemos

.5t'+: ! : 3xr.

que tiene la forma de (19.1) cor P(n) = 5/r. Seenn el Teorerna (19.2),

es un lactor de inregracion. Si ) > 0. enronces l.y ' - xr. y six < 0. entonces x'--x5. En los dos casos, multiplicando ambos lados de la f6rma tipica por xl5, ob-

r5]'+5xal: 3r3

o bien D, (r5l) : -3ir3-Integrando ambos miembros de la iliima ecuaci6n llegamos a la soluci6n

,,- l- r,'a,J - ll(raCobien r:-t+F.

UEr!^PLO ! Resolver la ecuaci6n diferencial

1 + ],tanx = secr + 2r cosj.-

Soluci6n Se tlata de una ecuaci6n diferencial lineal de primer orden (v6ase la Definici6n (19.1)). S€efn el Teorena (19.2),

eJunrr' _ eh "."' = secx,

es un factor de inlegraci6n. Multiplicando por sec x ambos lados de la ecuaci6n dife-rencial y quitando el valor absoluto, obtenemos

l' secr. + ,r sect tant = seczx + 2r cos ): sec).

'r(rsecir)-seczx+2x'Integrando ambos lados llegamos a la soluci6n (implicita)

7 secr = tanr + n2 + C.

1t.2 Lc ro' o-€s o e el{,6res.:eate,ae V ret ad.r

Finalmente, multiplicando ambos lados de esta iltima ecuaci6n por l/secr = cost,se obtiene la soluci6n explicila

I - senx + (r'] + c) cosr.

995

,*, PLluo FN Et

r/ - oLrE 5E DEr\ .r ER

I

L

Arteriormenle se utiliz6la antiderivaci6n para deducir leyes del movimiento de uncuerpo €n caida, slrponiendo que puede despreciarse la friccidn del aire (v6ase el Ejem-plo 4 de la Seccidn 4.7). Esta suposici6n es vdlida para cuerpos pequenos que se mue-ven lenlamente; sin embargo, en muchos casos hay que tomar en cuenta Ia friccidn delaire. Esta fuerza a menudo crece cuando la velocidad del objeto aumetua. Erel siguienteejernplo se deduce la l€y del movimiento para la caida de un cuerpo suponiendo queel rozami€nto del aire es direclamente proporcional a ia velocidad del cuerpo.

EJE^{P[O 4 S€ deja caer un objeto de masa rn desde un globo de aire caliente. Cal-cular ladistancia que recorre en t segundos suponiendo que la fuerzade fricci6n debidaal aire es dir€ctamente proporcional a la velocidad del obj€to.

Soluci6n tntroducimos un €je vertical con la direcci6npositiva hacia abajo y el origen en el punto donde s€ deja caer

el objeto, como seilustra en la Figura 19.5. Se desea calcularla distancia s(l) del origen al objeto al tiempo t. La veloci-dad del cuerpo es r = s'(t) y la magnitud de la aceleraci6nes a = dv/dt = .r"(/). Si u es Ia aceleraci6n de la gravedad,entonces el objeto es atraido hacia la Tierra con una fuerzade magnitud rra. Por hip6tesis, la fuerza de fricci6n debidaal aire es kr para una conslante *, y su direcci6n es opues-ia al movimicnlo. Resulta qu€ la fuerza -Fhacia abajo sobre

ei objeto es 'n(/ - kv. Como 1a ses nda ley del movimiento de Newton afirma que F =

na : n ( dr / dt\, ll€gamos a la sisuieme ecuacion diferencial:

Si denotamos por c la constal:'te k/m, esta ecuaci6n puede escdbitse como

d1)

dt+ct=g'que es una ecuaci6n diferencial de primer orden con I como variable independierte.

Segfn (19.2),

elt tu e\t

es un factor de integraci6n. Multiplicando por e'r ambos lados de esta iltima ecuaci6n,

D, O,"J = se" .

o equivalenlemente,

0: K:

Por consiguiente,

t:! le ".

lntegrando con respecto a 1€n ambos lados de esta ecuaci6n y usando el hecho de quev - s'(t), vemos que

,1t1:st1le "'yr.

Podemos calcular la constante E considerando / = 0. Como s(0) = 0,

n-0 1 L obien t- e-.

Por lo tanto, la distancia que el objeto recorre en I segundos es

41: g t+!n" -!Es interesante comparar esta f6rmula para s(r) con la que se obtuvo cuando se despre-ci6 la fricci6n del aire. En este caso la ecuaci6n diferencial m(dv/dt) = ms ky serednce a dy/dt = g. y por io tanto, r'(t) - v = r/. Inregrando en ambos lados se ob-tiene la f6rmula s(r): irrr , qu€ es mucho mes simple.

I egrando en ambos miembros,

uo":!u" a 11

donde .rY es una constante.Si tomamos I = 0, entonces y -

o Dien u:q+(€-',

0 y por lo tanto,

EJEI{PI,O 5 Un circnito electrico sencillo consta de una re-si\rencia R y una indDclancia a con€ctadas en scrie, comose iluslra esquemdticamente en Ia Figura 19.6, yse aplica unatensi6n (o vohaje) constante Z Si el interrupLor S se cierracuando t = 0, entonces puede deducirse por una de las leyesde Kirchhoff para los circuitos electricos, que para I > O, lacorriente 1 satisface la ecuacidn diferencial

_q9+r u

t-lL d:.+ RI= V.

Exp.esar 1 como una funcidn de t.

Solucir5n La ecuaci6n diferencial puede escribirse

a;*iI: r.'

no hay inductancia.

EJERCTCTOS 19.2

Ejercicios r-22: Resuelva la ecuaci6n difereocial.

r9.,r Ecuaciones direrencial€s lifeares de primer orde. 997

que es una ecuaci6n diferencial lineal de primer orden. De acuerdo cor el Teorema (19.2),multipiicamos ambos lados por el factor de intearaci6n pirR[)e: e1^'')'y obtenemos

",^, ",' ! * | "," "'' = ! ",^,""

D,lretRtrl -Y eo.iL,

Integrando coII respecto a ,,

,"", 1i...,0, i",,_cComo 1 = 0 cuando I = 0, resulta que C = -v/ R. Sustituyendo C llegamos a

1o,,,", : ! ",^,,,, v

RRFinalmente, multiplicando por e-(x/z)'ambos lados de la isualdad, tenemos que

vt ol . ""JSe observa que cuando I liende a infinito, l tiende a //R que es la corriente cuando

l. f +1!=.)' 2. r' 3l :2t- i, +)colr=cscr

22, y' + ,v tan r : cos3 x

Eiercicios 23-26: Encuenrre la soluci6n particulal dela ecuact6n que satisface la condicidn dada.

23, r)'-t=r':+ri i=2cuandox= l.21. | +2r=e I'r r=2oandor= 0.

25. rr'+ r + rI =. 'i t-ocuddot= l.26. r'+ 2r) - e -'= ai ): l cuando.! = 0.

Ejercicios 2?-2t: Resuelva la ecuaci6n diferencial(a) lsmdo utr factor de inr€saci6n; (b) sepdddo las

27. La ecuaci6n diferencial

o{9*9=,dtadescribe la carsa O en un condensadoi eldctrico d€ capacidad c dunnte el proceso de carga,cuando hay una resistencia I y una tensidn apli-cada Z. Suponiendo que la carga es 0 cuandor : 0, exprese O colro una fuflci6n de /.

28. La ecuacidtr diferencial

5 x]'+ r + r = c' 6. ry'+ (1 + -\)l: 5

7. r':d)+(2a) e')l}=0E.xxdl+(l-3Jl+1)d\:oL y' + ).co! n = 4r: csc x

l{1. }'+)tanr=sen\11. (' senx 2l.]I+cosrl]=0l?. {::r l)l-\ + }r dr = 0

ll. (r':cosr +i)dx - rlr =0

15. xr'+(2+3rll=r? t16. (r +,1)]" + 5r': x':+ 8\ r_ 16

17, r r) + 21,: llE, l 5t: e5-

19. tan r d] + (r scnr) dx = 0

r0. cosrdl -(,senr +€')dr :o:1. t +3r2t:rr+e'"

998 cApillLo 19 . ECUAcToNEs DTFERENcTALES

describe un circuilo el€clrico en el que se tienenuna tensi6n aplicada Z, una resistencia R y unacapacitacia C conectadas en serie. Exprese 1 co-mo una funci6n de I suponiendo que ,a = /ocuaido r : 0, y que fes constante,

lc. AI tiempo r : 0, un ianque contiene .K kilogramos de sal disuelta en Eolnros (L) de aeua. S€

vierte al tanque, agua con l/12 de kilogramo d€.al portrro d rd6n de6 L min ) ld,olucion brnnezclada se sacadel tanque con la misma inlen-sidad. Encuentre una f6rmula para la cantidad

/(r) de sal que hay en el tanque al lienpo l.

iil. Un objelo de masa d qxe se mueve sobre unarecta coordenada estA sujeto a una fuerza dadapor F(/) = p'' al ri€mpo r. A1 novimi€lro se

opone una fuerza de fricci6n cuya rnagnnud es

rsuai al doble de la \elocidad rrapide, de cbje-to, Suponiendo que, = 0 cuando I = 0, e!-cuenre una l6rmula que de,emine y a cualqu'e_

.l L Pare describi la rapidez con que se adquiere unahabilidad se usa una crrra de aprcndizqie. Potejemplo, supongamos que un fabricanle calculaque un nuero opetuio producir; 4 objero'elpn-me.diade trabajo y quecuando va adquiriendoexperiencia, producili los objetos mas lipidamenie hasta que produzca un maximo de Mob-jeros por dia. Sea /(r) la cantidad de dticulosproducidos el dja r para r > 1, y suponga queel ritmo de producci6n / (/) es p.oporcionat a

(a) obtensa una frtrmula para /(1).(b) sJponjendo que \-r' l0, /(l) r r /(2)

8, estine el ntnero de objelos producidos en

el vissimo dia.

.1:. Una habitaci6n mide 3.5 m x 5m x 3mycon-ti€ne orisinalnenle 0.001 qo de mon6xido d€ carbono (CO) er elane anbiente. Ai liempo / = 0,entran a la habitacidn hunos con 5qo de CO a

rz6n de 0.004nr/nin. Elaire bien nezclado se

exrrae del cuarto con la nisma intensidad.(a) Encuenbe una fdrmula pea el volunen

/(1) de CO que hay en la habitaci6n al tiem'

(b) El minimo nivel de CO que se consjdera pe-

lsroso prra lr )alud e( 0.015d0. . De.puasde aproximadameDle curntos minuros .on'tendre h habitacidn esle nivel de CO?

ll , El modelo de von Beriaianffy para el crecimien-to de un animal considera que hay una cota su

perior del. cm de Ioncitud para la longitud/ a

ld edad de I dio'. Se.upone que ld ra'd de creci

miento es proporcionala la lorsitud va alcanza'

dd. Obrenea la 'olucion eeneral de la e.uaooldiferencial resultante.

34. Una cdlula este en un liquido que conriene un so-

lu o, como el pora\io. con unaconstante.o. Si c(/) es la concentracion del so-

luro denrio de la celula al uempo t. elp.ra.,prode Fat para dilusidn pasiva a trav6s de Ia membrana celular establece que la rapidez con que varia Ia concentracj6n es propotcional al gradientede Ia.oncentaci6n ca- c (l). Delermine c(t)Para c(0) = 0

3s. Muchos medicam€nlos comunes (como algunostipos de penicilina) se eliminan de la orriente sangu nea con und '"r,de/

propo,c onal a la.dnr.

{a} Demuestre que si se inyectan -ro miligramos(mc) direclamente a la corriente sansuinea,entonces -y = /oe i'para k > 0.

(bl Sr elmedicamenro se admini.lra por \ ra rn

travenosa a raz6n de 1nglmin. entonces

-v = -kf + /. Suponiendo quer : 0 cuan-do r = 0, exprese y como una funcion de/, y calcule lim,--,.

(c) La semivida (o "vida media") del medica'mento en la sangre es de 2b. Estime la fre'cuencia con que hay qu€ inyeclar para quea la larga haya 10omg en la sangre.

36 En la ligura se muest.a un sislena de dos ian-ques por los que €l asua €nlra y sale a raz6n de5 L/min. Cada tinque contiene 50 litros (L)

(a) S€ nez.la I kg detinre con elasua delTanque l. Sea r(r) la cantidad de tinte en eltarque I minuros despuds. Demueslre que

''(r) = -0.1r{r)yquer(/) = e orDe acuerdo co! el resultado de ta parre (a),cl tinte enfa en elTanque 2 a -aztu de 5

+ J(/) : 0.1e_0rrkc/min. Demuesr.e que

(b)

Ecuaciones dlferenciales lin€al€s de seguido orden

si l(r) es la cantidad de tinte en el Tdque2 despues de r minulos. entonces r,'(/) =

0.1-y(r) + 0.le-017. Suponsa que/{0) =

G)

{d)

icuel es la canlidad maxima d€ linte en el

Tanque 2?

Resuelva la Ddle (b) suDoniendo que el Tdque 2 dene un volumen de,rcL.

lEFl rcurcroNEs DTFERENcTATES uNEAtEs

- DE SEGUNDO OR.DEN

La siguiente definici6n es una generalizaci6n de (19.1).

oenxrcr6x 1tr.l1

Se puede encontrar un andlisis a fondo de (19 3) en textos de ecuaciones difeiencia-les. En este libro la discusi6n se restringe a ecuaciones de segundo orden en las que

"fly, son funciones constantes, En esta seccidn se considera el caso homog€leo Las

ecuaciones no homog6n€as se discutirrin €n la siguiente secci6n Las aplicaciones se con_

sideran en la Secci6n 19.5.La forma general de la ecuaci6n diferencial lin€al homog€nea d€ segundo orden

con coeficient€s constantes es

I"+bf'+.-r:0donde , y c son constantes. Antes de tratar de obtener soluciones particular€s se de-

muestra ,'l siguiente resultado

TEOREMA (19.4) Si/ = /(x) y J, = 9(x) son soluciones de l" + Z'l' +r/ = 0, entonces

y=CJe)+CzsG)€s una soluci6n para todos los Dlmeros reales Cr y C2.

D€mostraci6n como /(r) y ,()r) son soluciones de l" + b!' + c! = o,

/"{r) + }/'(r) +.J(!): o

Una ecurciStr dil€iencirl lin€sl de ordetr ,! es una ecua-

cidn de la forma

r(" +f(xrtt'u + + f,-t@)t +InG)r= k(x\

donde

^, fz, . . ., , y ,k son funciones de una vadable

que tienen el mismo dominio. Si &(t) = 0 para todo ,r,

se dice que la ecuacidn es homog6neo. Si k(x) + 0 para

algtn x, \e dice que la ecuacidn es no bomogdtrea.

1000 CApiTUro 19 . rcuecoNes orrrnrlc;E

v

r"(') + te'(r)+ ca{r) : 0.

Si se multiplica la primera ecuacidn por Cr, la segunda por C2 y se suman, el resultadoes

lc j l' (x) + c $,, (xJl + t,[c, /,{j!) + c,s,(r)] + .[c,llr) + c,s(r)l : 0.Por lo ranLo. Crl(r) I Crg(r) e. una soluci6n.

,.Sepuededemosrrarquesjlassotuciones/yqenelTeoremat19.4)tienentapropie.dad de que /tx) + C!{ I ) para rodo n{imero real a. y si V(x} no es idenricament; O,entorces/=Crl('r)+Cr9(x)estasoluci6ngeneraldetaecuaci6ndiferencialr,,+by' + cy = 6. p6s 1un1o, paraencontrarla solucidn general basraobrener dos ae e"t."funciones /y s y apticar (19.4).

En la bisqueda de una soluci6n dej," + b) + c| = 0. se usar6 v = e-, cornosoluci6n de prueba. Como J' = metu y !' = m2 enx, resulta que ! = e-res una so_luci6n si y sdlo si

m,en\ + bnenx + cenx oo bien, como e" + 0, si y s6lo si

t2+bn+c:OLa fltima ecu?ci.jfl es muy importante para encontrar las solu€iones de /,, + b], +c/ = 0, y se le da el si8rliente nombte especial-

DEFTNtCt6N (19.5) La ecurcidn suxilisr de una ecuaci6n diferencial r" +bj' + c)' : O es m2 + bm + c = O.

. - Obsdrvese que Ia ecuaci6-n auxiliar se puede obtener a partir de la ecuacidn diferen_cial reemplazandol" por m2,y por my y por t. En los casos mds sencillos las micesd€ la ecuacidn auxiliar pueden encontrarse factorizando. Si no es evident" ; f""t;;;;:ci6n, eltonces aplicando la f6rmula para resolver

""r""ion"" d. ."gr";;;;J;:;;l

tiene que las taices son

b!,Jb'1-4t

Dr modo que la ecuacidn auxiliar tiene dos raices distintas l,?r y nr, tna fti] rcaI do-ble n. o dos raices complejas conjugadas si ,l - + es pos;rluo. c.io o n.gatiuo. .es_p€ctivamente. El siguiente teorema es consecu€ncia dit comentario q""-;igr;';;danostraci6n del Teorema (19.4).

Si las raices rrr y m2 de Ia ecuaci6n auxitiar son realesy disdnras, enronces la sotuci6n general deJ,,' r bl _

TEOREMA (19.6)

tr.r i.uu.'on", o.r.,"n.",", r,*ii" ,"fnoo o,ai 100t

lrltl9 t Resolver la ecuacidn dife rcnciat J,, - 3], , to! = 0.

lo_,:o,On _*.tu""ouelaecuacion auxrriaresl,,- 3,n _ t0 0, oequivalenre-mell.te, (n s)tn + 2) = 0. Como las rarceras. resurra dei r eorema ,,;n;;;;,:;i;;;ft.;J/.:, - -2 5on reare( y dlrin.

j: c(5x + c2e-,' -

TEOREA{A (19.7)

?,"T"::r"*1 Las rarces de m2 r bm + c -.0 son n _ (_D= ,b, 4,t/2.siD.-, - 4c -. o, se obriene n __ _b/2 o lrien 2n + b _ 0.."_" _1"',it"*-il,.1"ijcron auxiliar, / _ ?4, es una soluci6n de Ia eruaci6n diferencial. il;;*rd;;;icomentario que siguio a la demosrracion det Teore." , t9.4), b*," ;r;;;;;;;_.;;;tambiin es sotucidn. Susriruyendo I por ,."* * r. *""jo"l: i 6r: l"'.i _. ;:*(2ne-' + mlxe.') + b(mxe-' + e..) + cxe-,

: (n, + bn + c)xe"' + (2m + bJe^,: ox"dr + oe'r : 0,

que es lo que s€ qu€ria demostrar.

EJEA.{PI,O ! Resolver la ecuacidn difere n i^t r,, _ 6}, + 9r = O.

Soluci5n 16 e6u6.;6n auxiliar m) - 6z r 9 = 0, o equivalenrememe. rz _ lrl =0. riene una raiz doble. 3. por to ranto. segin et T".r;r"ilr.;:l;r;l;:1il;.J;;.), : C1?3r + C,ire3r _ €3.(Cr + Crr).

Se pueden considerar tambidn ecuacion€s diferenciales de la forrna

or,'+br,+cr:Odonde a r. l. Es posible llegar a la forma en los Teorcmas (19.6) y (19.7) dividiendo

ECUACIONES DIFERENCIALES

entre a ambos lados de la ecuacidn, sin embargo, nolmalmente es mes fdcil utilizar la

ecuaci6n auxiliar

am2+bm+c=0como se ilustra en el sigui€nte ejemplo.

EJEMPTO 3 Resolver la ecuaci6n difere cial6)," - ly' + 2y = 0,

Soluci6n La ecuaci 6n arljllEd 6nz -1n +2 = 0 puede factorizarse como sigue:

(2n - 1\(3n 2) = 0.

Por lo tanto, las raices son \ - + y n2 = :. De acuerdo con el Teorema (19.6),

la soluci6r general de la ecuaci6n dada es

t=Cte'/2+crezx/r

El ltimo caso que se considera es en el que las raices de la ecuacidn auxiliar m2 +bn + c = o de r" + b! + cy = 0 son nnmeros complejos. Estos nimeros se pue-

den representar por exprcsiones de la forma d + bi, donde a y 6 son nnmeros reales

y el simbolo i se trata como un numero real, con la propiedad adicional de que i'? =-1. Sedice que dos nimeros complejos a + riyc + di son iguales, y se escribe l? +,i = c + di, si y s6lo si a = c y b = d. Las operaciones de suma, resta, multiplicaci6n y divisi6n se definen cotro.ti todos los simbolos literales denotaran nrimelos reales, con la condici6n adicional de qu€ siempre que aparezca i2, se debe reemplazar por

-1. Por ejemplo, las f6rmulas para la suma y el producto de dos nimeros complejosa+biyc+dison

(d + bt) + (c + li) = (a + c) + (b + d)i

ld + hi)i( + diJ : lac bd) + (ad + b.)i.

Los nfmeros reales pueden considerars€ como un subconjunto de los nlmeroscomplejos identificando ei nfmero real a con el nimero complejo a + 0i. Un nfme'ro complejo de la forma 0 + ti se abrevia por ri.

Los nimeros complejos se necesitan muchas v€ces para resolver ecuaciones de laforma /().) = 0, donde /(x) es un polinomio. Por €jemplo, si s6lo se permiten nrime_

ros reales, la ecuaci6n tl = -4 no tierc soluci6n. Sin embargo, si pueden utilizarselos nfmeros complejos, entorces la ecuaci6n tiene la solucidn 2i pues

(2i)'z= 22i2 = 4et) = -4'Anrilogamente, -2i tambi€n es soluci6n de ).'z = -4.

Como l2 - l, a !ece\ \e urilira el limbolo, -ien terdeiy 'e e,cribe

, rJ . rJ,. l-..5 -: r ,-,-: :,.

etcetera. Una ecuaci6n cuad iticaax2 + bx + c = 0, dond€ a, r y c son nimeros rea-

les y d + 0, tiene las raices dadas por la f6rmula

Fc!aciones d ler€nclates ltfe6les de segundo orden

"_ !!rt l!:')aSi b'1 - aac < 0, entonces las raices son nimeros complejos. Por €j€nplo, si se aplicala f6rmula para resolver ecuacion€s de seeundo grado a la ecuaci6n x2 - 4r + 13 = 0,

4 .16 5.2 4+. lt 4,o,' - -)i li:2)"

Por tanto, la ecuaci6n ti€ne las dos raices complejas 2 + 3i y 2 - 3i.Se dice que el nimero complejo d - ,ies el conjugado del ntmero comple.io a + ,i.

De la f6rmula para resolver ecuaciones de segundo grado se ve que si una ecuaci6n cua-drAtica tiene raices complejas, 6stas son necesariamente conjugadas entre si.

Resulta de la discusi6n arterior que si la ecuaci6n auxiliar n 2 + bm + c = Odela y" + bf + .y = 0 tiene raices complejas, entonces son de la forma

al-r+li z2=s-lidonde r y 1 son ntmeros reales. Puede predecirse del Teorema (19.6) que la soluci6rgeneral de la ecuaci6n diferercial es

j : c c," + c,e-' : crec+'i)r + c2eG,i)r.

Para definir exponentes complejos hay que generalizar algunos de los conceptosdel cdlculo incluyendo funciones cuyo dominio tenga nfmeros complejos. Como un de-

sarrollo complelo requiere m€todos mas avanzados, solamente se esbozaran las ideasprincipales.

En la Seccidn 11.8 se vio c6mo ciertas funciones pueden representarse medianteseries de polencias. Las definiciones y los teoremas del Capitulo ll se pueden generali-zar facilmente a series infinitas en las que aparecen nnmeros complejos. Por este moti-vo, se usaren las representaciones en seies de potenci^s (11.43\ pala deJinb e', ser z) cos. para ,odo nnmero complejo z como sigue.

FUNCTONES Dt (19,8)z=a+bi

Usando la p mera f6rmula en (19.8) se obtiene

tiz): lrzlr (rz)n li:)'! -lrr'7r!.2: , l - q: - s:

,

t' r-t' ), r l'J'r r 4' r'5'+

ez=7+zri* .*i* '

*". - ,-;, !: - ' t ,Y ,ri: ,lr .

co\z ']i-+-- '(r! i.,: '

1004 cApiTULo 19 . EcuActoNEs DIFER€NCTALEs

Como i': = -1, i\ = -i, i4 = l, ir = i, eic€tera, se ve que

"":t+b ; ,';.;.,:-

que se puede escribir en la forma

/:': \,-lt' \' :: 4l / '\ l: s )Si s€ usan ahora las fdrmulas para cos z y sen z en (19.8), se obiiene el siSuiente resultado que lleva el nombre del matemrtico suizo Leonhard Euler (1707-1783).

FOR|{[/!A DE EUIER (19.9) Para todo nimero complejo z,

eh:cosz+isenz,

Las Leyes de los Exponentes se satisfacen para ios ntmeros complejos. AdemAs,lss fdrmulas para derivadas se pueden generalizar a las funciones de una valiable com-pteja z.Pot ejemplo, D.er' = ,/rer' para todo nrimero complejo ,t. Si la ecuaci6n auxiliat !" + bt' + c, = 0 tiene raices complejas .r a tl, entonces la soluci6n general dela ecuaci6n diferencial puede escribirse como

l, : CrtG+'0r + Czec 'r)r: C1?s+ti + c:eir ti: c (sekt + (' zese Et

o equivalentemente,

J : 1*(c1er'" + c,e r'")

Esto se simplifica mas usando la F6rmula de Euler. Concretamente, de (19.9) se ve qu€

rr'" : cos rx + isen ri.

c " -co.tr i.enrtde lo cual se deduce que

enr+? nrcoslr_ , senti= _.

Tomando Cr = C2 = i e la discusi6n an erior y usando lueso la f6rmula para

r-1'1.l"'r ''t

- ie"'(2 cos rr) : ?,' cos r_,..

Por lo lanto, / = e*cos ft es una soluci6n particular de y' + Ztf' + q, = 0- Toman'

Ecuaciones dif?r€nciaes tineates d€ s?S!ndo orden

do Cr = _C2 = i/2 se llega a la soluci6n particular/ = essentr. Esta es una demos-traci6n parcial del siguiente teorema.

TEOREMA (19,10) Si la ecuaci6n auxiliar m2 + bm + c = 0 tiene dos rai-€es complejas distintas,r t ti, entonces la soluci6d gene-ralde/"+bJ'+cr=}es

y: es(Ctcoslx + Czsentxl.

EJE^{P|,O 4 Resolver la ecuacidn difer€ncial /" - tjr' + 41r - o.

Sofuci6n Las raices de la ecuaci6n aLxiliar m2 - lom + 4t = 0 son

EJERCTCTOS 19.3Ejercicios r-22r Resuelva la @uaci6D diferencial.

r01 j 64=5+4i.

) = esr(c)cos4x + c2sen4r).

Ejercicios 23-30: Encuentre la solucidn particula. dela ecuaci6n direrencial que satisface las condiciones

2j, t" 3t'+2!:Ot!= 0y/':2cuando

24. !" - 2!' + ! = 0: ! = I y-r' = 2cuando

25. !'+J=0i!= |y! =2cuando.r=0.26. !" r' 6J = qr :0 y y' = l cuandox = 0.

21. !" + 8! +16/=0;,=2yr'=Icuando

2a. !" +5!=0i!=4y! =2cuandor=0.l':L Jt dt:9. --l

+51 :0i J:0 y :l

J':r at .1J0, - 6-1+ llr:0 r:2 v -1=l

l0 t,rl00 164 r0t8;

De acuerdo con el Teorema (19.10), la soluci6n seneral de Ia ecuaci6n diferencial es

l. l" 5] +6)=03. _r" :l_r' = 0

5. l'+ 4y + 4.r:07. y"-41 +r=09. 1 +2!!i +2',:0

10. 4r" + 20r'+ 25!:0Il. 8I +2) l5r=0ll. 9l - 24t + l6t:015.2y 4y+r=017. t 2t +2f=O19. r" ,1v'+ llr = 0

21. ,tJ+61 +2r =0

l,I. r+:d +6r -0

2. { r' 2t=O:1. f" + 6r'+ 3I:06. f 4i'+1!=oE. 6) -71'-lr=0

12. l"+4l +):0t4. 4l' A! + 1r:O16. 2! +7! =OlE. )'- 2)'+ 5) = 0

20. ), +,1 = 0

ECUACIONES DIFEREN'IALES

llp rculcroNEs. DTFERENcTATEs uNEArEs

D! = y =.f'(x) y D'zt=! =f (x).

Usando l, la ecuacidn diferencial /" + b!' + c! - ,t(ir) puede escribirse en laforma compacta l, ( I ) - ,t().). En los Ejercicios 19 y 20 se pide verificar que para todonimero real C

L(C!\ = CL(y)

y que si ),r = hG) y yz = /,(.,.), entorces

L(yt!)2, = L(rj)tL(J).Dada la ecuaci6r diferenclal y" + by' + cr - k(x), es d€cir Z(/) = t(r), se

dice que la correspondiente ecuaci6n homog6near("/) = 0 es Ia €cuaci6n complem€n-

- k(x\ y L(y) =

L(rp) + L(y") =

NO HOMOGENEAS

En esta secci6n se consideran las €cuaciones diferenciales lineales no homog6neas desegundo orden con coeficientes constantes; es decir, las ecuaciones de la forma

Y"+b:t'+cY=k(x)dorde , y c son constantes y f es una funci6n continua.

Es conveniente utilizar los simbolos D y D2 para los operadores diferenciales ra-les que si t = /().), €ntorces

DEFTNTCT6N (19.11)

TEoRE|tA (19.121

Demoslraci6n como L(rp)

L(rp + !"t =

Si .,, = /(r) y /" existe, entonces el operador difercd-cial linerl Z = Dz - bD - c se deline por

L(t, = @'z + bD + c)r = D2y + bDy + cy=!'+bt'+c!.

sea !" + br' + cy = k(x) una ecuacidn diferenciallineal homogenea de segundo orden. Si )p es una solu-ci6n particular deZ(/) = k(r) y si/" es la solucidn ge-

neral de la ecuaci6n complementaria Z(t) = 0, enton-ces la soluci6n general de L(t) = k(x\ es t = J'e + rc.

0,

k(x\ + 0: k(xr,

te.4 EcLrdciones d rer€n€idtes iinea es no homoganeas 1007

lo cual signilica qu€ /p + 1,. es una solucidn de Z (y) = t(x). Mris arin, si / = /(x)es cualquier olra soluci6n, entonces

L(r - r) = L(J\ - L(J) = k(.,r) - *()r) = 0.

Por lo tanto,, /p es una soluci6n de la ecuaci6n complem€ntaria. De modo que,l -!, = !. pala alg]ur'a tc, que es lo que se queria demostrar.

