Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 1  4. SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE 4.1 Uvod Umesto sistema sa kontinualno respoređenom masom, razmatraju se sistemi sa diskretno raspoređenom masom. Na taj način, u matematičkim razmatranjima diferencijalne i integralne jednačine zamenjene su algebarskim jednačinama. Za rešavanje problema dinamičkih sistema potrebno je poznavanje položaja masa sistema u svakom trenutku vremena. Nezavisni parametri pomoću kojih su u svakom trenutku vremena određeni položaji masa sistema predstavljaju stepene slobode dinamičkog sistema. Masa u ravni je određena sa tri parametra pomeranja: dve translacije i jedna rotacija, dok je masa u prostoru definisana sa šest paramera pomeranja: tri translacije i tri rotacije.

Broj ukupnih parametara pomeranja dinamičkog sistema može smanjiti usvajanjem određenih pretpostavki, i to pre svega:

Pretpostavka zanemarivanja pomeranja koja su mala u odnosu na ostala (posledica pretpostavke zanemarenja aksijalnih deformacija)

Pretpostavka tačkaste mase

Slika 4.1: Dominantna pomeranja pri oscilacijama

Slika 4.2: Uticaj pretpostavke na broj stepeni slobode sistema

Tačkasta masa – Pretpostavlja se da je jedna tačka je nosilac mase. Kod ovakve mase

zanemaruje se rotacija mase. Uvođenjem pojma tačkaste mase smanjuje se ukupan broj stepeni slobode za broj razmatranih rotacija.

Dinamička rešetka sistema - Formira se tako što se na mestima svih čvorova, uklještenja i

masa nosača postave zglobovi.

Broj stepeni slobode pomeranja dinamičkog sistema - Broj stepeni slobode pomeranja dinamičkog sistema određen je brojem mogućih nezavisnih pomeranja i obrtanja koncentrisanih

2  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  

masa sistema. Predstavlja broj parametara koji određuju položaj svih masa u svakom trenutku vremena (kretanje masa sistema). Ako je poznato kretanje masa sistema, mogu se odrediti i sve inercijalne sile jednog dinamičkog sistema.

Određen je minimalnim brojem prostih elemenata (veza) koje treba dodati dinamičkoj rešetki sistema, da bi se sprečilo pomeranje svih čvorova u kojima se nalaze koncentrisane mase.

Slika 4.3: Određivanje broja stepeni slobode kod ramovskog i grednog sistema

Slika 4.4: Određivanje broja stepeni slobode

Primeri za vežbanje Odrediti broj stepeni slobode dinamičkog sistema, pretpostavljajući da je zanemarena aksijalna deformacija štapova.

prosti element

prosti element

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 3  4.2. Slobodne neprigušene oscilacije Diferencijalne jednačine kretanja

Razmatra se sistem sa n stepeni slobode, koji osciluje slobodnim neprigušenim oscilacijama, a kretanje masa sistema određeno je parametrima , 1, 2, … ,  . Na svaku masu deluju odgovarajuće restitucione i inercijalne sile 1       0           1, 2, … ,

2                1, 2, … ,

1 3                   1, 2, … ,

4                1, 2, … ,

Slika 4.5: Sistem sa više stepeni slobode Pa su dobijene diferencijalne jednačine kretanja sistema sa n stepeni slobode:

5       0       1, 2, … ,

ili matrično: 1         2         5           6                              

Rešenje problema slobodnih neprigušenih oscilacija

Ako važi pretpostavka sinhronih i sinfaznih oscilacija harmonijskog tipa, da su sve frekvencije i fazni uglovi oscilovanja masa jednaki), rešenje diferencijalnih jednačina dobija se u obliku:

7             sin   1, 2, … ,

Pa je drugi izvod po vremenu:

sin        1, 2, … ,

5 , 7          0       1, 2, … ,

Odnosno u matričnom obliku i usvavajući da je sin 1 :

    Odnosno:

1

Gde su:    … vektor amplituda

4  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  

0

0

matrica masa sistema

matrica fleksibilnosti sistema

1 0

1

0 1

jedinična matrica

Dobijen je homogen sistem algebarskih jednačina. Uslov za netrivijalno rešenje sistema je:

det1

Iz prethodne jednačine koja se zove karakteristična jednačina sistema (jednačina iz koje se određuju svojstvene vrednosti), a u dinamici konstrukcija frekventna jednačina sistema, iz koje se određuju kružne frekvencije (spektar frekvencija):

   , , , …    Pri čemu je

     , …  

Ako se razmatranja sprovode preko matrice krutosti ( ), dobija se:

det  Dinamička matrica - Dinamička matrica je matrica određena proizvodom matrice fleksibilnosti i

matrice masa:  

Frekventna jednačina sistema sa više stepeni slobode – Jednačina čija rešenja predstavljaju kružne frekvencije sistema.

det1

       , , , …   

Sinhrone i sinfazne oscilacije - Sve mase osciluju istom frekvencom i istim faznim uslovom. (Sve mase će istovremeno prolaziti kroz ravnotežni položaj).

Forma (oblik) oscilovanja – Položaj masa pri slobodnom kretanja sistema određuju formu oscilovanja sistema.

Glavna forma (oblik) oscilovanja r – Forma oscilovanja kada sve mase osciluju samo jednom kružnom frekvencijom  iz spektra frekvencija.

Svojstvo ortogonalnosti oblika oscilovanja – Glavne forme oscilovanja imaju svojstvo ortogonalnosti u odnosu na matricu masa:

       

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 5  4.3 Iterativni postupak određivanja kružnih frekvencija Stavovi o konvergentnosti iterativnih postupaka za određivanje kružnih frekvencija Ako postoji niz vektora  , , …  izvedenih iz iterativnog obrasca:

  gde je DM dinamička matrica, tada će granična vrednost količnika dva uzastopna vektora predstavljati najveću sopstvenu vrednost dinamičke matrice, dok će granična vrednost samog vektora Bm predstavljati amplitudu prvog tona.

lim  1              lim  

Ako postoji niz vektora  , , …  izvedenih iz iterativnog obrasca:

  gde je M matrica masa, a K matrica krutosti, tada će granična vrednost količnika dva uzastopna vektora predstavljati najmanju sopstvenu vrednost matrice M-1· K dok će granična vrednost samog vektora Bm predstavljati amplitudu najvišeg tona.

lim               lim  

Primer 4.1 Odrediti kružne frekvencije slobodnih oscilacija proste grede sa jednom, dve i tri koncentrisane mase. Ukupna masa grede je  , odnosno raspodeljene mase   ⁄ . Dobijene rezultate uporediti sa tačnim vrednostima dobijenim za slučaj kontinualno raspoređene mase. Rešenje: Kontinualno raspoređene mase

9.8696

4 39.4784

9 88.8264

6  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  Diskretno raspoređene mase

a) Jedna koncentrisana masa

24     

4·

10        

9.7980

Greška Δ=0.73%

b) Dve koncentrisane mase

det1

8486

    7486

    

4863⁄1

det 8 7

7 8 0

15 1 0      151

. Greška Δ=0.11%

. Greška Δ=3.28%

Drugi način

Simetrične oscilacije Antimetrične oscilacije

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 7  

5 162

                                                                 486

    

39.8590                                                      

38.1838   

   c) Tri koncentrisane mase

Simetrične oscilacije

48    

5.5192

    24 

8 · 192 · 1

41

8

4 81

2 · 4 5.52 · 4 8

18

1192

0

16 3.5 0      15.77820.2218 

9.8666    ∆ 0.03%    

83.2168    ∆ 6.32%

Antimetrične oscilacije      

     . Greška Δ=0.73%

Analiza grešaka Δ(%) jedna masa dve mase tri mase Tačna vrednostω1 0.73% 0.11% 0.03% 9.8696ω2 - 3.28% 0.73% 39.4784ω3 - - 6.32% 88.8264

Primer 4.2 Odrediti kružnu frekvenciju sistema. Prvi način:

8  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  

16.6666            1

4.0825

Drugi način:

6.0      8.0     10.6666 

6.0  1 8.0 

8.0  10.6666  1 0     

           6.0 8.08.0 10.6666 0

16.6666 0       016.6666            4.0825

 Primer 4.3

Odrediti sve kružne frekvencije i glavne oblike oscilovanja sistema.

