Embed Size (px)
Citation preview
114 математика за 5. разред основне школе
6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву.
Осна симетрија фигуре
У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских објеката дати су на слици 1.
► Слика 1.
1) 2)
9060
300
120
150
180A
C
0 B
D
C
M
M’A
B
C’
D
B
C
E’
EA
a
M
a
a
a
• На слици 2 приказан је правоугаоник АBCD чије су дужине страница 7 cm и 5 cm. Исецањем модела правоугаоника и пресавијањем око праве s, поклопиће се његови различито обојени делови.
► Слика 2.
BM’
Q
A
s P EF
D
5 cm
7 cm
CM
Слика 2AP = PD = 2,5 cm BQ = QC = 2,5 cmТачка D се поклапа са тачком А, тачка С са тачком B, али и обратно. Такође, нека тачка М се поклапа с неком одговарајућом тачком М′ (читај: „ем-прим”), или обратно М′ се поклапа с тачком М. Све ово се краће записује овако:
A D, B C, M M′ итд.Тачке P, Q, E, F (и друге) које припадају правој s, каже се да, су непокретне, тј. оне се „покла-пају – свака сама са собом”, што записујемо:
P P, Q Q, E E итд.*Све што је речено за дати правоугаоник може се урадити са било којом фигуром приказаном на слици 1.
115ОСНА СИМЕТРИЈА
1. За неку од тих фигура направи модел и изврши пресавијање („пресликавање”), а за неке тачке то и запиши.Уопште, нека су дате неке тачке равни и нека права s као њен подскуп(*) (слика 3).
► Слика 3.
T’
An
C M¶1 ¶2
P
s
F
mTA’
E
N
Q
Оσ
Права s дели раван на две полуравни π1 и π2. Исецањем и пресавијањем модела равни око пра-ве s (осе), полураван π1 се поклапа с полуравни π2 (π1π2), и обратно (π1 π2). Тачка А А′ као и свака тачка прве полуравни поклапа се тачно са једном тачком друге полуравни, и обратно.Како за неку дату тачку равни одредити њену слику А′, при савијању ових полуравни око осе s?Права ns и An лако се црта лењиром, као што је приказано на слици 3. Пресек осе s и праве n (sn = {О}) је тачка О (Оs). Тачка А′ се добија тако што се пренесе дуж ОА = ОА′, тј. кружница k(О, ОА) сече праву n у тачки А′.За сваку тачку равни (С, М,... Т, F,...) одређује се слика на исти начин као што је то урађено за тачку А. Одређујемо тачку Т′ слику тачке Т (погледај слику 3).Права ms и TN = NT′, тиме је тачка Т′ одређена.Права s се назива оса симетрије.Свака тачка осе s (P, N, Q, O, E,...) пресликава се у себе саму.Тачка А′ је симетрична тачка тачки А, у односу на праву s, а такође и тачка А је симетрична тачки А′ у односу на праву s. Тачка О је средиште дужи АА′.
2. Нацртај праву и три дате тачке. У односу на ту праву, као осу симетрије, одреди слике датих тачака.
3. 1) На квадратној мрежи одреди симетричне тачке за тачке А, В, Т, М, Е у односу на осу s (слика 4).
2) Шта је слика дужи АВ?
► Слика 4.
B
A M
T
E
B
C D
Am
1)
a)
BC
m
DA2)
б)
α
F
Ex
y
s
T M О
s
(*) У даљем раду се разматрају само геометријски објекти у равни.
116 математика за 5. разред основне школе
4. Нека је права p оса симетрије. Одреди слику праве q која:1) сече праву p; 2) је паралелна правој p; 3) је нормална на праву p.
5. Одреди слике дужи АВ и СD у односу на осу симетрије m (слика 5).
► Слика 5.
B
A M
T
E
B
C D
Am
1)
a)
BC
m
DA2)
б)
α
F
Ex
y
s
T M О
s
6. Дат је угао α и права s. Нацртај слику угла α ако је права s оса симетрије (слика 6).
► Слика 6. ► Слика 7.
B
A M
T
E
B
C D
Am
1)
a)
BC
m
DA2)
б)
α
F
Ex
y
s
T M О
s
BST C
C’X’
s Q
A
PX
O
BA
D C
B
A
CD
p
7. Троугао АВС пресликај у односу на праву s као осу симетрије (слика 7). Објашњење:CC′s и OC = OC′XTs и TX = TX′ итд.Слика ∆АВС је ∆А'В'С' (∆АВС ∆А′В′С′)Свака тачка Х троугла пресликава се у симетричну тачку Х′ у односу на праву s.
8. Дат је правоугаоник АВСD. Права ВС је оса симетрије. Нацртај слику датог правоугаоника.
► Слика 8. ► Слика 9.
BST C
C’X’
s Q
A
PX
O
BA
D C
B
A
CD
p
BST C
C’X’
s Q
A
PX
O
BA
D C
B
A
CD
p
9. Дати квадрат АВСD пресликај у односу на праву p (слика 9).10. Дата је кружница k(О, r). Нека је њена тангента t оса симетрије. Нацртај слику кружнице
k (слика 10).
117ОСНА СИМЕТРИЈА
► Слика 10.
tυ
k M
O
B A
C
X
s
s
1) 2)
BE
A
C
У задатку 9 пресликали сте квадрат ABCD. Изрежи тај квадрат и његову слику, а затим покажи да се они могу поклопити. Уради то и за два осносиметрична троугла, правоугао-ника. Може се закључити:
Фигура и њена слика у односу на дату осу симетрије се поклапају (подударне су).
