Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment236

Rezultate din teoria regresiei utile pentru asigurrile non-via i pentru contabilitatea actuarial

Prof. univ. dr. Gheorghe LEPDATU Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir Bucharest

cilezbujor@yahoo.com Lector univ. dr. Virginia ATANASIU

Academia de Studii Economice, Bucureti e-mail: virginia_atanasiu@yahoo.com

Prep. univ. Iacob Emanuel BACIU Prep. univ. Dominic Perez DANIELESCU

Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir Bucharest

Abstract: The idea of considering regression credibility models originated from

Hachemeister. Just like in the case of classical credibility models, we will obtain a credibility solution in the form of a linear combination of the individual estimate (based on the data of a particular state) and the collective estimate (based on aggregate USA data). This idea is worked out in regression credibility theory. Mathematics Subject Classification: 62P05.

Key - words: credibility regression models, the classical regression result, the credibility estimates for the parameters of the linear model, the collective result.

Introducere n modelul de regresie a credibilitii prezentat de seciunea 1., se va permite

variaia lui jXM ( 1j ). Modelul de regresie a credibilitii a fost introdus pentru prima dat de actuarul de

marc Hachemeister. Acesta considera portofolii din mai multe state ale U.S.A.. Fie, aadar, unul dintre aceste portofolii i fie jX suma medie a preteniilor (solicitrilor) de despgubire din anul j , pentru portofoliul considerat. Datorit inflaiei, nu se presupune c

jXM este independent de j , ci se face presupunerea de regresie: ~~' jj YXM

,

unde ~

'jY

este un vector cunoscut, iar ~

un vector necunoscut. Estimnd vectorul ~

pentru diferite state, Hachemeister a descoperit diferene mari, fapt care l-a determinat s admit c fiecruia dintre state i era asociat un parametru de risc aleator necunoscut ,

Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 237

coninnd caracteristicile de risc ale acestui stat i c aceti din diferite state erau independeni i identic distribuii. innd seama de cele afirmate anterior, Hachemeister a

introdus ipoteza de regresie:

~~

' bYXM jj , viznd un stat particular, unde ~

'jY

este

un vector nealeator cunoscut de dimensiune q1 , iar ~b un vector aleator necunoscut de dimensiune 1q , coninnd variabilele aleatoare necunoscute de regresie, cu

~~ bM

, pentru ca

~~

' jj YXM ( j s-a interpretat ca timp calendaristic, adic

s-a considerat inflaia pentru acelai timp calendaristic). Dup aceste remarci introductive privind necesitatea considerrii modelului de regresie a credibilitii, prezentm ipotezele de lucru ale modelului lui Hachemeister.

1. Modelul de regresie a credibilitii

Fie '21~ ,...,, tXXXX un vector 1t aleator al observaiilor i un

parametru de risc aleator neobservabil, ce caracterizeaz riscul considerat.

1) Se face supoziia de regresie:

~~~bYXM

, unde: ~Y

este o matrice

nealeatoare cunoscut de ordinul qt i de rang tq , iar ~b este un vector aleator necunoscut, de dimensiune 1q , coninnd variabilele aleatoare necunoscute de regresie (constantele n raport cu timpul, de regresie necunoscute);

2)

~

.

~bCov

not (matrice pozitiv definit);

3)

~

.

~XCovM

not

(matrice pozitiv definit);

4)

~

.

~bM

not;

5) n cadrul acestui model, se definete prima net de risc, dup cum urmeaz: ~~

'ba (1.1),

unde: ~a

este un vector nealeator cunoscut de dimensiune 1q . Scopul propus este acela al determinrii unei expresii ct mai simple pentru

~ , estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al lui bazat pe ~X . Din acest motiv, este necesar lema de mai jos:

Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment238

Lema 1.1: Fie ~A

o matrice de dimensiune sr i ~B o matrice de dimensiune rs . Atunci, are loc identitatea: ~

1

~~~~~

1

~~~BABIAIBAI

(1.2), cu condiia ca inversele de mai sus s existe.

Demonstraia aferent lemei 1.1 este prezentat n continuare. Avem: ~~~~

1

~~~~~~~~~~~~

1

~~~~~~~~~~~BAIBABIABAIABAIBABIABIABAII

~~~~~~

1

~~~~~~~~~~~

1

~~~~~~~~AIBAIBABIABAIBAIBABIABAAI

~

1

~~~BABI

. Prin urmare, a rezultat:

~

1

~~~~~~~~~BABIAIBAII

.

~

1

~~~~~

1

~~~BABIAIBAI

, adic exact (1.2).

Rezultatul urmrit de noi, este obinut n teorema 1.2:

Teorema 1.2: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate ~ pentru ,

bazat pe ~X

are expresia: ~~~^~~~'~ ZIbZa (1.3), unde:

~

1

~

'

~

1

~

1

~

'

~

^

~XYYYb

(1.4)

i: 1~

1

~

'

~~~~

1

~

'

~~~

YYIYYZ (1.5).

