30604689 Examen de Admision Uni 1995 i Matematica Solucionado

UNI 1995

1

debido a que su negación

{ }

4

a , a

0

÷ ¬ e e Z N es VERDADERA.

III) VERDADERA :

n , e / n+e ¬ e ¬ e e N Z N

debido a que:

* Si eeZ entonces e ÷ eZ ; haciendo

n= e, n+e=0 ÷ eN

RPTA : ‘‘B’’

PROBLEMA 5:

De los 504 primeros números naturales

¿cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?

A)480 B) 408 C) 264 D)288 E) 272

RESOLUCIÓN

*De { } A= 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .... ; 504 tenemos :

504

* 3 : 168

3

504

* 7 : 72

7

504

* 21: 24

21

¬

¬

¬

Cantidad de números son



* Gráficando tenemos :

288

3(168) 7(72)

°

°

7(72)

U(504)

144 48

RPTA : ‘‘D’’

PROBLEMA 6:

Sea N el mayor número de 4 cifras que

al dividirlo por 4 ; 6 ; 9 ;11 y 12 se

obtienen restos iguales. Luego , la suma

de las cifras de N es

A)17 B) 18 C) 20 D)21 E) 23

RESOLUCIÓN

* Nos dicen :

(4;6;9;11;12)

4+r

6+r

N=MCM +r

N

6+r

N=396+r

11+r

12+r

1

1

1

1

¬

1

=

'

1 ¬

1

1

1

1

*Luego el máximo

396

°

de 4 cifras es

×256 396 =9900

r puede ser 0 ; 1 ; 2 ; 3

max

MÁXIMO

r =3

N =9900+3=9903

¬

¬


PROBLEMA 7:

Si a/b y c/d son dos fracciones

irreducibles tales que su suma es un

número entero, entonces podemos

afirmar que :

A)a=c B)b =d C)a=d D)b=c E)a=b

RESOLUCIÓN:

*Dado que

a c

b d

y

son irreductibles ,

PROBLEMA 1 :

La raíz cubica en base “n” de (n) 8c61 es :

NOTA: c= 12

A) 11 B) 12 C) 21 D) 13 E) 15

RESOLUCIÓN :

* Por descomposición polinómica :

3 2

3 2 2 3

(n)

8n +12n +6n + 1

(2n) +3(2n) ×1+3(2n)×1 +1

(2n +1)

3

= (21 )

3

* Piden :

3

3

(n) (n)

(21 ) = 21

RPTA: “C”

OBSERVACIÓN :

NÚMERO , palabra o símbolo utilizado

para designar cantidades o entidades que

se comportan como cantidades.

Los números se agrupan en conjuntos o

estructuras diversas; cada una contiene

a la anterior y es más completa que ella

y con mayores posibilidades en sus

operaciones. Se enumeran a

continuación.

ARITMÉTICA, literalmente, arte de

contar. La palabra deriva del griego

arithmetike, que combina dos palabras:

arithmos, que significa ‘número’, y

techne, que se refiere a un arte o

habilidad.

Los números usados para contar son los

naturales o enteros positivos. Se obtienen

al añadir 1 al número anterior en una

serie sin fin. Las distintas civilizaciones

han desarrollado a lo largo de la historia

diversos tipos de sistemas numéricos.

Uno de los más comunes es el usado en

las culturas modernas, donde los objetos

se cuentan en grupos de 10. Se le

denomina sistema en base 10 o decimal.

PROBLEMA 2 :

Una fracción irreductible tiene la siguiente

propiedad. Al sumar 5 unidades a su

numerador y 9 unidades a su

denominador, la fracción no cambia de

valor . La suma de sus términos es:

A) 14 B) 27 C) 33 D) 55 E) 44

RESOLUCIÓN :

*Plantearemos

p 5 p 5 p

pq 5q pq 9q 5q 9p

q 9 q 9 q

+

= ÷ + = + ¬ = ¬ =

+

* Piden : 5 + 9 = 14

RPTA: “A”

NÚMEROS RACIONALES : Son los que

se pueden expresar como cociente de dos

números enteros. El conjunto Q de los

números racionales está compuesto por

los números enteros y por los

fraccionarios. Se pueden sumar, restar,

multiplicar y dividir (salvo por cero) y el

resultado de todas esas operaciones en-

tre dos números racionales es siempre

otro número racional.

PROBLEMA 3 :

Considere los tres menores números

naturales consecutivos de tres cifras cuya

suma es un cuadrado perfecto. La menor

cifra del meyor de estos tres números es :

A) 1 B)90 C) 4 D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN :

* Sean los números consecutivos , menores po-

sibles, de tres cifras :

abc - 1 ; abc : abc + 1

* Datos :

2

2

( abc+1) + abc + ( abc+ 1) = k

* Como (I) es un cuadrado perfecto , se

tendrá que :

2

abc = 3p ................................(II)

Por dato : abc es el menor posible :

* Luego :

100 < abc ....................(III)

* Reemplazando (III) en (II) : 100 < 3p

2

,

de donde : p = 6 ;7 ; 8 ;...............

* El menor es : p=6 ; luego en (II) :

2

abc= 3(6) = 108

* El mayor de los tres números es :

abc+1 =109

La menor cifra de este número es cero .

RPTA: “B”

Cuadrado (aritmética), de un número a,

es el resultado de multiplicar dicho

número por sí mismo: a

2

= a × a

Análogamente se define el cuadrado de

una expresión algebraica.

El resultado de elevar al cuadrado un

número natural es otro número natural

al que se llama cuadrado perfecto. Los

15 primeros cuadrados perfectos son 1,

4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81 ;100 ;121

; 144 ;169 ;196 y 225.

