VIŠA ELEKTROTEHNIČKA ŠKOLAVojvode Stepe 283Beograd

SEMINARSKI RAD

IZ MATEMATIKE II

Tema: Stepeni redovi

Velović Veliša

U Beogradu, juna 2007. godine

FUNKCIONALNI REDOVI

STEPENI REDOVI

Funkcionalni red oblika

gde je za svako , zove se stepeni ili potencijalni red.

Vidimo da su članovi potencijalnog reda funkcije . Realni brojevi su koeficijenti potencijalnog reda.Red

,

gde je fiksiran broj, je takođe stepeni red. Ovaj red se smenom svodi na oblik

pa je dovoljno posmatrati samo ove redove.

Stepeni red je i svaki drugi red , koji se od prvobitnog reda razlikuje za konačno

mnogo početnih članova. Nadalje posmatramo redove sa , tj.

Očigledno svaki stepeni red konvergira tački jer se svodi na koeficijent . Međutim, postoje stepeni redovi koji nisu konvergentni ni za jedno .Najpoznatiji kriterijum za utvrđivanje kovergencije potencijalnih redova je Abelov.

Teorema 1 (Abelov stav) : Važe sledeća tvrđenja.

1. Ako je stepeni red konvergentan za neko , on je apsolutno konvergentan za

svako za koje je

2. Ako je stepeni red divergentan za neko , on je divergentan za svako za

koje je .

Dokaz:

1. Prema pretpostavci, brojni red je konvergentan i, prema teoremi da je red

konvergentan i tada je , za njegov opšti član važi . Zato postoji konstanta

takva da je za svako . Kako je , dalje je

.

Za svako fiksirano x i , red je geometrijski red koji konvergira za ,

tj. . Tada za konvergira red i red .

Dakle, prema definiciji o apsolutnoj konvergenciji, posmatrani stepeni red apsolutno

konvergira.

2. Pretpostavimo suprotno, da je red konvergentan za neko za koje je , tj.

. Te prema prethodnom tvrđenju, red je tada konvergentan za svako x

za koje je , tj. , što je suprotno pretpostavci teoreme.

Umesto Abelovog stava, u praksi se mnogo češće koristi njegova posledica.

Teorema 2: Za svaki red postoji broj R , takav da važi:

1. red apsolutno konvergira za ;

2. red divergira za .

Broj R, čiju egzistenciju obezbeđuje prethodna teorema, zove se poluprečnik ili radijus konvergencije. Ako je R>0, interval (-R, R) je interval konvergencije, tj. oblast konvergencije reda.

Odmah primećujemo da prethodne dve teoreme ne kazuju ništa o konvergenciji rada za ,

tj. . Međutim, tada se red svodi na brojne redove

i ,

pa treba ispitati njihovu konvergenciju prema nekom drugom kriterijumu o konvergenciji redova.Poluprečnik konvergencije se najčešće određuje primenom Košijevog (Cauchy) ili

Dalamberovog (D’Alambert) kriterijuma na sledeći način.

Za red formiramo količnik

Prema Dalamberovom kriterijumu, za svako konkretno , brojni red koji se dobija iz

konvergira ako je

Prema teoremi 2, za radijus konvergencije uzimamo

.

Analogno, primenjujući Košijev kriterijum, dobijamo

Primer 1: Ispitati konvergenciju redova:

Dati redovi su stepeni, pa određujemo njihov radijus konvergencije. Primenjujemo formulu

.

U slučaju prvog reda je , pa je:

Prema teoremi 2, red je divergentan za svako .

U slučaju drugog reda je , pa je:

,

I red konvergira za svako .

Primer 2: Ispitati konvergenciju reda:

Kako je , prema teoremi 2 je

, pa je interval konvergencije .

Za x = 1 dati red postaje harmonijski red. Za x = -1 dati red je konvergentan alternativni red, te zaključujemo da posmatrani red konvergira za svako .

Primer 3: Ispitati konvergenciju reda

.

Kako je , iz teoreme 2 sledi:

Pa je interval konvergencije .Za x = 1 dobija se konvergentan hiperharmonijski red sa p = 2. Za x = -1 dobija se alternativni red

. Ovaj red konvergira jer apsolutno konvergira kao hiperharmonijski red.

Dakle, posmatrani red konvergira za svako .

Primer 4: Ispitati konvergenciju reda

.

Kako je , primenom Košijevog kriterijuma dobijamo:

,

Pa je interval konvergencije .Za x = 2 dobija se konvergentan alternativni red, a za x = -2 divergentan harmonijski red, tako da posmatrani red konvergira za svako

Uniformna konvergencija stepenih redova

Teorema 3 :

Stepeni red je uniformno konvergentan na segmentu [-r, r] , gde je 0 < r < R proizvoljan broj i

R radijus konvergencije.

