4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações ...1 anterior. Ou seja, o fenômeno de condu ção do calor numa barra unimensional: Mas agora com condições de contorno

4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

4.1- Aproximação de Funções.4.1.1- Aproximação por Polinômios.4.1.2- Ajuste de Dados: M ínimos Quadrados.4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.4.2.1- Aproximação de Derivadas por Dif erenças Finitas.4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.4.3.1- Problema de Val or Inicial.4.3.2- Problema de Val or de Contorno.4.4- Solução de Equações Diferenciais Parciais.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS

Problema 1 – Equação do Calor : Considere uma barra feita de um material condutor de calor sujeita a alguma f onte externa de calor e condições de contorno nos extremos da barra.

Suponha que as propriedades do material, a distribui ção de temperatura inicial e a fonte externa dependem apenas de e não das direções na seção transversal e nem do tempo.

O fenômeno de condu ção do calor nesta barra pode ser modelado pela seguinte equa ção:

onde é o coeficiente de condu ção do calor e é a fonte externa de calor ( Equação da Difusão Estacionária Unidimensional).

x

4.3.2- Problema de Valor de Contorno (PVC).

{Fonte Externa

Difusão

( )( ) ( ) ] , [ (EDO)d du xk x g x x a bdx dx

− = ∀ ∈ 144424443

( )g x( )k x

Se o material é homogêneo, então não depende de e a EDO se transforma em:

Condições de Contorno : Destacamos três tipos de condi ções de contorno

Tipo 1- A temperatura é conhecida nos extremos do intervalor

Tipo 2- O fluxo de calor é conhecido em algum extremo do intervalo

Tipo 3- Se conhece em algum extremo do intervalo uma combinação das duas condi ções anteriores

x


{Fonte Externa

Difusão

( ) ( ) ] , [ (EDO)d u xk g x x a bdx

− = ∀ ∈2

214243

( )k x

{( ) , ( ) Condição de Dirichleta bu a u u b u= =

{( ) ( ) ou Condição de Neumanna bdu a du bq q

dx dx= =

{( ) ( )( ) ( ) ou ( ) ( ) Condição de Robina bdu a du bk a u a r k b u b r

dx dxα α− + = − + =

Exemplo 1: Resolva o seguinte PVC

Este problema é tão simples que pode ser resolvido de forma exata:


{

{

Fonte ExternaDifusão

( ) ( ) ] , [ (EDO)

( ) , ( ) Condição de Dirichleta b

d u xk g x x a bdx

u a u u b u

− = ∀ ∈

= =

2

214243

{( ) Primitiva

( ) ( )( ) ou ( ) Primeira IntegraçãoG x

d u x du xk dx g x dx k g x dx Cdx dx

− = − = +∫ ∫ ∫1

2

12 14243

{( ) Primitiva

( ) ( ) ou ( ) ( ) Segunda IntegraçãoG x

du xk dx G x dx C dx ku x G x dx C x Cdx

− = + − = + +∫ ∫ ∫ ∫2

1 1 1 1 214243

{( ) ( ) Primeira Condição de Contornoku a G a C a C− = + +2 1 2

{( ) ( ) Segunda Condição de Contornoku b G b C b C− = + +2 1 2

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] e ( ) ( )k u b u a G b G a k u b u a G b G aC C ku b G bb a b a

− − + − − − + −= = − − −

− −2 2 2 2

1 2 2

Se aproximamos a derivada segunda pela formula de di ferença centrada:

Então a aproxima ção pelo MDF para o PVC anterior consiste em encontrar que satisf az

onde a malha usada para discretizar o problema é:

Esta equação pode ser reescrita na f orma:


)( ii xuU ≈

211

22

2

2

)(2

)()()(2)())(()(

xUUU

xxxuxuxxuxuD

dxxud iiiiii

ii

∆+−

≈∆

∆−+−∆+=≈ −+

{ Contorno de Condições 2 ,

(EDO) 0 )()(

2

0

211

bna

iiii

uUuU

nixgx

UUUk

==

<<∀=∆

+−− −+

nin

abxxiaxi ,,1,0 ,)( , L=−

=∆∆+=

Note que isto é um sistema linear de n-1 equações com n-1incógnitas que pode ser resolvido pelos m étodos já estudados.