PROBLEMA 4:

Determine el valor de verdadero (V) o

falso (F) de las siguientes proposiciones.

I) Para cada aeZ y para cada b e N ;

a b ( ) ÷ ÷ e Z N

4

a eN

III) Para cada neN ; existe eeZ tal que

n+ee N

A)FFF B) FFV C) FVV D)VVV E) VFF

RESOLUCIÓN:

* Analizando cada proposición , se tendrá

que :

I) FALSA: a b ; (a b) ( ¬ e ¬ e e ÷ ÷ ) . N Z N Z

Contraejemplo :

Si: a=10 b=1 .

{ } (a b) ( =

0

e

÷

÷ ÷ ) ¬ N Z Z

II) FALSA:

{ }

4

a / a

0

¬ e e ÷ Z N

2

entonces son PESI , lo mismo c y d :

a c

+ = k ; k ad + bc = bdk

b d

e ¬ Z

* Aplicando módulo (b): ad+b=b

° °

ad=b d=b ...............( ) o ¬

* Aplicando módulo (d):

° °

d+bc =d

bc = d b = d ............( ) þ ¬

* Ahora (o) y (þ): b=d


PROBLEMA 8:

¿Cuántas de las proposiciones siguientes

son verdaderas?

2

2

2

2

2

I) x >1 x>1

II) x>1 x >1

III) x 1 x 1

IV) x 1 x 1

V) x 1 x 1

÷

÷ ÷

¬

¬

< ¬ <

> ¬ >

< ¬ <

Si :

Si :

Si :

Si :

Si :

A)1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5

RESOLUCIÓN:

*Analizando proposición por proposición

, tendremos :

I) FALSA:

2

x 1 1 x 1 x<

x

÷1 > ¬ > ¬ > .

II) VERDADERA:

x 1 x 0 x 0 ÷ ÷ > ¬ > ¬ s

entonces :

2

x 1 x 1 ÷ > ¬ >

III) FALSA:

2

x 1 x 1 ÷ < ¬ >

IV) VERDADERA:

2

x 1 x 1 > ¬ >

V) VERDADERA:

2

x 1 x 1 x 1 ÷1< < ¬ < ¬ <

RPTA : ‘‘C’’

PROBLEMA 9:

Sean d=M. C. D. (2; 3; 4;.. .; n) y

m=M.C.M.(2 ; 3 ; 4 ;...;n). Si N es un

número tal que al dividirlo por n da

residuo n–1 , al dividirlo por n–1 da

residuo n–2 , al dividirlo por n–2 da

residuo n–3 y así sucesivamente hasta

que al dividirlo por 2 da residuo 1,

entonces N es igual a:

A)m+1 B)d 1 C)m 1 D)2m E)d+1 ÷ ÷

RESOLUCIÓN:

*Se sabe que :

E E

N = n+ r = n r ; r + r = n

o o

÷

*Luego :

| |

- 1

N=n 1

N=n 1 1

N=n 2 1

N= 2 1

N= MCM 1 n;(n- 1);(n- 2); ...; 2

N=m

÷

÷ ÷

÷ ÷

÷

÷

¬


PROBLEMA 10:

Un postulante desea resolver la

desigualdad x 1 ÷ < y para ello realiza

los siguientes pasos :

x 1 ÷ <

| paso N°1

|

paso N 2 °

( )

2

1

x ÷

<

|

paso N° 3

( )

2

1 x ÷ <

|

paso N° 4

2

x 1 <

x 1 <

Entonces se puede afirmar que :

A) el paso N° 1 es correcto.

B) el paso N° 2 es incorrecto.

C) el paso N° 3 es incorrecto.

D) el paso N° 4 es incorrecto.

E) todos los pasos son correctos.

RESOLUCIÓN:

* Por C.V.A.(conjunto de valores admisibles)

: x 0 x 0 ÷ > ¬ s

( )

2

2

2

1 : x 1 ......

2 : 1...... x

3 : x 1 ......

4 : 1...... x

÷

÷

<

<

<

<

Paso correcto

Paso correcto

Paso correcto

Paso esto es correcto....pero dice : x<1

* Entonces el paso falso es el 4.


PROBLEMA 11:

En una joyería se sabe que el precio de

cualquier diamante es proporcional al

cuadrado de su peso y que la constante

de proporcionalidad es la misma para

todos los diamantes. Un diamante que

cuesta 360 000 dólares se rompe en dos

partes, de las cuales el peso de una de

ellas es el doble de la otra. Si las dos

partes son vendidas entonces podemos

afirmar que :

A) se perdió 140 000 dólares

B) se ganó 160000 dólares

C) se perdió 160 000 dólares

D) se ganó 200 000 dólares

E) no se ganó ni se perdió

RESOLUCIÓN :

*Se deduce que :

(Precio del diamante) D.P.(Cuadrado de

su peso)

Precio del diamante

= cte.

Cuadrado de su peso

¬

* Sea el peso como 3 , tenemos :

1 2 1 2

2 2 2 2 2

P P P +P 360000 Pérdida

= = = =

4 3 1 2 1 +2

¬Se pierde 160 000 dólares.


PROBLEMA 12:

Un artefacto que cuesta 25 000 nuevos

soles se desvaloriza uniformemente a

razón de 2500 nuevos soles al año. Una

persona que deséa comprado deposita

12 500 nuevos soles al 4% de interés

simple. ¿Dentro de cuánto tiempo podrá

adquirir dicho artefacto?

A) 7 años, 5 meses B) 3 años, 1 mes

C) 2 años, 4 meses D) 5 años, 3 meses

E) 4 años, 2 meses

RESOLUCIÓN:

INTERÉS, pago realizado por la utilización

del dinero de otra persona. En Economía,

se considera, más específicamente, un

pago realizado por la obtención de capital.

