Upload
duongdung
View
218
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4. Aproksymacja
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja oznacza przybliżanie funkcji za pomocą „prostszej”, należącej do określonej klasy funkcji .
Przyczyny strosowania aproksymacji:
- funkcja aproksymowana wyrażona jest za pomocą skomplikowanej, niepraktycznej zależności analitycznej,
- znany jest tylko skończony zbiór wartości funkcji , np. odczyta- nych w trakcie pomiaru.
Funkcji aproksymującej (przybliżającej) poszukuje się zwykle w określonej rodzinie funkcji np. wśród wielomianów.
Przybliżanie jednej funkcji przez inną powoduje pojawianie się błędów, zwanych błędami aproksymacji (przybliżenia).
y= f x
y=F x
y= f x
y= f x
y=F x
Wprowadzenie (4.1)
W zależności od sposobu mierzenia błędu aproksymacji rozróżnia się dwa rodzaje:
- aproksymację jednostajną
- aproksymację średniokwadratową
Aproksymacja jednostajna (4.1.1)
Zakłada się, że funkcje oraz są określone i ciągłe w przedziale . Błąd aproksymacji jest mierzony za pomocą normy Czebyszewa
Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)
Wyróżnia sie dwa przypadki:
- aproksymacja ciągła - funkcja jest określona i ciągła w przedziale . Błąd aproksymacji wyraża zależność
gdzie to nieujemna, rzeczywista funkcja wagowa.
y=F x y= f x[a ;b]
y= f x[a;b]
y=w x
∥ f −F ∥=∫a
b
w(x)[ f (x )−F (x)]2dx ,
∥ f −F ∥=s upa⩽ x⩽b
∥ f (x)−F (x)∥.
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)
- aproksymacja dyskretna - funkcja jest funkcją dyskretną tzn. Jej znane wartości można przedstawić za pomocą tabeli.
Błąd aproksymacji wyraża zależność
Funkcję aproksymującą wybiera się najczęściej w postaci wielomianu uogólnionego
w którym funkcje są wybranymi a priori funkcjami bazowymi wymiarowej przestrzeni liniowej. W takim przypadku zadanie aproksymacji sprowadza się do określenia współczynników
m1
y= f x
a0 , a1 , , am.
0x ,1 x , ,mx
Tabela 4.1. Znane wartości funkcji dyskretnej
F x =a00x a11xammx
∥ f−F ∥=∑i=0
n
w x i[ f xi−F x i]2 .
Wprowadzenie (4.1)
Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2)
W charakterze funkcji bazowych wybiera się najczęściej
- jednomiany (baza jednomianów), gdyż zgodnie z twierdze- niem Weierstrassa, dla każdej funkcji określonej i ciągłej na domkniętym i ograniczonym odcinku istnieje taki wielomian
który przybliża jednostajnie funkcję na odcinku
- funkcje trygonometryczne (baza trygonometryczna), gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, dla
każdej funkcji określonej i ciągłej na oraz okresowej o okresie istnieje taki wielomian trygonometryczny
który przybliża jednostajnie funkcję
y= f x1, x , x2 , , xm
1,cos x , sin x ,cos2x ,sin 2x , ,cosmx ,sinmx
[a ;b]W m=a0+a1 x+a2 x
2+… , amxm ,
y= f x [a ;b] .
y= f x R2
y= f x.
Sm(x )=a0
2+∑
k=1
m
(ak cos kx+bksin kx) ,
Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna (4.2)
Zakłada się, że znane wartości funkcji aproksymowanej zostały zestawione w tabeli 4.1. Funkcja będzie aproksymowana wielo- mianem uogólnionym . Błąd aproksymacji jest obliczany z wzoru
Zadaniem aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej jest wyznaczenie takich współczynników wielomianu przy których błąd aproksymacji jest najmniejszy. Zagadnienie to można rozwiązać stosując metodę najmniejszych kwadratów. W tym celu odległość rozpatruje się jako funkcję zmiennych niezależnych :
Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu zmiennych
y= f xy= f x
F (x)=a0φ0(x)+a1φ1( x)+…+amφm( x)
∥ f−F ∥=∑i=0
n
w x i[ f xi−F x i]2 .
a0 , a1 , a2 ,… , am
∥ f−F ∥
∥ f−F ∥ m1
Dm(a0 , a1 ,... , am)=∥ f −F ∥=∑i=0
n
w(xi)[ yi−∑k=0
m
akφ k (x i)]2
.
dla j=0,1 , ... ,m .