{ )( onde ,C. C. 2 ,

(EDO) 0 ]2[)(

0

112

ii

bna

iiii

xgguUuU

nigUUUxk

===

<<∀=+−∆−

+−

{ C. C. 2 ,

]2[)(

]2[)(

]2[)(

]12[)(

0

1122

34322

23212

12102

bna

nnnn

uUuU

gUUUxk

gUUUxk

gUUUxk

gUUUxk

==

=+−∆−

=+−∆−

=+−∆−

=+−∆−

−−−

LLLLLLLLLLLLL

∆+

∆+

=

=

−− n

nn U

xkg

gg

Uxkg

U

UUU

21

3

2

021

1

3

2

1

)(

)(

F ,U

MM

−−

−−

−

∆−

==−×−

21121

121121

12

)(A onde ,FUA 2)1()1(

OOOxk

nn

O erro em cada ponto:

Já que , então o erro global pode ser obtido integrando duas vezes a EDO anterior:

Ou seja,

Logo para este problema o erro global também é de ordem 2 ao igual que o erro local. Isto garante a Estabilidade e Consistênciado método e conseqüentemente a Convergência .


)2( MDF o Aplicando (1)0)(,0)(

[,] )()()1()1(

2

2

LGnnL

beae

baxxdx

xedk EEAE−=⇒

==

∈∀−=−−×−

∆−≈ 4

42 )()(

121)(E

dxxudxkxL

−+∆+∆−−≈ 2

2

2

2

2

22

2

22 )()()()(

121)()(

121)(

dxaud

dxbudx

dxaudx

dxxudxkxe

( ) ( )( )e x C x x≈ ∆ 2

[ ] [ ]( ) ( ), , ( ) ( ) ( ), , ( )G i n nx e x e x x C x C x= ≈ ∆T TE 20 0L L

Um caso do Exemplo 1 : Resolva o seguinte PVC


Construímos a malha na forma

usamos n=5 e n=20


{

{

Fonte ExternaDifusão

( ) ] , [ (EDO)

( ) , ( ) Condição de Dirichletk

d u x xdx

u u=

− = ∀ ∈

= =

2

2

1

0 0 1

0 0 1 1

14243

( ) onde e ou ( )u x C x C C C u x x− = + = − = =1 2 1 21 0

( ), , , , ,ib ax a i x x i n

n−

= + ∆ ∆ = = 0 1 L

{

( ) ( ) ] , [

( ) , ( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) , ( )

( )como ( )

L

L

L

d e xk x x a bdx

e a e bke x C x C

e xd u xx k x e a e bdx

d x xdx

− = − ∀ ∈

= =

− = + ⇒ ⇒ = ≈ − ∆ = =

= ⇒ =

E

E

E

2

2

1 242

4

4

4

0 001 0 0

12

0 0


0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

E x a t aD F C

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

E x a t aD F C

]1,0[ 0)( ∈∀= xxe

Erro global zero para todos os pontos. Ou seja, a solução do método numérico corresponde ao interpolante. Neste caso, isto é possível por dois motivos:

1- porque o método é estável e consistente, logo convergente

2- porque a solução exata é um polinômio linear e nossa aproximação éde segunda ordem de prec isão.

Se a solução exata fosse um polinômio de grau maior que 1 o erro s eria pequeno, mas não zero.

