PATRICIA LIMA SILVA DE CARLI

SISTEMAS DE AFINAO APLICADOS AOS INSTRUMENTOS DE AFINAO FIXA, OU

INSTRUMENTOS DE TECLADO

SO PAULO

2009

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UniFIAMFAAM PATRICIA LIMA SILVA DE CARLI

SISTEMAS DE AFINAO APLICADOS AOS INSTRUMENTOS DE AFINAO FIXA, OU

INSTRUMENTOS DE TECLADO

Trabalho apresentado disciplina Acstica Musical, do curso de Bacharelado em Composio, sob orientao do Professor Dr. Abel Lus Bernardo da Rocha.

SO PAULO

2009

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FICHA CATALOGRFICA

DE CARLI, Patricia L. S.

SISTEMAS DE AFINAO APLICADOS AOS INSTRUMENTOS DE AFINAO FIXA, OU INSTRUMENTOS DE TECLADO / Patricia Lima Silva De Carli. So Paulo, SP: [s.n.], 2009.

Orientador: Abel Lus Bernardo da Rocha

23 pginas.

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PATRICIA LIMA SILVA DE CARLI

OS SISTEMAS DE AFINAO APLICADOS AOS INSTRUMENTOS DE AFINAO FIXA, OU

INSTRUMENTOS DE TECLADO

Trabalho apresentado disciplina Acstica Musical, do curso de Bacharelado em Composio, sob orientao do Prof. Dr. Abel Lus Bernardo da Rocha.

________________________________ Prof. Dr. Abel Lus Bernardo da Rocha

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RESUMO

O presente trabalho visa abordar quatro diferentes sistemas de

afinao aplicados sobre instrumentos de afinao fixa, sobretudo em

instrumentos de teclado, mostrando o seu desenvolvimento ao longo dos

sculos, com as experincias realizadas por Pitgoras com o monocrdio. A

partir do sistema Pitagrico de afinao, ser demonstrado o processo de

desenvolvimento no que diz respeito afinao de instrumentos de teclado,

com diversas solues possveis para os problemas dos instrumentos de

afinao fixa, explicando o procedimento realizado nas afinaes natural,

mesotnica e tempera uniforme. Como pr-requisitos para o entendimento

deste trabalho, iniciaremos a primeira parte com a definio de conceitos

acsticos necessrios para a compreenso da abordagem dos quatro

sistemas de afinao.

Palavras-chave: Sistemas de Afinao; Sistema Natural; Pitgoras; Sistema Mesotnico; Sistema Temperado; Sistema pitagrico

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ABSTRACT

The current study aims to explain the four tuning systems applied on

instruments, specially the keyboards, by demonstrating its development since

VI b.C. century, with Pythagoras researches with the monochordon. Arising

from the Pithagoric tuning system, the different kinds of development in tuning

will be demonstrated through the most important systems of tuning in the

different musical historical periods, such as the natural system, the

mesothonic and finally the equal temperaments. The requirements for

understanding this work will be presented in the beggining, making an

approach on some important acoustic concepts needed for the

comprehension on the four tuning systems.

Keywords: Tuning Systems; Natural system; Pythagoras; Mesothonic system ; Tempered system; Pithagoric system.

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LISTA DE EXEMPLOS

EXEMPLO 1 - DIAGRAMA PARA A CONSTRUO DO SISTEMA MESOTNICO PADRO........................19

8

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - BNTERVALOS DA ESCALA PITAGRICA A PARTIR DE D................................................15 TABELA 2 - BROPORES DA ESCALA PITAGRICA SEM A RESOLUO DA QUINTA DO LOBO ..........16 TABELA 3 - BSCALA PITAGRICA, COM CORREES DA SOBRA DA COMA PITAGRICA....................16 TABELA 4 - BISTEMA DE AFINAO NATURAL UTILIZANDO INTERVALOS MAIORES E MENORES..........17 TABELA 5 - BOMPARAO, EM CENTS, DAS 3AS M.......................................................................18

