4. DINAMIKA MANIPULATORA - people.etf.unsa.bapeople.etf.unsa.ba/~jvelagic/laras/dok/Dinamika.pdf · rekurzivan, te je pogodan za proračun dinamičkog modela na računaru, posebno

Dinamika 76

4. DINAMIKA MANIPULATORA 4.1 UVOD Određivanje dinamičkog modela (eng. dinamic model) manipulatora je bitno sa stajališta simulacije kretanja, analize strukture manipulatora i sinteze algoritma upravljanja. Dinamičko ponašanje manipulatora dano je u obliku vremenske promjene konfiguracije robotske ruke u odnosu na momente zglobova, izazvane djelovanjem aktuatora pridruženih korespodentnim zglobovima manipulatora. Ova povezanost se može izraziti skupom diferencijalnih jednadžbi, tzv. jednadžbi kretanja, koje određuju odziv manipulatora uz prisustvo ulaznih momenata zglobova. Odziv manipulatora predstavlja kretanje segmenata manipulatora. Postoje dvije osnovne metode određivanja jednadžbi kretanja, odnosno dinamičkog modela robota, a to su: Lagrangeova i Newton-Eulerova metoda. Obje metode opisuju dinamike manipulatora u zglobovskom prostoru. Prva metoda opisuje dinamičko ponašanje manipulatora na osnovu rada i energije upotrebom generaliziranih koordinata. Sve radne i prinudne sile se automatski eliminiraju primjenom ove metode, a rezultantne jednadžbe su općenito izražene pomoću pomaka i momenata zglobova. Newton-Eulerova metoda se temelji na direktnoj primjeni drugog Newtonovog zakona kretanja, koji opisuje dinamiku sistema pomoću sila i momenata. Jednadžbe kretanja, dobivene ovom metodom, uključuju sve sile i momente koji djeluju na pojedinačne zglobove, kao i sile i momente koji djeluju među zglobovima. Newton-Eulerov postupak dobivanja dinamičkog modela robota je rekurzivan, te je pogodan za proračun dinamičkog modela na računaru, posebno kod robota sa većim brojem osi. Lagrangeov model je konceptualno jednostavniji i sistematičniji. U nastavku se tretira problematika dinamičkog modela manipulatora upotrebom Lagrangeovog postupka. 4.2 LAGRANGEOVA JEDNADŽBA Dinamički model manipulatora opisuje veze između momenata koji pogone zglobove i kretanja strukture manipulatora. Lagrangeovim postupkom se formiraju jednadžbe kretanja na sistematičan način neovisno o referentnom koordinatnom sistemu. Ovaj model se temelji na pojmovima: generalizirane koordinate i generalizirane sile. Generalizirane koordinate ,...,n,,iλi 21= opisuju položaj segmenata manipulatora sa n-stupnjeva pokretljivosti. Za manipulator sa strukturom otvorenog kinematičkog lanca, generalizirane koordinate čine vektor varijabli zglobova:

. (4.1) q=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nλ

λM

1

Generalizirane sile su sile koje djeluju na zglobove manipulatora, odnosno, sile koje preostaju nakon uklanjanja inercijalnih sila i sile teže, pri čemu su inercijalne sile povezane sa kinetičkom energijom robotske ruke, a gravitacijske sile sa potencijalnom nergijom. Lagrangeova funkcija mehaničkog sistema se može definirati kao funkcija generaliziranih koordinata:

)()()( qqqqq U,T,L −= && , (4.2) gdje T i U predstavljaju kinetičku i potencijalnu energiju sistema.

Mr.sc. Jasmin Velagić, dipl.inž.el. Laboratorija za Robotiku i autonomne sustave

Dinamika 77

Kinetička energija ovisi o položaju i brzini manipulatora ( ), a potencijalna energija ovisi samo o položaju (q), tj. zakretu robotske ruke.

qq &,

Korištenjem Lagrangeove funkcije, jednadžba kretanja manipulatora (Lagrangeova jednadžba) poprima slijedeći oblik:

,...,n , iξ,Lq

,Lqdt

di

ii

1)()( ==∂∂

−∂∂ qqqq &&&

(4.3)

gdje je generalizirana sila povezana sa generaliziranom koordinatom . iξ iλJednadžba (4.3) uspostavlja relacije između generalizirani sila narinutih na manipulator i položaja, brzine i ubrzanja zglobova. Slijedi da je pri izvodu dinamičkog modela manipulatora potrebno početi sa određivanjem kinetičke i potencijalne enrgije sistema. 4.2.1 Računanje kinetičke energije Ukupna kinetička energija manipulatora sa n krutih segmenata je definirana kao suma doprinosa kretanja svakog segmenta i doprinosa kretanja svakog aktuatora (motora):

, (4.4) (∑=

+=n

iml ii

TTT1

) gdje je kinetička energija segmenta i, a kinetička energija motora koji osnažuje segment i.

ilT

imTKinetička energija segmenta i dana je slijedećim izrazom:

∫=il

i V iTil dVT ρpp &&

21 , (4.5)

gdje su vektor linijske brzine, ip& ρ gustoća elementarnog dijela volumena dV i volumen segmenta i (Sl. 4.1.).

ilV

ilp

0x

0z

0y

ip

iril

p&

iω

Slika 4.1. Kinematički opis segmenta i za potrebe Lagrangeove formulacije.


Dinamika 78

Vektori pozicije elementarnog dijela i centra mase segmenta izraženi su u odnosu na koordinatni sistem baze. Razlika ovih vektora izražena je vektorom :

ipil

p

ir

iliT

iziyixi rrr ppr −== ] [ . (4.6) Vektor centra mase segmenta i dan je slijedećim izrazom:

∫=il

i

i V il

l dVm

ρpp 1 (4.7)

gdje je masa segmenta. Kao rezultat nevedenog, brzina zamišljene tačke zgloba može se napisati kao:

ilm

,)( iil

iili

i

i

rωSp

rωpp

+=

×+=

&

&& (4.8)

gdje i predstavljaju respektivno linijsku brzinu centra mase i ugaonu brzinu segmenta.

ilp& iω

Uvrštavanjem izraza (4-8) u (4-5) dobivaju se slijedeći doprinosi kinetičkih energija uslijed translacijskog i rotacijskog kretanja: Translacijsko. Doprinos je :

iii

ilii l

TllV l

Tl mdV pppp &&&&

21

21

=∫ ρ . (4.9)

Međusobno. Doprinos je :

0)()(212)(

212 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

ilii

ili V lii

TlV ii

Tl dVdV ρρ ppωrω SpSp &&

budući da na osnovu (4.7) vrijedi . ∫∫ =

ili

il VlV i dVdV ρρ pp

Rotacijsko. Doprinos je :

iV iiiTT

iV iiiiTT

iilil

dVdV ωrSrωrωSω ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫ ρρ )()(

21)()(

21 SSr

gdje je iskorišteno svojstvo . S obzirom na izraz matričnog operatora iiii ωrSrωS )()( −= )(⋅S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

0

0

0

)(

ixiy

iyiz

iyiz

i

rr

rr

rr

rS ,


Dinamika 79

dobiva se

ilTiV iiii

TTi i

il

dV ωIωrωSω21)()(

21

=∫ ρSr . (4.10)

