1

1

3.1. Respuesta en el Tiempo

Capítulo 4, Sistemas de Control para Ingeniería (3ºEd.) Norman Nise)

2

Tema 3.1: Respuesta Temporal

3.1.1. Introducción3.1.2. Polos, ceros y respuesta del sistema3.1.3. Sistemas de primer orden3.1.4. Sistemas de segundo orden3.1.5. El sistema general de segundo orden3.1.6. Sistemas subamortiguados de segundo orden3 1 7 R t d i t l

3

3.1.1. Introducción

4

SISTEMA Masa, resorte y amortiguador

función de transferencia X(s)/F(s)

2

5 6

7

BUEN AMORTIGUAMIENTO8

MAL AMORTIGUAMIENTO

3

910

3.1.2. Polos, ceros y respuesta del sistema

11

Polos y ceros

( ) ( )

1 1

1 1 0 1 1 01 1

1 11 1 0 1 1 0

1 11 1 0 1 1 0

... ...

... ...

... ( ) ... ( )

( )( )(

n n m m

n n m mn n m m

n n m mn n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a a y b b b b udt dt dt dt dt dt

a s y a s y a sy a y b s u b s u b u b u

a s a s a s a y s b s b s b b u s

y sF su

− −

− −− −

− −− −

− −− −

+ + + + = + + + +

+ + + + = + + + +

+ + + + = + + + +

=1

1 1 01

1 1 0

...) ...

m mm m

n nn n

b s b s b bs a s a s a s a

−−

−−

+ + + +=+ + + +

11 1 0 1 2

11 1 0 1 2

... ( )( )...( )... ( )( )...( )

m mm m m

n nn n m

b s b s b b s z s z s za s a s a s a s p s p s p

−−

−−

+ + + + = − − −

+ + + + = − − −

zi = ceros del sistema

pi = polos del sistema12

Polos y ceros

Polos de una función de Transferencia:Valores de la variable de la Transformada de Laplace, s, que ocasionan que la función de transferencia se vuelva infinita Cualquiera raíces del denominador de la función de transferencia que son comunes a raíces del numerador

Ceros de una función de Transferencia:Valores de la variable de la Transformada de Laplace,s, que ocasionan que la función de transferencia se convierta en ceroCualquiera raíces del numerador de la función de transferencia que son comunes a raíces del denominador

4

13

Respuesta del sistema

La respuesta de salida de un sistema es la suma de dos respuestas:

Respuesta forzada y Respuesta libreFormas de determinar la respuesta:

Solución de una ecuación diferencial.Transformada inversa de Laplace. Uso de polos y ceros de la Función de

Transferencia.

14

Ejemplo

( ) ( )( ) 5

535255

2+

+=+

+=++=

sssB

sA

ssssC

( )( ) 5

252

0 =++= →ss

sA

( )532

5 =+= −→sssB

( ) tetc 5

53

52 −+=

( ) ( )( )5

2++=

sssG ( )

ssR 1=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ssssRsGsC 1

52

++=

15

• Un polo de la función de entrada genera la respuesta forzada

• Un polo de la función de transferencia genera la respuesta libre

• Un polo real en –α genera la respuesta exponencial e-αt

• Los ceros y polos generan las amplitudes para las respuestas forzada y libre

16

Ejemplo

Respuesta forzada

Respuesta libre

Tomando la Transformada inversa de Laplace

Respuesta forzada

Respuesta libre

( ) ttt eKeKeKKtc 54

43

221

−−− +++=

( ) ( ) ( ) ( )5424321

++

++

++=

sK

sK

sK

sK

sC

5

17

3.1.3. Sistemas de primer orden

18

Sistemas de primer orden

( ) ( ) ( ) ( )assasGsRsC+

==

( ) ( ) ( ) atnf etctctc −−=+= 1

El polo en la entrada genera la respuesta forzada: ( ) 1=tc f

El polo del sistema en –a produce la respuesta libre: ( ) atn etc −−=

Cuando t=1/a

37.011 == −

=− ee at

at ( ) 63.037.011 11 =−=−= =−

= atat

at etc

1/a se llama constante de tiempo de la respuesta

19

Constante de tiempo: tiempo para que e-at decaiga al 37% de su valor inicial

Constante de tiempo: Tiempo que toma la respuesta de escalón para alcanzar el 63% de su valor final

