32장. 유도 계수 (Inductance)

32.1 자체 유도와 자체 유도 계수 32.2 RL 회로 32.3 자기장 내의 에너지 32.4 상호 유도 계수 32.5 LC 회로의 진동 32.6 RLC 회로

◆ 인덕턴스 Inductance

- Faraday's Law → 전(자)기 유도 현상 :

- 폐회로가 변화하는 자속내에 있을 때 유도 기전력이 발생

- 실제 회로에서의 유도기전력의 역할 ⇒ 인덕턴스 (Inductance)

dt

dd m

lEE

32.1 자체 유도와 자체 유도 계수 (Self-Induction and Inductance)

- 회로의 전류가 시간에 따라 변하면, 원래 전류 흐름을 일으킨 기전력과 반대 방향의 유도 기전력이 발생하는 현상을 자체 유도(self induction)라고 한다.

- 유도된 기전력의 방향은 전원의 기전력 방향과 반대이며, 전류의 증가를 억제하여 전류는 순간적으로 변화하는 것이 아니라 점진적으로 증가하여 나중 평형값에 도달한다. 역기전력이라고도 부른다

◎ 자체 유도 Self-Inductance L

- 스위치를 닫으면 전류는 0에서 즉시 최대값 ε/R 값에 도달하지 못한다.

- Inductor : 시간에 따라 변하는 전류가 흐르게 된다

- 전류의 증가는 회로 내부를 통과하는 자기 선속을 증가시키는데 이 때 이를 방해하는 기전력이 생긴다.

- 페러데이의 전자기 유도 법칙 :

– 자체 유도, 자체 유도 기전력 (Self-Induced emf, EL )

- 1회 감긴 Coil을 통과하는 자기선속 : Φm → N 회 감긴 Coil을 통과하는 자기선속 : NΦm

- Coil에 전류 I 가 흐른다면,

Expect : NΦm ∝ I 로 예상하면 (∵ current I 에 의한 유도 자속 발생)

비례계수를 L 로 선택하면 ⇒ NΦm = IL

dt

d BE

L

NI m

I

NL m

L : "Self Inductance“

L 의 단위 : H=V·sec/A Henry

- Apply to Faraday's Law : dt

d mE

dt

dILIL

dt

d

dt

dN m

E ∵ L : Inductor (or Coil) 상수

∴ Inductor에 유도되는 자체 유도 기전력 (역기전력) :

- 자기선속의 크기는 자기장의 세기에 비례하고 자기장의 세기는 회로에 흐르는 전류에 비례하므로, 자체 유도 기전력은 항상 전류의 시간 변화율에 비례하게 된다.

- L (자체 유도 계수 또는 인덕턴스) : 회로의 기하학적인 모양과 물리적인 특성에 따라 정해진다.

- 조밀하게 N 회 감긴 코일(토로이드 또는 솔레노이드)에 전류 I 가 흐르는 경우, cf ) - 저항; 전류에 대한 방해 정도의 척도

- 자체 유도계수; 전류 변화에 대한 방해 정도의 척도

dt

dIL

dt

d mL

E

I

VR

dtdIL L

/

dt

dILE

dt

dIL

dt

dN m

L

EI

NL m

솔레노이드의 자체 유도 계수 예제 32.1

길이 인 원통에 도선이 균일하게 N번 감긴 솔레노이드가 있다. 이 솔레노이드의 반지름보다 대단히 크며 솔레노이드 내부가 비어 있다. (A) 솔레노이드의 자체 유도 계수를 구하라. (B) 단면적이 4.00cm2 이고, 길이가 25.0 cm인 원통에 300회 코일이 감긴 솔레노이드의 자체 유도 계수를 구하라. (C) 50.0A/s의 비율로 전류가 감소할 때 솔레노이드의 자체 유도 기전력을 구하라.

Sol

IAN

nIABAm

00

AN

I

N

I

NL m

2

0

AB

mAmT

m

m

turnsAmTL

181.0/24

1081.1

)24

1000.4(2

100.25

2)300(

)/7

104()B(

mV

sdt

dILL

05.9

)/0.50)(1081.1()C( 4

E

- Solenoid의 내부 자기장 : IN

nIB

00

- Solenoid의 내부 자속 :

- Solenoid에서의 Self-Inductance L :

Aside) 2RA and

Nn

22

0 RnNL Here, olumeVAR 2 olumeVnL 2

0

☆

솔레노이드의 자체 유도 계수 2 Aside Ex) 32.1

- 반경 R=0.5㎝, 길이 ℓ =10㎝인 Solenoid가 N =1000회 감겼다면

Sol

mHm

m

turnsAmTA

NL 1

310

2)