Demonstraia aferent teoremei 1.2 este prezentat n continuare.

Fie: ~~0

~' X

(1.6),

unde: 0 este o constant scalar, iar ~ este un vector constant, de dimensiune 1t , alei astfel nct ecuaiile normale s fie satisfcute (

~ fiind estimatorul liniar i neomogen

Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 239

de credibilitate al lui , bazat pe ~X are forma liniar-neomogen de tipul celei scrise la (1.6), conform definiiei i verific ecuaiile normale (4.1) i (4.2) din capitolul 4., conform teoremei 4.1 prezentate acolo; a se vedea, n acest sens, cartea [1], de la

bibliografie, capitolul 4., pag. 45-62). n continuare, vom determina pe 0 i '~ din condiia ca ecuaiile normale s fie ndeplinite. n cazul de fa, ecuaiile normale (4.1) i (4.2)-a se vedea teorema 4.1 din cadrul capitolului 4. (cartea [1], de la bibliografie, pag. 45-62)-se scriu dup cum urmeaz:

MM

~ (1.7),

i respectiv:

tjXCovXCov jj ,1,,,~ (1.8).

Se observ c, ecuaiile (1.8) sunt echivalente cu ecuaia:

~~

~',', XCovXCov

(1.9). ntr-adevr:

.18.1~1~.~~

,,...,,,,...,,',def

tt

defXCovXCovXCovXCovXCov

~', XCov

.

2. Aplicaii ale modelului de regresie a credibilitii Aplicaiile considerate de noi, n cadrul acestei seciuni sunt urmtoarele:

Aplicaia 2.1: Dac interpretm pe ca vector, notndu-l n acest caz, ~ , atunci definiia (1.1) se transpune astfel:

~~~bA

(2.1),

unde: ~A

este o matrice nealeatoare cunoscut de ordinul qp . Aplicaia 2.2: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al unui vector se

introduce ca fiind vectorul estimatorilor liniari i neomogeni de credibilitate pentru fiecare component n parte a vectorului ce se estimeaz.

Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment240

innd seama de acesta, precum i de teorema prezentat mai sus, rezult c ~

~

,

estimatorul liniar i neomogen de credibilitate al vectorului

~ este dat de relaia urmtoare: ~~~^~~~~~ ZIbZA (2.2).

Aplicaia 2.3: Un caz special, interesant al lui (2.1) este acela n care ~~ IA ,

cnd

~~~

1.2

~bbI

i deci, estimatorul liniar-neomogen de credibilitate al vectorului

~b

este:

~~~

^

~~~~~

^

~~~

2.2~

~ ZIbZZIbZIb

(2.3).

Dac dorim s mbuntim pe ~ sub aspectul calitilor pe care acesta trebuie s

le posede pentru a fi un estimator ct mai bun (ct mai fidel) al lui , atunci impunem ca

~ s fie nedeplasat pentru , i astfel obinem urmtoarea aplicaie: Aplicaia 2.4: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat

pentru , bazat pe ~X este: ^

~~

^'ba

(2.4). Determinarea estimatorului liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat

pentru , bazat pe ~X revine la rezolvarea urmtoarei probleme de minim:

2

~~''

~~

XgMMing

(2.5)

Din acest motiv, aplicm metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Fie funcia lui Lagrange:

12.211

2

~~11 2':,...,,,...,

t

jjiji

q

iiqt YgaXgMggQQ

Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 241

t

jjiji

q

ii

t

jjj YgaXgM

11

2

1

12.22

(2.6),

unde q ,...,1 sunt multiplicatorii lui Lagrange. Are loc irul de egaliti:

i

q

ii

t

jjj

tjjjjjj

t

jjj aXgXXggXgMQ

11'1''

1

22215.2

222

MgXXMggXMgMYg

tjj

t

jjjjjjj

t

jj

t

jjij

'1 1''

2

1

22

122

'

'1'

1

222

1122 jj

tjjjj

t

jjj

t

jjiji

q

iij XXMggXMgMYgaX

2......22 222

111kk

t

jjiji

q

ii

t

jjj XMgMYgaXMg

...XMg...2...XXMgg... kkt

kj1j

kjjk

+ kikiq

1ii Yg...a2 ... (2.7). Impunnd condiiile:

tkgQ

k

,1,0

(2.8),

obinem: tkYXMXXMgXMg kiq

iikkj

t

kjj

jkk ,1,0222211

2

(2.9), sau (mprind cu 2 i grupnd convenabil termenii):

tkYXMXXMg kiqi

ik

t

jkjj ,1,0

11

, relaie, pe care o numerotm cu (2.10), sau nc:

tkYXXgM qi

kiik

t

jjj ,1,0

11

, adic: tkYXXgCov q

ikiik

t

jjj ,1,0,

11

(2.11),

Revista Romn de Statistic Trim. I/2012 - Supliment242

deoarece:

tkXXgMXXgCov ktj

jjk

t

jjj ,1,,

11

(2.12).

Aplicaia 2.5: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate nedeplasat al vectorului

~~

1.2

~bA

(2.13), este dat de relaia de mai jos:

^

~~

^

~bA

(2.14).

Aplicaia 2.6: Un caz special, interesant al lui (2.13) este acela n care ~~ IA ,

cnd

