Geometriai szerkesztések

Mit fogunk itt szerkeszteni? Szakaszt és szöget felezünk. Sőt szakaszt akárhány egyenlő részre

tudunk osztani, de szöget nem. Így például szöget harmadolni nem tudunk a szokásos egy szem körző

és vonalzó segítségével. Vannak ugyan egyéb trükkös módszerek a szögharmadolás kivitelezésére, de

ezeket nem kell ismerned. Mert ezek nem tartoznak az euklideszi szerkesztések közé. Ha mégis

érdekel, akkor utána járhatsz. Bátran előre, fiam!

Legyen nálad körző és vonalzó!

A legegyszerűbb eseteket fogjuk csak venni. Nem kell megijedned.

Előbb azonban, hogy könnyebben követhesd az ábrákat, egyezünk meg egy két jelölésben. Ahová

beszúrtam a körzőt, azt kis piros pont fogja jelölni, hiszen ott serken ki a papír vére. Így könnyebb lesz

látni, hogy egy adott körív, honnan lett berajzolva. Bár lépésről-lépésre fogok ábrákat biggyesztgetni

egymásután, ezért nem valószínű, hogy valami ne lenne követhető. És legvégül a kész ábra lényegi

része, tehát a feladatban kirótt, és immár megszerkesztett objektumot kiemelem egy a környezetétől

elütő színnel, hogy előtűnjék, mint az ár visszahúzódása után a szárazföld.

Nagy latin betűkkel, mindig pontokat, kis latin betűkkel, … mindig

egyeneseket, vagy egyébb vonalakat, fogok jelölni, ha kell. Ha szakaszokat, vagy íveket akarok jelölni,

akkor a végpontjukkal teszem, hacsak nem mégis inkább másképp. A kis görög betűk,

; a szögek jelölésére vannak fenntartva. Miként az egyébként is bevett gyakorlat a

természettudományokban. Így rászoksz arra, hogy amit látsz, azt egyből magasabb szinten meg is

értsd.

Látni fogod, hogy a gyakorlatban sok tényező befolyásolja a pontosságot. Ekképpen az én

ábráim sem lettek tökéletesek, mert kézzel készítettem őket, és puszta szemmel. Egyszerűen nem

volt olyan program, mely minden igényemnek megfelelt volna. Így magamnak kellett legyártanom,

ama újra felhasználható kellékeket, melyekből felépíthettem a kész ábráimat. Itt-ott kisé el is

csúsztak. A te ábráid sem lesznek mindig olyan pontosak, ahogyan szeretnéd. De egész világunk ilyen.

Ennek ellenére, értő szemmel észreveheted, hogy mit kell az ábrákon látni. A tökéletlenségek

tapasztalati ismeretéből fakadó „ráhagyás”, „apróságok elhanyagolása”, ezek mesteri érzékelése adja

azt a képességünket, hogy észrevegyük ott is a rendet, ahol nehezen vagy alig tűnik elő. Ezek

vizsgálatával érthetjük meg egyre jobban a körülöttünk lévő világot.

Szakaszfelezés Tetszőleges hosszúságú szakaszt említve, csak olyan hosszú szakaszokra gondolj, melyek

rövidebbek, mint a legnagyobb körzőnyílásod. Ugyanis, ennél nagyobbakhoz, már nagyobb körző kell.

A szakaszfelezésnek éppen az a haszna, hogy nem kell ténylegesen tudnod, hogy szám szerint hány

centiméter, vagy hány milliméter a szakaszod. Tehát mérőeszköz nélkül felezünk. Egyébként, a

mérőeszközök pontosságának is vannak korlátai, ezért azokkal sem tudnál pontosabban felezni, mint

a következő módszerrel.

Legyen hát adva egy szakasz!

Hoppá, mi is az a szakasz? Az egy egyenes darab, melynek ismerjük két végpontját. Tehát

tessék kijelölni a végpontokat is! Azokra is szükségünk lesz. Legyenek e végpontok név szerint és .

Majd nyissuk ki a körzőt nagyobbra, mint a szakasz fele. Szemmel ez is látható, hogy nagyobb-e,

avagy sem. Tehát nem a felét próbáljuk szemre megtalálni, mert az nehéz. Hanem nagyobbra

nyissuk, mint a fele! Majd a körző hegyes végét szúrjuk a szakasz egyik végpontjába, mondjuk -ba és

a másik végpont irányában rajzoljunk két körívet a szakasz két oldalára nagyjából oda, ahol egy a

szakasz közepén merőlegesen átmenő vonalat metszenének. Majd ezt ismételjük meg a másik

végpontba, -be szúrt körzővel. De figyeljünk oda, hogy közben ne változtassunk a körző nyílásán!

Ennél a szerkesztésnél végig azonos körzőnyílással dolgozunk. Most nyilván az előbb berajzolt körívek

irányba. Igyekezzünk elmetszeni az előző köríveket a mostaniakkal. A szakassz feletti metszéspont

legyen , az alatta létrejövő . Ha nem sikerülnek a metszéspontok, akkor vagy nem nyitottuk ki

eléggé a körzőt, vagy nem jó helyre tettük a köríveket, vagy mindkettő hibát elkövettük.

Ha minden bénázásunk ellenére mégis sikerrel járnánk, akkor eme két metszéspontot;

melyek egyike a vonal felett van, ő , másikuk a vonal felett … ja, nem! … alatta található, ő ;

összekötjük egymással. Ahol eme összekötőtiszt metszi az eredeti szakaszunkat a kisbicskájával, ott

van, kérem szépen, a keresett felezőpont, akinek becsületes neve .

1. A kapott szakasz. 2. A körzőt az pontba szúrva íveket húzunk a vonal két oldalán.

3. Ezt megismételjük pontba szúrva is. 4. A két metszéspontunk az és

5. Egy egyenessel, melynek jele , összekötjük az és pontot. 6. Az és metszéspontja a keresett pont.

Merőleges egyenes állítása a szakaszra, vagy egyenesre egy adott pontján

keresztül

Adott egy egyenes és az ő egyik pontja, rajta kijelölve.

Itt majd változtathatunk a körzőnyíláson a szerkesztés során. Hogy pontosan mely lépéseket

kell azonos, és melyeket lehet ettől eltérő körzőnyílással megtenni, annak felderítésére folytass

kísérleteket! Hamar rá fogsz jönni, hogy mikor lett csálé az ábrád.

Tetszőlegesen kinyitjuk a körzőt. A körzőt beszúrjuk az adott pontba, majd tőle jobbra és

balra is elmetszük a vonalunkat, szakaszunkat egy-egy kis körívvel. Ezzel két metszéspontot kapunk.

Legyenek ők a és névre hallgató, hívásunkra engedelmesen lábhoz jövő jószágok! Most az

előzőnél nagyobbra nyitjuk a körzőt. Az egyik metszéspontba, pl. -ba beszúrjuk a körzőt és a

vonalon lévő eredetileg kapott pontunk alá körívet rajzolunk. Tehát oda, ahol úgy szemre látszik is,

hogy ott fog majd húzódni az elkészítendő egyenesünk. Ezt megismételjük a másik metszéspontból,

-ből, de úgy, hogy az előbbi körívünket mindenképpen metsszük el. A két új körív metszéspontján;

mely nominális hivatkozás végett az jelet kapja; és az eredetileg készen kapott pontunkon

keresztül húzzuk meg az egyenest, amivel készen is vagyunk, hiszen őt kerestük.

1. 2. A pontba szúrva a körzőt, két metszést ejtünk a vonalon.