Usando los resultados d€ Ia Secci6n 19.3 para enconrrar Ia solucidn g€neral /c deZ(-/) = 0, entonces de acuerdo con el Teorema (t9.12), lo nico que se necesita paradeterminar la soluci6n seneral de Z(/) = ,t(x) es rnd soluci6n particutar /".

EJEl,lPlO 1 Resolver la ecuaci6n diferencial -y" - 4! = 6x - 4xJ.

Solucir5n eor inspecci6n vemos que /p = x3 es una soluci6n particular de la €cua-ci6n dada. La ecuacion complementaria est" - 4) = 0, que segtin el Teorema (19.6),tiene la solucidn general

!, - c)e2" + cze z'.

Aplicando el Teorema (19.12), la soluci6n general de la ecuaci6n no homog6nea dada es

|=cez*+c1ez'+xt

Si no puede encontrarse rlinguna soluci6n particular de /" + by' + cf = k(x)por inspecci6n, entonces es posible utiiizar ei siguiente m6todo, llanado variaci6n d€panimetros. Dada la ecuaci6n diferencial t(/) = ,t(.ir), sean I y /2 las expresionesque aparecen en la soluci6n general I = q y t + C)yz de ta ecuaci6n complementariaa(.v) = 0. Por ejemplo, pueden ser como en (19.6), tt = e-,r y J2 = e-,'. Ahorase trata de erconrrar una soluci6n particular de r(J) = r(]) con la lorma

le=ujl+\'Yzdonde,l = g().) y v = i,(r) para funciones 4 y r. La primera y segunda derivadas

h\. t,)rl; : (rli + r-r!) + (!')i + ti"r) + tr'-l', + u'jJ'

Suitituyendo estas expresiones en Z(),r) = t; + bJ; + c% y ordenando los t6rmi-

L(t)=u('"'; + ht't + .f,l +r(_r!+rD+.rr)+ b(!'], + r'),,) + (!'}- + r']')' + 1,'),i + ,'y!).

Como J,l y /2 son soluciones de J" + by + cy = 0, los dos primeros l6rminos dellado derecho son 0. Por Io tanto, para obtener Z("yp) = ,t(r) basta escoger ll y y qu€satisfagan

n]1 + r'I2:0u,)t\ + r,y,,: k(x).

CAPi]ULO 19 . ECUACIONEs DIIEREI.TCI,\IES

Puede demostrarse que este sistema de ecuaciones siempre tiene una soluci6n inica pa-ra !' y v'. Entonc€s, pueden determinarce , y y integrando y usar el hecho de que/, =r.r}l + v)r'2 para tener una soluci6n particular de la ecuacidn diferencial. La discusi6npuede resumirse como sigue.

YARTACT6N DE (19.131PARAMETROS

Si ! : Ct\ + C2fr es la soluci6n genenl de la ecua-ci6r complementaria Z(y) = 0 de y" + b!' + c! -k(t), €donces una soluci6n particular de r(/) = /r(x,es lp = u\ + t'12, donde u = 9(r) y y : r(x) satis-facen el siguiente sistema de ecuaciones:

u'h+Y'Yz=0u'ri+v');=k(x\,

EJE^.IPIO 2 Resolver la ecuaci6n diferencial /" + , = cotx.

SolUCi6n Laecuacidncomplemenlariaes.r, I / = 0.Comolaecuaci6nauxitiartn ' - I = 0 tiene raices rl. vemos del Teorema {19.10) que Ia solucion general d€ laecuacidn diferenciai homogtnea ) + y = 0es/ = q cos)r + C2sen}. Ahora bus-camos una soluci6n pariicular de la ecuaci6n diferencial de la forma l, = uy + vy1con } = cosx y /r - sen x. El silLema de ecuaciones det Teorema ( t9. i J, es por tanro

u'cos t + y'senx:0-r'sen)a + y'cos.x : cot.t.

Despejando r' y y', resulta

r.t' = -cosx, v' = csc; - senr-

Si in.egramos cada una de esias expresiones (y eliminamos las constantes de inregra-ci6n), obtenemos

, = -senr, y = lnlcsc)r- cot.rl + cosr.

Segin el Teorema (19.13), una solucidn particular de la ecuaci6n dada es

,/, = -senr cosr + senx ln lcsc' - cot.xl + sen; cosno bien

/p = sent ln lcsci - cot.tl.

Finalmente, de acuerdo con el Teorema (l 9. l2), la soluci6n sereral de / " + ,r : cot r es

/ = Crcosx + C2sen.x + senrln lcsci - cotrl.

Dada la ecuaci6n diferencial

L\r)=f +b!'+c!=e"t

Ecuaconei diterencidles hneales no llomogeneas

donde e"* no es una soluci'n de L(y) = 0, parece razonable €sperar que exista unasoluci6n particular de la forma r, - ,4?"x, pues €'r es el resultado d€ encontrarZ(,4e"x). Esto sugiere usar ?4e'* como una soluci6n de prueba en la ecuacion dada ytratar de hailar el valor del coeficiente,4. Este es el llamado m6todo de coeficientesindei€rminados y se iluslra en el siauienle €j€mplo.

lrEMPl,O 3 Resolver la ecuacion diferencial l" + 2y - 8y = e1'.

Soluci6n La ecuaci6n auxiliar mr + 2n - 8 = 0 de la ecuaci6n diferencial/" +21,'- 8) = 0 tiene las raices 2 y -4. Segin el Teorerna (19.6), la soluci6n g€neral dela ecuaci6n complementa.ia es

Y, = cte2' + cf 4''

De acuerdo con ios comentarios anleriores, se busca una soiucidn particular de la formave = Ae)t Como)'?=3Ae3'vvp=9Ael'. sustituvendo en la ecuaci6n da-da, llegamos a

9Ae3' + 6Ae1' 8Ae1t _ e]t-

Dividiendo ambos lados entre er', obrenemos

9A+6A 8A=l o bien A=j.Enlonces ),p = :.3', y por el T€orema (19.12), Ia soluci6n eeneral es

v = ctel* + cre-4r + lcr'

En el siguiente leorema se enuncian, sin demostrar, tres reglas para obtener solu-

ciones de prueba de ecuaciones djferenciales de segundo orden no homog€Deas con coe_

ficientes constantes. (Consrillense lexios de ecuaciones djferenciales para un andisis m6s

profundo de cstos temas.)

TEOREIT,IA (19.14)

(ii)

(i) Si y' + b!' + cy = ent y n no es una raiz de laecuacion auxiliar rnr + bm I c - 0. entonce' e\is-

te una soluci6n particul^r dela fotma )'p - Aent.

Sj y t br - c, - ten' ) ,? no er una roluci6nde la ecllaci6n auxiliar m2 + ,n + c = 0, enton-

ces existe una soluci6n parlicular de la forma /2 =(A + Bx\e"

(iit si

o bien

Y'+b!'+c)]=e"'cos/x

TCUACIONES DiFERENCIALES

y el nrimero complejo s + ,l no es soluci6n de laecuacion auxiliar m: . bn - c 0,te una soluci6r particular de Ia forma

)p = Aet'costx + -Be"senI)r,

solucion del Ejemplo 3. En los(ii) y {iii).

EJEI.{PIO 4 Resolver r, ' - 3r' - r8.}, = jrel'.SOluCi6n Como ta ecuacidn auxitiar m, 3,n _ 18 = 0 tiene las raices 6 y 3, dela seccidn anrerior resulta que la soluci6n general de/,, 31, 18] = 0 es

].: C'€6' + Cr. r'.

Como 4 no es una rajz de Ia ecuaci6n auxjtiar, segnn et Teorena (19.l,l) (ii) venos queexiste una sotuci6n particutar de la forma

]p={''1 +Bx)ea"Derivando, obrenemos

r'e: gA + 48\ + B)e4'

!;: 16A + j6dx + 83)ca,.

Sustituyendo en ta ecuaci6n diferencial llegamos a

{16A + 16Bx + 8B)ea* 3(4/ + 4Ar + B)e4. I8(,4 + ar).a. : .ea,,que se simplifica a

l.1l+58_14r\:_r.Entonces, j/p es una soluci6n siempre que

-14,1 +5_B:0 y 1|lt:1Esto da B : -r y .,{ = ,*. por lo tanro,

.r; = ( li; 1'a-r)ea': ,L,ts + r+.1"-

De acuerdo con el Teorema (19.12), la soluci6n general es

y = C,e6. + c,e '. ,j_(s + r+rt"n" .

EJEMPTO 5 Resolver t" l0/' + 4llr = senr_

Soluci6n Lnellrempto.rdeta5eccronarreriorenconl'amo\quela.otrjronsene_ral de la ecudcion compte,ienJa,id e,, .- p!.{r, !o\4, C.*;;, ; S;;;;;";;;.

Ia rega nr d.l leo-ema rto.t,tr \e uti|lo en la'rgurente, eiemplo..e itu.tra el enpleo de la. .<ei.,

Ec!6cones drt€rencra €s trnedl€5 no homoSeneas

rema (19.14)(iii) con r = 0 y

t. .r"-6l l9r:ir.! 4. r"+]l'=| I'

5, t" -t:r!cos\6. r' ,| +4r-\ r!r'

7, 1" 9r:." E. r"+r-sen\

t_ -

l- 4i=l

lll. - =r+

Eiercicios l l-18: Resuelva la ecuacion diferencial usan'

do coeficientes indeierminados

ll. r.' l) +2r=4''

l; = -,4 senJ. + Bcosir y ,i = -,4 cosx Bsen).,

sustituyendo en la ecuaci6n dada, resulta que

,4cos).-rsen.n + l0,,1senn - l0Bcosr + 41lcosi + 4lBsenir = senx,

que se puede escribir

(40,4 - 108)cosjr + (10,4 + 408)senr = senx.

Entonces, .lp es una solucj6n siempre y cuando

40,1 -l0B=0 y 10A+408=LLa soluci6n de este sistema de ecuaciones es ,1 :r1! y B=r.0! Por lo ranto,

r',: $ cos r + 1,{o senr = i+6(cos .! + a sen n

y la soluci6n general es

/ = l, buscamos una soluci6n particular de la forma

,rr=lcosJ.+rsenr.

I : r5'(CL cos:1\ + Ciscn4\) + +lcosr +,lsen\),

EJERCTCTOS 19.4Ejercicios r-r0: Resuelva Ia ecuacidn diferencial me-dianre el mdrodo de variacidn de par:imetros.

12. r" + 6r' + 9r'- .r'

13. 1 +2r'=.o(1rl:t. r" + r:sensr

16. r'+lr :ll:Jc'

l?, ,j lr r + lr:t'!o. '

J:L JLlE, ,t i l, +lr :' \enl'

Eje.cicios 19-20: Demuesfe laidentidad, dondel. es

el operador d'ferencial litrealdefinido en (19.1l) y/,],r y )r representan tunciones de L

20. /-(rL i r rl : r-lrLl I L(r r)

1012 (APITULO 19 . ECUACIONES DIFERENCIALES

fip uomcoxrs

FIGURA I9,7

', = LONG lUD

I

.l Pog( oN DEEOUTBRO

nta : kl' o bien nt.t klt = 0

suponiendo que la masa delresorte es despreciable compara'

Supongamos que el cuerpo se lira hacia abajo y te suelta. Se introduce una recra

coordenada como la de Ia Figura 19.8, donde '' denota la distancia (con signo) desde

el p!n!o de equilibrio hasta el cenlro de masa del cuerpo a los l segundos. La fuerzaFque actia sobre el cuerpo cuando la aceleraci6n es d, de acuerdo con la s€gunda ley

del movimiento de Newlon, est, dada por l = ,?d (v€ase (15.l2)). Suponiendo que el

movimiento es no amorlignado, es decir que no hay ninguna fucrza externa en conlradel movjmienlo, y que el cuelpo un medio sin friccion, se ve quc

F:nts k\lr +r') =,,9 (/,-kr= tr,

Como F = ma y a = rJ'1ytl:', esto implica qut

lrrnt tilt

: k\'

Dividiendo ambos lados de esta ecuaci6n entre m se obtienc 1a siguiente ecuaci6n diln-

LF

E

rt+

Las vibraciones en los sistemas mecanicos son causadas por

luerzas exlerDas. Una cuerda de violin !ibra por la accidn

del arco, una viga de ac€ro vibra si se golpea con un martilloy un puent€ vibra si lo cruza un contingente de soldados mar

chando con cierta cadencia. En esta secci6n se utilizan las

ecuaciones d;ferenciales para analizar las vibraciones de un

Segrin la ley de Hooke, la fuerza qu€ se necesita para es

tirar un resorlet unidades a partir d€ su longitud natural es

tr), para algin nimero real positivo &, que se llama cor?rldt

te de fuena del rcsorte (v6ase (6.17)). La fu€Iza reslaurado-m del resone es -trl- Supongamos que se sujeta al resofteun cuerpo de peso ttl, y que en Ia posicion de equilibrio el

resorte se alatga una dista,rcia 4 mds au6 de su ionsitud na

lural /0, como se ilustra en ia FiSura 19.7. Si I es la acelera-

ci6n de lagravedad, y m, Ia masa del cuerpo, entonces ,/ :ma y en la posici6n de equilibrio

vtBRACION SrN (19.15)AMORTIGUAMIENTO

(rrBRE)

EJEI.{PIO 1 . Demonrir que si un cue.po de mara la se encuentra en movimienro vi-bratorio no amortisuado, el movimienlo es armonico simDle. Calcular el desplazamiedro

si el cuerpo en la Figura 19.8 se desplaza a una distancia 12 v luego se suelta desde ve_

Soluci6n Si denotamos ft/n por d2, entonces puede escribirse (19 15) como

J.l:,,1 ' 'n

Las soluciones de la ecuaci6n auxiliar m2 + oz = 0 son toi Por lo tanlo' segrin el

Teorena (19.10), la soluci6n seneral es

,t=Clcosdl+C,senot

Resulta que el cuerpo se encuentra en movimiento arm6nico simple (v€ase el Ejercicio

84 de la Secci6n 8.3).Si el cuerpo se lleva a una diltancia /, y luego se suelta desd€ velocidad cero' er_

i, = cl(l) + cr(0) o bien Cr: t:z'

Como

'J - -,c, "' r/ r( lco(J/'dl

renemos lambien (en t = 0) que

0 = ocr(o) + oC:(1) o bien C: = 0

Por lo tanto, el desplazamiento I del cuerpo ai tiempo / es

MovLm,enro armonno sifr olc

.t = 1'z cos o1'

Esta clase de movimienlo ya se analiz6 anteriormente (v6ase

cl Ejernplo 9 de la Secci6t' 8 3) La ar plitud Gl desplaza

miento mAximo) es A v el periodo (el lienpo que larda una

oscilaci6n cornpleta) es 2n/a =2r\n1A EnlaFigural9'9aparece una grafica que reprelenta e5!e lipo de movinlicnlo'

EJEMPTO t Un cuerpo que pesa Slbfestira a rLn resorte verlical 2piendsalldde

,rl".gi ra **.u1. I-t"go et cuerpo r;ene orro aesPlazamiento de l pie v se suella con

una v;cidad inicialde 6pie/s Enconrrar una f6rmula para el desplazamiento delcuerpo

en cualquier tiempo 1-

Soluci6n De la ley d€ Hooke, 8 = l(2) o bien k = 4 Sil es el desplazamienlo

JJ."*0..""*'p."i,surosiciondeequilibrioalriempo1'c roncesseein(l9 l5)'

i;l.'],,:.,que n - ll u : ie, = l. Por lo tanlo'

1,1 * 'ot : u'

Como ll/ : ,r,r, sc tiene

10i4 cApiTULo 19 . EcuAcroNEs DIFERENcTALES

Como en ta soluci6n del Ejemplo 1, €sto implica que

j = C' cos'll + C2sen4r'

En t = 0, renemos ]: j yporlotanto,

+: c'(l) + c.(o) o bien c' = l'

vrBRAC|6N (19,16)AMORTIGUADA

(UBRE)

d! : 4C1 sen4l + 4Cr cos 4t

d'1vcdvk--: + :+-Y=Udt n dt n1'

y df/dt = 6en I = 0, obtenemos

6: -4C,(01+ 4C2(l) o bjen c': j.

Por lo que, el despiazamiento al tiempo I estd dado por

y:jcosat-lsenlt'

Consideremos ahora el movimiento del resorie cuandohay rn frerz de a ortigramtenro (o de fricci6n), como €n

el caso en que el cu€rpo se mueve sumersido en un fluido (v€a-

se la Figura 19.10). Los amoniguadores de un autom6vil son

un buen ejemplo de est€ caso. Se supondrA que la direcci6nde la fuerza amoriiguadora es opuesta a la del movimientoy que la magnilud es direclamente proporcjonal a la velocidad del cuerpo. Por lo lanto, la fuerza de amortiguamienloestd dada por c(d//dl) para una constante positiva c. Deacuerdo con la segunda ley de Newton, la ecuaci6n diferencial que describe el movimiento es

,llt tl vtn lJ,: -k\ ti

Dividiendo entre l', y ordenando ios tdrminos, se obti€ne lasig iente ecuaci6n diferencial.

EJEMPTO 3 Analizar el movimiento de un cuerpo de masa m en movimiento vibratorio anrortiguado.

Soluci6n Como en el Ejerlplo l, sea k/rr = o'?. Para sinplificar las raices de la

ecuaci6n auxiliar. definimos tambidn c/m = 2p. Usando esta notaci6n, (19.16) puede

4u,!*tc';+.'t:o

Las raices de la ecuacion auxiliar m1 + 2pm + 62 = o son

, ! \.4p, 10.2 ' P!\P'z d

Las lres siguientes posibilidades para las raices corresponden a tres lipos posibles demovimienro del cuerpo:

2'- r,.,' > 0, t1 .r' :(. o bien p: or < 0.

A continuacion se da Lrna clasificaci6n de estos tres tipos de utovimiento

Caso (i) p' - o2 > 0: vibraci6n gobreamortiguada

Seenn el Teorema (19.6), la soluci6n general de la ecuaci6n diferencial es

l'-','1, :

En el caso en consideraci6n,.: A .r ,ltrt

^f' "-: a; - = a,,- -'de rnanera que c': > 4mk. Esto demuestra que c es grande

con respecio a k; es decir, la fuerza amortiguadora domina

a la fuerza de restauraci6n del resone v ei cuerpo regresa a

su posici6n de equilibrio mes o menos rapidamente Este ca-

so se da cuando el flujdo tiene viscosidad alta, como sucede

con el aceite Pesado Y la grasa.La forma en quel tiende a 0 depende de las constantes

Cr y C: de la solucion sereral. Si ambas constantes son po-

sitivas, la grefica tiene la forma general que se iluslra en la

Figura 19.11(i). y sitienen signos opuesios,la sr.iifica se ase-

meja a la que se muestra en (ii) de ]a fisura

Caso (ii) pt - 11t = 0:Yibracirin con amortiguamiento crftico

En esle caso la ecuacion aujiiliar tiene una raiz doble p' vsestn el T€orema (19.?), la solltcion general de ]a ecuaci6n

10 t5

,,, I

\ \\I

(ii) I'

t, ms' $rmHb r rm

I

\ \\-

Caso (iii) p' - o' <

t=et,t{ct+c/).La Fi-qura 19.12 muesira una grdfica lipica de este caso, que

es parecida a la de la Figura 19.11(i). Sin embargo, en esle

\J.o, u_" d..mrnJ(ion en ld luer/d de "monrgLariienro por

pequena que sea lleva al movimienlo oscilatorio del siguien

0: Vibraci6n subamortiguada

Las raices de la ecuaci6n auxiljar son complejas conjugadas d t ri v de acuerdo con

ei Teorema (19.10). Ia soiucidn seneral de la ecuaci6n diferenciai es

Vibracldn !rbanoiieu.da

1016 CAPiTULO 19 . EcUAcoNES DFERENCIALES

.92P- :i=12 Y

La ecuaci6n (19.16) es

J1t J\Jr. 12 J J)r 0.

Podemos verificar que las raices de laecuaci6n auxiliar son 8y 4. Por lo tanto, eslamos en el Caso (i) dei Ejemplo 3 de un movimiento sobreamoriiguado y la soluci6ngeneral de la ecuaci6n diferencial es

,r: C,e '' + Cre 3'.

0-Cr+C: o bien Cr= c,

'/-': a6,' ' 36.. 'nr-

2: -441 - 8C?: 4Cr 8(-Cr):4Cr.

flGUiA i 9.13-v - s

-"(C1 sen br + C, cos b0

En estecaso ces pequeio con respecto a k, y elresorte oscilaal regresar a su posici6n de equilibrjo, como s€ ilustra en laFigura 19.13. Cuando los amortiguadores de un automdvilse desgastan se produc€n vibrac,ones subamortiguadas.

EJEMPTO 4 Un cuerpo que pesa 24lbf estira un resorte ve(ical I pie mds all6 dc sulongiiud natural. EI resorte se empuja hacia abajo desde su posicion de equilibrio conuna velocjdad inicial de 2piels. Suponiendo que la fuerza de amortiguamiento es

9(d//dr), €ncontrar una t6rmula para el desplazamiento I del cuerpo en cuaiquierti€mpo t-

Solucirin 5sg11 1.1ey de Hooke,24 = t(t) o bien k = 24. La masa det c erpoes n : wls - # :1. Usando la notacj6n definida en el Ejemplo 3,

.t'/ - =_=32ni

Tomando I = 0,

Conlo

Por lo lanto, Cr - j V Cr = -Cr - - l. Entonces el desplazam iento I del peso al

r : j"-.'- j" &: 1? !0 . 1,)

La grefica tiene un aspecro parecido al de Ia F;gura l9.l l(i). En el Ejercicio 9 se pidecalcuiar la fuerza amo.tiguadora que produce un amortiguamiento crilico.

EJERCTCTOS 19.5

l. Un cuerpo que pesa 5 kgfesrira un resorle verrjcal6cnr mis alla de su longjtud natu.al. Elcuer

po se eleva 4 cm y luego se suelta con vclo.idadcero. Encuentre una i6.mula para el dcspta2a-

19.6 R€p6so

mielio del cuerpo en cualquier riempo i-

Un cuerpo que pesa l0 kgl estira un .esorte verlical8 cn mes all6desu lonsitld natlral. ElcueFpo {'de\plaA hacia aLrajo olros I cnr y dcsdc ahisc cnrpuja nacia abajo con lna velo.idad dc6.m/s. Encuenrre una lo.mula tara el desplazamicnlo en cualquier Liempo 1.

Un cuerpo que pcsa l0lbf estira un resorte ver-rical I pi€mdsalede su lonsjlud natural. Elcuer-po se enpuja desde su posici6n de equilibrio conuna velocidad hacia abajo de 2 pie/s. Suponiendo que la luerza de l.icci6n es s(dr./dr). en

cucntre una lornrula fara cldesplazamienro dci

Un.uerpo que pesa 6 kgf esta colgado de un r€-so.te cuyaconsiaDte de fue.za es48 kgf/cn. Ini.ialme.te el cuerpo riene una velocidad haciaabajo de 4cm/s y este 5 cm abajo del punto d€

€quilibrio. Obtenga una fdrmLrla para el despla-

Un cuerpo que pesa 4]bf esti.a un resorle ve.ti-cal 3 pulg $es allddesu longitud nalural. Elcuerpo sedesplazahacia abajo ot.as 4 puls y sesueliacon velocidad cero cn un fredio en el que la iuerza

de arno.iieuamiento €s -2(d//di. Calcule eldesplazamiento f al lrempo L

Un resone seesrira j cD cuaddose le cuelea uncuerpo que pesa E kgf- Elcuerpo se empuja des-

de su posicidn de equilibrio cod una lelocidadhacia ariba de I cm/s. Suponiendo que la fuer2a de amortiguamienro es -4(dr/dti,en \enrteuna l6rridla para el desplazamiento ], en cual-

1017

:1.

2.

5,

l. Describa un sislema formadolor un resone veF

tical con una pesa cuyo movitni€nlo €s1d descn-

to por la sjguienle ectraci6n diferencial, con losvrlores ini.iales dadosi

E,

lJrr ,/r

4J,r+t+6i:olr

t= 2 ! ,1,: I enr=0.

Un cueDo que pesa4ksteslira un resorte I cm.Elcuerpose mueveen un medioen elque Ia luer2a de amortiguamienlo er -.(dfld|), donde. > 0. iPara qud valores de c el novimicnto es

{a) sobreamortisuado? (b) icritico? (c) .suba-

En el Ejemplo 4 de esta seccidn, cal.ule Ia luerza amo.tiguadora para 1a cualel aftorriguamien

En un medio sin amoniguamiento, ut cuerpo de

nasa n se fija a un resorte con constante k y se

le aplica una luerza externa periddica dada por

(a) Demuestre que la ecuacidn diferencial que

describe el movimiento del cuerpo es

'1: t F

-+tu'l: senl.

donde ux : k/m.(b) Denuestie que el desplazmiento / del cueF

po esr6 dado por

I = Cjcosol + C:sendr + Csena/

donde C = F/nl-'z a':). Esre lipo de

moviniento se llama ,lbld.idi fotzada.

10.

llp nrrrsoDiscut,los h{lodos pcra rentv€r los siguientes liposdc ecuccion€s difdenciiles.

2. Lineal de primer orden.

EJERCICIOS ',|9.6

Eier(icios l-34: Resuelva la ecuaci6n diterencial

l. \.' ,/L c5! \ ,r : (r

L Lineal de se-qundo orden

! ,/r (\ + 1)r,/r : 0

J(l+tr)l\+\1 \'dr:o2.

t.

10't8 (APiIULo 1 9 . ECUA(IoNEs DIF!RENcIALEs

r'+ (sec \)r:2 cos r(rrt,+ \r)lt + ] dr :0_rlanr+r'=2secr

l!l-.(:r'=!l ll(2r + rr)./: - {./r.- 0

.' cos r l_r - sen:/ d] : 0

(cos r))' + (sen\)' = I cos: \r' + (2 cos r)_r : cos rr"+r'-6r=0r -ljl'+l6t:0r" 6r'+ 25r :0

,i--l;=o

1|::i+$n!

20. i j 6r =/\2l.r'r.r=(,"22. r" r .lt =023. r" lr. + :j : ?,' --24. \rr l\ - (\ + l)r /I: 0

2s. rr'+ I : i! i)r

26. secr r r/r = r,I =,/r r sec: r l\

n.41-.i, -,, ",,: - ,A

rE.:_+r=csc!

2r. .. r rt\ c\c \ r/j. 0

l0 r"+i0r'r l5r:0ll. cot vh = (r cos \)./\-']2- r" r'+ .r : "'c,,s r

-lJ.r'+rcscr:ran.l'1. r' f ll)j : \r '

J5 La poblacion de aves cn una isla rienc un crecimienro que se puede describir con la eclacidn dilercncial .U/dt - (.1sen 2trll',, donde l es elr:empo en "no, \ ' - 0core,ponde Jlplicrp,ode Ia primavera. La disraci<jn haciaia nla o des

de la isla se da por esraciones. La inrensidad dela micracion esti dada por ru(1) = 20OOscn 2rlaves por ano. Por lo tanto,la ecuaci6n dite.er,ci?l complera para la poblaci6n es

; = (3 s€n2rtt + 2000sen2rt.

Calc! Ie I supoDiendo que Ia pobla.'6n en r = oes 500. Determine la poblacidn mdxjna.

16. Un recipiente contiene l0noles de un eas Aqucal ,alenrdr '( .u, moh. uld. cume an ,u 'elo.,.dad y se forma un segundo eas B. Cuando hatuna colhi6n enlre dos nol€culas delgas A, se lornan dos mol€culas delsas B. La npidez d!/dtcon la quc se forma el gas B es proporcional a(10 - /)', que €s el numero de pares de noldcu-las delgas A. Enctrentre una ldmula paraf suponiendo que / = 2 moles a los 30 segundos.

17. En quimica se dsa la notacidD -{ + B + Y paraindicar que debido a la interaccidn de dos su!lancias A y B se lorma una sus.ancia y. Sea" ay r las cantidades i.iciales de A y B, respecijlamenie. Si al dempo , la concenrraci6n de y es

I = /(/), entonces las coDcenrraciones de A yB lon d ./(1) y b /(1), respecriranenre.Encuentre /{r) suponiendo que la rapidez conld qre.p nrodL.e Y eia adJc por Jl,-/ .

^(a J\b -,,pardJleJna.o .ranrepo. iva

kyque/(0)=038. Sea), = /(t) la poblacion allieopo /de una cd,

leccion de insecros o bacterias. Si la .apidez (otrsa) decrecinienrode lapoblaci<jn dr,/dr es proporcional a l; €s decir, si d//dt = ct pa:d unaconsknte positila., por lo ranro / (, = /(0)4{r(vease elTeorema (?.26)). En la mayoria de loscasos. la rapidez de oe.inieDro depende de tasfnenres disponibles de alimenro, y cuardo / au-mcnta /'(r) conicnza a dishinun.. Para desc bire'e 'po dc compo r"rienro cr '.J rood. 4,a meDDdo se usa ta ecua.idn dr/dt = r\c - b!).donde. y, son consrant€s posirivas, ttamada lale! del .rccnnk o loststico.

(a) Encuerlre /(1) suponiendo {rue /i0) = k.(b) Derermine lim,-- /(r).(c) Compruebe que /'(/) cs crecienre cuando

J(/) < .//(2r), r deoecienrc cuando /i1) >ctllb).

{d} Trace una gr!ljca tipica de I (Lrna ernficade esle tipo se llana .!ryd /ogrirrt .)

lt qrlique -na ecrocrou ar'e en. "t pJra re.!r.bI

5.

1.

9.

l{1.

lt.12.

13.

t4.

15.

t7.

l8_

re.6 R€paso 1019

rodas las lunciones para las que la recta iangen, tudio de los polenciales electrostAlicos en re8io-reasu sreficaen clalquier puntoP(x, ))es per- n€s esfericas:pend cu dr d ,eemenro que \a de P al origen.j.-d es lr s,ir.ca de una,otuc,on ipicade$,a 1 i*""'.')-oecua.,on d reren.iai? d0\ d0 I

Encuente una soluciiin Z(d) que satislaga las,10. La sigLrienle ecuaci6n dilerencial aparece eneles condiciones I/(r/2) : O y V(n/4) : yt).

APENDICES

fl tnaucci6n ndtemdticd

Teoremas sobre linites e integrales

Tablds

Tdblas de integrales

EIMM

1041

1022 AP.NDICES

El m6lodo de demosuaci6n conocido como irducci6n mstemitica puede uliliza.se pa-

ra probar que ciertas afirmaciones o f6rmulas son verdaderas para todos ios enierospositivos. Por e.jemplo, si n es un entero posirivo, sea P,, el enunciado

(xt)' = x't'donde I y I son nimeros reales. Entonces Pr represenla el enunciado (rr)' - ,r'r',Pr denota (x])'? = x'zrz, P: es (:rr)3 = "lfr,.tcet".a.

