KONVEKSNA ANALIZA

1

SadrzajKonveksni skupovi

Definicija, primjeri, Konveksni omotac,Topoloska svojstva, Projekcija,Ekstremalne tacke, Teoreme razdvajanja, teoreme alternative, Polarni skupovi,

PoliedriKonveksne funkcije

ZadaciKonveksne funkcije i ekstremi

ZadaciRjesenjaLiteratura

Spisak pojmova

2

Uvod

Konveksna analiza se krajem 60 i pocetkom 70 ih Neka je f realna funkcijasa domenom D(f) Rn, i neka je S D(f) neprazan skup. Opsti (apstraktan)problem matematickog programiranja sastoji se u odredivanju vrijednosti

pi = infxS

f(x)

i skupaS = {x S : f(x) = pi}.

Problem oznacamo sa

(PA) : min{ f(x) : x S}.

Ako je funkcija f konveksna, a S konveksan skup, onda se dobija problem kon-veksnog programiranja (konveksne optimizacije).

Tacka x S je rjesenje problema (PA) ako vrijedi

f(x) > f(x) x S.

U sustini, x je tacka globalnog minimuma funkcije f na skupu S. Cesto jelakse, a nekad i jedino moguce naci tacku minimuma date funkcije na nekompodskupu skupa S. Zato kazemo da je x lokalno rjesenje datog problema, akoje to tacka lokalnog minimuma funkcije f na skupu S, tj. ako postoji okolinaO tacke x takva da vrijedi

f(x) > f(x) x S O.

3

Rn... x =

x1...xn

, y> = (y1, ..., yn), x, y := x>y

x :=x, x =

(ni=1

x2i

) 12

x+ y 6 x+ y

| x y | 6 x y

|x, y| 6 x yx y2 + x+ y2 = 2(x2 + y2) (1)

B(x0, r) = {x Rn : x0 x < r},B[x0, r] = {x Rn : x0 x 6 r}

d(x0,S) = infxS

x0 x

S + T = {x+ y : x S, y T }...S = {x : x S}Primjer 1 B[x1, r1] + B[x2, r2] = B[x1 + x2, r1 + r2] Zbog ... mozemo uzetix1 = x2 = 0. Inkluzija B[0, r1] + B[0, r2] B[0, r1 + r2] vrijedi na osnovunejednakosti trougla. Neka je sada x B[0, r1 + r2], pri cemu je r1 6 r2. Akoje r2 < x stavljamo x = xr2x x+ r2xx. U suprotnom pisemo x = x+ 0.

S + T = T + S, S + {0} = S

1. (S + T ) = S + T 2. (+ )S S + S.

3. S + (T U) = (S + T ) (S + U).Analogna formula za ne vrijedi, ali je korisna sljedeca relacija4. (S + T ) U = S (U T ) =

TOPOL

Navescemo neka svojstva operacija sa skupovima, posebno imajuci u vidu otvorene,zatvorene te kompaktne podskupove u Rn.

Tacka x0 je unutrasnja tacka skupa S ako postoji broj > 0 tako da vrijediB(x0, ) S. Skup svih unutrasnjih tacaka datog skupa je njegova unutrasnjost(interior):

int S = {x S : > 0 (x+ B) S}. (2)

4

Skup je otvoren ako mu je svaka tacka unutrasnja, tj. ako je int S = S.Tacka x0 je granicna tacka skupa S ako se u svakoj kugli B(x0, ) nalaze

tacka iz S i tacka iz njegovog komplementa Rn\S. Skup svih tih tacaka jegranica skupa S, a oznacavamo ga sa bd S.

Zatvorenje skupa S definisemo sa cl S := S bd S. Kaze se da je neki skupzatvoren ako je njegov komplement otvoren skup. pokazuje se da su bd S i clS zatvoreni skupovi. Odatle izlazi da je cl S najmanji zatvoreni nadskup skupaS, i to da je on je zatvoren ako i samo ako je cl S = S. Navedimo jos da je skupS zatvoren ako i samo ako za svaki konvergentan niz (xk), xk S vrijedi limxk S. Za karakterizaciju zatvorenja skupa osim

x0 cl S d(x0,S) = 0,

koristicemo i sljedecucl S =

>0

(S + B), (3)

koja slijedi iz ().Uopste, vrijede formule:

int (S T ) int S int T , cl (S T ) = cl S cl T ,

int (S T ) = int S int T , cl (S T ) cl S cl T .Mi cemo, zbog prirode konveksnih skupova, vise paznje posvetiti operacijama i +. Kao prvo, navedimo da u posljednjoj formuli ne mora da vrijedi jednakost.

Primjer 2 Za skupove S = {x R2 : x1 > 0, x2 > 0} {0}, T = [0, e1],imamo cl (S T ) = {0}, dok je cl S cl T = T .

Primjedba 1 Treca formula vrijedi i za konacan broj skupova, ali to nije takou slucaju da ih je prebrojivo. Za Ck = [0, 1+ 1k ] imamo da je int

kN Ck =]0, 1[,

dok jekN int Ck =]0, 1].

S obzirom da je S+T =xS

(x+T ), imamo da je suma dva skupa otvoren skup

ako je jedan od njih (ovdje T ) otvoren.

5. Sada, iz int S+ int T S + T slijedi int(int S+ int T ) int (S + T ),odnosno

int S + int T int (S + T ).

Obratna inkluzija nije na snazi, bez dodatnih uslova. Na primjer:S = [0, 1], T = S {2}, int S+ int T =]0, 2[ int (S + T ) =]0, 3[.

6. Medutim, suma dva zatvorena skupa ne mora biti zatvorena. Na primjer,u R2 za zatvorene skupove S = {(x, 1x ) : x > 0}, i T = R {0} suma S + T =

5

R]0,+[ je otvoren skup.Ovo je i primjer da nije uvijek cl S+ cl T = cl (S + T ). Uvijek je

cl S + cl T cl (S + T ),

a da bismo imali jednakost dovoljno je da je jedan od skupova kompaktan. Toslijedi iz sljedece cinjenice.

7. Suma zatvorenog i kompaktnog skupa je zatvoren skup. Zaista, neka je zk

niz sa clanovima iz S + T koji tezi z0. Vrijedi zk = xk + yk, xk S i yk Tza sve prirodne k. Neka su dati skupovi zatvoreni, i jos neka je T ogranicen (tj.kompaktan). Niz (yk) ima podniz koji tezi nekom y0 T . Sada i odgovarajucipodniz niza (xk) ima granicnu vrijednost, i to z0 y0 S (S je zatvoren).Dakle, z0 = (z0 y0) + y0 S + T , pa je ova suma zatvoren skup.

6

Afini skupovi

1. Skup V 6= je potprostor ako je i sam vektorski prostor, u odnosu na isteoperacije. Za to je potrebno i dovoljno da vrijedi

x+ y V x, y V, , R,

sto je ekvivalentno saV + V V , R. (4)

Zbir jednoclanog skupa {v0} i potprostora V zove se linearna (afina) mno-gostrukost L:

L = v0 + V.S obzirom da 0 V, to je v0 L. Uzmimo neki drugi vektor v L. Imamov v0 V, pa je L v = V (v v0) = V. Znaci da za svaki v L je

L = v + V.

Dalje, zbog

L L = v0 + V (v0 + V) = V V = V,imamo, za svaki v L,

L L = L v. (5)Slicno je (1)L+L = (1)(v0+V)+(v0+V) = v0+(1)V+V

v0 + V = L, tj. za sve R vrijedi

(1 )L+ L L. (6)

Ova formula je i dovoljne da L bude linearna mnogostrukost. Zaista, uzmimovektore u, v L L. Imamo u = u1 u2, v = v1 v2, gdje su svi sabirci iz L.Vrijedi u = u1 ((1 )u1 + u2) L L, i u+v2 = u

1+v1

2 u2+v2

2 L L.Sada je u+v = 2u+v2 LL, pa je ta razlika skupova potprostor i koristi se (4).

2. U slucaju da je linearna mnogostrukost u prostoru Rn zvacemo je ravanR. Ako je potprostor RR dimenzije k {1, ..., n 1}, onda postoji linearnonezavisan skup {x1, ..., xk} R takav da je R R = lin (v1, ..., vk). Dakle,prema (4), za neki x0 R imamo

R = x0 + lin (x1, ..., xk),

i kazemo da je ta ravan dimenzije k. Specijalno, prava je ravan dimenzije 1:

P = x0 + lin (v) = {x0 + v : R}, v 6= 0.

Neka su x1, x2 razlicite tacke sa prave. Tada je za neke razlicite skalare 1, 2x1 = x0 + 1v, x2 = x0 + 2v, x2 x1 = (2 1)v, odakle je lin (v)= lin

7

(x2 x1). Zakljucno uzimajuci x1 umjesto x0 jednacina prave kojoj pripadajurazlicite tacke x1 i x2 je

x = x1 + (x2 x1), R.

Ravan dimenzije n 1

H = x0 + lin (x1, ..., xn1)

zovemo hiperravan. Inace svaka hiperravan je data sa

H(a, ) = {x Rn : a, x = },

gdje je a Rn, a 6= 0 i R. Za a = 0 dobijamo (ako je 6= 0) ili citavprostor ( = 0). Skup rjesenja sistema

Ax = b,

gdje je A mn matrica, b Rn, a x Rn je ravan dimenzije k = n rang(A),a vrijedi i obratno, svakoj ravni odgovara sistem ciji je skup rjesenja.

3. Na kraju, odredimo najmanju ravan (poredak je dat relacijom ) u kojojje neprazan skup S. Neka je x0 S, tada je {0} S x0 Rn, pa postojinajmanji potprostor ciji podskup je S x0, a to je presjek svih odgovarajucihpotprostora, tj. lin (S x0). Translirajuci taj lineal za x0 dobijamo trazenuravan, koja se naziva afini omotac skupa S

aff S = x0 + lin (S x0).

Kao i dokazuje se da vrijedi

aff S =kN

{1x1 + ...+ kxk : x1, ..., xk S, 1 + ...+ k = 1}

Pod dimenzijom skupa S smatracemo dimenziju njegovog afinog omotaca. Akoje ona k onda postoji skup {x0, x1, ..., xk} S takav da je {x1x0, ..., xkx0}linarno nezavisan. Tada je

rang(

x0 x1 ... xk

1 1 ... 1

)= rang

(x0 x1 x0 ... xk1 x01 0 ... 0

)= k + 1,

i

x aff S x =ki=0

ixi,

ki=0

i = 1. (7)

Kazemo da je {x0, x1, ..., xk} afino nezavisan, dok je vektor (0, ..., k) jedinstveni njegove koordinate nazivamo baricentricnim.

8

KONVEKSNI SKUPOVI

Definicija i primjeri

Definicija 1 Skup C Rn je konveksan ako za sve x1, x2 C i sve [0, 1]vrijedi

(1 )x1 + x2 C.Primjedba 2 Geometrijski duz [x1, x2] je skup tacaka x sa prave P za kojevrijedi

x1 x+ x x2 = x1 x2.Ako je x1 6= x2 i x P imamo da je x = x1 + (x2 x1), R. Odavdeje x x1 = ||x1 x2, x x2 = |1 |x1 x2, tako da je polaznajednakost ispunjena ako i samo ako je || + |1 | = 1, odnosno 0 6 6 1.Dakle, duz je skup

[x1, x2] = {(1 )x1 + x2 : 0 6 6 1}.Prema tome skup je konveksan ako i samo ako mu je podskup svaka duz cijekrajnje tacke su u njemu.

slika 1. C

Iz definicije slijedi da je skup C konveksan ako za svaki [0, 1] je(1 )C + C C, (8)

a posto vrijedi i obratna inkluzija (za proizvoljne skupove) to u prethodnojformuli moze da stoji znak =.

Primjedba 3 Stavljajuci da je 1 = 1, = 2 vidimo da je 1 + 2 = 1,a uslov 0 6 6 1 je isto sto i 1, 2 > 0, tako da uz nove uslove (8) postaje

1C + 2C COd osnovnih skupovnih operacija konveksnost cuvaju sabiranje skupova i mnozenjerealnim brojem. Isto tako vrijedi

Teorema 1 Neka su C1 i C2 konveksni skupovi. Tada su C1 C2 C1+ C2 i C1konveksni skupovi.

Dokaz. Iz x1, x2 C1C2, zbog konveksnosti datih skupova, slijedi [x1, x2] C1i [x1, x2] C2, pa je [x1, x2] C1 C2. Dalje, zbog (1), za sve [0, 1] vrijedi(1 )(C1 + C2) + (C1 + C2) = (1 )C1 + C1 + (1 )C2 + C2 C1 + C2,kao i

(1 )C1 + C1 = ((1 )C + C) C.

Napomenimo da je presjek i proizvoljno mnogo konveksnih skupova opet kon-veksan skup. Ocigledno je da unija dva konveksna skupa ne mora biti konveksanskup.

9

Primjer 3 S obzirom da inkluzija (4) vrijedi za sve realne brojeve, tacna je i zasve brojeve iz [0, 1], tako da je svaka ravan konveksan skup. Tu su ,specijalno,ukljuceni jednoclani skupovi, potprostori kao i citav Rn.

Primjer 4 Svaka hiperravan H(a, ), a 6= 0 odreduje u Rn cetiri poluprostora.Zatvoreni poluprostori

H+(a, ) = {x Rn : a, x > }, H(a, ) = {x Rn : a, x 6 },kao i otvoreni poluprostori

intH+(a, ) = {x Rn : a, x > }, int H(a, ) = {x Rn : a, x < }su konveksni skupovi.

Ovo direktno slijedi iz jednakosti a, (1)x1+x2 = (1)a, x1+a, x2.Nazivi poluprostora nisu slucajni. Prvi je zaista zatvoren skup, sto slijedi izneprekidnosti skalarnog mnozenja (a, xk > i xk x0 povlace a, x0 > ).Posljednji je komplement prvog, pa je otvoren. Slicno je za ostale.

Primjer 5 Neka su a1, ..., am Rn i b1, ..., bm realni brojevi. Presjek konacnogbroja zatvorenih poluprostora (ovdje m) H(ai, bi) = {x Rn : ai, x 6 bi}je konveksan skup. Naziva se poliedar. Umjesto mi=1H(ai, bi) mozemo pisati{x Rn : ai, x 6 bi i = 1, ...,m} ili

{x Rn : Ax 6 b}, (9)gdje je A matrica tipa m n sa vrstama ai, dok je b = [b1, ..., bm]>. Specijalno,Rn+ =

ni=1H+(ei, 0) je polieadar.

