3.5_Comparando_calculos_y_modelos

8/17/2019 3.5_Comparando_calculos_y_modelos

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Comparando cálculos y modelos

La idea de comparar cálculos y modelos hace referencia al estudio de la

relación existente entre las dos nociones fundamentales de la Lógica, la consecuencia

semántica y la derivabilidad formal. Como ya sabemos, tanto una como otra

constituyen definiciones alternativas de la misma relación, la de consecuencia. Se trata

pues, de determinar de manera efectiva si realmente estamos ante dos definiciones

alternativas de la misma entidad, o ante dos relaciones distintas aunque emparentadas

de un cierto modo. Indirectamente, obtendremos un análisis de los recursos formales y

cognitivos que se ponen un funcionamiento en cada caso.

La comparación entre la derivabilidad formal y la consecuencia semántica se

resuelve en el estudio de dos propiedades que ya hemos introducido al discutir la

Lógica de nunciados Clásica !cfr." cap. #.$%. Se trata de

&'( i. Corrección" )n cálculo S es correcto en relación a una clase * de

modelos o estructuras syss para cada con+unto de fórmulas y para

cada fórmula - sucede que"

- Si S -, entonces * -.

ii. Completitud (fuerte)" )n cálculo S es completo en relación a una

clase * de modelos o estructuras syss para cada con+unto de

fórmulas y para cada fórmula - sucede que"

- Si * -, entonces S -.

La referencia a estructuras no debe provocar aqu especiales problemas. /or

estructura, o incluso por sistema, no se entiende en este contexto nada muy distinto de


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Lógica de Primer Orden

lo que aqu hemos denominado modelo. 0e querido introducir algo más de

terminologa porque no es infrecuente encontrar obras en las que estas expresiones

son sistemáticamente empleadas.

- diferencia de lo que suceda en el captulo anterior, en el que anali1ábamos

resultados que no guardan entre s una relación aparente, lo que nos proponemos en

este nuevo captulo s parece estar dotado de una cierta unidad. 2uestro ob+etivo

parece estar claro esta ve1" se trata de resolver todas nuestras dudas acerca del

equilibrio existente entre el cálculo !la derivabilidad formal% y los modelos !la

consecuencia semántica%. sto no debe servir para suponer una conexión entre las

demostraciones de una y otra propiedad, demostraciones que ciertamente son

bastante independientes entre s.

La formulación de la corrección y la completitud !más adelante quedará claro

por qu3 a4ado el ad+etivo fuerte% ofrecida en &'( hace especial hincapi3 en citar de

manera explcita los dos elementos que se requieren para definir las relaciones que se

están comparando. *e refiero a un cálculo S y a una clase de modelos *. 5e este

modo, nunca estaremos tentados a atribuir sólo a una de las clases de recursosinvolucrados la posesión de una de esas propiedad. sta aclaración es necesaria en la

medida en que es muy com6n afirmar que tal o cual cálculo es correcto o completo sin

citar de forma explcita la clase de modelos con respecto a la cual se establecen esas

propiedades. l resultado indirecto de esta manera de actuar es la concesión de una

primaca, epistemológica, al menos, a la construcción de la clase de modelos * con

respecto a los cuales se mide despu3s la adecuación del cálculo. -s las cosas,

corrección y completitud seran propiedades que establecen, prima facie, la

adecuación de un cálculo con respecto a una clase de modelos ya existente. sa clase

de modelos debera go1ar, entonces, de una motivación independiente capa1 de

aportar la adecuación del análisis que ofrece de las constantes lógicas del lengua+e y,

presumiblemente, del comportamiento de la noción de verdad. sta observación

desencadenó hace unos a4os una cierta pol3mica que, muy posiblemente, no es sino

un nuevo episodio en el continuo debate acerca de qu3 es primero, si los recursos del

cálculo o los empleados en los modelos.

#


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La forma de proceder adoptada en &'( pretende ser neutral en esta pol3mica

admitiendo que existen buenos e+emplos de prioridad epistemológica tanto en el

terreno de los sistemas deductivos como en el de los modelos. /or tanto, es posible

hallar lógicas !en el sentido del t3rmino que aqu se ha discutido en #( cap.#.$% en

las que la corrección y la completitud eval6an la adecuación del cálculo y otras en las

que es posible entender que lo que se anali1a es la adecuación de los modelos.

La discusión de la corrección y la completitud muestra siempre un balance muy

desequilibrado a favor de la segunda de ellas. La demostración de la completitud es

considerablemente más comple+a y proli+a que la de la corrección. sto aconse+a, por

si sólo discutir en primer lugar la corrección para pasar a continuación a la completitud.

