4 Líneas de Transmisión - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6644/info/varios/lineas/basico/4-lineas2.pdf · Esto da una serie de ... nea que se conecta en paralelo con el

Electromagnetismo – 2002 229

Departamento de Física – Facultad de Ingeniería – Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

4 – Líneas de Transmisión 2En este Capítulo continuamos con el análisis de las líneas de transmisión.• Comenzamos estudiando las técnicas básicas de adaptación de impedancias entre

una línea y una carga cualquiera. La adaptación es esencial para evitar reflexio-nes de potencia en la carga y sobretensiones y sobrecorrientes en la línea.Las dos técnicas básicas de adaptación son el transformador de cuarto de onda ylos stubs.

• La mayoría de los cálculos realizados con líneas de transmisión se simplificannotablemente con el uso de la carta de Smith, que permite obtener soluciones grá-ficas sin necesidad de cálculos con argumentos complejos. Se presentan los fun-damentos de su construcción y del uso elemental.

• Además de su uso en el transporte de señales y energía, las líneas se usan comoelementos de circuito, debido a que variando la carga y la longitud prácticamentese puede obtener cualquier impedancia. Se presenta su uso como circuitos reso-nantes de alto Q.

• Además del comportamiento en estado estacionario, donde hay una distribuciónestacionaria de tensión y corriente en la línea, es de interés tecnológico analizar elcomportamiento de los transitorios en las líneas, donde se tienen en cuenta laspropiedades de propagación de pulsos a lo largo de la línea. Esto da una serie deposibilidades técnicas, de las cuales la más común es la reflectometría en el domi-nio del tiempo (TDR) que permite obtener la posición y características de impe-dancia de discontinuidades en las líneas. Esta técnica se usa, por ejemplo, en ladetección remota de defectos en líneas de alta tensión y caracterización de pará-metros de líneas microstrips.

• Introducimos en un Apéndice las ideas relacionadas con la descripción de circui-tos mediante la llamada matriz de dispersión y otras descripciones matricialesequivalentes, que son de mucha utilidad para analizar la propagación de ondas enestructuras complejas de guiado desde un punto de vista circuital. Analizamos es-tas ideas en el marco de la descripción de la propagación de ondas en líneas.



Adaptación de impedanciasEs común que se deba conectar una carga a una línea de impedancia característicadiferente. En tal caso existirá una onda reflejada que disminuye la potencia entrega-da a la carga y puede tener efectos adversos en el generador, crear sobretensionesy sobrecorrientes sobre la línea capaces de causar daños, etc. Para evitar estas si-tuaciones problemáticas existen distintos mecanismos de adaptación entre la líneay la carga. Veremos los más sencillos a continuación.Como es común, supondremos que las líneas son ideales o de bajas pérdidas, por loque tomamos reales a la impedancia característica y la constante de propagación.Por simplicidad en la introducción también supondremos que la carga es real

• Transformador (línea) de cuarto de ondaSe trata de un trozo de línea delongitud La y de impedancia carac-terística Za. Para la adaptación, serequiere que la impedancia de en-trada del conjunto carga + adapta-dor sea igual a la impedancia ca-racterística de la línea original Z0:

0)sen()cos()sen()cos(

)( ZLkZiLkZLkZiLkZ

ZLZZaLaa

aaaLaain =

++

=−=

Luego: )sen()cos()sen()cos( 002

aLaaaaaLa LkZZiLkZZLkZiLkZZ +=+Para que se cunpla esta igualdad deben igualarse por separado las partes reales eimaginarias de ambos miembros:

)sen()sen(

)cos()cos(

02

0

aLaa

aaaLa

LkZZLkZLkZZLkZZ

=

=

La primera ecuación, si el coseno es no nulo, requiere que ZL = Z0, pero esto no ocu-rre por hipótesis, ya que en tal caso no sería necesaria la adaptación. Entonces laigualdad sólo es válida si se anula el coseno:

⇒==⇒= 2

2 0)cos( πλ

π nL

LkLkaa

aaaa 4a

a nLλ

=

Si 4/1 aaLn λ=⇒= y esta es la longitud más corta de la línea adaptadora, quepor tal motivo se llama línea de cuarto de onda. Con esta condición el seno en lasegunda ecuación vale 1 y se satisface la igualdad si:

⇒= 02 ZZZ La La ZZZ 0=

que es la media geométrica de las impedancias que se quieren adaptar.Consideremos ahora la adaptación cuan-do la carga es compleja. En este caso secoloca el adaptador a una distancia L0 dela carga para la cual la impedancia deentrada LZ ′ es real y entonces:

0ZZZ La ′=La adaptación por este método se realiza en forma sencilla usando la carta de Smithque veremos más adelante.

La adaptación de impedancias por línea de cuarto de onda se dapara una única frecuencia, aquélla en que La = λλλλa /4.

Z0 ZLZa

Zin

z0-La

Z0 Z0Za

z0-La-L0

ZL

-L0

LZ ′



• Adaptador (stub)Muchas veces no es posible tener unalínea con la impedancia característicanecesaria para un adaptador de cuartode onda. Suele usarse un stub, que ha-bitualmente es un trozo de la misma lí-nea que se conecta en paralelo con elconjunto linea+carga para lograr laadaptación de impedancias. Normal-mente el extremo de carga (extremo le-

jano) del stub se cortocircuita para minimizar la emisión de radiación electromagnéti-ca que podría causar interferencias.El diseño del stub consiste en definir la longitud del stub Ls y la posición - ds en la quedebe ubicarse. En el punto de conexión la admitancia del conjunto es la suma de lasadmitancias del stub y la admitancia de entrada del conjunto línea+carga. Esa ad-mitancia debe ser igual a 1/ Z0 para la adaptación.Si la carga es resistiva quedan las ecuaciones para las admitancias de entrada:

línea+carga: ( )

)(sen)(cos

)2sen(2

)sen()cos()sen()cos(

)( 22220

2200

00

00 dkYdkY

dkYYiYYY

dkYidkYdkYidkYYdY

L

LL

L

Ls +

−+=

++

=−

stub: )(cotan)( 0 ss LkiYLY −=−

de modo que para adaptación: )()(0 ss LYdYY −+−=

Operando:( )

)(cotan)(sen)(cos

)2sen(2

022220

2200

00 sL

LLLkiY

dkYdkY

dkYYiYYYY −

+

−+= de donde:

⇒=+

1)(sen)(cos 2222

0

0

sLs

L

dkYdkY

YY ( )01 /

2ZZtand Ls

−=πλ

( )⇒=

+

− )(cotan2

)(sen)(cos

)2sen(2222

0

220

sL

L LkdkYdkY

dkYY

−= −

0

01 22 ZZ

ZZtanL

L

Ls π

λ

Estas ecuaciones permiten diseñar la adaptación. Son válidas únicamente para car-gas resistivas.En el caso general de cargas no resistivas es más fácil utilizar la carta de Smith paradiseñar los adaptadores, cosa que veremos más adelante.Ejemplo 80: Una línea de transmisión coaxil sin pérdidas, con impedancia característica de

100 Ω, está terminada en una carga de valor ZL = 150 Ω. Se desea acoplarla por mediode un coaxil adaptador de λ/4 a 10MHz. Calcule la impedancia característica y la longi-tud del adaptador.La impedancia característica del adaptador es: Ω≈= 5.1220 La ZZZ

y su longitud es: fvL aaa 44 =λ=

Pero la velocidad en la línea es: mcfZLcZcv a

aa

ra 44.2

4

00≈=⇒==

ηηε

Ejemplo 81: Realice la adaptación del Ejemplo previo usando un stub cortocircuitado de lamisma línea.

z0-ds

Ls

Z0

ZLZ0

cortocircuito



Las ecuaciones de diseño son:

( ) ( ) ( ) mZZtanf

cZZZtan

fvZZtand LLLs 245.1/

2/

2/

2 01

0

00

10

1 ≈ηπ

=π

=πλ= −−−

mZZZZ

tanf

cZZZZZ

tanLL

L

L

Ls 5.1

22

22 0

01

0

0

0

01 ≈

−=

−= −−

ηππλ

Nuevamente en este caso la adaptación funciona a una única frecuencia, porque losparámetros de diseño son proporcionales a la longitud de onda en la línea a la fre-cuencia de adaptación. Si se cambia esta frecuencia se debe cambiar la longitud delstub y su posición. La longitud se puede modificar con cierta facilidad, colocando uncortocircuito móvil en el extremo de carga, pero la posición es difícilmente variable.Sin embargo, si se usan dos o más stubs es posible variar la frecuencia de adapta-ción cambiando únicamente sus longitudes1.

