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Kapitel 4
Taktische Planungsprobleme (Konfiguration und Dimensionierung)
Operations Management Kapitel 4 / 2(c) Prof. Richard F. Hartl
Zusammenhang der verschiedenen Ebenen
strategische Grundsatzentscheidungen
Konkretisierung und Umsetzung in der taktischen Planung durch Konfigurierungs- und
Dimensionierungs-entscheidungen
Bestmögliche Nutzung der konfigurierten Produktionsanlagen in der operativen Ebene
Operations Management Kapitel 4 / 3(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1 Konfiguration von Werkstattfertigungs-Produktionssystemen
starke Unterscheidung der zu bearbeitenden Aufträge(z.B. in der Teileproduktion im Maschinenbau):
Keine Anordnung der Arbeitssysteme nach dem Objektprinzipmöglich, da kein einheitlicher Materialfluss existiert
Anordnung nach dem Funktionsprinzip: Hier werden Arbeitssysteme, die gleichartige Funktionen (Operationen, Arbeitsgänge) durchführen können, räumlich in einer Werkstatt (Stanzerei, Dreherei, Galvanik) zusammengefasst.
Operations Management Kapitel 4 / 4(c) Prof. Richard F. Hartl
Werkstattproduktion
Aufträge müssen regelmäßig auf ihre Bearbeitung an einer Maschine oder auf den Transport zur nächsten Maschine wartenWartevorgänge führen zu (unerwünschten) Zwischenlagerbeständen von angearbeiteten Erzeugnissen Leerzeiten, wenn eine Maschine auf einen Auftrag wartet, weil dessen voriger Arbeitsgang in einer anderen Werkstatt noch nichtabgeschlossen ist oder weil er auf ein Transportmittel wartet.Gänzliche Verhinderung dieser unerwünschten Effekte nicht möglichMilderung der Effekte durch intelligente Einlastungsstrategien (operativ) und sinnvolle Anordnung der Werkstätten (taktisch)Typisches Konfigurationsproblem: (quadratisches) Zuordnungsproblem
Operations Management Kapitel 4 / 5(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1 (lineares) Zuordnungsproblem(linear assignment problem, LAP)
Das einfachste Optimierungsproblem der innerbetrieblichen Standortplanung ist das (lineare) Zuordnungsproblem.
Gegeben: n Maschinen (Aktivitäten, Arbeiter) n mögliche Standorte (Zeitpunkte, Projekte)cij ... Kosten des Betriebs von Maschine i an Standort j
Jede Maschine ist an einem Standort zu betreiben, wobei an keinem Standort mehr als eine Maschine betrieben werden darf. Die Gesamtkosten sind zu minimieren.
Operations Management Kapitel 4 / 6(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 1
3 Maschinen, 4 Standorte und folgenden Kosten cij
6107532013∞152i =111210131Maschine4321i \ j
j =Standort
Maschine 2 kann auf Standort 2 nicht betrieben werden - daher Kosten ∞
Operations Management Kapitel 4 / 7(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 1 - Dummy
Falls Anzahl Standorte ≠ Anzahl MaschinenHinzufügen von Dummymaschinen (-zeilen) oder Dummystandorten
(-spalten) mit Kosten Null (immer möglich)
00004Dummy610753
2013∞152i =111210131Maschine4321i \ j
j =Standort
Ein Standort bzw. eine Maschine, dem/der der Dummy zugeordnet wird, bleibt leer bzw. wird nicht aufgestellt.
Operations Management Kapitel 4 / 8(c) Prof. Richard F. Hartl
LP - Formulierung
1 wenn Maschine i auf Standort j betrieben wird, 0 sonst
xij =
Kosten: min1 1
→= ∑ ∑= =
n
iij
n
jij xcK
Nebenbedingungen: = 1 für i = 1,...,n ... jede Maschine 1× zuordnen
= 1 für j = 1,...,n ... genau 1 Masch. pro Standort
= 0 oder 1 für i = 1,...,n und j = 1,...,n
∑=
n
jijx
1
∑=
n
iijx
1
ijx
Operations Management Kapitel 4 / 9(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1.1 Formulierung als Transportproblem
Vergleich der LP-Formulierungen von TP und LAP ⇒
Jedes LAP kann als Spezialfall eines Transportproblems angesehenwerden, wobei jede Maschine als Anbieter mit "Kapazität" 1 und jeder Standort als Abnehmer mit „Nachfrage" 1 interpretiert wird.
Obwohl das Transportproblem grundsätzlich auch nicht-ganzzahligexij zulässt, ist sichergestellt, dass die optimale Lösung die Eigenschaft besitzt, dass genau n Variablen den Wert 1 besitzen und alle anderen Null sind. Damit erhält man eine zulässige Zuordnung.
Operations Management Kapitel 4 / 10(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 1 – LAP als TP
1111dj
100004161075312013∞1521111210131si4321i \ j
reduzierte Kostenmatrix:Es ist immer möglich zunächst in jeder Zeile bzw. Spalte von jedem Kostenkoeffizienten den kleinsten Kostenkoeffizienten dieser Zeile bzw. Spalte abzuziehen (dabei bleibt die optimale Lösung unverändert - nicht aber die Kosten)
-10-13-5
Operations Management Kapitel 4 / 11(c) Prof. Richard F. Hartl
Reduzierte Kostenmatrix
Dummy 4321
4321i \ j320
0
02
0
2∞
1050
1
0
7
Spaltenminimummethode liefert hier optimale Lösung(reduzierten) Kosten = Null
Die Maschinen 1, 2 und 3 werden auf Standort 2, 3 und 1 betrieben; Standort 4 bleibt frei (da ihm die Dummy-Maschine 4 zugeordnet wurde).Bei größeren Problemen muss man zumeist noch einige Schritte des MODI-verfahrens anschließen, um zur optimalen Lösung zu gelangen.
Operations Management Kapitel 4 / 12(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1.2 Ungarische Methode
Kuhn´s algorithmexaktes Verfahren
besteht aus mehreren Schritten:Schritt I: Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)Schritt II: Suche nach einer optimalen LösungSchritt III: Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthältSchritt IV: Generierung zusätzlicher Nullen – KostenreduktionSchritt V: Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes
Operations Management Kapitel 4 / 13(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1.2.1 Schritt I
Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)Von jedem Element einer Spalte wird das kleinste Element dieser Spalte abgezogen; Von jedem Element einer Zeile wird das kleinste Element dieser Zeile abgezogen; Wenn schon ein Element 0 ist, kann nichts abgezogen werden!Man erhält so eine Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte mindestens eine Null aufweist.
Operations Management Kapitel 4 / 14(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2
17,5128,59,513
1317,51484,5
5,51114,515,512
10,5510,516,516
125,591517,5 -0,5
-4,5 -8 -5-8,5 -5,5
⇒
⇒
13 7 0,50,5 6,5
211,5 8,5 0
7,5
5
7,5 6 6 0
0 5,50 7,512,5
8,5 1,5 0 127
12,5 6,5
11,5 8,5
6 6 0
2 0 5
600
7,5
0
5,5
7
12,5
12
7,50
8,5
0
1,5
7,5K = 4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5
= 32
Operations Management Kapitel 4 / 15(c) Prof. Richard F. Hartl
Schritt II
Suche nach einer optimalen Lösung
Man sucht eine Lösung, für die die Kostensumme den Wert Null annimmt, wo also genau eine Null in jeder Zeile und jeder Spalte auftritt (umrahmte bzw. schattierte Nullen, s.u.).
Falls das zutrifft, haben wir eine optimale Lösung gefunden.
Operations Management Kapitel 4 / 16(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 1 – nach Reduktion
0000152070∞21203
Optimale Lösung gefunden!
Suche eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig Nullen (möglichst genau eine Null) und umrahme (schattiere) eine Null dieser Zeile oder Spalte! – hier ist vorläufig eine Zuordnung erfolgt.Durchkreuze alle Nullen in dieser Zeile oder Spalte (sodass in jeder Zeile oder Spalte mit einer umrahmten Null alle anderen Nullen durchkreuzt sind). In dieser Zeile bzw. Spalte kann ja keine Zuordnung mehr erfolgen.Danach sucht man wieder eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig nicht-markierten Nullen, usw., bis keine Null mehr umrahmt werden kann.
Operations Management Kapitel 4 / 17(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2 – nach Reduktion
12701,58,5
7,512,55,500
0667,57,5
5028,511,5
6006,512,5 2. Null
1. Null
3. Null
4. NullNoch keine optimale Lösung gefunden!(bzw. Optimalität nicht bewiesen)
Operations Management Kapitel 4 / 18(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1.2.3 Schritt III
Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthält
a) Kennzeichne (z.B. durch ein Kreuz X) alle Zeilen, die keine umrahmten Nullen enthalten.
b) Kennzeichne alle Spalten, die mindestens eine durchgekreuzte Null auf einer gekennzeichneten Zeile enthalten.
c) Kennzeichne alle Zeilen, die eine umrahmte Null in einer gekennzeichneten Spalte enthalten.
d) Wiederhole b) und c) bis keine Spalte oder Zeile mehr gekennzeichnet werden kann.
e) Markiere mit einer durchgehenden Linie jede nicht gekennzeichnete Zeile und jede gekennzeichnete Spalte. (schattiert). Alle (umrahmten und durchgekreuzten) Nullen sind dann mit mindestens einer Linie markiert.