/ero existe, además, otra ra1ón que suele influir en que se proceda de esa forma" no

hay sistemas deductivos incorrectos. 5icho de otra forma, la comprobación de la

corrección de un cálculo con respecto a una clase de modelos previamente

seleccionada es condición necesaria para considerar que estamos ante un genuino

producto lógico y no ante un ensayo fallido.

Corrección del Cálculo Clásico para la Lógica de /rimer 7rden. La corrección es una

propiedad que, como ya he advertido en más de una ocasión suele asimilarse con otra

que ya ha sido establecida para L/7" la consistencia. s frecuente afirmar, por

e+emplo, que un cierto cálculo es consistente porque no prueba ninguna fórmula falsa

!se entiende que respecto a una cierta clase de modelos o interpretaciones%.

Seguramente hay ra1ones que +ustifican esta forma de hablar que aqu, pero tampoco

es raro ver en ello una confusión fácil de deshacer.

La consistencia anali1a el carácter no trivial de un cálculo. 0emos visto que,

ba+o los supuestos que aqu se han asumido, esto es algo que equivale a afirmar que

un cálculo nunca demuestra una fórmula y su negación. /ero esos mismos supuestos

permiten afirmar en este caso que si un sistema deductivo es inconsistente, entonces

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es incorrecto. /ero es más, podemos expresar esta tesis en forma de un teorema

trivial"

( 9eorema" Si la derivabilidad formal caracteri1ada para L/7 por un

sistema S resulta ser correcta con respecto a la clase de todos los

modelos * para LC, entonces esa misma relación es :simplemente;

consistente.

squema de la demostración. Sea S el cálculo elegido para representar

la derivabilidad formal en L/7. Si S es simplemente inconsistente

entonces existe una fórmula - tal que S - y S . /or tanto, - no es una verdad

lógica con respecto a la clase de modelos de la que se extrae µ.

La afirmación inversa no se puede establecer del mismo modo. s decir, que

un cálculo no pruebe nunca una fórmula y su negación no basta para garanti1ar un

equilibrio idóneo entre sus teoremas y las verdades lógicas de una cierta clase de

modelos.

?5e qu3 forma puede un sistema deductivo probar fórmulas que no son

verdades lógicas o, en general, argumentos que no son válidos@ /arece evidente que

algo seme+ante sólo puede tener lugar cuando las reglas de que dispone el cálculo

permiten obtener alguna construcción que da lugar a un argumento inválido. /ara que

esto se produ1ca bastará, en general, que las reglas muestren alguna divergencia

apreciable a la hora de interpretar el comportamiento modelista de las constantes

lógicas que manipulan o, tambi3n en la forma de tener en cuenta el contexto en el que

se define la consecuencia semántica. ste comentario es la me+or pista que se puede

pedir para organi1ar una demostración rigurosa de este resultado. Sólo queda elegir

un cálculo que act6e ahora como representante de la derivabilidad formal para L/7.

)na buena elección puede ser Sqc. sto obliga a aclarar una serie de aspectos

A


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de la construcción de dicho cálculo interesantes para ver el modo en que es posible

concebir la definición de cada una de las reglas. Como ya he dicho en más de una

ocasión, la consideración del formato de las reglas que corresponden a una

determinada constante lógica no es algo que pueda darse sin tener en cuenta si existe

o no alguna definición previa de dicha constante lógica. Si no existen convenciones

previas de ning6n tipo acerca del significado de una cierta constante lógica, o estas no

son en todo caso independientes de su función dentro del cálculo, entonces s

podremos afirmar que el par de reglas ofrecido define por completo esa constante.

ste sera un e+emplo claro de cálculo primero, semántica después. s obvio, en

cualquier caso, que esta no es la estrategia que cabe seguir en el caso de L/7. 9odas

sus constantes lógicas tienen un significado previo que ni siquiera es formal, pertenece

incluso o un nivel puramente intuitivo.

Cada regla debe responder a ese significado, y en definitiva, a la conducta

modelista de la correspondiente constante. /ara poner en conexión esta conducta y el

formato de una regla es preciso establecer una especie de interfa1 entre los recursos

empleados en el cálculo y las convenciones que implcita o explcitamente se asumen

en el tratamiento de la consecuencia semántica. s cierto que el uso secuentes lleva apensar en la existencia de una directa conexión entre cada uno de ellos y una

afirmación acerca de la derivabilidad de una fórmula a partir de un con+unto de

premisas. 5icho de otra forma, cada secuente sera visto como una afirmación acerca

de la derivabilidad de algo a partir de otra cosa. La 6nica diferencia sera as simbólica"

en un caso aparecera B⇒ mientras que en otro lo que figurara sera B. Sin embargo,

esta forma de entender la conexión entre secuentes y la descripción de la derivabilidad

es inadecuada. Los secuentes admiten la presencia de con+untos de fórmulas a ambos

lados del smbolo B⇒, mientras que eso mismo no se da para B !al menos en el caso

que ahora nos ocupa%. - la hora de evaluar la forma en que una regla recoge el

significado de una constante, deberemos establecer alguna convención que permita

dotar de un significado modelista aceptable a la presencia de con+untos de fórmulas a

la derecha de B⇒. sta convención se deduce claramente de la combinación de un

par de factores presentes en el dise4o general de Sqc. La introducción de constante