Los economistas también consideran el

interés como la recompensa del ahorro,

es decir, el pago que se ofrece a los

individuos para que ahorren, permitiendo

que otras personas accedan a este

ahorro. Para la teoría económica, el

interés es el precio del dinero.

* Sea T : tiempo en años dentro del cual

se podrá adquirir el artefacto.

* Se cumple :

| | 25 000 2 500 T=12 500 1+4%T ÷ ×

* Compra desvalorizada monto:

T=25/6 años<> 4 años, 2 meses


PROBLEMA 13:

Se reparte el número 145 800 en partes

proporcionales a todos los números pares

entre 10 y 98( y ellos inclusive). ¿Cuánto

le toca a la 72 ava proporción?

A) 4 420 B) 4 200 C) 4 226 D) 4 320 E) 4 500

RESOLUCIÓN:

* según enunciado , plantearemos lo

siguiente :

1 2 3 4 44 45

P

1 2 3 45

P P P P P P

= = = = = =

10 12 14 16 96 98

P P +P ... P 145800

=

(10+98)

10+12+14+...+98

45

2

· · ··

+ + +

¬

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

* Piden la parte que le corresponde al

índice de valor 72 :

P 145800

= P =4320

(10+98)

72

45

2

¬


PROBLEMA 14:

Dos campesinas llevan al mercado 100

manzanas, una de ellas tenía mayor

número de manzanas que la otra; no

obstante ambas obtuvieron iguales

sumas de dinero. Una de ellas dice a la

otra: Si yo hubiese tenido la cantidad de

manzanas que tú tuviste, y tú la cantidad

de manzanas que yo tuve, hubiésemos

recibido respectivamente 15 y 20/3 soles.

¿Cuántas manzanas tenía cada una?

A)30 y 70 B)35 y 65 C)40 y 60 D)45 y 55 E)48 y 52

RESOLUCIÓN:

*De acuerdo al enunciado , tenemos:

y

x 1ra. persona

2da. persona

15/y

20/3x

#MANZANA

*Como ambos tienen la misma suma de

dinero , entonces :

15 20

x =y

y 3x

x y 100

= = x=40 ; y=60

2 3 5

| } | }

] ]

\ ¹ \ ¹

¬ ¬


PROBLEMA 15:

Si:

2

2

w (x z ( x x

= , x y

y w)( y z) y

÷ ) ÷ )

÷ ÷

=

(

se puede demostrar que:

( )

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

A) z +w =y +x B) x +w =y +z

C) x +w =y +z D) =z +w yz

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

RESOLUCIÓN:

*De la expresión dada , se obtiene :

2 2

2 2

2 2

( x w)( x z) ( y w)( y z)

=

x y

w z w z

1 1 = 1 1

y y x x

w z wz w z wz

1 + =1 +

x x y y x y

1 1 1 1 1 1

wz = w + z

x y x y x y

1 1 1 1

wz

x y x y

| } | } | } | }

¬

] ] ] ]

\ ¹ \ ¹ \ ¹ \ ¹

| } | } | }

] ] ]

\ ¹ \ ¹ \ ¹

| } | }

¬

] ]

\ ¹ \ ¹

÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷

+ ÷

1 1

x y

| }

=

]

\ ¹

÷ ( ) w z

1 1 1 1

= x + y = z +w

x y z w

÷1 ÷1 ÷1 ÷1

+

| }

¬ ¬

]

\ ¹

+ +

RPTA : ‘‘A’’

PROBLEMA 16:

Dadas las desigualdades :

2 2 3

x y +2(x 2)<0

( y 0; a 0 axy

÷

÷ 3) 1+ > <

Luego, podemos afirmar que x y ÷ es :

A) menor que -2 B) menor que 0

C) menor que 2 D) menor que -1

E) menor que 1

3

RESOLUCIÓN:

*De la primera inecuación :

( )

2 2 2 2 2 2 3 3

2 2 3

+

- 2) - 2<0 x<2...............

x y 0 x y +2 2 x y +2 2 >0

x y +2(x <0 x ( ) o

> ¬ > ¬ >

¬ ¬

,,,,,,,,,,,,,,,,.

*Ahora de la segunda inecuación :

1+ 0 axy >

.......(por definición)

*Luego :

( ) +

- 3) - 3>0 ....... (y 1+ >0 y y>3 ( ) axy þ ¬ ¬

,,,,,,,,.

* De o y þ : x y ÷ ÷1 <


PROBLEMA 17:

Halle la suma de todas las soluciones de

la ecuación : x

3

x

x

=36

2

| }

]

\ ¹

÷2

| }

]

\ ¹

Donde

x

n

| }

]

\ ¹

es un número combinatorio..

