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Guía de trabajo de derivadas para grado 11 con los subgrupos
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5/8/2018 Derivadas-calculo de swokowski - slidepdf.com
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94 CAP lTULO :3 • LA DER IVADA
D E F I N I C I O N D : E L A I D E R I V A D A
Sea f una funcion definida ell un intervale abierto que contiene a t numero real a. Et
la Figura 3.1 Sf ilustran la grafica d e f y una recta sec-ante l p ( J ' que pasa par P(a , f(a)
y Q(x, f ( x ) ) i . . La recta de Ham punteado I representa una posible recta tangente er
el punta P.
FlGU 3 . 1 FlGlfRA 3.i
,I'
I
'r-:
- _:~.
(I
En la Seccion 2 , . . 1 de f' in imos la pcridiente in de I como el valor de lfrnite de la pen -
d" d j .. ~! 0 .. d .. ' P A ' de II D f···· l'ente e IP Q cuanoo .~ uen te a .. ,,,,$I,',e Ia e 1!11ClOll,~...::,
. f(x)- !{a)m = lim
s+a X·- a
siempre y cuando el Iimite exista. Si se imrcduce unanueva variable h tal quex = a +
It (es decir, h = x ~ cd, como se ilustra en la Figura 3 . . 2 : , se obtiene la siguicrae formula
para m:
m = limf J _ · U
f( a + h) - !(a)
h
que esequivalente a ta anterior. Enel Apendice 11se da una demostracien d ie est a equi-
valencia, El Ifmite anterior es uno de los conceptos fundamentales de! calculoy
se llamaderivada de fa funcion f en a.
DEI lelo (3. '1)
si este limite existe ,
Sea f una funcion definida en un intervale abierto que
contienc a a. La derivada de] en u, denotada pqr/,(a,)l
esta dada par
f'(a)f( a + h) - ita)
Ii
La formula para j'(a) tambien se puede escribir como sigue:
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3.1 Ddinici6n d e. la cenvada
F(a)lim lex) - I(,a)
_\-U X - a
EI simbolo 1'(0) se leeIprima dea. La frase rCa) existe significa que cl limite
en las Definiciones (3..1 ) y (3.1'), existe, Sffi'(a) existe decimos que fa funcion res deri-
vable en a, que es diferenciable en a 0. que ltienc derivada en a,
Suponiendo que las funciones fy s de las Definicienes (2.2) y (2.j) de la Seccion
2.1 son derivables en a.s» pueden cnunciar dichas definiciones de la siguicnte manera:
UCAC 0 E E LA(3,.2)DE IV DA
(i) Recta tangente: La pendienle de la recta tangcntea la grafica de f en el punto (a , l(a)) es.f '(a).
[ii) Velocidad: Si un puma P se mueve a 10 largo de
una recta coordenada de manera que al tiempo f su
coordenada es 5(1), eruonces IlU velocidad al tiem-
po a es s ' ( .a ) .
Mas adelarue en el texto se presentan otras aplicacienes de 1 3 derivada.
TUnaftmdioflles derivable en un intervale abierto U 1 , /)1) si 10 es en todosJos mime-
ros c de (a., b). Tambien se eonsideraraa funcicnes que 'Son.derivables en un iruervalo
infinite (a, (0), (-00., a) 0 bien (-00; 00), Para intervalos cerrados usamos la siguienteconvencion que es analoga a ladefinicion de continuidad 'en un intervale cerrado dada
en (2.24),
DEF I C ION (3 .3 )
lim /U, + I J ' I
,I " ' " U IJ
I I I > , I
·01 (/,.- 01
Una funcion fe s derivable en un iute:rvalo eerrado [a , h]
8110 e s e n el intervale abierto (0, b) y los Hmite s
1 " f(a + h i - Ita)1m
/1- - -0- z1
'. f(b + h) - f(b)im n'/i-!o[)-
y
existen.
L08 Iimitespor 18 derecha Y porla izquier da len 1 2 1 Defi-
nicion (3.3) se Haman derh',ada por la derecha y derih'ada por
la lzquierda de fen a'j' b, respectivarnente. Notese que para
la derivada par la derechase tienc que h ~ G" y a + h tien-
de a a POl' fa dereeha . Para Ia derivada par la izquierda sc
ric ne que h:« 0- y b T h tiende a b.par fa izquierda.