]1,0[ ))(()( 2 ∈∀∆≈ xxxCxe

n=5

n=20

Problema 1 – Equação do Calor : Considere o mesmo problema 1 anterior. Ou seja, o fenômeno de condu ção do calor numa barra unimensional :

Mas agora com condições de contorno de Dirichlet (tipo 1) e de Neumann (tipo 2) :

1- A temperatura é conhecida num extremo do intervalo

2- O fluxo de calor é conhecido em algum extremo do intervalo

Impondo condição de Neumann nos dois extremos do intervalo o problema é mal posto: infinitas soluções ou nenhuma!


{Fonte Externa

Difusão

( )( ) ( ) ] , [ (EDO)d du xk x g x x a bdx dx

− = ∀ ∈ 144424443

{( ) Condição de Dirichletbu b u=

{( ) Condição de Neumannadu a q

dx=

Exemplo 1.1 : Suponha , logo


Construímos a malha na forma


{Fonte Externa

Difusão

( ) ] , [ (EDO)

( ) , ( )

k

d u x xdx

du udx

=

− = ∀ ∈

= =

2

2

1

0 0 1

0 1 1 2

14243

( ) onde e ou ( )u x C x C C C u x x= + = = = +1 2 1 21 1 1( ), , , , ,ib ax a i x x i n

n−

= + ∆ ∆ = = 0 1 L

{

( ) ( ) ] , [

( ) , ( ) ( )( )( )( ) , ( )( ) ( )

( )como ( )

L

L

L

d e x x xdx

de e e x C x Cdxe xded u x ex x dxdx

d x xdx

− = − ∀ ∈

= = = + ⇒ ⇒ = = = ≈ − ∆ = ⇒ =

E

E

E

2

2

1 2

42

4

4

4

0 1

0 0 1 0001 0 1 0

12

0 0

( )k x =1 ( )g x = 0

Novamente o erro global é zero! (Interpolante)

)()( iii xuUxe −=

Para resolver numericamente este problema precisamos determinar no extremo esquerdo do intervalo porque a condição neste ponto é de Neumann. Entre as várias formas de fazer isto destacamos duas:

Primeira Forma: Aproximamos a derivada neste ponto por uma formula adiantada

Obtemos o seguinte si stema que di fere do caso de condição de contorno de Dirichlet apenas na primeira linha.


U0

( ) ( ) ( )( ( )) U Udu u x uD udx x x+

−+ ∆ −≈ = ≈ =

∆ ∆1 00 0 00 1

{

[ ] (EDO)( )

[ ] , C. C.

ii i i

n

U U U g i nx

U U Ux

− +−

− + = ∀ < <∆

− + = =∆

1 12

0 1

1 2 0

1 1 0 2

Na forma matricial

A solução deste sistema é de primeira ordem de precisãoporque o erro local no estremo esquerdo é

expandindo em serie de Taylor entorno do ponto para e substituindo na equa ção anterior obtemos

Depois de substituir a condição de contorno . Este erro

de primeira ordem neste ponto se propaga para os outros pontos


( )

( )

( )

, onde ( )n n

i

i

i n

x x

x

=

=

= −

×

∆ −∆ − −−

= = ∆

−

−

A U F A

0

1

2

1

1 2 11 2 11

1 2 11 2

O O O,

( )n

nn

Ug

Ug

U

kg UUx

−−

= = + ∆

U F

0 1

1 2

2

11 2

1

MM

( ) [ ] para L n n n n L L u u ix× ×= − ⇒ = + ⇒ = − − =

∆E A u F A u F E E 1 00

1 1 0

x =0 0 u1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) ( )Ldu x d u x d u xx x O x x O x

x dx dx dx

= ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ ∆ E

2 22 20 0 0

2 20

1 1 112 2

( )dudx

=0 1

Segunda Forma: Aproximamos a derivada no contorno por uma formula de di ferença adiantada de segunda ordem :

Obtemos o seguinte si stema que di fere do caso anterior apenas na primeira linha.


