Upload
yo-hana-chan
View
504
Download
44
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Â
Citation preview
1
Kongruensi dan Kesebangunan Segiempat dalam kehidupan sehari-hari
Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Konsep Dasar Matematika III
DI SUSUN OLEH :
1. Devy Indriyasari ( 292013282 )
2. Arlita Akmal ( 292013289 )
3. Illa Rahmawati ( 292013284 )
S1 PGSD
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2014/2015
2
PRAKARTA
Dengan memanjatkan puji Dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa,atau segala limpahan
rahmat dan karunia-Nya kepada penulis sehingga dapat menylesaikan makalah ini yang berjudul
” Kongruensi dan Kesebangunan Segiempat dalam Kehidupan Sehari-hari “.
Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan tuntunan
Tuhan Yang Maha Esa dan penulisan juga mengucapkan terimakan trimakasih kepada Bapak
Wahyudi selaku dosen pengampu yang telelah banyak membantu menyusun agar dapat
menyelesaikan makalah ini.
Penulisan menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih dari jauh dari
sempurna baik materi maupun cara penulisannya .Namun demikian penulisan telah berupuya
dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik
dan oleh karenanya .penulisan dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima
masukan ,saran dan usulan guna penyempurnaan makalah ini .
Akhirnya penulis berharap semoga makalah ini dapat menambah wawasan yang baik luas dan
bermanfaat bagi seluruh pembaca.
Salatiga, Maret 2015
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam makalah ini yang dibahas adalah mengenai bangun datar. Bangun datar memiliki
bentuk yang berbeda dari segi sisi maupun sudut. Disini yang akan dibahas adalah tentang
bangun datar segiempat termasuk kesebangunan dan kekongruenan.
Bangun datar segiempat adalah suatu bangunan- bangunan yang memiliki beberapa
kesamaan sifat yaitu masing- masing memiliki empat ruas garis dan empat titik sudut. Selain itu,
bangun datar segiempat mempunyai unsur-unsur sisi, sudut, titik sudut dan diagonal.
Bangun segiempat yang mempunyai sifat-sifat khusus adalah bangun persegi, persegi
panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang dan trapesium. Bangun datar dengan bentuk
dan ukuran yang sama disebut sebangun jika memenuhi persyaratan. Kesebangunan dan
kekongruenan berbeda satu sama lainnya. Jika kesebangunan harus memenuhi syarat sudut-
sudutnya yang bersesuaian sama besar dan sisi- sisi yang bersesuaian sebanding, maka
kekongruenan harus memenuhi syarat bahwa dua bangun yang kongruen diimpitkan maka akan
saling menutupi, atau bagian- bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat.
Kita dapat melihat benda dengan bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan
ukuran terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan menggunakan perbandingan
skala tertentu. Melalui pembelajaran kesebangunan dan kekongruenan ini akan dapat membantu
memecahkan masalah sehari- hari.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah diantaranya sebagai
berikut.
a. Apa pengertian, syarat dan rumus yang mengenai bangun segiempat?
b. Apa pengertian dan syarat dari kesebangunan dan kekongruenan?
4
1.3 Tujuan
Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk
mengetahui dan mendeskripsikan:
a. Pengertian, syarat dan rumus yang mengenai bangun segiempat.
b. Pengertian dan syarat yang mengenai kesebangunan dan kekongruenan.
1.4 Manfaat Makalah
a. Secara Teoretis
Makalah ini diharapkan dapat memberikan wawasan dan memperluas pengetahuan
tentang materi pembelajaran Matematika khususnya dalam pembahasan materi segiempat,
kesebangunan dan kekongruenan, serta dapat dijadikan secara ilmiah untuk membandingkan
antara ilmu yang dipelajari di bangku perkuliahan dengan kenyataan di lapangan.
b. Secara Praktis
Makalah ini diharapkan bermanfaat bagi orang lain yang membutuhkan informasi sesuai
dengan makalah ini dan dapat dijadikan acuan dalam pembelajaran maupun di masyarakat.