2105.0(

2100.25

2)1000(

)/7

104(

2

0

- 이때 라면, 유도기전력 EL ? sec/103dt

dI

Voltsdt

dILL 1/1010 33

E

- "-" sign : 기전력의 방향이 외부 전력의 반대방향 (방해하는 방향 : Lenz's Law)

→ ∴ Induced emf 는 마치 저항처럼 작용!!!

cf ) 1Volt 의 EL 은 아주 큰 (유도 기전력) 저항이다.

cf ) 이 Solenoid 내부에 μ=4000μ0인 철심을 넣으면,

⇒ L=μL0 =4000×10-3H = 4H

- Self-Inductance L ? :

32.4 상호 유도 계수 (Mutual Inductance)

- 한 회로의 전류 변화는 가까운 곳에 있는 다른 회로를 통과하는 자기선속의 변화를 일으키고 따라서 유도 기전력을 발생시킨다.

- 두 회로의 상호 작용에 의하여 발생하는 현상이므로 이를 상호 유도라 부른다.

- Coil 2개가 충분히 가까이 있게 되면

- Coil 1에 (시간에 따라 변하는) 전류가 흐르면 → 기전력이 유도 → 자속 발생 → 자기장 유도

- 이 Coil 1에서 유도된 자속중에 Coil 2를 지나는 자기선속의 시간 변화율이 생긴다 → Coil 2에는 유도 기전력 E2가 유도 된다

o 정리 :

- Coil 1에서의 유도 자속이 Coil 2를 거의 다 통과한다면 (Coil 1과 Coil 2가 충분히 가까이 있다면)

- Coil 1에 의해 Coil 2에 생기는 자기선속 : Φ12

이때 Coil 2가 N2회 감겼다면

→ 총 자속수 : N2Φ12 ("연합자속수“)

- 이 자속수 : N2Φ12 ∝ I1

- 비례계수를 M12 이라 하면 : N2Φ12 =M12 I1 ∴ 코일 1에 대한 코일 2의 상호 유도 계수(Mutual Inductance) M12 를 다음과 같이 정의한다. or

M 의 단위 : H=V·sec/A (Henry)

o Coil 2 에 대하여 고려하면, - Coil 2 에서의 유도기전력 : - N2 회 감겼으므로,

12

1221

M

NI

1

12212

I

NM

dt

d 122

E

dt

dIM

N

IM

dt

dN

dt

dN 1

12

2

1122

1222

E

dt

dIM 1

122 E

dt

dI

dt

dI 21 21 EE

dt

dIM

N

IM

dt

dN

dt

dN 1

12

2

1122

1222

E

dt

dIM

N

IM

dt

dN

dt

dN 2

21

1

2211

2111

E

MMM 2112

dt

dIM

dt

dIM 2

11

2 and EE

o 역 상호 Inductance

- Coil 2에서 유도 기전력 E2가 유도 (Coil 2에서 전류 변화 발생 : E2 가 변화)

→ Coil 1에 기전력 E1 유도

※ 상호 유도는 두 코일의 기하학적인 모양과 상대적인 방향에 의존한다.

전류 I1 이 시간에 따라 변할 때 코일 2에 유도되는 기전력 전류 I2 가 시간에 따라 변할 때 코일 1에 유도되는 기전력

※ 상호 유도에서 한 코일에 유도되는 기전력은 항상 다른 코일의 전류 변화율에 비례한다.

⇒ 결국 두 Coil 사이의 전류의 시간 변화율은 같다

dt

dIM 2

211 E

“무선” 전지 충전기 예제 32.5

전동 칫솔의 손잡이는 사용하지 않을 때 받침대 위에 놓여 있다. 손잡이가 받침대에 놓이면 받침대 원통의 내부 솔레노이드의 충전 전류는 손잡이 내부의 코일에 전류를 유도한다. 이 유도 전류는 손잡이 안의 전지를 충전한다. 받침대를 전류 I가 흐르는 길이가 ℓ 이고 코일이 NB번 감기고 단면적은 A인 솔레노이드로 볼 수 있다. 손잡이 코일은 NH번 감기고 받침대 코일을 완전히 감싸고 있다. 이 계의 상호 유도 계수를 구하라.

