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DIFERENCIAS FINITAS
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
• Esquema de los cinco puntos
• Métodos Seudoevolucionarios
• Dominios Arbitrarios
• Ecuación Autoadjunta
• Esquema de integración en caja
• Derivadas cruzadas
• Estabilidad
2/27
Problema Base
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
2 2
2 20, 0 , 0x y
u ux L y L
x y
1( , 0) ( )u x y f x
1( 0, ) ( )u x y g y
2( , ) ( )yu x y L f x
2( , ) ( )xu x L y g y
3/27
Discretización
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
1 1 1 1
2 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u
x y
i N j N
0 1( )i iu f x
0 1( )j ju g y
2 ( )yiN iu f x
2( )xN j ju g y
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Condición de Borde de Neumann
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
2( , ) ( )y
ux y L f x
y
1 1
22
y yiN iN
i
u uf x
y
1 1 1 1
2 2
2 20,
0 , 0
i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u
x y
i N j N
5/27
Solución
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de los cinco puntos
Sistema algebraico lineal:
•Métodos directos (Eliminación Gauss)
•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)
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Problema Parabólico
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
2 2
2 2, 0 , 0 , 0x y
u u ux L y L t
x y t
1( , 0, ) ( )u x y t f x
1( 0, , ) ( )u x y t g y
2( , , ) ( )yu x y L t f x
2( , , ) ( )xu x L y t g y
( , , 0) ( , )u x y t h x y
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Relación
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
( , , ) :
u x y t
solucion del problema eliptico
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Solución Numérica
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Métodos Seudoevolucionarios
• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física
• No interesa precisión t grande métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento
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Primera Alternativa:
Rectificación Dominio
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Dominios Arbitrarios
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Segunda Alternativa:
Molécula No Rectangular
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Dominios Arbitrarios
x y h
0E E N N W W S S o ou u u u u
2 EE
E W
s
s s
2 SS
N S
s
s s
2 NN
N S
s
s s
2 WW
E W
s
s s
oE
N
S
W
sS h
sN h
sW h sE h
o E N W S
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Tercera Alternativa:
Coordenadas Adaptadas Al Contorno
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Dominios Arbitrarios
• Definición de
coordenadas
adaptadas al contorno
• Transformación de la
ecuación diferencial
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Problema Base
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Ecuación Autoadjunta
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
, 0, ( , ) 0
u ua x y b x y f x y u g x y
x x y y
a b f x y
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Discretización
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Ecuación Autoadjunta
x y h
2
1 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h g
1/ 2E i ja 1/ 2N ijb 1/ 2W i ja 1/ 2S ijb
2
o E N W S ijh f
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Distribución
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Ecuación Autoadjunta
2 2
2 2
u a u u b ua b fu g
x x x y y y
Si gradientes de a ó b altos
problemas de estabilidad numérica
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Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de Integración en Caja
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
, 0, ( , ) 0
u ua x y b x y f x y u g x y
x x y y
a b f x y
Ecuación Autoadjunta
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Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de Integración en Caja
Integración
/ 2
/ 2 / 2 / 2
N
S E W
B
s h
s h x s h x s h
ua dxdy
x x
u ua a dy
x x
E
N
S
W
sS h
sN h
sW h sE h
/2
/2E
E
E o
x s hEx s h
u uua a
x s h
17/27
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Esquema de Integración en Caja
Discretización
2
1 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h g
/ 22 E
N SE i s j
E
s sa
s
/ 22 N
E WN ij s
N
s sb
s
/ 22 W
N SW i s j
W
s sa
s
/ 22 S
E WS ij s
S
s sb
s
2
4
E W N S
o E N W S ij
s s s sh f
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Problema Base
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Derivadas Cruzadas
2 2 2
2 2
2
( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u u
a x y b x y c x yx x y y
b ac
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Discretización
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Derivadas Cruzadas
4
1
1i
i
E
N
S
W
NE
SE
NW
SW
o
2
2
1[
]
NE NE N E o
NW N NW o W
SW o W S SW
SE E o SE S
u
x y
u u u uh
u u u u
u u u u
u u u u
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Selección de Coeficientes
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Derivadas Cruzadas
Aproximación de
segundo orden:
, 0 :Supongase a c
( ) ( ) 0SE NW NE SW
( ) ( ) 0SE NW NE SW
1) 0 : , 0
2SE NW NE SWI b
1) 0 : 0,
2SE NW NE SWII b
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Problema Base
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
2 2
2 2
u u u uU V
x y x y
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Simplificación
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
2
2, 0 ,
(0) , ( )o L
d u duU x L
dx dx
u u u L u
Solución cerrada:
( ) 1
1
xPe
Lo
Pe
L o
u x u e
u u e
ULPe
23/27
Esquema Centrado
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
1 1 1 1
2
2
2
i i i i iu u u u uU
x x
Solución cerrada:
1 / 21
1 / 2
1 / 21
1 / 2
i
i o
N
L o
Pg
Pgu u
u u Pg
Pg
U xPg
24/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
100
20
5
Pe
N
Pg
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
u r
ela
tivo
Analítica Esquema centrado
25/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
100
100
1
Pe
N
Pg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
u r
ela
tivo
Analítica Esquema centrado
26/27
Esquema con Upwinding
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
1 1 1
2
2i i i i iu u u u uU
x x
Solución cerrada:
1 1
1 1
i
i o
N
L o
Pgu u
u u Pg
U xPg
27/27
Estabilidad
Diferencias finitas – Problemas Elípticos
Estabilidad
100
20
5
Pe
N
Pg
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
u r
ela
tivo
Analítica Esquema con upwinding