D


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en el lado derecho de un secuente obliga a considerar en ciertas ocasiones la

presencia de más de una fórmula en esa parte del secuente. n muchas ocasiones

esa presencia sólo se obtiene mediante el uso de la regla de monotona por la

derecha. -s las cosas, si un secuente debe tener un significado modelista aceptable,

es decir, si un secuente tiene que poder ser interpretado una afirmación acerca de la

consecuencia semántica de las fórmulas que se hallan presentes en cada caso, la

convención o interfa1 que es preciso a4adir será el siguiente"

&8( Interpretación modelista de un secuente" 5ado el secuente ,-⇒E,F

admitiremos en lo sucesivo que la situación que este expresa se traduceen t3rminos de modelos como sigue"

% /ara todo modelo µ sucede que si para toda fórmula xi∈, &xi(µ=G y

&-(µ=G, entonces existe al menos una fórmula y +∈F tal que &y +(µ=G o

&E(µ=G.

/ara mayor claridad es frecuente expresar esta convención afirmando que las

fórmulas en el lado i1quierdo de un secuente han de interpretarse de forma conjuntia,

mientras que las fórmulas en el lado derecho lo harán de forma disyuntia. sto da

lugar a que un secuente como el anterior, pueda ser traducido como un secuente

ideali1ado del tipo" :x'Hx#H...xiH...;H-⇒:y'vy#v...yiv...;vE. ste interfa1 puede ser visto

como el resultado de una sutil combinación entre el tipo de estructura básica en que

consiste un secuente y el tipo de manipulaciones que se desea hacer con ellos.

sto permite que demostremos ya lo que es el resultado sobre el que pivota la

defensa de la corrección de Sqc con respecto a la clase M de todos los modelos para

LC. Lo dividir3 en dos partes, aunque sólo por ra1ones de claridad. La primera anali1a

el caso de las reglas estructurales y la segunda la de las reglas lógicas.


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&A( 9eorema" Cada una de las reglas estructurales de Sqc preserva la

corrección.

squema de la demostración. La estrategia consiste, básicamente, en

anali1ar cada caso. l sistema considerado es, recu3rdese, la reunión

de &'( cap. #. y A( cap. 8.8. Considerada cada regla, se probará que

si los secuentes que figuran en la cabecera !uno o más% son válidos

ba+o la convención de lectura asumida en &8(, entonces el secuente

resultante tambi3n lo es.

Caso '" *onotona.

I!"uierda. /artimos de ⇒F. Supongamos, no obstante, que el

secuente resultante ,-⇒F no preserva la corrección. ntonces habrá

de existir en modelo µ tal que &(µ=&-(µ=G mientras que todas y cada

una de las y +∈F son tales que &y +(µ=>. /ero en tal caso, ese mismo

modelo servira para recha1ar ⇒F.

#erec$a. Similar al caso anterior.

Caso #" Contracción. s trivial en ambos casos.

Caso 8" /ermutación. 9ambi3n trivial.

Caso A" Corte. Los secuentes en la cabecera de la Jegla son ⇒F,- y

K,-⇒. Supongamos que esta regla no preserva la corrección. xiste,

entonces un modelo µ tal que verifica a un tiempo todas las fórmulas en

y K y hace falsas a todas las fórmulas en F y . /or hipótesis, tanto

⇒F,- como K,-⇒ han de dar lugar a consecuencias válidas. /uesto

que ba+o µ todas las fórmulas en son verdaderas y todas las fórmulas

en F son falsas, la 6nica opción de que ⇒F,- de lugar a una

consecuencia válida es que &-(µ=G. /ero en ese caso es el secuente

K,-⇒ el que resulta inválido, contradiciendo as la hipótesis. Si

M


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hubi3ramos ra1onado partiendo de K y el resultado habra sido el

mismo.

Nui1á sea una buena ocasión para recordar el papel que desempe4a la Jegla

de Corte en un sistema como Sqc, sobre todo a la vista de la discusión de su

eliminabilidad.

