中原工学院　理学院

任课教师　曾灏宪

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任课教师　曾灏宪

4 刚体转动

4.3 角动量 角动量守恒定律

大学物理（上）

4 　刚体转动

amF

m

dt

vda

，vmp 2

2

1mvEk

dmrJ 2i

iirmJ 2

JM

dt

d

dt

rdv

右手螺旋,

dt

d

?

问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？

系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？

说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。* 引入与动量 对应的角量 ——角动量（动量矩）p

L

动量对参考点（或轴）求矩

ip jp

0,0 p22

k vv mEmp 质点运动状态的描述

x

y

z

m

r

pO

12 smkg

sin

单位：

服从右手螺旋法则。组成的平面和方向：垂直于

大小：pr

rmvL

L

1. 质点的角动量 vmrprL

L

r

质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。

0

0

LO

LO

m

为参考点：以

为参考点：以

作直线运动设

o

o

r

r

p

m p

角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点的位置有关

一 质点的角动量和刚体的角动量

i i i

iiiiii vmrprLL

2. 质点系角动量

系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和

设各质点对 O 点的位矢分别为： ............, 21 irrr

动量分别： .............., 21 iPPP

3. 定轴转动刚体的角动量

沿方向大小

:

: 2iiiiiio

io

rmvmrLL

2iiio rmL 即

mi 对 O 的角动量：iiiio vmrL

iv

imo r

转动平面

z

i

im

z转轴 , 角速度转轴与转动平面交点刚体上任一质点

𝑶

刚体定轴转动的特点： (1) 各质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不同的圆周运动。 (2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。

刚体对 z 轴的总角动量为 i

izz LL

ii

i mr 2

i

ii mr 2

J

JL

Jmr

mrLL zz

d

dd2

2

对质量连续分布的刚体：

v

mdo r

z

JL

1. 质点角动量的时间变化率

)(d

d

d

dpr

tt

L

prL

MFrt

pr

t

L

vmvpvpt

r

d

d

d

d

0d

d

所以

因为

质点位矢 合力

Mt

L

d

d

r

m

F

O

Fr

质点的角动量定理

二 刚体定轴转动的角动量定理

t

prp

t

r

d

d

d

d

2. 质点系角动量的时间变化率

对 N 个质点 组成的质点系，由Nmmm ,,, 21

t

LFrM

d

d

可得

内外

内外

内外

NNN MMt

L

MMt

L

MMt

L

d

d

d

d

d

d

222

111

两边求和得

i iii

ii

MM

t

LL

t

内外

d

d

d

d

于是：外外 ii FrM

t

L

id

d

i i

iii

i MMt

LL

t 内外

d

d

d

d

由图可知

0i

iM 内

1

2

12f

21f

1m2m

1r

2r

dO

质点系的角动量定理

质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角动量。

3. 定轴刚体的角动量定理

由 外Mt

L

d

d

Jt

JJtt

LM z

z d

d)(

d

d

d

d

JmrLi

iiz 2

得

刚体定轴转动的角动量定理的积分形式

122

1

2

1

dd JJLtML

L

t

t

角动量定理的积分形式

积分形式微分形式

质点

质点系

定轴刚体

LLtML

L

t

t

2

1

2

1

dd

LLtML

L

t

t

2

1

2

1

dd外

t

LM

d

d

t

LM

d

d

外

tJJM

d

d 轴

2

1

2

1

ddt

t

JJtM轴

注意：(1) 力矩对时间的积累：角冲量

定义： 2

1

dt

t

tM

效果：改变角动量

(3) 同一式中， 等角量 要对同一参考点或同一轴计算。

,,, JLM

p

变化量与 对应2

1

dt

t

tF

变化率与 对应F

(2) 比较 : L

变化量（）与 对应2

1

dt

t

tM

变化率（）与 对应

（冲量矩）

由角动量定理： 12d1

2LLLtMt

t

外

当 时，0外M

0L

L

恒矢量

对质点系

恒量时

恒量时恒量时

zz

yy

xx

LM

LM

LM

0

0

0分量式：

对定轴转动刚体，当 0轴M 时， 恒量轴 Lexin MM 在冲击等问题中 L 常量

三 角动量守恒定律

当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。

角动量守恒定律

1. 守恒条件： 或 0轴M0外M

能否为 ?0d tM外

2. 与动量守恒定律对比：

当 时，0外M L

恒矢量

p

恒矢量当 时，0外F

彼此独立

不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证过程中每一时刻角动量相同。

角动量守恒定律应用举例

(1) 对于单一刚体： J 、 均不变， 则匀速转动

(2) 对于系统 : Ji 、 均可以变化，但 不变i iiJ

角动量守恒定律适用于以下情况：

(3) 对于变形体： 均可 以变化，但 不变

,JJ

有心力场中的运动

物体在有心力作用下的运动

力的作用线始终通过某定点的力

力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对力心的角动量守恒。

应用广泛，例如： 天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星……） 微观粒子运动（电子绕核运动；加速器中粒子与靶核散射……）

例 关于力矩有以下几种说法 :

（ 1 ）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量 ;

（ 2 ）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 ;

（ 3 ）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，他们的角加速度一定相等 ;

在上述说法中(A) 只有（ 2 ）是正确的 ;

(B) （ 1 ）、（ 2 ）是正确的 ;

(C) （ 2 ）、（ 3 ）是正确的 ;

(D) （ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）都是正确的 .

例 细绳一端拴着质量为 m 的小球 , 另一端穿过水平桌面上的小孔 O 。先使小球在桌面上以速度 v1 沿半径为 r1

的圆周匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下拉，使半径减小到 r2 。设小球与桌面的摩擦不计，求此时小球的速度和拉力 T 对小球所作的功

O 1r2r解：绳子拉力对 O 点的力矩为零

由角动量守恒有

2211 vmrvmr

因缓慢拉绳，忽略小球沿绳方向的速度

2211 mvrmvr 2

112 r

rvv

21

22 2

1

2

1mvmvW ]1)[(

2

1 2

2

121

r

rmv

解 : 系统角动量守恒

)( 212211 JJJJ

)( 21

2211

JJ

JJ

例 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A 和 B. A 是机器上的飞轮 , B 是用以改变飞轮转速的离合器圆盘 . 开始时 , 他们分别以角速度 ω1 和 ω2 绕水平轴转动 . 然后 , 两圆盘在沿水平轴方向力的作用下 .啮合为一体 , 其角速度为 ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度 .

解 : 碰撞前 M 落在 A 点的速度

21M )2( ghv

例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来 . 设跷板是匀质的 , 长度为 l , 质量为 , 跷板可绕中部支撑点 C 在竖直平面内转动 , 演员的质量均为 m. 假定演员 M 落在跷板上 , 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 . 问演员 N 可弹起多高 ?

'm

ll/2

C A

B

M

Nh

碰撞后的瞬间 ,

M 、 N具有相同的线速度

M 、 N 和跷板系统角动量守恒

21M )(2ghv

2MNl

uuu

22

2M

lmuJ

lm v

lmm

ghm

mllm

lm

)6(

)2(6

212

2 21

22M

v

演员 N 达到的高度

hmm

m

g

l

g

uh 2

222

)6

3(

82

ll/2

C A

B

M

Nh

22

2

1

12

1mllm

作业

P118: 17 ； 21

版权声明

本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）上册》（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的“大学物理题库”；其余文字资料由 Haoxian Zeng

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