A) 7 B) 1 C) 6 D) 5 E) 4

RESOLUCIÓN

* Degradando por propiedad el número

combinatorio

x

3

| }

]

\ ¹

:

x x

x

=

3 2

÷ 2

3

| } | }

] ]

\ ¹ \ ¹

* Reemplazando en la ecuación :

( )

( )

( )

x-2

x x-2

x 1

2 3

2 x-2 3 x-2

x

x

=36 =36

2

2

| }

| }

]

]

\ ¹

\ ¹

1 ¹

| } 1 1

| }

¬

' ` ]

]

\ ¹ 1 1

\ ¹ 1 ¹

* Por definición de número combinatorio

x x 3 e . > N

* Simplificando ( )

x÷ 2

y además elevando

al cubo :

( )

x

2

6

x x

x x

=6 =6 =6 x=4

2 2 2

÷1

| }

]

\ ¹ | } | }

¬ ¬ ¬

] ]

\ ¹ \ ¹

RPTA : ‘‘E’’

PROBLEMA 18:

La medida de los lados de un triángulo

está en progresión geométrica de razón

r, lo verdadero es :

1 1

1 1 1

5 5

A) 1<r B) <r<1 C) <r

2 2

5+ 5 5+

D) 0 <r< E) <r<

2 2 2

÷ ÷

÷

RESOLUCIÓN

* Si: 0< r < 1

ar

a

ar

2

2

2

a ar ar ar+a

1 r r r+1

÷

÷ <

< <

¬ <

*Resolviendo:

5+1

r

;

2

÷1 5

e

2

* Restringiendo :

1

5

r ....CS

;1

2

÷ 1

e

* Cuando r=1 no se forma una

progresión geométrica :

* Si : r > 1

ar

a

ar

2

2 2

ar a ar ar+a r 1 r r+1 ÷ < < < ¬ ÷ <

* Resolviendo :

1- 5 1+ 5

r

;

2 2

e

* Restringiendo al intervalo analizado :

2

5

r ....CS

;1

2

÷ 1

e

* Por haber analizado en secciones

disjuntas :

{}

1+5 5 5+1

r r

1; ;1 ;

2 2

÷1 ÷1

÷

5

e ¬ e

1

2 2


PROBLEMA 19:

Si A B y A D= c · C

Simplifique :

| |

c C

B ( A D) ( A D ) B

] ÷ · ·

]

A)A B B)A C)B D) E)D B · C ·

RESOLUCIÓN:

* Si:

A B A D= c . · C

tenemos :

A

D

B

U

* Luego simplificanremos :

| |

c C

B A A

B ( A D ) ( A D ) B

B B

o

o

·

] ÷ · ·

]

¬ ÷

,,,,,,,,,,,,,,. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,.


PROBLEMA 20

Sean

2

( 1) f(x)= x +2 ÷ ÷ . Si A(x)=b f(x)/(1 x) ÷ ,

con b 0 > y f( x+b)= f( x) . Halle en que

intervalo se encuentra A( x), cuando

0 x 1 < <

-6, 7 A) B) C) D) E) 2, 4 0,1 0, 4 1, 4

RESOLUCIÓN:

* Por dato : ( ) ( ) f =f b=2 x x+b x ÷ 2 ¬

* Luego :

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

x x

2 x +2

x

A = A = +4

x

1 x

÷2 ÷

÷1

÷2

÷1

÷

]

]

¬

* Pero :

0 x 1 < <

( ) ( ) x x

2

2

x 0 ( x ) 0

( x ) +4 4

A 4 A 2;4

÷1 ÷ 1 1 ÷ 1

2 < ÷2 ÷ 1

2 e

¬ < < ¬ > >

¬ <

¬ < < ¬


PROBLEMA 21:

Si la relación :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } R= ; ; : ; 1, 2a 2,7 5,1 1,3a

7,9 ÷ 5

es una función, la suma de los elementos

del rango de dicha función es :

A)22 B) 15 C) 27 D)16 E) 10

RESOLUCIÓN:

*Dado que R es una función :

( ) ( ) = 2a=3a a=5 1; 2a 1;3a ÷ 5 ÷ 5 ¬ ¬

* Luego : R={(1;10),(2;7),(5; 1),(7;9)}

* Entonces : Rang(R)={1O; 7; 1; 9}

*entonces la suma de elementos del

Rang(R) es : 10+7+1+9=27


PROBLEMA 22:

Si

n n n

a b c

Log bc =x , Log ac =y , Log ab=z ,

para todo neN . Calcule el valor de

n n n

1 1 1 1

+ + E=

n x +1 y +1 z +1

]

]

2 A)2n B)n C)n D)1/n E)n/2

RESOLUCIÓN:

*Agregando 1 a las condiciones :

n n

a a a

n n

b b b

n n

c c a

Log bc+Log a=x +1 Log abc=x +1

Log ac+Log b=y +1 Log abc=y +1

Log ab+Log c=z +1 Log abc=z +1

¬

¬

¬

* Reempl azando e invirti endo los

logaritmos ,se obtendrá :

n

a b c a b c a b c

n

1

E = L o g a + L o g b + L o g c

n

1 1

E = 1 E =

n n

¬ ¬


PROBLEMA 23:

Al calcular el logaritmo de

m n

a a en base

nm

a a ; donde m, n 0, a>0 y a 1; > =

obtenemos

n m

A ) B ) m n C ) D ) m E ) n

m n

RESOLUCIÓN:

* Lo pedido es :

n 1 m

n+

m

a

1

m+

mn

n

a a

a

a

Log a a =Log a

1 mn+1

m+

m

n n

= Log = =

1 mn+1 n

n+

m m


PROBLEMA 24:

Sea

5

P(x)=x ax+b ÷ un polinomio con

coeficientes enteros. Si p( x) es divisible

por ( )

2

x c ÷ , entonces el valor de

( )

a+b+c es

A)10 B)7 C) 8 D)9 E) 14

RESOLUCIÓN:

* Si c es raíz de multiplicidad 2 de P(x)

( )

5

P = c a c + b = 0 ....... ( ) c ÷ o ¬

* Derivando :

( )

4

P = 5 c a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) c ÷ þ

* Entonces :

4

a

c =

5

* Reemplazando en (o) se obtiene :

5

b

c =

4

* Como el sistema es dependiente de un

parámetro, tenemos:

c =1 a=5 b=4 a+b+c =10

c =1 a=5 b= 4

c =0 a=0 b=0

c =2 a=80 b=128

÷

¬ ¬ ¬

¬ ¬

¬ ¬

¬ ¬


PROBLEMA 25:

Efectue :

5

2 i i+ i ÷

+i

A)1+i B)1 i C)i D) 2i E)

2

÷1

÷

RESOLUCIÓN:

* Número imaginario, número complejo

a + bi en el cual la componente imaginaria

, b, es distinta de cero. Es decir, todos los

números complejos que no son números

reales son imaginarios.