&D( 9eorema" Cada una de las reglas lógicas de Sqc preserva la corrección.

squema de la demostración" Limitaremos nuestra atención a las reglas

para el negador, el condicional y el cuantor existencial. Los casos

restantes tienen un tratamiento muy similar y quedan como e+ercicio.

Caso '. 2egación.

I!"uierda. l secuente que forma la cabecera es ⇒ -,F. Supongamos,

como hemos venido haciendo, que la regla no preserva la corrección.

so supone la existencia de un modelo µ que verifica todas las fórmulas

en y


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%u&caso '" Supongamos que &-(µ=>. ntonces el secuente ⇒ -,F no

es válido ya que µ verifica todas las fórmulas en al tiempo que hace

falsas todas las fórmulas en F y a -.

%u&caso " Supongamos que &E(µ=G. ntonces es el secuente ,E⇒F el

que no resulta válido.

#erec$a. l secuente que forma la cabecera de la regla es ,-⇒E,F.

-sumiremos que es válido para suponer a continuación que ⇒ -→E,F

no lo es. so supone la existencia de un modelo µ que verifica todas las

fórmulas en , al tiempo que hace falsas todas las fórmulas en F y a

-→E. /or la cláusula correspondiente al condicional eso implica que µ

verifica - y hace falsa a E. /ero entonces µ invalida el secuente de la

cabecera de la regla, contra lo que habamos supuesto inicialmente.

Caso 8" Cuantor existencial.

I!"uierda. l secuente que forma la cabecera es ,-:xOui;⇒F, donde ui

es además un parámetro que no ocurre en el secuente que resulta de

introducir el cuantor, esto es, no ocurre en ,∃x-⇒F. Supongamos que

este 6ltimo secuente no es válido. so supone la existencia de un

modelo µ que verifica todas las fórmulas en , que verifica ∃x- al tiempo

que hace falsas todas las fórmulas en F. /or la cláusula correspondiente

al cuantor existencial eso implica la existencia de una función gx de

asignación tal que g:x;=ui !confundiendo el parámetro ui con un

elemento del dominio ) del modelo µ% tal que &-(gx=G. -hora bien,

puesto que por la restricción impuesta sobre u i este parámetro no ocurre

en F, podemos suponer que esa misma asignación permite afirmar que

todas las fórmulas en son verdaderas, que &-(gx=G, mientras que todas

las fórmulas en F son falsas.

#erec$a. l secuente que forma la cabecera es ⇒ -:xOui;,F. La

inexistencia de restricciones sobre el parámetro hacen que el resultado

se siga de forma trivial.

P


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La reunión de estos dos teoremas da como resultado la corrección de Sqc.

&( 9eorema" /ara todo con+unto de fórmulas y toda fórmula -, sucede

que si Sqc -, entonces c - con respecto a la clase M de todos los

modelos para LC.

squema de la demostración. /or la definición de Sqc sabemos que

Sqc - es derivable en Sqc syss el secuente ⇒ - puede ser obtenido a

partir del axioma y del uso de las reglas de Sqc. Sabemos que las

reglas de Sqc preservan la corrección, teoremas &A( y &D(, as que sólo

resta demostrar que el axioma tambi3n lo hace. /ero esto es trivial, ya

que su formato garanti1a la existencia de al menos una fórmula com6n

a cada lado del smbolo B⇒, impidiendo que exista as un modelo que

verifique todas las fórmulas en el lado i1quierdo del axioma al tiempo

que hace falsas todas las fórmulas en el lado derecho.

-unque el uso de ad+etivos como Bfuerte y Bd3bil suele reservarse para hablar

sólo de la completitud, tambi3n es posible aplicarlos al caso que nos ocupa. l

resultado anterior correspondera entonces a la corrección fuerte, siendo la corrección

d3bil un caso especial de la anterior"

&M( Corolario" /ara toda fórmula - de LC sucede que si Sqc -, entonces C -.

/uesto que Sqc ha actuado aqu como representante de la derivabilidad en

L/7, &( y &M( se deberán hacerse extensivos a esa relación de derivabilidad dando

lugar a

'Q


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&$( Corrección"

i. -⇒ C -

ii. -⇒ C -

/ara finali1ar ofrecer3 un teorema que es consecuencia inmediata de todo lo

anterior.

&P( 9eorema" Si es satisfecho por alg6n modelo µ∈M, entonces es

consistente.

squema de la demostración" Supongamos que tiene un modelo !es

satisfecho por un modelo%. Supongamos no obstante que no es

consistente. xiste entonces una fórmula - !consistencia simple% tal que

- y


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Completitud del Cálculo Clásico para la Lógica de /rimer 7rden. 2os toca abordar el

problema inverso. Se trata de saber si un argumento válido es demostrable o, si por el

contrario, podran hallarse argumentos válidos para los que no existe ninguna

construcción del tipo que aqu hemos admitido como derivaciones o pruebas.

