LOS NUMEROS COMO HERRAMIENTA

El número es algo que la mente le impone a la realidad A. Karmiloff-Smith.

Ya hemos visto que la matemática nace por la necesidad de resolver problemas de índole

cotidiana, y que son los problemas los que permitirán construir un aprendizaje significativo

de ella. Gagg decía en 1959 que la matemática debía enseñarse con sentido y

recreativamente, en lugar de hacerlo en el vacío. Estas palabras nos hacen pensar en cómo

se adquiere el sentido del número y esto nos lleva a reflexionar acerca de su uso y de cuáles

son sus funciones. Para ello tengamos en cuenta los dos aspectos del número que están

íntimamente ligados a su utilidad:

La cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos de una

colección. Este principio esta basado en la acción de correspondencia

y no necesita la acción de contar. Para comparar la cardinalidad de

dos conjuntos es suficiente ponerlos en correspondencia.

La ordinalidad, se refiere al lugar que ocupa el número dentro de

una serie ordenada. Para ello necesitamos un sistema ordenado de

números que nos permita contar. Así, el término de la sucesión

numérica, aplicado el último objeto contado de la colección, se llama

número ordinal.

Es importante tener en cuenta que un aspecto no se da sin el otro; siempre que se encontró

la existencia de alguna herramienta numérica, se encontraron ambos aspectos.

El proceso de contar

Como hemos dicho, la acción de contar no solo constituyó para la humanidad el medio para

desarrollar los conceptos numéricos y de cálculo, sino que significó un elemento

fundamental en la elaboración del número abstracto. Cabe preguntarnos entonces. ¿Qué es

contar?, ¿Qué acciones realizamos cuando contamos?, ¿Qué valor tiene este proceso en la

educación matemática de los nenes pequeños? A través de la historia reconocemos el papel

importante que cumplió contar en el desarrollo de la ciencia matemática, como también el

1

largo proceso que llevó construir un sistema numérico que permitiera tal acción. Sin

embardo, hoy los chicos nacen en una cultura donde la serie numérica oral y escrita es

accesible a ellos, y aunque les signifique un esfuerzo aprenderla, ya está construida. 2

Veamos ahora los pasos que siguen los chicos en la construcción de la serie numérica,

cómo empiezan a utilizarla para contar, y como logran coordinar la ordinalidad con la

cardinalidad pese a que, la actividad de contar, hace prevalecer el aspecto ordinal del

número. Respecto de este tema Brissiaud3 sugiere: no utilizar el conteo hasta los cuatro

años y tratar de fomentar el uso de las llamadas colecciones de muestra –en particular los

dedos – para representar las colecciones pequeñas. El objetivo que se persigue es que el

niño comience el tratamiento del número intuitivo en su aspecto cardinal. Esto le permitirá

conocer una muestra de cuatro dedos, por ejemplo, sin necesidad de numerarlos uno a uno.

Para el trabajo numérico con cantidades mayores, en cambio, el proceso de contar se vuelve

fundamental.

Frente a las disputas que existieron entre los pedagogos que estaban a favor de contar y

aquellos que apoyaban la utilización de colecciones de muestra organizadas –

constelaciones-, este autor afirma que ambas posturas no son antagónicas sino que, por el

contrario, se complementan en tanto:

-la percepción visual global es una forma de tratamiento muy rápida;

-la acción de contar es una forma secuencial que tiene lugar en el tiempo.

Sin embargo cabe señalar que el reconocimiento de pautas numéricas en los niños es,

todavía, un tema no resuelto. Algunos autores afirman que los niños perciben pequeñas

colecciones antes de contar; desde esta postura, recién en el periodo operacional el número

sería reconocido como una totalidad compuesta de unidades. Otros investigadores como

Baroody, Ginsburg y Gelman, afirman que antes de reconocer pautas numéricas los niños

deben realizar numerosas experiencias de contar. Según esta línea de pensamiento, los

preescolares ya reconocerían el número como una totalidad compuesta de unidades. No

importa cual sea la postura que se adopte, en todos los casos hay un reconocimiento de que

las pautas numéricas representan el progreso muy importante para la comprensión del

número. Para concretar el proceso de contar es indispensable para recurrir a la serie

numérica oral y a la serie numérica escrita.

