§4.1 几个有用的排列组合函数

Chapter 4 概率统计中的 Matlab

knCknnchoosek 求组合数),(.1

如： >> nchoosek(5,3) ， nchoosek(20,6)

ans = 10

ans = 38760

一、基本公式

.的阶乘求)(.2 nnfactorial

如： >> factorial(6),factorial(10)

ans = 720

ans = 3628800

中所有元素的排列给出)(.3 vvperms

如： >> perms([1 3 5])

ans = 5 3 1 5 1 3 3 5 1 3 1 5 1 3 5 1 5 3

个元素的组合中取从),(.4 kvkvcombnk

如： >> combnk([2 3 6 7 8],3)

ans = 6 7 8 3 7 8 3 6 8 3 6 7 2 7 8 2 6 8 2 6 7 2 3 8 2 3 7 2 3 6

.的随机排列到1产生一个)(.5 nnrandperm

如： >> randperm(5)

ans =

3 4 5 2 1

二、产生随机数的两种方法

1. rand(1,n) 产生 1 行 n 列，即 n 个（ 0 ， 1 ）之间的随机数

>> rand(1,8)ans = 0.2760 0.6797 0.6551 0.1626 0.1190 0.4984 0.9597 0.3404

如：

注： (1) 由此可产生任意区间 (a,b) 的随机 数，即

Rand(1,n)* （ b-a ） +a

>> rand(1,8)*3+2ans = 2.2276 2.1619 3.5924 4.3375

4.8020 2.3897 3.7065 3.4082

如：

此即是产生了区间（ 2 ， 5 ）之间的 8 个随机数。

(2) ceil: 往上取整，即若 0.12 取为 1 ； fix ：靠近零取整，即若 0.12 取为 0 ，

>> A1=rand(1,8)*3+2A1 = 2.7889 3.9622 4.0676 4.2445

3.3516 2.2515 2.6869 4.7400

如：

>> fix(A1)

ans =

2 3 4 4 3 2 2 4

>> ceil(A1)ans = 3 4 5 5 4 3 3 5

2. unidrnd(n,1,m) ：产生最大值为 n的 1 行 m 列 (m 个 ) 的随机自然数。

>> unidrnd(9,1,5)ans = 8 9 2 9 6

如：

>> unidrnd(9,1,5)ans = 1 3 5 9 9

三、随机试验的计算机模拟

例、《概统》书上习题一的 13 题

设有 6 个相同的球以等可能地落入 10个盒子中的每一个，其中盒子是可辨的并且盒子能容纳的球数不限。求（ 1 ）某一个指定的盒子中恰有 2 个球

的概率；（ 2 ）某指定的 4 个盒子中正好有 3 个

球的概率。

function P = fun1_13(N)% P 返回实验成功的概率% N 表示随机模拟进行的次数 n=0; % n 表示实验成功的次数

for k=1:N

y=zeros(1,10);% 初始化 10 个盒子

for i=1:6 % 进行 6 次扔球实验

r=unidrnd(10); % 产生 1 到 10 之间的随机正整数，表示球掉入的盒子号 y(r)=y(r)+1; % 该盒子内的球数加 1 end if y(1)==2 % 某个指定的盒子，不妨假设为第一个盒子 n=n+1; endendP=n/N;

>> fun1_13(10)ans = 0>> fun1_13(20)ans = 0.0500>> fun1_13(30)ans = 0.0333

>> fun1_13(1000)ans = 0.0880>> fun1_13(1000)ans = 0.0960>> fun1_13(10000)ans =

0.1005

>> fun1_13(1e4)

ans = 0.0949

>> fun1_13(1e5)

ans = 0.0980

>> fun1_13(1e5)

ans = 0.0985

>> fun1_13(1e5)

ans = 0.0983

例、《概统》书上习题一的 31 题

乒乓球有白色与黄色两种颜色，一口袋内有两个乒乓球，但不知道口袋内两个乒乓球的颜色。现在从口袋中任取一个乒乓球，发现是黄色的，然后返回口袋充分混合，求从口袋中再取出一个黄色乒乓球的概率。

function P = fun1_31(N)

% P 返回实验成功的概率% N 表示随机模拟进行的次数

n=0;%n 表示实验成功的次数m=0;%m 表示有效实验次数（第一次取到白色的为无效实验）

for k=1:N y=unidrnd(2,1,2);% 产生 1 行 2列两个不大于 2 的随机正整数， 1 代表黄色，2 代表白色

if y(1)==2 % 白色 , 不符合实验要求， 从新开始实验

continue; end

m=m+1; r=unidrnd(2); % 产生不大于 2 的数，表示随机取第一个或第二个球 if y(r)==1 n=n+1; endendP=n/m;

>> fun1_31(1e5)

ans =

0.7489

>> fun1_31(1e5)

ans =

0.7517

>> fun1_31(1e5)

ans =

0.7551

>> fun1_31(1e6)

ans =

0.7504

作 业1 、利用 Matlab 验证，对任意的正整数 m,n 及非负整数 k, 下式成立，并由此写出二项分布的可加性质。

knm

k

i

ikm

in CCC

0

1 、设每个人的生日在一年的 365 天中的任意一天是等可能的 .

(1) 给出在一个

至少有两个人的生日相同的概率 P2(n) 的计算公式。

(2) 试用 Matlab 软件分别算出 P2(k),k=2,3, ……,100

个人的团体中，)365(n

(3) 利用产生随机数的方法，随机产生30 个 1 到 365 之间的正整数，用计算机模拟 30 个人中至少有两个人生日相同的概率，模拟 5 次，并与 (2) 的结果进行对照，与你自己的想象有没有不同，写出你的想象。