Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
55
математикA за VIII разред основне школе
35. 1) Нацртај два једнакокрака троугла чије су основице заједничка дуж. Потом направи модел диедра и нацртај његов угао.
2) Нацртај круг. Од модела круга направи диедар чији је угао прав.36. Тачка M припада једној страни диедра и удаљена је 6 cm од ивице диедра. Израчунај рас-
тојање тачке M од друге стране диедра, ако је угао диедра:1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.
37. Тачка A у унутрашњости правог диедра, по 4 cm је удаљена од страна тог диедра. Колико је тачка A удаљена од ивице тог диедра?
38. У области диедра αpβ чији је угао 60° дата је тачка M, удаљена од страна тог диедра 8 cm. Колико је растојање тачке M и праве p?
39. Права a припада једној страни диедра и паралелна је ивици на растојању 8 cm. Права b припада другој страни диедра и паралелна је ивици на растојању 4 cm. Израчунај рас-тојање правих a и b ако је угао диедра:1) 90°; 2) 60°; 3) 30°.
40. Два једнакокрака троугла ABC и ABD су стране диедра, а заједничка основица AB = 16 cm. Ако је AC = 10 cm, AD = 4 13 и угао диедра 60°, израчунај растојање тачака C и D.
3.4. Ортогоналне пројекције тачке, дужи и праве на раван. Угао праве и равни
У истој равни дата је права p и неке тачке (сл. 38).
Слика 38
B=B'
A
A'N '
N
M 'C'
C
M
n
p
Из сваке од датих тачака нацртана је нормална права на праву p. За тачку M´ која је пресек праве n (n ⊥ p) и праве p, каже се да је ортогонална (нормална) пројекција тачке M на праву p. Тачке A´, C´, N´ и B´ су нормалне пројекције тачака (редом) A, C, N и B на праву p.41. Нацртај неку праву и неке тачке у истој равни. Одреди нормалне пројекције тих тачака
на ту праву.
56
42. 1) Дуж AB и права p су у истој равни (сл. 39).
Слика 39
B BB
A
A
A' M' B' A'=B'
A
M
1) 2) 3)
p
n
n⊥p
У случају 1) дуж A´B´ је нормална пројекција дужи AB на праву p. Нацртај нормалну пројек-цију дужи AB на праву p у случају 2). У трећем случају нормална пројекција дужи AB на праву p је тачка, јер је права n нормална на правој p.
2) Нацртај дуж AB и праву p у истој равни, и нека је AB p. Нормална пројекција A´B´ на праву p је једнака (подударна) дужи AB. Образложи то тврђење.
3) Нацртај праву p и праву a:а) која сече праву p;б) која је паралелна с правом p. Одреди нормалну пројекцију праве a на праву p.
43. 1) На слици 40 приказана је раван α и квадар. Тачке A, B, D су у равни α. Тачка F није у равни α. Права n ⊥ α. Тачка F´ је нормална пројекција тачке F на раван α (F´ ≡ B). Такође, тачка D је нормална пројекција тачке H на раван α, јер је HD ⊥ α. Образложи.
Слика 40
α
α
AB
n
E
H
D
β
C
O
F
F '
57
математикA за VIII разред основне школе
Уопште:Нормална пројекција тачке M на раван α одређује се на тај начин што се прво одреди права n нормална на раван α, која садржи тачку M (сл. 41). Пресек (продор) праве p и равни α је тачка M´. Тачка M´ је нормална пројекција тачке M на раван α.
α
AA'M'
M
n
s
s ⊥ α
n ⊥ α
M ∉ α
A' ∈ αA ∈ α
Слика 41
2) Пројекција дужи BH на раван α је дуж BD (сл. 40).*Уопште:Пројекција дужи на раван је дуж или тачка (сл. 42). а) AB α; б) AB α; в) AB ⊥ α. n1 ⊥ α, n2 ⊥ α, r ⊥ α, s ⊥ α
α
A
BB
BA
A
A'
n1 n2
s
r
B'B'A'
A'≡B'
M'
Ma) б) в)
Слика 42
* Даље се увек ради о ортогоналној (нормалној) пројекцији, па се то не истиче.
58
– У случају а) пројекција дужи AB на раван α је дуж A´B´. Тачке A´B´ и M´ се одређују као продорне тачке нормалних правих n1, n2 и r на раван α.
– У случају б) дуж AB и њена пројекција A´B´ су подударне.– У случају в) пројекција дужи AB је тачка A´ ≡ B´.
3) Пројекција праве BH на раван α је права BD (сл. 40). Угао β који гради права BH и њена пројекција BD у равни α, јесте угао праве BH и равни α.
Угао између праве p и равни α је угао који гради права и њена пројекција у тој равни (сл. 43). Тачка A је пресечна тачка праве p и равни α. Њена пројекција у равни α је тачка A´. Пројек-ција тачке M на раван α је тачка M´. Права p´ је пројекција праве p у равни α. Угао β који гради права p и њена пројекција у равни α, јесте угао између праве p и равни α.
Слика 43
α
p
n
p'A
A'
М
М'β
44. 1) На моделима уочи праву и дуж и њихове пројекције на неку раван.2) Квадрат ABCD и једнакостраничан троугао MBC имају заједничку страницу BC и чине
диедар. Нацртај:а) Пројекцију тачке M на раван квадрата.б) Угао висине MN троугла MBC и равни квадрата.
45. 1) Права одређена тачкама A и B гради са правом p угао 30°. Ако је AB = 6 cm, израчунај дужину пројекције дужи AB на правој p.
2) Израчунај дужину пројекције дужи AB = 20 cm на раван α, ако су растојања тих тачака од равни: (A, α) = 19 cm; (B, α) = 3 cm.
46. 1) Дуж a са равни α образује угао 60°. Израчунај пројекцију дужи a на раван α.2) Пројекција дужи AB на раван α је 4 cm, а права AB и раван α образују угао:
а) 45°; б) 60°; в) 30°.Израчунај дужину дужи AB.