2 Los chicos3 Brissiaud, R: obra citada

2

El conteo viene contado

A riesgo de parecer reiterativas recordemos que os nenes y las nenas llegan al Jardín con

conocimientos de la serie numérica oral. Al respecto Gagg señala que muchos chicos de

edad preescolar, generalmente e instancias de su familia, pueden contar hasta cien, sin

embargo necesitan descubrir que significan los números. Les llevará mucho tiempo

reconocer que cien significa diez veces diez, dos veces cincuenta, un décimo de mil, dos mas

que noventa y ocho, cuatro veces veinticinco, seis menos que cientoseis, y tantos otros.

Veamos entonces los distintos momentos por los que pasan los chicos, que podemos

resumir en tres etapas.

Primera etapa: Se caracteriza por una aproximación global que se expresa exclusivamente

en forma oral. Los primeros contactos que tienen los nenes con los números están

relacionados con una designación global. Así observamos que ante la pregunta: “¿cuantos

años tienes?,” no responden uno, dos, tres sino que dicen tres. Esto se debe a que en el

entorno familiar se utilizan los números en un nivel oral, designando las cantidades de

manera global y no secuenciada: “dame tres caramelos”, “trae dos vasos”, “te comprare un

cepillo de dientes”. Progresivamente estos números se organizan en la serie oral.

Segunda etapa: se refiere a los aspectos algorítmicos de la escritura. Las criaturas

comienzan a descubrir las reglas de la sucesión oral y escrita. Para ello es necesario que

construyan una serie numérica larga.

Tercera etapa: se observa cuando los chicos comienzan a construir agrupamientos de a

diez, las reglas del sistema decimal de numeración y el valor posicional de las cifras del

número. Esta etapa excede los aprendizajes matemáticos del Jardín. Vayamos ahora a ver

estas cuestiones en profundidad.

La serie oral: el recitado

Además de la presentación global del número, los familiares enseñan el recitado de una

serie de modo que, alrededor de los dieciocho meses, los niños comienzan a contar de uno

en uno, ya a los dos años pueden contar hasta dos, tres o más. Pese al desarrollo de la serie

numérica oral, suelen omitir algunos números y dicen: 1-2-3-5; otras veces no parten del

3

numero uno y dicen: 7-8-9-10 o bien “se comen” una parte de la serie: 1-2-3-4-5-6-10-11-

12-13. Finalmente logran coordinar la serie completa de manera más o menos extensa lo

que dependerá de cada chico y de su entorno socioeconómico y cultural.

Si bien parecería que esta etapa de contar representa un contar de memoria, y por esa razón

podría jugarse carente de sentido, al ampliarse la serie oral- en especial a partir del numero

quince –los chicos van descubriendo ciertas reglas numéricas que les permiten continuar

el recitado de la serie aunque no conozcan el nombre del número que sigue. Así sucede

cuando, conociendo los dieses y los veintes, después del veintinueve suelen decir veintidiez

y, si un adulto corrige diciendo “es treinta”, pueden retomar el recitado expresando “:

treinta y uno, treinta y dos…”

Vale tener en cuenta que, en nuestro idioma y en algunos otros, los nombres de los números

a partir de once y hasta el quince presentan dificultad, y hay que recordarlos debido a que

no responden a ninguna regla.