11ω 0

01ω

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 9  

                          12.31      14.01     31.87

                 1.5 · 12.31 2.5 · 14.011.5 · 14.01 2.5 · 31.87 0

98.14 735.1485 0          89.96898.1711              14.9097

49.4737

Određivanje glavnih oblika oscilovanja

1ω

A A 0

A1ω

A 0

Prvi glavni oblik oscilovanja     14.9097

71.5039A 35.025A 021.015A 10.2939A 0     1.0 2.0415   1.0

2.0415  

Drugi glavni oblik oscilovanja     49.4737

10.2939A 35.025A 021.015A 71.5039A 0    1.0 3.4025   3.4025

1.0  

10  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  4.4 Prinudne neprigušene oscilacije Prinudne sile su harmonijske, sinhrone i sinfazne funkcije Osilacije su sinhrone i sinfazne 1       0           1, 2, … ,

2                        1, 2, … ,

3                  1, 2, … ,

3n jednačina sa 3n nepoznatih

Pretpostavlja se rešenje u obliku:

sin          1, 2, … ,

Slika 4.6: Sistem sa više stepeni slobode i prinudnim silama Pa je:

sin           1, 2, … ,

1   

2 , 3  

  

Ako se uvede oznaka , tako da je:

   sin

Sledi sistem algebarskih jednačina

sin 0

   1 

      

                               

Pa se uticaji u konstrukciji dobijaju superpozicijom uticaja usled inercijalnih sila i prinudne sile:

 … 

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 11  Primer 4.4 Metodom inercijalnih sila odrediti dijagram dinamičkih momenata.

Podaci: 0.1 ;    

0.1231     0.0470

  0.1580

0.1    0.0047     0.1   0.0158    

0.1231 1 0.0470

0.0470 0.1580 12

0.0047

0.0158

0.1231 1 0.04700.0470 0.1580 1 2⁄

0.00470.0158

   0.00790.0473

0.0079 0.0473

Primer 4.5

Metodom inercijalnih sila odrediti dijagram dinamičkih momenata ako je kružna frekvencija prinudne sile 0.5  . Prvi način (ceo nosač)

36.0

1  · 36

16  

0.5 112

36.0

1 36 144 360

3

12  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  

· 3.0 3.0 4.0

Drugi način (polovina nosača)

72.0

36.0

1

2

72 144

2

360

6

· 3.0 6.0

64.0

Primer 4.6 Primenjujući postupak sa inercijalnim silama, odrediti i nacrtati dijagram spektra odgovora S, za zadato dimamičko opterećenje. Dijagram odrediti u diskretnim tačkama za vrednosti

0.0;    0.5;   1.0;    1.5;    2.0;    2.5;    3.0;    3.5;    4.0;    5.0

3416.67        

12.4 · 10     

          

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 13  

2.4 · 10 1

0

Kružna frekvencija 0.0

∞ 1

             | |     0

Kružna frekvencija 0.5

416.670.5

1667.67 1

2.25 · 10

1.06667              | |   | 1.06667 1 | 0.16 · 10

Kružna frekvencija 1.0

416.671.0

416.67 1

1.8 · 10

1.3333              | |   | 1.3333 1 | 0.8 · 10

i ω | | 1  0.0  0.0000 x Fo 2  0.5  0.1600 x Fo 3  1.0  0.8000 x Fo 4  1.5  3.0857 x Fo 5  2.0  ∞ 6  2.5  6.6667 x Fo 7  3.0  4.3200 x Fo 8  3.5  3.5636 x Fo 9  4.0  3.2000 x Fo 10  4.5  2.9908 x Fo 11  5.0  2.8571 x Fo 