- Solenoid + Coil (테슬라 코일)

- 길이 ℓ, 단면적 A, 감긴수 N1 인 Solenoid

- Solenoid에 밀접하게 N2회 감긴 Coil

IN

InB

00 Sol - Solenoid의 내부자기장 : cf )물질의 자기투자율 μ 로 대치

ANN

AIN

I

N

I

NM

00

- 이 자기장이 모두 Coil 내부를 통과 → Coil 을 지나는 자기 선속

AI

NBA

0

∴ 상호 인덕턴스 :

☆

cf ) 상호 유도 계수 Mutual Inductance :

- 두 Coil의 크기, 모양, 감긴수 등에 따라 다르다

- 두 Coil의 상대적 위치에 따라 다르다 (∵ 통과하는 자속의 양이 달라진다) → 두 Coil의 위치가 가까울수록 상호 인덕턴스가 커진다

- 철심등을 이용하여 μ(자기 투자율)을 변화시키면 M 값도 변화한다 → M 값은 실험값이다 cf ) 전류의 시간 변화율 - 일정한 시간 변화율이 주기적으로 반복 된다면

⇒ 교류 (Alternating Current Circuit) : 다음 Chapter

- 교류회로에서는 항상 Inductance가 발생한다 : 대체로 적은 양

(∵ 도선은 1회 감은 Coil로 간주한다)

- Solenoid or Coil에서 감은수 N 값의 증가

→ 큰 Inductance 발생 ⇒ "Inductor" or "Choke Coil"

dt

dI

)sin(or)cos( 00 tIItII

cf ) 비유도성 전선 (Non-Inductive Winding)

- 큰 유도 기전력 → (전류의 흐름을 방해하는) 방해 기전력

→ 저항처럼 작용! ⇒ 유도 리액턴스 “Induced Reactance"

⇒ 정밀한 저항체는 도선을 감아서 만든다 → 자체 Inductance 발생 : 전류 감소 (저항처럼 작용)

⇒ 이때 외부를 다른 도선으로 반대 방향으로 감아주면

순자력 선속을 상쇄시키게 된다 → Inductance 감소 : 비유도성 전선 "Non-Inductive Winding" cf ) 변압기에서는 교류 전류에 대한 Coil의 Impedance를 이용하여 전류를 조절한다 → 만일 변압기에 직류를 걸면, 변압기는 타버린다 (열 Energy 발생)

Aside) 일반적 풀이

32.2 RL 회로 (RL Circuits)

◎ R-L 회로 (R-L Circuit : 교재 설명)

- 솔레노이드와 같이 코일을 포함한 회로는 전류의 순간 적인 증가나 감소를 방해하는 자체 유도 계수를 갖는다. 자체 유도 계수가 큰 회로 소자를 인덕터(inductor)라 한다.

- 인덕터의 자체 유도 계수는 역기전력을 발생시키기 때문에 회로 내의 인덕터는 전류의 변화를 억제한다. (회로의 안정 유도)

- 처음에 회로에는 전류가 흐르지 않으며, S2 스위치가 a점에 연결되어 있는 상태에서 S1 스위치를 닫는 경우, 키르히호프의 법칙을 적용하면

0dt

dILIRE

dIdxIR

xLet ,E

0dtR

dxLx

tx

xdt

L

R

x

dx

00

tL

R

x

x

0

ln

"Equation Of Motion“ dt

dILIRVV LR E

LRtexx /

0

LRteR

IR

/EE

)1( / LRteR

I E

R-L 회로에서의 전류

o Define) 유도시간상수 (Inductive Time Constant)

- RL 회로의 시간상수(time constant)로서, 전류가 0에서부터 최종값의 약 63.2%가 되는 데까지 걸리는 시간

Aside) 전류가 나중 평형값이 되도록 스위치 S2가 충분히 오랜 시간 동안 점 a 에 놓여 있었다고 하자. 스위치가 a 에서 b 로 옮겨지면 전지가 연결되지 않은 오른쪽의 닫힌 회로가 된다. - 이 미분 방정식의 해는 위의 과정을 참조하여 풀면

// tt

i eR

eII E

),0,0(R

xIt o

E

0dt

dILIR

R

L

☆

R-L 회로 (R-L Circuit) Aside 32.2

32.3 자기장 내의 에너지 (Energy in a Magnetic Field)

◎ Inductance에 의한 Energy ⇒ 자기장내에 축적된 Energy

o 개념적 유도 cf ) 순간 에너지 = 일률 (Power)

- 인덕터를 포함하고 있는 회로의 전지는 인덕터가 없는 회로에서보다 더 많은 에너지를 제공해야 한다. 전지가 공급하는 에너지의 일부는 저항기에서 내부 에너지로 소모되며, 나머지 에너지는 인덕터의 자기장 내에 저장된다.