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SUMRIO

INTRODUO 10

1. CAPTULO I CONCEITOS SOBRE AFINAO 11 1.1 OS TIPOS DE AFINAO 11 1.2 REPRESENTAO DOS INTERVALOS ATRAVS DE DIVERSAS UNIDADES DE MEDIDA 12

2. CAPTULO II TIPOS DE AFINAO 14 2.1 AFINAO PITAGRICA 14 2.2 AFINAO NATURAL 17 2.3 AFINAO MESOTNICA 18 2.4 AFINAO TEMPERADA 20 CONSIDERAES FINAIS BIBLIOGRAFIA

10

INTRODUO

Para iniciar um estudo sobre os sistemas de afinao necessrio,

primeiramente, situar-nos no contexto histrico, para que seja possvel

compreender qual foi a funo de cada um dos quatro principais sistemas

dentro da histria da msica.

A compreenso sobre o porqu dos diversos sistemas de afinao

surgidos ao longo de sculos se d a partir do momento que entende-se os

problemas decorrentes de cada um deles, que sero explicados e

solucionados ao longo deste trabalho. Para isso, sero abordadas algumas

unidades de medida necessrias para que os clculos sobre a diferena

entre os intervalos musicais que tornem claros.

Partindo de Pitgoras, com o estudo sobre as relaes matemticas e

musicais com o monocrdio, realizar-se- uma breve descrio no

desenvolvimento do sistema pitagrico, natural, mesotnico e temperado,

abordando os aspectos mais importantes de cada um deles. Em seguida,

sero apresentadas as respectivas solues propostas para resolver o

problema da afinao fixa dos instrumentos de teclado.

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1. CAPTULO I CONCEITOS SOBRE AFINAO

1.1 OS TIPOS DE AFINAO

O termo afinao possui uma srie de significados, podendo referir-se:

1) ao ajustamento da frequncia de uma nota de um instrumento

antes ou durante a execuo musical;

2) nota tomada como referncia para afinar certos tipos de

instrumento, como a trompa em F, clarinete em Bb;

3) encordatura de um instrumento como o violino, por exemplo,

que possui cordas afinadas em sol2/r3/l3/mi3;

4) afinao de barras, referente a construo dos instrumentos

denominados idiofones;

5) e, por fim, o termo afinao pode referir-se a um determinado

tipo de escalas construdas a partir de divises matemticas

dentro de um intervalo de 8a (HENRIQUE, 2007, p. 936).

Neste trabalho, sero explanados quatro tipos diferentes de afinao

possveis de serem realizados dentro de um intervalo de 8a. Os tipos aqui

abordados so denominados afinaes Pitagrica, Mesotnica, Natural e

Temperada. importante ressaltar que esses tipos de afinao dizem

respeito nica e exclusivamente seu emprego nos instrumentos de teclado,

pois estes possuem uma afinao fixa, ou seja, no tm a possibilidade de

alterar a afinao durante a execuo em virtude de uma limitao em sua

construo fsica. Devido a este fator, as diferentes afinaes possveis

dentro de uma 8a propem uma possvel soluo para que os instrumentos

de teclado possam acompanhar instrumentos de afinao semifixa ou livre.

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1.2 REPRESENTAO DOS INTERVALOS ATRAVS DE DIVERSAS UNIDADES DE MEDIDA

possvel notar as relaes intervalares utilizando unidades de

medida diversas. Neste trabalho sero brevemente abordadas as

representaes feitas atravs de nmeros fracionrios e de unidades como o

Savart e o Cent.

a) Nmeros fracionrios

Ao representarmos os intervalos musicais atravs de fraes,

tomamos como ponto de partida a relao proporcional entre cada um deles.

Ao afirmarmos que existe um intervalo com relao de 3/2, isto quer dizer

que este possui uma relao de 3:2 com uma nota especfica. Como veremos

mais adiante, no captulo 2, referente afinao pitagrica (p. 15), essa

relao representa o intervalo de 5a justa.