1.5 Sistematika Pembahasan
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Tujuan
1.4 Manfaat Makalah
1.5 Sistematika Pembahasan
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Segiempat
2.2 Kesebangunan dan Kekongruenan
BAB III SIMPULAN
3.1 Simpulan
3.2 Saran
5
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Segiempat
A. Persegi
P Q T U
S R
W V
- Perbandingan panjang sisi-sisi persegi PQRS dan TUVW diatas yaitu :
𝑃𝑄
𝑇𝑈=
𝑄𝑅
𝑈𝑉=
𝑅𝑆
𝑉𝑊=
𝑆𝑃
𝑊𝑇
- Besar sudut-sudut pada persegi PQRS dan persegi TUVW .
Kedua bangun tersebut merupakan bangun persegi , bangun tersebut memiliki empat
sudut siku-siku sama memiliki empat sudut yang sama besar sehingga diperoleh :
>P=>T
>Q=>U
>R=>V
>S=>W
1) Sifat-sifat dari persegi:
a) Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.
b) Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara.
c) Semua sisi persegi adalah sama panjang.
d) Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
e) Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku.
Jadi pengertian persegi adalah segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan
keempat sudutnya sama besar, yaitu 900.
2) Rumus persegi
a) Keliling (K) = 4 x sisi atau K = 4s
b) Luas (L) = sisi x sisi atau S2.
6
B. Persegi Panjang
A B E F
C D
G H
- Perhatikan bangun persegi panjang ABCD dan bangun persegi panjang EFGH Perbandingan
panjang kedua bangun di atas adalah:
𝐴𝐵
𝐹𝐻=
- Besar sudut-sudut pada persegi panjang ABCD dan EFGH .
Kedua bangun tersebut merupakan bangun persegi panjang segingga setiap sudutnya
merupakan sudut siku-siku dikarenakan :
<A=<E
<B=<F
<C=<G
<D=<H
Dapat disimpulkan :
1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun tersebut memiliki perbandingan yang
senilai .
2. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar .
1) Sifat-sifat dari persegi panjang:
a) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
b) Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (900).
c) Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
d) Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.
Dari sifat-sifat di atas dapat disimpulkan, Persegi panjang adalah segi empat yang keempat
sudutnya siku-siku dan sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2) Rumus
a) Keliling (K) = 2 (panjag+lebar)
= 2 (AB+BD)
b) Luas (L) = Panjang x lebar
7
C. Jajar Genjang
D C S R
8 6
P 9 Q
A 12 B
- Perhatikan gambar jajar genjang di atas. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun jajar genjang :
Sudut A = Sudut P
Sudut B = Sudut Q
Sudut C = Sudut R
Sudut D = Sudut S
- Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian :
𝐴𝐵
𝑃𝑄=
12
9=
4
3
𝐵𝐶
𝑄𝑅=
8
6 =
4
3
𝐶𝐷
𝑅𝑆=
12
9=
4
3
𝐴𝐷
𝑃𝑆=
8
6=
4
3
1) Sifat-sifat jajar genjang:
a) Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama panjang dan sejajar.
b) Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama besar.
c) Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap jajargenjang adalah 1800.
d) Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.
Definisi jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan
sama panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
2) Rumus jajar genjang
a) Keliling (K) = jumlah sisinya = AB + BC + CD + DA
b) Luas (L) = alas x tinggi
8
D. Belah Ketupat
M T
N P U W
V
O
1) Sifat-sifat belah ketupat:
a) Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
b) Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.
c) Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling
berpotongan tegak lurus.
d) Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama
besar oleh diagonal-diagonanya.
Definisi, belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga
sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
2) Rumus belah ketupat
a) Keliling (K) = AB + BC + CD + DA
b) Luas (L) = ½ (d1 x d2)
9
E. Layang-Layang
A E
B D F H
C
G
1) Sifat-sifat layang-layang:
a) Sepasang sisinya sama panjang.
b) Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
c) Saah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.
d) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjdi dua bagian sama
panjang dan kedua diagonal itu saling tegak lurus.
Pengertian bangun layang-layang adalah segiempat dengan dua pasang sisi-sisi yang
berdekatan sama panjang.