Los números complejos sin parte real, bi,

b= 0, se llaman imaginarios puros.

Los números imaginarios no representan

nada en el mundo real, pero

matemáticamente son fáciles de usar y

son de gran valor en las ciencias físicas

para representar fenómenos periódicos.

*Conocemos que :

5 5 5 5

i=i i= i =i; =i ÷1 ¬

*Entonces : E= 2 i i+i = 2 i 2i ÷ ÷

* También :

2

2i =( 1+i) 2i =1+i

E= 2 i (1+i ) = 2 ÷1 ÷

¬

¬

2

E= 2i = ( 1+i) =1+i ¬


PROBLEMA 26:

Dados los planos secantes P y Q , en P

está contenido el triángulo ABC y en Q su

4

proyección, el triángulo A’B’C’.

Si BC BC , m ACB=90 , m BAC=30

y m ABC =45

' ' ~ ° °

' ' ' °

< <

<

Calcule el coseno del ángulo diedro

formado por los dos planos secantes P y

Q.

3 2 6 3 1

A ) B ) C ) D ) E )

2 2 4 3 2

RESOLUCIÓN:

BCM// B`C`A` í í

*Por el teorema de las tres perpendiculares

, se deduce que :

m MCB=90

c

<

m MCA=u < (diedro pedido)

a 3

AMC : cos = cos =

3 a 3

u u ¬


PROBLEMA 27:

Para alfombrar el piso rectangular de un

stand ferial(como se muestra en la

figura)se necesitaron 4500

2

m de

alfombra. ¿Cuántos metros de toldo se

necesitarán para cubrir el techo (superficie

de un semicilindro), si el largo del stand

es al ancho como 5 es 1?

2

2

2

2

2

A) 2000 m

B) 2200 m

C) 2125 m

D) 2120 m

E) 2250 m

t

t

t

t

t

RESOLUCIÓN:

2

*Segúnenunciado tenemos :

* Área: piso=4500=2rg

rg=2250

* Área del techo= rg

Área del techo=2250 m

t

t

¬

¬


PROBLEMA 28:

En el gráfico adjunto, la curva es un

segment de circunferencia de radio 5 y el

segmento

OA

mide 3. Determine el

volume generado por la región sombreada

al rotarla en torno del eje Y.

B

Y

X

143

A)

3

134

B)

3

124

C)

3

132

D)

3

142

E)

3

t

t

t

t

t

RESOLUCIÓN:

generado semi esfera cilindro

3 2

generado

generado

V =V V

2

V = 5 3 4

3

142

V =

3

t t

t

÷

¬ ÷

¬


PROBLEMA 29:

Sean :

f( x)=senx

, tal que

x

2 2

t t

÷ s s

h( x)=tanx , tal que

x

2 2

t t

÷ < <

g( x)=cosx , tal que 0 x t s s

y F; H; G las funciones i nversas

correspondientes, condominios

F G H

D , D , D

Halle

F G H

D D D · ·

| | | | | | | | A) B) C) D) E) 0; ; ; 0;1 0;

2

t

÷1 0 ÷1 1 t

]

]

RESOLUCIÓN:

* Graficando :

*Se observa que : | |

F G H

D D D · · e ÷1:1


PROBLEMA 30:

Se tiene un poligonal ABCD tal que los

ángulos ABC y BCD miden

5 3

6 4

t t

y

respectivamente. Halle la longitud del

radio de la circunferencia tangente a los

tres segmentos de la poligonal si se

cumple que:

5 3

cot +cot =m ; BC =n

12 8

t t

2n n n n m

A) B) C) D) E) nm

m m 2m n+m

×

RESOLUCIÓN:

*Esbozando la línea poligonal ABCD :

5

BH=Rcot

12

3

HC=Rcot

8

t

t

*Pero se nos dice que :

5 3 n

BC=n BC=Rcot +Rcot =n R=

12 8 m

t t

¬ ¬


PROBLEMA 31 :

Sea ABC un triángulo isósceles cuyo lado

no congruente AC mide 4u. Sobre el lado

AB se construye otro triángulo isósceles

ABD cuyo lado no congruente AD mide

2u. Si el ángulo DBC es recto, halle la

longitud del lado congruente del triángulo

isósceles ABC.

A)

10 4 2 +

B)

11 4 2 +

C)

10 5 2 +

RESOLUCIÓN :

* Se pide m

* Luego por ángulos en la circunferencia :

DBC y DHC

( ) ( )

2 2

2 2 2

( DC ) m m 2 2 2 2 2

m 10 4 2

= + = + +

¬ = +

B

A

m

m

m

2

4 C

H

D

CLAVE : ‘‘A’’

PROBLEMA 32 :

En dos circunferencias ortogonales de

radios R y r respectivamente , se cumple

que la distancia D entre sus centros es :

A) 4(R-r)<D<R+r B) R+r<D

C) (R-r)/2<D<(R+r)/2 D) D

2

=R

2

+r

2

E) R+r=D

RESOLUCIÓN :

R

O

R

M

r

O

1

r

D

* Por ortogonales :

2 2 2

1

m OMO 90°

OMO : D R r

=

= +

CLAVE :‘‘D’’

PROBLEMA 33 :

Sean O y O’ l os centros de dos

circunferencias tangentes exteriormente

cuyos di ámetros son 2u y 6u

respectivamente. Halle el ángulo agudo

formado por la recta que une los centros

y la tangente común a las circunferencias.