Matrica

)( - -

- )( -

- - )(

22

22

22

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

dVrrdVrrdVrr

dVrrdVrrdVrr

dVrrdVrrdVrr

iyixiziyizix

iziyizixiyix

izixiyixiziy

li

ρρρ

ρρρ

ρρρ

I

(4.11) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

zzlyzlxzl

yzlyylxyl

xzlxylxxl

iii

iii

iii

III

III

III

je simetrična i predstavlja tenzor inercije relativno u odnosu na centar mase segmenta i izraženog u koordinatama sistema baze. Tenzor inercije određuje raspodjelu mase krutog tijela. Matrica (4.11) se sastoji od šest različitih volumnih integrala pri čemu se izrazi na dijagonali te matrice nazivaju momenti inercije, a preostali vandijagonalni izrazi su produkti inercije. Budući da je pozicija segmenta i ovisna o konfiguraciji manipulatora to je i tenzor inercije, mjeren u odnosu na ishodište koordinatnog sistema baze, također ovisan o konfiguraciji manipulatora. Ugaona brzina izražena je u koordinatama baze. Međutim, za računanje ugaone brzine segmenta i izražene u koordinatama sistema centra mase segmenta (kao kod Denevit-Hartenbergove konvencije), potrebno je koristiti matricu rotacije na slijedeći način:

iω

i

Ti

ii ωRω =

gdje predstavlja matricu rotacije iz koordinatnog sistema segmenta i u koordinatnatni sistem baze. U odnosu na koordinatni sistem segmenta, tenzor inercije je konstantan, jer segment i njemu pridruženi koordinatni sistem rotiraju zajedno. Ako se ovaj konstantni tenzor označi sa i upotrijebi relacija (4.10) dobiva se:

iR

ili

I

iTi

ili

Tiil

Ti ii

ωωωIω RIR21

21

= . (4.12)

Iz izraza (4.12) slijedi izraz za računanje tenzora inercije :

ilI

. (4.13) T

iilil ii

RIRI = Ako se osi koordinatnog sistema centra segmenta i podudaraju s koordinatama tačke određene vektorom , tada su produkti inercije jednaki nuli i tenzor inercije relativno u odnosu na centar mase je dijagonalna matrica.

ip

Prema tome, ukupna kinetička energija segmenta i, koja obuhvaća i translacijska i rotacijska kretanja, jednaka je


Dinamika 80

iili

Til

Tll iiii

mT ωRIRωpp Tili 2

121

+= && . (4.14)

Kinetička energija manipulatora sastavljenog od n segmenata jednaka je zbroju kinetičkih energija svih njegovih segmenata:

∑=

+=

n

i

iili

Til

Tl

liii

mT

1 2ωRIRωpp T

ili&&

(4.15)

Sada je potrebno kinetičku energiju napisati kao funkciju generaliziranih koordinata manipulatora, odnosno varijabli zglobova. U tu će se svrhu primijeniti geometrijski postupak računanja Jacobiana na međusegmente. Rezultat ovoga su slijedeći izrazi:

(4.16) qJJJp &&&& )()(1

)(1 ... iii

i

lPi

lPi

lPl qq =++=

, (4.17) qJJJω &&& )()(1

)(1 ... iii l

Oil

Oil

Oi qq =++= gdje je doprinos stupaca matrice Jacobiana brzini zglobova uzet u obzir za trenutni segment i. Jacobiani i jednaki su: )( il

PJ )( ilOJ

(4.18) ] ... ... [ )()(

1)( 00iii l

Pil

Pl

P JJJ =

(4.19) ] ... ... [ )()(1

)( 00iii loi

lo

lo JJJ =

i stupci matrica (4.18) i (4.19) mogu se izračunati u skladu sa (3-5), dajući

(4.20) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−×=

−−

−

zglob obrtni za )(

zglob jski translaciza

11

1)(

jlj

jlP

i

i

j ppz

zJ

, (4.21) ⎩⎨⎧

=− zglob obrtni za


1

)(

j

lO

i

j zJ

0

gdje su vektor pozicije ishodišta koordinatnog sistema j-1 i jedinični vektor duž osi z istog koordinatnog sistema, respektivno.

1−jp 1−jz

Uzimajući u obzir izraze (4.14) – (4.19), izraz za ukupnu kinetičku energiju segmenta i (4.14) postaje:

qJRIRJqqJJq &&&& )()()()(

21

21

i

i

iii

ii

lO

Ti

ili

TlO

TlP

TlP

Tll mT += . (4.22)

Kinetička energija motora koji pokreće zglob i može se izračunati na formalno analogan način onome provedenom za segment manipulatora. Razmatat će se tipičan slučaj rotirajućeg električnog motora (koji može pokretati i rotirajuće i translacijske zglobove uz upotrebu odgovarajućih prijenosnijh mehanizama). Pretpostavlja se da je stator motora smješten na segment manipulatora (masi segmenta pridodaje se masa statora), tako da se računa samo kinetička energija rotora (Sl. 4.2).


Dinamika 81

imp

0x

0z

0y

imp& ir

imω

Slika 4.2. Kinematički opis motora. Na temelju Sl. 4.2 motor zgloba i smješten je na segment i-1. U praksi, kod sinteze mehaničke strukture otvorenog kinematičkog lanca manipulatora nastoji se smjestiti pogonske motore što je moguće bliže bazi manipulatora tako da se olakša dinamički teret prvom zglobu lanca. Pogonski momenti razvijeni na osovinama motora prenose se na zglobove preko mehaničkih prijenosnika (reduktora, zupčanika). Doprinos kinetičke energije prijenosnog mehanizma može se na prikladan način uključiti u ukupnu kinetičku energiju motora. Također se pretpostavlja da nema pojave induciranih kretanja, tj. kretanje zgloba i ne utječe na kretanje drugih zglobova. Kinetička energija rotora i može se napisati kao

iiiiii mm

Tmm

Tmm mT ωIωpp

im 21

21

+= && , (4.23)

gdje je masa rotora, označava linijsku brzinu centra mase rotora, je tenzor inercije rotora u odnosu na centar mase i označava ugaonu brzinu rotora.

immimp&

imI

imωNeka

imϑ označava ugaonu poziciju rotora. U slučaju upotrebe krutih prijenosnika dobiva se slijedeća relacija: , (4.24)

imiir qk ϑ&& = gdje je omjer redukcije prijenosnika snage. Važno je napomenuti da je u slučaju pogona translacijskog zgloba omjer redukcije kvantitativno dimenzioniran.

irk

U skladu s pravilom kompozicije ugaonih brzina i relacije (4.24), ukupna ugaona brzina rotora je:

iii mri-m qk zωω i&+= 1 (4.25)

gdje je ugaona brzina segmenta i-1 na koji je motor smješten, i označava jedinični vektor duž osi rotora.

1−iω imz


Dinamika 82

Da bi napisali kinetičku energiju rotora kao funkciju zglobovskih varijabli, neophodno je izraziti linijsku brzinu centra mase rotora – slično u (4.16) kao

. (4.26) qJp && )( i

i

mPm =

Jacobian se računa na slijedeći način:

(4.27) ] ... ... [ )(1,

)(1

)( 00iii miP

mP

mP −= JJJ

čiji su stupci jednaki

(4.28) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−×=

−−

−

zglob obrtni za )(


11

1)(

jmj

jmP

i

i

j ppz

zJ

gdje je vektor pozicije ishodišta koordinatnog sistema relativno u odnosu na zglob 1−jp 1−j . Komponenta Jacobiana u izrazu (4.27), jer je centar mase rotora uzet da leži duž osi rotacije. 0=)( i

i

mPJ

Ugaona brzina u (4.25) može se napisati kao funkcija zglobovskih varijabli, tj., . (4.29) qJω &)( i

i

mOm =

Komponenta Jacobiana koja se odnosi na orijentaciju ima oblik:

(4.30) ] ... ... [ )()(1,

)(1

)( 00iiii mOi

miO

mO

mO JJJJ −=

čiji stupci se računaju prema izrazu

(4.31) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

− .