Línea con generador y cargaEn general, una línea conecta un generador auna carga. En la figura, una línea de impedan-cia característica Z0 y longitud d conecta ungenerador de impedancia Zg a una carga ZL.Las ecuaciones de tensión y corriente sobre la

línea son, como en el caso previo:[ ] [ ]

[ ]zkiL

zkitizkizkiti

zkiL

zkitizkizkiti

eeeZVe

ZVe

ZVetzi

eeeVeVeVetzv

ρ

ρ

ωω

ωω

−=

−=

+=+=

−+−−+

−+−

−+

000

),(

),(

Estas ecuaciones satisfacen la condición de borde para z = 0 (sobre la carga). Faltaplantear la condición de borde sobre la entrada:

[ ]dkiL

dkitig

tig eeeVZtdieVtdv −

+ +=−−=− ρωω ),(),(

Luego: [ ] [ ]dkiL

dkitig

dkiL

dkititig eeeVZeee

ZV

eV −+

−+ +=−− ρρ ωωω

0

de donde:gdki

gLdki

g

VeZZeZZ

ZV −+ −++

=)()( 00

0

ρ

o también:gdki

gLdki

gL

L VeZZZZeZZZZ

ZZZV −+ −−+++

+=

)()())(()(

0000

00

Así se conoce la distribución de corrientes y tensiones sobre toda la línea en funciónde la tensión pico del generador y de las impedancias involucradas.

Ejemplo 82: Un tramo de 3m de una línea coaxil de impedancia característica Z0 = 75 Ω co-necta un generador de tensión pico 125 V, frecuencia 1 MHz y resistencia interna 19 Ω auna carga RL serie con R = 150 Ω y L = 25 µHy. Calcule la potencia media que se disipaen la carga y los máximos valores de tensión y corriente en la línea y su ubicación.Para responder es necesario determinar la amplitud de las ondas de tensión y corrienteen la línea. Para ello usamos la expresión de V+ que hallamos en esta sección:

gdkigL

dkigL

L VeZZZZeZZZZ

ZZZV

−+−−+++

+=

)()())((

)(

0000

00

Como: Vg = 125 V Z0 = 75 Ω ZL = RL +i XL = RL +i ωL = (150+i 157) Ω

1 Ver, por ejemplo, R. Neli Vera, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill Interamericana, México,. 199, pp. 182y posteriores.

z0-d

Vg

ZgZ0 ZL



Zg = 19 Ω d = 3 m 100 1.0 −=== m

Zcvk ηωω

con estos datos tenemos: ( )ViV 31.2057.69 −≈+

La potencia media que se disipa en la carga es: ( ) 022 21 ZVPTP LiL +−== ρ

con: 4.0 31.055.0 2

0

0 ≈⇒+≈+−

= LL

LL i

ZZZZ

ρρ de donde: ( ) WZ

VP LL 93.20

21

0

22 ≈−= +ρ

Los valores máximos de tensión y de corriente son:( ) ( ) AZVIVVV LmaxLmax 58.1/1 45.1181 0 ≈+=≈+= ++ ρρ

mientras que las posiciones d4e los máximos de tensión se dan para:

−=−=

πϕλϕπ222

2 nk

nzMV

con n entero y ϕ fase del coeficiente de reflexión.

En nuestro caso: mnnf

cZzradianes n )0821.0(84.29

22)(5159.0

0

0 −≈

πϕ−

η=⇒≈ϕ

Los máximos de la onda de corriente se dan para:

mmmzm )836.02(29.14124

+≈

−+=

πϕλ con m entero.

Carta de SmithLa impedancia de onda relativa a la impedancia característica puede escribirse:

)2(

)2(

2

2

0 11

11)(

ϕ

ϕ

ρρ

ρρ

ρρ

+

+

−

−

−+

=−+

=−+

= kziL

kziL

kziL

kziL

ikzL

ikz

ikzL

ikz

ee

ee

eeee

ZzZ

Esta ecuación es del tipo: wwz

−+=

11 donde z = r + i x y w = u + iv.

Tal ecuación se conoce como una transformación bilineal (se puede demostrar

fácilmente que 11

+−=

zzw ) y se caracteriza porque las líneas de r constante o las

líneas de x constante resultan circunferencias en el plano w. Como 1≤Lρ el dia-grama completo se halla dentro del círculo de radio unitario. Podemos demostrarque la forma de las curvas de de r constante o x constante son circunferencias:

Partimos de:22

22

22 )1(

21

)1(

)1)(1(11

vu

vivu

vu

ivuivuivuivuixr

+−

+−−=

+−

+−++=−−++=+

Luego:2222

22

)1(

2

)1(

1

vu

vx

vu

vur+−

=+−

−−=

de donde: rvrururvu

vur −=++−+⇒+−

−−= 1)1(2)1( )1(

1 2222

22

completamos cuadrados:2

22

211

111

2

+

++−=+

+

++

−r

rrrv

rru

rru

y finalmente: [ ] 222 )1(1)1( rvrru +=++−de donde se ve que las líneas de r constante son circunferencias de radio )1/(1 r+y centradas en el punto )1/( rr + .

Análogamente, de la ecuación para x:

222222

22

112)1( 02)1( )1(2

xxxvvu

xvvu

vuvx =+−+−⇒=−+−⇒+−

=



y finalmente: [ ] [ ] 22 /1/11 xxvu =−+−de donde se ve que las líneas de x constante son circunferencias de radio x/1 ycentradas en el punto )/1,1( x .En este diagrama los ejes (u,v) representan las partes real e imaginaria del complejoρLei(2kz+ϕ) mientras que r = Re[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el eje horizontal) y

x = Im[Z(z)/Z0] (valores señala-dos sobre el círculo exterior)son los valores, normalizados ala impedancia característica dela línea, de la parte real e ima-ginaria de la impedancia de on-da. Convencionalmente, el án-gulo ϕ del fasor ρL se mide des-de el eje real positivo en sentidoantihorario.Variar la posición sobre la líneaimplica cambiar el ángulo defase del complejo (u, v), lo queimplica girar alrededor del cen-tro del diagrama a ρL cons-tante (ρL es constante porquedepende de las impedanciascaracterística y de carga, perono de la posición en la línea).Como los ángulos aumentan

convencionalmente en el sentido antihorario, y el sentido positivo de la coordenada zes hacia la carga, un giro antihorario representa un movimiento hacia la carga, yel giro horario un movimiento hacia el generador. El círculo exterior del diagramapermite medir estos desplazamientos, calibrados en longitudes de onda. Obsérveseque el cero de desplazamiento se coloca sobre el eje real negativo. Dado que semiden diferencias de longitud (la posición a lo largo de la línea respecto de la posi-ción de la carga) no importa dónde se ponga el cero.La carta de Smith se usa para calcular impedancias de entrada, ROE, coeficientesde reflexión y otros datos sólo con una regla y un compás, sin usar funciones trigo-nométricas o hiperbólicas, lo que facilita los cálculos. Aunque hemos deducido susecuaciones para líneas sin pérdidas (Z0 real), es posible extender su uso a líneascon bajas pérdidas.Las aplicaciones de cálculo básicas de la carta de Smith a líneas sin pérdidas son:• Dada Z(z) obtener ρ(z)

Dada ρ(z) obtener Z(z)• Dados ZL y ρL obtener Z(z) y ρ(z)

Dados Z(z) y ρ(z) obtener ZL y ρL• Hallar posiciones y valores de los máximos y mínimos de tensión sobre la línea.• Hallar la ROE.• Dada Z(z) obtener Y(z)

Dada Y(z) obtener Z(z)

ρL=1

ρL=0.5

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0.5

-i0.5

00.2 0.5 21

O

λ hacia el generador

λ hacia la carga

ϕρ , ϕτ



Ejemplos de uso de la carta de SmithEjemplo 83: Una línea de 50Ω está terminada por una resistencia de 30Ω en serie con una

reactancia capacitiva de 40Ω. Hallar: a) ρL y ROE, b) la impedancia de entrada si la lon-gitud de la línea es L = 0.1 λ y c) los valores de longitud de línea que llevan a una impe-dancia de entrada puramente resistiva y los valores de estas impedancias.