14  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  Primer 4.7 Analiza dinamičkih sistema

4.5 Modalna analiza Sistem simultanih diferencijalnih jednačina, koji definiše dinamičko ponašanje diskretnog sistema sa više stepeni slobode, može se transformisati u sistem međusobno nezavisnih diferencijalnih jednačina primenom modalne analize. Svaka od dobijenih nezavisnih jednačina se rešava zasebno, a superpozicija rešenja tih jednačina daje dinamički odgovor sistema. Matrična jednačina dinamičke ravnoteže za diskretni dinamički prigušen sistem sa n stepeni slobode glasi:

1       , gde su: , ,   −  matrica masa, matrica prigušenja i matrica krutosti, , ,   −  vektor ubrzanja, vektor brzine i vektor pomeranja čvorova, ,   −  vektor spoljašnjeg opterećenja.

Pretpostavlja se da se vektor opterećenja može predstaviti proizvodom ,  g , gde je:

  − vektor opterećenja koji određuje distribuciju sila, g   − funkcija koja definiše zavisnost sila od vremena.

  

Vektor pomeranja y izraziće se u obliku linearne kombinacije amplituda svojstvenih formi oscilacija, tj. u obliku linearne kombinacije amplituda pomeranja pri pojedinim tonovima:

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 15  

2     ,     

gde je modalna matrica, matrica svojstvenih vektora:

   … …     

dobijenih iz jednačine neprigušenih svojstvenih oscilacija:

        odnosno  

Kako je matrica nezavisna od vremena, sledi da su prvi i drugi izvod po vremenu:

                       

Ako jednačina (1) pomnože sa leve strane matricom i iskoriste prethodno dobijeni izrazi za izvode: 3         

gde su uvedene oznake:

g

Matrice , su dijagonalne matrice, što je posledica ortogonalnosti svojstvenih oblika:

0    0        

Dijagonalnost matrice zavisi od prirode sila prigušenja i u opštem slučaju matrica nije dijagonalna. Ako se pretpostavi da je matrica prigušenja linearna kombinacija matrice masa i matrice krutosti :

 

tada je:

pa je i matrica dijagonalna matrica, a matrična jednačina (3) može da se predstavi sistemom nezavisnih diferencijalnih jednačina:

       1,2, …       

Koeficijenti , , su elementi na dijagonalama matrica , , , a je element vektora spoljašnjeg opterećenja. Na osnovu uvedene transformacije može se zaključiti da je:

   

Ako se primeni analogija sa jednim sistemom slobode, onda je:

2

 

pa se dobijaju nezavisne diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Svaka od njih predstavlja jednačinu oscilovanja sistema sa jednim stepenom slobode koju je moguće jednostavno rešiti:

4     2      1,2, … ,   

Nakon određivanja svih , na osnovu jednačine (2) može se dobiti i traženo rešenje , . Početni uslovi su obično zadati u osnovnom koordinatnom sistemu, pa je za primenu ovih uslova

16  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  potrebno prethodno ih transformisati u sistem glavnih koordinata.

          

          

Postupak određivanja svojstvenih vrednosti kod sistema sa velikim brojem stepeni slobode predstavlja najskuplju fazu u dinamičkoj analizi. Sa inženjerske tačke gledišta, najčešće nisu svi svojstveni oblici podjednako bitni za odgovor sistema. Obično najveći uticaj na rezultate imaju najniži tonovi.

Iz tih razloga, u primenom modalne analize može se redukovati osnovni sistem tako što se umesto n tonova u proračunu uzima u obzir samo m najnižih tonova ( ). Na taj način je smanjen ukupan broj jednačina sa n  na m.