11

1

)()(

ijk

,...,i-j

jr

lOm

O

i

i

ji

j z

JJ

Za računanje druge relacije u (4.31) dovoljno je poznavati komponente jediničnog vektora osi rotacije rotora s obzirom na koordinatni sistem baze. Slijedi, kinetička energija rotora i može se napisati kao

imz

qJRIRJqqJJq &&&& )()()()(

21

21

i

i

i

ii

iii

ii

mO

Tm

mmm

TmO

TmP

TmP

Tmm mT += . (4.32)

Konačno, sumiranjem različitih doprinosa u odnosu na pojedinačne segmente (4.22) i pojedinačne rotore (4.32) kao i u (4.4), ukupna kinetička energija manipulatora zajedno sa pogonima je dana u kvadratičnom obliku:

qqBqq &&&& )(21)(

21

1 1

Tn

i

n

jjiij qqbT ∑∑

= =

== (4.33)


Dinamika 83

gdje je

(4.34) ( )∑=

+++=n

i

mO

Tm

mm

TmO

mP

TmPm

lO

Ti

ii

TlO

lP

TlPl

i

i

i

i

iii

i

iiii

imm

1

)()()()()()()()()( JRIRJJJJRIRJJJqBii ml

(nxn) matrica inercije koja je:

• simetrična • pozitivno definitna • ovisna o konfiguraciji (općenito).

4.2.2 Računanje potencijalne energije Ukupna potencijalna energija akumulirana u manipulatoru se dobije kao suma doprinosa svakog pojedinačnog segmenta i svakog pojedinačnog motora

. (4.35) ( )∑=

+=n

iml ii

UUU1

Uz pretpostavku krutih segmenata, potencijalna energija segmenta i određena je samo djelovanjem gravitacijskih sila1:

(4.36) ii

ili l

TlV i

Tl mdVU pgpg 00 −== ∫ ρ

gdje je vektor gravitacijskog ubrzanja u koordinatnom sistemu baze (npr. ako je os z vertikalna), pri čemu je g koeficijent ubrzanja sile teže, čija standardna vrijednost iznosi:

. su vektori položaja centara mase segmenta i i rotora motora i u odnosu na koordinatni sistem baze.

0g Tg] 0 0[0 =g

20 / 80665.9 smg =

ii ml pp ,

Slično relaciji (4.36) dobiva se izraz za potencijalnu energiju rotora motora:

, (4.37) iii m

Tmm pmU 0g−=

Uvrštavanjem (4.36) i (4.37) u (4.35) dobiva se izraz za ukupnu potencijalnu energiju

. (4.38) ( )∑=

+−=n

im

Tml

Tl iiii

mmU1

00 pgpg

Na temelju jednadbže (4.38) dolazi se do zaključka da je potencijalna energija, preko vektora i

, funkcija samo varijabli zglobova q i da ne ovisi o brzinama zglobova q . il

p

imp &

1 U slučaju fleksibilnog segmenta postoji komponenta potencijalne energije uslijed djelovanja elastičnih sila. Mr.sc. Jasmin Velagić, dipl.inž.el. Laboratorija za Robotiku i autonomne sustave

Dinamika 84

4.2.3 Dinamičke jednadžbe kretanja Na temelju izračunatih potencijalnih i kinetičkih energija (4.33) i (4.38), Lagrangeova funkcija (4.1) za manipulator može se napisati kao

( )∑ ∑∑= ==

++=

−=n

i

n

im

Tml

Tl

n

jjiij iiii

mmqqb

U,T,L

1 100

1)()()(

21

)()()(

qpgqpgq

qqqqq

&&

&&

. (4.39)

Korištenjem dobivene Lagrangeove funkcije, jednadžba kretanja manipulatora (uzimajući u obzir činjenicu da potencijalna energija ne ovisi o ) poprima slijedeći oblik: q&

∑∑∑

∑∑

= ==

==

∂∂

+=

+=∂

∂=

∂∂

n

j

n

kjk

k

ijn

jjij

n

jj

ijn

jjij

ii

qqq

bqb

qdt

dbqb

q,T

dtd

q,L

dtd

1 11

11

,)(

)(

)()()()(

&&&&

&&&&

&

&

&

qq

qqqqqq

(4.40)

∑∑= = ∂

∂=

∂∂ n

j

n

kjk

i

jk

i

qqq

bq

,T1 1

)(21)(

&&&

& qqq (4.41)

i

( )∑

∑

=

=

=+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂−=

∂∂

n

ji

mPi

Tm

lPi

Tl

n

j i

mTm

i

lTl

i

gmm

qm

qm

qU

j

j

j

j

j

j

j

j

1

)(0

)(0

100

)()()(

)()()(

qqJgqJg

qpg

qpgq

(4-42)

Uvrštavanjem izraza (4.40)–(4.42) u jednadžbu kretanja manipulatora (4.2) dobiva se:

(4.43) ∑∑∑= ==

==++n

j

n

kiijkijk

n

jjij nigqqhqb

1 11

.,...,1 )()()( ξqqq &&&&

gdje je

i

jk

k

ijijk q

bqb

h∂∂

−∂∂

=21 . (4.44)

Fizička interpretacija jednadžbe (4.43) otkriva slijedeće:

• Koeficijent predstavlja moment inercije u osi zgloba i, u trenutnoj konfiguraciji manipulatora, kada su ostali zglobovi blokirani.

iib

Koeficijent objašnjava djelovanje ubrzanja zgloba i na zglob j. ijb

• Izraz predstavlja centrifugalni efekat zgloba i izazvan brzinom zgloba j. 2jijjqh &

Izraz jeste Coriolisov efekat induciran na zglobu i pomoću brzina zglobova j i k. kjijk qqh &&


Dinamika 85

• Izraz označava moment generiran u osi i-tog zgloba manipulatora, u trenutnoj konfiguraciji, u prisustvu gravitacijskog djelovanja.

ig

Neki dinamička spregnuća zglobova, kao što su koeficijenti i , mogu se reducirati ili eliminirati u postupku sinteze strukture, tako da se pojednostavi problem upravljanja.

ijb ijkh

U pogledu nekonzervativnim sila koje djeluju na zglobove manipulatora, one su dane sa pogonskim momentom minus moment viskoznog i statičkog trenja. Momenti viskoznog trenja dani su sa , gdje označava (nxn) matricu koeficijenata visoznog trenja. Kao pojednostavljeni model momenata statičkog trenja, može se pretpostaviti , gdje je (nxn) dijagonalna matrica i označava vektor dimenzija (nx1) sa komponentama izraženim preko sign funkcija brzina pojedinačnih zglobova.

τ qF &v

vF)sgn(qF &S sF )sgn(q&

Ako je vrh manipulatora u dodiru sa okolinom, dio pogonskih momenata se koristi za uravnoteženje momenata izazvanih zglobovima sa dodirnim silama. Ovi momenti se mogu izraziti sa , pri čemu h označava vektor sila i momenata izazvanih djelovanjem vrha manipulatora na okolinu.

hqJ )(T

Uzimajući u obzir sve navedeno, jednadžbe kretanja (4.43) mogu se napisati u kompaktnom matričnom obliku, predstavljajući dinamički model zglobovskog prostora, na slijedeći način: , (4.45) hqJτqqFqFqqqCqqB g )()()(sgn)()( T

sv, −=++++ &&&&&&

gdje C predstavlja prikladnu (nxn) matricu čiji elementi zadovoljavaju slijedeću jednadžbu: ijc

. (4.46) ∑ ∑∑= = =

=n

j

n

j

n

kjkijkjij qqhqc

1 1 1

&&&

4.2.4 Bitna svojstva dinamičkog modela Izbor matrice C nije jednoznačan, budući da postoji više matrica C čiji elementi zadovoljavaju jednadžbu (4.46). Da bi se dobili koeficijenti potrebno je prvo izračunati elemrnte , na osnovu izraza (4.44), a nakon toga razmatrati cjelokupan izraz na desnoj strani jednadžbe (4.46). Na taj način se dobiva:

ijc ijkh

∑∑

∑ ∑∑

= =

= = =

∂∂

−∂∂

=

=

n

j

n

kjk

i

jk

k

ij

n

j

n

j

n

kjkijkjij

qqqb

qb

qqhqc

1 1

1 1 1

)21( &&

&&&

.

