49631758 Cucu Popa Rezistenta Materialelor 2

Hortensiu-Liviu CUCU Anca Gabriela POPA

STNTEZE TEORETTCE 9r APLTCATTIde

REZISTENTA MATERIALELOR

Partea a ll-a

t"1', .rr.r -i ' l i ; i i . i i , . ' : ' ' ( i . l ;: ' '

i i i r i : i . ,Xi j ' : - i , ) i l :

".J"^-i"!49*-*(q*MEDIAMIRA

2006

7{

$ef lucriri dr. ing. Hortensiu-Liviu CUCUConferenliar dr. ing. Anca Gabriela POPA

s I NTEZE TEORETT CE $l APLICATI I DE REZISTENTA MATERIALELOR

Referen{igtiinlifici: prof. dr. ing. Eugen PANTELprof^ dr. ing. lronim MARTIANprof. dr. ing" Adrian Mircea IOANI

Tehnoredactarea:A

/lL,IL

t t t t l ts .

t D-- -a

--. TRUCTURhL

AutoriiVIRAG PeterAutorii

S.C. ,,L I L Structural Design" S.R.L.Web site: www. I ilstructu raldesign. ro

Corectura:Grafica:Coperta:

EDITURA MEDIAMIRAstr. Horea nr.47-4911400275 Cluj-Napoca

c.P. 117. O.P. 1

Descrierea CIP a Bibliotecii Na{ionale a Romfinieicucu, HORTENSIU-LMU

Sinteze teoretice Ei aplica{ii de rezisten{a materialelor /

Hortensiu-Liviu Cucu, Anca Gabriela Popa. - Cluj-Napoca:Mediamira,2006

284p.;2Ax29 cul..Bibliogr.ISBN (10) 973-713-097-9; ISBN (r3) 978-973-713-097-6

I. Popa, Anca Gabriela

539.4(075.8X076)

Copyright O 2006

Reproducerea integrald sau parfial5 a textului sau ilustraliilor din acest volum esteposibild numai cr: acordul prealabil scris al autorilor.

\-

CUPRINS

capitolul 1: SoLICITAR| COMPUSE

1.1. lntroducere . . . . . . .1.2. lncovoiere cu efort axial . '

1.2.1. incovoiere oblicd cu efort axialExemple de calcul

1.2.2. incovoiere dreapti cu efort axialExemple de calcul

1.3. lncovoiere oblici1.3.1, incovoiere oblicd cu forte coplanare

Exemple de calcul1.3.2. lncovoiere oblicd cu forte necoplanare

Exemple de calculProbleme propuse

capitolul 2: STAREA GENERALA Oe SOLICITARE

2.1, Starea de tensiune pland .......2.2. Starea de tensiune sPaliali2.3. Starea de deformafie spatiald2.4. Legdturi intre constantele elastice ...".......'2.5. Teori i de rezistenle .. . . . . . . . .Exemple de calculProbleme propuse

Gapitolul 3: METODE ENERGETICE

3.1. Introducere . . . . . . . . . . 1193.1.1. Mdrimienerget ice 1183. i .2. Teoreme energet ice . . , . , . . . . . . i21

3.2. Apl icat i ia le metodelor energet ice.. . . . . . . . . 1243.2.1. Clasificarea structurilor din punct de vedere al gradului de

nedeterminare statici 1243.2.2. Aplicarea metodelor energetice la sisteme static determinate 126

3.2.2.1 - Calculul deplasdrilor sistemelor static determinateaplicdnd Teorema I a lui Castigliano 'Exemple de calcul

3.2.2.2. Calculul deplasirilor sistemelor static determinateaplicind formula lui Maxwell-Mohr -".....Exemple de calcul

3.2.3. Aplicarea metodelor energetice la sisteme static nedeterminate3.2.3.1. Analiza SSND prin aplicarea teoremeilui Menabrea

ExemPle de calcul3.2.3.2. Analiza SSND utilizdnd metoda forlelor (sau metoda

eforturilor)ExemPle de calcul

Probleme propuse

133

1334eoug

545463758095

102103104'105106109116

126128

137141147149150

152153162

_-t

" f

Gapitolul 4: BARE SOLICITATE PESTE LIMITA DE ELASTICITATE

4' l .Proprietdl i |emecanicealemater iale|orgi ipoteze.deca|cul ' . ' . . ' . ' ' . . . . . .i.2.. niiir.^pbst-elastici a stiriide solicitare pe secliune

4.2.1. Solicitarea axialA in domeniul post-elastic

4.2.2. Incovoierea post-elasticdExemPIe de calcul

4.3. Determinarea incircdrilor limitd """"4.3.1. Metoda cinematicd4.3.2. Sisteme de bare solicitate axial """"

4'g'2.1. Sisteme siatic determinate """"ExemPle de calcul

4 -3'2'2' Sisteme static nedeterminate " "' : " " "'' "'ExemPle de calcul """'

4.3.3. Calculul plastic al barelor drepte incovoiate4'9.2.1- Sisteme static determinate """'"

Exemple de calcul4.3.2.2' Sisteme static nedeterminate

Exemple de calculPrcblerne Prcpuse

Capitolul 5: FLAMBAJUL BAREI DREPTE

5.1. Introducere . . ' . . . . '5.2. FlambajulsimPlu5.3'Ca|cululpract ic!af lambaj. ' , . ' . ' . . : ' ' . . . . .

5.3.1. bectiuni cu ambele axe materiale """""ExemPle de calcul

5.3.2. Secfiunicu o axd materiali si una imaterialdExemPle de calcul

5.4. Flambajul barelor solicitate la incovoiere cu compreslune " ' 'Exemple de calcul

Probleme Propuse

Gapitolul 6: CALCULUL PRAGTIC LA $OC

6.1, Introducere "."."..6.2. Evaluarea coeficientului dinamic

6.2.1. $oc vertical6.2-2. $oc orizontal

6.3. Calcululde rezistenfd girigiditate la gocExemple de calcul

Probleme ProPuse

165167167167169170171173173173174174178178178186186196

199199200203206214217222227233

2392442442412412M252

Anexe

Anexa 11.1. Mdrimi mecanice gi unitili de misuri

Anexa 2

1.2. Denurnirile 9i simbolurile prefixelor pentru formareamultiplilor gi submultiplilor uzuali

255

255

256

257258259

260262263

264

265

2.1. Rezistenle de calcul pentru construc{ii civile, industriale giagricole din olel(STAS 1010810 - 78) ,. . . . . . . . .

2.2. Rezistenle caracteristice gide calcul (valoride bazd) alebetoanelor obignuite

2.3. Rezistenle de rupere, limite de curgere, rezistente de calcul ....2.4. Moduli de elasticitate gi coeficienti de contraclie transversali ...

Anexa 33.'l . Caracteristici pentru profilul cornier cu aripi ega|e. . .. . .. . .3.2. Caracteristici pentru profilul | ...............3.3. Caracteristici pentru profilul U ..............

Anexa 4 Caracteristici geometrice ale secliunilor simple .....

Anexa 5 Diagrame de moment simple

Anexa 6 Rezultantele gipoziliile centruluide greutate pentru diagramelede moment s imple . . . . . . . . : . . . . . . . .

Anexa 7 Formule de integrare numerici (regula luiVeregciaghin) .........

Anexa 88.1, Coeficienli pentru stabilirea lungimii de flambaj8.2. Coeficienli de profil8.3. Tncadrarea pe curbele de flambaj8.4. Coeficienli e , f pentru otel OL37

Anexa 9 Coeficienli c pentru corectarea momentelor de ordinul ll ........

Anexa 10 Valorimaxime ale sdgefilor pentru cAteva tipuride Tncircirisimple

Bibliografie selectivi

266

267

268269270271

272

273

274

__e

Rezlstenta matedalelor ll

Capitolul 1

SOLIEITAru COMPUSE

1.1 INTRODUCERE

Soticitarea simptd a fost definitd in prima parte a Rezistenlei materialelor ca fiind

acea solicitare pentru care determinarea tensiunilor de acelagi tip (o sau t) nu necesitd

suprapuneri de efecte ale componentelor eforturilor. in categoria solicitirilor simple intri

toate solicitirile pentru care avem un singur efort nenulin secliunea curentd (solicitarea

axiald, forfecarea, incovoierea simplS purd gi torsiunea). in cazul in care existi doud

eforturi nenule (incovoierea simpld cu lunecare), e{ectul acestora este diferit unul

produce tensiuni normale o, iar celilalt tensiuni tangenliale t . Solicitirile simple care

apar in elementele de construQii sunt sintetizate in Tabelul 1.1'

fn cele ce urmeaz6, vom prezenta soltcftirtb compuse, deci acele solicitdri

pentru care ln secliunea curentd apar cel pulin doui eforturi nenule, efectul acestora (in

tensiuni) fiind acetagi. Mai exact, vom trata acele solicitiri care se produc in mod

frecvent in elementele de constru{ii, gi anume: incovoierea (oblici gi dreapti) cu efort

axial gi Tncovoierea oblici (cu fo(e coplanare 9i necoplanare)'pentru o mai buni inlelegere a noliunilor ce vor fi introduse, revenim asupra unor

consideralii deia ficute in partea intii a Rezisten{ei materialelor. Presupunem cd

analizdm o sec{iune de o formi oarecare, pe care o raportdm la sistemul de axe

ortogonal yOz, avAnd originea ln centrul de greutate O al secliunii, axa Oy orizontald,

iar axa Oz verticalS (figura 1.1)'

Figura 1.1

Fald de acest sistem de axe central, se pot calcula momentele de ine(ie axiale

t, = fz'oA 9i l. = Jy'dA ,AA

precum gi momentul de ine(ie centrifugal

lo = Jy 'z dA.

yo

-.vlr_-.>

v

. ----?,o ' .zo

t t - l

- .2

/ r'-i

i i ,

I

L.--

Rezistenla materialelor ll

Pentru o rotire cu un unghi ct a sistemului de axe, se obline un alt sistem de axe

(y"oz"), fa!6 de care valorile acestor momente de ine(ie vor fi lro , lro , loo . Din

mullimea infinitd a valorilor unghiului a, existi o valoare cr" ce conduce la valori extreme

ale momentelor de inerfie axiale (maximi pentru l, 9i minimS pentru lr), respectiv nula

pentru momentul de inerlie centrifugal lo. Sistemul de axe astfel oblinut poaftd numele

de srstem principal central, iar valorile momentelor de inerlie axiale calculate fali de

acesta, av6nd valori extreme, se numesc momente principale de inerfie'

Este de relinut faptul cA, daci secliunea are o axi de simetrie, acea axi este una

din axele sistemului principal central, cealalti fi ind perpendiculari pe ea. Planele

fonnate de o axi principali centrali (Oy sau Oz) cu axa barei (Ox), deci planele (xOy)qi

(xOz)se numesc Plane PrinciPale.

Tabelul 1.1 - Solicitirisimple in elementele de construclii

Nr.crt.

Solicitare Efort nenul Tensiuni Condilii de rezisGnti

1. Solicitiri axiale

a. intindere

b. compresiuneP.-->

N"N.

"-=A; lo,l,"* =Y;.*

?. ForfecareT,

T'I t ._ l - lT. l ,* < n,| ^4lmax A",

3. incovoiere simpl6

My

M,o* = T' .

(Navier)

lrrl Ilo*I , ,u* =L#TL<R

cu lunecare

My

M.,o,- i .=(Navier)

1o*1,", =k"*

T.T' 'S,r ,

t =---P b '1,

(Juravski)

t f lI &tmd

sRt

4. Torsiune

.{:5" Mr

(secliuni circulare)M.

r(r) : ; . rtp

tM.tl r l _r t rmax_<R(I rmax

We

rJ ]NCOVOIERE CU EFORT AXIAL

1.2.1 INCOVOIERE OBLICA CU EFORT AXIAL

incovoierea oblicd cu efort axial este solicitarea compusd la care in se{iunea

m,,menrti eforturile nenule sunt: N*, M, 9i M.. in cazurile curente, trebuie semnalatd gi

prrwfi1a for[elor tdietoare (Ty $i T.). Efectul acestora asupra stirii de solicitare este insd

rlrrcE$ilabil fati de cel produs de cele trei eforturi sus-amintite, ln cazul in care se doregte

'ncnsderarea Tn analizd gi a fo(elor tiietoare, se va face determinarea tensiunilor

mr,nentiafe cu formula lui Juravski, dupd modelul prezentat la lncovoierea simpld cu

fnnecare. Pentru oblinerea tensiunilor tangenliale totale se va aplica suprapunerea de

deffie, $nAnd cont de faptul cA tensiunile r"u - oblinute din T, gi c,o - oblinute din T. sunt

s@ffiri coplanari gi perpendiculari.

Tensiunile normale totale o" Tn stadiul elastic se oblin prin suprapunere de efecte,,wwHe€nd acliunea independenti a fiecirui efort. Cu relaliile de la solicitirile simple,

msea vor fi:

N"o" =1*

M..o" =f ' t

M-o'* = 1-.y

'7

Considerind cd suntem in domeniul deplasirilor (gi deformaliilor) infinitezimalepmcurn gi in domeniul de comportare elastica a materialului, putem aplica principiul

rypunerii efeetelor, astfel ci tensir:nile normale lotale intr-rrn nunct curent al

- din efortul axial N* :

- din momentul incovoietor M, ;

- din momentulincovoietor M' :

mdmunii au expresia: o"(y,z)=*.? r*f v

(1.1)

(1.2)

(1.3)

in studiul acestei solicitAri compuse este esenliald lnlelegerea echivalenlei, din

Wrunrst de vedere static, dintre tripleta de eforturi (N*, Mr, M.), acfiondnd in centrul de

Srreuhte al secfiunii, gi efortul axial N*, acliondnd in punctul A(yo,zo), numit pol (figura

fl 2 . Coordonatele acestuia vor fi date de relatiile:

M. M't .=N; 9r to=N;

Trebuie subliniat faptul ci in relalii le (1.1), (1.2) 9i (1.3), precum 9i (1.4), fiecare

rd$rnrne cele trei eforturitrebuie considerat cu semnul corespunzitor. Convenlia de semne

mnsata pentru eforturile din secliunea curenti este urmitoarea (vezi ,,Rezistenla,mlr';mrerblelor - partea l"):

(a) efortul axial N* se considerd pozitiv, atuncicAnd ,|rage" de sec{iune, deci cAnd

@trduce intindere;

{1.4)

(1.5)

'.-. -d,


(b) momentele incovoietoare (My 9i M,) se considere pozitive atunci cAnd producintinderi Tn cadranul | (acolo unde coordonatele y gi z sunt pozitive).

N,to

tyo, z0)

î I

Figura 1.2

Spre exemplificare, in figura 1,2, toate cele trei eforturi sunt pozitive, ceea ceconduce la oblinerea unor coordonate pozitive pentru polul A.

De asemenea, mentionAm cd polul A poate fi situat in afara sec{iunii.Din figura 1.2 se observd ci cele doui componente ale momentuluiincovoietor

din secliune se pot exprima cu relaliile

iM, = irt. .zo

[M, = N* 'Yo

JinAnd cont de acestea, ecualia tensiunilor (1.4) se poate scrie gi sub forma:

p

t

I

{1l

1l(

Vom nota eu

o-(y,z)=*f,,-* =.fi r-|L [^J t'oj j

i ,=# s i i ,=#

(1.6)

(1.7)

(1.8)

'lIr!r,lT

t

1I

I

razele principale de inerlie (de gira,tie) ale sectiunii. Cu acestea, se obline forma ceamai utilizati a ecualiei tensiunilor normale intr-un punct curent al sectiunii:

(1.e)

relalie care reprezintd ecualia unui plan.

ln studiul tensiunilor care apar la incovoierea simpld s-a definit axa neutrd cafiind locul geometric al punctelor in care tensiunile normale totate sunt nule.

PunAnd condilia c? o" : 0, din relalia (1.9) se obtine ecualia axei neutre (n-n):

o^(y,z)=* [ t . ?

=. f r )

( r**-z++ vl=o\ . [ t ; )

(1"10)

Rela{ia (1.10} reprezintd ecualia unei drepte. Pozi}ia axei neutre la solicitarea deincovoiere oblic5 cu efort axial, poate fi stabilit5 ugor pe baza urmdtoarelor Observalii:

t.IIE -

Rezistenta materialelor ll

3i axa neutre (n-n) nu trece prin origine gi taie axele de coordonate in douitpumffi clefrnite de relafiile:

t:Yn=-: 9 l

Yo

')t . ,

Zn = ---!-zo

(1"11)

(1.12\

(1.13)

bi unghiul p fdcut de axa neutre (n-n) cu axa Oy, este mesurat in acelasi cadranm rm adagi sens ca gi unghiul cr,, definit de

Fn"t=lfrln ese dat de retalia: ltOfl =

|.FO"lSbservafie: Axa neutrd poate tdia secliunea sau nu. in primul caz, axa neutrd

lirmnailte secliunea in doud zone (intinsd gi cornprimatd); tensiunile normale totale de peree doud zone vor avea semne diferite.

Dacd axa neutri este situati in afara secliunii, tensiunile normale vor avea pe1n'nmga sec[iune acelagi sernn, al efortului axial N".

Pentru fiecare pozilie a axei neutre (n-n), descrisi prin tdieturile pe axe (1.11) seruate determina un pol corespunzitor A, de coordonate ( yo;zo ).

Sdmburele central (SC) reprezintd locul geometric al polilor pentru care axa-eluffi nu taie sefiiunea gi -decr- tensiunile normale au acelagi semn. Acest domeniusfte situat in interiorul secliunii, in jurul centrului de greutate, conturul sdu depinzAnd desonna secliunii transversale. Limita sa este reprezentati de citre locul geometric alrclilor pentru care axa neutrd este tangentd la contur gi care se numegte timitas€mb u rel ui centra I (tSC).

Pentru determinarea LSC se utilizeazd urmdtoarea teoremi: atunci cAnd axaneutrd se rotegte in jurul unui punct, polul se deplaseazi pe o dreapti.

in figura 1.3 este reprezentat domeniul simburelui central in cazul unor secliuniuzuale. Este de refinut faptul cd la sectiunile simetrice simburii centrali sunt simetrici.

AA

a)

Iln

/-11-a/ ; ; \

J- - { ,H -.- . } .*\ Y lv

i*B-*i

Figura 1.3


Referitor la impunerea condilii|or de rezistenld, vom preciza urmStoare|e:

(1) ln cazul materialelor cu rezistenle diferite la intindere 9i compresiune (n,,n")'

cum este betonul, trebuie discutate doui cazuri, funclie de pozilia axeineutre:

a) daca axa neutrd intersecteazi secliunea, tensiunile normale extreme au

semne diferite (o".*u* > 0 9i o^,*,n < 0 ), 9i se impun doud mndilii:

Io"'"" s R'

tlo",,"l= n"b) daci axa neutrd este situati in afara secliunii 9i

br) ambele tensiuni extreme sunt intinderi (O<o,.'in (o*'."')' se

impune condi!ia:

N,

inr

o*,*"" 3 R,

b2) daci ambele tensiuni extreme sunt compresiuni (o^,''n < o*''"* < 0)'

se imPune condifia:

lo"l,u* =lo",,. lsR" (1'16)

(2) tn cazul rnaterialelor cu rezistenle egale la intindere 9i compresiune

(R, = R" = R), cum este - de exemplu - olelul, se impune o singuri condilie:

lo..l < R (1.17)

I r t \ , '

unde lo,l."* =max(o",..';lo*'nlJ repreznta valoarea extremS in valoare absolutA a

tensiunii normale totale din secliune'

@bservafie: Dacd N* > 0 (efortul axial este de intindere), atunci lo*l*u* = o*,'r* iar

dacd N, < 0 (efortul axial este de compresiune), atunci lo,l,"* = io-.'"1'

in cazul aplicaliilor curente, secliunea transversali are doui axe de simetrie 9i

poate fi inscrisi intr-un dreptunghi (figura 1.4). Penhu o astfel de secliune, valorile

maximi respectiv minimd ale tensiunilor normale apar in punctele "M" 9i "m"'reprezentand colluri diagonal opuse ale dreptunghiului 9i vor fi date de:

(1.14)

(1.15) ar

i l l

(1.18)

g

3

d

N" rlM,i lM,l)t " f f i=A=[wr-vl t . ,J

ffiW

az

v

Figura 1.4

:_.-q. ._

::

fz

Rezistenfa materialelor ll

@bservafie: Efortul axial Nx se introduce in relalia (1.18) cu semnul sdu (,,+" daci

i-1. reprezintd o intindere 9i ,,-" daci N, reprezinti o compresiune), in timp ce momentele

;ncovoietoare se introduc in valoare absolutd.

Exemplu: Si presupunem ci eforturile seclionale 9i caracteristicile geometrice

ale secliunii transversale au astfel de valori incAt

lN" l =65 N=,A mm'

Inn, l* lna. l=11b N=Wr ' W'

"- mm'

conform observaliei enun{ate mai sus, dacd N" > 0 (intindere), atunci tensiunea

extremi va fi pozitivi 9i va avea valoarea

Gx.,a* = 65 +115 = 180#

in iimp ce valoarea minimd

ox,min =65-115=-59-\mm'

este mai micd - Tn valoare absolutd - 9i are semn contrar'

Condi l iaderezistenl ivatrebuiver i f icat i , incazulce|maipericufoase, Prin secfiune periculoasd se inlelege o secliune

dintre diagramele eforturilor seclionale ale un extrem global'

general, in secliunile

in care cel pulin una

Exemplu: sd presupunem ci diagramele eforturilor secfionale ale unei bare sunt

cele reprezentate in figura 1.5. Secliunile periculoase, notate cu (1), (2) 9i (3)' sunt:

(1) = secliunea corespunziftoare lui lN*1,u, ;

(2) = secliunea corespunzitoare lui lMrl,"" ;

(3) = sectiunea corespunzAtoare lui lM,l."" '

Figura 1.5

-)


Agadar, pentru a verifica o bara solicitati la incovoiere oblici cu efort axial,

trebuie formate trioletele de eforturi:

l1,a(r )ll ' ' 'v I

fl'rf)lt:) Jlnltf

)lI ltrrt!')l = lrvr,ll l ' l r ' rmi l

lvf )lt - l

gi apoi, verificatd condilia de rezistenle corespunzdtoare, sub una dintre formeleprezentate in relaliile (1 .14) + (1 .17), pentru fiecare dintre cete trei triplete de eforturi. incazul in care inegalitatea corespunzdtoare condiliei de rezisten{d este verificati pentru

fiecare dintre acestea, vom spune cd ,,bara verificd (sau rezisti)"; ln cazul in care celpulin una dintre tripletele de eforturi conduc la nerespectarea inegalitifii condiliei derezisten{d, vom spune cA ,,bara nu verifici (sau nu rezistd)".

@bservafie: Este posibil ca, in unele cazuri, doui sau chiar toate cele trei din

secliunile (1), (2) gi (3) definite maisus si coincidA, fapt ce conduce, in mod evident, la

reducerea numiruluide conditiide rezistenld impuse (de verificat).

- , {

lNl'l= lN"l,", Ilruf'llr) llt'ltl:,|

= f'.4,1*"_I itrl!'llLl - l

Tipuri de probleme la incovoiere oblici cu efgrt axial

Dupd cum s-a ardtat in partea I a Rezistenlei materialelor, sunt definite trei tipuride probleme: verificarea, dimensionarea gi efortul capabil. Formularea acestor problemegi detalierea modului de rezolvare sunt prezentate pentru cazul generic ilustrat Tn fig,qrat .o.

Figura 1.6

zq

Rezlstenta materialelor ll

" Verfficare. la:e - grinda: - forma qi dimensiunile secliunii transversale

- rezemirile

- incircirile (P, Q, q, etc.)

- pozilia incircdrilor Pe bard

- rezistenla de calcul a materialului (R)

. r,riecunoscute: - daci grinda rezistd sau nu (dacd sunt verificate condiliile de rezistenld)

'?ezolvai'e:Se extrag forlele exterioare date in

:;aSramele de eforturi prin suprapuneri

-;arat 9i apoi prin insumare):

a Nx - din fo(ele situate pe axa barei (ox) sau paralele cu aceasta;

. Mv - din fortele sau componentele forlelor din planul (xOz) ce sunt paralele cu

axa barei (Ox) sau cu axa (Oz), nefiind situate pe acestea;

. M. - din fortele sau componentele fo(elor din planul (xOy) ce sunt paralele cu

axa barei (Ox) sau cu axa (Oy), nefiind situate pe acestea'

:.. Se identifici secliunile periculoase precum 9i valorile maxime absolute ale

afcrturilor lN.l,*, lftlri,"" 9i IM.l,"-corespunz6toare acestora gise formeazh tripletele de

eforturi: lt!'lll*f'l ilruf)l

(r) llMf)l = lM,l** ol lluf)llln y,l llnt!"|= lru.l,,,

plane principale (xOz) 9i (xOy)9i se traseazd

de efecte (deci, din fiecare fo(5 elementard

' {

Ir'r!,1 = ln-1,",

lnlt!tlI - l

3.. Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii transversale a barei: aria'

:ccrdonatclc ccntrului dc greutate, rnomentele de inerlie axiale gi rnoduliide rezistenli

fz^ -+ ft -+ fw'A; tr, - 1', * tw.4. Se verificd condilia de rezistenli corespunzitoare tipului de material 9i solicitirii

oblinute - vezi relalii le (1.14) + (1.17) - pentru fiecare tripletd de eforturi-

Observalie: Daci toate inegalitdlile definind condilii de rezistenli sunt

indepfinite, atuncivom spune cA ,,bara verifici (bara rezistd)"'

l l. Dimensionare. Darlg: - grinda: - rezemdrile

- incdrcdrile (P, Q, q, etc.)

- pozi{ia incircdrilor Pe bari

- forma sectiunii transversale (obignuit, se aleg secliuni

dreptunghiulare sau alcituite din profile laminate ,,1" sau

,,U"); NU gidimensiuni le ei

- rezistenta de calcul a materialului (R)

7

10 Rezietenfa materialelor ll

.N@:-dimensiuni |esec1iuni i t ransversaleagr inzi i

. Rezolvarg:1". Se extrag fo(ele exterioare in cele doud plane principale - (xOz) 9i (xOy) - 9i se

traseazi diagramele de eforturi:

. Nx - prin suprapunerea efectelor forlelor ce aclioneazi paralel cu axa barei

(ox);r My i- din fiecare fo(5 din planul (xoz) ac{iondnd paralel cu axa barei (Ox) sau

cu axa (Oz), nesituate Pe acestea;j Mz j - din fiecare fo(d din planul (xoy) , acfiondnd paralel cu axa barei (Ox] sau

cu axa (Oy), nesituate Pe aceasta.

Observa{ie: ln cazulin care necunoscuta nu intervine pe una din direclii, se vor

putea suprapune direct efectele, oblinAndu-se o diagramd totald pe direclia respectivd

(in mod obignuit Mf"tsau Mf').

2o. Se identificd sec{iunile periculoase gi se formeazi tripletele de eforturi

corespunzitoare acestora,

@bservatie; Diagrameie cje eforiuri Mu $ilsau M. se ob(in ca aidiurare cie

diagrame elementare, trasarea diagramelor globale Mf"' gi/sau Mft nefiind posibild

datoriti prezenlei necunoscutei Tn valorile acestora. tn acest context, din diagrame se

poate ajunge la supozilia cd secliunea periculoasi corespunzdtoare unui anumit efort

poate fi situati in mai multe pozilii pe axa barei, in funcfie de valorile luate de variabili

(necunoscuti). Se ajunge astfel la un num5r sporit de secliuni periculoase,

corespunzitoare unor valori maxime absolute ale eforturilor N, , Mu 9i respectiv M'.

3o. Se scriu condifiile de rezistenld aferente tuturor sec{iunilor periculoase refinute in

pasul (2'), la limit5, ca egalitdfi.

Din rezolvarea ecualiilor astfel oblinute, se vor obline mai multe valori ale necunoscutei.

Observatie: Dimensionarea urmiregte stabilirea dimensiunilor secliunii

transversale a barei. ln condi{ia de rezistenld apar insi caracteristici geometrice ale

acesteia (A, Wv gi Wr) care sunt funclii ale dimensiunilor, depinz6nd de forma secliunii.

Astfel, din condilia de rezisten{5 se poate determina numai o singurd caracteristicd

geometicd necunoscutd. in cazul general Tnsi sunt necunoscute toate cele trei

caracteristici geometrice, ceea ce implici impunerea unor condi{ii preliminare intre

dimensiunile sectiunii. De exemplu, ?n cazul secliunilor dreptunghiulare se impune un

raport al laturilor k = h/b. Pentru secliunile alcdtuite cu o formi geometrici complexd, se

recomandd dimensionarea prin lncercdri.

4". in final, se va selecta dintre valorile ob{inute la punctul (3"), valoarea pozitivi

minimi.

5". ln mod obligatoriu se verificd bara cu valorile efective ale caracteristicilor

geometrice pentru secliunea aleasd.

i,l

sdl

I

0

il

Ii

I1[

Rezistenp materialelor ll

gbservafie: intr-o probleme de dimensionare, se poate cere fie stabilirea

dimensiunilor geornetrice ale secliunii transversale, fie stabilirea poziliei punctului de

aplicalie al unei fo(e, astfel ?ncAt in sec[inea transversald a barei si se oblini o anumiti

distribulie a tensiunilor normale.

De exemplu, se poate cere ca tensiunile normale sA aibi acelasi semn pe toati

sectiunea. in acest caz, dimensionarea nu se va face din considerente de rezistenli ci

din condilia ca axa neutri si nu taie secliunea. Pentru aceasta, polul fictiv, determinat

cu relaliile (1.11) trebuie sd se situeze in limitele sdmburelui central-

lll. incircare caPabilS. rc,: - grinda: - forma 9i dimensiunile secliunii transversale

- rezemdrile- incircirile, cu excePlia uneia

- pozi{ia lncdrcirilor Pe bard

- rezistenla de calcul a materialului (R)

. Necunoscute: 'valoarea capabild a incircdrii neprecizate

'@!w.:@bservafie: lntr-o astfel de problemi se cere, in general, stabilirea valorii

capabile a unei incirciri, deci valoarea maximi pe care o poate lua incdrcarea

respectivi, astfel incdt ln punctul cel mai solicitat din secliunea cea mai solicitati,

tensiunea normali totala (of si egaleze valoarea rezistenlei de calcul. Cu alte cuvinte,

condilia de rezistenld scrisi pentru acest punct se exprim6 ca o egalitate'

Modul de rezolvare al unei astfel de probleme este identic cu cel descris mai sus,

la o problemd de dimensionare (ll), singura diferenld fiind reprezentati de semnificalia

necunoscutei (aici - incircare).

Trasarea diaoramei tensiunilor normale totale (ol"') in secfiunea curenti a

unei bare supusi la incovoiere oblici cu efort axial

pentru trasarea diagramei tensiunilor normale totale intr-o secliune ,,A" se

parcurg urmdtorii Pagi:1o. Se extrag valorile eforturilor seclionale Nf', Mf' 9i Mf). Apoi, se reprezintd

aceste eforturi pe seciiunea transversali a barei, lin6nd cont de semnul lor, de

convenlia de semne gi de pozifia cadranului | (cadranulin care coordonatele y 9i z sunt

-ambele- pozitive).

Zo. Se traseazi diagramele tensiunilor normale din fiecare din cele trei eforturi (Nf ),

tvtf;) Si Mf)), aplic6nd regulile de trasare cunoscute de la solicitirile simple (figura 1.7)'

@bservafie: Caracteristicile geometrice ale secliuniitransversale (A ; lv ; l' ; Wr ;

W, ) sunt deja cunoscute, astfel inc6t valorile din diagramele sus-amintite se pot preciza

complet.

11

I

l

!

)

Rezistenp materialelor ll

3o. Se stabilegte pozitia polului A(yo; zo) in secliune cu relaliitp (1.13):

MlA)yo=NF;

unde eforturile se introduc cu semnele efective.

i ,=\F i

Mll)zo=N]oTi

4o. Se stabilesc razele principale de inerlie (giralie) ale secliunii:

n_' '

={F '

5o. Utiliz6nd rela{iile (1.11) se stabilesc tdieturile pe axele de coordonate (Oy 9i Oz)

ale axei neutre (n-n): Yn

Apoi, unind punctele Nr (yni 0) gi Nz (0; zn), se traseazi axa neutrd (n-n)'

6o. Prin collurile cele maiindepdrtate ale secliunii se duc doui paralele la axa neutrd

(gi apoi o perpendiculard pe toate aceste trei drepte, ce va reprezenta linia de referinli a

diagramei olotur . Diagrama tensiunilor normale totale este liniari, cu valoare nulS in axa

neutrd (n-n) qi cu valori extreme pe cele doud paralele trecf,nd prin collurile secfiunii.

@bservalie: in cazul in care axa neutri nu taie secliunea, diagrama of;td va

pistra acelagi semn pe Intreaga secliune, existdnd numai pe zona aferenti secliunii

(Figura 1.7).

i2'2 .

Yo

i3Z.=-- :' ' zo

/ r

@o2

", =ffior=Y

tM,loa=ff

Figura 1.7


>z)

fre6a

DGl

I EXEMPLE DE CALCUL

EI Exemplul 1.1 : Pentru stAlpul din figura 1 .8, se cere:a)verificarea stdlpuluidin olel OL37, gtiind cd rezistenla de calcul este R = 210

N/mm2:

b) trasarea diagramei tensiunilor normale labaza st6lpului.

v-+

lmmj

Rezolvare

a) Verificarea st6l pului

1". Extragem fo(ele exterioare date in planele principale (xOz) gi (xOy) 9i trasim,prin suprapunere de efecte, diagramele N*, M, gi Mr.

Facem men{iunea importantd ci la trasarea diagramelor de moment se respeclSurmdtoarele convenlii :

- diagramele vor fi reprezentate intotdeauna pe partea fibreiintinse;

- semnul unui moment va fi considerat pozitiv daci produce intinderea fibreidin cadranul l.

Forlele din planul (xOz) gi diagramele de eforturi corespunzdtoare suntreprezentate in figura 1.9.

.va

miiIL

i

230

Figura 1.8

)

14 Rezistenla rnaterialelor ll

[ "

(o-*-,"

200+100 1100*0,17=300 =17

Figura 1.9

La trasarea diagramelor de moment incovoietor Mr s-a linut cont cd:

(i) fibra corespgnzdtoare cadranului | (fibra a cdrei intindere corespunde

momentului pozitiv) este fibra marcatd cu ,dt'';(ii) actiunea fo(ei P2 determind ?ntinderea fibrei ,,stg" iar cea a sarcinii uniform

distribuite q a fibrei,,dr".

Forfete din planul (xOy) gi diagramele de eforturi corespunzdtoare sunt redate in

f igura 1.10.0,115 m

+it \_ @*@f=@'[kNm] [kNm]

.|,.u [kNm]

,f-\{vov j\4/

@[kNl

RezistenF materlalelor ll

La trasarea acestei diagrame s'a linut cont c5:

(i) fibra a cirei intindere este corespunzitoare unui moment pozitiv este cea

notatd,,d/'(ii) forta verticalS P2 produce intinderea fibrei ,,dr" iar forla orizontali H pe cea

a fibrei ,,stg"'

2' . Se identifici sec{iunile periculoase: (1) - cu lN-1,"-

(2) - cu lMrln"*(3) - cu lM,l**

Din analiza diagramelor N*, Mv 9i M' , se observi ci:

. lM,l,"* este constant gi, in consecin!5, secliunea (1) poate fi considerati

oriunde Pe inillimea stdlPului;

. lMrl,,_ 9i implicit secliunea (2) este cu siguranli labaza stAlpului;

. lM=[.* 9i secliunea (3) se afld cu siguranli labaza stdlpului'

Atunci c6nd valoarea maximd absolutd a unui efort se atinge nu numai intr-o

secfune distincti ci pe un interval, se va reline pentru analizl secliunea in care cel pulin

rci un efort este exlrem. Rezultd cA verificarea se va efectua numaiin seciiunea de la

.aza stAlpului, unde iripleta de valori ale eforturilor este

[l ttt" l= 3oo kN

l ltvt, l=or rru*| |M. l=18,5kNm

in acest caz secliunile (1)' (2) qi (3) coincid'

:" Se deierirtiiii caiacierisliciie geomeirice aie secliunii:

- ana: A=23.34-20.30 =182cm"

15

I t =zz.za, _zo.3o3 =30.332,67cm4

- momentele de inerlie: ]-t 12 12

' l , -34'233 _ 30.203 =14.473,17cmaL' rz rz

II

I

- modulii de rezistentS:14.473,'l7cmo= 1.258,54cm3

11,Scm

r. Se verifici indeplinirea condilieide rezistenli Tn singura secliune relinuti la pasul

cu numirul 2o:

lo" i,., =1o",,,n l=ry.H.ffit*

E-t

Rezietenta materialelor ll

Rezulti:

agadar, stdtpul verifice (rezistd).

b) Trasarea diaqramei tensiunilor normale (of;"r ) la baza stAlpului

1". Se extrag valorile eforturilor din secliune (cu semn):

1N. =-300kN ;

JM' =+63kNm ;

[M" =+18,5kNm

gi le reprezentdm pe sec{iunea datd;

@ @.u,.,

, , 300-10i N 63'101 Nmm 18.5-106 Nrnmt6- t r . -T-.T- --=l -x !mu 182.1O'?mm2 1.784,27.10'mm' 1.258,54.103mmr

NN=66,49 " ; <R=210 " ; ,, mm', rnm: :

Figura 1.11

2". Se traseazi diagramele simple oI. , oY' , of;' corespunzdtoare eforturilor dinse{iunea de la baza stdlpului.3". Se stabilesc coordonatele poluluiA:

lu^ =! ! . - 18,5 ' lo6Nmm =-61.67mm .l ,u N, _300.103N - | ' - r"" ! ' '

I r , - - .^

i=^ =l ! - 63' io"Nrytm =-21omm .t" N* -300.10'N

@INrm#]

,,'eh(i=.=,i@ -L, . t

, ,1.

