PERSAMAAN&PERTIDAKSAMAANNILAIMUTLAK

PERTEMUANIV

DosenPengampu:NurEdy,PhD.

PERSAMAANDENGANNILAI MUTLAK

Nilai Mutlak

• Nilai mutlakatau nilai mutlakadalah suatukonsepdalam matematikayangmenyatakanselalupositif.

• Secara matematispengertian Nilai mutlakdarisetiap bilangan realxyangditulis dengan simbol|x|,ialah nilai positif dari nilai xdan -x.

• Dlm ilmu ukur,nilai mutlakdpt dibayangkan sbgjarak (tak berarah).

•

Nilai Mutlak

• Perhatikan penjelasanuntuk jarak pada garisbilangan seperti berikut ini

Nilai Mutlak• Jarak dari titik P=3ke titik C=0adalah 3- 0=3• Jarak dari titik Q=-3ke titik C=0adalah 0- (-3)=3• Untuk a>0,jarak dari titik A=ake titik C=0adalah a-0=a

• Untuk b<0,jarak dari titik B=ake titik C=0adalah a-b=-b

• Untuk a>0,jarak dari titik C=0ke titik C=0adalah 0.• Kesimpulan yangdidapat :

Jarak xke 0=x,jikax0=-x,jikax0.

Nilai MutlakDefinisi• Untuk setiap bilanga realx,Nilai mutlakdari xditulis |x|dan

• Arti geometri|x|adalah jarak dari titik xke titik 0.

Nilai Mutlak

Sifat Nilai Mutlak

Sifat Nilai Mutlak

• Turunan Sifat

Sifat Nilai Mutlak

• Ingat kembali

Sifat Nilai Mutlak

• Rumuskuadratutkpenyelesaian𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐=0

Persamaan Nilai Mutlak

Contoh:–5|x – 7|+2=–13.

PembahasanKumpulkan simbol nilai mutlakberada pada saturuas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkandiruas yanglain.

Persamaan Nilai Mutlak

• Sekarangperhatikan bahwax – 7merupakan“X”pada sifatpersamaan nilai mutlak,sehingga

• Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikanbahwahimpunan selesaiannya adalah {4,10}.

Persamaan Nilai Mutlak

• Tentukan himpunan penyelesaian daripersamaan:|5– 2/3x|– 9=8.

Persamaan Nilai Mutlak

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

• JikaAdan Badalah bentuk-bentuk aljabar,maka |AB|=|A||B|.

• Perhatikan bahwajikaA =–1maka menurutsifat tersebut|–B|=|–1||B|=|B|.Secaraumum,sifat tersebutberlaku untuksembarang konstanta A.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Contoh

Tentukan penyelesaian dari persamaan:|–2x|+5=13.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

• Diperoleh selesaian dari persamaan tersebutadalahx =–4atau x =4.

PERTIDAKSAMAANNILAIMUTLAK

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

• Pertidaksamaan nilai mutlakdapatdiselesaikan dengan menggunakan konsepdasar dari sifat persamaan mutlak.

• Persamaan |x|=5meminta kita untukmenentukan semua bilangan x yangmemilikijarak 5dengan titik 0,

• Pertidaksamaan |x|<5meminta kita untukmenentukan semua bilangan x yangmemilikijarak kurang dari 5dengan titik 0.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

• Seperti ilustrasidari gambar diatas,selesaian daripertidaksamaan |x|<5adalah x >–5dan x <5,yangjuga dapat dituliskan ke dalam pertidaksamaan gabungan–5<x <5.

• Ilustrasiini dapat digunakan untuk membangun konsepsifat pertidaksamaan nilai mutlakberikut.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak• JikaXadalah suatu bentuk aljabardan kadalah bilangan realpositif,maka |X|<kakanmengimplikasikan –k<X<k.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

Contoh:

Tentukan himpunan selesaian daripertidaksamaan-pertidaksamaan:

|3x +2|/4≤1dan |2x – 7|<–5.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

• Sehingga,himpunan selesaian dari pertidaksamaan |3x +2|/4≤1adalah {x |–2≤x ≤2/3,x bilangan real}.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Kurang Dari”

Selanjutnya,perhatikan pertidaksamaan|2x – 7|<–5.

Karena nilai mutlakdari setiap bilangan adalahpositif atau nol,maka himpunan selesaian daripertidaksamaan tersebutadalah himpunankosong,Ø.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

• Untuk pertidaksamaan nilai mutlak“lebihdari”,perhatikan |x|>2.

• Sekarang,kita diminta untuk menentukansemua bilangan yangmemiliki jarak lebih dari2dengan titik 0.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

• Seperti yangditunjukkan oleh gambar dibawah,selesaiannyaadalah semua bilangan dalam intervalsebelah kiri dari –2,atau disebelah kanan 2.

• Interval-intervaltersebutsalingdisjoindan simetristerhadaptitik 0.

• Sehingga,selesaian dari |x|>2dapat dituliskan sebagai x <–2atau x >2.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak• JikaXadalah suatu bentuk aljabardan kadalah bilangan realpositif,maka|X|>kakan mengimplikasikan bahwaX<–katau X>k.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

ContohTentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan:

–1/3|3+x/2|<–2dan |5x +2|≥3/2.

Pembahasan Perhatikan bahwa–1/3|3+x/2|<–2merupakanpertidaksamaan kurang dari.Tetapi jikakitamengalikan kedua ruas dengan –3,kita harus membaliktanda pertidaksamaannya menjadi lebih dari.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

–1/3|3+x/2|<–2dan |5x +2|≥3/2 (kalikan -3)

Pertidaksamaan Nilai Mutlak“Lebih Dari”

• Sehingga himpunan selesaian daripertidaksamaan tersebutadalah {x |x <–18atau x >6,x bilangan real}.

• Karena nilai mutlakdari semua bilanganadalah positif maka selesaian dari |5x +2|≥3/2adalah semua bilangan real.

• Sehingga himpunan selesaiannya adalahhimpunan bilangan real.

NextWeek

• Permutasi dan kombinasi