Para utilizar la carta de Smith pri-mero expresamos la impedanciade carga normalizada a la impe-dancia característica:

8.06.050

4030

0ii

ZZ L −=−=

y entonces marcamos en la cartade Smith el punto A en la inter-sección de los círculos r = 0.6 y x = - 0.8.a) La distancia desde A al centrodel diagrama da ρL= 0.5 y laprolongación de este segmentohasta el círculo de ángulos delcoeficiente de reflexión da ϕ = 90°(trazos en negro).

Además 35.015.01

11

=−+=

−+

=L

LROEρρ

Podemos sacar el valor de ROEde la carta de Smith. Como de-pende solamente de ρL, una

carga resistiva pura con el mismo ρL dará el mismo ROE.

Como para RL > Z0 : ( ) ( ) ( ) ( ) ROEZRZR

ZRZR LLLL

LLL =−+=′′

⇒+′−′= ρρρ 11 00

00

y el valor del ROE coincide con la resistencia normalizada que da el mismo valor deρL. Se usa este hecho y se traza en la carta de Smith el arco de circunferencia cen-trada en el centro del diagrama hasta el eje x = 0 para r > 1. El valor obtenido de r enel cruce D (3) es igual al ROE (trazo en verde).

b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del dia-grama que pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resultal0/λ = 0.375. Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos hacia elgenerador (en el sentido horario) sobre el círculo de ρL = cte. (ρL depende sola-mente de la carga y Z0) en 0.1λ, de acuerdo al enunciado del problema, tendremos:

(l0+L)/λ = 0.375 + 0.1 = 0.475.El punto B así obtenido corresponde a r = 0.34 y x = 0.14 , o sea Zin = (17 – i 7)Ω (tra-zos en azul).

c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas corres-ponden a los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pa-sa por A, recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el C (separado delA en λ/4)y luego el D (separado del C en λ/4) (trazos en violeta).

C

ρL

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21O

A

l0/λ

B

D

ϕ

(l0+L)/λ



Carta de admitanciasDado que la admitancia Y = 1/Z satisface las mismas ecuaciones que la impedanciade onda, la carta de Smith es también un diagrama de admitancias normaliza-das a Y0 = 1/Z0. La transformación bilineal es:

wwz

ee

ee

YzY

ee

ZzZ

kziL

kziL

kziL

kziL

kziL

kziL

−+=⇒

−+

=+−

=⇒−+

= ++

++

+

+

+

+

11

11

11)(

11)(

)2(

)2(

)2(

)2(

0)2(

)2(

0πϕ

πϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρρ

ρρ

ρρ

que es la misma ecuación que antes, pero para obtenerla es necesario introducir unángulo de fase de π en el complejo w. Por ello, un punto de la carta de impedanciasestá sobre el círculo de ρL constante separado 180° del punto correspondiente a lacarta de admitancias. Por otra parte, las escalas son iguales, de manera que dondese lee resistencia (reactancia) en la carta de impedancias se debe leer conductancia(susceptancia) en la de admitancias.En el siguiente ejemplo, donde se diseña un stub paralelo de adaptación, se usa lacarta de Smith como diagrama de admitancias.

Ejemplo 84: Usar la carta de Smith para diseñar un stub de adaptación entre una línea deZ0 = 100 Ω y una carga real ZL = 500 Ω.

La impedancia de carga normalizadaes:

5/ 0 == ZZz LLSe ingresa a la carta en este punto(A). Se traza un círculo auxiliar con-céntrico con la carta que pasa por A.Este círculo es la curva de ρL yROE constantes. Como vamos a co-locar un stub en paralelo con la líneaprincipal, nos conviene trabajar conadmitancias. Pasamos entonces de Aal punto correspondiente B (a 180°),donde la admitancia normalizada esyL = 0.2. Ahora nos movemos por elcírculo de ρL constante en sentidohorario (hacia el generador) hastallegar al círculo de admitancia norma-lizada igual a 1 (que coincide con elcírculo de impedancia normalizadaigual a 1 - punto C) que es la condi-ción de adaptación.La distancia ds = 0.182 λ (en longitu-

des de onda) medida sobre el círculo exterior de la carta entre los radios que pasan porB y C es la distancia desde la carga a la que hay que poner el stub.Para hallar la longitud del stub, se observa que la impedancia normalizada en C esyC = 1 + i 1.76, de manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada queanule la parte imaginaria: yS = - i 1.76. El punto D (simétrico de C respecto del eje real)cumple esta condición, y midiendo sobre el círculo exterior la distancia desde el puntode admitancia normalizada infinita (condición de cortocircuito - eje real positivo) se ob-tiene Ls = 0.82 λ que es la longitud requerida del stub.

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21O A

C

B

ds

D Ls



Ejemplo 85: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entreuna línea de Z0 = 100 Ω y una carga ZL = 150(1+i) Ω a 20 MHz.

Este es un caso donde el uso dela carta de Smith es mucho mássencillo que la resolución analíti-ca. En la sección de adaptaciónvimos cómo adaptar una cargareal a una línea de impedanciacaracterística real, pero en este

caso tenemos una carga de impedancia compleja.La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia za de la carga, de maneraque la impedancia de entrada Zin del conjunto línea+carga sea real, como se muestra enla figura. La determinación de esta posición se complica matemáticamente si se desearesolver el problema analíticamente, pero es muy fácil con la carta de Smith.Comenzamos calculando primero la impedancia de carga normalizada:

5.15.1/ 0 iZZz LL +==y determinamos el punto A en la carta. Cualquier posición en la línea estará sobre lacircunferencia centrada en la carta y que pasa por A. Para hallar la posición donde se

debe intercalar el adaptador de cuartode onda, nos movemos desde A ha-cia el generador (en sentido horario)hasta el primer cruce con el eje real.Esto ocurre en el punto B. Podemosleer en la escala exterior la longituddel arco que nos da la posición de-seada zs para el adaptador, y del ejereal la impedancia (real) LZ ′ en esepunto, que será la impedancia quehay que adaptar a la línea.En nuestro caso:

mfZcL

ZZZZZZ

mfZcz

aaa

LaL

s

82.144

18383.133535.3

98.3056.0056.0

0

00

000

≈==

Ω≈≈′=Ω≈≈′

≈=≈

ηλ

ηλ

donde hemos supuesto que el adap-tador es un coaxil para calcular la

velocidad de fase en él a partir de su impedancia característica.

Se agregan otras escalas exteriores al diagrama de Smith para calcular, entre otrascosas, las pérdidas de retorno y las pérdidas de reflexión.También es posible usar la carta de Smith en el caso de líneas con pérdidas, aunqueno veremos esta aplicación en nuestro curso. Se adjunta una carta de Smith en elarchivo SMITH.PDF para realizar los problemas de este capítulo.

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21O

A

B

zs

z

0

Z0 ZLZa

Zin-za

Z0



Líneas resonantes. Q y ancho de bandaAdemás de transmitir energía e información de un punto a otro, las líneas se puedenusar como elementos de circuito, fundamentalmente por su propiedad de lograrcualquier impedancia de entrada en función de su longitud y su carga. Esta situaciónes muy común en la actualidad, en que se integran líneas de transmisión o guías deonda en chips para microondas.En particular, la posibilidad de tener ondas estacionarias lleva a que las líneas sepuedan usar como circuitos resonantes o sintonizados.Consideremos primero una línea supuestamente ideal cortocircuitada en ambos ex-tremos. El generador se coloca en algún punto intermedio que consideraremos másadelante. Las ondas (estacionarias) de tensión y corriente en la línea son:

)cos()cos(2),( )sen()sen(2),(0

kztZV

tzikztVtzv ωω ++ ==

Veamos si estas expresiones satisfacen las condiciones en los extremos de la línea.La tensión se anula sobre el extremo de carga (z = 0) pero debe también anularsesobre el extremo opuesto (z = -l). Entonces:

22

0)sen( ⇒==⇒=⇒=f

cnnlnklkl nλπ

LCfnln 2

=

lo que significa que, para una dada frecuencia de excitación la longitud de la línea nopuede ser cualquiera, sino solamente alguno de los valores discretos ln . Viceversa,para una línea de longitud y parámetros dados, sólo se pueden establecer ondascon un conjunto discreto de frecuencias:

2

1 ⇒=LCf

nln

LCl

nf n 2=

Un elemento circuital o un circuito que selecciona frecuencias es un circuito reso-nante o sintonizado. Para esta aplicación pueden usarse líneas que habitualmentese cortocircuitan en ambos extremos para minimizar la radiación de interferencias.Ahora podemos analizar la posición del generador que alimenta la línea. Suponemosque es un generador de tensión ideal (impedancia interna nula), y podemos colo-carlo en la posición de un antinodo cualquiera de la onda estacionaria:

LCfmzmkzkz mm

4)12(

2)12(- 1)sen( +−=⇒+=⇒= π

donde se toman valores negativos de zm por la convención de colocar el origen decoordenadas sobre la carga. Entonces queda definido el valor de V+: 2V+ = V0, dondeV0 es la tensión del generador.La energía almacenada en la línea, que está asociada a sus componentes reactivos,se puede calcular apelando al modelo circuital. Cada dz de línea tiene una inductan-cia Ldz y una capacidad Cdz. La energía almacenada en estos elementos es:

( ) dzkztVCkztZV

LdztzvCtziLdU

+

=+= )(sen)(sen)(cos)(cos

21),(),(

21 222

022

2

0022 ωω

Entonces: ( )dzkztkztVCdU )(sen)(sen)(cos)(cos21 22222

0 ωω +=

y tomando el promedio temporal: ( ) dzVCdzkzkzVCdU 20

2220 4

1)(sen)(cos41 =+>=<



Finalmente, integrando a toda la línea: nn lVCU 204

1>=<

Consideremos ahora una línea con pérdidas. Si las pérdidas son bajas, como es elcaso en la mayoría de las líneas comerciales, podemos suponer que la distribuciónde tensión y corriente no será muy diferente que en el caso ideal, y podemos calcu-lar la potencia perdida para cada tramo dz de la línea como:

dzkztVGkztZV

RtzvGdztziRdzdW

+

=+= )(sen)(sen)(cos)(cos),(),( 222

022

2

0022 ωω

y tomando el promedio temporal: dzkzCGkz

LRCVdW

+>=< )(sen)(cos

21 222

0

Integrando a toda la linea:

+>=< ∫∫−−

02

022

0 )(sen)(cos21

nlnl

dzkzCGdzkz

LRCVW

y como k = nπ /ln :

+>=< ∫∫

−−

02

022

0 )(sen)(cos21

nn l nl n

dzzln

CGdzz

ln

LRCVW ππ

⇒ nn lCG

LRCVW

+>=< 2

041

Un circuito resonante tiene como misión almacenar energía. Cuanto mayores son laspérdidas menor es la calidad del circuito como resonante. Esta característica sesuele medir por el llamado factor de calidad o factor de mérito:

><><=

><><==

WU

fWUQ ωππ

/2

ciclopordisipadamediapotenciaalmacenadamediaenergía2

Usando las expresiones que hemos hallado:

41

41

20

20

⇒

+

=><><=

n

n

lCG

LRCV

lCV

WUQ ωω ( ) CfGLfRCGLR

Qnnnn

n +=

+= π

ωω21

Se observa que para una línea de bajas pérdidas Qn >> 1 ya que en tal caso cadatérmino del denominador es mucho menor que 1. La frecuencia que aparece en laexpresión de Qn es una de las posibles frecuencias de resonancia fn del circuito, y elvalor de Qn calculado corresponde a esa frecuencia.En resonancia, el generador (supuestamente conectado en un antinodo de la ten-sión) ve una impedancia infinita cuando la línea es ideal. Cuando hay pérdidas, lapotencia perdida debe ser suministrada por el generador, de manera que la impe-dancia que el generador ve debe ser ahora finita y real y de valor tal que la potenciaque el generador le suministra sea igual a la potencia disipada en la línea. Podemoscalcular así la resistencia de entrada (en resonancia) de la línea vista por el genera-

dor: ni

lCG

LRCV

RV

W

+=>=< 2

0

20

41

41 de donde

λωλωω

ω nCQ

nC

GL

RCRi

22 =

+

=

y finalmente nos queda en función del Q de la línea: nZQR n

in π04=

Podemos analizar el comportamiento en frecuencia alrededor de la resonancia con-siderando ahora que variamos ligeramente la frecuencia del generador respecto de



una de las frecuencias de resonancia del circuito. Para analizar el resultado de estavariación de frecuencia, el circuito sepuede pensar como un generador co-nectado a dos líneas en paralelo y corto-circuitadas en sus extremos de carga. Laslongitudes de cada línea son, respectiva-mente, l1 y l2. En resonancia, estas longi-tudes son múltiplos impares de λ/4 y la

impedancia de entrada del paralelo de ambas líneas es Ri, pero deja de tener estevalor fuera de resonancia. Como se trata de líneas cortocircuitadas de bajas pérdi-das, fuera de resonancia sus impedancias de entrada son fundamentalmente reacti-vas, por lo que en el siguiente análisis despreciamos momentáneamente la parteresistiva. Como las dos líneas están en paralelo, es conveniente trabajar con lasadmitancias (susceptancias). En resonancia:

[ ] 0)cot()cot( 210 →+−= llYiBi i ββFuera de resonancia podemos escribir: cc /)1(/ 0 δωωβ +== donde ω0 es una de lasfrecuencias de resonancia y δ<<1 representa un corrimiento relativo de frecuencia.

Luego: )1(2

)1()1(

11010

1 δπδβδω

β +=+=+

= nllc

l y análogamente: )1(222 δπβ += nl

Luego tenemos:

++

+−= )1(

2cot)1(

2cot 110 δπδπ nnYiBi i

Pero para n1 impar: δπδπδπ22

)1(2

cot 111 nntann −≅

−=

+

y entonces:

=

−−−=

222 0210δπ

δπδπ nYinnYiBi i

Finalmente, incorporando la resistencia de entrada, la admitancia que ve el genera-dor fuera de resonancia es, aproximadamente:

+=

+=

+≅+=

0000

021

221

224/1

ωωπδπδππ

iQ

YniQ

YnnYiQYn

BiRY iii

y entonces: 2

0

2

0 21

2

+

=

ωωπ

QYnYi

Si graficamos el módulo de la impedan-cia de entrada en función de ω tenemosla clásica curva de resonancia.Cuando la parte real y parte imaginariade la admitancia de entrada son igua-les, el valor absoluto de la admitanciaes 2 veces su valor a resonancia.Esta condición representa un corri-

miento de frecuencia: Q220

0ω

δωω ==∆

de donde: nnn ffQnn

∆=∆= // 00 ωω ∆f se conoce como ancho de banda delcircuito resonante.

Esta ecuación vincula los tres parámetros fundamentales de laresonancia: la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el Q.

Zi/Ri

ω/ω∆ω/ω0

l1 l2

V0



Ejemplo 86: Una línea de parámetros L = 1.2 µHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m,G = 10--41/Ωm se usa como circuito sintonizado. a) Hallar la mínima longitud para teneruna frecuencia de resonancia de 10MHz. b) Determinar las posibles posiciones de laentrada al circuito. c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el anchode banda del circuito sintonizado.a) Las frecuencias de resonancia son: ⇒=

2 LClnf n cm

LCfllmin 35.26

21 ≈==

b) Las posiciones de los antinodos, posibles posiciones de entrada al circuito, son:

( ) 2/14

)12( ⇒+=+−= lmLCf

mzm cmlz 17.132/0 ≈=

ya que sólo puedo tomar m = 0.

c) ( )

≈=

Ω≈=⇒

Ω≈++=

≈+

=

86.1

37.434

3.6

5386//

2 0

0kHz

Qf∆f

KZQ

R

CiGLiRZ

CGLRfQ

i π

ωω

π

Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la fre-cuencia central, lo que se asocia al alto valor del Q.