-=t ' \ 1258,54 x

i ffffiS"=r+,ro

Se calculeazi razele principale de inerfie (de giralie) ale,pcfiunii:

f , = E =@:12,e1cm=l2e,rmm;l ' ' -1n

=1J lg2cnt '

lt =..F = m+= 8,e2cm= 8e,2mm .

4".


5o. Se determini tdieturile axei neutre (n-n) pe axele de coordonate:

[o^=-9.-- 89'22mm2 = +r29.o2mm :

l - ' yn - 6 l ,5hm

l.^ = -r i - _ i29, l2rnm2 = +79.37mmt" zo -210mm

giapoi se reprezintd axa (n-n) pe secliune.

6'. Prin collurile cele mai ?ndepirtate de (n-n), respectiv stAnga sus gi dreapta jos, se

duc doui paralele la (n-n) gi o perpendiculari la aceasta, ce va reprezenta linia de

referin{A a diagramei of' .

Distribulia tensiunilor normale totale pe secliune este reprezentati printr-o

diagrami liniarS, cu valoare nuli pe (n-n), cu valoare minimi in punctul (m) (collul din

stdnga sus al secliunii) gi maximd in punctul (M) (collul din dreapta jos al secliunii).Prin insumarea valorilor din diagramele simple, se obfine:

f - - - - Nlo"'""

=+33'53 *-; i

IN

fo,,,n = -66,49

n'rrt .

Diagrama tensiunilor totale este reprezentati in figura 1.1 1 .

17

4l Exemplul 1.2: Un stdlp de beton incastrat labazd este solicitat ca in figura 1.12.

$tiind cd rezistenlele betonului sunt: R" = 12- X- gi Rt = 2-\, se cere:mmt' ' mm'

n

a) si se verifice stAlpul;

b) sd se reprezinte diagrama tensiunilor normale totale Tn sec{iunea maximsolicitati;

c) si se determine valoarea forlei Q astfel incAt in secliunea maxim solicitati sinu apard intinderi.

x +

v"=25 t4'_ m-+y

Figura 1.12

18 Rezistenfa materlalelor ll

Rezolvare

a) Verificarea stilpului1". Se traseazd diagramele de eforturi. Fo(a P aclioneazd centric Ai produce numaiefort axial. in cazul elementelor din beton se line cont gi de greutatea proprie a acestora.Aceasta se consideri ca 9i incdrcare uniform distribuitd aclionind, in acest caz. dupdaxa barei(Ox):

g = yu' A =25.0,3.0,4 = lS .m

Fo(a Q are componentele in planele principale:

Q, = Q'cosa (in planul xoy),

Q, = Q'sina (?n planulxOz).

Din geometria sec{iunii rezultd:

200 fsincr = 0,8tgo = ffi

= 1,333 :+ c! = 53oZ'48" U' l"o.o = 0,6

Rezultd eforturi le: Mu = -Q.coscr,.3 = -10'0,6.3 = - lSkN;,

M. = Q.Sina'3 = 10.0,8.3 = +24kNm

Diagramele de eforturi sunt reprezentate in figura 1 .13.

600 + 3x3 = 609 10x0,6x3

2".Figura 1.13

Secliunea maxim solicitate este cea de la baza stAlpului (in incastrare), unde:

lN_ =_6oskN ;

lM' =-tgkNtn ;

l.M' =*24kNm 'Caracteristicile geometrice ale secliunii transversale sunt:

A = 30.40'= 1.200cm2 ;

@Il.N*t

@kNm

30.

G)

10x0,8x3 = 24

Rcz*rtents materialelor ll 19

maira.Fe

4"

lW, =b.;h' =;_qjq = 8.ooocm3 ;) '6 6I

lw. = h l ' = 4o' to '=6.ooocmj

t - 6 6Se calculeazd -cu relalia (1 .1S)- tensiunile extreme:

= *5,075 xe,zs + +) ,(j o",., = -5,075 + 6,25= +t,175 * (intindere),I mm-I r'l

lo"*,n = -5'075 -6,25 =-llJ25# (compresiune).

Tensiunile oblinute se compard cu rezistentere corespunzdtoare:f16*."* =+1,175 Nr.R,=2 N=J mm' mm'

l lo. -^.1 =-11,32s-\<R" =12 N,I mm- - mm.

Ambef e eond i{ii fiind indepiin ite, si6 lpul verifici (rezistf, ).

-"ffi = *-[H. H] ##*#-[###.###)=

609kN

18kNm

24kNm

' este

+

tx

1"

20

- 18kNm

+ 24kNm

oY' este

b) Trasarea diagramei tensiunilor normafe totale t",) @

Valorile eforturilor in se{iune:

Trasarea diagramelor simple of, ,

@ nr.'1

redatd in figura 1.14.

18 x , |0".=, ?q

8000x'10" - ' - -

Figura 1 .14


30.

4".

Coordonatele polului A sunt:

[u^ = [='u'19'TTI = -3e,4omm ;l ' " N* -609. lo 'N' M" - l8 ' louNmt

l t '= (= -60110#= +2e'55mm

Razele principale de ine(ie (giralie) ale sectiunii:

ib.h '

1 = r/ .rz = += 4oogm = r rs,47mm ;'v l l b.h Jtz Jtz

lh b,I = 1f rz = {= :oo9 = 86,6omm .' I b .h Jrz .112

5". Tdieturile axei neutre pe axele de coordonate sunt:

fu- = -E - - 86'602mm2 = +r90,34mm ;l '" Yo - 39,40mm

I i3 tts,47'*# = _451,2hmlt"=

- ; = -T29,55rt

Pozilia axei neutre "rr"

,"pr"=*ntate in figura 1.'14.

6o, Varialia tensiunilor normale totale (figura 1.14) este liniard pe sec{iune, valorile

extreme fiind cele calculate giverificate la punctul a).@bservatie: Axa neutrd (n-n) taie intotdeauna cadranul opus celui in care se

gdsegte polul A(yo ; zo).

c; Determin?rea valorii fo4ei Q astfel incit in secfiunea maxim solicitati si nu

aoari intindEriCondilia care se impune este ca valoarea tensiunii normale totale maxime

(Tntindere) sd fie nuld: o*,.o = 0 .

Exprimim aceasti tensiune -din rela$,a (1^18)- in funclie de forta necunoscuti Q:

609.103 (Q.coso.3.10u Q.sincr '3.10u)6*,ma*=-12oo.tot ' I t r** , .

enoorC J@bservafie: Pentru oblinerea valorilor o*,ro in fala parantezei se va lua ln

considerare semnul (+).

Dupd efectuarea calculelor gi rearanjare, rezult6:

G*,-* = -5,075 .,. ao. [9€-1d .,-

T#l= -5,075 + 0,625,Q

\ /gi, din condilia ca aceasti tensiune si fie nuld, oblinem:

*s,07s+0,625.Q = 0 = Q =19 =8,12kN .0.625

Rczistenla materlalelor ll 21

pentru aceaste vabare a fortpi Q, axa neutrd este tangenti la secliune, tdieturile

ei pe axele de coordonate fiind:

f fvf . Q's incr '3m 8,12'0,8 '3 '10'- a?mm'l \ / =r - -g4l l " r i !

l 'o N, N, -609

l , =t , _ -Q.cosa'3m - -8,12'0,6 '3 '10' =+24mm ;N" N" - 609

[r. = -L --86,9q = +234,36mm :i ' " Yo -32

I i : t$.ql ' _ _5s5,5smml="=

-;=-- -'z+Axa neutr6 gi diagrama tensiunilor normale totale sunt reprezentate in figura 1 .15.

Tensiunea normali extremd va fi:

lN- l (Q'cosa'3m Q sina'3m)lo^1,*=|o". , 'n l=o.[ * ,

*- \4-J=

609. lo, ( n r, 0,8 ) = 19.15 !_= too:iir*8,12'3'to' lffi* a.oooJ mm.

se poate arSta cd atunci cind axa neutri este tangenta la secliune, tensiunea

'rrormali totali extremd are valoarea egald cu lc*1.* =' ry

Figura 1,15

Et Exemplul 1.3: Se se dimensioneze stalpul din figura 1.16 cu secliune

toreotunqhiularA (k = ] = 1,5) din otel OL 37 (R = 219-X- 1 'Y'-r--"v" ' - - - - \ '

b mm-

cu dimensiunile stabilite, sd se traseze diagrama tensiunilor normale ox in

sediunea maxim solicitati.

)

22 Rezistenf a materialslor ll

IrW

Figura 1.16

Rezolvare

a) $tabitlrea dimensiunilor sectiunii transversale

1". Extragem fo(ele ln planele principale gi trasim diagramele de eforturi, prin

suprapuneri de efecte.. Fo(e in planul (xOz)

I

-i*,, ruz-t----F*-

30 500 + 200 = 700

Figura 1.17

n

Rezistenla materialelor ll 23

. Fo(e in planul (xOy)

.i ̂ ,, b/2-l--tr-

2,0 , {=25

. - .* - ' - .+y

- Figura 1.18

Y. Se identifici secliunile periculoase precum gi tripletele de eforturicorespunz6toare acestora. Din analiza atenti a diagramelorde eforturi (figurile 1.17 gi

1"18) rezultd c5, in acest caz, cele trei secliuni coincid gi reprezinti secliunea de laha-a stAlpului. Agadar, avem:

E

lrxl ;[<xm] ;

[ tN*] ,

3'. Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii transversale a stdlpului

ttfrlind cont de raportul adoptat intre dimensiunile sale f = I = 1,5. Jinind cont gi deb

pozilia sistemuluide axe, avem:

A = 1,5.b2

fru" = -zoo

1M' =-30-too'n

lM, =+25

A=b.h

| . . b.n '

l ' ' 12l , _ h.b 'l l , - - .

t - 12

[w. = o'rt' 'l ' 6

I

l*=*

{r, =o,zatzsu' ;

Ll. =0,125b0 .

{w, =o,ezsu' ;

LW' =o'25b' '

RozistenF materialelor ll

4o. se scrie condilia de rezistenld la limitd (ca egalitate) in secliunea de !astdlpului, lindnd cont de unitilile de misuri ale fiecdrei mdrimi (transformdnd totul Tngi [rnm] gi, desigur, mdrimi derivate):

lo, 1,,* = 1o","'" I = ry.W.ffi = *lnlocuind in relalia de mai sus eforturile 9i caracteristicile geometrice ale

exprimate in funclie de dimensiunea b, avem:

700.103, (30+100.h).106l_ | /wv. lv \JVf rvu. i l / . tuj - -

r -x rmax ( i ,5.b,) .106 ' (0,375.br) . ton

Efectudnd calculele rezult{:o' 0,4666667 ,_ 9,ot *o' 0,4 + g,l_u,,r,, n

b' b, b2 btsau, dupi simplificiri

210.b3 - 0,8666667 .b - 0,1g = 0Rezolvarea ecualiei de gradul lll oblinute se poate face in rnod aproximativ

metoda Tnjumitdlirii intervaiului. Aceasti metodd permite obtinerea uneiaproximative a ecualiei f(O)= O daci se procedeazd astfel:

- se calculeazd f(0) ;- se alege o valoare br suficient de mare pentru ca solutia si fieintervalul (o;0,) ;

- ca urmare, semnele t(o) 9i f(U,) vor fi contrare ;

- injumitilim intervalul (o;U,)gicalculdm f(b,), unde b, = [ ,

- daci f(br) are semn contrar lui:. (o),atunci Tnjumdtilim intervatut (o;nr) Si catcutim f(br'), unde

b. '= b.'2

. t(n,), atunci injumdtilim intervatut (br;n,)gi catcutdm f(b,"), unde

b",,= .b..apa."2

- se procedeaz| Tn continuare analog, p6ni la oblinerea unei soluliiaproximative, cu o eroare presupusi acceptabili.

Avem, deci: f (b)= 210.b'*0,8666667.b-0,18 =0

'bo=0mf(0) = ' 9 '16

' bt = 0,2m

f(0,2) = 210 .A,23 - 0,8666667 .A,2 -0,18 = + 1,3266667

*ffifu'=tto

Rezletenla materialelor ll 25

. bz = 0,10m (b2 = lqjg )2f(0,10) = 21A .0,103_ 0,9666667 . 0,10 _ 0,1g = _ 0,05666677

. bs = 0,15m (b3 = bib,

f(0,15) = 210 . J, ',U.- 0,8666667 . 0,1s - 0,18 = +0,39875

5'.

'b+ = 0,125mf(0'125) = + 0,1218229

' bs = 0,1 125mf(0,1125) = + 0,0215039

'bo = 0,10625mf(0,10625) = - 0,0201961

'bz = 0,109375mf(0,109375) = - 0,000019022

' be = 0,1 109375mr1O,t tOSeZS) = + 0,0105718

Acceptim ca solulie bn"c = 110mm, gi avem spoi hn"" =

Se aleg ca dimensiuni ale secliunii transversale:

Cu valorile alese, se determini:- eforturile la baza stAlpului:

fN" = _zookN ;jr, = -ro-too.0,165 = -46,5kNm ;[M. = +25kNm

- ca racteristicile geometrice efective ale secliu nii tra nsversale:A = 11.16,5 = 181,5cm2

f. t t ' to.s '

. l " =

?=4' l l7 '78cma ;

i , to.s.r r 't t= - ;-=l '830' l2cma

I n.r6i2l* '= ?

=4ee'r2cm' i

lvy = l6 's: t t ' =33?.75cmrt ' 6 ---"--

- tensiunea maximd (absolutd) labaza stAlpului:

1,5'11Omm = 165mm.

ib=ttomm ;h=165mm

25 .10 6 Nmmz22,Ts.10 3mm 3

t^ | _ zoo,10r N 46,5.10€ Nmm| " x lrox - 181 5 J6:mm:

* J557;:;;=*

= 206,86 - \ . R : 210 - \ ,mm' mm'Rezulti ci dimensiunile alese (b =1'1Omm, h =165mm) sunt corespunzatoare.

ir"Rezistenfa matsrialelor ll

b) Trasarea diaqramei,tensiunilor normale (o') in secliunea maxim solicitati

S-a stabilit cA sectiunea cea maisolicitatd este cea de la baza stfilpului'

1"' Eforturile sunt:

[N" = - zookN ;

iM, = -ou'tkNm ;

[M. = *25kNm '

care se vor reprezenta pe secliunea dati (figura 1'19)'

2". Se traseazi diagramele tensiunilor normale simple of' , oY' , of' din fiecare

efort.

129.72

c-

,6'

I

ul

3".

Figura 1.19

Se stabilesc coordonatele polului A:

lu^ =! ! . - 25' lo6Nmm =-3s,71mm ;I" N* -7oo' lo 'N

lr, =Mu _ _46,5.106N1mm =+66.r*3mrn .N* -700.10'N

se calculeazdrazele principale de inerfie (de giralie) ale sec-tiunii:

| . , =.E="@. = 4,7b3cm=47,63mm;I ' VA ! 181'5cm'

l ' = .E =^@. = 3,r75sn=31,75mm .l' ' 1ln \i tat,scm'

R

al1'pl

c(

ct

+

Rezlrtenta materialelor ll 27

v. se determini tiieturile axei neutre (n-n) pe axele de coordonate:

fu =-L--31'752mm2= +28,23mm ;, l 'n Yn - 35,71mm

{

lr =-L--47'632mm2 = -34,r5mmzo +66'43mm

Trasim (n-n) Si"poiOi"gr"ta oLont , in care se obline:

f - , . N

io'' 'u" = -38'57 + 93'16 + 75'13 = +129'12-\ ;

1Nlo*'''n

= -38'57 -93'16-75'13 = -206'86 mm'?

6*

El Exemplul 1.4: Pentru stfilpuf din figura 1.20, se cere:

a) stabilirea incirciriicapabile H."0, gtiind c6 R = 210 N/mm2

b) trasarea diagramei tensiunilor normale (o*), in secliunea maxim solicitat5.

)w. av /

- . . - , - .>yq * 10 kN/m

Figura 1.20

Rezolvare:

a)9!eE!!!l.ea1ncarci4iH""p1". Se extrag fo(ele exterioare (date) gi componentele lor din cele doui plane

principale gi se traseazd diagramele de eforturi prin suprapunere de efecte' Se va line

oont ci momentul incovoietor pozitiv este cel ce produce intinderi in cadranul I (deci, cel

ce intinde fibra ,,dr", aflati la coordonata y pozitivi, respectiv z)'

= 150

&

rlli1ll

Rezlstenla rnderlabbr I

xov)fo(e in planul (

0,32 mHh-

xi

I,'ll

/'h ftil\q, = &/[kNm] [kNm]

48

. fortp ln planul (xoz)0'15 m

Fk-x+

: Figuia 1'22

20. se identificS secliunile periculoase, in care pot ird aparS solicitifile maxime;

acestea vor fi:(1) - sectiunea de la baza stAlpului, in care avem:

[[.r!ll= sookN ;l l^ l

(1) lFf,l=p.H-zzsl lkNml ;l [u!)l= r28kNmU'l

r"ie, rvt

tkNl i [kNm]

- r-r----j--r=-L_J!H

iH-ff i---- i--F--rHIH

H l@t l iF.t l iF.

iHLI iE=

- - l - t - - - r - - I r '

190+950 1150"0,32=500 =48

Figura 1.21

/-n\q'lkNml

10*#*80


(2) - sec{iunea de actiune a fo(ei orizontale H*p (3 m de la baza stAlpului):

lrufrl= soorru ;lvf)l= zz,stlrtm ;

lu9,l:53kNmVom reline doar tripleta de eforturi aferenti sec{iunii (1), fiindcd necunoscuta H

meirc doar in aceasta.

:' Se determini caracteristicile geometrice ale sec{iunii transversale a stAlpului:

n = z '00.2)+ 60.1 = 18ocm'z ;

f . ^ (z.zo' \ 60.13 ,l l . . = 2 ' l - -" l+ -- - =9.005cm" :l ' [ 12 ) 12

| | nn r3 -^ ^.100 2\ ' | 1.603

It-=z. l 'u ' ' +(s,J 'zt-+-r r =133.360cmal ' l 12 ' \2 2) l t2.I qooslW' = ' ' '"i" =600,33cmr ;| ' 15

2

11ry- = 133'360 = 4.r67,5cm,t ' 32

Se scrie condilia de rezistenli in secliunea (1), la limiti:

lo!) l _500.10: +13 H-2251'10'+ 128.106 _ :210 ,i ^ lma 180.10' 600,33.10' 4.167,5.10'

m urde vom obtine doui ecuatii:

(a) 27,778+ (+ 4,ss7 .H-31,479)+30,714 = 2r0

(b) 27 ,778 + (- +,SOt 'H $7 ,a79\+ 30,714 = 2lA

Se oblin solulii le:

iH(a) = +3Z,gZkN ;

lH{o) = -27,82kN .

Se re[ine doar solulia pozitivd, astfel incdt vom obfine

H*P = 37'82kN '

|t Trasarea diagramei tensiunilor normale (or) in sectiunea cea mai solicitati'l" Sectiunea cea mai solicitati este cea de la baza stdlpului, eforturile fiind deci:

lN, = -sookN ;

1t, = ,.rt,t2-22,5 = -9og6kNm ;

lM' = *tzgkNm 'T Pe sec(iunea transvercali dati, se vor trasa diagramele de tensiuni normale din

\ " din M, 9i din M, (figura 1.23).

, , {

30 Rezistenfa materialelor ll

154.45

30.

4"

5".

6".

Figura 1.23

Se stabilesc coordonatele polului A:

lu.. = !L - 128'louNryrm = -256mm ;l 'u N* - 5oo'10'N

l , = M, _ _9o,96. lo6Nmm = +181.92mm|.-' N" - 5oo 'lo'N

Se cafculeazA razele principale de ine(ie (de giralie) ale secliunii:

Se determini tiieturile axei neutre (n-n) pe axele de coordonate:

[u- = -L - -272'192mm2 = +289,40mm ;l "" yo -256mm

l=- = -L - -70,732mm -= -2,,somm .l-" zo + i81,92mm

Trasdm (n-n) Si "poi Oi"gr"ta of'' , in care avem (figura 1.23):

[_ __ 500.10] N *fso,qe ro ' l . t rT * r28. iOu Nmm- l=+ts+,+s_\ ;

l *xmar 180'102mmz l .600,33'10'mm'4. 167'5 '10'mm'/ mm-

I so0'103 N ( go,ge . l0u Nmm 128'106 Nmm I . i n N

l"x 'min 180.10'zmm2 [600,33.10'mm' 4.167,5'10'mm') mm'

g

M

I

Ill

rultl

br--


E Exemplul 1.5: Pentru stAlpul din figura 1.24 sd se determine locul geometric al

@ilor tn care poate actiona fo(a P astfel incdt toatd secliunea s5 fie comprimatd.

Figura 1.24

Rezolvare:

Locul geometric al polilor in care poate acliona forta axial6 P astfel incdttensiunile normale sd aibd acelagi semn pe toati secfiunea, este sdmburele central.Pentru determinarea acestuia se va construi LSC (limita sdmburelui central), carereprezintd multimea polilor pentru care axa neutrd este tangenti la secfiune.

Se determind mai intAi caracteristicile geometrice ale secliun ii

- arw. A = 20 .2+ 50.1= 90cm2

- pozilia centrului de greutate al secliunii ?n raport cu fibra superioard

(figura 1.25): zo =20.2.1+ 50.1'27= 15,44cm

31

- momentele de ine(ie axiale:

f, --zo'z' *20.2 14,442* t' '10' * l '50. I 1,56'z = 25.452,22cma il ' ' : u 12l , z-zo' 50.13I t=-o-*t=l '337'5cm' '

- razele de inertie (girafie):

I l t t ;7 l< ' r . r1

1,, =,,/i =

ItX- = 16,82cm l

| t r f iq??i

l ' ,= i l i={- , .=3,85cm

punctului2"):

Rezultd polul A, (1,48; 0).

5o. Se aplicd urmdtoarea teoremS: atunci c5nd axa neutrd spunct, polul se deplaseazd pe o dreaptd.

Se obline astfelsegmentul A,A, care reprezintd o laturd a

6o. Datoriti simetriei sectiunii fald de axa Oz, LSC va rezulta r

Astfel, la rotirea axei neutre in jurul punctului C'(simetric cu C) se

0) simetric cu A,.

in continuare se repeti pagii 3"- 6".Pentru (n, -nr) se oblin tiieturile:

]u., = -7'45cm :

Lzn. = 39,19cm

gi polul A' de coordonate:

ly. '=-*=1,48cm,{

- , r

| .z,=-:16'81 =6,

[u" =t- '

l', =precum gi simetricul sdu Ar.

- 3'852 = L99cm :-7,45

--16'82'? =- i .z2cm :39,r9

Retlstents mater{alelor ll

Rotind axa neutrd Tn jurul punctului I se ajunge in pozilia ( n, - no ) cu tiieturile

l.vn. =* ;lz" . =+35,56cm ;L "4

9i polul Ao de coordonate

LSC este reprezentat de poligonul A,A2A3A4A;A;. pentru ca axa neutri si nutaie sectiunea, rezultAnd numai compresiuni, este necesar ca fo(a axiali P sd aclionezeir interiorul acestui poliEon;

15,44 cm

!J!

ir(nJz

Figura 1.25

t()o)ottY,tlI

hJ

:-"C


1.2.2 INCOVOIERE DREAPTA CU EFORT AXIAL

ln acest caz,in sectiunea curente a barei existi doui eforturi nenule: efortul axial

(N*) gi o componentd a momentului incovoietor, situatd pe una din axele principale ale

sec{iunii (M, sau M.).

Faptul cd momentul incovoietor aclioneazd dupd o axd principali este o

consecinli a faptului cd fo(ele exterioare date sunt toate cuprinse intr-unul din planele

principale - fie in (xOz) gi atunci se obline componenta Mu, fie in (xOy), ceea ce

conduce la obfinerea componentei M..

in cele ce urmeazl, vom considera cazulin care forfele exterioare actioneazd in

planul (xOz); ca urmare, pe secliunea curenti aclioneazi efortul axial N* 9i momentul

lncovoietor Mn. Tn cazul in care planul de acliune al fo(elor este (xOy), in relaliile de

calcul ce vor fi prezentate in continuare, se inlocuiesc m6rimile corespunzdtoare

incovoierii pe axa Oy cu cele corespunzdtoare celeide pe axa Oz,

MY -') Mt

lY- l '

Wv --+ W. etc.

My'9

Figura 1.26

Toate relaliile prezentate in paragraful 1.2.1 pentru cazul incovoierii oblice cuofnrf qvial connf nart inrr lnr izanrrrqrrr inf i t lnAnr!cnntci [ -4.-=O Carrmarn nhl inem'

r ! i j -Jr

vv ' ' r

vq r ! r /

- Coordonatele polului A:

(1.1e)Deci, polul A este situat pe axa Oz,la distanfa e, numitd gi excentricitate.

Wrn ffi

ffi

qrrfidmrilmd

I vt-lYo

= * ]=u

{"I M,,l7 - t

-a

t " N*

*x

ix

- Eestb tensiunilor normale

(1.20)

- F:"iatia axei neutre (n-n)

(1.21)

&Sadar, axa neutri (n-n) este o dreapti paraleli cu vectorul moment incovoietor

tffi! , axa normal5 pe acesta, Oz, in punctulde coordonati:

"'=*.? "=* ['.? 'Jt*=*-z=o

t-

, =-L-ne

SeEramele tensiunilor normale simple 9i totale pentru

{rwlrtilEe zunt prezentate in figura 1.27.

omax,mn=*[ , ' .+J

, , lttt" Itat - .:_-:i .

' ' lN"l

Conditile de rezisten{i au aceeagiformi ca giin cazul incovoierii oblice cu efort

(1.22)

cazul compresiunii

(1.25)

(1.26)

- ?n cazul materialelor cu R, * R"

[o*.r"* . R, , (Oaca o*,,"" t 0)

ti"l,-"t=*" , (oacao^,*in <o) ('23)

- in cazul materialelor avdnd R, = R" = ft (rezistenld egald la intindere 9i

,immwmesiune)

lo- l < RI ^ rmax (1.24)

O particularizare loarte utili a ecualiei tensiunilor se intAlnegte in cazul

-Fxti6r dreptunghiulare masive (ptine).ln acest caz, lindnd cont de pozilia LSC

UJLfirmltud Simburelui Gentral) pe secliune, valoarea maximi 9i, respectiv, cea minimd a

rannsr-inii pot fi scrise sub forma:

b = dimensiunea secliunii paraleli cu axa momentului;h = dimensiunea secliunii normalS pe axa momentului.

Ecualia (1.25) se aplicd materialelor care preiau intinderi gi sunt posibile trei situa{ii

dMncte:

a) lel < \, "rrin

care polul ,"A" este situat in interiorul sdmburelui central, ceea ce, | | 6 'implici faptul ci axa neutrd (n-n) nu taie secliunea gi tensiunile extreme (o.u" 9i

o,,n ) vor fi de acelagi semn;

,.t-

Rezlstenta materialelor ll36

@+ @

Figura 1-27

nl lel=|, aOica polul ,"A" se aflS exact la limita sAmburelui central; in acest caz

axa neutri (n-n) este tangentS la secliune 9i una din tensiunile extreme (o',n- in

cazul in care N* este de compresiune, respectiv 0,,* - in cazul in care N' este

de intindere) este nulS;

c) lei t f , aOica polul ,,A" este situat in afara domeniului sirnburelui central, ceea

ce implicd faptul c5 axa neutra (n-n) taie secliunea, tensiunile extreme (o',n 9i

or"" ) avOnd semne contrare'

@bservafie: in cazul materialelor care nu preiau intinderi (de exemplu, terenuri de

fundare, betoane de clasd inferioard, ziddriigi altele pentru care R, =0) ecualia (1'25)

se aplicd doar in situaliile in care IE = :,

deci forla aclioneazi in limitele sdmburelui

central (cazurile a 9ib).

Dacd fo(a de compresiune aclione az1 cuo excentricitate lel > | t""t" amplasati

in afara limitelor sambureluicentral) are loc o redistribuire a tensiunilor normale pe zona

activda secliunii (figura 1.28). iniltimea activi a secliunii este:

0 = 3 'c,

unde s-a notath

"=t-

f t \qL/Gmin

Myq

(1"27)

(1.28)

n__

Rezistenfa materialelor ll 37

/ ,/: _i@

. 6min

. - . - - - - - . )

omax = 0

Figura 1.28

Evident ci in acest caz putem vorbi numai de compresiune, valorile extreme ale

ensiunilor fiind:

lo'u* = o ;

I 2.Nlc . in

= 3.b.c

.r1+rja1

(1.2e)

incovoierea dreapti cu efort axial este un caz particular al incovoierii oblice cu

efort axial, prezentatd in paragraful 1.2.1. ln consecin!6, abordarea problemelor de

.erificare, dimensionare gi efort capabil se face in acelagi mod.

Verificarea la compresiune excentrici a sectiunilor dreptunghiulare masive

care sunt frecvent utilizate in practica curenti) presupune urmitoarele etape de calcul:

't', Se stabilesc eforturile seclionale (N" 9i Mr) din sectiunea respectivS, oblinute prin

'educerea in centrul de greutate a efectelor fo(elor exterioare date.

2'. Se calculeazi excentricitatea gise compari cu limita sAmbureluicentral:

huIle l= f-4 :' I lN- l

3'. Se stabilesc valorib extreme ale tensiunilor, linAnd cont de tipul materialului 9i de

valoarea excentricititii, dupi cum rezultd din tabelul de maijos:

l

i"J

38 Rezistenta materialelor ll

Tabelul 1.2

Material care preia intinderi

(n, '. O)Material care nu preia Tntinderi

{R' = o}

lndiferent de valoarea

excentricitS!ii

he<-

6

he>-

6

0*:*[ ' -+J

@bservafii:(1) Daci:

h' l"l t i,

diagrama

tensiunilor normale estereprezentatd in figura 1.29.a

r r h. lul . t, diagrama

tensiunilor normale este

reprezentatd in figura 1.29.b

(2) Conditiile de rezistenli se

exprimd astfel:

. in cazut lq " *, este

suficientd verifi carea tensiunii

extreme.

r^ r_ N.[n*6. l " l l .n^lc* in l=b h [ ' * h J='"

. in cazut ld ' *, este

I necesare gi verificarea

I tensiunii normale de

I intindere:

| ^ _N | , ,1_6 1"1' ]=n,I

o""=b+' [ ' - -h. ,J='"t 'I o*"^ 'io*'nl

Q=

-n

2.N3.b .c

h--e2

@bservafii:(1) Diagrama tensiunilor

normale este reprezentatd

Tn figura 1.29.e.

fo.""1Iomin

N [,.g]91)b.h [ ' - h )

or"* =

mln

@bservafii:(1) Diagrama tensiunilor

normale este rePrezentatd

in figura 1.29.b.

(2) Condi{iia de rezistenld I

se scrie astfel: I

lol** =it, '"l= I

I t r t l ( o le l ) |=rr .11+ " lsRlbhI h J I

(2) Condiliia de rezistenli

se scrie astfel:

, , | , z lNl[o1,"* =lo," l=f f i=n"

(3) inillimea zonei activeeste:

a-3'c.

I

-trla!

gl '

Se

IIl *

I

LL

Gmax

,/ EXEIT4PLE DE CALCUL

c.

Figura 1.29

El Exemptul 1.6: Pentru stdlpul metalic din figura 1.30, se cere:a) verificare in secliunea (1-1) de la baza stdlpului;b) verificare in se{iunea (2-2), sub talpa fundaliei de beton simplu;cltrasarea diagramelcrtensiunilcr normale (o* ) ?n secliunile (1-1) gi (2_Z).Se dau:

tlP, =eooxru ;JP,

=200kN ;

lq =,s l ' .lm

l' ^ ttrt

lT"t"r =u,.,.,. ,

[r*.",, = tu#

[n = ero-\I m*'lp, =eoo$Im-

Rezistenla materialelor ll40

20 mm

t1390 mm

I+f1r'/,

( . \ ' t

Figura 1.30

a)

Rezolvare

1". Jindnd cont de regulile de semne

eforturile din sediunea (1-1):

prezentate in paragraful anterior, se stabilesc

fN,: -3oo-2oo=-5ookN ;

l*, =ru .[-roo'0,1e5 = 81kNm

2". Secalculeazdexcentricitatea:,r S1'106Nmm=162mml " l =

soo.t o'N3o, se stabilesc caracteristicile geometrice ale secfiuniitransversale a stilpului:

A= 27,4'39 -25'35 = 193,6cm2 ;

, _27,4:39:_25.353 =46.122,13cma ;',

=--7i-- aw - 46'122'13 =2.365,24cm3- 'v 19.5

Se verificd indeplinirea condiliei de rezistenfi; deoarece nu este cazul unei

dreptunghiulare masive (pline), aceasta se scrie sub forma generalS:

lo l =\*M'.Rr rmi l A Wv

, , 500.103N B1.106Nmmr6t,"" =

1 9t60.i02m;t .

236524. 103mm

=60,07 N-<R=210 N- ' mm' - ' ' mm2

Rezulti ci secliunea (1-1) verificd.

I Uerificare in sectiunea-.(Z-.2)in aceastd secliune se verifice daci tensiunile normale transmise de cdtre talpa

t@iei pot fi preluate de citre terenul de fundare.1s' Se stabilesc eforturile din aceasti sec{iune:

Jru, = -soo-(t,z'0,s. 0,6).25 = -s16,2kN ;

lM, = 15' 4 '2,6- 200' 0, '195 = 1 17kNm

l" Se calculeazi excentricitatea:

lel= 1ll-louNIm = 226,66mm' ' 516.2.10'N

3'. intrucdt este vorba de un material care nu preia intinderi, se compari

ercentricitatea cu valoarea I = lry = 200mm, care reprezinti limita s6mburelui66

cntral. Rezultd l"l r 1, fapt pentru care se adoptd pentru calculul tensiunilor relaliiler r 6 ''t.29), Se lucreazi cu:

c = l-e =''1oo -zza,66 = 373,34mm ;22

a = 3.c = 3.373,34 =1.120,02mm ;4'. Valorile extreme ale tensiunilor normale sunt:

or*

Omin

=0 i

2 'N 2 . ( - 516,2) . 103 mm=€=3'b-c 3 . 900mm' 373,34mm

=1,02 N; =mm-

- 1'02 ' 10 -3- kN = m2oE > p, = 33oS

10 -o m' m' m'

Rezulti ci sec[iunea (2-2) nu verifici (se depdgegte capacitatea portanti aterenului, numiti gi presiune admisibili pe teren).

;

rRezistenfa materialelor ll

c) Trasarea diaEramelor tensiunilor normale (o) in sectiunile (1-1) si (2-2)

Jindnd cont de semnele eforturilor ob{inute, de pozilia axelor sistemelor dereferinli qide convenlia de semne pentru eforturi, avem:

. Secliunea (1-1)

@+@: @omin = 60,08

25,83

?lN/mm l

Y_.->

_(0

34,25 a6sx = 8,42

Figura 1.31

e=Zo =*162mm

- 500.10r N193,6 .1O'? rnm'?

81.106 N.mm

= -25,83 N;mm"-Tno) ' :

^ M..- lnox' :

- in olobr :

. Secliunea (2-2)

($+ @

i'" tsq.z'Zn = -L =14697mm

" z^ -162

Valorlle din diagrame sunt:

2365.24.103 rnm3= +34,25

N ;mm-

I r\l

lo,* = -25,83 + 34,25 = a$,!l- :)- 'I mm-IN| 0,,n = -25,83 -34,25 = -60,08-:;t mm-

v

o)o-., = o l- soi* I

= _______i_lzV

Figura 1.32

1tttmm21

-

!

a

F

u

a

1n


Valorile din diagrame sunt:

- in of ' :

- in oY' :

- 516,2 . 103 N---":900 .1.200 mm'

= -0,48 N;

mm'

917.f i6 )-6 N.mm = -0,54 N;

mm-900'1200'? mm

- in olobr :

[l Exemplul {.7: Un zid de sprijin din beton simplu este agezat pe o fundalie din*'c{sqi material gi este supus impingerii pdmAntului a cdrei varialie se considerd liniar5,

p. = 10kN/mt gi p, = 30kN/m2, (Fig.1.33,a).

a) Sd se verifice secliunea de la baza zidului de sprijin, gtiind ci greutatea

specificd a betonuluieste yo =Z2kN/m3 gi rezisten{ele de calcul ale acestuia

sunt Rt =0,5N/mm2, respectiv R" = 4,7Nf mmz ̂ Sd se reprezinte diagrama

de varialie a tensiunilor normale in sectiunea de la baza zidului.b) Sd se verifice funda{ia zidului de sprijin gtiind ci greutatea specifice a

pimAntului este yo =18kN/ms 9i presiunea admisibili pe terenul de fundare

este pr :0,5N/mm'. Sd se reprezinte apoi varialia tensiunilor normale pe

talpa fundaliei.

RezolvarePentru elementele cu lungime mare gi stare de eforturi omogen6, se va calcula

un tronson de lungime b : 1m.

a) Verifica4ea secliunii la bazi zidului de s.priiin (sectiunea 1-1)1o. Se evalueazd mai TntAi forlele gravitalionale {greutatea proprie a zidului ) gipunctele de aplica{ie ale acestora (Fig. 1.33,a)

Gr =0,4'3 '1 '22=26,4kN

16, = =0,8 .3.1 '22= 26,4kN .

