Wykład trzeci - eti.pg.edu.pl · Ilustracja graficzna Metody rozwiązywania równań nieliniowych, ... Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi

1

Wykład trzeci

Wybrane metody przybliżonego

wyznaczania rozwiązań (pierwiastków)

równań nieliniowych

2

3

Rozwiązanie składa się z dwóch etapów:

- wyboru przedziału izolacji; przedziału, w którym funkcja ciągła, na końcach tego przedziału ma różne znaki, czyli f(a)∙f(b) < 0,

- zastosowania algorytmu iteracyjnego do wyszukiwania

właściwego rozwiązania.

Metody szukania przedziału [a, b]:

- tabelka, - oszacowanie przedziału, w którym f1(x) = f2(x)

Metody rozwiązywania równań nieliniowych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( ) 0=xf f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej x

4

Warunki gwarantujące znalezienie pierwiastka:

1. różne znaki funkcji na końcach przedziału 0 bfaf ,

2. ciągłość funkcji w przedziale [a, b],

3. istnienie pierwszej pochodnej, pochodna nie zmienia znaku w całym przedziale, funkcja jest gładka i monotoniczna,

4. druga pochodna ma stały znak w całym przedziale, tj. nie ma punktów przegięcia, przebieg funkcji albo wklęsły, albo wypukły.


5

Zakończenie procesu poszukiwania rozwiązania:

- δxf k <)( )1+( , δ - zależy od poszukiwanej wartości,

- zbieżność iteracji, czyli ,xx )k()k( 1 ε - zależy od poszukiwanej wartości,

- iteracja trwa zbyt długo, warunek k > kmax, koniec obliczeń,

- wartości ,)(>)( )()1+( kk xfxf nieprawidłowy algorytm.

Wybór wartości .x )( 0

Metody: bisekcji, siecznych, regula falsi, stycznych, iteracji prostej.


6

Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja f jest ciągła na zadanym przedziale ba, i spełnia w punktach krańcowych warunek

f (x) = 0 (1)

0 bfaf

Należy znaleźć przedział ba,

Ustalić liczby ε, δ

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, bisekcja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda bisekcji – metoda połowienia

7

Przebieg obliczeń:

Ustalamy, że )()( bb,aa 00

2

000

)()( bax

Sprawdzamy, czy

,)x(f )( 0

jeżeli TAK, to )(x 0 jest rozwiązaniem *xx )( 0

pierwsza iteracja


8

jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [a, )(x 0 ] spełnia warunek 00 )(xfaf ,

jeżeli TAK, to )0()1()1( =,= xbaa

jeżeli NIE, to bbxa =,= )1()0()1(

Następnie

211

1)()(

)(

bax

Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 1

druga iteracja


9

jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1

jeżeli NIE, to sprawdzamy, czy przedział [ )(a 1 , )(x 1 ]

spełnia warunek 011 )()( xfaf ,

jeżeli TAK, to )1()2()1()2( =,= xbaa

jeżeli NIE, to )1()2()1()2( =,= bbxa

Następnie

222

2)()(

)(

bax

trzecia iteracja


10


jeżeli TAK, to )(x 2 jest rozwiązaniem *xx )( 2 .

Jeżeli nie, to sprawdzamy …. itd.

Algorytm

2)k()k(

)k(

bax

gdzie k = 0, 1, 2, 3, …..

Zakończenie obliczeń )x(f )k(wtedy *xx )k(


11

a b

f(x)

x

f(a)

f(b)

x(0)

a(1) b(1)

a(0) b(0)

2)0()0(

0

bax

,)x(f )( 0 *xx )( 0

211

1)()(

)(

bax

,)x(f )( 1

*xx )( 1

x(1)

a(2)b(2)

x(2)

Ilustracja graficzna

│f (x(2))│ < δ x (2) = x*


12

Karta następstw START

CZYTAJ: a, b, δ f (x) = 0

k = 0

x (k) = (a+b)/2

│f (x (k) )│<δ

TAK

x* = x (k)

STOP

NIE

f (a)·f (x (k)) < 0NIE

a = x (k)TAK

b = x (k)

k = k + 1


13

Przykład:

0623 xx


14

1. Tabelka

Należy rozwiązać równanie 0623 xx

Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,)x(f )k(

Lokalizacja przedziału [a, b]

x 1 2 3 f(x) -7 -2 15

2. Wykres funkcji

623 xx

Przedział [2, 3]


15

Przedział [a, b] f (a) = - 2 f (b) = 15 f (a) f (b) < 0

Obliczamy:

5220 ,bax

Sprawdzamy: 1,0625,4)( )0( xf

Wybieramy przedział: f (2) = - 2 f (2,5) = 4,625 f (3) = 15

2 2,5 3

Przedział: [2, 2,5] Obliczamy:

2522

5222

111 ,,ba

x )()()(

Sprawdzamy: f (2,25) = 0,89 1,089,0)( )1( xf

2,25

Wybieramy przedział: f (2) = - 2 f (2,25) = 0,89 f (2,5) = 4,625

Przedział: [2, 2,25]

522 11 ,b,a )()(

2522 22 ,b,a )()( Obliczamy:

12522

25222

222 ,,ba

x )()()(

Przedział [2, 3]pierwsza iteracja

druga iteracja


16

Sprawdzamy: f (2,125) = - 0,82 1,082,0)( )2( xf

Wybieramy przedział: f (2) = -2 f (2,125) = - 0,82 f (2,25) = 0,89

2 2,125 2,25

Przedział: [2,125, 2,25] 2521252 33 ,b,a )()(

Obliczamy:

187522

25212522

333 ,,,ba

x )()()(

Sprawdzamy: f (2,1875) = 0,09 1,009,0)( )3( xf

1875,2*)3( xxRozwiązanie:

trzecia iteracja


17


f (x) = 0 (1)

0 bfaf



Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda siecznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda siecznych

18

)a(f)b(f)ab()b(fbx )(

1


Jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1

Jeżeli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy określić, który z punktów

będzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykreślania kolejnych siecznych

a

b

x(1)

f(x)

x


Przebieg obliczeń:Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej)

przechodzącej przez punkty a, f (a) i b, f (b) z osią x

19

Ustalenie )(x 0

Jeżeli bxtobfxf )0()1( 0)()(

Jeżeli NIE, to ax )( 0

Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty

)x(f,x),x(f,x )()()()( 1100z osią x


20

)x(f)x(f)xx()x(f

xx)()(

)()()()()(

01

01112


Jeżeli TAK, to )2(x jest rozwiązaniem *)2( xx

Jeżeli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zależnością

)x(f)x(f)xx()x(f

xx)k()k(

)k()k()k()k()k(

1

11

k = 2, 3, …,

a

b

x(1)

x(2)

f(x)

x


21

Po każdej iteracji sprawdzamy, czy )x(f )k( 1

Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1

Wtedy *xx )k( 1


22

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)



23

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

f (x (1)) ·f (b) < 0 x(0) = b

x(0)

│f(x(1))│ < δ TAK koniec obliczeń x (1) = x *NIE liczymy dalej



24

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

x(0)


x(2)



25

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

x(0)


x(2)

x(3)



26

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

x(0)

x(2) x(3)

)x(f)x(f)xx()x(f

xx)k()k(

)k()k()k()k()k(

1

11

k = 2, 3, …,


1



Przykład:


27

28

1. Tabelka



Lokalizacja przedziału [a, b]

x 1 2 3 f(x) -7 -2 15

2. Wykres funkcji

623 xx

Przedział [2, 3]


Obliczamy: f (a) = -2 f (b) = 15

1176288230317153

215231531

,,

)()(


Wyznaczamy punkt przecięcia z osią x

Sprawdzamy, czy 01 )b(f)x(f )(

f (2,1176) · f (3) = (-0,7939) · 15, czyli < 0 więc bx )( 0


29

Przebieg obliczeń:


f (2,1176) 79390, > 0,1

Liczymy dalej

15902739015739031176211762

01

01112

,),(,,.

)x(f)x(f)xx()x(f

xx)()(

)()()()()(

Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2 f (2,159) = - 0,2542

25420, > 0,1

Liczymy dalej


30

18225420739025420

1176215921592

12

12223

,),(),(,

,,.