Operations Management Kapitel 4 / 19(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2
12701,58,5
7,512,55,500
0667,57,5
5028,511,5
6006,512,5
Operations Management Kapitel 4 / 20(c) Prof. Richard F. Hartl
Schritt IV
Generierung zusätzlicher Nullen - KostenreduktionWähle unter allen nicht überdeckten Elementen das kleinste. Dieses Element a wird von allen nicht überdeckten Elementen subtrahiert und zu allen doppelt überdeckten Elementen addiert Es ist sichergestellt, dass durch diese Transformation die optimale Lösung nicht verändert wird Allerdings werden die Gesamtkosten um a reduziert (Erhöhung der Reduktionskonstante)
Operations Management Kapitel 4 / 21(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2
12701,58,5
7,512,55,500
0667,57,5
5028,511,5
6006,512,5
a = 1,5
70
7,500
07,57,5
02
0011 5
7 0
7,5
7
7,5
14
4,5
3,5
10,5
10 7
⇒
Eine zusätzliche Null bei Zuordnung 5 2 ⇒ erhöhte Chance, Zuordnung mit Kosten 0 zu finden
Operations Management Kapitel 4 / 22(c) Prof. Richard F. Hartl
Schritt V
Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes
Wie in Schritt II wird versucht, eine optimale Zuordnung zu finden.
Gelingt dies nicht, müssen wir die Iteration ab Schritt II wiederholen.
Operations Management Kapitel 4 / 23(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2 – Iteration 2
10,57007
7,514700
07,57,57,57,5
3,502710
4,500511 Maschine 1 auf Standort 3
Maschine 2 auf Standort 4
Maschine 3 auf Standort 5
Maschine 4 auf Standort 1
Maschine 5 auf Standort 2
Optimale Zuordnung gefunden!
Gesamtkosten: Addition aller Reduktionskonstanten aus Schritten I und IX:
K= (4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5) + (1,5) = 33,5
Operations Management Kapitel 4 / 24(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.1.3 Übungsbeispiele – Beispiel 1
Löse das folgende Zuordnungsproblem:
61012695
10614674
7612693
101417972
41578121
54321
Operations Management Kapitel 4 / 25(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 2
Sechs Ingenieuren sollen auf 6 Standorte aufgeteilt werden. Die folgende Tabelle gibt den Nutzen für die Firma bei den entsprechenden Zuordnungen an:
840121620I6420801612I5820121604I4820164120I3124082016I2012201684I1FEDCBA
Maximiere den Gesamtnutzen! [Hinweis: Transformation z.B. „Kosten“ = 20 - Nutzen]
A: Morlaix
B: Bayonne
C: Strasbourg
D: Annecy
E: Aix en Provence
F: Dunkerque
Operations Management Kapitel 4 / 26(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel 3
Schwimm-Mannschaft für 200m-Lagen-Staffel; einer muss zuschauen. Die bisherigen Saisonergebnisse bzw. daraus prognostizieren Zeiten sind:
31,128,529,626,429,2Freistil33,630,438,928,533,3Butterfly41,834,742,233,143,4Brust35,43733,832,937,7RückenKenTonyDavidChrisCarlBewerb
Schwimmer
Es soll die optimale Zusammenstellung der Staffel ermittelt werden!
Operations Management Kapitel 4 / 27(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2 Layoutplanung – quadratisches Zuordnungsproblem (QAP)
quadratische Zuordnungsproblem (QZOP, quadratic assignment problem, QAP): ist das typische mathematische Modell zur Beschreibung innerbetrieblicher Standortprobleme
vgl. dazu Kapitel 6 von Domschke, W.; Drexl, A.:Logistik: Standorte (Bd. 3), 3. Aufl., Oldenbourg, München, 1990:
Operations Management Kapitel 4 / 28(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2.1 Formulierung
Zur Beschreibung benötigen wir die Distanzen zwischen den Standorten, undden Materialfluss zwischen den Organisationseinheiten:
n Organisationseinheiten (OE)alle OE sind gleich groß paarweise vertauschbarn Standorte, jeder kann jede OE aufnehmen (genau eine)thi ... Transportintensität,
Stärke des Materialflusses von OE h nach OE idjk ... Distanz zwischen Standort j und Standort k
Entfernungen nicht notwendigerweise symmetrischTransportkosten proportional zur transportierten Menge undzur zurückgelegten Entfernung
Operations Management Kapitel 4 / 29(c) Prof. Richard F. Hartl
Formulierung II
Wenn nun OE h auf Standort j angeordnet wirdund OE i auf Standort k, dann sind die Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i gegeben durch djk.Dies ist zu multiplizieren mit dem Materialfluss thi. von OE h zu OE i
j k... ... ... Standorte
h i... ... ... OE
djk.
thi.
⇒ Kosten = thi djk
Operations Management Kapitel 4 / 30(c) Prof. Richard F. Hartl
Formulierung III
Definition wie beim LAP:binäre Entscheidungsvariable
Wenn nun OE h → Standort j (xhj = 1)und OE i → Standort k (xik = 1)
⇒ Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i :
⇒ Gesamte Transportkosten:
⎩⎨⎧
=sonst 0
Standort auf OE wenn 1 jhxhj
∑ ∑= =
n
j
n
kikhjjk xxd
1 1
j k... ... ...Standorte
h i... ... ...OE
djk.
thi.
⇒ Kosten = thi djkxhj = 1 xik = 1
∑∑∑∑= = = =
n
h
n
i
n
j
n
kikhjjkhi xxdt
1 1 1 1
Operations Management Kapitel 4 / 31(c) Prof. Richard F. Hartl
Zielfunktion und Nebenbedingungen
ZF: Minimiere die gesamten Transportkosten zwischen allen OE
min1 1 1 1
→∑ ∑ ∑ ∑= = = =
n
h
n
i
n
j
n
kikhjjkhi xxdt
Nebenbedingungen
11
=∑=
n
jhjx
11
=∑=
n
hhjx
hjx
für h = 1, ... , n ... jede OE h an genau einem Standort j
für j = 1, ... , n ... jeder Standort j bekommt genau eine OE h
= 0 oder 1 ... binäre Entscheidungsvariable
ident mit dem LAP!!!
Quadratische Zielfunktion ⇒ QAP
Operations Management Kapitel 4 / 32(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel
Ermittlung der Kosten bei 3 OE (1 ,2 ,3) und 3 Standorten (A, B, C)
A
B C ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013101210
CBA
D
CBA
Distanzen zwischen den Standorten djk
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013202110
321
321
T
Transport-intensitäten thi
mögliche Lösung: 1 → A, 2 → B, 3 → C, also x1A = 1, x2B = 1, x3C = 1, alle anderen xij = 0Die Nebenbedingungen sind erfüllt.Gesamten Transportkosten: 0*0 + 1*1 + 2*1 + 1*2 + 0*0 + 1*2 + 3*3 + 1*1 + 0*0 = 17
Operations Management Kapitel 4 / 33(c) Prof. Richard F. Hartl
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013101210
CBA
D
CBA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
011102130
BAC
D
BAC
Beispiel
Diese Lösung ist nicht optimal, da gerade die OE 1 und 3, zwischen denen ein starker Materialfluss herrscht, auf die entferntestenStandorte A und C gelegt wurden.Besser wäre z.B.: 1 → C, 2 → A und 3 → B, also x1C = 1, x2A = 1, x3B = 1.
mit den gesamten Transportkosten: 0*0 + 3*1 + 1*1 + 2*2 + 0*0 + 2*1 + 1*3 + 1*1 + 0*0 = 14
2 → A
3 → B 1 → C
Distanzen Transportintensitäten
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013202110
321
321
T
Operations Management Kapitel 4 / 34(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel (Fortsetzung)
dazu wurde die Matrix
so umsortiert, dass die Zeilen und Spalten in der Reihenfolge 1 → C, 2 → A und 3 → B, also C, A, B auftreten:(dabei sollte man die Umsortierung in 2 Schritten machen, zuerst Zeilen, dann Spalten, oder umgekehrt)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
011102130
BAC
D
BAC
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013101210
CBA
D
CBA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
013101210
CBA
D
CBA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
130011102
CBA
D
BAC
Operations Management Kapitel 4 / 35(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2.2 Eröffnungsverfahren
Eröffnungsverfahren:Entstehung durch Kombination von jeweils einer der folgenden Möglichkeiten zur Wahl einer OE und zur Wahl eines Standortes. Die schon angeordneten OE bilden den so genannten KernIn jeder Iteration wird eine weitere OE angeordnet, wobei folgende Prioritätsregeln zur Auswahl stehen
Operations Management Kapitel 4 / 36(c) Prof. Richard F. Hartl
1) Wahl einer (noch nicht angeordneten) OE
A1 jene, die zu sämtlichen (anderen) OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt
A2 a) jene, die zur zuletzt angeordneten OE die größte Transportintensität besitztb) jene, die die größte Transportintensität zu einer angeordneten OE besitzt
A3 jene, die zu allen angeordneten OE (Kern) die größte Summe der Transportintensitäten besitzt
A4 zufällige Auswahl der OE
Operations Management Kapitel 4 / 37(c) Prof. Richard F. Hartl
2) Wahl eines (noch nicht besetzten) Standortes
B1 jener, der die geringste Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten besitzt
B2 einer, der dem zuletzt belegten Standorten benachbart ist
B3 a) einer, sodass die Summe der Transportkosten zum Kern minimal istb) wie a) wobei noch versucht wird, den Platz mit benachbarten OE zu vertauschenc) ein Platz (frei oder besetzt) sodass die Summe der Transportkosten innerhalb des neuen Kernes minimal wird
B4 zufällige Auswahl des Standortes
Operations Management Kapitel 4 / 38(c) Prof. Richard F. Hartl
BeispielKombination der einfachsten Regeln A1 und B1:
OE nach fallender Summe der TransportintensitätensortierenStandorte nach steigender Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten sortieren
Manhatten-Distanz zwischen den Standorten. (da symmetrisch, muss nur die obere Dreiecksmatrix betrachtet werden)
I H G F ED C B A
Operations Management Kapitel 4 / 39(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel - Transportintensitäten
-9--8---7----6-122-5--1---443-253---4-213-2----3----1
Σ987654321OE3
10205
154744
3
Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1
Summe des Materialflusses 1→5 und 5→1
Operations Management Kapitel 4 / 40(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel - Entfernungen
-I1-H21-G123-F2121-32121-D234123-C3232121-B43232121-A
ΣIHGFEDCBASt.181518151215181518
E
Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I
Operations Management Kapitel 4 / 41(c) Prof. Richard F. Hartl
Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1
Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I
Zuordnung:
Zuordnung
GCFABHEDISt.987654321OE
Operations Management Kapitel 4 / 42(c) Prof. Richard F. Hartl
Ermittlung der Kosten
-9--8---7----6-1*12*22*1-5
--1*2---44*23*2-2*25*13*1-3
--4*2-2*21*23*1-2----3*3----1987654321OE
Auf 1 und 5 stehen I und B mit Transportintensität 3
3 (Distanz 1-5) * 3 (Intensität I-B)
Gesamtkosten = 61
Operations Management Kapitel 4 / 43(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2.3 Verbesserungsverfahren
Vertauschungen von OE-Paaren vornehmen (wie eingangs im Beispiel)Man probiert, ob sich die Kosten verringern wenn 2 OE die Standorte tauschen. Wenn es die Rechenzeit erlaubt, kann man auch versuchen, OE-Tripeln zu vertauschenBei paarweisen Vertauschungen gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Operations Management Kapitel 4 / 44(c) Prof. Richard F. Hartl
paarweise Vertauschungen
Auswahl der Paare, deren Vertauschung überprüft wird:C1 alle n(n - 1)/2 PaareC2 eine bestimmte Teilmenge aller PaareC3 zufällige Auswahl
Auswahl der Paare, die vertauscht werden:D1 jenes gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich die
größte Kostensenkung ergibt (bestes Paar)D2 das erste gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich
eine Kostensenkung ergibt (erstes Paar)
Operations Management Kapitel 4 / 45(c) Prof. Richard F. Hartl
Qualität der Lösungen I
Kombination C1 mit D1:Rechenaufwand höher als bei den anderen VariantenLösungsgüte besser als bei den anderen Varianten Oft wird zu Beginn C2 gewählt und später C1. (Kombination C1 und D2 wäre 2-opt beim TSP.)