Es fdcil demostrar que Pr, Pny Pr son enunciados rerdddelos. Sin embargo, como el conjunlo de Ios enleros positi-vos es infinito, es imposible verificar la validez de P, para cada entero posirivo /?. Pa'ra dar una demostraci6n, es necesario usar el m6todo proporcionado por (B). Esle melodose basa €n el siguienle axioma fundamental.

AXIOMA -DE (A)

tNDUCCtONMATEMA CA

PRINCIPIO.DE (B)

INDUCCIONMATEMITICA

El leclor no debe lener dificultad en aceptar (A). Si S es un conjunto de enlerospositivos que satjsface la propiedad (ii), entonces cuando ,Scontiene un nimero emeroposilivo arbiirario *, tambiin debe contener al siguienie enrero posirivo. k + l. Si Stambi6n satisface la propjedad (i), entonces contjene a l, y por lo ranto, por (ii), .S con-tienea I + I osea2. Aplicando (ii) nuevamente, se ve que S conriene a 2 + i o 3.Una vez mds, S debe contener a 3 + I o 4. S; se conrinda de esta maner'l, puedc afirmarse que si ,r es un enlero positivo erpeclfico, entonces ,r pertenece a .S, !a que se pucdeproceder paso por paso como se indic6 arriba hastall€gar ar. Aunque €.r!. argumentono demuestra (A), indudablemente lo hace plausible.

Se usare (A) para demostrar el siguiente principio fundamental.

Sea Sun conjunto de enteros posirivos con las sieuientesdos propiedades:

(i) S €ortien€ al entero l(ii) Si Scontiene a un enlero positivo k, ento cesStam

bi6n contiene a t + 1.

De modo que S contiene a todos los enteros poshivos.

Si a cada entero positivo /l se le asocia un enunciado P,,entonces todos ios enunciados P, son verdaderos si se

cumplen las siguientes dos condiciones:

(i) Pr es verdadero.(ii) Si k es un entero positivo tal que Pi es verdadero,

entonces P*r I tambien es verdadero.

Demostraci6n Supongamos que (i) y (ii) de (B) son veljdas y sea S el conjunto delodos los enteros posirivosl, lales que p,r es verdadero. por hipoiesis, pr es verdaderoy por lo lanto, I esti en S. Enronces S satisface ta propjeclad (i) de (A). Cuando S con,tiene un enlero positivo &, por la definici6n de S, p,{ es verd:rdero y por la hip6resj,(ii) de (B), Pr* | tambi€n es verdadero. Esro qujere decir qu€ k + lperteneceaS_Sedemoslr6 que cuando S contiene a un entero posjrivo ,t, enronces S conliene a f + l.Por consisuienle, la propiedad (ii) de (A) es verdadera. De modo que segtn (A), S con,tjene a todos los enteros positivos, es decir, pi es verdadero para rodo enrero positivo

Existen otras variantes del principio de indocci6r maremdtica. En (D) aparece unade ellas. En la mayoria de los casos, el enunciado p, se dard generalmenle en formade ura ecuaci6n que depende de un entero posirivo arbirrarjo n, como en el ejemplo

Al aplicar (B), siempre se sjsuen los siglrientes dos pasos.

(c) Paso (i) Demostrar que Pr es verdadero.

Paso (ii) Suponer que Pk es verdadero y demostrar quePr rr lo es tambi€n.

El paso {ii} gcneralmenie es muy conluso para el alirmno principianre. No se demuestraque Pr es verdadero (€xcepto para tr = l). En lusar de eso, sc prueba que si Pr es verdadero, entonces el enunciado Pr- | cs verdadero. Segnn G), esto es todo lo que se necesila. La suposici6n de que Pr es verdadero se conoce como la hipiitesis de inducci6n.

IJEMPLO 1 Demostrar que para todo entero positivo n, la suma de Ios primeros ,?

enleros positivos es r(,? + l)/2.

Soluci6n Para cualquier eniero positjvo n, sea P, el enunciado

,Trr,i , nl" ll

2

Por convencion, cuando n < 4, el lado izquierdo se ajusta para que haya exactamente,? tarmjnos en la suma. Los siguientes son algunos casos especiales de P,:Si, = 2, entonces Pr es

)r2 + lll+2- obien l-1.2

Si /? = 3, entonces 4 cs

,-, J }l rr obren

2

Si r = 5, entonces P5 es

6:6.

y 1" 13aa15:lil 1) l): lJ

1014 AP6NDICES

Queremos demostrar que P, es verdadero para todo ,? Aunque resulla innructivoverificar P, para varios valores de ll, como lo hemos hecho, no es necesario haccrlo'

Unicamente necesilarnos seguir los pasos (i) y (ii) de (C)

(i) Si sustituimos n = I €n P,, enionces, por convencidn, el lado izquierdo se re-

l + ltduce a l y el lado derecho e\ -]_) , que es rambien igual a l. L\ro demLc{'a

que Pj es verdadero.

(ii) Supongamos qw Pk es verdadero. Entonces la hip6lesis de inducci6n es

t-2+1- .'o-oto:"

Nuestro objetivo es demostrar que P*+ r es verdadero, es decir,

l+2+l+ +(i+l)= (k+l)[k+1)+l]

Por la hip6tesis d€ inducci6n tenemos ya una f6rmula para la suma dc los primerost enleros positivos. Se puede encontrar una f6rmula para la suma de los primeros t + I

enaeros positivos simplemente sumando (& + l) a ambos lados de la hipdlesis de in-duccion. Haciendo eslo y simplificando,

I +2 +3 + ..+/<+(k+ 1):!{{il+(k+ l)

l{k+1)+2(k+l)2

k1 +3k+22

(l+lxk+2)2

(/.+l)[(k+l]+ll

Paso (i') Demostrar que Sj es verdadero.

Paso (ii') Srponer que S* es verdadero para k > jyde-moslrur que Sk+ | es verdadero.

2

Hemos demoslrado que Pt+ I es verdadero y por lo tanto, la demoslracion por induc-

cion matemdtica queda completa.

Seaj un enrero positivo y supongamos que a lodo, > / se asocia un enunciadoP,. Por ejemplo, sij = 6, los enrlnc-ados se numeran P6, P?, Ps, etc61era. El prin-cipio de inducci6n malem:itica puede generalizarse para incluir esta situacidn. Igual que

antes, se sjguen dos pasos. Concretam€nte, para demostrar que los enunciados ,t, sonciertos parall > j, se sisuen las sisuientes dos e.apas.

(D)

EJEMPI,O t Sea a un numero reat di5rinro de cero rat quel? > _t. Demojrrar oue(l 1 af > I . /', para rodo enrerolI > 2

Itl":i:" Para cualquier enrero po,,rivo ,. denoremo< po, pi la des,a,,ardao

;.,"_l^",--; , + na. ub5ertesequepr e, totso ya que | _ ot L (l)(r).ine,nu4rEU. poqcmoc oemosrrar que p, es \erdadero parar? > 2 u.ando (D).on / . 2.ri ) Nolemo( p'imero que i a| -- | 20 d. Como a + 0, \e ,jene ok,' - 0 ) por to tanro L 2a +a,. t )a. tnronle," ;; ,-, ; r;;il;consiguiente p2 es verdadero.

, rii ) Supongamo, que Pr e\ \e'dddero pa.? A - Z. Fntonces. ta hiporej., qe :n_

lt+a)L>t+ka.Queremos demostrar que pr+r es verdadero, es clecir.

(t + a)rr'> I + (t + I)a.

como d > -1, tenemos que a + I > 0, y por io tanro, al multipticar ambos lados dela hipotesis de inducci6n por r + a no s; altera la desiguatdad. p;;;;.r;;;;;,--(l + 4F(1 +dl>{t + id)(l + d)

que se puede escribir como

(i +u1'*1j' 1+ka+a+ka,

1l + a)r*r > I + lk + I)a + ka2.

Puesto que *a, > 0, renemos que

I +G + t)d+/ia, > I +(ft + l)d

(l +a).*i> t +(t+ l)a.

Entonces, P/!+r es verdadero. Esro compteia la demostraci6n.

EJERCICIOS APiNDICE I

f,iercicios ll8: Denuesbe que ia f6roula es ve..ra-dera para todo entero posiljvo n.

t.2+4+6+-.+2n=nli+t)

2. t+4+1+ +{:,-1='1il l)

l, I+3+5+ +(2,- I):,r.1. l+9+15+ .+(6r l):1,1

5. 2+7+12+ +ll, l)=115x ||)6. 2 + 6 + t + . . . + 2 . j' r : 3" I

1, I +2 2+3 21 +1.2i +... +tt 2" 1

=1+1, t) 2,'8. t-r)' +(-t). +(_lf +..

+( l)'= ( rr l

1026 ^P€NDtcEs

ir, l1 + 2r + 31 +...+ n2 =,(n+1X2,+1) 24. Si d + 0, entonces

a1 -ll+a+a'+ -" - a-l'

25. a - , es un factor de di - b'.tsueerercia: at+\ - bt't : a\a b)" la, _ A{rD }

26. a + b es un factor de az' t + br t

los{d1u, a")= log d' + log a, + + log d,

para todo r > 2, donde cada dr es un nfmero

28. Demnestre la r€l G?aerulizada de la Disdhu'

a(bt+b2+ +b,)=ab,+ab1+ +db,

pata lodo r' > 2. donde o v todo! lo' br \on n i

29. Denuesfe que

a(l ,tr\a+at+dr'1+ +*^'= ,-

donde , es un entero posnivo arbitrario v a v 'son niineros reales con / * l.

30. Dernuesre que

a+(o + d)+(a+zd)+ + [a + (n - lV]=lnl2)lza+/,-1)d)

donde r es un entero positivo arbitrario v a v dson nnmeros reales-

[d, + Lll'?ir. rr+l\+lr+ +n'=l --. 'll.l

lll Ii' ,.rtr.t*l q* *,(,*t=,*ittll'i rt r+2 3 4+r 4 5+

I n1"+3)+ t;+ rX, + 2) = adll)(" + )

1.1. 3 + 31+ 33 +.. + 3',: l(3" - 1)

r"r. 1r + 33 + 5r + + (2n l)t = tr1l2n1 l)

li. tr<2"16, I+2h<3'17. 1+2+3+ +n<+(2tr+ll'z

ta{+ /a\"rR. s,0 <, < b. enronces l-l <l;l

\b./

Eiercicios 19-26r Demuestre que el enunciado es veL

dadero para lodo ente.o positivo r.

i9, 3 es un factor de t3 - n + 3.

20. 2 es un iactor de ,'z + ,.21. 4 es un factor de 5'- I

11. 9 es un lactor de t0'*' + 3 t0' + 5.

?1. Si a es cualquier nfmero reai mavor que I' en'

ll T€or€mas sobre iimit€s € integrat€s 10t7

lll reonelms sorRimrTEs E TNIEGRATEs

Este ap€ndice contiene las demostracioles de algunos d€ los teoremas enunciados enel texto, El sistema de numeracidn corresponde al utilizado en los capitulos anteriores.

TEONEA.IA DEUNICIDAD DEI

frure

Demostraci6n Supongamos que limj-, f(x) = Lt y Suelim",,/(r) = a2 con ar + t2. Se puede suponer que l,r <42. Sea E tal que € < j (1,, al) y consideremos los inlervalos abiertos (Zr - ., Lt + €) y (L2- e, 4 + €) sobre larecta coordenada 1' (v6ase la Figura t). En vista de queE < I (t, a1), estos dos intervalos no se inrersecan. porla Definici6n (2.1 1), existe un 6r > 0 tal que cuando r. esta

en (d - 6r, d + 6r) )' jr + a, entonces /(x) estd en (tr - €, l,r + €). Analoeamenre,existe un 12 > 0 tal que cuando r este et @ - 62,a + 62) y )r + r, enronces /(r) estAet (L2- E, L2 + .). Esto se ilustra en la Figura l, con 6r < 32. Si se escoge x en(a- 61, a + 6r) y en(a 6r, a + 62), entonces jr(x) esra en (tr E, l,r + €)yrambien en (L1- E, Lz + €), lo cual contradice el hecho de que estos dos inrervalos nose intersecan. Por lo tanto la suposici6n inicial es falsa y por consiguiente, ar =L2.

TEORE|,lA (2.15)

Demostraci6n

(i) De acuerdo con la Definicidn (2.10) hay que demostrar que para cada E > O

existeun6>0talque

l(x) + r(r) (L+M)l<€.(a) si 0 < lr. dl < d, entonces

Comenzamos por escribir

(b) lf(x) + s(x:) lL+M):l(/(x) r)+(r(r) - M)1.

Usando la Desieualdad del Tridngulo (1.4),

lu(x) - r) + k(r) MJI <lflx) Ll + ls(x) - M I

Si /()r) tiene un limite cuando x tiende a a. entonces ellimite es inico.

Si limr-,Ixr - L y lim, -,q\x) = ,, ""*t*t --i

I

{ir liml/rxr t dt\tl - L + MI

(ii) rim I/(r.) ' s(x)l = L' M I

..... ln,tl t .. itiii) Iim | "-= | - ,., si M + 0. ,,alslxt| M

;

1Ot8 APENDCEs

Combinando la iltima desigualdad con (b) se tiene que

tci l,t(t) + !t(x) (L + M) < llx) - L + lltlx) M

Como lim,-,/(x) = r y [m.,,s().) = M, los nLimeros f(x) Ll v ls(x) - Mlpueden hacerse arbitrariamente pequeios escogiendo x su fjcientemente cercano a a. En

particular, pueden hacerse menores que €/2. Por lo tanto, existen Er > 0 y 6, > 0 ta-

les que

.i 0 ' a d.. en.oncer l,'r^r / -l \(d)

'i 0 r d.. entonres at (t - u 2

Si 6 denola ei nenor de los n[meros 6r y ,2, entonces cuando 0 < lx a < 6' las

desigualdades en (d) que involucran a /(r) y ,(ir) son ambas verdaderas. Por lo ranto

si 0 < lx- a < E, entonces por (c) Y (d),

/(x) + s(r) (r + M)l < el2 + .12 : tr,

que e. el en.rnciado de'eado (a).

(ii) Primero se demuestra que si k es una funcidn v

(€) si m lG) : 0. entonces lirn /(r)k(r) - 0

Corno lim,-"/(.r) = z, de la Definicion (2 t0) (con E = l) resulla que existe un 6l > 0

talquesi0 < l:r a < 6r, entonces l/(r.)-ZJ < l. vporlotanto tambi€n

IfG)l = IJQ)-L + Ll < fG)- L + lLl <t + lL.En consecuencia,

(f) si 0 < r - dl< 6,, entonces /(r)k(r) < (l + lrl) k(-!)

Como lim.,"i(x) = 0, para cada E > 0 €xiste un 6r > 0 tal que

(gJ si 0 lt a - ,- enronce\ llr() 0 | rt ,

Si 6 denota al menor de los n[meros 6r v 62, entonces cuando 0 < ]r-al < 6ambas desigualdades (i) y (g) se satisfacen y asi,

l,r'rrr. rl .l r-llI, r,r+ L

Por consiguiente,

si 0< r dl<.j. entonces /(.\)k(-r) 0l<x.

lo cual demuestra (e).

Ahora consid€remos la identidad

(h) l1\)./{-\) LM :.l(r)[./(r) M] + MU(r) - Ll

En virtud d€ que lim'-" [s(r\ - Lr] = 0, se deduce de (e) con t (x) = rtq) - M' qt],e

lirn..-,/(x) [s(x) M] = 0. Por anadidura. lim,-,Mll(jr) ,l = o v por lo tanto,

ll leoremas sobre imites e nt€grates

(D ]^1 ;]: Y.;;,;-,-fltr]:rfr- a'r 'rDebidoaque lirn"-, t ()r) = Mexisteun6r > 0talqu€si0 < l).-al < 6r, enton-ces lr,(x) Ml < Mll2. Por to tanto, para todo.n tal,

t 0t9

de (h), lim,-, [/(x)r(x) tM] - 0. La l]tima afirmaci6n expuesra es equivalenre a)im,-,JQ)sG) - LM.

(ijj) Es suficiente demostrar que lim,-, l,/(g().)) = l/M, ya que una vez hecho es-to, el r€sultado deseado puede obtenerse aplicando (ii) al producto /(.r) . l,/(g(:r)).Consideremos

y, por consiguiente,

lM : s(i) + (M ,(r))< 9(r) + ,r1 -e(r)l<s(x)+M12

Mt22 < a(,) o bren lra; .ltl

Sustiruyendo en la ecuaci6n (i) se llega a

(j) ;*, #.fi1 ,, ' si o<\ a<d,

Usando otra vez el hecho de que lim,-,, (.ir) = M, se deduce que para todo € > 0 exis'

1e un 6, > 0 tal que

M,rk) 'r 0 d o . enlon.e\ J' '' _ r't' 2

Si 6 denota el menor de los nimeros 6, y 67, enronces ambas desigualdades (i) v (k)

se salisfacen. Por lo tanto

si 0< r o <0, enron.esll

,(n M]'"lo cual quiere decir que Um"-,1./(e().)) = l./M.

TEOREMA (q.20) Sid > 0 y nesunenteropositivoosia < 0 y resunenrero po.iri\o impar, enronce. lrm,,-\ ' id.

Demostraci6n Supongamos que a > 0 y ,{ es un cntero positivo cuaiquiera. Debe

demostrarse que para todo . > 0 existe un 6 > 0 tal que

.i 1, . , lj

o equivajentemente,

(a) si -r<x a<d.x+rr, enionces ".i,!-i/o<..Basta demostrar (a) para € < i/7, ya que si existe un 6 bajo estas condiciones, entoncesel mismo 6 s.- puede u,ar para cualqurer vator ndyal de r. por lo ranro, en el reno dela demorrracion Jd - [ se considera como un ndmero posiri\o menor que.. t as desigualdades de la siguiente lista son todas equivalentes:

e<fx_da<e,( i"

"(i,/d €)'< i. < (i/a + €)"

tn''o 4,-d<x a<t,tE+ et,,a

-t" (d, 4t<jt a<eQ+4, a.

Sj6 deno.a el menor de los dos nimeros positivos a KG-.).y(\6 + .),, d, en_tonces cuando -6 < r d < 6 la iltima desigualdad de Ia lista es verdadera, y porlo tanto tambi6n lo es Ia primera. Esro da (a).

Ahora supongamos que, < O y ,l es un entero poshivo impar. En esle caso _dy V-a son positivos y por la primera parte de la demostraci6n, se puede escdbir

-h.i/ ,=J_,.Entonces, para cada E > 0 existe un 6 > 0 ral que

si 0<l-r (-d) <r. entonces li/ '-i/,1.'o equivalentemente,

si 0<1r-dl<d. enronces ll,! .L?1.".Las ltimas desigualdades implican que iim,_, $ : $.

TEOREMA DE (2.22)i)!TEqcAIACtON

Si /().) < n(') < 9 (r) para rodo r en un inrervalo abier-Lo que conriene a a. excepro po.iblemenle en r, y silimr-,/(r:) = L = lim,-a g?r, enronces tenemos quetim,-" h(x) = L.

Demosttaci6n Para rodo€ > 0 exisren tr > O y 62 > Otales qu€

st n. r-d /o. enronces tt,t_!(a)

si 0. r - l r rSi 6 d€noia el menor de los nfmeros 6r y 6r, enronc€s cuando 0 < ). - al < 6, am-bas desigualdades que dependen de r en (a) se satisfacen, es decir,

. - I({) L- i) y r<r1-r) L<.

'1031

Dcmo5lraci6n La funcidn cornpuesta fs(j)) puede repre-s€ntarse geomehicamente por medio de ties reclas reales, 1,

/', y /", como se ilustra en la Figura 2. A cada coordenadaxen 1le corresponde una coordenada 9()a) en /', y luego unacoordenada /( g(r)) en /". Se quiere dernostrar que /(g().))tiene tirnire /( b ) cuandontiende ao. En l6rminos de la Definici6n (2.10) se debe demostrar qu€ para todo E > 0 existe

un0>0talque(a) si 0< r d <4, entonces /(s(r)l l(r) <r.

Procederemos inicialmente considerando el inlervalo

U(A) - e ,l(b) + €) en / ', iluslrado en ]a Fisura 3. como

/es continua en b, limz-b/(?) = /(b) y por lo tanto, como

se ilustra en la figura, exist€ un n{mero 6r > 0 tai que

(b) si : - bl< r,. entonces l/(z) /(b) < r:.

En particular, tomando z - s(n) en (b) resulta que

(c) si s(.!) b I < J,. enionc€s Is(r)) l{1,) < 'Ahora, prestando atenci6n al intervalo (b - 6r, b + Dr) en

/' y usando la definici6n de limr-a t(ir) = b, se obtiene el

hecho ilustrado en la Figura 4 de que existe un 6 > 0 tal que

entonces le(r) b <,j'.

/(r(r)) /(bl < ri

lr Teoremds sobr€ limites e iniegrdtes

Porlotantosi0 < lx-ol < 6,entoncest-€ <IG)y g(x) <Z + €. Puesto que

f(x\ = h(x) < 9(x), siO < l).- dl < 6, enronces Z -E < h(x) < L + €, o equivalentemente, li(jr) - rl < r, que es lo que se queria demostrar.

TEOREMA (2.26)

si 0<l-1 .r <r.

Finalmente, combinando (c) y (d), se ve que

si 0< r d <J. entonces

que es la conclusi6n buscada (a).

DEFTNTCTONES (3.1) v (3.1)',

Si / y g son funciones tales que limr,, g(r) = D, y/escontinua en ,, entonces

nls@) = r(b) = rir'," gr,ri.

Sj / e'ra derinida en un inre "lo dbierto que con'rene j

I

Jta + ht fta\ !I.m ,f(.r) l(d) lim

siempre y cuando alguno de los dos limites exista.

101, APENDcEs

Dcmostraci6n Suporgamosque

1* 41 14: Ipara alsirn nimero -L. De acuerdo con la d€finici6n de Limit€ (2.10), esto quiere decirqueparalodo€ > 0existeunS > 0talque

si 0 t a o enlonce\ "t' "" tLL

Tomando, = ir - d, entoncesr = d + l, y la iltima afirmacidn puede escribirse como

:i o h o. enronces .t" h,\ ttat L

h

lo que sisnifica que

timJtu-1,1 tr' _1.

h

Inversamente, empezando con el iltimo limir€ e invirtiendo los pasos se llega al primer

REGIA DE rA (3.26)CADENA

Si y = f(ut,, = s(r) y las derivadas dt/du y du/dxexisten ambas, entonces la funci6n compuesta definidapor y = /r(x)) tiene una derivada dada po!

,], = J'(uJs G) = f (sQ))sG).

Demo5kaci6n Si/ = /(jr) y Ajr = 0, entonces por (3.23), es pequeio el valor absoluto de la diferencia enlre la derjvada/'(r) y el cociente A,r/A).. Como esta djferencia depende del tamano de Ajr, se debe representar por medio de una funci6n denotadapor l(AJ.). Por io tanto, para cada At + 0.

(a) a1a'1: -) - I'r-1.

Debe notarse que t(,\.rr) ,?o represenla el produclo de r? y Ax, sino que ? er una funcidnde Ax, cuyos valores estdn dados por (a). Mas ain, aplicando (3.23) se ve que

f^, Irbl lm t,A r lim | " rr', | 0

La funcion , se ha definido solamcnte para valores de Ajr difercntcs de cero. Es conve-niente seneralizar la definicidn de ? para que incluya el caso en que An = 0 definiendo

a(0) = 0. Entonces se deduce de (b) que I es continua en o.

It leor€mas sobre Limtes € intqrdt€s 1033

Multipiicando ambos lados de (a) por Af y ordenando los t€rminos se obtiene

(c) ^]'

=/'(x) d.r + 4(A!) ^r,

lo cual es cierto si Ar + 0 o bien Ax = 0. Como / (x) Ar. = d_r, se deduce de (c) que

(d) Ar d_r : a(A:r).^.r.

Consideremos ahora la siiuaci6n enuncjada en la hip6iesis del teorema

y:.flu) y u=qlxJ.

Si ,(r.) estd en €l dominio de /, se puede escribir

I="/(r):l(r(r)ies decir, J, es una funci6n dejr. Si se da a)aun jncremento AJ, se obtiene un incrementoAll de ,/, y 6ste a su vez produce un incr€mento Af de / = /(t). Enronces

Ar:e(:r+Ajr),r(r)

^Y=|tu+^u)-Ilu)Como d,!/dr existe, se pued€ usar (c) con ll como variable independiente para escribir

(e) Ly: f'(u) ^u

+ a@u) ^u

donde ? es una funci6n de All tal qu€ segnn (b),

(r) lim 4(4li): 0.

Ademes, , €s contirua en A, = 0 y (e) se satisface sj A,l = 0. Dividiendo ambos ladosde (e) entre A), se obtiene

Ar Ar Ar- Iir) 4(Ar) - .Ar"ArA^

Tomando el limite cuando Ax ti€nde a cero y aplicando

^,iLuJuIIm -. y lim^.- A.r J.. a. oA\ ./\

Jr )u du-.'-l\ut, t hm 4LAal/r /r ^..0Como / ( ,/ ) = df / du, la demostracidn se puede completar probando que el limite in'dicado €n la dltima ecuaci6n es 0. Para lograr esto primero se observa que como t es

derivable, es continua, y por lo tanto

lim [r(.r + A.!) ,(x)]:0o equival€ntemente,

lim Ar :0.

En otras palabras, A, tiende a 0 cuando Ajr riende a 0. Usando €si€ h€cho, junro con(f) se liene que

{s) lim 4(4,) = lirn '?14"):0

y el teorema queda demosirado. El hecho d€ que jimAr,ot(Ar) = 0 rambi6n puededemostrarse por medio de un argumento del tipo.-5 usando {2.10)_

TEOREMA (5.14) Si /es intesrable en [a, ,] y c es un nimero arbirrario,entonces c/ es integrable en [d, ,] y

J" 4(nd( = tJ"I(xtd,.

(a)

Demostlaci6n si c = 0, el resuhado se deduce del Teorena (5. l3). supongarnos en-toncesqne.+0. Coiro /es integrable,.[ - x)dx = ] para atgtn n[mero t Si pesuna partici6n de [d, b], enronces cada suma de Riemann Rp para ta funcidn c/tienela forma D*.llrr) Anr, de manera que para cada t,

'rr es6e; el k-€sjmo subinterva-

lo [).*-r,l*] de P. Se quiere demosrrar que para todo € > 0 exisre un 6 > 0 rat quecuando lPl < 6, entonces

lpu'',,o'^ - ''para lodo )rr en frr r,r*]. Tomando€ = €/lcl,como/esinregrableexisteun6 > 0tal que cuando lPll < 6,

lr,,^.'o.^ ,,., -

Multiplicando por lcl ambos lados de la desigualdad se llega a (a). por lo ranro,

lim I q/(rk)aa : .r = . I lt'ta' ..

TEOREA^A (5.15) Si /y 9 son intearables en [a, ,], entonces / + , es in-tegrable en [d, ,] y

tult,t * ctt,\a' = Jl tr,ta, + !'o$)ax.

hip6iesis, existen ntneros reales /r y /, aal€s que

f"'rr'r,r':.,, v [i,or,td' =t..

Denostraci6n por

cofiespondiente a P, es d€cir,

(a) Rr : I U(trr) + s('rr)l ^.rr

donde rrr est6 en [xi-r, ].tl para todo k. Se quiere demostrar que para lodo t > 0 existe

un6 > 0tal que cuando lPl < 6, entonces Rp-(1r + /r) <.. Usando el T€o-

rena (5.3)(i) (a) s€ puede escribir en la forma

Rp :t/(r'r)^x, +It0fJ^,ik.

Ordenando los terminos y aplicando la Desigualdad det Triangulo (l 4)'

Como /y!l son integrables, si €' = €/2, entonces existen 61 > 0 v 6, > 0 tales que

cuando lPll < 6r Y llPLl <6,,

ll Teor€m.s sobre rimtes e ntesra.s 1035

Sea P una pariici6n de [4, b] y sea Rp una suma de Riemann arbilraria para / + t

1t,,",, o., ,,ji

.- L : E/2,

(c)

v

(b)Rp ,/.- / r - {f rr.,rr' -r'l-{;r'",'l'. i,)

.l; rr,uro,,- -,, + | at't; a1 r'l

7<E =tl2

para todo )'r en [tr',r, xt]. Si 6 denota el menor d€ los nnmeros 6r y Dr' entonces cuan

io lpl < i, ambas desigualdades en (c) se satisfacen v por lo tanto, de (b),

RP - (1, + /r)l < (E/2) + (ti2) : E.

que es lo que se queria demostrar.

TEOREMA (5.'16) Sid < c < b y/esintegrableen [d, c] ven Ic''l' en-

tonces / es integrabl€ en [d, ,] Y

J, trxta, !",u,a, I'tr^'a'

D?mostraci6n Por hip6tesis, €xisten nimeros reales 'fr v 1, tales que

[) n'td' = r, t f! tt,ta,:t..(a)

Sea Pr una partici6n de [d, ,r], &, una partici6n de tc, 'l'

v P una pardci6n de Ia' 'l

Las sumas de Riemann correspondientes a Pr, P2 v P se denolan por RP,' RP. y RF

10!6 ApeNDtcEs

respeciivamenre. Se debe demostrar que para todo r > 0 exjste un 6 > 0lal que si

llPl < 6, entonces lRr (1r + 4)l < e.Tomando €' = €/4, por (a) exisien nim€ros positivos 6r y 62 tales que si llPr ll <

6' y lPrlJ < 6r, enlonces

(b)

(f)

Rp, Ittt<t!. -El4 y lRp. Ij <t':ti4.Si 6 denota el menor de los nimeros 6r y 6r, enlonces las dos desjgualdades en (b) sesalisfacen cuando lPll < E- Adem6s, como/intesrable en Id, cl y [c, b], esrd acoia-da en ambos intervalos y por lo ranto, existe un nimero M tal que lf(x\l < M paratodo x en [d, b]. Supongamos ahora que ademds de lo anterior tambi6n se li€ne que6 < ./(4M\.

Sea Puna padci6n de lr, rlral que ll,Pll < 6. Si los nimeros quedererminan pson

d=Io'Jl'x,'''''I":}.

entonces existe un fnico inlervalo semiabierto de ]a forma (nd_r, nd] que conriene a..Si Rp = I?=r/(we)Anr, puede escribirse

(c) Rp - I /(wi) ^j{r

+ /(wd) ^r/

+ t l(wtr) ^rN.