Gornja jednadžba se može dalje napisati kao:

∑∑∑∑∑= == == ∂

∂−

∂∂

+∂∂

=n

j

n

kjk

i

jk

j

ikn

j

n

kjk

k

ijn

jjij qq

qb

qbqq

qb

qc1 11 11

)(21

21

&&&&& ,

iz koje slijedi izraz za računanje koeficijenata : ijc


Dinamika 86

, (4.47) ∑=

=n

kkijkij qcc

1

&

gdje su jednaki: ijkc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

=i

jk

j

ik

k

ijijk q

bqb

qb

c21 . (4.48)

Elementi nazivaju se Christoffelovi simboli prve vrste. S obzirom na svojstvo simetrije matrice B, vrijedi da je:

ijkc

ikjijk cc = . (4.49)

Izbor matrice C vodi ka određivanju prvog važnog svojstva jednadžbe kretanja (4.45), a to je da je matrica (4.50) ),(2)(),( qqCqBqqN &&& −= kososimetrična. To znači da za bilo koji vektor w dimenzije (nx1) vrijedi slijedeća relacija: . 0),( =wqqNw &T (4.51) Supstitucijom iz (4.48) u (4.47) dobiva se: ijkc

,)(

21

21

)(21

21

1

11

∑

∑∑

=

==

∂∂

−∂∂

+=

∂∂

−∂∂

+∂∂

=

n

kk

i

jk

j

ikij

n

kk

i

jk

j

ikn

kk

k

ijij

qqb

qbb

qqb

qbq

qb

c

&&

&&

a zatim uvrštavanje dobivenog u jednadžbu (4.50) daje: ijc

∑= ∂

∂−

∂∂

=−=n

kk

j

ik

i

jkijijij q

qb

qb

cbn1

)(2 && . (4.52)

Promatranjem izraza (4.52) slijedi slijedeća jednakost: jiij nn −= . Interesantno svojstvo, koje slijedi iz direktne primjene kososimetričnog svojstva matrice , postavljanjem jeste:

),( qqN &

qw &= . (4.53) 0),( =qqqNq &&&T

Može se lahko pokazati da izraz (4.53) vrijedi za bilo koji izbor matrice C, budući da je on rezultat principa očuvanja energije (hamilton). Na osnovu ovog principa, ukupan iznos vremenske derivacije kinetičke energije je uravnotežen sa snagom koju generiraju sve sile koje djeluju na zglobove


Dinamika 87

manipulatora. Nasuprot tome, izraz (4.51) vrijedi samo za pojedinačan izbor elemenata matrice C, kako je definirano u (4.47) i (4.48). Osim kososimetričnog svojstva matrice , drugo važno svojstvo dinamičke jednadžbe kretanja jeste linearnost u dinamičkim parametrima. Ova linearnost se odnosi na parametre karakterizirane manipulatorskim segmentima i rotorima motora. O ovom svojstvu se ovdje neće podrobno diskutirati, budući da zahtijeva malo složeniji izvod.

),( qqN &

4.2.5 Primjeri dinamičkih modela osnovnih struktura manipulatora Primjer 4.1 Dvosegmentna planarna ruka Promatrajmo robotsku ruku na Sl. 4.3, za koju je vektor generaliziranih koordinata . [ ]T21,ϑϑ=q

0x

0y

1a

2a

1l

1ϑ

2ϑ

11, ll Im

2l

22, ll Im

Slika 4.3. Dvosegmentna planarna ruka. Neka su udaljenosti centara mase segmenata od osi zglobova, respektivno. Mase pojedinačnih segmenata označene su sa , a mase rotora motora pridruženih zglobovima sa . Neka se sa označe momenti inercije s obzirom na osi rotora, a sa momenti inercije u odnosu na centre mase segmenata. U proračunima se pretpostavlja da je

21,ll

21, ll mm

21, mm mm

21, mm II

21, ll II

1−= im ppi

i , za i =1,2,..., tj. motori su locirani na osi zglobova s centrima mase u ishodištima kordinatnih sistema.

1−= im zzi

Jednadžba dinamike u kompaktnoj matričnoj formi je:

(4.54) hqJτqqFqFqqqCqqB g )()()(sgn)()( T, −=++++ &&&&&& sv

gdje su: - matrica inercija )(qB - matrica koja je nastala na temelju fizikalnih svojstava sistema )( qqC &, - moment viskoznog trenja qF &v

- moment statičkog trenja )(sgn qF &s

)(qg - moment usljed gravitacijskog ubrzanja - aktivni moment τ


Dinamika 88

- moment kojim vrh manipulatora djeluje na okolinu

hqJ )(T

a) Računanje Jacobiana za segmente Geometrijski Jacobiani koji daju vezu između linearnih brzina centara masa prvog i drugog segmenta, i brzina zglobova, su:

]0 [ )()( 1

1

1 llPP JJ =

. ] [ )()()( 2

2

2

1

2 lllPPP JJJ =

Budući da je prvi zglob obrtni, imamo :

)( 00)(

1

1

1ppzJ −×= l

lP

Matrica homogene transformacije centra mase prvog segmenta u odnosu na ishodište koordinatnog sistema baze je:

.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1 0 0 00 1 0 0

0 0

1111

1111

0 scscsc

l

l

l1 A

Vektor pozicije centra mase prvog segmenta u odnosu na bazni koordinatni sistem i ort su:

1lp 0z

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

; 100

; 0

0011

11

1pzp s

cl

l

l

a na temelju njih Jacobiani , odnosno su: )( 1

1

lPJ )( 1l

PJ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=

0

0 100

)( 11

11

11

11

00)(

1

1

1cs

sc

P l

l

l

l

ll ppzJ

. (4.55)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

0 0 0 0

11

11)( 1 c

s

P l

llJ


Dinamika 89

Analogan postupak se provodi za računanje , čije su komponente : )( 2l

PJ

)( 00)(

2

2

1ppzJ −×= l

lP

)( 11)(

2

2

2ppzJ −×= l

lP .

Matrice homogenih transformacija prvog segmenta, centra mase prvog i drugog segmenta u odnosu na bazni koordinatni sistem su:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1 0 0 00 1 0 0

0 0

1111

1111

01

sacscasc

A ; ;

.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1 0 0 00 1 0 0

0 0

2222

2222

1 scscsc

l

l

l2 A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡++−

=

1 0 0 00 1 0 0

0 0

122111212

122111212

0 ssacsccasc

l

l

l2 A

Na temelju njih se dobivaju slijedeći pripadajući vektori pozicija i ortovi, potrebni za izračunavanje Jacobiana :

100

; 100

; 0

; 0

; 000

1012211

12211

11

11

10 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= zzppp ssa

ccasaca

l

l

l

Uvrštavanjem vrijednosti gornjih vektora u izraze za komponente matrice Jacobiana:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=

0

0 100

)( 12211

12211

12211

12211

00)(

2

2

1ccassa

ssacca

P l

l

l

l

ll ppzJ

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=

0

0 100

)( 122

122

122

122

11)(

2

2

2cs

sc

P l

l

l

l

ll ppzJ

dobiva se matrica Jacobiana koja daje ovisnost između linearne brzine centra mase drugog segmenta i brzine zglobova:

. (4.56) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−−−=

0 0

12212211

12212211)( 2 ccsa

sssa

P ll

lllJ

Veze između ugaonih brzina centara mase segmenata i brzina zglobova su izražene slijedećim Jacobianima:


Dinamika 90

]0 [ )()( 1

1

1 llOO JJ =

] [ )()()( 2

2

2

1

2 lllOOO JJJ =

Postupak izračunavanja ovih Jacobiana je slijedeći:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100

0)( 1

1zJ l

O

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 10 00 0

)( 1lOJ (4.57)

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100

0)( 2

1zJ l

O

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100

1)( 2

2zJ l

O

. (4.58) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1 10 00 0

)( 2lOJ

Sljedeći korak se sastoji u izračunavanju Jacobiana koji se odnose na rotore motora smještenih na pojedine segmente. Važno je napomenuti da se mase statora motora pridodaju masama korespodentnih segmenata, a mase rotora motora se uzimaju odvojeno ( ).