3. Eme két metszéspontba szúrva íveket húzunk, melyek metszik egymást. 4. A és a keletkezett pntot összekötjük egy egyenessel.

5. Íme, itt van a keresett merőleges egyenes.

Nem szükséges a vonal felett is körívmetszetet létrehozni, de megtehetjük, akkor még pontosabb is

lehet az ábránk, vagy csak azt érezzük majd még biztosabban, hogy mennyire nem tudunk bánni az

eszközeinkkel. Ekkor a vonal feletti és alatti metszéspontok, valamint az eredetileg meglévő pontunk

hármasa adja a keresett egyenest. Amit vonalzóval meg is rajzolunk. Mert hát erre a célra vásároltuk

a vonalzót, és nem verekedésre.

Az egyenesen kívül eső pontból állított merőleges Tehát adott egy egyenes, és egy nem rajta lévő pont.

Nyissuk nagyobbra a körzőt, mint a pont és az egyenes távolsága. Ennél a szerkesztésnél

sem kell állítgatnunk a körzőnyílást. Szúrjuk a körzőt a padtársunkba! Persze kissé több köze van a

szerkesztéshez, ha mégsem a padtársunkba szúrjuk a körzőt, hanem inkább a pontpa. Körívekkel

metsszük el az egyenest, és nevezzük eme metszéspontokat és , hangzatos nevekkel! Szúrjuk a

körzőt -ba, és rajzoljunk körívet az egyenes ponttal átellenes oldalára, a -től olyan irányba,

amerre a merőleges menne, ha már készen lenne. Ugye látjuk, hogy nagyjából merre menne? Nem?

Nem látjuk? Akkor nem tudjuk, hogy mit is akarunk! Nem értettük meg a feladatot! Tegye fel a kezét,

aki tudja, hogy mi az, hogy Itt most a rövid, mondhatni beceneve.

Mivel egymásra merőleges egyenesek között éppen derékszög van, ezt kell csak belelátni. Ha azt

hallod, hogy , mindig keress Ilyenkor arra gondolunk. Már persze csak

azok, akik lélekben is velünk vannak itt. Ugye, Zolika?

Most az pontba szúrjuk a körzőt, és igyekszünk elmetszeni előbbi, a -ból mint köri

középpontból ívezett árkuszunkat.1 A sikeresen létrejött metszéspont és az eredeti pontot

összekötve kapjuk az egyenest, ami a feladat teljesítését is jelzi egyben.

1 Árkusz: ív ( , azaz régi magyar megnevezésel .)

A pontba szúrva a körzőt elmetszük az egyenest, egyszer…

… majd még egyszer.

Elnevezzük űköt...

És belőlük is íveket húzunk úgy,…

… hogy azok metsszék egymást.

Az így létrejött metszéspont az

A és pontokat egy egyenessel összekötve…

… kapjuk a keresett merőlegest.

Egy adott egyenessel párhuzamos egyenes szerkesztése, egy az egyenesen

kívül fekvő ponton át Még szép. Akkor feladat ez igazán, mikor az adott pont nincs az egyenesen! Ha a papíron

sincs, akkor meg még szebb! Hiszen ha az egyenesen van, akkor már készen vagyunk, mert egy

egyenes mindig párhuzamos önmagával.

Tehát adott egy egyenes, és egy rá nem illeszkedő ponty.

Most először a vonalzót ragadjuk meg, és azzal szállunk harcba. A ponton kesztül húzzunk

egy olyan tetszóleges egyenest; lehetőleg a további szerkesztéshez elég hosszút; hogy az elmetssze

az egyenest! Az és metszés pontjánál, -nél, szögeket is találunk. Nem vasszöget értünk

ezalatt, hanem síkszöget, mely egy geometriai fogalom, ill. képződmény. Négy darab szög is van, de

ezekből ketten-ketten; az egymással szemben lévők; biztosan egyformák. Válasszuk ki valamelyiket!

Ezt a szöget fogjuk másolni. Vagyis, most a szögmásolást már azelőtt megtanulod, hogy megtanultad

volna. Tiszta időutazás, nem? A cselekmény, már a bekövetkezése előtt lezajlik…Nem kell nagyon

beijedni, mingyá tanuljuk a szögmásolást is! De, ha előbb azt már megtanultuk volna, akkor ez egy

reguláris tankönyv lenne. Már pedig ez nem az!

Tehát az pontba szúrva a körzőt, eme kiválasztott szög fölé, melyet titokban már -nek

neveztem el, kanyarítsunk olyan tetszőleges körzőnyílású körívet, hogy metsződjön általa nem csak ,

de egyenes is. Mely metszéspontok legyenek és . Végtelen bőccsességem ezáltal lehetővé

tette, hogy pontosan tudjuk, melyikük, melyikük.

− Pontosan, − mondja Emese gúnyosan. – Nyilván az csak azért is a , és az pedig az

egyenesen van. Mert a helyes logika ezt kívánja.

− Hát … Majdnem…2

Ugyan eme körzőnyílással, a pontyba döfve vasunkat, hangos „ ” felkiáltással,3

előbbi körívünket igyekezzünk lemásolni, mind hosszában, mind irányában hűen! És mindenképpen

metsszük el egyenesünket oly irányban miként azt az eredeti éppen most másolásra kerülő

ív is teszi. Eme metszéspont legyen jelü. Mostan körzőnyílásba vesszük az ívet, ...

mondanom sem kell, hogy az eredetit, mivel az új még nincs készen! Ugye, Pistike?.. ezáltal felmérve

annak hosszát. Ami úgy történik, hogy az egyik végpontban döfök, a másikban lágyan simogatok a

körzőmmel. Mindezt egyszerre, és nem külön-külön egymásután! Ha ez megvan, oly pontosan,

ahogy csak bírom, akkor eme értékes adatot rámentem az éppen készülő ívre, azaz pontba szúrva

és az ívet elmetsze ezzel a körzőnyílással. A keletkező metszéspont legyen , meehogy az íven vala!

Utolsó lépésként a és az ponton át húzunk egy egyenest. Ha mindent jól tettünk… (Nem maradt

ki a csatakiáltás, miközben a helyes kiejtésre is ügyeltünk, és egyéb nem kevésbé fontos, és precízen

végrehajtott mozzanatok)… akkor a egynesnek nemesi kötelessége4 párhuzamosnak lennie az

egyenessel. Ha nem az, akkor azt felségárulásnak deklaráljuk, és elvesszük minden, de tényleg

minden-minden vagyonát, és nemesi címét.

1. Ezt kapjuk készen.

2 Imádom ezt a csajt. 3 A felkiáltás nélkül nem lesz elég szép a szerkesztésünk. A mondat maga, az ókori római gladiátorok áltál használt formula. Jelentése: Sajnos manapság egyre ritkábban hallani. (Egyesek szerint akkoriban sem lehetett hallani, mert nem is mondták, vagy inkább azért, mert a jajveszékelés hangosabb volt…) 4 azaz (Ennek kitekert változata: Vagyis )

2. A pontból egyenest bocsájtunk az egyenesre. S ez ád egy metszéspontot. -et. Lásd kövi ábra!

3. Eme -ből ívezve egyaránt elmetszük és egynesünket is.

4. Majd ugyanezen körzőnyílással ívezünk pontból is. (Az ív legyen legalább oly hosszú, mint az előző.

5. Keresztelőre jöttünk: pont is nevet kap, miként ez -val és -vel is megtörtént.

6. Körzőnyílásba fogjuk az ívet, imígyen lemérve azt, …

7. … s e hosszt pontba szúrván rámérjük a rajta átmenő ívre.

