§4-2 无阻尼自由振动谐振子

§4-2 无阻尼自由振动谐振子§4-2 无阻尼自由振动谐振子§4-1 简谐振动§4-1 简谐振动

§4-3 阻尼振动受迫振动共振§4-3 阻尼振动受迫振动共振

§4-4 同方向的简谐振动的合成§4-4 同方向的简谐振动的合成

§4-5 相互垂直的简谐振动的合成§4-5 相互垂直的简谐振动的合成

第四章振动学基础

§4-1 简谐振动§4-1 简谐振动

1. 简谐振动的特征及其表达式1. 简谐振动的特征及其表达式

简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化。

XO

F

F

XO

XO

回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 , 该力与位移成正比且反向。

简谐振动的动力学特征 :

kx F

, xmk

mF

a 据牛顿第二定律，得 2mk令

xt

xa 2

2

2

d

d 运动学特征

简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式

位移之解可写为： )cos( 0 tAxx

或 )i( 0e tAx

简谐振动的运动学特征 : 物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。

速度 )sin(dd

0 tAtx

v

加速度 )cos(dd

02

2

2

tAtx

a


简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系 :

tx

42

tv

ta


0000 sin,cos AvAx 2

020 )( vxA

0

00 arctg

x

v

常量和的确定A 0

在到之间，通常存在两个值，可根据

进行取舍。00 sinAv 0

根据初始条件：时， , ，

得0xx 0vv 0t


2. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位2. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1) 振幅 : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。

20

20 )( vxA 由初始条件确定

2T

])(cos[)cos( 00 tTAtAx

(2) 周期和频率周期：物体作一次完全运动所经历的时间。

频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。 21 T

22 T角频率 : 物体在秒内所作的完全运动的次数。2

利用上述关系式，得谐振动表达式：

02cos TtAx

02cos tAx

简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位

(3) 相位和初相相位：决定简谐运动状态的物理量。)( 0 t

初相位： t =0 时的相位。0

)cos( 1011 tAx)cos( 2022 tAx

相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：

二者的相位差为：

10201020 )()( tt


10201020 )()( tt

(b) 当时 ,称两个振动为反相； )12( k

(d) 当时 ,称第二个振动落后第一个振动。

0 (c) 当时 ,称第二个振动超前第一个振动；0

讨论 :

相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在 :

)cos( 0 tAx

(a) 当时 ,称两个振动为同相； k2

)2cos()sin( 0m0m tvtvv


)cos()cos( 0m0m tataa

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。

2


3. 简谐振动的矢量图示法3. 简谐振动的矢量图示法

采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。

旋转矢量 :一长度等于振幅 A 的矢量在纸平面内绕 O 点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。

A

简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法

振动相位

逆时针方向

ω

M 点在 x 轴上投影 (P 点 ) 的运动规律：

)cos( 0 tAx

的长度A

旋转的角速度A

旋转的方向A

与参考方向 x 的夹角A

XO

M

P

x

A

0 t

振幅 A

振动圆频率


A

XO

速度、加速度的旋转矢量表示法：

A

X

v

xva

xa

0 t

沿 X 轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。

,v

a

M 点 :

M

A

XO

Avm Aam

2

0v

0v


两个同频率的简谐运动：

)cos( 111 tAx

相位之差为 .)()( 1212 tt

XO

1A

1

)cos( 222 tAx

采用旋转矢量直观表示为：

2A

2


例 15-1 一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m, 周期 T

=2s 。当 t=0 时 , 物体的位移 x=0.06m, 且向 X 轴正向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2) t =T/4 时物体的位置、速度和加速度 ;(3) 物体从 x =-0.06m 向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。

解 : (1) 取平衡位置为坐标原点 , 谐振动方程写为：

(m))3cos(12.0 tx

)cos( 0 tAx其中 A=0.12m, T=2s, )(s2 1 T初始条件： t = 0, x0=0.06m, 可得

06.0cos12.0 0 30 据初始条件得

,0sin 00 Av 30


(2) 由 (1) 求得的简谐振动表达式得 :