21, mm mm

Povezanost linearnih brzina centara masa rotora motora i brzina zglobova je izražena slijedećim izrazima:

]0 [ )()( 1

1

1 mP

mP JJ =

] [ )()()( 2

2

2

1

2 mP

mP

mP JJJ =

gdje su:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=−×=

000

)()( 00000)(

1

1

1ppzppzJ m

mP

, (4.59) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 00 00 0

)( 1mPJ

i Mr.sc. Jasmin Velagić, dipl.inž.el. Laboratorija za Robotiku i autonomne sustave

Dinamika 91

0

0 1

00

)()( 11

11

11

11

01000)(

2

2

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=−×= ca

sasaca

mm

P ppzppzJ

000

)()( 11011)(

2

2

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−×=−×= ppzppzJ m

mP

. (4.60)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

0 0 0 0

11

11)( 2 ca

sam

PJ

Veze između ugaonih brzina centara masa rotora motora i brzina zglobova je dana sa:

]0 [ )()( 1

1

1 mO

mO JJ =

. ] [ )()()( 2

2

2

1

2 mO

mO

mO JJJ =

Postupak izračunavanja Jacobiana je slijedeći:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡===

1

011)( 0

0 0 ]0 [

1

1

1

r

rmrm

O

kzkzkJ

(4.61)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0 0 0 0 0

1

)( 1

r

mO

kJ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

100

)()( 2

1

2

1

lO

mO JJ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡===

2

122)( 0

0

2

2

2

r

rmrm

O

kzkzkJ

. (4.62) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2

)(

10 00 0

2

r

mO

kJ


Dinamika 92

Matrica inercije za zadanu strukturu manipulatora je oblika:

)()()()()()(

22

2)()()(

)()()()()(1

11

)()()(

2

2

2

22

222

2

2

2

222

2

1

1

1

11

111

1

1

1

111

1

mO

Tm

mmm

TmO

mP

TmPmO

TTOP

TP

mO

Tm

mmm

TmO

mP

TmPmO

TTOP

TP

mm

mm

JRIRJJJJRIRJJJ

JRIRJJJJRIRJJJqB

++++

+++=l

llll

l

ll

llll

Smjenom i u gornju jednadžbu dobiva se: Ti

iiii llll RIRI = Tm

mmmm i

i

iiiRIRI =

.

)()()()()()()()()(

)()()()()()()()(

2

2

222

2

2

2

222

2

1

1

111

1

1

1

111

1

mOm

TmO

mP

TmPmO

TOP

TP

mOm

TmO

mP

TmPmO

TOP

TP

mm

mm

JIJJJJIJJJ

JIJJJJIJJJqB

++++

+++=l

llll

l

ll

llll

Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti matrica Jacobiana u izraz za matricu inercije imamo:

, (4.63) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()( )(

)(22221

212211

bbbb

ϑϑϑ

qB

gdje su:

222

222

2222111

22

2222

2221222112

21221

22

21

21

2111

)(

)2(

mr

mr

mmmr

kmb

kcambb

amcaamkmb

ΙΙ

ΙΙ

ΙΙΙΙ

++=

+++==

++++++++=

l

ll

lll

ll

ll

llll

Važna svojstva matrice inercije su : simetričnost, pozitivna definitnost i ovisnost o konfiguraciji. Cristoffelovi simboli prvog tipa su:

021

21

1

11

1

11

1

11

1

11111 =

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

=qb

qb

qb

qbc

hsamqb

qb

qb

qbc =−=

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

= 2212

11

1

12

1

12

2

11112 22

121

ll

hsamqb

qb

qb

qbc =−=

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

= 2212

12

1

22

2

12

2

12122 22

1ll (4.64)

hsamqb

qb

qb

qb

c −==∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

= 2212

11

2

11

1

21

1

21211 22

121

ll


Dinamika 93

021

21

1

22

2

12

1

22

2

21221212 =

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

==qb

qb

qb

qbcc

021

21

2

22

2

22

2

22

2

22222 =

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂∂

=qb

qb

qb

qbc

Na temelju Cristoffelovih simbola dobiva se matrica , čiji su elementi: ),( qqC &

0

)(

2222

2

112212222

12212

2

112112121

21212122

2

111211212

221122112

2

111111111

=+==

−=+==

+=+=+==

==+==

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

qcqcqcc

hqcqcqcc

hhhqcqcqcc

hcqcqcqcc

kkk

kkk

kkk

kkk

&&&

&&&&

&&&&&&&

&&&&&

ϑ

ϑϑϑϑ

ϑϑ

,

odnosno

. (4.65) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+=

0

)( ),(

1

212

ϑ

ϑϑϑ&

&&&&

h

hhqqC

Računanje matrice N daje:

, (4.66) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=−=

0 2

2- 0

0

)( 2

0

2),(2)(),(

21

21

1

212

2

22

ϑϑ

ϑϑ

ϑ

ϑϑϑ

ϑ

ϑϑ&&

&&

&

&&&

&

&&&&&

hh

hh

h

hh

h

hhqqCqBqqN

što omogućuje provjeru negativno-simetričnog svojstva matrice N. Elementi vektora )(qg se računaju po formuli:

( )∑=

+−=n

j

mP

TmP

Ti

j

ij

j

ijmmg

1

)(0

)(0 )()()( qJgqJgq l

l , (4.67)

gdje je vektor gravitacijskog ubrzanja. [ 0 00 g−=g ] Na osnovu (4.67) dobiva se:

( ) ( )

( ) 1221111

)(0

)(0

)(0

)(01

2221

2

12

2

12

1

11

1

11

)()()()()(

gcmgcamamm

mmmmg

m

mP

TmP

TmP

TmP

T

ll lll

ll

ll

+++=

=+−+−= qJgqJgqJgqJgq


Dinamika 94

( ) ( )

122

)(0

)(0

)(0

)(02

2

2

22

2

22

1

21

1

21

)()()()()(

gcm

mmmmg mP

TmP

TmP

TmP

T

ll

ll

ll

=

=+−+−= qJgqJgqJgqJgq

Uz zanemarenje djelovanja sila trenja i svih tipova kontaktnih sila, rezultirajuća dinamička jednadžba glasi:

(4.68)

( )( )

( )

( ) (2122

21221

222

2212221

22

11221111

2222121221

2222122

121221

22

21

21

21

22

222222

2221

22

222

21222111

)(

2

)(

)2(

τϑ

ϑΙΙϑΙΙ

τ

ϑϑϑ

ϑΙΙ

ϑΙΙΙΙ

=++

++++++

=++++

−−

++++

++++++++

gcmsam

kmkcam

gcmgcamamm

samsam

kcam

amcaamkm

mrmr

m

mr

mmmr

l&l

&&l&&ll

ll

&l&&l

&&ll

&&lll

ll

llll

lll

ll

ll

llll

)

4.3 NEWTON-EULEROVA JEDNADŽBA Lagrangeova formulaciji dinamičke jednadžbe manipulatora opisuje ponašanje sistema u obliku rada i energije pohranjenih u sistemu (ukupni Lagrangian sistema). Prisilne sile uključene u sistem se automatski eliminiraju primjenom ovog postupka izvođenja dinamičkih jednadžbi manipulatora. U Euler-Newtonovoj formulaciji, jednadžbe kretanja se izvode na temelju drugog Newtonovog zakona, koji povezuje sile i momente. Jednadžbe u sebi uključuju sve sile i momente koji djeluju na pojedini segment manipulatora, kao i sile i momente koji nastaju kao rezultat međudjelovanja između segmenata. Newton-Eulerova formulaciji se temelji na ravnoteži svih sila koje djeluju segment manipulatora. Ovo vodi ka skupu jednadžbi čija struktura omogućuje dobivanje rekurzivnog oblika rješenja; rekurzija prema naprijed se obavlja u svrhu dobivanja brzina i ubrzanja segmenta (jednadžbe s računanjem prema naprijed) i na temelju njih se dalje u povratnom prostiranju izračunavaju sile i momenti koji djeluju na svaki segment robotske ruke (jednadžbe s računanjem unatrag). U tim se jednadžbama kretanje svakog segmenta opisuje pomoću njegovog susjednog segmenta. Prema tome, Newton-Eulerovim postupkom se dva puta prolazi po segmentima, kako je prikazano na Sl. 4.4.

vrh manipulatora

baza

brzina, ubrzanje

sile, momenti

Slika 4.4. Rekurzivna Newton-Eulerova metoda.