Se determinJ eforturile in centrul de greutate al secliunii 1-1 {Fig. I .33,b)

N, =G,+G, +P =26,4+ 26,4+30'1=82,8kN (compresiune)

M, = -26,4 . 0,4 - 30 . 0,4 + 26,4' 0,067 + 1 0' 3 . f,S * 20;' 3 . 1 = 54,21kN .L

io.", =o-I- ;

io ' ' "= ' t*

Reziet6nla materialelor ll

p, = 10 xN/m?

Fr* 30 kNJm

Rr = p1.3m.1m

b)

0.174 N/mm2

Figura 1.33


2o . Se calculeazf, excentricitatea gi se compare cu limita sAmburelui central ( h, /6 ):

.. = & - 54'21 = o.654m t 1'20 = o.2t' Nl 82,8 6

Deoarece excentricitatea este mai mare decit limita s6mburelui central, axaneutri va tiia sectiune, producdndu-se astfel tensiuni normale de intindere gi

compresiune.

3". Secliunea poate prelua intinderi (R,;.0), deci tensiunile extreme se calculeazd

cr relalia (1.25):

6.,* = 5[, * 9l = ;q* 1'0:= [r * 9:99911 = -ooun ( xz,ztz).' f f i A1 [ h, ) 1,2.10".10" ( 1,2 )

Rezultd:

6,", = 0,157N/mm'z < R, = o,SN/mm2

c,rn =-0,295N/mm2; 1"1," ( R" = 4,7 Nfmm 2 ,

Ceci secliunea de la baza ziduluiverifici condiliile de rezistenli.

Diagrama tensiunilor normale este reprezentatd in figura 1.33,b.

Axa neutrd este definitd de tiietura:

' .:- ' i:: += *=-o'183m

b) Verificarea fundatiei (sectiunea 2-2)'T". Se evalueazi fortple gravita{ionale (flgura 1.33,a)

- greutatea proprie a fundaliei:

G, =2,1'0,8'1 '22 = 36,968kN.

- greutatea proprie a masivului de pAmf,nt care descarci pe fundalie:

Gp = 0,3 '3 '1 '22 = 19'8kN .

Se determind eforturile in centrul de greutate al fundaliei O, (figura 1.33,c)

Nz =Nr +G, +Gp =82,8+36,96+19,8=139'56kN'

M, : -(1 9,8 . a,9 + 26,4. 0,55 + 30 . 0,55 + 26,4' 0,083)+ 1 0 . 3' 2,3 +'o=' u .,t,u =2

= 71,g6kNm

2". Se calculeazi excentricitatea gi limita sdmburelui central :

u. = !!a =,11196- = o.s15m' N, 139,56

46

? = #= o,3bm

3". Deoarece ez:0,512t+=0,35, axa neutrd taie secliunea gi tensiunile normale'6

extreme vor avea semne diferite. Terenul de fundare insd nu preia intinderi, inconsecinli are loc redistribuirea tensiunilor normale pe talpa de fundare. Presiuneamaximd se calculeazS cu relalia (1.29)

lol,* = * - ?i*fHS = 0,174N/mm' < p, = o,2N/mm'?

" = I - e, =2J9 -0,51s = 0,535m.

2'2

4o. fnillimea zonei active este:a=3c*1,605m

Diagrama tensiunilor normale totale este reprezentatd in flgura 1.33,c.


Q Exemplul 1.8: Fundalia excentricd a unui stAlp din beton armat are forma gi. l ; ' -^h. i 'F i f^ . l i^ f in ' , . - 1 eA EFa*t ' r i la ?n ea.+] ' ,naa na lq l " .a:q

-1Alh ' i l " i a, '6+'

urrrrvrrstwtr [q ui l r r rvqrq r .va. Lrvrrqrrrv rrr ssul lu l s lqr ] rsrql 99r11,

No = 200kN

To = 100kN

Mo = 150kN

9i greutatea specifice a betonului este yb = 24 kN/m3 .

a) Sa se stabileasci pozilia stAlpului pe funda{ie (distanla xo de la marginea

fundaliei la muchia stdlpului) astfel incAt pe talpa fundatiei sd nu apare tensiuni

normale de intindere.b) Se se verifice funda{ia gi si se traseze diagrama tensiunilor normale la baza ei

gt i ind cd p,:0,220 N/mm' .

Bezolvare

a) Stabilirea pozitiei stilpului astfel incAt pe talpa fundatiei si nu apari intideri

Condilia care se impune este ca excentricitatea sd fie in limitele sAmburelui

central, adicd

bis l ( - )b

1o, Se determind eforturile in centrul de greutate al fundafiei; se noteazd cu x

distanla dintre axele normale ln secliunea de la baza stilpului respectiv a fundafiei:

N,, = No *G, = 200 +2,4'1,2'1,5' 24 = 303,58kN

Mr = 150 + 1 00. 1,5 - 200x = (eOO-ZOOx)<Nm.

nrrirff rrtieblorI 47

a,

T. Se imPune condilia (* )

lel = !!r _ 3oo - 2oox st !a = ?,4 = o.q| '| Nn 303,68 6 6

Rezultd ecua{ia300-200x.0.0

303,68

de unde rezultix > 0,892m.

3". Se alege x = 0,9m. Rezultd distanla de la marginea fundaliei la muchia stdlpului:

xo = 1,20 - (0,9 + 0,2) = 9,16 .

Rezlstenfa materlalelor ll

b) Trasarea diaoramei tensiunilor normale pe talpa funda$ei

1o. Se calculeazi eforturile din secliune:

Nr = 303'58kN

M =300-200'0 '9=120kNm

20. se calculeaze excentricitatea 9i se compari cu limita samburelui central:

u=J9-= 0,395m.1= o,+*' 303,68 6

Axaneutrdf i indsi tuat i inafarasecl iuni i ,Voraparenumaitensiuninormaledecompresiune'3o. Tensiunile extreme se calculeazl cu relalia (1'25)

o-^- = --'9t:9u ;1?' f1 *q995-) = -0'1054 (t te'zzr)'K- z+.1,2 '106 [ ' - 2,4 )

Rezulti lol,* = lol*,. = l-0,20961N/mmt < P' = 0'220N/mm2

gi 6ma, = -0,0013N/mm2 - 0

Decifundaliaaretoatita|paactivSgiverificdcondiliaderezistenli.

g|Exemp|u|1 '9:PentrustAlpu|dinf igural '35,cunoscdndyo=24kN/m3,secere]

a) determinarea dimensiunii ,,L" a fundaliei, astfel ca in sec{iunea (2'2) toatit

sectiuneas6fieactivSgis6nusedepSgeascipresiuneaadmisibi|dpeteren

P' = 225kN/m2;

b) veriflcarea sec[iunii(1-1) (la baza stalpului metalic) cu R = 210N/rnm2 ;

c) trasarea diagramelor de tensiuni normale (tr*) in secliunile (1-1) gi (2-2)'

Figura 1.35

{ Dfimengionqrea fundatieilil''- Se stabilesc eforturile in secfiunea (2-2), de labazafundafiei:

INl" t =-90-150-(1.1.0,6).24 =-240 *14,4.1 tkNI;1

I tuf")=90'0,266+(to.+).2,0 =127,94 [kNm].Y- Excentricitateaeste:

Itr,t!*')l n7.s4",=ff i=zo_.ff i tml

f. Pentru ca toati secliunea si fie activd, impunem eondilia "^

= htt-t', - 6 '

@bservatie: h reprezinti dimensiunea secliunii perpendiculard pe axammentului, in exemplu L; obtinem astfel:

127,94 L240 + 14,4.L 6

tr- Se obtine ecualia: 14,4'L2 +240.L - 767,64 = 0

nrindsoluliile: t,=ltffiS=-19,41m

a, - -240i919,0863 =+2,75m.' 2.14,4

Convine numai solulia pozitivd.5'. Alegem L=2,75m giob{inem:

- eforturile:

I*l' 'l = -27e,6kN;

LM!'4 = 127,94kNm.

- excentricitatea:

", _ 127,94 . 106 N-. mm = 457.58mm- 279.6.10'N

- 2 750 mm = 458,33mm6

Rezultd ci toati sec{iunea tilpii fundaliei este activi, iar tensiunile extreme sunt:

s*a' = Trn3##* ['-';1ii#H'):-.'u' 1s-o-\;s279,6.103N (, 6.457,58mm) ^,203_\o.,n =_Ti06ililt2j$dffi.['r*

,.ruo11111 )=_u mm,

=lo. . l=0,203 N; <p, =0,225-\ .mm- mm'

lo'lI tma


Rezulti ci dimensiunea aleasA L = 2,75m este corespunzetoare, intrucAt

intreaga sectiune este activa (o,", (0) gi nu este depdgiti presiunea admisibili pe

teren.

b) Verificarea se4iuniide la baza stilpului1". Se stabilesceforturilein secliunea (1-1), de labaza stdlpuluimetalic:

Iruf'l = -90 - 1 50 = *240kN ;

tn,t!'' = 90. 0,zoo + (ro. +) 2 = 103,94kNm.

2o. Se calculeaz6 caracteristicile geometrice ale secliunii transversale a stAlpului

metal ic: A=2.(25.1,6)+50.1=130cm2;

t , =2. lzs ,J ' ,a ' + (25 .1,6)-25,8,1* t ' r lo ' = 63.684,93cm4 ;L12112

*, - 63'694'999rn' -,,, =ffi =2.394,17cm3.

Se calculeazd tensiunile extreme din secfiunea (1-1), cu relalia (1.20):

240.103N 103,94.106 N.mmv..mdr---"x ' r : . 130 '102 mm2

- 2394,17'103 mm3

fo*,."* = +24,95N/mm2;

lo*,',n = -61,BBN/mm2;

lol =lo-,^ l=61.98 N=.R=210 Nt=.I rma r , ,n, ' r

mm, mm,

3".

RezultS:

StAlpulverificd deci condilia de rezistenli.

c) Trasarea diaqramelor tensiunilor normale (o-) in sectiunilg (1-l) si (2-2). sefriunea (1-1)

Cdin =

Figura 1.36

@+

@

^Q961,A8

l"s'l=2+o . 1ot N130 .1oz mmz

= 18,46N/mm';

lofl.,l= g-+g|-I+ = 43,41N/mm2;| 2.394.17.10o mmo

. secliunea (2-2)

@+

@

@0,203

ll--* r---il

:;1;-i

Figura 1.37omln =

52 Rezlstenta materlalelor ll

qr = 5'5 kw#

I o.s I 2,3m I o,u I-t-_-+--

Figura 1.38

Rezolvare:

a) Sllllesssrsi[ii q*o1". Se stabilegte efortul axial in centrul de greutate al secliunii (1-1), stabilind

greutdlile aferente celor doui pirli ale ziduluide sprijin:

G., = (0,9.3,1.1)'23 = 64,17kN - pentru cea Tn formd de paralelipiped dreptunghic;

l r t \ IG, =ll;.3,1'1,41'23l=49,91ktt - pentru cea in formd de prismd triunghiulari;

L\z ) )(figura 1.38).

Apoi, lindnd cont de poziliile celor doud centre de greutate, de rezultantele forlei

p pe 1 ml gi - respectiv - ale lui er gi Qz pentru Tndltimea de 3,1 m gi lungimea de 1m a

zidului, se oblin eforturile aferente secliunii(1-1):

p(t-t) - -3 . 1 - 64,17 - 49,91= -1 17,08kN ;

p1(r-r)-(s,s.s,r f ry.[* to-, -5,5) r,,.,'] S-e \ (+-o,t)-*M,17 (T T).4e,e1' (+ ? r,^)=(t,ooo'Qz,*o -17,8+) [r<rrrm].


M[ mmplne condilia ca valoarea excentricitAtii sd corespund;5interiorului sau

central: l"l . *lilfir mrWezinti dimensiunea secliunii normald la axa momentului (deci h = 2,3m );

i^l (1,6.Q,'*o - 17,84J kNm 2,3m,9,=-

' , 117,09kN 6

117,08 .2,3+ t7,94

Qz*"= 6 -=

=39'20kN/m.4,@v 1.6

lReanltS:

unde

3o. Deoarece

h centrul de greutate al acestei secliuni, aclioneazd in plus greutatea proprle aG, = (3,5. o,g. 1). 2,3 = 72,45kN

Eforturile din secfiune sunt:

1(z-z) -Nft-t) *G, = 117,a8+72,45= 189,53kN (compresiune);

p1(z z)-(s,s s,r r) [].0,e).[Su*+0," ,] t3 #.or)-- (u ,)

[T -a,7 -i t-)= 14e,57 kN'n '

flrr Excentricitatea este:

1",1=$$q=o,78em.' 183,53N

Valoarea lui corespunzltoare limitei sAmburelui central este:u':t = o'589m '

o

Rezult6: l"r l=0,z6gr >*=0,58gm.11 6

f . intrucOt terenul de fundare nu preia intinderi, tensiunile normale se calculeazi cu

iotu* = 0 ;

eat i le (1.2e): j t .Nl 2.18e,s3.103N' lo_,^=_- .L=_+=_0,132N/mmr.I "" 3.b.c 3.1.000mm'960,84mm

h 3.500 mmc = =-e= - ' - - : " -" ' -789,16mm =960,84mm.22

lol,"* =lo,,nl =0,132N/mmt <p, = 200kN/m'z,

putem afirma cd terenul preia presiunile transmise de citre talpa fundaliei.lndllimea zonei active din secliunea (2-2) este:

a = 3.c = 3.960,84mm=2.882,52mm = 2,88m .

iiI

II

-d

Rezistenta materialilor ll

1.3 iNcovolERE oBLlcA

Am definit in partea intAi a Rezistenlei materialelor incovoierea simpld ca fiind

acea solicitare in care vectorul moment din secliunea curenti se suprapune peste una

din axele principale centrale. in cazul c6nd vectorul moment incovoietor nu se

suprapune peste nici una dintre axele principale centrale ale secliunii vom spune ci

incovoierea este oblici.

in elementele de construclii, incovoierea oblicd apare in urmitoarele doui

situalii:a) Toate for{ele exterioare aclioneazi in acelagi plan, dar planul lor nu coincide cu

niciunul din planele principale ale grinzii (xOz) sau (xOy)' Prin urmare, vectorul

moment incovoietor din secliunea curenti nu este suprapus pe nici una dintre axele

principale centrale ale secliunii, fiind perpendicular pe planul fo(elor gi are

componente pe ambele axe principale (M, gi Mr. Acesta este cazul incovoierii

obtice cu forle coplanare (figura 1.39,a).

b) Fo(ele exterioare nu sunt coplanare, ele fiind cuprinse in planele principale gi/sau in

alte plane; prin urmare, vectorul moment incovoietor din secliunea curenti nu este

nici in acest caz suprapus pe niciuna din axele principale centrale ale secliunii 9i -

in general - in fiecare din secliunile transversale ale grinzii existi at6t o

componenti a momentului M, cAt 9i o componenti Mr. Acesta este cazul

incovaierii obtice cu forle necoplanare (figura 1.39'b)'

a)

Figura 1.39

1.3.1 INCOVOTERE OBLICA CU FORTE COPLANARE

in cazul acestei solicitiri, vectorul moment incovoietor va pdstra aceeagi direcfie,

normali la planul inclinat alfo(elor, pentru toate secliunile transversale ale grinzii (figura

1.40). Momentul incovoietor total se poate descompune in componente dupd cele doud

axe principale:

/./-/ -/2.1._.>l --\"2

{* , =t .coscr

lM, =M'sina(1.30)

|n urma aplicirii suprapunerii de efecte, posibild Tn ipoteza cA r6mdnem in

domeniul elastic ai al deformaliilor gi deplasirilor mici, se obline ecualia tensiunilar

normale din secliunea curenti:

(1,31)

prin inlocuirea relatiilor (1.30) in (1.31), ecualia tensiunilor normale totale poate fi

scrisi sub forma:

M., M-o.(Y,z) = --r- 'z+ tL 'Y

I , , I ,

o*(y,z)=t [ f f ' .Y tJ

cosc sinaz+_.y =v

l . . l -

tgB = ! . igalz

relatie care permite precizarea poziliei axei neulre in secliune (fig' 1'al)'

(1.32)

se remarcS faptul c6 fiecare dintre relaliile (1.31) gi (1.32) reprezintd ecualia unui

plan-

Figura 1'40

Axa neutrd se definegte ca fiind locul geometric at punctelor de pe secliune ln

care tensiunile normale sunt nule. Prin egalarea cu zero a expresiei (1.32)' se obline

*uaJia axei neutre, notatd (n-n):

(1.33)

Se observd faptul cd ecualia (1.33) reprezinti ecualia unei drepte' De asemenea'

se observd cd axa neutr6:

(1) trece prin originea sistemului de coordonate yOz (centrul de greutate al secliunii);

(2) tangenta unghiului B de inclinare a axei neutre (n-n) cu axa oy este dat de :

(1.34)

I

lz

t

le,ja

ua

Rezistenta materialelor ll56ItII

(n)

\0\o

t \- - - ' i lo

9l

Dacd

Figura 1.41

@bservafie: ln cazul general I * cr , adicd axa neutrd nu este perpendiculard pe

planul de acliune al momentuluiincovoietor. Daci

l r t l . = B>cr

l r" l . :+ P<6p.

l, =l, = F = a", caz in care lncovoierea barei este simpli.

Condiliile de rezistenfd la incovoiere oblici sunt:a) pentru un material cu rezistenle egale la lntindere si compresiune(Rt = R. = R) cUm este de exemplu- olelul

lol*"* 3 R, (1"35)

unde lol.* = max(<t,,,,1o,,"1), reprezintd valoarea absolutd extremd a tensiunii normale.

b) in cazul unui material cu rezistenle de calcul la intindere (Rt) diferitd de cea lacompresiune (RJ, cum este -de exemplu- betonul, condifiile de rezistenli devin

[oru* 'R,

l lo,,"[s R" (1'36)

unde tensiunea maximd (oio) este pozitivi, reprezentfrnd o ?ntindere iar cea minimd

(on.in) este negativd, fiind o compresiune; fiecare tensiune trebuie comparati curezistenla corespunzitoare.

Exemple de verificare a condi{iilor de rezistenfd:. Pentru o secliune de ofel (avdnd R" = R = 210N/mm' ), s-a oblinut:

Io.,n = -202,67N/mm'z;1[o'"* :175,83N/mm'?'

Se verified inegalitatea

lol** = max(o,",,1o,*l)= 202,67 Nlmmz < R = 210N/mm2 .

Rezistenla materlalelor ll

Secliuni inscriptibile in dreptunghi

ln acest caz particular valorile extreme omax gi om6 ole tensiunii ngrmale Sunt

egale, au semne contrare 9i apar in doui colluri opuse ale dreptunghiului (figura 1'42)'

Tensiunile normale extreme se pot scrie

' Pentru o secfiune din beton avdnd R" =12'5N/mm2 9i Rt:1'5N/mm2s-a

' lomin = -10'24N/mm'?;oblinut:

to",* = 1,02N/mmr.

- [o'u" = 1'o2N/mmt 'R,

= 1'5N/mm2;se verrTrca:

tF'"I = 10,24N/mm'? < R" = 12,5N/mm2'

6'n:*[ff.ff]

lo.l,*=lMl..* tr.ffJ=*

(1.37)

(n) '69

@

= #r*#:Figura 1.42

Pentru un material cu rezistenle egale la Tntindere 9i compresiune, Ro = R, = R,

este suficientd verificarea valorii absolute a tensiunilor normale extreme in secliunea

maximd solicitati; conditia de rezistenti se poate pune sub forma:

(1.38)

rRezistenfa materialelor ll

Tipuri de probleme la incovoierea oblici cu fo4e coplanare

Pentru formularea celor trei tipuri de probleme (verificare, dimensionare gi efortcapabil), se vor face referiri la desenul generic de maijos:

II

I planul for.Glor

Figura 1.43

l. Verificare

. @!e.: - grinda: - forma gidimensiunile sec{iuniitransversalerezemirile

incdrcirile (Pi , Qi , Mai)

- unghiu, ";,iij::[]ijil['"'- rezistenla de calcul R; pentru olelulde construclii (OL 37), R = 210 N/mmz

' Necunoscute - dacd grinda rezistd (verificd condiliile de rezisten{d) sau nu.'B@gE:1". Se traseazi diagrama de momente M" in planul for{elor, fdcfrnd abstraclie defaptul ci planul forfelor este un plan inclinat. Trasarea se face prin suprapunereadiagramelor elementare sau, prin particularizarea prealabilA a reacliunilor gi trasareadiagrameide forfi tiietoare T" gi apoi a celeide moment total Mo.2". Se extrage valoarea momentului incovoietor total extrem lMol*r* .3o. Se calculeazd caracteristicile geometrice ale sectiunii date:

-)

-+

(coordonatele centrului

de greutate al se{iunii)

[=nI

LYn(momentele

de inertie axiale)

{*'Lw.

(rnodul i ide

rezisten!i)

-)

-+

Se verificd condilia de rezistenti (1.38):

to*t=tM;* [ff*ffJ=-@bservafie: Daci inegalitatea este lndeplinitd, vom spune ci grinda

(rezist5), iar in caz contrar, cd ea nu verifici (nu rezistd).

I- ,YT"l


l l. Dimensionare

. Date: - grinda: - forma secliuniitransversale (NU gidimensiunile)"

- rezemdrile

- incdrcdrile (Pi , Qi , Moi ) gipozi{ii le acestora (a; b; c ...)- unghiul a ficut de planul fo(elor cu axa Oz a sectiunii

- rezistenla de calcula materialului (R)

' Necunoscute - dimensiunib secliunii transversale (b gi h pentru secliuneadreptunghiular5; respectiv simbolul profi lului laminat,,l,, sau "U',)*) in mod obignuit, este vorba despre o secliune dreptunghiulard, cu raporlul

| = t O"t, sau despre profile laminate ,,l" sau ,,U".b

" Rezolvare:

1'. Se traseazd diagrama de momente Mo in planulforlelor (cu aceleagi observaliisa gi la problemele de verificare).

2". Se extrage valoarea lM"l,"" .

@bservafie: Condilia de rezistenfi (1.3S) se mai poate scrie gi sub forma:

ii:i* l-"o. o . f}l ,in ol= nWY L [W,/ J

W.,-pds ----r = k este un coeficient de formd al sec{iunii, el fiind egal cu:W-

(nlk = i = 1,5...2,0 pentru dreptunghitoI

Jk=5...7 pentru profi l "U"

It<=2...0 pentru profi l "1"t

:r". Se alege forma secliunii gi coeficientul de formi k. Se dimensioneazd secliunea:

Wy,nec =lM"l,"^ .(cos cr + k . sin a)

s'. Se aleg dimensiunile secfiunii:

- pentru dreptunghi, din condilia *, = L^[, ] = t, w, = n' .nt > W""""

6 b t 6 ---v,nec

- pentru profile laminate, secliunea se alege din tabelele ce prezintd sortimentulstandardizat, astfel incdt si aveffi Wy,et ) Wr,n"".

fl Cu valorile efective ale Wr giW, se verificd condilia de rezisten,td (1.38):

1o1,,",", =1M"1,," [":. ffi)=*

r

60 Rezistenla materialelor ll

Daci inegalitatea este indeplinitd, alegerea ficuti este corectd; in caz contrar, serevine la punctul (4'), se modificd dimensiunile secliunii gi apoi se parcurge din noupasul (5').

lll. incircare capabili

..Da!g,: - grinda: - forma gidimensiunile sec{iuniitransversale

-ffiHi:, cu exceptia uneia si poziliite acestora (a; b; c ...)- unghiul cr al planului forlelor

- rezistenla de calcul R. Necunoscute - incdrcarea neprecizatd (P."p / g"up i Mo,""p).

'B@!re.:1o. Se traseazi diagramele de moment incovoietor M* ; ('=, ,) in planul fo(elor,prin suprapunere de efecte;2o. se identificd secliunile periculoase, adicd acele secliuni in care, prinsuprapunerea efectelor, s-ar putea obline valoarea maximd absolutd a momentuluiincovoietor total. Se plecd de la ideea cd valoarea maximA a momentului incovoietortotal poate si apari intr-o secliune in care cel pufin una din diagramele simple trasate lapunctul f inregistreazd un extrem.

in aceste m secliuni se evalueazd prin insumare momentul incovoietor total,oblinAndu-se agadar m expresii. Dintre acestea, se vor pistra doar cele k contindndnecunoscuta(ele). Evident, avem k 3 m.3o. Se calculeazd caracteristicile geometrice ale sectiuniidate

[z^ -)

LYn -)Jt' -+Ll. -+

Iw,I '

lw.4o. Din condilia de rezisten$ (1.38) scrisi la limiti, se determind momentulincovoietor capabil al secliunii date:

lM-^^^l= R

,I u'@Pr ".+q + !I c,

Wvw,

5". Se egaleazd, pe rAnd, cele k expresii de la punctul 2", scrise in valoare absolutdcu Mo, op. Din rezolvarea acestora se oblin 2kvalori pentru necunoscutele problemei.6o. Dintre toate valorile oblinute se pdstreazi doar cele pozitive.

Forla capabila (Pcap, gcap seu Moo ) reprezintd minimul acestora.


Trasarea -diagramei tensiunilor normale (o-,', ) intr-o sectiune curenti a unei

qinzi solicitate la incovoiere oblici cu forte coplanare

Pentru trasarea acestei diagrame trebuie cunoscuti valoarea gi semnul-romentului incovoietor in secliune.Fagii de parcuns suni urmdtorii:ii- Pe sec{iunea transversali a grinzii, raportatd la sistemul de axe principal centralyoz) se reprezinte planulfortplor, dupd cum a fost indicat in problemi.:'". se stabilegte sensul momentului incovoietor de pe secliune, tinand cont de*rnnndtoarele reguli (figura 1 .44)

(a) vectorul moment incovoietor este intotdeauna normal pe planul forlelor;(b) momentul incovoietor este pozltiv atunci cdnd produce intinderi Tn cadranul I.

adicd acolo unde ambele coordonate (y gi z) sunt pozitive.

Figura 1.44

Pentru cazul prezentat in figura 1.44, un moment pozitiv trebuie si produciintinderiin collul ,,D" al secliunii, situat in cadranul l. Se obline astfel sensul unghiului cae care vectorul moment incovoietor (ftn") il face cu axa Oy.

3'. Se descompune momentul din sec{iune (tvt") in componentele dupd axele

fHl,, = M_ .cos cr9nnclpale: { ''

LM' = Mo 'sin cr

lindnd cont de faptul cd suntem in domeniul de valabilitate alformulei lui Navierlaxele Oy 9i Oz fiind axe principale de ine(ie), se pot trasa diagramele tensiunilornormale din fiecare componentE, adicd of;" gi

"Y", precizAnd semnele gi valor1le

extreme.

Spre exemplificare, se consideri cazul sectiunii prezentate in figura 1.44. pentru

Mo < 0, rezulti diagramele din figura 1.45.

{J_.._+y

l1

.r \planulfortplorI

F

r62 Rezlstenfa materlalelor ll

Figura 1.45

Pentru trasarea diagramei tensiunilor normale totale ol', se determind mai intdi

I= r. l tocd

I t - |I ,

4"

unghiul de inclinare a axei neutre (p): ltgpl

Se traseazd axa neutrE (n-n), care trece prin originea sistemuluide axe, Tn aga fel

Tncdt unghiul B pe care il face axa (n-n) cu axa Oy sd fie mdsurat in acelagi cadran 9i Tn

acelagi sens ca 9i unghiul cr. Se duc apoi paralelele la (n-n), trecAnd prin colturile celemai indepdrtate ale sec{iunii.

5o. Se reprezinti diagrama olot, in raport cu o linie de referin!6 normalS la axa neutrd

(n-n). Diagrama este liniarfr, avfrnd valoriextreme in cele doui colturi ale secliunii caresunt cele mai indepirtate de axa neutri gi valoare nulS pe aceasta (figura 1.46).

i I tn-n)

Figura 1.46

RezistenF materialelor ll

Valorile din diagrama olo' se oblin prin suprapunerea efectelor (insumarea

morilor) din cele doui diagrame simple, corespunzdtoare componentelor momentuluilim:ovoietor. Cele dou6 valori extreme sunt

Jo."* = +(o, + o, )

lo ' ,n=-f t ' ,+or)

lM l.cos cOr:L3*;

lM- l .s in cr( t^ - -'u

Valorile efreme se oblin in collurile diagonal opuse ale dreptunghiului, notate cu

tuil 9i, respeciiv, m.

I OGMPLE DE GALGUL

El Exemplul1.11: Pana de acoperig de secfiune dreptunghiulard reprezentati in figura. 47. este confeclionatd din lemn. $tiind ci rezistenla de calcul a lemnului este

a = 13 N/mm' , se cere: a) sd se verifice pana;

b) si se reprezinte apoi diagrama tensiunilor normale in

secliunea maxim solicitatd;

c) si se determine sdgeata totald la jumdtatea deschiderii

oanei. aplicdnd metoda grinzii fictive (conjugate). Se dd:

E = 100 N/mm' ,

P2= 1 kN

Figura 1.47

Rezolvare

e| Verificarea panei

'". Se calculeazi reacliunile gi apoi se traseaze diagramele de eforturi T" gi M" in

3hanul fortelor (figura 1.48)

r


4\\9tkNl

@lkN.ml

2".

30.

Figura 1.48

RezultS, lM"l*"* = 5,79kN.m

Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliun i i d reptunghiu lare:f -

l l . . - 12'18'=5.832cmal ' 12I tR.t13l f - = '" ' " =2.592cm4t ' 12I ta to2

| 1't7.. = l'--1"- = 648cm3l '6I rn. t r2

f* .=:-=432cm'Se verifici conditia de rezistenli:

("o* o sin o-)lo*1,"* = lM.i,* .l --- - + *"' "- l< R

\ W' W' 'J- '

- - , ( coslso s in l5o )lo, l -^. . = 5,79'106 | - - + . - - - i - - - - l= i2, l0N1mm2 <R =l3N/mmz.' ^rmax \649 . 10, mm, 432.10' mm, /Deci pana de acoperig verificd.

.+.


b) Trasarea diaqramei tensiunilor normalg o, @'to. in secliunea maxim solicitati M, = +5.79kN.m

2'. Pozilia axei neutre este datd de:

rsp = 5;?1? ts(r sf = 0,6028857 -+ F = 31"0s'.2.592 - '

Diagramele tensiunilor normale din compomenetele momentuluiincovoietor dupdaxe gi diagrama tensiunilor normale totale sunt reprezentate in figura 1.49,

fil)v7

3,47

,*

Figura 1.49

Valorile tensiunilor normale sunt:

f^', - sJgil0'_gg{5' = 8,63 N/mm2 ;lo* ' - o+a.1oJ

loy. = 5,79'106 's in15" = 3,47N/mm2 :l. ^ 432.',10'o,o = lo,,nl = 8,63 + 337 = 12J0N/mm2 .

cf Siiiqeata totali la iumitatea deschiderii oaneiSe aplici metoda grinziifictive.

4r, Se calculeazd momentul fictiv total (in planul fo(elor) ln secliunea C, de lar,.mitatea desch iderii panei.

. Diagramele de moment simple sunt reprezentate in figura 1.50,a;

. Grinda fictivi, ob{inutd prin inlocuirea reazemelor reale cu cele fictivemespunzdtoare, este reprezentati ?n figura 1.50,b;

-h-

66

11I Rezistenfa materlalelor ll

Pr=1kN Pe=2kN

Figura 1.50

. Din incdrcarea grinzii fictive cu diagrama M1 se obline (figura 1.51,a):

R" = 3. 6.7s, 3 = 13.5kN. mu'3

M{,1 = V^ .3-R. .9.g = 13.s.1! = 25.31kN.m3,88

. Din incircarea grinzii fictive cu digrama Mz rezultd (figura 1.51,b):

Rr=.} .3.6=9kN.m2

It t t^ =0+6.V8 -2.R2 =0+Va =

IM, =0.:> 6 'Vo -4.R, =0 *Vo =

R. =1.1,5.3=2,25kN.m2

Ml'/ = -% .3 + R. .1 = -3 .3 +2,25.1 = -6,75kN .m3.

*.* , = 3kN.m2

f n, = 6kN.m2

ReztubnF rnabrhhbr tl 67

d)

@

a

t

1.5 r ,s I 3rnR,'

;kR. rR"

fl\i*

1,0 t5

1m l , 2mI

3m

vo

Figura 1.51

' Din incdrcarea grinzii fictive cu diagrama Ms se obtine (figura 1.51,e):

F1lo =2.2.6=6kN.m2

\1/ , =d Rr =2kN.m2

v^ : 3.Rn

:4kN.m2

R1u =;.1.3 = 1,5kN.m2

MIIJ = _v, .3 + R, .1= _2.3 + 1,5.1= _4,5kN.ms.

'Din incircarea grinziifictive cu urtima digramd, Ma, rezurtd (figura 1.51,d):

R16 =: '1,125.1,5 = 0,84kN.m2

IMo =0=6.Vu -3.R2 -1.R6 =0 = Va:1,406kN.m2

IMu =0=6.vo -5.Ru -3.R2 =0 =+ Ve =1,965kN^m,

Ru = I. o,7s. 3 = 1,125kN. m,zMI? = 3. VB . B -1.Ra = 3. 1,405 _ 1,125 :3,09kN. m3.


. Momentulfictiv totalin sectiunea C rezultd:4 . .

M,," = Et l t

= 25,31 - 6,75-4,S + 3,0g = 17,1SkN .m3.

2o. $e determind componentele momentuluifictiv in cele doud plane principale:

(xoy): M,, =M," .cosc =17,15.cos(-tS!= 16,57kN.m3;

(xoz): Mo : M,,. .sincr = 17,15.sin(- 15f - 4,441rN .m3.

3". Se determind componenta sdgelii dupS cele doud axe principale:

(ov), q = g- = -=rolo=l! '1.=,= -17,13mm" E. l . 10*x2,592.10n

(oz): w" = 5 = r=1û,?'=1^!".=, =28,41mm ." E'1, 10* x 5.832 .104

@bsentatie: Sdgeata are direclie perpendiculard pe vectorul de momenttncovoietor,4". Sdgeata totald este (figura 1,52):

f" = il/.' * w.' = J1T jg\z&4f = 33,17mmDireclia dupd care se produce sdgeata totald este definitd prin:

tq'= vc =17,1!wc 2s,4i=

0'6029 + q :31o05"

adicd q = B. Rezultd deci cd s6geata este normald pe axa neutrd (figura 1.S2).

'iffi: ;Iz

Figura 1,52

Exemplul 1.12= Pentru pana de acoperig reprezentati in figura 1.s3, se cere:a) sd se dimensioneze din profil laminat l, cu R = 210N/mm2 ;b) sd se traseze diagrama tensiunilor normale totale of;t"r in reazemul ,,B".

tr*$effi


kdvare

{ Dimensionarea orinziiS'"- Se traseazd diagramele de eforturi T* 9i Mo in planul forlelor (figura 1.54).

Y- Se extrage momentulincovoietor extrem: M"l.* = 71,4kN'm '

3"- Se alege coeficientul de formi alse{iunii k = 7 9i rezult5:

lM"!--, . (cos c + k'sin cr)wr,* =

:r!4jg'Nt@=ffi-= 1.021' 106mm3 = 1,021cmt.

Mo = 70 kt't m

71'4

Pigura 1'54

4["- Din tabelele cu sortimente de profile laminate I standardizate, se alege profilul

lffi , avAnd caracteristicile:

I* , : , t .oeocme[w, =114cm3

{1, = 19'otocmo

Ll. = 818cmo

F=40kN

- t

i=tj lvn=rozt l I lva=ttauf .1.0r- 4.0m l . l .o; , 2I I

*1,0+ 4em

;1.ot 2I

;

lt-Rezistenla materaalelor ll

5o. Cu aceste valori, tensiunea maximd efectivd va fi:

lo*l'u'u'=r;,^-r!ffi)-

Prin urmare, profilul ales (136), nu este corespunzdtor. Revenind la tabele, se

alege profilul mai mare, imediat urmitor, 140 avdnd:

ft, =29.210cmo

[1. =1.16ocmo

Cu aceste valori, avem:

J*, = 1'49ocm3

lw, =149cm'

, ( cos 17o sin 17' )

lo* l-u*,", =71'4' to ' I13u-o6p+, **.*raJ=

= 1 86,87N/mm' < R : zloN/mm2 ;deci pana se va confecfiona din profil | 40,

hl Trasarea diaoramei tansirrnilor normale -

tobr in reazemul B

1". in reazemul B valoarea momentului incovoietor este M* = -70kN.m .

2". Pozilia axei neutre este dati de

tgp = +#xtg17' = 7,6980148 -+ 0 =82o3G'.' ' 1.160

Diagrama tensiunilor normale totale este reprezentatd in figura 1.55.

My

Figura 1.55


i"Y,Jl"v.

6ra"

= Z1*,#: = 45,85N/mm,;70 . 106 . s in 17' = 137,36N/mmz;

149.103= lo,u,nl= 45,85+137,36 = 183,21N/mm2

t@l Exemplu! 1.13: Pentru pana de acoperig din figura 1.56, se cere:a) stabilirea valorii sarcinii capabile q."o;b) trasarea diagrameitensiunilor normale olot"r in secliunea maxim solicitatd,

pentru g = Qcap.

.s 230 -.