Frecuencia Exponencial: Recíproco de la constante de tiempo

Constante de tiempo: Recíproco de la parte real del polo

Polo: -a Constante de tiempo=1/a

Polo: -a Constante de tiempo=1/a

Frecuencia exponiencial: a

20

Respuesta sistema de primer orden a escalón unitario

6

21

Tiempo de levantamiento, Tr

Tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 a 0.9 de su valor final

( ) ( ) ( ) atnf etctctc −−=+= 1

Haciendo c(t)=0.1 y c(t)=0.9

aaaTr 2.211.031.2 =−=

Tiempo de establecimiento, Ts

Tiempo necesario para que la respuesta alcance el 2% alrededor de su valor final

Haciendo c(t)=0.98: ( )a

sT 4=

22

FUNCION DE TRANSFERENCIA DE PRIMER ORDEN POR MEDIO DE PRUEBA

Con una entrada escalón, podemos medir la constante de tiempo y el valor en estado estable, y a partir de éstos se puede calcular la función de transferencia

( ) ( )asKsG+

=Sea el sistema de primer orden:

Respuesta al escalón: ( ) ( ) ( )asaK

saK

assKsC

+−=

+=

Identificando K y a a partir de pruebas, se puede obtener la función de transferencia del sistema

23

Resultado de Laboratorio de una prueba escalón del sistema

Constante de tiempo: Tiempo en alcanzar el 63% valor final

63% valor final: 0.63x0.72=0.45Tiempo en alcanzar el valor

0.45=0.13segConstante de tiempo: 1/a=0.13seg

Luego: a=1/0.13=7.7

Determinación de K:

K/a=0.72 K=5.54

( ) ( )7.754.5

+=

ssGFunción de Transferencia obtenida

24

3.1.4. Sistemas de segundo orden

7

25

Sistemas de Segundo Orden

26

Sobreamortiguado

( ) ( ) ( )( )146.1854.79

999

2 ++=

++=

sssssssC

Polo entrada en el origen

Polos sistemas

( ) tt eKeKKtc 146.13

854.721

−− ++=

27

Subamortiguado

( ) ( )929

2 ++=

ssssC

Polos: 81 js ±−=

( ) ( )teKKtc t 8cos21−+=

28

No Amortiguado

( ) ( )99+

=ss

sC

Polos: 3j±

( ) ( )φ−+= tKKtc 3cos41

8

29

Críticamente amortiguado

( ) ( ) ( )22 39

969

+=

++=

ssssssC

Dos polos en -3

( ) tt teKeKKtc 33

321

−− ++=

30

Respuesta Sobreamortiguada

( ) ( )929

2 ++=

ssssC

( ) ( )929

2 ++=

sssG

( ) ( )º47.198cos06.118888cos1 −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= −− tetsentetc tt

La parte real del polo es igual a la frecuencia de decaimiento exponencial de la amplitud senoidalLa parte imaginaria del polo es igual a la frecuencia de la oscilación senoidalLa constante de tiempo exponencial es igual al recíproco de la parte real del poloEl valor de la parte imaginaria es la frecuencia real de la senoide. Esta frecuencia se llama frecuencia natural de oscilación, ωd

31

Ejemplo

Los polos son: 23.135 js ±−=

( ) ( ) ( )φ−+=++= −− teKKtsenKtkeKtc tt 23.13cos23.1323.13cos 54132

51

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

2

31tanKKφ 2

3224 KKK +=

Respuesta: constante mas una senoidal exponencialmente amortiguada

32

1. Respuestas sobreamortiguadas:

Polos: dos complejos en –σ1, σ2

Resppuesta libre: dos exponenciales con constantes de tiempo iguales al recíproco de las posiciones de polo

