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Sistemas dinamicos
Realimentacion de la salida
1
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Contenido
1. El estimador de estado
2. El observador a lazo abierto
3. El observador a lazo cerrado
4. Diseño del observador
5. El observador de orden reducido
2
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EL ESTIMADOR DE ESTADO
3
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El observador de estado
El control por realimentacion de estados asume la disponibilidad de todas las variables de estado.
» En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, ya sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy dificil o muy caro medirlos.
4
u r K x
/59
El observador de estado
A fin de implementar una realimentacion de estados debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico cuya salida sea una estimacion del vector de estados:
5
El observador de estados
x̂ es una estimacion de x
Bu
y C
x Ax
x
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Arquitectura del control
6
tu tx 1s
I A B
K
Compensator
State Observer
C
ˆ tx
Open Loop System
ˆu t K t x
Se usa una estimacion del estado para generar el control
Se asume el sistema conocido, con D = 0 Bu
y C
x Ax
x
y t y t Du t
Resultados validos si remplazando y(t) por
0D
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EL OBSERVADOR A LAZO ABIERTO
7
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El observador a lazo abierto
Usando solo la entrada para exitar el estimador de lazo abierto
Si el sistema y el observador tienen las mismas condiciones iniciales, entonces, para, para cualquier entrada
8
Conociendo A y B, duplicar la ecuacion de estados original
0t x̂ t x t
)(tu )(tybs
1
A
cx x
bs
1
A
x̂x̂
Bu
y C
x Ax
x
ˆ ˆ Bu x Ax
Idea:
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Calculo del estado inicial
Si el sistema es observable, su estado inicial x(0) puede ser calculado de u y y en cualquier intervalo de tiempo, por ejemplo, [0, t1].
9
¿Como hallar el estado inicial x(0) del sistema para usarlo en el observador?
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Calculo del estado inicial Pasos a implementar en el observador:
1. Calcular el estado inicial x(0)
2. Calcular el estado en t2 y hacer
10
ˆ( ) ( )x t x t
2 2ˆ( ) ( )x t x t 2 1t t
Entonces:
para todo t t2.
¿algun problema?
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Dinamica del error La ecuacion del error de estimacion esta dada por
Si A es Hurwitz, entonces → 0 cuando t → ∞.
11
ˆ 0Atx t x t x t e x
x t
Por lo tanto, la dinamica del error esta completamente determinada por la dinamica en lazo abierto del
sistema (los valores propios de la matriz A).
¿algun problema?
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Limitaciones del observador a lazo abierto
El observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas:
Aun con la matriz A estable, esta dinamica pudiera ser muy lenta.
Si A tiene autovalores con parte real positiva,
» entonces cualquier pequeña diferencia entre y para algun t0, causada por un disturbio o una imperfeccion en la estimacion del estado inicial, hara que:
12
)( 0tx )(ˆ 0tx
ˆx t x t crezca con el tiempo
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EL OBSERVADOR A LAZO CERRADO
13
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El observador a lazo cerrado
Observador a lazo cerrado = estimador asintotico
14
A, B and C son conocidos
Usando la entrada y la salida
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El observador a lazo cerrado
Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico
15
A, B and C son conocidos
ˆy t y t Cx t
El error de estimacion de la salida, pasando por una ganancia constante L, es usado como un termino de correccion.
Si el error es cero, no es necesaria ninguna correcion.
y t
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El observador a lazo cerrado
Estimador a lazo cerrado = estimador asintotico
16
Forma simplificada
Si la diferencia no es cero y si la ganancia L se diseña apropiadamente, la diferenciallevara al estado estimado a su estado real
ˆ ˆ ˆ( )
ˆ( )
x Ax Bu L y Cx
A LC x Bu Ly
A, B and C son conocidos
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El error de estimacion
El estado verdadero:
El estado de estimado:
El error de Estimacion:
La dinamica del error
Si todos los autovalores de (A LC) pueden ser asignados arbitrariamente, podemos controlar la velocidad con que el error de estimacion se aproxima a cero
17
No hay necesidad de calcular el estado inicial de la ecuación de estado original.