Primjer 6 Otvorena kugla sa centrom u x0, poluprecnika r je konveksan skup.

Zaista, za x1, x2 B(x0, r), 1 > 0, 2 > 0, 1 + 2 = 1 imamox0(1x1+2x2) = 1(x0x1)+2(x0x2) 6 1x0x1+2x0x2 0, ..., k > 0,onda kazemo da je linearna kombinacija nenegativna. Konveksna kombinacijaje ona linearna kombinacija datih vektora je ona koja je afina i nenegativna.

10

Primjer 7 Skup svih konveksnih kombinacija konacnog skupa vektora x1, ..., xm

naziva se politop, a oznacava sa co {x1, ..., xm}. Svaki politop je konveksan skup:

x, y co {x1, ..., xm} x =mi=1

ixi, y =

mi=1

iyi,

gdje jem

i=1 i = 1,m

i=1 i = 1, xi > 0, yi > 0 (i = 1, ...,m). Sada je

(1 )x+ y =mi=1

((1 )i + i)xi co {x1, ..., xm},

zato sto jem

i=1((1 )i + i) = (1 )m

i=1 i + m

i=1 i = 1.

Politop se, za m > 1, naziva (m 1)-dimenzionalni simpleks u Rn, ako je{x1, ..., xm} afino nezavisan. Jednoclane skupove smatramo simpleksima dimen-zije 0. Specijalno,

n = co {0, e1, ..., en}je standardan n-simpleks u Rn, dok je

n = co {e1, ..., en+1}n - dimenzionalni jedinicni simpleks u Rn+1

slika

Teorema 2 Neka su C, D konveksni skupovi i a : Rn Rm afino preslikavanje.Tada su skupovi a(C) i a1(D) konveksni.Dokaz. Iz a((1 )x1 + x2) = (1 )a(x1) + a(x2) xn, x2 Rn [0, 1]slijedi

(1 )a(C) + a(C) = a(C)(1 )a1(D) + a1(D) a1(D),

tako da su ovi skupovi konveksni po definiciji.

Skup K Rn naziva se konus ako vrijedix K, > 0 x K.

Ova implikacija je ekvivalentna sa

K K, > 0. (10)Ako je konus konveksan skup onda se naziva konveksan konus. Za njihovu

karakterizaciju potrebna je i dovoljna prethodna formula i zatvorenost skupa Ku odnosu na sabiranje, tj.

K +K K. (11)

11

Fakat, iz ove dvije formule slijedi konveksnost:

(1 )K + K K +K K [0, 1].

Obratno, pokazimo da iz (8) i konveksnosti slijedi (9). Na osnovu 2K K, jeK 12K, pa ako je konus konveksan imamo

K +K 12K + 1

2K = K.

Primjer 8 Skup K = {x Rn : Ax 6 0},0 Rm, je konveksni konus, stoneposredno slijedi iz (8), (9) i svojstava matricnog mnozenja. U skladu sa Prim-jerom 5., naziva se homogeni poliedar, a moze i poliedarski konus.

Primjer 9 Skup svih nenegativnih linearnih kombinacija konacnog skupa tacakax1, ..., xm je, ocigledno, konveksan konus. Nazivamo ga konacno generisanim,aoznaka mu je cone .... Dakle,

cone {x1, ..., xm} = {1x1 + ...+ mxm : 1 > 0, ..., m > 0}. (12)

Vazan primjer je {Ax : x > 0} Rm. On je konacno generisan konus zatosto je K = cone {a1, ..., an}.

Primjer 10 Svakom konveksnom konusu K dodjeljuju se dva konusa{y : y, x 6 0 x K} i {y : y, x > 0 x K}.

To su normalni konusi (negativan normalan i pozitivan). Prvi se najcesce zovepolaran konus, sa oznakom Ko. Pozitivan normalan konus zove se konjugovan(dualan) konus konusa K, a oznacava sa K. jasno, vrijedi K = K.

SLIKA

Konveksan omotac

Ukoliko neki skup nije konveksan, mozemo mu dodijeliti najmanji konveksanskup koji ga sadrzi. U tom cilju, za proizvoljan neprazan skup S Rn posma-tracemo sve njegove konveksne nadskupove. Jedan od njih je aff S, a presjekim je neprazan (podskup mu je S) i konveksan. Nazivamo ga konveksni omotacskupa S i pisemo co S. Dakle,

co S =SC

C.

Na osnovu definicije, za prozvoljne skupove S, T i konveksan skup C vrijediS T co S co T , C = co C, co (co S) = co S .

12

Za svaki prirodan broj k, proizvoljnom nepraznom skupu S dodjeljujemo skupsvih konveksnih kombinacija svakih k njegovih elemenata (uniju svih politopagenerisanih tackama iz S):

cok S =

x1,...,xkSco {x1, ..., xk},

cok S ={

ki=1

ixi : x1, ..., xk S, 1, ..., k > 0,

ki=1

i = 1

}.

Pomocu njih opisacemo konveksni omotac skupa S.

Prije svega, za proizvoljne skupove S, T , konveksan skup C iz Rn, i svebrojeve [0, 1] vrijedi:

S T cok S cok T , (13)(1 )cop S + coq S cop+q S, (14)

cok C C. (15)Posljednja inkluzija se dokazuje indukcijom:co1 C = C, a co2 C C je po definiciji konveksnog skupa.Ako je cok C C i x cok+1 C, onda je x =

k+1i=1 ix

i za neke x1, ..., xk+1 C, 1, ..., k+1 [0, 1], 1 + ...+ k+1 = 1. Ukoliko je tada k+1 6= 1 imamo

x = k+1xk+1 + (1 k+1)ki=1

i1 k+1x

i k+1C + (1 k+1)C = C.

Ako je k+1 = 1, onda je opet x = xk+1 C.Dakle, cok C C povlaci cok+1 C C, za sve k N.Teorema 3 Ako je S neprazan podskup od Rn, onda je

co S =kN

cok S.

Dokaz. S = co1 S kN cok S, odakle je, prema (13), co S co (kN cok S).Posto iz (14) slijedi da je posmatrana unija konveksan skup imamo

co S kN

cok S.

Dalje, zbog S co S vrijedi cok S cok (co S), a na osnovu (15) je cok (co S) co S, tako da imamo cok S co S. Kako posljednja inkluzija vrijedi za sveprirodne brojeve, to je

kNcok S co S.

13

Ovaj rezultat se moze precizirati.

Teorema 4 (Karateodori, 1911) Ako je S Rn neprazan skup vrijedi

co S =n+1k=1

cok S.

Dokaz. Neka je x co S. Prema prethodnom, tada jex = 1x1+ +kxk, za neke x1, ..., xk S, 1 > 0, ..., k > 0, 1++k = 1.

Ako je k > n + 1, onda je skup vektora{(

xi

1

), ...,

(xk

1

)}linearno

zavisan u Rn+1. Postoje realni brojevi 1, ..., k, koji nisu svi jednaki 0, takvida je

1x1 + + kxk = 0, 1 + + k = 0.

Bar jedan od njih je pozitivan (druga jednakost), pa neka jejj

= mini:i>0

ii.

Imamo

x = x jj

0 =ki=1

ixi j

j

ki=1

ixi =

ki=1

(i j

ji

)xi.

Posto je i jj

i > 0 (za i takvo da je i 6 0 to je ocigledno, a za ostale

zbog izbora indeksa j ) ik

i=1

(i jj i

)= 1 jj 0 = 1, dobili smo da je

x konveksna kombinacija tacaka skupa {x1, ..., xj1, xj+1, ..., xk}.Postupak se nastavlja sve dok skup preostalih vektora

(xi

1

)ne postane lin-

earno nezavisan, tj. dok ih ne ostane najvise n + 1. Tada je x n+1k=1

cok S.

Dakle, co S n+1k=1

cok S. Obratna inkluzija izlazi iz prethodne teoreme.

Primjedba 4 Zbog jasne veze cok S cok+1 S tvrdnja Karateodorijeve teo-reme svodi na jednakost

co S = con+1 S.Isto tako mozemo primjetiti da je konveksni omotac nekog skupa unija simpleksadimenzije (najvise) n, sa vrhovima iz tog skupa.

Primjer 11 Na osnovu Karateodorijeve teoreme dobijamo

n1 = {x Rn :ni=1

xi = 1, xi > 0}.

14

za n - dimenzionalni standardni simpleks je

n = {x Rn :ni=1

xi 6 1, xi > 0}.

Dalje je

int n = int H(e, 1) int H+(e1, 0) ... int H+(en, 0) =

= {x Rn :ni=1

xi < 1, x1 > 0, ..., xn > 0}.

Uocimo jos da je ( 1n+1 , ...,1

n+1 )> int n.

Slijedece jednakosti su korisne ne samo za konstrukciju konveksnog omotacaslozenijih skupova

co (S1 + S2) = co S1 + co S2, (16)

co (C1 C2) =

0661((1 )C1 + C2). (17)

Dokazimo prvu formulu, koja vrijedi za proizvoljne skupove. Posto je kon-veksan zbir konveksnih skupova imamo da iz S1 + S2 co S1 + co S2 slijedi

co (S1 + S2) co (co S1 + co S2) = co S1 + co S2.Za obratnu inkluziju koristimo Karateodorijevu teoremu. Za svaki xi S1 je

xi + co S2 = co (xi + S2) co (S1 + S2).

Tacka x co S1, je oblika x =ki=1

ixi, xi S1, i > 0,

ki=1

i = 1, tako da,

nakon mnozenja sa i i sabiranja, dobijamo

x+ki=1

ico S2 ki=1

ico (S1 + S2).

Zbog konveksnosti omotaca, dalje je x + co S2 co (S1 + S2), i to za svex co S1, sto znaci da je

co S1 + co S2 co (S1 + S2).

Druga jednakost vazi za konveksne skupove. Neka je x =ki=1

ixi, Jk =

{i : xi Ck}, k =iJk

i, k = 1, 2. Uzmimo da je 0 < 1 < 1. Tada je

1 + 2 = 1 i

x = 1iJ1

i1

xi + 2iJ2

i2

xi 1C1 + 2C2.

15

Slucajevi 1 {0, 1}, kao i obratna inkluzija su trivijalni.

Topoloska svojstva

Kao prvo navedimo da se zatvorenje skupa moze zapisati kao

cl C =>0

(C + B), (18)

dok je njegova unutrasnjost

int S = {x S : > 0 (x+ B) S}. (19)Teorema 5 Za svaki konveksan skup sa nepraznim interiorom vrijedi

x1 int C, x2 cl C = [x1, x2[ int C.Dokaz. Za svaki ]0, 1[ i svaki > 0, koristeci formulu za zatvorenje imamo

(1)x1+x2+B (1)x1+(C+B)+B (1)(x1+ 1 B)+C C,

gdje je tako uzeto da je x1 + 1B C, sto je moguce, zbog x1 int C. Posljedica 1 Za konveksan skup sa nepraznim interiorom vrijedi

x int C v Rn > 0 x+ v C. (20)Zaista, neka je x0 int C i x 6= x0 takav da vrijedi desna strana ekvivalencije.Prema tome postoji > 0 za koji je x1 = x + (x x0) C. Sada je x =

1+x0 + 11+x

1 ]x0, x1[ int C. Obratna implikacija je jasna.Teorema 6 Unutrasnjost i zatvorenje konveksnog skupa su konveksni skupovi.

Dokaz. Za x1, x2 int C, prema prethodnom, vrijedi [x1, x2] = [x1, x2[ {x2} int C {x2} = int C. Drugo tvrdenje slijedi iz (5) i konveksnosti zbira i presjekakonveksnih skupova.

Teorema 7 Ako je int C 6= , onda jeint cl C = int C, cl int C = cl C

Dokaz. Iz C cl C slijedi int C int cl C. Obratno, neka je x int cl C iB(x, ) cl C. Za x 6= y int C postoji tacka z S(x, ) takva da je x ]y, z[,pa prema Teoremi 4 je x int C.I u drugoj jednakosti jedna inkluzija je ocigledna, pa onda neka je x cl C i y int C. Tada je [y, x[ int C, odakle je cl [y, x[ cl int C, i x [x, y] cl int C. Na osnovu ove teoreme neposredno slijede veze za dva konveksna skupa.

16

Teorema 8 Ako su C i D konveksni skupovi sa nepraznim interiorima onda je

int C = int D cl C = cl D.

Svaka od jednakosti ekvivalentna je sa

int C D cl C.

Dokaz. Na primjer, ako je D izmedu interiora i zatvorenja skupa C, slijedi da jecl int C cl D cl C, sto uz drugu jednakost iz Teoreme 6 je cl C = cl D. Iz intC = int D dobijamo int C D cl D = cl int D = cl int C =cl C. Preostajeda se dokaze prva ekvivalencija.

Teorema 9 Neka je l : Rn Rm linearno preslikavanje i C konveksan pod-skup od Rn sa nepraznim interiorom, tada vrijedi

int l(C) = l(int C).

Dokaz. Pokazimo prvo da vrijedi dio . U tom cilju ustanovimo da jekonveksan skup D = l(C) izmedu unutrasnjosti i zatvorenja skupa l(int C). Tadace biti, na osnovu Teoreme 7, int D = int l(int C), odakle je int l(C) l(int C).Dakle, imamo uz jednakosti iz teoreme 6int l(int C) l(int C) D l(cl C) = l(cl int C) cl l(int C).Obratno, neka je y l(int C) i v Rm proizvoljan vektor. Postoje x intC,u Rn i > 0 takvi da je y = l(x), v = l(u) i x + u C. Sada je y + v =l(x) + l(u) = l(x + u) l(C). Prema posljedici 1. zakljucujemo da je y intl(C).

Konveksnost skupova je dovoljna da vrijede jednakosti u ...

Teorema 10 int (C +D) = int C + int D.

Dokaz. Dosta je primjeniti teoremu 8. na funkciju l : RnRn Rn, l(x1, x2) =x1 + x2 koja je je linearna, i za koju vrijedi l(C D) = C +D. sada je

int l(C D) = int (C +D),

l(int (C D)) = l(int C int D) = int C + int D.