Confira a tabela abaixo, com a relao entre os harmnicos contidos

em cada intervalo natural:

8 5 4 3M 3m 2M 6M 7M 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 9/8 5/3 15/8

b) A unidade Savart

Introduzida por Felix Savart (1791-1841), esta unidade de medida de

intervalos construda tendo como base o logaritmo decimal de 2 achado a

partir do intervalo de 8. Em seguida, multiplica-o por 1000.

2/1 = 8a, logo, representando a oitava, utilizaremos o nmero 2.

log102 = 0,30103

0,30103 x 1000 = 301,03

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Portanto, em uma 8a existem 301 savart. Um tom temperado tem

aproximadamente 50 savart e, logicamente, o semitom possui 25 savart.

A converso de um intervalo acstico fracionrio em savart calculada

da seguinte maneira: determina-se o logaritmo decimal do intervalo acstico

multiplicando em seguida por 1000.

Tomemos como exemplo a seguinte equao: para encontrar, em

savart, o intervalo entre as frequncias 900 e 150 Hz, realizamos a operao:

900/150 = 6

log106= 0,778

0,778 x 1000 = 778 savart

c) A unidade Cent

Desenvolvida por Alexander J. Ellis (1814-1890), a unidade Cent

(representada pelo smbolo ) foi criada com o propsito de ser aplicvel a

um sistema de medidas que comportasse o clculo de intervalos inferiores ao

semitom. Utilizando a 8a como referncia, divide-se esta em 1200 partes

iguais (devido aos 12 semitons contidos na escala temperada), tornando-se

um sistema ideal e facilitado para definir as relaes intervalares dos diversos

sistemas de afinao relativamente ao temperamento igual (HENRIQUE,

2007, p. 929).

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Do Do# Re Mi b Mi Fa Fa # Sol L b La Si b Si Do

Relacionando as unidades de medida cent e savart, observamos que 1

cent 4 savart, pois 1200/301 4.

14

2. CAPTULO II TIPOS DE AFINAO

2.1 AFINAO PITAGRICA

O filsofo e matemtico grego Pitgoras (570 a.C. 496 d.C.), utilizou

um instrumento chamado monocrdio para realizar experincias sobre as

relaes matemticas proporcionais a partir de uma corda vibrante.

O monocrdio (derivado do latim monochordon, que significa

literalmente um fio) um instrumento composto por uma caixa de ressonncia, sobre a qual estende-se uma nica corda presa a dois cavaletes

mveis. No pode ser considerado como um instrumento musical, visto que

sua utilizao se reservou apenas para fins de treinamento e laboratrio.1

A partir da nota emitida pelo dedilhar da corda presa apenas aos

cavaletes (ou corda solta), Pitgoras comeou a estabelecer relaes

intervalares desta entre as notas obtidas atravs de propores matemticas

geradas ao criar novos pontos de diviso sobre a corda do monocrdio. Ao

dividir a corda ao meio, por exemplo, Pitgoras descobriu a relao intervalar

de 8a2, estabelecendo uma relao de proporo de 2:1. Ao dividir a corda

em trs e tocar a parte referente a 2/3 da corda (relao de 3:2), obtm-se o

intervalo de 5a, e assim por diante.

O clculo matemtico de Pitgoras resultou nas seguintes propores

(cf. tabela 1), originadas da construo a partir de 5as Justas (HENRIQUE,

2007, p. 950):

1 Novo Dicionrio Aurlio da Lngua Portuguesa, org. Aurlio Buarque de Holanda Ferreira, Nova Fronteira, Rio de Janeiro, 2 ed 2 O termo 8a ainda no era utilizado nessa poca, porm, para facilitar o entendimento, neste trabalho as referncias aos intervalos sero feitas de acordo com a sua nomenclatura moderna.

15

:

Tabela 1 - Intervalos da escala pitagrica a partir de d

Utilizamos o ciclo de quintas como ponto de partida da escala

pitagrica. importante ressaltar que, ao fim de uma grande sequncia de

intervalos, a frequncia do som obtido no ser um mltiplo inteiro da

frequncia do som de partida, mas sim ligeiramente superior (HENRIQUE,

2007, p. 949).