8. pont lett az új metszéspont neve.

9. A és pontokon átalvetünk egy egynest.

10. Eme egyenes párhuzamos az egynessel, s a ponton halad át. Miként a feladat megkívánta, akár egy flaska jóféle borocskát.

Szögfelezés Adva van egy szög.

Hogyan is van adva egy szög? Két egyenes metszi egymást, és az általuk közrezár tartomány a szög

maga. Az általuk alkotott metszéspont pedig a szög csúcsa. Ha nem elég egyértelmű, hogy a kisebbik

vagy nagyobbik közrezárt tartományról van-e szó, akkor jelöljük körívvel azt, amire gondolunk, hogy

mások is arra gondoljanak.

Tehát adva van egy szög.

Tetszőleges körzőnyílással indítunk, ezzel zavarba hozva az ellenfelet. Bészúránk az körzőt az szögnek

csúcsába, és legott elnyisszantjuk az szögszárak torkát. Mely nyiszadékpontok az és nevekre

keresztelődnek. Bízvást megőrizheténk körzőnk nyílását az ő állapotjában! Ne abajgassuk hiába!

5 Kiált fel az körző, ha még is piszkálódol véle. Egyik nyiszadék pontunkat

halálosan megsebezve íves vonalat vésünk szögünk belsejébe. Próbálván legfőbben a közepén

átívelni. Megismételjük ezt a másik nyiszadékpontba szúrva is. Ahol eme két ív sic.6 egymást

nevezénk az pontot -nek. A szög sic. és ponton kersztül át egyenest rajzolunk. S

ím, ezen egyenes felezi a szögünket. A szögszárakon bévül lévő és -től jobbra és balra havazó… ja

nem, eső szögtartományok egyenlő nagyságúak.

1. Eme szög adott . 2. Nyisszantjuk mindkét szögszárat: , 3. Ívezünk -be szúrva.

4. S ívezünk -be szúrva. Lészen: . 5. s pontot egynessel összekötjük. Eme egynes felezi az eredeti szöget.

7

Ama esetben, mikor is linea csúcson túlmenő hosszabbodása sem maradt le az figuráról, a

szögszárak által kijelölt másik szögtartományt is feleztük ekképpen. A körívek teljes körré

kiegészülvén -nek eme részén is metszik egymást. Így az itteni metszépont is alkalmas az

megadására. Hiszen az egyenes bármely két pontja elegendő egy egyenes meghatározására.

5 . (Azaz mai magyar nyelvű alakban: Bár vannak, akik úgy ejtik, hogy Ez utóbbi nylevjárást beszélő magyarok szavát ma már nehezen értjük.) 6 A sic. rövidítés azt jelenti, hogy nem elírás, sajtóhiba az előtte lévő sző, vagy kifejezés, hanem így, pontosan

így van írva a szerző szándéka szerint, vagy véletlenül ugyan, de pontosan idézve. 7

Szögmásolás Hiszen ezt már ösmérjük! Most kiderül, hogy az előbb mit értettél meg, és mire fogtad csak

úgy rá.

Adott egy szög és egy egyenes egy rajtalévő ponttal.

Feladat, a szöget átmásolni az egyenesre úgy, hogy annak kijelölt pontjában legyen az új, másolt szög

csúcsa.

A szög csúcsából körívezünk, úgy hogy elmetszük mindkét szögszárat. Az egyik

metszéspontot , a másikat -ként jelölve. Ugyanezen körzőnyílással az egyenes pontjából

ívezünk, az egynest egy pontban metszve. Közben ügyelünk arra, hogy a berajzolt ív pont

egyikfelére eső része legalább olyan hosszú legyen, mint az ív, hiszen ennek hosszát készülünk

éppen rámérni. Figyelem, nem az egész ív hossza legyen ilyen, hanem az -től jobbra, vagy balra eső

része! Ne szimmetrikusan tegyük az ívet -re! Akár lehet is az ív végpontja. Most körzőnyílásba

vesszük az ívet, azaz akkorára nyissuk ki a körzőt, hogy az és közül, egyik pontba a

körző egyik, másik pontba a körző másik vége érjen a lehető legpontosabban! Ezzel a körzőnyílással

ívezünk az pontba szúrva, és az -en átmenő ívet metszve. E metszéspont legyen Az egyenes

pontját, és eme újdonsúlt pontunkat összekötve egy egynessel, az szakasz, és a szakaszok,

mint szögszárak jelölik ki az eredeti csúcsnál lévő szögünkkel egyező nagyságú immáron elkészült

szögünket. Most már ihatjuk a sörünket! Aki emlékszik, ezt is érteni fogja: .

Vagyis a betűhármas középső tagjával azonos jelű pontnál lévő szöget jelöljük így, és ez a két szög itt

most megegyezik. A betűhármas két szélső tagja, tehát baloldalon az és , jobboldalon az

és a szögszárak egy-egy pontját jelölik.

1. Ímé, egy szög és egy egyenes, rajta egy ponttal. A szöget kell az egyenes pontjába másolnunk.

2. A szög csúcsából tetszőleges körzőnyílással körívezve metsszük mindkét szögszárat.⇨ .

3. Változatlan körzőnyílással a pontba szúrván, ívvel metszük az egynest.⇨

4. Körzőnyílásba vesszük az ívet, hogy rámásolhassuk eme ívhosszt az egyenesünket metsző ívre.

5. Az pontba döfve körzőnket rá mérjük az imént lemért ívhosszt.

6. Az új metszéspontunk az .

7. A és pontokon át húzunk egyenest.

8. Így a pntnál lévő íves szög megegyezik a pontnál lévövel.

Ennél a feladatnál szabad akaratunk semmilyen gátló tényezőtől nem csonkítván, mi választhattuk

meg, hogy a másolt szög az egyenesen a ponttól merre legyen irányítva. Ha ki kötötte volna a

feladat; miként lovát Rózsa Sándor Mariskához; hogy a másik irányba essék, akkor pusztán csak az

ívet kellett volna amarra tenni. Figyeljünk oda, mert előfordulhat, hogy igenis meg van szabva a szög

iránya!

Hatvan fokos szög szerkesztése Ez azon az ismert tényen alapszik; miként minden, aminek értelme is van, valamin alapszik;

hogy a szabályos hatszög oldala hosszai éppen egyenlőek a köréje rótt kör sugarával. Te magad is,

mikor hatszirmú virágot szerkesztettél kicsiny gyermekként éppen ezt a tudást használtad fel. Amit

ott alkalmaztál lépéseket, azok egymás ismétlései voltak. Egyetlen körzőnyílással dolgoztál. A kör

sugarával. Mi is ezt tesszük, de nem ismételjük annyiszor, mint te, hiszen most nem akarjuk ezt a

legegyszerűbb teljes megrajzolni, csak nagyon pinduri részletét. De előbb lássuk a

hatszirmú virágot emlékeztetőül!

Ha csak a virágot akarod megtartani, akkor csak halványan rajzold meg a kört, s a szirmokat

erősebben!