ˆ ˆ( )A LC Bu Ly x x
ˆ:x x x
;A Bu y C x x x
ˆ ( )x A LC x x x
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Teorema
Teorema de la asignacion de Autovalores en observadores
Considere el par (A, C)
Todos los autovalores de (A LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.
18
ˆ ( )x A LC x x x
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Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores
Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.
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Prueba:
Recurriendo a la dualidad controlabilidad/observabilidad, el par (A, C) es observable si y solo si (AT, CT) es controlable.
Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K.
La transpuesta de (AT CTK) es (A KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT.
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Teorema Teorema de la signacion de Autovalores en observadores
Considere el par (A, C). Todos los autovalores de (A LC) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L si y solo si (A, C) es observable.
20
Si (AT, CT) es controlable todos los autovalores de (AT CTK) pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion adecuada de K.
La transpuesta de (AT CTK) es (A KTC) y por lo tanto, hacemos L = KT.
El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.
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Procedimiento de diseño del observador
Obtener el par (AT, CT). Si el par es controlable continuar
Elegir los valores propios deseados del observador en lazo cerrado
Usando (AT, CT), calcular la matriz de realimentacion K mediante el procedimiento para la asignacion de autovalores, via la forma canonica.
Obtener L = KT
21
con la funcion K = place(AT, CT,P) de MATLAB
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REALIMENTACION DE LA SALIDA
22
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Arquitectura del control
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ˆu t K t x
Se usa una estimacion del estado para generar el control
Se asume el sistema conocido, con D = 0 Bu
y C
x Ax
x
y t y t Du t
Resultados validos si remplazando y(t) por
0D
tu tx 1s
I A B
K
Compensator
C
ˆ tx
Open Loop System ty
1s I A
B
L
C
Estimator
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Dinamica del estado en lazo cerrado
Definiendo el estado del sistema aumentado, en lazo cerrado
» Partiendo de las ecuaciones
24
ˆu K x
ˆ ˆ( )A LC Bu Ly x x
;A Bu y C x x x
a ˆx
x I 0 xx
I I x
0ˆ ˆ0x x
00x x
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Dinamica del estado en lazo cerrado
» Dinamica del estado, en lazo cerrado
» Dinamica del error
25
ˆx Ax BK x
ˆAx BK BKx BKx x ˆA BK x BK x x
A BK x t BKx
ˆu K x
ˆ ( )x A LC x x x
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Dinamica del estado en lazo cerrado
La dinamica del sistema aumentado:
26
ˆ ( )x A LC x x x
x A BK x t BKx
0
0 00
ˆ
a
a aA BK BK xx
A LC x xx
x
x x0
Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de y A BK A LC
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Caracteristicas
La ecuacion de estado resultante no es controlable y la funcion de transferencia es igual a
Esta es la funcion de transferencia del sistema realimentado original sin usar el estimador de estado
El estimador es completamente cancelado en la funcion de transferencia desde r a y
27
A BK BK Br
x A LC x
x x
0 0
y Cx
x0
1ˆ ( ) ( )fg s C sI A BK B y C x( )A BK Br x x
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Diseño del control
Los autovalores del sistema realimentado son la union de los autovalores de
Esta es la propiedad de la separacion: la solucion en dos diseños separados
Obtener los autovalores deseados de A – BK seleccionando la ganancia de realimentacion
Obtener los autovalores deseados de A – LC seleccionando la ganancia del observador
28
y A BK A LC
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Ejemplo 1
29
Diseñar la realimentacion de estado u = r Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2.