∂Dm(a0 , a1 ,... , am)∂ a j
=∑i=0
n
2⋅w(x i)[ y i−∑k=0
m
akφ k (xi)]φ j(x i)=0
F (x) ,a0 , a1 , a2 ,… , am
Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna cd. (4.2)
Po uporządkowaniu składników względem otrzymuje się
Oznaczając przez (iloczyn skalarny)
sprowadza się zagadnienie znalezienia optymalnych współczynników do rozwiązania układu równań liniowych:
noszącego nazwę układu normalnego (układu równań normalnych).
ak , k=0,1 , ,m
ak , k=0,1 , ,m
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów (4.3)
Jeśli w charakterze funkcji bazowych przyjmie się ciąg jednomianów funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu
a układ normalny będzie równy
gdzie:
Można wykazać, że jeżeli argumenty są różne i wyznacznik układu normalnego jest różny od zera — układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Rozwiązując powyższy układ wyznacza się współczynniki
F x =a0a1 xa2 x2amx
m
1, x , x2, , xm ,
x0, x1, x2,… , xn mn ,
a0,a1,a2, , am.
s0a0+ s1a1+...+smam=t0 ,s1a0+ s2a1+...+sm+1am=t1 ,............................................... ,sma0+sm+1a1+...+s2mam=tm ,
sk=∑i=0
n
x ik dla k=0,1 , ... ,
t k=∑i=0
n
yi x ik dla k=0,1 , ....
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów cd. (4.3)
Przykład: W poniższej tabeli zostały odnotowane wyniki przeprowadzonego doświadczenia Przeprowadzający doświadczenie stwierdził, że badana funkcja jest zbliżona do funkcji kwadratowej oraz wartość jest obarczona zbyt dużym błędem. Wyznaczyć wartość funkcji dla
Rozwiązanie: Ponieważ wartość funkcji jest obarczona błędem grubym, nie będzie uwzględniana w obliczeniach. Zostaną one oparte na następującej funkcji tabelarycznej: Zgodnie z uwagą poczynioną przez przeprowadzającego eksperyment funkcja będzie przybliżana parabolą Współczynniki zostaną wyznaczone poprzez rozwiązanie układu równań liniowych
y= f x
F 2x =a0a1 xa2 x2 . a0 , a1 , a2
f (2,5)x=2,5.
f (2,5)=1,55
s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t2 .
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów cd. (4.3)
W tabeli poniżej zestawiono obliczenia prowadzące do wyznaczenia współczynników i si t i , i=0,1,2 .
Tabela 4.3. Proces obliczania współczynników si i t i .
Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów cd. (4.3)
Rozwiązując uklad równań
Otrzymuje się:
Wielomian aproksymacyjny ma postać
Rozwiązanie zadania otrzyma się podstawiając
a0=1,124 ,
[ 7,000 11,500 28,75011,500 28,750 82,37528,750 82,375 253,188][a0
a1
a2]=[11,92030,810
96,235]a1=−1,495 , a2=0,739.
F 2x
F2(x )=1,124−1,495 x+0,739 x2 .
F2(2,5)=1,124−1,495⋅2,5+0,739⋅2,52=2,0.
x=2,5
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.4)
Układ wielomianów nazywany jest układem ortogonalnym z funkcją wagową na zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy
Układ ortogonalny wielomianów jest układem funkcji liniowo niezależnych. Można zatem układ taki potraktować jako bazę pewnej podprzestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję za pomoca liniowej kombinacji wielomianów tej bazy. W przypadku, gdy funkcje bazowe tworzą układ ortogonalny, tzn. dla układ równań normalnych przyjmuje postać
φ0(x) ,φ1(x ) ,… ,φm(x )y=w x X={x0, x1, , xn }
y= f x
j ,k =0 j , k=0,1,, m ; j≠k
j ,k =∑i=0
n
w x i j x ik x i {=0 dla j≠k ,0 dla j=k .}
(φ0 ,φ0)a0 =(φ0 , f ) ,(φ1 ,φ1)a1 =(φ1 , f ) ,
…………………………………………………… ,(φm ,φm)am=(φm , f ).