Teorema 11 Ako su C,D konveksni skupovi i ako je int (C D) 6= , ondavrijedi

cl (C D) = cl C cl D.

Dokaz. Neka je x cl C cl D. Za x0 int C int D vrijedi

[x0, x[ int C int D = int (C D),

odakle je x cl (C D).

17

Primjedba 5 Formula vrijedi i za presjek proizvoljno mnogo konveksnih skupova,uz odgovarajuci uslov (presjek njihovih unutrasnjosti je neprazan) i isti dokaz.

Uslov int C 6= jeste bitan, ali za konveksne skupove nije prirodan, vecga nemaju duzi u ravni, krugovi u trodimenzionom prostoru, kao i hiperravni.Stoga ga je potrebno oslabiti, a to se postize uopstavanjem pojma interiora.

Primjer 12 Za 2- dimenzioni simpleks 2 = co {e1, e2, e3} u R3 imamo da jeint 2 = . Medutim posmatrajuci ovaj trougao u njegovom afinom omotacuaff (2) = {x R3 : x1 + x2 + x3 = 1}, vidimo, na primjer, za x0 = ( 13 , 13 , 13 )da je B(x0, 13 ) aff 2. Kako je ovaj presjek otvoreni krug u posmatranoj(hiper)ravni to je x0 unutrasnja tacka u odnosu na afini omotac. Skup svihtakvih tacaka naziva se relativni interior, i pise ri T .

Uopste, relativni interior definisemo sa

ri S = {x S : > 0 (x+ B) aff S S}.Jasno ako je int C 6= onda je relint C = int C. Sada cemo dokazati osnovnosvojstvo relativnog interiora, po cemu se i razlikuje od interiora.

Teorema 12 Ako je C Rn neprazan konveksn skup, onda je ri C 6= .Dokaz.

Primjedba 6 Za konveksne skupove C = {(1, 0, 0)} i D = 2 imamo C D, ali ri C = C * ri D = {x R3 : x1 + x2 + x3 = 1, x1, x2, x3 > 0}. Inace,S T int S int T .Ostala svojstva ostaju na snazi a za dokaz se, umjesto karakterizacije ...koristi

x ri C y C > 1 : y + (x y) C. (21)Posmatrajuci re C umjesto int C, na snazi ostaju sve teoreme 4 - 10,

riC je konveksan,ri C = ri D ri C D CriCC, riC = riCril(C = l(riC)) ri(C +D) = riC + riD

pri cemu je u posljednjoj potreban dodatni uslov ri C ri D 6= , kao stopokazuje Primjer 2. Uz isti uslov je i

Teorema 13 ri (C D) = ri C ri DDokaz. Kao u dokazu Teoreme 10 je cl C cl D cl (ri C ri D). Sada zbog ,cl (ri C ri D) cl (C D) cl C cl D, slijedi jednakost

cl (riC riD) = cl(C D).Na osnovu ... (relativan interior jednog je podskup drugog skupa) imamo

18

ri (C D) ri C ri D.Neka je x0 u presjeku relativnih interiora, i y C D. Prema (15) postoje > 1 i > 1 takvi da je y + (x0 y) C i y + (x0 y) D. Ako je, naprimjer, > , onda je y+(x0 y) = (y+(x0 y))+ (1 )y D. Dakle,y + (x0 y) C D, pa je x0 ri (C D). Slijedi

ri C ri D ri (C D). omotaci

Jednostavno je dokazati da vrijedi

S otvoren = co S otvoren.Na primjer, int co S je konveksan, a podskup mu je S, posto je int S = S.Dakle, po definiciji konveksnog omotaca, imamo da je co S int co S.S druge strane, konveksan omotac zatvorenog skupa ne mora biti zatvoren:

S = {(x, 0) : x > 0} {(0, 1)},co S = (R+ [0, 1]) \ {(x, 1) : x > 0}.

Medutim dodajuci uslov da je posmatrani skup ogranicen dobijamo

Teorema 14 S kompaktan = co S kompaktan.Dokaz. Posmatrajmo funkciju f datu sa

(1, ..., n+1, x1, .., xn+1) 7n+1i=1

ixi, i R, xi Rn.

Ona je neprekidna funkcija i kompaktan preslikava u kompaktan skup. Preostajeda se vidi da je, po Karateodorijevoj teoremi,

co S = f( [0, 1] ... [0, 1] n+1

S ... S n+1

).

Sada cemo izuciti osnovna svojstva nekih posebnih konveksnih skupova. Sljedeceimamo iz prethodne teoreme, s obzirom da je konacan skup kompaktan.

Posljedica 2 Politop je kompaktan skup

Naravno, konacno generisan konus nije kompaktan skup, ali

Teorema 15 Konacno generisan konus je zatvoren skup.

Dokaz. Neka je K = cone {x1, ..., xm}, pri cemu je dati skup linearno nezavisan.U suprotnom se, kao u dokazu Karateodorijeve teoreme, vrsi redukcija do lin-earno nezavisnog skupa. Preslikavanje l : Rm lin (x1, ..., xm), l(1, ..., m) =1x

1 + ...+ mxm je linearno i bijektivno. Inverzno preslikavanje je neprekidnotako da je slika zatvorenog skupa zatvoren skup. Dakle l(Rm+ ) = cone {x1, ..., xm}je zatvoren skup. Sada ...

19

Posljedica 3 Zbir politopa i konacno generisanog konusa je zatvoren skup.

Neograniceni konveksni skupovi

Teorema 16 Neka C konveksan zatvoren neogranicen. Za svaki x C postojiv 6= 0 takav da vrijedi

{x+ v : > 0} C. (22)

Dokaz. Neka je x C i > 0. Postoji niz (xk) tacaka iz C takav da xk ,0 6 xk 6 1 i (

xk

xk ) konvergira, nekom v. Sada x+

xk (xkx) C konvergira

ka x+ v cl C = C. Primjedba 7 Ako konveksan skup skup nije zatvoren, onda ovo tvrdenje vaziza tacke iz ri C. Za ostale ne mora, na primjer nijedna poluprava sa vrhom u 0nije podskup skupa C = ( R]0, 1[ ) {0}.

Primjedba 8 Navedimo jos da u (13) za svaki x mozemo uzeti isti v. Zaista,neka (13) vrijedi za x0 C i neka je x C proizvoljan. Tada, je 1k (x0 + kv) +(1 1k )x C, pa taj niz konvergira tacki x+ v cl C = C, za sve pozitivne .

Projekcija. Teoreme razdvajanja

Tacka y0 = a + x0a,vv2 v je ortogonalna projekcija tacke x

0 na pravu P ={a+ tv : t R}, zato sto je x0 y0, v = 0. Zbog toga,za bilo koju drugu tackuy sa prave, imamo x0 y > x0 y0.Uopste, tacku y0 S zvacemo projekcijom tacke x0 Rn na neprazan skupS j Rn ako vrijedi

x0 y0 6 x0 y y S.Jasno, projekcija ne mora da postoji, kao na primjer na otvorenu kuglu iz

tacke van nje, a ako i postoji ne mora biti jedinstvena (unija dvije zatvorenedisjunktne kugle i sredina duzi koja spaja njihove centre).

Teorema 17 Svaka tacka iz Rn ima jedinstvenu projekciju na neprazan, zatvorenkonveksan C Rn.

Dokaz. Kao prvo, ako je tacka x0 u C ona je sama sebi projekcija, jer x0y0 =x0 x0 = 0. Za x0 / C neka je r > 0 takav broj da je C B(x0, r) neprazanskup. On je kompaktan skup (kao presjek zatvorenog C i zatvorene kugle), paneprekidna funkcija

y 7 y x0dostize na njemu minimum, u nekoj tacki y0. Dakle, za sve tacke y posmatranogpresjeka vrijedi y x0 > y0 x0. Za ostale tacke skupa C (van kugle) jeyx0 > r > y0x0. Zakljucno, za sve y C vrijedi yx0 > y0x0.Za dokaz jedinstvenosti koristimo jednakost paralelograma

u+ v2 + u v2 = 2(u2 + v2),

20

uzimajuci da je u = x0 y0, v = x0 y1, gdje su y0 i y1 projekcije tacke x0.Zbog x0 y0 = x0 y1 imamo

y1 y02 = 4(x0 y02 x0 y

0 + y1

22)6 0,

buduci da je y0+y1

2 C, zbog konveksnosti datog skupa. Iz prethodne nejed-nakosti slijedi da je y0 = y1.

Sada vidimo da je na ovaj nacin definisana funkcija (x0 7 y0), koju nazivamo(metricka projekcija) i oznacavamo sa PC . Dakle, za konveksan i zatvoren skupC definisana je PC : Rn C sa

y0 = PC(x0) (y C) x0 y > x0 y0.

Osnovna svojstva su data nejednakostima, pri cemu iz druge slijedi neprekidnostove funkcije.

Teorema 18 Za C 6= konveksan i zatvoren skup, x0 Rn i y0 C vrijedia) y0 = PC(x0) ako i samo

x0 y0, y y0 6 0 y C, (23)

b)PC(x1) PC(x0) 6 x1 x0 x1, x0 Rn. (24)

Dokaz. a) Kako je C konveksan i y0 C, to za svaki y C i sve ]0, 1[ imamoy0 + (y y0) C, pa je

x0 (y0 + (y y0))2 > x0 y02, tj. 2x0 y0, y0 y+ y y02 > 0.

Pri 0+, dobijamo prvu nejednakost.Iz (5) imamo redom (uzimamo da je y0 6= x0, inace je nejednakost trivijalna)

x0y0, x0y0+yx0 6 0, x0y02 6 x0y0, x0y, x0y0 6 x0y

i to za sve y C, sto znaci da je y0 = PC(x0).

b) Oznacavajuci projekciju tacke x1 sa y1 slijede nejednakosti: x0y0, y1y0 6 0, x1 y1, y0 y1 6 0, odakle je

y1 y0 + x0 x1, y1 y0 6 0,

y1 y02 6 x1 x0, y1 y0.Preostaje da se opet iskoristi nejednakost Kosi-Bunjakovskog.

21

Primjedba 9 Uzimajuci da je a = x0 y0, iz prve nejednakosti, za sve y Cvrijedi

a, y 6 a, y0.Ako je x0 6= y0, onda je a 6= 0, pa je odredena hiperravan H(a, ), = a, y0 iformula (5) znaci

y0 H, i C H.Ovo je motivacija za sljedecu definiciju.

Definicija 2 H se naziva potporna hiperravan (hiperravan oslonca) nepraznogskupa S Rn u tacki x bd S, ako je x H i S H ili S H+

Teorema 19 Zatvoren i konveksan skup u svakoj granicnoj tacki ima potpornuhiperravan.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je y0 bd C projekcija neke druge tacke . Postojiniz xk Rn\C koji tezi ka y0, pri cemu mozemo uzeti da su svi xn B(y0, 1).Prema teoremi 7. imamo niz projekcija yk = PC(xk), kojem pridruzujemo nizzk S(y0, 1) takav sa je xk ]yk, zk[. Vrijedi

yk y0 = PC(xk) PC(y0) 6 xk y0,odakle je yk y0 pa, zbog neprekidnosti projekcije, slijedi PC(yk) y0. Naosnovu prvog dijela prethodne teoreme je PC(zk) = yk. Niz (zk) ima konver-gentan podniz, za ciju granicnu vrijednost z0 S(y0, 1) je PC(z0) = y0. Dakle, ako je x0 bd C, onda je x0 H, dok je C H. Za x0 / C (Napomena2) mozemo reci i vise. Naime, tada je x0 H+, zbog a, y0 < a, x0. Akouzmemo = a,x

0a,y02 =

a22 dobijamo za sve y C vrijedi a, y <

Teorema 20 Neka su C1, C2 Rn neprazni, disjunktni, konveksni i zatvoreni.Ako je jedan od njih ogranicen, onda postoji hiperravan koja ih strogo razdvaja.

Dokaz. Razlika C1 C2 datih skupova, po pretpostavkama, je konveksan izatvoren skup. Uz ovo, uslov C1 C2 = znaci da je 0 / C1 C2. Premaprethodnoj teoremi postoji a Rn, a 6= 0 i > 0 tako da za sve x C1 i svey C2 vrijedi

a, x y > > 0,odakle je

a, x > a, y+ > a, y.Skup {a, x : x C1} je ogranicen odozdo sa a, y+ , za proizvoljan fiksirany C2. Sada je

infxC1

a, x

gornja meda skupa {a, y : y C2}, pa imamo

infxC1

a, x > supy C2

a, y+ > supy C2

a, y.

Uzimajuci izmedu uocenog supremuma i infimuma slijede nejednakosti izdefinicije 2.

Koristeci drugi dio teoreme 5, a ponavljajuci prethodni postupak, uz izbor

[ supyC2

a, y, infxC1

a, x]

dobija se

Teorema 21 Neprazni, disjunktni i konveksni skupovi C1 i C2 su razdvojeni.

Posljedica 4 Ako je uz uslove teoreme 11, jos int C1 6= , onda su C1 i C2potpuno razdvojeni.

Dokaz. Iz prethodne teoreme slijedi da je a, x 6 za sve x C1. Ako bi biloa, x0 = za neki x0 int C1, onda (imajuci na umu da je i x0 + aa2 C1,pri malom > 0) dobijamo

a, x0 + a

a2= + 6 .

Ovo nije moguce, tako da preostaje a0, x < , pa x0 / H(a, ) Uopstenje prethodne teoreme i potpuna karakterizacija potpune razdvojenostije data sljedecom teoremom.

Teorema 22 Neprazni konveksni skupovi C1, C2 Rn su potpuno razdvojeniako i samo ako vrijedi

ri C1 ri C2 = .

23

Teorema 23 Neprazni konveksni skupovi C1, C2 Rn su strogo razdvojeni akoi samo ako vrijedi

infxC1,yC2

x y > 0.

Ekstremalne tacke

Definicija 4 Tacka x je vrh (ekstremalna tacka) nepraznog konveksnog skupaC Rn ako je x C i ne postoje razlicite tacke x1, x2 C takve da vrijedi

x =x1 + x2

2.

Lako se vidi da je x vrh tog skupa ako i samo ako iz

x1, x2 C, ]0, 1[, x = (1 )x1 + x2 slijedi x1 = x2.Primjer 13 krug-simplex-poliedar

Vidimo da sto se tice broja vrhova situacija je razlicita. Konveksan skup nemora imati vrhove, a moze i biti neprebrojivo. Za poliedre imamo sljedece.