Yz

P=2kN

P^. , "cap

Tfu,,""1 t i t-"Ltwl

Figura 1.56

kzolvare

ry Stabilirea sarcinii capabilef " Se traseazd diagramele de moment incovoietor Mi din fiecare forld elementard,nu*rd in vedere aplicarea principiului suprapunerii efectelor (figura 1.57).f . Se identificd sec{iunile in care ar putea si apard - prin suprapunerea efectelor -o valoare extremd a momentului incovoietor. Se oblin astfel urmdtoarele sec{iuniin careod pulin o diagrami simpli are un extrem:

(1) - pe reazernul simplu (stdnga)(2) - Tn dreptul fo(ei concentrate (p)(3) - la jumdtatea deschiderii(4) - pe reazemul articulat (dreapta)

J)fl-

P=2kN


din fo4ele uniform distribuitede pe c.onsola din slanga

din fo4ele uniform distribuitede pe consols din dreapta

din fo4ele uniform distribuitedin deschidere

din fo(a concentrati

Figura 1.57

Se calculeazA valorile momentelor corespunzetoare acestor sectiuni, prininsumarea valorilor din cele patru diagrame.

ln cazul diagramelor din forle distribuite pe console gi a celei din forlaconcentratd, vom folositeorema fundamental5 a asemdnirii;in cazuldiagramei din fo(adistribuitd pe deschidere, vom obline valoarea momentululdintr-o sec[iune curenti dupdcalcdlarea reactiunilor gi scrierii expresiei acestui efort in secliunea respectivd (figura

i

;;

1,125

1.58):

Figura 1.58


in exemplul considerat ( / = 6m;x :2m ), avem:

M(x)= q '6.2

- h.z\ .2 =+a.' ' ' \ ' ' / 2

- \1 - / 2

Prin suprapunere de efecte (insumare) oblinem:. secliunea (1): M(1) = -11 25 . O [kN . m]

'secliunea (2): tvt(Z)= 2,875.q+2,67 [kN'm]

'sec{iunea (3): Itt(S)= 3,375'q+2 [kN'm]. secliunea (4): fU(+)= -1,125.q [kN.m]

3o. Se calculeazd caracteristicile geometrice ale sectiunii:

f , _zs. t+ '_ 20.3oll 'v 12 O

=30'332'67cm"

lr- =t!, 'u'- 30'203 =r4.473.r7cma[ 'z 12 lz

fyy' - 3o'33?'6zcm' =r.J!4,z7cm1

l - -Y 17cm

l*, - t+'+z:.'t zcmo = 1.258,54cm3t 1l,5em

Se scrie condilia de rezistenld - la limitd - in cele patru secfiuni identificate maisus, sub forma:

( . - - \lol,l.". = lM(k).ltr . ff,J = *

:e unde rezulti:. in sec{iunile (1) Ei (a):

lof ' |,* =1'125 q 'to' (

= 210N/mm'z

cos19o

1.784,27'10'mm3

cos 1 9o

1.784.27.103mm'

sin 19o \! - - r=

1 .258,54 . 103 mm3 J

sin 19" \' 1.258,54, 103mm' J

-) 9r = Qo = 236,7kNlm. in secliunea (2):

lo! . , ) l =h.arc.o+2.67).10u . f "ot19". = * " 'nt9o= - ) =| " lmax \1.T84,27.10omm" 1.258,54.10"mm"/

= 210N/mm2

+ 9z :91'70kN/m

. in sectiunea (3):

lol',1** = il,ezo .q + z).to' 'I' t= 210N/mm2-) Qs - 7831kN/m

f


5". AdevArata valoare a incircdrii capabile esle valoarea simultan minimd gi pozitivi,deci

" Qep = 78,31kN/m'

b) Trasarea diaqramei de tensiunilor normalg of;t'rlrcggltunea maxim solicitati

Pentru a obline valoarea maximi reald a momentului incovoietor, se vor trasadiagramele de eforturi in planul fo(elor T" gi Mo considerdnd g=g".o =79,31kN/m

(f igura 1.59).P=2kN

I vA = 353,73 kN

2

2@,30

Figura 1.b9

Rezultd M** = 266,30kN.m.

Pentru reprezentarea diagramei ox este necesari stabilirea pozilieiaxei neutre:

Itgpl = !.tsa = :9l*':lig; ,ts(1e1 =0,7216371r F = 3so4e,- ' ' f . " 14.47g,17cmo e\ /

Se va line cont de cadranul prin care trec fo(ele P gi q, de faptul cd vectorulmoment trebuie sd fie normal pe,aceste foqe gi ci, fiind pozitiv, trebuie sd producllntinderiin cadranul I (la coordonatele y giz pozitive)

Diagrama tensiunilor normale este reprezentatd in figura 1.60.

= 353,06 kNtVn

1q

q = 78,31 kN/m

991

;*s8.&tr;

Rezlstenfa materialelor ll

-as!$$1"]i1$=e,,an

@141,'t2oH-,-'n

*\* ,

h__H

flffffi-'o',',

orr*= 210,01

Figura 1.60

1.3.2 INCOVOTERE OBLTCA CU FORTE NECOPLANARE

Dupd cum s-a aritat in paragraful introductiv, in acest caz, fortple exterioare nuzunt cuprinse toate intr-un acelagi plan, acliondnd fie in planele principale fie in altephne. Ca urmare, in acest caz, relaliile (1.30) lSi pierd valabilitatea gi este necesar si seujcreze cu cele doui componente ale momentului incovoietor din secliunea curentd:

- componenta M, (produsd de componeptele forlelor din planul principal xoz) gi- componenta M, (produsd de componentele forfelor din planul principal xOy).Pentru studiul incovoierii oblice cu fo(e necoplanare, trebuie mai intdi

rcscompuse toate forlele exterioare dupd cele doui plane principale, xOz 9i xOy,ras6nd apoi diagramele de moment corespunzdtoare Mr, respectiv Mz. Aplic6nd apoimincipiul suprapunerii efectelor, tensiunile normale Tn secliunea curenti se vor scrie:

M" M-ox- i ' * i ' ' (1.3e)

,.>5

76 Rezistonta materialelor ll

Ecua{ia axei neutre (n-n), ce trece giin acest caz prin origine, va fi:*, .=*! !n.u = ol , l ,

Pozilia axei neutre pe secliune se stabilegte cu retalia (1.34)

Itgp = | . tgcr

l -

unde

too = !L-My

Observafie: ln cazulincovoieriioblice cu fo(e necoplanare nu se mai poate vorbide un plan al fo(elor, valoarea unghiului o fiind variabild de la o secfiune la alta.

Pentru sec{iunile ce pot fi inscrise lntr-un dreptunghi (secliuni curent TntAlnite inaplica{ii), valorile maximd 9i minimi ale tensiunilor normale apar in colluri opuse aledreptunghiului.

Qondiliile de re-zistenfd la incovoier.e ob!ici cu forle necoplanare:a) pentru un material avand cu rezistenle diferite la intindere gi

compresiune, R, * R", gi pentru care s-au obfinut:

fo."* = g

Loru* .0

condiliile de rezistenld se_scriu:

Jo'"* s R'

llo'''l < R"

b) pentru un material avAnd rezistente egale la intindere gi compresiuneR, = R", conditia de rezistenf5 este

lo ' ,* l<Runde lo,,,l reprezinti valoarea extremd a tensiunii normale gi se

determini ca fiind cea mai mare dintre o,* gi lo.r,nl.in general. componentele momentuluiTncovoietor au extremele in sectiuni diferite

(figura 1.61). ln consecin{i, este necesar sd se verifice doud secliuni: '

h , \ , .- secliunea (1) unde avem valoarea absolutd maximd a lui Mr(]Mrl**J gi M!),

valoarea aferenti a componentei M,;

- secliunea (2) unde avem valoarea absolutd maximd a lui M. (ttt.l*._) gi Mt),

valoarea aferentd a componentei M,;

(1.40)

Rezistenp materialelor ll 77

Figura 1.61

Deci verificarea se va face cu perechile de eforturi:

[lrr,t.,l = ltr,tl]'l(t)lir,i*-,, =1ry'1 9r

-,fi.*::{Mi"lModul .de form.ulare si rezolvare a celor trei probleme ale Rezistenfei

nrateriatelor (verificare. dimensionare si efort capabil) la incovoiere oblici cu fo(e

recoplanare sunt aceleqi ca giin cazulincovoierii oblice cu fo(e coplanare.

Acestea vor fi detaliate in continuare pentru o secliune dublu simetrici 9i un

rmterial cu rezistenle egale la intindere gi compresiune R" = Rr = R

l. Verificare

1". Se descompun forlele exterioare date in planele principale (xOy) gi respectiv

{sz).T. Se traseazi diagramele de moment incovoietor

Jtttt, ) Oin fortele din planul (xoz)

l.(M,)din fortele din planul(xOy) :@bservafie: Daci este posibil, trasarea diagramelor de momente se va face prin

suprapunerea unor diagrame elementare; in caz contrar, se traseazd mai intdi

diagramele de forli tdietoare (f, gi \) apoi diagramele de momente corespunzitoare

(Mr gi respectiv M, ).

3". Se identificd secliunile periculoase (1), unde se produce lMrl,* Si respectiv (2),

d lM,l,* , formdndu-se apoi perechile de eforturi:

[lttt..l = lul]'l

"'ti',i:i-, = t"i"t

- Il5

;F1

Rezistenla matoraalelor ll

40 se calculeazi caracteristicile geometrice ale secliuniitransversale a grinzii

lzî" - ->IYn

I'' --) iw,lt, lw.

5". Se verifici condilia de rezistenli in cele doui sectiuni:

h",,,r = lyllll* lYlll = *j l "* l ** 4- * - ' '

| ,",, lMf)l lM!''ll l"t ' l ' ,"= *;* *L t*

DacA ambele inegalitSli sunt verificate, vom spune ci bara verifici sau rezist6;daci cel pu{in una dintre condilii nu este indepliniti, vom spune ci bara nu verificd saunu rezisti.

l l. D!mensionare

1". Se descompun fo(ele exterioare (date) in planele pr.incipale (xOz) gi (xOy).2". Se traseazi diagramele de moment incovoietor My gi M. .

3o. Se identifici secliunile periculoase:

(1) - cu lMrl.",(2) - cu lM.l.""

gi se formeazd perechile de eforturi:

4". Din scrierea condi[iilor de rezistenld in secliunile (1) gi (2) la limitd, considerAnd o

vatoare a coeficientului de formd al sectiunii k = I! , se obtin doud vatori i*'l]']""w' lwJ'"L"dintre care se va alege Wn"" = max(Wjt}",Wj'*")

Coeficientul k se alege in funclie de forma secliunii:

' secliune dreptunghiulard: k = I = f,S...Zb

. profile laminate: k = 5+g5o. Se aleg dirnensiunile sectiunii

. secliune dreptung hiulari:r h .h;""lw..- - =:!ee---

din I Yr"@ 6

lr, = !,*I bnu.

Rezistenta materlalelor ll

. profile laminate: din tabele,

incAt sd av€Bt Wy,et 2 Wy,n"".

Se stabilegte gi valoarea W.* gi se verifici condiliile de rezistenli in secliunile

y (2) cu valorile Wu."r gi W.."r.

Dacd cele doui inegalitdli sunt ?ndeplinite, alegerea de la punctul 5" estenzdtoare; daci cel pulin una nu este indeplinitS, se revine la 5", se aleg

mai mari gi se parcurge apoi pasul 6", pdni la validarea dimensiunilor alese,

nncircare capabili

Se extrag forlele exterioare date in planele principale (xoz) 9i (xOy).

Se traseazi diagramele J!*tl ", diagrame elementare (din fiecare incircare).

l(M.) '

il"aroarea maximi a momentului incovoietor M, sau M. . in aceste secliuni k, se formeazd

f ln r(k)l

p'enechile de eforturi .]1'''v | , 61n1pg care le vom pSstra doar pe cele in care intervine, cel

llN49'lmufin in una dintre componente, incdrcarea capabili necunoscuti..1". Se calculeazi caracteristicile geometrice ale sectiunii.

5'" Din scrierea condi{iei de rezistenli la limiti (folosind toate combinaliib posibile

ae semnelor termenilor din Mugi M,) in secliunile de la punctul 3o, se oblin mai multe

*alori pentru incircarea necunoscuti.

5'. Adevirata incdrcare capabili este valoarea pozitivd gi minimi.

Trasarea diaqramei tensiunilor normale totalg

Trasarea diagramei de tensiuni normale (o|')se face in mod similar cazului

rrncovoierii oblice cu fortp coplanare, cu urm5toarele menliuni:'r'. Se cunosc componentele momentului incovoietor total Mugi M, (considerate cu

semnul 9i valoarea lor din secliunea indicatd).

2". Unghiul ,,B" fdcut de axa neutri (n-n) cu axa Oy. se va mdsura in acelagi cadran gi in acelagi sens cu unghiul o,, ce ar

corespunde momentului incovoietor total de pe secliune

M:v/Nl;+r\4

gi care are sensul inspre acesta;. va avea valoarea dati de

r,nnr=f ffi

:h1

Rezist€nla matcrial€lor ll 81

@

| {z)I VO = 162,14 11t1I

56,42 56.53

Figura 1;64

Din componentele fo(elor din planul xOy se traseazi diagrama M,, se poateildiffza suprapunerea de efecte:

P., sin tr = 6,34 kN

(2) (1)

Figura 1.65

--rd


/ EXEMPLE DE CALC]UI

Q Exemplul1.l4: Pentru grinda din o{el OL37 din figura 1.62, gtiind cd rezisten{a decalcul a materialului este R = 210 N/mm2, se cere :

a) verificare;

b) sd se reprezinte diagrama tensiunilor normale in sectiunea C"' (la st6ngaforfei P2).

=15kN

Figura 1.62

Rezolvare:

a) Verificarea qrinzii1o. Se descompun forlele exterioare in cele doui plane principale. Cu exceplia fortpiPr, toate fo(ele se gesesc in planele xOy gi xOz; in consecin{d se proiecteaze fortainclinatd pe direcliile axelor y 9i z (figura 1.63).

q = 20 kNlmP, cos u='13.59 kN

P' sin u = 6,34 kN

I

Figura 1.63

2o " Din componentele fo(elor cuprinse in planul xOz se traseazd diagrama M, (figura1.64)

3m

Ir 10.kNIi

r


3". Se identificd secliunile periculoase;

(1) - unde avem ltttrl*- la 3,107 m in dreapta reazemului A ;

(2) - unde avem lM=1,u. ---t la jumitatea deschiderii'

Se stabilesc valorile momentelor aferente in aceste secliuni:

in secl iunea (1): Mg) = 9: l !1.(-12,68)+ 2'?93.(-15) = -21.03kNm'263

in secliunea (2): Ml'' = 102,14'3 - (20 ul'i = 56.42kNm

Se alcdtuiesc perechile de eforturidin sectiunile periculoase:

flu,,l = ltvtlll= b6,53kNm(1) irt'i"""., = t*i't = 21'o3kNml lv"l .._-. : lvtl, ',1= b6,42kNm

e\ l, v rare€nt ,

1

l lM,l*_ = ryr' l :21..34kNm

Se calcu leazi ca racteristicile geometrice ale secli unii :

It,=,l+f +e 2o) ru']* +=04523,33cm0

| ?ot '2 50'13l t , = z' T.T:2.670,83cma

Jw, = V#g= 2.383,25cm3

lw- = 2'679'83 = 267,ogcm3t10

Se verifici condilia de rezistenld in secliunile periculoase

40

50

- secliunea (1)

, ,.r lMf'l IMY'Il r r ! ' / l + ' ' =l -x l rox Wy W,

= 102,40N/mm2

- sectiunea (2)

56.53.1061.1.m 21.03.106N.m

2.389,75.103mms '

267,09 '103mm'

< R = 210N/mm'?;

21.03 '106N .m

267.08.103mm', ,ar , lMf ' l l r r l t ! ' ' l s6.42,106N.ml - \ . r r = l___j____LI:_________.1- L

t -x tma W, W, 2.389,75.1Oomm'

= 103,51Nfmm' < R = 210N/mm2.

Deoarece in ambele sec{iuni avem ]<r*l<R, spunem ci bara verifici condilia de

rezistentd.

It*


tf Reprezentafea varialiei 4e tensiunilor,normale totale (orto) in C't

1'- se reprezintd intdi pe secfiune momentele din secliunea indicati (cst)

JM, = +50,+2rr'1. m

LM' =-21'34kN'm

T - linand cont de formula lui Navier, se traseazi diagramele (oI' ) gi ("y= ), stabilindgnnele acestora.ili"- Valorile extreme ale tensiunilor se calculeazA cu relafiile:

I r rcql

ryl=, !9'q1?'.T * - =23.61N/mm2

Wy 2.389'75 ' 10'mm3 --'- " '/ " "

lu9" ' l - 21,34.100N.rvv' 26T,08.ro'r#

= 79'9oN/mm2 'g respectiv

- Se stabilegte sensul in care trebuie misurat unghiul cr (format de citre vectorulmnprnent total de pE secliune gi axa oy) si unghiul p, format de axa neutri (n_n) cu

axi. Mdrimea acestuia din urmi este1.. lM_l _ 64.523,33cma 21,34kN.mI tg9l=*.- : : ' , ' l ' r ' ' i '=9,1375941' - ' ' I, iMrl 2.670,83cm4 S6,4zkN.m

-+ F = 83o45'

Omin :103,5i tl/mm2

gmax =

- 103,51 l{/mmZ

Figura 1.66

^;fl

Rezietenta materialelor'!l

5o. Se reprezinti unghiul p (in acelagi cadran 9i in acelagi sens cu unghiul fictiv a,oblinAndu-se pozilia axeineutre (n-n) pe sec(iunea consideratd.6". Se duc paralele la axa neutrd (n-n) prin collurile cele maiindepdrtate ale secliunii

9i, fald de o linie de referinli normald la (n-n), se reprezinti diagrama liniari (o*tot), cuvaloare nuli in (n-n).

7". Prin Tnsumarea valorilor din diagramele tensiunilor simple, se oblin:

Jo'u* = 103'51N/mm'

lo',n = -103,51Nfmm'? '

f,E Exemplul 1.15: Si se dimensioneze consola din figura 1.67, solicitatd la incovoiereoblici cu for{e necoplanare, ?n variantele:

a) ca secliune dreptunghlutard [f = r[ = 1,S1, Oln lemn avdnd rezistenla de calcul\D)

R=13N/mm2;.

b) profil laminat l, din OL 37 (R = 21ONlmm'z).

. - .> x

vz

Sd se traseze diagrama de varialie a tensiunilor normale ("1") in secliunea de

incastrare, pentru ambele variante.

P2 = lokNPr = 10kI

q=3kN/m

Figura '1.67

r l i2ml

l l l

fff i'l ffit-->v+ r^ l \ r

Y


Rezolvare:

a) Dimengionarea consolei1". se descompun forlele exterioare in cele doud plane principale; deci, seproiecteazi forlele inclinate P1 gi p2 pe direcliile y gi z (figura 1.6g).

2o. se traseazi prin suprapunere de efecte diagramele M, - din fo(ele din planul(xOz) (figura 1.69) 9i M, - din fo(ete din ptanut xOy (figura 1.70).

P., sin a = 8,19 kN

Pt cos fi - 4,83 kN

85

sin P = 1,29 1*

x

foqe in oplanul (xOz)

' - ' - .> x

/G\(M, i i\_1,/

+/-;\\Mu' /

\__!/

/1hI r . ' - ' I

Yv-/

Figura 1.69

-i

Vz

I

| 8,19

86 R6tlstenla materialelor ll

forte fnplanul (xoy)

P, sin fl = 1,29 kl

"- ' - '> x

Q=3kN/m

F1 coscr=5,74kN

2m

I s,zqI

Figura 1.70

3o. Se identificd secliunile periculoase. Se observi cd cele doud secliuni coincid,

lM.,l si lM-l producindu-se ambele ln lncastrare. Eforturile sunt:I v lmax. | . rmax .

flrvr | = 22,6BkN.mI l ' ' ' Y 1."* -

lnr- t = 15,3zkN .ml l " 'z l6u,

4" " Se scrie condilia de rezistenli sub forma.

/P\w+

@+

/-t\tM- ' l\i,/

=

@

lo*l*""=# (t, l*r< lH,' ' l) :n

. in varianta a (sectiune dreptunghiulari, din lemn) k = W-''n* : I =,|,U astfel ci :'w'*b

w,,n*=e+y,l== 3.1 58,10' 103mm' : 3.158,10cm3

. in varianta b (secliune profil laminat l, din OL37), alegem k = 8, $i rezulti:

Rezistenta materialelor ll 87

Wy,n* = =

= 693,52. 103mm3 = 693,52cm3

Se aleg dimensiunile secliunii:

= b"t" 'hfu6. varianta a:

. varianta b

--t

!* Sl*L = 3.1s3,1ocm36

i . 6€J58Jolo"*

=il=-rr.= =21,09cm

Lhn"" = 1,5. bn* = 31,64cm

s fb=zzcm

e aleg {i = a-", , pentru care se obline

[ ,^ , 22-322 ^ E1 .

lW,' ' : :3'574'67cmg

I i2.22'lW'., = = 2'581'33cm3to

. varianla b; din tabelulcu profile laminate l, se alege profilul | 32, avdnd:

IWr,* = 782cm3 t Wu.n"" :693,52cm3

l r l t ata^*3lvvz,ef

=o+,/rr i l r ,

5'. Se verificd sectiunile alese, lnlocuind in condilia de rezistenld valorile efective alenodulilor de rezistenld Wy,"r , W,."r :

. varianta a

l l 22,68.100N.mm 15,37'106N.mmr"xrmax,ef 9.T54,67.103mm3' 2.58133.103mm3

= 12,00N/mm' < R = 13N/mmz

---+ secliunea aleasd, avand {? =::"*

este corespunzitoare.lh = 32cm

22,68.106N'mm . 15,37' 10uN'mmlo*1,"","782.47,103mm3 84,70 - 1o3rnm

= 210.47 Nlmmz = R = 210N/ mm2

, *a/


@bservatie: in general, in Rezistenta Materialelor (ca 9i in proiectarea curentd)se admite depSgirea rezistenlelor Tn limita a 3o/o; de exemplu, dacd avem lorl*u" > ft =210 N/mm2 trebuie ca fo'*1,,. < 1,03,R = 216,3 N/mm2.

b) Reprezentarea tensiunilor normate totale (o*rot) in sectiunea de incastrare. varianta a (secfiune dreptunghiulari)

,,,. =?#= 60.074,67cma i t.,ur = g#:28.3e4,67cma

Foot = f ifri = #gif# gH[tH =143378e5*0=55"06' .

Diagrama tensiunilor normale este reprezentati ?n figura 1.71.

\c x ',/v 6.04

smin

12,O4

"f tnt

Figura 1.71

. varianta 6 - din tabelele cu profile laminate I se obtine:

f t = r2.519664I rv,ef - r /

J

' l'''"t = 555cma

a?.510cm4 15,37kNmgi rezulti ltgFl= -ss#m?- _,

=11,2zs4g

-B=86"15'Diagrama tensiunilor normale totale este reprezentatd in figura 1.72-


181.46

I

I

Mz= 15'32 lr--Ll

omax210,46

' i l (n)

Figura 1.72

EIExernplul l . l6: Pentrugr indametal icddinf igural .T3(R=21ON/mm'),secere:

a) stabilirea incirciriicapabile P,,oo, din condilia de rezistenli;

b) cu valoarea inc&rcdrii capabile determinate la punctul precedent, si sereprezinte varialia tensiunilor normale (oft) in secliunea maxim solicitatd.

Pe=3i<N

qr=5H

f>

Figura 1.73

@29,00

/G\\6x ,/

600 x io-l

.-...t

Sezielgnfa malorialglor ll

Rezolvare:

a) Stabilirea incdrcirii capabile p,,*o :

1o. Se traseazd diagramele de momente prinsuprapun$b'fo efecte

'Mv,i (i =14 , din fiecare din cele patru fo(e elementare din planur xoz(figura 1.74\;

' Mzi (i=1p, din fiecare din cere doud forfe erementare din flanur xoy(figura 1.75).

Pz = 3 kttt

fo4e lnplanul(xOz) O

@,=ff*

@.=@*

@,=@

@,=@

@'=@/*

(0) (1I(

figurA t.ZS

+ 2.5ro , +. 2,5n )(


2". Se identificfr secliunile unde ar putea sA apare momente incovoietoare extreme:. lMylr"* poate sA apari in sectiunile:

(1) - in dreptul f04ei P1'(2) - la jumitatea deschiderii(3) - pe reazemuldin dreapta

' lMTlmax poate sd apari in secliunile-(0) * pe reazemuldin stAnga(1) - in dreptul fo(ei P1

Valorile din fiecare diagrami, corespunzfitoare acestor sectiuni, s-au stabilit dupdcum urmeazi:

^ [( t r , t") , ; (M"). ;(M")o;- in { ' ' ' - ' Dr in asemdndri[ (M.) , ; (M.) , ;

- in (Mr)z , pornind de la schema stafice de grindd simplu rezematd incircati cu

fo(a uniform distribuiti q {determindnd rea{iunile + 9i, apoi, valoarea

momentului in sectiunea curentd (in cazul nostru, x = 2): L

M{x)= q ' I .Z-(o.x} . " - 4 5 . t - ! t t .e\ . 2 - ,2 , , 2=i .2_\4

2 ' i . ; i2,5ki im

[,1(x) = 12 kNm f _

'r.u *".

Figura 1.76

Astfel, au fost oblinute valorile precizate mai sus in cele patru diagrame (Mr) gicele doud diagrame (M.) ; cu aceste valori se formeazi perechile:

(Ml

(0)

(1)

(?)

(3)

Jln,ri''l=okNmlluf , l=1okNm;

ll ml"l = lt,ozr, + 12 - 0,8 - 1,zl= t1,02P1+ 10) kNm

lltl,i= l- o,o+n, + al kNm;

{l ui"l =10,65q +12,s -1'1,s1 =(o,BSp, +10) kNm

ll*f,l = l* o,srq + sl kNm;

Jlrtrf'l= SkNm

I n,ti',I = lokNm ;

;


Se vor pestra doar perechile (1) gi (2), intrucAt in celelalte doud nu intervinenecunoscuta (P1).3". Se calculeazi caracteristicile geometrice ale secliunii transversale a grinzii:

f , ^ l to-z ' ,nn ̂ ) .31r. l* r .g=o' =. i33.360cmoi '= ' ' lu*\ou'z/ ) n

l , - =r . t l l 'o69," =e.oo5cmal . ' 12 12

l*" = tut=-uuo =4.167,bocm"| "v 32

lw- = g'oos

=600.33cm3{ '15

4". Se scrie condilia de rezistenld la limitd (lo*lrr* = R) in secliunile (1) gi (2), linfindcont de defini{ia modulului; agadar, in cazul termenilor cu semn incert, vom considerasuccesiv semnele t pentru termenul respectiv,

. secliunea (1)

( t ,oz.p, + to) . tou t t .mm * (- 0,64.q + o) . tou t t .mm = z ' ,n N

4.167,50 .103 mm3 -

600,38 . 103 mm3 - - ' " mmt

(0,2447 5 . P, + 2,3995 ) + (-,|,066 1 . P, + 9,9945 ) = 2 t O

p,(')=-A+0,sgt<trt rr i) r

Pfrr) :166,00kN -0 'M l1\ '

(o,es.q + to) tou Nt. f f i f f i . ( -o,se.p, * 5) . 106 N.mm .,n N@ - OOO^g3.10tr" f - -=z1u r

(0,20396 . P, + 2,3995)* (-0,S82825 .R + 8,3288) = 210

Oblinem:

. secliunea (2)

Oblinem:

5o. Valoarea realS a forleicapabile P',""0 va fi cea pozitivd si minimd dintre cele patru

valori oblinute la 4" .

Rezulti R,*o = 166kN .

b) Reprezentarea diaqramei tensiunilor normale (o*tf in secfiunea EgximEolicitati1". se traseazi mai intai diagramele momentelor incovoietoare (My) gi (M,) pentruP, : P',"uo (figui-a 1.77 9i i.78)

\-o

Rezlstenla materlalelor ll 93

forle inplanul(xoz) O

P, ".0

cos 32" ,!= 140,78 kN

P2 =3kN

! uf)=jtr,ur r*I "B- l! r I

n = 4-KN-rm

8= as'ls rNtuXL.o,t* ** |

lz\ |

Vn = 93,47tkltl

2i

178,94

Figura 1.77

Figura 1.78

z

93,4

III,II

forfe inp!anu!/vf"h;\ n\ . !Y, /

n=ckNr -m

I*Y

I*V

.d

rI


2o. Secliunea cea mai solicitatd este cea in care actioneaze P1; momentele

lM, = +128,94kNm ;Tncovoietoare in aceastd sectiune sunt: i '

' tM' =- 99'56kNm

3". Pentru a putea reprezenta diagrama (o*tot) Tn aceastd secliune, se determind

unghiul I de inclinare a axei neutre:

99.56 kNm= 8.2398504

178,94 kNm

4o. Diagrama tensiunilor normale totale, precum gi componentele acesteia pe axeleprincipale ale secliunii sunt reprezeniate in figura 1.79.

/ [ r \I - ' ' 'z Iyx. /\,-/

185,84

i / : f *---{ t i l ,

- -_---- . - .L \\

1. . lM. l 133.360 cmal+anl - ; ! I - r -l -vrr l , lMr l 9.005 cma

- P=83"04' '

. - -_- ! -

ivlr, t'.1 r0Itct

\Mz= - 99'56 Sm

1tVmm21

--- . - . -> yMy= 178,9+ kl ' lm

_\_ __

('min

- 208,78

' i l (n)

f-l\y

dmax

208,78

't i")

Figura 1.79

PT

-

6r l

inc


PROBLEME PROPUSE

c Problema 1.1: Un stdlp metalic avand secliunea gi incircdrile din figura 1.80 este"castrat intr-o fundalie de beton.

1. ConsiderAnd incdrcirile: P = 700kNH= 50kN

Q = 1OkN/m,se cere:

a) diagrama tensiunilor normale in secliunea unde aclioneazd forla H;b) diagrama tensiunilor normale in secliunea de incastrare a stilpului in

fundalie.2. Pentru ipoteza de incdrcare cu: P = 700kN

H= 50kN

I = OkN/m,se cere: diagrama tensiunilor normale sub fundafie.

Se neglijeazd greutatea proprie a stAlpului, iar pentru betonul din fundalie se::nsiderd greutatea specificd To = 25kN/m3.

- .+ y

Figura 1.80

Eo<*

.i

profil U30Ar = 58,8 cm"1", = 8030 cmol,r = 495 cmn

t,


Rdspunsuri:

1. a) o,"" =20,39N/mm2;

Y" = 1'445,8mm;

b) o."" =96,42N/mm2;

Y" = 90'33mm ;

2. loi*"* = 0,374N/mmz;

G'in = -1 1 9,27N / mm'z ;

zn=-113,42mm.

o'in = -195,30N/mm2;

Zn =99,24mm.

a=1,728m.

t,-\* a* Problema 1.2: Pentru bara din figura 1.81, se cere :

a) trasarea diagramelor tensiunilor normale din fiecare efort gi totale, precizAndpozilia axei neutre;

b) sd se determine valoarea tensiunilor normale totale in punctele 0; 1; Z;3; 4; 5;6; 7; 8; gi A, de coordonate y = -Scm 9i z = +10cm.

Figura 1.81

Rdspunsuri:a) or"" = 12,5N/mm2;

Y" = 6'67cm;

b) or = -7,5N/mm2;

o+ = +5N/mm2;

oz = -22,5N/mm2;

on = -15,42N/mm2 '

o'in =-22,5N lmm2;

Zn = -7,5cm'

oz = +2,5N / mm2 ;

o's = -2,5N/mm2;

os = -15N/mrn2;

os = +12,5N/mm2;

oo = *12,5N/mm2;

oo = -5N/mm2;

i.. r|FProblema 1.3: Un stAlp din beton incastrat labazd este solicitat ca in figura 1.82.I '. ' $t i ind cd rezistenlele de calcul ale betonului sunt R" =12N/mm2gi R,=2p7ntm2, se

cere:a) sd se determine sarcina capabild Q."o;b) cu Qoo determinat, sd se reprezinte diagrama tensiunilor normale totale in

secliunea maxim solicitatd;c) care trebuie sd fie valoarea fortpi Q astfel incit in sec{iunea maxim solicitatd

sd nu apard intinderi?

itL

$

Rezistenfa materlalelor ll

Figura 1.82

' - '> y

la= 25kN/m3

j 'I t

, f ,I r

ZtI

I

f

I

I

t

I

,a

a

Rdspunsuri:a) Q""o = 10,27kN ;

b) 6ra" = 2N/mm2;

Yn = -202,7mm;

c) Q = 6,94kN.

o.in = -1 0,33N / mmz ;

zn =272,1mm '

lProblema 1.4: Stdlpul gi fundatia lui (figura 1.83) sunt confectionate din betonsinplu Bc10 iyo = 22kN/m3, R" = 6,5N/mmz gi Rr = 0,6N/mm2).

Se cere:a) sd se verifice stdlpul gi si se traseze diagrama de variatie a tensiunilor

normale la baza sa;,, b) sd se verifice fundalia, gtiind cd Pr=0,2 N/mm2 gi sd se traseze diagrama

tensiunilor normale pe talpa ei;c) si se stabileascd pozilia stdlpului pe fundafie astfel incAt toatd talpa ei si

fie activd.

98 Rezlstenta materialelor llf'tI

q=4

0.6 m

z <-.-

(i) stdlpul dispus centric pe tundage

(il) sHlpul dispus exc€ntric

Figura 1.83

Rdspunsuri:a) 6* = 0,12N/mm2;

b) lol*:0,199N/mm'z;c) x:56mm .

o.tn = -0,54N/mm2;

a = 858mm.

z" = 189,8mm.


f Problema 1.5: Un st6lp metalic (OL37, R = 210Nlmm2) de sec{iune dreptunghiulardeste incastratlabaze, ca Tn figura 1.84.

Se cere:

a) considerind raportul laturilor |: Z, si se dimensioneze stdlpul;D

b) sd se reprezinte diagrama tensiunilor normale in secliunea de la bazast6lpului.

q=5H

Figura 1.84

Rispunsuri:a) bn* = 84mm ; se alege b = B5mm, h = 170mm ;

b) o.* =+188,43N/mm2i 6în =*za2.}zh{lmm'; axa neutri este paralelS cu

oY; Y" = -1,5mm.

r Problema 1.6: Pentru zidul de sprijin din figura 1.85 se cere:a) verificarea secfiunii de la baza zidului, gtiind cd rezistenlele de calcul ale

betonului sunt R":4,7N/mm2 gi Rr =0,5N/mm?, iar greutatea specifici a

mater ialului yu = 22kN/m3;

b) verificarea blocului de fundalie, confeclionat din acelagi beton, gtiind ci

presiunea admisibili pe teren este p, = 0,3N/mm2;

c) si se reprezinte varialia tensiunilor normale la baza zidului, 9i pe talpafundaliei.

-!-


100 kNlm'z

Figura 1.85

Rdspunsuri:a) 0.", = +0,15N / mm'; or,n = -0,51N / mm2 :

| | a^^^. . , 2

D) 161,"* = u,JUZr\ / mm- ;

c) a = 1,02m.

a* Probfema'1.7:Pana de acoperig din figura 1.86 este confeclionatd din lemn gi areh

secliunea dreptunghiulard, cu i = 1,5 . $tiind cd rezistenla de calcul a lemnului esteD

R = 10N / mm' . se cere:a) dimensionarea panei;b) reprezentarea variatieitensiunilor normale totale Tn sec{iunea maxirn solicitate.

Figura 1.86


Rdspunsuri:a) bnu" = 13,17cm ; se alege b = 1Scm, h = 20cm ;b) 6max.min =+8,21N/mm2; F=35o41'18".

ft Problema 1.8: o bari de secliune 130 confeclionati din olel oL37 (R = 210N/mmr;E=a1.105N/mm2) este solicitatd ca Tn figura 1.87.

Se cere;a) determinarea valorii maxime pe care o poate lua forla P astfel incdt bara sd

satisfaci condilia de rezistenle (p",e );b) cu P""o determinat, sd se traseze diagrama tensiunilor normale totale in

secliunea maxim solicitatS;c) si se calculeze sigeata in secliunea maxirn solicitati, aplicind metoda grinzii

fictive.

Pentru profilul 130 se dau : lu = 9800cma; l, = 451cmo;

W.=72,2cmt 'Wv = 653cmt;

Figura 1.87

Rdspunsuri:a) PSJ = 1436kN, P[? = 24,83kN * P*o = 14,36kN.

b) secliunea maxim solicitatd este C; omax,min=t210N/mmt; tgp =4J,45i

F = 88o 40'56' .c) vc =2?96mffit wc =9,24mmi fc=2297mm.

-t-1- l

Elol(f, I

I+


Capitolul 2

STAREA GENERALA DE SOLICITARE

2.1 STAREA DE TENSTUNE PLANA (STP)

Starea de tensiune pland (STP) se realizeazi c6nd vectorii tensiune suntcu un plan dat (xOz).

. Varialia tensiunilor in jurul unui punct (figura 2.1)Pe o secliune cu normala n careface unghiul cr, cu axaoz, tensiunile

o" gitangenliale r" sunt date de relafiile:

"" = 5i9* o*

io' ."os2cr + ro. sin2o

ro = a79..cos 2d.-r*..sin2a

unde o*, o. gi x". sunt tensiunile in secliuni normale la axele de(o, = 0, T*y = Tyz = 0 ).

Figura 2.1

'Directiile principale reprezinti direc{iile o pentru care tensiunile normale o auvalori extreme (maximi, respectiv minimi) gitensiunile tangenliale t sunt nule. Ele sestabilesc ca fiind soluliile ecua{iei:

tg2o = 2'uo* -G,

gi sunt intotdeauna ortogonale.. Tensiunile principale care apar pe direcliile principale,

6. = 6r* respectiv 02 = omin 9i au valOrile:

o', - 9l%*

(2.1a1

(2.1b)

(2.2)

se noteazd cu

\2o" *o. I2) ' 'p


. Din studiul varialiei tensiunilor in jurul unui punct se pun in evidenla cei doiinvarianli :

I t r=o-*6.=61 +02

f f , =o* .6r-a 'o=0r.02(2.4)

Aceste mdrimi nu-gi modificd valoarea in cazul rotirii axelor de coordonate.. Tensiunile hngentiale extreme apar pe direcliile bisectoare ale unghiurilor

formate de direcliile principale gi au valoarea

(2.5)

. Starea de tensiune plani la bare se caracterizeazd prin 6, :0.

