411

Josipa Perkov, prof., pred. 1

4. MJERE DISPERZIJE4. MJERE DISPERZIJE


Kod mnogih mjerenja se moe opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti

Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate ako su vrijednosti gusto grupirane (malo se razlikuju) oko srednje vrijednosti

Srednja vrijednost loe reprezentira rezultate ako su vrijednosti minimalno grupirane oko srednje vrijednosti

srednju vrijednost prikupljenih podataka potrebno je nadopuniti pokazateljem njihove rasprenosti (disperzije)

mala vrijednost pokazatelja disperzije znai da je izraunata srednja vrijednost bolji reprezentant skupa podataka i obrnuto


najpoznatije mjere disperzije:

(1) apsolutne mjere disperzije:

raspon varijacije obiljeja

varijanca i standardna devijacija

interkvartil

(2) relativne mjere disperzije:

koeficijent varijacije

koeficijent kvartilne devijacije


4.1. RASPON VARIJACIJE (RV)

Najjednostavnija mjera disperzije (koriste se samo 2 vrijednosti)

Za niz od N negrupiranih kvantitativnih podataka RV dan je izrazom:

RV jednak je nuli kad nema disperzije

RV u distribuciji frekvencija diskretne numerike varijable je razlika izmeu posljednje i prve vrijednosti

max minxR x x=

1x kR x x=


RV distribucije frekvencija s razredima moe se odrediti ako je poznata najvea i najmanja vrijednost varijable

raspon se aproksimira kao razlika gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda ili kao razlika razredne sredine posljednjeg i prvog razreda

kod takvih distribucija frekvencija odreivanje RV je nepouzdano


PRIMJER 1.

Prilikom dva puta po 10 mjerenja neke pojave, dobivena su 2 niza rezultata (rezultati su poredani po veliini)

1. mjerenje: 8 8.5 8.5 9 9 9 9 9.5 9.5 10

2. mjerenje: 1 2 3 5 9 9 13 15 16 17

Izraunajte aritmetiku sredinu i raspon varijacije za oba mjerenja. Interpretirajte rezultat.


4.2. INTERKVARTIL I KOEFICIJENT KVARTILNE DEVIJACIJE

Kvantili su vrijednosti numerike varijable koji niz ureen po veliini dijele na q jednakih dijelova

Broj kvantila p je za jedan manji od njegova reda q , pr. medijan je kvantil reda q = 2 p = 1 (dovoljna je jedna vrijednost da se niz podijeli u dva jednakobrojna dijela)

Kvartili su kvantili koji dijele niz na 4 jednaka dijela,

decili su kvantili reda 10, percentili su kvantili reda 100, ...


Q1 Me Q3

25% 25%

Xmin Xmax

N/4 N/2 3N/4

Postoje 3 kvartila: prvi (donji) kvartil, drugi kvartil (medijan) i trei (gornji) kvartil


TUMAENJE KVARTILA:

Donji kvartil je vrijednost varijable koja lanove niza dijeli u dvije skupine U 1. skupini se nalazi (25%) elemenata s vrijednostima varijable koja

je jednaka ili manja od kvartila

U 2. skupini su (75%) lanova s veim vrijednostima od kvartila

Trei kvartil je vrijednost varijable koja dijeli niz na 2 dijela U 1. skupini se nalazi (75%) elemenata s vrijednostima varijable

koja je jednaka ili manja od kvartila

U 2. skupini su (25%) lanova s veim vrijednostima od kvartila

Drugi kvartil jednak je medijanu


ODREIVANJE KVARTILA:

1. Ureivanje niza po veliini,

2. Pronalaenje lanova s odreenim rednim brojevima

donji kvartil:

gornji kvartil:

1

1

, , 14 4

, , 2 4 4

r

r r

N Nx INT r INT

Qx x N N

INT r+

= +

= +

= =

3

1

3 3, , 1

4 4

3 3, ,

2 4 4

r

r r

N Nx INT r INT

Qx x N N

INT r+

= +

= +

= =

INT je oznaka za cijeli dio razlomka


PRIMJER 2.

Promatramo dob zaposlenih u poduzeu X, stanje 31.12.2007.

xi : 28 23 59 25 23 20 31 48 32 god.

Odredite donji i gornji kvartil.