Rajzolj egy kört! Körzővel persze. Tartsd a körzőnyílást így! Szúrd be a körződet a körvonal

egyik pontjába. Legyen ennek jele . Húzz ívet úgy, hogy elmetssze a kört két helyen. Az egyik

metszéspont legyen a másik pedig . Miért pont Majd látni fogod, hogy ez az utolsó

metszéspontunk lesz. És ebbe szúrva fejezzük majd be az ábrát. Most szúrd a körződ az

metszéspontba! Innen ívvel metszve a kört két pontban, kapjuk az pontot, és a másik

metszéspont éppen az előbbi . Most szúrjuk körzőnket a… hova is? Úgyvan az pontba, két

helyen metszi az innen ívelés az előbbi -ben, és természetesen, egy új pontban is, az -ben. Eme

új pontba szúrva ívesen elmetszük a körvonalat, miként eddig is, egyik nyiszapont pont előző és

az új pont. Eme újba szúrva; vigyázat nem az ujjba; ívesen nyiszapontokat képezünk a körvonalon.

Egyikük az előző mint régi motosrosfóka, és lássatok csudát az új is egy régi pont, mert pont ő az

. Miként az c. filmben is mondják: „Az idő körbe jár.” Ami a kezdet az a vég. És valóban,

az pontba szúrva körzőnk hegyét ívesen metszünk két helyen, a körvonalon, s ím, egyikük az

másikuk a régi-új . És ezzel készen is vagyunk, hiszen minden szirom, mind a hat elkészült.

!

Remélem, fogod látni az összefüggéseket az előbbi kis kitérő kapcsán. Mind az előzőhöz

fűződő kapcsolatot, mind magán a szerkesztésen belül.

Adva vagyon egy egyenes, rajta egy kijelölt pont.

(Ha nincsenek ezek sem megadva, akkor te vedd fel8 ezeket.) Feladat, ebbe a pontba, az egyenesre

simuló -ot szerkeszteni. Azaz a pont legyen a csúcs, és az egyenes az egyik szögszár. Esetleg

azt is kikötik, hogy az egyenes melyik oldalára biggyesszük a szöget. Akkor lehetőleg arrafelé

ívezgessünk!

Bédöfénk a körző szúrós végét a kijelölt pontba. A rajzolós végét ugyanis sokkal nehezebb,

és mint az köztudott itt spórolhatsz az erővel, használd inkább az eszedet! A pontból mint

középpontból, (nem mint áthaladási pontból9) ívet rajzolunk tetszőleges körzőnyílással, mellyel el is

metsszük az egyenest. E metszéspont legyen . Eme(se) körző nyílást megtartva, döfünk az -be

és a rajta menő ívet; hisz nincs is más ívünk most; metsszük (sz)ívesen. Ez az ívmetszetünk legyen . A

és pontokon átalvetett egyenes lészen a szögünk másik szára. Készen vagyunk. Az és

egyenesek között ott vigyorog ránk egy szögtartomány melynek nagysága éppen .

1. Adott egy pont és egy rajta átmenő egyenes. Ebbe a pontba kell -ot biggyesztenünk. De nem ám szögmérővel, helló!

2. A pontba döfve körzőnk hegyét, ívvel metszük az egyenest. Így kapjuk az metszéspontot.

8 Itt a nem azt jelenti ám, hogy jelöld ismerősnek a Facebook-on, hanem azt hogy rajzold meg, jelöld ki! 9 Ha az íved mégis átmegy valami csoda folytán a ponton, akkor biza rossz helyre szúrtad a körződet! Ugyanis nem tom észrevetted-e. De a körvonal sossem mehet át a saját középpontján, mindaddig, míg el nem tolod. És ha most így jártál, akkor a szó hétköznapi értelmében vett van szó, és nem geometriai eltolásról, ami itt még nem is kell, azt majd csak később tárgyaljuk, éppen a között.

3. Az pontba döfött körző íve metszi az előző ívet az pontban.

4. A és pontokat egy egyenessel összekötjük.

5. S ím, ahová a piros nyíl mutat, az az ívszakasz, -ot jelöl ki.

A -os szög szerkesztése Talán többen is ki tudták számolni; megkockáztatom, hogy akár fejben is; hogy a éppen

a kétszerese a -nak. Aki más eredményt kapott, pl. azt, hogy a háromszorosa, az valami mást

számolt. De miért is jó ez nekünk? …már nem ez, hogy nem tudtok számolni… hanem az, hogy éppen

a kétszeresét kell mostan megszerkesztenünk annak, akit az előbb már megkonstruáltunk.

Egyszerűen csak még egyszer elmetsszük a remélhetően most hosszabbnak rajzolt ívünket, úgy hogy

az iménti pontba szúrjuk a körző hegyét és megmetsszük az ívet az előbb kijelölt irányban tovább.10

Az a kis piros szám pedig nem azt jelenti, hogy , hanem azt, hogy a lábjegyzetben azt a

számot keresve találod, amit odavonatkozóan írtam, ahova a számot, nem a te szádot, ültettem. Csak

éppen eszembe jutott, hogy bizonyára van egy olvasói réteg, akiket erősen zavarba ejt a felső

indexbe tett számok garmadája.

Egy egyenes, és rajta egy pont.

Ugyanúgy teszünk mindent, mint a -os szög szerkesztésénél, egésszen addig a lépésig,

mikor megragadtuk a vonalzót. Csak most akkor még nem használjuk a vonalzót, hanem még egyszer

felmérjük az ívhosszt, most az pontba szúrva. Új metszéspontunk legyen nevű! A és pontot

összekötve, az és szakaszok, mint szögszárak közé zárt szögtartomány éppen .

10

Fontos, hogy ne visszafelé, mert akkor visszajutnánk az pontba, az a pontunk meg már úgy is meg volt. És igen jó film az , de azé nem azt nézzük állandóan.!

Akkora ívet rajzolunk, hogy rendesen ráférjen kétszer akkora ív, mint ami a -hoz kellene.

Metszünk, -be szúrva, azonos körzőnyílással, mint amivel imént magát az ívet rajzoltuk.

Még egyszer rámérjük. Most az előző ívszakasz végéből tovább.

Hát, ez csak elég egyértelmű, nem? (Megmostam a vonalzót. Ugye milyen átlátszó lett?)

Eccolá! A -os szög.

A -os szög szerkesztése Ennek is van köze a -hoz és a -hoz. Lévén, hogy a éppen a és a számtani

közepe. Ami nem más, mint kettejük összegének a fele. Ezt kihasználva, szerkesztünk -ot, amivel

automatikausan a is megszerkesztődik, hiszen annak segítségével lett a . S így már csak meg

kell felezni a hatvan és a százhúsz közti szögtartományt.

Egy egyenes rajta egy ponttal.

Megszerkesztünk egy -ot az előbb ismertetett módon, de a második szőrszálat11 nem húzzuk be.

A nagy íven, mely átmegy és pontokon, megfelezzük azt az ívrészt, mely és közé esik.

Miként a szögfelezésnél láttuk már. Így az és pontokba szúrt körzővel, azonos körzőnyílással íveket

rajzolunk úgy, hogy azok metsszék egymást. Eme metszéspont legyen ! A és pontot összekötve

egy egyenessel készen is vagyunk. A és szakaszok, mint szögszárak adják a -os

szöget.

11 Szögszárat.

Mindent úgy teszünk, mint a -os szög megszerkesztésénél. (Végig ugyanakkora körzőnyílással dolgozunk!)

Még nincs kész.

De itt nem húzzuk be a -os szög másik szárát, mert nincs rá szükségünk, és zavaró is lehetne.

Hanem inkább, az és metszéspontokból ívezve metsszük ki a pontot.

A és pontok megadják azt az egyneset, mely a szögünk ’ásik12 szára lészen.

Íme, a , a és szakaszok közé szorult síkrészben.