. Traiectoria tensiunii principale este infigurdtoarea liniei poligonale caremarcheazd direcliile principale respective in punete sueeesive.

2,2 STAREA DE TENSIUNE SPATTALA (STS)

Starea de tensiune spa{iald (figura 2.2) este complet determinatd de tensorultensiunilor

["" rry "-l

t= l"* Gy ' " ILTo try o.l

(2,6)

ln baza pr incipiuluidual i tSl i i tensiuni lortangenl iale (r"y =ry* ,rw=a"y gi t* =t*,)

tensorul (2.6) are doar gase componente distincte gi este simetric.

. -+ y

. Directiile principale, pe care tensiunile tangenliale t sunt nule iar cele normaleiau valorile extreme 6r ) Gz > o' se stabilesc cu ajutorul cosinugilor directori:

- (o* -or)

Lmax/min * - 2

l lI

i- tr "Yx

, i ,to, - '

104 Rezistenfa matErialelor ll

eu"ex

eu avV = -+- 'I xY

ay ax'

dtc,. - - .y

aY.

Av Aitv =_+_'I \z az 6y'

Awt - - - .'Az

a,v 0u1/ --"{--I4

ox Dz

(2.7)

se obtin

solu!iile

{2.8)

(2.12)

f r ) -_ (", - o)' .* - rw.\,y

[ 'nJ--(m) _ (o- -o) ' r r . - r - ' ?,y

t;,r-;{G;t6:af l l ' . [ ! ) ' *1: f 1) '\n/ \n/ \n/

In expresi i le (2.7) se ?nlocuiesc succesiv G=61 r G=oz gi o=o, gi

cosinusurile directoare ale normalelor tensiunilor principale.Directiile principale sunt ortogonale.. Tensiuni le normale pr incipale intr-un punct (o,>02>o.) sunt

ecuatiei seculare ot - l,o' + lra * l, = Q

unde 1,,1, gi l, sunt invarianfii.

' Invarianfii, in cazul spalial se definesc cu relaliile:

f l , = o* +ov +oz = oj +o.2 +ogI I z z z\'1 f , = o* 'cty +oy'oz +oz'o" -( t , r ' +rn '+r.* ' )=or '62+e2'o,3 +o3'01 (2.9)

l , t 2 2 r \| | ,

= o^ 'oy 'o. - {o* 'Tyr ' + ou ' to ' + or ' r*r ' )+2tru ' rn 'T- = o.r .oz .os

'Tensiunile tangenliale extreme se produc ?n planele bisectoare ale planelorprincipale gi au valorile

lrr,sr : *9?t rp,2.r = *9*t 12s,s2 =* q;9. (2.10)

2.3 STAREA DE DEFORMATTE SPATTALA

. Deplasirile unui punct al unui corp sunt precizate dupd axele de coordonate:u - dupi axa Ox;v - dupi axa Oy;w - dupi axa Az.

. Starea de deformatie in jurul unui punctl - l - - - -1! : t^-uet( , r t l taU| lur

I tI '- ir',

_ l1r" =l ;Yr* Ey

\ i1lr'^ zY"

care este simetr ic (7*, =y* , Tw =\.y, \o =yo).

. Legitura intre deplasirigi deformalii este stabiliti de relafiile lui Gauchy :

este precizatd complet de tensorul

eTrl

^ lv lzl1 u | 1z. t ty2'o I

I€- l' t

"" =*[o. -p(o- *oo) ; r- =3

- ln cazul stdrii de tensiune pland (o. = Q;4

cr =;(o. , - l r .or)tr1t \

rz ==(oz-t l .orJtr

Fr* , - rq3 --E\ul f v2tr f

Sbservatie:Deformafia specifici de volum (2.13) rezulti, prin adunarea relaliilor (2.15) ca

fi[nd egald cu 1-2u8-. =-. ; -"E

in fun{ie de aceasta, legea lui Hooke generalizati se poate scrie sub forma:o" =} ' .e,+2.G'e*; T,y =G-y"y

or=1"-€,+2.G.er; r r==G.Tn

6.:)u-eu+2'G,e. l r* :G.yo

(2.18)

G_

9i

1-

se numesc constantele lui Lam6.

E,4+D


' Invarianlii se definesc analog stdrii de tensiune spaliald. primul invariant aldeformaliilor €o = r* +ay +rz = s1 +€2 +6s (2.13)este deformalia specifici de volum.

2.4 LEGATURA INTNE CONSTANTELE ELASTICE

lntre constantele elastice E, G gi pr (modulii de elasticitate longitudinal, respectivfran-<versal si nnpfiniantrrl lrri Fniccnn\ awic{6 ralafia,r v v^rgrq .ets i iq.

trrJ=-

2-(1+ p)Legea lui Hooke generalizatiLegea lui Hooke exprimd legdtura dintre tensiuni gi deformalii prin

relaliilor: - ?n cazul stdrii de tensiune spaliald

1r / \ ' t 1 ' 'e* =, [o* -p(o, +o.Jl ; y, =

61f z r l T."

"u: E [o, -F(o, +o-)l ; yr, =ff

(2.14)

intermediul

(2.15)

(2.16)

(2.171

(2.1e)2'p 'G1-2.v

:)tfl


2.5 TEORTT DE REZTSTENTA

Prin stare de solicita." litita (SSL) se inlelege un nivel de ,solicitare laatingerea ciruia se modificd proprietilile mecanice sau geometrice intr-un punct alcorpului.

Valoarea rezistenlei de curgere (o") la materialele ductile, respectiv rezistenla larupere (o, ) pentru cele casante reprezintd valori caracteristice ale $SL. Valorile o" 9i o,se determind experimental.

Aprecierea stdrii de solicitare in cazul unor stdri de tensiune complexe se faceprintr-un factor caracteristic care descrie:

starea de tensiune intr-un punct---+ tensiuni principale (o., , or, o. );* tensiunitangenfiale maxime (r,u* )letc'

- starea de deformatie* deformatii principale ( el , e. , e. );

--r deformatia specifica volumica s.,;

etc.starea energeticd

{# ---+ energia potenliald de deformalie W";

-+ energia potentialS de modificare a volumului W,;

-+ energia potenliald de modificare a formei W,.9bserva,tie: intre starea de tensiune gi cea de deformalie existd o legdturi

biunivocS, exprimatd prin legea generalizati a lui Hooke (2.15), (2.16) sau (2.18).in stdri de solicitare complexe (definite prin tensiunile principale or ) o, > o, ),

condilia de rezistenli se exprimd sub forma:0".h ( R

in care oech este o funclie de tensiunile normale principale:

o""n = f(or,o,o.)

(2.20)

(2.21)gi reprezintd tensiunea normald care ar trebui produsd [a intindere axial5 pentru a obtineo stare de tensiune cu acelagi grad de periculozitate ca al stdrii generale de tensiune(figura 2,3).

Figura 2.3


Alegerea criteriilor pe baza cerora se definegte oech con$tituie obiectul Teoriilor* rezistenfi sau Teoriilor stirilor de solicitare limitil, prezentate succint in,cmntmuare.

1". Teoria tensiunilor normale maxime (teoria l)Se presupune ci starea de tensiune dintr-un punct din corp este caracterizati

pnr tensiunile principale 6t)62>or. Ruperea rezulti atunci cdnd o,u* =o["", unde,n1'* este valoarea limiti in solicitarea etalon (intindere sau compresiune axialS).ffierrltd condilia o, < R, 9i deci oech = ol (2.22a)

(2.22b)

Dacd o, < 0 , trebuie verificati gi condilia lo.l< R", ceea ce conduce la:

O.^r = 16.l

2'. Teoria deformafiilor specifice liniare maxime (teoria ll)in aceastd teorie se alege drept criteriu deformalia e,"* , adici r, < eL"", unde

ffi are aceeagisemnifica{ie ca gi o$"*. Rezultd

o, -F.(o, +or)<R,

o"*, =or -p.(o, -o. . )

Ca gi in cazul teoriei l, daci rs < 0 , trebuie verificati 9i condilia

lou-p.(o, ,*or)<R,

o*r, ,= los - p .(o, + or)

3". Teoria tensiunilor tangenliale maxime (teoria lll)Aceasti teorie consideri ca gi criteriu de apreciere a nivelului de

rs'lsiunea tangenliali maxime

"r* =9L_5<to-. .

2 - -max

rnr valoarea lirnitd la solicitarea etalon va fi

n o9-ol Rf -'max

2 2

o,-or(R

Omh = Ol -o3

*,=#h,-orY +(o., -o.f *(o, -o.,f]

Rezultd condilia de rezistenli

s (2.24)Aceasti teorie este aplicati numai materialelor cu rezistenle egale la intindere gi

oornpresiune (R" = R, = P 1.4". Teoria energiei potenfiale de modificare a formei (teoria V)Se aplici, ca gi precedenta, numai materialelor cu R" - R, = R . Parametrul de

unparalie adoptat este energia potenliald de deformalie care corespunde varialiei{armeiW

(2.23a)

{2.23b)

solicitare

(2.25)

;


girezulti (2.261

5'. Teoria stiirilor limitd de tensiune a lui MohrAceastd teorie se bazeazd pe observalia ci atingerea stirii frtitd este foar6

pulin influenlatd de tensiunea intermediard or. in esenld, ea este obktffiere a teoridtensiunilor tangenliale maxime la materiale cu rezisten{e diferite la intindere gicompresiune (R" * R,).

Tensiunea echivalentd rezultd

Pentru valoarea limitn Wf se obline Wf = 1;lp R'

l tv " ,o*n = {Z [or - oal * 1o, - orf + (o. - o,)']

oech = 61 -fi:".

@bservafie: Dacd STP este considerati ca un caz particular al stdrii de tensiunespaliald (o, > o. > ou ), rezultd de fapt

",=9U*|J"++*oz =0

""=;-!"e;n*Expresiile tensiunii echivalente o"* la bare sunt date maijos:

oech =| . | "W *""

o""n =?o *1:1,1;, *oa

ou"n = JJt *41

o*n = Jo'*3t '

o*n=[,-*E.[,.*)**ttAlegerea teorieide rezistenfi se bazeazd pe modulde rupere a materialului

(2.27)

. in teoria o.""

. in teoria e*"*

. in teoria r,,,"*

. ?n teoria W'

. in teoria Mohr

. materiale casante

teoriide rezistenli utilizate I . o,"*. tr*

materiale : beton, fontd, o{eldur, sticli;. mateialele ductile -+ prezinti rupere

de tensiunile tangenlialeteoriide rezistenli utilizate i . oro^

.W,

materiale : olelde construclii, aluminiu etc.

-+ prezintd rupere prin smulgere, produsdde tensiunile normale

lunecare, produsipnn

Rezistenfa materialelor ll 't09

/ EXEMPLE DE CALCUL

trl Exemplul 2.1: Si se studieze starea detensiunilor

( ,'tT- =l -"

\ !a

tensiune pland definitd prin tensorul

uJo) [*/"']r*,) (1sol= l

6,) t 50 (figura 2.4,a).

Figura2.4

Sd se precizeze tensiunile principale, direcliile principale gi tensiunile tangenfialeextreme.

Rezolvare

. Tensiunile principale se calculeazi cu relalia (2_3)

girezulti: o, = 158,61N1mm2

o,:-38,61N/mm2. Direcliile principale se oblin din (2.2)

tg;.u = 2ro = #L = o,5bb +' G* -6y 150+30

Tensiunile gi direcliile principale sunt reprezentate in fig. Tensiunile tangenliale extreme se calculeazd cu relalia (2.5)

{ o, = 14"23'38"

lctz = 104"23'38"

2.4,b.

t .z =-tz.! ="+- 158'61-+ 38'61 = 98,61N/mm,

gi apar pe direcliile bisectoare ale direcliilor principale.


El Exemplul2.2: Se dd starea de tensiune definitd prin tensorul

(o. r^, r*) (120 80 o )L=1"* Gy rol=l ao 10 ol .

[ r^ x, , o.) [0 O 40)

Sd se determine o".n in diferitele teorii de rezistenld (p = 0,3 ).

Rezolvare

1o, Se determind mai Tntdi tensiunile principale, care sunt soluliile ecualiei seculare(2.8), Invarianlii, care reprezinti coeficienlii acestei ecualii, se calculeazd cu relaliile(2.e):

l , r :o* +o'y +oz =120+ 10+40 =170:

l , =o"o, +6yoz +ozox - f t - r t * "n '

+"u')=12a'rc+10-40+ 4a' f l } -802 =0;

fu =.,"Gr6, -(o*ro' +cr 'co" *o..*r t)* 2r,rr ."co=12a'10'40-(+o'eot)=-208.000.

Ecuafia seculari se scrie sub forma -ao -170o' -208,000=0 .

Se aduce ecualia la forma normald prin substitu{iat . 170

o:X*J="* 3.

Rezultd o ecuatie de forma

xu*Po'+q=0,

unde p = t, -f : +: -e.033,3333

q = -3t, ' * ] t , t , - t " : -2.1703 +208.000 = -155,9259 .103 ,' 27 ' 3 ' " 27Discriminantul ecualiei este

. 1 "

1 , 1, ^^^^^^^rs 1t - - ,^^- .^r , r"

= *r '

- oo'

=, , ( -s.ose,m3)" -a(-57i ,925'103f = -3,31i . i010 < 0

ceea ce inseamnd cd existi trei rdddcini reale.Pentru rezolvarea ecualiei de gradul 3 se apeleazd la formula lui Moivre. Se

calculeazi maiintAi, unghiul ajutitor <p definit prin

3Jdq sJ5(-tss,gzse.1o')cos&p=- -"-* =--" ' : '=u,a28455 -+q=21"32'36"(<p= 21,54948062)

zJlpl' 2Je'633,3333'

Rdddcinile ecualiei normale sunt:.>_.)

- _ L t.t /r^r ̂^^ .^ _ I Js Js.e ea,eaee .cos(zt,s+348062): 1o5,4157 ;^1 -3\ ,v ' l lPi -wo9'

3 ""


2-1-*, :

;ii llnl .cos1* - 1201= ; {5 Jeffiffi5 . cos(- sa,+sos1se8)= -16,6667 ;2-,

*, = i "5

jlpi .cos(e +120')= 6it "ln*t..rtt, cos(r+ls+e+eooz): -8s,74s1 .

Revenind la substitulia ficutd, rezultd tensiunile principale:

Gr = Xl * f .= tos,+t 57 *! :162,0823N/mm'? ;33

o, = X, + ! = *16,66 67 *1J9= 4o N/mm2 :33

o" = X" + !r = -BB.74gt * 170 = -32.0824 N lmm, .

33Se verificd aceste solu{ii

lr = 162,0823 + 40 - 32,0824 = 17A

tz = 162,0823 . 40 + 4A .(* lZ,OeZt)+ (- aZ,OaZ+) . r Oe,oees = ora = 162,0823 .40.(- 32,0824)= -297999,56 = -208.000

20. Determinarea tensiunii.oon in diferitele teorii de rezistenfd:

- dupi teoria tensiunilor normale maxime (<r,"* )

6mh : ot :162,0B23N/mm'?

- dupd teoria deformaliilor specifice liniare maxime (e,u* )

oech = or -P(oe +or)= 162,0823-0,3(40-32,0824)= 159,7070N/mm'z ;

- dupd teoria tensiunilortangenfiale maxime (t,"* )

oech = sl -G3 = 162,0823'(-lZ,AAz+)=194,1647N/mm'?J,, -g t - - - : -

- - - - - l - : - - r - - r : - r - l - - - - r :4---- - t - - - - - - : / t i , \- uupu Lcui la errerglcr Putel luare ue l l luqlruatc a rui l l ret ( vvf I

o*n =dr[o, -or I +(o, *o. f +(o. -o,) ' l=

f,fuur,ourt- 40)' + (+o + zz,oeza)' + (- :z,oez4 - 162,0823)'] = 170 N/mm'

Se constatd cd cea mai restrictivd este teoria lll, cea a tensiunilor tangenlialemaxime.

@bservafie: Daci materialul studiat este ductil (o!el de construclii), avAndvaloarea limiti in solicitarea etalon la intinderea axiald

oL* -- o" = 250N/mm2

se poate defini coeficientul de siguranld al stdrii de tensiune ca fiind

111

c=93"oech

Rezultd, pentru cele patru cazuriconsiderate:

- ?n teoria | (o,". ) : c = ^g=

=\5424 ;162.0823

;


- in teor ia l l (c-^. ) , " :

250 :1.5653 :159,7070

- in teoria ll l (t,u* ) : c = #at =1,2875 ;194,1647

- in teor ia V (W,), "

=* =\4705 .170

F Exemplul 2.3: Pentru grinda metalice (R = 210N/mmt , R, = 150N/mm21 din figura

2.5 se cere:a) sd se traseze diagramele tensiunilor principale o, gi o, 9i si se stabileasci

direclii le principale (1) qi (2) in punctele a, b, c, 0, c', b'gi (a') ale secliunii maximsolicitate;

b) sd se verifice tensiunea principald extremd.

Figura 2.5

z![

d

250

250

Rezolvare

a) Tensiuni si direclii principale in sectiunea maxim solicitati1o. Se traseazd diagramele de eforturi(figura 2.6).

P = 2100 kNMo = 600 kN'm

Figura 2,6


Secliunea maxim solicitati este ?n incastrare:lrlI rmax

tMlI tmax

9bservatie: Dacd eforturile extreme apar in secliuni diferite, se vor verifica dou6mctunigi anume unde apare

(i ) {]yh* $i (2) {*,.*'I larerent

| l l r ""

Y- Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii. Se observd ci secliuneapr-,ezinti doui axe de simetrie, care coincid cu axele principale; centrul de greutate sedi la intersectia lor. Rezultd

,, = z({E+ 30 .2,5.b12s, j+ 1,6 ._1_003 = 527.3e5,83cma

(12 ) 12

w, =4H&=1o.14s,ocm3' 52,5

Momentele statice corespunzitoare punctelor a-b-c-0-c'-b,-a' sunt:S"=S" '=$

Su - Sr, = 30. 2,5 .51,25 = 3.843,75cm3

S" = S"' = 3.843,75 +1,6.25.37,5 = 5.343,75cm3

So = 3.843,75 + 1,6'50 .25 = 5.843,75cm3Se. Se traseazi diagramele tensiunilor normale 9i tangenliale precizdnd valorile inmnmc{ele cerute (figura 2.7,a):

Tensiunile normale se calculeazd cu formula lui Navier: c = YL,Z

- 1 .920 .106= -191,13N/mm2 ; o,, - -.6a = 191,13N/mm'?

10.045.6 . 10'

=2.100kN;

= 1.920kNm .

o;

- 1.920.106oo = Uprffi|6;.50

= -180,03N/mm'?I or, = -ou = 180,03N/mm2

- 1.920 . 1n6

"" =

Uffia.25 = -91,01N/mm2 ; o", --6" =91,01N/mm?

oo =0'

Tensiunile tangenliale se calculeazi cu formula lui Jurawsky, "

= f 't,

' b. t ,ta=ta,=0

'b , inf - 'b ' ,sup -300x527.395,83 . 104

2. 1 00 . 1 03x3.843,75. 1 03= 5,10N/mm2

(punctul se gisegte in talpd)


ub,suD - !b ' . inf -1 6x527.395,83 . 10

2J0A .1 03x3.843,75' 1 03= 95,66N/mm2

(punctul se gdsegte Tn inimi)

=132,991r/mm2

r = 5,10N/mmz

or =0,14N1mm2

oz =-180,17N/mm'z

2.1 00 . 1 03x5.343,75. 103c c 16x527.395.83.104

2j00 .1 03 x5.843,75 . 103= 145,43N/mm'?16x527.395,83 ' 10

40. Determinarea tensiunilor principale (o' > or) se face cu relatia (2.27)

o,, =;.),fe;+aiar direcliile principale rezulti din (2.2)

tg2a=4o

. in punctul (a) : o=-191,13N/mm2 ;r = 0. Rezult i

otz = X145,43 (forfecare puri)

tg2cr=oc = c{'1

a2

o',=aY"Py = l; =1rnr,,,.N/mm, (compresiune axiali)

ts2a=0 = ],::?:;". ln punctul (b,n, - in talpd): o = -180,03N/mm2 ;

o', = --$Qe t]fr eonti+o,ro' *

ts2a = j#* = -0,0s66 :+ :: =:#Tr,r" ,*'= -1"37,17, ). in punctul (buuo - in inimd): o = -180,03N/mm2;t = g5,66N/mm2

o,, =19&r1fr80,0yn4-9s,66, * or =41'34N/mm2' 'A 2 2' g.2= -22137N1mm2

tgzu =i?ffi = -1,0627 = :: =:.:,.111?0,u. r,, = -2s.22,14, \. in punctul (c): o = -91,01N/mmt ; r, = 132,99Nfmm2

lQ2a =2'132'99- -91,01

. in punctul (0): o = 0:

o,, = 44 +Jg1,u' .4.1g2,gg' =+ o', = 95'05N/mm22 2' 62= -186,06N/mm2

= -2,e22s + :,==n:l;:;llo-,o'= -35'33'1e" )

r = 145,43N/mm'z

. Gr = 145,43N/mm2

oz = -145,43N/mm2

= +45o= +1 35"


. in punctul ( c' ): o = g1,01 N/mm z ; r = 13l,gg N/mm2

o', = ryt *Js1,ar.A.1inrr' * or = 186,06N/mm2o, : -95,05N/mm2

ts2a =' :??'?n =2,9225= 0r =35o33'19"" 91'01 ' - - - - g12 = +125o33'19"

. in punctul (bi", - in inimd): o = 180,03N/mm, ; r = g5,66N/mm2

tg2u=ffi =\a621 *. Tn punctul (b""0 -in talpd): o,,=180,03N/mm2; t = S,10N/mm2

o,, =E*E*;*80p3,-.4€ro, = :: =iXr;lr^Y#'z

ts2a =?;?'1?:0.0566 =- 180.03

o', : E*EtlJTegO3, +a€s,66, = ot=221,37N1mm22 2 oa=_41,34N/mm2

at =23"22'14"

s"2 = 113"22',14"

e1 = 1"37',17"az: +178037',17"

- ln puncful{a): o=1g1,03Nimm2; r=0

-191,03 . 191.03 o. = 191.03N/mm2or,r=-n-*t Z

= o,=0

( int indereuniaxial5)

tg2a:0 = 0'

Gz = *90o

Diagramele tensiunilor principale sunt reprezentate in figura 2.7,b iar directiileprincipale in figura 2,7,c.b) Verificarea tensiunii prlncipale extreme

Tensiunea principald extremd apare in secliunea de legdturd talpd-inimd, inpunctul situat in inimd:

ol,max = ob,.rp = 221,37 Nlmm' > R = 21 ON/mm'?

lorl*,, = ioo',*l - 221p7 Nf mm2 > R = 21 0 N/mm'?

in concluzie, tensiunile principale depdgesc valoarea rezistenlei de calcul gi nuverifici condilia de rezisten!6.

@bservafie: Totugi, in secfiuni normale

lol,* : 1 91,13N/mm' < R = 21oN/mm,

qi

l"l,u" = 145,43N/mmt . R, = 15oN/mm'z

decigrinda verificd^

-)

116 Reziaten{a materlalelor ll

\J/ -INhm'l

(ompEslun€ F {

QI(1)

o) ( t)

Figura2.7

Problema eventualei ceddri ln secliuni inclinate (pe direcliile tensiunilorprincipale) se pune in general pentru grinzile la care apar in aceeagi sectiune atdtmomente incovoietoare cdt gifo(e tdietoare mari.

PROBLEME PROPUSE

cr Problema 2.1: se dd starea de tensiune definiti prin tensorul (figura 2.g)

lo* r*y "*) fgo 0 o)

L=l ' , oy .* l= l o 80 zol [ ru i 'm' ][ " .* xn o.) (o zo 50)

sd se determine tensiunile principale gi tensiunile tangentiale extreme.Sd se calculeze oon in diferitele teorii de rezistenld (p = 0,3 ),

a)b)

cE = 20 N/mm:

('y = 80 N/mm'

' - ' - - >y

lzI

i io"=50N/mm'

ReEistenla materialelor ll

hmsun;f l i l \=220, lz=1.530, 13 =3.240;

6.t = 6z= 9o N/mmz I os = 4o N/mmz ;

r'rz = 0, rr, = t25 Nf mm2 , tr, = T25 N/mm'z '

b$ ftt teoria oru* : o".r, = ol = 90N/mm2 ;

in teoria e."* :

'tn teoria tn,"* :

o""r' = 51N/mm2;

o"* =50N/mm2;

'rn teoria W, : 6".n :50N/mm2


Capitolul 3

METODE ENERGETICE

3.1 INTRODUCERE

Starea de solicitare intr-un corp deformabil este caracterizatd prin trei aspecb

- slarea de deformare, care este descrisd prin parametrii geometrici:gideformatii;

- starea de tensiune, care este descrisd prin parametrii fizici: tensiuni gi

- starea energeticd, descrisd prin mdrimi energetice (lucru mecanic, energid|-

Analiza stdrii de solicitare a corpului deformabil din punct de vedere

permite abordarea unor probleme complexe, intre care amintim:

- stabilirea unor metode practice pentru caleulul deplasdrilor barelor

sistemelor de bare supuse la solicitdri complexe;

- rezolvarea stru ctu rilor static nedeterm i nate ;

- formularea unor met-eide de ealeul aproximative (metoda elementelor finib

metoda echivalentei).

Pe parcursul acestui capitol se vor utiliza urmdtoarele notalii:. P - forld generalizatd (for!5 concentratd, distribuitd, cuplu concentrat

distribuit);. u ' deplas are generalizafd ( translatie sau rotire );. o - tensiune generalizafd (o*,ou,..-,r*r,...);

. e - deformalie specificd generalizatd ( e*, er,..., T,y,... ).

De a$emenea, studiul energetic se bazeazd pe urmdtoarele

fundamentale:

- materialul este solicitat pAnd la limita de elasticitate;

- fortele exterioare sunt aplicate static (adicd cu o intensitate crescAnd de h

zero la valoarea finald);

- se neglijeazd frec6rile interioare gifrecdrile in reazeme;

- procesul de solicitare este adiabafrc (nu se face schimb de cilduri qr

exteriorul) qi izotermic (nu se modificd temperaturile corpurilor).

3.1.1 MARIMI ENERGETICE

a) Corpul deformabil este actionat de srsfeme de fo4e oalecare si arep rop rietdti meca n ice oarec a re.

. Lucrul mecanic al fortelor exterioare - variabile independente : deplasdrile(figura 3.1,a):

(3.1)l " = f e 'ou


' Lucrul meeanic exbrtor compJementar - variabile independente :(figura 3.1,a):

PL" = J u.dp

forlele

(3.2)

b)

du

a)Figura 3.1

. Lucrul mecanic al tensiunilor- variabile independente : deformaliile (figura3.1,b) :

(3.3)

' Lucrul mecanic complementar al tensiunilor - variabile independente :tensiunile (figura 3.1,b) :

1. = fe.do

t Lucrul mecanic interior:

Li = -Lo

. Lucrul mecanic complementar interior:Li = -L-"

L" = f o.de

b) Pentru sig-tene de fo4e conseruative sl corpuri elastice se definesc in

. Energia potenliald de deformalie specificd:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Ws =Lo

. Energia potenliald complementard de deformalie specificd:Wt =L"

120 Rezisten{a materialelor ll

c) Pentru sisteme de fo4e conseryative si corpuri liniar elastice {eqea luiHooke):

- se aplici principiul suprapunerii efectelor- se menline caracterul de independenld al variabilelor gi in plus :

L" =L" =*. t .u

L"=L"=W"=W; 1= - .o. t

(3.e)

(3.10)

(3.1 1)

(3.12)

(3.13)

b)a)

Figura 3.2

- pentru un corp in sfare de fenslune spafiald, energia potenliald

deformalie specificd se exprimd in func{ie de tensiuni gi deformalii sub forma:

w. =; .G*s" +oyry +. . ,*r*yT,y * . . . )=

= ) ' {o,r ,

+ 6 2.2+ o.r , )

. energia potenliald de defonnafie se definegte prin:

w = Jw..ov- pentru starea de solicitare a barelor (ou = o= = x\, = 0 ) rezultd:

. energia potenliald de deformalie specificd:

w, = +.

(o"€* +r"yT"y + ruyu)=

_1 ("?^, . i , , r i . )-Z I r -

" -EJ

Rezlstenta materialelor ll 't21

. energia patenliaiH de deformafie:

w =|\I*o-.{$0,.I#0..IS."] (3.14)

N, M, T, Mt - sunt eforturile din bard ;A - aria secliunii barei ;| - momentul de inerlie axial ;11 - mom€ntul de inerlie la torsiune (lt= lp - moment de ine(ie polar pentru

secliun i circulare/inelare) ;E,G - constantele elastice (modulul de

transversal);k - coeficient de coreclie ce apare

introduce o ajustare fald de ipotezatangentiale pe secliune .

elasticitate longitudinal respectiv

la termenul din forla tdietoare gi

distribuliei uniforme a lensiunilor

@bservafie: in relalia de calcul a energiei potenliale de deformalie apar termenide forma :

(Etort)'Z I Rigiditate ta efo'ti I 'ds

- pentru sisteme de bare, energia potentiali

insumarea energiilor barelor componente:

w=tw,

3.1.2 TEOREME ENERGETICE

Se va nota in continuare 6 ca simbolal variatiei.

de deformalie se ob(ine prin

(3.15)

a) Sisteme de forte oarecare, proprietiti mecanice oarecare. deformatii mici saufinite

. Principiul lucrului mecanic virtual (al deplasirilor virtuale)

,,Pentru un corp deformabil aflat in echilibru sub acliunea forlelor exterioare gi

interioare, lucrul mecanic virtual al fortplor exterioare (aL") este egal cu lucrul mecanic

virtual al tensiunilor (sau eforturilor, 6L") pentru orice deplasare virtuald (5u) cinematic

admisibili."

6L" : 61-" (3.16)

:*J


. Principiul lucrului mecanic complementar virtual (al forlelor virtuale)

,,Pentru pozilia de echilibru a unui corp deformabil , lucrul mecanic complementar

al fo(elor exterioare (al'.) este egal cu lucrul mecanic complementar virtual al

tensiunilor (Ot-*) pentru orice cdmp de fortp static admisibil."

6L" = 6L"

b) Forte conservative, proprietifi elaglice. deformafii m ici

(3.17)

. Teorema de minim a energiei potenliale totale

,,Stdrii de solicitare reale (poziliei de echilibru) a corpurilor alcdtuite din materiale

stabil elastice , aclionate de sisteme de forle conservative, fi corespunde o valoare

minimd a energiei potenliale totale."

6r = 0 ; n--+ minim pentru configuralia de echilibru (3'18)

. Teorema de minim a energiei potenliale complementare totale

,,Dintre toate cdmpurile de tensiuni static admisibile, cele care conduc la o valoare

minimi a energiei potenliale complementare totale corespund stirii de solicitare reale a

corpului ."

6n' = 0 ; n + minim pentru configurafia de echilibru (3.19)

@bserva!ie:

- energia potenliald totald se definegte ca

n=W-U

unde U se referd la potenfialul fortplor exterioare, adicd

U = P'u (P "'ariabi!);

- anafog, energia potenliald complementard totald este

(3.20)

n' = W. -U' G.21)

unde U' = P.u (P variabil) se refere la potenlialul fo(elor exterioare.

. Teoremele lui Castlgliano

Prima teoremd a iui Casiigfiano: ,,Derivata energiei potenliale

complementare de deformalie in raport cu o fo(d generalizatl (ce aclioneazd in

punct pe o direclie r) este egald cu deplasarea generalizatd in punct pe direclia

fortei."

aru-l l ,=-'aP

A doua teoremd a lui Castigliano'. ,,Derivata energiei potenliale de

deformalie in raport cu o deplasare generalizatS este egalS cu forla generalizatS

ce actioneazi pe directia deplasirii."

(3.23)

(3.22)

P-g/v' du'

It

Rezistenla matorialelor ll 123

. Teorema lui Menabrea (pentru sisteme static nedeterminate):,,Energia potenliali complementald de deformalie este minimi in raport cu

wloarea necunoscutelor static nedeterminate.". : aW'

aa =o

. Teorema lui Clapeyron:

W =L"

- pentru mateiale liniar elastice:

w =1P.u2

c) Fo4e cofrsewative. proprietifi liniar+lastice, deformafii mici. Formula lui Maxwell-Mohr (pentru deplasiri punctuale )

[ " N - r - PM * ' -* f ! - I . t , .ds+ [9.* , 'or lur=Ll* 'n i 'os* lE! 'mi 'os rGA ' -bGrr Junde:

- N, M, T, M1 reprezinti diagramele de eforturi din incdrcdrile date

- l'ri, ln|, t1, ms sunt diagramele de eforturi din fortp generalizati unitardintrodusi ln punct pe directia deplasirii.

lntegralele se pot efectua cu regula luiVeregciaghin"

Aplicarea formulei lui Maxwell-Mohr gi a regulii lui Veregciaghin vor fidetaliate in paragratu| 3.2 (Aplicafii ale metodelor energetice).. Taaramala da rae.inraa.ilala

^ a lucrului mecanlc (Beffi): ,,Lucrul mecanic al unui sistem de forle P;,produs prin deplasirile provocate de un alt sistem P; , este egal cu lucrul

mecanic al sistemului de forfe P1 , produs prin deplasirile datorate primului

sistem Pr."

ft 'u., = Pi.u;r (3.28)

- a deplasdrtbr (Maxwell) .' ,,Deplasarea generalizati A'', produsi pe

direcfia i de o Tncdrcare generalizatd unitate aplicati pe direclia l, este egali cu

deplasarea generalizati A;,, produsi pe direclia i dintr-o forld generalizati

unitate aplicati pe prima direclie r'."

A,i = Aii (3.2e)

(3,24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

=*-lfl

124 Rezistenta matcrialelor ll

s.2 APLICATII ALE METODELOR ENERGETICE

Metodele energetice se aplice in scop 9i in mod diferit la sistemele static

determinate (SSD) 9i cele static nedeterminate (SSND)'

3,2.1 CLASIFICAREA STRUCTURILOR DIN PUNCT DE VEDERE

AL GRADULUI DE NEDETERMINARE STATICA

in vederea unei mai bune inlelegeri a metodelor ce vor fi expuse in acest capitol'

se prezinti in continuare noliunile de bazi, ce au stat labaza clasificdriistructurilor'

a) Grade de libertate (GL)

Numim grad de libeftate (gl) posibilitatea distinctd de migcare a unui corp'

- o bari, considerati ca element plan, are 3 grade de libertate: 2 translalii 9i o

rotire.- Numdrultotalde grade de libertate ai unei structurialcdtuite din bare este:

GL : 3.(NB) (3'30)

unde s-a notat prin NB numdrulde bare din structuri'

b) Legaiuri simPie iLSi- Numim tegdturd simpld (ts) acea interac{iune cu alte corpuri ce suprimi un

grad de libertate corpului studiat. Noliunea se suprapune aproape perfect cu cea

dependul(bariscurtd,foarter igidd,art iculatd|aambelecapete) '- Reazemele utilizate in structurile din bare sunt :

1') Reazemul simPlu ( RS )

=

XFigura 3.3

- suprimd 1 grad de libertate- este echivalent cu o legiturd simpli (1 ls sau un pendul)

- introduceofor lSdetegdtur i ( reacl iune)devaloarenecunoscutdceaclioneazd pe o direc{ie cunoscutS (direclia normali la suprafata de

rezemare). l2 ' )Arr ieulal ia(A)

ffi;

4 a,(necunoscut)

-7ih7

H (necunoscut)---+-

t ' r

tI V (necunoscut)

Figura 3.4


- suprima 2 grade de libertate;- este echivalent cu 2 legdturisimple (2 ls sau 2 penduli necoliniari);

(alese Tn mod convenabil).3')incastrarea(i)

LS=1.RS+2.A+3. ic) Gradul de nedeterminare statici (n)

- Numim gmd de nedeterminare sfaficd al structuriinumirul de legdturi simple (LS) 9i cel al gradelorcorespu nzitoare structurii :

n=LS-GLn = (r .RS + 2.A +3. i ) - g.Nle

u../Y n lnecunoscut;

- o fo(i de legdturi (reacfiune) de valoare gi direclie

- 2 forle de legdturi necunoscute de direclii cunoscute

M (necunoscrd)

0, (necunoscut)

M (ne$noscut)

- introduce:necunoscuti, sau

Figura 3.5

- suprimd 3 grade de libertate;- este echivalentd cu 3 legituri simple (3 ls sau 3 penduli necoplanari);- introduce: - o forli de legiturd (reac{iune) de valoare gi

directie necunoscuti gi un moment necunoscut, sau- 2 fo(e de legiturd necunoscute de direclii

cunoscute (alese in mod convenabil) gi un moment necunoscut.