CRAFT :sehr bekanntes (heuristisches) Lösungsverfahren entspricht Kombination C1 und D1 (für OE mit gleichem Platzbedarf)
Operations Management Kapitel 4 / 46(c) Prof. Richard F. Hartl
Qualität der Lösungen II
zufällige Auswahl (C3 und D2):recht gute Resultate beste Vertauschung aus der Menge der überprüften Lösungen ergibt manchmal eine Verschlechterung
jedoch kein Nachteil (Gefahr des Hängenbleibens in lokalen Optima verringert sich)
„Metaheuristiken“ in Modul Transportmanagement
Literatur: sämtliche Kombination der Grundideen bzw. Varianten unter A, B, C und D
Operations Management Kapitel 4 / 47(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2.4 Umlaufmethode
Heuristik
Kombination der Ideen von Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren
Bestandteilen:Initialisierung (i = 1):Ordne die OE mit der größten Summe der Transportintensitäten [A1] in der Mitte des Standortträgers an (d.h. wo die Summe der Distanzen zu allen anderen Standorten minimal ist [B1]).Iteration i (i = 2, ... , n): ordne die i-te OE zu
Operations Management Kapitel 4 / 48(c) Prof. Richard F. Hartl
Teil 1
Auswahl einer OE und eines freien Platzes:
wähle jene OE, die zu allen im Kern angeordneten OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt [A3]
ordne sie auf einen freien Standort zu, so dass die Summe der Transportkosten zum Kern (bzw. innerhalb des neuen Kernes) minimal ist [B3a]
Operations Management Kapitel 4 / 49(c) Prof. Richard F. Hartl
Teil 2
Verbesserungsschritt ab Iteration i = 4:
versuche paarweise Vertauschungen der eben angeordneten OE mit allen anderen im Kern angeordneten OE [C2]
wenn eine Verbesserung gefunden ist, führe diese Änderung durch und beginne wieder mit Teil 2 [D2]
Das Verfahren endet mit Abschluss von Iteration i = n,nachdem alle OE angeordnet sind.
Operations Management Kapitel 4 / 50(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 1
Initialisierung (i = 1):E = ZentrumDort wird zunächst OE 3 angeordnet.
I H G
F E 3D
C B A
Operations Management Kapitel 4 / 51(c) Prof. Richard F. Hartl
Reihenfolge der Anordnung
8
493807265534↑332013OE
97654321i =532
↑
0
2210
0 0 00 0 0
0
0
0
0 0 00 00
0
0 0
1 1
4
↑
↑
↑
↑
↑
↑
2 7 4 6 8 9↑
1
i = 1: zunächst wird 3 angeordneti = 5
i = 2: 5 hat größten Mat.fluss zu 3
i = 9i = 3: 2 hat gr. Mat.fluss zum Kern (3,5)
i = 6i = 4i = 7i = 8
Operations Management Kapitel 4 / 52(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 1Iteration i = 2
unter allen OE ist der Materialfluss von 5 zum Kern 3 maximal
Distanzen dBE = dDE = dFE = dHE = 1 gleichzeitig minimal⇒ D gewählt,
In Schritt i = 2 wird also D-5 zugeordnet. I H G
F E 3D 5
C B A
Operations Management Kapitel 4 / 53(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 1Iteration i = 3
unter allen OE ist der Materialfluß von 2 zum Kern (3, 5) maximal
Suche Standort X, sodass dXE⋅t23 + dXD⋅t25 = dXE⋅3 + dXD⋅2 minimal wird: (A, B, G od. H)
X = A dAE⋅3 + dAD⋅2 = 2⋅3 + 1⋅2 = 8X = B dBE⋅3 + dBD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7X = F dFE⋅3 + dFD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7X = G dGE⋅3 + dGD⋅2 = 2⋅3 + 1⋅2 = 8X = H dHE⋅3 + dHD⋅2 = 1⋅3 + 2⋅2 = 7
B, F oder H ⇒ B gewähltIn Schritt i = 3 wird also B-2 zugeordnet. I H G
F E 3D 5
C B 2A
Operations Management Kapitel 4 / 54(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 1Iteration i = 4
unter allen OE ist der Materialfluss von 7 zum Kern (2, 3, 5)maximal
Suche Standort X, sodass dXE⋅t73 + dXD⋅t75 + dXB⋅t72 = dXE⋅0 + dXD⋅2 + dXB⋅4 minimal wird
aus Lageplan ⇒ nur A kommt in Frage In Schritt i = 4 wird also zunächst A-7 zugeordnet.
Operations Management Kapitel 4 / 55(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 2
Versuche A mit E, B bzw. D zu vertauschen und ermittlejeweils die Kosten der Zuordnung:
Aus Teil 1: E-3, D-5, B-2, A-7 Kosten =1⋅5+1⋅3+2⋅0+2⋅2+1⋅2+1⋅4 = 18probiere E-3, D-5, A-2, B-7 Kosten = 1⋅5+2⋅3+1⋅0+1⋅2+2⋅2+1⋅4 = 21probiere E-3, A-5, B-2, D-7 Kosten = 2⋅5+1⋅3+1⋅0+1⋅2+1⋅2+2⋅4 = 25probiere A-3, D-5, B-2, E-7 Kosten = 1⋅5+1⋅3+2⋅0+2⋅2+1⋅2+1⋅4 = 18
Vertauschung A mit E wäre möglich ohne Kostenänderung. Da aber keine Verbesserung möglich ist: lasse Lösung wie aus Teil 1. u.s.w.
Operations Management Kapitel 4 / 56(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Teil 2
Nach 8 Iterationen ohne Teil 2: Kosten = 54
Mit Teil 2 (letzte OE 9 mit 4 vertauscht): Kosten = 51
Händisches durchrechnen ist für größere Probleme offensichtlich sehr mühsam
am Computer sind die Iterationen einfach zu implementieren.
Operations Management Kapitel 4 / 57(c) Prof. Richard F. Hartl
4.1.2.5 Verfahren bei ungleichen Platzbedarf der OE
Anordnung der OE meist in einem Raster aus kleinen Quadraten
weist jeder OE die nötige Anzahl benachbarter kleiner Quadrate zu
Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren auch hier anwendbar
bei Vertauschungen kann sich die Gestalt der OEs ändern bei ungleicher Größe sind Verschiebungen nötig
Operations Management Kapitel 4 / 58(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel
Die Vertauschung von 3 und 5 ist unproblematischBei Vertauschung von 1 und 3 müssen die OE 2 oder 4 die Gestalt verändern.