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.4)
Rozwiązanie powyższego układu równań określają wzory
dla
Błąd aproksymacji można wyznaczyć korzystając z zależności
Jak można zauważyć: , co oznacza, że odchylenie średniokwadratowe maleje monotonicznie wraz ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego.
a j= j , f j , j
=∑i=0
n
w x i jx i f x i
∑i=0
n
w x i j2x i
j=0,1, ,m.
Dmmin=∥ f−F ∥=∑
i=0
n
w xi f2x i−∑
k=0
m ∑i=0
n
w x ik xi f xi2
∑i=0
n
w x ik2 x i
.
D0minD1
minD 2min
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.4)
Układ wielomianów ortogonalnych można otrzymać np. ortogonalizując ciąg jednomianów za pomocą metody Grama-Schmidta:
Można pokazać, że wielomiany ortogonalne spełniają prostą zależność rekurencyjną tzw. regułę trójczłonową, która po uproszczeniach przyjmuje postać:
gdzie dowolne oraz
Wielomiany tworzą na zbiorze układ ortogonalny z funkcją wagową Funkcję można teraz przybliżać za pomoca wielomianu
x0 , x1 , x2 ,… , xmp0 , p1 , p2 ,… , pm
p0=x0=1, p i=x i−∑k=0
i−1 ( xi , pk )( pk , pk )
pk , i=1,… ,m.
p−1(x)=0, p0(x)=1, pk1 x=x− k1 pk x−k pk−1 x , k=0,1, ,
k=∑i=0
n
pk2x i
∑i=0
n
pk−12 x i
k=1,2, , k1=∑i=0
n
x i pk2x i
∑i=0
n
pk2x i
k=0,1,, .
p0 , p1 , p2 ,… , pm X={x0 , x1 , x2 ,… , xn}y=w(x)≡1 .
y= f (x)F (x )=a0 p0(x )+a1 p1(x)+…+am pm(x).
0
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortonormalnymi (4.5)
Układ wielomianów nazywany jest układem ortonormalnym z funkcją wagową na zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy
Układ równań normalnych redukuje się rówczas do zestawu równań pozwala- jących na bezpośrednie wyznaczenie wektora parametrów
(φ j ,φk )=∑i=0
n
w(x i)φ j(xi)φk (x i)=∑i=0
n
φ j (xi)φk (xi) {=0 dla j≠k ,=1 dla j=k .
φ0(x) ,φ1(x ) ,… ,φm(x )y=w(x)≡1 X={x0, x1, , xn }
a0 =(φ0 , f )=∑i=0
n
φ0( xi) f (x i) ,
a1 =(φ1 , f )=∑i=0
n
φ1(x i) f ( xi) ,
…………………………………………………………… ,
am=(φm , f )=∑i=0
n
φm(x i) f (xi).
a0 , a1 , a2 , , am .
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama (4.5.1):
Zakłada się, że węzły funkcji aproksymowanej, oznaczone przez są punktami podziału odcinka na równych części tj.:
W punktach tych funkcja aproksymowana przyjmuje wartości:
Wielomiany Grama są określone zależnościami rekurencyjnymi:
jest dowolne, k=
k
k−1dla k=1, 2, , n−1.
u0,u1,… , un ,
G0(u )=α0=1
√(n+1),
u i=2 in−1 , i=0,1,… , n.
G−1u =0,
αk=nk √ 4k2−1
(n+1)2−k 2 dla k=1,2,… , n−1,
[−1 ;1] n
f (x)y i= f (u i) , i=0,1,… , n.