( ) tt eKeKtc 2121

σσ −− +=

2. Respuestas subamortiguadas:

Polos: dos polos complejos en dd jως ±−Respuesta libre: senoide amortiguada con una envolvente exponencial, cuya constanate de tiempo es igual al recíproco del polo. La frecuencia en radianes de la senoide, la frecuencia amorgiuada de oscilación, es igual a la parte imaginaria del polo

( ) ( )φωσ −= − tAetc dtd cos

9

33

3. Respuestas no amortiguadas:

Polos: dos imaginarios en 1ωj±

Respuesta libre: senoide no amortiguada con frecuencia de radianes igual a la parte imaginaria de los polos

( ) ( )φω −= tAtc dcos

4. Respuestas críticamente amortiguadas:

Polos: dos reales en –σ1

Respuesta libre: un término es un exponencial cuya constante de tiempo es igual al recíproco de la posición del polo. Otro término es el producto del tiempo, t, y un exponencial con constante de tiempo igual al recíproco de la posición del polo

( ) tt teKeKtc 1121

σσ −− +=

34

Respuestas escalón para casos de amortiguamiento de un sistema de segundo orden

35

3.1.5. El sistema general de segundo orden

36

El sistema general de segundo orden

Frecuencia natural: ωn

Es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento

Factor de amortiguamiento relativo: ζ

Especificación que se aplica a los sistemas de segundo orden subamortiguados.

Describe de forma cuantitativa la oscilación amortiguada, cualquiera sea la escala de tiempo

onencialtiempodteConssegnaturalPeriodo

segradnaturalFrecuenciaonencialodecaimientdeFrecuencia

exp___tan)_(_

21

)/_(_exp___

πξ ==

10

37

Sin amortiguamiento: polos en el eje jω

( )bs

bsG+

= 2

bn =ω

polos en el eje jω en bj±

2nb ω=

nn

asegradnaturalFrecuencia

onencialodecaimientdeFrecuenciaωω

σξ 2

)/_(_exp___ ===

na ξω2=

Sistema subamortiguado: parte real polos complejos σ=a/2

( ) 22

2

2 nn

n

sssG

ωξωω

++=

FUNCION DE TRANSFERENCIA GENERAL DE SEGUNDO ORDEN

38

( ) 22

2

2 nn

n

sssG

ωξωω

++=

Polos función de transferencia:

0=ξ

No amortiguado

122,1 −±−= ξωξω nnS

39

10 << ξ

Subamortiguado

Críticamente amortiguado

1=ξ

40

1>ξ

Sobreamortiguado

11

41

3.1.6. Sistemas subamortiguados de segundo orden

42

Sistemas Subamortiguados de Segundo Orden

( ) ( ) ( )2221

22

2

22 nnnn

n

ssK

sK

ssssC

ωξωωξωω

+++=

++= ( )

( )

( ) ( )222

2

2

1

111

ξωξω

ξωξ

ξξω

−++

−−

++

+=nn

nn

s

s

ssC

( )

( )φξωξ

ξωξ

ξξω

ξω

ξω

−−−

−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+−−=

−

−

te

ttetc

nt

nnt

n

n

2

2

2

2

2

1cos1

11

1sin|

1cos1

( )21 1tan ξξφ −= −

43 44

Tiempo de pico, Tp: Tiempo para alcanzar el primer pico o máximo

Sobrepaso en porcentaje, %OS: Cantidad que la forma de onda sobrepasa el valor en estado estable, expresada como porcentaje del valor en estado estable

Tiempo de asentamiento, Ts: Tiempo para que las oscilaciones amortiguadas de la respuestas transitoria alcancen y permanezcan a no más de 2% del valor en estado estable