A)60° B)45° C)30° D)15° E)75°

RESOLUCIÓN :

*

OPO ' :notable de (30 60 ) ° . °

x

T

1

T

3 P

3 1O O ´

2

* Pero :

1

TT // OP x 30 ¬ = °

CLAVE :‘‘C’’

PROBLEMA 34 :

En el triángulo rectángulo de la figura, la

suma de las distancias BM y MA es igual

a la suma de las distancias BC y CA. Si

BM=x ; BC=h y CA=d, entonces x es igual

a :

M

x

B

h

C

d

A

A)d-h

B)

hd

2h d +

C)d/2

D)

2 2

h d h + ÷

E)

h d 2d + ÷

RESOLUCIÓN :

M

x

B

h

C

d

A

a

* Sea: MA=a

* Nos dan : x+a=h+d

a h d x ¬ = + ÷

* Teorema de Pítágoras : (x+h)

2

+d

2

=a

2

* Reemplazando a (x+h)

2

+d

2

=(h+d-x)

2

hd

x

2h d

¬ =

+

CLAVE :‘‘B’’

PROBLEMA 35 :

Sea un cuadrilátero ABCD ; los puntos medios

de sus lados determinan el paralelogramo

PQRS ; los puntos medios de los lados de éste

determinan otro paralelogramo MNLT . Si los

puntos medios de este último determinan un

rombo de área 72 m

2

, entonces el área de

cuadrilátero ABCD, es:

A)144 m

2

B) 188 m

2

C)288 m

2

D)376 m

2

E)576 m

2

RESOLUCIÓN :

5

* Por propiedad :

área ABCD

Área PQRS=

2

A

S

D

P

T

L

R

M

N

B

Q

C

72m

2

* Entonces :

Área ABCD=2(área PQRS)

¬área ABCD=2 (2 área MNLTT)

=4 (área MNLT)=4( 2×72)

¬ área ABCD = 576

CLAVE : “E”

PROBLEMA 36:

En la siguiente figura , calcule o

10°

70°

30°

20°

C

A) 9° B)10° C)15° D)22,5° E)30°

RESOLUCIÓN :

C

A

T

2a

2a

B

60

10°

a a

10°

10°

a

H

P

* AB=AC=20

* Se traza AH BP ± : AH=a

*Por Propiedad de la bisectriz :

AH AT a

APC : TC a AP PC

10 o

= =

= ¬ =

¬ = °


PROBLEMA 37 :

En un cuadrante AOB de centro O y por

un punto M del arco AB se traza una

paralela a la cuerda AB que interseca a

la prolongación de OAen el punto A' y a

la prolongación de

OB

en un punto B'. Si

MA b ' =

y MB b ' = . Halle la longitud de la

cuerda AB.

A)

2 ab

B)

2ab

a b +

C)

ab

D)

2 2

a b +

RESOLUCIÓN :

B

O

H

B

´

M

a

A

T

2

2 a

R

2

b 2

A´

b

* Dato :

A' B' // AB

* A´TM (notable 45°)

a 2

MT

2

¬ =

* MHB (notable 45°)

b 2

MT

2

¬ =

* OHM (T.Pitágoras)

2 2

2 2

b 2 a 2 a b

R

2 2 2

| } | }

+

¬ + ÷ =

] ]

\ . \ .

* Pero :

2 2

AOB: AB R 2 AB a b = ÷ = +

CLAVE :‘‘D’’

PROBLEMA 38 :

En un tri ángul o ABC, se traza el

segmento BD con D sobre el lado

AC

,también trazamos el segmento

CE

con E sobre el lado AB.

Si sabemos que :

AB 13 CD 12

AC 36 AE 5

= = y

Entonces , determine la relación :

Área( BCD)

Área( AEC)

A)15/13 B)13/15 C)14/15 D)15/14 E)15/17

RESOLUCIÓN :

5k

E

B

A D 12k C

* Dato :

AB 13

AC 36

CD 12K

AE 5K

=

=

=

=

* Del esquema se aprecia que :

2K×13

Área( BCD) sen

ÁREA( BDC) 13 2

5K×36 15 ÁREA( AEC)

Área( AEC) sen

2

¦

= o

¦

¦

¬ =

`

¦

= o

¦

1


PROBLEMA 39 :

Dadas las rectas

L

1

: pasa por los puntos (– 2;3), (1;5)

L

2

: 2ax (a+3) y=5

Si L

1

es perpendicular a L

2

, halle (a+1)

A) – 9/7 B) – 2/7 C)4/7 D) – 3/7E) 2/7

RESOLUCIÓN :

* Condición :

1 2

± L L

1 2

m m 1 ¬ × = ÷

Y

(1;5)

(-2;3)

O

X

* Luego :

1 1 2

2 3

: m m

3 2

= ¬ = ÷ L

* Siendo :

| }

÷ + = ¬ = ÷

]

+ + \ .

2 2

2a 5

: 2ax (a 3)y 5 : y x

a 3 a 3

L L

* Pero :

2

2a 3 2a 9

m ; a

a 3 2 a 3 7

= ÷ = ÷ = ÷

+ +

*Se desea :

9 2

a 1 1

7 7

+ = ÷ + = ÷

CLAVE : ‘‘B’’

PROBLEMA 40 :

Dados los vectores a (1;3) =

y b=(x;y)

2 2

Si a.b (1,3) ; a b (1 x;2).Halle (x y ) = ÷ = ÷ +

A)0 B)1/2 C)1 D)2 E)-1

RESOLUCIÓN :

* Datos :

a ( 1, 3 ); b ( x ; y )............( )

a . b 3 ........................( )

a b ( 1 x ; 2 )..................( )

= = o

= þ

÷ = ÷ u

* (o) y (þ) en (u) : (1;3) . (x;y)=3...(v)

* Además :

( )

a b ( 1 x ; 2 ) ( 1;3 ) ( x ;y ) ( 1 x ; 2 )

3 y 2 y 1.........