Primjedba 10 Neka je H = H(a, ) potporna hiperravan skupa C H+ iC1 = C H neprazan skup. Tada je ext C1 ext C. Zaista, neka je v0 ext C1,ali nije u ext C. Postoje razliciti v1, v2 C takvi da je 2v0 = v1+ v2. S obziromna a, v1 > = a, v0, dobijamo a, v1v > 0, i na isti nacin a, v2v > 0.No, a, v1 v+ a, v2 v = 0, pa mora da bude v1, v2 H, te je v1, v2 C1,a to je u suprotnosti s v ext C1.Teorema 24 Zatvoren konveksan skup C Rn ima vrh ako i samo ako nepostoji prava P C.Dokaz. Neka je {x0+v : R} C, za neku x0 C i v 6= 0. Prema Teoremi...za svaki x C je {x + v : R} C. Sada mozemo uzeti x = x+v+xv2 , pazbog v 6= 0 tacka x nije vrh skupa C. Obratno, koristimo indukciju po dimenzijiskupa. Za jednoclane skupove situacija je jasna. U induktivnom koraku uzmimoda je n dimenzija skupa C, a tvrdenje vrijedi za sve konveksne skupove dimenzije6 n1, kojima nijedna prava nije podskup. Svaka prava odredena sa dvije tackeiz posmatranog skupa ima neprazan presjek sa bd C. Potporna hiperravan u tojtacki je dimenzije n 1, pa rezultat izlazi iz prethodne napomene. Teorema 25 Poliedar ima najvise konacan broj vrhova.

Dokaz. Neka je x0 vrh nekog poliedra. Jasno, postoji J {1, ...,m} takavda je ai, x = bi za indekse iz uocenog podskupa, a ai, x < bi za ostale.Za neku drugu tacku x sa istim svojstvom stavimo x1 = x0 + (x x0) ix1 = x0 (x x0). Imamo ai, x1 = ai, x2 = bi, za i J i ai, x1 2l(x0), a zbog linearnosti funkcije l to je nemoguce.

Ova primjedba ima poseban znacaj u linearnom programiranju. Mi cemo jeiskoristiti za precizniji opis konveksnog omotaca. Naime, u izgradnji konveksnogomotaca kompaktnog, konveksnog skupa ne sudjeluju, u sustini, sve njegovetacke, nego samo vrhovi. U narednoj teoremi ext C oznacava skup svih vrhovaskupa C.Teorema 27 (Minkovski, 1911) Neka je C Rn neprazan, konveksan, kom-paktan skup. Tada

C = co (ext C).Dokaz. Zbog konveksnosti skupa C vrijedi ext C C co ext C C.Obratna inkluzija se dokazuje indukcijom, po dimenziji skupa. Za n = 1 jedinineprazni konveksni kompaktni skupovi su zatvoreni intervali [, ], 6 , a zanjih je [, ] = co {, }.Za induktivni korak neka je dim C = n, a tvrdjenje tacno za sve konveksnekompaktne skupove manje dimenzije. Uzmimo x C i tacke x1, x2 bd Ctakve da je x [x1, x2]. Prema Teoremi 17 postoje potporne hiperravni H1 iH2, za koje je x1 H1 C, x2 H2 C. Ti presjeci, npr. C1 i C2, su u (n 1)dimenzionalnim hiperravnima, pa iz C1 co ext C1 i C2 co ext C2, na osnovucinjenice da su vrhovi skupova C1 i C2 ujedno vrhovi i skupa C, slijedi

x [x1, x2] co (C1 C2) co (co ext C1 co ext C2) co ext C.Zakljucno, x C x co ext C. Primjedba 11 U proizvoljnim normiranim prostorima ne vrijedi ova teoremavec njena posljedica koju su dokazali Krejn i Milman, (1940), a glasi Za neprazan,konveksan, kompaktan skup vrijedi

C = cl (co (ext C)).Ilustrujmo dokaz na inkluziji C cl (co (ext C)). Pretpostavimo da ona nijetacna, tj. da postoji x0 C koji ne pripada skupu cl (co (ext C)). Ovaj skupje konveksan i zatvoren, pa je strogo razdvojen od x0. Postoji a 6= 0 takoda za sve x ext C vrijedi a, x0 < a, x. Prema tome linearna funkcija datasa l(x) = a, x ne dostize minimum u vrhu konveksnog kompaktnog skupa .

25

Teoreme alternative

Pomocu teorema razdvajanja dokazacemo neke od vaznih teorema alterna-tive. Alternativni sistemi linearnih (ne)jednacina su oni kod kojih samo jedanima rjesenje. Neka je je A m n matrica, b Rm dok vektori 0, x i y u skladus tim.

Teorema 28 (Farkas, 1902) samo jedan od sljedeca dva sistema ima rjesenje:

Ax = b, x > 0, (25)A>y > 0, b>y < 0. (26)

Dokaz. Uzmimo prvo da oba imaju rjesenja i to x0 i y0. mnozeci skalarno A>y0

sa x0 dobijamo (y0)>Ax0 = (y0)>b > 0. Pretpostavimo da prvi sistem nemarjesenje. Znaci b / K = {Ax : x Rn+}, koji je konveksan (teorema 2) i zatvoren(teorema 15). Posmatrani skup i {b} strogo razdvaja neka hiperravan H(y, ),odnosno, za sve x > 0 vrijedi

y>b < < y>Ax. (27)

Specijalno, za x = 0 dobijamo y>b < 0. Sada, za sve x > 0, vrijedi (A>y)>x =y>Ax > 0. Odatle je A>y > 0, tako da je vektor normale y rjesenje drugogsistema. Teorema 29 (Aleksandrov, Fan) Sistemi

Ax 6 b, (28)A>y = 0, b>y < 0, y > 0 (29)

su alternativni.

Dokaz. Sistem (29) je ekvivalentan sa sistemom

A>y = 0, b>y = 1, y > 0, (30)odnosno sa (

A>

b>

)y =

(01

), y > 0.

Njemu je, prema Farkasovoj teoremi, alternativan sistem

(A, b)(

z

)6 0, (z>, )

(01

)> 0,

tj.Az + b 6 0, < 0,

sto je, uz x = z , ekvivalentno saAx 6 b.

26

Teorema 30 (Gordan 1873, Stimke, 1915) Samo jedan od sistema

Ax < 0, (31)

A>y = 0, y > 0, y 6= 0 (32)ima rjesenje.

Dokaz. Dovoljno je iskoristiti za b = (, ..., )>, < 0.

Polarni skupovi

Vidjeli smo kako se proizvoljnom skupu dodjeljuje konveksan skup (S 7co S). Drugi nacin sastoji se u sljedecem... Neka je C konveksan, zatvorenskup u Rn u kome se nalazi 0. Tada je pomocu duzi [0, x] opisan taj skup:C = xC [0, x]. Svakim vektorom x C odredena je hiperravan H(x, 1). Presjeksvih poluprostora H+(x, 1) je neprazan (u njemu je bar 0), naziva se polaranskup skupa C i oznacava sa C. Dakle, Co = xC{y Rn : y, x 6 1}, iliC = {y Rn : y, x 6 1 x C}. Sada, za proizvoljan neprazan S Rnpolaran skup definisemo sa

So = {y Rn : y, x 6 1 x S}. (33)Primjer 14 B[0, r] = B[0, 1r ]Primjer 15 Polarni skup konveksnog konusa K je upravo njegov polarni konus(Primjer 10.) Zaista, K = {y Rn : y, x 6 1 x K}. S obziroma da zasve > 0 i x K imamo x K, to za proizvoljan y K vrijedi y, x 6 1 ,odakle je y, x 6 0. K {y Rn : y, x 6 0 x K}. Obratna inkluzija jeocigledna, pa

Primjer 16 Odredimo polaran konus konacno generisanog konusa K = {Ax :x > 0} (Primjer 9.) :{Ax : x > 0}0 = {y : y,Ax 6 0 x > 0} = {y : A>y, x 6 0 x 6 0} =

= {y : A>y 6 0}.Dakle, dobili smo homogen poliedar.

Primjer 17 Polaran skup potprostora V Rn je njegova ortogonalna dopuna.Kao i gore je y, x 6 0, ali i y,x 6 0 za sve x V, tako da je V = V.

Iz (31) vidimo da je polarni skup konveksan, zatvoren i da mu pripada 0. Dabimo dali karakterizaciju skupova sa navedenim svojstvima definisemo polarniskup polarnog skupa (tzv. bipolarni skup)

S = (S) = {x Rn : x, y 6 1 y S}.Sada, zbog x, y 6 1, za sve x S i sve y S zakljucujemo

S S.Obratno ne mora da bude uvijek, ali vrijedi sljedeca jednakost, odakle je jasnaveza izmedu skupova S i S.

27

Teorema 31 Za svaki neprazan skup S Rn vrijediS = cl co (S {0}).

Dokaz. Stavimo C = cl co (S {0}). U sustini, vec smo vidjeli da je C S.Ako x0 / C, onda (Teorema separacije 20.) postoje a 6= 0 i realan broj tako daje a, x > > a, x0, za sve x C. Kako je 0 C slijedi < 0, pa stavljajucida je a0 = a imamo a0, x < 1 za sve S C i a0, x0 > 1. To znaci da jea0 S i nije a0, x0 6 1, tako da x0 ne moze biti u S. Dakle, C = S. Posljedica 5 Skup S Rn je zatvoren konveksan skup i 0 S ako i samo ako

S = SDokaz. Uz pretpostavke imamo S = cl co (S {0}) = cl co S = cl S = S.S druge strane ako je tacna jednakost skup preuzima svojstva odgovarajucegbipolarnog skupa.

Primjer 18 Kao primjenu ovog rezultata dacemo jos jedan dokaz Farkaseveteoreme. Koristimo uz K = K i teoreme 2. i 15.

{x : Ax = b, x > 0} 6= b {Ax : x > 0} = {Ax : x > 0}

b, u 6 0 u {Ax : x > 0} b, u 6 0 u {y : A>y > 0} A>y > 0 b, y 6 0.

Uocimo da smo u sustini koristili cinjenicu da je polaran konus konacno gener-isanog konusa homogen konus. Sada cemo vidjeti kakva je situacija sa sumompolitopa i konacno generisanog konusa.

Primjer 19 Polaran skup zbira politopa i konacno generisanog konusa je poliedar.

Dokaz. Za svaki x =m

i=1 ixi,k

i=1 i = 1, 1 > 0, ..., m > 0, uslov y, x 6 1je ispunjen ako je xi, y 6 1, i = 1, ..., k i xi, y 6 0, i = k + 1, ...,m. Dakle, yje rjesenje sistema nejednacina sa matricom (x1...xm)> i slobodnim vektorom(1, ..., 1, 0, ..., 0)>. Vrijedi i obratno, pa je

(co{x1, ..., xk}+cone{xk+1, ..., xm}) = {y : y>(x1...xm) 6 (1, ..., 1, 0, ..., 0)}. Uocimo da uzimajuci za politop co {0}, prethodna formula daje nam poznatrezultat.

(C +D)o = Co Do

(C[]D)o = Co Do(C +D)o = Co Do

(C[]D)o = Co Do

28

Poliedri

Teorema 32 Ogranicen poliedar je politop.

Dokaz. Svaki poliedar je zatvoren (primjer 5.) pa je u nasem slucaju ,zbogogranicenosti, kompaktan. Prema teoremi Minkovskog on je konveksni omotacsvojih vrhova, a taj skup je konacan (Posljedica 3). Dakle, ogranicen poliedarje politop.

Teorema 33 (Minkovski) Homogeni poliedar je konacno generisan konus.

Dokaz. Presjek homogenog poliedra K i jedinicne kugle B1 je ogranicen poliedar,pa je prema vec dokazanom politop, tj. oblika je co (x1, ..., xk), x1, ...xk K.Konacno generisani konus cone (x1, ..., xk) je K. Zaista, neka je x K. Jasno,postoji > 0 takav da x co (x1, ..., xk). Sada, iz x =ki=1 ixi,ki=1 i =1, 1 > 0, ..., k > 0, slijedi da je x =

ki=1

i x

i cone (x1, ..., xk). Obratno jeocigledno.

Teorema 34 Poliedar je zbir politopa i konacno generisanog konusa.

Dokaz. Sistemu Ax 6 b, kojim je odreden poliedar, dodijelimo sistem ne-jednacina Ax 6 b, > 0. Jasno,

x0 {x Rn : Ax 6 b} (

x0

1

){(

x

):(

A b0 1

)(x

)6 0

}.

Drugi skup je homogeni poliedar u Rn+1, pa je prema teoremi Minkovskog

jednak nekom cone {( x1

1 ), ..., (xm

m)}.

Neka su 1 > 0, ..., k > 0, a ostali i = 0. Sada ovaj konacno generisani konusje

cone {( v1

1 ), ..., (vk

1 ), (vk+1

0 ), ..., (vm

0 )}, gdje je vi = 1ix

i za i > 0, dok

je vi = xi za ostale indekse. Prema tome, x0 pripada poliedru ako i samo akox0 =

ki=1 iv

i +m

i=k+1 ivi, pri cemu je 1 > 0, ..., m > 0,

ki=1 i = 1, a

odavde slijedi tvrdenje. Dokazacemo da vrijede i obrati ovih teorema i time dati reprezentaciju

poliedara.

Teorema 35 Zbir politopa i konacno generisanog konusa je poliedar.

Dokaz. Neka je posmatrani zbir P + K. Tada je (P + K) poliedar, premaPrimjeru 19., a prema Teoremi 33. to je zbir politopa i KGK, tako da je i(P+K) poliedar. Ako pretpostavimo da 0 P+K, tada je zbog zatvorenosti(...) i konveksnosti zbira (P+K) = P+K (posljedica 5.). Ukoliko 0 ne pripadazbiru, onda za proizvoljnu njegovu tacku x0 je 0 P x0 + K. S obzirom daje i P x0 politop dobili smo poliedar, na primjer {x : Ax 6 b}, tako da jeP +K = {x : Ax 6 b+Ax0}.

29

Teorema 36 (Vejl) Konacno generisan konus je homogen poliedar.

Dokaz. cone {...} = (cone {...}) = (hompol) = (kgk) = hompol

Teorema 37 Politop je ograniceni poliedar.

