415-bono-izvijanje-nosaa.pdf

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE

DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO

FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA

UNIVERZITET U NOVOM SADU

BOČNO IZVIJANJE NOSAČA

VEŽBE

PREDMET: STABILNOST I DINAMIKA KONSTRUKCIJA

NOVI SAD 2011.

Bočno izvijanje nosača – Departman za građevinarstvo – FTN Novi Sad

strana 2 od 17

BOČNO IZVIJANJE NOSAČA

1. Uvod

Kod štapova koji imaju dominantno savijanje u jednoj ravni može se javiti znatno veća

krutost poprečnog preseka na savijanje oko jedne ose (EIz – „jača osa“) u odnosu na drugu osu (EIy

– „slabija osa“). Usled napona pritiska pri savijanju može da dođe do bočnog-torzionog izvijanja

nosača, odnosno dolazi do rotacije (torzije), vertikalnog i horizontalnog (bočnog) pomeranja

poprečnih preseka (slika 1). Bočno-torziono izvijanje je kombinacija torzije i savijanja nosača u dve

ravni. Sva razmatranja su u okviru linearno-elastične teorije bočnog-torzionog izvijanja.

2. Analiza stabilnosti prizmatičnog štapa

Razmatraju se pravi prizmatični štapovi sa konstantnim poprečnim presekom. Krutost

poprečnog preseka EIz je mnogo veća od krutosti poprečnog preseka EIy. Primenjuje se teorija

malih deformacija. Oblik poprečnog preseka ostaje nepromenjen u toku deformacije. Razmatramo

slučaj slobodne (neograničene) torzije kod koje nema otpora tendenciji ka krivljenju (deplanaciji)

poprečnih preseka, Raspored napona u svim poprečnim presecima je isti i rastojanja između

poprečnih preseka se ne menjaju, odnosno ne javljanju se normalni naponi.

Slika 1. Bočno izvijanje nosača

Diferencijalne jednačine savijanja i uvijanja imaju sledeći oblik (izvijen oblik):

Savijanje oko z ose:

ξ= Mdx

vdEI z 2

2

Savijanje oko y ose:

η= Mdx

udEI y 2

2

Uvijanje oko x ose:

ς−=ΦM

dx

dGI t


strana 3 od 17

2.1 Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena čistom savijanju

Razmatra se prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena čistom savijanju i

„viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog preseka kod

oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 2. Prosta greda – čisto savijanje

Savijanje oko z ose:

( ) zzz McosMMdx

vdEI =Φ== ξ2

2

(1)


( ) Φ=Φ== η zzy MsinMMdx

udEI

2

2

(2)

Uvijanje oko x ose:

dx

duMMM

dx

dGI zTt −=−=−=Φ

ς (3)

Diferencijalna jednačina bočnog izvijanja:

– jednom diferenciramo jednačinu (3) i u nju uvedemo izraz za d2u/dx

2 iz jednačine (2).

Φ−=Φ

y

zt EI

M

dx

dGI

2

2

2

Rešenje:

ytkr EIGIL

Mπ=

Rešenje za obostrano bočno uklještenu gredu:

ytkr EIGIL

Mπ= 2

Napomena: izvođenje diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njenog rešenja je prikazano u

literaturi koja je na kraju navedena.

Komentar: vrednost kritičnog opterećenja zavisi, između ostalog, od torzione krutosti poprečnog

preseka i savojne krutosti oko „slabije ose“.


strana 4 od 17

2.2 Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena ekscentričnom pritisku

Razmatra se prosta greda pravougaonog poprečnog preseka izložena ekscentričnom

pritisku i „viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog

preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 3. Prosta greda – ekscentrični pritisak

Moment savijanja u x-y ravni:

PeM z =

Moment savijanja u y-z ravni:

PuMM zy −Φ=


PuMMdx

udEI zyy −Φ==

2

2

(4)

Uvijanje oko x ose:

dx

duM

dx

dGI zt −=Φ

(5)


– jednom diferenciramo jednačinu (4) i u nju uvedemo izraz za dφ/dx iz jednačine (5).

012

2

3

3

=

⋅+⋅+Φ

dx

du

M

GIP

GIEI

M

dx

d

z

t

ty

z

Rešenje:

yttkrkr EIGIL

GIPM2

22 π=+

Napomena: izvođenje diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njenog rešenja je prikazano u

literaturi koja je na kraju navedena.

Komentari:

1) e = 0 => M = 0: ykr EIL

P2

2π=

2) P = 0 => čisto savijanje: ytkr EIGIL

Mπ=


strana 5 od 17

2.3 Rešenja za različite slučajeve

Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka opterećena koncentrisanom silom u

sredini raspona i u težištu poprečnog preseka.