Za svaki i-ti ton oscilacija, koji se uzima u obzir u proračunu, postoji jedna jednačina oblika (4). Rešavanjem tih jednačina dobija se pomeranje u glavnim koordinatama , pa je pomeranje u osnovnim koordinatama:

       

Za dobijanje svih svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora potrebno je izvršiti veliki broj numeričkih operacija. Izborom samo određenih svojstvenih vektora (odnosno formi oscilovanja) u dinamičkom proračunu smanjuje se obim računa. Izbor formi zavisi od pretpostavljenog dominantnog oblika oscilovanja, kao i od dinamičkog opterećenja, s obzirom na činjenicu da forme oscilovanja sa frekvencijom koja je bliska frekvenciji opterećenja najviše utiču na konačni odgovor sistema. Pri tome treba imati u vidu da svojstveni vektori koji su ortogonalni na vektor opterećenja ne utiču na ponašanje sistema, bez obzira što im se odgovarajuća svojstvena frekvencija može poklopiti sa frekvencijom opterećenja. Pri korišćenju svojstvenih vektora, greška aproksimacije opterećenja F je u direktnoj vezi sa greškom aproksimacije odgovora sistema, pa se na osnovu prve greške procenjuje i kvalitet rešenja za odgovor konstrukcije. Modalna analiza -

Matematički razmatrano, na ovaj način je izvršena transformacija iz jednog sistema koordinata (osnovni sistem ), u drugi sistem koordinata, sistem glavnih (normalnih) koordinata .

Dijagonalizacija Modalna matrica – Matrica svojstvenih vektora.

   … …  

Glavne (normalne) koordinate – .

Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić 17  Primer 4.8 Ako je poznata matrica krutosti sistema i dijagonalna matrica masa , primenom modalne analize odrediti odgovor neprigušenog sistema:

1. za zadate početne uslove,

2. za zadato dinamičko opterećenje sin     0.7 .

600 600 0600 1800 12000 1200 3000

   1.0

1.52.0

     0.50.40.3

       0.00.90.0

        3.02.01.0

 Rešenje:

1. Iz jednačine potrebno je prvo odrediti svojstvene vektore     i 1,2,3 ,

 1.0

0.64850.3018

        1.0

0.60660.6790

          1.0

2.54192.4396

  

odnosno modalnu matricu :    1.0 1.0 1.0

0.6485 0.6066 2.54190.3018 0.6790 2.4396

   

Da bi se dobile dijagonalne matrice i treba sprovesti množenja:

  382.3494

2384.801548019.5680

         1.8131

2.474022.5957

Nezavisne diferencijalne jednačine imaju oblik:   0            1,2,3

 

a njihovo rešenje je:   cos sin   . Kružne frekvencije sistema su: 14.5217     31.0477     46.0995    ,  

a početne uslove    i   treba transformisati u sistem glavnih koordinata:

 0.50.40.3

0.59030.10970.0194

          0.00.90.0

4.82883.31011.5187

 

Odgovor sistema u sistemu glavnih koordinata ima oblik: 0.5903 cos 0.3325sin0.1097 cos 0.1066sin0.0194 cos 0.0329sin

  

Kad se iskoristi veza između osnovnog sistema i glavnog sistema koordinata:    , dobija se traženi odgovor sistema usled zadatih početnih uslova:

0.5 cos 14.5217 0.1930sin 14.52170.4 cos 31.0477 0.3641sin 31.04770.3 cos 46.0995 0.0924sin 46.0995

2. Kad postoji prinudna sila, diferencijalne jednačine postaju nehomogene, a slobodni član je određen preko izraza:

1 0.6485 0.30181 0.6066 0.67901 2.5419 2.4396

3.02.01.0

4.59891.10780.3558

18  Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo – dr Ratko Salatić  Diferencijalne jednačine oblika :             1,2,3   

imaju rešenje: 1

sin

0.7 10.1652

114.5217 10.1652

4.59891.8131 sin 0.02358 sin

131.0477 10.1652

1.10782.4740

0.00052

146.0995 10.1652

2.355822.5957 sin 0.00001 sin

0.023580.000520.00001

sin  

Odgovor sistema u osnovnim koordinatama je:    0.024110.014960.00678

sin 10.1652