Ejemplo 87: Un tramo de coaxil RG11 se usa para crear un circuito resonante a 100 MHz.Hallar la longitud necesaria del cable, el Q, la impedancia de entrada en resonancia y elancho de banda del circuito sintonizado. De tablas, los parámetros del coaxil RG11 son:

Diámetro (2b)mm

Z0Ohm

v/c CpF/m

α (a 100 MHz)dB/m

10.3 75 0.66 67 0.069

La longitud mínima del circuito sintonizado es: mf

vLCf

l 122

1 ≈==

Como:

≈=∆

Ω≈=

≈==

⇒=≈

5.0

194

200

2

/

2 0

0

0

MHzQff

KZQ

R

vf

ZLfQ

ZR

LRfQ i π

απ

απ

απ y



Transitorios en líneasEs muy común el uso de líneas de transmisión para propagar pulsos que codificaninformación. Un tren periódico de pulsos se puede representar mediante una seriede Fourier que es una superposición de ondas armónicas (un pulso no periódico re-quiere una integral de Fourier, que también representa una superposición de ondasarmónicas). Es posible entonces analizar el proceso para cada frecuencia y final-mente superponer los resultados, ya que las ecuaciones diferenciales que describenel comportamiento de las líneas de transmisión son lineales. Este análisis se haceentonces en el dominio de la frecuencia.Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento de laseñal completa sin descomponerla por Fourier. Este análisis se hace en el dominiodel tiempo, y es el que vamos a usar en esta sección.

Consideremos una línea sinpérdidas que conecta una bate-ría de impedancia interna re-sistiva Rs a una resistencia decarga RL. En el instante t = 0se cierra el interruptor que co-necta el generador a la línea.La onda inicial o de arranque

“ve” solamente la serie de Rs y Z0. Entonces la corriente para z = -l, t = 0+ es: I(-l,0+) = I0 = Vs /(Rs+Z0) y la tensión inicial es: V(-l,0+) = V0 = I0 Z0 = Vs Z0/(Rs+Z0).

Después de cerrar el interruptor las ondas i+ =I0 y v+ = V0 se propagan hacia la carga con lavelocidad LCc /1= . Como esta velocidad esfinita, el frente de ondas tarda clt /1 = en lle-gar a la carga e interaccionar con ella. En esemomento la tensión y corriente en la carga se-

rán la superposición de las ondas incidente y la reflejada:( ) 01 1),0( VvvtV Lρ+=+= −+

( ) 01 1),0( IiitI Lρ−=+= −+

donde 00

ZZZZ

LL

L +−

=ρ es el coeficiente de reflexión en la carga.

Las ondas reflejadas i- = ρL I0 y v- = ρL V0 viajan ahora hacia el generador (las on-das incidentes siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el ins-tante 12 tt = las ondas reflejadas llegan al generador, donde la nueva desadaptaciónde impedancias crea una nueva onda “reflejada” progresiva:

( ) ( ) 0001 11)2,( VVVvvvtlV sLLLsL ρρ+ρ+=ρρ+ρ+=′++=− +−+

( ) ( ) 0001 1)(1)2,( IIIiiitlI sLLLsL ρρ+ρ−=ρ−ρ−ρ−=′++=− +−+

donde 00

ZZZZ

ss

s +−

=ρ es el coeficiente de reflexión en el generador.

Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para 13tt = , instante enel que se genera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones múltiples sepuede ver más fácilmente mediante los diagramas de rebote o diagramas de ma-lla de Bewley, que se muestran a continuación:

0-lz

RL

Rs

VsZ0

c



Se ve claramente cómo se forma cada serie de términos que dará el valor final de latensión y la corriente sobre la línea después de los múltiples rebotes. Salvo en loscasos de generador ideal y carga en cortocircuito o circuito abierto, en que se produ-cen oscilaciones permanentes, como se analizó en la sección previa, como ρ<1cada término es menor que el precedente y la serie finalmente converge a un valorlímite. Vamos a analizar las formas de onda que se obtienen cuando se colocan di-versas impedancias de carga.

Ejemplo 88: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador yla carga para una línea de Z0 = 50 Ω, conectada a un generador de tensión de 10V conresistencia interna Rs = 10 Ω. La impedancia de carga es RL = ∞ (circuito abierto).Las amplitudes de las ondas progresivas que viajan por la línea luego de cerrar el inte-

rruptor son. VZR

VZV

s

s 33.80

00 ≈

+= A

ZV

I 167.00

00 ≈=

Los coeficientes de reflexión son: 667.0 10

0

0

0 −=+−

==+−

=ZRZR

ZRZR

s

ss

L

LL ρρ

Realizamos la serie que describen los diagramas de Bewley para obtener las siguientesgráficas (tensiones en V y corrientes en A):

Se observa que la tensión y la corriente a la entrada de la línea oscilan tendiendo a suvalor final VVlVV s 10),(),0( ==∞−=∞ , que corresponde al estado estacionario (de co-

z = -l z = -lz = 0 z = 0V I

ρs ρsρL ρL

t1

2t1

3t1

4t1

5t1

6t1

1 1

Lρ Lρ−

sLρρ sLρρ

sLρρ 2sLρρ− 2

22sLρρ

23sL ρρ−

22sL ρρ

23sLρρ

11.1116.67

12.99.26

5.5610

20V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

8.33 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t0

0.20.167

-0.111

I(-1,t)I(0,t)

-0.2

0.074



rriente continua) donde ya no hay ondas viajeras en la línea. La línea es en estas condi-ciones un cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión deentrada (e igual a la tensión de la fuente porque no circula corriente por estar la cargaen circuito abierto). La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la co-rriente en la entrada tiende a su valor final cero.

Ejemplo 89: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generadorde la línea del ejemplo anterior para RL = 0 Ω (cortocircuito).Los coeficientes de reflexión son: 667.0 1 −=−= sL ρρ V0 e I0 tienen losmismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entradatiende a su valor límite nulo de corriente continua. La corriente tiende en ambos extre-mos de la línea a su valor límite de continua que vale ARVlII ss 1/),(),0( ==∞−=∞A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como uncortocircuito por el que circula corriente estacionaria.

De los ejemplos precedentes se observa que, en el caso de carga a circuito abierto,la tensión en el extremo del generador oscila alrededor del valor límite de continua(la tensión del generador) mientras que en el caso de carga cortocircuitada la ten-sión de entrada tiende monótonamente a cero. Vemos ahora qué ocurre con unaimpedancia de carga finita.Ejemplo 90: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador

de la línea del ejemplo anterior para RL = 200 Ω .Los coeficientes de reflexión son: 667.0 6.0 −== sL ρρ V0 e I0 tienen losmismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:mAZZVlII Ls 6.47)/(),(),0( 0 ≈+=∞−=∞ y VIZlVV L 524.9),0(),(),0( ≈∞=∞−=∞

Ejemplo 91: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generadorde la línea del ejemplo anterior para RL = 20 Ω .Los coeficientes de reflexión son: 667.0 429.0 −=−= sL ρρ V0 e I0 tienen losmismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora:

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

1

0.167

0.444

I(-1,t)I(0,t)

0.5

0.6290.704

0.333

0.556

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

3.7

5.565

108.33

0

0

0.167

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

0.2

I(-1,t)I(0,t)

0.10.06 0.050.067

0.040.0476

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

9.3310

5

15

8.339.524

10

13.33

8

10.13



Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua:mAZZVlII Ls 3.33)/(),(),0( 0 ≈+=∞−=∞ y VIZlVV L 67.6),0(),(),0( ≈∞=∞−=∞

En este caso )( 0ZZ L < la tendencia de tensión y corriente a sus valores finales es mo-nótona, mientras que en el caso previo )( 0ZZ L > la tendencia era oscilante.

En estos dos últimos ejemplos se observa que si 0ZZ L < la tendencia de todas lasvariables graficadas es monótona hacia sus valores finales, mientras que si 0ZZ L >la tendencia es oscilante.Hemos analizado el comportamiento de cargas resistivas. Cuando la carga es unaimpedancia compleja la dependencia temporal de los frentes de onda se modifica.