Slika 4. Prosta greda – koncentrisana sila u sredini

– „viljuškasto“ pridržana na krajevima i u horizontalnoj ravni zglobno oslonjena:

ytkr EIGIL

,P

2

9416=

– bočno uklješteni krajevi:

ytkr EIGIL

,P

2

6026=

Prosta greda pravougaonog poprečnog preseka opterećena jednako podeljenim

opterećenjem celom dužinom i u težištu poprečnog preseka.

Slika 5. Prosta greda – jednako podeljeno opterećenje

– „viljuškasto“ pridržana na krajevima i u horizontalnoj ravni zglobno oslonjena:

ytkr EIGIL

,P

2

328=

Konzola pravougaonog poprečnog preseka opterećena koncentrisanom silom na kraju i u

težištu poprečnog preseka.

Slika 6. Konzola – koncentrisana sila na kraju

– kritična sila:

ytkr EIGIL

,P

2

0134=


strana 6 od 17

Konzola pravougaonog poprečnog preseka opterećena jednako podeljenim opterećenjem

celom dužinom i u težištu poprečnog preseka.

Slika 7. Konzola – jednako podeljeno opterećenje

– kritično opterećenje:

ytkr EIGIL

,p

3

8512=

Napomena: izvođenja za prethodno prikazane slučajeve su data u literaturi koja je na kraju

navedena.


strana 7 od 17

3. Analiza stabilnosti tankozidnih nosača otvorenog profila

Razmatraju se pravi tankozidni štapovi sa konstantnim poprečnim presekom. Krutost

poprečnog preseka EIz je mnogo veća od krutosti poprečnog preseka EIy. Primenjuje se teorija

malih deformacija. Oblik poprečnog preseka ostaje nepromenjen u toku deformacije. Razmatramo

slučaj ograničene torzije ili torzije sa savijanjem, odnosno slobodno krivljenje (deplanacija)

poprečnog preseka je ograničeno (slika 8). Na slici 8 je prikazan konzolni nosač. U uklještenju

poprečni presek ostaje prav (nema krivljenja tj. deplanacije) ali u ostalim poprečnim presecima

postoji krivljenje drugačije u svakom poprečnom preseku. Zbog ovoga se rastojanja između tačaka

pojedinih poprečnih preseka menjaju, odnosno podužna vlakna se izdužuju ili skraćuju. Usled

ovoga se javljaju i normalni naponi pored smičućih.

Slika 8. Torzija tankozidnih nosača otvorenog poprečnog preseka

Diferencijalne jednačine savijanja i uvijanja imaju sledeći oblik (izvijen oblik):

Savijanje oko z ose („jača osa“):

ξ= Mdx

vdEI z 2

2

Savijanje oko y ose („slabija osa“):

η= Mdx

udEI y 2

2

Uvijanje oko x ose:

ς−=Φ−ΦM

dx

dC

dx

dC

3

3

1

tGIC = – krutost poprečnog preseka na torziju ( tI – torzioni moment inercije)

ω= EIC1 – krutost poprečnog preseka na krivljenje ( ωI – sektorski moment inercije)

Napomena: diferencijalne jednačine bočnog izvijanja i njihova rešenja, za različite slučajeve date u

narednom poglavlju, su prikazane u literaturi koja je na kraju navedena.

slobodna torzija

slobodan štap na oba kraja

nema otpora ka krivljenju (deplanaciji)

ograničena torzija

uklješten štap na jednom kraju

presek u uklještenju nema krivljenje

ostali preseci imaju krivljenje


strana 8 od 17

3.1 Rešenja za različite slučajeve

Prosta greda izložena čistom savijanju i „viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena

torziona rotacija poprečnog preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 9. Prosta greda – čisto savijanje


Φ−=Φ−Φω

y

zt EI

M

dx

dEI

dx

dGI

2

4

4

2

2

Kritični moment:

L

CEIM

y

kr 1γ=

Vrednosti γ1 su date na sledećoj slici.

Konzola opterećena koncentrisanom silom na kraju i u težištu poprečnog preseka.

Slika 10. Konzola – koncentrisana sila na kraju


( ) Φ−−=Φ−Φω

22

4

4

2

2

xLEI

P

dx

dEI

dx

dGI

yt

Kritična sila: 22

L

CEIP

y

kr γ=


strana 9 od 17


Prosta greda opterećena koncentrisanom silom u sredini raspona i jednako podeljnim opterećenje

celom dužinom. „Viljuškasto“ pridržana na svojim krajevima (sprečena torziona rotacija poprečnog

preseka kod oslonca i u horizontalnoj ravni zglobno oslanjanje).