Tiempo de levantamiento, Tr: Tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 del valor final a 0.9 del valor final

12

45 46

Evaluación de Tp

( ) ( ) 22

2

2 nn

n

ssssCtc

ωξωω

++==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ℑ

•

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

2

2

222

2

1

11

1 ξωξω

ξωξ

ω

ξωξωω

−++

−−

=−++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ℑ

•

nn

nn

nn

n

sstc

Igualando a cero la derivada

21 ξωπ−

=n

nt

21 ξωπ

−=

n

PT

( ) tsenetc ntn n 2

21

1ξω

ξω ξω −−

= −•

πξω ntn =− 21

47

Evaluación de %OS

100% xc

ccOSfinal

mínmáx −=

1=finalc

100%21

xeOS⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

=ξξπ

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−==

22 1

2

11

1cos1

ξξπξξππ

ξξπ eseneTcc Pmáx

( )( )100%ln

100%ln22 OSOS

+−=

πξ

48

Evaluación de Ts

( ) ( )φξωξ

ξω −−−

−= − tetc ntn 2

21cos

111

02.01

12

=−

− tne ξω

ξ

( )n

STξω

ξ 2102.0ln −−=

nST

ξω4=

Ts varía entre 3.91 y 7.74 cuando ζ cambia de 0 a 0.9

Aproximación:

13

49

Evaluación de Tr

50

dn

PTωπ

ξωπ =

−=

21

dnST

σξω44 ==

ξωξωθ ==

n

ncos

Aplicando Pitágoras: la distancia radial del origen al polo es la frecuencia natural no amortiguada ωn

Relación entre la posición de los polos con las especificadionesde Tp, Ts, y %OS

51

Las líneas horizontales sobre el plano s son líneas de valor imaginario constante, también son líneas de tiempo de pico constante

Las líneas verticales sobre el plano s son líneas de valor real constante, también son líneas de tiempo de asentamiento constante

Como ζ=cosθ, las líneas radiales son líneas de ζ constante, por lo tanto de sobrepaso en porcentaje constante

52

dn

PTωπ

ξωπ =

−=

21

dnST

σξω44 ==

ξωξωθ ==

n

ncos

Ts2<Ts1

Tp2 <Tp1

%OS1<%OS2

14

53

Respuestas escalón de sistemas subamortiguados de segundo orden cuando se mueven los polos:a. con la parte real constante;b. con la parte imaginaria constante;c. con el factor de amortiguamiento relativo constante

54

3.1.7. Respuesta de sistema con polos adicionales

55

Respuesta de sistemas con polos adicionales

Las fórmulas que describen el sobrepaso en porcentaje, tiempo de asentamiento y tiempo de pico se dedujeron sólo para un sistema con dos polos y sin ceros

Bajo determinadas condiciones los sistemas con polos y ceros adicionales pueden aproximarse a uno de segundo orden

56

Sea el sistema con dos polos complejos en: 21 ξξω −±− n

Y un polo real en: rα−

Respuesta al escalón:

( ) ( )( ) rdn

dn

sD

sCsB

sAsC

αωξωωξω

++

++++

+= 22

( ) ( ) ( ) tdd

t rn DetCsentBetAutc αξω ωω −− +++= cos

15

57

Respuestas de los componentes de un sistema de tres polos:a. gráfica de los polos;b. respuestas de los componentes: el polo no dominante estácerca del par dominante de segundo orden (Caso I), lejos del par (Caso II), y en el infinito (Case III)

58

Si αr>>ζωn (Caso II) el exponencial puro decae con mucha mayor rapidez que la respuesta subamortiguada de segundo orden

Si el término exponencial decae a un valor insignificante en el instante del primer sobrepaso, los parámetros sobrepaso en porcentaje, tiempo de asentamiento y tiempo de pico serán generados por el componente de la respuesta de segundo orden

