1

Izvijanje

2

Otpornost materijala prou�ava probleme• 1. �vrsto�e, • 2. krutosti i • 3. elasti�ne stabilnosti konstrukcija i

dijelova konstrukcija od �vrstog deformabilnog materijala.

Moraju biti zadovoljeni uvjeti sigurnosti i uvjeti ekonomi�nosti.

Štapovi optere�enitla�nim silama

Vitki štap optere�en

tla�nom silom

- gubitak elasti�ne

stabilnosti

5

Slu�ajevi ravnoteže krutog tijela

• Stabilna ravnoteža tijela

• Indiferentna ravnoteža tijela

• Labilna ravnoteža tijela

6

Stabilna ravnoteža

2

7

Indiferentna ravnoteža

8

Labilna ravnoteža

Stabilna ravnoteža

Indiferentna ravnoteža

Labilna ravnoteža

12

σ − ε dijagram

3

13

Izvijanje u elasti�nom podru�ju

Vrijedi linearna ovisnost izme�u deformacije i naprezanja

Hookeov zakon: εσ ⋅= E

Pσσ ≤

14

Vitkost štapa λ

min

i

il

=λ

Vitki elasti�ni štap

Izvijanje u elasti�nom podru�juPσσ ≤

Pλλ ≥

15

Minimalni radijus tromosti imin (cm)Iz=Imin Iz=Imin

Iv=Imin 16

Minimalni radijus tromosti imin (cm)

Iz=Imin

Iz=IminIz=Imin

17

Minimalni radijus tromosti imin (cm)

Iu=Imin

Iy=Imin

18

Osnovne forme izvijanja:1. 2. 3. 4.

4

19

Dužina izvijanja li ovisi o uvjetima u�vrš�enja krajeva štapa

20

Dužine izvijanja li

1. slu�aj: upeto – slobodan li = 2.l

2. slu�aj: zglob – zglob li = l

3. slu�aj: zglob – upeto li = 0,7.l

4. slu�aj: upeto – upeto li = 0,5.l

Dužina izvijanja li ovisi o na�inu pridržavanja krajeva štapa.

21

σ

��

���

�⋅ω=σ 2cmkN

AN

Tla�na uzdužna sila N < 0

ω- postupakdimenzioniranje tla�nih štapova:

22( )A;f ω=σ

AN

dopσ≤⋅ω=σDimenzioniranje:

23 1

AN

AN

AN

AN

dop

iz .dop

dop dop

iz .dop

dop

dopiz .dop dop

iz .dop

>ωσ≤⋅ω

ω=σσ

σ≤⋅σσ

σ⋅σ≤⋅σ

σ≤ (dopušteno naprezanje na izvijanje)

24

liDužina izvijanja li

5

25

Dimenzioniranje:

N

A dop

pot. σ⋅ω==ω 00 2

dopAN σωσ ≤⋅=

1min

imin

2 .... S�elik il

i );(cm A ω��=λ�

1. korak iteracije

2. korak iteracije

- Odaberemo profil:

3min

imin

2

doppot.

il

i );(cm A

N

A

ω�=λ�

σ⋅ω=ω+ω=ω 2

012 2

- Usporedba:iteracije korak 2.

naprezanja kontrola

iteracije korak 2.

1

1

1

��ω�ω≈ω�ω

0

(dvije nepoznanice ω i A)

26

Primjer: Dimenzioniranje tla�nog štapa rešetkastog nosa�a �-postupkom

• Odabrati kutni profil• �elik S 235• Sila u štapu N = 61,53 kN (tlak) ;

dužina štapa l = 2,80 m

• Materijal: �elik S 235

27

• Materijal:�elik S 235dopušteno normalno naprezanja:�dop= 14,5 kN/cm2

• Duljina izvijanja liŠtap rešetkastog nosa�a (u�vrš�enja krajeva štapa zglob – zglob 2. slu�aj)

Duljina izvijanja li = l = 2,80 m= 280 cm

28

• Dimenzioniranje:(tlak)

• Iteracija1. korak iteracije:

dop

pot

dop

NA

AN

σω

σωσ

⋅≥

≤⋅=

020 ,=ω

2cm 4885145361

020 ,,,

,N

Adop

pot =⋅=⋅≥σ

ω

29

• Profil L 65×65×7

• A = 8,70 cm2

• imin = iv = 1,26 cm

• Vitkost štapa:

(Za navedeni profil L 65×65×7 naprezanje bi bilo sigurno puno ve�e od dopuštenoga!)