)s(m)3sin(12.0dd 1 t

tx

v

)s(m)3cos(12.0dd 22 t

tv

a

在 t =T/4=0.5s 时，从前面所列的表达式可得

m104.0m)35.0cos(12.0 x11 sm18.0sm)35.0sin(12.0 v

222 sm03.1sm)35.0cos(12.0 a


(3) 当 x = -0.06m 时，该时刻设为 t1, 得21)3cos( 1 t

34,3231 t

因该时刻速度为负，应舍去，34 s11 t

设物体在 t2 时刻第一次回到平衡位置，相位是 232332 t

因此从 x = -0.06m 处第一次回到平衡位置的时间：。s83.012 ttt

另解：从 t1 时刻到 t2 时刻所对应的相差为：653223

s83.12 t

s83.0 t


§4-2 无阻尼自由振动谐振子§4-2 无阻尼自由振动谐振子

谐振子作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统当振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下作振动时，称为无阻尼自由振动。

1. 无阻尼自由振动谐振子

当回复力与位移成正比而反向时，所作的无阻尼自由振动才是简谐振动，这时，振动周期和频率完全决定于振动系统本身的各个参量，称为固有周期和固有频率

XO

XO

XO

F

F

（ 1）弹簧振子：（ 1）弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。

2. 几种常见的简谐振动2. 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动

对于弹簧振子，因有，得 :mk

,2 kmT mk

21

, xmk

mF

a 2mk令

xt

xa 2

2

2

d

d

几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动

（ 2 ） . 单摆和复摆（ 2 ） . 单摆和复摆a. 单摆

g

m

T

重物所受合外力矩：sinmglM

O

l

...!5!3

sin53

sin mglM

据转动定律，得到 l

g

ml

mgl

J

M

t

22

2

d

d

很小时 (小于 ) ，可取5

令 ,lg2 。lgT 22 有


)cos( 0 tm

转角的表达式可写为：

角振幅和初相由初始条件求得。m 0

单摆周期与角振幅的关系为mT

2

sin4

3

2

1

2sin

2

11 4

2

2

22

20mmTT

为很小时单摆的周期。0T m

根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。


(b) 复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。

g

m

C

O 刚体的质心为 C, 对过 O 点的转轴的转动惯量为 J, O 、 C 两点间距离的距离为 h 。

sin

d

d2

2

mght

J

mgh

tJ

2

2

d

d

令J

mgh2

0d

d 22

2

t mgh

JT

22

据转动定律，得

若角度较小时


例 4-2 一质量为 m 的平底船，其平均水平截面积为 S ，吃水深度为 h ，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。

解 : 船静止时浮力与重力平衡，

mghSg

O

y

P Py

船在任一位置时，以水面为坐标原点 ,竖直向下的坐标轴为 y 轴，船的位移用 y 表示。


船的位移为 y 时船所受合力为：SgymgSgyhf )(

船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为 :

m

Sg gS

mT

22

因 ,Shm

g

hT 2得 :


3. 简谐振动的能量3. 简谐振动的能量

)(sin2

1

2

10

2222 tAmmvEK

)(cos2

1

2

10

222 tkAkxEP

动动

动动

动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

动动动动动动动动

)(cos2

1)(sin

2

10

220

222

tkAtAm

EEE PK

PK EEE

简谐振动的能量简谐振动的能量

动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

2

2

1kAE mk2

能量平均值2

0 0222

4

1d)(sin

2

11kAttAm

TE T

K

20 0

22

4

1d)(cos

2

11kAttkA

TE T

P

2EEE PK

上述结果对任一谐振系统均成立。

谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线 :

tAx cost

x

O

2

2

1kAE

PE

kEtO

E


'O

O

2

d

d

2

1

tJEK

CP mghE

l

AB

动动动动动动 AB 动动动动动动动动 l 动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

glT 32'OO

动动动动动动 2R, 质量为 m ，在棒扭动时 , 其质心沿上下运动。因扭动角度很小，可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为时 , 细棒在水平面内转动角度为，则有