Donji kvartil:N = 9 9 / 4 INT Q1= xr , r = INT(9/4) + 1 = 2 + 1 = 3Dakle, prvi kvartil je x3 , odnosno 23 godine (25% zaposlenih jemlae ili jednako dobi od 23 godine, a 75% zaposlenih je starije ilijednako dobi od 23 godine)

Gornji kvartil:N = 9 (3N / 4) INT Q3= xr , r = INT(27/4) + 1 = 6 + 1 = 7Gornji kvartil je x7 , odnosno 32 godine (75% zaposlenih je mlaeili jednako dobi od 32 godine, a 25% zaposlenih je starije ili jednako dobi od 32godine)

Uredimo prvo zadani niz:20 23 23 25 28 31 32 48 59


1

1 1var

4

k

Nf

Q L if

= +

13 1

var

3

4

k

Nf

Q L if

= +

Izraz za odreivanje gornjeg kvartila

distribucije frekvencija

Izraz za odreivanje donjeg kvartila

distribucije frekvencija

L1 oznaava donju granicu razreda u kojemu se nalazi donji (gornji) kvartil,

f1 oznaava zbroj frekvencija do kvartilnog razreda,

f kvar je oznaka za frekvenciju kvartilnog razreda


PRIMJER 3.

Tabela. Gradovi prema broju izgraenih stanova

26Ukupno

5

8

6

4

2

1

50 150

150 250

250 350

350 450

450 550

550 650

Broj gradovaBroj izgraenih

stanova

Odredite donji i gornji kvartil. Interpretirajte rezultate.


-

5

13

19

23

25

26

Kumulativni niz

manje od

-

100

200

300

400

500

600

Razredna

sredina

26Ukupno

5

8

6

4

2

1

50 150

150 250

250 350

350 450

450 550

550 650

Broj gradovaBroj izgraenih

stanova

Donji kvartil: 26/4 INT r = INT(26/4) + 1 = 6 + 1 = 7

Gornji kvartil: r = INT (326 / 4) + 1 = 19 + 1 = 20


Interkvartil (oznaka: Iq) je apsolutna mjera disperzije koja pokazuje veliinu raspona varijacije sredinjih 50% podataka ureenog numerikog niza iz razmatranja se iskljuuje po 25% najmanjih i najveih vrijednosti obiljeja

Rauna se kao razlika izmeu gornjeg i donjeg kvartila

Iq = Q3 Q1

Nije potpuna mjera disperzije jer se za njegovo raunanje koriste samo dvije vrijednosti

to je interkvartilbrojano manji disperzija e biti manja i obrnuto


Moe se izraunati i koeficijent kvartilne devijacije (oznaka Vq)

Disperzija je to manja to je Vq blie nuli, a relativno vea

to se vie pribliava jedinici

Izraunajte interkvartil i koeficijent kvartilne devijacije u primjeru 3. Interpretirajte rezultat.

3 1

3 1

, 0 1q qQ Q

V VQ Q

=

+


4.3. VARIJANCA, STANDARDNA DEVIJACIJA 4.3. VARIJANCA, STANDARDNA DEVIJACIJA I KOEFICIJENT VARIJACIJEI KOEFICIJENT VARIJACIJE

Razlike izmeu vrijednosti numerike varijable i njezine AS pokazivat e stupanj varijacije (to su razlike vee vei je i stupanj varijabilnosti i obrnuto)

Varijanca je aritmetika sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numerike varijable X od njezine aritmetike sredine, a za negrupirane podatke raunamo je po formuli:

Napomena: Umjesto apsolutnih, pri raunanju varijance doputena je upotreba i relativnih frekvencija

2

2 2

1 1

1 1N Ni i

i i

x xN N

= =

=

ili 22 2 2

1 1

1 1N Ni i

i i

b d dN N

= =

=


Radi lake prosudbe stupnja varijabilnosti obiljeja definira se standardna devijacija kao pozitivni drugi korijen iz varijance:

Standardna devijacija je prosjeno odstupanje vrijednosti

numerike varijable od njezine aritmetike sredine smije se

raunati samo uz AS

2

2

1 1

1 1N Ni i

i i

x xN N

= =

=

ili

2

2

1 1

1 1N Ni i

i i

b d dN N

= =

=

kao brza kontrola nam moe posluiti odnos izmeu raspona i standardne devijacije: taj odnos gotovo nikad nije manji od 2 ili vei od 6.5


Varijanca distribucije frekvencija diskretne numerike varijable je vagani prosjek kvadrata odstupanja vrijednosti te varijable od njezine AS:

Varijanca i iz nje izvedena standardna devijacija je najvanija

mjera disperzije (potpuna mjera disperzije) kad su poznate AS i

standardna devijacija nekih rezultata, onda su ti rezultati potpuno

definirani

2

2 2

1 1

1 1N Ni i i i

i i

f x f xN N

= =

=

ili

2

2 2 2

1 1

1 1N Ni i i i

i i

b f d f dN N

= =

=

Simbol xi oznaava originalne vrijednosti obiljeja (ako su formirane grupe) ili njihove procjene, tj. vrijednosti razrednih sredina


Kad su nam poznate aritmetika sredina i standardna devijacija nekih rezultata tada ih moemo usporeivati s drugim rezultatima koeficijent varijacije

Koeficijent varijacije je omjer standardne devijacije i

aritmetike sredine pomnoen sa sto, tj. pokazuje koliki postotak

vrijednosti AS iznosi vrijednost standardne devijacije:

Koeficijent varijacije je relativna mjera disperzije

100Vx

=

Reprezentativnost AS je vrlo velika

ako je koef. varijacije ispod 20%


PRIMJER 4.