)x(f)x(f)xx()x(f

xx)()(

)()()()()(

Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 3 f (2,18) = 0,000232

0002320, < δ czyli, koniec obliczeń

1823 ,x )( jest przybliżonym rozwiązaniem równania 0623 xx

*18,2)3( xx


31

32


f (x) = 0 (1)

0 bfaf



Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda regula falsi

33

Wyznaczamy punkt przecięcia prostej przechodzącej przez punkty a, f (a) i b, f (b) z osią x


1

Jeżeli axbxto)b(f)x(f )()p()( 01 0

Jeżeli NIE, to bxax )()p( 0


Jeżeli TAK, to )(x 1 jest rozwiązaniem *xx )( 1

a

b

x(1)

f(x)

x


Przebieg obliczeń:

34

Jeżeli NIE, to

k = 1, 2, 3 ,…

Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1

wtedy

*xx )k( 1


)()()()(

)()(

)()()()()1(

pk

pkkkk xfxf

xxxfxx

35

f(x)

x

f(b)

f(a)

ab0


x(1)


36

Ilustracja graficznaf(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

f (x(1)) ·f (b) < 0 x(0) = a x(p) = b

x(p)


x(0)


37

Ilustracja graficznaf(x)

x

f(b)

f(a)

ab0

x(1)

f (x(1)) ·f (b) < 0 x(0) = a x(p) = b

x(p)


x(0) x(2)

│f(x(3))│ < δ TAK koniec obliczeń x (3) = x *

x(3)


38

Przykład

0623 xx


39

1. Tabelka


Obliczenia należy zakończyć, gdy 10,x(f )k(

Lokalizacja przedziału [a, b] x 1 2 3 f(x) -7 -2 15

2. Wykres funkcji 623 xx

Przedział [2, 3]


40

Obliczamy: f (2) = - 2 f (b) = 15

Wyznaczamy punkt przecięcia z osią x

1176288230317153

215231531

,,

)()(



f (2,1176)· f (3) = - 0,7939·15, czyli < 0 czyli

axbx )()p( 0

pierwsza iteracja


41

Obliczamy:


f (2,1176) = - 0, 7939, czyli 79390, > 0,1

Sprawdzamy, czy ,)x(f )( 2 f (2,161) = - 0,23 230, > 0,1

Liczymy dalej

Sprawdzamy, czy ,x(f )( 3 f (2,173) = - 0,0779 07790, < 0,1

Warunek spełniony, więc *x,x )( 17323

druga iteracja

trzecia iteracja


161,2)()(

)()(

)()1(

)()1()1()1()2(

p

p

xfxfxxxf

xx

173,2)()(

)()(

)()2(

)()2()2()2()3(

p

p

xfxfxxxf

xx

42

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda stycznych---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda stycznych


f (x) = 0 (1)

0 bfaf



Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]

Przebieg obliczeń:

)0(x

bxlubax )()( 00

Spełniony musi być warunek 000 )x(''f)x(f )()(

Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego:

)x('f)x(f

xx)k(

)k()k()k( 1 k = 0, 1, 2, …


Koniec obliczeń, gdy )x(f )k( 1 wtedy *xx )k( 1


43

Przebieg obliczeń:Ustalamy, który z końców przedziału będzie traktowany jako

f (b)·f ”(b) > 0 b = x(0)

X(0)

X(1)X(2)

│f (x(1)) │< δ TAK kończymy obliczenia x(1) = x*

NIE liczymy dalej

│f (x (2))│ < δ TAK kończymy obliczenia x (2) = x*

NIE liczymy dalej



44

Przykład:


45

1. Tabelka


Obliczenia należy zakończyć, gdy 1,0)( )( kxf



Przedział [2, 3]


46

W przedziale [a, b] funkcja musi być ciągła, monotoniczna i mieć pierwszą i drugą pochodną

Obliczamy: f(2) = - 2 f(3) = 15

f’(x) = 23 2 x f”(x) = x6 f(a)∙f”(a)= - 2∙12 = - 24 warunek nie jest spełniony, f(b)∙f”(b)= 15∙18 = > 0 warunek spełniony, czyli 30 bx )(