3
52
41
Operations Management Kapitel 4 / 59(c) Prof. Richard F. Hartl
4.2 Konfiguration von Produktionsinseln
Inselproduktion: liegt zwischen Fließfertigung (Massenfertigung) und Werkstattfertigung (Einzelfertigung)Arbeitssysteme unterschiedlicher Funktion werden räumlich zusammengefasstjeder Produktionsinsel wird eine Erzeugnisfamilie (mit ähnlichen benötigten Ressourcen) zugeordnetVoraussetzung
Erzeugnisfamilien müssen sich auf natürliche Weise bilden lassen
Operations Management Kapitel 4 / 60(c) Prof. Richard F. Hartl
Vorteile
kurze Transportwege (zumeist innerhalb einer Insel)geringe Umrüstzeiten wegen hoher Fertigungsverwandtschaft in Erzeugnisfamiliehohe Flexibilität (bzgl. kurzfristigen Änderungen der Produktionsaufgaben)geringer Investitionsbedarf (mit konventioneller Technologie realisierbar)Übersichtlichkeit ⇒ einfache ProduktionssteuerungMotivation und Zufriedenheit der Mitarbeiter durch Identifikation mit "ihren" Produktenniedrige Losgrößen möglich, kurze Durchlaufzeiten
Operations Management Kapitel 4 / 61(c) Prof. Richard F. Hartl
4.2.1 Binäre Sortierung
Einfache Methode eine Gruppierung vorzunehmen
Matrixdarstellung: Bearbeitung des jeweiligen Erzeugnis auf der jeweiligen Maschinen
Auffassung diese Einträge zeilen- und spalten weise als Binärzahlen
Sortierung der Zeilen in absteigender und der Spalten in aufsteigender Reihenfolge
Operations Management Kapitel 4 / 62(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel
Gegeben: 5 Maschinen; 6 Erzeugnisse, die jeweils auf eine Auswahl der Maschinen zu bearbeiten sind
Maschinen/Erzeugnis-Matrix:
-11---M5
11---1M4
1-111-M3
11-1-1M2
--1-1-M1
E6E5E4E3E2E1MaschinentypWertErzeugnisart
25 24 23 22 21 20
22 + 24 = 20
20 + 21 + 25 = 35
20 + 21 + 23 + 25 = 4320 + 22 + 23 + 24 = 29
21 + 22 = 6
Operations Management Kapitel 4 / 63(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel
Wert
6-11---M5
20--1-1-M1
291-111-M3
3511---1M4
4311-1-1M2
WertE6E5E4E3E2E1Maschinentyp
Erzeugnisart
20
21
22
23
24
23+
24=
24
22+
24=
20
21+
22=
6
20+2
3 +24
=25
20+2
1 +22
=7
22+2
3 +24
=28
Operations Management Kapitel 4 / 64(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Ergebnis
6720242528Wert-1--1-M5
11----M1
111--1M3
---111M4
--1111M2
E2E4E3E1E5E6MaschinentypErzeugnisart
Kein eindeutiges ErgebnisBlockdiagonalstruktur verfehltZusammenfassung der Maschinen zu den Gruppen {2, 4} und {3, 1, 5} od. {2, 4, 3} und {1, 5} Komplette Bearbeitung von drei Erzeugnisse innerhalb einer Produktionsinsel Bearbeitung der übrigen Erzeugnisse in beiden Produktionsinselnevent. einzelne Maschinen auf mehrere Produktionsinseln verteilen
Operations Management Kapitel 4 / 65(c) Prof. Richard F. Hartl
4.2.2 Verfahren von Askin und Standridge
Erweiterung der Gruppenbildung mittels der binärenSortierung.
jedes Erzeugnis wird innerhalb einer Maschinengruppe komplett bearbeitetdie Kapazitätsgrenzen der einzelnen Maschinen werden beachtetjede Maschinengruppe nimmt nur eine vorgegebene Anzahl von Maschinen eines Typs aufdie maximale Anzahl von Maschinen innerhalb einer Gruppe ist vorgegeben
Operations Management Kapitel 4 / 66(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel - Verfahren von Askin und Standridge
Beispiel:In einem Produktionssegment werden sieben Erzeugnisse auf insgesamt sechs Maschinentypen bearbeitet. Die Arbeitspläne zeigen auf welchen Maschinen ein Erzeugnis bearbeitet werden muss und welche Rüst- bzw. Stückbearbeitungszeiten jeweils anfallen. Aufgrund des durchschnittlichen Periodenbedarfs kann somit ermittelt werden, welcher Anteil der Periodenkapazität einer Maschine jeweils für die Bearbeitung eines Erzeugnisses benötigt wird.Eine Gruppe besteht aus höchstens 4 Maschinen
9/4 = 2,25 ⇒ mindestens 3 InselnEs darf höchstens je eine Maschine eines bestimmten Typs in einer Gruppe enthalten sein
Operations Management Kapitel 4 / 67(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel - Verfahren von Askin und Standridge
1.10.2--0.40.30.2-M60.9-0.5---0.4-M51.40.5-0.3-0.4-0.2M41.2-0.3-0.5--0.4M30.70.1--0.3-0.3-M20.9--0.6---0.3M1
min. Maschinenanzahl
SummeE7E6E5E4E3E2E1MaschinentypErzeugnisart
11221
2
∑ 9 Maschinen
Operations Management Kapitel 4 / 68(c) Prof. Richard F. Hartl
1. Schritt
Binäre Sortierung
0.40.5-----M50.3-0.3-0.1--M20.2-0.40.30.2--M6-----0.60.3M1-0.30.5---0.4M3---0.40.50.30.2M4
E2E6E4E3E7E5E1MaschinentypErzeugnisart
Lösung
Operations Management Kapitel 4 / 69(c) Prof. Richard F. Hartl
2. Schritt
Zuordnung der Erzeugnisse zu Maschinengruppen
Benötigte Maschinen werden in die Maschinengruppe aufgenommen
Weitere Erzeugnisse werden in Maschinengruppe aufgenommen, bis:
Erreichung der Kapazitätsgrenze einer MaschineErreichung der Höchstzahl von Maschinen in der Maschinengruppe
Operations Management Kapitel 4 / 70(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – 2. Schritt
E27
E66
E45
E34E73E52E11
Restkapazitätzugeordnete Maschinen
Maschinen-gruppe
gewähltes ErzeugnisIteration
1122
2
3
3
M4, M3, M1
M3, M5, M6, M2
M4, M3, M1
M3, M5
M4, M6, M2
M4, M6, M2
M4, M6, M2, M3
M4 (0,8), M3 (0,6), M1 (0,7) M4 (0,5), M3 (0,6), M1 (0,1) M4 (0,5), M6 (0,8), M2 (0,9)
M4 (0,1), M6 (0,5), M2 (0,9) M4 (0,1), M6 (0,1), M2 (0,6), M3 (0,5) M3 (0,7), M5 (0,5) M3 (0,7), M5 (0,1), M6 (0,8), M2 (0,7)
Tabelle
Operations Management Kapitel 4 / 71(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Ergebnis
Benötigte Maschinen:Eine Maschine des Typs: M1, M5Zwei Maschinen des Typs: M2, M4, M6Drei Maschinen des Typs: M3
Verfahren von Askin und Standridge: einfache Heuristik oft keine optimale Lösung
Vergleich: erhaltenes Ergebnis vs. theoretische Mindestanzahl an Maschinen
event. Einsparung von je einer Maschine des Typs M3 und M2 möglich
Operations Management Kapitel 4 / 72(c) Prof. Richard F. Hartl
4.2.2.1 LP - Formulierung
Zielsetzung: Minimierung der Gesamtzahl der benötigten Einzelmaschinen bei einer vorgegebenen Anzahl von MaschinengruppenErklärung mittels vorhergehenden Beispiel
Mind. 9 Maschinen erforderlichJede Maschinengruppe höchstens M = 4 Einzelmaschinen
3 MaschinengruppenJede Maschinengruppe enthält maximal eine einzige Maschine eines Typs
Operations Management Kapitel 4 / 73(c) Prof. Richard F. Hartl
Daten
Kapazitätsbedarf von Erzeugnis j bezüglichMaschinentyp k
Maschinengruppen bzw. Produktionsinseln
Erzeugnisse
Maschinentypen
Höchstanzahl von Maschinen je Maschinengruppe
jka
Ii∈
Jj∈
Kk ∈
M
Operations Management Kapitel 4 / 74(c) Prof. Richard F. Hartl
Entscheidungsvariablen
1, falls Erzeugnis j der Maschinengruppe i zugeordnet wird 0, sonst
1, falls eine Maschine des Typs k der Maschinengruppe i zugeordnet wird 0, sonst
ijx =
iky =
Operations Management Kapitel 4 / 75(c) Prof. Richard F. Hartl
Lineare Optimierung
Zielfunktion:
Nebenbedingungen:jedes Erzeugnis in eine Maschinengruppe
Kapazität der Maschine k in Gruppe i beachten
nicht mehr als M Maschine in Gruppe i
binäre Variablen
binäre Variablen
min →∑∑∈∈ Kk
ikIi
y
∑∈
=Ii
ijx 1 Jj∈
∑∈
≤⋅Jj
ikijjk yxa KkIi ∈∈ ,
∑∈
≤Kk
ik My Ii∈
{ }1,0∈ijx JjIi ∈∈ ,
{ }1,0∈iky KkIi ∈∈ ,
Operations Management Kapitel 4 / 76(c) Prof. Richard F. Hartl
Lösung
M2 (0.9), M4 (0.1), M6 (0.5)M2, M4, M6E3, E73M1 (0.1), M3 (0.6), M4 (0.5)M1, M3, M4E1, E52
M2 (0.4), M3 (0.2), M5 (0.1), M6 (0.4)M2, M3, M5, M6E2, E4, E61
RestkapazitätMaschinenErzeugnisseMaschinengruppe
Zulässige Konfiguration mit 10 MaschinenOptimale Lösungtheoretische Mindestanzahl von 9 Maschinen aufgrund der Platzbeschränkung (M = 4) nicht erreicht
Operations Management Kapitel 4 / 77(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3 Konfiguration von Fließfertigungs-Produktionssystemen
Objektprinzip
Anordnung der Arbeitssysteme orientiert sich an Arbeitsplänen der zu bearbeitenden Erzeugnisse
Bei einheitlichem Materialfluss:Arbeitssysteme werden i.d.R. linear angeordnetnur sinnvoll, wenn ein einheitliches Grundprodukt bzw. eine begrenzte Anzahl von Produktvarianten produziert wird
Operations Management Kapitel 4 / 78(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.1 Arten der Fließfertigung
Nach dem zeitlichen Zusammenhang unterscheidet man 2Formen der Fließfertigung:
Fließfertigung ohne Zeitzwang (Reihenfertigung)
Fließfertigung mit Zeitzwang (Fließbandabgleich)
Operations Management Kapitel 4 / 79(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.1.1 Fließfertigung ohne Zeitzwang (Reihenfertigung)
Keine zeitlicher Beschränkung für die Durchführung des Arbeitsinhalt einer StationEinrichtung von Pufferlager nötigMaterialfluss für alle Erzeugnisse weitgehend identischEinzelne Arbeitsstationen können übersprungen werden; Rücksprünge nicht möglichBearbeitungszeiten der einzelnen Produkte können sich unterscheiden
Materiallager Station 1 Zwischenlager Station 2 ... Station m Absatzlager
Operations Management Kapitel 4 / 80(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.1.2 Fließfertigung mit Zeitzwang (Fließbandfertigung)
getaktete Fließfertigungzeitliche Bindung zwischen den Arbeitsgängenfest vorgegebene Höchstzeit (Taktzeit) zur Bearbeitung eines Werkstückes in jeder Station
FließproduktionSelbstständige FördereinrichtungenEinzelne Werkstücke können auch unabhängig voneinander bewegt werden (asynchroner Materialfluss)Bsp.: Montage von Fernsehern
Operations Management Kapitel 4 / 81(c) Prof. Richard F. Hartl
Fließbandfertigung
Verkettung zu automatisierten Gesamtsystem
Transferstraße, FließbandWerkstücke sind fest mit dem Transportsystem verbundenSimultane Fortbewegung (synchroner Materialfluss)
Station 1 Station 2 Station 3 ...