La principal novedad del problema es que en este caso el punto de partida

viene dado por una afirmación no constructiva" C -, mientras que el punto de llegada

es una afirmación que garanti1a la existencia de una cierta construcción. -. l

primero que halla un modo de superar este problema es R. Tdel en el a4o 'P8Q. Susideas se basan en resultados previos aportados por LTUenheim acerca de la

normali1ación de las fórmulas de LC !cfr. cap. #.D%. Las expresiones que permiten

dotar de un teorema de forma normal al lengua+e LC se conocen por el nombre de

formas normales de %*olem, y tendremos ocasión de hablar de ellas en captulos

posteriores, aunque en un contexto algo distinto.

s evidente que esta estrategia no es la que vamos a seguir aqu. 5e hecho,

es sumamente raro acercarse a la demostración original de Tdel si no es por

motivaciones de carácter histórico. La t3cnica que ha venido a reempla1ar la que

Tdel adoptara en su da se debe a L. 0enVin y a su teorema del a4o 'PAP en el que

se vuelve a establecer esa completitud mediante un m3todo que, a partir de entonces,

se denomina método de +en*in.

Como toda herramienta que acaba por formar parte del equipamiento básico de

una disciplina su reformulación ha sido muy intensa y el parecido con el original es ya

poco. ste proceso se ha visto favorecido, además, por la flexibilidad del este m3todo,

la cual seguramente es consecuencia de un sólido fundamento intuitivo. sta es la

ra1ón que hace posible que se presenten un gran n6mero de modificaciones

contextuales que no llegan a afectar al resultado final. l m3todo de 0enVin es, por

tanto, un m3todo de traba+o más que una demostración concreta dotada de un mayor

o menor n6mero de pasos. )n dato a favor de esta tesis lo ofrecen numerosos

'#


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desarrollos dentro de las llamadas lógicas no%clásicas, las cuales, difiriendo a veces

mucho del modelo ilustrado en L/7 hacen uso, no obstante, de las mismas t3cnicas

que 0enVin usara para establecer la completitud de L/7. *i ob+etivo será hacer

entender los pasos básicos de este m3todo.

La solide1 de las intuiciones básicas del m3todo de 0enVin se basa en un

ra1onamiento sumamente simple y al que pocas veces se presta la debida atención.

Concebir una forma de poner en conexión la condición relativa a los modelos de M

que se expresa al afirmar que C - con una prueba de - a partir de no es,

ciertamente, tarea fácil. /ero como sucede tantas veces en Lógica, lo que a veces nose aprecia de forma directa puede resultar relativamente fácil de entender si se mira

de otro modo. Supongamos que -. Lo que la completitud de L/7 tendra que

afirmar en tal caso es que C -. Simplemente hemos invertido !dado la vuelta% la

presentación habitual de la propiedad de completitud :fuerte;. 5ecir que C - supone

tanto como sostener la existencia de un modelo µ en M tal que &(µ=G y para el cual

sucede, además, que &-(µ=>. sta afirmación sit6a la prueba del teorema de

completitud en un camino que parece conducir directamente a la construcción de ese

modelo a partir de la información que quepa extraer de -. *antener que - no es

derivable a partir de no es, sin embargo, una afirmación más fácil de mane+ar que

aquella que sostiene que C -, lo cual nos de+a en una situación no mucho me+or que

la anterior. Cosa muy distinta sera si en ve1 de considerar como punto de partida algo

tan d3bil como - dispusi3ramos de algo considerablemente más fuerte como

pudiera ser F


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2o pretendo que sea fácil entender el proceso, me conformo con que no

pare1ca puro arte de magia. Goy a resumir lo dicho en t3rminos de un esquema

informal"

&'Q( Planteamiento $eurstico de la demostración del -eorema de

Completitud.

