47. Konveksnost 1Figura (skup tacaka u ravni) F je konveksna ako za svaku duz AB takvu da A,B ∈ M vazi AB ⊆ M . Presek

konveksnih figura je konveksna figura.

Teorema 1 Ekvivalentni su uslovi: (i) Mnogougao M je konveksan; (ii) za svaku njegovu stranicu AB sva temena muse nalaze sa iste strane p(A,B); (iii) M je presek konacnog broja poluravni; (iv) svi unutrasnji uglovi su mu manji ilijednaki od 180◦.

Teorema 2 Cetvorougao je konveksan akko mu se dijagonale seku.

Konveksni omotac figure F je minimalna konveksna figura G takva da F ⊆ G. Konveksni omotac za konacan skuptacaka je neki mnogougao.

Teorema 3 n tacaka u ravni su temena konveksnog n-ugla akko su svake cetiri od njih temena konveksnog cetvorougla.

1. Dokazite da svaki n-ugao (n ≥ 4) ima bar jednu dijagonalu koja cela lezi unutar njega.

2. Dokazati da se svaki n-ugao moze iseci na n− 2 trougla dijagonalama koje se ne seku.

3. Dokazite da je zbir unutrasnjih uglova svakog n-ugla jednak (n− 2) · 180◦.

4. Dokazati da je zbir svih spoljasnjih uglova koji odgovaraju unutrasnjim uglovima manjim od 180◦ proizvoljnogmnogougla manji ili od jednak 360◦, i da jednakost vazi akko je mnogougao konveksan.

5. DDati su pozitivni brojevi α1, α2, . . . , αn manji od 2π i razliciti od π cija je suma jednaka (n − 2)π. Dokazati dapostoji n-ugao A1A2 . . . An ciji je ugao kod temena Ai jednak αi za sve i = 1, 2, . . . , n.

6. Tacka O lezi unutar konveksnog n-ugla A1A2 . . . An. Dokazite da je medu uglovima 6 AiOAj bar n− 1 prav ili tup.

7. DU kruznicu k upisan je n-ugao A1A2 . . . An takav da ne postoje dva njegova temena koja su dijametralno suprotnetacke kruznice k. Ako je bar jedan od trouglova ApAqAr (1 ≤ p < q < r ≤ n) ostrougli, dokazati da takvihostrouglih trouglova ima bar n− 2.

8. U ravni su date cetiri tacke koje nisu sve kolinearne. Dokazati da su neke tri od njih temena neostrouglog trougla.

9. Medu 5 datih tacaka ne postoje tri kolinearne. Dokazati da su neke 4 od njih temena konveksnog cetvorougla.

10. U ravni je dato n > 4 tacaka medu kojima ne postoje tri kolinearne. Dokazati da postoji bar(n−32

)konveksnih

cetvorouglova sa temenima u cetiri od datih tacaka.

11. Neka su A1, A2, A3, A4, A5 tacke u ravni takve da je povrsina svakog od trouglova AiAjAk veca od 3. Dokazite dapostoji trougao AiAjAk sa povrsinom vecom od 4.

12. DDokazati da konveksni omotac nekonveksnog mnogougla ima manji obim od samog mnogougla.

13. DJedan konveksni poliedar smesten je unutar drugog. Dokazite da je spoljasnji ima vecu povrsinu.

14. Odrediti sve cele brojeve n > 3 za koje postoje n tacaka A1, A2, . . . , An u ravni i realni brojevi r1, r2, . . . , rn kojizadovoljavaju uslove: (i) medu tim tackama ne postoje tri kolinearne; (ii) za svaku trojku i, j, k razlicitih brojevaiz {1, 2, . . . , n} trougao AiAjAk ima povrsinu jednaku ri + rj + rk.

15. U ravni je dato konacno mnogo tacaka. Dokazati da se medu njima moze izabrati tacka takva da medu datimpostoje najvise tri tacke koje su na najmanjem rastojanju od nje.

16. Na stolu je rasporedeno n kartonskih i n plasticnih kvadrata. Nikoja dva kartonska i nikoja dva plasticna kvadratanemaju zajednickih tacaka, racunajuci i temena i tacke na ivicama. Skup temena kartonskih kvadrata poklapa sesa skupom temena plasticnih. Da li tada mora svaki kartonski kvadrat da se poklopi sa nekim plasticnim?

17. U prostoru je dat skup tacaka K0. Skup K1 se dobija od K0 dodavanjem svih tacaka simetricnih ta ckama skupaK0 u odnosu na druge tacke tog skupa. Skup K2 se dobija od K1 na isti nacin itd.

(a) Neka je K0 skup od dve tacke A i B na rastojanju 1. Za koje najmanje n skup Kn sadrzi tacku na udaljenosti1000 od A?

(b) Neka skup K0 cine temena jednakostranicnog trougla povrsine 1. Naci povrsinu konveksnog omotaca skupaKn za n ∈ N .

(c) DNeka skup K0 cine temena pravilnog tetraedra zapremine 1. Koliko i kakvih strana ima konveksni omotacskupa K1? Naci zapreminu konveksnog omotaca skupa Kn za n ∈ N .