Dinamika 95

U ovom poglavlju ćemo izvesti jednadžbe kretanja pojedinačnog segmenta manipulatora. Kako je već naglašeno ranije, kretanje krutog tijela može se dekomponirati u translacijsko kretanje odgovarajuće tačke fiksirane na krutom tijelu i rotacijsko kretanje krutog tijela oko te tačke. Dinamičke jednadžbe krutog tijela mogu se također prikazati dvjema jednadžbama: jedna opisuje translacijsko kretanje centroida (centra mase tijela), dok druga opisuje rotacijsko kretanje oko centroida. Promatrajmo osnaženi segment i (segment i kojemu je pridodat motor zgloba i+1) u kinematičkom lancu manipulatora na Sl. 4.5.

0gim

if

iCi,r

1+imω

Koordinatna os zgloba i

Koordinatna os zgloba i+1

Segment i

iµ

iCi ,1−r

1−iOiO

1+− iµ1+− if

iω

iCp&

iC

Slika 4.5. Označavanje segmenta za Newton-Eulerova formulaciju. Centar mase osnaženog segmenta karakteriziraju slijedeći parametri: iC masa osnaženog segmenta, im iI tenzor inercije osnaženog segmenta, moment inercije rotora,

imI vektor položaja centra mase segmenta u odnosu na ishodište kord. sistema i – 1,

iCi ,1−r vektor položaja centra mase segmenta u odnosu na ishodište kord. sistema i,

iCi ,r vektor položaja ishodišta sistema i u odnosu na ishodište sistema i – 1. ii ,1−r Oznake brzina i ubrzanja na Sl. 4.5 imaju slijedeća značenja: linijska brzina centra mase ,

iCp& iC linijska brzina ishodišta koordinatnog sistema i, ip& ugaona brzina segmenta, iω ugaona brzina rotora,

imω linijsko ubrzanje centra mase ,

iCp&& iC


Dinamika 96

linijsko ubrzanje ishodišta koordinatnog sistema i, ip&& ugaono ubrzanje segmenta, iω& ugaono ubrzanje rotora,

imω&

gravitacijsko ubrzanje. 0g Sile i momenti imaju slijedeće oznake: sila kojom segment i – 1 djeluje na segment i, if sila kojom segment i + 1 djeluje na segment i, 1+i-f moment kojim segment i – 1 djeluje na segment i s obzirom na ishodište sistem i -- 1, iµ moment kojim segment i + 1 djeluje na segment i s obzirom na ishodište sistem i 1+i-µ Također se pretpostavlja da su vektori i matrice izraženi u odnosu nakoordinatni sistem baze. Newtonova jednadbža koja opisuje translacijsko kretanje centra mase može se napisati kao 001 =−+− + iCpgff &&iiii mm . (4.69) Eulerova jednadžba za rotacijsko kretanje segmenta (momenti centra mase) može se napisati na slijedeći način:

)(1111,,11,1 ++++++− +=×−−×+

iiii mmiiriiCiiiCiii Iqkdtd zωIrfµrfµ & (4.70)

Napomenimo da gravitacijska sila ne generira bilo kakav momenat, jer je koncentrirana u centar mase.

0gim

Kako i kod Lagrangeove formulacije, prirodno je izraziti tenzor inercije u tekućem koordinatnom sistemu (konstantan tenzor). Slijedi, u skladu sa (4.13), da imamo T

iiiii RIRI = , gdje je matrica

rotacije iz koordinatnog sistema i u bazni koordinatni sistem. Uvrštavanjem ove relacije u prvi izraz na desnoj strani jednadbže (4.70) dobiva se:

iR

)(

)()(

)(

iiiii

iTi

iiiiii

Ti

iiii

Ti

iiii

iTi

iiii

Ti

iiii

Ti

iiiiidt

d

ωIωωIωRIRωωSωRIRωRIRωS

ωRIRωRIRωRIRωI

T

×+=

++=

++=

&

&&

&&&

(4.71)

gdje drugi izraz na desnoj strani ( )( iii ωIω × ) predstavlja žiroskopski moment izazvan ovisnošću iI o orijentaciji segmenta. Osim toga, uzimajući u obzir da jedinični vektor rotira prema segmentu i, potrebno je derivirati samo drugi izraz na desnoj strani u jednadžbi (4.70):

1+imz

111111 111 )(

++++++×+= +++ iiiiii mimimmimmi IqIqIq

dtd zωzz &&&& . (4.72)

Smjenom (4.71) i (4.72) u (4.70), rezultirajuća Eulerova jednadžba poprima oblik:


Dinamika 97

1111 11,11,

,11,1

)(

++++×++

×+=×−−×+

++++

++−

iiii

ii

mimiirmmiir

iiiiiCiiiCiii

IqkIqk zωz

ωIωωIrfµrfµ&&&

&. (4.73)

Jednadžbe (4.69) i (4.73) vladaju dinamičkim ponašanjem pojedinačnog segmenta robotske ruke. Kompletan skup jednadžbi za cijeli manipulator dobiva se razvojem navedenih jednadžbi zva sve segmente manipulatora, i=1,...,n. Generalizrana sila u zglobu i može se izračunati iz projekcije sile za translacijski zglob, odnosno momenta za rotirajući zglob, duž osi zgloba. Pored toga, postoji doprinos momenta inercije rotora

. Slijedi da je generalizirana sila u zglobu i jednaka:

if

iµ

ii mTmmri Ik zω

i&

(4.74) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+=

−

−

zglob rotacijski za


1

1

ii

ii

mTmmrii

Ti

mTmmrii

Ti

i Ik

Ik

zωzµ

zωzfτ

i

i

&

&

Newton-Eulerove jednadžbe (4.69) i (4.73) i jednadžba (4.74) zahtijevaju računanje linijskog i ugaonog ubrzanja segmenta i i rotora i. Računanje se može obaviti na temelju relacija izvedenih za linijske i ugaone brzine:

(4.75) ⎩⎨⎧

+=

−−

−

zglob rotacijski za


11

1

iii

ii zω

ωω

ϑ&

i

(4.76) ⎪⎩

⎪⎨⎧

×+

×++=

−−

−−−

zglob rotacijski za zglob jski translaciza

,11

,111

iiii

iiiiiii

drωp

rωzpp

&

&&&

Deriviranjem po vremenu (4.75) dobivaju se izrazi za ugaono ubrzanje segmenta sa translacijskim zglobom 1−= ii ωω && , (4.77) i ugaono ubrzanje segmenta sa rotacijskim zglobom . (4.78) 11111 −−−−− ×+++= iiiiiiiii zωωzωω ϑϑϑ &&&&&&