Si f es una funcion definida en un intervale cerrado --a" b) y no esta definida fuera de el, entonces las derivadas
por la derecha y por la izquierda perrniten definir las pen-
dienres de las rectas tangentes en los PUH'J ' [OS pea , f(aJ) Y
R(b, fCb)); respectivamentevcorno se ilustra.en la Figura 3.1.
POF10 tanto, para obtener la pendiente de la recta tangente
en P Sf: torna el valor limite de las pendientes de las rectas
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CAP l1ULO 3 • LA DER IIVADA
,
secantes que pasan por P y Q cuando Q tiende a P por Ia derecha, Para [a recta tangen-
te en R,el PUnlO Q tiende a R por la izquierda.
La deriv ab ilid a d de una funcion eo intervalosde
la forma [a, b); [O J
O O ) l '(a, b].
o bien ( - 0 0 ' . bJ se define usando I D O S Iirnites per Ia lzquierda o por [a derecha en uno
de los puntas ex t r emes .Si f esta definida en un intervale abierto que contiene a aj. entonces FCa) existe
si }' soto. si las derivadas poria derecha Y'por ta izquierda en a existen ysot; iguales.
Las funeiones euyas graflcas se muestran en la Figura 3 . 4 tienea derivadas porIa dere-
cha y par la izquierda en a que corresponden alas pendientes de las rectas ' I y Ih res-
pectivamente. S1n embargo, como las pendientes de I I Y 1 2 no S O o n iguales, f'(a) no
exists. En general, si la grafica de.ftiene unpico en elpunto p(q, f( tJJ), entonees j
no es derivable en a.
IGUR .A 3.4
-/
\
/
.. t.
. " . . . . -
'" I
-~/ \
y
\ .
\ . . . . _
" \
i.
. 1 . : . '
,fI
~. .
: 5 i fe'S derivable para todo x en un intervalrjenroncea, asociandoa cada x el niime-
fQ/i(X), se obtiene una fiiltlldon J ' llamada deril'vada del. EI valor ae]' en x esra dado
porel siguierue lfmite (0 par un Iirni te unilateral).
l DE VAn (3.4)
CO 0 UN
FUNC ION
F(x)!(x + h) ~ itx)
:::::lim hf j - - < - O
Notese que em(3.4) d mimero xes fijopero arbitrarioy elIiinite se soma hacienda
tender b a cero ...Derivarj tx ; 0 encontrar la derivada de f(x) significa determinar f'(x}.
E J E . L O Sea J l ( J d = 3x2- 5x + 4. Encontrar:
(3. ,'ex); eeldominic de I', Il" 1'(2). j'(-/2)y [(a.);
I'd! una ecuacion parala recta: rangente a la grafica de f en e l punto P(2) f(2.)).
luc·6
(Ill Por (3.4),
. l(x + I I ) - (fx)j'(x) = l~m·· ..
, , ~ o h I
_ I' [3 (:> ;:+ 1 1 )4 - 5lx + h} + 4 l - (3'(2 - 5x + 4)- 1m-=-----~--------''----------
ft~O h
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3.1 D dirn ~c i6n d e la d er~ va da 9 1
. iJxC .· + 6xh -j-. 31!~- 5:\"- 51 ! + 4) - (J;){2- 5x + 4)= Elm ---- - -- - -- - -- - --
n ·11 II
=6.'\:- 5
(bl Como j"(x) =6x - 5, In derivada existe para todo uumero real X. Por 10 tanto
e l d om in ic deF e s M .