Ca urmare, numirul total de legdturi simple ale unei structuri poate fi stabilit cu

/-H (necunoscrit) t

I V (neilnosut)

(3.31)

(nJ diferenla dintrede libertate (cL)

(3.32a)(3.32b)

Prin utilizarea acestei ultime noliunistructurile se clasificd dupi cum urmeazi:. mecanisme - structurile avAnd n < 0 gi care nu fac obiectul de studiu al

,,Rezistenfei Materialelof';. Structurl Stat c Determinate (SSD) - structurile avdnd n = 0 , gi pentru

care reacliunile necunoscute pot fi detenninate din ecualiile de echilibru;. Strueturi Sfafic NeDetemrinate (SSIVDJ * structurile av6nd n > 0 ; in

cazul acestor structuri, ecualiile de echilibru nu sunt suficiente pentrudeterminarea reacliunilor, fiind necesari formularea unor ecualii suplimentare (deexemplu ecualii de compatibilitate a deplasirilor).

126 Rezlstenla materialelor ll

3.2.2 APLICAREA METODELOR ENERGETICE LA SISTEIIESTAT|C DETERMTNATE (SSD)

Metodele energetice sunt aplicate la SSD Tn scopulReamintim faptul ci deplasdrile pot fi in cazul general:- translalii (notate cu u, v, w 9i considerate a fi

corespunzitoare Ox, Oy, Oz);- rotiri (notate cu q gi considerate a fi pozitive in sens orar).

determinirii deplasdrila

pozitive in sensul axehr

d

2ira

?

ir

Exemplu:Pentru grinda din figura 3.6, sdgelile w gi rotirile <p au urmdtoarele semne:

- in secliunea (C): - wc < 0 ;

- 9c >0 l

- in secliunea (D): - wo > 0 ;

- eo >0.

q">--x

m?nmv7

Calculul practic al deplasirilor sistemelor de bare se bazeazi pe:1) Teorema I a lui Castigliano;2) Formula lui Maxwell-Mohr.

3.2.2.1. Galculul deplasirilor sistemelor static determinqlle (SSD) aplicindteorema I a luiCastiqliano

Prima teoremS a luiCastigliano, exprimati matematic prin relafia (3.22'y:

u' = 0{-aPi

permite calculul deplasirilor in raport cu o forli generalizatd ce aclioneazi pe direc{ia i.in cazul sistemelor din bare alcituite din materiale cu comportare liniar-elastic5.

energia potenliali de deforma{ie (W = W') se exprimi cu relalia (3.14) respectiv (3.15).

lnlocuind aceste expresii in relalia (3.22) rezultd:

, =>[(+f+]'. i*+f*'ln,. f,9[+]0,. r+,-f+]..] (333)*?LnEA\aq) bGA(aq) hE. l [aqj- oG.roo(aBJ j

care reprezinti exprimarea primeiteoreme a lui Castigliano pentru bare liniar-elastice.

Figura 3.6

Rezlstenle materialelor ll 127

@bservafii privind necesitatea luirii in'considerare a termenilor corespunzitoricelor patru eforturi N, T, M gi M1:

1'. Termenul din efort axial (N), trebuie luat in considerare la structuri alcdtuitedin bare articulate (de tipul grinzilor cu zdbrele), unde de fapt este gi singurulefort ce aclioneazd; Tn cazul grinzilor Tncovoiate el poate fi neglijat.

2". Termenul din forld tdietoare (T), trebuie luat in considerare la grinzile scurte $iinalte (cu raportul lungime/Tnillime < 4); in cazurile curente, se neglilieazi.

3o. Termenul din moment de torsiune (M), trebuie luat Tn considerare la grinzileTncovoiate ce sunt gi puternic torsionate (Tn special la grinzi de fronton); incazurile curente, se negl'ljeazd.

Ca urmare a considerentelor ficute mai sus, se ajunge la expresia aproximativdsimplificatd a teoremei I a iui Castigliano:

(3.34)

Etape de calcul pentru determi4?rea deplasirilor intr-un punct curent A al uneiqrinzi static determinate:1". in secliunea A se introduce o forti generalizati fictivd astfel:

. o forld concentratd Pu , pe direclia translaliei cdutate (Lto, va sau wo ), sau

. un moment concentrat fictiv Mo.o , corespunzdtor rotirii qo

@bservafie: ln cazul in care in secliune aclioneazd deja o fo(i pe direcliadeplasirii cdutate , nu se vor mai introduce forfe fictive, utilizdndu-se incdrcarea reald.2". Se scriu expresiile analitice ale momentului incovoietor M(x), pe fiecare dinintervalele de varialie a acestuia sau a rigiditdtii la incovoiere. La scrierea acestorexpresii se va line cont de forlele generalizate fictive introduse la punctul 1".3o. Corespunzdtor fiecdrui interval, se vor evalua derivatele momentului incovoietorin raport cu for[a generalizati ?ntrodusi in sec,tiunea A la punctul 1":

aM,(x). -:+' ' in cazul in care se urmare$te oblinerea valorii unei translalii (uo,vodPo

sau wA )oM,(x). - --'l'' -' in cazul in care se urmiregte oblinerea valorii rotirii 9o.dMo^

4". Se aplici relalia (3.34,), descompundnd fiecare din integrale pe cdte un intervalde varialie a funcliei moment incovoietor. La efectuarea produselor corespunzdtoare, seva line cont de faptul ci fo(ele fictive Po gi Mo,o sunt nule.

@bservafii:a) in cazul barelor cu rigiditate la incovoiere variabild pe lungime, integralele se

vor descompune pe intervale cu rigiditaie constantS;

,=dI#(#) ,,]

:,;

il

R€zistenla materialelor ll

b) pentru evaluarea corecta a celor doud tipuri de rezultate oblinute (translafiegi respectiv rotire), menliondm faptul ci uniteille de misurd ale numardtorilor(cantitd{ile ce urmeazi a fi divizate prin rigiditatea la incovoiere a barei - E.l)sunt; [kN.m3] - in cazul iransla{iilor, respectiv

[kN.m2] - in cazul rotirii.

/ EXEMPLE pF CALCUL

& Exemplul 3.1; Pentru grinda simplu rezematd din figura 3.7 se cere calculareasdgelilor in punctele C 9i D (w. gi wo ) precum gi a rotirii in punctul C (q" ).Se dd El , = 1.1013N ' mmt.

\v

, . , . , . ' !z"E.ry L t, , 6rr i

2m 3m 3m

Figura 3.7

Re*olvare

a) Galculul siqetii in eapitul liber C ( w" )1". Se introduce o forti fictivd P aclionAnd in acest punct pe direclia verticali(direclia axeiOz).2". Se stabilesc expresiile analitice ale momentului.

Se determind reacliunileP.8 ( too.g).4 .^--

' -Vo =- - : + j !*=1,333.P+533,33^6b

r , ( t oo . a) .2 p .zvu =f f -

a =266,667-0,333'P

interval l, pentru x = [o;z]

interval ll, pentru x e [O;o]

interval l:

interval ll:

9gP = -0,333'xAP

4!" Se ?nlocuiesc expresiile momentului incovoietor gi a derivatelor sale Tn rela{ia3" 3t Si se oblin:

w" = ̂ 1, i ( -p,x-s0." , ) . ( -x) .cx+" 2-E- lY d '

* + .'[f(zaa,aat- 0,333 . p). r - so . x' ]. (- o,:il . x). oxE.l , d. .

linind acum cont de faptul ci, de fapt, fo(a P este fictivi (P = 0), rezultd:

I r .6w- = - _ . - . iso.* , .6y a -1- . l ( - aa,asl .x, +16,667, x ' ) .dx =" z-E. lv i E. l , d '

= :+ {i' - ryry:.{|' * ry*+l' = -1- poo - 6 400 + s.+oo) =E.l , 41" E. l , 3 i " E. l , a lo E'1,


Se observd faptul cd apar doui intervale de varialie atAt pentrufuncfia momentcdt 9i pentru rigiditate; expresiile momentului sunt:

Mr=-p.*- loo- 'x '2

yrr = (266,662 - 0,333 . t). * - to? "

Frin derivare in ranort cu forta P. se obtin :

Mr(x)= -P-x - 50 . x2

av'(x)-=-xAP

Mrr(x) = (eoo,eor - 0J33 . P). x - 50. x'z

=- eoo ku,m' l=-E' lu '

J900.10t2N.mm3= -90mm = -9cm1 .10" N .mm'

Semnul negativ oblinut denotd faptul cd sdgeata reald din punctul C se producein sens invers sensului ales pentru fo(a fictivd P; prin urmare, punctul G urcd cu 9 cm.

b) (wo)

t'. Pentru calculul sdgeliiin punctul D (wo), se procedeazd analog, introduc6nd forlafictivd in sectiunea de la jumitatea deschiderii. RezultS:

Va =533,333+0,5'P

Ve = 266,667 + 0'5'P '

uj

130 Rezistenfa materialelor Il

'1. ,^ t* .,"

AX

7t ze'rv1\@ E.ry @A

Figura 3.9

2'-3". Expresiile momentelor gi ale derivatelor lor ln raport cu forta fictivd P sunt:

( l ) x e [o;z] Mr(x)= -50' x2

dM'(x) - OAP

f^^1 . , i l / \ /^ . - - - - ^- ^\ ? ^- ^

1( l i ) x € [u;J l M (x, = t r ,oo,oo/ + uJ " r . r" x - )u ' x- = u,J ' r ' x + loo,oor ' x - )v ' x '

DM,,(x) = o.s.xAP

(ltl) x e [3;6] M"' (*) = (266,667 + 0,s . P). x * 50 - x' - P. (* - l)

aMrrr(x) =_o.b.x+3AP

4". Se inlocuiesc aceste expresii in relalia (3.34) ce exprimi teorema la lui

Gastigliano, lintnd cont de faptul ci fo(a P este nuli. Rezultd;

*" = # t . iF ro. *' ). o dx +

+''S(ruu,uur' x - 50' x' ). o,s' x-: dx +

| 6. t

^ \ i '13 ' r r \

+-, . l \266,667.x-50 * ' ) . ( -0,5.x+:) .dx=+ 1133,333 +l -2s +l l *E.t , j ' - - ' - - / \ ' E. l , l . 3 lo ol")

l ' j lo -+

lu -- , t6 . - r 16 \

* t . [ - r :s.sr : . { l + zs . t ] + soo.{ l - r50 . I : l l=E. l , t , ' - 31, 4 l ' , 21, 3 l ,JI r - -^^=+.( i .zuo-506,25-9.600+i.200+8. i00 -5o6,zs+i4.400-3.d00- i0.800+i.- rso)=

- r'237's[r.N *, I = D3,75mmE.I

I Jt

c) Galculul rotirii ln capitul liber1". Pentru calculul rotiriiin C (q"), se introduce momentulfictiv Ms in acest punct gi

avem:

Yrt


V.c =533,333-0,167.M0

Va = 266,667 + 0,167 .Mo .

Figura 3.10

Expresiile momentelor gi derivatele lor sunt:( l) x. [o;z]

M(x)= Mo - 50'x2

dM'(x) _ noMo

(ll) x e [o;6]

M" (") = (200,002 + 0,167 . Mo ). * - 50 . x2

oM,,(x) = 0.167.xoMo

Din relalia (3.34) rezulti:

,. = # t iL * x') ox .+ ilruu,uut - 50 x').0,167 .x .dx =

= =l (- so) {l' . =l- .1, oo.ooo {l' - B.u.3 .4] =2.E.tv 3lo E l r

L 3lo 4 )"

E. l , ' E. l , 1.1013N.mm2

= 4,3333 .10-2rad (: Z"ZS')

El Exemplul 3.2: Si se determine componentele dupd axe a deplasirii capitului liberal barei din figura 3.1 1 ,a. Secliunea barei este profil 130 (A=69, 1cm2; lv=g.B00cm4).

Se dd R = 210N/mm' $i E = 2,1'105N/mm2.

q = 100 kNlm

132 Rezistenfa mat€rlalelor ll

3".

\

doi lnes

b)!10.

SE

z

pre

L

;^ :ut l<

'I',i

V H-l I'r H*;$::^HI HIHl- Hl-

b)

Figura 3.11

Rezolvare

Componentele deplasdrii capdtului liber A sunt:. uA- translalia dupd axa Ox (orizontald in punctulA). wA - translalia dupi axa Oz (verticali) gi

' QA - rotirea (unghiulformat de tangenta la axa deformati in sectiunea A cuaxa bareiOx).

a) Determinarea componqntei verticale w4 (figura 3.11,a)1". ln capdtul liber A existd deja o fo(d concentratd care aclioneaz| pe direcliadeplasdrii cdutate; in acest caz, derivatele se vor exprima in funclie de for{a realdP=50kN.2. Se scriu expresiile analitice ale eforturilor gi se calculeazd derivatele acestora. Seconsiderd cd sunt doud intervale de varialie (A-8, porliunea orizontald a barei gi B-C,partea verticald). Se mai observi cd pe intervalul B-C apar atdt eforturi din incovoierecAt gi din compresiune. Astfel, in expresia (3.33) vom re{ine atdt termenul datoratmomentului incovoietor M cdt gi cel corespunzdtor efortului axial N.

Expresiile momentului incovoietor gi efortului axial, precum gi derivatele lor inraport cu fo(a P sunt sintetizate maijos:

Intervalul Expresia efortuluiDerivata in raport cu P

ra)tapj

A-Bx. p,zl

N 0 ,0

M -P.x -X

B-Cx e [0,+]

N -P -1

MY2

-2 'P-o.- : -'2 -2

Rezistenfa materlalelor ll 133

Se exprimd teorema lui Castigliano:

*^ = *|-io.oo"* i{-r),.-rp*l* =, [iFp *x-xlx+c'nl6 d J c ' t r foDupi inlocuire gi integrare rezultd:

P l ' r [ * ' l ' lo xt lu lwn = E.4'* l , * i l Lr ?1, .4 'P'x l . *o '?1,

l=

4.( -z\ Ij f . t t -o r)(rF* j .

2j"1Asx69,1.102

9i in finalwn = 0,138 + 55,717 = 55,855mm.

Primul termen reprezint5 ciepiasarea verticalS datoratd efortului axial, iar cel de-aldoilea deplasarea produsi de incovoiere. Se observd cd efortul axial are o contribu{ienesemnificativi in sdgeata totald (sub 0,25o/o), fiind deci negtijabil.

b) Determinarea componentei orizontale u4 (figura 3.11,b)1". Deoarece ?n punctulA nu ac{ioneazi nici o fo(d dupd direclia deplasirii cdutate,se introduce forla fictivi H.2". Din Tncdicdriie reale gi fictive (P, q, Hi, eforturile (din incovoiere gi efort axiai),precum gi derivatele lor in raport cu forta H sunt date in tabelul de maijos:

Intervalul Expresia efortuluiDerivata in raport cu H

lo ll.aHJ

A.Bx * [qe]

N H 1

M - P.x 0

B-Cx * [0,+]

N -P 0

M -2.P -e.f;-n."-x

3". Se inlocuiesc eforturile gi derivatele lor ?n expresia teoremei-Ti Casiigliano,fndnd cont de faptul cd:

- fo(a H este fictiv5, deci H=0- daci efortul sau derivata acestuia sunt nule pe un interval, atunci

valoarea integralei in care acestea intervin va fi de asemenea nuld,

i.f+4 50 4.10 fJ50'103 x4.103

"^=+f[ zP-'t') (-*) r,.]=+[n +t,',,-; t'i,]=.qt *1a .+o\

B)1012

(*2,1.105 x 9.800-10a

- l2f,

134 Rezastenfa materialelor ll

uo = 54,42mm'

Se observd cd deplasarea orizontalS se datoreazd exclusiv incovoierii.

c) Determin3rea rotirii q1(figura 3.1 1,c)1". Pentru calculul rotirii se introduce in secliunea A un moment concentrat fictiv Mo.2'. Expresiile eforturilor gi ale derivatelor lor tn raport cu M0 sunt sintetizate mai jos:

Intervalul Expresia efortuluiDerivata ?n raport cu Me

fa)latutJ

A-Bx * p,z]

N 0 0

M -P'x -Mo -1

B-Cx u [0,+]

N -P 0

M-2.P_0 t '_r, -1

3". Se inlocuiesc eforturile gi derivatele lor Tn expresia teoremei lui Castigliano (Mo=O)'

1f2" 4! .p-q.L) r-r) .oxl=*^=rr ,LJ(-P *) ' ( -1) 'dx.J l - t z) , . l

=, [ r { l ' * zp.* l r .g { l " l=r . l ,L 2lo lo 2 s l , l

1oe ( -^ z ' 10 4 ' )=

;,t *ffioo *. luo 7 + 2'50 o - i'T )en = 0,0295 radiani -+ en = 5o18'22".

Toate cele trei componente ale deplasdrii in A au rezultat cu semn pozitiv, ceeace semnifici faptul ci deplasirile se produc in sensul forfelor (reale sau fictive) de pedirecliile corespunzitoare. Pozilia punctului A dupd consumarea deplasdrilor estereprezentati in figura 3,12.

a

1

I

(

Figura 3.i2


El Exemplul 3.3: Sd se determine componentele deplasirii punctuluiA pentru sistemulde bare articulate din figura 3.13.

Se dau : Ar = 5cm2 ; o, , = 3oo i A, = o;5Ar ; crz :45o;

E=2,1'105N/mm2; l=3m.

I

I

I

I

I

I

= 30"=4

135

H 'y

P=100kN

Figura 3,13

Rezolvare

Se introduce sistemul de axe xOy cu originea in punctul A. Gomponentele

deplasirii sunt ur (dupd axa verticale Ox) giva (dupd axa orizontalS Oy).

a) Componenta verticali ua : i'

1o. in punctul A existi forfa P care aclioneazd pe directie verticald.

2o. in barele dublu articulate ale sistemului apar numai eforturi axiale constante, care

se determind din ecua{iile de echilibru:

f lx=o -+ N, 'cosu1 +Nr.cosu..=P;

l I " = o -+ N., 's incr, = Nz 's inctz .

Prin rezolvarea sistemului de mai sus rezult6:


gi, Tnlocuind valorile funcliilor trigonometrice, obtinem:

{N'' = o'7gz'P;

| .Nz =0'518'P'

3". Derivatele eforturilor in funcfie de fo(a p sunt :

l*=a,ft2;{

l - t#=0,5184". Din relalia (3.33) relinem numai primul termen, corespunzdtor efortului axial(restul eforturilor sunt nule). Teorema lui castigliano se exprimd sub'forma:

, l '1. 4 tr-

ua =;4 . lo, t lz .p.a,rcz.dx+ E.4 Jo,sra.p.0,518.dxLungimile barelor sunt:

l r ,=J-=-+- =3,464m;I coscri cos3Oo{

l r r=-J-: - j - =4,248m.t ' coscr2 cos45'

Deplasarea rezultS:

,^ = F+ .@,tszf .p . (., ++ (o,sr 8), .R. r,E.Ar E.A,

_ P.( f(o,zaz)' , n, (o,sra)'l-E4, Lcosd, -&

"or% l=100.103.3.103 f(o,zee)', . ̂

(o,sre)' l- t l . tna.s. to" ' l "orsg' - ' "*45" lun = 3,396mm.

b) Componenta orizgntali v61o. Se introduce in punctul A fo(a fictivi H pe direclie orizontald.2". Ecualiile de echilibru ale noduluiA sunt:

I IX:0 -+ N., .coscr1 +Nr.cosa,r :p;

l lv = o -+ N, .s ina, :Ne's inaz +H.

Din rezolvarea sistemului de ecuatii rezulti:

,N' =o'732'(e+u);

[N. =0,518'P-0,896'H'

3o. Derivatele eforturilor in raport cu forla fictivd H sunt :


4". inlocuind expresiile eforturilor 9i ale derivatelor in teorema lui Castigliano (H=0),rezulti:

,, _ P.t l(o,ttzf , n, 0,518.(-o,ago)l'^ - Er\ 'L cosq -& coso, l=

[(o,zsz)' ., 0,464 Il"otSO,

-' cos45"l

100.103x3.1032,1.105 x 5 '102

vn : -l,983mm.

Deplasarea vA se produce in sens contrar fortei fictive H considerate.Deplasarea totali

f =f i i+4 =F396'*1,98y =3,932mm

este reprezentati in figura 3.14.

Figura 3.14

3.2.2.2. Calculul deplasirilor sistemelor static determinate {SSD) aplicindformula Maxwell-Mohr

Formula Maxwell-Mohr, in cazul cel maigeneral, c6nd se iau in considerare toatecele patru eforturi seclionale, se obline din teorema I a lui Castigliano prin introducereanotaliilor:

AN_=n.aPAT-=t .aqAM-=m.aRaM.J=lTl . ,

aP

b-d


in consecinli, formula Maxwell-Mohr pentru un sistem de bare se scrie subforma:

(3.35)

in aplicaliile formulei lui Maxwell-Mohr, semnificalia termenilor este urmitoarea:. N, T, M, Mt sunt diagramele de eforturi din incircdri exterioare;' ili, ti, [li, lrlti - diagrame de eforturi din fortd generalizatd unitari

introdusd in punct pe direclia i a deplasdrii cdutate;" (EA), (GA), (El), (Glt) - rigiditatea barei la solicitarea simpld (efort axial,

fo(d tdietoare, incovoiere, respectiv torsiune).

@bservalii:1" Deplasarea ciutatd a punctului poate fi o transla{ie sau o rotire. Dacd este otranslalie (u, v, w), atunci fo(a generalizatd introdusi in punct este o forti concentratiP=1. in cazul rotirii, se va considera un moment concentrat M0=1.2" lnterpretarea semnului deplasdrii: daci deplasarea calculati are valoarepozitivd, inseamnd cd ea se produce fn sensul forlei generalizate unitare introduse.

Jindnd cont de observafiile fdcute in paragraful precedent asupra necesitdlii ludriiin considerare a termenilor corespunzdtori eforturilor secfionale, ajungem la concluziacd, pentru grinzile incovoiate curente, ?n formula Maxwell-Mohr este suficienticonsiderarea unui singur termen, deci:

' =t[J+] ,') (3.36)

@bservafie:Formula lui Maxwell-Mohr se aplici chiar dacd rigiditatea la ?ncovoiere a barei

(E'[) nu este constantd;in acest caz, integrala pe lungimea (/) poate fi descompusd peintervale unde rigiditatea este constanti.

ruru EE

-. I ' rN'n, 'r t f t , ' r tr l .m ' .M,.m,, I

" '=*LJ=+ o'* J ot ' ds +Jt i o '*J=; o '

'

Figura 3.15

Astfel, pentru grinda din figura 3.15, rezult5:

,, =lT?0.=+Jn, m, ds.+ft m, ds. .#,it m, ds

-

Rezlstenta matedalelor ll 139

Agadar, integralele ce intervin in formula Maxwell-Mohr vor fi - de fapt - de

forma: [u.m,.osd

Calculul acestor integrale se face ?n mod practic prin aplicarea regulii luiVeregciaghin, care se poate exprima sub forma:

Jt'r .ds = frr,,r .rns

unde:

rr flr'a = aria din diagrama (M) cuprinsi intre secliunile de abscisi 0 9i I

ti *n = coordonata din diagrama (m), corespunzdtoare centrului de greutate G al

ariei Qrr,r.

Figura 3.16

@bservalii1o. Regula lui Veregciaghin se aplicd succesiv pe intervale unde diagramele M,respectiv m au monotonia gi legea de varialie constante.2". Ca urmare, pentru evaluarea integralei din formula Maxrrvell-Mohr, se va line contde:

a) intervalele pe care rigiditatea la Tncovoiere este constanti (E.lr = const.) gi

distincti de cea a intervalelor vecine;b) intei-vaieie din diagi'ameie M gi m pe care iegea de vai'ialie este distincti de

cea a intervalelor vecine.in tabelul 3.1 sunt prezentate valorile ariei (On,l) 9i ale coordonatei centrului de

greutate (xn) pentru c6teva diagrame de moment incovoietor (M), intdlnite in mod curent

la aplicafiile de calcul ale deplasirilor. Fentru o buni identificare, intr-una dintre coloane

este menlionat gi gradul funcliei.Atragem de la inceput atenlia asupra faptului cd valoarea coordonatei centrului

de greutate (xn) este raportati fali de capdtuldin stdnga al intervalului.

(3.37)

140 Rezistenp materialelor ll

Tabelul3. l

Nr.crt.

Diagrama (M) Grad Aria(Ortr)

Coordonata centruluide greutate (xn)

1.

xo(grad 0)

1.rrrr^ .u1"

tl^

- ' { .2

2. x'(grad l)

\ .v^ . t2"

1o

3

3. x2(grad ll)

L.w^.t3"

1o- ' {4

4. X"

(grad lll)1.rt,t^ .z4

1-" { .5

5.-iL

'rtiltiiifiiillnr'L, - -------L---4

*(grad ll) 3.*" ., I

- , I

2

6. X,

(grad ll)?.w^.n3"

3oI

Trebuie subtiniat faptul cd - in cazul poziliilor (3), (4) gi (6) - este absolut

obligatoriu ca in secliunile marcate cu (*), prirna derivati a funcliei M (deci, panta

tangentei la grafic) si fie nuld; in caz contrar, formulele prezentate nu sunt valabile.

III

I

t


Etape in calculul deplaslrilor {wo - siqeati si rpo - rotirq) lntr-un punct curent A alunei qrinzi static determinate cu piutorulformulei Maxwqll-Moh{:1o, Se traseazi diagramele de moment incovoietor (M)i din fiecare fortj elementarddati (i = 1... n, n fiind numdrul fo(elor elementare date). Diagramele de momentelementare sunt date Tn Anexa 5.2". Se traseazi diagrama m, dupd cum urmeazS:

' pentru calculul sigelii wA se traseazd diagrama mun^ din fo(d concentratd

unitari Po : 1, introdusi in punctul A pe direclia deplasirii;

' pentru calculul rotirii qa de traseazi diagrama m*^ din momentul concentrat

unitar Mo = 1, aclionfind ?n Punctul A.

3o. Aplicdnd formula Maxwell-Mohr 9i regula lui Veregciaghin se evalueazd:- wA - prin integrarea succesivi a diagramelor (M)1 cu (m*o )

- qo - prin integrarea succesive a diagramelor (M);cu (rn,no ).

/ EXEMPLE DE CALGUL

CQ Exemplul 3.4: Pentru grinda simplu rezematd analizatd anterior cu teorema I a luiCastigliano, se cere calcululdeplasdrilor (w",wo gi qc ) folosind formula Maxwell-Mohr

(gt , : t .1o13N.mmt).= 10OkN,h

( p1''*^1lu'^''iif.

Figura 3.17


Rezolvare

1o. Se traseazi diagramele de moment Tncovoietor din cele doud forle elementaredate: q pe consol5 -+ (M1) ,

q pe deschidere -* (M2).

2". Se traseazd diagramele de moment incovoietor din:

- forld conceniratd unitard aclionAnd in C ---+ (rq )

- forli concentrati unitard action6nd ln D -.-+ ( m, )- moment concentrat unitar aclionAnd in C --+ (mr)

3". Se determind deplasdrile cerute:a) Se calculeaze sigeata in capitii l i iber w", intei'gdnd ir41 gi apoi Mz eu m1, aBlieand

formula Maxwell-Mohr gi regula lui Veregciaghin; ariile gi pozili le centrelor de greutateale diagramelor se oblin din tabelul 3.1 lindnd cont de intervalele de variatie ale funclii lor(m gi M) 9i cele cu rigiditate la incovoiere constantd; avem:

o", xg

w. ==j: [(-zoo) z1 [q r-2il*1 [(-zoo) 01 [?.r-rrl,""c-2q.r ,L 3 jLat ' l 'EtL 2 J 'Ls ' r ' t1*.*,[3 450 6] [* c,r]=-ffk* *'l:-equeJt*#;=: -90mm : -9cm

b) in mod similar, se obline sigeata la jumitatea desehiderii wo, in locul diagrame:

(m., ) se va folosi (mr).

@bserva$ie: ln cazul diagramelor de moment care nu se gdsesc in tabelul 3.1 seprocedeazd la descompunerea acestora in diagrame cu forme geometrice simple gi ariecu noscuti (d reptu n g hiuri, triu n ghiuri sau parabole).

Astfel, diagramele Mr gi mr pe intervalulA - D au formi trapezoidali. Trapezulsedescompune in dreptunghigitriunghi, care se integreazd apoi independent.

*":+ {tt-roo) sJ [; ,r,t.ierpt] (+ ,,r.[F'T) '] (3 ,,r]-'., [+ [i .* .) [;,il=, El,:'k*,,]: q*#ril#S== 123,75mm = 12,38cm

c) Pentru rotirea qc, avem:

1 t(-zoo\.z 11.=1_ [(_zqo) o [3 ,,)l*_L ,l(? oro s) [1 r).]=qc = 2€t L ' -s- I E.r , L z \3 )) E.ry L\3 ) \z ))

: tr [**.''.] = 1!*:#q$# =4,3s33 10-zrad (= zzs,)

tL*


Agadar, rezultatele sunt identice cu cele oblinute anterior, prin utilizarea teoremeiI a lui Castigliano. Se observi insi faptul ci utilizarea formulei Maxwell-Mohr este cumult mai expeditivi gi, de aceea, ea este in general preferati in aplicaliile curente decalcul al deplasdrilor.

Q Exemplul 3.5: Si se determine componentele deplasirii capdtului liber al barei dinfigura 3.18 (analizati in exemplul 3.2 cu teorema lui Castigliano).

IA = 69.1cm2Se dau: 1., t

' 1', = 9'Soocma

E=2,1.105 N/mm2

P=50kN

Figura 3.18

Rezolvare

a) Galculul deplasirii verticale wa

1o. Se traseazi diagramele de eforturi din fo(ele date (figura 3.19,a - diagrama

efortului axial gi 3.1 9,b,c * diagramele momentului incovoietor din fo(a P, respectiv q).

143

x+iz

0

h

wa)

YAH- iz

@


2o. ln punctul A se introduce o forfi concentratd unitari pe direclie verticali (a

deplasdrii cautate wo) gi se traseazi diagramele n1 gi m1 corespunzitoare acesteia

(figura 3.20,a, b).P=1

b)

Figura 3.20

3o. Se aplici formula lui Maxwell-Mohr, ludnd in considerare gi efectul efortului axial:

rP=1

1., +

H;W

*^ =;[#i*,.n, *.*Jit,+M,) ',.o*]=

lntegralele se efectueazi cu regula luiVeregciaghin gi rezulti:

106*o =Ei-[(-50)xax(-1)l+

10r, f i , , 2, , / - - \ _\ 1. . l. , t L;(-100)x2xi(-z)*t-too)x4x

(-z)+g(-ao)xax(-21 =

#H#*. #ffiffi = 0"1 38 + 55'71 7= 55,855mm.

b) Galculul deplasirii orizontale ua1". Diagramele de eforturi din incSrcdrile date sunt aceleagi (figura 3.19).2". in punctul A se introduce o forli concentrati unitari pe direclie orizontald (H=t)gi se traseazi diagramele de eforturi n2 gi m2, corespunzitoare acesteia (figura 3.21).

:d*lu'n, dx.+[i"'m, dx*i*, *, rr]

H=1

Figura 3.2'l


Se aplicd formula Maxwell-Mohr:

I ' , . 1 ( ' ,wA=F - lN,.n, .dx+_ | lM,.m,.dx+

tr .Ad E l , [d

Cu regula lui Veregciaghin, integralele devin:it, ''.., of

an' tzf 4 4 e I*o =

, iE.[(-roo).+*2 F+)* g(-ao)*4- ;(-4).J =

1.120 .1A'2=

2J 1o'x9.8oo 104=54.42mm.

c) Rotirea qn'1". Diagramele de eforturisunt aceleagi (figura 3.19).

2". in capitul liber A se introduce momentul coneentrat Mo=1 gi se traseazddiagramele corespunzitoare ns=O gim3 (figura 3.22).

GI Exemplul 3.6: Si se calculeze sdgeata la jumitatea deschiderii pentru pana din

lemn, de secliune dreptunghiulard, solicitati ca in figura 3.23. Se dd: E = 10a N/mm'z.

Figura3.22

3o. Cu formula Manruell-Mohr gi regula luiVeregciaghin rezultd:

1 t '

( r , . )en = g.4 J*, .n.

o- . =. , , [ l t , .mu.dx* Jt , .ms.oxJ=lgsfr . . 1, - - \ . / . r l: = t LZF,00)x

2x (-t)*F 100)x 4 " (- t)+ 5(-ao)" o. (-' ' l :

606,67 . 1oe ^ ̂ 4Ê-^*^-: ,- E=2rffiggg.10T=0,0295radiani -+ Qr =5"18'22".

Se observd cA cele trei componente ale deplasdrii sunt identice cu cele oblinutein exemplul 3.2 prin aplicarea teoremeilui Castigliano.

:a

Rezietenfa materialelor lt

-> x

Figura 3.23

Rezolvare

Sigeata totald se obline prin suprapunere de efecte. Pana de acoperig esn,supusd la incovoiere oblicd. Deoarece fortple actioneazd in plane diferite, se vor trasadiagramele de moment in cele doui plane principale gi se vor determina componentsgsdgelii produse de acestea.

a) Calculul componentei verticale wc1"' Se traseazi diagrama componentei Mu a momentului Tncovoietor, dmrcomponentele fo(elor paralele cu axa principald Oz (fortple uniform distribuite q).2". Se introduce fo(a generalizati P=1 pe direclie verticalS in punctul C ihjurnitatea deschiderii) gi se traseazd diagrama de moment m1 (in ptanul principal xOz).3o. Se aplicd formula lui Maxwell-Mohr, efectudnd integralele cu regula lu,Veregciaghin (figura 3.24,a)..

t- t '

; ' - '1?!-

wc = ;f [M" .r, .o* = lu,- | 2*t=.1,12sr1,5 * 3.0,7s IE. l rd, E. tyL 3 B- ' -JMomentele de ine(ie ale secfiuniisunt;

[ '" = +S - 1o]<J53 =z.B12,5cmoi) ' 12 12l , h.b. 15x103 aIf . : , t r =1.250cm4.

Cu aceasta rezultd

*" = ---1'o51Jot1- = 3,7smm." 10* x2.812.5.104

b) Calculul componentei orizontale v"

1". se traseazd diagrama componentei M, a momentului lncovoietor, dincomponentele fo(elor situate ?n planul principal xOy (figura 3.24,b).

t


Figura 3.24

2"' Se introduce forla generalizati P=1 pe direclie orizontald in secliunea C gi sefaseazd diagrama de moment m2.3". Cu formula lui Maxwefl-Mohr rezulti:

1 ' r - - 1o12f I 2 1Vc = El , JM, .m,, d* = ;"r l z, ; . (_ lS)x15" i o,zs I. . ' rd e. t r l z 3 |

u "

= . -11'12!

-10t,',== -gmm.' 104.1.250.104Sdgeata totalA in secliunea C este

t" = Jwa i 4 = !875t;rt = e,75mmDirec{ia eieste dati de unghiulo fald de axa Oy

tg' = Jo = * = -2,4-+ 6, = -o1o22,4a*.wc J,/5

3.2.3 APLIGAREA METODELOR ENERGETIGE LA SISTEMESTATIC NEDETERMTNATE (SSNDI

Metodele energetice sunt aplicate la SSND in scopul ridicdrii nedeterminiriistatice, adici pentru determinarea fo(elor de legdturd necunoscute ce exced numdrulecualiilor de echilibru static^

Un sistem de n ori static nedeterminat se poate transforma intr-un sistem staticdeterminat. numit sistem de bazd (SB), solicitat de for{ete date gi n fo(e de leg6turinecunoscute.

Trebuie subliniat ci sistemul de bazd nu este in general unic, pentru o aceeagistructurd putAnd exista mai multe sisteme de bazd. De exernplu, pentru sistemul dinfigura 3'25 avdnd gradul de nedeterminare n=3 se poate alege ca SB oricare dinvariantele a, b, c, d sau e.


@x^

\ '*

/k

xl

--+S.S.D,

3 fo(e necunoscute (X,, )L, X.)

i-- :ry* T-Flc le le

xc t l , .d, I# Yx, ^1 ,#o ,rr-

Figura 3.25

Dintre numeroasele sisteme de bazi corespunzdtoare unei structuri staticnedeterminate, unele sunt avantajoase, iar altele (total) dezavantajoase din punctul devedere al analizei viitoare. De aceea, una dintre problemele de extremi importanld Tnstudiul SSND este alegerea judicioasd a sistemului de bazd (SB). Ca idee de bazd,mentiondm faptul ci se va avea in vedere oblinerea unui sistem static pe care trasareadiagramelor de mornente necesare sd se facd cu ugurinld gi sd permiti un calcul facil giexpeditiv pe intervalele ce apar, indiferent de metoda de rezolvare aleasi.

La baze aplicirii metodelor energetice la SSND sti observalia de importanldmajord cd: deplasdrile reale ale punctelor SSND in care s-au supimat legdturi, pedirec,tia forlelor de legdturd necunoscute introduse in locul legdturilor suprimate, suntnule. De exemplu, referindu-ne la SSND din figura 3.25 gi la SBr, se observd cu ugurinldfaptul cd transla{iile pe orizontald giverticald in punctul B gi rotirea acestuia sunt nule.

Pentru calculu! forlelor de legdturi necunoscute se apeleazd la doud nnetode:

Jt". Aplicarea teoremei lui Menabrea;

12". Metoda fortelor (metoda eforturilor).

i,

t


3.2.3.1. Analiza SSND prin aplicarea teorqmei lui MenabreaTeorema lui Menabrea reprezinti o particularizare a teoremei I Castigliano

pentru cazuf SSND. Aceasta s-ar putea enunla astfel: ,,ln oricare din punctele SSND incare - pentru oblinerea SB - s-au suprimat legdturi, introducilndu-se foftp de legdturd,deplasdile reale pe direclia acestor forle necunoscute sunt nule".