Obliczamy

42

25153

0

001 ,

)x('f)x(f

xx)(

)()()(

0623 xx

47


Sprawdzamy, czy )x(f )(1

02431 ,)x(f )(

Liczymy dalej

20222815

0243421

112 ,

,,,

)x('f)x(f

xx)(

)()()(

Sprawdzamy, czy )x(f )( 2 27302 ,)x(f )(

Liczymy dalej

175224121027302022

2

223 ,

,,,

)x('f)x(f

xx)(

)()()(


48

Sprawdzamy, czy )x(f )( 3

|06,0|)( )3(xf

17523 ,x )( jest przybliżonym rozwiązaniem równania

0623 xx

*175,2)3( xx


49

50

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda iteracji prostej---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Metoda iteracji prostej


f (x) = 0 (1)

0 bfaf



Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]

51

)x(Fx

Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego

)x(Fx )k()k( 1 k = 0, 1, 2, …..


Obliczenia kończymy, gdy )x(f )k( 1 wtedy *xx )k( 1

Początek obliczeń

20

bax )(


Przebieg obliczeń:Funkcję f (x) przekształcamy do postaci

52

Warunek zbieżności:

Jeżeli istnieje taki ułamek q, że

bxadlaq)x('F 1

to iteracja będzie zbieżna.


53


x

f(x)f(x)=x

F(x)

0 a b

F(x)

x(0)x(1)

│f (x(1))│< δ TAK kończymy obliczenia x (1) = x *NIE liczymy dalej



Przykład:


54

1. Tabelka





Przedział [2, 3]

55


Należy funkcję f (x) = 0 przekształcić do postaci x = F (x)

Propozycja 1 3

21 3 xx czyli

3

21 3 x)x(F

Sprawdzamy warunek zbieżności

2

23 x)x('F 1>375,9=

23

=)5,2(' 2xFdla a = 2,5

Warunek zbieżności nie jest spełniony

Propozycja 2 63 xxx czyli 63 xx)x(F


13 2 x)x('F dla a = 2,5 1>75,17=13=)5,2(' 2 -xF

Warunek zbieżności nie jest spełniony

bxadlaq)x('F 1

0623 xx


56

Propozycja 3 3 62 xx czyli 3 62)( xxF


3 2

311 )62(

132

)62(

132)('

xxxF

dla a = 2,5 1<134,0=11

132

=)6+5(

132

=)5,2('3 22

3F

Warunek spełniony

0623 xx


57

Wykonujemy obliczenia kolejnych iteracji zgodnie z regułą iteracyjną

31 62 )k()k( xx k = 0, 1, 2, ….

Obliczamy pierwszą iterację 52

232

20 ,bax )(

Sprawdzamy 62540 ,)x(f )(

58


Liczymy dalej 22326562 33

01 ,xx )()(


Liczymy dalej

185924461062 3312 ,,xx )()(


1859,2)2( x jest przybliżonym rozwiązaniem równania 0623 xx

*1859,2)2( xx


59

Zestawienie wyników

Metoda Wynik Liczba iteracji

Bisekcja 2,1875 4

Siecznych 2,18 3

Regula falsi 2,173 3

Stycznych 2,175 3

Iteracji prostej 2,1859 3

60

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zestawienie wyników---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

61

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, zadanie domowe---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą bisekcji dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 w przedziale [2; 5].

2. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą siecznych dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 w przedziale [2; 5].

3. Znaleźć trzy pierwsze przybliżenia wartości x metodą stycznych dla równania:x2 - 2x – 3 = 0 dla x0 = 2.

4. Zaproponuj (z uzasadnieniem) przekształcenie funkcji x3 - 3x – 4 = 0 na postać dogodną do rozwiązania metodą iteracji prostej.

Zadania domowe

62

Metody rozwiązywania równań nieliniowych, pytania na kartkówkę---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Metoda bisekcji – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.

2. Metoda siecznych – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.

3. Metoda iteracji prostej – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.

4. Metoda stycznych– założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.

Documents

Wykład trzeci - eti.pg.edu.pl · Ilustracja graficzna Metody rozwiązywania równań nieliniowych, ... Metody rozwiązywania równań nieliniowych, metoda regula falsi