lr) Sustiruyendnx en F(x~ = 6 - , ( ~ 5,
I T ' : ' ) = 6 f~ l - 5 = 7
- - -
.{II - '\ ::.) - 61-" 2) - 5=-~6, ~ + 5)
J'fu) = I'm- 5
(d) ComQf(2) = = 3(~i-5(.2) + 4 = J2~ 10 + 4 = 6, el DlmtoP(t:, I{2l) en Jagra-
fica de. ft~ene coordenadas (2,6"). POf (3 ..2) (i], 18.pendiente.de la recta tangente en P
es [(2) = 7(vel' (cj). Usando [a forma de' fa ecuacion de la recta dados un punto " j - '
su pendiente (1 .15), se 0btiene la siguiente ecuacion para la recta tangente "en P :
y - [; = 7(x ~ 2), 0, equivalentemente, 7x - y - 8 = 0, •
EJEM PLO 2 Encontrar FIx) si j(x) = iX . i C . l J l : a J es el u.omJniO de .F?Soluci6n E] dominic de f consta de todos 105 nurneros reales no negatives ..Exa-
minarernos los cases )( > 0 y x = (j par separado. S i x > 0 enteaccs, por (3.4),
Para encontrar el limite. $C racionafiza el numerador y Iuego simplificamos:
., . v x + Ii - \iX ,\/J.: + Ii + ' v ' " " ;f(~,)=hm- _. ~
/,~O h .:\' ..J. '/1 - I,·v- ,/ '\'-"
( . x : + I i ) - x=Hm---==! , . . . o hh/Y + h - _""'x I
= lim --,,~ 0 \. _\'+ h + :' < X
Como X= '0 es un punto extreme de] dominic de f. debe usarse un limite unilateral
para determinar si /'(0) exists ..Suponiendo que Ies derivable en 0 y usando laDefini-
don (3.4) COl) x = 0, obtenernos
\,-'0 + I i - \ 1 ' 0f'Wl= lim
/ 1
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98 CAPITULO 3 • LA. DERIVADA
Como este limite no. existe (vease eelEjercicio 46 de 1a Seccion 2.4), /,(O) rampoco exis-
te. Por lo tanto, el dominio de l'es el conjunto de los nurneros reales positives.
-+-
EJE PLO 3 Sea j(x} = Ix~.Dernostrar que InQ es der
vable en O .
Solution En el Ejemplo 8 de la Seccion .t .4se estudi
la grafica de fque se ilustra nuevamentc en la Figura . 3 . :
Geornetricarnente es obvio que loo time derivada en 0 pu
lu grafica Ilene un pica en el origen, Puede demostrarse qu.
/,(0) no existe haciendo ver que las derivadas de jpor la d--
recha y por la izquierda en 0 no son iguales .. Usando los Hn
tes de la D efin ic ion (3 .3) con a = 0 )' b =01obtenemos:
FIGURA3 •.'i
! c + I, I - I 0 I , , _ I I I I .--.--= lim --= 1
II k-U· I I
I h i-= -1
/1 '
Por ]c > tanto, 1'(0) no existe.
Del Ejemplo 3 se concluye qu e la grafica de y = ]x l no tiene una recta tangent.
en el punto P(O , 0).
EI siguienre ejernplo ilustra.la aplicacicn de Ladefinicion equivalente (3.1 ') para cal-
cular /'(0).
EJEMP lO" Sean f txJ = x 1 1 3 ' J i ' a i- 0; Obtcner f ' (a}.
Solucion Usando (3.1 '),.
.,.. '- (I(X) - flo)j (a)=hm' -_ .. -. ,"U:'( - u
_yll-.! _111.1
=fmX" X - (I
si el limite existe. Para investigar Ja existencia del limne S I : ! requiere modificar la form'
del eociente. Un medic para hacerlo es escribir
XI3_UIJ xl.l-al_)
lim - -- = lim - - n : - - - ~ --1 J •.X-(('< - (/ ~C 'U i'.'c -), - (a ~<1
EI denominador puede Iactorizarse usando la formula
II) - q - i - Pl - q)(i)~ + pq - q~')
:\._L.:l -,oJ .3
lim 1:\ 1'3 - ~, --.,,-, ! ' ~-, .
_'~,l (.\ • - (I !ly- ~ + .\""'0 . + 0:' ' " ' I
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: 3 . 1 De:fln jc ~6 n d e la denilJada
Dividiendo eJ numerador yel dencminador entre x~n - a 1.1 y tomando el Iimite ob-
tenemos
1tll:!! = Iim . 2 ~ , 1 J I , ~ ,_ _ < _ - · a x~ - + -'i a' - + {!~_,
•
Si una funcion Its derivable en i1entonces los eonti-
nua en 0.,
D mostrad6n Si X esra en el dominic de J y x * a , en - tonce s /(x) puede expresarsecomo sigue:
}('d - _ / \ a ) .fj-y) = /(u) + ~- Ix - 0) .