Operations Management Kapitel 4 / 82(c) Prof. Richard F. Hartl
Getaktete Fließfertigung
Produktionsgeschwindigkeit = Kehrwert der TaktzeitBand kontinuierlich vorwärts bewegtBeschäftigte Personen bewegen sich während der Bearbeitung des Werkstückes parallel zum Fließband vorwärts und kehren am Ende des Taktes zum Stationsbeginn zurück
Weitere Möglichkeit: Band wird während Bearbeitung angehaltenWerkstücke werden am Ende des Taktes zur nächsten Station weiterbewegt (intermittierender Transport)
Operations Management Kapitel 4 / 83(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.2 Fließbandabgleich
Fließbandabstimmung, Fließbandaustaktung, Leistungsabstimmung, BandabgleichZerlegung des mehrstufigen Produktionsprozess für jedes herzustellende Produkt (Auftrag) in n Arbeitsgänge (unteilbare Elementartätigkeiten)Bearbeitungszeit tj zu jedem Arbeitsgang jReihenfolge- oder Vorrangrestriktionen möglich
Vorranggraph:Zyklenfreier gerichteter Graph G = (V, E, t)Keine parallelen Pfeile oder SchlingenFür alle Pfeile (i, j) gilt die Beziehung i < j
Operations Management Kapitel 4 / 84(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel
11112108,11115, 91037976833, 472364255144139-26-1
tjVorgängerArbeitsgang j
t1=61 1
12 1011 3
9 37
78
26
43
54
..110
t2=92
45
Vorranggraph
Operations Management Kapitel 4 / 85(c) Prof. Richard F. Hartl
Fließfertigung
Produktiveinheiten (Maschinen) werden hintereinander angeordnetAn jeder Arbeitsstation werden ein oder mehrere Arbeitsgänge ausgeführtJeder Arbeitsgang wird genau einer Station zugeordnet (Unteilbarkeit)i vor j – (i, j) ∈ E:
i und j in gleicher Stationi auf früheren Station als j
Zuordnung der Arbeitsgänge zu den Stationen:zeit- oder kostenorientierte ZielfunktionEinhaltung der VorrangbeziehungenTaktzeit optimierenGleichzeitige Bestimmung von Stationszahl und Taktzeit
Operations Management Kapitel 4 / 86(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3 Einproduktmodelle
„klassisches Modell der Fließbandabstimmung“
Simple assembly line balancing problem
Operations Management Kapitel 4 / 87(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3.1 Ein Grundmodell mit alternativen Zielsetzungen
Annahmen:Herstellung eines homogenen Produktes in n Arbeitsgängenvorgegebene Bearbeitungszeiten ti für die Arbeitsgänge j = 1,...,nReihenfolgebeziehungen (Vorranggraphen)alle Stationen besitzen dieselbe Taktzeitfixe Anstoßrategleichwertig ausgestattete Stationen (hinsichtlich Personal und Betriebsmittel)keine parallelen Stationengeschlossene Stationenunbewegliche Werkstücke
Operations Management Kapitel 4 / 88(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3.1.1 Alternative 1
Minimierung der Stationsanzahl m bei vorgegebenerTaktzeit c:
untere Schranke für die Stationszahl
obere Schranke für die Stationszahl
⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢⎢
⎡=
=Σ ctm j
n
j 1min :
( ) 11: max1
max +⎥⎦
⎥⎢⎣
⎢−+Σ=
=tctm j
n
j
Operations Management Kapitel 4 / 89(c) Prof. Richard F. Hartl
Beweis
t(Sk) … Belegungszeit der Stationen Sk, k = 1, ..., m
Ganzzahligkeit
Summieren der Ungleichungen
und Ganzzahligkeit von m
( ) ( ) ( )max1
111 tcmSt k
m
k−+⋅−≥Σ
−
=
( )k
m
kj
n
jStt
1
11
−
==ΣΣ >
obere Schranke
tmax + t(Sk) > c also t(Sk) ≥ c + 1 - tmax ∀ k =1,...,m-1
Operations Management Kapitel 4 / 90(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3.1.2 Alternative 2
Minimierung der Taktzeit(bzw. Maximierung der Produktionsgeschwindigkeit)
untere Schranken für die Taktzeit c:tmax = max {tj ⎜ j = 1, ... , n} … Dauer des längsten Arbeitsganges Unteilbarkeit der Arbeitsgänge c ≥ tmax
Produktions- bzw. Absatzhöchstmenge qmax im Planungszeitraum der Länge T vorgegebenMit Hilfe der gegebenen Stationsanzahl m
⎡ ⎤maxqTc ≥
⎥⎥
⎤⎢⎢
⎡Σ≥=
mtc jn
j 1
Operations Management Kapitel 4 / 91(c) Prof. Richard F. Hartl
Alternative 2
untere Schranke für die Taktzeit (insgesamt)
obere Schranke für die Taktzeit
⎡ ⎤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎤⎢⎢
⎡Σ=≥=
mtqTtcc jn
j 1maxmaxmin ,,max:
⎡ ⎤minqTc ≤
Operations Management Kapitel 4 / 92(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3.1.3. Alternative 3
Maximierung des Bandwirkungsgrades (BG)
Bestimmung von:positiver Taktzeit cpositiver Stationszahl mum BG (Auslastung des Fließbandes) zu maximieren
BG = 1 Auslastung von 100% (keine Leerzeiten)
j
n
jt
cmBG
1
1=Σ⋅
⋅=
Operations Management Kapitel 4 / 93(c) Prof. Richard F. Hartl
Alternative 3
untere Schranke für die Taktzeit wie bei Alternative 2obere Schranke für die Taktzeit cmax gegeben
untere Schranke für die Stationszahl
obere Schranke für die Stationszahl
⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢⎢
⎡=
=Σ max
1min : ctm j
n
j
( ) 11: maxmin1
max +⎥⎦
⎥⎢⎣
⎢−+Σ=
=tctm j
n
j
Operations Management Kapitel 4 / 94(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel I
Schichtdauer T = 7,5 StundenMindestproduktionsmenge qmin = 600 Stück
Sekunden/Stück⎣ ⎦ 45600/3600*5,7: minmax === qTc
t1=6 1
1 12
10 11 3
9 3 7
7 8
2 6
4 3
5 4
..1 10
t2=9 2
4 5
Operations Management Kapitel 4 / 95(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel II
55Summe
11112
108,111
15, 910
379
768
33, 47
236
425
514
413
9-2
6-1
tjVorgängerArbeitsgang j Σtj = 55
keine Absatzhöchstmenge
Taktzeit mindestens cmin = tmax = 10 Sekunden/Stück
⎡ ⎤m t cj
n
jmin max:=⎡
⎢⎢⎢
⎤
⎥⎥⎥= =
=Σ
155 45 2
Operations Management Kapitel 4 / 96(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel III
0
1
2
3
4
5
6
7
10 20 30 40 50 60
Stationszahl m BG = 1 BG = 0.982
Taktzeit c Alle Kombinationen von m und c, für die eine zulässige Lösung des Problems existiert
Operations Management Kapitel 4 / 97(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel IV
maximaler BG = 1(nur für unzulässige Werte: m = 1 und c = 55 erreichbar)
Optimaler BG = 0,982(zulässiger Bereich: 10 ≤ c ≤45 und m ≥ 2)
m = 2 Stationen c = 28 Sekunden/Stück
Operations Management Kapitel 4 / 98(c) Prof. Richard F. Hartl
0,91710106
0.91712115
0,91715144
0.96519193
0,98228282
-nicht möglich da c ≤ 45551
Bandwirkungsgrad 55/c⋅m
minimale realisierbare Taktzeitc
theoretisch min Taktzeit
# Stationen m
Beispiel V
Realisierbare Taktzeiten c für verschiedene Stationszahlen m
⎡ ⎤m55
wachsende Taktzeit Reduzierung des BG (Erhöhung des Leerzeitanteils) so lange, bis eine Station eingespart werden kann BG besitzt für jede mögliche Stationsanzahl m ein lokales Maximum bei der kleinsten Taktzeit c, für die eine zulässige Lösung mit m Stationen existiert.