'OO

Rl


hc 动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

动动动动动动动

)cos1(

d

d

3

1

2

1 22

mglt

mREE PK

动动动动动动动动动动动动动动动动 l

Rsin

0d

d

d

d

d

d

3

12

22

tl

R

l

Rmgl

ttmR

22

2 3

d

d

l

g

tglT 322 动动动

)cos1( lhc

3/12/)2( 22 mRRmJ

'O

O

l

AB

动动


例 4-4 劲度系数为 k 、原长为 l 、质量为 m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为 M 的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。

M

l x

s sd

2

0

2

1 6

1)d(

2

1mvv

l

ss

l

mE

l

K

2

2 2

1MvEK

lsxlsmm dd

动动动动动 O 动动动动动动动动动动动动 x 动动动动动动动动动动动动动动动 M 动动动动动 x 。当物体

动 x 处时 , 弹簧元 ds 的质量 ,

位移为速度为弹簧、物体的动能分别为：

,d

d

t

x

l

s

X

O


动动动动动动为 22kxEP

动动动动动动动动动 222

2

1

6

1

2

1kxmvMv

22

2

1)

3(

2

1kxv

mM

动动动动动动动动动动动动动动

0d

d)

3( kx

t

vmM 0

3d

d2

2

xmM

k

t

x

2

动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

kmMT )3(22

动动

动动动

动动


§4-3 阻尼振动受迫振动共振§4-3 阻尼振动受迫振动共振

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼

对在流体 (液体、气体 )中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为

t

xvF

d

df

：阻力系数

1. 阻尼振动

在阻力作用下的弹簧振子阻尼振动阻尼振动

受力：

运动方程 :t

xkx

t

xm

d

d

d

d2

2

引入阻尼因子 m2 固有频率 mk0

0d

d2

d

d 202

2

xt

x

t

x

在小阻尼条件下，微分方程的解为 :)( 0

)''cos(e 00 tAx

t 220' 其中

阻力kx fF弹性恢复力

)''cos(e 00 tAx

t

0A其中和为积分常数 ,由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；反映了阻尼对振幅的影响。

'0

te

tA

e0

t

x

O

阻尼振动的准周期性减幅振动

阻尼振动阻尼振动

阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有

022

0

22

'

2'

T

显而易见，由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：

tAA

e0

振幅随时间作指数衰减。阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。


阻尼振动的三种情形：

0

0

0

t

x

O

临界阻尼

过阻尼

欠阻尼

欠阻尼过阻尼

临界阻尼

通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。


阻尼振动的三种情形：

0

0

0

t

x

O

临界阻尼

过阻尼

欠阻尼

欠阻尼过阻尼

临界阻尼

通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。


受迫振动共振受迫振动共振 2. 受迫振动 2. 受迫振动物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。

物体所受驱动力： tFF cos0运动方程：

tFt

xkx

t

xm cos

d

d

d

d02

2

设 mk20 m2

tm

Fx

t

x

t

x cosd

d2

d

d 0202

2

受迫振动受迫振动

对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为 :

)cos()'cos(e 0022

00 tAtAx

t

衰减项稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。

)cos( 0 tAx

222220

0

4)(

m

FA

220

0

2tg

)2cos(d

d0 tv

t

xv m

稳态时振动物体速度：

222220

0

4)(

m

Fvm

在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。

受迫振动受迫振动

3. 共振3. 共振对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。

A

O 0

阻尼 =0阻尼较小阻尼较大

0d

d

A根据

220 2 共振

共振共振

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。

0d

d

mv根据

0 共振

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。

mv

O 0

阻尼 =0阻尼较小阻尼较大

§4-4 同方向的简谐振动的合成§4-4 同方向的简谐振动的合成

1. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 1. 同方向同频率的两个简谐振动的合成设一质点同时参与沿同一方向 (x 轴 ) 的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：

