1

RADICALES 3º ESO - APUNTES 1. POTENCIAS CON EXPONENTE FRACCIONARIO Toda potencia con exponente fraccionario representa una raíz cuyo índice es el denominador

del exponente y cuyo radicando es una potencia de la misma base que la potencia dada y cuyo exponente es el numerador del exponente: Ejemplos:

52

5

22

3 73

7

55

4 34

3

33

99 2

1

33

1

2727

44

1

625625

Se puede considerar la radicación como la operación inversa de la potenciación. Así:

abba nn

255525 2 ( 555 2

2

2)

273327 33 ( 333 3

3

3 3)

62555625 44 ( 555 4

4

4 4)

Una raíz de índice par y radicando positivo tendrá dos soluciones, una positiva y otra negativa:

39 ya que:

333 2

2

2

3)3()3( 2

2

2

Una raíz de índice par y radicando negativo no tiene solución en el conjunto R:

2525 2xx

(Esto es imposible, ya que ningún número real elevado al cuadrado puede ser negativo)

Rx

Una raíz de índice impar tiene una única solución, positiva si el radicando es positivo y negativo si el radicando es negativo:

2228 3

3

3 33

2)2()2(8 3

3

3 33

A diferencia de las fracciones, cuando la raíz no es exacta, las cifras decimales no se repiten en periodos, aunque se saquen infinitas cifras, es decir, las raíces no exactas son números decimales ilimitados no periódicos (irracionales). Los irracionales junto con los racionales forman el conjunto de los números reales.

2

2. OPERACIONES CON RADICALES 2.1 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES Si se multiplican o dividen el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo

número, el resultado de la raíz no varía:

n pa

mn mpa* * (amplificación)

mn mpa/ / (simplificación)

Ejemplos:

6 43 2 aa (amplificación)

5 410 8 aa (simplificación)

2.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES Para multiplicar o dividir radicales es necesario que sean homogéneos, es decir, que tengan el mismo índice:

nnn baba ** n

n

n

b

a

b

a

Ejemplos:

333 357*5

5 35 25 * aaa

3

3

3

7

5

7

5

5 15

5 2

5 1a

aa

a

Si los radicales no son homogéneos hay que homogeneizarlos, para ello se aplica la propiedad fundamental de los radicales:

4 36 5 * aba

1º paso: mcm de los índices: mcm(6, 4)=12. 12 será el índice común. 2º paso: buscar las raíces equivalentes a los anteriores con índice 12 (aplicar la propiedad

fundamental de los radicales).

12 106 5 aa ;

12 934 3 baab

** 12 104 36 5 aaba 12 93ba = 12 913ba

2.3 EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL Cuando un factor que forma parte de un radicando tiene el exponente mayor o igual que el índice del radical, el factor se podrá sacar del radical, totalmente si además de mayor es múltiplo del índice y parcialmente si es mayor pero no múltiplo. Ejemplos:

33381 4

4

4 44

933381 22

4

4

3

35

15

5

5

5 155 *** bababa

10*1010*1010*10101000 2

2

23

333

3

33 33 43 3*33*33*3381

5 235 25

15

5

5

5 25 1555 176 ********** bababababababa

2.4 INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL A veces interesa introducir un factor dentro del signo radical. Para ello se multiplica el exponente del factor por el índice del radical

32 1010*)10(10*10

3 43 33 33*33*3

5 1765 21555 2535 23 ******)*(** bababababababa

2.5 POTENCIA DE UN RADICAL

p nnpaa)(

Ejemplos:

3 443 )( aa

)******)(( 3 43333343 aaaaaaaaaa

5 635 2 2)2(

)22*2*22*2*2)2(( 5 65 2225 25 25 235 2

2.6 RAÍZ DE UN RADICAL

nmm n aa *

Ejemplos:

63 55

(66

1

2

1

3

1

3

1

3 55)5(55 )

15 23 5 2 aa

(15 215

2

3

1

5

23

5

2

3 5 2 )( aaaaa )

4

2.7 ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES Para sumar y restar radicales tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice y el mismo radicando

3*43*)15(33*5

2*52*)261(2*22*62

2*82*62*218*28

2*22*228 23 ; 2*32*39*218 2