4. MODELAREA AUTOREGRESIVĂ A SEMNALELOR STAŢIONARE

• semnalul vocal este produs de către un sistem a cărui funcţie de transfer (aproximativă) este:

H z

A z

==> sistem autoregresiv (AR).

- câştigul modelului

0

pi

i

A z a i z

0 1a

Generator periodic(de impulsuri unitare)

Generator aleator(zgomot alb)

Sonor/Nesonor (decizia)

P (perioada)

σ

x[n]e[n]

0

1p

i

i

H z

a i z

Schema bloc a modelului autoregresiv (de ordinul p) de producere a vorbirii

X z H z E z E zA z

1

p

i

x n a i x n i e n

==>

==> relaţie de recurenţă liniară pentru generarea eşantionului x[n] din p eşantioane anterioare

k

e n n kP • pentru sunetele sonore:

• pentru sunetele nesonore: e[n] = zgomot alb de medie nulă şi varianţă unitară

• a(i) = coeficienţi de predicţie

1

p

i

x n a i x n i e n

==>

4.1. Relaţii de bază pentru modelul AR

• Răspunsul la impulsul unitate

e n n x n h n==>

1

p

i

x n a i x n i e n

1

p

i

h n a i h n i n

==>

0 pentru 0h n n - sistemul AR este cauzal

1

p

i

h n a i h n i n

==>

• Funcţia de autocorelaţie a răspunsului la impuls

1

p

i

h n a i h n i n

0

hhn n

k h n h n k h n h n k

==> 0 1

p

hhn i

k a i h n i n h n k

==> funcţia de autocorelaţie se exprimă printr-o relaţie de recurenţă liniară ce utilizează p eşantioane anterioare ale sale

2

1

p

hh hhi

k a i k i k

==> ……….

• Excitarea modelului AR de către un semnal aleator

m

x n e n h n e n m h m

xx

m l

m l

m l

eem l

eem r

k E x n x n k

E h m e n m h l e n k l

h m h l E e n m e n k l

h m h l E e n e n k m l

h m h l k l m

h m h m r k r

xx ee ee hhr m r

k k r h m h m r k r r

xx ee hh ee hhk k k k ==>

2j j j j j

xx hh ee eee e e H e e ==>

2 2xx zz hh z hh z hhk k k k k k

22 2j j j j j

xx zz hh z hh ze e e e H e

2zzz k k

2 constant pentru jzz ze

- zgomot alb ==>

- zgomot alb cu medie nulă şi varianţă unitară ==> 2 1z

xx hhk k j jxx hhe e

2

1

p

xx xxi

k a i k i k

• Limitările modelării autoregresive

1) pentru sunetele nazale:

0

cu , 0 1q

i

i

C zX z E z C z c i z c

A z

1 0

p q

i i

x n a i x n i c i e n i

==>

==> model autoregresiv cu medie ajustată (ARMA = Auto-Regressive Moving Average).

2) includerea modelării formei reale a excitaţiei în transmitanţa modelului AR

3) semnalul vocal - presupus staţionar pe intervale de 20-25 ms ==> modelul AR este considerat “fix” doar pe acest interval.

4.2. Estimarea modelului AR

• Predicţia liniară

- semnal x[n] produs de către un sistem AR;- excitaţia sistemului AR este inaccesibilă;- ?! estimarea parametrilor modelului AR pe baza semnalului x[n].

1

ˆ ˆp

i

x n a i x n i

Eroarea de predicţie:

1

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ cu 0 1

p

i

p

i

n x n x n x n a i x n i

n a i x n i a

0

; 0 1p

i

a i x n i e n a

Se ştie că:

a i a i n e n Dacă ==>

ˆn

n

z n z A z X z

0

ˆ ˆ ˆ, 0 1p

i

i

A z a i z a

Filtrul invers:

e[n] x[n]

Sistemul de producere

(de tip AR(p))

Filtrul invers

Semnalul

observat A z

A z a i a in e n

Sistemul AR şi filtrul invers

==> în cazul în care semnalul a fost produs de către un sistem AR de ordinul p, dacă , eroarea de predicţie reproduce excitaţia cu excepţia unui factor de multiplicare

• Estimarea coeficienţilor de predicţie

- Criteriul de optimizare este minimizarea varianţei erorii de predicţie 2 20 n

k n n k

2

2

0

ˆ0 0p

i

n n a i x n i

2

0 0 , 0

ˆ ˆ ˆ ˆp p p

i j i j

a i x n i a j x n j a i a j x n i x n j

2

, 0

ˆ ˆp

xxi j

a i a j i j

2

0 pentru 1,ˆ

i pa i

0

ˆ 0 cu 1,p

xxj

a j i j i p

==> ecuaţiile Yule-Walker (Yule - 1927, Walker -1931)

0 1 2

1 0 1 1

2 1 0 2

1 2 0

xx xx xx xx

xx xx xx xxp

xx xx xx xx xx

xx xx xx xx

p

p

p

p p p

φ

xx xx1 , 2 , ......... t

x xx p φ

1

0

txx xp

xx px xx

φφ

φ φ

ˆ ˆ ˆ ˆ 1 , 2 ,......, t

a a a p a

1

ˆ ˆ ; 0 1, 1,p

xx xxj

a j i j i a i p

1 ˆpxx x φ a φ==>

• Estimarea câştigului modelului AR

0

2,min

0

0 pentru 1, , 0 1

expresia variantei minime

p

xxi

p

xxi

a i k i k p a

a i i

2

0

cu 0p

xxi

a i k i k k

0

2

0

0 pentru 1, , 0 1

pentru 0, 0 1

p

xxi

p

xxi

a i k i k p a

a i i k a

,min ==> pentru 0,xx xxk k k p