O clculo dessa sobra pode ser feito da seguinte maneira

(HENRIQUE, 2007, p. 949): Primeiramente calcula-se a sequncia de doze

5as referente a seu ciclo total. Para descobrirmos o valor de Hertz acrescidos

nesse tom transposto algumas oitavas acima, fazemos um clculo de diviso

dos Hertz obtidos nas doze sesses de 5a divididos pelo valor equivalente a 7

oitavas acima (27). O resultado aproximado desse clculo de 1,0137 Hz,

equivalente a 23,5 .

Sequncia de doze 5as:

(3/2)12 129,75

Sequncia de sete 8as:

27=128 129,75128 1,0137 (23,5 )

A diferena obtida ao transpor esta nota em sete oitavas acima, de

23,5 , denominada coma pitagrico, e equivalente a um intervalo entre

16

1/8 e 1/9 do tom. Esta defasagem de cents tambm percebida na 5 do

lobo, que menor exatamente 23.5 cent do que a 5 justa ou perfeita.

Na escala pitagrica s existem dois tipos de intervalos: o tom pitagrico (9/8) e o meio tom pitagrico [semitom, em portugus brasileiro] (256//243). (...) Meio tom pitagrico inferior metade de um tom, sendo a diferena igual ao coma pitagrico:

9/8 (256/243)2 = 531441/524288 1,0136 (23,5 )

(HENRIQUE, 2007, p. 950)

A tabela referente escala pitagrica sem a correo da sobra da

quinta do lobo a seguinte:

Nota D R Mi F Sol L Si D Intervalo a partir de D 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 Em Cent 0 204 408 498 702 906 110 1200

Tabela 2 - Propores da Escala Pitagrica sem a resoluo da quinta do lobo

Para resolver o problema do coma pitagrico que sobrava e causava

uma pequena desafinao na nota d3, criou-se dois semitons de tamanho

diferente: o diatnico com 90 e o cromtico com 114 (a diferena entre

eles de 24 ). O tom pitagrico (204 ) no corresponde nem ao semitom

cromtico, nem ao semitom diatnico, mas sim, a soma dos dois (204 = 90

+ 114 ), resultando em sua anulao, necessria para que o coma

pitagrico no causasse a desafinao que foi demonstrada anteriormente.

Logo, a escala pitagrica ser da seguinte maneira, ao aplicar as

correes da sobra da coma pitagrica:

Nota Do Re Mi Fa Sol L Si Do Intervalos acsticos adjacentes

9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Cent 204 204 90 204 204 204 90

Tabela 3 - Escala Pitagrica, com correes da sobra da coma pitagrica

3 Tendo em vista que a escala, nesse caso, no construda a partir de 8as (que so sempre afinadas entre si) como os outros sistemas de afinao citados neste trabalho, mas sim, a partir de 5asJ.

17

2.2 AFINAO NATURAL

O sistema de afinao natural, concebido por Giseffo Zarlino no sculo

XVI, construdo tendo como base razes de nmeros inteiros, constituintes

da srie harmnica. Ao construir uma escala natural diatnica devemos

ordenar os sons dos harmnicos adjacentes de um determinado som.

Observamos, na escala natural, dois tipos diferentes de tom: o tom

maior, com seus 204 cent, e o tom menor, correspondente a 182 cent. O

semitom no equivale ao dobro de ambos os tons, pois este corresponde a

112 cent. (HENRIQUE, 2007, p. 951)

Nota Do Re Mi Fa Sol L Si DoIntervalosacsticosadjacentes 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15Cent 204 182 112 204 182 204 112

Tabela 4 - Sistema de Afinao natural utilizando intervalos maiores e menores

Classificam-se como intervalos naturais consonantes os de relaes

simples, tais como os de 8 (2/1), os de 5 (3/2) e os de 4 (4/3). Os intervalos

de 8 so considerados os mais perfeitos. Os intervalos de 4 e 5

apresentam uma perfeio ideal, e por este motivo no se designam por

maiores ou menores, e sim por intervalos justos ou perfeitos.