12 ’ásik=másik

Ennek mintájára szögek tömkelegét13 szerkeszthetjük meg úgy, hogy két másik számtani közepeként

állítjuk elő. Ugye milyen hasznos állat ez a szögfelezés? Pl. -ot -ból és -ból, ki utóbbi

egyébként éppen az egyenesszögnevet is viseli, tekintve, hogy egy egyenesre téve egy pontot, éppen

e pont lesz a -os szög csúcsa, és az egyenes tőle jobbra és balra eső részei a szögszárak. Emígyen

lehet °-ot, -ot szerkeszteni, stb. Szinte csak a fantázia szab határt, és persze jó néhány

lehetlenségi tényező. Pl. az eszközeink pontatlansága. Ha egy szög túl lapos a szerkesztéshez, akkor

nagyon-nagyon hosszú szögszárak kellenének. De a papír és az asztal ehhez nem mindig elég nagy.

Elvileg ez nem szab határt, de gyakorlatilag ez komoly probléma lehet. Főleg ha a Földgolyóbisunk is

kicsinynek bizonyul, csak azért menjünk a világűrbe és vissza, hogy megszerkeszthessük a kívánt

szöget? Igen.

A szögek duplázása nem lehet gond, hiszen az csak egyszerű szögmásolás. Gondold végig,

hogy hogyan, miként, s máris képes vagy egy rakat olyan dologra, melyről eddig nem is sejtetted,

hogy megvalósíthatod.

Mellékszögek és pótszögek szerkesztése Emlékeztetőül egy szög mellékszöge -ra, míg pótszöge °-ra pótolja ki a szöget. Azaz

ha -nak a mellékszöge, akkor . És ha -nak a pótszöge, akkor .

Nyilván nem szükséges kimondanunk, de ha szög már eleve tompaszög, vagy derékszög, azaz

nagyobb vagy egyenlő, mint fok, akkor nincs mit pótolgatni rajta, hogy fok legyen. Akkor

éppen csökkenteni kell. Ez utóbbi kivitelezését találd ki magad!

Adott egyetlen szög.

Jelöljük a szöget -val, csúcsát -vel, az egyik szögszárat -sel, a másikat -vel!

A mellékszögszerkesztése roppant egyszerű, hiszen csak a készen kapott szög egyik szárát,

pl. -t kell meghosszabbítani a csúcson túl. Így a meghosszabbítási szakasz; mely legyen jelű; és a

másik (nem meghosszított) szakasz által közrezárt szögtartomány lesz a keresett

szög.

13

Engedtessék meg, hogy ne részletezzem itt ezeket! Most már úgy is meg tudod tenni ezeket teljesen önállóan is. (Kissé zavaró, hogy a szó Petőfi és Madách idején még azt jelentette, hogy . Én természetesen a mai jelentésében, használom itt.)

Hozzánk vágnak egy szöget.

A szögcsúcsán túl meghosszabbítjuk az egyik szögszárat. (miközben egy Stallone filmre gondolunk: „Túl a csúcson”.

S miként a Biblia is mondja: „Ha megdobnak egy szöggel, dobd vissza mellékszögével”. Zolika, miért négyzethálóztad össze az ábrát? Azt hiszed, most jófej voltál?

A pótszöghöz pedig az szög egyik szárára; pl. -re; állítunk merőlegest a másik szögszár,

felöli oldalra. E merőleges legyen . Ekkor az és az által közrezárt tartomány a .

Hoppsza, ismét itt egy szög! (Tetszőleges, de állandó körzőnyílással dolgozunk végig!)

A szögcsúcsba szúrva a körzőt, az egyik szögszárból indítunk egy körívet a másik szögszár felé.

Az indító szögszárra mérve…

…majd további -ot, ami így összesen már -ot ad.

Utóbbi -ot felezzük. Így van rámérve az indító szögszárra.

Egyenest behúz, mint nyuszikától a cigit.

Lám, van, aki úgy értelmezi az Szentírást, hogy pótszöggel kell visszadobni…

az is jó elképzelés, ha derékszögű háromszögból rakjuk össze a megoldást.

Azaz egy derékszög szárának a végére a derékszög irányába nyitva nézően másoljuk fel az szöget.

Az így másolt szög egyik szára tehát a szakasz, a másik a most berajzolt szakasz, mely a

derékszöggel szemben helyezkedik el. A oldallal szemben alakul ki a háromszög harmadik belső

szöge, a , melyre fennáll, hogy . Azt az eljárást már nem is említve, hogy ha magába a

derékszögbe másolom bele az szöget, akkor a derékszögben visszamaradó is éppen a nekem kellő

pótszög lesz. A lehetőség mindig fennáll, hogy a feladatnak legmegfelelőbbet válaszd. Tedd mindig

azt, ami a legkézenfekvőbb. Julcsinak most éppen a feje a legkézenfekvőbb, mert úgy csicsikázik.

Egy szakasz több mint kettő egyenlő részre osztása Ha ez a „több mint kettő” éppen kettőhatvány, akkor megoldhatjuk többszörös felezgetéssel

is. Azonban, ha nem az, akkor úgy járunk el…

─ … mint Joli néni vasárnaponként a templomba. ─ szakad ki Emeséből.

Az alkalmazott trükk az, hogy ha nem is vagyunk képesek akár hányfelé felosztani egy szakaszt, azért

akármilyen egész többszöröseit könnyedén megadhatjuk. Szakaszunk egyik végpontjából egy

félegyenest indítunk, a szakasszal hegyesszöget, vagy ha úgy tetszik tompaszöget bezáróan, vagyis

amilyet akarunk, és erre a félegyenesre mérünk rá annyi egyenlő szakaszt, amennyit éppen a feladat

megkövetel. Így a félegyenesen egyenlő távolságban fognak metszéspontok sorakozni. S mi

tulajdonképpen az ezeknek megfelelő pontokat keressük az eredeti szakaszunkon.

Mi most nézzük egy szakasz ötödölését! Ami ugye nem azonos az ,14 mert az inkább a

tizedeléssel rokonítható. Ennek mintájára, megszerkeszthető más esetekben is.

Egy szakasz két végpontjával, hiszen ettől szakasz a szakasz.

Az egyik, mondjuk az végponból indítunk egy félegyenest. Erre mérünk fel

egy tetszőleges hosszúságot, ötször egymásután, egymás végpontjaiból. Az utolsó szakasz ponttól

távolabbi végét jelöljük -val. Véle és a -vel meghatározott szakaszt béhúzzuk. Ekkor keletkezik az

szög. Melyet az ismert módon egyező irányítással átmásolunk a pontba, mely egyébként a

félegynesen az -t megelőző metszéspont. ponton át -vel párhzamos szakaszt húzunk. Így az

. A szakasz éppen az egyötöde a szakasznak. Már csak ezt kell ismételten

tovább méricskélni, hogy egyenlően öt felé daraboljuk.

14 Ezt egyébként a Word hibajavítója javasolta. Most mondjátok, hogy a számítógépnek nincs humora!

Fontos, hogy nagyon pontosan dolgozzunk, mert a sok lépés miatt könnyen összegyűlnek a hibák.

Egy segédszakaszt rajzolunk be a szakasz egyik, itt a rajzon végpontján át.

Erre a segédegyenesre mérünk fel öt egyforma szakaszt.

Az utolsó felmért szakasz túlsóvégét, az pontot összekötjük a kapott szakaszunk eddig nem érintett végpontjával.

Szögmásolást végzünk. Ehhez egy tetszőleges körzőnyílással ívezünk -ba szúrva, úgy hogy ívünk metsze az és az szakaszt is.

Névadó ünnepséget tartunk: Az új metszéspontjaink lettek és . Viszont a az nem új, hanem az utolsó segédszakasz ötödölőnk elülső végpontja.