G k u= k⋅u⋅Gk−1u− kG k−2u dla k=1,2, , n−1,
1
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Wielomiany Grama tworzą układ ortonormalny na zbiorze:
z funkcją wagową . Funkcję na odcinku można przybliżać stosując wielomian:
Przykład: Dokonać aproksymacji danych pomiarowych zamieszczonych w poniższej tablicy za pomocą wielomianu aproksymacyjnego rzedu zbudowanego z wielomianów Gramma.
Stosując wielomian oszacować wartość funkcji dla
X={u0,u1,… , un}={−1, 2n−1, 4
n−1,… ,1}
y= f (x) [−1 ;1]
Qm(u)=a0G 0(u)+a1G1(u)+ ,… ,+amGm(u ) dla m⩽n−1.
G k (u)=0, k=0,1,… , n−1,
y=w(x)≡1
m=2
Q 2(u)=a0G 0(u)+a1G 1(u)+a2G2(u ).
Q 2(u) f (x) x=2,125.
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Rozwiązanie: Do rozwiązania powyższego zadania można użyć wielomianów Grama, ponieważ węzły są rozmieszczone równomiernie - oraz W pierwszej kolejnosci należy przekształcić przedział zmienności funkcji równy na odcinek , w którym to przedziale wielomiany Grama są ortogonalne. Przekształcenia proste i odwrotne wyrażają zależności:
gdzie: oraz . Wielomian aproksymacyjny
przyjmuje postać:
Aby skonstruować wielomiany Grama konieczne jest wyznaczenie wartości zmiennych pomocniczych: przy czym przyjmuje się, że oraz jest dowolne.
u=43x−7
3, x=3
4u+7
4.
f (x)
Q 2(u)=a0G 0(u)+a1G 1(u)+a2G2(u ).
[1,0 ; 2,5]
h=0,25
[−1 ;1]Gi(u) , i=0,1,… ,
Q 2( x)=a0G 0(43 x−73)+a1G1(43 x−7
3)+a2G2(43 x−73)=a0G0
' (x )+a1G1' (x )+a2G2
' (x) .
1,0⩽ x⩽2,5 −1⩽u⩽1
G0(u ) , G1(u) , G 2(u) ,α 0 ,α 1 ,α 2 ,γ 2 ,
G−1(u)=0 γ 1
n=6 .
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Rozwiązanie cd.:
Wielomiany oraz wyznacza się rekurencyjnie otrzymując zależności:
Współczynniki wagowe wielomianu aproksymacyjnego oblicza się rozwiązując ''zredukowany'' układ równań normalnych:
Q 2( x)
G1(u)
G0' (x )=G0(u)=α0=
1√(n+1)
=1
√(6+1)=0,378 , α1=
61 √ 4⋅12−1
(6+1)2−12=1,500 ,
α2=62 √ 4⋅22−1
(6+1)2−22=1,7321 , γ 2=α 2
α 1=1,1547 .
G 2(u)
G1(u)=α 0α 1(u ) → G1' (x )=α 0α 1(43 x−7
3)=0,7559 x−1,3229 ,
G2(u)=α 0α 1α 2(u)2−α 0γ 2 → G2
' (x)=α 0α 1α 2(43 x−73)
2
−α 0γ 2
=1,7457 x2−6,1101x+4,9099 .
a0 , a1 , a2
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Rozwiązanie cd.:
Ostatecznie wielomian aproksymacyjny przyjmuje postać:
A po uporządkowaniu:
Oszacowanie wartość funkcji dla wynosi
a0=(G0' (x) , f (x))=∑
i=0
6
G0' (x i) f (xi)=∑
i=0
6
0,378⋅ f (x i)=−0,0038 ,
a1=(G1' (x) , f (x))=∑
i=0
6
G1' (x i) f (x i)=∑
i=0
6
(0,7559 x i−1,3229)⋅ f (x i)=−0,0493 ,
a2=(G2' (x ) , f ( x))=∑
i=0
6
G2' (xi) f (x i)
=∑i=0
6
(1,7457 xi2−6,1101 xi+4,9099) f (x i)=−3,4460 .