Dokaz. Prema Teoremi 34., politop P = P+ cone {0} je poliedar, a posto jekompakatan on je ogranicen poliedar.

30

KONVEKSNE FUNKCIJE

....

1. Definicija vrste i primjeriVazni skupovi koji su pridruzeni svakoj funkciji f : Df R,S Df Rn sunadgraf (epigraf), podgraf (hipograf) i nivoski (Lebegov) skup :

epi f ={(

x

) Df R : > f(x)

}hypo f = epi (f),

lev (f, ) = {x Df : f(x) 6 } .Definicija 5 Funkcija f je konveksna ako je epi f konveksan skup. Funkcija jekonveksna na konveksonm skupu C Df ako je njena restrikcija na C konveksnafunkcija.

Neka je f realna funkcija definisana na skupu D(f) Rn, i C D(f) neprazan,konveksan skup.

Teorema 38 Funkcija f je konveksna na C ako i samo ako za sve x1, x2 C isvaki [0, 1] vrijedi

f((1 )x1 + x2 ) 6 (1 )f(x1) + f(x2). (34)

Dokaz. Neka su x1, x2 C i neka je odgovarajuci nadgraf konveksan skup.Posto mu pripadaju tacke

(x1

f(x1)

),

(x2

f(x2)

), onda za sve [0, 1] mora

da bude

(1 )(

x1

f(x1)

)+

(x2

f(x2)

)=(

(1 )x1 + x2(1 )f(x1) + f(x2)

) epi f,

a ovo znaci da vrijedi nejednakost (34).

Uzmimo sada(

x1

1

),

(x2

2

) epi (f |C), [0, 1]. Kako je C konveksan i

f((1 )x1 + x2)) 6 (1 )f(x1) + f(x2) 6 (1 )1 + 2,

slijedi da je(

(1 )x1 + x2(1 )1 + 2

) epi (f |C), te je ovaj skup konveksan.

Ako je u nejednakosti (34) znak < umjesto 6, za sve x1 6= x2 i svaki ]0, 1[,kazemo da je f strogo konveksna funkcija. Funkcija f je konkavna ako je -fkonveksna, tj. ako umjesto (34) vrijedi

f((1 )x1 + x2 ) > (1 )f(x1) + f(x2).

Primjer 20 Afina funkcija a(x) = a, x+ je konveksna na C = Rn. Ona je ikonkavna na tom skupu. Afine funkcije su jedine koje su konveksne i konkavne.

31

Primjer 21 f(x) = x je konveksna na Rn, sto direktno slijedi iz svojstavanorme. Medutim, ako je int C 6= , x1 int C, x2 = (1+t)x1 (t malo, dovoljnoda bude x2 C) i = 12 , onda (34) postaje jednakost. Dakle, norma nije strogokonveksna na C sa nepraznom unutrasnoscu.Primjer 22 Posto vrijedi

(1 )x1 + x22 = (1 )x12 + x22 (1 )x1 x22

vidimo da je f(x) = x2 strogo konveksna na Rn.U konveksne spadaju jako konveksne funkcije, za koje vazi jaca nejednakost od(34):

f((1 )x1 + x2 ) 6 (1 )f(x1) + f(x2) (1 )x1 x22,

za neki > 0 i sve x1, x2 C, [0, 1]. Jasno, svaka jako konveksna funkcijaje i strogo konveksna. Na osnovu jednakosti iz primjera vidi se da je funkcija fjako konveksna ako i samo ako je f 2 konveksna, za neki > 0. Samimtim x 7 x2 je jako konveksna sa = 1.Primjer 23 Kvadratna forma q(x) = Cx, x + c, x je konveksna na svakomC Rn, ako i samo ako je simetricna matrica C pozitivno semidefinitna. Ovoslijedi iz

(1 )q(x1) + q(x2) q((1 )x1 + x2) = (1 )C(x1 x2), x1 x2.Kvadratna forma je jako konveksna ako i samo ako je C pozitivno definitna. Za mozemo uzeti njenu najmanju sopstvenu vrijednost.

Teorema 39 Funkcija f je konveksna na C Rn ako i samo ako je funkcija() = f

(x1 + (x2 x1))

konveksna na intervalu [0, 1], za sve x1, x2 C.Drugim rijecima f je konveksna na C Rn ako i samo ako je konveksna njenarestrikcija na svakoj duzi iz C.

Jasno, f je konkavna ako i samo ako je hypo f konveksan skup. Posto jelev(f, ) ortogonalna projekcija na Rn skupa

epi f H (en+1, ) ,imamo da je za konveksnu funkciju f svaki nivoski skup (ukljucujuci ) kon-veksan. I na osnovu nejednakosti (34) dokaz je trivijalan.

Jensenova nejednakost A-G nejednakostJensenova nejednakost A-Gnejednakost

32

Teorema 40 Neka je funkcija f konveksna na C. Tada, za svaki m N i svex1, ..., xm C, 1 > 0, ..., m > 0, takve da je 1 + + m = 1, vrijedi

f(1x1 + + mxm) 6 1f(x1) + + mf(xm). (35)Dokaz. Neka su m N i x1, ..., xm C proizvoljni. Tada, zbog konveksnotinadgrafa i formule (15) vrijedi co {( x

1

f(x1) ), ..., (xm

f(xm) )} epi (f |C), za svenenegativne 1, ..., m ciji zbir je 1. To znaci da je(

1x1 + ...+ mxm

1f(x1) + ...+ mf(xm)

) epi (f |C),

odnosno (33).

Primjer 24 Funkcija jedne promjenljive f(x) = lnx je konveksna na ]0,+[.Jensenova nejednakost u ovom slucaju glasi lnni=1 ixi 6 ni=1i lnxi.Ova nejednakost, zapisana u obliku

ni=1

xii 6ni=1

ixi, (36)

za sve x1, ..., xn > 0, 1, ..., n > 0,n

i=1 i = 1 naziva se nejednakost izmeduaritmeticke i geometrijske sredine. Uzimajuci da su svi brojevi i = 1n , imamo

nx1...xn 6

x1 + ...+ xnn

.

Primjer 25 (Helder) Polazeci od toga da je eksponencijalna funkcija konvek-sna, za pozitivne brojeve i i brojeve p > 1, q > 1 takve da je 1p +

1q = 1 dobija

se, iz Jensenove nejednakosti za m = 2, nejednakost

6 e 1p ln p+ 1q ln

q

6 1peln

p

+1qeln

q

,

odnosno 6

p

p+q

q. (37)

Stavljajuci, za sve i = 1, ..., n, = xi(n

i=1 xpi )

1pi = yi

(n

i=1 yqi )

1q, nakon sumiranja

dobijamon

i=1xiyi

(n

i=1 xpi )

1p (n

i=1 yqi ))

1q6 1p +

1q = 1, tj.

x, y 6 xpyq.Operacije koje cuvaju konveksnost

1. Prije svega zbir dvije konveksne funkcije je konveksna funkcija. Proizvodkonveksne funkcije realnim brojem je, opet, konveksna funkcija. Ovo se jednos-tavno dokazuje pa cemo samo navesti tvdenje.

33

Teorema 41 Neka su f1, ..., fm konveksne na C Rn, i 1, ..., m nenegativnirealni brojevi. Tada je f = 1f1 + + mfm konveksna funkcija na C.

Primjedba 12 Vec smo imali da je f konveksna ako je f konveksna jedinou slucaju da je funkcija afina. Ovo znaci da skup svih konveksnih funkcija (naistom C) nije potprostor, ali jeste konus, u prostoru realnih funcija.

2. Kompozicija dvije konveksne funkcije je konveksna, ali uz dodatne usloveNa osnovu definicije konveksne funkcije, pomocu operacija sa konveksnim

skupovima dobicemo nove konveksne funkcije. To nam omogucuje

Teorema 42 Neka je C Rn+1 konveksan skup. Funkcija f,

f(x) = inf{ R :

(x

) C}

(38)

je konveksna na skupu D Rn tacaka x u kojima je infimum konacan.

Dokaz. Prvo, skup D = {x : C ({x} R)je ogranicen odozdo} je konveksan.Neka je > 0 po volji. Postoje (x1, 1)>, (x2, 2)>, x1, x2 D takvi da vrijedif(x1) 6 1 < f(x1) + 2 , i f(x2) 6 2 < f(x2) +

2 . Zbog konveksnosti skupa C

je (1x1+2x2, 11+22) C, odakle je f(1x1+2x2, 1) 6 11+22 61f(x1) + 2f(x2) + .

Primjedba 13 Jedan uslov da je infimum konacan je da postoji nevertikalnahiperravan u Rn+1,tj. H((a, 1)>, ), takva da je C H+. Tada je > a, x,za fiksiran x i sve uz (x, ) C.3. Supremum (maksimum) konveksnih funkcija. Vazan primjer ovkve funkcije jex 7 |x| = max {x, x}. Njen nadgraf je konus dobijen u presjeku dva polupros-tora. Za bilo koje dvije konveksne funkcije f1 i f2 definisane na C Rn skupepi f1 epi f2 je konveksan skup u Rn+1. Jasno, to je nadgraf funkcije

C 3 x 7 max {f1(x), f2(x)},

koja je konveksna prema prethodnoj teoremi. Oznacavamo je sa f1f2. Ovo vri-jedi za funkciju f datu sa f(x) = maxi=1,...,m fi(x), x C, kao i za proizvoljnokonveksnih funkcija, zahvaljujuci tome sto je presjek mnogo proizvoljno konvek-snih skupova konveksan skup. To se moze dokazati i direktno.

Teorema 43 Neka je C Rn konveksan, S Rm i neka je funkcija F : CS R konveksna na C za svaki y S i ogranicena na S za svaki x C. Tada je naskupu C konveksna funkcija f data sa

f(x) = supyS

F (x, y).

Dokaz.

34

Primjer 26 (Kob-Daglasova funkcija) Funkcija f(x) = ni=1 xii kon-veksna je na Rn+ za svaki (1, ..., n) n1.Stavimo da je S = {y :ni=1 yii = 1}, i F (x, y) = ni=1 ixiyi, za x > 0, y S. Pomocu A-G nejednakosti dobijamo

f(x) = ni=1

(xiyi)i > ni=1

ixiyi = supyS

F (x, y).

S jedne strane svaka od funkcija x 7 F (x, y), y S je konveksna (linearna),a supremum se dostize na kompaktnom S, (npr. u tacki ( f(x)x1 , ...,

f(x)xn

)>).Dakle, prema prethodnoj teoremi funkcija f je konveksna.

Primjer 27 (potporna funkcija skupa) sC(x) = supyC

x, y. Ako je skup Cogranicen funkcija je definisana na Rn. Neka je x0 6= 0 tacka iz Rn. Tada zakonveksan C postoje dvije potporne hiperravni H(x0, ) i H(x0, ). Za 6 vrijedi x0, x 6 za sve x C, te je sC(x0) = , pa je H(x0, sC(x0)) jednapotporna hiperravan skupa C, normalna na vektor x0 6= 0. Druga takva hiper-ravan je H(x0, sC(x0)), zbog = inf

xCx0, x = sup

xCx0, x = sC(x0).

Odavde je i izvedeno ime za ovu funkciju.

Primjer 28 (konjugovana funkcija) Svakoj funkciji f : C R dodjeljuje sekonjugovana funkcija f : D R,

f(y) = supxC

(y, x f(x)),

gdje je D skup tacaka za koje je supremum konacan. Svaka konjugovana funkcijaje konveksna.

Primjer 29 (zatvorenje) Funkcija cl f ili f zvana zatvorenje funkcije f definisese sa

epi f := cl epi f.

Ako je f konveksna onda je i f konveksna funkcija. Ovim vaznim funkcijamaposveticemo vise paznje kasnije i izmedu ostalog pokazacemo da je zatvorenje fsupremum afinih minoranti date funkcije f, tj.

f(x) = sup(a,)S

(a, x ),

pri cemu je S = {(a, ) Rn R : a, x 6 f(x) x C}.4. Infimalna konvolucija

Neka su f1 i f2 konveksne funkcije na Rn, sa zajednickom afinom minorantom.Odredimo funkciju f1 f2 primjenjujuci teoremu ... na zbir nadgrafa datihfunkcija. Dakle, podimo od problema minimizacije

inf{ :(

x

) epi f1 + epi f2

}=

35

inf{1 + 2 : 1 > f1(x1), 2 > f1(x1), x = x1 + x2

}.

Nakon eliminacije 1 i 2 imamo

(f1 f2)(x) = infx=x1+x2

(f1(x1) + f2(x2)

), (39)

a mozemo pisati i

(f1 f2)(x) = infyRn

(f1(y) + f2(x y)).

Prema konstrukciji je epi (f1)+epi (f2) epi (f1f2). Za (x, )> epi (f1f2),gdje je > 0, postoje v i > 0 takvi da je f1(v) + f2(x v) + = i(

x

)=(

vf1(v) + 2

)+(

x vf2(x v) + 2

) epi f1 + epi f2.

Vidimo da vrijedi

{(x, ) : (f1 f2)(x) < } epi f1 + epi f2 {(x, ) : (f1 f2)(x) 6 },

a dalje nece moci:

Primjer 30 f1(x) = ex, f2(x) = 0, (f1 f2)(x) = 0, ...5.

Konveksni omotac minimuma

Ovdje cemo, prvo, proizvoljnoj funkciji f dodijeliti blisku joj konveksnu funkciju,uzimajuci u Teoremi 41, da je C = co epi f . Opet pretpostavljamo da f imaafinu minorantu ... Imamo

co f := inf{ :(

x

) co epi f

}. (40)

SLIKA

Na ovaj nacin moze se definisati operacija sa konveksnim funkcijama f1 co f2 =co (f1 f2). Mi cemo krace pisati f1 M f2 za ovu operaciju.

Neka je x =k

i=1 ixi, konveksna kombinacija tacaka iz domena funkcije f .

Tada je (xi, f(xi)) epi f , i ki=1 i(xi, f(xi)) = (x,ki=1 if(xi)) co epi f ,zbog epi f co epi f . Sada je co f(x) 6

ki=1

if(xi), po definiciji, i na kraju

co f(x) 6 inf{

ki=1

if(xi) : k N, xi D(f), k1, x =ki=1

ixi,

}. (41)

36

Neka su sada x i > 0 proizvoljni. Postoji takav da je (x, ) co epi f i < co f(x) + . Znaci da je x =

ki=1 ix

i, f(xi) 6 i,k

i=1 ii = , zaodgovarajuce tacke xi i brojeve i, i. Slijedi

ki=1

if(xi) 6ki=1

ii = < co f(x) + ,

pa izlazi da u (41) stoji znak jednakosti. Zbog (17)

(f1 M f2)(x) = inf{f(x1) + (1 )f(x2) : 0 6 6 1, x = x1 + (1 )x2} .