SeanPr la partici6n de [d, c] determinadapor{a,x\,...,\t b cl, prta partjci6n deIc, Dl determinada por {c, xd, ...,th r, r}, y consideremos las sumas di niemann

R., : I /(r,,) ^rr

+ /(cX. - x/ -,)(d)

RP. =/(c)().d _.) + i I, lir{,r^rk.

Usando la Desigualdad d€l Triansulo (l_4) y (b),

(Rp, + RpJ - (11 + 1,)l: lRp, .rj)+ (Rp, 1,ll< Rr, 1, + RP. 1'

44)De (c) y (d) se deduce que

IRP (R", + RP,) : l/0Ld) /(c)l^rd.

Usando la Desjgualdad del Tri.insulo y la eteccj6n de 6 se tiene que

RP lRP, + RP,)l < { Jtu)) + l@l} ^xd< tM + M\Ltitlyt)l : t!2.

sienp.e que lPll < 6 Escribiendo

Rr (Rp, + Rp.) + (Rp, + Rp,) (1+t,)JR, - {Rp, + R..)l+ l(Rp, + R".) (r,+ rzJl

(e)

de (f) y (e) se deduce que si€mpre que llPl < 6,

Rp (.t1 + /2) < lElz) + \tl2) : e

para cualquier suma de Riemann Rp Esto completa la demostraci6n

TEOREMA (5.18) Si /es integrable en la, bl y flx) > 0 para todo ). en

ld, Dl, entonces

t'" tt'to' -- o'

Demostraci6n Se dard una alemostraci6n indirecta' Sea Ji /(t) dn = 'r v suponga'

,"." qr. r < 0. Sea P una pariicj6n de [4, b], v sea Rr = t*/(wr)Anr una suma dt

Riem;nn arbitraria corresp;nd jenle a P Como /( l'* ) > 0 para todo l't * tlf ,' I!]'resulta que np > 0- Tonando e = -(/2), entonces de acuerdo con la Definici6n (5 7)'

cuando lPl es suficientemente pequ€iio'

RP-t <t: \tl2:)

Resulta que Rp < I (I/21 = 1/2 < 0, lo cual es una contradicci6n Por lo tanto'

la premisa / < 0 es falsa y por tanto / > 0'

TEOREMA (r 7.311 Si n - /(r, v), y = g(u, t) es una transformaci6n de

coordenadas, entonces

fir'. ura" ,tu :^" a{y,r)

! lJ I I ttu' v)- stu' r)t a-. au dv

Se escoge el signo + o - segdn si cuando (r, v) recorre

h fron;ra Kde s una vez en €l sentido posiiivo' el pun-

to correspondiente ()., )) traza la fronlera C de R una

vez eII la direccidn positiva o en la negativa, respecti-

Dsmostraci6n Comenzamos escogiendo 6(t' /) tal que aclair = F Aptica:rdo el

'leo'ema de creen (18 19) con G \' \e riene que

""rt.'(a, J.J'rr'.,,a, J, - JJ .J lorx rrl/(r' I 61Y J)dJ

Supongamo. que la curra K en el plano lrt liene una paramel i/acicin

u = qlt), D: tl/(.t); a s t < b.

1038 APENDJCES

De Ias hip6tesis sobre la transformaci6n, la curva C en el plano ').), tiene ecuacionesParametricas

(b) x - ltu' r): l@6't'(tt)y : s(u, t)) = s@(t), tl,(t).)

paia, s I < b. Por lo tanto. !e debe evaluar la inlegral de linea C(.r. yrdy en ral\u5r'u)endo formatmenre x v.1. para ,irnptitica, f" r.i"rr.;0". i."Hll = cllkp@. rl,@, stE(.t. t( ).

Aplicando la Regla de la Cadena a Jr en (b) se tiene que

dt dr du it dt lv ,tui: ?,n +;n: r,'P'(l + - l)tIl

Por lo tanto,

6, q'. ,t u, - {', oat* o,

- t,','lly",,' u1,,,,10,

Como du - .a I t I dt v d, - { t/,dl. puede considerar.e a la illima integral como unaintegral de linea atrededor de la curva K en et plano ru. Enronces

(c) f,oc.rtur: x$rcla"rclo,.Por sencilh,, se us6 c para abrc\w Gljtu.,tl. !tu. vt). ta eteccion det sisno +

cto \ariar / de, a b ) obseryando si rx. /) rra,,a Cen ta mismaque tr, r) recorre K o en et senrido opuesro. respecr ir ament e.La integral de linea al iado derecho de (c) tiene la forma

$,mau+Nau

,:o!, r:ou].Aplicando el Teorema de creen, se obtiene

$ ua,+Nn:il(ff-a)aa,

-tt(G !'! t:"d.' c !'! -a.ol,tr,o,r,lt ;uAt ouaD sudu ),,u)"-",trl/dG,Y dGi,\df t?oA, AG?v,avt-{J Llr, ,; - ,, u)],, lr:;:, ,;;;i);ilr'^

tt:1(:i: ,j.l:t^^

1039ll Teoremas sobre lhites € ntegraes

Usando elhecho de que aC/At = F(x, r, jttrllo con la definici6n deljacobiano (17 30)

$ ,v ,r, - r a, - !!t, ,. ,' 0,, ,,"1,',:,),n a,

Combinando esaa f6rmula con (a) y (c) se llega al resultado deseado.

@ mrns

FuNCtoNEs TRIGcNoMiTRTcAs

TASLA 8 TUNCIONES EXPOXINCIALES

TA8I.A C LOGARITI.AOS NAIURAIES

l[ urns DE TNTEGRATEs

r6u,luus rAstcls

t [,0'-",-1,^z. jn^= \n,'*c. ,+

t'I!=^""

5- Jtdu- t+c

o. J*.,u, = *.,*cr. J-,,a, =*". * c

t6$'tutAs coN n6t + uF

27.

22.

23.

u.

I ,r;';.a =; Ot;;'* { ' r, * l' * ,r * .

l", sF;'a, -ia, + z,')7i, i;: 4r",+u[,*,'.c

i ' " *- u ,' ot o

lJnr{ } a"- -J:!::1,6, * 1;1 ; *6

I j+=^p*.,'+r+c

| '.*- .- l, "' ,' o''n, - , ,' -, -.! Ja'+ u- 2

8.

10.

11.

t2.

13.

14,

J **,a, = "", * c

J"""'= -''*'J *",.",r, = *., * c

J*.,-,,,,,= *.,* c

J.",a, =," *., * c

J-,,,,="-", *c

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I -9= =,-,r*.

l-= ran +(

tduI = !., +a) uJul a. a

t au I !+d.l;,,,=r";,*cl .-= lnl l+a

11.

15.

76.

19.

20.

25.

.

FOR^{ULASCONa+bu

a7. l. + h,= r't' + b" atnla + bult + c

aE. ) o I hr- b:to- h'l 4a'o t nut - zo' 'n o ' but (

tdut!4s. J ,\" + b,)=;t^i" * h, + c

t du I b o+huso. J,l,;-r';r= - +-rn +c

t udu , I5l J l" *-b,r,: 0,,"* r)+ tlnld + Dul +'

t AL | | a+hu)sz. J^"*^,=^*;, -ln i+c

t rldu tl n' \sJ. J,,. r,,,- i.{a - iu -,',;r - rdrnld -h,/ '.

Sa. J "J. + h"d, = tsb,tthu - 2atta + b"i 1 + c

s5. I

-=-lb!

2orJo+0,! Ja+bu .u

s6. J J_ = l5h.r't,'+

3h'u' - a'th,t ln + hu

t tu L E*n /isr. I-;-.- .n'-. -Y rr !d 0)tJd+hu Jt Ja+hu+ Ja

) lo+hu_ ran / r. qJ.o,J"

t./"+h" t hs8. lY_du=2Jo+hu+al _:J ula+hu

r E+t" -F+ t', tr a,se. l!. ru= ", -iJ,f*,

'1

60. Jr /" ^',1' hr,;,r[,'k but'1-MJ r ' /n ruJ")

2"^ /a + hu zna t u"-tau"'' J f, - b" bnh tt bt24 ttJ rt - hu

t au ./a,Au ht2n-ttf62. J ,, ,.

^, --

^, ,,n-'- ,^. - tJ ," ,6 n,

tV labtas d€ integrates

F6RMUIAS pARA FUNctoNEs rRtcoNoltaT cAso:. .i'.n.,a, - i, ;,-:, n c

or. J-,,-a, = ;, *.1*,:, r r

05. I Lan'rd, = rrn, u+c

oo. J",',,a, = -', ,. , * c

o/. J

rn, L,/, = ir2+rn:,rcos,+c

oa. J-'.,a, = i(2 + cos,,)sen! +.

oe. J "",,r, =: ""," + rn rcos! + .

ro. J-'.,a,- i n,r rn$n! +c

r0l5

rn. i-r,a,: :l-.-', [ *" '"0"JntJ

17. fre.a, - ' 'zlne',o,J n t n-tJ

rt. l.,e,a, . 1 ".,,...' ',,' ) l.*' .,r,J n- l , ll

7e. l*",-*"b,d,='a! i! senrd + h)! +.r :lta-h\ t(d+hl

-- I sen rd br! srni, + 6,u

J 7la-hl 2to+ht

^. I cosr, bJr !o!ld + Dlr51. lrn "/ror D/lu - LJ tlo-bJ 2la+b\

r:. i,*",2, =*., -,-., * c

7 rr. J*",,2, = i*.,.n, + jrnbecr + tan,r+ c $. J,-',r, = -., +,e", + c

z. J*.',a,= jcs,mr,+!rnlcs, cotd+( 84 J"*"a'= "*"*'J"''-"4"r:. J*,',a,= j*",-",.?J*".,a, rs. J,.o,,2,:,","",-,J,"',..,/,z. {",,+,,r,=l-v,,*',.';lj-r,,r, ro. Jrn",-.-,,r,/5.

J rrn.,d,=n ,kn"', Jtur.

ludu * ,,_ I [*". ,,,*.,a,

+ ._ t5en,,.os- ,,,r!

FORMUIAS PARA FUNCIONES TRIGONOMiTRICAS INVERSAS

E7. lseiLrJ,=,sen- r+Jr !:+.

EE. Jss,!/,-lmsr, Jr a'+.

E9. lranrrr!=!ranL! lrnlr+ !:r+ L

q0. 1".e, '!r ; *.,,

"r. lJ.o. ",-""0 ". , 'o

o1. I u$ 'u,t" - t,n '! j + .

erJ,.* ,,- "''1, *,J"!:l ""

1045 APENDTCES

e4. t..,... ,* 1"' ." ,- i' j' "? -,) . tt r l ")qs. lu." .,.," = ' 1,, ., , I "l

'J lL J " .)

F6RMUIAs PARA FUNCIONES EXPONENCIATES Y TOGAN'T,{ICAS NATURAIES

oa. l**, - \r" nn" , , too. Jr",r, = ,r", , * .n. Jn"n=!,rn- ':,!,r-'nn ror.J,"r",a,= ll-p,,+ r)rn! rt +c

oa. !e**ua,= .!-rdsenb! bcosr,)+c 102. J.!r,=r'r",1+c

w. lo-,r',d, - -\(!,cosr! + rsen b,)+ c

F6R}AUI.AS PARA FUN€IoNEs I{IPERB6UcAs

ror. J*"n,a, =.*r, * c r0s. J

csch r dr = rn ranh jll + .

10a. J-.h,,i, -e"h, + c r0e. Jsch'kd,=ranhr+ctos.

J o"r, , a, = r".*r , * c lto J*"n',l,= -".,r,*c

lor. J"*r,,, = r" s.'n, * . trr. J

*.r,o"r',a, = *.r., * c

r07. Jsch,,/, = hi ,benh! + c rrz. J","r.,"o'r.,2, = -","r', * c'

F6RMULAS coN .,Gu: ut

ni. If;-,d,-")' ,,,; -1.",'1",') 'c tzo'1" 1" ,,- 1"" '/ ,

v. J,J;:,'o,=t" -"!u 3"'

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tJuldiI17. l:-co' I l+a) J2du u) l d r

"r. I#-1= v.i;, r+.".' (Lr) .c

'tc.( "" '"'.'e',,.,-g-(""1 .J Jh!, ut

RESPUESTASA LOS EJERCICIOSDE NUMERO IMPAR

cAPiruro 1

sErqqos t.r, Plot{A 9

l. (a) > (b) < (c) = (d) > (e) :l. (a) I (b) ? (c) ? (d) 3 (€) +, '(e)0 (h)e (i)r-5 (j) b-a

23. Sim€tria:resPccto al origcn

77.

(r) <(f_) 1 +.s. (a) 4 (b) 8 (c) 8 (d) 12 ?. (+, o)

9. f-2, 6) 11. ( 6, -3) u (2, @) 13. (J, @)

15. (-*,31 l?. t-3,l) 19. (-@ ;)21. {e.7,10.r) 23. ti,31 2s. ( o,.!)u(i'o)21. e?-, 2e. (-@. 4lut-i. €)3r. ( 6.-n)u(t,6) 33. t-3,i)35. +<c<+ 37.+<'<4 39. 5<P<tf

gErgdos t,t, PiGINA lo

21,

\ l'l \l'\ +./ \tr+}+*-+1I t\+ +r

(a) 5

(a) 5

l.5.9.

(b) (4, -i)(b) {-+, -2)

3. (a) !6 (b) ( +, -3)7,35

II

25.

f*+*(+

29.

I--+ .,

I

27-

ll.

1047

IESPUESTAS A TOS EJERCICIOS D€ M]MERO IMPAR

37. (r 3)':+()+2)?-16 !9. t'1+!':3441. (r +4f + (, - 2)1- 443. (t - l)': + O 2)r = 34 45. (-2,3),347. ( r,o),r 49, G. *), J1it4

lJEtctctos 13, PacrNA 18

l. 4 3, No existe

5. Las pendiertes de los lados opuestos sonisuald

7. S,./g€rercia.. Demuestre que los lados opuestosson prralelos y que dos lados adyacenres son

9. (-12,0) 11. x-2t t4=o13,3I-8J,-41=0 15. I-8'' 24=017. (a) r=10 (b)y= 6 19.5r+2r-29=021.5x 7y+15:0h. .-i,b:2 2s. n= -tb-o

39. (a) t, = +, + 24 Pda / €n meses;0.138 pie - 1.66 pule

Lb) l,| = 1dr - ]:0.095 lon/dia o l9O 4?6 lbldia

uEtctctos 1,1, PaqNA 37

t- 2, -8. -3,6t5 -31. (tJ 3d1 -a+2 (b) 3a1+a+2

(c) -3ot + o -2(4) 3a1 +6ah+3h'-a-h+2(.) 3a1 +3h1 a-h+4 (f)6a+3h I

5. (a) o1(l + aal) (b) o! + 4 (c) l/(d1 + 4)

(d) Itd' + 4J1 (e) |l(a + 4) () 1,lJo1 + 47. [i, -) 9. t-2.2]

11. Todos los ntmeros reales exceplo 0, 3 y -313. Si 15. No t7. Si 19. No

21. Impar 23. Pd 25. Par

27, Ninsuna de las dos cosas

29, Ninguna de la dos cosas

3r. {-@.@)j( o,o) 33. ( 6,-)t{-r}

3s. {-4. {); ( d,4l

11.

47.

43. (-€,alit0. -)

39.

t-2.21j [q 2]

IA+I

{-1,l}

It_31. -33s. G)

33. xl?lz) + ,e3):1

(b) Aproxinadamente 13 rn€ses

37. (a) -Ro es la resisiencia cuando ?'=(b) i6 (c) 2?3'c

n= -,,b:5 -= i,b: -i

10t9Respuen.s d los €j€(icios d€ nLim€ro impar

51. Si -l < x < l. enlonces dos puntosdiferent€s de Ia grdfica tienen abscisa r.

53. /=4rr-100j?+60tu 55. d=2\E +25u)5?. (a) , = J2rh + itr {b) 1280.6 mi

59. d:JSotro+t'

EJERC|0OS 1,5, PiGtNA 47

t. :. 5.

3rr + l/(2r - 3)i }: l/(2r - l)i lr:/(2r 3)i3r12r - 3)2ri 2/i: rr - (t/rr)i (rr + t)i (r' 1)

2rr + r'+ ?;2Jr - r1 - 2x + l:2\3 + 2r4+ lrr + 4r' + 3r + l0;(2rr r+5)/(r:+r+2)

19. 98r' 112r + 37r 14r' 3l21. (x + 1)rr rtr + I

23. 3/(3r'z+ 2)r + 2i r/(2?r4 + 36rr + 14)

25. J2r:+7i 2x+4 2L 5, -5 29. l/r4i l/x'31. rir 35, A=l6rt1 37, l-5Jl+8!39. d = n-9o,a1xl + (5oo + l5otf

EJEtCtCtOS 1.6, PIGINA {9

l. ( -, :) 3. t1.495,1.5051 5. (1,)?. ( 5.1)u(1. d) e. (a) r2 (b) (j,j) (c) ?

u. simetria: con r€speto al eje tt/r\/l\

/ \'

13. Simekia: con resp€do al oris€n

15.'t7.

I

19.23.21,

29,

3t.

(r + 4): + (}, + 3): : 8l 21. 15, -7): 9

6x-]t+24:l 25 x- 4

( 6,0) u (q l) u (1, -)El inrervalo (5, 7)

(a) vv4 (b)i (") I (d) r/V2 G) r/J1 -'O -rlJI+t ig) l/Jr1+l (h)V(i+l)

35.

37.

1050 R€SPUESIAS A LOS EJERC]C]Os DE N'MIRO IMPAR

(dl

lrI+*-39. Si a + b, entonces 5 - 7a + 5 1b; es decitr,

f(a) +

^b).dl. rr +.1+ v/2r + 5j ;t + + ./2r + 5,

(rr + 4)J2J + 5; (r: + 1)/J2r + 5i 2i + 9:

clpiruro lErEtqOos !.i, p^qNl 5!

l. (a) 10a 4 (b) l = 161 203. (a) 3a: (b) ].= rzx - 16

5. (a) 3 7. (a)(b) l: lr + 2 (bl

(b)

G)

G)

()+r 5.(a)

()I (b) 0 (c) No existe

2 (b)2 (c)2 9.

(d) I (e) 0

(a) 2 (b) 2 (c) 2

1r. (a) No erdste(b) 1

(c) No exnte

(a) -1 (b) I

lt..-\

I

(c) No existe 15. 619. 4 2r. + 23. j:

13.17.

25.3r. {a) 2 G, el eiedo de aceleraci6n que se

experirnenG a] momenro del despesue.(b) El limite po. la izquierda de 8t el elecro

de acele.acidn jusro anres de sollar elsesundo inpL,hor; limite por la derechade I, el elecro inn1ediaramerre despu€sde soltaf el segurdo impllsor.

(c) Limite por la izquierda de 3. el elecro deaceleracidn justo antes de apagar 1os

motores; linite por la derecha de 0, elefecto inmediatanerrc despuds de apaga.

ll. Srse."rcr',a. Demueslre que la ecuaci6n d€ larrcta tangente es / = 3' + 2.

13. Ser en n = 3; no alcarza a ninguna

15. (a) En cm/s: 11.8, 11.4, 11.04. ll.0o4(b) ll cm/s (c) (-i -) (d) ( a. ;)

l?. En pie/s: (a) 32 (b) 32Jto: tot

19. En piels: (i) 8 (b) lo (.) 2\/'29 ! ro

Ej€t€tqos !.?, PicrNA 65

1. (a) 3 (b) I (c) No existe (d) 2 (e) 2 (t) 2

3. (a) I (b)1(c)l (d)3 k)l (t) l

gttct(los t.3, PldxA t!l. Dado cualquier €, se elcoce 6 < E/3.

3. Dado cualquier E, se escoge 6 = €/5.

5. Dado cualquier €, se elise 6 < ./9.

7,9. Dado cualquier €, sea 6 cualquie. nfmero

ll. Dado cualquier €, se escoge 6 < E.

19. Todo intervalo (3 - 6,3 + 6) contienenirneros para los que el cociente es igual a It olros nrimeros para Ios que el cocienle es

igual a l-

21. Todo inrervalo (-l - 6. I + 6) contienenimeros para los que el cocienle es iguaj a 3y otros nimeros para los que el cocjenre es

igual a 3.

23. l/x: se puede hacer tan arande como se

quiera escogiendo x suticientemente cercano a0.

25. I I r - 5) se puede hacer ran grand€ como \equrera e.cosiendo.\ !ufLr-5_

27. Hay muchos ejenplos; uno de eUos es/(\): (x: - tr,{x- t) para r+ I y confQ\ = t.

29. Todo intervato (a 6, a + 6) conlie.ennmeros tales que /(x) = o y oros nfmerostales que /(r) = 1.

EJEICTCTOS t.{, PIG|xA slr. rr3 3. 5J2 20 5. _2 ?. 0 9. 1511. 7 13. + 15. s 17. 23 19. 2

21- 1; 23. -2 25. i 2j, o 29. 8ro31. (a) 0 (b) No exisre (c) No exisre13. rd) 0 'br 0 ,c,0 J5. I t7. I J9. .41. r-ir'r:(-If 4J. u.o

I

L

45. li0

53-

5t_

uERqqos r.6, PiGtNA 9t

l. 13 3. 4-J14 5.9. No exisle ll. l

17. --r 19- l

21.

21. (a) 6 (b) 4 (c) No exisle23. {a) i (b) I {c) No exisre25. (a) I (b) 3 (c) No exisr€

(a) 0 (b) La lenperatura no puede sernenor que el cero absofuto.

(a) No exist€ b) Cuando p - / +, laimaeen se mDeve cada vez nes a Ia dere.ha.

EJERCTCTOS 2,5, PaGINA 89

rt. irr] + i, r + li 13.15. ( 6, l)u(1. al 17.

21. [-5, 3]!13,4)v(4,51

23. Discontinuidad evilable en r = I25. No hay discontinuidades

27. Discontinuidad iniinna en r = I

29. r: 3t. . = ?:83J. /. a es continua en 0; a. /no es continua

Respuestds a tos ejercicios d€ iLlmero impar 1051

/es dnconlinua en cualquier intervalo abiertoque contenga al origen.

Noj li.r,-r /(r) no existe

Sj; todas las condiciones de (2.23) se

Discontinua en 50,000 (3 + r) para x = 0. r,2,.._

t;*.".,,,'*l

(v! r)

13..=yy r 4s. c:v/F-249. (a) T>0'parao<I<12;t <0opara

t2<t<u(b) r: 32.4 al hediodia ! T = 29.75 ala

sr. (a) ( -,0) u(0,1) u (3, a)(b) El intervalo (1. 3)

37.

39.

35.

41.

ti -)

-t13.

1

27.

13. [ 3, 2)u(_2.2)v(2,3]En 4, -4 37. En 0, 2

.l052R€SPUEsTAS A LOS UERCIC]Os DE NLJMERO ]MPAI

cAPiruro 3Ejtnod05 3.1, PictNA 100

r. (a) 0 (b) R (c) i,:373. (a) 9 (b) R (c) r -9r 25. (a) 8 tor (b) R (c) J,_ 2r+77. (a) - l/(r - 2): (b) {rj r * t) (c) } - _r9. (a) l/(2Jir + l) (b) ( :i, ') (c) 4_': lr + 5

tt. 1//2J)r) 13. 6r: 4 15. 2!17. tztu' 19. l/(a + 5),23,{x,r*0} 25.1}r+0,r+Jl}

27. /no es derivable en al, :r2*id, 1,-l-1- 1--

31. Si /(x) = dx + ,, enronces /,(.x) = a li€nesrado 0. Si /(x) tiene sado 2, en.onces/'(r) tiene srado L Si /(.r) tiene srado 3,enton@s /'(r) tiene srado 2.

uttctctos !.2, pictNA i09

1.201+9 3. l+8s-20s:5. lora + 9r! .' 28x 7. 18tt 2tt1 + 4t9,2r,)\ - 2r- . r t7-r- t2z,.nrL2 oz,:

13. \) -4r + 4 15. .2r (2 rr)17. 416rr - 195!: + 641 2019. 5,2(!r + l)r2r. -(1 +2x+3r)lr +I+rr+rl:23. 7225 6423 t8l - 70? 7 25. d{is.r27. lq5i a)29. 16 20t 21t1Jll (2 + ?r,)rlparar*03r. 2 - glxl) (6/x) J3. ( 3r + 2)/xl35. (a) J=5 (b) 5J+2r- l0:o

(c).1l 5r+13=037. (a) j. -2 (b) o, i 3e. j41. r 9 = 2ln - 5). el punro de langencia e!

(1, t)i)r 9 = 16(r - 5), el punto de langencia es(9,8D

(a) r (b) r (c)" a (d) 1r (e) J,(a) -4 (b) I G) -20 (d) i

19.

51.53.

55,

s7.

(8; - l)(,' + 4r + ?)(3rtr) +(81 - lx2r+4)(r: - 5) + 8(r': + 4r + TXri - 5)

{a)}= j&x:+1+15 (b) 55.3pier = n+Fr,i 8(800,80)

En pi€/s: {a) 4, 10.18 (b) 6,/5r ll.4(a) El sesundo coredor (b) Los conedoresemparan (c) El prin€r corredor

EJrRctctos 3.3, pAGlNA Itot. (a) i cn/min (b) 362 cnr/ni' (c) t2u cm:/min3. En (latidos/nin)/s: (a) ? (b) t5 (c) 235. En cm':lsr (a) l2(rotr (b) 6400n (c) 9600r

?, En r = V6; la tasa de crecimienro es positivapara 0 <, < V6, y negativa para I > 16.

Ejercicior 9-13: Los simbolos Ia, b), (a, bl y(a, ,) derolan intervalos de tiempo.

9, y(t) = 6r - 12, a(r) = 6i a la izquierda en

[0, 2); a ]a derecha en (2. 5l

ll. y(t) = 3t, - 9. a(t) = 6r; a la derecha exI 3, -V3); a la izquierda en (-,6, []); a laderecha en (V3, 3l

r3, y(r) = 81r l2t, a\tt = 24t2 - t2 ataizquierda en { 2, -\E/2)r a la derecha en( /3/2, o)i a la izquierda er 10, /i2;; a raderecha en (a/'3/2,2l

t5. r(t) = 144 - 32t, a(t) : -32t y(3) = 48,a\3) : -3Zi 324 pie; en t = 9

17. -0.12 unidades,/pie

21. -2,t,/dr donde t es la consiante deproporc'onalidad

23. (a) 806(b) c(x) = (800/r) + 0.04 + 0 ooo2r:

C'(x) - 0.0.1 + 0.Ol)04ri.(100) - 8.06; c'(t00) :0.08

25. (a) 11,250(b) .(r): (250A) + r00 + 0.mlr2l

c(x): t00 + 0.003x:i(l0ot: 112.50r C'(100) _ t30

2?. c,(5) = a6.oo; c(6) - c(5) = a6.6?

ErEtcrcros 3,4, piGtNA tt8

(a) (4x - 4) ^,

+ 2(^x), (b) -0.72(a) -(2x + ^9 ^xt/tr1,

+ ^r)'l(b) -#+ ! ,0.01e

I

l.3.43.

15.

R€spu€stas a Los €j€rciclos d€ ,'!mero impdr

5. (ai (6r + 5) dx + 3 (Ar): {b) (6\ + 5) dx

F_.- ,f*-l31. 40qo de aumento

EJtRclclog 3.5, P,(qNA 134

1..1{rr 3r+8)r(2r 3) l. -40(81 7) 6

5. {7rr + 1)i(rr 1)3

?. 5(813 -2r2 +r- ?)'(24r: -4i+ l)9. lr.o0o(lr. - 5fqq

ll. 2(4rr - rrr + 2r) \20/ 9l + 2)13. 32{6r ?)r(8r) + 9) + l8(8rr + 9X6r - 7)2

(6r - ?l:(8rr + 9xll6rr 224r + 162)

15. 6f:': (l :ll5tl: + (2 :)ll?. 2Ot, - l) (4, )lo od!: - "4, -'i

(!r + lF(4rr - 30! 2o)/(4! - 5)t

19. l24x(3r' - 5y(2xr + ?)l21. 6(s-{+3s:+2) 1 4s 5 6s r)

23. 2oo12r + l)el(2r + 1)'o + lle2a. 2Qt + lllzt + 3)1124t1 + 26t + 3)

27. (;) y 8l = 86(x 2)r l 8l = r:r(! 2)

(b, (r. rr l+,01(J.0r19. (a) t-l:20\ ll.r-i: jo(r lr

(b) (r, o)

31. dt = lqx' }' + L)"(4tr 6r) dri d, - 0'2

33. (t) ds-ia(b) ds/ds: il:'+ (2r;115G: + t)12s

dKldt: ^xkl'ldt) 17: l,//dr ! -01819 lb^

4i 15 4r. -i

EJrR(rCrOS 3.6, PaGlNA 1r0

r. t(\) = -ir:+2r+i,R3. /(r): jl6 rr, t 4,41. Hay otras respuesras.

s. /(r)-r+Jr,[0.-)7. /{r): I - 2Jx + x, tO ll 9. 8i/}

ll. -(6r'z+ 2ir)/(rr + 3,r)

:!3. (l0r - l)/(r + 8r) 15. ylrl1?. (2rlr + 4I + l)/(3rrt1 + 41 6)

19. (4r? + 3r t)(8r + 3)/tat(vr 9)rl: (8r + l),/t4{4xr + lr - l)rrll

21. J2t5 23. -125. 4r )+16=0 2?

'+l=-*(r 2)

29. Si asi fuera, entotr@s UGit + t1 = -t'que es imposible

3r. (a) Una iniinidad(b) Una, /(.Y) = 0 con doninio n = 0(c) Ninsuna

13. 0.09

[JERC|C|OS 3.7, piclNA 115

t. lr-,! + 6a,/: 3. 8l(8t + 27) i'r

s. 5,10i .12) 6rr ?. l/J2te. r5/z rn:ii) ll. !w'+as e)/(2$3':)

13. (8r - ?y(2J4x: h+4)15. -48t(9r1+ 16)5rr

17. I lr- (l! + R)(2r + trl19. Ibr,:

-{, 'r4" r ))' ;"4 1 <'',r? | q) "

21. ir1,: + 4)r lrr + lr : I. 'i,r,r_ 4, .r\ . t11.

23. 6(7r + J'Y'+ sftl + (r/Jr: + 3)l

25. )r-\),-l o 27 ,42) 29 \tr31. (t2jr}, +.')(6J9 r)33. rtwidt : (1.614 \ to')L1 1a (dLitlt):

15. 6Oa cn:i 11.508r t0.89ilro

l. r

(a) -ar/tr(r + ^r)l

(b) ( &rl:G) -(^r)1/tr1r +

^rt(a) -9dr ib) 9Ar (c) 0(a) 4rr (A]) + 6r: (Ar): + 4x (^r)r + (^r)'(b) 4rr Ar (c) 6r: (^r): - ar (Ar)r (^r)a0.06 15. ds = (3:r 6: + 2) dz; dF - - 1.30

, lo2r \ :60l pulg): -00n_i 0.7(30 pulgr: 30.301 pllgl3101.661i 1ll.,l59i 10.00341i 10.347 ?ll/(50tr):0.0061? 25. l0.92:0.92236816d,4 es la resi6n sombreada

/ r\r: i\r- I

ir: r * 1ll

35.39. 11. 3/(2Jlz + l)r 9/14J(3: + l)rl

l05r RESPUESTAS A LOs E.JERCICIOS DE NOMERO IMPAR

43.