Esto explica que muchos chicos reciten bien la serie oral hasta el quince o mas, diácidos…”,

mientras otros los saltean.4

Por otra parte, la serie oral le permite al chico descubrir cuál es “el siguiente de” un

número. De esta manera puede llegar a comparar cantidades y decir que cuatro es más que

tres porque ha sido nombrado después. Observamos así que ha comenzado a comprender

que el término más alto en la serie significa más que en la anterior. Así podrá comparar

colecciones muy próximas –números seguidos- en cantidades mayores, aunque la diferencia

ni sea visualmente perceptible como ocurría con los números intuitivos. Posteriormente se

irá construyendo la relación “anterior a”. Adquiridas la nociones de siguiente y anterior

pueden recitar la serie hacia adelante a partir de un numero dado y posteriormente a

descontar, es decir, a contar para otras a partir de un número pedido. Esta tarea presenta

dificultades para los niños, ya que implica:

-retener en la memoria la cantidad solicitada;

-asignar un nombre de la serie a cada uno de los objetos;

-detener el proceso en el momento en que llega a la cantidad solicitada.

Aun cuando cuenten bien, hay chicos que fallan porque no tiene en cuenta el objetivo de la

actividad, y no la retiene en la memoria de corto plazo.5 A veces, luego de realizada la tarea,

4 5

4

si se les pregunta “¿cuantos te pedí? No pueden recordar. En otros casos prestan tanta

atención al proceso de contar, que no pueden coordinarlo con la acción de separar. Hasta

aquí hemos descrito el recitado de la serie, avancemos ahora en el proceso de contar.

La serie oral: el número de etiqueta

A medida que van construyendo la serie oral, comienzan a contar, es decir, establecen una

correspondencia uno a uno, o biunívoca, entre los objetos de una colección y los nombres de

los números, en el orden dado. Además, el último nombre asignado a un objeto designa la

cantidad total de objetos de la colección. Es indiferente el tipo de objetos contados; y el

orden en que sean contados los diferentes objetos respecto de su valor cardinal. Todo esto

se refiere a los principios de Germán y Gallistel enunciados en el capitulo anterior.

Por lo expuesto para llegar a contar, los niños tienen que salvar numerosos obstáculos.

Paralelamente al resultado de la serie numérica las criaturas comienzan a etiquetar objetos.

Esto es, le asignan a cada objeto el nombre de un número, como si este fuese el nombre del

objeto, sin llegar a cuantificar la colección. Si le pedimos a una nena que cuente una

colección de seis objetos comenzara contando “uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis”, aun

cuando manifiesta el principio de orden estable y el de biunivocidad, todavía no a logrado

darse cuenta del principio de cardinalidad. Por eso no identifica que seis no es el nombre

asignado al último objeto, sino que representa la cantidad total de elementos de la

colección.

El verdadero contar

Cuando los chicos pueden:

-establecer la correspondencia uno a uno;

-mantener el orden de las palabras numéricas;

-Etiquetar cada objeto una sola vez sin omitir ninguno;

-considerar que el ultimo numero mencionado representa la cantidad total de elementos de

la colección, y que este es independiente del orden en que se numeren los elementos

podemos decir que ha logrado el verdadero contar.

Es importante reiterar que la acción de contar hace prevalecer el aspecto ordinal del

número por sobre el cardinal.

5

Los errores se pagan, en la acción de contar

Decíamos que eran muchas las dificultades que atraviesan los niños en la construcción de

números; tales dificultades son responsables de no pocos errores. Veamos los errores

vinculados con la correspondencia biunívoca en la acción de contar:

Errores de secuencia: se producen por el hecho de decir la serie oral de forma

incorrecta, ya sea por doble recuento u omisión;

Errores de partición: no se establece un orden que permita llevar un control entre

los objetos contados y no contados, por lo que quizá cuenten un objeto más de una

vez. Es importante aclarar que cuando los objetos están ordenados en hilera se

reducen notablemente los errores de partición; pero este procedimiento no es

utilizado espontáneamente por los chicos;

Errores de coordinación: en esta situación no se coordina el recitado de la serie y

la acción de establecer la correspondencia biunívoca con los objetos a contar. A

veces, los chicos señalan con el dedo más rápido que lo que les lleva recitar la serie,

dado el esfuerzo para recordarla. Otras veces la recitan demasiado rápido por

querer demostrarle al adulto lo bien que la saben y otras muy lento, debido al

esfuerzo que hacen por recordarla.

