PARADA TeÓRICA

31 Función afín. Ecuación explícita de la rectaA la función polinómica de primer grado f(x) = ax + b, siendo ay b números reales, se la denomina

función afín.Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al

origen, respectivamente.Ecuación explícita de la recta: y = ax + b ~ Ordenada al origen

+Pendientet -{-

La representación gráfica de una función afín es una recta .

• La pendiente de una recta es el cociente entre la variaciónde la variable dependiente (/1y)y la variación de la variableindependiente (!1x) de cualquier punto de la misma.

Y2 - Yl /1ya- --- X2 - Xl - Ax

• La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al ejey. f·

f(O) = b

El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente.y ,.

a>O . ,,= o

Constante

Creciente Decreciente

A las funciones,afines que pasan por el origen de coordenadas (0;0), se las denomina funciones lineales.

Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita

Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y .o partir de ella, representar unpar de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a).

. y . 'y" -'&-2 x + 1 :• • ¡

"':'--

- •• .¡

b" 1

H: y, = 1

PARADA TEÓRICA32 Perpendicularidad y paralelismo entre rectasRectas paralelas

Dos rectas son paralelas siy solo si sus pendientes son iguales.

M: y = al.x + bl /\ P: y = a2.x + b2 /\ M//P ~ al = a2

y = Ox + b

N:y, = 5

-3 G:y,=-3

NIIHIIG

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares siy solo si sus pendientes son inversos y opuestas.1S: y = al.x + b1 /\ N: y = a2.x + b2 /\ S -L N ~ al = - a2

x :

LLZ

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 1) Y es paralela a y = 5x + l.x =2 /\ Y = 1 /\ a = 5Y = ax + b ~ 1 = 5.2 + b ~ 1 = 10 + b ~ b = -9Y = 5x - 9

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1;3) Y es perpendicular a y = -2x + 4.

1x=-l /\ y=3 /\ 0=- 21y=ax+b ~ 3="2(-1)+b

1 7Y = -x +-2 2

Ecuación segmentaria de la recta

Toda ecuación de la forma ~ + ~ = 1,representa una recta en forma segmentaria.

Los denominadores my n representan a laabscisaya la ordenada al origen, respectivamente.

-fu+ *- =1

Iordelnodo 01orig:::

cbsciso.clcrigen n'-...m

Dada la recta y = 3x - 2, para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria se procede de lasiguiente manera:

y = 3x - 2 => 3x -y = 2.

Para representar gráficamente una función afínen forma segmentaria se determinan sobre los ejes lasintersecciones con la recta y luego se traza la misma.

Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dadasu pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma (Xl;Yl).

~."""'I

iY - Yl = a(x - Xl) ,

La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es:y - 3 = 2 (x - 1) => y - 3 = 2x - 2 => y = 2x - 2 + 3 => Y = 2x + 1

Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta,dados dos puntos pertenecientes a ella: (x¡;y¡) y (X2;Y2).

y - Yl _ X - Xl

Y2 - Yl X2 - Xl

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:C~j!)Y(~j2-)

XI YI X2 Y2

y - 1 _ x - 2 y - 1 _ x - 2 (1 2)3=1- 5 - 2 => -2- - -3- => Y- 1= "3x -"3 .2 =>

2 4 2 1y = "3 x - "3 + 1 => y="3x - "3

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36Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano, y resolverlo

es hallar la intersección de ambas (conjunto solución).{

ax + by = e

dx + ey = f

Sistemas de ecuaciones lineales I

Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen ningún

punto en común o son coincidentes).

Los sistemas se clasifican en compatibles e incompatibles, según tengan o no solución; los sistemas

compatibles pueden ser determinados o indeterminados, según tengan una o infinitas soluciones.

Rectas incidentes

R¡ n R2 = (x¡;y¡)~

Determinado (solución única)

'------------------------

Rectas paralelas

... , ... ,.... 1··- ..·· ,.

R¡ n R2 = R¡ = R2~

R¡ n R2 = 0~

Indeterminado (infinitas soluciones)

-----------------------~Sistema incompntible(no tiene solución)

Sistema cornputible

Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones linealesPara resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas en un mismo

sistema de ejes y hallar la intersección de ambas.

a) {2X + y = 1 :=;. t. -2x + 1x - y = 5 Y2 - x - 5

Sistema compatible determinadoS = {(2j-3)}

{

-x + y = 2

b) -x + y = -3 :=;. {Yl : x + 2

Y2 - X - 3

Sistema incompatible5=0

-

(b): x = -8 - Y

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37 Sistemas de ecuaciones lineales 11Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos permiten 0:-=

el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

Método de sustituciónSe debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y luego reemplazarla en la otra ecuor -

{

X - y = 1

2x - 3y = 1

(a) Se despeja x en la ecuación (a): x = 1 + Y

(b) Se reemplaza la "x" por <11+ y" en la ecuación (b): 2(1 + y) - 3y = ~

Se resuelve la ecuación, obteniéndose el valor de <ly":2 + 2y - 3y = 1 =:> 2 - Y = 1 =:> -y = 1 - 2 =:> -y = -1 =:> y = 1

Se reemplaza el valor de <ly" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de "x":x-1=1 =:> x=2

Se escribe el conjunto solución: S = {(2¡1)}

Método de igualaciónSe debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnitay luego igualar las ecuaciones obtenidas.

{2X -3y = 9

x + Y = -8(a); x = 9 ~ 3y

(a)

(b)Se despeja "x" de ambas ecuaciones.

Se igualan ambas ecuaciones y se calcula el valor de <ly":

9 +2 3y -- -8 - Y =:> 9 + 3y = -16 - 2y =:> 3y + 2y = -16 - 9 =:> 5y = -25 =:> y = -Se reemplaza el valor de \ly" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de "x":xr+ (-5) = -8 ::;. -5 + x = -8 ::;. x = -3

Se escribe el conjunto solución: S = {(-3¡-S)}

Método de reducción por sumas y restasSe "igualan" los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones multiplicando ambos mietnbrzs

convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuacionespara eliminar:. {15X + 6y = 12

{5X +2y - 4 =:> {(5X + 2y).3 = 4.3 =:> 6x - 6y = 30 +

3x -3y = 15 (3x - 3y).2 = 15.2 21x = 42'-------.....---------' '--------.....-----'

Se igualan los coeficientes de "y" Se suman las ecuaciones miembro a miembro

Se calcula el valor de "x": 21x = 42 =:> x = 2Se reemplaza el valor de "x" obtenido, en cualquiera de las dos ecuaciones, y se calcula el de <ly":5.2 + 2y = 4 =:> 2y = -6 =:> y = -3Se escribe el conjunto solución: S = {(2j-3)}

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