45.

17.51.53.55,

57.

2OI4t + 7).: 320(4t + 7lrl2rr 8r + l:36r, s

120!'+ 18 49. 594{3r + lf()\tr \ilr5: 2rJrrur!' r!J + a)(2r t.l=40(2j t.)'t''l^ r: l tfn','* i/,\tJ-( t).n,EI srado de /' es r - t, et de f" es a, 2,. . ., el de /(') es 0. Corno /(,t es una furc 'nconsrante, lodas las derivadas de orden mayor

i(7I - 2) 121+ l)-Iir l4{7},- 2)-12r'+ lfE2xlkr+ ?)(r1+ l) r (rr + l)k:+ l) + (Ii+ t)(x:+ 2)l

r7i:f+1/.+.r{y

1r *Put+ ry1+,,'if + y:y125. tl(3r+2)'!(2r+l),1

:(2r+3)1r13r+2)',rl(3r+2)27. 3(9trr 5;r.)115:rr l: rtr)

29. (9s l)r(l08sr ll9r + 19)31. (4r),r l5r:Xl2): - 4i:l)31. ri tJ;(3Jt + 2)l35. 91 4J, l2=0i 4r+9r=703?. r ),+4=oi r+l+2=o 39. (4tJtor64r. l5rr + (2/Jr); 3ox (r/J;r)i 30 + 3/(2v{.)4J. 5(],r .lr)' r,)/(l 2r)r: 4o/() 2ifas. /t\r) : nrl{l rf'l4?. :t006; 1t.5i1 49. 0.575r. (a) 2 (b) ? (c) 14 (d) 2l

G) + (f) l?

21.

53.55.57.

59. Dl}' :/1a(\Xelr)r +/'(s(x)a"(r)

rrEtatctos 3.8, PiGtXA 150

t. 3J316/8 r -6.9 pie,/s

3. 20/92 : o.7l pie/min

s. ii pie,/s; #piels7. 1442n = 2316a p:u]lt/tt 9. + piels

ll. Aumenta a ru6n de 5 Dulsr/min

l5jl/12 a 08 pie,hin

ir(82) ! 0.1989 pulg/ano

-1.,{Qooo - ,o:rs cninin 19. rmls+j6 g/s 23. l:l31rl I2z:0.18 pielmin

c(100) = r!6 c(lor)-c(loo): lt6.n2%!(r) = 3(l r'z)/(rr+ l)r;,(r) : 6(l- 3)/(r,+l)tr;a la izquierda er [-2, -l)i a ta derecha er(-1, l)t a la izquierda en (1, 2i.: pier,hin 6r. trtb: - ptt 63. 0]560

13.

15.

11.59-

2t,

25.

2?. (6 + J!)rs0/v/i0 + t!,' - 15t.6 mi,/h

29, - 21 i(25n) - O 344 p\!lE/h

31. 10.63 mi/h

UEROC|Oi 3,9, PiGbtA 156

l r.2599 3. 0.5641 5. l.3ll5 7, L732t9. 4.64575 11. 1314 ll. I,t.l5

15. -r.88,015,1.5:l 17. 262, 0.18.0.27.l.7l19. (a) 3, 3.1.125465, 3 1415926. :l 1415926, I t415926

(b) Tienden a 2r.

UERC|CiOS 3.10, PiGtNA 157

l. .a,,,\ 2r: 3.o--, 5. 1-6,._7. ir7rz 4: + l) ,1t42 4)9, - 144r,/(:lr'? l)r11. 2(r: y )) tl2t + 2! 3) i3. +(rr+2) 1',

t5. 4(8s: - 4f(72s. toss: + r6s)/(l 9sr)r17. 1i6 + r)1(n! + 2t(99r6 + 60rr + 9)

CAPiTUIO 4EJER€rC|OS t.t, PActNl t69

l.5r-l J. 1t u

s. (a) como /'(x) = l,/(3x,r). / (0) no existe.Si a * 0, enrorces /'(a) + 0. por Io lanro, 0es el rinico nnnero $llico de t EI nfnero/(0) : 0 no es un valor extreno local,porque /(x) < 0sir< 0 y/(r) > 0si

(b) El hecho de que 0 es €l [nico nimerocrltico y de que hay una recta rargenrevertical en (0, 0) se deduce como en la parr€(a). Ei Dfhero

^0) = 0 es un minimo local

porque /(J.) > 0sir+0_7. Hay un nfmero ditico 0 pero /(0) no es un

valor exr.emo local, porque /(r) < /(0) sit < o y f(x) > /(0) si r > 0. La funcidn escontinua en cuaiquie. nfmero 4, porquelim.-"/(x) = /(z). Si 0<!,<xr<t,€nronceir /(.rr) < /(r,) y por to tanro, no

Respu€stas a los ejercictos d€ nLjmero imp 105i

hay Dn me{imo ni un minimo en (0, l). Eslono contrdice (4.3) porque et inlervato (0, 1)

9.e rr.: y-2 13.2 rs.4y-4(no0)r7. 0, 4 y: !9. Ningu.o

21. o; tJ3; 1l 21. 0r rl 2s. 5i -jjl27. SiJtat - c.\ + dy c + 0. enronce\ / ( r) -. / 0. Por lo ranro. no hly nimero. crilico\.

En [d, ,j la lunci6n toma valores exlremos

29. Si J = , es un enrero, enronces /'(') noexiste- Sj existiera, /'(r) = 0 para rodo

31. Si /(r.) = ax2 + bx + c en a * 0, enlonces.f (x\ = 2ax + ,. Por lo lanlo. -b/(2d) es etini@ ntmero critico de /.

33. como /'(r) : n,r'-i. el tnico ntnero criricuposible esr : 0 y/(0) = 0. Si, es par,entonces/(r) > 0 si r + 0 y por lo tarlo. 0es un minimo local. Si ll es impar, entonces 0no es un valor exlremo porque /(r) < 0 siir<0yl(n)>0six>0.

uERoctos t.t, PictNA i7tr. /no es de.ivable en el n'imero 0 del inlervalo

( I,l).3. /no es continua en el intervalo [-1,4].

5 t:2 1..:0 9- .=2 11. . =2

urngqos {.3/ Pi6txa 1s2

r. Mix, /( ;) = r+ j cr€ciente en (-e, -ilidectecieate en I-1, @) (viase la s irtcal.

3. M^x: f(-2) = 29; MrN: /( : ) = -:fjcreciente en ( -, -21 y lj, -); decrecienreen I-2, Jl

5. Mix: /(0) = i; MiN: /( 2) : -15 y

-t(2) = -15; creciente en I-2, 0l y 12. 6)jdecrecienie en (-o, 2l y t0, 2l

11-

1,

9.

ll.

MiN: /(-1) = -3; creciente en t-1, @);

decrecienle eh (--, -lltrr,ix: /(0) = o; MiN /(-\r3) : /(tr3) : 3;ffeciente en l-tr1, 0l y I\.3, 6); decreciente

en (-€. -n3l y 10, lllMix: i; ) = 42i M,N: /(0) = 2 y

/(7) = 2; c.ecienle en I0, ;l y t?, -);deqeciente en ( -. 0l y t:, 7l

,\in t

+/ \ Iiwr3.

t5.

t7.

19.

21.

No se satisfacen las hip6tesis.

. = (2 \/?)./l

Si /(x) = .x + d. entonces / (n) = c para

l(h) f(al = kb + d) (.o + d): .(b -,) : / (r)(r d)

Si /es de srado 3, entonces / (r) es unpoli.onio de grado 2. Por consisuienre, laecuaci6n/(r) .f(a) = f (x)(b a) tiene

^lo mes dos soluciones.yr y 12. si / li€negrado 4, entonces a lo m6s hay tressoluciones. Si / tiene gtado r, entonces a lomrshay/-lsoluciones.

l3-

l5-

Max: /(-1) = -4r MiN: /(l) = 4i creciente en

{-6, -tl y u,6); decreciente en [-1,0) y(0, llMrx: /(: ) = 0.346; vrN: /(l) = 0; crecierteen (-6, il y Il, o)i decreciente en I;. ll

15.

MAx: /( V3) : (6vl)1/r; MrN:

"r(f, : (6't3)"'11.

NESPUESIAS A Los EJERCICIo. oE NITIIERo IMPAR

27.

r9. Mix: /(-l) = 0: utN: f(il = -s3121/7721. No hay

23, (a) Mrx: /( ;): 1,+i MN: /0) : 6(b) M,{xr r( ;) = ,#r MiN: /( 4) = _3r(c) Md: /(0) = 5; MN: /(5) = -130

25. (ar Md: l-r) = mi M^: l|t = -t6tb) ^xt

[t-2t = 29r MrNr/(-4) = -jl(c) Max: /(5r = t?6i MrN: /tjr= _r#

(--, -fg) y ([+. 6); cab en ( f9. VTJ; hiabscisas de los p, son a/?'

7, Mix: /(0) = r; MiN: /(-l) = ,t0) = Or cAre\ (-a, -1/.,/3) y (t/y'3, @); c b €n(-lly'3, l,fr; las abscisas .le los pr son

5.

No hay mrximos ni mtnimos tocat€sj cd en(-€, 0); ob en (0, o); p, (0, l).No hay mdximos ni minimos; car en(-@. -l) y tl, €r: cab en (-J,0) y {0. jr:las abscisas de los p, son +t"!:lll

MrN: /( l, = +i MA\: /tl) = i; cAr eo(-VJ.0) y rvl, -,i cab en (--, -tr1) y(0. r'lli la5 abscisa de tos pr son 0, t/t.

T

M^x: i-:) : ?.27; MiN: /(0) = 0: .ab en(--..01 y (0, j); c{r eD (i. -r: el p, est:.'PVn) Uease ta entncot

M,N: /-2) = -7.551 cAr en (-€, 0, y (4, @,rL\b en {0.4r: las abscisas de tos pL lon 0 y 4.

t7,

(a) En r = V10.5 - 3.24 aiLos;2t\i eD ttl.

(b)

33. x=y=2

rJ[Rcrdos {.{, PictNA 19'

Ejercicios 1{7: Las notaciones cAr v .Absienifican que ta grafica tiene concavidad haciaaniba o hacia abajo, respecrivamente. en elintervalo indicado. p, denota puntoG) de inflexidn.

t. M1\: /(j, = jj: M,N: /(l) : r; Gb en(--. i): .ar en I l. 6): ta abscisa del pr es ,.

3. MiN: /(l) = 5; cAr en (-6, 0) y G, -): cAben (0, i)t las abscisas de los pr son 0 y I.

t. 3.

Mix: /(0) = 0 (po. et Crirerio de la primeraDerivada); MiN: /(-\O) * /(\42) : -s; cd en

t5-

t1.

Ut

'lt ''r

Respucstds a ros ejerclcios dc n(merc impd 1057

19. 21. (b) se usa todo el alambr€ para el

r€clingulo

31. Anchura = t2/(6 - ,l3l - 2.81 PieiAl.ura = (18 - 60l(6 - f, - t.za Pl"

35, 31 3?. l8 pulg, 18 Pulg, 36 Pulg

39. 4/O + {i\ = 2.1?ni desde A

43. (c) 2l.9milh

uEnodos1.6, PAGINA ri6

r.; 3. -i s. l ?.09,6t-6:x=4i!=O;

no hay mardmos ni ninimos

23, 25.t'

IA /-?+r-,) \

21. Si/lx) = ar2 + ,r + c, enionces

f"(x) = 2.a.

(a) carsid>0 (b) cabsia<0

31.

35. 3990 unidades: 515.420.10

uEictctos r.5, P^GI A tol

t. Lado de la ba,l€ = 2 Pie; aftu.a = I Pi€

3. Radio de la base = altura = l/V,5, 25 pie por + Pie 7. 2.23.05 PM

9. 5V5 = ll.2 pie

11. -Longirud = 2v3oo = 13.38 pie;

Anchura = :V3oo = 10 04 Pie;Altura=i6oo-669pie

19.

21.

E.27.

29.

Si / tien€ g.ado ,, entonces /" ti€ne gradon-2.(a) r! (b) 50r $r: (c) 48I i6r']- l0(d) a8 ir (e) 5?50 (r) 2

(a) 18001 2x':

(b) 1799x 2.0lxr 1000

{c) lm(d) $r58,800

29.

15.

t?.

ll. -;--;1: j;y=ono hay rn ximos ni mi mos

13. -o . 6; x = -8i./ = O; MAt: /|8) = +

-6, 6 para a = -li @, -e Patu a = Zl

:=--l,r=2,!=2iN^xl/(0) = 0; MiN: /(-a) = rf

t5.55

Radio = /i!/2; loneirud del cilindro = 2i45

Lonenud de la base = \Aa; altw^ = a/\O

#ia1 23. (r,2)

Anchura = 2alfX profundid^d = 2f2n/'B

500

(a) se usa 36tr3l(2 + f9 - 16 ?l m Para

RESPUEsIAS A LOs UERCICIOS DE NOMERO IMPAR

19.

11,

17. 6, -@ W^ a = 0; @, @ paraa = 3;.r = 0,.r = 3, .rr = 0; MtN: J.(1) = :

13. {=l,r=x

3s. ( 2.0) 37. (i, 3), (,i, )39. (a) /0) = 50 + 5,i 0(r):0.5t

(c) cuando I - 6, r(t) - 0.1lb de sal Porsaldn.

4r. (b)

x:2, t = 2.!:A

21, r=2

23. ]: 3,r=0,r-2,)':0

25. r: 3.r=1,'}':l 27. x:4, r:0

29, \=-l,t:x 2 3r. r=0rr- jx

EJERCTCTOS 1.7, PiGrNA rfll.3.

9.lt.13.

15.19.23.25.27.

29.31.33.35.

lra-lx3+lr' rr+cjr :+3t 1+C 1. 2x311 +2x\P +c9r,3_*,fi+7r+CSrqa++xr4-r r+c-(27rr+35r+16r(3r)+C3ri rrz+x+c 11. +"3 +x'1t. +c+xq' + c 21. :Ir+jrr+x+c(rll)/(r)=4Jr-3r?+r+3/{J)=3rtr-jr:-8l++tO=1t5t,+t,_4t+4

(r= 161+80l+240s(t = 16l + 1600i s(50) = 4o,ooo(a) s(r): -161 16r + e6(b),-2 (c) 80 pielso0) = l0 piels' 4r. F = ?c + 32

Despu6s de 19.6 anosC(r) = 20I - (0.015/2Lr + 5.0075j $986.26x(r) - jrr .lrr + l5ri p'(r) = 3r l

39.43,45.47,

EJTRCTC|OS 4,S, P,iGrNA ''6

1. (J6l - O/33. vart flz):28; MiN:/( j)- -+;

decreciede en (--,-11 y 12, -): cr€ciente enl-i, zl (v6ase ta snui.aJ

s. M,ix: /(l) = 3; crecienre en (-o, ll;decreciente en [, 6]

R€spuestas a los eiercicios de nLimero impar

1e. + 2s. +

7.

9,

M^x: /(0) = l; c{ en ( o, 1/!5) y(l/V3, a.); c^b en (-ll/t, I/[r; las abscisas

M,ixr /(-l) = 13; MIN: /( 3) = 3Jasabscisas de los pr sor o = (-3 - 2,13)/3.!b : ( 3 + 213\/3i dr en (-o, a) y (r, 6):

EJERC|atOS 5.2, PiGINA 2{4

l. 1.1. 1.5.r.1,0.4.0.9r iP -1.53. 0.3, 1.7, 1.4, 0.5,0.1; P = 1.?

5. (a) a0 G) 32 (c) 36 ?. ? 9. 79

ll. llL O\: 2r + 5)/t lJ. li 2n4l + (rrd\15. ': 17. ro 19. l) 21. a- 4 2.1. ."'25. Cualquier funci6n no acotada. Por ejemPlo,

/(r) : l/.t o bien /(r) = l/Jr '. No haY

coniradicci6n porque el intervalo en (5 12) es

EJERCICTOS 5.3, Pi6lNA 2s1

1, l0 3. 12 5. 2 7. ',18 9. -+l13. Irr/G)dl ls. J;'i /G) dx

1?. (a) j3 (b) e

19. (a) 3 (b) 6 2r. (a) yl5/4 (b) 14

25. Suselek.ia: l{r) <JG)< JG)

TJERC|CTOS 5.{, PasNA rtS

r. -r8 3.+ s.5 7.j# 9.+tl. + 13. -{ rs. + 17. -j 19. o

21. + 23. + 25. 8J+t629. 1/(x + l) 31. 6 3?. +3e. i€ n. j sr. arrl.,rr" +l53. 3r'(re + lfo 3(2?!3 + l)'o

rrERcroos 5.5, PIG|NA t56

*rtl., + L)'+ C l. SLrr r)r: + C

ii'' +, + rr '+ c ?. al - 2"ii'+ c

i(at+3f +c r1. + 13.0 1s. 1

it'+lr5+xr+r+c3{t'+s;r16 tt. '(b) i(r+4.:+ 16- + C,i Cr:C'+T(a) l(J- + lr' + c,(b) +J', +6, + l8^r : + a:, 18 + cL :c,l/,^i+'+5 ll. I .]J +r"r I ror i J? (a) *i ibl i9

EJER(ICTOS t.5? PiGTNA t74

r. {a) 1.41 (b) I.39 3. (a) 0.88 (b) o885. (a) 0.19 (b) 0.39 7. (a) 3.ls (b) 335

11. 125 yardas por 250 yardas

rs. El radio de Ia semicircunferencia es l/(8d)ini,la longitud del rectensulo es * mi

17. (a) Se tlsa todo el alambre para lacircunferencia

(b) Se usa una lonsitud de 5r/(4 + n) =2.2pie para la cironfe.encia y el rqtopara el cuadrado.

19, 1 2r. a 23. 6 25. 62?. l,={,r=:,r= i 29. x= :1,},=',1

9.

_8r 1+2r-:_:x r+C 35. 100r+Ci(2r+1)4+c/G)=Lr/3 t,++x #

1.

5.

17.19.23.

29.35.39.

33.37.

39,

clpiruro sEJERCTCTOS 5.1, PiGINA 237

1. 5 3. 3:l 5. 40

13. j(nr + 6i'1 + 20n) 157. 510 9. 500

1060 RESAJESIAS A LOs UEROCIOS DE NSMETO IMPAR

9.17.21-

1.38 11. 0.88 15. (a) 8.65 (b) 8.5e t7.(a) 128 (b) 132 (c) 128 19. ,l-o.l7am^(a) 4l (b) E

le. +

++-Si o(,) = (2,y + 4, - 2r = 4 ea 10,3),eDtonces,4 : limr, r-o L 4411.

t^t A=lladr=12 l"(b) ,{ = (3x4): 12

x. s€a /G) = v4i; af en 11, 7t. Enronces,4 : limn'r-oL 2/(vr) a.rr. como laregi6n este acotada por una ci.cunferencia detudio3,A=9r.

25. El limite es el 6rea de la reei6n bajo lagreficade/ = 4x r lenrre0y I.,4 L

27. El limite €s el iirea de la regi6n a la izquierdade la srrnca de .t = 4 - r, y a la derecha deleje / entre / = oy, = l.A = +

29. Bl diea -4 d€

{(\}):2<r<5.0<y<r(x'+ti z}, a= Ar31. El tuea ,4 d€

{(r}): 1 <}<4,0 < r< (s + JltJy}. e : n33. 9 35. 12 37. (i) 4.25 (b) 4.50

39. (a) Cambia h alura entre r = l0yr= 15

EJERC|cros 5.1, PiGlNA rg6

5.

3.

?.

2t.

t.tl.15.19.

23.

27-31.35.

EJrrd0os s.7, PAG|xa t76

?0 3.+ 5. l0 ?.i f.i+o 2r2f + c 13. /E-J]:l.lo

-2(l+!ar)+c l?. 3x-::-:x'+cti 21.2@1+r-1)'+C-r r+3rr+a .. 6hif+:l+t+c zc. o(a) 341.36 (b) 334.42 33. *:81.525 "F

c ?frulo 6EJaR(lctos 6.1, pictxA !87

2t

r {,r.#-*'l',**

IH*I'-.-

2a/3

I

NItl+-+l l

5l2a/15

,r-FJ-

l.

l.+

1+,a

4

#rr. 8f

+ls. I

I'

nL' ,,1

r.+

riirr

7+trs.+

+.-T--9.:

+..-7W/+\

t3. 2

].., ./K

Respuestas . los €j€rcicios de numerc lmpar

9. 64J2n/3 tt. 72v/5

l

l,W-1yL,ww.P

13.

17.

19.

576n/1 15,(^) 5t2xl1s (b) E32rl15 (c) l2E /l

(b) r/ - u Jl: (8 4r)? (8 xr)'l rr +

' I; l(8 ')': {8 4rll dr

(a) (vdase Id erdlica)(b) I/:'ll tu- r)' e J3 t') dtl^) (raase ta sntfica)(b) ,'=

' i' , (5 + Jr lt (5 - v/i lF)'l di

=2orlt,Jt rldt

2s. v: int'1h 27. v= \nhQ1 +tR+R'1J

29. El llmite es et volumen del sdlido qu€ se

obtiene al eirar ta regi6n entre / = x2 y

.y = rr, 0 < n < I, alrededor del eje x. I/ =2t/35.

37.63r/2*99

EJERCT(log 6.1, PAG|xA 3oo

1 l 3.2atls

WWs. t35nl2

o-

21.

(Ax/3 13. h) t6k (bj @El3(a) 5r2nl15 (b) E32rl\s (ct 128n13

v :2n lo a@ - lXIr !'t3) dt +2n J3 (E ,Xlr/r iy) dy

v=2rl;Q '\' - x'z) dx

v=a"l',6 ,)Jt-x.dx n. v=+r.'hv:inh(t'+tR+Rz)El [mit€ €s el volumen dcl s6lido que se

obtiene al gnar Ia r€9i6tr ent.e / = r y! = xz, o < t = l, atred€dor del eje r. r =

29. 76n -239

ErrRocros 6.{, Picrxa go3

t. 16a1r 3. ++ 5. 2r1h/3 7. \28n/159. 2a3/3 ll, na1bl2 13. 4 15. no5l24

EJrRctctos 6.5, PicrxA 31t

1. (4 + *f)r/, (1 +:J)r/' ! ?.2e3, *tt0r/, {r3rrrl8)l ! ?.63 7. -! 9. j:;u.

" = t6 J-6=l/ + 9y' dy t3. 6

rs, s(r): (,2/3 + 3)r/1 - (1 + 4)3/:j

^s = +t(e(l ll/3 + 4)rP l3tll :0.1196;

ds = Jt3l3o ro.t2o217. &=a,&(o.r)-0.a12; d(a, b = \6.nu.0.42219. 1.44 21. 8.61 23. 3u(2rl': - l): 1s.325. 16,9\\ft/1024 - 51.9

n. &127)(8.3731' - 133t1) .294 29. tOfr

EJERcrctoS 6.6, PictNA ii8l. (a) 13I lbf ' pule (b) + lbf puls 3. F,:3r,5. 22J0 lbf ' Die ?. {.660 J

23.

28n15

f,Iaffi .I

sta/5

1062 REspuEsTAs A Los lrEnclclos DE NUMERo IMPAR

9. (a) 8t162.5)a/2 -'7952tbr ' Pte(b) (t89\{62:)n/2 = 18,555 lbf pie

rl. 500 lbf pie

13. (a) 3cl10 ere (b) 9cl40 ers (c es una

15. 276 lbf pie

1?. 575(1 l/V4o): 12.55lbf pulg

19. t7: 4h,n1ftl[401x\4000 + /,)]

21. 36.85 tbf pie

UERCtCtOS 6.7, PiGTNA 3t3

1. (a) 31.25 lbf {b) 93.75 1bi

3. (a) 62.5/V3 lbf (b) 62.5V3/24lbl5. 320 lbl 7. 303,356.25 lbl9. \59?r(62 5)/) lbt = 12.133 3 ]bltr. +rbf 13. 4500lbfls. (a) 1516lbt (b) t6l'+.6 lbf

uEtcrctos 6.8, PiGtNA 33t

1. lvt,= 21 Mt= -46tt = -+: t- = -#3. (i,l) s. (0, !)

EJERCTCIOS 6,9, PAGINA 310

1. ll (R€sla del Trap€cio)

3, (a) 150 din cm (b) 150 din cm

s. (2? 5J5Y3:5.27 sal 7. 1.56 L/min

1r. (a) 9t(601):'r - ll ! 632 min(b) 2 9t(301)"r - ll ! ?90 Inin

13. En ninutos: (a) 18.16 (b) 6622(c) 115.24 (d) 197.12

EJERCICI05 6.10, PAGIXA 34?

9. Jal5

rl. (a) ll52r/5 (b) 542 (c) 1?28rl513. (31t, to\t)121 a7.t615. 432(62.5)z ! 84821 lbf pie 17. 6'000 tbf19. (*. ir)

7. (i, O e.( i, i)

lt. (i. i) t3. i=f=aalQa)

.: O,t = -2rJa/13(8 + f,)l La ligura se

coloca verticalnente con el origen et el

.ent.o de la circunf€rencia.

21.

23.

27.

9OO pie (Resla del Trapecio) E n/5

Hay dos posibilidades: al s6lido se puede

obtener siratdo ra regidn bajo la srdfica de

t - x2 ente x = 0 y x : I alrededor del eje

x, o skando la regidn bajo la sr6fica de

l:ir3enrer= 0 y-Y = I alrededor del15.

Respuestas a los ejercrclos de n'jmero impar 1063

CAP{IULO 7UERflCtOS 7.1, PictNA !19

1,3 Hay que demostrar que tbGD - x = s(f(r))

]l.

47.

(10,5 ln l0 - 5) ! (10,6.51)

!(t) - 2t l4l( - t))1 a(rJ:2 +l{l(t + \1)la la izquierda en I0, l); a la derecha en (1,41.

(a) s(0): 0j s"(0) : b./(n' + nt(b) s'(h:/b) = -c ln [n'/(,' + nt]i

1, i, +, +, inri.; la p€ndiente tiende a 0i lapendiente iiende a infinito

49. Las s.aficas coinciden si.t > 0; sin embarso,la sr6fica de / = ln(n') contiene punlos con

abscisa negativa.

51. ( l)' '(, t)lr-'

uErodos 73, PAGiNA 366

t. ,5e 5, 3.6.""" 5. e"/Jr+e.?. ..;+'(2J] +l| 9. I 2':+2r)e '

e'trr + lt - 7^1 .'(r l)'11 ,,,* ri o ban i-, +iF13, t1(e;" 5);ea' ls. ( .ri-41 e-r

(t+e')'1 (d-e')1

23.

71.

ead.:ft|/n zln)l 2r.'=-- =' ,

3r: !d'25,

-

(.- +.-LrJrn (.! +, 'z!) (€ +bv

.u] "", ,r. r:(e+l)r-e L

(b) rlnr < I si x = l/€,xltt > 1 si

, = e y ,lnr es creciente eA ll/e, eli 1.76

MrN: /(-l) = -.ri decrecienie en (-d, -ll;creciente en [-1, &); N en (-2, @); cab en

\--, -2); P1 en ( 2, -2en).

No hay m4ximos ni minimos locales;

decrecien e en (-d, -)i d en (-o' o); no

haY Pr.

41.

43.45.

5, J \G)= G + 3Jl4

?. / t(r):(l -5x)/(2x),x>0e. / r('):Je r,r<ell. / 'cl: V(r + 2Y513. / i(r):(,? + s)/3,'>015. / t(r): (r 8)l

19. (') | t(')-(x blo(b) No (no es uno a uDo)

21. Si e y i son ebas funcions inversas de,enton@s /(s(')) = x = "{r(r)) para todo.ir. Como/es uno a uno, eslo implica que

o(') = ,(.!) para todo r, es decit' s = n

't7.

19.

23,

EJERCTCTOS t.r, P^GTNA 357

1. 9/(9r + a) 3. t5/(2 3r)S. ,3x11(t 2x3) 7. (6x 2)l(3x'1 -2x + t\9. {8i + 7)/fl(air + ?r)l 11. 1 + ln !

1t 1\13. -ll+-l "'-:(*;.'))n6-- +_ 19. . .-5r-7 2r+l

x'rJ^'rt'l(r' + l)lln (r' + l)r/tc1 + l)Jb (x': + l)l

l8

i2,: 1), lr. Jl-rYlntr(lj + l) J- \r rn tlllx+!-L) 15 j=3] l)tl, ll. (i.4 + 4ln 2r : 12. o 8)

25.

33.

11.

2t.

25,

27.

29,

33.37,

35.

1064 REspuEsTAs A Los uERctclos DE N0MERo IMPAR

31. M61: f(Ue) = -t/ei decleciente et (o' l/elicreci€nte etr {1/e, 6); cAr en (0, o): no hav P'

41. -2/(3 2x)43. ds -. !n (T?/T,)

4s. (a) 0(r) = 25 2.5e-'' (b) 2.5 coulonb

47. (a, s(r) = lu.(l - ?-'r)(b) *v0 (S!8e.ercioi Hacer r- @en (a) )

49,21n13.25)

E'E[€rcl05 ?.5, PaGlNA 380

1. ?- h ? 3. E '*r(2I ln 8)

5. i4;r + 6rr(ln loxx'+ lr'7+ 1)l?. 5!_'3ln 5

9. t (i'? + I)lolr' ln 101A1 + (?rl01i')

r. t(2l" 0i ?)?'lfu)l/v4'+ 9

13. 30x/t(3r? + 2) ln 101

,.- / u -,'.\,'. l?, r/(\lnrhlo)

\6(+4 2r-rlln) ? r

re. ,'.'r.' zt. ,^ r tr'(^,-.t",,-tt;

',1

4r. (a) (lo a ln b)/(d ,) (b) lim,-- ct) = 0

43. (a) 75.8cn; l5.98cm/ano (b) 3 neses(r=:);6anos

4s. bJ fb/a\ lb\ Bt x = 2/a

41,

51. Max: r/(df'); craietrte en (-6, rl;deqecienre en L., 6); cAr en (-@, I - tr) y(rt + d, 6); c^b en (A - d, /r + d); PI en(r ir d, .) donde . = e t/z/l6J2rJl

Iim,-- /(r) = 0; lim,--- /(t) = 0

t1/(3ld 10)ll0r- + c| 1/(2ln l)13-" + c(1/1n 2) In (2' + 1) + c 29. 2alIr2filn 5t

2i(3 ln 2) + c2x + (3" -3'"rl?tn3) + c 3s. (l/ln 2) i(a) $0.05/aao O) S0.95

(a) En truchas por ano: 95i 62t 53 (b') 9 36

23.25.27.31.33.