~~~

38.2

~bbI

i deci, estimatorul liniar-neomogen de credibilitate

nedeplasat al vectorului ~b este ^

~

^

~~

39.2^

~bbIb

. Acest ultim rezultat conduce la urmtoarea interpretare a relaiei (2.3), redat sub

forma aplicaiei de mai jos: Aplicaia 2.7: Estimatorul liniar i neomogen de credibilitate pentru ~b , adic,

~

~b

, este o medie aritmetic ponderat a estimatorului liniar-neomogen de credibilitate

nedeplasat pentru ~b , adic a lui ^

~b

, cu valoarea medie a lui

~b

, adic cu ~

. Remarca 2.8: Hachemeister a introdus modelul de regresie a credibilitii, n

cadrul ipotezei speciale c, dat fiind , observaiile anuale tXXX ,...,, 21 sunt independente condiional, cu varianele condiionate:

j

j PsXVar

2

(2.15),

unde jP

reprezint numrul preteniilor (solicitrilor) de despgubire din anul j . Acest numr este presupus a fi cunoscut i este considerat nealeator.

n concluzie, cele opt exemple considerate, reprezint cazuri speciale din perspectiva teoriei regresiei a credibilitii, precum i a teoriei contabilitii actuariale.

Concluzii Teoria matematic a credibilitii mpreun cu teoria contabilitii actuariale

realizate de noi, n cadrul acestui articol este fundamental pentru a demonstra utilitatea

Revista Romn de Statistic Trim I/2012- Supliment 243

modelelor de regresie a credibilitii i respectiv a calculului de contabilitate actuarial, pentru portofolii de asigurri non-via. Aducnd la cunotin aceste rezultate remarcabile ale regresiei credibilitii asigurrilor non-via, relevm faptul c ele reprezint cu certitudine, singura soluie posibil, atumci cnd domeniul asigurrilor non-via este confruntat cu riscuri ale cror caracteristici elementare de risc nu pot fi determinate pentru nici un colectiv (portofoliu) de contracte bine definit, sau cu o acoperire a riscului n circumstane nemaintlnite pn acum, situaii n care actuarii trebuia s ia decizii cu date puine sau cu nici o dat colectiv. Articolul nostru prin elementele noi abordate i corelate aparatului matematic, reliefeaz factorii i condiiile care pot concura, sprijini i mbuntii situaia asigurrilor non-via i a contabilitii actuariale. Modelele de credibilitate abordate n toat complexitatea lor i ncorporate aparatului matematic las s se ntrevad valoarea lor pentru practica asigurrilor non-via.

Un aspect important al articolului, l constituie modul n care matematicile, prin teoria probabilitilor i prin statistica matematic, intervin n soluionarea problemelor dificile cu care se confrunt actuarii n analiza i soluionarea asigurrilor non-via, relev i ntrete convingerea c, instrumentul matematic se extinde la problemele practice de via i ajut la rezolvarea lor cu maximum de eficien. n acelai timp, subliniem faptul c teoria riscului i a contabilitii actuariale, se fac simite n abordarea problemei asigurrilor non-via, din perspectiva credibilitii, cu aspectele ei aplicative i care rentregesc problematica existent. Regresia credibilitii n industria asigurrilor non-via rmne o tem deschis, nou, original i care aduce contribuii utile n acest domeniu. Bibliografie selectiv Atanasiu, V., Useful applications of the credibility theory, Metalurgia International

(journal ISI), no. 4 special issue, vol. XIV(2009), pp. 22-28, 2009. Atanasiu, V., Techniques for estimating the premiums for the risks of the insurance

companies in Romania, Metalurgia International (journal ISI), no. 7, vol. XIV (2009), pp. 61-66, 2009.

Atanasiu, V., The calculations of credibility in the hierarchical model with two-levels, Metalurgia International (journal ISI), no. 4 special issue, vol. XIV(2009), pp. 118-123, 2009.

Gerber, H.U., Credibility for Esscher premiums, Mitteilungen der VSVM, 80, 307-312, 1980.

Hogg, R.V. & Klugman, S.A., Loss distributions, John Wiley and Sons, New York, 1984. Sundt B., An Introduction to Non-Life Insurance Mathematics, volume of the Mannheim

Series, 22-54, 1984.