2cm 488,Apot ≥

02159223261

28001

235

,,,i

l S

min

i =>>=→=== ωωλ

30

• A = 25,10 cm2

• imin = iv = 2,15 cm

2. korak iteracije: 5852

159022

102 ,

,, =+=+

=ωωω

2cm 68235145361

5852 ,,,

,N

Adop

pot =⋅=⋅≥σ

ω

23

235

163131152

280 ωωλ <=→=== ,,i

l S

min

iVitkost štapa:

Profil L 110×110×12

223 514757

10255361

163 cm/kN,cm/kN,,,

,AN

dop =<=⋅=⋅= σωσ

Kontrola naprezanja:

neekonomi�no ! ("prejaki" profil)

6

31

• A = 18,70 cm2

• imin = iv = 1,75 cm

3. korak iteracije:

Vitkost štapa:

Profil L 90×90×11

Kontrola naprezanja:

3742

1635852

324 ,

,, =+=+

=ωωω

2cm 54185145361

3744 ,,,

,N

Adop

pot =⋅=⋅≥σ

ω

714160751

2805

235

,,i

l S

min

i =→=== ωλ

2dop

25 cm/kN5,14cm/kN5,15

70,1853,61

71,4AN =σ>=⋅=⋅ω=σ

("preslab" profil) 32

• A = 19,20 cm2

• imin = iv = 1,95 cm

Vitkost štapa:

Profil L 100×100×10

Kontrola naprezanja:

4. korak - Umjesto iteracije odabiremo prvi "ja�i" profil

823144951

2805

235,

,il S

min

i =ω→===λ

22 514241220195361

823 cm/kN,cm/kN,,,

,AN

dop =<=⋅=⋅= σωσ

Odabrano: L 100×100×10 , S 235

33

Razlikujemo slu�ajeve:

a) kratki štapovi ( ; )

b) srednje dugi štapovi ( ; Tetmajer)

c) vitki štapovi ( ; Euler )

TT σσλλ =≤ kr

PT λλλ <<

Pλλ ≥

34

σ − ε dijagram

35

Pλλ ≥36

c) Izvijanje u elasti�nom podru�ju

b) Izvijanje u plasti�nom podru�ju

Pσσ >

Pσ( - proporcionalno)

Pσσ ≤

7

37

Eulerova kriti�na sila izvijanja Fkr.

krFF <krFF =

Štap ostaje ravan

Štap se izvija

38

Diferencijalna jednadžba elasti�ne linije štapa

xcosCxsinCw

:Rješenje

IEF

wdx

wd

wIE

Fdx

wd

IEwF

dxwd

wFIE

M

dxwd

min

min

min

min

y

M

2

y

αα

αα

⋅+⋅=

⋅==⋅+

=⋅⋅

+

⋅⋅−=

⋅=⋅

−=

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

39

Rubni uvjeti:

xcosCxsinCw αα ⋅+⋅= 21

0 lsin ili C 0 l C

C 00 C0 C

11

221

=⋅=�=⋅=

=�=⋅+⋅=

αα 002

0001

sin)l(w.

cossin)(w.

Jednadžba elasti�ne linije:

(sinusoida)

xn

sinC w

n

nl 0 l

1

ii

⋅⋅⋅=

⋅=

⋅=⋅�=⋅=

i

i

i

l

l

sin

ll)b

π

πα

παα

a) C1=0 i C2=0 ravan štap

40

2i

min

imin

ii

lIE

F

nl IE

F

nl 0l

⋅⋅=

⋅=⋅⋅

⋅=⋅�=⋅

22 π

π

παα

n

sin

41

Eulerova kriti�na sila izvijanja Fkr.

2i

minkr

2i

min

lIE

F 1n

0F 0n

lIE

F

⋅==

==

⋅⋅⋅=

2

22

π

πn

(Ravan štap)

42

Eulerova kriti�na sila izvijanja:

.krFF < .krFF =

2i

minkr l

IE F

1n

⋅⋅=

=2π

0 F0 n

==

2i

minkr. l

IE F

⋅⋅=2

2 πn

8

43

Osnovna i više forme izvijanja vitkog elasti�nogštapa

2i

minkr. l

IE F

⋅⋅=2

2 πn

44

Eulerovo kriti�no naprezanje izvijanja

�

� �

�=⋅=

=⋅⋅=

=⋅⋅⋅=

=

22

2

2

22

2

2

1λ

σλ

πσ

λπσ

πσ

σ

fE

li

liE

AI

AlIE

AF

krkr

i

min

i

minkr

min

i

minkr

krkr

) (

) i ( 2min

45

Koordinatni sustav σkr - λ

46

c) Izvijanje u elasti�nom podru�ju

Pσσ ≤≤0

2

2

λπσ E

.kr

⋅=

Pλλ ≥

47

105

(~ 100)

18,8

(21,0)

3723,5S 235

(N/mm2)

[S 24/37]

λPσP~0,8.σT

(kN/cm2)σM

(kN/cm2)σT

(kN/cm2)�elik

P

P

Eσ

πλ =

48

σ − ε dijagram

9

49

b) Izvijanje u plasti�nom podru�ju –Tetmajerov pravac

PT λλλ <<

S 235

λT ~70

λP ~100

50

Tλλ ≤

a) Kratki štap – vitkost λ

- nema izvijanja

Tσσ =kr

51