÷ ÷ = ÷ ¬ ÷ =

¬ ÷ = ¬ = o

* ( o ) en (v) : x=0

¬x

2

+y

2

=1

CLAVE :‘‘C’’

TRIGONOMETRÍA

Rama de las matemáticas que estudia las

relaciones entre los lados y los ángulos

de los triángulos. Etimológicamente

significa ‘medida de triángulos’.

Las primeras aplicaciones de la

trigonometría se hicieron en los campos

de la navegación, la geodesia y la

astronomía, en los que el principal

problema era determinar una distancia

inaccesible, es decir, una distancia que no

podía ser medida de forma directa, como

la distancia entre la Tierra y la Luna. Se

encuentran notables aplicaciones de las

funciones trigonométricas en la física y

en casi todas las ramas de la ingeniería,

sobre todo en el estudio de fenómenos

periódicos, como el flujo de corriente

alterna.

Las dos ramas fundamentales de la

trigonometría son la trigonometría plana

y la trigonometría esférica.

PROBLEMA 41:

El dominio de la función senx, para que

exista la función inversa correspondiente,

debe ser :

A) x 0 B) x C) 0 x

2

D) 0 x 3 / 2 E) 0 x 2

t t

÷ t ÷ t

2

t t

< < < < < <

< < < <

RESOLUCIÓN:

* Dado :

( ) f =senx x

* Graficando :

* Para que una función tenga inversa debe

ser univalente , para ello se restringe el

dominio de la función seno de ;

2 2

t t ]

÷

]

* Por lo tanto de acuerdo a las alternativas

:

x

2 2

t t

÷ < <


PROBLEMA 42:

Halle el menor ángulo en el intervalo

7 11

;

3 3

t t ]

]

que satisfaga a ecuación

2tanx+3secx =0

2

10 2 4 8

A) B) C) D)0 E)

3 3 3 3

t t t t

RESOLUCIÓN:

( )

2

2

2

7 11

Dado: x 2tan x+3secx=0

2 2

2 +3secx=0 2sec x+3secx =0

sec x

t t

- ÷ s s ¬

¬ ¬ ÷2

÷1

* Factorizando :

( ) ( )

incompatible

1

=0 secx = secx = 2secx secx+2

2

¬ . ÷2 ÷ 1

,,,,,,,,.

1

secx= cosx=

2

2

x=2k+

3

t

÷2 ¬ ÷

¬

* Hallando los valores de x en :

8 10 7 11

: ; ;

3 3 3 3

t t t t ]

]

*Entonces la menor solución será :

8

3

t


PROBLEMA 43:

Si

x

tan =n

2

, donde | | | | ; ; t t t t ÷ ÷2 ÷ ,

entonces ¿cuál de l as si guientes

alternativas es la correcta?

6

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

1- n 2n

A) sen x= , cos x=

1+n 1+n

1- x 2x

B) sen x= , cos x=

1+x 1+x

2n 1- n

C) sen x= , cos x=

1+n 1+n

2x 1- x

D) sen x= , cos x=

1+x 1+x

E) Ninguna de las anteriores

RESOLUCIÓN:

* Si :

2

2 2

x 2n 1 n

tan =n senx = ; cos =

2 1+n 1+n

÷

¬

se cumple si ( ) x ; n n+1 t e ÷ e 2 R Z .Como

se considera un dominio particular

| | | | ; ; t t t t ÷ ÷2 ÷ la respuesta sería C.


PROBLEMA 44:

Halle el rango de la función f definida por

( )

2

f =x senx ; 0 x x

2

t

s s

| | | |

2

2

A) B) C) D) E) 0 : 0;1 0; 0; 0;

2 4

t t

t t

] ]

]

]

] ]

RESOLUCIÓN:

*Cuando0 x

2

t

s s ,

las funciones

2

y=x , y=senx,

son unilaterales

y crecientes

como se

muestra en la

gráfica.

*Entonces podemos efectuar la

multiplicación de la ecuaciones dadas :

( )

( )

2

2

2 2

2

0 x

4

0 s e n 1

0 x s e n x 0 f x

4 4

t

t t

¹

s s 1

×

`

1

s s

¹

s s ¬ s s


PROBLEMA 45:

Si

2/ 3

b

cot( x)=

a

| }

]

\ ¹

, encuentre el valor de

la siguiente expresión :

a b

E= +

bsenx acosx

siendo x un arco del primer cuadrante.

3

1 1 2 2 1

2

2 2

3 3 3 3 2

1 1 2 2 2

3 3 3 3

a b a b a b a b

A) B) + C) D) + + +

b a a2 b

b a b a

| } | }

| } ] ]

] ] ]

\ ¹ ] ]

\ ¹ \ ¹

RESOLUCIÓN:

*Como :

2

3

3

3

b c o s x b

c o t x = =

a a s e n x

| }

¬

]

\ ¹

* Reemplazando en E :

3 3

3 3

1 sen x 1 cos x

E= +

senx cosx cos x sen x

*Simplificando y dando una forma

adecuada , se obtendrá :

( )

3

2

E tgx ctgx = +

* Reemplazando dato :

3

2 2

2

3 3

2 2

3 3

a b

E= +

b a

]

]


PROBLEMA 46:

Resuelva la ecuación :

arcsen2x+arcsenx=

3

t

1 3 1 2 1 3 3 3

A) x+ B) x= C) x= D) x= E) x=

2 7 3 7 3 7 7 7

1 1

÷ ÷

2 3

RESOLUCIÓN:

2

*Dado : arcsen2x+arcsenx=

3

+ = sen =2x; sen =x cos = 1 x

3

sen =2sen

o þ

t

t

o þ o þ þ

o þ

¬ ¬ ¬ ÷

¬

,,,,,,,,,,. ,,,,,,,,.