)cos( 1011 tAx )cos( 2022 tAx

合位移： )cos( 021 tAxxx

)cos(2 10202122

21 AAAAA

202101

202101

coscos

sinsintg

AA

AA

合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。

1A

10

2x

21 AAA

A矢量沿 X 轴之投影表征了合运动的规律。

旋转矢量图示法

XO

2A

20

1xx

同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成

(1) 当 k(k=0 及正负整数 ) ， cos(20-10)=1, 有

21 AAA 同相迭加，合振幅最大。

(2) 当 (k+1)(k=0及正负整数 ), cos(20-10)=0, 有

21 AAA 反相迭加，合振幅最小。当 A1=A2 时， A=0 。

(3) 通常情况下，合振幅介于和之间。21 AA 21 AA

动动动

1A

2A

XO

1A

2A

XO


例 4-4 N 个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为 0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量 a ，振动表达式可写成

tax cos1 )cos(2 tax)2cos(3 tax

])1(cos[ NtaxN

求它们的合振动的振幅和初相。

解 :采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。根据矢量合成法则， N 个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：


O X1a

2a 3a

4a

5a

C

因各个振动的振幅相同且相差依次恒为，上图中各个矢量的起点和终点都在以 C 为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得

A

M

NOCM


在三角形 OCM 中 ,OM 的长度就是和振动位移矢量的位移 ,角度就是和振动的初相，据此得MOX

2sin2

NOCA

考虑到2

sin2

OCa

2sin

2sin

NaA

COMCOXMOX

2

1)(

2

1)(

2

1

NN

当时 (同相合成 )，有0 ,NaA 。0


2. 同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍 2. 同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍

)cos(),cos( 02220111 tAxtAx

两个简谐振动合成得：

当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。两个简谐振动的频率和很接近，且1 2 12

)2

cos()2

cos(2 01212

ttAx

x = x1+ x2

同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍

2112

2

因 ,~ 21 112 或 ,2 有

在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化 , 第二项是角频率近于的简谐函数。合振动可视为是角频率为、振幅为的简谐振动。

1 或 22)( 21

2)(cos2 12 tA

合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。拍频 :单位时间内强弱变化的次数。

1212

2

t1x

t2x

tx

同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍

§4-5 相互垂直的简谐振动的合成§4-5 相互垂直的简谐振动的合成

两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式

消时间参数，得

)cos( 101 tAx

)(sin)cos(2 10202

102021

22

2

21

2

A

y

A

x

A

y

A

x

)cos( 202 tAy

合运动一般是在 ( x 向 ) 、 ( y 向 )范围内的一个椭圆。

12A 22A

椭圆的性质 ( 方位、长短轴、左右旋 ) 在 A1 、

A2 确定之后 ,主要决定于。1020

相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成

(1) 动动动动动动动动动动 xA

Ay

1

2

在任一时刻离开坐标原点位移为：

)cos(22

21 tAAs

(2) 两个分运动反相位，得

xA

Ay

1

2

几种特殊情况：

(3) /2 动动 122

2

21

2

A

y

A

x

(4) 2 动动动动 122

2

21

2

A

y

A

x


动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动动

动动动动动动动动动动动动动动动动动动



1020

0

QP · .

4 2 43

45 23 47


方向垂直的不同频率的简谐振动的合成• 两分振动频率相差很小

可看作两频率相等而随 t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化

轨迹称为李萨如图形-A2

y

x

A1

A2O

- A1

• 两振动的频率成整数比

t)( 12

0,4

2:3:

1020

yx


1:2 1:3 2:3

0

2

动动动动动动动动动动


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§4-2 无阻尼自由振动 谐振子

§4-2 无阻尼自由振动谐振子