0dt

dILIRE

dt

dILIRII 2

E

전지에서 공급되는 에너지 저항에서 손실되는 줄열

인덕터에 주입되는 에너지

- 어느 순간에 인덕터에 저장된 에너지를 U 라고 하면 :

dt

dILI

dt

dU

II

IdILLIdIdUU00

2

21 LIU

))(2

1

2

1

2( 2

2

VCVQC

QU cf ) 축전기

o 물리적 유도 : cf ) 일률 (Power)

- Power (일률) :

- Inductance L, Current I, → - dt 동안에 한 일 dW : → 전류를 0 에서 I 까지 증가시키는데 필요한 일 = 전류 가 I 흐르는 inductor 내부의 축적된 에너지 (Potential Energy) cf ) 축전기의 Potential Energy :

IVcfI PP )E

dt

dILE

dt

dW

dt

dILI PP also

LIdIdtdW P

2

0 2

1LILIdIdWW

I

2

2

1LIUL

2

2

1CVUC

◎ Energy in a Solenoid (길이 ℓ, 단면적 A, 감은수 N ) - Solenoid 에서의 Self Inductance : - 전류 I 에 의한 자기장 : - PE in a Solenoid : - 인덕터의 자기장 에너지 밀도 또는 단위 부피당 저장되어 있는 에너지 - cf ) 전기장 E 의 Energy Density :

VnAN

L 2

0

2

0

IN

B

0N

BI

0

olumeSol VB

AB

N

BANLIU

0

2

0

22

0

2

02

222

1

2

1

0

2

2

B

V

Uu

olume

SolB

)2

1( 2

0EuE

인덕터의 에너지 예제 32.3

그림의 RL 회로에서 스위치 S2 는 a 의 위치에 있고 전류는 평형 상태 값을 갖고 있다. 스위치 S2 가 b 의 위치로 움직이면 오른쪽 회로의 전류는 시간에 따라 지수적으로 감소한다. 처음에 인덕터의 자기장 내에 저장된 모든 에너지는 전류가 영으로 감소함에 따라 저항기의 내부 에너지로 소비됨을 보여라. 오른쪽 회로를 고립계로 보고 풀어라.

풀이

LRt

i

LRt

i eRIReIRIdt

dE /222/2int )(

0

/22/2

0

2

int dteRIdteRIE LRt

i

LRt

i

22

int2

1

2ii LI

R

LRIE

☆

어느 순간에 저항기의 내부 에너지를 Eint 라 하자.

이 식을 t =0에서 t = ∞ 까지 시간에 대해 정적분하라. (좌변을 적분하면 전체 내부 에너지 변화량이 된다.)

동축 도선 예제 32.4

동축 도선은 스테레오 시스템과 같은 전기 장치를 연결하거나 TV 케이블 시스템에서 신호를 수신하기 위해 쓰인다. 그림과 같이 길이 ℓ, 반지름 a인 내부 원통과 반지름 b인 외부 원통으로 이루어진 동축 도선이 있다. 두 원통은 얇은 도체막으로 이루어져 있다. 각각의 도체에는 같은 크기의 전류 I가 흐르나, 외부 도체를 흐르는 전류는 내부 전류와 반대 방향이다. 이 도선의 유도 계수를 구하라.

풀이 rIB o 2/

drBBdAB

a

bn

I

r

drIdr

r

I b

a

b

aB 1

222

000

a

bn

IL B 1

2

0

두 도체 사이 공간에서의 자기장은

얇게 금색을 칠한 직사각형을 통과하는 자기선속은

Aside) 일반적 설명

32.5 LC 회로의 진동 (Oscillations in an LC Circuit)

◎ L-C 회로 (L-C Circuit) : 교재 내용 (Total Energy)

- 축전기가 인덕터에 연결되어 있는 회로를 LC 회로 (LC circuit)라 한다. - 회로의 저항이 0이고 에너지가 회로로부터 복사되지 않는 이상적인 경우를 가정하자. - 처음에 축전기가 최대 전하로 충전되어 있고, 스위치를 닫으면 회로에 전류가 흐르므로 인덕터에도 에너지가 저장된다. - 축전기에 저장되었던 전기장 형태의 에너지가 자기장 형태로 바뀌어 인덕터에 저장되고, 다시 자기장 형태에서 전기장 형태로 변환된다. - 이것은 마찰이 없는 이상적인 형태의 질량-용수철의 역학적인 진동과 비슷하다. 이 경우에는 위치에너지와 운동에너지의 변환 과정이다.