Q 2( x)=−0,0038⋅0,378−0,0493⋅(0,7559 x−1,3229)+
Q 2( x)=−16,8556+21,0180 x−6,0158x2.
−3,446⋅(1,7457 x2−6,1101 x+4,9099).
f (x) x=2,125 Q2(2,125)=0,6426.
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):
Rozwiązanie cd.:
Dane pomiarowe oraz wielomian aproksymacyjny Gramaf (xi) Q2( x).
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Zakładamy, że funkcja aproksymowana jest funkcją ciągłą, okresową o okresie głownym oraz, że znane są jej wartości w węzłach będących punktami odcinka (okres główny ) określonych wzorami.
Ciąg funkcji zwany układem trygonometrycznym jest układem funkcji ortogonalnych na zbiorze
z funkcją wagową . Funkcję można przybliżać stosując wielomian trygonometryczny rzędu :
Optymalne w sensie aproksymacji średniokwadratowej współczynniki wyraża się wzorami:
1, cos(ν ) , sin(ν ) ,cos(2ν ) , sin(2ν ) ,… ,cos (2ν ) ,sin (2ν ) ,… ,
y= f (ν )2π
[0 ; 2π ]ν 0,ν 1,… ,ν n
ν i=2πn+1
i dla i=0,1,… , n.
V={ν 0,ν 1,… ,ν n}={0, 2πn+1
, 4πn+1
,… , 2nπn+1}
y=w(ν )≡1 y= f (ν )m
Sm(ν )=a0
2+∑
k=1
m
(ak cos(kν )+bk sin(kν )) .
ak , k=0,1,… , bk , k=1,2,… ,
f (ν )
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Noszą one nazwę współczynników Fouriera. Wielomian trygonometryczny ze współczynnikami Fouriera nazywa się wielomianem Fouriera.
Dla funkcji ciągłej, parzystej i okresowej o okresie z okresem głownym , współczynniki Fouriera dla . Wielomian aproksymacyjny upraszcza siędo postaci:
Dla funkcji ciągłej, nieparzystej i okresowej o okresie z okresem głownym , współczynniki Fouriera dla . Wielomian aproksymacyjny upraszcza się do postaci:
y= f (ν )[0 ; 2π ]
2πbk=0,
Sm(ν )=a0
2+∑
k=1
m
ak cos (kν ).
ak=2
n+1∑i=0
n
f (ν i)cos(kν i)=2
n+1∑i=0
n
f ( 2πn+1
i)cos(2kπn+1i) dla k=0,1,… ,
bk=2
n+1∑i=0
n
f (ν i)sin(kν i)=2
n+1∑i=0
n
f ( 2πn+1
i)sin(2k πn+1i) dla k=1,2,….
k=1,2,…
Sm(ν )=∑k=1
m
bk sin(k ν ).
y= f (ν )[0 ; 2π ]
2πak=0, k=0,1,…
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Przykład: W tabeli poniżej podano wybrane wartości funkcji ciągłej dla okresowej o okresie 2 z okresem głownym .
Zbudować i wykreślić wielomian aproksymacyjny Fouriera stopnia 5.
Rozwiązanie: Funkcja jest ciągła i okresowa, węzły są rozmieszczone ze stałym krokiem . Ponieważ okres głowny funkcji jest równy a wielomiany trygonometryczne są ortogonalne na odcinku konieczne jest wyznaczenie przekształcenia odcinka na Przekształcenie takie (wraz z przekształceniem odwrotnym) ma postać:
gdzie: oraz Jak mozna zauważyć jest funkcją parzystą, stad do jej aproksymacji można wykorzystać uproszczoną wersję wielomianu:
y= f (t)[−1 ;1]
Sm(ν )=a0
2+∑
k=1
m
ak cos (kν ).
ν=π⋅t+π , t=νπ−1,
[0 ; 2π ] ,
−∞<t<∞ ,
y= f (t)
[−1 ;1]h=0.2 (n=9)
[−1 ;1][0 ; 2π ] .