Dokaz: Za i

Za svako . S druge strane, za x = r < R posmatrani red apsolutno konvergira prema

teoremi 2, tj. konvergira brojni red . Pa prema teoremi o uniformnoj konvergenciji

(Weierstrassov kriterijum) sa , red uniformno konvergira.

Teorema 4: Ako je R poluprečnik konvergencije , zbir stepenog reda

je neprekidna funkcija na segmentu .

Dokaz: neka je . Tada je . Prema teoremi 3, red uniformno

konvergira na [-r, r], pa i na . Kako su neprekidne funkcije za svako , prema

teoremi uniformne konvergencije ( za neprekidnu funkciju i konvergentan red

) sledi da je ovo tvrđenje tačno.

Teorema 5:

Ako je R poluprečnik konvergencije , stepeni red na segmentu može

da se integrali i diferencira proizvoljan broj puta. Pri tome, svi dobijeni redovi imaju isti poluprečnik konvergencije R. Dokaz ove teoreme se izvodi uz pomoć teorema uniformne konvergencije.

Konvergencija stepenog reda i redova koji iz njega nastaju integracijom i diferenciranjem

može da se razlikuje u tačkama . Na primer red može da bude divergentan u , a

red koji se dobija integracijom konvergentan i obrnuto.

Primer 4: Ispitati konvergenciju i naći zbir reda

.

Za t = -x, red postaje .

Dobijeni red konvergira za sa zbirom .

Zato red konvergira za i ima zbir , tj.

Primer 5: Ispitati konvergenciju i naći zbir reda

Smenom t = -x, dati red postaje , što je red (prema teoremi 5.) koji konvergira za .

Zato ovaj red konvergira za . Prema teoremi 5, ovaj red može da se diferencira ’’član po član’’. Dobija se

Što je red sa zbirom dakle, za imamo

.

Integracijom poslednje jednakosti na intervalu [0, x] za x < 1 sledi

,

Pa je zbirna funkcija

Primećujemo da za x = R = 1 dati red konvergira, a red , koji se dobija iz datog reda

diferenciranjem, divergira. Zbog konvergencije datog reda, jednakost

važi i za x = 1. Tada je

Predstavljanje funkcija pomoću stepenih redova

Neka je (-R, R) sa interval konvergencije potencijalnog reda , tj.

Tada na (-R, R) postoji zbir reda koji glasi:

.

A prema teoremi 5., red može proizvoljan broj puta da se diferencira i integrali, pri čemu

dobijeni redovi konvergiraju na istom intervfalu (-R, R). Dakle, za svako postoje izvodi:

.

Sukcesivnim nalaženjem izvoda S’(x), S’’(x), itd., lako se uočava da je

za svako i svako . Kako svaki stepeni red konvergira u x = 0, to postoji i

, tj. za svako postoji

.

Sada se postavlja obrnuto pitanje. Ako je f(x) funkcija koja ima za svako , da li postoji

red oblika , koji na nekom intervalu (-R, R) konvergira baš ka funkciji f(x), tj.

f(x) = , .

Dokaz ove teoreme neće biti izvođen, ali je ona potrebna da bi se razumela teorema koja sledi:

Teorema 6:

Ako postoji red tako da važi f(x) = , tada je taj red jedinstven i glasi

Dokaz:

Pretpostavimo da važi f(x) = , . Kako su jednakosti i

f(x) = , iste, iz sledi za svako , tj.

.

Koeficijenti su jednoznačno određeni funkcijom f(x), pa je red jedinstven.

Prema prethodnoj teoremi, ako funkcija f(x) može da se predstavi potencijalnim redom, tada je taj red jedinstven i važi

.

Jednakost je beskonačni razvoj ili samo razvoj funkcije f(x) u okolini

tačke x = 0. Često se i za sam red kaže da je to razvoj funkcije f(x).

Teorema 6 očigledno polazi od pretpostavke da postoji tako da red može da bude

divergentan za svako , tako da pretpostavka nije ispunjena. Takođe, ako i postoji

tako da red konvergira na (-R, R), njegov zbir ne mora da bude funkcija f(x), nego neka

druga funkcija .

Zato sledeća teorema utvrđuje uslove pod kojima postoji razvoj .

Teorema 7:

Ako postoje brojevi i tako da za svako važi

tada funkcija f(x) može da se predstavi sa na segmentu [-r, r].

Dokaz ove teoreme je zasnovan na Tejlorovoj (Taylor) formuli za funkcije jedne nezavisno promenljive.Analognim razmatranjem i pod odgovarajućim uslovima, dolazi se do razvoja funkcije f(x) u okolini tačke ,

LITERATURA

1. D. S. Mitrović, J. D. Kečkić – Matematika II, ’’Iro’’ Građevinska knjiga, Beograd 1989.

2. Dr L. Stefanović, mr B. Ranđelović, mr M. Matejić – Teorija redova, Niš 2006.