A pesar de que los resultados finales pueden ser los mismos, es importante observar el

proceso que realizan los niños al contar para poder detectar la causa del error y corregirlo

realizando las actividades apropiadas.

La serie no es una novela: reconoce números escritos y representa cantidades

Ya dijimos que en un comienzo los preescolares se manejan con la serie oral; sin embargo,

gracias a la interacción social los chicos suelen interesarse por la serie escrita. Para que la

jardinera pueda diseñar situaciones de aprendizaje es importante que reconozca la función

que cumple el trabajo con la tira o banda numérica. Puede ser una tira de papel, cartón u

otro material, dividida en cuadros.

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

En ellos aparecerán escritos los números en forma ordenada.

A medida que los chicos van conociendo más números se podrá ir extendiendo la tira.

Con respecto a la serie escrita tendremos en cuenta dos tipos de procesos:

Codificar: consiste en encontrar la cifra escrita que corresponda a la cantidad

expresada mediante palabras o gráficos.

Decodificar: implica reconocer y expresar oralmente un número escrito.

Las actividades específicas de codificación y descodificación de cantidades se representan

en la resolución de problemas donde se soliciten cantidades por escrito:

Supongamos que a la hora de la merienda hay que pedir por escrito los vasos de

leche que hacen falta y que estos son nueve, por ejemplo. Los chicos que saben

contar dirán que tienen que pedir nueve, pero quizá no sepan escribirlo. En tal caso

la banda numérica los ayudara a contar y, al llegar a nueve, se detendrán. Luego de

observar su escritura podrán copiar dicho número. Esta es una posible manera de

arribar a la codificación.

En la caso de la descodificación se les puede entregar una tarjeta que represente el

objeto solicitado –pinceles o botones- acompañado del símbolo numérico que

designe la cantidad de elementos solicitados, siete por ejemplo: los niños que no

conocen el símbolo, pero saben contar, utilizando la banda contaran y sabrán que se

lee siete.

Hasta aquí nos basamos en la suposición de que los niños pueden realizar pedidos usando

un solo número. Sin embargo, como se muestra continuación, los chicos no siempre utilizan

la última palabra enunciada al contar. Veamos las respuestas que dio un grupo de niños

franceses en una sala equivalente a nuestra tercera sección. Se les solicitó que pidieran al

maestro, en forma escrita, tantas gomas como perros (siete) había dibujados en una tarjeta

y se obtuvieran las siguientes clases de peticiones:

Tipo A O O O O O O O

7

B1 1 2 3 4 5 6 7 8

Tipo B B2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

B3 1 2 3 4 5 6 7

C1 7

Tipo C

C2 1 2 3 4 5 6 7 7

Es importante observar que en las peticiones de tipo A y B los niños representan las

cantidades por colecciones de muestra. En el caso A es una colección de pelotas, en cambio,

en todos los casos B, aunque dibujan una colección, esta es numérica. En los casos B1 Y B2

los niños copian la serie de los números excediendo la cantidad solicitada, luego cuentan los

perros, las cifras y, finalmente, tachan o separan los que están de más. En B3 anotan la serie

de números hasta la cantidad solicitada. En las peticiones de tipo C, sin importar el

procedimiento usado, al final las cantidades se hayan representadas por una sola cifra. Esta

experiencia nos permite concluir que existe una tendencia muy fuerte por parte de los niños

a representar las cantidades mediante una colección de números.

¿La función hace al número en la vida cotidiana?