*Entonces :

sen =sen

3

t

o þ

| }

÷

]

\ ¹

* Reemplazando en términos de x :

2

3 1 3

2x= 1 x x x=

2 2 7

1

÷ ÷ ¬ ±

2

* sabemos que: ( ) arcsen = arcsenx x

1 3

x =

2 7

÷ ÷

¬


PROBLEMA 47:

Determine la altura en km de la superficie

terrestre a la que gira un satélite, cuya

visión cubre un arco de 120° en la

superficie de la tierra.

Tomar:

R=64OO km como radio de la tierra.

A)12 800 B)6 400 C)3 200 D)1 600 E)800

RESOLUCIÓN:

* Del gráfico :

´

AB

L =120

M SOB 60

°

¬ = ° <

enel SBO

h+R=Rsec60°

h+R=2R

h+6400=2(6400)

h=6400km

¬


PROBLEMA 48:

Cal cule el valor aproximado de la

expresiónS =cos27 sec 27 ÷ ° °

- -

(3+ 5)

A)3 5 B) 2(3 5) C)

2

D)3+ 5 E)5+ 5

RESOLUCIÓN

*LLevando la expresión dada a senos y

cosenos :

cos27° sen27°

S=csc27° sec27° S=

sen27 cos27

÷

÷ ¬

° °

* Transformando :

2cos45°sen18°

S=

sen54

| }

]

° \ ¹

* Reemplazando :

5 1

2 2

4

S =

5 + 1

4

÷ | }

]

\ ¹

| }

]

\ ¹

* Racionalizando :

S= 2(3 5) ÷


PROBLEMA 49:

La suma de las soluciones de la ecuación

3

( z i) =1 ÷ es :

A)0 B)1 C)i D)2i E)3i

RESOLUCIÓN:

NÚMEROS COMPLEJOS

En su forma general, un número complejo se

representa como a + bi, donde a y b son

números reales. El conjunto de los números

complejos está formado por todos los número

reales y todos los imaginarios.

Los números complejos se suelen representar

en el llamado diagrama de Argand. Las partes

real e imaginaria de un número complejo se

col ocan como puntos en dos l í neas

perpendiculares o ejes. De esta manera, un

número complejo se representa como un

punto único en un plano, conocido como plano

complejo.

Los números complejos son de gran utilidad

en la teoría de la corriente eléctrica alterna

así como en otras ramas de la física, en

ingeniería y en ciencias naturales.

3 3

*Como : (z i) =1 (z-i) =cos2k +isen2k t t ÷ ¬

* Por De moivre :

2k 2k 2k 2k

z i = cos +isen z = cos +i 1 sen

3 3 3 3

t t t t | }

÷ ¬ +

]

\ ¹

*Luego las soluciones , serán :

1

2

3

k=0 z =1+i

1 3

k=1 z = +i+i

2 2

1 3

k=2 z = +i i

2 2

÷

÷ ÷

¬

¬

¬

*Entonces lo deseado será :

1 2 3

z +z +z =3i


PROBLEMA 50:

En la figura se tienen dos rectángulos

ABCD y ABMN que forman un ángulo

diedro cuyo ángulo plano mide o. P es un

punto del plano ABCD, tal que la recta

AP forma un ángulo u con AD y un

ángulo þ con el plano del rectángulo

ABMN.

¿Cuál de las siguientes relaciones es

verdadera?

2 2

2 2

tan

A)tan =

1+ sec tan

tan

B)tan =

1+ sec tan

sen cos

C)tan = D)tan =

1+cos 1+ sen

o

þ

o u

o

þ

o u

o o

þ þ

u u

÷

×

RESOLUCIÓN:

* Si : TH=a

A

B

M

C

P

D

a

H

k

s

e

n

t

a

n

a

q T

atana

a

s

e

c

a

* Del esquema , se tiene que :

2 2 2 2

2 2

PH ktan

tan = =

AH

k k sec tan

tan

=

1+sec tan

o

þ

o u

o

o u

+

RPTA : ‘‘A

ACERTIJO DIABÓLICO

Dos personas, A y B, hacen cada una de ellas

una oferta, hay que determinar cuál es la mejor

oferta.

- Oferta de A : Tienen que formular un

enunciado. Si el enunciado es verdadero, ganan

exactamente diez dólares. Si el enunciado es

falso, entonces ganan menos o más de diez

dólares, pero no diez dólares exactamente.

- Oferta de B : Tienen que formular un

enunciado. Sea el enunciado verdadero o falso,

ganan más de diez dólares.

¿Cuál de las dos ofertas preferirían? La mayoría

de la gente decide que la oferta de B es la mejor,

dado que garantiza que más de diez dólares,

mientras que en la oferta de A, no hay certeza de

ganar más de diez. No se dejen engañar por las

apariencias. Si alguno de ustedes está dispuesto

a proponernos la oferta de A, le pagaremos veinte

dólares por adelantado ¿Alguno juega?

Documents

30604689 Examen de Admision Uni 1995 i Matematica Solucionado