Slika 11. Prosta greda – koncentrisana sila u sredini

Koncentrisana sila: 22

L

CEIP

y

kr γ=

Jednako podeljno opterećenje: 24

L

CEIp

y

kr γ=



strana 10 od 17


Napomena: izvođenja za prethodno prikazane slučajeve su data u literaturi koja je na kraju

navedena.


strana 11 od 17

4. Primeri

4.1 Konzola uskog pravouganog poprečnog preseka

Odrediti vrednost kritičnog opterećenja za konzolni nosač prikazan na slici.

Podaci: b/d = 8/200mm, E = 200GPa, µ = 0,3, L = 3m.

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konačnih elemenata u programu Ansys

v12.1. Tip konačnog elementa „Beam189”.

Rešenje:

0→ωI

4933

1031343

200080

3m,

,,dbIdb t

−⋅=⋅=≅⇒<< &

4933

1035812

200080

12m,

,,dbI y

−⋅=⋅== &

( ) ( ) GPa,,

EG 92376

3012

200

12=

+⋅=

µ+⋅=

m/kN,,,,,

,EIGI

L

,p ytkr 01110358102001031341092376

03

85128512 969633

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −− &&

Rezultati analiza:

pkr [kN/m] Ansys v12.1 (slobodna i ograničena torzija)

pkr [kN/m]

1,01

1KE: 1,31

2KE: 1,05

4KE: 1,01

8KE: 1,01


strana 12 od 17

Oblik izvijene forme:

1

X

Y

Z

OCT 10 201101:49:08

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=1.006DMX =1.031


strana 13 od 17

4.2 Konzola „I“ poprečnog preseka

Odrediti vrednost kritičnog opterećenja za konzolni nosač prikazan na slici.

Podaci: E = 200GPa, µ = 0,3, L = 1,9m.

Napomena: uporedna analiza je sprovedena metodom konačnih elemenata u programu Ansys

v12.1. Tip konačnog elementa „Beam189”.

Rešenje:

( ) ( ) GPa,,

EG 92376

3012

200

12=

+⋅=

µ+⋅=

( ) 4933 1034650070140010074023

1m,,,,.I t

−⋅=⋅+⋅⋅≅

4933

1037567912

0070140

12

07400102 m,

,,,,I y

−⋅=⋅+⋅⋅=

6932

10798975324

0740150010m,

,,,I −

ω ⋅=⋅⋅=

196024882310798975310200

103465109237691296

9622

,,,,

,,,

EI

GIL t =γ⇒≈=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= −

−

ω

kN,,

,,,,

L

EIGIP

yt

kr 814491

10375679102001034651092376196

2

9696

22 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅γ=−−

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −− kN,,,,,

,EIGI

L

,P

torzijaslobodna

ytkr 05291037567910200103465109237691

01340134 969622

Rezultati analiza:

Pkr [kN]

(slobodna torzija)

Ansys v12.1

(slobodna torzija)

Pkr [kN]

Pkr [kN]

(ograničena torzija)

Ansys v12.1

(ograničena torzija)

Pkr [kN]

29,05 5KE: 29,43 44,81 5KE: 45,42


strana 14 od 17

Oblik izvijene forme:

1

X

Y

Z

OCT 12 201103:45:08

DISPLACEMENT

STEP=1SUB =1FREQ=45.421DMX =.313591


strana 15 od 17

5 Karakteristike poprečnih preseka


strana 16 od 17

6. Napomene

Analiza uticaja položaja spoljašnjeg opterećenja i konturnih uslova na veličinu kritičnog

opterećenja je prikazana u literaturi koja je na kraju navedena.

Primena energetskih metoda, metode konačnih razlika i metode konačnih elemenata je

data u literaturi koja je na kraju navedena.


strana 17 od 17

7. Literatura

1. Atanacković T.: Teorija stabilnosti elastičnih štapova, FTN Novi Sad, 1987.

2. Bažant Z., Cedolin L.: Stability of Structures

3. Brčić V.: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, 1989.

4. Chajes A.: Principles of Structural Stability Theory

5. Kisin S.: Stabilnost metalnih konstrukcija, Građevinska knjiga, 1997.

6. Prokofjev I., Smirnov A.: Teorija konstrukcija (deo III), Građevinska knjiga, 1961.

7. Sekulović M.: Metod konačnih elemenata, Građevinska knjiga, 1988.

8. Timoshenko S.: Strength of Materials (Part I)

9. Timoshenko S.: Strength of Materials (Part II)

10. Timoshenko S., Gere P.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 1961.

Documents

415-bono-izvijanje-nosaa.pdf