( ) U U Ududx x

− +≈ =

∆0 1 23 40 1

2

{

[ ] (EDO)( )

[ ] , C. C.

ii i i

n

U U U g i nx

U U U Ux

− +−

− + = ∀ < <∆

− + = =∆

1 12

0 1 2

1 2 0

1 3 4 1 0 22

( )

( )

( )

, onde ( )

i

i

n n

i n

x x x

x

=

=

=

×

−

− ∆ ∆ − ∆

− − −= = ∆

−

−

A U F A 2

0

1

1

3 122 21 2 1

1 1 2 1

1 2 11 2

O O O

,

( )n

nn

Ug

Ug

U

kg UUx

−−

= = + ∆

U F

0 1

1 2

2

11 2

1

MM

A solução deste sistema é de segunda ordem de precisãoporque o erro local no estremo esquerdo é

expandindo em serie de Taylor entorno do ponto para e substituindo na equa ção anterior obtemos

Depois de substituir a condição de contorno . O erro

neste ponto é da mesma ordem que para o restante dos pontos da malha. Logo, devemos esperar que o erro global seja de segunda ordem . Diferentemente da primeira aproxima ção da CConde o erro global foi de primeira ordem , já que o erro local no primeiro ponto era de primeira ordem e esta ordem se propagou para os outros pontos da malha.


( ) [ ] para L n n n n L L u u u ix× ×= − ⇒ = + ⇒ = − + − =

∆E A u F A u F E E 0 1 20

1 3 4 1 02

x =0 0 e u u1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) )Ldu x d u x d u xx x O x x O x

x dx dx dx

= ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ ∆ E

3 33 3 2 20 0 0

3 30

1 2 12 12 3 3

( )dudx

=0 1

Problema 2 – Equação Unidimensional da Difusão-AdveçãoLinear e Estacionaria : Considere o fenômeno da distribui ção de temperatura num tubo unidimensional por onde escoa um f luido com velocidade e com coef iciente de di fusão do calor . A equação que descreve matematicamente este f enômeno é:

onde é a fonte externa de calor e condi ções de contorno nos extremos de Dirichlet.

Suponha para simplif icar que os coef icientes da equa ção são constantes (não dependem da posi ção).

ωr


{Fonte Externa

AdveçãoDifusão

( ) ( )( ) ( ) ] , [ (EDO)d du x du xk x g x x a bdx dx dx

ω − + = ∀ ∈ 14243144424443

( )k x

( )g x

( ) , Condição ( ) . de Dirichlet

a

b

u a uu b u

= =

Então o PVC se transforma em:

Este problema pode ser discretizado usando a aproxima ção jáestudada de diferenças finitas centradas de segunda ordem:

Quando esta aproxima ção é ESTÁVEL e CONSISTENTE. Ou seja, quando a difusão é dominante perante a advecção(convecção) a solução numérica obtida através do MDF


==

∈∀=+−

ba ubuuau

baxxgdx

xdudx

xudk

)(,)(

[,] )()()(2

2

ω

211

22

2

2

)(2

)()()(2)())(()(

xUUU

xxxuxuxxuxuD

dxxud iiiiii

ii

∆+−

≈∆

∆−+−∆+=≈ −+

( ), , , , ,ib ax a i x x i n

n−

= + ∆ ∆ = = 0 1 L

xUU

xuu

xxxuxxuxuD

dxxdu iiiiii

ii

∆−

≈∆−

=∆

∆−−∆+=≈ −+−+

222)()())(()( 1111

0

k<<ωr

CONVERGE para a solução exata do PVC. Note que se , então este problema se transforma no problema puramente difusivo que possui segunda ordem de preci são para esta aproximação:

Note também que se ( efeitos advectivos desprezíveis) a solução do PVC deve ser muito pr óxima da solução do problema puramente difusivo.

Entretanto, quando esta aproxima ção é INESTÁVEL. Ou seja, quando a advecção é dominante perante a difusão a solução numérica obtida através deste MDF apresenta oscilações espúrias (não correspondem à solução exata). Em termos físicos é diminuída a possibilidade do calor se di fundir em direções diferentes da dire ção de escoamento do f luido . Lembre que o calor se difunde na dire ção do gradiente.