Por ejemplo, cuando se conecta una bate-ría a un circuito RL serie, la onda regresi-va resulta de la “descarga” de la energíaalmacenada en la inductancia sobre lalínea, que da origen a una forma de ondaque varía exponencialmente en el tiempo.Esta forma de onda cambia si la impedan-cia de carga es, por ejemplo, capacitiva.Las diversas formas de onda que se ob-

tienen permiten sacar conclusiones del tipo de impedancia de carga y da origen aaplicaciones técnicas2.En los ejemplos precedentes se conectó una batería a la línea. Desde el punto devista matemático se usa una función escalón para describir la propagación de lasondas en la línea. Si en lugar de enviar un escalón se envía un pulso por la línea,

podemos usar los resultados obtenidos ya que elpulso es equivalente a dos escalones separadosen el ancho temporal del pulso y de amplitudesiguales y de signo opuesto, como se muestra enla figura: )()()( 21 τ−+= ththtf . Para analizar elcomportamiento de la propagación de pulsos en

una línea de transmisión, debemos comparar el tiempo de viaje a lo largo de la líneacon el ancho del pulso. Si el ancho del pulso es mucho menor que el tiempo de viajeel pulso mantiene su entidad en la propagación.

2 Hewlett-Packard Application Note 1304-2, “Time Domain Reflectometry Theory”, 1988. Archivo HP-AN1304.PDF en el ftp de la materia.

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

0.286

0.167

0.5

I(-1,t)I(0,t)

0.25

0.32 0.3330.238 0.306

0.326

V(0,t)V(-1,t)

0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t

6.87.145

8.33

6.67

10

4.766.12

6.51

f(t) h1(t)

h2(t)

R

L

Z0



Aplicación: TDREl comportamiento de la propagación de pulsos por una línea da la base de un mé-todo de análisis de cargas en líneas de transmisión, la reflectometría en el dominiodel tiempo (TDR). Esta técnica se basa en enviar un escalón o un pulso desde elextremo del generador y observar la forma de onda. En las fotos de la pantalla de unosciloscopio que siguen se presenta un caso de circuito abierto y otro de cortocir-cuito en el extremo de carga, con un generador prácticamente ideal (Rs → 0):

La técnica permite hallar la longitud de línea entre el punto de observación y el sitiodonde se produce la reflexión por desadaptación de impedancias (midiendo el inter-valo cLt /2=∆ que tarda en cambiar la lectura) y la impedancia del punto de desa-daptación midiendo la altura del salto ( )[ ]sLVV ρρ ++=∆ 110 de donde se puedecalcular ρL y por lo tanto ZL conociendo ρs.Entre otras aplicaciones, esta técnica permite detectar fallas en líneas de transmi-sión muy largas midiendo desde un extremo (o un punto conveniente). Se envía unpulso y se observa la forma de onda. Si se registran rebotes es señal de que hayuna desadaptación de impedancias. El tiempo de rebote da la posición de (la prime-ra) discontinuidad. La forma de onda da el tipo de desadaptación y permite inferir eltipo de fallas. El análisis de los ejemplos precedentes se puede extender a múltiplespuntos de desadaptación. Hay procedimientos semi-automáticos de detección defallas en líneas muy largas que usan además sistemas de GPS para la localizacióngeográfica3.

3 Hewlett-Packard Application Note 1285, “Traveling Wave Fault Location in Power Transmission Systems”,

1997. Archivo HP-AN1285.PDF en el ftp de la materia.



APENDICE 5: Matriz de DispersiónMuchos sistemas que propagan energía e información pueden considerarse como

un conjunto de puertos por los que entran y sa-len señales que transportan la energía e infor-mación. Existe un método general de descripciónde sistemas lineales de n-puertos, cuando esposible establecer una relación lineal entre lasseñales de entrada y salida. Este método, llama-do de la matriz de dispersión, es aplicable a ungran número de sistemas pasivos y activos y esde mucho uso en la descripción de circuitos demicroondas.Sea a = [a1, a2, …, an]T el vector de entradas y b

= [b1, b2, …, bn]T el vector de salidas. Estos vectores están ligados entre sí por la lla-mada matriz de dispersión: b = S a. Los elementos Sij de la matriz están relacionadoscon distintos parámetros que definimos a continuación. Decimos que un puerto tienesu salida adaptada cuando está conectado a una impedancia de carga que no pro-duce onda reflejada (que en caso de existir constituiría una onda incidente sobre el

puerto). Por ejemplo, si el puerto 2 tiene su salida adaptada, setiene a2 = 0. Análogamente, el puerto tiene su entrada adaptadacuando no existe onda saliente del puerto. En tal caso, para esepuerto bi = 0.Supongamos un sistema donde todos los puertos, salvo el pri-mero, tienen sus salidas adaptadas. Entonces ai = 0 si i > 1. Lasecuaciones en la descripción de la matriz de dispersión se redu-

cen a:niaSb ii ,...,2,1 11 ==

de modo que S11 es un coeficiente de reflexión del primer puerto mientras que losSi1 (i > 1) son coeficientes de transferencia de señal que liga al entrada en el pri-mer puerto con las salidas en los otros puertos. Se los conoce como ganancias (opérdidas) de inserción, según que sus módulos sean mayores o menores que 1.Resulta así que los coeficientes diagonales de la matriz de dispersión Sii son coefi-cientes de reflexión del puerto en cuestión y los coeficientes fuera de la diagonalprincipal Sij son coeficientes de transferencia o inserción entre distintos puertos.Muchos sistemas satisfacen también la condición de reciprocidad: Sij = Sji. Estacondición significa que la transferencia de señales entre los puertos i y j es simétricao recíproca.Desde el punto de vista de la potencia o energía que se propaga entre los puertos,podemos decir que, en general, para señales armónicas la potencia media que in-gresa en cada puerto (potencia incidente) es proporcional a 2*

iii aaa = , mientrasque la potencia media que sale de cada puerto (potencia reflejada) es proporcionala 2*

iii bbb = . Por lo tanto, la potencia media neta que ingresa a cada puerto es pro-

porcional a 22ii ba − .

Analizamos nuevamente el caso donde todos los puertos, salvo el primero, tienen

sus salidas adaptadas. En tal caso, ( )

>−−

=−⇒=1 1

221

21

21122

11 iaSaS

baaSbii

iiii .

1 2

34

a1b1

a4

b4

a2

b2

a3 b3

b2

Z2



Si el sistema no tiene pérdidas ni ganancia de potencia, toda la potencia que entradebe salir, mientras que si hay pérdidas la potencia que sale debe ser menor que laque entra, de manera que para un sistema pasivo:

1 01

21

1

21

21

21

1

221 ≤⇒≥−=− ∑∑∑

===

n

ii

n

ii

n

ii SaSaba

Se ve que cada sumando 21iS representa la fracción de potencia incidente en el

sistema que se propaga a cada puerto.Vamos a ejemplificar sistemas de 1 y 2 puertos para líneas de transmisión.1 Puerto

Para ejemplificar el caso de un sistema de un únicopuerto, consideramos un tramo de línea de longitud d co-nectada a una impedancia de carga ZL. Suponemos quela línea es ideal (sin pérdidas) de impedancia característi-ca Z0 real. La entrada al tramo de línea es el único puerto.

Definimos, como es costumbre en la literatura, las señales en el puerto como:

0

1011

0

1011 2

2 Z

iZvbZ

iZva −=+=

donde 1v e 1i son la tensión y la corriente en el puerto. Podemos relacionar estascantidades con las ondas de tensión y corriente en la línea de la forma:

[ ] [ ][ ] [ ]kdi

Lkdtikdti

Lkdti

kdiL

kdtikdtiL

kdti

eeZV

eeZV

didii

eeVeeVdvdvv

2)(

0

)()(

01

2)()()(1

1)()(

1)()(

−++−++−+

−++

−++−+

−=−=−+−=

+=+=−+−=

ρρ

ρρ

ωωω

ωωω

de modo que:[ ]

[ ] )(

0

2

0

22)(

0

1011

)(

00

22)(

0

1011

211

2

211

2

kdtikdi

Lkdi

Lkdi

Lkdti

kdtikdi

Lkdi

Lkdti

eZeV

ZeeeV

ZiZv

b

eZ

VZ

eeeVZ

iZva

+−

+−−+

+

++−−+

+

=+−+

=−

=

=−++

=+

=

ωω

ωω

ρρρ

ρρ

Luego la relación de dispersión es: kdiL eSaSb 2

111111 −=⇒= ρ de donde se pue-de ver que S11 es un coeficiente de relexión, salvo un factor de fase.

También se ve que 12211 ≤= LS ρ . Es 1 cuando hay reflexión total (carga 0 o ∞).