Foram construdos rgos com teclados que permitiam a execuo em

afinao natural em diversas tonalidades. No entanto, cada teclado poderia

ter pelo menos 53 teclas por 8a. S assim seria possvel fazer com que as

diversas tonalidades soassem como consonncia (HENRIQUE, 2007, p.

952).

Nota-se certas semelhanas e diferenas ao compararmos os

intervalos dos dois tipos de afinao:

Os intervalos de 5a natural e pitagrica, alm de serem muito

similares, diferem em apenas 2 cent da 5a temperada, o que

praticamente imperceptvel para um ouvido humano.

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A 3aM natural representada pela frao 5/4 (1,25),

enquanto a 3aM pitagrica corresponde relao de 81/64

(1,26).

A diferena entre as 3as dos diferentes tipos de afinao podem ser

notadas, em cent, como:

Intervalo Cent 3 Maior Pitagrica 408 3 Maior Natural ou pura 386 3 Maior Temperada 400

Tabela 5 - Comparao, em cents, das 3as M

A diferena entre a 3 Pitagrica e a 3 Natural (correspondente a 21.5

cent) denominada coma sintnico. A diferena entre o coma sintnico (21,5

cent) e coma pitagrico (diferena entre o valor do tom pitagrico e o

semitom pitagrico correspondente a 23.5 cent) denomina-se schisma (1,95

cent).

Pelo fato de os intervalos de 3a (e seu correspondente 6a) da escala

natural poderem ser maiores ou menores, passaram a ser considerados

como consonncias imperfeitas.

2.3 AFINAO MESOTNICA

Utilizado na Europa durante os sculos XVI e XVII, o temperamento

mesotnico (tambm denominado como temperamento de tons medianos)

visava valorizar o tamanho das 3as naturais ou puras por toda a escala,

aplicando-as de forma exequivel e eficiente nas msicas compostas para

instrumentos de teclado, que, neste sculo, estavam no auge de seu

desenvolvimento.

Podemos observar que uma sequncia de quatro 5as perfeitas resulta

em uma 3aM pitagrica.

19

d sol r l mi d - mi (3a M)

Este intervalo um coma sintnico (21,5 ) maior do que a 3a natural.

Para igualar esses intervalos sem que ocorra essa sobra, necessrio

encurtar cada uma das quatro 5as em do coma sintnico, correspondente a

5,4 cent, distribuindo essa defasagem de forma equilibrada.

A representao grfica da construo da escala mesotnica pode se

dar da seguinte forma:

Exemplo 1 - Diagrama para a construo do sistema mesotnico padro.

Este , portanto, um sistema linear no qual o ltimo intervalo (Sol#- Mib) est excessivamente desafinado, provocando uma sonoridade desagradvel como um 'uivar de lobo', gerando da o seu nome: quinta de lobo. A forte caracterstica de sua estrutura, a produo do intervalo da tera maior pura, perfazendo um total de oito, a saber: Mib/Sol, Mi/Sol#, F/L, Sol/Si, L/D#, Sib/R, D/Mi, R/F# (HORA, s/a, p. 51).

importante frisar que esse sistema de afinao, apesar de valorizar o

intervalo de tera, restringe seu uso a algumas tonalidades apenas (Sib, F,

D, Sol, R e L, alm de suas relativas menores).

20

preciso ressaltar que no existe um nico sistema mesotnico. Os

outros mudam em relao ao valor do coma sintnico, podendo ser 2/7, ,

1/3 de coma, entre outros. importante ressaltar que o tamanho das 3as M

possui uma grande importncia nesse sistema, tendo em vista que este

intervalo a base de sua construo.