(f1 M f2)(x) = inf{1f(x1) + 2f(x2) : x = 1x1 + 2x2, (1, 2)> 1

}.(42)

(f1 M f2)(x) =inf{1f(x1) + 2f(x2) : x = 1x1 + 2x2, 1 + 2 = 1, 1 > 0, 2 > 0

}.

Jedan nelinearan sistem nejednacina

Da bismo jednostavnije formulisali tvrdenje o sistemima nejednacina sa konvek-snim funkcijama, koje je tipa teorema alternative definisacemo pojam konvek-snih vektorskih funkcija. Za funkciju g : Rn Rm, g = (g1, ..., gm) kazemo daje konveksna vektorska funkcija, ako su sve komponentne funkcije gi konveksne.U tom slucaju prirodno, nivoski skup {x Rn : g(x) 6 a}, a = (a1, ..., am) jepresjek nivoskih skupova lev(gi, ai).Slijedecu, vaznu teoremu dokazali su Fan, Gliksberg i Hofman (1957).

Teorema 44 Neka je g = (g1, ..., gm) konveksna vektorska funkcija na konvek-

snom skupu C mi=1

D(gi). Tada vrijedi

{x C : g(x) < 0} = (u 0)(x C) u, g(x) > 0.Dokaz. Skup C1 = {y Rm : g(x) < y, za neki x C} je konveksan i neprazan.Ako je skup {x C : g(x) < 0} prazan, onda 0 ne pripada skupu C1. PremaTeoremi separacije 5. postoji u Rm\{0}, takav da vrijedi

u, y > 0.Kako za svaki fiksiran x C, i svaki realan broj > 0 imamo g(x) + e C1,to je u, g(x) + e > 0. Sada, pri 0, dobijamo nejednakost u, g(x) > 0,za svaki x C. Pokazimo jos da je u > 0. Ako bismo imali da je neki uj < 0,uzimajuci

yk = g(x) + e+ kej , k Ndobili bismo

limku, yk = .

37

Obratno tvrdjenje imamo kontrapozicijom na osnovu

g(x0) < 0, u 0 u, g(x0) < 0.

Neprekidnost i zatvorenost

Konveksne funkcije imaju vazno svojstvo da su neprekidne na otvorenomskupu. Preciznije, vrijedi

Teorema 45 Neka je C Rn konveksan skup sa nepraznim interiorom i nekaje f : C R konveksna funkcija. Tada je f neprekidna na int C.Dokaz. Neka je g(x) = f(x + x0) f(x0), x0 int C. Tada je g konveksna ig(0) = 0. Treba dokazati da je g neprekidna u 0. Prije svega postoji t > 0 takavda je zatvorena kugla

tB1 C {x0},i g je ogranicena na toj kugli. Ogranicenost slijedi iz teoreme Minkovskog iJensenove nejednakosti (vidjeti i.... ). Neka je sada ]0, 1[. Za sve x tB1vrijedi

g(x) = g((1 )0+

(1x

))6 (1 )g(0) + g

(1x

)6 M.

Isto tako, iz zapisa

0 =1

1 + x+

1 +

(1x

),

dobijamo g(x) > M. Dakle, za svaki > 0 postoji > 0 takav da za svex B1 vrijedi

|g(x) g(0)| 6 M. Situacija se mijenja ako se neprekidnost posmatra na citavom C, koji nije

otvoren skup.

Primjer 31 f data sa f(x) ={

1, x = 00, x > 0 je konveksna, ali u 0 nije neprekidna,

cak ni poluneprekidna odozdo. Uocimo da je njen nivoski skup lev( 12 ) =]0,+[otvoren.

Postoje odozdo poluneprekidne konveksne funkcije koje nisu neprekidne.

Primjer 32 f(x1, x2) =

x1 + x22

x1, x1 > 0

0, (x1, x2) = (0, 0)je konveksna, zatvorena,

ali nije neprekidna. Ovdje se nejednakost (34) pri x1 = (1, 1) x2 = (2, 2)svodi na 0 6 (12 21)2. Nivoski skupovi su zatvoreni: , {0} i B((2 , 0), 2 ).Funkcija nije neprekidna u 0, zbog f( 1n2 ,

1n )9 f(0, 0).

38

Inace pojam poluneprekidnosti je posebno vazan, pa cemo mu posvetiti visepaznje. Uopste vrijedi

Teorema 46 Funkcija f je poluneprekidna odozdo na skupu S Rn ako i samoako je svaki njen nivoski skup zatvoren u S, ili ako i samo ako je epif zatvorenskup u S R.Ako je skup S zatvoren, onda za poluneprekidnost odozdo je potrebna i dovoljnazatvorenost nadgrafa u Rn+1, odnosno zatvorenost svakog nivoskog skupa uRn....

Mi cemo pokazati da se za konveksne funkcije pojmovi zatvorenosti i pol-uneprekidnosti odozdo ne razlikuju. Prije toga istaknimo sljedece.

Neka je a afina funkcija, i Af skup svih afinih minoranti konveksne funkcijef : Af = {a : a(x) 6 f(x) x C}. Stavimo

f(x) = supaAf

a(x),

i pokazimo da je tako definisana funkcija f : C R.Uzmimo prvo da je int C 6= i da mu pripada x0.Skup C1 =

{(x

xn+1

): x int C, xn+1 > f(x)

}je konveksan, otvoren (f je

neprekidna na int C) i ne pripada mu(

x0

f(x0)

). Prema teoremi separacije

(Posljedica1) postoje(

a

)6= 0 i , takvi da za sve x int C vrijedi

a, x0

+ f(x0) 6 < a, x+ xn+1.

Za x = x0 i xn+1 = f(x0) + 1 dobijamo > 0, a za xn+1 = f(x) + ( 0+)

a(x) = a, x+

6 f(x) x int C.

Jasno,a(x0) = f(x0).

Neka je, sada x bd C. Posto je [x0, x[ int C, prema prethodnom imamoa(x

0+x2 ) 6 f(

x0+x2 ) 6

f(x0)+f(x)2 , 2a(

x0+x2 ) a(x0) 6 f(x), a(x) 6 f(x).

Dakle, za sve x C vrijedi a(x) 6 f(x), odakle slijedi da je f definisana na C.Prema prethodnom primjeru ona je konveksna funkcija. Uvijek vrijedi f 6 f, akazemo da je f zatvorena ako je f = f.

Navedimo da se u nekonveksnom slucaju moze desiti da je Af = . Tadastavljamo f . Za ovakvu situaciju kao primjer mozemo razmotriti funkcijux 7 x3, x R.Primjedba 14 U Primjeru 17. smo vidjeli da za konveksnu funkciju f i tackux0 int C postoji afina minoranta takva da je

a(x0) = f(x0), a(x) 6 f(x) x C. (43)

39

To znaci da hiperravan H((

a

),

), = f(x0) + a, x0, sadrzi tacku(

x0

f(x0)

), a nalazi se ispod nadgrafika epi f . Stoga se naziva potporna hiper-

ravan (hiperravan oslonca).Jasno, za < f(x0) imamo afinu minorantu takvu da je njena vrijednost u x0

upravo . To jex 7 a(x) + f(x0).

I u slucaju da je x0 rubna tacka domena postoji hiperravan H kojoj pripada(x0

f(x0)

), a epi f je u H, ili H+ . Medutim ne mora da vrijedi nejednakost

iz (43) posto H moze biti okomita na Rn (Primjer 19, x0 = 0, H = H(e1, 0)).

Ovdje mozemo uociti da ako je epi f zatvoren i konveksan, a x0 je rubna tacka

zatvorenog C, onda nakon strogog razdvajanja skupova epi f i{(

x0

)},

< f(x0), dobijamo afinu funkciju a a(x) = a , x x0 + , za koju vrijedia(x) 6 f(x), za sve x C, i a(x0) = .

Teorema 47 Funkcija f je konveksna i poluneprekidna odozdo na zatvorenomkonveksnom skupu C ako i samo ako je zatvorena .

Dokaz. Neka je f = f. Prema primjerima 11 i 15 f je konveksna. Pokazimoda je i poluneprekidna odozdo. Za to je dovoljna zatvorenost nivoskih skupova(teorema 20). Neka je xk lev (f, ) i xk x0. Skup C je zatvoren tako daje x0 C. Dalje, imamo redom za sve prirodne brojeve k f(xk) = f(xk) 6 ,supaAf

a(xk) 6 , a(xk) 6 . Slijedi a(x0) 6 , i x0 lev (f, ). Dokazimoobratnu implikaciju. Uvijek je f > f Neka je f poluneprekidna odozdo i kon-veksna i neka je f(x0) > f(x0), za neki x0 C. Tada je f(x0) > = f(x0)+f(x0)2 .Postoji afina minoranta a funkcije f takva da je a(x0) = f(x

0)+f(x0)2 . Medutim,

zbog f(x0) > a(x0) mora da je f(x0) > f(x0), sto je suprotno pretpostavci.Slijedi f = f.

Diferencijabilnost

Primjer 33 Neka su v1, v2 dopustivi pravci skupa C u tacki x0. Postoje pozi-tivni brojevi t1 i t2 takvi da za i = 1, 2 vrijedi

x0 + tvi C, t ]0, ti[.

Sada, za sve pozitivne t manje od 2 min{t1, t2} imamo

x0 + t(v1 + v2) =12(x0 + tv1

)+12(x0 + tv2

) 12C + 1

2C = C,

40

tako da je i v1 + v2 dopustiv pravac. Jasno, za svaki dopustivi pravac v i sve > 0 pravac v je dopustiv. Ukljucujuci ovdje i nula vektor dobijamo konveksankonus V(x0, C).

Konveksnost ne garantuje postojanje parcijalnih izvoda, sto vidimo vec na prim-jeru euklidske norme. Medutim, ako postoje parcijalni izvodi oni su neprekidni.(Zadatak ...) Mi cemo ustanoviti da konveksna funkcija f u unutrasnjoj tackix0 domena, u svakom pravcu v, ima (jednostrani) izvod :

f (x0; v) = limx0+

f(x0 + tv

) f(x0)t

Naime, postoji > 0 takav da je x0+tv C za sve |t| 6 . Funkcija g :]0, ] R,

g(t) =f(x0 + tv) f(x0)

t

je neopadajuca, jer za 0 < t1 < t2 6 nejednakost g(t1) 6 g(t2) glasi

f(x0 + t1v) 6(1 t1

t2

)f(x0) +

t1t2f(x0 + t2v

),

a ova vrijedi zbog konveksnosti funkcije f . Slijedi da postoji limx0+

g(t), koji je

konacan, buduci da je g(t0) 6 g(t) za sve t ]0, [ i fiksiran t0 ] , 0[. Dakle,

f (x0; v) = limx0+

g(t) = inf0 0 (46)vrijede, za sve x1, x2 C, ako i samo ako je f je konveksna na C.

41

Dokaz. Neka je f diferencijabilna konveksna funkcija i x1, x2 C. Tadauzimajuci u (44) x1 umjesto x0 i x2 umjesto x dobijamo (45.)U drugom smjeru imamo

f(x1) f((1 )x1 + x2)) > f((1 )x1 + x2), (x1 x2) ,f(x2) f((1 )x1 + x2)) > f((1 )x1 + x2), (1 )(x2 x1),

pa mnozenjem prve nejednakosti sa 1 , a druge sa i sabiranjem izlazidefiniciona nejednakost (34). Iz (45) slijedi (46), koja se dobije sabiranjemodgovarajucih strana te nejednakosti i nejednakosti

f(x2), x1 x2 6 f(x1) f(x2).Na kraju pokazimo da tacnost nejednakosti (46) na C povlaci (45). Zaista, naosnovu formule za srednju vrijednost, za neki ]0, 1[ vrijedi

f(x2) f(x1) = f(x1 + (x2 x1)), x2 x1.Ako vrijedi (46) imamo

f(x1 + (x2 x1))f(x1), (x2 x1) > 0,odnosno

f(x1 + (x2 x1)), x2 x1 > f(x1), (x2 x1),sto uz prethodnu jednakost znaci (45).

Inace ova teorema moze se dokazati pomocu Teoreme 15. i cinjenica daje grafik konveksne funkcije jedne promjenljive iznad tangente, odnosno da jeizvod neopadajuca funkcija. Navedenu teoremu iskoristimo za dokaz kriterijumakonveksnosti drugog reda.

Teorema 49 Neka je f neprekidna na C i dva puta neprekidno diferencijabilnana int C 6= . Tada, f je konveksna na C ako i samo ako za sve x int C, v Rn

2f(x)v, v > 0. (47)Dokaz. Neka je x int C, v Rn i t > 0 takav da je x+ tv C. Stavljajuci u(14) da je x1 = x i x2 = x+ tv, dobija se

(t) = t22f(x)v, v.Konveksnost funkcije f povlaci konveksnost odakle izlazi (t) > 0, odnosno(18), za x int C, v Rn. Obratno, kako vrijedi, za svaki x1, x2 C, i nekit ]0, 1[f(x2)f(x1), x2 x1 = 2f(x2 + t(x2 x1))(x2 x1), x2 x1, ,

vidimo da (18) povlaci (17), tj. konveksnost funkcije f na int C. Sada zbogneprekidnosti slijedi da je ta funkcija na konveksna i na C

42

Primjer 34 f(x) = x11 x22 je konveksna na C = {x R2 : x2 = 0}, ali zav = e2 je 2f(x)v, v = 2. Ovdje je int C = .

Primjeri konveksnih funkcija

Primjer 35 Kob - Daglasova funkcija

f(x) = 0 x11 xnn , x Rn+, 0 < 0, 1 > 0, ..., n > 0

je konveksna zani=1

i 6 1.

Zaista, 2f(x)v, v = f(x)( n

i=1

ivixi

)2

ni=1

iv2ix2i

,tako da iz nejednakosti Kosi-Bunjakovskog je 2f(x) v, v > 0.Ako je

ni=1

i > 1, f nije konveksna, jer stavljajuci 1 = (1, ..., 1) imamo

f

(0+ 12

)= 0 2

ni=1

i> 0 21 =

f(0) + f(1)2

.

