4-3 Maximos y Minimos

MATEMÁTICASMATEMÁTICASPropedéutico. Maestría en Fisicoquímica

CAP. IV CÁLCULO INTEGRAL4.3 Máximos y mínimos

JESÚS RAMÓN COB CANTÚ

MATEMÁTICAS. PROPEDÉUTICO FQ. CINVESTAV - Unidad Mérida

Contenido

Introducción

Definición

Ejemplos


Introducción

El cálculo diferencial:

Aplicaciones de la derivada.

Se refiere a la forma de obtener los puntos máximos y mínimos de una función.

Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.

Estudia los incrementos en las variables. Sean X y Y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x.


Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.

Los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.



Definición

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Sea f(x) una función y Xo un punto del dominio.La función f(x) presenta un máximo relativo en Xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:


Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).

A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.


x

y

a d

f(a)

f(d)

b c e

En la figura se muestra una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a.

Si sólo consideramos valores de x cercanos a b, entonces f(b) es el mas grande de esos valores de f(x) y se conoce como máximo local de f.


TEOREMA:

CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS Sea una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.

Ejemplo:

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos,pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.

X Y1/2 1/4 P.crític

o


Resumen


Máximos y mínimos relativos Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:1. f'(a) = 02. f''(a) < 0

Mínimos relativosSi f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0


Cálculo de máximos y mínimos relativos

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que

toman en ella las raíces de derivada primera y si:f''(a) < 0 es un máximo relativof''(a) > 0 es un mínimo relativo3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.


Ejemplo:Calcular los máximos y mínimos de:f(x) = x3 − 3x + 2f'(x) = 3x2 − 3 = 0f''(x) = 6xf''(−1) = −6 Máximof''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)


1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.


Método del intervalo cerrado para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a; b]:

1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a; b).

2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.

3. El mas grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el mas pequeño es el valor mínimo absoluto.

Documents

4-3 Maximos y Minimos