Todos enfrentamos en la vida diaria situaciones que demandan una resolución, el número,

en algunas de ellas, resulta ser el instrumento más eficaz. Esto nos lleva a ver las diferentes

maneras en que se pueden utilizar los números. A medida que las situaciones se van

ampliando y complejizando los niños se ven obligados a encontrar nuevas respuestas y a

extender el campo numérico, y sólo lo harán en relación con un contexto en que los

familiares y las maestras los acompañen.

Comunicar cantidades y retenerlas en la memoria

Comunicamos cantidades: cuando decimos cuantos días faltan para que terminen las clases;

cuando pedimos en el kiosco tres alfajores; al preguntar un precio. Aparece así el número

8

como memoria de la cantidad. Organizar una colección equivalente a otra que no esta a la

vista, algo sencillo para los adultos, puede ser complejo para los nenes, si pedimos que

vayan a buscar tantas cucharitas como jarros hay en la mesa, no es muy común que cuenten

los jarros para tomar una referencia. Recurrirán a distintos procedimientos que no tiene en

cuenta el número tales como: representar la cantidad –con los dedos o con dibujos-

estableciendo una correspondencia; o trayendo grupos de cucharas y retirando las

sobrantes. Como vemos, no es frecuente que utilicen el conteo y recuerden la última

cantidad nombrada pero, aun cuando no aparezca el número, estas situaciones involucran la

cordialidad.

Hay contextos donde el número cumple el papel de etiqueta numérica que, si bien implica

una comunicación, no expresa una cantidad, por ejemplo: cuando se designan los canales de

televisión, los números telefónicos o los jugadores de un equipo de fut-bol. Existen otras

situaciones en que los números son utilizados como etiqueta y también para expresar

cantidades: en el calendario, como en la página de los libros, los números representan

etiquetas; en un caso cada número es el nombre de un día del mes y en el otro señala una

página. En estos casos, el número puede servir para saber cuantos días \ páginas faltan para

terminar el mes \ el libro. En contextos como estos el número se presenta como etiqueta y, a

su vez, en su aspecto cardinal.

Memoria de la posición

El número también es utilizado para determinar la posición de un elemento en una serie

ordenada; en tal caso expresa el número de la memoria en la posición. En los juegos de

competencia, por ejemplo, es suficiente recordar la posición en que llegó uno de los

competidores sin necesidad de recordar todo el orden completo. En este caso prevalece la

ordinalidad.

Realizar comparaciones

Recurrimos también al número cuando queremos relacionar cantidades para compararlas,

estableciendo relaciones de equivalencia-no-equivalencia entre colecciones. Al tratar el

número como memoria de la cantidad veíamos que, en el caso de formar colecciones

equivalentes, no es frecuente que los pequeños usen los números. Cuando se trata de

9

comparar colecciones, los niños no siempre se dan cuenta de que es suficiente conocer el

número de una de ellas para formar la otra. A través de las actividades de comparación los

chicos comienzan a pasar del uso de términos absolutos tales como “muchos”, “pocos” o

“mas”, 13 “menos” a términos que expresan relaciones, tales como “más que”, “menos que”,

“uno mas que”, “uno menos que”. En este proceso, el contar les permite construir relaciones

de equivalencia-no-equivalencia entre dos conjuntos y también descubrir el orden de

magnitud entre los números de la serie numérica: cuáles son mayores-menores, cuál es el

anterior-siguiente.

Partición y distribución de una colección

Otra función del número esta relacionada con la descomposición de colecciones. En este

caso, la comparación no se refiere a dos colecciones distintas, sino a la relación desde un

punto de vista cuantitativo entre las partes y el todo, entre las subcolecciones y la colección

total: una colección de nueve se puede partir en dos subcolecciones de 3 y 6, 4 y 5, 7 y 2

elementos. Esto favorece la aproximación a colecciones cuyo número supera los números

perceptivos o intuitivos y necesitan el conteo uno-a-uno para ser cuantificadas: una

colección de siete se puede descomponer a los fines perceptivos en cuatro y tres. Las

actividades de partición acercan a la reversibilidad, en tanto luego de repartir, si reúno las

partes, vuelvo a tener el todo. Veamos así que el partir y repartir no nos obliga a pensar en

partes iguales. De todas maneras se pueden realizar particiones en subcolecciones

equivalentes. De este modo los chicos se Irán familiarizando con el resultado de la suma de

dos números iguales y con el concepto de doble: cuatro y cuatro son ocho, ocho y ocho

dieciséis, como nos recuerda la “farolera”.

