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Sistemas dinamicos

Realimentacion de la salida

1

/41

Contenido

1. El estimador de estado

2. El observador de orden reducido

2

/41

EL ESTIMADOR DE ESTADO

3

/41

El observador de estado

El control por realimentacion de estados asume la disponibilidad de todas las variables de estado.» En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, ya

sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy dificil o muy caro medirlos.

A fin de implementar una realimentacion de estados debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico, llamado observador o estimador de estados, cuya salida sea una estimacion del vector de estados.

4

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Arquitectura del control

5

tu tx 1s

I A B

K

Compensator

State Observer

C

ˆ tx

Open Loop System

ˆu t K t x

Se usa una estimacion del estado para generar el control

Se asume el sistema conocido, con D = 0

Bu

y C

x Ax

x

x̂ es una estimacion de x

y t y t Du t

Resultados validos si remplazando y(t) por

0D

/41

Observador a lazo abierto

Usando solo la entrada paraexitar el estimador de lazo abierto

Si el sistema y el observador tienen las mismas condiciones iniciales, entonces, para, para cualquier entrada

6

Conociendo A y B, podemos duplicar la ecuacion de estados original

0t x̂ t x t

)(tu )(tybs

1

A

cx x

bs

1

A

x̂x̂

Bu

y C

x Ax

x

ˆ ˆ Bu x Ax

¿Como hallar el estado inicial x(0) del sistema para usarlo en el observador?

/41

Calculo del estado inicial Si el sistema es observable, su estado inicial x(0) puede

ser calculado de u y y en cualquier intervalo de tiempo, digamos [0, t1].

» y podemos entonces calcular el estado en t2 y hacer , . Entonces, para todo t t2.

7

)()(ˆ tt xx )()(ˆ 22 tt xx 2 1t t

/41

Dinamica del error La ecuacion del error de estimacion esta dada por

Si A es Hurwitz, entonces → 0 cuando t → ∞.

8

ˆ 0Atx t x t x t e x

x t

Por lo tanto, la dinamica del error esta completamente determinada por la dinamica en lazo abierto del

sistema (los valores propios de la matriz A).

/41

Limitaciones del observador a lazo abierto

El observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas:

Aun con la matriz A estable, esta dinamica pudiera ser muy lenta.

If A tiene autovalores con parte real positiva, entonces cualquier pequeña diferencia entre y para algun t0, causada por un disturbio o una imperfeccion en la estimacion del estado inicial, hara que la diferencia entre y crezca con el tiempo

9

)( 0tx )(ˆ 0tx

)(ˆ tx )(tx

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El observador a lazo cerrado

Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico

10

A, B and C son conocidos

ˆy t y t Cx t

El error de estimacion de la salida, pasando por una ganancia constante L, es usado como un termino de correccion. Si el error es cero, no es necesaria ninguna correcion.

y t

/41

El observador a lazo cerrado

Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico

11

A, B and C son conocidos

Forma simplificada

Si la diferencia no es cero y si la ganancia L es diseñada apropiadamente, la diferenciallevara al estado estimado a su estado real

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ( )

x Ax Bu L y Cx

A LC x Bu Ly

/41

El error de estimacion

El estado verdadero:

El estado de estimado:

El error de Estimacion:

La dinamica del error

Si todos los autovalores de (A LC) pueden ser asignados arbitrariamente, podemos controlar la velocidad con que el error de estimacion se aproxima a cero

12

No hay necesidad de calcular el estado inicial de la ecuación de estado original.

ˆ ˆ( )A LC Bu Ly x x

ˆ:x x x

;A Bu y C x x x

ˆ ( )x A LC x x x

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Teorema

(Asignacion de Autovalores en observadores). Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.

13

Prueba:

Recurriendo a la dualidad controlabilidad/observabilidad, el par (A, C) es observable si y solo si (AT, CT) es controlable. Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K. La transpuesta de (AT CTK) es (A KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT.

El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.