És most a pontba döfve ugyanazon körzőnyílással másoljuk az ívet. (Így az ív az pontban metszi az szakaszt. (a következő ábra.))

Amihez persze az is kell, hogy az ív hosszát is átmásoljuk. Ezt mérjük le, a körzőt távolságra nyítva.

Ezzel az körzőnyílással, az pontba döfve, elmetszük az -en átmenő ívünket. Ami majdan a pontot szüli.

A és pontokon átalvetünk egy egyenest, mely az szakaszt a pontban metszi.

Ekképpen a szakszt kell már csak ráméricskélni egymásután az szakaszra.

És ha mindent jól csináltunk, akkor éppen -ször fér rá.

Az szakaszok mindannyian egyenlő hosszúak. (Valójában nekem kissé elcsúszott, de attól még a szerkesztés elve helyes.)

A kör középpontjának megkeresése Sejthető, hogy nem levélben és nem is személyesen fogjuk felkeresni. Azt fogjuk felhasználni,

hogy a kör bármely húrját berajzolva, az ő végpontjai mindig szimmetrikusan helyezkednek el a kör

középpontjára. Azaz a húr középpontjából állított merőleges egyenes áthalad a köri centrumon.

Adva vagyon egy körvonal, de a kör középpontját lefelejtették. Feladat, megtudni, hol a ménkűben

lehet?

Aki a kör középpontját a körvonalon kívül keresi, bizony tévedésben leledzik.

A körvonal tetszőleges három különböző15 pontját válasszuk ki! Legyenek ezek név szerint

és . Összekötjük valamely kettőt közülük. Pl. -t és -t. Így kapjuk a szakaszt. Ez tehát az

egyik húr. Alkossuk meg a szakaszt is! Ez lészen a másik húr. Felező merőlegest állítunk mindkét

szakaszra. Ahol a felezőmerőlegesek metszik egymást, ott a keresett centrum.

15 Vagyis ne legyen közte két azonos választás. Ha mégis van ilyen, akkor jövő vasárnap pótválasztást tartunk.

1. Kapunk egy körvonalat. Feladat, hogy keressük meg a középpontját.

2. Felveszünk rajta tetszőlegesen három pontot.

3. Két egyenessel összekötünk kettő-kettő pontot. Mindegy, hogy melyiket melyikkel.

4. A már ismert módon felező merőlegest állítunk az egyenesekre.

5. E művelet fázisait láthatod a képsorokon.

6. A szakasz felezőmerőlegese már meg is van.

7. Most a szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.

8. Már majdnem kész.

9. Mivel ezt már láttuk korábban, azért nem részleteztem. Elvárom tőled, hogy tanuld meg észrevenni azt, ami az orrod előtt van.

Ez roppant egyszerű pusztán csak hosszadalmas. Viszont már volt eddig hosszadalmasabb is. Minden

egyes lépését ismered már. Nem okozhat számodra gondot ennek megértése.

10. A két felezőmerőleges metszéspontja pont a kör középpontjával esik egybe.

Adott szöghöz tartozó látókörív szerkesztése adott szakasz fölé/alá Mi is az a látókörív? Olyan pontok halmaza; nevesül körív; melynek minden pontjából

ugyanolyan szögben látszik egy szakasz. Ami persze annyit tesz, hogy a teljes szakasz, és nem csak egy

darabja.

Azért fölé/alá, mert csak. Azonkívül meg azért, mert nem csak a szakasz egyik oldalán, de lám

a másik oldalán is lehet ugyanolyan körív. Tehát, ha nincs oly megszorítás mely csak az egyiket engedi

meg, mindig két megoldás van. Itt a kör egy húrjához tartozó középponti és kerületi szöge közötti

összefüggést használjuk ki. Valamint az imént említett tényt, miszerint egy húrtól merre keressük a

kör középpontját.

Adott egy szög és egy szakasz.

A szöget jelöljük -vel, a szakaszt -sel! Elsőként kell nekünk a szakaszfelező merőleges. Ezt

legyártjuk a már ismert módon. Aztán szükségünk lesz egy olyan szögre mely a szöget éppen °

pótolja ki. Ezt is ismerjük már. Így, aki nyomon követte a sorozatot és emlékszik minden epizódra,

már sejti is, hogy miként alakul a folytatás. Nem fogom mindenhol részletezni az ábrákat. Csak itt-ott,

de ismerős kell, hogy legyen most már az összes lépés, ezek mindegyikét tanultuk már.

Adott egy szakasz, és egy szög.

Felező merőlegest állítunk a szakaszra.

A szögnek pedig megalkotjuk a pótszögét, mely ugye -ra egészíti ki.

v

Íme, a pótszög is megvan. Ezt a pótszöget fogjuk a szakasz egyik végpontjába másolni. Ekképpen, ahol a másik szögszár metszi a felező merőegest, ott keletkezik egy nagyságú szög. Vagyis ott, ama metszéspontban lesz a látókörív köri középpontja. (Lásd kerületi- és középponti szögek tétele.)

Meggyőződünk róla, hogy a másolandó pótszög ráfér az ívre. Itt nekem nem akart, ezért meghosszabbítottam. Remélem, jól látszik, hogy miért nem jó az ilyen hosszabbítgatás, toldozgatás, foldozgatás! Pontatlanságot okozhat! Nézzétek csak, a toldozgatásnál hegesztési varrat, vastagodás látható! Azért nem kellett új ív, mert egészen idáig, végig ugyanazzal a körzőnyílással dolgoztam.

körív körzőnyílásba vétele.

Eme körív felmérése a szakaszunkat metsző körívre.

Ezáltal a pontnál keletkezett egy szöggel egyenlő nagyságú szög. Azonban látható, hogy az a fránya felezőmerőleges rövid ahhoz, hogy a két egyenes találkozzék.

Meghosszabbítjuk hát. Ez ugyancsak egy gondos tervezéssel elkerülhető lépés lett volna!

A két egyenes metszéspontja, egyúttal a kör középpontja az pont. Ezért az hosszat mint sugarat körzőnyílásba vesszük.

És kört rajzolunk vele.

Mivel valaki nem rajzolta meg elég hosszúra a szakaszfelező merőlegest a másik irányban sem, ezért most arrafelé is meg kell hosszabbítanunk.

És már csak az előző kört kell átmásolni, hogy a szakasz mindkét oldalán megjelenjen a látókör. A megfelelő látókörívek, melyek az adott szöghöz tartoznak, azaz amely körívek pontjaiból éppen φ szögben látszik az szkasz, itt nyilván a

hosszabb ívek.

Pirossal kiemelve még inkább látszik, hogy mely körívekről van szó.

Alternatív megoldás ugyanerre a problémára, azaz látókörív szerkesztés

másként Nem kötelező ragaszkodni egyetlen gondolatmenethez. Bátran próbálj ki te is több eljárást. A

legtöbb szerkesztés kisebb-nagyobb variációkkal is elvégezhető. A mostani teljesen más kiindulást

használ ki, mint az előző. És meglepő, avagy sem, de nagyobb pontosság érhető el vele, mint az

előzővel. Nem oly hosszadalmas, mint amilyennek tűnhet, csupán agyonrészleteztem. Ha magad is

elvégzed, rájössz, hogy gyors ez a módszer. Azt használjuk ki, hogy ha a körvonal három pontja

megvan már, akkor abból a kör középpontja meghatározható. És ha meg van a középpont is, akkor

onnan a kerületi pontok egyikéhez kitárva a körzőt, ezzel körzőnyílásba véve a sugarat, felmérhetjük

az eredeti szakasz két végpontjából, mint egyenlő szárú háromszög két oldalát. A szárcsúcsnál lesz a

látókörünk középpontja. De az ábrákból sokkal világosabb ez, mint így szövegből.