Operations Management Kapitel 4 / 99(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.3.1.4 Weitere Zielsetzungen für das Grundmodell
Maximierung des BG ist äquivalent zu:
Minimierung der Durchlaufzeit: D = m ⋅ c
Minimierung der Summe der Leerzeiten:
Minimierung des Leerzeitanteils: LA = = 1 – BG
Minimierung der Gesamtwartezeit:
j
n
jtcmL
1=Σ−⋅=
mcL
LtDW j
n
j=−=
=Σ
1
Operations Management Kapitel 4 / 100(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.4 LP Formulierungen
Unterscheidung zwischen:
LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit
LP-Formulierung bei gegebener Stationszahl
Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades
Operations Management Kapitel 4 / 101(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.4.1 LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit
Binärvariablen:
= Nummer der Station, der der Arbeitsgang jzugeordnet ist
Annahme: Graph G besitzt Knoten n als einzige Senke
⎩⎨⎧
=sonst0
wirdzugeordnet Stationder gArbeitsgan falls1 k jx jk
∀ j = 1, ..., n
∀ k = 1, ..., mmax
∑=
⋅max
1
m
kjkxk
Operations Management Kapitel 4 / 102(c) Prof. Richard F. Hartl
Modellformulierung
Zielfunktion:
Nebenbedingungen:
( ) nk
m
kxkxZMinimiere ⋅=
=Σ
max
1
1max
1=∑
=
m
kjkx
ctx jn
j=jk ≤⋅∑
1
∑∑==
⋅≤⋅maxmax
11
m
kjk
m
khk xkxk
{ }10,x jk ∈
∀ j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station
∀ k = 1, ... , mmax ... Einhaltung der Taktzeit bei Station k
∀ ... Vorrangbeziehungen
∀ j und k ... binäre Variablen
( ) Eh,j ∈
Operations Management Kapitel 4 / 103(c) Prof. Richard F. Hartl
Bemerkungen
Mögliche Erweiterungen:Zuordnungseinschränkungen in Form von Betriebsmittel-oder Positionsrestriktionen
entsprechende Variablen aus dem Modell entfernen odervorab zu Null fixieren
ArbeitsgangrestriktionenVerhinderung, dass zwei Arbeitsgänge h und j mit (h, j) ∈ Ε in derselben Station ausgeführt werden
E(h,j)xkxkm
k
m
kjkhk mit 1
1 1∈⋅≤+⋅∑ ∑
= =
Operations Management Kapitel 4 / 104(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.4.2 LP Formulierung bei gegebener Stationszahl
Ersetzen vom mmax durch gegebene Stationszahl m
c wird zusätzliche Variable
Operations Management Kapitel 4 / 105(c) Prof. Richard F. Hartl
Modellformulierung
Zielfunktion: Minimiere Z(x, c) = c … Taktzeit
Nebenbedingungen:
∀ j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station
∀ k = 1, ... , m ... Einhaltung der Taktzeit bei Station k
∀ ... Vorrangbeziehungen
∀ j und k ... binäre Variablen
( ) Eh,j ∈
11
=∑=
m
kjkx
ctx jn
j=jk ≤⋅∑
1
∑∑==
⋅≤⋅m
kjk
m
khk xkxk
11
{ }10,x jk ∈
c ≥ 0 ganzzahlig
Operations Management Kapitel 4 / 106(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.4.3 Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades
Ist weder Taktzeit c noch Stationszahl m gegebenübernehmen der LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit
Zielfunktion (nichtlinear):
zusätzlichen Nebenbedingungen:c ≤ cmax
c ≥ cmin
( ) nk
m
kxkccxZ ⋅=
=Σ
max
1, Minimiere
Operations Management Kapitel 4 / 107(c) Prof. Richard F. Hartl
Mathematische Formulierung bei Maximierung des Bandwirkungsgrades
Wiedererlangen eines LPs Gewichtung von Taktzeit und Stationsanzahl mit den Faktoren w1und w2
Zielfunktion (linear):
Minimiere Z(x,c) = w1⋅(Σk⋅xnk) + w2⋅c
sehr große LP-Modellehohe Anzahl von Binärvariablen
Operations Management Kapitel 4 / 108(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.5. Heuristische Verfahren bei gegebener Taktzeit
Zahlreiche heuristische Verfahren (zumeist Prioritätsregelverfahren)
Verkürzte exakte Verfahren
enumerative Vorgehensweise
Operations Management Kapitel 4 / 109(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregelverfahren I
Zuordnung eines Rangwerts RWj zu jedem Arbeitsgang j
Prioritätsliste
Ein noch nicht zugeordneter Arbeitsgang j ist in einer Station k einplanbar, falls
alle seine Vorgänger im Vorranggraphen in einer der Stationen 1,...,k bereits eingeplant sind und die aktuelle Leerzeit der Station k nicht kleiner als die Bearbeitungszeit von j ist.
Operations Management Kapitel 4 / 110(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregelverfahren II
Vorraussetzung:Taktzeit ceinzuplanende Arbeitsgänge j=1,...,n mit Bearbeitungszeiten tj ≤ cVorranggraph, gegeben durch Vorgängermengen V(j)
Variablenk Nummer der aktuellen Station
Leerzeit der aktuellen StationLp Liste bisher eingeplanter Arbeitsgänge Ls Sortierte Liste der n Arbeitsgänge gemäß Prioritätsregel
c
Operations Management Kapitel 4 / 111(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregelverfahren III
Ein Arbeitsgang j ∉ Lp ist einplanbar, wenn tj ≤und h ∈ Lp für alle h ∈ V(j) gilt
stationsweise vorgehen
unter den jeweils einplanbaren Arbeitsgängen wird derjenige mit höchster Priorität zugeordnet
Öffnung einer neue Station, wenn die aktuell betrachtete Station maximal belegt ist
c
Operations Management Kapitel 4 / 112(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregelverfahren IV
Start: bestimme Liste Ls mit Hilfe einer Prioritätsregel; k := 0; LP := <]; ... noch nichts einge-plant
Iteration:repeat
k := k+1; := c;while es existiert für Station k ein einplanbarer Arbeitsgang in der Liste Ls do
beginwähle und entferne den ersten einplanbaren Arbeitsgang j aus Liste Ls;Lp:= < Lp,j]; :=- tjend;
until Ls = <];Ergebnis: Lp enthält eine zulässige Reihung der Aufträge mit m = k Stationen.
Single-Pass- vs. Multi-Pass-Heuristiken(je nachdem ob Verfahren ein- oder mehrmalig durchlaufen wird)
Operations Management Kapitel 4 / 113(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregeln I
Regel 1: Zufällige Auswahl von Arbeitsgängen
Regel 2: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder zunehmender) Bearbeitungszeit tj aus: RWj: = tj
Regel 3: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder zunehmender) Zahl der unmittelbaren Nachfolger aus:
RWj : = ⏐Ν(j)⏐
Regel 4: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton wachsender Tiefe der Arbeitsgänge in G aus:RWj : = Anzahl Pfeile im Weg mit den meisten Pfeilen von einer Quelle des Vorranggraphen nach j
Operations Management Kapitel 4 / 114(c) Prof. Richard F. Hartl
Prioritätsregeln II
Regel 5: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmendem Positionsgewicht (Positionswert):
Regel 6: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer Schranke der für j und alle Vorgänger benötigten Stationszahl aus:
Regel 7: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer Schranke für die spätestmögliche Station des Arbeitsganges j aus:
∑∈
+=mjNh
hj tt:RWj
⎥⎥⎥
⎥
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+== ∑
∈ctt
mjVhhjjj E:RW
⎥⎥⎥
⎤
⎢⎢⎢
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=−= ∑
∈
cttmLmjNh
hjj 1:RWj
Operations Management Kapitel 4 / 115(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Regel 5
t1=6 1
1 12
10 11 3
9 3 7
7 8
2 6
4 3
5 4
..1 10
t2=9 2
4 5
RWj(5)1101373245496tj
121110987654321j
42 25 31 23 16 20 18 118 111215
Taktzeit c = 28 m = 3 StationenBG = ∑tj / (3*28) = 0,655
S1 = {1,3,2,4,6}
S2 = {7,8,5,9,10,11}
S3 = {12}
Operations Management Kapitel 4 / 116(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Regel 7, 6 und 2
= 3m
RWj(2)RWj(6)RWj(7)
121110987654321j
1 21
11 1 11 1 1 1 1
1 1103
2 2 2 2 2 2 2 2 22 22
26 9 4 5 4 3 7
Anwendung von: primär Regel 7 (spätmöglichste Station)bei Gleichheit Regel 6 (für j und alle Vorgänger benötigten Stationszahl)bei Gleichheit Regel 2 (nach abnehmenden tj)
Lösung: c = 28 m = 2; BG = 0,982
S1 = {1,3,2,4,5} ; S2 = {7,9,6,8,10,11,12}
Operations Management Kapitel 4 / 117(c) Prof. Richard F. Hartl
Weitere heuristische Verfahren I
Stochastische Varianten der Prioritätsregeln 2 bis 7:zufällige Auswahl des nächsten Arbeitsganges unter den einplanbaren ArbeitsgängenAuswahlwahrscheinlichkeiten: proportional oder umgekehrt proportional zu RangwertenZufällig ermittelte Prioritätsregel
Enumerative Heuristiken:Ermittlung sämtlicher zulässiger Belegungen für erste StationEinplanung der Stationsbelegung mit geringster LeerzeitAnaloge Bildung der weiteren Stationen (Greedy)
Operations Management Kapitel 4 / 118(c) Prof. Richard F. Hartl
Weitere heuristische Verfahren II
Heuristiken von Verschnitt- und Verpackungsproblemenzusätzliche Beachtung der Vorrangbeziehungenz.B.: Verallgemeinerung der Heuristik First-Fit-Decreasing für das Bin Packing-Problem
Kürzeste-Wege-Problem mit exponentiell vielen Knoten
Vertauschungsverfahren:Austauschen von Arbeitsgängen zwischen StationenZiel: Verbesserung des nachgeordneten Ziels einer möglichst gleichmäßigen Stationsauslastung
Operations Management Kapitel 4 / 119(c) Prof. Richard F. Hartl
Worst-Case Analyse von Heuristiken
Lösungseigenschaften bei Ganzzahligkeit von c und tj(j = 1,...,n) für Alternative 2:
Summe der Belegungszeiten zweier benachbarter Stationen müssen die Taktzeit überschreiten
Worst-Case Schranken für die Abweichung einer Lösung mit mStationen von einer optimalen Lösung mit m* Stationen:
( ) ( )( ) 11 allefür 1
11 allefür 1
max
1,...,m-k=ctSt,...,m-k=cStSt
k
kk+≥++≥+ +
m/m* ≤ 2 - 2/m* für gerades m bzw. m/m* ≤ 2 - 1/m* für ungerades mm < c⋅m*/(c - tmax + 1) + 1
Operations Management Kapitel 4 / 120(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.6 Verfahren zur Bestimmung der Taktzeit
gegebene Stationszahl
Taktzeit nicht gegebenTaktzeit ist zu minimieren (Alternative 1) oderTaktzeit ist gemeinsam mit der Stationszahl zu optimieren um einen maximalen BG zu erzielen (Alternative 3)
Operations Management Kapitel 4 / 121(c) Prof. Richard F. Hartl
Iteratives Verfahren zur Ermittlung der minimalen Taktzeit I
1. Ermittle die theoretische minimale Taktzeit
(bzw. cmin = tmax wenn dies größer ist) und setze c = cmin
2. Suche für die Taktzeit c eine optimale Lösung mit minimaler Stationszahl m(c) mittels Verfahren zu Alternative 1 (vgl. 2.3.2. und 2.3.3.)