2.4 AFINAO TEMPERADA

O sistema temperado surgiu para solucionar os problemas dos

sistemas anteriores e outros, que no comportavam a afinao at um certo

ponto. Os problemas se resumem impossibilidade de haver transposio e

modulao no decorrer da execuo de determinada pea, fato que limitava a

utilizao de instrumentos de teclado (afinao fixa), bem como a valorizao

dada a certo intervalo de acordo com a escala utilizada.

A base deste sistema implica em dividir a 8a em 12 partes idnticas.

Como a 8a no foi, em nenhum dos sistemas apresentados anteriormente,

dividida dessa maneira, lgico afirmar que, ao mudarmos de 8a, cada vez a

afinao se distanciar mais do que deveria ser, causando, portanto, os

problemas que impedem que seja possvel realizar a execuo em diversas

tonalidades em um instrumento de afinao fixa, tal como os instrumentos de

teclado.

Ao sobrepormos trs 3as M naturais, como por exemplo: lab, do, mi,

sol#, obtemos um intervalo um pouco menor do que uma 8a, ao passo que,

ao sobrepormos quatro 3as m naturais, como, por exemplo, sol#, si, re, fa, lab,

obtemos um intervalo maior do que uma 8a. Essa diferena denominada

diesis maior, enquanto que a outra se chama diesis menor. Veja a lgica a

seguir:

DIESIS MENOR:

(5/4)3 = 125/64 1,95

21

diferena para uma 8a: 2/1,95 = 1,02 (41,1 )

DIESIS MAIOR:

(6/5)4 = 1296/625 = 2,07

diferena para uma 8a: 2,07/2 = 1,03 (62,6 )

Valor de cada intervalo: 122

O temperamento igual implica em dividir a 8a em 12 partes idnticas,

resultando em 12 semitons temperados. Esse tipo de afinao resolve o que

os tipos vistos anteriormente no resolveram, ou seja, distanciar-se da

tonalidade sem perder a afinao, tornar possvel a execuo em 12

tonalidades diferentes e possibilitar a modulao.

Consequentemente, a diviso feita dessa maneira faz com que as 5as

tenham de ser diminudas a 1,96 . Logo, o coma pitagrico (23,5 ) passa a

ser distribudo de maneira uniforme pela sequncia das doze 5as presentes

em um intervalo de 8a. O resultado dessa desafinao faz com que as 5as

temperadas sejam 1,96 menores e as 3as M so 14 maiores que esses

intervalos afinados no sistema natural.

O semitom, no sistema temperado, corresponde a 1,05946 em

nmeros decimais, tomando como ponto de partida a frequncia

convencionada como diapaso l3 = 440Hz. A partir desta frequncia que

os demais intervalos sero obtidos.

22

CONSIDERAES FINAIS

Pudemos constatar, ao longo deste estudo, que de fundamental

importncia o estudo sobre os diversos sistemas de afinao, tendo em vista

o desenvolvimento da msica atravs de sculos.

Atravs desse estudo possvel recriar a sonoridade de msicas que

foram compostas em perodos em que no havia a possibilidade de registrar

um som, proporcionando assim uma realizao mais realstica da msica

antiga.

Com o sistema tempera uniforme, foi possvel resolver grande parte

dos problemas de afinao decorrentes dos sistemas anteriores. Com a

padronizao dos intervalos de semitom, foi possvel realizar composies

cada vez mais elaboradas e complexas para serem executadas nos

instrumentos de teclado, podendo utilizar-se de modulaes e transposies.

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BIBLIOGRAFIA

Artigos

Sistemas de Afinao: um apanhado histrico. S/l, 2009. Disponvel em: . Acesso em 10 abr. 2009.

A afinao mesotnica do sculo XVII e sua aplicao prtica. Campinas, s/a. Disponvel em: . Acesso em 26 mar. 2009.

Livros

HENRIQUE, Luis L. Acstica musical. Lisboa: Fundao Calouste Gulbenkian, 2003.

MANCINI, Orlando M. M. O estudo de Elementos Terico-Musicais com o Auxilio do Microcomputador. So Paulo: (s/Ed), 2001.