La impedancia en el puerto único es: kdiL

kdiL

ee

Ziv

Z 2

2

01

11 1

1−

−

−+

==ρρ que es la impe-

dancia de entrada de la línea.

2 PuertosHemos adoptado un modelo de cuadripolo de una línea de transmisión para hallarlas ecuaciones del telegrafista y, a partir de ellas, analizar la propagación de ondasen la línea. En general, es posible describir el comportamiento de la línea en térmi-

nos de la matriz de dispersión modeli-zándola como un conjunto de cuadri-polos en cascada. Para el n-ésimoelemento del conjunto definimos unaonda incidente an y una onda reflejada

Z0n Z0n+1Z0n-1

an

bn

an+1

bn+1

an-1

bn-1

an+2

bn+2

zn zn+1 zn+2zn-1

Z0

d

a1

b1

ZL



bn y le adjudicamos una impedancia característica Z0n. Considerar que la impedanciacaracterística sea variable elemento a elemento de la cascada nos permite analizarsistemas no uniformes e incorporar dispositivos intermedios como acopladores, fil-tros, etc.

Consideramos uno de los cuadripolos como un tramode línea ideal de impedancia característica Z0 y lon-gitud d. El puerto más cercano a la carga ZL se hallaen la posición z0. Definimos las variables de puertocomo en el caso previo4:

0

2022

0

2022

0

1011

0

1011

2

2

2

2

ZiZvb

ZiZva

ZiZvb

ZiZva

+=

−=

−=

+=

Desde el punto de vista de la línea de transmisión, las ondas que inciden y se refle-jan sobre los puertos son:

Ondas incidentes

−====

−+−

−+−

++++

++++

)(02

)(2

)]([01

)]([1

00

00

zktiL

zktiL

dzktidzkti

eZVieVveZVieVv

ωω

ωω

ρρ

Ondas reflejadas

==−==

++−

+++

+−+−

+−+−

)(02

)(2

)]([01

)]([1

00

00

zktizkti

dzktiL

dzktiL

eZVieVveZVieVv

ωω

ωω ρρ

Entonces las variables del puerto son:

0

)(

0

2022

0

)(

0

2022

0

)]([

0

1011

0

)]([

0

11011

0

1011

00

00

2

2

2

2)()(

2

ZeV

ZiZvb

ZeV

ZiZva

ZeV

ZiZvb

ZeV

ZiiZvv

ZiZva

kztikztiL

dzktiL

dzkti

++

−+

+−+

+++−+−+

=+

==−

=

=−

==+++

=+

=

ωω

ωω

ρ

ρ

y se observa entonces que:

022022202202

011011101101

/ /

/ /

ZaiZbiaZvbZv

ZbiZaibZvaZv

−====

−====

−+−+

−+−+

Las variables de puerto están relacionadas entre sí por el sistema lineal:

2221212

2121111

aSaSbaSaSb

+=+=

Para calcular los coeficientes de la matriz de dispersión usamos la técnica de adap-tar la salida (o entrada) de los puertos sucesivamente para simplificar las ecuacio-nes. Supongamos primero que el puerto de salida está adaptado (no hay onda inci-dente sobre la salida): 121211112 0 aSbaSba ==⇒=Entonces:

ikddzkti

kztidzki

Ldzkti

dzktiL e

eVeV

abSe

eVeV

abS −

+++

+++−

+++

+−+ ====== )]([

)(

1

221

)(2)]([

)]([

1

111 0

00

0

0

ω

ω

ω

ω

ρρ

Se ve que S11 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la entrada y S21 es un fac-

4 Nótese que las ai se refieren a las ondas incidentes en el puerto i-ésimo. Así a2 está asociada a la onda que saledel puerto 1, que es la onda “reflejada” en el puerto 1.

Z0

d

a1

z0

b1

a2

b2



tor de desfasaje introducido en la propagación de la onda progresiva en el puertocuando la salida está adaptada. Para líneas sin pérdidas S21=1, mientras que enlíneas con pérdidas S21< 1, ya que el número de onda k es entonces complejo,indicando una atenuación de la onda en su propagación a lo largo del puerto. Engeneral, el puerto puede incorporar un circuito activo que amplifique la onda inci-dente, en cuyo caso tendremos S21> 1. Por lo tanto, S21 se conoce como ganancia(o pérdida) de inserción del puerto, e indica el factor que el puerto introduce para laonda progresiva en la propagación.Análogamente, si ahora suponemos que la entrada del puerto está adaptada (nohay onda incidente sobre la entrada): 0 0 11 =⇒=+ av

y las ecuaciones de dispersión quedan: 22222121 aSbaSb ==

de donde: ikdkzti

L

dzktiLkzi

Lkzti

L

kzti

eeV

eVabSe

eVeV

abS −

−+

+−+

−+

++ ====== )(

)]([

2

112

2)(

)(

2

222 0

00

0

0

1ω

ω

ω

ω

ρρ

ρρ

Se ve que S22 es el coeficiente de reflexión de las ondas a la salida (aquí escrito entérminos del coeficiente de reflexión en la carga de la línea) y S12 es el factor dedesfasaje introducido en la propagación de la onda regresiva en el puerto cuando laentrada está adaptada.Se observa además que: 2112 SS = . Esta es una condición general de los puertosque cumplen la llamada relación de reciprocidad, que conceptualmente puede defi-nirse como la situación donde el puerto de comporta de la misma manera para lapropagación en ambos sentidos.La impedancia en el puerto de entrada es:

212111

2121110

11

110

11

11

1

1

)1()1(

aSaSaSaS

Zbaba

Ziivv

iv

Z in −−++

=−+

=++

==−+

−+

En el caso de salida adaptada ( 02 =a ): 00

0011

11

1100

2

2

2

11

ZZ

ZZS

SSZZ

ain

ain

ain +

−=⇒

−+=

=

==

Análogamente: 222121

2221210

22

220

22

22

2

2

)1()1(aSaSaSaS

Zabab

Ziivv

iv

Z out −−++

=−+

=++

==−+

−+

Y para entrada adaptada ( 01 =a ): 00

0022

22

2200

1

1

1

11

ZZ

ZZS

SSZZ

aout

aout

aout −

+=⇒

−+−=

=

==

Analicemos el comportamiento de transmisión de potencia.Las potencias medias netas (incidente – reflejada) en cadapuerto son5:

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]*

21*1211

22

212

211

21

2212111

21

*11

*11

*11

*1111111

2121

21

21

21

aaSSeaSSa

aSaSabbaaeiviveivivP

ℜ−−−=

+−=−ℜ=+ℜ=+= −−++−−++

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]*

12*2221

21

221

222

22

2222112

22

*22

*22

*22

*2222222

2121

21

21

21

aaSSeaSSa

aSaSabbaaeiviveivivP

ℜ−−−=

+−=−ℜ=−−ℜ=−−= +−−++−−

5 Obsérvese que las potencias reflejadas a la entrada y la salida son de por sí negativas, lo que indica que sonpotencias que fluyen hacia fuera del cuadripolo.

<P1> <P2>



La potencia neta que fluye hacia la derecha del cuadripolo es:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]*

12*2221

21

221

222

22

*21

*1211

22

212

211

2121

2121

2121

aaSSeaSSa

aaSSeaSSaPPP

ℜ−−−−

ℜ−−−=−=

Consideremos el caso de salida adaptada, donde 0 0 22 =⇒=− av :

( )[ ] [ ] ( )[ ]221

211

21

21

221

211

2121 1

21

211

21 SSaaSSaPPP +−=−−−=−=

Si la salida está adaptada, esta cantidad será nula si no hay pérdidas, ya que repre-senta la potencia neta que ingresa al puerto de entrada menos la que sale del puertode salida. Si hay pérdidas, la potencia neta que entra es mayor que la que sale y lacantidad es positiva. Entonces:

211

221

221

211 1 01 SSSS −≤⇒≥+−

El coeficiente de reflexión de potencia a la entrada es:

( )( )

( )2

1

*21

*1211

22

212

21

211

21

2212111

*11

*11

11

11 2

2121

a

aaSSeaSaS

a

aSaS

aae

bbe

iviv

Rℜ−+

=+

=ℜ

ℜ=

−=

++

−−

En el caso de la salida adaptada queda: 211SR =

como para el sistema de 1 puerto.Relación con otras descripciones matricialesLa descripción de la propagación por medio de cuadripolos y la matriz de dispersiónestá asociada a otras descripciones.La matriz de transmisión T permite relacionar las ondas a la salida del cuadripoloen función de las ondas en su entrada. En nuestra notación:

1221212

1121112

bTaTabTaTb

+=+=

Los coeficientes de la matriz de transmisión están relacionados con los de la matrizde dispersión por las relaciones:

122212112112221212

2211122111 /1 / / STSSTSST

SSSSST =−==−=

La matriz de transmisión es más cómoda que la de dispersión para tratar una casca-da de cuadripolos.La matriz de impedancias Z relaciona las tensiones en los puertos con las corrien-tes:

2221212

2121111

IZIZVIZIZV

+=+=

La matriz de admitancias Y es la inversa de Z:

21122211

1122

2121

1212

2211

2221212

2121111

ZZZZ

ZYZYZYZYVYVYIVYVYI

−=∆∆

=∆

−=∆

−=∆

=⇒

+=+=

con

Podemos relacionar la matriz de dispersión con la matriz de impedancias mediantelas siguientes ecuaciones:



21122211

2121

21122211

1212

21122211

2112221122

21122211

2112221111

)1)(1(2

)1)(1(2

)1)(1()1)(1(

)1)(1()1)(1(

zzzzzS

zzzzzS

zzzzzzzzS

zzzzzzzzS

−++=

−++=

−++−−+=

−++−−−=

donde 0/ ZZz ijij = son las impedancias normalizadas a la impedancia característicadel tramo.

RESUMEN

• En este Capítulo presentamos las técnicas básicas de adaptación de impedanciasentre una línea y una carga cualquiera:• El transformador de cuarto de onda se coloca entre la línea y la carga (posi-

blemente a una distancia para que la impedancia que ve el transformador seareal) y cumple las ecuaciones:

4a

aL λ= La ZZZ ′= 0

Este adaptador funciona solamentea la frecuencia de diseño.

• El stub es un trozo de la misma línea que se coloca en paralelo con la carga auna distancia definida. El trozo o stub se puede terminar de diversas formas.

Vemos solamente la forma más común,que es el cortocircuito. Las ecuacionesde diseño dan la posición y longitud delstub y son:

( )01 /

2ZZtand Ls

−=πλ

−= −

0

01 22 ZZ

ZZtanL

L

Ls π

λ

• La carta de Smith permite obtener soluciones gráficas de problemas de uso delíneas de transmisión. Se basa en las pro-piedades de las ecuaciones de la impedanciay admitancia de onda a lo largo de la línea:w = u+iv = ρLei(2kz+ϕ) z = Z/Z0 = r+ixz = (1+w)/ (1-w)La carta de Smith presenta círculos de rconstante (en rojo), círculos de x constante(en azul) y círculos de ρL constante (envioleta). Al moverse en la línea la impedancianormalizada z varía sobre un círculo de ρLconstante.La carta de Smith permite calcular con facilidadtodos los parámetros de una línea cargada y laadaptación mediante transformadores o stubs.

Z0 ZLZa

La

Z0

LZ ′

z0-ds

Ls

Z0

ZLZ0

cortocircuito

ρL=1

ρL=0.5

u

iv

i2

-i2

i1

-i1

i0 5

-i0 5

0 0 2 0 5 21O

λ hacia el generador

λ hacia la carga

ϕρ , ϕτ



• Una línea donde existan ondas estacionarias se comporta como un circuito reso-nante de alto Q, con las siguientes características:

Frecuencias de resonancia Q y ancho de banda

LClnf n 2

= ( ) n

n

nnn f

fCGLR

Q∆

=+

=ωω

1

• Se presentó una introducción al comportamiento de los transitorios en las líneas,donde se tienen en cuenta las propiedades de propagación de pulsos a lo largo dela línea. Esto da una serie de posibilidades técnicas, de las cuales la más común esla reflectometría en el dominio del tiempo (TDR) que permite obtener la posición ycaracterísticas de impedancia de discontinuidades en las líneas. Esta técnica seusa, por ejemplo, en la detección remota de defectos en líneas de alta tensión y ca-racterización de parámetros de líneas microstrips.

• Introducimos en un Apéndice las ideas relacionadas con la descripción de circui-tos mediante la llamada matriz de dispersión y otras descripciones matricialesequivalentes, que son de mucha utilidad para analizar la propagación de ondas enestructuras complejas de guiado desde un punto de vista circuital. Analizamos es-tas ideas en el marco de la descripción de la propagación de ondas en líneas.



PROBLEMAS4.11) A partir del diagrama de Smith, hallar la impedancia de entrada de una sec-

ción de línea de transmisión sin pérdidas de 50 Ω con longitud de 0.1λ, terminadaen un cortocircuito. Comparar con el resultado analítico.

[Rta: Zi = i 36.3 Ω]4.12) Empleando la carta de Smith, encuentre la longitud mínima en metros que

debe tener una línea con Z0 = 100 Ω, terminada en circuito abierto para que a laentrada presente una impedancia de i30 Ω. Considere que la permitividad relativaεr del dieléctrico de la línea vale 2.5 y que la frecuencia de trabajo es de 300 Mhz.

[Rta: 18.8 cm]4.13) Una línea de transmisión sin pérdidas, con impedancia característica de 50 Ω,

está terminada en una carga cuya impedancia vale ZL = (50+i20) Ω. Si la líneamide λ/4, obtenga la impedancia de entrada a partir del diagrama de Smith.

[Rta: Zi = (43 - i17.5) Ω]4.14) Una línea de transmisión ideal, con impedancia característica de 100 Ω, está

terminada en una carga de valor (150 + i150) Ω. Se desea acoplarla por medio deun adaptador de λ/4, colocado a cierta distancia La de la carga. Calcule la impe-dancia característica del adaptador y la distancia La a la que debe colocarse.

[Rta: Za = 183 Ω, La = 0.056λ]4.15) Dada una impedancia Z = (95 + i20) Ω, determinar a que admitancia corres-

ponde utilizando el diagrama de Smith.[Rta: Y = (10 - i2) mS]

4.16) Una línea de transmisión ideal de longitud 0.434λ y cuya impedancia caracte-rística es de 100 Ω, está terminada en una impedancia de (260 + i180) Ω. Calculea) el coeficiente de reflexión, b) la razón de onda estacionaria, c) la impedanciade entrada y d) la posición del valor máximo de voltaje más cercano a la carga.

[Rta: ρ = 0.6/21.6°, S = 4, Zi = (69 + i120) Ω, a 0.03λ de la carga]4.17) Una línea de transmisión sin pérdidas tiene una impedancia característica de

100 Ω y está terminada con una carga (120 + i80) Ω. Se desean evitar las refle-xiones hacia el generador, acoplando la línea con un equilibrador reactivo. En-cuentre la posición más cercana a la carga sobre la línea principal donde debeunirse el stub y obtenga la longitud del mismo.

[Rta: l1 = 0.232λ, L1 = 0.148λ]4.18) Se conecta un generador de tensión ideal a una línea de 50Ω, v = 0.85c,

αc = 2 dB/m, αd = 0.25 dB/m, L = λ a 100 MHz. El generador se coloca a λ/4 del ex-tremo izquierdo de la línea. Los extremos de la línea se cortocircuitan. a) Deter-minar las expresiones de la tensión y la corriente a lo largo de la línea. b) Calcularla potencia cedida por el generador en resonancia. c) Calcular el Q y el ancho debanda de la línea.

4.19) Una batería de 30V en serie con una resistencia de 75Ω se conecta a travésde una línea de 50Ω y L = 600m de longitud con una carga resistiva de 30Ω. a) Di-bujar los diagramas de rebote de la tensión y la corriente. b) Graficar V(L/2,t) eI(L/2,t). c) ¿Cuáles son los valores finales de tensión y corriente sobre la carga?

4.20) Repita el problema anterior si ahora el generador es una fuente de pulsos deperiodo T = 10 ms y ciclo útil del 75%.

NOTA: En los casos en que sea posible verifique los resultados utilizando el pro-grama trline (TRLINE.ZIP en el ftp de la materia).

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4 Líneas de Transmisión - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6644/info/varios/lineas/basico/4-lineas2.pdf · Esto da una serie de ... nea que se conecta en paralelo con el