3. Wenn m(c) größer als die gegebene Stationszahl: vergrößere c um ∆ (ganzzahlig) und wiederhole Schritt 2.
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡= ∑
tionenArbeitssta AnzahlAValler
mingszeitenBearbeitunc
Operations Management Kapitel 4 / 122(c) Prof. Richard F. Hartl
Iteratives Verfahren zur Ermittlung der minimalen Taktzeit II
Zulässige Lösung mit Taktzeit ≤ c und Stationszahl ≤ m gefunden.
Wenn ∆ > 1, so kann man noch eine Intervallschachtelungvornehmen: wenn also für Taktzeit c eine Lösung mit Stationszahl ≤ m gefunden wurde und für Taktzeit c-∆ nicht, so kann man noch c-∆/2 probieren, etc.
Operations Management Kapitel 4 / 123(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Regel 5
m = 5 StationenSuche: maximal mögliche Produktionsrate
minimale Taktzeit
11112151818201623312542RWj(5)1101373245496tj
121110987654321j
Es muss mindestens die Taktzeit cmin = Σtj/m = 55/5 = 11 gewählt werden (es ist 11 > tmax = 10)
Operations Management Kapitel 4 / 124(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Regel 5
Lösung c = 11:{1,3}, {2,6}, {4,7,9}, {8,5}, {10,11}, {12} Benötigt: 6 > m = 5 Stationen
c = 12, Zuteilung von AG 12 zu Station 5S5 = {10,11,12}
In großen Problemen: Jenes c, für das eine Stationsbelegung mit gegebener Stationszahl existiert, ist oft deutlich größer als cmin, sodass die schrittweise Erhöhung von c um 1 zu lange dauern würde. Daher Erhöhung um ∆ > 1.
t1=6 1
1 12
10 11 3
9 3 7
7 8
2 6
4 3
5 4
.1 10
t2=9 2
4 5
Operations Management Kapitel 4 / 125(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7 Klassifikation von komplexeren Fließbandabstimmungsproblemen
Überlegungen bezüglich:Anzahl der ProdukteZuordnungsrestriktionenParallele StationenAusstattung von Stationen mit ArbeitskräftenStationsbegrenzungAnstoßrateVerbindung der Werkstücke zum TransportsystemVerfahrensalternativenZielsetzungen
Operations Management Kapitel 4 / 126(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.1 Anzahl der Produkte
Einproduktmodelle:Fertigung eines homogenen Produkts auf einem FließbandMassenproduktion, Großserienfertigung
Mehrproduktmodelle:Gemeinsame Fertigung mehrerer Produkte auf einem oder mehreren FließbändernArten:
Varianten-Fließfertigung: Produkte sind Varianten eines Grundproduktes
Bearbeitung in gemischter Folge auf dem Fließbandlosweise Mehrprodukt-Fließfertigung: Umrüstvorgänge zwischen der Fertigung von verschiedenen Produkten
Produktionslose (jedes Produkt hat eigene Fließbandaustaktung) Planung von Losgrößen und Reihenfolge der einzelnen Produkte TSP
Operations Management Kapitel 4 / 127(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.2 Zuordnungsrestriktionen
Betriebsmittelrestriktionen:Ausrüstung einer bestimmten Station mit geeigneten Betriebsmittel nötigvorgegebene Umgebungsbedingungen
Positionsrestriktionen:Festlegung der Position eines Werkstücks innerhalb der Station
bestimmte AG nicht ausführbar (z.B.: Unterbodenarbeiten)Arbeitsgangrestriktionen:
zeitliche oder räumliche Mindest- oder Maximalabstände zwischen 2 AGbestimme Arbeitsgangkombinationen an derselben Station nicht
ausführbarQualifikationsrestriktionen:
Kombination von Arbeitsgängen mit ähnlichem Anspruchsniveau
Operations Management Kapitel 4 / 128(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.3. Parallele Stationen
Modelle ohne parallelen Stationen:Heterogene Stationen mit unterschiedlicher Zuordnung von AG serielles Fließband
Modelle mit parallelen Stationen:Mindestens 2 Stationen, die dieselben AG ausführenBearbeitung von aufeinanderfolgenden Aufträgen auf zueinander parallelen Stationen im zeitlichen Wechsel
Mischform - Parallelisierung von Arbeitsgängen:Zuordnung eines AG zu zwei verschiedenen Stationen eines seriellen FließbandesAusführung des AG abwechselnd in einer der beiden Stationen
Operations Management Kapitel 4 / 129(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.4 Ausstattung von Stationen mit Arbeitskräften
Einfachbemannte Stationen:Eine Arbeitskraft pro Station
Mehrfachbemannung:Differenzierung der Arbeitsinhalte der Stationen möglichKurzfristige Kapazitätsanpassung durch flexiblen Einsatz von Springern
Vollautomatisierte Stationen:Einsatz von Arbeitskräften zur Kontrolle des FertigungsprozessesOft für mehrere Stationen zuständig
Operations Management Kapitel 4 / 130(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.5 Stationsbegrenzung
Geschlossene Stationen:räumliche Ausdehnung für Station fest vorgegebenVerlassen des Bereichs während der Bearbeitung nicht erlaubt
Offene Stationen:Stationsgrenzen dürfen in/oder entgegen der Fließrichtung verlassen werden
rechtsoffen (in Fließrichtung verlassen)linksoffen (entgegen der Fließrichtung verlassen)
kurzfristige Kapazitätsanpassung durch Unter- bzw. Überschreitung der (lokalen) Taktzeitz.B.: Herstellung von Produktvarianten
Operations Management Kapitel 4 / 131(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.6 Anstoßrate
Modelle mit fixer Anstoßrate:Aufeinanderfolgende Werkstücke werden jeweils nach Ablauf derselben Zeitspanne (Auflageintervall) auf das Fließband gebracht
Modelle mit variabler Anstoßrate:Das nächste Werkstück wird eingelastet, sobald die erste Bandstation wieder frei ist.Unterschiedliche Abstände der Werkstücke auf dem Fließband (bei Mehrproduktfertigung)
Operations Management Kapitel 4 / 132(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.7 Verbindung der Werkstücke zum Transportsystem
Unbewegliche Werkstücke:fest mit dem Transportsystem verbundenallenfalls Drehbewegungen erlaubt
Bewegliche Werkstücke:Zwischenzeitliche Wegnahme vom Transportsystem erlaubt
NachbearbeitungZwischenlagerung
Fließfertigung ohne Zeitzwang
Operations Management Kapitel 4 / 133(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.8 Verfahrensalternativen
Vorgegebene ProduktionsverfahrenArbeitspläne sind vorgegeben
Verschiedene ProduktionsverfahrenWahl bezüglich des einzusetzenden VerfahrensMehrere alternative Arbeitspläne vorhanden (Vorranggraphen)
und/oder
unterschiedliche Bearbeitungszeiten einzelner Arbeitsgänge
Operations Management Kapitel 4 / 134(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.7.9 Zielsetzungen
Zeitorientierte ZielsetzungenMinimierung der Durchlaufzeit, der Gesamtleerzeit, des Leerzeitanteils, der GesamtwartezeitMaximierung der Kapazitätsauslastung (Bandwirkungsgrad) – bei den meisten (Einprodukt-) ModellenGleichmäßige Auslastung der Stationen
Weitere ZielsetzungenMinimierung der Stationsanzahl bei geg. TaktzeitMinimierung der Taktzeit bei geg. StationszahlMinimierung der Summe der gewichteten Taktzeit und der gewichteten Stationszahl
Operations Management Kapitel 4 / 135(c) Prof. Richard F. Hartl
Zielsetzungen
Erfolgsorientierte Ansätze:Maximierung des GesamtdeckungsbeitragsMinimierung der Gesamtkosten
Maschinen- und Werkzeugkosten (Maschinenstundensätze – von Stationsanzahl abhängig)Lohnkosten: häufig identische Lohnsätze für die Arbeitskräfte aller StationenMaterialkosten: durch Ausbringungsmenge und Taktzeit bestimmtLeerkosten: Opportunitätskosten – hängen von Taktzeit und Stationsanzahl ab
Operations Management Kapitel 4 / 136(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.8 Mehrproduktmodelle
Variantenfließfertigung:Bearbeitung mehrere Varianten eines Grundmodells in gemischter Folge auf einem Fließbandeinzelne Arbeitsgänge können von Variante zu Variante unterschiedliche Bearbeitungszeiten aufweiseneinzelne Arbeitsgänge nicht bei allen Varianten erforderlich
Bestimmung einer optimalen Abstimmung des Fließbandes und einer optimalen Bearbeitungsreihenfolge für die Werkstücke