−1⩽t⩽1 0⩽ν ⩽2π . y= f (t)
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Wyznaczanie współczynników wielomianu Fouriera:
Trygonometryczny wielomian aproksymacyjny ma postać:
S5(t)=1,0000−0,8378cos(π⋅t+π )−0,1222cos(3 (π⋅t+π ))−0,0800cos (5(π⋅t+π )).
a0=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos (0)=0,2⋅(0,0+0,4+0,8+1,2+1,6+2,0+…+0,8+0,4)=2,0000 ,
a1=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos(2π9 i)=0,2⋅(0,0+0,3236+0,2472+…+0,3236)=−0,8378 ,
a2=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos(4π9 i)=0,2⋅(0,0+0,1236−0,6472+…+0,1236)=0,0000 ,
a3=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos(6π9 i)=0,2⋅(0,0−0,1236−0,6472+…−0,1236)=−0,1222 ,
a4=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos(8π9 i)=0,2⋅(0,0−0,3236+0,2472+…−0,3236 )=0,0000 ,
a5=2
9+1∑i=0
9
f (2π9 i)cos(10π9 i)=0,2⋅(0,0−0,4000+0,8000+…−0,4000)=−0,0800 ,
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Funkcja aproksymowana oraz aproksymacyjny wielomian Fouriera
S5(t).f (t)
Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:
Aproksymacja wielomianem Fouriera 5 rzędu jedenastu węzłow — aproksymacja przechodzi w interpolację.
F5(t) f (t)
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Zakłada się, że funkcja aproksymowana jest określona i ciągła w przedziale . Funkcja ta zostaje poddana aproksymacji za pomocą wielomianu uogólnionego
Zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej ciągłej polega na znalezieniu takich współczynników , dla których odległość sensie metryki średniokwadratowej
jest najmniejsza.
Zagadnienie to rozwiązuje sie stosując metodę najmniejszych kwadratów. Minimalizowana funkcja celu zmiennych niezależnych ma postać:
Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu zmiennych otrzymuje się
y= f x[a;b]
c0 , c1 , , cm
m1 c0 , c1 , , cm
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Po przekształceniach wyrażenia polegających między innymi na zamianie kolejności sumowania i całkowania oraz uporządkowaniu zależności względem otrzymuje się
Oznaczając przez
(iloczyny skalarne) powyższe wyrażenie można zapisać w postaci układu normalnego równań liniowych
Rozwiązując ten układ równań znajdujemy optymalne współczynniki (przyjęte ogólne założenia odnośnie bazowych funkcji aproksymujących nie dają gwarancji istnienia rozwiązania).c0 , c1 , , cm
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Jeśli w charakterze funkcji bazowych wykorzysta się ciąg jednomianów funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu
Układ równań normalnych przyjmie postać:
gdzie:
Rozwiązując powyższy układ równań wyznaczamy współczynniki a0 , a1 , , am.
1, x , x2 ,… , xm ,F (x )=a0+a1 x+a2 x
2 ,… , am xm ,
s0a0+ s1a1+...+smam=t0 ,s1a0+ s2a1+...+sm+1am=t1 ,.................................................sma0+sm+1a1+...+s2mam=tm ,
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję w przedziale
f x= x [0 ; 2].
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję w przedziale
Rozwiązanie: Poszukiwane są współczynniki wielomianu
Dla ich znalezienia konieczne jest rozwiązanie następującego układu równań:
gdzie:
f x= x [0 ; 2].a0 , a1 , a2
F2 x =a0a1 xa2 x2 .
s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t 2 ,
m=2
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Rozwiązanie (cd):
Ostatecznie układ równań przyjmuje postać
Jego rozwiązaniem są współczynniki
Wielomian aproksymacyjny wyraża zalezność:
Tablica wartości funkcji oraz wielomianu aproksymującego
a0=635 2 , a1=
2435 2 , a2=−
27
.
F2 x =635 2
2435 2 x−2
7x2.
f x = x F 2x
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)
Rozwiązanie (cd): Wykresy funkcji oraz wielom. aproksymującego
f x F2 x
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)
Układ wielomianów nazywany jest układem ortogonalnym z funkcja wagową na odcinku wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyny skalarne spełniają warunki:
Układ ortogonalny jest układem funkcji liniowo niezależnych. Układ można zatem potraktować jako bazę pewnej przestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję za pomocą liniowej kombinacji funkcji bazy.