Problemu (KP):

inf {f(x) : x G}, G = {x C : g(x) 6 0}

dodijeljena je Lagranzova funkcija L : C Rm+ R

L(x, u) = f(x) + u, g(x)

Primjer 36 Funkcijaa) x 7 L(x, u) je konveksna, ako je f konveksna, a g konveksna vektorskafunkcija,b) u 7 (u) = inf

xCL(x, u) je konkavna na Rm+ .

Jasno a) direktno slijedi iz Teoreme 13., dok za b) imamo

(1u1 + 2u2) = infx

(f(x) +

1u

1 + 2u2, g(x))

=

= infx

(1f(x) + 1u1, g(x)+ 2f(x) + 2u2, g(x)

)>

> 1 infx

(f(x) + u1, g(x))+ 2 inf

x

(f(x) + u2, g(x)) =

43

= 1(u1) + 2(u2), za sve 1, 2 > 0, 1 + 2 = 1.

Subdiferencijali

Imamo, prema nejednakosti (45), da za diferencijabilnu konveksnu funkciju, zafiksiran x0 C i sve x C vrijedi

f(x) f(x0) > f(x0), x x0 .Ovo daje mogucnost uopstavanja pojma gradijenta.

Definicija 6 Subgradijent funkcije f : S R, S Rn u tacki x0 S je vektory0 Rn takav da za sve x S vrijedi

f(x) f(x0) > y0, x x0. (48)

Skup svih subgradijenata funkcije f u x0 naziva se subdiferencijal i oznacava saf(x0). Dakle ,

f(x0) ={y0 : f(x) f(x0) > y0, x x0 x S} .

Primjedba 15 Geometrijski, hiperravan u Rn+1 data sa

xn+1 = y0, x x0+ f(x0)

jehiperrvan oslonca za epi f u tacki (x0, f(x0)). Kako je njen vektor normale

a =(

y0

1)

ta hiperravan nije ortogonalna na Rn. Jasno je i obratno, ako

je hiperravan H(a, f(x0) y0, x0) potporna za epi f u (x0, f(x0)) i never-tikalna, onda je y0 subgradijent funkcije f u x0. Tada je an+1 6= 0 i y0 =

1an+1

a1...an

f(x0).slika

Na datoj slici je grafik konveksne funkcije date sa

f(x) ={

11 x2, 1 6 x 6 0x

1x , 0 6 x < 1

Primjer 37 Za funkciju f datu sa f(x) = x, x > 0 jedina potporna pravana nadgrafik, u (0, 0) je vertikalna, pa je subdiferencijal prazan. Ovo se vidi iiz definicije: y f(0), povlaci x (0) > y(x 0), za sve x > 0. Odavdeje 1

x> y za sve x > 0, sto nije moguce, pa je f(0) = . Funkcija f je

konveksna i diferencijabilna za x > 0, pa na osnovu nejednakosti (48) imamof(x) = { 1

2x}. Vidjeti i teoremu...

44

slika

Uslov f(x) 6= je vazan pa cemo ga posebno istaknuti.Definicija 7 Funkcija f je subdiferencijabilna u x0 D(f) ako je f(x0) 6= .Izlozicemo osnovna svojstva subdiferencijala, kao i neke formule subdiferenci-jalnog racuna.

Teorema 50 Subdiferencijal je zatvoren i konveksan skup.

Dokaz. Neka je f(x0) 6= . Prvi dio tvrdnje slijedi iz neprekidnosti skalarnogproizvoda u nejednakosti iz definicije. Dalje, uzmimo y0, y1 f(x0) i [0, 1].Kako za sve x D(f), i za i = 0, 1 imamo

f(x) f(x0) > yi, x x0 ,to nakon mnozenja sa 1 (za i = 0), a sa (za i = 1), te sabiranja dobijamo

f(x) f(x0) > (1 )y0 + y1, x x0 .Dakle, (1 )y0 + y1 f(x0).

Vidjeli smo da ni konveksna funkcija ne mora biti subdiferencijabilna u svimtackama (npr. iz bd C). Za ostale tacke situacija je drukcija.Teorema 51 Neka je f konveksna funkcija i x0 int C. Tada je f(x0) 6= .Dokaz. Za x0 int C prema primjedbi 1 (), za sve x C vrijedi

a(x) a(x0) 6 f(x) f(x0),

tj. a, x x0

6 f(x) f(x0),

sto znaci da je a f(x0).

Ustanovimo vezu izmedu subdiferencijala i jednostranih izvoda. Tim cemodobiti jos jedan uslov da je subdiferencijal neprazan.

Teorema 52 Neka je f konveksna na C Rn, x0 C. Tada je

y0 f(x0)

ako i samo ako za svaki dopustivi pravac v vrijediy0, v

6 f (x0; v). (49)

45

Dokaz. Neka je y0 subgradijent i v dopustiv pravac. Tada, za sve t ]0, t0[ jex0 + tv C i

f(x0 + tv

) f (x0) > y0, tv ,odakle je

f (x0; v

)>y0, v

.

Obratno, iz (44) i (49) direktno slijedi (48).

Primjedba 16 Iz (49) slijedi

supy(x0)

y, v 6 f (x0; v).

Ako je x0 int C, onda je funkcija v 7 f (x0; v) konveksna na Rn. (Zadatak...).Zbog neprekidnosti ona je ogranicena na jedinicnoj kugli. Sada imamo, da za svey (x0), y 6= 0 vrijedi y, yy 6 f (x0; yy ) 6 M, tj. y 6 M. Znaci, (x0)je ogranicen skup, pa iz Teoreme 24, slijedi njegova kompaktnost. Prethodnanejednakost postaje max

y(x0)y, v 6 f (x0; v). Za x0 int C i sve v Rn vrijedi

i vise (Zadatak...)max

y(x0)y, v = f (x0; v). (50)

Teorema 53 Konveksna funkcija f je diferencijabilna u x0 int C ako i samoako je f(x0) jednoclan skup.

Dokaz. Ako je f(x0) = {y0}, onda je prema (50) f (x0; v) = y0, v, za svev Rn. Funkcija v 7 f (x0, v0) je linearna, sto uz Lipsic neprekidnost f u x0povlaci diferencijabilnost. Obratno, neka postoji f(x0), i neka je y0 subgradi-jent funkcije f u tacki x0. Za sve vektore v mora biti y0, v 6 f(x0), v,odakle je f(x0) y0, v > 0, pa je f(x0) = y0.

Za racunanje subdiferencijala vazna su naredna tvrdenja.

Teorema 54 (Moro - Rokafelar) Neka su f1, f2 konveksne funkcije na skupuC sa nepraznim interiorom. Tada za sve x0 C vrijedi

(f1 + f2)(x0) = f1(x0) + f2(x0). (51)

Dokaz. Neka je y0 = y1 + y2, y1 f1(x0), y2 f2(x0). Tada je za sve x Cfi(x) fi(x0) >

yi, x x0 , i = 1, 2, tako da nakon sabiranja slijedi

(f1 + f2)(x) (f1 + f2)(x0) >y1 + y2, x x0 ,

te jey0 (f1 + f2)(x0).

46

Dokazimo obratnu inkluziju. Neka je y0 (f1 + f2)(x0), tj. neka za sve x Cvrijedi

f1(x) f1(x0)y0, x x0 > f2(x0) f2(x).

Dalje, neka je C1 = epi g1, a C2 = hypo g2, gdje su funkcije g1, g2 date sag1(x) = f1(x)

y0, x

+y0, x0

f1(x0), g2(x) = f2(x) + f2(x0).Ove funkcije i skupovi su konveksni, uz int C1 int C2 = . Postoje a Rn, , R takvi da za sve x, y C, xn+1 6 g2(x), yn+1 > g1(y) vrijedi(

a

),

(x

xn+1

)6 6

(a

),

(y

yn+1

),

kao i (Posljedica ?) (a

),

(x

xn+1

)< ,

za sve xn+1 < g2(x). Posto je(

x0

0

) C1 C2, i

(x

g1(x)

) C2 slijedi(

a

),

(x0

0

)6(

a

),

(x

g1(x)

), tj.

a+ y0, x x0 6 (f1(x) f1(x0).Ustanovimo da je > 0. Iz prvih nejednakosti za x = y = x0 i xn+1 = yn+1 = 0

dobije se = a, x0. Iz druge, zbog(

x0

1) C2 je trazeni podatak. Sada,

nakon dijeljenja sa dobijamo

y0 a f1(x0).

Slicno, za y = x0, yn+1 = 0, xn+1 = g2(x), x C, je a, x+(f2(x0)f2(x)) 6a, x0

, dakle f2(x) f2(x0) >

a, x x0

. Zakljucno imamo

y0 =(y0 a

)+

a

f1(x0) + f2(x0).

Primjedba 17 Za > 0 imamo

(f)(x) = f(x),

posto je f(x) f(x0) > y0, x x0 isto sto i y0 = z0 i f(x) f(x0) >z0, x x0 .Poznato je da iz diferencijabilnosti konveksnih funkcija f1 i f2 ne slijedi

diferencijabilnost konveksne funkcije f1 f2 u tackama x0 za koje jef1(x0) = f2(x0).

Zato je, u tom slucaju, potrebno odrediti, njen subdiferencijal.

47

Teorema 55 (Dubovicki - Miljutin) Neka su f1 i f2 konveksne funkcije nakonveksnom skupu C Rn i neka je f1(x0) = f2(x0), x0 int C. Tada vrijedi

(f1 f2)(x0) = co(f1(x0) f2(x0)

). (52)

Dokaz. Neka je y0 co (f1(x0) f2(x0)). Prema Karateodorijevoj teo-remi je y0 =

n+1i=1

iyi,

n+1i=1

i = 1, 1 > 0, ..., n+1 > 0, uz y1, ..., yk

f1(x0), yk+1, ..., yn+1 f2(x0). Dakle, za sve x C vrijedi f1(x) f1(x0) >yi, x x0 , i = 1, k, f2(x) f2(x0) > yi, x x0 , i = k + 1, n+ 1. Zbogf1(x0) = f2(x0), (f1 f2)(x) > f1(x), i (f1 f2)(x) > f2(x), imamo da je(f1f2)(x)(f1f2)(x0) >

yi, x x0 , i = 1, n+ 1, x C, te nakon mnozenja

sa i i sabiranja slijedi

(f1 f2)(x) (f1 f2)(x0) >n+1i=1

yi, x x0,

y0 (f1 f2)(x0).Obratno, neka je y0 (f1 f2)(x0). Vrijedi

max(f1(x), f2(x))max(f1(x0), f2(x0)) >y0, x x0 , za svex D,

tako da zbog uslova f1(x0) = f2(x0) sistem

f1(x) f1 f2(x0)y0, x x0 < 0,

f2(x) f1 f2(x0)y0, x x0 < 0

nema rjesenje na D. Prema Fan, Gliksberg, Hofmanovoj teoremi postoje bro-jevi 1 > 0, 2 > 0, 1 + 2 > 0, takvi da vrijede1

1+2

(f1(x) f1(x0)

y0, x x0)+ 21+2 (f2(x) f2(x0) y0, x x0) >

0. Odavde je(1

1+2f1 + 21+2 f2

)(x)

(1

1+2f1 + 21+2 f2

)(x0) >

y0, x x0 tako da

je

y0 (

11 + 2

f1 +2

1 + 2f2

)(x0).

Zbog (

11+2

f1 + 21+2 f2)(x0) 11+2 f1(x0) + 21+2 f2(x0) izlazi da je

y0 co (f1(x0) f2(x0)). 2Primjer 38 Odredimo f(x), ako je f(x) = |x|, x R.Za x 6= 0 funkcija f je diferencijabilna, pa je stvar jasna. Stavimo f1(x) =x, f2(x) = x. Sada je f = f1 f2, f1(0) = f2(0), tako da imamo

(f1 f2)(0) = co (f1(0) f2(0)) = co ({1} {1}) = [1, 1].

48

U opstem slucaju: f(x) = x, x Rn situacija je ista. Za x 6= 0 norma jediferencijabilna, i vrijedi

f(x) ={

x

x},

dok jef(0) = B.

Zaista, y B, x Rn povlaci y, x 6 x y 6 x, odnosnoy, x 0 6 x 0,

pa jey f(0).

Na drugu stranuy f(0) y B,

buduci da iz x > y, x, za sve x Rn, pri x = y slijedi 1 > y.

Konjugovane funkcije

Problem minimizacije

min f(x), x S Rn

je ekvivalentan samax (f(x)), x S.

U vezi s njima korisno je razmotriti skup problema

max {y, x f(x) : x S},za sve y Rn. Vidimo da se ovdje javlja nova funkcija

y 7 maxxC

(y, x f(x))

vezana za f . Oznacava se sa f c i naziva konjugovana funkcija funkcije f .

Definicija 8 Konjugovana funkcija funkcije f : Df R,Df Rn je funkcijaf c : Dfc R,

f c(y) = supxDf

(y, x f(x)), (53)

gdje je D(f c) skup tacaka za koje je supremum konacan.Do istog pojma se dolazi pri odredivanju najmanje realne vrijednosti takveda a(x) = y0, x bude afina minoranta funkcije f na Df , odnosno da zasve x Df vrijedi y0, x f(x) 6 . To je

0 = supxDf

y0, x f(x),

tako da dobijamo preslikavanje y0 7 0, koje nije nista drugo do f c.

49

Primjedba 18 Situcija u kojoj je D(f c) = nije iskljucena, sto pokazujeprimjer funkcije f(x) = x3, Df = R. Ovdje je sup

xR(yx x3) = +, za

sve y R.D17. Tako, na primjer, za .... Ako je f diferencijabilna konveksna funkcija

jedne promjenljive, ciji izvod je invertibilan, onda vrijedi

f c(y) = y(f )1(y) f ((f )1(y)) .f(x) = ex, x R

jef c(y) = y ln y y, y > 0.

Naravno, treba vidjeti i sljedece: f c(0) = supx(0 x ex) = 0, a za y < 0 je

supx(y x ex) = +.Ako je domen konjugovane funkcije neprazan mozemo odmah ustanoviti neka

njena bitna svojstva.