Adott az szakasz és egy szög a csúcsnál. Eme szögnek megfelelő látókörívet kell rábiggyeszteni a szakaszra.

Először jelöljünk ki egy pontot a szög egyik szárán, ahol még elég szűk ahhoz a szög nyílása, hogy onnan a másik szögszárra mérhessük rá a szakaszt. E pont is a jelet kapta, mert a buta arcú Prezi program nem ismeri a -t.

Miért csak olyan programok vannak, amelyekbe nem lehet tetszőleges karaktert biggyeszteni? Direkt

engem akarnak idegesíteni?

Körzőnyílásba vesszük a szakaszt, hogy felmérhessük.

Felmérjük a szakasz hosszát a két szögszár közé. Az új pontból az új pontig. Így a és a két új pont, és adja azon kör kerületi pontjait, melynek sugara azonos a megszerkesztendő látókörívünk sugarával.

Összekötjük a két új és pontot.

Az új szakaszra felező merőlegest állítunk.

Íme, a felező merőleges.

A szakaszra is felező merőlegest állítunk.

Íme, a másik szakasz felezőmerőlegese. A két felező merőleges metszéspontja, a kör középpontja. Nyilván éppen így felező merőlegest állíthattunk volna az szakaszra is. Az is kiváló lett vón.

E kör középpontjától egyik kerületi pontjáig nyitva a körzőt, akár -ig, -ig vagy -ig, át másolhatjuk a sugárhosszt az eredeti szakaszunk végeiből ívezve:

Felmérve a sugarat az egyik…

…és a másik végpontból is, elmetszve egymással a két körívet. Megkapjuk végre látókörívünk középpontját.

Eme metszéspontba beszúrva a körzőt, kinyitva az eredeti vagy pontig, kört rajzolunk. Itt most, a nagyobb körív a nekünk kellő. Az szakasz másik oldalán lévő rövidebb körív, a megadott szöget éppen -ra egészíti ki. Miként azt a húrnégyszögek ismerői kiválóan tudják is. Ugye, Zolika?

Most pedig jöjjenek olyasmik, amelyekben nem fogom agyonrészletezni a szerkesztéseket, mert

eddig úgyis ezt tettem. Ha figyeltél, úgyis tudsz mindent. Most is csak figyelned kell.

Néhány olyan szakaszhossz többszörösének megszerkesztése, melyekről

azt hinnéd, hogy nem is lehet megszerkeszteni, illetve, hogy ilyet nem is

kérnek tőled

Hogyan szerkesszük meg egy szakasz -, vagy -szorosát, illetve -szorosát?

Sokféle ismeretet felhasználhatunk. Püthagorasz tétel, magasság tétel, befogó tétel, stb. lesznek a

segítségünkre. A stb. itt többek között a Thálesz tétel alapos ismeretét és használatának csínját-

bínját, illetve a nem is oly magasfokú szerkesztési jártasságot jelenti. Ha ezek közül bármelyik is

gondot okoz, akkor ez a fejezet, nem neked van írva. Pontosabban, ez a lábazat, mert ez már a fejezet

vége. Akkor vágjunk is bele!

Adott egy szakasz. Szerkesszük meg az ő -szeresét!

Használjuk fel azt, hogy az oldalú négyzet átlója éppen hosszúságú. Azaz az egyenlő befogójú

derékszögű háromszög átfogója, a befogóknak a -szerese.

Hiszen

De az előjel úgyis csak irányt jelölve jelentene valamit egy hosszúság kapcsán, így nem kell vele

bajlódni. Azaz

Adott egy szakasz. Szerkesszük meg az ő -szorosát!

Már tudjuk, hogy hogyan kell szakasz -szeresét megszerkeszteni, így akár ezt is felhasználhatjuk.

Az egyszerűség miatt az ábrán az szakaszt egyszerűen -gyel lett jelölve. (Bevallhatnám azt is, hogy

elrontottam, azaz lefelejtettem az -t, de én olyat nem teszek. Nem rontok és nem is vallok.)

Az ábra helyes, hiszen:

Oh, yeah!

Adott egy szakasz. Szerkesszük meg az ő -szörösét!

Itt is a Püthagorasz tétel segít. Mert derékszöget könnyen tudunk szerkeszteni és egy szakasz

kétszeresét sem nehéz.

Hiszen:

Vagyis:

Adott egy szakasz. Szerkesszük meg az ő -szorosát! Ez a -szoros legyen -

szel jeleölve!

Szerencsére ismerjük a Magasság tételt is, ami nyilván egy Magasság nevű ember után kapta a nevét.

De az is lehet, hogy mégsem, hanem a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasságra utal az

elnevezés. Jobban belegondolva, ez tűnik valószínűbbnek.

A magasság tétel szerint, az említett magasság; az átfogóhoz tartozó; két részre osztja az átfogót,

és ezek szorzatának gyöke éppen a magassággal egyezik meg. Nem bizonygatom itt a tételt, mert a

megfelelő fejezetben megtörtént. Ha nem találod a fejezetet, akkor azért van, mert

címmel lett álcázva, tekintve, hogy az is abban a fejezetben van.

Így tehát ha a hossz helyébe írjuk a feladatban megadott szakaszunkat, helyére az -et, azaz

az szakasz -szeresét, akkor a magasságunk éppen a kívánt lesz.

Azaz:

Amit egyszerű belátni, mivel:

Természetesen a derékszögű háromszög megszerkesztésének csínját-bínját a Thálesz tétel ismerete

nagyban elősegíti. Gondoskodj róla, hogy valóban megismerd! Vajon melyik fejezetben találod?

Ha már szóba került a befogó tétel is, akkor nézzük meg mi szépet és jót szerkeszthetünk azt is

felhasználva!

Először is maga a tétel:

A derékszögű háromszög befogójának hosszát kapjuk, ha az átfogót szorozzuk a hozzátartozó

magasság által az átfogót két részre osztott szakasz közül az illető befogóhoz közelebb eső

szakasszal, majd e szorzat négyzetgyökét vesszük. Ha nem sikerült megérteni, akkor kuksold meg az

ábrát! Ezt sem bizonygatom, mert úgy is tudod, hogy azt hol keresd! Vagy nem? Hát milyen

figyelmetlenül olvasol, te!? Mi, hogy pont úgy, ahogy én írok? Na, azért ez nem volt szép tőled.

Természetesen, a háromszög felső csúcsánál, amibe három vonal fut be, ott is derékszög van, hiszen ez egy derékszögű háromszög!

Írjunk, illetve szerkesszünk helyére -t, helyére -t! Ekkor a két befogó így alakul:

Vagyis ekkor az összkép ez lesz:

Ami nem olyan rejtélyes, hiszen

És így aztán:

És éppen ekképpen

Azaz

---------------------------------

A most következő feladatokban szükség lesz egy hosszúságra is. Adottak is lesznek. Ha az

igazi, valós életbeli problémákban nem adottak, akkor válsztanunk kell egyet. Mindig olyat, ami jól

illeszkedik a problémához. Abszolút értelemben nincs , univerzális egység. Ha lenne, akkor

nem kellene ennyi sok hosszúsági mértékegység sem. Azonbn a feladathoz illeszkedően mindig

találhatunk olyat, mely a leglogikusabb választásnak tűnhet. Később, a feladatban tovább haladva

kiderülhet, hogy lett volna egy még realistább egység is. Hát, ilyen az élet. Használd a fejed,

gondolkodni mindig szabad! Ja, és a gondolkodás nem aggódást jelent ám!!