17,

39.

s3. tlR: e-\1 - a.$t

UERCICIO3

'.1, PAGIXA 373

1. jlnir:+1)+c 3. llnT-sr+c5. jlnl'r ax+9+c 7. jlnrs+ll+c9. ]Ctre rn3),obienhJ311. a{h 6 ln 5), o bien 4 tn t13. +"+i."+c ls. 1(lnr)2+c17. lG-tz - e ') 19. 2.J' + C

Zl. e'+Zx e -+C 23. ln(€'+e-')+C25. 1/(J+l)+C 27. r:+x-4lnlt-31+C29, 4 31. ln2+.1-e-t-04633. '(l - e r) 35. (5; + 2f(6r + lxl50' + 39)

3?, (1912 + 2Or 3)(r: + 3f/[2{x + lt':]rs I

-*--j:l.At" +\Ja, - t

I rr'+ r 4o\ /'l

41. pH ! 2.201; l0.l%43. (b) S(x) = 2s(2x) (el doble de sensibilidad)

,ls. (a) l/{rd ln l0) (b) l/(loolo ln 10)

(c) l/(l000lo In l0)

EJERCTCt05 7.6, PaGINA 387

1. a(!) - 5000(3)'/t 0; 45.000; (l0ln l0r4n 3 ! 2l horas

3. 30(#)i = 25.3 puls

5. Aproxinadamcnte l09.24anos derpu6s del 1

de enero, 1980 (29 de marzo, m89)

9. Se determina / t.l qu€ en r = 0, R/ +L(dI/dtJ=o e1=/o Procediendo de

manera rimilar a la soluci6n del Ejemplo 1,

lt/Irdl = (-R/L, dti tn I = AR/L)| + C e

J = eceFr/Lr. conol = 10 en r = 0, I =

11, P = t(28E 0.0tr)/28EI " 13, 38j anos

15. 68r.3 me r7. t = t2k(v

Respuenae a los ejercicios de ntmero imprr

19. 13,235 anos

2i. V = +(kt + c)r donde c y ,t son constantesyrt>0.

EJERCTCTOS 7.7. PIGTNA 39t

r. (I':- 3)/2i t!6,51; !3. J4 x. L-45,4); tlQJ4

-)5. 1/x; (0, o); l/r'1?. ./ lur (o,ll; - tlQxlt-tn x)l. u 1' + .rGti-; - tn z; 'R rluF *

ll. /es creciente po&ue /'(.r) > 0para todo .x; * .

13. / es $eciente porque /(r) > 0 lara todo 'It l

15, Como / es decreiente en (-6, 0l y creciente€n 10. 6), no .ien€ funci6n inversa. Si eldominio se restrinsi€ra a un subconiunto deuno de egtos intervalos, €ntonc$ / tendriauna tunci6n inversa.

17. / s creciente en (-6, 0l y dccreciente en

10, @). Si el doninio se .estringiera a unsubconjunto de uno d€ estos inte.valos,ento'ces /-r existiria.

EJERCTCTOS 7.8, ?iclXA 393

l. 2(l +ln I-2(l)t. t2lqx + 2) + 3l6x 5) - 8/(Ex ?)s. 4x/Q,1 + 3)lln Qx1 + 3))'1 7. 2'9. (ln 10)10'los ' + l0'/(r ln 10)

11. (1/!X2 ln r)/"' 13. 2r{1 - !':)e' "15. 2-1A(Ir +4) ln 2 _ 3xa'Jlx,(x" + q1

tt. ,(r + ",Ct"

'letra) 19. (lor"'ln 10)/I

21. (2r 5)/(x1 - 5x 3)23. (l/i)Ll + ln (ln

')l(ln r)1'-

25, rlx 27. -ie-"-2e'+x+C29. 2(e-t-e ') 3r. -h11-lnr +C33, *r'? - 3x + )i ln 13' + 2 + c 35. 3/(2ln 4)

2ln 10/os' + cir'z-r+2ln r+il+C(5e)'/(1+ ln 5) + C 43. \"'/(.+t)+C4ez+t2cm 47. ) e=-2(l+"Xx l)

Aproximadamenre 33.2 dias

La cantidad en la soluci6r en cualquier

tiempo I desPues de la l:00 PM es

1 3.i s.3 7.0 9. i rr. o

7 15. r 17. o 19.2 21. I 23, I-1

@\ J2tz tb) -i(a)

s9. G)

(b)

(b)

l.13.

25.31.39.4t.45.49.

51.

ro(r - 21/1J(a) 2 2l hors {aproximadmenre a 16 5:14

F M , {b) l0(l - 2i4) - 8.016 lb

55. 6,400,000 5?. -*

1065

{c) 1,0. -, -1, ,0\^) al2,3n12, n/a, 3x14, 5xla,7"/a(b) 90., 2?0" 45", 115", 225", 315'(a) 0. r (b) 0",180'(a) 0,a,2sl3.ai/3 (b) 0', 180', 120",240"(r) r/2. 1x16. 1ra/6 (b) 90', 210", 330'(n) 2nl3.n,4nl3 O) q0", 180',2rl0'(a) z/3,5nll (b) 60:3m' 43. Ei 4s. -#i*3 49. + sr. I s3 Noj senrl<I

]--

tr-EJERCIcOS 8.?, PiGlNA rlll

EJEnCt(lOs 4.3, Pi,6!|lA 4!1

l. -4senr 3. 2x cos (r? + 2)

5. -25 cosa 5x sen5r7. xsen(l/l) + lI: cos (l/r)

lr. tv(2v4'-1)l sec (v4 - r) 1an (Jl - r)13. -(ltr - 2) sc: (x3 2r)

17. -4 csc? 2x cot 2r19. s;': csc 5r cot 5r + 2r cs. 5r

cAP(ruro 8IJEPC|0O5 8.1, PaGlNA 408

.3. (a) ll (b) III (.) IvEjercicios 5, 9: El ord€n es s€n, cos, tan, csc, sec,

5. (a) 1,0, , l. -.0@ {2t2, -{42, \,rt. rt |{c) 0, 1,0, -. l, -(d, -i,."8t2. "6tt,

-z.z{trt, ,h7. 810". - 120" 315'.900', 16"e. G) -1. t, -j. -:,:. -:

(b) {t3tu. rr43tt3, i, u4al2, -"mB }

1066 REspuEsTAs A Los ElERcrcros DE NiMERo rMpAR

29.

21. 3 1adr r secr ! + 2 tan r scs ]23. 5(sen5r cos 5r)4(5 cos 5\ + 5set5l)25. 9 cor: (3x + ll 6c: (3r + l)

4il sen4llsen4a + 4 cos: 41 421, (t \en4J,r .. o bren I \endr

6r. l'- r = 3Jj(r al6\r- t =(J3le)(x -nl6)63. +r pie/s - 714 rni/h 65. 40V3 Pie

67. -0.31 radls 69. 0 = 60" 71. l?6 ni?3. (b)d=cosi3!a8.2'75, l: (4^ent) + (3/cos 0) donde tan d = yi

r = (1r! + lr'3lr: - 9.8? Pie

77. 5; 8; i; la particula oscila sob.e una recta

coordenada entre 5 y -5 comPlelando una

oscilaci6n cada 8 s.

79. 6; 3; 5i la padicula oscila sobr€ una recta

coordenada entre 6 y -6 completando uoa

oscilaci6n cada 3 s.

t1. (a) r' : 25 cos *nr(b) dr/dt = 4.8 pie/mh ctando / = l0 pie

85. 1.4958 a7. 2.71

89. (a) 3, 3.1425,165. L r415926, 3.t4t5926 3 14t5926

{b) Tienden a 2tr

EJtRCtetog 8.4, Pa6lNA t30

1. jsen4r+c 3. isec3r+c5, j (ln sec 3rj+ In lsec ar + tan 3r ) + C

7. jtn sec2r+ran2J +C9. j col (rr + l) + c u. isen6x + c

15. -cosr -1(cos x)ri: - I cos: r + c17, tl !o.v,a .e.\-(le. j tan: 116/' =:21. j (ln sec 2l + 1a! 2x sen2x) + c23. +sen':rl:," = * 25. ln lr + cod jl+ c27. ranr +secxl:ll=Jl J2+ I29. e'+ ln lse z;l + c 31. -e""- + C

33. jin 2ranr+1+C 35.2, 2+ Il?. inl:-l = In rl+2J2):) lnrl + J2)\\2-t/

3e. 2rJ3 ,rs. G):24 ql:!L4?. (a) . = j J5i'1v]4 + sec'1 (,l2)tan'1 (xt2) dx

(b) si/G): jJ4 + secr G/2) ranl (r/2), entonces

\ni24)llla) + 4J(nig) +21(alaJ+ aJOais) + Ilni2))

:19. (b) q(r) = ao?' donde , = le/(2Z)l(l .os 2'')

eJERr:r(l0s 8.5, PaGIHA {37

(a) r/r (b) -dl3 3. (^) a/4 (bJ 3nl1

{a) u/l (b) -rll 7. I f. i' v'5 13. 0 15. No esu definido

J3.

-35, 6 tan': 2r secr 21 6 ta. 2r secr 2r37. 3 c$ 3rl(r3 + I) cot 3J + r:l/(rr + l)?39. x"''tGot rrr 6; r ln rl41. ,' : 6 secr 3r tan 3rr r" : 18 seca lx +

16 secr 3r lanr 3r43. )' :xsenr,r" :r cosr + senr

45.,:-ir':.e.:.Jran ;-2Jrrn , q J'an'r

:17. (cos r)(2r' + r senr)49. (€'cot y err)/(2v':] + e'c$: y)

sr. MiJ(: /('/4) = f ; MiNt |,jnl$ - J2:creciente en 10, u/41 y [5r4, 2n]; decrecienteer tnl4.5nl4l

5J. M{xl / l5z Jl: I )t + JJr) 6 i Mrrl lln rl:(r - 3,/l)/6; decreciente en to, r/31 y

l5r/1. 241i crecienle en tzl3, 5zlll

51.

57.

M^x: /(r/6):3J:/2; MrN:/(5tlt] - 3J112

creciente en [0, a/6] y t5'/6,2nl; decreciente

en tr/6, 5ni 6.1

M^xt f(nl{) = .'!,J2!0.32,JGl4 + 2v) : e-e"t4 | j2 - 6 \ to 1:

MrN:/(5nr.l): ? '1v/2: - 0.014,

f6via+ 2n):e r:'(/2: l, to I

55. 51.

l.5.

11_s9. MiN: /(o): -J2: ML\,[(nl4): -l

17.

31.

33.

25.21.

33.37.4t.45.

49.

Respu€stas a los €j€rcicios d€ nnm€ro impar

-a rs. 't!4' + 1 2r. {x + 2'12

cot 'x = J si y sdlo si cot/ = .{ para

t5.

't067

()c sen 1)' 2x)/t(xiJl }'l clfrit6 29, ntt2 31. -arcian (cos r) + C

2 arclan \/'r + c 35. sen ' (?7) + c

"! sec_1(r12) + c 39. iln(r':+9)+c

i sec-1(e'/5) + c 43. anil

1r+- - 10.002 4?, ;+ mdls

40..,5 sl. l (,/6) = (2/J]xt - i)r) - (r/61= ( vl/2)(r :r)

(a) { €.0) (b) (0. 'r)(ae1i2) - (n'i4) (rl2).1.5153.55.5?.

41. 1,

45.

47.

49.

51.

53.

55. sen , \, ran '.,i-'lpara-r' r-.@s i':hn '(Jl

"/')Parao<r<t;cot-r \ = ran-r (l/r) Para 0 <r < -

EJEiCTCIOS 8.6, P/iGlNA {{3

r/(ex? 30r + 26) 3. 1,c:J4;-}r--l-p'\e'- lr ._'ar.sec?'2.1(r + \11+ 2r d(ran a'

t9(l + cos ' lr):l/Jr ertr

2rl[(] + ra) arctan \:ll/t6en-' n'!'-r ;l

(l - 2J arcran r)/(r: + l)ifr ().,)l\ec i . .+ t tZ. t.' -t)

j"r ,:(l ln rl.,:l*.-(r \f^'"'kdrtr(':i dmr + (lnEnItll + x:rl

EJEtCtCtoS 8.7, PadNA 449

l?. Il (2v \)llJi Rch)J( + ranh J\)19. z. rch rrl(]'z + l rranh .' + ll (,' + l)'21, l;:senh;r 23, I coshr rsenn r25. 2 corh 21 2?. er's@h r tanh x + 3er'sech r

d. - msh r,)2s. sech: r/rranh r + lJ'? Jr. i ; --:ll. 2 rosh J, + C 15. lnsennYl+c17. lsenh: / + c I o bi€n i co\hr \+c

; bien :senh 2' + c)39. + s.ch 3x + C 41. i tanhr 3r + c43. jln l 2ranhr+c 45. i(-l+cosh3)47. (n (2 + J3), vt), oi (2 - v5I Jt51.

5r- se define.4 =lsenrcost- I-+!Jrl-Ilxy se demuestra que d/t/dr = j

ss. (a) 286,574 pie' (b) 1491!I_

uERatctos 8.8, PiGINA {55

7, 9.

tt.5l!55'\t r3. V(2!{v{ - 1)

17. -|tr /(r*tr + l) +senh i (lA)19. a(\ald' Icosh-1aj) 21. isenh ';r+c23. i,. ranh I ;r + c 2s. cosb ' {e7) + c2?. -:r,h i'\'Jr-( .]1.'l senF 1,

(a) a.ctan( 9 t v/57)/4 (b) 03,1?8r-13317

(a) arccos (l!r5l5); a.c.os (tJ3/3)(b) 0.684?r 2.4569; 0.9551: 2 1863

(d) arcsen(1J30/6) (b) 1l.l50lsen-' (sen 2) estA entte -r/2 y r/2 v 2 no

est| en l-i/2, 21. cort (cos 2) se encuentia

entre 0 y z. Por lo tanto cos-r (cos 2) = 2.

Se evita el densaje de error si -sen I < x <

't068 NESPUESIA5 A lOS EJER(I(IOs DE NIJMERO IMPAR

€jtftcrctos 8.9, PaGtNA 456

1.0 3.? 5.i?. -(6r + rxsenJit;j^2!6x1 ,9. 5 *c r Ga, + ran r)5

I I . 2r ar.sec r, + 2tv?llt. I.?rJr - 7r1ser r. 5r I\ + _r.i | - 25\ I I l

(sen )rrrs. (cos t)'+rtln cos r (x + l) ran rllt. l2\ - 2 r(h 4r bnh 4r1,"f:"'+ e.n l,21. (2 + 2 sec, r lan x)/(2j + s4, r),21. (-senr)e..'- € s€lx(cos rr ,

25. 5?-r'senh €

29. 2in^ hQ tn 2)lt1 + 4l,)

33. -2re t (csc'r' + 6r 113s. 2rlt( I + '1lan-,(r1l3?. -r?x1r I r) 39, 3 G*! sen 3rt cos lr41, 4ttan !+tan, .),t(G'\)+ I tl +x',14J. tl+i':)rlt +(ran 'i):t '45. -e ,(. 'cosh e '+senh e 147. (cosh r senh x) ,, or er'49,2x/1'i+t 51. -jse,(5 3i)+c53.2tanJx+C55. I ln |ren9rl + + In csc 9l col 9I + C57. ln t@s.. + C59. -jcor lx+ jtn lcc} _cot J\/+r +c61. :seDar+c 6J. *\en(?rr)+c6s. i(l6l tv4) 67. -* *! tr + c69. ri ln L4 + 9r')) + C 7t. ./t a- + c71. jlenh rr- c j5. r J ti. 1rr ran \r' j (79. ln 12 + cot rl + C EI. (osh (tn r, + cEJ. lsen ' ,2r l) - c E5. 1 s.ch 2r L Lrr. L.,6sF+:o + cEe. (*,sei '(3).( fi,sen '1_i1;9r. MrN: /(ran ' i) = 5v/5; decr€cienre en (0,.);

cr€ciente en (c, tr/2) donde c = ran , (j).93. z( - x\i495. G) l:itan 14+n(ftlrDaftn = O, t.2.3

(b) 0.66. 2.23. 3.80. 5.18

99. (^J dvldt:0.6senl1nt) (b) 3h:0.95 liiros

rranrr lln(l+r2)+cirrrlrrni-2)+c-J col r + ln lsenr + C

-j?'(cosr+senr)+Ccos {l - ln cos r) + C

j cscrcor r+ j ln lcsc j - cor rl + c\(2 - u/2) 2s.

^t4e+ft(2r +.1)1oo(200r l) + c+ea'(4 sen5i 5 cos 5r) + cx(lnr)1 2rln!+2r+a\3 cosh r- 3rrsenh l +6icosh l 6s€nh r + C

2 @s vt + 2Jr sen vrt + c,cos1j a,l ?+cclri 5r4 + 2orr 6ox, + l20r r20t + c2a 41. (nl2)le1 + t) 49. (62.5n)t4 = t25ti8

Ei;RCtCtOS 9.1, PliG'NA 470

-,-t. sen, _jrn. \+c J. *, 1,sena\+r5. iccrr lcosrr+c7. *(:r 2 sen2r +; senar + lsenr:r) + C9. lranrr+*ran6r+c

rr. jsec5r jsecrr+c13. i1an5r-jlldr'+1an, r+cls. :senr':r-lsenrr: j+c17. ranl-.otr+c 19.: 5(6J2)21. ;sen2r-r!sen8r+c 23. i25. 1cotsr-jcoar+c17. lr') .en,-i 2s, tLltrdn\, aI. 3//4 33.;ls. rb)

J sen,r los rr r'r

I cos (ri + n)r cos tu ,Jr

I ,. ", ztn -n, ' 'in 'al cos unr

t-,., -. ^,,J

I sen(h + r), sen(d ,)J

| ,.,' .rh.-a, +"ih'a) r sen2'r

lr- - 'in:htiE*flLtc:i ! 3, 9i€t A n.?6

l. 2sen 1(r/2)-jJv/4 J:+c,. I '"

lnl: '1*.s. ./'. ii-71:s,1+ c1. Ja (1 + c s. -",.,C+ | + c

ll. ;rBLai-r *rr+ o\/(J6 + ;, + c

ll.lJ,15.

11.19.21.

23.21,29.31.33.

35.

J7.43.45.

cAPftU[O IEnatflr-{ 9.i, r,4tiNA 46i

l. -rrr r,P . .].?r!:r ;.ti,-(s. :! cos Ji + irsensr + c7. xsecr ln secr+tanxl+C9. (:: 2)senr+2r.osx+c

Respu€srds d 'os

€,etcrc'os oe rJm€ro rmpar

13. .e cei-' i, + j'Je - 4'' + c15. V[2(16 x:t + C17. *19x1 + 19)311 #\9x1 + 49)'t1 + c19. (l + 2r)v4i--,,(27r.) + C21. +,'+ 8 ln Lr1 8r'1 + c29. 25'if - b (J2 + l)l ! 41.849

3r. J5 + j rn (2 + J5) - 2.96

J3. lJls + 2ln j(i + J[)3s. *, 16 i1,n 1{i}:-16)37. J25 + '1(25') + c 39. v/a-t/r + c

EJtRCtgOS 9.{, PiGtitA 48t

1. 3 1n lr + 2ln lr 4l+ c, o bienln rlr(r - 4)? + c

3. 4ln lr + ll- 51. r 2 +lnli ll+c,obienlnt('+l)4r 3 /lx 25]+c

5.6inlr 1+5/(l l)+C?. llnlr-21 2ln x+4 +c,obien

9. 2ln jr -hlr-2 + 41n r+2 +C,obienld ir'(! + 2)a/ r 2ll + c

ll. rlnli-ll lrr-lr Iln\-{ ( obrenlntr+ I r/r 5 rl- l/(r + l)+ C

2tI-,ll, 5ln . - +2Ir l{-+4l0lt+rl+(1

ls. lln r-l

-

+;lnl\+ll

t7.

19.

21.

23.

15.

, l *.l(' + l,lln r+ 51+ln(x2+4)+itan I ]r+ C,o bienln(rr +4)lr+ 5 r +iian' jr+clnfr?+ l){rr +a)+i1an 1 ir+cln(x:+1) 4lrr+1)+cjl:+x+2lnlI +2ln r 1l+c.obienj(r? + 2r) + In (x' r): + c1rtr er - tl(er)l - j rn (r'+ e) +

;qrailjr+c2?. 2 In lr + 4l + 6(r + 4) 1 5(r 3)1+c29.2\n x-1+2ln ]+ll-i(r+1) r+C31. iln(x:+l)+ln x-I +r':+c3?. irn3 39. (v121\4 t^2 + tl -o612

EJERCTCIOS 9.5, PAGINA 486

urncrfloS 9.6, F;.GrNA 489

f. i(r + q)?1' +(t + 9)4ir + c3. *(3x + 2)'q/r - t(3r + 2il5 + c 5.2+8In9i.4,n6 -ix3t6 + 2xt? 6l'6 + 6 arct,n r'/6 + c9. (2/v6) lm ' "tri

tn * cr1. *(x + 4)18(21 7) + c13. 4( + e'fn 1(l + .')s/': + l(1 + d)r/tr + c15. e' 4ln (r' + 4) + C

u. 2senv4+a :'4+,ros./'+'r+cle. !*21. (2/J3) 1atr 1 t(2 lan ir + 1)/J3l + C

23. ln ll + tan jrl+ C

2s. i ln l(2 + 1ar 1r)/(-l + 2 tan i;)l+ c27. 3ln senl 4l+3blsenx+21+c

€JERCTCTOS 9.7, PaGINA 499

j tta.' (r + 2) +(' + 2)/(;' + 4r + 5)l + cir+:Y1+,r{'+r'+ tt)+ct2l(3J7I rai ' t(4t it(3J?t + ct + (n/4) 17. ta t(t + er/(2 + e')) + c1ln 2+ t2z(6Jr)l :o.El56z ln (1.8) + {2rl3) tlan ' i (z/4t - 0.8?55

irtrsen:'r :sefrr+i'J1 "

+c2tn2-t s. * sen: 2i - * senr 2t + cisecrr+c 9. r/(25*'z+25)+c2 rn (2 - Ja r')/tt+ Ja I + c

l.3.5.1,

v4 + 91 2 ln l(2 + v/a + e"t(3tl + c*i{2x: 80)v46 1+ e5sen I:, + ci3r(er + 4)(2 3t):i'z+ c

-* se# 3r cos lr - +sen3 3x cd 3,.isen]l cos 3x + rii + C

e. jcotrc$:x Scotr+cu. ix'sen-l r + ix,'/i ?-lsen'r+c13. n1c-3'( 3sen21 2cos2r)+ cls. ./5\ 9\r +: cos L 1(5 !8Jr + crt. i',r. t:,ltn r.i" ., lrr. 5,'-v5r -(fo. i(2Pr' I) cos ' e -+"'J\ "" + c2t. +(l5C-60\':+96x t28[?+ \lrrz+c23. .rr(4 + 9senx -4h 4 + 9senrl)+ C

zs. :J + z' +: tn tiv6 +:' - l)(Je + 2j + l)+c

2?. lb Jx(4 + Vr)l+ c29. ./16 i"& 4ln (a + Jl6 sed xYs4 tl

+c

EJER0CtOS 9.8, PaGTXA 493

t.5.'1,

jran'rj('-2)+c 3 sen-r*(' 2)+c l'- z.Fs. e*, (,en I iv ra, r cItni. t -;tnr.''. r' 7'

\r \ ,, roi 'lr7( l'J3lra lt

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE NIMERO IMPAR

21.

23.27.

13. 2 ln lx 1l ln lI -,/(x - l)': + cls. lnt,.. ri,,r ro,:t!-r' - jian r{J..tt. 16 ** x'+Zsef ' I(x - 2YvaEl + c19. 3(r + 8I/3 + ln (r + DrF 2l!

-ln t(x + 8)21] + 2(r + 8)vr + 4l

- (6/Jl) 1an ' l(r + 8f/3 + r)drt + ci1."(2 sen 3r - 3 cos 3x) + ct\en'r isen'r+c 25. -Ja x,+c+Jr r: + } t(2y) : tn (l

+ln x +21+ c21an '{r'/)+C jl, lnls4C+ian€}l+Cttlorsen 5r i25\1 2) co\ 5rl + C:cosr:r icosr?]+c3(1+a)3D+c;P.'t" i:t - :s r" r:, + l'. +:s4+ c

-jcscI + ln ldcr - cotxl + C-:(8 x)'' + c:' o,

"/' + I os I + t.r4sen,f + cje"-e'+ln(r+?)+C

li" lxtr" + 6r1i! + cj(16 - r2)ri: - 1606 - x?)u + c+lrl:+5 f lntr+.7 +cJtan lJx. +]n 1+25x2 +C

rtl,/lr tn "6'

+ v4 + s"-t+ clarsl-icorrl-cor' i+c

i(/ 25fP + 1xr1 25)trtr + c

ile4'-Zn*-+e&+c3 sen-r l(r + 5)/61 + c ?1. + cos ?r + c18ln lr 2l-9ln x-tt,5lnlx 3l+crrs€n r + ll: cos r 6rsenr-6cosr+

11. : 13. * rs. @ r7. j 19. @21. r 23. o 25. No existe 27. i29. d 31. 0 33. @ 35. 2

37, No €xisr€ 39. i 4r. 3 .13. 0

45. .n 47. @ 49.2 51. I5t. iruorsendor 5/. (ar r (D) -n

EJERCTCTOS r0.2, PaGlNA 506

1.0 3.0 5.0 7.0 9. l 1r.013. er 15. I 1?. r 19. No exisle21. / 23. 2 25. O 27. \29. No existe 31. j 33. No exisre35. . 3?. No existe39. la 4L 6a3. f(.) = e'n es un m;ximo local;

llm,-d. /(r) = 0;}, = l

29.

33.35.

37.

39.41.43.

45.

47.49,51.53.55.57.59.

61.63.65.67.69.71.75.77.

senr+c7e. (-ttx)Je 4j: - 2sen '3' + c8r. 24r + l. sen3r j cor 3r + cE3. ln, {4/Vr)+4ln1r+i4t+cts. Vl + cosr + cE7. - r/t2(25 + l!)l + t 1an ' 1r + c89. isdrx-secr+c9r. In(x:+a) itnnri!+

(?/v.t ta" ' (xd) + c93. lxa 2x1 + 4 tn l\) + c9s. ?r'.hr *r'r+c97. *(2i + 3)3/r j.(2r + t)5/r + * (2r + 3fl' + c99. id7x1 t) + c

EJER€|CrOS t0i, PaGlNA 512

Eje.cicios r-27: C = Converse, D = Diverce.

l. c. l J,D 5.D 7. C. l g, a.-rrr. D 13. D 15. 0 17. D 19. D2t. c.r 23. C.112 25- C 27- D29. (a) No eiste (b) r31. (a) I (b) tr/32 33. ? 35. (b) No37. Si r(r) = k/).2,.ntoi@s tY = k.39. (a) Uk

(b) No, la integrd inpropia para el tiemponedio de reparaci'5n es div€rsente.

41. tbt t- 4tJn\)kr) 43. t/s, s>045, t(r'+l), s>o 4?, L/(s al. t>d49. (a) l,1,2

EitRcrcros 10.41 PidNA 5t8

Ejercicios 1-33: C = Converce, D = DiverSe.

t, c,6 l. D 5, D 7, D 9,Ct-thll. D t3. C, r/2 t5. D l?. C, -+ "19. D 21. D29. D 31. C

D 25_ C.0 2t. DD 15. n>-l

23.33-(APiTUTO tO

EitRctctos 10.1, PIGTNA 5ot

1.+ l.t s. ir. 7.0

37. (a) 2 (b) No se pued€ asisnar un vator.J9. No se pueden arignar valores ni at drea ni ale. -+

41.{3.

EJtr$ctos 10.5, PA€rNA st8

L r.: sen: / n\'r. senr=, jir-t.) * + l. zl.

z eft6 e texy 2.

:. ,4 = z * ..tr - lr +4(. - 4)' + rhr' 4r'

+: '1\ a)',: esre enrre x Y a.. tr\: E, r\r

s. ,anr , .1, t- I' oJ ' ,(. o)l0 I z\. 4(?) / tr\'.tl't*u\'-tl'

z esd entre , y tr/4 y

qt-r 16 *c": r 88 'e.'7 Ldn)r I 16ie.'lz lanr z

7. I/r: - l .(r+2) *(,+2)'1-i6(t+2)"-*(r+2)a *(,+2)r +z ?('+2)"

: esra entre r y -2-

c. *' ' ':i+ jr, - r)-;,( rr'l

+ .:1]],- (r ll. . esta entre I t .r.

rlI l. 'e'= 't.t"r\-l,r-V'r.l)'-8 ''-lf

, ._.- ft',, - Lr..:elraentrexy-t.rl0

r l- l rrB. ln,r.rr .( 2i' 3Y' ,r'_'.i__rr,

z estii €ntre 0 Y n.

r5. cos!:1-t+4i-6t *8!- 9!.z esd enlre t Y 0.

17 , e2, = t + 2t + 2,, + t'3 + ixa + *r3 + .i":'r6,z est, entre t v 0.

19. V(x- lF: 1 +2r+lr1 +4r3 + 5'n+615+ 116l(r - l)r. r est6 enrre 0 y.r.

t+2zt -21, drcsen ( \ ' qf-,1, ." esa entte u ' r'

23. /(r) 7 .l r r - 5trr 2\' 25. ooeal21. 21n15 29 045a545i eiior < 00000005

11. 0.221 edor < 0 0002

13. 0.s660254: enor < 18 lx1o e)

35. Cinco cifras decinales, porque lRr(r)l< 4'2 x

10 6<05!10 I

37. Tres decimales. 39. Cuatro deimales

rlERCtCtos 10.6, PiGlNA 5?9

19. Diverse 21. i 23 Diverge

2s. 2 2?. DiYerse 29. 0

'"f ,',{' .t ir' lr'"ri' liI rr.' z + 2 5e.2 z lan': :){ \ -li) \ n/

z es]l er$e x Y n/6rtr -,{]l = r + itr 2r - *tx 2t:

+ ,+ir 2P +B{' - 2r + +ru tr-"''(.x 2)', z est| entJe x y 2.