Linijsko ubrzanje segmenta sa translacijskim zglobom dobiva se deriviranjem prvog elementa (4.76) po vremenu na slijedeći način: , (4.79) )( ,11,11111 iiiiiiiiiiiiiiiii ddd −−−−−−− ××+×+×+×++= rωωzωrωzωzpp &&&&&&&&&

gdje je iskorištena relacija . Uzimajući u obzir (4.77), jednadžba (4.79) može se napisati kao:

iiiiiii d ,111,1 −−−− ×+= rωzr &&

. (4.80) )(2 ,1,1111 iiiiiiiiiiiiii dd −−−−− ××+×+×++= rωωrωzωzpp &&&&&&&&


Dinamika 98

A n dobiva deriviranjem drugog nalog o se izraz za linijsko ubrzanja u slučaju rotacijskog zgloba,

. (4.81)

) i (4.81) mogu se sažeti na slijedeći način:

×+++ −−−−−

−

zglob rotacijski za 11111

1

iiiiiiii

i

zωωzω ϑϑϑ &&&&& (4.82)

(4.83)

brzanje centra mase segmenta i, koje se pojavljuje na lijevoj strani Newton-Eulerove jednadžbe

elementa (4.76) po vremenu:

)( ,1,111 iiiiiiiiiii d −−−− ××+×++= rωωrωzpp &&&&&&&

ednadžbe (4.77), (4.78), (4.80J

zglob jski translaciza &

⎨⎧

=i

ωω&

⎩ i

⎪⎩

⎪⎨⎧

××+×+

××+×+×++=

−−−

−−−−−

zglob rotacijski za )(zglob jski translaciza )(2

,1,11

,1,1111

iiiiiiii

iiiiiiiiiiiiii

ddrωωrωp

rωωrωzωzpp

&&&

&&&&&&&&

U(4.69), dobiva se deriviranjem izraza

ii CiiiC ,rωpp ×+= && na slijedeći način: )( ,, iii CiiiCiiiC rωωrωpp +×+×+= &&&&& . (4.84)

anje rotora dobiva se deriviranjem (4-25):

na kraju, izraz za ugaono ubrzI qkqk zωzωω

iiii mi-irmirii-m ×++= &&&&& . 11 (4.85)

izvedene u prethodnoj sekciji nisu u prikladnom obliku za upotrebe

toru zglobova, rekurzivno se računaju

•

.3.1 Rekurzivni algoritam 4

ewton-Eulerove jednadžbeN

analize dinamike i sinteze regulatora. One ne opisuju ulazno-izlazne relacije, odnosno relacije dobivene iz kinematike i statike. U ovom potpoglavlju, obavit će se modifikacija Newton-Eulerovih jednadžbi kako bi se dobile eksplicitne ulazno-izlazne relacije. Jednadbže kretanja nisu u zatvorenom obliku, jer je kretanje jednog segmenta spregnuto sa kretanjem drugih segmenata kroz kinematičke veze za brzine i ubrzanja. Kada su poznate pozicije, brzine i ubrzanja zglobova, mogu se na temelju njih izračunati brzine i ubrzanja segmenata, koja se dalje mogu iskoristiti u Newton-Eulerovim jednadbžama za pronalaženje sila i momenata koje djeluju na svaki segment u rekurzivnom obliku, polazeći od sila i momenata primijenjenih na vrh manipulatora. S druge strane, brzine segmenta i rotora mogu biti izračunate rekurzivno polazeći od brzine i ubrzanja baznog segmenta. Sumarno, rekurzivni algoritam se konstruira na slijedeći način:

• Polazeći od baze, uz poznavanje kretanja robota u prosbrzine i ubrzanja svakog segmenta manipulatora pa se dobivaju jednadžbe s računanjem prema naprijed (eng. forward recursion). Pomoću izračunatih brzina i ubrzanja segmenata mogu se, počinjući s vrhom manipulatora i nastavljajući prema bazi, izračunati sile i momenti koji djeluju na svaki segment robotske ruke. Tako dobivene jednadžbe nazivaju se jednadžbe s računanjem unatrag (eng. backward recursion).


Dinamika 99

Za rekurziju prema naprijed, specificiraju se , te brzina i ubrzanje baznog segmenta . Nakon toga se računaju upotrebom izraza (4.75), (4.82), (4.83),

(4.84) i (4.85), respektivno. Linearno ubrzanje može se uzeti kao

qqq &&&,,0000 ,, ωgpω &&& −

ii mCiii ωppωω &&&&&& i ,,,

00 gp &&&& − tako da se ukorporira izraz

0g− u računanju ubrzanja centra mase pomoću jednadžbi (4.84) i (4.85). iCp&&

Kada je završeno računanje brzina i ubrzanja u rekurziji prema naprijed od baznog segmenta do vrha manipulatora, rekurzijom prema unatrag mogu se odrediti sile. Ako je zadano (ili eventualno h=0), Newtonova jednadžba (4.69) može se napisati kao

TTn

Tn ] [ 11 ++= mfh

iCpff &&iii m+= +1 , (4.86) jer je doprinos gravitacijskog ubrzanja sadržan u . Nadalje, Eulerova jednadžba daje

iCp&&

1111 11,11,

,11,,1

)()(

++++×++

×++×+++×−=

++++

++−

iiii

ii

mimiirmmiir

iiiiiCiiiCiiiii

IqkIqk zωz

ωIωωIrfµrrfµ&&&

&, (4.87)

što je izvedeno iz izraza (4.73), gdje je izražen kao suma dva vektora koji su se već pojavili u računanje rekurzije prema naprijed. Rezultirajuće generalizirane sile u zglobovima se mogu izračunati pomoću (4.74) kao

iCi ,1−r

, (4.88) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+++

+++=

−

−

zglob rotacijski za )sgn(

zglob jski translaciza )sgn(

1

1

FFIk

dFdFIk

isiivimT

mriiTi

isiivimT

mriiT

ii

ii

ii

ϑϑτ

&&&

&&&

zωzµ

zωzf

i

i

m

m

gdje uključen utjecaj momenta uslijed viskoznog trenja. U gornjim izvodima pretpostavljeno je da se svi vektori odnose na bazni koordinatni sistem. Rekurzivno računanje se znatno pojednostavljuje i postaje efikasnije ukoliko se svi vektore odnose na trenutni koordinatni sistem pridružen segmentu i. Ovo ima za posljedicu da se svi koji trebaju biti transformirani iz koordinatnog sistema i+1 u sistem i množe matricom rotacije , odnosno da se svi

vektori koji trebaju biti transformirani iz koordinatnog sistema i-1 u sistem i množe matricom .

ii 1+R

Tii

1−RPrema tome, izrazi (4.74), (4.82)-(4.88) mogu se ponovo napisati kao:

(4.89) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−−

−

−−

−

zglob rotacijski za )(


011

1

11

1

zωR

ωRω

T

T

iii

ii

ii

iii

iϑ&

(4.90) ⎪⎩

⎪⎨⎧

×++=

−−

−−

−

−−

−

zglob rotacijski za ) (


0110

11

1

11

1

zωzωR

ωRω

T

T

iiii

ii

ii

ii

iii

iϑϑ &&&&

&&

(4.91) ⎪⎩

⎪⎨⎧

××+×+

××+×+×++=

−−−−

−

−−−−

−−

zglob rotacijski za )(

zglob jski translaciza )(2)(

,1,111

1

,1,101

011

1

iii

ii

ii

iii

ii

ii

ii

iii

ii

ii

iii

ii

ii

iiii

ii

iii

i

dd

rωωrωpR

rωωrωzRωzpRp

T

TT

&&&

&&&&&&&&

(4.92) )( ,,iCi

ii

ii

iCi

ii

ii

iC iii

rωωrωpp +×+×+= &&&&&


Dinamika 100

(4.93) 111

111

1 −−− ×++= im

i-i-r

imr

i-i-

im iiiii

qkqk zωzωω ii &&&&&

i

ii

iii

ii m

iCpfRf &&+= +++

111 (4.94)

im

iimiir

immiir

ii

ii

ii

ii

ii

iCi

ii

iii

ii

iCi

iii

ii

ii

iiii

ii

IqkIqk1111 11,11,

,1

1111,,1

)()(

++++×++

×++×+++×−=

++++

+++++−

zωz

ωIωωIrfRµRrrfµ

&&&

& (4.95)

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++

+++=

−−−

−−−

zglob rotacijski za )sgn(

zglob jski translaciza )sgn(11

01

110

1

FFIk

dFdFIk

isiiviim

Timri

ii

Tii

isiiviim

Timri

ii

Tiii

i

ii

ii

ϑϑτ

&&&

&&&

zωzRµ

zωzRf

i

i

m

m. (4.96)

Gornje jednadžbe imaju prednost da su i

Ciii i, , rI i konstantni izrazi, što uzrokuje da je

.