2) Rumus layang-layang
a) Keliling (K) = jumlah sisi-sisinya = AB + BC + CD + DA
b) Luas (L) = ½ (d1 x d2)
10
F. Trapesium
H K K N
L M
I J
Perbandingan panjang bangun trapesium HIJK dan trapesium KLMN
- Sudut H = K
- Sudut I = L
- Sudut J = M
- Sudut K =N
1) Sifat-sifat trapesium:
a) Sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
b) Sudut antara sisi-sisi sejajar yang memiliki kaki sekutu salah satu sisi tegaknya
berjumlah 1800.
c) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki adalah sama panjang.
Jadi pengertian trapesium adalah segi empat yang memiliki sepasang sisi sejajar.
Jika dua sisi tidak sejajarnya memiliki panjang yang sama, dan kedua sudut alasnya sama
besar, maka dinamakan trapesium sama kaki. Trapesium bukan jajarangenjang, karena hanya
memiliki sepasang sisi sejajar.
2) Rumus trapezium
a) Keliling (K) = jumlah sisi-sisinya = AB + BC + CD + DA
b) Luas (L) = (jumlah sisi sejajar x tinggi)
11
2.2 Kesebangunan dan Kekongruenan
A. Kesebangunan
Kesebangunan yaitu bangun-bangun yang memiliki bentuk yang sama dengan ukuran
yang sama atau berbeda. Secara umum dua buah bangun datar dikatakan sebangun (similar)
jika sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
Secara sederhana dua buah bangun disebut sebangun bila kedua bangun tersebut
mempunyai bentuk atau tipe yang sama. Ukuran kedua bangun yang sebangun bisa sama
ataupun berbeda. Persyaratan untuk dua bangun yang sebangun adalah :
1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
a) Dua bangun datar yang sebangun
Kedua bangun di atas, ABCD dan KLMN adalah dua bangun yang sebangun, karena
memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
a. Pasangan sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, yaitu:
Pasangan sisi AD dan KN =
Pasangan sisi AB dan KL =
Pasangan sisi BC dan LM =
Pasangan sisi CD dan MN =
b. Besar sudut yang bersesuaian sama
b) Dua segitiga yang sebangun
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
a. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
b. Dua pasang sudut yang bersesuaian yang sama besar.
Segitiga ABC dan PQR adalah sebangun, karena memiliki sifat:
a. Perbandingan sisi yang sama besar bersesuaian sama besar, yaitu :
AC bersesuaiandengan PR =
AB bersesuaiandengan PQ =
BC bersesuaian dengan QR =
12
b. Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama, yaitu :
Pada segitiga siku-siku dapat dibuat garis tinggi ke sisi miring, maka diperoleh rumus:
o Perumusan garis tinggi ∆ABC siku-siku di A : AD2 = BD x CD;
o Proyeksi sisi alas pada sisi miring suatu segitiga siku-siku : AB2 = BD x BC;
o Proyeksi sisi tegak pada sisi miring segitiga siku-siku : AC2 = CD x CB;
o Hubungan sisi-sisi segitiga siku-siku dan garis tinggi : AB x AC = BC x AD
B. Kekongruenan
Bangun-bangun geometri dikatakan kongruen (sama sebangun) jika dan hanya jika
bangun-bangun itu mempunyai ukuran dan bentuk yang sama. Jadi bisa diingat betul bahwa
kongruen adalah bentuknya sama dan ukurannya sama. Jika tidak memenuhi salah satu saja,
maka bangun tersebut tidak kongruen.
Bangun-bangun yang kongruen merupakan bangun-bangun yang sebangun dan
memiliki ukuran bangun yang sama. Persyaratan untuk dua bangun yang kongruen :
1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
2. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama.
a) Dua bangun datar yang kongruen
Perhatikan dua bangun datar berikut !
KL = PQ
LM = QR
MN = RS
NK = SP
KLMN dan PQRS kongruen. Dua bangun dikatakan kongruen jika ke dua bangun
tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
b) Dua segitiga yang kongruen
Secara geometris dua segitiga kongruen adalah dua segitiga yang saling menutpi
dengan tepat. Sifat dua segitiga kongruen :
a. Pasangan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
b. Sudut yang bersesuaian sama besar.
13
c) Tiga sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi)
AB = PQ (sisi)
AC = PR (sisi)
BC = QR (sisi)
d) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu
sama besar (sisi, sudut, sisi).
AB = PQ (sisi)
BC = QR (sisi)
e) Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik
sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).