La respuesta se aproxima a la de un sistema de segundo orden

59

Si αr no es mucho mayor que ζωn (Caso I), la respuesta transitoria del polo real no decaerá a un valor insignificante en el tiempo de pico o asentamiento generados por el par de segundo orden

El sistema no puede ser aproximado por un sistema de segundo orden

60

Los polos adicionales deben estar separados mas de cinco veces más a la izquierda que los polos dominantes para aproximar la respuesta del sistema a la respuesta de un sistema de segundo orden con sólo dos polos

16

61

El residuo del polo no dominante se reduce en magnitud cuando se aleja más hacia la izquierda del semiplano izquierdo

( ) ( )( ) csD

bassCBs

sA

csbasssbcsC

++

++++=

+++= 22

1=Acabc

ccaB−+

−= 2

2

cabcbcaccaC

−+−−= 2

22

cabcbD−+

−= 2

Cuando el polo se aproxima al infinito, o ∞→c

A=1 B=-1 C=-a D=0

El residuo del polo no dominante y su respuesta, se convierte en cero cuando el polo no dominante se aproxime al infinito

62

3.1.8. Respuesta de sistemas con ceros

63

Respuesta de sistemas con cero

Polos:

Cero:

Se cambia de posición: -3, -5 y -10

828.21 j±−

Cuando el cero se aleja de los polos dominantes, la respuesta seaproxima a la del sistema de dos polos

64

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )cs

bcacbs

cbabcs

Bbs

Acsbs

assT+

+−+−++

+−+−=+

++

=++

+=

Si el cero está alejado de los polos, entonces es a es grande en comparación con b y c

( ) ( ) ( )( )( )csbs

acs

bcbs

cbasT++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++−+

++−≈ 11

El cero se ve como un simple factor de ganancia y no cambia las amplitudes relativos de los componentes de la respuesta

17

65

Sistemas de Fase no Mínima( ) ( ) ( ) ( )saCssCsCas +=+Sistema con cero:

Si el cero está en semiplano derecho: a es negativo, luego la respuesta escalada es de signo contrario a la respuesta del sistema sin el cero

Ejemplo: Respuesta para un escalón unitario negativo

66

3.1.9. Efecto de no linealidades sobre respuesta en el tiempo

67

a. Efecto de la saturación de un amplificador sobre la respuesta de velocidad angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink

Efecto de no linealidades sobre la respuesta en el tiempo

68

a. Efecto de la zona muerta sobre la respuesta de desplazaminto angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink

18

69

a. Efecto del juego sobre el desplazamiento angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink

70

Preguntas de repaso

71

3.1. Respuesta en el tiempo1. Mencione la especificación de desempeño para un sistema de primer orden.2. ¿Qué nos dice la especificación de desempeño para un sistema de primer orden?3. En un sistema con una entrada y una salida ¿Cuáles polos generan la respuesta en

estado estable?4. En un sistema con una entrada y una salida ¿Cuáles polos generan la respuesta

transitoria?5. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte imaginaria de un polo?6. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte real de un polo?7. ¿Cuál es la diferencia entre a frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia

amortiguada o de oscilación?8. Si un polo se mueve con una parte imaginaria constante, ¿qué tendrá en común las

respuestas?9. Si un polo se mueve con una parte real constante, ¿qué tendrá en común las

respuestas?10. Si un polo se mueve a lo largo de una línea radial que se prolonga desde el origen,

¿qué tendrá en común las respuestas?11. Haga una lista de cinco especificaciones para un sistema subamortiguado de

segundo orden. 12. Para la pregunta 11, ¿cuántas especificaciones determinan por completo la

respuesta?13. ¿Qué posiciones de polo caracterizan 1) el sistema subamortiguado, 2) el sistema

sobreamortiguado y 3) el sistema críticamente amortiguado?14. Mencione dos condiciones bajo las que la repuesta generada por un polo se puede

despreciar. 15. ¿Como se puede justificar la cancelación de un polo - cero?

72

FIN