'. Inversión del enunciado del teorema" Si -, entonces C -

#. Jefor1amiento de la afirmación -" Si -, entonces existe un F tal

que ⊆F, y F


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'. Lema de Lindenbaum. Se muestra de qu3 modo conectar una

afirmación del tipo - con la existencia de un supercon+unto F de

de muy especial factura que garanti1a que F


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un con+unto , lo que se obtendra entonces es la teora generada por , esto es,

9h:;. )na teora 9h:; es un con+unto que incluye a y que, por definición, es

consistente. Sin embargo, queda a6n muy le+os de lo que se necesita. 5e hecho, no

hay nada que pueda ocupar el lugar de la siguiente noción fundamental"

&'#( )n con+unto máximamente consistente es todo con+unto que satisface

las siguientes condiciones"

i. es consistente y

ii. /ara cada fórmula -, o bien -∈ o bien


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squema de la demostración. La parte no trivial es aquella en que se

establece que si es máximamente consistente, entonces si -,

sucede que -∈. Supongamos que -∉. /or maximalidad, sucede

entonces que


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squema de la demostración. ste resultado pasa por demostrar que

para cualquier con+unto y cualquier fórmula - sucede que - syss

W


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de un teorema de teora de con+untos de carácter menos elemental que lo visto hasta

ahora. Se trata del teorema del &uen orden cuya exposición va un poco más allá de los

ob+etivos de este curso.

)na ve1 establecidas estas condiciones vamos a mostrar sin más dilación en

qu3 consiste una construcción de Lindenbaum.

&'( Construcción de Lindenbaum. Sea un con+unto consistente cualquiera

de fórmulas pertenecientes a LC y sea ε una enumeración de LZC. -partir de ah se procede a construir la siguiente cadena de con+untos de

fórmulas"

'. Q=

i, si iW-iX es inconsistente, siendo -i es la i%3sima

fórmula de la enumeración

#. i['= iW-iX si dicho con+unto es consistente y -i no es de la

forma ∃xE para alguna fórmula E

iW-i, E:xOui;X si dicho con+unto es consistente y -i es de

la forma ∃xE para alguna fórmula E, siendo ui el primer

parámetro que no figura en iW-iX.

8 Z=i, i∈.

Lo que el Lema de Lindenbaum hace ahora es establecer que Z es

efectivamente un con+unto máximamente consistente y que, además, para cualquier

con+unto consistente existe un Z tal para el cual se cumple que ⊆Z. sto suele

expresarse afirmando que todo con+unto consistente de fórmulas se extiende a uno

máximamente consistente.

'P


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-ntes de pasar a ese punto convendra explicar alg6n detalle de la

construcción que tal ve1 haya podido quedar menos claro. /uede extra4ar, por

e+emplo, la exigencia de que cada fórmula existencial sea acompa4ada de una

instancia de substitución que garantice que realmente existe en ese con+unto un

parámetro que reempla1a a la variable ba+o el alcance del cuantor. La ra1ón para ello

consiste en impedir que se puedan formar con+untos en los que se encuentra una

cierta fórmula - del tipo ∃xE al tiempo que para cada constante individual en LZC


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i['=iWEiX. -hora bien, esa misma construcción garanti1ará que +=i,

ya que al haber a4adido antes E i, y ser E + su negación, nunca llegará a

a4adirse E +.

01 es máximo" Supongamos que hay una fórmula - tal que ni ella ni su

negación pertenecen a Z. -l igual que antes podemos suponer que por

la enumeración ε -=Ei,


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Lo primero que hay que abordar es la construcción de un dominio adecuado a

ese modelo, pero por fortuna esta es tarea fácil. La adición de los parámetros

empleados en el cálculo al con+unto de las constantes de LZC permite establecer un

interfa1 entre los con+untos máximos obtenidos por la construcción de Lindenbaum y el

dominio del modelo µ que se desea construir. 9eniendo eso en cuenta, parece claro

que lo que corresponde es considerar un dominio sobre el cual proyectar el con+unto

formado por la unión de las constantes en Wa',...ai,...X y los parámetros en Wu',...ui,...X.

Sólo merece la pena hacer notar que la unión de ambos con+untos no contiene más

elementos que los que pueda haber en un con+unto de cardinal enumerable. n otras

palabras, la unión de dos con+untos enumerables cualesquiera sólo genera uncon+unto de cardinal enumerable. l paso siguiente es la construcción de la función I

de interpretación que, +unto con el dominio ) forma el par µ=\),I].

&'$( Construcción del modelo canónico µZ de un con+unto consistente

máximo Z.

'. 5ominio. )Z un con+unto cualquiera de cardinal enumerable.

#. >unción IZ.

i. /ara cada t3rmino t en LZC IZ:t;∈)Z con la 6nica condición

de que para cualesquiera dos t3rminos distintos t, t^

sucede que IZ:t;≠IZ:t^;.

ii. /ara cada letra relacional n%aria Jin,

- \&t'(µZ,g,...&tn(

µZ,g]∈IZ:Jin; syss Ji

nt',...tn∈Z, donde g es una

función arbitraria de asignación definida sobre )Z.