Otras acciones de reparto se relacionan con la compensación de las diferencias. Ante dos

colecciones con distinto número de elementos, realizar las transformaciones necesarias

para igualarlas: agregar o quitar. Se estimula este proceso cuando se ofrecen oportunidades

para anticipar los cambios a realizar. Como vemos estas actividades también están ligadas a

la idea de cálculo, aspecto este que pasaremos a desarrollar a continuación.

El calculo, una función muy particular

10

Así como el número está presente en la vida cotidiana de los niños, también el cálculo ocupa

un lugar muy importante; numerosas situaciones de cálculo son resueltas por ellos antes de

haber recibido enseñanza formal al respecto. En la resoluciòn de problemas que implica

acciones de agregar y quitar, los chicos progresan mediante la utilización de distintos

procedimientos que, en un principio, se basan en procedimientos informales. A

continuación presentamos las distintas estrategias que pueden usar las nenas y los nenes.

Estrategias concretas: implican la representación de colecciones con dedos u

otros objetos físicos. Por ejemplo: mostramos cuatro bloques o inmediatamente

después los ocultamos en una caja. Luego ante su vista agregamos tres más. Si le

preguntamos al niño “¿cuantos bloques hay ahora en la caja?” seguramente

recurrirá –como la mayoría de los pequeños- a representar las cantidades con los

dedos u otros objetos. De este modo, contando de uno en uno, llegan a formar cada

una de las colecciones que representan los sumandos. A continuación vuelven a

contar todo, empezando desde uno para obtener la suma. Rápidamente los

pequeños descubren que les resulta mas fácil obtener el resultado si forman las dos

colecciones utilizando pautas digitales6 y luego proceden a contar todo. En realidad

trataremos de que las nenas y los nenes no armen la coleccion de dedos uno a uno,

sino que lleguen a mostrar de una vez tantos dedos como sea los números o los

números a representar.

Estrategias de conteo interiorizadas: implica volver a contar todo, pero de

manera interiorizada. Cuando el nene lleva un conteo mental de las cantidades, ante

situaciones que se resuelven con sumas de números pequeños (2 + 3), el nene

contará pensando “1, 2,…” y luego continuará diciendo para si, “3 es uno más, 4 es

dos más y 5 es tres más” y así obtiene el cinco como resultado.

Este procedimiento resulta muy poco práctico en el caso de que el segundo sumando sea

grande. Reconozcamos el trabajo que le constaría resolver de esta forma “2 + 7”, cuando no

reconoce todavía la propiedad conmutativa.7 Sin embargo, en este caso también puede

recurrir a los dedos: cuenta el primer sumando interiormente y luego prosigue la cuenta,

señalando cada nuevo número pronunciando con un dedo.

6 Llamamos pautas digitales a los gestos que utilizamos para representar con los dedos ciertos números, por ejemplo: cuando flexionamos el pulgar y mostramos cuatro dedos extendidos para indicar 4.7

11

Sobreconteo: esta estrategia interiorizada será adoptada más adelante. Si en la caja hay 5

objetos y se agregan 3, el nene comenzará a contar partiendo del 5, cardinal del primer

sumando, que lo transformará en el ordinal “cinco”. Contrariamente a lo que pasaba con la

regla del volar cardinal, en este caso deberá transformar “los cinco” en “el cinco”.