1−imi

zT]1 0 0[0 =z

00

00

00

00 ,, ωω &&& gp −

(4-89) (4-90) (4-91) (4-92) (4-93)

0111

11

11 11

,,,, mCpp ωωω &&&&&&

M

2111

11

11 11

,,,, −−−−

−−

−− −−

nm

nC

nn

nn

nn nn

pp ωωω &&&&&&

1,,,, −nm

nC

nn

nn

nn nn

pp ωωω &&&&&&

(4-89) (4-90) (4-91) (4-92) (4-93)

nnn qqq &&& ,,

111 ,, qqq &&&

(4-94) (4-95)

(4-94) (4-95)

11

11 , +

+++

nn

nnf µ

nn

nnf µ,

22

22 ,µf

11

11 ,µf (4-96)

(4-96)

1τ

nτ

Slika 4.6. Računarska struktura Newton-Eulerovog rekurzivnog algoritma.


Dinamika 101

Sumarno, rekurzivni algoritam, za zadane pozicije, brzine i ubrzanja zglobova, izvodi se u slijedeće dvije faze:

• Sa poznatim početnim uvjetima i , korištenjem izraza (4.89), (4.90), (4.91), (4.92) i (4.93) za i=1,...,n, računaju se i .

00

00

00 , gpω −&& 0

0ω&iC

ii

ii

ii i

ppωω &&&&& ,,, 1−imi

ω&

• Sa poznatim krajnjim (rubnim) i , korištenjem izraza (4.94) i (4.95) za i=1,...,n, računaju se i . Nakon toga se pomoću izraza (4.96) računa

11++n

nf 11++

nnm

iif i

im iτ . Računarska struktura algoritma je shematski prikazana na Sl. 4.6. Primjer 4.2 Dvosegmentna planarna ruka U ovom primjeru će se ilustrirati primjena Newton-Eulerovog algoritma na dvosegmentnu planarnu ruku. Zadani su početni uvjeti za brzine i ubrzanja: , 0===− 0

000

00

00 ]0 0[ ωωgp &&& Tg

i rubni uvjeti za sile: . 00 == 3

33

3 µf Budući da se svi vektori posmatraju u odnosu na trenutni koordinatni sistem segmenta, dobivaju se slijedeći vektori konstantnih iznosa:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=0 0

0 0

0 0

0 0

222,1

2,2

11

1,01,1

2

2

1

1

alal C

C

C

C rrrr

gdje i idu sa negativnim predznakom. Matrice rotacije potrebne za transformaciju iz jednog u drugi koordinatni sistem su:

1Cl 2Cl

. 2,1 , 1 0 00 0

23

1 IRR ==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=− ics

sc

ii

iiii

Nadalje se pretpostavlja da se osi rotacije dva rotora podudaraju sa respektivnim osima zglobova, tj.

za i=1,2. Timi

]1 0 0[01 ==− zz

U skladu sa jednadžbama (4.89)-(4.96), Newton-Eulerov algoritam zahtijeva izvođenje slijedećih korka:

• Rekurzija prema naprijed: segment 1


Dinamika 102

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11 0

0

ϑ&ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11 0

0

ϑ&&&ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+−

=0

111

12

11

11 gca

gsa

ϑ

ϑ&

&

&&p

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++−

=

0

)(

)(

111

12

11

11

1

1gcal

gsal

C

C

C ϑ

ϑ&&

&

&&p

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11

0 0 0

1

ϑ&&&

r

m

k

ω

• Rekurzija prema naprijed: segment 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=

21

22 0

0

ϑϑ &&

ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=

21

22 0

0

ϑϑ &&&&

&ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++−−

=0

)(

)(

122

121212121

122

2122

121121

22 gcsaaca

gsacasa

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ&&&&&&&

&&&&&

&&p

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

+++−−

=

0

))((

))((

122

121212121

122

2122

121121

22

2

2gcsaalca

gsalcasa

C

C

C ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ&&&&&&&

&&&&&

&&p


Dinamika 103

. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

=

221

1 0 0

2

ϑϑ &&&&

&

r

m

k

ω

• Rekurzija prema unatrag : segment 2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

+++−−

=

0

)))(((

)))(((

122

1212121212

122

2122

1211212

22 2

2

gcsaalcam

gsalcasam

C

C

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ&&&&&&&

&&&&&

f

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++

∗∗

=

12222

12212

12212212

22212

22

)()(

)()()()(

22

22

gcalmsalam

calamalmI

CC

CCzz

ϑ

ϑϑϑϑϑ&

&&&&&&&&&&µ

.)()(

))((

)))()(((

12222

12212

222

2222

122212

2222

22

22

222

gcalmsalam

IkalmI

IkcalaalmI

CC

mrCzz

mrCCzz

++++

++++

+++++=

ϑ

ϑ

ϑτ

&

&&

&&

(4.97)

• Rekurzija prema unatrag : segment 1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++−

+++++

++++−

−+−++−

=

0

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

1212

21222

21222112111

1212

21222

2112

211121222

11

2

21

2

12

gcmmsalm

calmamalm

gsmmcalm

amalmsalm

C

CC

C

CC

ϑϑ

ϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑ

&&

&&&&&&&&

&&

&&&&&&

f


Dinamika 104

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

++−++

++++

+++++

+++++

∗∗

=

1222112111

2212212

212212

22212

22

212212212

1221212

11121211

11

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

21

22

22

2

21

gcalmgcamgcalm

salamsalam

Ikalm

calamI

calamalmamI

CC

CC

mrC

Czz

CCzz

ϑϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ

&&&

&&&&&&

&&&&&&&&

&&&&&&&&

µ

.)())((

)()(2

)))()(((

)))(2)(()((

122211211

222212212212

222212

222

12212

22122

21

21111

21

22

222

2211

gcalmgcamalm

salamsalam

IkcalaalmI

calaalamIIkalmI

CC

CC

mrCCzz

CCzzmrCzz

+++++

+−+−

++++++

+++++++++=

ϑϑϑ

ϑ

ϑτ

&&&

&&

&&

(4.98)

Momentne komponente označene sa ‘*’ nisu se računale jer nisu povezane sa zglobovskim momentima 2τ i 1τ . Rezultirajući Newton-Eulerov model je identičan Lagrangeovom (4-68), jer vrijedi:

.)(

)(

)(

)(

222

222

222

2

211

211

111

1

222

22

2

2111

11

21

almIlmI

almlm

mm

IalmIlmI

almlm

mmm

llCzz

lC

l

mllCzz

lC

ml

−+=+

−=

=

+−+=+

−=

+=

(4.99)


Documents

4. DINAMIKA MANIPULATORA - people.etf.unsa.bapeople.etf.unsa.ba/~jvelagic/laras/dok/Dinamika.pdf · rekurzivan, te je pogodan za proračun dinamičkog modela na računaru, posebno