33. 0.4651 (con , = l, Rr(r) < 1.6 x lo :)

cAPirUlO l lEJERctctos 11.1, PAG||{a 543

r. i,:.ir.j.+ r. i, + ii'. .i1.. ^25, 5. 5, 5, 5. 5 7. li,iiii.o9. 2/v{a, r/!413,2/J18,:i o

r. ,+, -i.;6. -+3: o

rt- I l. 1.01, 1001, 10001. !

15. 2, 0, 2, 0; el limfte no existe

EjercicioF 17-41: C = Converge' D diverge'

17. c.0 19. C. 2 21. D 23. C'O

25. D 21. D 29. C,e 31. C,0 33. C,;t5. D 37. C,l 39. C,0 41. C,0

43. (b) lO 000 en Ai t 000 en Bl 20 000 en c45. ta) I a sucer6n aParenlemenLe converge a I

(b) lim,-- d' = I47. (a) La su@si6n parece converger

aproximadamente a 0.739-

49. (a) 3.5: 3.I78571429i 3 t623t9422 J 16221766t|

3.1622776f1)

EJtRCrctos 11.!, PiGINA 55,

Ejercicios l-2?: C = Converce' D = Diverce

t. c.4 3. c,..t.I5-t' s. c. ?.Do o tt. c..l tl ct 15 D 17 D

19. c,t 21. D 23. c 25. D 27. D

29. s, = j t1 1/(2i + l)li converse a +

31. S, = -ln(n + l); diverse

33. El resultado es falso (encuenie un ejemplo).

3s. ;; 37. lf.e 19. loo4r. (b) 0/(r-,-'') (c) -(|lc)ttl(M -QyMl43. (b) 2000

R€spuestas a los ejercicios d€ nr:melo impar

tt> r = z"{*(a) r no este definido en i, = 0.

r. +ln2 3.6 5.3 7.0 9' -d13. e 15 l 1? Diverge

RESPUISTAS A LOS UERCICIOS OE NOMERO IMPAR

l.13.23.t3.43.

47.49.

as. (a).a,., = iv40a,i ", = (i.aro),'a,;A,-(A-'A,:4=GJr0r'p,(b) tl6l(4 - vfo)la,j :d?

EJERCTCTOS fi.3, PAG|NA 561

Ejercicic 145: C = Converge, D = Diverge.

7.D 9.C lt.19. c 21. D29. C 31. c39. c 41. c

Converge si t > I, div.rge si f < l.(b) ">?'od t!2.688x10d 55.8

EJtRCtCtOS 11.t, PictxA 556

Ej€rcicior l-2s: C = convergenre, D =Divergenie.

l.c 3.D 5.C ?.D 9.C ll.13. C 15. C 17. D t9. C 2t. C23. D 25. D

EJIRCTCTOS 11,5, PictNA 574

qi.rciclos 1.23: AC = Absolutmenreconverg€nrq cc = condicionalmenreconvergent.; D = Dive.sente.

l. cc 3. cc 5.D 7. AC S. AC11. D 13. CC 15. AC 17. D 19. CC21. D 23. D 25. 0.368 27. 0.90129. 0.305 31. l4l J3. 5

37. No. consider€ a": b, = ( l).A6.

EJERCTCTOS 11.6, PictNA 580

r. t-1, l) 3. ( 2.2) s. ( t, 1l7. t-1,r) 9. [-r,r] rl. (-6,14)

13. Converge s6lo para x = 0. 15. (-2,2)t7. ( @,@) 19. i+,+) 2t. (-12,4)23. (0.2e) 2s. (-i,iJ 21. I 29. rle

IJERCTCTOS 11.?, P?ictNA 585

1. If=o r'; -l<r<t3. L'",,x'-tr l<I<t5. l.-o,,G+')r r<r<t7. I:.0 (312"1F+'; i<r<3

9. l-x 2L'-2r:. -1<x<l 11. ol82

tl- t: : r' rs. t 1"',-a nt ":,,(2i)l

l?. "Lf.'

19, 0.t33t 2t. 00992

23. 0e67? 2s. 1.-,:^.-' ze. - i .lr- ,=n

EJTRCTCTOS 1t.8, PiGTNA 59{

r. i !9.,' r. i 1r,-r t2nl "-^ nl3l5. ) -/*': o t s-' ,z-tl^ ' * t

.z- 2n * 1,' !_ : o

e. ; ( r)'J,-' ,,..: _,_- (2tr + l,! ' "

ll-t+l '' .l-,:, t2ntl

. - -(-rr /, _ l\"_,,-4 J2t2n + ttt\ 4)

- \' ( l)' /. i\,

'" rttz't\^ a)

*. i 5$ r, - 'r r?. j" qlor t'

re._I-(!+rr,.,.,(.-t.t ,J1+t-)1

"' ;' i( -:)-,:6('-r'' ":('-

j)'-_ll-lIzs. --+-(r+l)z+-(x+lr'+ tI + 1r.

27. t.Wt 29.0.9986 31. 0099? 33. 0.521t35. 0.7458 37. 0.4959 39. 0.4864 41. 0.484

4!. ,(r ' I +i+ '; r+ )eara trt < r

/ltt*'={,-j,; ;- -,,',',,-.),usddo cinco tdrminos, ' - 3.34; s€.equieren por lo nenos 40 m0 t6rminos.

47, (c) 16.7 pi€

€JERC|CTOS .t1.9, P,(dNA 598

1. (a) I ++l - lx,

+ I (-r)'-' r.3.5 ..(2' 3)

c 3,D 5.Dc r5. D 1?. CD 25.c 27.cc 35, D 37. Cc 45. c

2'nl

Respuesta5 a los ejercicios de nim€ro impar

rbrr t\. t.6 " ll5 (2' l)rr" I

,t. 2,nl

.]. r l+:r:+ t rl[ 5) (l ]n)r. r,:. 1", I

s..r :r-+.'+ i qll 'z)

q v',-",". r,:, 5"'

7. I 2x+.rjr+ ir zI ll]l l !," I

"7,

)13 l:ln 4l .'; 81"8'ni

' I l 5 r2, llrr . \ 15. 0108'' "!, z nt\2n + tt17. 0 r98 19. 0297

j::iit,lti:!a,t 11.ii. i,aGlNa 591

1. Converge a 0 3 Diveree

5. Converge a 5

Ejercicios ?-3?: C = ConverCente, AC =Absolulamente convergente, CC =condicjonalment€ convergente. D = Divergente.

7.D 9. AC ll. D ll D 15. AC

17. D t9. D 21. AC 21. CC 25' AC

27. C 29. C 31. CC 13. c 35. C

3?. D 39. 0.159 41. ( 3.3)

43. t 12, - 8) 4s. +

a7.,I 12,r, .

,"i1l?',,".,7

51. 1+tl

55.

' 1,a7 ln 5J+:"Lr r' r,,,, ' I

2n q

, i 1s.. r2n-lJ+"I,1-rf ' r*,, rt or

CAPTU|'o 1IrJrifl cioS 1t.r, PiSiii. ;.lt

1071

11.

9. l - 3r + tu: + I(-l)'tn + 1Xn + 2)'"; I

2+*r d!r:+2)l( rr '5. 7. Y(- 1, 0); r(2.0)i

l. t'(q 0)i r(0, ):y:3

/(0.0)if(0. jr)i

r/(-.5. -6)j F( 5. ?;)i

rs. /(0, j)i F(0, -:): i' = +

3. /{0.0)j F( :,0)j

13.

r?. Seiomaf =2ax+ b= 0 para obtener la

abscisa ltl{24) del vertice. Dada x = ar' +b, + c, setom42dY + , = 0 Para obtene.la ordenada ,/(22) del Y6nice.

t9. },'= 8x 21. (r 6)i:12(t 1)

21. lr: : ,rr 25. * Pie d€l verli@

27, t:2t1 lx+ls?. 0.189 59. 1.002

RESPIIESTAS A LOS UERCICIOS DE NI]MERO IMPAR

29.31.35.31,39.

(a) I (b) 2' (c) r5rl5(b) p - r(4iI) 33. 1* lb(b) 64,%8 pier

2.12 nd/s - o.45 te!/s(a) r: - i:rr1+ r (b) 17sPie

utRooos 1t,4, PaqNA 616

t. I/(+3.0);F(tJl3.0)rr: l2x/3

3. /(0. 1l);F(0.:!Jl3);! = !3x12

EJErdqos 1t.3, PIGINA 618

r. r(13.0)j rI1J5, o) 3.

A+,+-f-s. /(q 1J5)j

r(0. 1./6)

+"ri\-w*

I/(0, t4)jF(0, r2Jl

/(0. -l4li t./2, o)r

f(0, t 2\/5);

/(+1.0)if(

7. I/11j,0)iF(1J21,/lo. o)

+'

9. It-Y(15, 0)l

R + - /lo. o)-

l: t(J5/s)'

v(0. tJl)r r(0, 12)i

'1,\+/

11.

centro (4, 2), lartices (1, 2) Y (?, ,i);

r(41 J5, 2)i e{trenos del eje menor (4, 4) v(4, 0)

cent.o (-3, l), verlices (-7, l) y (1. l);.(-l I J?, r): exremos del eje menor(-3, 4) y (-1, 2)

Cenlro (5, 2), v€rtices (5, 7) y (5. -3);i(5.21J21): €xtremos del eje menor (3, 2) v(1,2\

Centro (-5, 1), v€rtices ( 512J5,1);rr -s + -/:ov:- tr: v - I : l:(x + 5)

Centro (-2, 5), vdrtjces (-2. -2) ! (-2, -8)tr(.2, 5 t 3Js)r r' + 5 - l j(r + 2)

Centro (6. 2), velices (6, 4) y (6, 0)if(6.2t2J10)i

'-2= t+(r 6)

l"

ll. 13.

15. (I':l6a) + {}:/39): 1

17. (4t'.19)+{yzl15l=l19. (8r:/81) + (r:/36): I2r, (i/?) + (11116) - l23. 2J2t pie 25. ) I : :(x + 2)

21. (a) trabz lb) 3ndb29. 2a/A r 2b/ 12

13. 94,581,000i 91J19,1100

3s. (b) ,4 = E/t'

17.

Respuestas a tos ejercicjos de numero impdr

19. l5rr xu = 15 21. (tr/9) (r1/t6) = t23. (),:/21)-(,'/4)=1 2s. tx'/9) -lt1B6= |27. Las hiperbolas conjusadas ienen las mismas

1075

Ia) 128, hipetbo\a (tiase Ia ytficat(b) 2(x)1 (r)r - 4l' 3 = 0

(a) O, pxebota (viase ta sniJica)(b) (rlr 6x'- 6l'+ 9: o

(a,) 2704, elipie (fi6e Ia p ifica)(b) (r')r + 4(r): - 4r': 0

TI.

11.

r3.

13.

7.

9.

l.

9.

29. y t : -3(r + 2) 31. (j2J2. -6)33. (a) \nbltJd + b'(bl - 2a1\ + 2o3l/d,

35. Introduc'endo un sistema coordenado con eleje r a lo largo de ,,lB y el eje / a travds delpunto nedio de,4A, entonces resulta que Iaembarcaci6n esra en el punto(+J34 100i r 055.5, r00).

39. i UA

uE[atctos 1t.5, P{GlNA 63?

Ejercicios t-13: La respuesta consiste e! (a) ellalot de 81 - 4AC y el tipo de cdnica: (b) unaecuaci6n en r' y I que se obtiene con unarotacidn de ejes y un dibujo de la gr4fica.

r. (a) -1600, elipse (b) (r), + 16(I)r = 16

IJERCICtOS 1t.5, Pi(GtNA 633

l_a

a(16.0);/(0.0)

F(0, i);v(0.4)

3. F(0. 1J7)l/(0, 14)

--l-

r+)vF(:L 2f, o)rr,( t 2. 0)

5.

9. a( 41v/10/3,5)ivertices (-5. -5) y (-3, 5)

3. (a) 256, hip€rbola G) a(r')1 - (r'): - 1

5. (a) -36, etips€(b) 1I,): + 9(r')::9

ll.

I3.?. (a) 0, pareboh ll'

(bl (v')' = 4(r' l)

Cenlro (-3, 2); v€nices (-6, 2) y (0, 2):*tremos del eje meior (-3,0) y ( 3, 4)

Y(2, -4)t F\4, 4)t3.

K

15. Centro (-4, 0); vertices (-7, 0) y ( l, 0):

asintotas/=:r(t+4)/3

17. 9r' 49x'= 441 19. ta: -40v21, 4r, + 3rr = 300 23. J' a1x' :3625. (r'1/2t + (vzl45) = l27. (r:/l@00) + (]2/960) = r; 8J15 ! 30.98 pie29. ], 2= jj{r+3):} 2:H('+3)3s. +r37.;=o.t=1b./K,K=b. o, irn (c + r) rnal39, Pa.6bola; (/'): - 3-r' = 0 (despu6s de cirar

cAPiruro 13EJERCTCTOS 13.1, PiGtNA 643

l, t=2x+7 3.

1076 RESPU'STAS A LOs EI€RCICIOS DE NIMERO IMPAR

.r;+*-*9. (rtr14)-+ (rrl9) = I

d*Y

13.

23.

1',

+jz..-,5.

|'clP,Bboa.=",

+,-:- .f---

n.

29.

13.

35_

(a) Pse mueve en sentjdo contrario al del relojsobre la circunferencia x' + t1 : I de(i.0) a (-1,0).

(b) P se rnueve en el sentido del reloj sobr€ lacircunferencia t': + ),'= I de (0,1) a(0. - l).

(c) P se mueve en el senddo del reloj sobre lacircunferencia r'? + ,': = I de (-1,0) a(1,0).

r: (]1 rj)r' + rr, , = (t: 'r)r'

+ ,r sonecuaciones param6lricas de /para cualquier en-

tero positivo inpar n.(a) EiiDse con centro en el orieen

Respuestos a los ejercicios de n0mero impar

39. x=4bcost-bcos4t,l:4bsenr-bsen4t

a : la(3 cos t - cos 3t),y:ia(3sent-sen3t)

9.

13.

11

4---+4"6=25. r: -3sec0

15.

o'l

):*I

I--r-I

.1\_]--

41. 45. x:1 + j cos cot, 19.y : lsenat

t/iI /-\

-+-1-t-J*.I \__./I zt.

EJERCIClOS 13.2, PAGINA 652

1. I 3. + 5. -2e-3 1. -ltan I9. (a) Horizontal en (16, jlq y 116, 16); vertical en

(0, 0)(b) (3r'? + r2)164f)

fr. (aj Vertical en (0,0) v (-3, l); no hav hori-

zontales(b) (l - 3t\lLl44t3t2\ - Dtl

13. (a) Horizontal en (-+1' 0); vertical en (0' +l)'(b) ] seca r csc t(a) Horizontal en (0, X2), Q{, !2)'e2J3, +2) y vertical en (4, xJzl,t-+. xJzl.(b) 2n,h343t2 - 125) lg. !4@"t2 - t) - 21. $n2.-.

4'4tr',' - t) 25. +; 21. !na3 29. t#r.

zru/1'n(2e- + l)

EJERCICIOS 13.3, PAGINA 661

l. I 3. i,rJ),. \[\J-l l\TI

27.31.

33.

r:4r0: asen9

x:5t'li,,,,1

=lt

29. 12 : 16 sec 20

35. x2 + Y2 - 6Y:o

39. y' -- x4l(l - x2)

15.

17.tL

31.

s'1^fiPq

tt. o'19) - (x'21t1: 1

45' Y - 2x:6

I4+_.

37. x2 * Y2 :4

1078 RESPUESTAS A LOs EJERCICIOS DE NUI'IENO MPAR

51. fip 53. -1 55.2 57- o

59. lfln2xt.4467. (c) Demostrar que r : rotnt4t-o

EJERCTCIOS 13.r*f pAgtxl 66s

1. n 3. 3nl2 5. nlz7. 33n12 9. (e* * I)14

11. 2 13. 9n120 15. 2n * (g,,fr12)

!i. 4!5 - enl3) 19 . (5n124) - ,frP21. llsen-l 1 + Qnl4) - r,Bft 23. 41,fi25. (64!5)F 27. a2 arccos (bla) - brr* -pzg. ,fif! - e-'") 31. 2 33. /n 35. ffn37. 4n2a2 39. 4n2ab

EJERCIC|OS 13.3, pAqNA 673

1. Elipse; vdrtices (*, r/2) V (3,3r/2); focos (0, 0)y (8,3r/2)

3. Hip6rbola; v6rtices (-3, 0) y (*, ,r); focos (0, 0)

v (-3, 0)

5. Pariibola; V(i,0); F(0, 0)

7. Elipse; vdrtices (-4, 0) V (-*, rn); focos (0, 0) V(- 8, 0)

9. Hip€rbola (excepto para los puntos (*3, 0)); vdr-

tices (8, r/2) V (-6, 3r/2): focos (0, 0) y(-+ ,3r/2)

11. 9x2+8yt+l2y-36:013. y2 - 8x2 - 36x - 36 :0 15. 4yt :9 - l2x17.3x2+4y'+8x-16:019. 4x2 - 5yt + 36y * 36:0,y *021. r : 2l(3* cos 0) 23. r : 12lQ- 4sen 9)

25. r : 5l(1 + cos 0) 27. r : 8/(1 + sen 0)

31. r :21(l + cos 0); e : li r :2 sec 0

33, r:41(I+2sen0); e:2i t:2csc035. r : 2l(3 -F cos 0);, : *, r : 2sec 0

3?. -lrflts 39. 3

EJERCICIOS 1t3,6,pAqNA 67{1.

l. !:2(x-1)-Ll$-lh3

3. !:e -"r; _Ze-t

v

5. (a)

Ll.

(b) (c) (d)

,,I.

9.

v

15.11 "

15,

v

#---rt1 'AH@v/v

19. - 1 21. r :2 cos 0 sec 20 23. 2

zs. fi. + ln (1 I ,h 21 . znfsrfi' + ln (1 + 'fi>l

29. 2na2(2 - ,/zl

CAP1TUIO 1{EJERCTCTOS 14.1, pA6NA 687

ll, <3, l>, (1, -7>, (13,8), (3, -32>13. (-15,6>, (1, *2>, (-68,28>, <12, *t2>_- I

z)

l'lL++(x'+rz1ttz*6(x2-Y')

v

(x' + y2)'* 8xy : $

xt + y2 :z{tp +T + x)8x2+9y'+16x*64:0

13. x' - y'

R.spu€stds d los ejerciclos de nim€ro imp.r

15. 4i-- rj, 2i + 7j, 19i l?j, - l1i + 3ljlt. 2i sj, 6i + ?j, 6i 26j, 26i + 34j19. -3i+2j,3i+2j. -15i + 8j. l5i+8j2t. <4,1> 23. <-6,0) 2s. (9. -r)27. t + b = 2i + 1i: r b =4i-3i; 2r -6i+4ii

-3b:3i 15j

(r/J30x 2, 5. - l)(a) 2a:28i 30j+ 12k(b) -+. = +i+5j-2k(c) (2/ st)s = (2//rtx14i - 15j + 6L)

t2+!1+22 6x+2!-42+5:O4rr +,1J: + 4zr + 40r 8r + lo3 = 0(a) r:+!r+t +4r at+t2z+52=O{b) r: + }: + z'z + 4x 8r + 12r + '10:0{c) i:+y: +l +4t-8}+ lzz+20=0(-2. r, l); 2 29. (4,0, 4)l 4(0, -2, 0); 2

Todos los punlos sobre y denlro de la esfera

de radio I con centro en el orieen.

't0t9

17.19.

21.23.25.

27.3t.33.

. + b : (-6, 9)i ! b: (-2, l)l2! = ( 8. I2); lb = <6, -9) 35. Todos los puntos sobre y dentro de ut

pdalelepipedo rectangular cot centro en el

orisen y lados de longitudes 2' 4 Y 6.

ErEtcrcros lti, PI6NA 703

3 .]. - 12 5. I 1. 4lJroo 1r. -3/v6t 13. * ls. ?4 _-cos ' (31J3081) . 48.20' t9. 82lJt26

I 23. 12/J3 lbf pie

1000v6 ! 1732 lbf Pie

(a) Si a t b lienen la misna direccid! o

dnecciones opuestas.(b) Si r y b iiene! la misma direccidn

V1\",

31.39.

41.43.

45.

49,

53.57.

1.

9.

17,

2t,25,35.

i!4 33.5 3s. fl 3?. 18

(a) -qi + itj (b) +i - +Jj

(,) <2tt6.,sir'i> (b) ( 2/Jt,5/Jte)(a) <- 12.6) (b) ( l, 1.5)

(24l./6t)i - (42lJ6ti 4?. (10J2, i0J2)301.5 mi,/h; 144.30 5r. arcsen 3 = 23.60

Si r y b tienen la misma direcci6n

Una circunierencia de radio . que tiene

EJERCTCTOS r4.t, PiGINA 695

l. (a) v/i01 (b) (3, r, -1) (c) (2. -6,8)3. (a) vi53 (b) (-j. l, l) (c) <i. -2' 0)

5. rar Jl (br (j. j, lr r.' - L r' r\e- r.l.0r. )1,42,s): J41 lJ4l. lJ4l

( 5.9,2); 111011. 4i 2j - lr; lli- 28j + lok; J2t; 3J2ti 3J29i

2i 6j + ?l(i 1/at13. i + lr 5i+ 9j 4ki v4 ; 3J2i 3J2;

i+2j *r J615. 2. = <4,6,8); -3b: (-1,6, 6)i

s+b=<1, 1,6)i .-b:(1.5 2)

uERCtCtOg {1.1, PIGINA ?lt(5, ro,5) 3. -6i 8j + 18*

(-4,2, 1)

-40i + l5li 9. 0

<12, -14,24>: (16. -2, 5)(' !D) b=t (bxb)=t 0-0(a) l3i + 7j + 5k (b) 9J3/2(a) .(5i + 4j + lok) con c + 0 (b) J141l6

ETERCTCIOS 14.5, PiGlNl 7tl

l. x:5-3r,r- 2+Sr,z-4 ,i(1.+,0),(+.0, +). {0, +, - l)

3, x:4 +\t, Y =2 + 2t,, - 3+tt5. '=0,1=r,z:0?. t- 6 - 3s, t : 4 + s, z : - 3 + 9s

9, (s, -7,3)11. No sE inteBecan

r3. -1ry(3J10)

l.5.7.

11.13.

17.

19,23.

.l080

15-

9.

5_

RESR]€sTAs A LOs UERCICIOs DE N,MERO IMPAR

11. 15.

19.

29. Cono

19. Cono

23. Hip€rboloide de un

(a)z=4 (b)'=6 (c)),=-76r-5)-z+84=03x-r+22+ll=Omx-5!+22=0(x - 5)13 = (y + 2:)ll E, = (z - 4rl')(x 4)/(-7)=(,+3r/8ir:2 33. 71J59l1l9Jlq 31, 6x + tt! + 42 =3AEetJ52t

uERoctos'tt.t PI6NA t31

l. Cilindro circular 3. Cilindro eliptico

Cilindro parab6li@

l.l_,It I

I

Plano

Nl't\lii1:T-,/".J

7. Cilindro hiD€rb6lico

11. Ciliddro 31.

,r)

Wtliperboloide de

]Dd*-{tElipsoide

Affi/Y

11.

25. Hiperboloide de

l9

27,A.,:i.

29.31.

35.

t9.21.

Respu€stds a los ej€rckios de n!meroimpar

33 t1 +21+1t2=16 15. (11164) + (r1e) + zr : I

21.

17,

2J. r'r

/:i\l'*f-,

W27. l,II]w

39. (a) La elipsoide de Clarke esla achatada en

los Polos none Y sur.(b) Elipses (c) Elipses

EJERCICTOs 1{.7, PadNA 73s

l. (a) (0. 5.l) {b) (3. ]Jl, 5)

:. (,) (vjo, n,'1. "o. 1( 2/v5) (b) (2, n13. z/2

5, (J)(2, l,rI2l lhl rl T4 -\ l)7, 'r + ':: l6i crlndro circular

9. : :. lJ: +lr'z; medio conorl rr +',r = 4', crlrndro cir.ularr3. rr +;' +:' : azj eslera rs El eje z

l?. Un cilindro con una Lemniscala como direct'iz

Y generatric€s Paralelas al eje z

19. Esieras de radios I v 2 con cenlros en el

:lrcosd+rsend 4z=12.,(lsrn + cos r/ +r dsefd 4cosdr- L':

r'z\enr 0+ :'? = 9, n' Lsert +5(rl d + cos' d)=')r = 6 cos d, r)sen d:6 cos 0

:-ranr, rcosd:1an0

EJERCICIos 1{.8, PaGINA t36

l. 12i+ l9j 3. -s 5. '/t '/171. ta^ 'i s. (1/J2ex5i 2j)

11. (a) .'18 1bl r2, i iri.r x,+ r:+::+1. +R!-6?+ ru=u(drr 'a 'e'

1-t- 2 t

(f) 6t+! z 25:013. 6r l5I + 5z: l0

36 31. ,,il + J3lr . ro. r,r lo. I /rtr2i rj + r7L l7. ! \ ll 19. 16 41 0

.li loj + 4!t

iottt-ool t,{? lbr \+4}+l: 5=0(r) =l+7r.J: | 7t z=)+'(d) 59 (el co\ 159\T?45):154' (rl J66.:l+lr.r=-l 4r:=5+8r'r: r+7r,,:A lr.= 1 lL

"os' (-25l.,/2295) = r21.46'

(2.ri, -r,4. 1); (r,cos 1i, ria)

: : aGtllr t'1)/, i nilad inferior de

r = 1: Plano 57. r: li Prsen: d: I

t1+/ 2'=a: I 2cosd':o

29.

33.

15.43.

45,

4't.

49.

51.

53.

55,

59.

21.23.

25.21.29.

CAPfIUIO 15EJERCTCTOS 15.1. PaGINA 741

1.

't08t

5.

RESPUESTAS A LOS EIERCICIOS DE NIIMERO IMPAR

?. Helice elipdca s.

I,iftY-',1

plano z = 3

9. (b) .'(r):3r2i- 3r aj; (l) = i +j; r(1): li 3j

u. (b) '/(r):

2i - ji (3): 5i + jj r'(l) : 2i - j9. 1r.

1t. a.r3 (a) D = lr : t + (vl2) + kn, k un efterc

arbitrario); r es continua €n r.2!i + s*tr rj; 2i + 2 str'? I lan rjD : {r: ! > 0}; r es continua en D.tl/(2Jr)li+2l'j+r; t tl1tJt)li + 4e!jl+6t,t= 2 l0r.z-10+8,

(b)

(b)

15. 5[4J17 + ln (4 + /17)]/4: 2J.23

t7, J3Gz" t) rs, 7

2r. G) 4J3

23, (b) 19

UEIC|CtOS 15,2, PictNA 751

1. (a) continua en todo su dominio ll,2l(b) r'0) = jG l)

r'{r): -.1(r - l)3, (a) Continua en todo su dominio

N:t+(a/2)+nnl(b) /(r) = se' ti + (2r + 8)j,

r"(r,: 2 sec? . tan ,i + 2js. (b) r(r) = ti + 2dr (2): ai + 4jl

r(2) = 8i+ 4j

?. (b) .(r) = 4sen,i+ 2 cos rii(3r/a) = 2v4i +.r6ji/(3ntq- 2J2t - J2i

j: I +s,l:s,z=4 21. 1(l/Jt(1-1,0)x : oel, ! = het,, =.d doade d,, y c sonconstantes; la grafica es una recta que pasa

I6i-8j+6k(r - Vf)i (lMI + j tn 2k(jt + 2)i+ (lr'z+ r 3)j + (2/ + 1)k(!r + ! + 7)i (r' 2rj + (jl r. + II.

(l + 5t)senr + (3t + 2r3) cos r;

L(r3 + 40senr r? cos rli+ t(lr: 2)sen. + (ri - 24 cos rI+[ 3r sehr + (1 l)cosr]k

EJERCTCTOS 15.!, PiGtXA 759

Ejercicios 1-15: La respuest estdn en el orden

',(!), r"(r). l.'(41, .'(a), 1(d) para el riempo jndicado

1. 2i + 8!j, 8j, 2Jl + 16l, 2i + 8j, 8j)In-l. i i ir i I

tt tt't'1',t {,-r,rr J,. ,,-i..'-ir - ij j'+it

5. cos ti 8sen2d, sen.i 16 cos 2rj,

16o- r+ o+*n'a, 1ut1u)i 4!43j, ii 8j

7. 2e'1'i e-'i.4efi+e-'i, J4e"'+e 7',

2i j. 4i+ j9, senri + cos lj + t, -cos ,i - sent; J2

17.

19.25-

2't.29.31.33.35.49.

Resplenas d los ejercicios de iLimero

11.

13.

15.

19.

2.i + (rJij + 6J;k, 2i tri (2Jt)lj + (3/!,)k.

J4l+(1/t+36re' (.os t senr)i + .' (cos ! + senrj + e'L

-2.'send + 2e'cos tj + d't, !,/1.'i+2j+l*,0,J14(a) l50v/3i+ ( ,r+t5o)j(b) (1500):/(8s) - 8?89 Pie

{c) ( 1500f !,'l/(1s) : 60,s92 pie

.]9. 18 lsen: 20 i I + I cos': 20lrlal. ( +.ij) 45. (4, -)) 47 r0. -4149. r:1s 3.]:is+5i s>051. r = 4cos is, )= 4senis; 0< s< 8r

EJERCTCTOg 15.s, PaGlNA tt5

1. 4r(41 + 9)'i1; 6(4!: + 9)'r1i 6'(4! + 9)tr/1

J. 6rl!: + 2)'tr'+ ,lr2 + l)r '],ftr4 + !: + LJr

,/(r4 + 4r, + I lr r):

llr+ + r: + tt' :, l(r. + 4r: + r rr ,

5, r(l+r:) ri 12+t'zr(l+':) ':,(2+l)i(l+l)rr'

7- (-65senr cos r)./(16senr I + 8l cosr t + 1)',i(81!enrr+ 16cos? I + 1296)1rr.

.r6€ r+8Lcos:r+l)'i'(8lsenr I + t6cosr I + 1296)1rr

(16sen:! + 8' cosr.+ l)ritr

9. 16,/Jir l8i y'5

uERCrClOg 15,7, PIGINA 78t

1. r(r): 2ri + (8r r)i r"(r) = 2i + (8 l2!:)il

2Af,n t6r\ 41

3. (a) (1h/3xi+j+k)

{d) 1500 pie/s

21. 10J5 ! se4 piels

23. (a) l8,os4 mi/h (b) 867 nin2s. J128/r5/(2'l : 0.46 revls29. 0.52 pie

EJERqC|OS 15.4, PiGINA 769

1. r(r) : (r + l) 1r'?(i - 'j);N{t) : -(l + l) 1/:(i + j):

T(1) = (l/lxi- D; N(1)= (L(?xi+t3. T(r): {r4 + l) |r:(r'i+j);

N(.):0a+l)tr1i /tir(1): (1/v/2)(i + ti N(l) = (l/J2xi -t

l, 3.