Como se puede ver, el modelo generado a partir de Z, al cual se suele a4adir

el calificativo de Bcanónico, establece la imagen de la función IZ de interpretación

tomando en cuenta la información atómica presente en Z. /uesto que Z es un

##


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con+unto consiste y máximo sabemos que para cada letra relacional y cada n%tupla

existe información disponible capa1 de generar una función de interpretación

aceptable. La ra1ón de exigir que cada t3rmino en LZC quede asociado a un elemento

distinto en )Z se debe a la necesidad de evitar posibles conflictos en la interpretación

que no existen en el con+unto Z. /uesto que disponemos de suficientes elementos en

)Z como para evitar este tipo de problema, lo suyo es no provocarlo de forma artificial.

La función de asignación g no desempe4a aqu papel alguno, ya que en Z no existen

fórmulas con variables libres, pero es necesaria para construir luego la función &.(µZ,g

que permite dar un valor a cada fórmula en LZC.

l paso dado en &'$( es importante al mostrar la forma de generar un modelo a

partir de la información atómica contenida en Z, pero no garanti1a en absoluto que la

función modelo &.(µZ verifique exactamente las fórmulas en Z. ste punto es el que

resulta realmente crucial porque es ah donde vamos a comprobar si el criterio seguido

para construir Z, las reglas del cálculo, y el que permite generar &.(µZ a partir de µZ, las

clásulas semánticas, coinciden del modo deseado. sto nos lleva discutir el siguiente

enunciado"

&'P( Lema " /ara toda fórmula - de LZC y todo con+unto máximamente

consistente Z sucede que -∈Z syss &-(µZ=G.

squema de la demostración. La demostración procede por inducción

sobre el grado lógico.

2ase" >órmulas atómicas. /or la construcción del modelo canónico µZ

sabemos que \&t'(

µZ,g

,...&tn(

µZ,g

]∈IZ:Jin

; syss Jin

t',...tn∈Z. -hora bien, esossupone tanto como admitir que &Ji

nt',...tn(µZ,g=G.

+ipótesis de inducción" Supongamos que el resultado se cumple para

fórmulas de grado lógico n. - continuación vamos a probar que se

cumple para fórmulas de grado lógico n['. Consideraremos sólo tres

casos.

Caso '. -=


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i. . /or la cláusula

correspondiente al negador tenemos entonces que &


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Caso 3. -=∃xE

i. ∃xE∈Z. /uesto que Z dispone, por construcción, de al menos

un tesigo !parámetro% ui para instanciar ∃xE, podemos afirmar

que si ∃xE∈Z, entonces existe un parámetro ui tal que

E:xOui;∈Z. /uesto que E:xOui; es de grado lógico a lo sumo n, se

puede aplicar la hipótesis de inducción y afirmar que

&E:xOui;(µZ,g=G. 5e ah por la clásula del cuantor pasamos sin más

a &∃xE(µZ,g=G.

ii. &∃xE(µZ,g=G. -plicando la clásula correspondiente y la hipótesis de

inducción llegamos a que E:xOui;∈Z para alg6n parámetro ui. s

obvio que ZW


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L/7. 9odo lo que resta es la correcta colocación de todas las pie1as +unto con un poco

de lo que se suele denominar ra1onamiento lógico elemental. G3ase si no.

'( 9eorema de Completitud :fuerte;" /ara cualquier con+unto de fórmulas

y cualquier fórmula - de LC se cumple lo siguiente"

- si - entonces -

squema de la demostración. Supongamos que -. Sabemos que si -

no es derivable a partir de un con+unto , entonces W


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0ay un aspecto de este tipo de t3cnica que no hemos comentado aqu. Se trata

del efecto que sobre ella tiene la adición del smbolo de identidad B= como constante

lógica en Gb. 2o es la primera ve1 que procedemos a a4adir la identidad !cfr." &(, cap.

8.8% como recurso extra al final de la exposición de un cierto sistema. n todos los

casos en que se ha efectuado esta maniobra hemos sido conscientes de que la

presencia de esta nueva constante no iba a afectar de manera sustancial a la

conducta de los sistemas en que se incorpora. sto mismo no se puede afirmar de

manera tan inmediata en el contexto de una demostración de completitud. /odra

suceder que este incremento en la capacidad expresiva explcitamente reconocida en

el lengua+e tuviera como efecto la p3rdida de propiedades. Fa hemos avisado en más

de una ocasión de que la incorporación de nuevos recursos en un lengua+e formal

suele se causa de la p3rdida de propiedades metateóricas elementales.