==

∈∀=−

ba ubuuau

baxxgdx

xudk

)(,)(

[,] )()(2

2

0=ωr

0≈ωr

k>>ωr

ωr

Este problema pode ser escrito numa f orma mais apropriada. Ou seja, em termos de um parâmetro adimensional que indique a razão entre a velocidade de advecção e a velocidade de transporte devido a di fusão. O Número de Péclet

é usado para def inir este parâmetro , onde temdimensão espacial. Então o PVC pode ser escrito como:

Note que se ( advecção dominante) e para a difusão dominante temos .

Quando ( difusão dominante ) a solução numérica deste problema é próxima da solução do problema puramente difusivo. Ambas EDO são de segunda ordem e


ek Pω ε>> ⇒ >> ⇒ <<1 1r

kh

Pe

ωr

=

ePhk

=≡ω

ε r h

( ) ( )( ) ( ) ˆ( ) ] , [( ) ] , [( )( ) , ( ) ˆ( ) , ( ) onde ( )a b a b

d u x du xd u x du x g x x a bk g x x a b dx dxdx dxg xu a u u b u u a u u b u g x

εω

ω

− + = ∀ ∈ − + = ∀ ∈ = = = = ≡

22

22

ek Pω ε<< ⇒ << ⇒ >>1 1r

ek Pω ε<< ⇒ << ⇒ >>1 1r

requerem da mesma quantidade de condi ções de contorno (duas) para possuir uma única solução. Neste caso se diz que a perturbação introduzida pela advecção é uma perturbação regular.

Quando ( advecção dominante) se diz que a perturbação introduzida pela advecção é uma perturbação singular (não regular ). Neste caso devemos esperar di ficuldades para o método numérico quando . Note que no limite a EDO se transforma em uma EDO de primeira ordem:

que precisa apenas de uma condi ção de contorno ( inflowboundary) para possui r uma única solução (problema puramente advectivo). Ou seja, quando a inf luencia de uma das condições de contorno no PVC se torna desprez ível. Isto indica que a solução exata deve ter um comportamento parecido com a


ε →0

ek Pω ε>> ⇒ >> ⇒ <<1 1r

ε = 0

ε →0

] [ ] [ ∈∀=⇒

∈∀=+− baxxgdx

xdubaxxgdx

xdudx

xud ,)(ˆ)(, )(ˆ)()(2

2

ε

solução do problema puramente advectivo e que perto deste contorno (outflow boundary) a solução exata pode apresentar derivada grande. Em outra palavras, nesta região perto do contorno onde o f luido está saindo (outflow boundary) a solução exata pode tender a ter salto (discontinuidades ou derivada grande). As regiões onde a derivada da solu ção é muito grande são chamadas de regiões com camadas limites externa(boundary layer). Pode ser mostrado que para este tipo de problema a espessura desta camada limite externa é da ordem de quando .

Por exemplo, a solu ção do PVC


ε →0( )O ε

] [

−

−=

−

−−=

+=

==

∈∀=+−

−−

−

]1[][ ,

]1[][

)(

)( ,)(

, 0)()(

)()(

)(

21

212

2

εε

ε

ε

abab

ax

euuC

euuuC

eCCxu

ubuuau

baxdx

xdudx

xud

ababa

ba

Considere para este exemplo . Logo


( )O ε

//

/ / /ou ( )

xx

eu x e

e e e

εε

ε ε ε

− = − + = + − − −

1 1 1

12 21 1 21 1 1

Espessura da camada l imite externa é da ordem de quando .ε →00 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1