En un primer momento, al utilizar la estrategia de sobreconteo, si el primer sumando es

más chico es más chico “2 y 6”, comienzan a partir de él “2”, pero paulatinamente se van

dando cuenta de que ahorran pasos empezando a contar a partir del mayor.

Calcular mentalmente: hay niños que ante situaciones de cálculo se quedan pensando

unos segundos y contestan de inmediato el resultado. Estos niños han memorizado algunas

combinaciones básicas de sumar y empezaron a descubrir algunas reglas del sistema de

numeración y propiedades de las operaciones como la conmutativa, asociativa y otras. Ante

la suma “5 +7”, la remplazan mentalmente en “5 + (5 + 2)”, descomponiendo “7” en “5 + 2”.

Luego agrupan “5 + 5”, resultado que ya han memorizado, y a continuación resuelven “10 +

2” que ya han descubierto que es “12”.

Los cálculos de la forma “agregar 1” o “quitar 1”: los cálculos donde han de agregar o

quitar uno son aquellos que los niños resuelven mentalmente con más facilidad. Ello

depende de la familiarización que tengan con la serie numérica. Ante un problema que se

resuelve con la suma “3 + 1” basta recordar cual es el siguiente en el recitado de la serie. Lo

mismo si la situación requiere de la sustracción “7 – 1”, simplemente se deberá recordar

cual es el anterior a “7” en la secuencia de los números.

Estas operaciones, que parecen tan simples, cambian completamente cuando la operación

requiere sumarle a 1 otra calidad (por ejemplo 7). Esta situación se convierte en muy

dificultosa ya que lo nenes no pueden invertir los sumados. La causa de esto es que todavía

no han tenido oportunidad de tratar la suma como reunión, lo que no les permite concluir la

conmutatividad.

Tengamos en cuenta que la adicción se relaciona con dos acciones diferentes, reunir y

agregar.

La sustracción: en problemas de sustracción donde minuendo es un número mayor que

uno, los niños también van progresando en el uso de distintas estrategias que se relacionan

con acciones de quitar.

Estrategias concretas: este procedimiento implica tres acciones sucesivas: representar el

minuendo con material concreto con los dedos; quitar un numero de elementos igual al

12

sustraendo –en el caso de los dedos, bajarlos –y, finalmente, contar con los elementos que

sobran.

Estrategias mentales: de a poco los niños comienzan a dejar las estrategias concretas por

otras como el retrocontar o descontar. O sea nombrarla serie numérica en forma regresiva a

partir de minuendo, tantas unidades como indica el sustraendo.

Si le pedimos a un nene que resuelva “5-3” descontará a partir de cinco, tres números –

pensando o diciendo –“4-3-2” y podrá darse cuenta que el resaltado es dos. Este

procedimiento es más dificultoso que el que se usa para sumar ya que para hallar el

resultado basta usar la serie numérica en el orden convencional.

Por el contrario, para restar se necesita una familiaridad con el contar hacia atrás; el hecho

de llevar la cuenta de los números que se tienen que descontar hace que a menudo se

recurra a los dedos.

A medida que los números utilizados son mayores, los niños van recurriendo a otro tipo de

estrategias que implican contar hacia adelante: para resolver “15-12¨, no es practico

descontar 12 de 15, `por el contrario resulta simple contar cuando le falta a 12 para ser 15.

Si fuera “8-2” es mas fácil retrocontar que contar porque se abrevian pasos.

Es importante destacar que los nenes y las nenas del jardín resuelven muchas situaciones

utilizando combinaciones básicas de adición y sustracción que ya han sido memorizadas,

pero esto depende exclusivamente del campo numérico en el que estén trabajando. Es así

que seguramente responderán mediante el cálculo mental a todas las operaciones

relacionadas con las acciones de agregar uno o quitar uno, y también aquellas relacionadas

con los números intuitivos.