JinAnd cont de faptul cd rolul fo(ei generalizate Pi din cazul teoremei I a luiCastigliano (de la SSD) este preluat de forla de legituri necunoscutd Xq, teorema luiMenabrea se poate exprima matematic, in cazulcel maigeneral, sub forma @.2$:

149

a, = dW* =o' oX'

(3.38)

sau, linAnd cont de expresiile (3.1a) 9i (3.15) ale energiei potenliale complementare dedeformalie:

^ =n[l* i#)0. . l# t#).' . i# [#J." . i# [#).'l='(3.3e)

finAnd cont de observaliile fdcute asupra necesitilii ludrii ln considerare atermenilor corespunzdtori eforturilor secfionale, se ajunge la concluzia ci, Tn cazurilecurente ale grinzilor incovoiate, teorema Menabrea se poate exprima sub formaapoximativd restrdnsi:

^=;[i*(#)0,]=o (3.40)

Se remarcd faptul cd se pot scrie n ecualii de forma (3.38), (3.39) sau (3.40), c6teuna pentru fiecare forld de legdturi necunoscutd.

Etape de calcul oentru ridicarea nedeterminirii statice a unui $SND. utilizAndteorema luiMenabrea:1o. Se stabilegte gradul de nedeterminare statici a structurii, cu ajutorul formulel(3 '32'b):

n=(r .ns +2.A+e. i ) -e.Ne2". Dupi o atenti analizd a avantajelor ce le-ar putea oferi in calcul, se alege unsistem de bazd (SB), prin eliminarea a n legituri simple gi introducerea in locul acestoraa n fortp de legdturi necunoscute (Xt,X2,..., &).3o. Se scriu expresiile momentului incovoietor M;(x) pe fiecare din intervalele devarialie a legii acestuia sau a rigiditi{ii la incovoiere.4". Corespunzdtor fiecdrui interval, se vor evalua cele n derivate de forma;

aMl(x) , unde i= 1 . . . n .

6xi

5". Se scriu apoi cele n ecualii de forma (3.40) ce vor conduce la obtinerea unuisistem cu n necunoscute. Prin rezolvarea acestuia, se ob{in valorile fo(elor de legdturdnecunoscute, astfe! cd nedeterminarea staticd este ridicati.


[[l Exemplul 3.7: Pentru sistemul static nedeterminat din figura 3.26, se cere trasareadiagramelor de eforturi.

a)

{q:50 kNin' l'*- .|:**--tsm

o t_i-*-11_*\e.rG.i7t I wY.

' -+'t t* ,f tL +---lL---+

Figura 3.26

Rezolvare

1o. Se stabilegte gradul de nedeterminare statici:n = ( t .1 +2.Q + 3 '1)- 3 .1 = 1

Sistemul este deci o dati static nedeterminat fiind necesari suprimarea unei

lP=

trr

200 kN

(q = 50 kN/m

i:-rrnatlll!jv./t ze.ty

4' .+ |I

zza,sz -f

3m

x.->

*X* r7,43

n+| '',I

/q:50 kNlm

rTTTNr:.tllllj{ur-v/, a, t . t . , f \

E'ly


T. Se alege sistemul de bazi din figura 3.26,b obfinut prin suprimarea gradului debertate corespunzdtor rotirii din incastrare. Se ob{ine astfel o grindi simplu rezematdincdrcatd cu forlple date gi reacliunea Xr (moment concentrat) corespunzdtoare legituriisimple suprimate.

Reacliunile sistemului debazd se obtin din ecualiile de echilibru static:

fMo =o; 7vB-x1 -200.3+50.2.1 =0

IM, = 0; 7Vo +X, -2oo'4-50'2 'B = 0

Rezulti:

V^ =228'57 *)' ' t

V^ = 71.43+&7

3". Se aleg trei intervale de varialie a momentului (figura 3.26,c), gi se scriu cele trei

expresii analitice ale acestuia:( l )xe[0;2]

2r r ( l ) r , . r - cu'X-

- or-2iv i \^r--- - -Lr

(11)xe[2;5]

t r i l r1x) = -(50.2).(x-1)+( 228,57-* l . t*- t l 'I

( l l l )x e [0;4]

M(i l r)(x) = _xr +(71,4g _*). * ;7 '

4o - Se calculeazd expresia derivatei fiecirui moment in raport cu necunoscuta X1:

aMr(x) _ o6X,,

aMIl(x) _ _*-2dX, 7

aMrrr(x) = I_16X, 7

Se impune condilia ca rotirea in reazemul B si fie nuli; <Pe se exprimd cu relalia

? *.) . [ -* - 2]o**7 ' , ) \ 7 )

x e [0;2]

xe[2; 5]

x e [0;4]

*,=fri(-.+i[-'oo*.-f [. (t''ou

zs' x')'o]ox +

+ 100 + 228,57.x- + " - 457,14 +

t

*! ' l -x. l l , i - ' . )o*7) , l t7 )

152 Rezistenta materlalelor ll

.p, =#T.i[- (,'ru,t' - +) .(1 ",-

ru',,'*)] (2 - x)dx+

.+i[,. [',,0.. +) - *,] [; -')o-== +i[-' [-,'tt,ut . ]) * *.(rur,ro +-

2#' *ssr,,o)].0"*

.+'!(+ x1-714,"8) .-.*i["'. ['o,ro . *) . - [- + +- zr,+s) * x"

=#t[[- ",*,s7. +) *1, . [0,+,ze - * ̂ ,) +1. . (i ", -,.oru) -';l-t tr " t +l ' .(-r-!-r,,or' l +l ' .*, . l : l :. . r ,

1[ 'o '20+fr) 31. ' ( 7 ) zto "r

= -ay!! . l2g JL* z'(-gss,az + z,tsx,) -rc,s+'x., - ya+,iz7.E. ly 7.E.ty 7.E. ly

Dincondil ia ss-0 * Xr =u121^?' =194,87kN'm' 16,34

Astfel, s-a ridicat nedeterminarea static6.Diagramele de eforturi se traseazd acum prin metodele cunoscute de la sistemele

static determinate (figura 3.26,d).

3.2.3.2. Analiza SSND utilizinci metoda fo4elgr (sau metoda eforturilorlLa baza acestei metode std observafia cd deplasdrile reale in punctele SSND in

care au fost suprimate legituri gi unde au fost introduse forfe de legdtur5, pe directiaacestor fo(e, sunt nule.

in cazul acestei metode, cele n ecualii (corespunzdtoare celor n forle de legdturinecunoscute: Xr, Xz, ..., Xn ) se scriu sub forma:

Ai =6,, 'X. , +0,r .Xz +' . . .+6, . , 'X, +. . . +6,n.Xn +A,o =Q (3.41)

unde i = 1. . .n.Semnificalia termenilor din (3.37) este urmitoarea:

Ai = deplasarea totald a punctului ssND, pe direclia forlei de legiturdgeneralizate Xi ;

Ei; = deplasarea punctului pe direcfia forlei I din acliunea for[ei X1 = 1, calculatiPe SB;

A;s = deplasarea punctului pe direclia forfei Xi din actiunea forfelor exterioaredate, calculatd pe SB.

Calculul deplasdrilor pe sistemul de bazi (static determinat) se face de obicei cuformula Maxwell-Mohr.


Etape de cgrlcul pentru ridicarea ,nedeterminirii st*Lce a unui SSND. utilizdnd

@@!er:1". Se stabilegte gradul de nedeterminare statici al structurii:

n :(r .ns+2'A+s i ) -s rrra.2". Dupd o atentd analizd a avantajelor ce le-ar putea oferi ?n calcul, se alege un SB(prin ef iminarea a n legdturi simple gi introducerea in locul acestora a fortplor de legdturd

necunoscute Xr, Xe, ..., & ).3o. Se traseazi, pe SB ales, diagramele de moment incovoietor:

Mo* - din fiecare forld elementard dati (prin suprapunere de efecte);

k = 1...m , unde m = nt. de fortp elementare.

mi - din fo(a de legi turd Xi = 1; i= 1.. .n '

4". Se calculeazd coeficienlii ft gi A;s, folosind formula Ma><well-Mohr, regula de

integrare a lui Veregciaghin 9i tabelul 3.1.Rezult6:

| ' ,116,, = l -m, 'm, 'dxI u jEt ' | ,1"| ' ,1

tn1.--lA,o = l=Mo

.m, .dx = l ; (Mo, .m, +Mor ' f f i i * . . .+Mo, .m,)dx

t - dEl dE,

5". Se formeazd gi se rezolvd sistemul de n ecuafii avind ca necunoscute reacliunile

static nedeterminate Xr, definit de ecualiile:A,:0,cu i=1.. .n

153

+ aro

* 4,,

+ 4",

a1

:ai

:

6,, 'X.

an 'x.:

6nr 'Xr

5., 'X,

5,rlx,I

6nz 'X

++

! I

6,; .Xt

:

6, , 'X,:

+ . . . + 6. , i .Xi

0

0 (3.42)

=0

Prin rezolvarea sistemului de ecualii (3.42), se oblin valorile celor n necunoscute

Xr, Xz, ..., Xn giastfelnedeterminarea staticd este ridicatS.

"/ EXEMPLE DE CALCUL

!A Exemplul 3.8: Se cere ridicarea nedetermindrii statice a sistemului din figura 3.27

(analizat anterior prin aplicarea teoremei lui Menabrea), utiliz6nd metoda fortplor-


r**^f*** q = 50 kN/m

,., I/ l

vr vz

2.E1y

f**--E-lv

a)

b)

,2m,-3m,-4m

Figura 3.27

Rezolvare

1". Se stabilegte gradul de nedeterminare staticd:n : (1.1 + 2.0 + 3.1)- 3.1 = 1

2". Se alege sistemul de bazi (figura g.2l,b)

3". Pe SB se traseazi diagramele de moment Tncovoietor din forfele date {fig. 3.28 a,b) gidin forta generalizatd Xr (fig. 3.28 c).

q = 50 kN/m

,'' y Z'E)yy. / Irz l

Xt=1

Figura 3.28


Se calculeazd coficienlii6n gi As:f .4

4,., = [=f m1.m1dxd EIv

u"=+[; (-1 ?],, 1

o'o = Jr , ,

( to ' ,+Mor) 'm,dx

1 11 r t r I t (1 2.400 ") lz f g) ] .o'. = =,, L; (-100) rl L. (-1)J*+ tt =, r,J L; [-r,,1

"J-( ! .2.400 o' l ( , -9) *J- . ( ! .2 '4oo 4) [1 r-1) l =454.76Ely(2 7 ) \7) Ety\2 7 )13\7iJ

in acest caz, sistemul (3.42) confine doar ecualia:A, = 6rr .X, + A.o = Q;

! .*, - 4s4,To =o --+ Xr = 194,90 kN.m3

[3 u,,]= i

Se observi cd rezultatul oblinut prin aplicarea metodeifo(elor este identic cu celoblinut prin aplicarea teoremei lui Menabrea, dar cd aceastd metodi este mult maiexpeditivd.

E Exemplul 3.9: Sd se traseze diagramele de eforturi pentru grinda din figura 3.29.

Figura 3.29

Rezolvare

1o. Se stabilegte gradul de nedeterminare statici. Aplicdnd formula (3.32.b)

n=(t 'RS+2'A+3. i)-S.ru4 se obl ine n = 3. Observdnd cd toate fo(ele ce

ac,tioneazi sunt verticale, rezulti ci reacliunile orizontale sunt nule gi, implicit, gradul denedeterminare statici scade la n = 2 - De fapt, gradul de nedeterminare staticd reflectdnumirul reacliunilor ce excede numdrul de ecualii de echilibru static ce pot fi scrise; incazul plan, acest numdr fiind 3, rezultd cu ugurinli ci numdrul de reacliuni suplimentareeste 2.


2". Alegem sistemul de bazi din figura 3.30.a, oblinut prin suprimarea rotirilor dinincastriri.3". Se traseazi diagramele de momente

- din fo(ele dateMor - din fo(a concentratd P (fig. 3.30,b)Moz - din forla uniform distribuitd q (fig. 3.30,c)

- din fortple generalizate Xi=1mr - din Xr=1 (fig' 3.30,d)mz - din Xz=1 (fig. 3.30'e)

4". Se calculeazi coeficienlii 5rr (integrdnd (m1) cu cu el ?nsugi), &z = 6er - integrdnd(m1) cu (mz), 6zz - integrind (m2) cu el insugi gi Als respectiv A2s - integrdnd ambelediagrame Ms cu (m1) gi respectiv cu (m2).

Figura 3.30

Rezlstenla materlalelor ll

;.. =--L [] ,-,l ,1 lL.(-1)l= -4-- '1 E.ty L2 J L3 ' ,J 6.E. ly

' t r t I i t ( -1) l= 1: to. ,=+ LZ' t - t l

n. , L3 . , l 6 E rv

I r ' t I t-? r-. ' ' ' l= 2'!6,=rt . l , t - r l n, L3 . , l 6.E ty

1 ( t pab " l [1 f_el . r_q] ln 1 . ( ! t :3]_ o) f3 r_q)] .- \ 'o=E. lu lZ n i L3\ t ) \7JJ-E.r , \ , r /13\ t ) )

-+t3 f ' ) l+ (- ' ) ]= + T;r ' ( "*3b)+ozol-+#==- ̂ J . f ry . (a, +3.a.b +, o, t*1911

6.E. lvL ( . ' 4 )t ( t p.a.b . \ l t f b\ / a) l t ( t P.a.b \ [z I a) lr, '=E [ \z n 'J Lr [-zJ.[-z)j*rr, [z n "J Ld [-zJJ.

* i . ( ! .o 'u ' .n l i r l - r i : - i .a+. [u. iu*s.a)+ a.2.a1- i .q ' t ' -E.ly [3 B ) L2 ' ' ,_] E. l , 6.r E. l , 24

=-=j , f=f . (b ' * 3.a.b + z.a\ +! !36-E.1, I t ' 4

5". Se formeazd sistemul de ecuataal

[6.,., .X', + 6,r.x, + A.,o = o

16r, 'X, + 6r, .X, + Ln = o

l- . . P 'a 'blz. t .x. , + t .x" - ; - - (a2+3'a.b+2.b2)I l . '

I n.x, + 2.r.x" - l -g-q .(2az+3-a.b+ b'z)i ' l '

Prin rezolvarea sistemului de ecualii oblinem:

x,,=LFt,.#, *p.a2 .b

_e. l ,' '= r. ' *

12 '

Vom face acum urmitoarele particularizdri:(1) dacd P = 0, atunci

X -Y -q ' t t.1 =A2= n

iar momentul ta jumitatea deschideriiva fi:

M- = 9 ' l t ,'" 24

q.t-4

a.13 =4

t-158 Rezistenta materialelor ll

(2) dacd 9=0 gi o:b=f,atunci2 '

X.=X^=P'14

iar momentul la jumitatea deschiderii va fi:M^:0.

Xr

l

Figura 3.31

Diagrama de momente finald se obline prin suprapunerea diagramelor (1) si (2)din figura 3.31, sau particularizdnd valorile a, b, ( 9i P, q 9i tras$nd diagramele deeforturi pe sistemulde bazd.

Considerind q= 30kN/m, P=100kN, a=2m, b = 4m gi /=6m, oblinem:

x. =1!.4+ 30'62 = 178.89 kNm'6212

^,=19#!.1f =134,44 kNm

.2q. llz

@

TI o.t'l8I

,t

2\


X, = 178,89kN'm

x,= 134,44kN.m

V" = 115,93

@ tr.rut115,93

134,44

13S,58

Figura 3.32

@ ttx*t

Iu^ -0; oV. -134,44+178,89-30.6.3-100,2=0 -+ Vs =115,93kN

IM" =0; oVo +134,44-178,89-30.0'3-100.4=0 -+ Vn =1G4,OzkN

T(x) : 164,07-30 -2-3Ox : 0 -+ * -- Y: 0,135m30

M,.* = 164,07.1,135-178,89-100'0,135-30. 1'195' : 138,58kNm.2

Diagramele de eforturi sunt reprezentate in figura 3.32.

CJ Exemplul3.10: Sd- se determine fo(a capabild pentru grinda din figura 3.33

[1.. = 7.s90 cmoalcdtui t i d in prof i l l28 { .v _--

- " . Se dd R=210 N/mm2.

lW" = 542 cm"

Figura 3.33

160 Rozi$tenfa materialelor ll

Rezolvare

Se riciicd maiintii necjeterminarea siaticd a grinzii.1". Grinda este o datd static nedeterminatd.2". Se alege sistemul de bazd din figura 3.34.a, prin suprimarea reazemului simpludin A.3o. Pe sB se traseazi diagramele de momente din forlele date (Ms1 gi Moz - figura3.34,b gic) gidiagrama m1 din Xl=1 (figura 3.34;d).4". Se calculeazi coeficientii:

u,,=*j*.*, ,,.=+[* u u 3 6.1 . r;.]:i.f

^,, = {[jror

.ffi, .ox * iu* .', c".l =

=+Li es s e-J se u 3u -* t 3 3- I ' r . 3 ' ]==*(' ' .2so-s2,sp)Et. . '

I

5o. Sistemulconline o singurS eeuaiie:6. , rX.+A,o=0.

Dupd simplificarea rigidit5lii (Etr), rezultd:132X1=$1,5P-1'250

a)

b)

c)

d)

Figura 3.34


gi astfel reacliunea ciutatd este:X, =0,3977'P-9,4697.

Pentru stabilirea fortpi capabile se parcurg in continuare aceleagi etape de calculca 9i la incovoierea simpld a grinzilor static determinate.6o. Din condilia de rezistenld se determind momentulcapabilalsecfiuniibarei:

M."p = w, 'R = 542'103'210'10-6 = 1 13,82kNm .

7". Se evalueazi momentul in secliunile periculoase prin suprapunerea efectelor dinfo(ele date giforla de legdturd X1:

- in secliunea E (la jumdtatea distanlei BC):Me = 125 - 1,5 . P - 3X1 = 125 - 1,5. P - 3(0,3977 . P - 9,4697)M, = (153,4091-2,6931.P) kNm;

- in secliunea B:. Ms = -3 'P + 6X' = -3 'P + 6(0,3977 .P -9,4697')

M" = (-0,6138 .P - 56,8182) kNm.

X, = 27,46 kN

Figura 3.35

8". Se pune condilia ca momentul in sectiunile periculoase sd nu depdgeascdvaloarea momentului capabil al sec{iunii:

lMl< M*oRezultd:- in secliunea E

11s3,4091- 2,6e31 .pl < 1 13,82

161


153,4091-2,6931.P <113,82 -+ P*n > 14,70 kN* 153,4091 +2,6931.P s 1 13,82 -) p*o < 99,22 kN

- in secliunea Bj- o,ot aa .p - 56,8182i<trc,az* 0,61 38 . P - 50,81 82 < 1 1 3,82 -) pop > -ZT 8,0 kN (nu convine)0,6138. P + 50,8182 <11982-+ pap < 92,86 kN

Dintre toate soluliile oblinute se selecteazd valoarea minimd gi pozitivd,rezultAnd: P"uo=92,86 kN

Diagramele de eforturi pentru p=Pcan sunt trasate in figura 3.35.

-

oti l

PROBLEME PROPI.JSE

ex Problema 3"1: Pentru grinda din figura 3.36 serotirea la jumitatea deschiderii 9i in capdtul liber.recomandd aplicarea formulei lui Maxwell-Mohr.

cere si se determine sigeata 9iSe di (Elr=1,2'rOt31 N.mm2. Se

Figura 3.36

Rdspunsuri:wc = 15mm, gc = 0,0025 radianii wo = *27,5mm, go = -0,0108 radiani.

0x Problema 3.2: Pentru grinda simplu rezematd din figurasdgelile in secliunile C,D 9i F.

3.37 sd se determine

2qa

J+-rla+

Figura 3.37

- - '4rr ' : -

t

Rezistenta materialelor ll ,163

Rdspunsuri:

w^ = 37.33 9aElu

; wD = 6,33 94;uF = 26 qa3 .t r t , Ety

ox Problema 3.3: Si se determine segeata totald la jumdtatea-deschiderii gi in capdtulliber pentru pana de acoperig din lemn din figura 3.38.

Se dau: b=12 cm, h=20 cm, E=104 N/mm2.

Figura 3.38

) ','L ',u ) '," ) ''o ) a=20'

Rdspunsuri:lc = 21,92mmi fo = -12,80mm.

s Problema 3.4: Se se traseze diagramele de eforturi pentru grinda staticnedeterminatd din figura 3.39.

q = 30 kN/m

@ @ @/\ o

J" J." I ' *JFigura 3.39

P=120kN

Rdspunsuri:Mr = -202,5kNm; M" = +146,25kNm i Mg = *135kNm .

t


s Problema 3.5: Sd se geseasce vabarea forfeicapabile care actioneazi grinda dubluincastrati cu secfiune "T" din figura 3.40. Se dd: R=210 N/mm2

Figura 3"40

/nZN' , i l

L 8m l .

20Ox14 mm

Rdspuns.'

Q",o = 21'55kN/m '

0* Problema 3.6: Sd se dimensioneze din profilnedeterminatd din figura 3.41.

Figura 3.41

| (R=210 N/mmz) grinda

I'T

Rispuns.'

lMl.* = 135kNm-+ profil 130.

\

Rezistenfa materlalelor ll 165

Gapitolul 4

BARE SOLICITATE PESTE LIMITA DEELASTIGITATE

4,1 pROpRtETATtLE MECAN|GE ALE MATERTALELOR gl

IPOTEZE DE CALGUL

Analiza stirii de solicitare a barelor realizatd in capitolele anterioare a admis, cai:otezi de calcul, comportarea liniar elastici a materialului. Astfel, legea constitutivd seexprimd prin relalia

o=E'e (4.1)refalie cunoscutd ca legea lui Hoake (figura 4.1,a)

S-a considerat ca stadiu limi6 elastic starea de solicitare in care tensiuneaextremd intr-un punct este egald cu valoarea rezistenlei de calcul a materialului.

Comportarea materialelor pAnd la rupere este descrisi de diagrama o-sschematizatri (curba caracteristice). in figura 5,1 sunt reprezentate aceste curbeschematizate corespunzitoare unui material elastic ductil (figura 4.1a,b) respectivcasant (figura 4.1,c)

(5

or

a) maierial idealelasto-plastic

b) matefial idealelastie cu consolidare

Figura 4.1

c) material ideal elastic

Se poate observa ci in cazul materialelor ductile cu stare de deformareneomogeni pe secfiune, atingerea stlrii de curgere intr-un punct nu implicS, in general,stadiul de rupere (cedare). Aceeagi observalie este valabild gi pentru sistemele staticnedeterminate. Se pune astfel Tn evidenld o rezewd de rezistenfd in raport cu stadiul lacare se face dimensionarea.

Pentru analiza comportirii barelor peste limita de elasticitate se admiturmitoarele ipoteze:

(a) Relalia tensiuni - deformalii este exprimatd prin modelul ideal elasto - plastic(curba lui Prandtl, figura 4.1,a); se adopti deei eomportarea liniar elasficdpdni la curgere urmatd apoi de comportare perfect plasticd (E=0) p6ni lacedare:


(b) Deformaliile sunt mici pdnd la cedare (liniaritatea geometricd a problemei);(c) lpoteza lui Bernoulli (a secfiunilor plane), pentru bare fird slibiri de sectiune.

in consecinli, distribulia cieformaliilor specifice pe secliune ln stadiile post -elastice este asemenea celeidin stadiul elastic.

Analiza stdrii de solicitare intr-o secliune gi evolu{ia acesteia pdnd la cedare,refevd existenla maimultor stadii de solicitare:

' stadlul elaslrb ln care toatd sectiunea lucreazd in domeniul elastic

' limita stadiului elastic este reprezentatd de stadiul curgerii defihrd definit prinfaptul ai, in punctul cel mai solicitat al sectiunii, apare curgerea (e,"* =ec gi o,"* =o").Restul secliunii lucreazi in domeniulde comportare elasticd.

9bservafie: mirimile geometrice gi fizice corespunzitoare acestui stadiu senoteazi cu indicele "c".

' stadiul elasto-plasfrc apare atunci cAnd o parte a sectiunii lucreazi indomeniulde comportare elastic (e<e, 9io<o"), iaraltain celplastic (r tu", o:o") .

@bservalii:(1) Dupi atingerea valorii de curgere, tensiunile se plafoneazd (o = o")

pAni la rupere (cedare). Pentru asigurarea echilibrului, au loc redistribuiri detenslunl pe sectiune; la sistemele static nederminate au loc redistribuiri deefo rtu ri intre secli u n i.

(2) Depigirea stadiului de curgere implici aparilia deformaliilor ptastice(remanente). La descdrcarea completi a barelor solicitate peste limita deefasticitate rdmdn deformalii remanente gi, implicit, tensiuni remanente Tnsectiunile care au curs. Acestea din urmi formeazd un sisfem de forteautoech it i brat pe secliu ne.'limita stadiului elasto - plastic este sfadiul plastic, atins atunci cdnd curg toate

punctefe secliunii (u>""gi o:o"). Acesta mai este numit gi stadiu de cedare saustadiu limitd. Din punct de vedere mecanic, atingerea acestui stadiu corespunde cupierderea unei legdturi simple.

@bserva{ii:(1) Mirimile geometrice gi fizice corespunzdtoare acestui stadiu se

noteazd cu indicele "pl".(2) Pierderea unei legdturi simple este echivalentd cu dobindirea unui

grad de libeftate suplimentar. in acest stadiu, sistemele static determinate setransformd in mecanisme gi cedeazd.Sistemele static nederminate se transformd In mecanisme numai atunci cind

stadiul plastic a fost atins intr-un numdr de secfiuni egal cu gradul lor de nedeterminareplus unu.

Vom considera ln continuare ca stadiu de cedare (limitd sau ultim) al undsttucturi stadiul in care igi pierde proprietatea de indeformabilitate geometricd gi setransformd in mecanism, Acesta va fi numit mecanism de cedare iar fo(ele care ilproduc vor fi numite incdrcdri limitii gi notate cu indicele "lim".

I

(ri1f,

Rezietenfa materialelor ll

4.2 ANALIZA POST - ELASTICA A STARII DE SOLTCITAREPE SECTIUNE,

4.2.1 SOLICITAREA AXNLA iT.I OOUEruIUL POST-ELASTIC

Starea de deformafie intr-o secfiune solicitati axialin stadiul elastic este uniformd(figura 4.2,a). in stadiul curgerii de fibr6, distribulia deformaliilor specifice este, conformipotezei (c) asemenea celei din stadiul elastic (figura 4.2,b), ceea ce implicd faptul cifenomenulde curgere apare simultan in toate punctele sec{iunii.

167

a)

@@

b)

@@

Figura 4.2

Se observi cd atingerea stadiului de curgere de fibri coincide cu atingerastadiului plastic. Efortul plastic este

Npr =N":A'o" (4.2)NI

Secliunile solicitate axial nu au rezervd de rezisten[d, raportul ] tiinO unitar.N"

Atingerea efortului plastic Npr intr-o secliune a unei bare static determinate solicitatiaxial presupune transfornnarea acesteia Tn mecanism; bara se deformeazi firi a preluaefort suplimentar p6ni la cedare (atingerea deformaliei specifice ultime eu ).

4.2.2 INCOVOIEREA POST.ELASTICA

ln secliunile barelor incovoiate in domeniul elastic, distribulia deformaliilorspecifice liniare este liniard (figura 4.3,a). Curgerea apare mai intAi in fibra extremd,restul secliunii lucrAnd in continuare in domeniul elastic (figura 4.3,b). Efortulcorespunzdtor stadiului de curgere de fibrd este

M" = W, 'o" (4.3)


NT;M"=wr.6" Mo<M.p<Mpr

Figura 4.3

Pentru eforturi M t M", sec,tiunea se comporte pa4ial elastic ai pa(ial plastic(figura 4.3,c). Se poate remarca procesul de plastifiere, care se propage dinspre fibramaxim solicitati. Pentru asigurarea echilibrului, au loc redistribuiri de tensiuni pesecliune 9i axa neutri igi modifici pozilia fald de stadiul anterior al curgerii de fibrd.

Stadiul plastic este reprezentat in figura 4.3,d. lntreaga secliune se considerd, inmod idealizat, a fi in curgere. Din condiliile de echilibru

N= f ,o".dA=0+A, =A"

9i

Mo'= f ,o.rezulti cd

(a) axa neutrA (np - np) in stadiul plastic imparte sec{iunea in doui p5(i de arieegald;

(b) momentul plastic poate fi exprimat sub forma, similari stadiului elasticMol =

\1 'o" (4.4)

unde Wpr se numegte modul de rezistenld plastic Ai se calculeazd ca sumia momentelor statice corespunzitoare ariilor egale Ai gi A" separate de axaneutrd (no-no):

Wpr = Si +S" (4.5)

Atingerea stadiului plastic intr-o secliune a unei bare incovoiate este echivalentddin punct de vedere mecanic cu formarea unei articulalii plastice, deoarece rotirea sepoate produce liber 9i sec{iunea funclioneazi ca o articula[ie. Articulalia plastici sedeosebegte de articulalia structurali prin urmitoarele:

. rotirea se face sub moment constant M=Mo' fin articulatiile structurale avemM=0);

. rotirea se produce numaiin sensulin care articula{ia plastici s-a format (nueste reversibilS).

@@€66< 8" 6.;n( o"

'ftH

.z.dA-)M6 =""[k dA. k .o]

Rezerua de rezistenfd a secliunii unui element incovoiat sevaloarea raportului dintre eforturile corespunzitoare stadiului plastic Aielastic (curgerea de fibrd):

o=Mt-=wo'M.W,

exprimi prinlimita stadiului

(4.6)

L


numit gi caeftcient de adaptare plasficd a secfiunii. Valorile acestuia pentru secliuni

uzuale sunt:. secliune dreptunghiulard :. secliune circulari :

. sec{iune simetrici | :

I EXEMPLE DE CALqUL

[E Exemplul 4.1: Si se determine rezerva de rezistenld pentru secliunea din figura 4.4.

a=1,5

a =1,7

a=1,17.

Rezolvare

a)1o. Se determind pozi{ia axei neutre (n -n)

, 20x1,4 x 0,7 + 50 x 0,8 x 26 at "=ff i=15,82cm

2o. Se calculeazi modulul de rezistenle (W, ):

, - 20 x 1'43 - + 20 x 1.4 x 15.122 * 0'8 x-503 + 0,8 x 50 x 1 0,582 : 1 9.21 6,56cma'v 12 12

no.219,5q: 540cm3.*' =

-ar,uu

b) Caracteristici qeometrice in domeniul nlastic (figura 4.5)

21,25cm

500xBmm

7,5

n-

4, '42,5 cm

Figura 4.5


10

2".

Se determini pozilia axei neutre (np -np) din conditia ca

Ar=Az=12

A :20x 1,4+50x0,8 = 68cm2AFI

Az = xn.0,8 = ;

J Xn = 42,5cm.

Se calculeazd modululde rezistenfd plastic

S/01 = S., +Sz

7qSr : 20 x 1,4x8,2+ 7,5 x 0,8 x !! = 252,1cm3

Sz : 42,5 x 0 ,A*4 =722,5cm3'2

Wor = 252,1 +722,5 = 974,6cm"'

c) este

"=Wl=W=180

@bservalie: pentru sectiunile nesimetrice, valoarea coeficientului a este mai

mare decAt la cele simetrice cu aceeagi arie.

4.3 DETERMINAREA ITCANCANIUON UM|TA

Calculul structurilor in domeniul plastic are ca obiective principale:. stabilirea mecanismelor de cedare gi a incdrcdrilor care le produc numite

sarcini limitd;. stabilirea stdrii de eforturi in diferite stadii de lucru (curgere de fibri, elaste-

plastic sau cedare);. evaluarea rezervelor de rezistenld ale structurii.

Este necesar s6 evidentiem faptul ci structurile static determinate cedeazd la

formarea primei articulalii plastice (Tn cazul solicitdrii la incovoiere) sau la intrarea in

curgere a primei bare (pentru sisteme alcdtuite din bare solicitate ta efort axiat).

Structurile static nederminate cedeazi dupd formarea unui numdr de (n+1) articula{ii

plastice sau intrarea in curgere a (n+1)bare, n fiind gradul de nedeterminare staticd al

structurii.Analiza structurilor in domeniul post - elastic se bazeazd pe urmdtoarele ipoteze:. in oricare stadiu de lucru al structurii sunt satisfdcute codiliile de echiibru static,

exprimate pe forma nedeformati a structurii;

:

I\

!


'condilia de elasticitate (exprimatd prin 6<cr") se inlocuiegte cu condilia de

plasticitate, care exprimi faptul ci eforturile din articula{iile plastice (Mpr) saudin barele solicitate axial aflate tn curgere (Npr) rimAn constante dupd formareaacestora;

. cedarea survine in momentul cdnd mecanismul de cedare este format.Studiul comportirii structut'ilor peste limita de elasticitate se poate face cu ajutorul

a doui metode pricipale:. metoda biograficd (statied), care analizeazd evolulia stdrii de solicitare

considerdnd valori crescitoare ale tncdrcdrilor pAnd la cedare;. metoda cinematicd care permite determinarea expeditivd a sarcinilor limitd.

4.3.1 METODA CINEMATICA

- Metoda cinematicd este o alternativd practici, rapide gi eficientd pentru stabilireaincdrcArilor limitd. Dezavantajul metodei constd in faptul cd nu permite analizacomportirii in stadiile anterioare ceddrii.

Aplicarea metodei cinematice presupune urmdtoarele etape prineipale de calcul:(1) Se presupune format mecanismul de cedare;(2) in faza imediat premergitoare ceddrii, se exprimi echilibrul structurii prin

aplicarea Principiului Lucrului Mecanic Virtual (PLMV - paragraful 3,1.2);din ecualiile de lucru mecanic virtual rezultd valorile incircirilor limiti.

in continuare se vor detalia cele doud etape principale de calcul:

(1) Precizarea mecanismului de cedare(1a) - se stabilegte gradul de nedeterminare al structurii (n) gi se introduce

un numdr de (n+7) articulafii plastice. *

Pozilia#ulafiilor plastice este arbritard, totugi se line cont de faptul cdacestea se formeazd in secliunile cu eforturi extreme. Astfel, cele mai probabilepozilii ale articulaliilor piastice sunt:

. in secliunile de incastrare;

. in nodurile structurilor de tip cadru;'in secliunile unde sunt aplicate forle concentrate;. la jumitatea deschiderilor pe care acfioneazd forle distribuite.

@bservafie: De multe ori este posibild formarea mai multor mecanisme decedare. ln acest caz se vor forma gi studia toate mecanismele de cedareposibile.

(1b) - se calculeazd caracteristicele geometrice ale sec{iunii indomeniui plastic Ai eforturile corespunzAtoare seeliunilor piastifieate (Npr sau M4).

171


(2 ) Aplicarea Principiului Lucrului Mecanic Virtual

{2a) - se dfi sistemului o deplasare viftuald cinematicd admisibild (ingenerai unitard), astfei incdt tronsoaneie cie bar6 cuprinse i'ntre doua articulatii(plastice sau structurale) si se deplaseze ca gi corpuri rigide (in care nu apareforturi);

(2b) - se scrie ecua{ia lucrului mecanic virtual

6L" * glo (4.7)

Pentru scrierea acestei ecualii se vor lua Tn considerare urrndtoarele:

' pe tronsoanele de bari dintre doui articula{ii, efectueaz6 lucru mecanic numaieforturile din articulaliile plastice in care apar rotiri sau din barele solicitate axial aflate lncurgere. Alte forfe interioare (eforturi) nu apar, deci

gLo = -51_. = IMo,,i -0, +!Noi,r . Ar

unde: j : 1J1+ 1 reprezintd numdrul articulaliei plastice

0, este rotirea articulalieiplasticei din deplasarea virtualS impusd

k : 1,m + 1 reprezintd numdrul barei solicitate axial aflatd in curgere

Ao este deplasarea corespunzdtoare barei k din deplasarea virtuald impusd.

@bservafie: lucrul mecanic interior este intotdeauna o mdrime negativd; inconsecinfi lucrul mecanic al tensiunilor va fi intotdeauna pozitiv.

' lucrul mecanic exterior este produs de toate incircirile date (fo(e concentratesau distribuite, respectiv momente concentrate) prin deplasdrile corespunzitoare(translalii sau rotiri):

unde: P1 - este fo(d concentratd

wi - deplasarea w; pe direc{ia fo(ei Pi datorate deplasdrii virtuale impuse

Qt - for{i uniform distribuitd

w,(s) - deplasarea tronsonului de bard pe care aclioneazd q,

Mor - moment concentrat

0k - rotirea tronsonului de bard pe care acfioneazd Mo*.

@bservafie: integralele se pot efectug cu regula luiVeregciaghin(2c)- prin rezolvarea ecuatieide lucru mecanic virtual (4.7) rezultd valorile

sarcinilor limitd corespunzdtoare mecanismului de cedare considerat.@bservafie: Daci sunt posibile mai multe mecanisme de cedare, se vor obtine

sarcini fimitd corespunzitoare fiecdrui mecanism studiat. Mecanismul de cedare realesfe celpentru care s-a obfinut sarcina limitd minimd.

(4,8)

aL" = IR *,.T[io, *, o")*!M* .or (4.e)

t

L - 4!*


4.3.2 SISTEME DE BARE SOLICITATE A)(|AL

4,3.2.1 . Sisteme static determinate

/ EXEMPLE DE CALGUL

Q Exemplul 4.2: Pentru sistemul articulat de bare din figura 4.6 se di:cx,=30o, 9=45oAr = 5crn2, Az = 0,BAr

o" = 250Nimm2 '

Se cere sd se stabileascd valoarea sarcinii limiti R.