11. Дат је троугао АВС и оса симетрије s. Нацртај слику датог троугла (слика 11).
► Слика 11.
tυ
k M
O
B A
C
X
s
s
1) 2)
BE
A
C
12. Права s је оса симетрије. Нацртај слику дате фигуре (слика 12).
► Слика 12.
4)3)2)1)s s s s
B
C
1
s
1
s
1
s
2
s
2
s
2
s
A
1) 2)
13. Праве s1 и s2 су међусобно нормалне (s1s2). Изломљену линију АВС пресликај:1) у односу на s1 као осу симетрије;2) у односу на s2 као осу симетрије (слика 13).
118 математика за 5. разред основне школе
► Слика 13.
4)3)2)1)s s s s
B
C
1
s
1
s1
s
2
s
2
s
2
s
A
1) 2)
14. Праве s1 и s2 су осе симетрије. Сваку од обојених фигура пресликај најпре у односу на s1 а за-тим у односу на s2 (слика 14).
► Слика 14.
4)3)2)1)s s s s
B
C
1
s
1
s
1
s
2
s
2
s
2
s
A
1) 2)
• Већ сте уочили да неке фигуре имају осу симетрије (слика 1 и слика 2). Уочимо правоугаоник и квадрат и праве p и q (слика 15).
pАВ АО = ОВ = 3 cm AO = OD = 3 cm qAD
► Слика 15.
x
x
D
D1) 2)
A
A6 cm
6 cm
p
4 cm
C
C
q
B
B
x’
x’
O
O
Слика 15Пресавијањем правоугаоника око праве p, поклопиће се тачке А и В, а такође тачке D и С и тачке Х и Х'; дуж АО и дуж ОВ, дуж АD и дуж ВС итд.То поклапање (пресликавање) једне половине правоугаоника на другу, у односу на праву p, краће се записује: p p p
А В, Х Х', АD ВС, итд.Права p, која има таква својства у односу на правоугаоник, назива се оса симетрије право-угаоника. Пресавијањем датог квадрата око праве q, извршиће се пресликавање квадрата АВСD на самог себе, па је права q једна његова оса симетрије.
q q q qЗаиста, А D, В С, Х Х', DС АВ, итд.
119ОСНА СИМЕТРИЈА
Приметимо да је оса симетрије правоугаоника (квадрата) нормална на одговарајуће страни-це и полови те странице (дели их на два једнака дела).У овим случајевима, биће: АО = ОВ и АВp (АО = ОD и АDq).
15. Нацртај и исеци модел правоугаоника и квадрата, па утврди да:1) правоугаоник има две осе симетрије;2) квадрат има четири осе симетрије у равни.(*)
Ако се нека фигура F пресликава у саму себе у односу на неку праву s, кажемо да је фигура F осносиметрична, што записујемо: s
F F. Права s је њена оса симетрије.16. Разматрај фигуре са слике 1, па одреди број оса симетрије за сваку од њих.17. Да ли постоје фигуре које немају осу симетрије?
Одговор је потврдан. Постоје! Ево примера (слика 16):
► Слика 16.
6 cm
1) 2)
AA B
B
CC D5 cm
3 cm
Слика 16
Приказане фигуре нису осносиметричне!18. Фигуре имају осу симетрије (слика 17). Покажи да је то тврђење тачно.
► Слика 17.
B BA A
CC
b b
5 cm 5 cm
5 cma
1) 2) 3)
s
3) *
D
M
1) 2)
1) 2)
B
C
D
A
k1 k1
k2
k2O1
M MO1O2O2
19. Одреди осе симетрије за фигуре приказане на слици 18.
► Слика 18.
B BA A
CC
b b
5 cm 5 cm
5 cma
1) 2) 3)
s
3) *
D
M
1) 2)
1) 2)
B
C
D
A
k1 k1
k2
k2O1
M MO1O2O2
20. Нацртај кружницу (круг) и покажи да та фигура има више оса симетрије. Колико?21. Одреди осе симетрије за фигуре (слика 19). (Тачка М је додирна тачка).
(*) Истакнимо још једанпут да разматрамо само фигуре у равни!
*
120 математика за 5. разред основне школе
► Слика 19.
B BA A
CC
b b
5 cm 5 cm
5 cma
1) 2) 3)
s
3) *
D
M
1) 2)
1) 2)
B
C
D
A
k1 k1
k2
k2O1
M MO1O2O2
22. Нека је дата права а. Да ли права има осу симетрије? Одговор: права а има више оса симетрије.Одредимо једну осу симетрије (слика 20).Нека Аа.Нацртајмо праву sа. Свака тачка Х праве а пресликава се у тачку Х′, тако да је ХА = АХ′.
► Слика 20.
XA
s
M’
a
M
X’
s sТачка М М′, за сваку тачку Ха, важи Х Х′.Закључак:Свака тачка Х праве а пресликава се у неку тачку Х′ те праве у односу на праву s, па је права s једна оса симетрије дате праве а.Нацртај још неку осу симетрије праве а. Какав закључак можеш извести у погледу броја оса симетрије дате праве?
23. Неки геометријски објекти се користе као саобраћајни знаци (слика 21). Који од тих знакова су осносиметрични?
► Слика 21.
*