AC = RP (sisi)
Adapun empat kondisi yang merupakan syarat-syarat dua segitiga yang kongruen :
1. Tiga Sisi (SSS)
Apabila panjang ketiga sisi dari sebuah segitiga sama dengan dua sisi segitiga
lainnya, maka kedua segitiga itu kongruen.
2. Dua sisi dan satu sudut apit (SAS)
Apabila dua sisi dan satu sudut apit dari sebuah segitiga sama dengan dua sisi dan
satu sudut apit dari segitiga lainnya maka kedua segitiga itu kongruen.
3. Dua sudut dan sebuah sisi (ASA/AAS/SAA)
Apabila dua sudut dan sebuah sisi dari suatu segitiga sama dengan dua sudut dan
sebuah sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga itu kongruen.
4. Sudut, siku-siku, hypotenusa, dan sisi tegak
Apabila dua segitiga siku-siku, hypotenusa, dan sisi tegak dari segitiga pertama
sama dengan hypotenusa dan sisi tegak dari segitiga kedua, maka kedua segitiga itu
kongruen.
14
Penerapan dalam kehidupan sehari-sehari
Sebagai contoh Bingkai Foto ini :
Foto di bingkai dengan ukuran 60cmx45cm. Jarak dari tepi kiri dan kanan bingkai
2cm. Tentukan :
a. Tentukan ukuran foto diatas !
b. Berapa jarak tepi atas bingkai dengan tepi atas foto ?
Penyelesaian :
• Diket : Ukuran bingkai 60cmx45cm
P= 60cm , L=45cm
jarak tepi kanan dan kiri = 2cm
• Ditanya : Ukuran foto ?
jarak tepi atas bingkai dengan tepi atas foto ?
a. Panjang foto = panjang bingkai- ( tepi kanan + tepi kiri )
= 60cm – ( 2cm + 2cm ) = 56 cm
15
b. Jarak tepi atas bingkai
= ( lebar bingkai – lebar foto ) : 2
= ( 45cm – 42cm ) : 2
= 3cm : 2 = 1,5cm
Jadi jarak tepi atas bingkai dengan tepi atas foto adalah 1,5 cm
16
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
a. Bangun datar segi empat yang meliputi persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah
ketupat, layang-layang dan trapesium.
b. Persegi panjang adalah bangun segi empat dengan panjang sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar. Keliling dan luas persegi panjang dengan panjang p dan lebarl adalah
K = 2(p x l) dan L = p x l.
c. Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat
sudut siku-siku. Keliling dan luas persegi dengan panjang sisi s adalah
K = 4s dan L = s².
d. Jajar genjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan
bayangannya yang diputar setengah putaran (180°) pada titik tengah salah satu sisinya.
Keliling dan luas jajargenjang dengan panjang sisi alas a dan sisi lainnya b, serta
tinggi tdirumuskan dengan
K = 2(a + b) dan L = a x t.
e. Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki
dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Keliling dan luas belah ketupat
dengan panjang sisi s serta diagonal dirumuskan dengan
K = 4s dan L = ½ (d1 x d2)
f. Layang-layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama
kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit. Keliling dan luas layang-layang dengan
sisi pendek a dan sisi panjang b serta diagonal adalah
K = 4s dan L = ½ (d1 x d2)
g. Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang
berhadapan sejajar. Keliling dan luas trapesium dengan panjang sisi sejajar a dan b,
panjang sisi tidak sejajar c dan d, serta tinggi t adalah
K = 4s dan L = (jumlah sisi sejajar x tinggi)
17
h. Sedangkan untuk kesebangunan dan kekongruenan secara sederhana dua buah bangun
disebut sebangun bila kedua bangun tersebut mempunyai bentuk atau tipe yang sama.
Ukuran kedua bangun yang sebangun bisa sama ataupun berbeda. Persyaratan untuk dua
bangun yang sebangun adalah :
1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar,
2) Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
i. Hubungan khusus antara bangun sebangun dan kongruen : bangun kongruen pasti
sebangun, tetapi bangun sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang
kongruen merupakan bangun-bangun yang sebangun dan memiliki ukuran bangun yang
sama. Persyaratan untuk dua bangun yang kongruen :
1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
2) Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama.
18
Daftar Pustaka
UPS…. ???