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Dinamica del estado en lazo cerrado

Definiendo el estado del sistema aumentado, en lazo cerrado

Partiendo de las ecuaciones

14

ˆu K x

ˆ ˆ( )A LC Bu Ly x x

;A Bu y C x x x

a ˆx

x I 0 xx

I I x

0ˆ ˆ0x x

00x x

/41

Dinamica del estado en lazo cerrado

Dinamica del estado, en lazo cerrado

Dinamica del sistema aumentado

15

ˆ ( )x A LC x x x

ˆx Ax BK x

ˆAx BK BKx BKx x ˆA BK x BK x x

A BK x t BKx

ˆu K x

0

0 00

ˆ

a

a aA BK BK xx

A LC x xx

x

x x0

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Diseño del observador

Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de

Se pueden obtener los autovalores deseados de A – BK seleccionado la ganancia de realimentacion

Se pueden obtener los autovalores deseados de A – LC seleccionado la ganancia del observador

Esta es la propiedad de la separacion: la solucion en dos diseños separados

16

y A BK A LC

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Procedimiento de diseño del observador

Obtener el par (AT, CT). Si el par es controlable continuar 

Elegir los valores propios deseados del observador en lazo cerrado

 Usando (AT, CT), calcular la matriz de realimentacion K mediante el procedimiento para la asignacion de autovalores, via la forma canonica.» O con la funcion K = place(A,B,P) de MATLAB

Obtener L = KT

17

/41

Ejemplo

18

Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro

m

M

y

u

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 0

0 0 5 0 2

1 0 0 0

0 0 1 0

t t u t

t t

bA

C

x x

y x

1 2 3 4 x x x y x y

/41

Ejemplo

19

Comprobamos si el par (AT, CT) es controlable desde la primera salida

1 0 0 0C 1

2

yy

y

2 3T TTTQ C CA CA CA

sysO = ss(A',C',C,D)Q = ctrb(sysO)

matlab

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1x

/41

Ejemplo

20

Se seleccionan los autovalores deseados del observador

escogidos por las propiedades de la respuesta

1

2

15 5

15 5

j

j

3

4

10 10

10 10

j

j

Polinomio caracteristico deseado en lazo cerrado

10 10 10 10 15 5 15 5q s s j s j s j s j

2 220 200 30 250s s s s

3 2 1 0

4 3 2 1 050 1050 11000 50000s s s s s

/41

Ejemplo

21

Polinomio caracteristico en lazo abierto

Ganancia del observador, para el sistema en la forma canonica

detq s sI A

3 2 1 0

4 3 2 1 00 5 0 0s s s s s

1 0 0 1 1 2 2 3 3TL

1 50000 11000 1055 50T

L

/41

Ejemplo

22

La ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es,

1T T TL L P L CC 1 2 3

1 21 2 3

1

1

0 1

0 0 1

0 0 0 1

P B AB A B A B

1 50 1055 11250 55275T

L

Finalmente

/41

Ejemplo

23

El observador

ˆ ˆ

ˆ

A LC Bu L

C

x x y

y x

50 1 0 0 0 50 0

1055 0 1 0 1 1055 0ˆ ˆ

11250 0 0 1 0 11250 0

55275 0 5 0 2 55275 0

u

x x y

1 0L L

/41

Ejemplo

24

El observador con realimentacion

Para

50 1 0 0 50 0

1053 3.667 7.583 4.333 1055 0ˆ ˆ

11250 0 0 1 11250 0

55272 7.333 12.167 8.667 55275 0

0

1

0

2

r

x x y

ˆu K r x

5 103 13113 3 12 2K

/41

Ejemplo

25

Comparacion

0 1 2 3 4 5 6 7-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Time (s)

Car

t po

sitio

n

Observer feedback

State feedback

0 1 2 3 4 5 6 7-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Time (s)

Car

t po

sitio

n

Observer feedback

State feedback

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EL OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

26

/41

El observador de orden reducido

Se supondra, ahora, que q de los n estados del sistema pueden ser medidos en forma directa.