22

2

1

2LI

C

QUUU LCTot

- 계의 전체 에너지는 시간에 무관한 상수이므로 (저항이 없음) (cf ) 에너지 보존)

0

2

1

2

22

dt

dILI

dt

dQ

C

Q

LIC

Q

dt

d

dt

dUTot

02

2

C

Q

dt

QdL

01

2

2

QLCdt

Qd

)cos( tAx일반해 :

LC

1where, )cos(max tQQ

)sin(max tQdt

dQI

tQQ cosmax

tItQI sinsin maxmax

tLItC

Q

LIC

QUUU LCTot

22

max

22

max

22

sin2

1cos

2

2

1

2

1

2

max

2

max

2

1

2LI

C

Q

- 위상각 Φ 는 초기 조건으로부터 구할 수 있다.

- 에너지에 대해 알아보자.

- 이상적인 상태에서 회로의 진동은 무한히 지속된다. (실제, 회로의 저항이나 복사에 의해서 회로의 에너지는 지속적으로 감소)

◎ L-C 회로 (L-C Circuit) 에서의 내부 Energy :

- 회로의 내부 저항이 없다고 가정하면,

)(sin2

1)(cos

2

)(sin2

1)(cos

2

2

1

2

1

22

max

222

max

22

max

22

max

22

tQLtC

Q

tLItC

Q

LIC

QUUU LCTot

tItQI sinsin maxmax

-

- Capacitor에 저장되는 Maximum Energy (이때, 회로의 I = 0, C 에서의 Q = Qmax)

= Inductor에 저장되는 Maximum Energy (이때, 회로의 C 의 Q = 0, 회로의 I =Imax)

2

max

22

max

2

max

2

1

2

1,

2 maxmaxQLLIU

C

QU LC

2

max

22

max

2

max

2

1

2

1

2QLLI

C

Q

C

Qtt

C

QU

2)(sin)(cos

2

2

max222

max

z

F

LCf

6

2/1123

1000.1

)]1000.9)(1081.2[(2

1

2

1

2

LC 회로의 진동 예제 32.6

기전력 12.0V의 전지와 2.81mH의 인덕터와 9.00pF의 축전기가 연결된 LC 회로가 있다. 스위치를 a에 연결한 채 충분히 유지하여 축전기를 충전한다. 그 다음 스위치를 b에 연결하여, 축전기를 전지와 단절하고 인덕터와 직접 연결한다. (A) 회로의 진동 진동수를 구하라. (B) 축전기에 충전된 최대 전하와 회로에 흐르는 최대 전류를 구하라.

Sol

C

VFVCQ

10

12

max

1008.1

)0.12)(1000.9(

i) 회로의 진동수(주파수) : cf ) f 2

ii)

☆

(계속)

Aside)

iii) 시각 t 에서의 전하의 양 : iv) 시각 t 에서의 전류의 양 : v) 회로의 Total Energy :

)102cos(1008.1cos 610

max ttQQ

)102sin(1079.6sin 64

max ttII

JAH

LIC

QUTot

10243

2

max

2

max

1048.61079.61081.22

1

2

1

2

4

1016

maxmaxmax

1079.6

)1008.1)(102(

2

Cs

fQQI

o 이제 저항을 고려한 LC 회로를 생각하자.

- S1 On, S2 Off : C 는 초기 전하량 Q0로 대전

- S1 Off, S2 On : R-L-C 회로 작동

- By Kirchhoff's 2nd Rule (Loop Rule)

0 CLR

i

i VVVV

0C

QIR

dt

dIL Apply

dt

dQI

02

2

C

Q

dt

dQR

dt

QdL

"Equation Of Motion"

32.6 RLC 회로 (The RLC Circuit)

- 처음에 스위치 S1 에 연결하여 축전기를 최대 전하로 충전했다고 가정하자. 그런 다음 스위치를 S2 로 움직인다. 저항기에서의 에너지 변환 비율은

RIdt

dU 2

RIdt

dQ

C

Q

dt

dILI 2 02

2

2

IC

QRI

dt

QdLI

02

2

C

QIR

dt

QdL

)0(2

2

kxdt

dxb

dt

xdmteQQ d

LRt cos2/

max

02

2

C

Q

dt

dQR

dt

QdL

- 2차 미분 방정식은 감쇠 조화 진동의 경우와 동일한 형태임을 알 수 있다.

2

2

1

L

R

LCd

CLR /4)1( numberreal:d

CLR /4)2( 0d

CLR /4)3( numberimaginary:d

미급 감쇠(underdamped)

임계 감쇠(critically damped)

과감쇠(overdamped)

Ex) R-L-C 회로의 진동수가 감쇠하지 않는 진동수의 반이 되도록 하려면?

LCL

R

LC

1

2

1

2

1'

2

12

C

LR

3