W przypadku, gdy funkcje tworzą bazę ortogonalną , wówczas układ równań normalnych
upraszcza sie do postaci
[a ;b]0x ,1x , ,k x ,
y=wx
0x ,1x , ,k x ,f x
0x ,1 x , ,k x ,
g jk= j x ,k x
Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)
Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)
Ponieważ na mocy definicji ortogonalności dla powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie określone zależnościami:
Odchylenie średniokwadratowe funkcji aproksymowanej od aproksymującej wyraża się wzorem:
Z zależności wynika, że ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego maleje monotonicznie odchylenie średniokwadratowe tj.:
I 0minI 1
minI 2min.
g jj0 j=0,1, ,m ,
f xF x
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Czasami do aproksymacji używa się jednej funkcji analitycznej (lub kilku różnych funkcji). Jej postać dobiera się na podstawie apriorycznej wiedzy o przebiegu przybliżanej zależności lub w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych. Do często stosowanych funkcji należą:
Charakteryzują się one małą liczbą parametrów i oraz często łatwą interpretacją fizyczną.
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych (4.4.1)
y=ax+b y=bax lub y=b xa (dla a>1)lub y=a0+a1 x+a2 x
2 (dla a2>0)
y
x0 0
y
x
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych (4.4.2)
y=a0+a1 x+a2 x2 y=b+a log x lub
y=b xa (0<a<1) lub
y= a xx+b
y y
x x0 0
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych (4.4.3)
y=a0+a1 x+a2 x2+a3 x
3y= k1+be−ax
y y
0 0 xx
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych (4.4.4)
y=b x−a lub
y= 1ax+b
lub
y= xax+b
y=a0+a1 x+a2 x2⏞
y=bax⏞y=b⏞
y=b x−a⏞
y y
xx0 0
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Przykład: W trakcie badań pewnego zjawiaka fizycznego zebrano następujacy zestaw danych:
Zebrane pomiary wykeślono w prostokątnym układzie współrzędnych.
W wyniku oceny wzrokowej rozrzutu ich wartości zdecydowano, że najlepszym przybliżeniem danych będzie funkcja: (kształt funkcji gęsto- ści rozkładu normalnego (prawdopod.)). Należy wyznaczyć parametry .
F x =e− x2 x
, i
y= f x
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Rozwiązanie: Wybrana funkcja jest nieliniowa (rownież względem wspólczynników i ) stąd, rozwiązanie takiego zadania aproksymacyjnego jest trude. Zastosowanie do powyższej zależności przekształcenia w postaci obustronnego logarytmowania, sprowadza zagadnienie do aproksymacji za pomocą jednomianów
Stosując podstawienia otrzymuje się postać wielomianu drugiego stapnia najlepiej przybliżającego (w sensie najmniejszych kwadratów) funkcję
Tabela funkcji ma postać:
Gx =ln F x=− x2− x− .
a2=− , a1=− , a0=− ,
g x
G(x )=a2 x2+a1 x+a0.
,
a2=− , a1=− , a0=− ,
g x =ln f x.
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Rozwiązanie (CD): Współczynniki i wyznaczy się rozwiązując układ równań normalnych
gdzie :
a2,a1 a0
s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t2 .
sk=∑i=0
n
x ik dla k=0,1 , ... , t k=∑
i=0
n
yi x ik dla k=0,1 , ....
Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)
Rozwiązanie (CD): Powyższy układ równań przyjmuje postać
Rozwiązaniem układu są wartości:
Poszukiwane parametry funkcji aproksymującej są równe:
a2=−6,015 , a1=21,016 , a0=−16.854.
=6,015 , =−21,016 , =16,854 .
F (x )=e−(6,015 x2−21,016 x+16,854)
7,000a0+12,250a1+23,188a2 = −0,010 ,12,250a0+23,188 a1+46,703a2 = −0,083 ,23,188a0+46,703a1+98,574a2 = −2,236 .