Teorema 56 Neka je f proizvoljna funkcija za koju je Dfc 6= . Tada je Dfckonveksan skup, a f c zatvorena konveksna funkcija .

Dokaz. Za y1, y2 Dfc , [0, 1] vrijedisupxDf

((1 )y1 + y2, x f(x)) 6

6 (1 ) supxDf

(y1, x

f(x))+ supxDf

(y2, x

f(x)) < +,te je (1 )y1+ y2 Dfc , i f c

((1 )y1 + y2) 6 (1 )fc (y1)+ fc (y2) .

Uostalom, nadgraf epi f c je zatvoren i konveksan skup.

Iz definicije direktno slijedi da za sve x Df i sve y Dfc vrijedif(x) + f c(y) > x, y. (54)

Ova nejednakost se zove Fenhelova ili Jang - Fenhelova.Prirodno je definisati konjugovanu funkciju funkcije f c, i ustanoviti njenu

vezu sa f . Umjesto (f c)c pisemo f cc, i to je bikonjugovana funkcija funkcije f .Dakle

f cc(x) = supyDfc

(x, y f c(y)). (55)

Koristeci Fenhelovu nejednakost

f(x) > y, x fc(y)na osnovu (55) dobijamo da za sve x D(f) vrijedi

f(x) > f cc(x). (56)

50

slike f...

Neka je D(f c) 6= . Kao i gore f ima afinu minorantu, i vrijedi Af D(f c),posto za a Af tj. iz a, x 6 f(x) x D(f) slijedi a, x f(x) 6 paje a D(f c). Dalje je f c(a) 6 , odakle je a, x 6 a, x f c(a),

supaAf

(a, x ) 6 supaD(f)

(a, x f c(a)),

f(x) 6 f cc(x). (57)Odgovor na pitanje kada su funkcija i njena bikonjugovana funkcija jednakedirektno izlazi iz nejednakosti (56) i (57)

Teorema 57 (Fenhel-Moro) Funkcija f je odozdo poluneprekidna i konvek-sna na zatvorenom C ako i samo ako je

f = f cc. (58)

Dokaz. Iz jednakosti slijedi da je f konveksna, i poluneprekidna odozdo ( fcc jekonveksna i zatvorena ). Obratno, iz konveksnosti i poluneprekidnosti je f = f.Kako jos imamo f 6 f cc 6 f, slijedi f = f cc.

Veza izmedu subdiferencijala funkcije f i njene konjugovane funkcije data jesljedecim tvrdenjima.

Teorema 58 Neka je f proizvoljna funkcija i x0 Df . Tada vrijedi

y0 f(x0) fc(y0) + f(x0) = y0, x0 , (59)y0 f(x0) = x0 f c (y0) . (60)

Ako je f konveksna i zatvorena u x0, onda vrijedi i obratna implikacija.

Dokaz. y0 f(x0) povlaci f(x) f(x0) > y0, x x0, odnosnoy0, x0

f(x0) > y0, x f(x),za sve x Df , sto znaci da je y0 D(f c) i

y0, x0

f(x0) > f c(y0).Pomocu Fenhelove nejednakosti dobijamo

y0, x0

= f(x0) + f c

(y0).

Na drugu stranu, iz ove jednakosti imamo

y0, x0 f(x0) = f c(y0) > y0, x f(x),

tj. za sve x Df vrijedi y0, x x0 6 f(x) f(x0), i y0 f(x0).U dokazu druge formule podimo od y0 f(x0). Prema vec dokazanom je

f c(y0) x0, y0 y = y, x0 f(x0) 6 fc(y).

51

Znaci, za sve y Dfc imamo f c(y) f c(y0) > x0, y y0, tj. x0 fc(y0).Obratno, iz prve ekvivalencije i Moro-Fenhelove teoreme (tj. f(x0) = f cc(x0))slijedi

x0 fc(y0) = fcc(x0) + f c(y0) = x0, y0 =f(x0) + fc(y0) = x0, y0 = y0 f(x0).

Primjer 39 Funkcija f(x) ={

1, x = 00, x ]0, 1] , je konveksna, i f(0) = .

Njena konjugovana funkcija je f c(y) ={

0, y 6 0y, y > 0 , dok je f

c(0) = [0, 1].

Uocimo da f nije zatvorena u 0. Ako modifikujemo f tako da je f(x) = 0 zax > 0, onda je isto f(0) = , dok je domen konjugovane ], 0], f c(y) = 0,a f c(0) = [0,+[Primjer 40 Pomocu formule (59) mozemo da odredujemo konjugovane funkcije.Tako na primjer za funkciju iz primjedbe 2 imamo :

y f(0) f c(y) + f(0) = 0,

odnosno y [0, 1] f c(y) = 0. Dalje, za x ]0, 1[ data funkcija je diferencija-bilna, pa imamo

y =1

(x 1)2 fc(y) = xy x

1 x,

iz cega izlazi da je y > 1, x = 1 1y i fc(y) = y 2y + 1. Na isti nacin

dobijamo f c(y) =1 + y2 1, za y < 0.

Za diferencijabilne konveksne funkcije vise promjenljivih, u skladu sa ... vrijedi

f c(f(x)) = f(x), x f(x).

Primjer 41 Za afinu funkciju

f(x) = a, x+

vrijediDfc = {a}, f c(a) = .

Jedina potporna hiperravan na epif je data navedenom afinom funkcijom, te jejasno Dfc = {a}. Zbog f(x) = a vrijedi f c(a) = a, x a, x = .Detaljnije,

supxRn

(y, x a, x ) = supxRn

y a, x

je konacan samo za y = a. Inace, za x = t(y a) 6= 0 imamo

supxRn

y a, x > supt>0

ty a2 = +.

52

Primjer 42 Ako je C simetricna PsemiD matrica reda n,

q(x) =12Cx, x

, x Rn,

onda je konjugovana funkcija q c data sa

qc(Cx) =12Cx, x, x Rn. (61)

U slucaju da je C PD matrica, iz q(x) = Cx = y dobijamo x = C1y, takoda formula (30) postaje

qc(y) = y,C1y 12y,C1y, = 1

2C1y, y, y Rn.

Pokazimo da je Dq c = {Cx : x Rn} ako C jeste PsemiD, ali ne i PD matrica.Zaista, iz y Dqc je

qc(y) = supxRn

(y, x f(x)) > supR

(y, x0

2

2Cx0, x0

),

za fiksiran x0 6= 0, koji cemo izabrati tako da bude Cx0, x0 = 0. Sada slijediqc(y) > sup

Ry, x0, odakle proizilazi jednakost y, x0 = 0. Znaci da je y or-

togonalan na {x : Cx = 0}, pa se nalazi u {Cx : x Rn}. Obratno, za y = Cximamo

qc(Cx) = supvRn

(Cx, v 1

2Cv, v

)=

12Cx, x 1

2infvRn

C(v x), v x =

=12Cx, x.

Specijalno, za C = I dobija se rezultat za euklidsku normu.

53

Konveksne funkcije sa vrijednostima uR

Neka je R = R {,+} prosireni skup realnih brojeva.Svaka funkcija f : S R, S Rn moze se dodefinisati na sljedeci nacin

f(x) ={

f(x), x S+, x Rn \ S, (62)

tako da vrijediminxS

f(x) = minxRn

f(x).

Posebno je vazno da se konveksnost funkcije f moze prenijeti na f . Posma-tracemo sada funkcije f : Rn R. Kazemo da je takva funkcija konveksna akoje njen nadgrafik konveksan skup, sto je ekvivalentno sa

f((1 )x1 + x2) 6 (1 )+ ,

za sve x1, x2 Rn, > f(x1), > f(x2) i sve [0, 1]. Skupdom(f) = {x Rn : f(x) < +}

naziva se efektivni domen funkcije f i on je konveksan ako je f konveksna.Nas ce zanimati funkcije koje ne uzimaju vrijednost , a identicki nisu +,odnosno ako vrijedi

dom(f) 6= , / f(Rn). (63)Primjedba 19 Ako nije ispunjen ovaj uslov, konveksna funkcija moze biti konacnajedino na rubu svog efektivnog domena. Zaista, ako je x int dom(f), f(x1) =, postoje x2 dom(f), ]0, 1[, za koje je x = (1 )x1 + x2, i pri tomevrijedi

f(x) 6 (1 )f(x1) + f(x2) = .Primjer jedne takve funkcije je

f(x) =

, x < 00, x = 0+, x > 0.Definicije iz ranijih razmatranja prenose se i na funkcije f : Rn R, uzuobicajene operacije sa . Tako je f poluneprekidna odozdo u x0 Rnako je

f(x0) 6 limxx0

f(x).

Ovdje uocimo da iz neprekidnosti funkcije f ne slijedi da je (polu)neprekidna ifunkcija f , data formulom (33) .Na primjer, f(x) = x je neprekidna na ]0,+[, ali

f(x) ={

x, x > 0+, x 6 0

54

nije ni poluneprekidna u 0.Vektor y0 Rn je subgradijent funkcije f u x0 ako za sve x Rn vrijedi

f(x) > f(x0) + y0, x x0.

Neposredno slijedi da f(x0) = povlaci f(x0) = Rn, kao i da je f .U suprotnom imamo vazno tvrdenje, koje se dokazuje kao teorema 26.

Teorema 59 Ako je konveksna funkcija f konacna u tacki x0 onda vrijedi

f(x0) = {y0 : f (x0; v) > y0, v v}.

S druge strane imamo da, ako je f(x0) konacan i f(x0) 6= , onda je fkonveksna i vrijedi (34).Konjugovana funkcija za f : Rn ],+ ]

f c(y) = supxRn

{y, x f(x)}

moze uzeti vrijednost +. Pri tome, ako je fc +, onda je f cc .Mi cemo redovno posmatrati konveksne funkcije uz uslov (34).

Primjer 43 Za linearnu funkciju l(x) = a, x, a 6= 0, na Rn imamo

lc(y) ={

0, y = a+, y 6= a

Primjer 44(x; C) = inf { > 0 : x C}

Karakteristicna (indikatorna) funkcija skupa C

iC(x) ={

0, x C+, x / C

je konveksna, ako je C konveksan skup. Njena konjugovana funkcija

i cC(y) = supxC

y, x

naziva se potporna funkcija skupa C. Oznacava se sa sC , tj. imamo

sC(x) = supyC

x, y.

Dakle, lc(y) = i{a}(y). Uocimo da za funkciju f za sve x Rn vrijedi

f(x) = f(x) + iC(x).

55

Primjer 45 Ako je C konveksan skup, funkcija f = d(, C) tj. udaljenost tackeod skupa C, data sa

f(x) = infvC

x v,

je konveksna funkcija. Da bismo odredili njenu konjugovanu funkciju uocimo daje f = f1 f2, gdje je f1(x) = x, a f2(x) = iC(x). Sada je, prema teoremi

f c(y) = f c1 (y) + fc2 (y) = B(y) +

cC (y) =

{supxC

y, x, y B+, y B.

Na kraju dokazimo teoremu koju cemo koristiti u teoriji dualnosti.

Teorema 60 Konveksna funkcija, konacna u x0 je subdiferencijabilna u x0 akoi samo ako vrijedi

f (x0; v) > , v Rn

Dokaz. Neka je f(x0) = , tada je njegova potporna funkcija

sf(x0) = .

S druge strane, kako jev 7 f (x0; v)

konveksna, pozitivno homogena, njena konjugovana funkcija je indikatorna zaneki konveksan skup. Iz Fenhelove nejednakosti i teoreme 37 slijedi da je toupravo subdiferencijal u x0. Dakle, zbog imamo (46)

sf(x0)(v) = clf (x0; v),

pa mora postojati vektor v0 takav da je f (x0; v0) = .

KONVEKSNE FUNKCIJE I EKSTREMI

Konveksne funkcije imaju niz svojstava koja olaksavaju odredivanje ekstrema:

Svaki lokalni minimum je globalni minimum.

Skup tacaka minimuma je konveksan skup, a ako je f strogo konveksna, tajskup je najvise jednoclan.

Tacka strogog maksimuma konveksne funkcije nije u skupu int Df .

x je tacka globalnog minimuma diferencijabilne konveksne funkcije f na kon-veksnom skupu C ako i samo ako vrijedi

f(x), x x > 0 za sve x C. (64)

Ako f nije diferencijabilna prethodna nejednakost se zamjenjuje sa

0 f(x). (65)

56

Dokazimo prvo tvrdenje. Neka je f(x) minimum funkcije f na Df B(x, )i neka je x Df . Postoji broj takav da je x + (1 )x B(x, ) ( npr.ako je x van te kugle, dovoljno je uzeti neki ] 0, xx [.) Sada je, zbogkonveksnosti funkcije f , f(x) 6 f((1 )x + x) 6 (1 )f(x) + f(x),odakle je f(x) 6 f(x) za sve x Df .Ako bi konveksna funkcija imala strogi maksimum u x int Df , za neke tackex1, x2 B(x, ) int Df bilo bi

2x = x1 + x2, i f(x) = f(x1 + x2

2

)6 f(x

1) + f(x2)2

< f(x).

U vezi sa maksimumom konveksne funkcije navedimo sljedece. Ako je C intDfkompaktan skup, onda postoji x C, tacka globalnog maksimuma, posto jef neprekidna. Kompaktan, konveksan C je konveksni omotac svojih vrhova,pa je x =

si=1

ivi,

si=1

i = 1, i > 0. Dalje je f(x) = f(

si=1

ivi

)6

si=1

if(vi) 6si=1

i maxi{1,...,s}

f(vi) = maxi{1,...,s}

f(vi) 6 f(x). Dakle, vrijedi

maxi{1,...,s}

f(vi) = f(x),

tako da postoji vrh skupa C u kojem f dostize maksimum na C. Posljednjetvrdenje slijedi direktno iz nejednakosti (45), odnosno (48). Inace uslov (64)mozemo zamijeniti sa

f(x), v > 0 za sve dopustive pravce v u x. (66)Zaista, iz x, x C slijedi x + (x x) C, za sve ]0, 1[, tako da je x xdopustiv pravac, za sve x C. Obratna implikacija je jasna.Teorema 61 (Kun, Taker) Neka su funkcije f , gi(i J )konveksne i neka jeskup G regularan po Slejteru. Tada je x rjesenje problema (KP) ako i samoako postoji y > 0 takav da je (x, y) njegova KKT tacka.

Dokaz. ...

Sedlaste