Una mención especial requiere la expresión de las operaciones mediante símbolos, el hecho

de que el niño resuelva situaciones de agregar y de quitar, no implica que este preparado

pasar utilizar los símbolos +, -, =; ni tampoco que sean motivo de una enseñanza prematura.

Respecto del uso de los símbolos y en particular del signo menos Lerner,8 dice que este

representa un conflicto para los chicos en tanto solo disponemos de esa única expresión

para restar.

La subjetividad de la criatura no le permite comprender que un único signo pueda

representar diferentes acciones: comer o regalar caramelos, perder o gastar el dinero. No

les resulta fácil creer que la misma marca grafica sirva para situaciones tan disímiles, en

tanto no pueden abstraer las propiedades comunes a las mismas tomar en cuenta solamente

8

13

efectos cuantitativos. Todas tienen en común la acción de separar y, por consiguiente,

disminuye una cantidad.

Antes de dejar el tema de cálculo creemos necesario hacer una reflexión. En el lenguaje

cotidiano generalmente usamos la palabra calcular a un cuando se trata de la acción de

contar, si la maestra pregunta cuantas nenas y nenes faltaron, con seguridad los chicos con

ayuda de los dedos, Irán diciendo: marina, Abel, pablo, samanta, Gonzalo y responderán “5”.

Brissiaud, precisamente aclara que calcular es “establecer una relación directa entre

cantidades a partir de sus representaciones numéricas y sin pasar por la construcción física

de una o varias colecciones cuyos elementos se cuentan”. Wen este ejemplo quizá la maestra

pensó que estaba proponiendo un cálculo, lo chicos estaban ausentes y no constituyan una

colección visible. Sin embargo los chicos contaron, representando a cada compañero con un

dedo. Esto fue posible dado el campo numérico utilizado. Volviendo a la definición de

Brissiaud solo hubieran calculado si al total veinticinco chicos, digamos, que hubieran

restado mentalmente los veinte presentes. En tal sentido a estas edades las criaturas solo

pueden resolver mediante el cálculo aquellos problemas relacionados con los números

intuitivos; con cantidades mas grandes necesitan recurrir al conteo o al sobreconteo.

Para que la cosa tome color: reflexiones didácticas

Como verá, a lo largo del texto iremos retomando varias cuestiones. Una de ellas, y quizás

de las más importantes, se refiere a que de ninguna manera forzaremos ingreso al

conocimiento matemático sin tomar en cuenta lo que los chicos saben y aquello que puedan

aprender con la ayuda de la maestra. Otra tema que no hay que olvidar es que el número no

aparecerá desprendido del resto de los contenidos matemáticos, ni tampoco de los que

corresponden a otras áreas disciplinarias. Una “experiencia directa” organizada para

recorrer el barrio o la manzana donde esta situado el jardín permitirá trabajar lo números

como etiqueta-cuando observan carteles indicadores-; para comunicar cantidades-escribir o

hablar con algún funcionario para que se remplacen los dos árboles de la cuadra de atrás del

jardín, que se perdieron con el temporal- o bien realizar un censo de las construcciones

vecinas; o bien apreciar la ordinalidad a través de la secuencia de los números de los

edificios de una cuadra. Realizar sus sencillos cálculos: contar las cuadras que caminan para

llegar a un destino y anticipar cuantas cuadras habrán que recorrer hasta regresar, esto se

puede complejizar si se decide volver por otro camino. Es probable que a usted se le ocurra

14

muchas otras actividades, lo importante es que existan momentos para debatir, justificar,

comparar resultados y buscar diferentes procedimientos para aplicar en situaciones iguales

o parecidas. Si duda las situaciones didácticas que se proyecten desde la perspectiva de las

ciencias sociales y naturales darán lugar, además, al tratamiento del espacio y la medida,

temas que abordaremos en los capítulos que siguen. Por otra parte en el Apéndice hemos

recopilado algunos juegos cuya presentación admita el tratamiento de las funciones del

número y el resto de temas abordados hasta aquí.

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