/or fortuna, la Lógica de /rimer 7rden con identidad es tan completa con

respecto a sus modelos como lo era antes el fragmento sin identidad. Lo que s es

cierto, no obstante, es que para establecer este extremo es preciso superar algunas

dificultades de cierto inter3s. Incorporar expresiones del tipo t=t^ al lengua+e LZC no

ofrece especial dificultad. 9ampoco obtener los correspondientes con+untos máximosdel tipo Z. La dificultad se presenta en la construcción del modelo canónico que antes

tena lugar en &'$( y que empleábamos luego en la demostración del lema central que

se enuncia en &'P(. Supongamos, como en &'$(, que cada constante individual en LZC

queda asociada a un elemento distinto del dominio )Z de µZ por medio de IZ. s obvio

que en tal caso cualquier fórmula del tipo t=t^ resulta falsa en µZ, aunque pueda

encontrarse en Z. -demás, es obvio que la presencia en Z de expresiones de ese

tipo habrá tenido un efecto a trav3s cálculo sobre los parámetros que incorporamos en

ciertas fórmulas, efecto al cual no parece sensible el modelo. La menear de resolver

este problema es mediante el paso de )Z a un dominio cociente )O obtenido al definir

la equivalencia B del modo que se indica"

( tt^ syss t=t^∈Z

#$


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Si empleamos esta relación para generar clases de equivalencia sobre )ZO lo

que obtenemos finalmente, es fácil comprobarlo, es una partición en clases de

equivalencia del con+unto )Z, es decir, obtenemos un dominio formado por los

representantes canónicos de las clases de equivalencia obtenidos. /or cierto, es aqu

donde en cierto modo entran en +uego las propiedades genuinas de la identidad tal y el

hecho de que sus leyes caractersticas, reflexividad, simetra y transitividad, puedan

ser demostradas en el cálculo. -s, donde antes tenamos elementos ui en )Z ahora

tenemos sus representantes canónicos &ui(. Easta reempla1ar en &'$( )Z por )ZO y

asociar mediante IZ las nuevas constantes individuales en LZC a elementos en )ZO. s

inmediato comprobar que ba+o estas estipulaciones la identidad se comporta ya deforma correcta, pudiendo incorporar a la demostración del lema central &'P( la parte

correspondiente a la identidad. sto es, aquel paso en el que se establece que t=t^∈Z

syss &t=t^(µZ,g=G. l detalle se de+a como e+ercicio. sto permite afirmar finalmente que

A( 9eorema de Completitud :fuerte; para L/7=" /ara cualquier con+unto

de fórmulas y cualquier fórmula - de LC= se cumple lo siguiente"

- si - entonces -

La discusión de todo lo relativo a la completitud nos ha ense4ado a entender

me+or cómo funciona la relación con+untos de fórmulas y la clase de los modelos que

las verifican. La existencia de modelos canónicos del tipo de µZ muestra hasta qu3

punto es posible a+ustar esa relación en un contexto en el que no hay significadomaterial propiamente dicho. s decir, las ra1ones por las que un modelo lo es de un

con+unto residen en 6ltima instancia en el significado de las constantes lógicas y de los

átomos eventualmente presentes en ese con+unto. )na ve1 que hemos comprobado

que L/7 es completa y correcta, no parece que podamos esperar de sus fórmulas y

de los modelos que las satisfacen la identificación de peculiaridades dignas de tener

en cuenta. 5icho de otra forma, dos con+untos consistentes de fórmulas sólo difieren

#P


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en sus hechos atómicos, lo cual, en un contexto puramente formal es irrelevante. 2o

parece que podamos servirnos con provecho del lengua+e LC para expresar diferencias

notables acerca de los modelos que satisfacen una fórmula !o con+unto de ellas% y los

que satisfacen otra sin salirnos por completo del dominio de las ciencias formales. Sin

embargo, existe toda una rama de la Lógica contemporánea, la 9eora de modelos,

dedicada precisamente, a estudiar cómo se pueden emplear fórmulas para expresar

propiedades formales notables de clases de modelos. l siguiente captulo está

dedicado a comentar algunos de los resultados más elementales de esta parte de la

Lógica.

Orientación bibliográfica.

5e nuevo se puede empe1ar consultando el libro de [Hunter, 1969], secc. #P,8# y A. La descripción que se hace de una demostración tipo 0enVin en [Crossley,

1972], cap, # tiene la venta+a de presentar un esquema muy claro y elucidador del

procedimiento.

l tratamiento más extenso y profundo de esta t3cnica, as como de muchas de

sus implicaciones figura en [Manano, 19!9], cap. III. Su lectura es prácticamente

obligada.

["a#esa, $an% y $ansana, 199!], cap. 'M presenta el acierto de emplear el

concepto de Bmodelo canónico, uso que he adoptado en este captulo.

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3.5_Comparando_calculos_y_modelos