1(b) x:r,t:r+ l,z=r+ 1

rbr . jr. ll - zeB5. (a) i0): rr'+ 4r 'rl,i + 2iri

N() = (r1 + 4) r/'](2i- 'i)

(b) r(l): (l J5x' + rlr.x(r) = (t/,r's)(zl D

-,fr,JFT(r) = cos ri - senr[: N() = sen'i {os rl;

rtnr,t): (v5i:xi k)i N(',/'1): {J2l2Xi + k)1.

9.

15.17.19.

(?21 + 1o4i + (2r l6rr)j (l5l + 12r)kr

l5t 60r

zi + ii l tl. .r'ilz(416 + er' + l)i'1[4{f + I + r)'i']

rsenrco'r 8sen2rcos2rtl4co+ 2r+s(n:')'rri.Lllcr.lr c.s '+2\en2lrnr

t(4cos'lr+sen-lr '

"t.

15.

19.

6/1ori 9. 2 ll.0 17. ,18/2lnl

(a) I (b) (u12, 0) z/ 1ut t z, rt21.

ll.

23,

21.

(ln J2, ri J2) 2s-

, h) -ln21 3.].

(0,:tl)(+Jz, -zo) :s. (0, o)

CAP'IUIO 16EJERctatos 15.1, PiGINA 79t

r- R x R: -29.6. 4

3. l(,, ,), u I 2,)r -1, *.0s. 1(r, ),:): r1+ )r + z1 < 2s); a,2Jj7. La mi1ad superio! de la eslera rr + ,: +

108{ RESPUESTAS A LOS UER'I'IOS DE NUMERO ]MPAR

11.

11-

9.

23.25,

21.

EI plano cuyos punto! de inteBecci6n con losejes x,, y z ti.nen coordenadas 3, 2 y 5,

La mjlad superior de Dn hiperboloide de unmanlo con su €j. a 10 larso del eie r.

15. Continua en J(!J]):x>0, l<]<1I17. El limile es 0 y por Io iarlo /es collinua en

(0, 0).

t9. rr. 2,'r' .,, - 4r{Y: u ,: l,r.,r:r , ,:21. r2 +2x tanl+ 1an':J, + l;"K *M

37-

{(r, y): y + (z/2) + lz,I un entero arbit.ariole"'tr. \x2 + 2y\\x1 + 21 3); ?1' + 2t2 6t(r - 2]X2x + l) 3(r- 2)) + (2i + r)lim(-,, -)-r..!...?, /{r, }.:. '): L significa que

para todo € > 0exisleun6 > 0 tal que si

o < J;: ,f + (, ;)'+ G {t'+ (w l)r< d,

entonces l/(r, ',:,

w) - L <.

19.

27.

29,

31.

33.

15.

(c) ,4r :3u x 105

EJERCTCTO9 15.2, PiGTNA 80t

1. -: 3. No exisle 5. 0

?. No exisre 9. o

ll. ContinDa en {(! }): x + y > lJ

13. Conlinua en (t, t,zrsix'+ yl+,

EJERCTCIOS 16.3, PiGtNA 807

1. L(\ )') : 8rrlr - lri ,(x, r) = 6r']2 2r)' + l3. J,lt, s) = 4Jr\ ]: l"lt, t : '/,t' *

"s. r(;,,): e, + )' cos 'i r(', r) = xd +senr1-.l,GD): n/(' t'z): J"(t. a) : rl1'1 ,1)f. i(I' vl - co, (r/,) - (r/y)sen(r/y)i

f,fi, ,) : (tr)':sen (rr)rr. /.(r, s, r) - 2rz" cos ri ,(r, s, , = 21"! cos I

l(r, s, d: rzer'sen r13. L(r }].,): (rtr + z2)'ln (y: + z'zl:

I,G, j,, z) - 1\tr'.yz + z1)' ':

rs. ,(r, r, z) = c' ye', LG, t, z) = . ,p 'J.\x, r, z) = xe' + e Y

t1. J,\q.\i) : tlQJqiJt qa);

J,lq, r, w) : tq/QJqtJt a,t+'cos,';l"(q, ,, w) : ' cos o,

25. 18"1 + 76132 2?. r'? (sec fl)Ged rr + 1an? r.)29. (l r?],'z:) cos rr' 3'),2senr'},z47. w--, r,j, w,, w,-, rr, t49. En grados por cn: (a) 200 O) aClo

51. En volts por pulsada: (a) ti! G) + (c) -+i. AC/AX = -36.5ErBlnr por mefo es la rasa

de variacion o cambio de la concenl.aci6n erla direccidn horizontal €n (2,5). |C/Az --0.229r9lnr por merro es la rasa de

cambio de la concentracidn en la direcci6nvertical en (2,5).

55. @) AT/at - rode rcos(o/ - Ij) es la rasarasa de variacidn de Ia tenperaturacon respecto al tiempo a unaprofundidad lija rj AZar =-IoI" I'icos (o1- IJ) + se.(d/ }l)les ia tasa .le vaiaci6n de la lemperaruracor respecto a la prolundidad enun tiemDo fiio.

I arcta! l: z 21. (d) 23. (a) 25. (c)

El origen y todas las esfe.as con cenrro en el

Todos los planos con vector normal (1.2.3).

El eje z y iodos los cilindros circ ares cuyoeje coincide con el eje ..(a) circunferencias con su centro en el

origen. (b) .r: + -r,': = 100

Cinco; esferas con su centro en el origen; lafuera ,E es conslante si (r, /, z) se nuevesobre una superficie de nivel

(a) P = &lvrdonder > 0(b) Una curva de nivel tipjca (vease la

fisura) muestra Ias combinaciones dedrea y velocidad del viento que producenuna potencia fiia P = c.

1085Respuestas a los zjerciclos de n[mero impar

57. @) av/ax = 0.112,),nl./ano es la rapide2

con la que disminuye la capacidadpulnonar con la edad Para un adulro

(0 Av/a), = 27.63 0llzrml/cn es diricilde int€rpretar porque normalmenre se

piensa en la estarura de un aduho como

fija o en Ia estalura / como lna luncionde la edad r.

59. x- l, ! = t. z: -4t + 12

rJErd(los 15.1. PAGINA 816

Ejercicios 1-3: Hay oras respuesus correctas

(v€ase el Ejemplo 2).

1..,= l y,e,:4Ay3. r. - 3r Ar + (drl:. 6? : ll A, r' (A])tr

5. ,?w: (3r' - 2xv) li + (6, - r') d,'t. ,r. - )rqen v dr + (rtr cos r + l!1r2) dls. d - 2x tn (!' + z1) d' + L2x'rl02 + j)l dr

+ l2x1zl(!'1 + .'1Jl dz]:(! +:)

u. r'w=' -/)+t,+r+-ldl

13.11.2t.25.

, '{fl)- a.

7r8 rs. (a)jpre: (b);iPier572(0.015r4:0 67 PulCr 19. 00185

1% 23. 2.96

(b) El e or mdxnno en . no debe ser mavor

EIERCICIOS 15.5, PIGINA 8t5

l. /i{/ax:2rsen(rr) + }(r1+ /) cos (rt);t}y'at : 2!sen (r]') + {r: + irz) cos (r})

3. f*lar - 2r (ln t: + 8r ln I + 2s In s:

r. is : (21 ln s)A + (41/s) + 2r + 2/ ln s

s. t:fr' : li:erl + )'e' + 4rrrxia:/6], - lrret + e'+ 2xrl

?. ;./tx = 3 ln (!'r) + I + (trl!);er,lr!= rln(!d)+(3!/O+tia'A! :,ln (uDr) + (3!/.) + !

o \dv + 61 24s ll. -l(t + lxr + lfll. +scnl r co, I + senr tun '{r 4 cos I sec: 4r

ls. -(611 + 2rr)1(r: +_3t1 -

u. ,/o*9\ l+ ,)-lzrr- +l\ .:. \/r \2-/J ' b\ '') r

rq ,z ar = i2:r + Z(Y:rl6r:'z b': + 1li

tulay: Qxlr - J?)il6\21 6!z + 4)

21. a:;. :-- -l _ l-2

_2\rP - 1'.'l

:(Izd' 2." + 3xze")i6r'." 21le'" + le'l)

23. 0.88r - 2.76 pulcr/min; 0.46' =

25. dr ltu : (D/.)(dPldtJ + (pic)QtldtJ

2?. 6.4 Pulsr/nin 29 762 6 'n'1/aao

33. l 35. I

EJERoCTOs 15.6, P^GINA Sr5

r. :i+ri 3.3i+2j 5. 8i+j-9lt-1. tol./x s. - llsJll) rl. 67/(816)

r3. r(2vE) 15. 16j14 17 15? 1J3519. l2lv/10

21. @ 28t]-26 (b) (r/Jt(i- ?0, J8o(o (v!Ax i+ 2j). J'80

23. (a) 25/(J14J??)

o) (l/Jt4x -2i+ 3j + I), I

(c) (r/j14)(2i - lj l). I

25. &A. l2i 16i; l2i + l6ir ('ri- lj)paracuatquierc+0

2t, -tliiJit 4t 8j+541; J2996 € 548

2s. tb\ tTltu es la tala de variaci6n de la

lemperatura en la direcci6t normal a la

fronlera circular'

i?. {b) 5+J]

UERCTCTOS 16.7, PaGlNA 843

l. 16(1 2)+6(J+3)+6Q l)=0i\: )+ r6t. r: 3 + 6t. t = 1 + 6t

3. 16(r + 2) + L8(l + l) + (t 25) = 0!

x= -2+ t6r,.I: 1+ l8!,2=25+rs. 4rr + 5) 3(y 5) + 20(: - l) :0;

r: 5+4!.':5 3'.2:1+20'

7. '+J3(r-'l)+(.- r): oi

I = r,r :(z/3) + Jlr, z : I + t

9. -r+1{}-2)-G-1)-or!=-t.r-2++t,.=t t

1s. (8,/4vr5, 2J'2lv! -2./4)/t:( 8v'2/J5, 2j2/./5,2J2lJ5)

2,1. 23.

nESPUESTAS A LOS EIERCTC|OS D€ NUMERO IMPAR

27. .

ETERC|QOS 16.8, PAGTNA 849

rjer.icin\ t-t.]j Lc. ,e,p,cra. \e ,\ripren a to,ma\rmos i minimos tolate\

l MrN: /(0 0r = 0 J. MrN: /(t, _ tl: rs. MrN: /(j, l) = I7, MrN:J( ?. \ l)- 48 ov4r). No ha\ mi\rmo\ n mrmnro\

lI. MrN:/(92,2y2) = 12lj,13. MAxr/(z/1, z/l) = 3JJ/2;

MiN:/lszlj. 5n t) = -l\ 1/215. l0 0r lat,O),(U, tt), MrN. r{0.0):0

M*j /(0, 1ll: I ?17. !a\: fl4,l) = 07, MIN:/10 0t:019. n.r:/ r- t. :)= B,'

MiN:/{1, -l)= _r _ /(1.2)2t. M*:l( J2t2,J2iq_ | + \a:

MINr/(j, +)= -j23. ttJ26 2s. l!2t111, t{2, !2!.2i!i )27. Base cuadrada: attura j de ta lonsrrud der

lado de la base.

29. 6/vt, 1246, s,/v/3 3t. l, i.4Jl. Base (uadrad, de ladoJ/6 pre, alru.a

2i a pie

35. (18 puls) x 08 pule) x {36 puls)39. r,:i;+341. !:-nx + b,donden = 1.23,b - \8.13.,

13 (+,+) 4s.4x t zz+t:a

EJERC|CTOS 16.9, PaqNA 859

t. MiN: /{r/J5, 2/v/5) : o = /( 1/v,1. - 2/va)jMAx:/(2d5, VJ5):5: 11 zii3, t1u,'i!

ll.lt.

15.

MrN:/( 5il, ,s1,,:, ste6; = :r.16:uix;/(5/J3, 5,1v1, 5rv.{) = 5/JlMiN: /(:i, +, j) =iInNsrJ10,-1,0)= I !/(2, 1.0) = 5

MiNr/(1,2rJ]. r,5): r6i(.1v/3)jM,ix:/(r, 2//r, , r, :) = 16(3./5)

\6tj2e.eiJ2e,12ii2s)

Base cuad.ada de 2/i/7 por 2/li, altura1il2!'7)

Allura = doble del .adid

29. Anchu.a = 8r3 purc, espesor = TG pute

tJERCtC|OS 16.10, PiGtNA 860

r. i(r }1): .1r] 9]r < 36]3. k\ y). :: > \2 + ,:l5 ; 7. No eilste

.9../.{r.r, r,J.o., 4,r, r, .,.rn, ?,ll. /,r., r. zl = 2y/{ r, + ?rlrr(t, t.:)::)\z: f,:)/(': +:)r:./,1,. r.,r= -rr: + l12: (]: + ?rJ,rl ,4t', .y, ', a = :'..ri,,+ i:l/\. t, z. t) = xzz/J2, +ilJ.G, t,:, t): xzJ2j" + t:

^,. J. '. r): t iQ,a2! i r)

15. I..l\.rt=orr,+ t2,, /'rr.),r:tyr l8rr,/ rr. r') - 6!.1 9y:

19. d, : (2\ + 3r) Ar + (lr 2r) II + (dxl:+:l dr ar, (d],)rj

1I:t;1t'^.u' :r)zrri Ar= -r.rr'

ll.

?s,/.-rr = 12r + l8}; ,sral: tsl 22,l._'(9!']cos lrr - senlrrl 25, t4.ti' 16(\+2)+4(r+r) 11. 2)=o:'x- 2 - 161, | = -1 + 4r, z : 2 -tt(lr, -,1rr + tr(12,],: + 3)ljl,i" = i:' 2rr1(cor] tr:,).a: rr = l: \(nj r:rico\ I _ J.::)

5.'1.

9.

21,23.27.

29.3r,

Respu.stas a los eierclaios d€ nllmero impar

39.

37- MiN: /( !/8/r J2l3, -Jan)= /( ,/8l1, ,,/1. J4/r): ttJ8F. i2t3. J4n: .te,Ei. ",E8, J,r,ar = s/o,/ir

Max: /(J8/r, J2l3. J4/r)-r( J8B. J2B.J4B)= t{ J8B.J2F. -JaB)= rrJdi:. -Jin. -"4r: vpJ:t

Si a = | + 22/3 + 3':lr, el punlo es

CAPiIUTO 17EJERCTCTOS 17.1, PaGlNA 857

t. t 3. ll 5. Nireuno9. Ninsuno rr. (a) 3e (b)

13. l?69.13

EJEn€ldos 17.t, PAGINA 875

l. Ambas son -36 : li3 s. *1. @ - e')i2 e. (e: + l)/a

11. (n/24) + ln [3(2 +-r)] + (1/J2) - i: o2o8?

rr. ,", l'| .,,,.,,aua. ,0, l'f'r'".,'r.o'

J" J" .ro Jr

rs. '.,1 l-,,, .'a,,t. ," .J" 1" rr"rd'lr

r? ra) J" J,, /r. r)ri

d"

(b) l. l. /r.. r) d^ 'r\

t3. ls. 17,

l lr l ,L.1 +t + )-r''.'tl.+t v/

1q.

x. r"r J' J"'- nr, rr ar ax

* l' !","' tr'. 't o, *

rur J' J"";r' rr a" ar * Jj J l.ro, , ^

,'

{.rXI,+3*

". r,, j', J" -ra, ,r ,, * . J, J . ir'' 'r', ^(b)1".l,_,/r(.rrrrd'

+ I .J,, It". )t d, dl

29. (a)

(b)

37.

39-

41.

J' J'''"' a' a' : r"' - rr'r

J" J-'r -" " ar a' =: *'ro

I" i"'5,;'-"^=i

@

+-

?. Iyll8t (c) 60

t," y)/__

j,Jl,,'.'',^":J''J''tn*"r"a'=+

i" jl,,-'a. '" -

t

J' J"'-,-ara'=o coss)/3Ro3s

21.

43.

1088 RrspuEsTAs A Los E]ER( oos DE NIJMERo IMPAR

EJTRC|Ct05 17.1, piclNA 881

t. ,6r t.+ s.2 ?..' ? "

9. 2(ran 1dlr' ja}r)donded=( r+.Js)/2rl. Y 13. 18 15. + l?. SL: 217?19. +:ra2 2r..# 23. 16dr/l 9.

25. El sdlido se encuentra abaio del paraboloide

z = t? + .v':y ar.iba de la iegidn del plano

irl acotada por las grdficas de -t = r - l.y= l-x,,r= -2yr= l.

27. El s6lido se encuenlra abajo del plano . =x +

' y ariba de la regidn del plano {y

d\ordda por la\ 8r;fkd( de \ ) 4. ( t,!=0v!=4

29. El paralelepipedo .ectansular acotado por losplanos z = 0, z = 3. r = 0,r = 4.r' = I,f=2.

TJERC|dOS 17,4, PiGtNA 887

r. i' 3.:Jl z s.?9. jz(b2 a:) rl. n 13.

15. ln (J2 + r) U. I' sen4?1. 5!(lr a) 2s. ,

EJERCTCTOS 17.5, PaGlNA 890

l. i[!/] + 2ln (r + v,l) rn 2l3. ,.d,!ir,,a) + (l/b,) + (rt.)

i,il:,:.J" " t,t' 't')z't'at:

i',, i" -

I-:".--,1'' r' z) dr ttz't\'

l" J'-,'. 1'l-'o''' "' " "'"'I I 1 t\'\''zt'llt''t)

i'f - f '''rr.,",.,,/.;ra.J J qJ

" ":

15.2t

J" t" '-t "'

J"f'"I:""

l,(r . ,')r9. ilz 21. of

7. *u(5r! l) 9. :z(5r'r t)

ErERCtctos 17.6, PiclNA 999

f l" "'t" ""' rt' t' ) a' at t:

l" | "t"' ""t(''t'ta'a-ar'

I ] J" rt' ',ra,a.a',

l" I" " j"" "" ' I!'l. !. i) a, ax h

La resi6n a la derecha del rect6ngulo conv6rtices (2,0,0), (2,0, l), (3,0,0), (3,0, l)y entre las srrlicas de r = Jt . y / =

3. + s.+

21.

7,

9,ll.13.

15.

t7.

19.

Respuestas a los ejercicjos de ntn€ro impdr

23. La .egi6t abajo del plano . = r + l, yariba de Ia resi6n del plano ry acorada porlasgrdficasdel: x2,y - L.,x =Oyx=2.

25. La regi6n acotada por el paraboloide z :n'? +,t2ylospldosz = | ! z - 2,

21, n=l I I t\1+u1t,tzt,,t,J..l,, J,29. e!(t e r) ! o.to6

UERC|C|OS 17.7, PiGtNA 906

l. ' = liirj i= r#; r: i3l. n = 8t (k es um constante de

proporcionalidad); . = 0i t: jc

s. -=1(l . tr); -:0it:;(l-" r)/(1 .:)

t089

UER€tgos 1r.8, PaGtNA 91,

r. 8'; i:0, t= 0, ?:13. ,I - derridad) nt .haa'k ttt) hro'/laa t !h))s.:ka,aa 7. i#o69. 9rl.i t=t=0. r=;

1r. jka" (* es um corslante de

DroDorcionalidad): el centro de masa estd ala de la base a lo larso del eje de sineria.

13. tra6e ls. Eu 17. +z&19. raz ! l.r?4 21. (i)23,(J2 l):66.63

uERqoos 17.9, PiGtNA 9tO

1. (a) Rectas verticales; rectas horizontales(b)r=l!.r=il

l. (a) Rectast-, -cy3!+U=d,' donde c y d son constantes arbirarias

{b)i:ir+i,,y= t!++,5. {a) Rectd zr + / = c € hipdbolas x/ = d

(b) No es uno a uno

7. (a) Elip.es )) r a.v: , e hipirbolas 4x:

(b) No es uno a uno

9. Recrangulo con \eltrces {0.0). 16.0r, (6.5).(0, 5); Ia elipse (!':/9) + ("/25, = |

ll. ,lur - 4,r l.]. 2rrdu l)p '" 15. -6r7. | | \u ,)2 t1t Ju

19. I I \u. + |ti du dr

2r. i I' 1,,.",, , r, ,/, - , i dseno A\en.rJ , J, '

,r. l' | 'i,1 , + 2d) /d rr = rs/8

x. I I tu u,+ ,tu:9t4

UERCIC|OS 17.10, pi6lNA 9lt

r. * 3. e s. -ii+

7. I I /(\.r)drdr

e I I Jt\.ttd'ttl

!t_

25. I,=

I I I r., ,^Jt)1 ,-)dzdrdtJ,J -r . J ,r .. '.

2?.r,=ll I r"+")Ddzlydl29. (a) 576' (b) 288'3r. t = t: (4a)/(3r) 33. +!

n =4ln (v'2 + l) -.1In (a/2 l) - n:391i-0rt:(16 z)/(,rr):08/, = r1*).I, = 111,"), ro:31!i;')t,- 64k,1t = +t, ro - 111k

(, : densidad) (a) ia4,t (b) +a1, G) id"d

i: t: t= ia (con una esquina rija eno).al;1,-..'

,,:ll" l- {()+:r)/rdzrr,JJ rrJ..di:lI' l '\.1 +lJdtJz'|'lnlt ,,J

-Las integrales p;ra i y , rienen los mjsmoslnnites pero los integrandos son f(J: + rr) vz(rr + ir), respeclivamenre

.-/,i:-r;.:-ilr:l I I' a,att.

M,"= I I | ,a,dt,t\

Sea 1: I I I /(r, r,:, d:,,r d.

Pta calculat n, M,,, M,, ME, s.a

f(t, !, .) ieEl a l, .2. / y n, .espectivamenleii: il. t: *, t: -!!

2i.

1090 RESPUESTAS A LOS EIERCICIOS OE NIiMERO IM9AI

ll.

13.

15.

t9.

rR estd acotada por las grdficas de x = e/, 7.x=!1.!- 1y),=t- 1).

11.I I'w r/rrrr= .-3,r4l. l" ls.2ln2 1 17. t t1.

9t (k es una consrante de proporcionalidad)r 27'

i:i.r:+ 2e

21. 2rk 23. *ezb' (* es una constanle)25. rt*i i- 0,t- 9.7: +

f. .- i-J f- i;li:;i27. I I I kt^1 + z,fi dz d, dr

JoJ d-J- i!-

3r. (a) Las recras zr + 5_y = c(b) Las rectas 31 4r = d(c) r : ij! + *u. r: ,'r! ir (d) -+(e) l4a + 3b)! + (5d 2r)r + 21. = 0(l) 25t1 + 2aw + 29!1 - 529a)

(a)i G)6 (c)7 (d)+*(3e4 + 6P ' l2e + 3,r 5)

(a) 19 (b) 15 (c) 27 13 3J14; (para todas las lrayectoflas)

0 19. i+ 23. i:o,t=:za

Si la densidad en (r, /, ?) es JG, t. z),

i,: I. (]' + u ')/(tr, ), z) /s.I, : J. (r: + :')/G, r, t ds.

r, = Jc (r' + r')/(r, j,:) dJ.

EJ Ct0OS 1S.3, PiGTXA 95t

cAPrtuto t8EJErdg0s 18.1, Pa6tNA 933

l.

/(r, r) - lri, + 2r + )'+.No es independiente de la trayedoria.No es independiente de la rrayectoria.

flx.y.4:ttanx-*'+LJG, !.4:4r'z + '- 3!121 +.

ll, t4 13. 3tls. Si I(r, J, .) = (-cl lr 1)r, donde c > 0,

entonces /(J.],r= .lnr+l-(.i2) In (l: + '}': +

"':) + d

25. w :4d), dt)/(di)

EJER(CtOS 18,4, PaGlNA 960

6i 3.: s.r 7.3 9.0 ll.-3n rs. itur 1?. Ii!i= 0. t: (4dt(3r)

l.3.5.5.9.

3.

l.1J.

25.

l5.

EJERCTCTOS 18.5, PliclNA 968

3za4 3. 5

r"r j'J' "i, ]y 2,)r',,c!6),t, ,tr

or J'j"'.r,, 3' :z)\+tr1r21 dxdz

7. (a) | | (4 t) + +t} + z)l!,/t1) az dj,

rtr i' li''+s' t6+,),[i dz dxJO JO

9. El valor de ]a integral es igual al volumen deun cilindro de altura c con eeneratrjcesparalelas al eje z, cuya base es Ia proyeccid'nde S sob.e el plano ry.

U. 2nar 13. 3n 15. l8 l?. 8

21. l.)-...-u.r-0. '.s,'! r't.tl65\ /r

ErERCtcros 19.5, PiGTNA 974

1. 21 3. 2Qn 5. O 7. t36at3 9.24

5.

9.

ll. v/(I, )'' , : 2i 6]ij + 8zt13. F(r l) = (1 + ;:r:)-'(ri + rt15. i+r':j+I':k; 2xz + 2rx + 217. l1 cos zi + (6r}2 l')j -. 3r:rli

3y.1 + 2]isenz +2xe1'

EJERCrcros 18,r, PAsNA r43

l. l4(2J2 l)j 2lr 14 l. + 5.

R.spu.stas a los ejercicios de nnmero impar

ll. Ambas integrales son iguales a 4ra3

13. Ambas irtegrales son iguales a 4r,

ErEncldos 18,7, PictNA 98t

1. Ambas inlesnles son iguales a -1.3. Ambas integrales son iguales a trr'1.

5. 0 7. -En9. El sentido de rotaci6n del medidor de

rolacional es conlrario al del reloj para 0 <_r< I e igual al del reloj para I < ! < 2.No hay rotaci6n si/ = l: rot F =2() - riti (,or F) k l2{J lrl iene

un mrximo 2 en_y = 0 y -y = 2 y un minimo

1091

cAPirur,o 19EJERCTCTOS 19.1, P^GTNA 991

l. (d) r, = 13 +. l.(b)

':

l l. l r ,d l-rdrrJ 8.( .e mue.rran alelno. \e. ^res tipicos dd campo. U. nedidor derotacionat sira en conFa del reloj para iodo(\.)r.r0.0).rorF ' 2k:lrolFl l-2para todo (x, /).

TJERCTCTOS 18.8, PaGlNA 983

l.

11. ),: Ce:"" ' lJ. ]' : cr15. rrr5rr=c,c+0 y }]-017. 1: 1 4 6s"/' '19. l= lln(3C+3e')21. :'''?: C(l + r)-nr - I23. cos ' + l sen' ln lsen)l = c25. sg11" r=4' 27. ,:+lnr:lr 8

29. )=ln(2r+lnl+e'z 2)

31. t :2ef ia+? l)33. tan-t

''-1. sec' :r/4

35. .r/ = l; hiperbolas37. 2r': + /'z : ki elipses

39. 2x: + 3r: = r; elipses

urR(rcros 19.t, PiGtNA 997

rrERocros 19.r, ricrNA 1oo5

t. y: c!z' + cf" 3. v: c, + c,etr'S. r: Cje 2' + C2xe 1'

-?. },: C,rc+-/" + C:.d Jt'9, | = C( Jz' + Caxe '/b

17. !: CJ't't'+ C2? \t113, ]': Cre"! + C?r?a'!15. ): C,.{?+rr}r? + Crc('z Jat':17. ,: c1e' @s r + C:c'senx

) :!l'+ ce 2' J. , = :r' + crlj = (i,rlC j' + rC Y) 7. l = l€'+ Cl,\rl::r3cscx+ccsc'

}':rsenr+ cr rs. rt= tj'+(c/r2)1"-!r:: + ce-| 19. l=lsenx+(c^enr)}'= j+(r+ Ck-'r 23. r-{x+lnr+ t)]J=€'(1. r') 21. Q=cE(1 e-rRc)

,f0)=+(1 , oo r)+Ke oo-rb(^) llt): M +(a M)111 'l(e es una constante) (b) 28

J: yl(l - ce-lr > 0(b) l = (r/*Xl e t') (c) 0.5E ns,/min

t.5.9.

It.13.17.21.25.29.31.

33.35.

5.

9.

13.t9.23.

29.

F(r. )): rr vcr i + 2r hn rj 7. -8+ 11. (ro2rjio25 r7iitrr44

?0 15. 0 11. +/(r ],. , : r??l + ]'? .o1 z + . 21. *3t'zo + xz1, (2x't - 2\!z)i

+ (4xrzr - 2rl:)i + tllJtts 27. t"Ambas inresrales son iguales a 8tr.

RESPUEs]AS A LOs EJERCICIOS DE NI]MERO

19. , = cle"sen lx + c..1'cos rlr21. t - C,et .+Jn + C)et 3,at23. r=2e2' -2e'25. r=cosr+2senr 27. |:(2+9\')2.'

EJTRCTCtOg 19,{, PIG|NA 101{

l , = Cr sen r + c1 cos r cosrl. secx+ranrl3. ),: (c, + c:r + +x1!!5 y=(,P +c:? + i e- \€ n \ - i c

. cos \/. j - ic, +;rrl + c,1 t.

9. t=Cte&+C,. ",1tl. l: C,e. + C:e, + 3? 'lJ. J=.,+c:r, +lsen2i icos2r15. ,, = c,P +cr..+i(1. ala.,17. ,:.r'{c, cos 2r + c,senzr)

+ *(? cos I _ 4 sen I)d

tJERCtCtOS t9.5, paclNA 1Ot6

3. r: (//sk ''(e.r.' - e-.-a',5. ),: +p 8'{sen8r + cos 847. Si ,n es la masa det cuerpo, enronces la

corstanle del resorte es 24D y Ia fuera dcanottleuamiento es -4n(dr/dt). El

movimiento conienza al solar el cue.podesde 2 pie por encima de la posicidn deequilibrio con una velocidad inicial de I pie./s

en la dir€cci6n ve.licat hacia a.riba.9. 6J2(,lri d,)

EJERCI0OS 19.5, PictNA 101t

l. senJ rcosx+e j:CJ. },=un(Jr -x?+c)5. I: (2r cos r + c)/(sec r + tan r)7. r:2se.r+Ccosr9. r/t - ],'+ sen-' r: c

ll. csct=e '+C 13, ]:c._r""'+jt5. r=(cr+crr).4, 17. ]-cr+c:.!19. r: c,e' + C)( ' lr (senr + 2 cos r)21, 1 6p -t"t tJ,, a..,.,,., r,,.25, /:(\ 2)r(t.)+c,27. l:. ci:![c1cos (!/!xiz) + c:sen(w6t2,29. e'(senr-cosr)+l':c3r. ],=rcosr+csecx33.J]:(lnlecr+tanr r + c),,(csc \ - cot r)35. l : rl'se 1') cos I'r - +; l2t437. Ilt): abLdtt39. ldr + xdx = 0; una circunferencia con

centro en el orisen.