Statistiki skup ini 30 uenika jednog razreda, a promatrano obiljeje je uspjeh uenika. Dobiveni su ovi podaci:

4 3 4 3 1 3 4 3 3 32 4 1 5 3 4 1 3 3 13 5 4 3 1 4 5 4 1 3

a) Sastavite tablicu distribucije frekvencijab) Nacrtajte histogram frekvencijac) Izraunajte aritmetiku sredinu, varijancu, standardnu

devijaciju i koeficijent varijacije


PRIMJER 5.

godine starosti broj radnikax i f i

18 - 20 220 - 22 522 - 28 628 - 32 4

Izraunajte prosjenu starost radnika poduzea X, varijancu i standardnu devijaciju za podatke navedene u tabeli:


4.4. STANDARDIZIRANA VARIJABLA. 4.4. STANDARDIZIRANA VARIJABLA. PRAVILO PRAVILO EBIEBIEVAEVA

Da bi se utvrdio poloaj numerikog podatka u nizu primjenjuje se standardizirana vrijednost varijable ( z obiljeje)

Standardizirano obiljeje je odstupanje vrijednosti numerikog obiljeja od aritmetike sredine izraeno u jedinicama standardne devijacije:

Budui da standardizirano obiljeje ne ovisi o mjernim jedinicama, moe posluiti za usporedbu poloaja podataka u raznovrsnim nizovima

, 1, 2,...,ii

x xz i N

= =


Prosjena plaa u poduzeu A iznosi 6.000,00 kn s prosjenim

odstupanjem od 1.000,00 kn. U poduzeu B prosjena plaa

iznosi 10.000,00 kn s prosjenim odstupanjem od 2.000,00 kn.

Usporedite relativni poloaj osobe s plaom 8.000,00 kn u poduzeu A s poloajem osobe s plaom od 11.500,00 kn u poduzeu B

PRIMJER 6.


Usporedimo relativni poloaj osobe s plaom od 8.000,00 kn u poduzeu A s poloajem osobe s plaom od 11.500,00 kn u poduzeu B

8000 60002

1000AA

A

x xz

= = =

Obje osobe imaju iznadprosjenu plau. Osoba iz poduzea A u relativno je povoljnijem poloaju na platnoj listi od osobe B, jer njezina plaa odstupa od prosjeka za + 2 standardne devijacije

75.02000

1000011500=

=

=

BBB

xxz


Prosjeni ostvareni ukupni godinji prihod iznosio je 200

milijuna kn s prosjenim odstupanjem od 10 milijuna kn.

Prosjena stopa dobiti za skupinu iznosi 9.8 s prosjenim

odstupanjem od 2.2.

Prihod odabranog poduzea iznosi 185 milijuna kn, a stopa

dobiti 5.6. Kakav je poloaj poduzea u skupini s obzirom na:

a) prihod,

b) stopu dobiti ?

PRIMJER 7.


Standardizirana varijabla poprima razliite vrijednosti, koje po predznaku mogu biti pozitivne i negativne

Pravilo ebieva:

pojas od obuhvaa najmanje 75% svih podataka,

pojas od obuhvaa najmanje 88.89% svih podataka

2x

3x


Uzmimo osnovni skup od 20.000 iro-rauna komitenata jedne

banke. Prosjeno kvartalno stanje sredstava iznosi 500.000,00 kn s

prosjenim odstupanjem od 100.000,00 kn

Pomou pravila ebieva procijenite broj rauna s

prosjenim stanjem kvartalnih stanja izmeu 300.000,00 i

700.000,00 kn.

PRIMJER 8.


PITANJA ZA USMENI DIO ISPITAPITANJA ZA USMENI DIO ISPITA

1. Objasnite pojam rasprenosti. Nabrojite najvanije mjere disperzije.

2. Koje su relativne mjere disperzije? Navedite njihova svojstva.

3. Koje su apsolutne mjere disperzije? Navedite njihova svojstva.

4. to je standardizirano obiljeje? Navedite pravilo ebieva.

Documents

411