Adott egy szakasz. Egy egységszakasszal egyetemben. Szerkesszük meg az szakasz négyzetét!

A következő ábra mutatja, hogy hova kell beszerkeszteni az jelű egységszakaszt, az szakaszt, és

hogy hova adódik szinte magától az :

Ha valaki menetközben elfeledte volna, hogy hol is van itt derékszög, annak bejelöltem. De aki eddig sem tudta, az hogyan szerkesztett derékszöget oda, ahol nem is tudta, hogy van? He? A „felső”, a hármasvonalnál lévő derékszöget, természetesen a Thálesz tétel segítségével kapjuk.

Adott egy szakasz, no meg egy egységszakasz is. Szerkesszük meg az szakasz reciprokát!

Vajh, hogyan helyezzük el az ismert hosszakat, hogy megkapjuk az ismeretlen hosszt? Így e:

Adott egy és egy szakasz. Szerkesszük meg kettejük szorzatát!

Elsőnek meg kell szerkesztenünk eme szakaszok négyzeteit. Amit már az feladtban láttunk is.

Azután pedig eme ábra szerint kell eljárni:

Igen, jól látod. Lusta voltam mindig új ábrát rajzolni, csak a feliratokat cseréltem le. Így felléphetnek aránytalansági problémák, főleg az előző ábrákkal összehasonlítva, de ha ez is zavar, akkor te önmagad számára is teljesen elviselhetetlen ember vagy.

Adott egy és egy szakasz. Szerkesszük meg kettejük hányadosát! Mindkét hányadost, azaz -t és

-t is!

Hogyan csinálunk hányadost? Mint ahogyan az osztást is. Reciprokkal szorzunk, kérem szépen. Tehát

előbb le kő gyártanod a megfelelő reciprokot. Majd a reciprok négyzetét, és a számláló négyzetét is.

Majd követni ezt az ábrát, mint útmutatást. És remélhetően már nem csodálkozol azon, hogy

Illetve a másik hányados legyártása:

Agyalj ki még egyéb megszerkesztendő szakaszhosszakat is! Ez légyen házi feladatod, és útravalód is!

Ezeket a Szent Lustaság eszméinek megfelelően tök gyorsan el tudtam magyarázni, talán nem

értettél mindent? Nem értettél semmit? Annak örülök, mert sejtheted, hogy az volt a cél.

Gondolkozz, gondolkozz, gondolkozz!

Ha bármi gubanc van, írj nekem:

Ezt minden fejezet végére odaírhattam volna. Ahol hiányzik, vedd úgy, mintha ott lenne.

Mégse legyen még vége a fejezetnek! Nézzük a szabályos ötszög, azaz a pentagon

szerkesztését!

Szabályos ötszög szerkesztése Ennek erős kötődése van az aranymetszéshez, mert az ott előforduló arány, a „phi” néven

emlegetett értékkel megadott hossz szükségeltetik hozzája.

Ez pedig úgy kerül ide, hogy a szabályos ötszögnek minden belsőszöge °. Így, ha tudunk

szerkeszteni, akkor már rendben is vagyunk. És mivel

Így nem nehéz kitalálni, hogy a Thálesz tétel segedelmével, az egységsugarú körbe rajzolt ama

derékszögű háromszög, melynek egyik hegyes szöge éppen , az ezzel szemben lévő oldal hossza

éppen a

Gyönyörű, nem? Főleg, hogy igazából éppen visszafelé kellene belátni ennek igazságát.

Ez a tehát nem egy szög, mint általában a görög kisbetük szoktak lenni a geometriában, hanem egy

szám érték. Ha a kör melybe szerkesztjük az ötszöget, azaz egységnyi sugárral rendelkezik,

akkor ezt a értéket kell megszerkesztenünk. Ebből már sejthető, hogy közvetlenül ezzel a

szakaszhossznak a megszerkezthetésvel is megoldhatjuk a feladatot, az előbbi szakaszban, a

magasság tétel, és befogó tételekkel látott perverzkedés módszerével. Azonban hogy lássunk azoktól

eltérő szerkesztést is. Nézzünk egy hagyományosabb eljárást!

Semmi. Csak azt kérik, hogy szerkesszünk egy szabályos ötszöget. Na, jó. Esetleg adott egy kör. Ebbe

kell beleszerkeszteni a pentagont.

Itt nem fogok külön előre magyarázni. Kövesd a rajzokat! Lusta voltam megbetűzni a pontokat, figyelj

hát jól!

Egy kör. Vagy készen kaptuk, vagy mi rajzoltuk. Mindegy. Ebbe varázsoljuk bele az ötszöget. De szabályosat ám!

Berajzoljuk az egyik átmérő egyenesét. Mindegy melyiket. A lényeg, hogy át menjen a középponton, mert amelyik nem megy át, az biza nem átmérő, hanem csak egy mezei húr.

Erre merőlegesen berajzoljuk a kör egy másik átmérőjét. Az már egyértelmű, mert az előzőre csak egyetlen egy lesz merőleges.

Az egyik átmérőt megfelezzük. Én a vízszintest feleztem, de lehetett volna a másikat is. Hiszen a vízszintesség, vagy függőlegesség csak viszonylagos. Pl. aki az egyenlítőn él az pont ellentétesen nevezi azokat, mint az, aki az északi vagy déli sarkon.

E felezőpontból mint középpontból rajzolunk az eredeti körünk sugarának felével egy köröcskét.

Ha kiskörünk a vízszintes átmérőn van, mint itt is, akkor a függőleges átmérő egyik végpontjából húzott egyenessel elmetsszük a köröcskét, a középpontocskáján keresztül. A köröcskevonal távolabbi metszéspontját jelöljük meg. (Zöld pont. Na, jó. Az a zöld pont egy kis zöld karika, de most nevezzük pontnak.)

Vegyük körzőnyílásba a zöldpont és a nagy kör függőleges átmérőjének felső végpontját. Innen rajtoljunk körvonalat, mely két pontban metszi a nagy kört. (Zöld körív.)

A nagy kör függőleges átmérőjének alsó végpontjából nyissuk ki a körzőt a zöld ív és a nagy kör egyik metszés pontjáig. Ez a távolság lesz a pentagonunk oldalhossza. Ezeket mérjük fel szépen egymás után.

Az első döféssel két pontot is kijelölhetünk, azaz két oldalt is. Aztán haladjunk körbe.

Ha jól csináltuk, és én mindig jól csinálok mindent, mert hiszed, vagy sem, de akkor is igaz, hogy egészen születésem óta , akkor egy ilyen szép ötszöget kapunk. Mi, hogy fejjel lefelé áll? Persze mert ez egy ausztrál ötszög. Valószínűleg erszényes is.

A színezés félrevezető lehet, hiszen az aranyszínű oldalak éppen nem hosszúságúak, hanem egy

másik szakasz annyi.

A zöld pont és a nagy kör függőleges átmérője felső végpontjának távolsága ennyi. Feltéve persze,

hogy a nagy körünk sugara éppen egységnyi. Azonban aki ügyes, ki tudja számolni a szabályos ötszög

oldalainak hosszát is. Sőt nem is olyan nehéz, többféleképpen is ki lehet számolni, így ez legyen házi

feladat. Az aranymetszésről majd hallasz még a l, sőt már hallhattál is

is. Legalábbis asszem.

∎∎