_ ,< -d
Usando los teeremas sabre limires y [a Deli nicion (3.2;),
,. I" .,_ fl(sl - fl[a)1 >
hmJ(x~ = 11m j({I) , hm . lim Ix - a)T-'~~ X-LJ x-,,:,(1 _\': - f..} _ ' i ! ' "'if
Par 10'tanto, de acuerdo {;dn la Definicion (2,23i),. f es con t i nua ene. • '.
Aplicando los limires unilaterales, se puede gerreralizar el Teorema ('3..5) para In-
cluir funcicnes derivables en un intervale cerrado.
E[ reclproco del Teorerna (3.5) es Ialso porque existen funciones continuos que no
sonaerivabtes. Per ejemplo, sif(x) ;;;;;:xjeneo[lce. 'l jes continua enO; pero se.dernos-• v
no en e1 Ejeruplc 3 que f no es derivable en Q (ve~sela Pigura 3,5).
Cuando y ;;;;;:(x) se utili za n las siguientes ~otaciones para la s derivadas,
NO TA C IO N E S (3 .6)
PARA LAS
DER IVADAS
dy d!, .FUr ) = D ,. (1.,,(-'01 = DxY =y' :;;';;;,,-' = -. j - ' . U{x)}_A ax GX
Todas 'las not ticione/i an teri ores seutilizan en liasmatematicas y sus aplicacio nes,
y es eecomendable queel lector se familiarice.conellas.
El subfndice x en elsnnbelo D ; , ; se utilizapara designara Ia varlable independien-
te o Per ejernplo, si Ia variable independiente es t,escfibimos !'(t)= D. f lU)], Los
simbolos Dx y D/ se llaman operadoees dffereneiales. EI simbolo D; por s( solo no tie-
ne significado simple; sin embargo, si se Je agrega a La de re c haurra ex -pre sion que.inclu-y 8 ! a X, entonces denot3 a la derivada, Para ilustrar esto, usando el EJemp10 I"
Dx(Jx2- 5x + 4) = 6x- 5.
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100 C A P i T U L O 3 • L A DERiVADA
Se dice que Dx . opera sobre Ia expresion 3x 2- 5x + 4.. La expresion D;,Y puede leerse
como derh'llda de y con respect» a x. EI simbolo d/d» se miJ ' izJ "de mane-fa parecida,
par ejernplo,
Como se indica en (3.6), las neraciones j- y d~vlds tambien se usan para denotar in dcrj-
vada de y con respecto a .r. En la Seccion 3.4 se j .istifica 1 3 1 notacion d)!/dx con base
en el concepto de diferencial.
Concluimos esta secc icn con una aplicacion especializada de la derivada,
FIGURA 3.6EJE P 0 5 En oprica, una funcion Ial que T'(.'t) :: > I
para rode x, puede considerarse como una translcrmacionq ue a m plific a objetos. Como se ilustra e n . la Figura 3.6" la
funcion Jtransformt1! un objeto que Sf extiende sobrc eI.in-
tervalo de .r [a a + h] en un o que se extiende sobre el inter-
valo de y r I C a ) , f(a + h)]. (Piensese C.H una fuenre de lu
a Laizquierda del cje ,r que ptoyecta la imagen en una pclicu-
la localizada sabre el eje x sabre una pantalla ubicada sobre
el ejey ..) La . amplificacion AI defpara r a j a + /1 ] se define
como la razon del tamano (oaltura) de la imagen < lJ t amano
(altura) del cbjero. EI valor de M puede variar dependiendo
del inrervalo [a, a + h]. La amplljicaci61,/ I l t 1 a en x = a se define como Hmh~uA1..
( ) Expre s a r J t1 y Mil e n te rrn in os de f(b) Sea l(x) = x2
• Calcular M , y 1 1 . 1 2,
i.1 ~ I'
OBJETO
o'lucio(a) El tarnafio del objeto es (a + h) - a ::;;:h ~ r ci tamano de la imagen es f(a + 1 1 ) -
f (aJ . POI' 10 tanto,
f{a + h) - f(a)A1 ;;= h y. M; = lim AI =f'f(j~
il~O .