Solucion:
u
1
0
11
10xx x01y
1 21 2
0 10 1 0
1 11 1 1A BK k k
k k
22 1
1 2
( ) ( ) ( 1) (1 ) ( 1)( 2)
3, 4
f s sI A BK s k s k s s
k k
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Ejemplo 1
30
Diseñar la realimentacion de estado u = r Kx para ubicar los autovalores en 1 y 2.
Realimentacion de estado:
x43ru
r
1
0
32
10xx x01y
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Ejemplo 1
31
Sistema original:
Sistema realimentado:
u
1
0
11
10xx x01y
r
1
0
32
10xx x01y
x43ru+ +r u 2x 2x 1x
1 y
1
1
- 4
- 3
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Ejemplo 1
32
Solucion:
Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5.
1 1
2 2
10 11 0
1 11 1
l lA LC
l l
21 2 1
1 2
( ) ( ) ( 1) ( 1)
( 4)( 5) 10, 31
o s sI A LC s l s l l
s s l l
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Ejemplo 1
33
Es estimador de estado:
Diseñar el estimador de estado completo con autovalores en 4 y 5.
ˆ ˆ( )
10 1 0 10ˆ
30 1 1 31
A LC Bu Ly
u y
x x
x
+ +r u 2x 2x 1x
1 y
1
1
- 3
- 4
1
++
1031
-101
1
-30
1̂x2x̂
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Ejemplo 2
34
Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro
m
M
y
u
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 5 0 2
1 0 0 0
0 0 1 0
t t u t
t t
bA
C
x x
y x
1 2 3 4 x y x y x x
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Ejemplo 2
35
Comprobamos si el par (AT, CT) es controlable desde la primera salida
1 0 0 0C 1
2
yy
y
2 3T TTTQ C CA CA CA
sysO = ss(A',C',C,D)Q = ctrb(sysO)
matlab
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1x
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Ejemplo 2
36
Se seleccionan los autovalores deseados del observador
escogidos por las propiedades de la respuesta
1
2
15 5
15 5
j
j
3
4
10 10
10 10
j
j
Polinomio caracteristico deseado en lazo cerrado
10 10 10 10 15 5 15 5q s s j s j s j s j
2 220 200 30 250s s s s
3 2 1 0
4 3 2 1 050 1050 11000 50000s s s s s
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Ejemplo 2
37
Polinomio caracteristico en lazo abierto
Ganancia del observador, para el sistema en la forma canonica
detq s sI A
3 2 1 0
4 3 2 1 00 5 0 0s s s s s
1 0 0 1 1 2 2 3 3TL
1 50000 11000 1055 50T
L
/59
Ejemplo 2
38
La ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es,
1T T TL L P L CC 1 2 3
1 21 2 3
1
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
P B AB A B A B
1 50 1055 11250 55275T
L
Finalmente
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Ejemplo 2
39
El observador
ˆ ˆ
ˆ
A LC Bu L
C
x x y
y x
50 1 0 0 0 50 0
1055 0 1 0 1 1055 0ˆ ˆ
11250 0 0 1 0 11250 0
55275 0 5 0 2 55275 0
u
x x y
1 0L L
/59
Ejemplo 2
40
El observador con realimentacion
Para
50 1 0 0 50 0
1053 3.667 7.583 4.333 1055 0ˆ ˆ
11250 0 0 1 11250 0
55272 7.333 12.167 8.667 55275 0
0
1
0
2
r
x x y
ˆu K r x
5 103 13113 3 12 2K
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Ejemplo 2
41
Comparacion
0 1 2 3 4 5 6 7-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Time (s)
Car
t po
sitio
n
Observer feedback
State feedback
0 1 2 3 4 5 6 7-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Time (s)
Car
t po
sitio
n
Observer feedback
State feedback
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Ejemplo 3
42
Considere el péndulo invertido del ejemplo anterior
Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j .
MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el
vector P.
EJERCICIO: Diseñar el controlador con observador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink
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EL OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
43
/59
El observador de orden reducido
Se supondra, ahora, que q de los n estados del sistema pueden ser medidos en forma directa.