0

1

2

3

x

u

−=

−−=

+=

−

−=

−

−−=

+=

−−

−

]1[2 ,

]1[21

)(

]1[][ ,

]1[][

)(

11)()(

)(

21

21

21

21

εε

ε

εε

ε

eC

eC

eCCxu

euuC

euuuC

eCCxu x

abab

ax

ababa

3 ,1 ,1 ,0 ==== ba uuba

=

001.001.01.05.0

1

ε

Este problema pode ser discretizado usando a aproxima ção jáestudada de diferenças finitas centradas :

E aproximamos as deri vadas por

Obtemos o seguinte sistema linear alg ébrico de equações


211

22

2

2

)(2

)()()(2)())(()(

xUUU

xxxuxuxxuxuD

dxxud iiiiii

ii

∆+−

≈∆

∆−+−∆+=≈ −+

( ), , , , ,ib ax a i x x i n

n−

= + ∆ ∆ = = 0 1 L

xUU

xuu

xxxuxxuxuD

dxxdu iiiiii

ii

∆−

≈∆−

=∆

∆−−∆+=≈ −+−+

222)()())(()( 1111

0

[ ] [ ]

( )/

( )/ ( )/

( )( ) ( ) ] , [,

( ) , ( )

x a

b a b aab a b a

a b

u x C C ed u x du x x a b u u u udx dx C C uu a u u b u e e

ε

ε ε

ε−

− −

= + − + = ∀ ∈ − − = = − = = − −

2 1 2

2

2 1

0

1 1


AdvectivoDifusivo)1()1(

1

3

2

1

2

2

)1()1( AAA e U onde ,

2)(

00

2)(

UA +=

=

∆−

∆

∆+

∆

= −×−

−

−×− nn

nbb

aa

nn

U

UUU

xu

xu

xu

xu

MMε

ε

−−

−−

∆=

01101

101101

10

21AAdvectivo

OOOx

−−

−−

−

∆−

=

21121

121121

12

)(A 2Difusivo

OOOxε

[ ] [ ]

{ C. C. 2 ,

0 02

12)(

0

11112

bna

ADVECÇÃO

ii

DIFUSÃO

iii

uUuU

niUUx

UUUx

==

<<∀=+−∆

++−∆

− +−+− 443442144 344 21ε

Note que a matriz Advectiva não é simétrica!

Se resolvemos este PVC com diferenças finitas centradas de segunda ordem de precisão obtemos:


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3Ex ataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4ExataDFC

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

, , .ε =1 0 001L

kh

PPhk

ee

ωω

εr

r ==≡ e

1.0 ,10,10 ,1

====

eP.hnε

2.0 ,10,10 ,5.0

====

eP.hnε

1 ,10,10 ,1.0

====

eP.hnε

10 ,10,10 ,01.0

====

eP.hnε

100 ,10,10 ,001.0

====

eP.hnε

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3Ex ataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

Se refinamos a malha para diferenças finitas centradas de segunda ordem de precisão obtemos:


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

, , .ε =1 0 001L

kh

PPhk

ee

ωω

εr

r ==≡ e

1.0 ,050,20 ,5.0

====

eP.hnε

5.0 ,050,20 ,1.0

====

eP.hnε

5 ,050,20 ,01.0

====

eP.hnε

50 ,050,20 ,001.0

====

eP.hnε

05.0 ,050,20 ,1==

==

eP.hnε

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10

1

2

3

x

u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3E xataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ExataDFC

Se refinamos a malha mais ainda para diferenças finitas centradas de segunda ordem de precisão obtemos:


, , .ε =1 0 001L

kh

PPhk

ee

ωω

εr

r ==≡ e

025.0 ,0250,40 ,1

====

eP.hnε

05.0 ,0250,40 ,5.0==

==

eP.hnε

25.0 ,0250,40 ,1.0==

==

eP.hnε

5.2 ,0250,40 ,01.0

====

eP.hnε

25 ,0250,40 ,001.0

====

eP.hnε

Em geral, dizemos que estamos em presen ça de um problema singularmente perturbado quando o coeficiente da derivada de ordem maior da EDO é um parâmetro pequeno :

Problemas Singularmente Perturbados apresentam desafios numéricos já que a solução pode variar rapidamente num pequeno intervalo ( camadas limites externas e/ou internas). Nestas regiões onde a derivada é muito grande o erro para a aproximação por diferenças finitas centradas pode ser muito grande.