(b) 51 f(~'{:) =\'"2 emonces del Ejemplo I de Ia Seceion 2.1, f'(a) = 20 " Ypor 10 t an -
to, lM 1 ;; f'(l) = 2 ~: Mz = J / (2} = 4. Notesc quelaamplificacion e n x = 2 e s e
doble de la amplificacion en x = 1. e
EJE '(IC105 3 .1
Ejel'ci¢ios i-tO: (a) Use (3.4) para calcular .f'(x).
(b) Encuentre el dominic de j'. (c) Obrenga una
ecuacicn para 1 3 recta tangente a la grafica de f en
el punto P(l, /0»). <
q. ((y)=\,~x+] II. !"ixJ'-112x)
Ejerci,cios 11~14: Calcule u,».
U. r =7 ''\. \ 1__ .i=1\ + 3f
IJ. r - .2 xs - -lfx + 1 . .I =« (3:( -l - +. I"ix~"'I
2 . {(xl =11 - 0;' :-'/'
J. (,(:\') - Slx -.n X ' 1 =7x1 _ - :)c:
ICy)'-,
X x - 5 . ' 1 : ' (,. /(s) ' = ,\:i .L .\l. .- _ T I
. II \ "I -= :I L x -~) lS . Ibl=l-"
: \ 1 2
Ejerdcios 15~2{1':Calcule I' (a ) utilizando (3. I')..
-
I • flx);;=, 2,
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1 ; 0 1.2 Algunes r~sJas, para determiner derivedas
18 J (\1 - " - .\:3
. 2 1 . j ( _ y ) =\._
funcidn f. Trace la gnifica de r y senale en donde
.f no c s d e riv ab le .
,. . .1..,./'(.\) = I Ix - 5)
Ejercieies 21-22: Use las derivadas por la derecha ' \c'
'"lor lu izquierda para demostr ar quer'nc es u ( ; I I " I \ " < 1 1
: . : J 1 ~ - = 5.
:t. )hl = \- 5 1
n.\)= --\._
,j,
Ejerdcios 2,J-26;, Trace la grafica de f ~usela para
eacontrar el dominic de 1'.
I : : " > . : si x <: 0':' nx)=·, -, l,-i - \ > 0
si ,...-:; I
. s i - \ > I
-I
, ,, -
-I
2 . Sea J ( x ) ; ; ; ; : Ixl., Demuestre q O _ 1 : F{x) = 1 si
o X .> 0 y que r e x ) = -1. si x « : O .
J . Sea f{x) '" Ix! /x. Encuentre (a) el dominic de
1'; (b) f' (x) para todo XCIl el domlnio de r.:3 • Demuestre que si lex) es un polinomitr de gra-
do 1 entonces f'(x) es un polinormo de grade
O. ,~Quesuc-ede cuando f(x)
e s un polincmio degrade 20 3?
32. Demuestre que'D".c = 0 para todo numero real
F je r c ic io s . 27 - 28 ,: C ada f i ! ; r , l 1 r a "mesh - a l a gr< lJ it :a d e un a c.
si 1 \ : : ; I
jj 1 \ ' .> 1
5i n :;;x < II + 1)'Ii e s
un entero par
_\ si n ::;S :s II - 1 Y II es
Wli entero irnpar
IJ ~ denota la funcion mayor enrero.l
A 1 G U N A S IR E G L A S I P A R A D E T E R M I N A R D E R I V ' A D A S
Estaseccion contiene algunas regias gene ra l e s que simplifican it a tarea de encontrar de-
rivadas. En las enunciados de los teoremas S I : : ' usara el operador diferencial D~rparadenotar derivadas (vease (3.6)). El primer resulrado de esta seccion s;een-uncia expre-
sando: fa derivada de una constante es cero,
T ,0 1 ( ." . 7 , ) t , I L . . - -_ ~ - - - - J l_ D\(c) = O. _
em I f clan Sea f la Iuncion ccnstante definida pO T I e . . - } = c para todo x. De-
mostraremos que l(x) = O . Como todos los valores de J son iguales a c, results que
f(x + h) = c para todo h. Aplicando (3.4).,
_, . [t« ~ i I ) n\·) , ('-I.' ,
jllxl-Iim- -- =1rm ! =l!mO=OIi ; () 'l Ii-~; 1'1 h ,II
H ultimo paso es consecucncia del Teore rna (2.13)" ••