» Estos estados se agrupan en el vector
» mientras que los restantes n − q estados se agrupan en
» La ecuacion de estado original
44
1 1 2, , ,Tqx x x x
2 1 2, , ,Tq q nx x x x
:B
C
x Ax u
y x
: , : , :n n B n p C q n A
C tiene rango completo de fila
1x
/59
El observador de orden reducido
Si C = [ I 0 ], entonces y(t) son los primeros q estados
definiendo,
45
11
T T n qQ C CC R
1 qCQ I
/59
El observador de orden reducido
definiendo
46
2 2 2: y n n qQ Q rank Q n q C 0R
12 2 2T T n qR Q Q Q
R
1
2 2 2 2 2T T
n q n qRQ Q Q Q Q
I
Una base para Null(C)
/59
El observador de orden reducido
47
/59
El observador de orden reducido
Definiendo la transformacion P
Por la transformacion
48
211: QQPQ )(:,: 21 qnnqn QQ
1 21 2
1 2
q
nn q
C CC
I 0Q QI PQ Q Q
0 IRQ RQR
Pxx
1
1:
q
B
C
x PAP x P u
y P x I 0 x
11 111 12
22 221 22
1q
B
B
xx A Au
xx A A
y I 0 x x
/59
El observador de orden reducido
Todos los estados x1 son accesibles. Solo necesitan ser estimados los ultimos nq elementos de
Usando , tenemos
Definiendo,
49
x
1xy
2 21 22 2 2
11 12 2 1
y B
y B
x A A x u
y A A x u
21 2
11 1
B
B
u A y u
w y A y u
212
2222
xAwuxAx
11 111 12
22 221 22
1q
B
B
xx A Au
xx A A
y I 0 x x
En la ecuacion de salida se ha puesto de manifiesto que todos los estados x1
son accesibles y seran tomados como salidas para su realimentacion
/59
El observador de orden reducido
El problema se reduce a diseñar un observador para el sistema:
Definiendo,
50
21 2
11 1
B
B
u A y u
w y A y u
212
2222
xAwuxAx
/59
El observador de orden reducido
El observador:
Definiendo,
51
21 2
11 1
B
B
u A y u
w y A y u
2 22 2 12 2ˆ ˆ ˆx x L w x
A u A
Requiere derivar la salida!!
/59
El observador de orden reducido
Para eliminar la derivada, definir
Entonces,
52
2ˆt t t x Ly
2ˆd d d
t t tdt dt dt x L y
/59
El observador de orden reducido
Para eliminar la derivada, definir
Entonces,
53
2ˆt t t x Ly
22 12 2 1
21 11 22 12
dt t t
dt
t
A LA B LB u
A LA A LA L y
/59
El observador de orden reducido
Entonces,
Estimar:
54
22 12 2 1
21 11 22 12
dt t t
dt
t
A LA B LB u
A LA A LA L y
ˆt
tt t
yx
Ly
/59
Realimentacion de los estados estimados
El control se genera por la realimentacion de los estados estimados
55
1 2
1 2 2
ˆPt
t tt t
t
t
yu K x K K
Ly
yK K L K
1 2
1 2 2
ˆt
t tt t
t
t
yu Kx K K
Ly
yK K L K
/59
Realimentacion de los estados estimados
Sistema aumentado en lazo cerrado
Existe separacion de los problemas de la estimacion de los estados y el control
56
2
22 12a a
dt t
dt
A BK BKx x
0 A LA
/59
Realimentacion de los estados estimados
Si (A, C) es observable, puede ser construido un estimador completo o de orden reducido con valores propios arbitrarios
Si las variables de estado NOestan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado
57
)(tr)(tu
)(ty
Plant
k
Estimatorx̂
xkˆru
/59
Bibliografia
A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml
Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007
58
/59
FIN
59