Operations Management Kapitel 4 / 137(c) Prof. Richard F. Hartl
multi-modellosweiseMehrprodukt-Fließfertigungmit Umrüsten
Umrüsten von Würfel auf Pyramide nach 2
Wochen
Operations Management Kapitel 4 / 138(c) Prof. Richard F. Hartl
mixed-modelVarianten-fließfertigungohne UmrüstenAbstimmung auf eine „theoretische Durchschnitts-variante“
Operations Management Kapitel 4 / 139(c) Prof. Richard F. Hartl
4.3.9 Fließbandabstimmung bei Variantenfertigung
Bei ähnlichen Varianten: Vermeidung von Umrüstung und LosbildungBetrachtung aller Varianten simultan (Varianten-Fließfertigung)
Verallgemeinerung des Grundmodells (von 2.3.1)Herstellung von p Varianten eines Grundproduktes in bis zu nArbeitsgängen; das Produktionsverfahren ist fest vorgegebenvorgegebene Reihenfolgebeziehungen für die Arbeitsgänge in jeder Variante j = 1,...,n gemeinsamen Vorrangsgraphen über alle Varianten aggregierenjeder AG wird genau einer Station zugeordnet vorgegebene Bearbeitungszeiten tjv jedes AG j bei jeder Variante vgegebener Bedarf bv bei jeder Variante vgegebene Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum
Operations Management Kapitel 4 / 140(c) Prof. Richard F. Hartl
Fließbandabstimmung bei Variantenfertigung
Gesamtbedarf aller Varianten im Planungszeitraum:
Kumulierte Bearbeitungszeit von AG j über alle Varianten im Planungszeitraum:
∑=
=p
vvbb
1
jvp
vvj tbt ∑
==
1
Operations Management Kapitel 4 / 141(c) Prof. Richard F. Hartl
LP-Modell
Aggregierte Variante: Fließband wird nicht taktweise, sondern auf Grundlage der Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum abgestimmt
Gleiche LP wie im Kapitel 2.3.1.5, jedochErsetzen der Taktzeit c durch die Gesamtdauer T
m,...,k= ,...,n j= S j
x kjk 1und1allefür
sonst0gArbeitsgan falls1
⎩⎨⎧ ∈
=
Operations Management Kapitel 4 / 142(c) Prof. Richard F. Hartl
LP-Modell
Zielfunktion:( ) nk
m
kxkxZMinimiere ⋅=
=Σ
1 … Nummer der letzten Station (mit AG n)
Nebenbedingungen:
für alle j = 1, ... , n ... AG auf genau eine Station
für alle k = 1, ... , ... Gesamtdauer bei Station k
für alle ... Vorrangbeziehungen
für alle j und k
x jkk
m
=∑ =
11
x tjkj=
n
j1∑ ⋅ ≤ T
k x k xhkk
m
jkk
m
⋅ ≤ ⋅= =∑ ∑
1 1
{ }x ,jk ∈ 0 1
( )h,j E∈
Operations Management Kapitel 4 / 143(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel I
aggregiertes Modellv = 3, b3 = 1
v = 2, b2 = 2v = 1, b1 = 4
t12=51 0
12 1111 4
9 17
48
16
63
54
110
112
35
t13=81 3
12 811 1
9 37
138
46
03
54
110
132
25
t11=6 1
1 12
10 11 3
9 4 7
7 8
2 6
4 3
5 4
1 10
7 2
5 5
t1=42 1
7 12
7011 21
9 217
49 8
14 6
28 3
35 4
7 10
63 2
28 5
Operations Management Kapitel 4 / 144(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel II
Verwendung von exakten Verfahren:
gegeben: T = 70
Stationszuteilung mit m = 7 Stationen:S1 = {1,3}S2 = {2} S3 = {4,6,7} S4 = {8,9} S5 = {5,10} S6 = {11} S7 = {12}
Operations Management Kapitel 4 / 145(c) Prof. Richard F. Hartl
Größen
... Belegungszeit der Station k durch Variante v in Zeitdauer T
... mittlere Belegungszeit der m Stationen durch Variante v in T
bzw. die analogen Größen pro Stück (ME):
... Belegungszeit der Station k durch 1 ME von Variante v
... mittlere Belegungszeit der m Stationen durch 1 ME Variante v
Aggregiert über alle Varianten erhält man:
... gesamte Belegungszeit der Station k in T
τkv v jv jkj
nb t x=
=∑
1
τv v jvj
nb t m=
=∑ /
1
′ ==∑τkv jv jkj
nt x
1
′ ==∑τv jvj
nt m/
1
t S tk kvv
p( ) =
=∑
1Operations Management Kapitel 4 / 146(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Maßzahlen pro ME
3
2
7,86110610117101
τ`v7654321Variante v
MittelStation kτ’
kv
11 11 7 8 4 0
8
7,4311
13 12 14 3 8 3 8,71
x 4
x 2
x 1
Operations Management Kapitel 4 / 147(c) Prof. Richard F. Hartl
Beispiel – Maßzahlen
557703570706370t(Sk)
3
2
31,4344024404428401
τv7654321Variante v
MittelStation kτkv
22 14 16 8 22 0 14,86
8 1213 14 383
22
8,71
Operations Management Kapitel 4 / 148(c) Prof. Richard F. Hartl
Fazit
Station 5 und 7 sind sehr schlecht ausgelastet
die Belegungszeiten τkv der Stationen k schwanken bei den Varianten v stärker als die aggregierte Variante t(Sk)
Die Belegungszeiten schwanken bei den Größen pro ME (2. Tabelle) stark mit der Variante. Bei Variante 3 sind z.B. die Stationen 2, 3 und 4 sehr stark beansprucht.
mehrere ME von Variante 3 hintereinander gefertigt die mittlere Taktzeit kann hier nicht eingehalten werden, d.h. das Band
muss angehalten werden.
Operations Management Kapitel 4 / 149(c) Prof. Richard F. Hartl
Behebung der ungleichen Auslastungen
durch Betrachtung nachgeordneter ZielfunktionenUnter mehreren Lösungen, die alle die gleiche (minimale) Stationszahl m liefern (1. Ziel), wählt man jene, die die folgende 2. Zielfunktion minimiert:
... Summe der absoluten Auslastungsunterschiede
Minimierung z.B. durch folgende Greedy-Heuristik möglich
∑∑==
−=∆p
vvkv
m
k 11ττ
Operations Management Kapitel 4 / 150(c) Prof. Richard F. Hartl
Verfahren von Thomopoulos
Start: Abweichung ∆ = 0, k = 0
Iteration: solange noch nicht alle AG eingeplant:
erhöhe k um 1
ermittle alle zulässigen Stationsbelegungen Sk für die nächste Station k
wähle jenes Sk mit der kleinsten Abweichungssumme
setze ∆ = ∆ + ∆(Sk)
∑=
−=∆p
vvkvkS
1)( ττ
Operations Management Kapitel 4 / 151(c) Prof. Richard F. Hartl
Verfahren von Thomopoulos – Beispiel
T = 70 m = 7
Lösung: 9 Stationen (min. Stationszahl = 7):
S1 = {1}, S2 = {3,6}, S3 = {4,7}, S4 = {8}, S5 = {2}, S6 = {5,9}, S7 = {10}, S8 = {11}, S9 = {12}
Abweichungssumme: ∆ = 183,14
Operations Management Kapitel 4 / 152(c) Prof. Richard F. Hartl
Verfahren von Thomopoulos
Nur jene Stationsbelegungen Sk kommt in Frage, deren Belegungszeit t(Sk) einen Wert λ überschreiten (keine zu großen Leerzeiten).
Wahl von λ : λ zu klein:
sehr ausgeglichene Stationsbelegungen bezüglich der einzelnen Variantenu.U. zu viele Stationen.
λ zu groß:wenig ausgeglichene Stationsbelegungeneher minimale Stationszahl. [sehr großes λ u.U. gar keine zulässige Stationsbelegung mit t(Sk) ≥ λ]
Operations Management Kapitel 4 / 153(c) Prof. Richard F. Hartl
Verfahren von Thomopoulos – Beispiel Fort.
λ = 49
Lösung:7 Stationen:
S1 = {2}, S2 = {1,5}, S3 = {3,4}, S4 = {7,9,10}, S5 = {6,8}, S6 = {11}, S7 = {12}
Abweichungssumme: ∆ = 134,57
Operations Management Kapitel 4 / 154(c) Prof. Richard F. Hartl
Lösung – exaktes Verfahren
7 Stationen:S1 = {1,3}, S2 = {2}, S3 = {4,5}, S4 = {6,7,9 }, S5 = {8,10}, S6 = {11}, S7 = {12}
Abweichungssumme: ∆ = 126
557705656636370t(Sk)8,71381487138314,860221012162222231,4344032364028401
τv7654321Variante v
MittelStation kτkv
Operations Management Kapitel 4 / 155(c) Prof. Richard F. Hartl
Weitere Zielsetzungen
Abstimmung von Nachfragewerten bj abhängigÄnderung der Nachfragewerte Abstimmung wiederholen und umrüsten
Umgehen durch:Nachfrageunabhängige Zielsetzungen
… Summe der absoluten Auslastungsunterschiede pro Stück
′ = ′ − ′==∑∑∆ τ τkv vv
p
k
m
11
Operations Management Kapitel 4 / 156(c) Prof. Richard F. Hartl
Weitere Zielsetzungen
Nachteil dieser Zielfunktionen:
Große Abweichungen bei einer Station (die zu Störungen im Produktionsablauf führen können) können durch geringe Abweichungen bei einigen anderen Stationen kompensiert werden.
... maximaler Auslastungsunterschied pro Stück (ME)
∆max,
max= ′ − ′k v
kv vτ τ
Operations Management Kapitel 4 / 157(c) Prof. Richard F. Hartl
4.4 Konfiguration von Lagerhäusern
einfaches Modell von Askin & Standridge
Operations Management Kapitel 4 / 158(c) Prof. Richard F. Hartl
4.5 Konfiguration und Analyse von flexiblen Fließfertigungssystemen
einfache Warteschlangenmodelle, M/M/s, M/G/1, GI/G/1
aus Zeitgründen werden diese Themen hier nicht behandelt;