Lembrando que para diferenças finitas centradas de segunda ordem o erro local é proporcional a se não éo suficientemente pequeno, então o erro ser á grande na região onde existem camadas limites. E mesmo que o erro local seja grande apenas nestas regiões o erro global pode ser grande.


ε <<1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] , [ (EDO)

n n

n nn n

d u x d u x du xg x g x g x u x g x x a bdx dx dx

ε−

− +−+ + + + = ∀ ∈1

1 1 0 11 L

( )( ) ( )Ld u xx x

dx≈ ∆E

42

4 x∆

Para que o erro global recupere a convergência com segunda ordem de precisão é necessário refinar a malha. Na maioria dos casos o ref inamento necess ário para recuperar as propriedades de convergência exige que se aumente muito os graus de liberdade do problema (número de incógnitas). Isto implica num aumento do custo computacional (memória, tempo de calculo e round-off error).

Refinar quanto a malha?

Refinar a malha até que permita obter .

Além das camadas externas a solução do problema pode ter camadas internas .

Atualmente, desenvol ver boas aproxima ções para resolver Problemas Singularmente Perturbados é uns dos temas centrais em matemática aplicada (Técnicas de Estabili zação).


x h∆ = e

hP

kω

ε= << ⇒ >>1 1r

Problema 3 – Equação Unidimensional da Difusão-Adveção-Reação Linear e Estacionaria : Considere o fenômeno da distribuição de temperatura num tubo unidimensional por onde escoa um f luido com velocidade , com coef iciente de di fusão do calor e com coef iciente reativo . A equa ção que descreve matematicamente este f enômeno é:

onde é a fonte externa de calor e condi ções de contorno nos extremos de Dirichlet. O termo reativo modela uma fonte ou sumidouro interno de calor devido a alguma rea ção, por exemplo, qu ímica.

ωr


( )k x

( )g x

( ) , Condição ( ) . de Dirichlet

a

b

u a uu b u

= =

σ

{ EDO [,] )()()()(

Externa FonteReaçãoAdvecçãoDifusão

baxxgxudx

xdudx

xdukdxd

∈∀=++

−

3214342144 344 21

σω

Esta equação não modela apenas a transf erência de calor unidimensional, linear e estacionaria. A Equação da difusão-advecção-reação também é conhecida como Equação de Transporte e modela o transporte de uma grandeza f ísica. Esta grandeza pode ser, por exemplo, concentra ção, calor, etc.

Quando e o fenômeno difusivo é dominante. Neste caso o MDF centrada de segunda ordem de precisão é ESTÁVELe CONSISTENTE.

Quando e/ou a difusão não é dominante. Neste caso teremos um problema singularmente perturbado e o MDF centrada de segunda ordem de precisão é INSTÁVEL. Para que o erro global recupere a convergência com segunda ordem de precisão é necessário refinar a malha.


σ>>k

{ EDO [,] )()()()(

Externa FonteReaçãoAdvecçãoDifusão

baxxgxudx

xdudx

xdukdxd

∈∀=++

−

3214342144 344 21

σω

ωr

>>k

k>>ωr k>>σ

Frase do Dia“Although to penetrate i nto the intimate

mysteries of nature and thence to l earn the true causes of phenomena i s not allowed to us, nevertheless it can happen that a certai n fictive hypothesis may suffice for explaining many phenomena. ”

Leonhard Euler (A mesma das Aula 9, 11, 12,13)

“... the study of Euler’s works will remain the best for different fields of mathematics and nothing else can replace it.”

Friedrich Gauss

Documents

4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações ...1 anterior. Ou seja, o fenômeno de condu ção do calor numa barra unimensional: Mas agora com condições de contorno