» Estos estados se agrupan en el vector

» mientras que los restantes n − q estados se agrupan en

» La ecuacion de estado original

27

1 1 2, , ,Tqx x x x

2 1 2, , ,Tq q nx x x x

:B

C

x Ax u

y x

: , : , :n n B n p C q n A

C tiene rango completo de fila

1x

/41

El observador de orden reducido

Definiendo

Por la transformacion

28

:C

PR

211: QQPQ )(:,: 21 qnnqn QQ

1 21 2

1 2

q

nn q

C CC

I 0Q QI PQ Q Q

0 IRQ RQR

R is una matriz arbitraria (nq)n

Pxx

1

1:

q

B

C

x PAP x P u

y P x I 0 x

11 111 12

22 221 22

1q

B

B

xx A Au

xx A A

y I 0 x x

/41

El observador de orden reducido

Todos los estados x1 son accesibles. Solo necesitan ser estimados los ultimos nq elementos de

Usando , tenemos

Definiendo,

29

x

1xy

2 21 22 2 2

11 12 2 1

y B

y B

x A A x u

y A A x u

21 2

11 1

B

B

u A y u

w y A y u

212

2222

xAwuxAx

11 111 12

22 221 22

1q

B

B

xx A Au

xx A A

y I 0 x x

En la ecuacion de salida se ha puesto de manifiesto que todos los estados x1

son accesibles y seran tomados como salidas para su realimentacion

/41

Realimentacion de los estados estimados

Si (A, C) es observable, puede ser construido un estimador completo o de orden reducido con valores propios arbitrarios

Si las variables de estado NOestan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado

30

)(tr)(tu

)(ty

Plant

k

Estimatorx̂

xkˆru

/41

Realimentacion de los estados estimados

Realimentacion de estado:

Ecuacion de la salida: y = Cx

Ecuacion de estado:

El estimador de estado

31

xkˆru

ˆA Bu A BK Br x x x x

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ( ) ( )

A LC Bu Ly

A LC B r K LC

x x

x x x

ˆˆ

A BK Br

LC A LC BK B

x x

xx

ˆ

y C

x0

x

/41

Transformacion equivalente

32

ˆˆ

A BK Br

LC A LC BK B

x x

xx

ˆy C

x0

x

:ˆ ˆ ˆx

x x I 0 x xP

x x I I x x1 P P

A BK BK Br

x A LC x

x x

0 0

y Cx

x0

La matriz A es triangular a bloques; por lo tanto sus valores propios son la union de aquellos de

(ABK) y (ALC)

/41

Caracteristicas

La insercion del estimador de estado no afecta a los autovalores de la realimentacion de estado original; ni los autovalores del estimador de estado son afectados por esta condición.

El diseño de la realimentación de estado y el diseño de estimator de estado pueden llevarse a cabo de forma independiente. Esta es llamada la propiedad de separación.

33

A BK BK Br

x A LC x

x x

0 0

y Cx

x0

/41

Caracteristicas

La ecuacion de estado resultante no es controlable y la funcion de transferencia es igual a

Esta es la funcion de transferencia del sistema realimentado original sin usar el estimador de estado

El estimador es completamente cancelado en la funcion de transferencia desde r a y

34

A BK BK Br

x A LC x

x x

0 0

y Cx

x0

1ˆ ( ) ( )fg s C sI A BK B y C x( )A BK Br x x

/41

Ejemplo

35

Diseñar la realimentacion de estado u = r Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2.

Solucion:

u

1

0

11

10xx x01y

1 21 2

0 10 1 0

1 11 1 1A BK k k

k k

22 1

1 2

( ) ( ) ( 1) (1 ) ( 1)( 2)

3, 4

f s sI A BK s k s k s s

k k

/41

Ejemplo

36

Diseñar la realimentacion de estado u = r Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2.

Realimentacion de estado:

x43ru

r

1

0

32

10xx x01y

/41

Ejemplo

37

Sistema original:

Sistema realimentado:

u

1

0

11

10xx x01y

r

1

0

32

10xx x01y

x43ru+ +r u 2x 2x 1x

1 y

1

1

- 4

- 3

/41

Ejemplo

38

Solucion:

Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5.

1 1

2 2

10 11 0

1 11 1

l lA LC

l l

21 2 1

1 2

( ) ( ) ( 1) ( 1)

( 4)( 5) 10, 31

o s sI A LC s l s l l

s s l l

/41

Ejemplo

39

Es estimador de estado:

Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5.

ˆ ˆ( )

10 1 0 10ˆ

30 1 1 31

A LC Bu Ly

u y

x x

x

+ +r u 2x 2x 1x

1 y

1

1

- 3

- 4

1

++

1031

-101

1

-30

1̂x2x̂

/41

Bibliografia

A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

40

/41

FIN

41