Figura 4.6

RezolvalreSistemui este static determinat, deci cedarea poate apare prin intrarea in curgere

a barei 1 sau 2.Din conditiile de echilibru static rezultd eforturile in barele sistemului

lIx = 0 fN,, sincr = N, sinp fN, = 1,366.p1-1 -(ILZ=0 [N,cosa+NrcosB=P | .Nz =0,966.P

iar eforturile plastice sunt:

Np1,r = Ar 'o" = 5 '102x250x10-3 = 125kN

Np1,2 = Az 'o" = 0,8 '5' '102 x 250 x 10-3 = 100kN.

Cedarea sistemului se poate produce prin intrarea in curgere a barei 1:

Nr = Nor,r -+ 1,366ff(1) = 125 + fl(') = 91,5kN

sau prin intrarea in curgere a barei 2:

N, = Npr,z + 0,966ft(2)= 100 =+ E(2) = 103,5kN.

Mecanismul de cedare real corespunde valorii minime a forfei limitd calculate.deci

q = min(q(1);R('?))= 91,5kN,


cedarea producandu-se in urma curgerii barei 1.

, {

4,3.2.2. Sisteme static nedetermi nate

/ EXEMP.LE pE CALCUL

!B Exemplul4.3: Se consideri sistemulde bare articulate din figura 4.7. gtiindci toate barele sunt confeclionate din acelagi material (o" = ZSOlUm.') gi au aceeagiarie (A), se cere sd se stabileascd valoarea for{ei limitd pr.

Figura 4.7

RezolvareSistemul este o datd static nedeterminat. Mecanlsmele de cedare se obfin prin

intrarea in curgere a doud bare.Mecanismul 1 - format prin intrarea in curgere a barelor (1) gi (2) (figura 4.7b).

Echilibrul limitd al noduluiO se exprimi printr-o ecuafie de proiec[ie pe verticald:B-o" 'A-o" 'A.s incr=0

sin*=*=o,u .

Rezultd:

i (o=1,6'o" 'A'Mecanismul 2 - format prin intrarea in curgere a barelor (1) si (3) (figura 4.7c).

Echilibrul structurii se exprimd printr-o ecualie de momente in raport cu nodul B,astfel inc6t efortul necunoscut din bara (2) si nu intervini :

IM. =o ; E( ' ) '4-o".A.4-o".A'3=o

7" ' =I 'o" 'A = 1,75'o" 'A.

unde:

Rezultd:

1Rezlstenfa materialelor ll

Mecanismul 3 - format prin intrarea in curgere a barelor (2) Si (3) (figura 4.7d).in acest caz, cregterea sarcinii verticale P este preluatd de bara ('l) pAni la

intrarea in curgere a acesteia.Nr = o" 'A '

Scriind echilibrul la limitd a nodului O printr-o ecualie de proieclie pe verticald

rezulti: E(t) = o" ' A + o" 'A . sin g

gi i(t) = 1,6 'o" 'A .

Se observd cd sarcina limitd corespunzdtoare plastificdrii celor trei bare esteinclusi Tn cazurile analizate anterior.

ln concluzie, sarcina limiti este

n = min(q(,) ,P{z))= 1,6' o" ' A

br mecanismul de cedare real este mecanismul 1, format prin intrarea Tn curgere a

barelor (1) gi (2).

Gi Exempiui 4.4; O bard cie rigiciiiaie infinii5 esie soiiciiaii rje o iorli conceniraii Fcare aclioneazd la jumdtatea deschiderii ei gi suspendati in capitul din stdnga cuajutorul unuitirant avAnd A, =3.A gitensiunea de curgere o". Capdtul din dreapta al

barei se realizeazdin doui variante de prindere:a) articulat (figura 4.8,a)b) suspendat prin intermediul a trei tiranli de arii egale A, - Ag = A+ = A, dispugi

simetric, av6nd aceeagi tensiune de curgere o" cd gi tirantul AD; cr = 30 ".

Si se determine forla limitd gi mecanismul de cedare pentru cele doud cazuri derezemare.

175

Figura 4,8

176 Rezlstenla materialelor ll

Rezolvare

a) Cazul barei suspendati-articulatiSistemul este static determinat, fiind posibil un singur mecanism de cedare prin

intrarea in curgere a tirantului (1);Nr = Nor : c" . (3.A) = g .o" .A

Echilibrul limitd alsistemuluise poate exprima prin ecualia de momente:

IM"=o, 3 'o" 'Ax2'a-P,xa:o

de unde rezultd sarcina limitd :

E =6'o" 'A'

b) Cazul barei sustinuti prin 4 tiranti

Sistemul este o datd static nedeterminat mecanismul de cadre se formeazd,

teoretic, prin intrarea in curgere a doi tiran{i. Din configuralia sistemului rezultd insicdteva particularitd{i:

- datoritd faptului cd trei tiran{i concurd intr-un punct (C), intrarea in curgere atirantuluiAD conduce la formarea unui mecanism de cedare ;

- din simetria dispunerii tiranlilor 2,3 gi 4 rezultd egalitatea eforturilor

Nz = No ,ceea ce inseamnd cd cei doi tiranli vor intra in curgere simultan;

- intrarea in curgere a tiranlilor inclinali 2 gi 4 nu conduce la formarea unui

mecanism de cedare deoarece eforturile pot fi preluate de tirantii verticali (1 gi

3) pdni la intrarea in curgere a unuia dintre acegtia.

Din considera{iile de maisus rezultd cd sunt posibile doui mecanisme de cedare:- - ! - - . . t

. - - ! - : - -1------ +-- - , - - - , - - - - -

a!*---a, , r , -a aRplillrul pnil llitlalea In culgere a urafirurur l.\u 9r rer qe-al oollea pnn Inlrarea ln Gurgere a

celor trei tiranli concurenli.. Mecanismul I (figura 4.9,a)

Echilibrul limitfr se poate exprima printr-o ecualie de moment nulTn punctul C:

Iw"=O : 3.o".A.2a-f f .a=0 -+ B( ' )=6.o".A

sau aplicAnd principiul lucrului mecanic virtual (metoda cinematicd). in acest ultim caz se

di mecanismului o deplasare virtuali 6 = 1, cinematic admisibilS gi se exprimd

egalitatea

6L"=51- : f ; '1=3'o" 'A'1 -+ f f ( t )=6'o. 'A'2

@bservafie: mecanismul de cedare este identic cu cel de la punctul precedent.. Mecanismul2 (figura 4.9,b)

Echilibrul limitd se poate exprima fie printr-o ecualie de moment, fie prin aplicareaprincipiului lucrului mecanic virtual.

t

1Rezistenfa materialelor ll 177

Meffinismul I

+---------r -" +lrrecanismul2

Figura 4.9

IMo =0 : 2 ' (o" 'A.cosa-2a)+o'"-A.2a-P, 'a=0

+ ne) = (2+ 4.cos30o).o".A = 5,40.6".A

6L" =51-, , n *=2'(o. 'A 'cosct^1)+o" 'A'1

-+ P,( t ) = (2+4.cosu).o".A = 5,46.o".A

Din analiza celor doui mecanisme de cedare se ob{ine cd sarcina limiti este :

mecanismul de cedare real fiind format prin intrarea in curgere a celor trei tiranticoncurenli (mecanismul 2) -

@bservafie: dacd se meregte aria tiran{ilor concurenli , se poate ajunge la situaliain care mecanismele de cedare se formeazi pentru aceeagi sarcind limiti. Pentruaceasta este necesar ca :

p( t ) =p(2) adicd 2.o. .A. , =(2+4.cosa),o".A"

gi rezultd aria tiranlilor concuren{i :

Az=---3- ' .A' :0,366'A. i ( .q, =s'R)" 2+4 'cuscr,


Dacd A, < 0,366.A, , cedarea se produce prin mecanismul 2 (intrarea in curgerea celor trei tiranli concurenli ) gi daci A2 > 0,366.4, atunci cedarea se produce princurgerea tirantului izolat AD (mecanismul 1).

4.3.3 CALCULUL PLASTIC AL BARELOR DREPTE INCOVOIATE

4.3.3.1. Sisteme static determinate

/ EXEMPLE DE CALCUL

Q Exemplul4.5; Pentru grinda din figura 4.10 , se cere :a) Sd se determine sarcina limitd (Pr) aplicflnd metoda cinematicd . Se di :

o" = 250N/mmz

b) Sd se stabileascd rezerva de rezistentd a grinzii.

Figura 4.10

Rezolvare

a) Stabilirea sarcinii limitii P1al) Determinarea ca.racbrtsticilor qeometrice ale.seqiunii in domeniul plastic (figura4.11,a)

23,14

,86

Iv

b)

22.14

->y

39,85

t

300 x 20 mmMo = 100 kN'm

300 x 20 mm

I7z

Figura 4.11

_*-


1". Se stabilegte pozilia axei neutre in stadiul plastic din condilia ca cele doui ariiformate sd fie egale

A.=A.=42

Aria totali a sectiuniieste

A - 30.2+60.1 +10'2= 140cm2Notim cu q distanla la care se situeazi axa neutrd in raport cu fibra inferioari a

tilpii superioare. Rezufte :

Ar = 30 .Z+11.1=1!Â -+ I = 1gcm2

2", Se calculeazd modulul de rezistenli plastic

Wpr = 51 +52

unde S1 9i 52 sunt momentele statice ale ariilor A1 gi A2 in raport cu axa neutri plasticd

(np-np) ;

Sr = 30.2.1 1+10.1.5 = 710cm3

S: = 10. 2 ' 51 + 50' 1 .25 = 2270cm3

Rezulti

Wo1 = 710 +2270 = 2980cm3

3'. Se determini momentul piastic , pentru care se formeazi articulalia plasticd:

Mos = Wpr.o" = 2980.103.250:10-o = 745kN.m .

a2) Anlicarea metpeleLsinematice pentru determin timitd

1". Se formeazd mecanismele de cedare. Deoarece grinda este static determinati,

este suficienti introducerea unei singure articulalii plastice.

@bservalie: articulalia plasticd nu se formeazd in mod cert in reazemul articulatde capit (A), unde momentele incovoietoare sunt nule.

ln reazemul intermediar B, valoarea momentuluiincovoietor este cunoscutd :

Me = -100 -20.3.1,5 = -190kN.m

9i

lMrl . Mo, = 745kN'm ,

deci rezultd cd in reazemul B nu se formeazd articulalie plastici. Consola BD estelegati rigid de tronsonul de grindi BC gi se va migca solidar cu acesta.

Observafie: dacd momentul in reazemul intermediar depdgegte valoarea Mpr,trebuie considerat 9i analizat un mecanism de cedare suplimentar format prin apari{iaunei articulalii plastice in acest reazem.

179


Analiza ?ncdrcdrilor de pe grindd conduce la urmdtoarele ipoteze de formare aarticulaliei plastice:

(l) in secliunea C, unde aclioneazi fo(a concentratd ;(ll) in secliunea E situatd la jumitatea deschiderii AB pe care

aclioneazi fo(a distribuiti.Mecanismele de cedare rezultate sunt reprezentate in figura 4.12.

Mecanismul I

q = 20 kN/m a=f,Mo = 100 kN.m

= 100 kN.m

s'= 4c

u,=$

Figura 4.12

2". Se dd sistemului o deplasare virtuald 6 = 1 (cinematic admisibili) gi se exprimdechilibrul prin ecualia de lucru mecanic virtual (4.7)

6L" = 6L"

Se considerd cd tronsoanele de grindi dintre doud articulalii (plastice saustructurale) se migci ca gi corpuri rigide. Din aceastd ipotezd rezulti cd singureleeforturi sunt momentele din articulaliile plastice iar lucrul mecanic interior este produs deacestea prin rotirile tronsoanelor de bard pe care acfioneazi:

EL" = 1M0,,,.0,i

Lucrul mecanic exterior este produs de :'fortple concentrate (P) prin deplasirib secliunilor unde acestea ac{ioneazi(wi) : R.w, ;

a)

b)

Mecanismul ll

q

Rezistenfa maierialelor ll

. forfele distribuite (q) prin translaliile punctelor de pe intervalul unde acesteaac[ioneazi (w):

S

Jo(s)'*'os0

Integrala se poate efectua cu regula lui Veregciaghin. Pentru fo(edistribuite uniform rezulti :

sq ' jw 'Os = Q'o*

- unde cl* reprezintd aria deplasdrilor virtuale pe intervalul [0,s] de

distribulie al forfelor;. momentele concentrate (Mon ) prin rotirile 0* ale tronsoanelor de bard pe care

actioneazi : Mo* 'o*

Termenii de lucru mecanic sunt pozitivi daci forla generalizati gl

deplasarea generalizatd au acelagi sens.

Obse:^.ratie: fiind valabild ipoteza micilor defoi"malii, i'espectiv deplasiri, rezulti

cd rotirile barelor sunt mici qi se pot aproxima prin tangentele lor:

0Etgo

in continuare vor fi analizate cele doud mecanisme:

Mecanismull

61. =p .1+20.1. t .0*eo. l ' , o-20'1 9 s-roo.12 2 24 4

51. =f +S2,5

6Lo = Mpr.(0, +e,)= nr,, . [1*+' l = * '745 =310,416\6 4) 12

6L" = 61" * P, +52,5 = 310,416 -+ qo = 257,91kN

Mecanismu[2

61" =f . !+zo' ] . r . ro -zo'+. ] 's-roo.1 =0,4. f f +G2-e - '5 2 2 5 5

f r a\ .

6L, = Mpr .(q +er)= Mo, .l *+* l= i.t+s : zsaf5 s) 5

R(rr) = 440kN6L" = 51- =) 0,8 'R + 62 = 298 -+

Fo(a limitd este valoarea minimd obtinutd Tn

mecanismelor de cedare posibile :

q = minh(r),p(l,r)= ZS7,91kN .

Mecanismulde cedare realeste mecanismul 1

urma analizei tuturor


@bservalie: dace fortple uniform distribuite sunt q=7OkN/m, din analiza celordoui mecanisme de cedare rezultd :

Mecanismul | :

Mecanismull l :

P,+246,25 = 310,416 -+ ff(r) = 64,166kN

0,8.ff +267 = 2gg -) Eor) = 38,75kN

Deci mecanismul de cedare real este mecanismul ll gi ff = 3B,75kNSe remarci faptul cd nu se poate stabili ,,a priori" mecanismul de cedare

real, acesta depinzdnd de valoarea incdrcdrilor.Trebuie de aEemenea menlionat faptul ci ecuatia de lucru mecanic virtual

turnizeazd valori pentru o singurd necunoscutd. Dacd bara este aclionatd de maimulte fode generalizate cu valori nedeterminate, intre acestea trebuie stabilitd olegdturS.

b) Rezerva de rezistentiiAceasta este datd de coeficientulde adaptare plasticd a secfiunii

M., W^,Ct=--- ! :=

P'

M"Wy

Caracteristicile geometrice ale secliuniiin domeniul elastic sunt (figura 4.11,b):30 .2 .63 + 60 .1 '32 +' t0.2.1= 40,85cmzc=

140

! = 30'23 +.ao-2-2r-142 * 1 '603 +1.6o.8862 +10'23 +1o.?.39Bsz"Y 1)

= as.Jzg,gtcmor^, 83.923,81w.. = ------:-:--:--:- = 2.053,94cm3, 40.86

Rezerva de rezistenld a secfiuniieste :

2.980a=: =1,45.

2.053,e4

EE Exemplul4,6: O bari deformabili AB, articulati la un capit gi suspendatd lacelSlalt printr-un tirant vertical BC, este solicitatd de o for!5 uniform distribuitd. Bara gi

tirantul sunt confeclionate din olel OL37, av&nd o" =250N1mm2. Secliunea barei AB

este datd ln figura 4.13,b. Tirantul BC este confeclionat din doud profile cornierL100x100x10 av6nd aria A1=156m2, solidarizate cu sudurd de col! (figura 4.13,c).

Se cere:

a) sd se determine sarcina limiti a sistemului (q1) gisi se precizeze mecanismul

Rezistonfa materialelor ll

b)

c)

de cedare:

sd se determine distribulia tensiunilor remanente in secliunea barei incovoiate

AB, in ipoteza cd ineircarea s-a fdcut pAnd la atingerea momentului plastic

(M$ urmatd de o descdrcare completS;

si se dimensioneze sectiunea tirantutui BC asfel inc6t cedarea sistemului sd

survini printr-un mecanism diferit de cel stabilit la punctul a).

I t ' , la)

secl. 1-1

+'z'ryI-+, 110 mm

lffiLo^Êln i nRl n bt '- 'Fl- ' i=lu I a

I t4--i--J4+w +ru

a,

seat. ?-2

A, = 15 cm2

c)

Figura 4.13

Rezolyelqa) Stabilirea sarcinii limiti (prin metoda cinematici)

Sistemul se compune dintr-o bard incovoiatd AB gi un tirant (bari intinsd) BC.

in ansamblu, sistemul este static determinat. Cedarea poate surveni in doud

moduri :

- prin intrarea in curgere a tirantului (mecanismul l) sau

- prin formarea unei articulalii plastice in bara incovoiati AB (mecanismul ll).

1". Se calculeazd eforturile plastice:

Bara incovoiati (AB) are secliunea simetricd in raport cu axa Oy; axa neutrd ln

stadiul elastic Ai cel plastic coincid in acest caz (fiind chiar axa de simetrie).

RezultS:

Wo, = 2 'So = 2 '810 = 1620cm3

/ cn\So = 20 .1.20,5 +z' l20.1 .+ | = Bl ocm'

\ 2)

9iM' : Wpr.qc = 1620.103' 250'10-6 = 405kN.m

Tirantu! (Be) luereazd la intindere; efortul plastic ?n tirant este

Np1 = A-o. = 2.Ar .6" =2'15.102.250.10-3 = 750kN.

, t - - /


2', Se formeazd mecanismele de cedare :

- mecanismul I prin intrarea in curgere a tirantului BC (figura 4.14,a) gi- mecanismul ll prin aparilia unei articulalii plastice in bara incovoiatd AB;

Deoarece bara este aclionatd de o forfd uniform distribuitri, articula{ia plastici sepresupune cd apare la jumitatea deschiderii (figura 4.14,b).3'. Se d5 sistemului o deplasare virtuald 6 = 1 cinematic admisibilfi gi se exprimiechilibrulin stadiul premergdtor cedirii prin ecua{ia de lucru mecanic virtual :

- mecanismul | :

6Lo = No, .5 = 750.1 = 750

16L" =q.; .1.8=4.q

' '2

6L" :51" + qf" : 7?o = 167,skN/m ;"4

- mecanismul ll :

6Lo = Mor .(0, +0,)= 4os.( ++ll = zoz,s' t4 4)( t \

5L" =q. l - : .1.41.2=4.q\z )

6Lo =6L" = qlt '='T'u =50,625kN/m.

Sarcina limiti minimi este gr=50,625kN/m iar mecanismul de cedare real este ll ,ob{inut prin formarea articulaliei plastice la jumdtatea deschiderii barei incovoiate AB.

mecanismul I

j u ' ]

Figura 4.14

b) Tensiuni remanente in sectiunea bqreilncovoiateDiagrama (idealizati) a tensiunilor normale in secliunea complet plastifiati

(solicitatd de momentul Ms ) este reprezentati ?n figura 4.15,a.

-1

Rezlslenla materialelor ll 185

La descircare, secliunea se comporti liniar elastic, distributia tensiunilor normaleliind dati de formula lui Navier

o(-) = U3.2 .ly

in care M(-) reprezintd momentul ?ncovoietor aplicat. La descdrcarea completd M(-)=-Md.Caracteristicile geometrice ale secliunii barei incovoiate (figura 4.13,b) in

domeniul efast ic sunt: | -20'423 - 18 '403 =274[0cma

'1212

9i w" =27:?o = 1308,s7cm3 .'21

Rezultd valorile extreme ale tensiunilor la descdrcarea completi

r - r 405' 106olnir',n = tffiE = +309,5N/mm'z

Diag rama acestor tensiuni este reprezentati in fi gu ra 4. 1 5, binsumAnd cele doud diagrame rezultd distribulia tensiunilor normale remanente

reprezentatd Tn figura 4.15,c.

).'zoorrrrn+

Figura 4.15

Se poate observa cu ugurinte antisimetria diagramei tensiunilor remanente;datoritd acesteia momentul rezultant este nul iar tensiunile fonneazd un sistemautoechilibrat.

c) Dimensionarea tirantullri BQ astfel incdt cedarea sistemului sd survind printr-unmecanism diferit de cel oblinut de cel ob{inut la punctul a).

La punctul a), cedarea sistemului se produce prin formarea articulafiei plastice inbara incovoiatd . Se observd ci in ecualia de lucru mecanic virtual corespunzdtoareacestui mecanism de cedare (ll) , nu intervine efortul din tirant, deci aceasta va rdmdneneschimbatd ind iferent de dimensiu nile secliu nii acestuia,

Pentru ca cedarea sd se producS prin mecanismul (l) (prin intrarea in curgere atirantului) este necesar ca sarcina limiti corespunzitoare q/r)se fie mai mici decdt cea

aferenti mecanismului ll (qlrr), adicd qfr)s q["] = S0,625kN/m (*)

/l}tR-l59,5

t{fl{


Ecuafia de lucru mecanic virtual pentru mecanismul I se exprimd sub forma (vezipunctula):

4 'q = No '1 ;

gi introducdnd fn aceasta condi(ia (*) rezultd cd efortul din tirant trebuie sd fie , la limiti

N6 = 4.QI") = 4.50,62b = 202,5kN .

Se gtie ci efortul din tirant este N* = A.o. de unde rezulti ci aria sec{iunii

tirantuluitrebuie sd fie n = M - 20al:103 .10-2 =8,1cm2 .oc 250

Pentru un cornier rezulti A, = Y = 4,05cm2 gi se alege din tabelul cu profile,2

laminate un cornier cu arie egali sau inferioari acestei valori .Se poate alege, de exemplu L40x40x5 cu A1=J,/96m2. Pentru acesta rezulta

N"i = 2.3,79 .102.25A.10-3 :189,5kN

gi din ecualia de lucru mecanic virtual a mecanismului I oblinem

4.q =189,5 -+ gf ') = 47,375kN1m

Mecanismul ll gi ecualia acestuia nu se modifici. Tn final rezultd

Qr = min(47,375;50,625)= 47,375kN / rngi mecanismulde cedare real este (l).

4.3.3.2. Sisteme static determ inate

/ EXEMPLE DE CALCUL

EI Exemplul4.7: Sd se determine forla lirniti 9i sd se precizeze mecanismul decedare pentru grinda din figura 4.16. Se cunoagte oc= 250 N/rnm2.

A 300x20mm

Figura 4.16

t-


RezolvareSe va aplica metoda cinematici. Grinda este de doud ori static nedeterminati.

Datoritd insi modului de acfiune al incdrcdrilor, reacliunile orizontale in reazeme suntnule gi, din punct de vedere practic, gradul de nedeterminare se reduce cu unu.

Pentru formarea mecanismelor de cedare este necesari introducerea a doud

articulalii plastice. Poziliile prezumtive ale acestora sunt:- in secliunea de incastrare B;- Tn secliunea C unde aclioneazi fo(a concentrati (4P);

- in sec{iunea D unde aclioneazd fo(a concentrati (2P);

- in reazemul articulat A.

Sunt posibile pentru un numdr m = Ci = h=

6 mecanisme de cedare la care

se adaugi un mecanism de cedare parlial obfinut prin formarea unei singure articulaliiplastice in reazemul articulat A,

Pentru inceput se va considera cd in reazemul articulat A nu se formeazi

articulalie plasticd, Mecanismele de cedare posibild ?n aceastd ipotezS, in numir de trei,

sunt reprezeniate in tigura 4.17.Mecanismele se analizeazi prin metoda cinematici: se dd fieciruia o deplasare

cinematic admisibilS 6 = 1 gi se exprimi ecualia de lucru mecanic virtual 6L* = 51*.

o Mecanismul I

61. = 4P .1+2P ?_p.r = *p"33

61. = Mo,(or + 2Q,)= tr[]. 3) =

3*,

6Lu -6L, -r1alt=frrll" +R(r) -frnrr,=0,192 M'

187

o@LlI

o Mecanismul l l l

61" =4P . t+zv. ! -e l=1,61" = Mpr(or + 20, ) = nlt,

[*. ?J =

ito,

alu =51o -.rr=i*r,-)pr0r) =**0,:0,214 M'

6L"=4P'1-P'1=3P

6Lo =Mo(0, +20,)=tr [ ; . t )=]* ,

?6L" - 6Lo -+ 3P =

itr - B("') = 0,5 Mo,.

189 Rezlsfenfa metefialelor lI

Mecanigmul I

Mecanismul lll

+ it" io,=tse,=f: i

2mi2mi4m

02

0.= tg6,=.f,4m

o'=f

=+4

4m

0z =itg0:

im:

iwiMo',iz

Figura 4.17

Celelalte mecanisme de cedare se pot forma doar dacl in reazemul A aparearticulalie plasticd. (figura 4. 1 8)r Mecanismul lV (mecanism de cedare par-tiali)

6L" : P'1

6L"=M' 'e '=iUo,

6' 1

L, =5Lo -+P=rMr *B( 'u) =0,5 Mo,

;

t

er;tgg,:= f,2miZm

-=


Figura 4,18

Se constatd ci articulafia plastici se formeazi pentru o sarcini limiti superioaricelor care conduc la mecanismele I gi ll. in consecin{i, toate mecanismele de cedarecare conlin articulalie plasticd in reazemul A nu se pot produce in mod real gi nu maieste necesard analiza acestora.

Din analiza rezultatelor oblinute pentru mecanismele l, ll gi lll rezulti cd sarcinalimitd este

ff = min(P,('),P(|r),P(ttr))= 0,192 Met

9i cedarea se produce prin mecanismul l.Pentru precizarea valorii acestei sarcini se vor calcula caracteristicile geometrice

ale secliuniiin domeniul plastic ( figura 4.16):r pozilia axei neutre np-np, din condilia:

A -a -A"1 2A = 30'2+60'1.2:132 cmz

Ar = t l . r , , =ry-+ Tt : 55 cm.

o modululde rezistenfi plastic, cu relalia:Wo, =S,+S,

s. : sb .1,2.q= 1815 cmg2

s. = b .1.2.?+30.2.6 = 37b cm32

Wol = 1815 +375 = 2190 cm3.

Momentul plastic al secliunii barei esteMo = Wpr 'oc = 2190'103 '250'104 = 547,5 kNm

iar sarcina limiti rezultd

189

i = 0,192 'Moi = 0,192 '547 ,5 = 105,12 kN .

190 Rezistenla matorialelor ll

@ Exemplul4.S: O grindA continu6 cu treideschideri (/=6,0 m) este incircatd ca infigura 4.19,a gi are see{iunea ale5iuiti din-2 profile u30 - ol3z, ca in figura 4.19,b.

$ti ind cd: P=#; Mo ={5; oc =250 N/mmz, iarpentru profi tutU3O,5"30

momentul static aljumdtalii de sec{iune este Su = 316 cm3, se cere sarcina limitd qr.

$v= 316 cm3

>y

Figura 4.19

Rezolvare

Mecanismele de cedare ale grinzilor continue se formeazd numai in deschiderileacestora. Se va analiza fiecare deschidere ln parte considerfind, in mod obligatoriu,articulalii plastice in reazemele intermediare B gi C.

Pe deschiderea AB sunt posibile mecanisme de cedare avAnd trei articulafiiplastice. in mod obligatoriu trebuie considerate articulafii plastice in incastrare gi inreazemul intermediar B. Pozilia celeide-a treia articulalii plastice se poate alege:

- in secliunea unde aclioneazd forta concentratd P sau- la jumdtatea deschiderii, corespunzdtor actiunii forfelor distr,ibuite uniform q.Rezultfr astfeldoud mecanisme de cedare posibib (figura 4.20)

o Mecanismul l

61" : P.r* q.1.1.6 = Le.r +3q= 4,2q2 5.

6L" = Mop(Zg, +Zar) =*,,1+* +l = 1,5 Mel\+ z)

6L" = 61-" -+ 4,2.9 = 1,5.M0, -+ qf') = 0,357 Mor

r Mecanismul l l

6Lu =p ?"o.1 t u= +.3*sq=4,5.qJZSJ

6L" = Mo1(20 ,+Zor)= Mrl : * : l :133 M"," t3 3) ' P '

6L" = $l-o -+ 4,5'q :1,33,M0, * ql") = 0,296 Mor.

2U30

t t frfual t iw]t i 1ll l-l-Jl--t-

''z

b)a)

@

:4r!*

Rezistenla materialelor ll 19'l

Pe deschiderea centrale BC este posibil un singur mecanism de cedare formatprin aparilia articulaliilor plastice in cele doui reazeme B 9i C gi la jumitatea deschiderii.(figura 4.20)

Mecanismul I Mecanismul lV

Mecanismul ll Mecanismul V

Mecanismul lil

r Mecanismul l l l

:_s!L+-aD+Figura 4.20

16L" = 1,4 . q'

r. 1' 6 = 4,2 " q

61" =Mo1(20, +20,)=*,f3.3i = {33 Mpr" [3 3)

' P '

6L" = d-" -+ 4,2. g = 1,33.M' -+ ql"') = 0,316 Mo,.

- _l_

i'1€e'=Ei

2m:

t ,- 3 i

:

r . (= -1-a-

2m

iMt I


Pe ultima deschidere CD, mecanismele de cedare apar prin formarea articulaliilorplastice Tn reazemul intermediar C gi in una din poziliile:

- sub momentul concentrat Mo sau

- la jumitatea deschiderii.Trebuie notat cd in reazemul de capdt D nu se formeazi articulalie plasticS,

momentulfiind nul.Analiza rnecanismelor (figura 4.20) furnizeazd urmdtoarele valori ale fo(ei limiti:

o Mecanismul lVMomentul concentrat Ms aclioneazd chiar in articulalia plastic5; astfel, el va fi

considerat succesiv pe cele doui tronsoane de bar5, alegAndu-se in final cazul cel maidefavorabil.

Me acfioneazd pe tronsonul din stdnga:

61" - q.1 r '6 + Mn '0 ' = 39 * o=9' '1= 3,0 'q'302(? 1\

6Lo = Mer(2ol +e2) = M"l :* ; | = 1,25 Mpr' \2 4)

6L" = EL" -+ 3,6 'q = 1,25'Md -+ q = 0,347 Mor'

Me ac{ioneazi pe tronsonul din dreapta:1 a.62 I

6L" = q. ; ' t 'U +M0.0, = 3q-} f - q--2,7.q

6L" - 1,25 Mpl

6Lu = 6Lo -+2,7'9=1,25 'Mor -+ q = 0,463 M'

Q['u)=min(0,347 Mer ; 0,463 Mr)=0,347 Mp' .

o MecanismulV

61"=q 1' ' u+Mn.o,=3q+qg 1=a,o.oc '2 30 3( ) i \

6Lo =Mpr(20, +or)=M"i l+= | - M' l" \3 3) F

6L" = $l-o -+ 3,4 'Q = Mpr -t qfu) = 0,294 M'

Sarcina limiti pentru grinda continui considerati va fi:qr = min (0,357M er ;0,296 M or ;0,3 1 6 M, :0,347 M o, ;0,294 M o, ;)

q;= 0'294 MPr'mecanismul de cedare real fiind mecanismul V.

Pentru secliunea considerati Tn figura 4.19,b, simetrici in raport cu ambele axe,se obtine:

Wo = 45, = 4'316 = 1264 cm3

Mo, =Wo, .cc=1264.103.250'10-6 =316 kNm

iI

iIt

IIttI

t =-+'4-

!,

Rezastenta materialolor ll 193

Sistemul de for{e limitd va fi:

Q = 0,294' 316 = 92,9 kN / m,

r = g*aq = 111,48 kN,

t, = g$q = 111,48 kNm.

!8 Exemplul4.g: O grindi metalicd din olel 140 (Sr=$$7 cms) este rezematd giincdrcatd ca in figura 4.21. Tiranlii sunt confeclionali din leavd rotunde cu diametrulexterior D=60 mm gi grosimea pereteluit'3mm, avand aria sectiunii4=5,37 cm2. gtiindcd rezisten(a de curgere a olelului din grindi gi tiranfi €ste o"= 250 N/mmz. Se cere sdse determine sarcina limiti qrgisd se precizeze mecanismulde cedare,

t40

S., = 857 cm"

A = 5,37 cm2

Figura 4.21

Rezolvare

Se aplicd metoda cinematice. Mecanismele de cedare se pot forma prin aparitiaarticulaliilor plastice in bara incovoiatd sau intrarea Tn curgere a tiran[ilor.

Momentul plastic din articulalie estet t t i , - 4c\ - a oEa an3 orn rn*6 ,4o E r- f , r -lv lp l : vvd'()C =z.r)y 'OC = 4'Oir t ' lU 'arJrJ ' l rJ =+aO,U l \ l \ | l l l

iar efortul plastic din tiranli este:

Nd = A'o" = 5,37'103 '250'10-3 - 134,25 kN.

Mecanismele de cedare se pot forma numai pe deschiderile grinzii. Pedeschiderea AB este posibil un singur mecanism de cedare (figura 4.22) format prinintroducerea articulaliilor plastice Tn lncastrarea A, in reazemul intermediar B gi lajumitatea deschiderii.

I ro 'n I ro 'n lz ' l

194 RezistenF materialelor ll

Mecsnlsmul ll

Mecanlsmul lll

Mecanismul lV

- 1 '-50l =io.iM"

5m

Figura 4.22

Rezislenfa materialelor ll 195

r Mecanismul I

5L"=q l . r . ro=s.qz

6L, =M'(201 +26")=! .428,5= 342,8

6L" - 6Lo -+ 5 'q =ZA|,S-- ; q[ ' ' = 68,56 kNlm

Tronsonul BC poate ceda in urmdtoarele variante:- prin formarea a doud articulalii plastice, una in reazemul intermediar gi

alta la jumitatea deschiderii (mecanismul ll); tiran,tii lucreazd in stadiuelastic;

- prin formarea unei articulafii plastice Tn reazemul intermediar B gi intrareain curgere a tiranlilor (mecanismul ll l);

- prin formarea unei articulalii plastice la jumitatea deschiderii gi intrarea incurgere a tiranlilor (mecanismul lV).

Anafiza acestor mecanisme reprezentate grafic in figura 4.22, conduce laurmdtoarele valori ale sarcinii limitd:r Mecanismul ll

EL" = q . ! - t - to-q 1 .?.2 = +,6.q2 25

8Lo -Me,(20,+or)= ! '+za,s= 257,1

6L" = f l l -o + 4,6 .q =iet J-+ ql") = bs,Bg kN /mo Mecanismul l l l

61. =q 1 1.12=6.92

EL" = Mer 'o + Npr '6 '+No, 'cos cr '6 '=

= 428,5 . $

+ tt+,zs .# + fi4 ,zs. cos 30 #

: 244 ,4r6L* = 6L" -+ 6.q = 244,47

- ql" ' ) = 4A,74 kN /m

r l \ Ianoniemr r l l \ /

-u4:Q.; ,1.7=3,s.Q

26Lo = Mer 'o + Npr '6 '+No, 'cos cr '6 '=

= 428,5' !+i f ,a,25.(1+ 0,806).3 = z+o,tst (

6L" =6Lo +3,5.q:240,15 -+ql 'u) =68,61 kN/m

Pentru formarea unui mecanism parlialde cedare, este necesard aparilia uneiarticulalii in punctul C. Aceasta este posibil5 dacd momentulfortelor distribuite de peconsola CD este egal cu momentul plastic: lM"l = M' , sau explicit

l*2ql= 428,5 -+214,25 kN/m.


Aceastd valoare este mult mai mare dec6t fo(ele limite oblinute din analizamecanismelor l-lV, ceea ce inseamni cd mecanismele de cedare ce includ articulatieplastice in punctul C nu se pot produce in mod real.

Sarcina limitd a sistemuluiesteq, : min(08,56; 55,89; 40,74; 68,61)= 40,74 kN/m

corespunzdtoare mecanismului | | L

PROBLEME PROPUSE

cr Problema 4.1: Se considerd sistemul format din doud bare articulate reprezentat in

figura 4.23. $tiind cd oc= 250Nimm2, se cere sd se determine sarcina iimiti Pr a

sistemului.

Figura 4.23

@

2180x80x8Ar = 12,3 crn2

2L80x80x10

Rdspans.'Pr=355,08 kN.

.r Problema 4.2: O bard rigidfi ABC este suspendatd prin intermediul a trei tiranli 9isolicitati de o forld P (figura 4.24). $tiind ci:

Ar= 5 cm2, Az= 1,5 A1 9i o6= 250 N/mmz,

se cere si se stabileasci fo(a limitS Pr a sistemului.

Figura 4.24

t


Rdspuns;Pr= 162,5 kN.

ax Problema 4.3: Sd se determine sarcina limiti gi si se precizeze mecanismul decedare pentru grinda din figura 4.25. Se d5: o"= 250 N/mm2.

Mo = 200 kN'm

Figura 4.25

200 x 24 mm

600 x 10 mm

Rdspuns;Pr=56,10 kN.

Jx Problema 4.4: A bard deformabild este incastrati la un capdt 9i suspendatd printr-untirant vertical la celilalt. Secliunea barei este un profil l3e iar a tirantului 2L 30x30x4. Sedi: 130: Sr=131 sme

L30x30x4; At=2,27 cmzoc=258 N/mm2.

Se cere se se stabileasci sarcina limiti a sistemului gi si se precizezemecanismul de cedare.

| 4m | 2m If f i

Figura 4.26

2L30x30x4


Rdspuns.'Pr=190,5 kN.

as Problema 4.5: Sd se calculeze sarcina limiti pentru grinda continui din figura 4.27,gtiind ci oc= 250 N/mmz.

, 200mm ,t------+

Figura 4.27

,l s^ I s^ Iz*lZ^lz^l a^ +z^+

Rdspuns.'9r=87,67 kN/m.

ox Problema 4.6: Si se determine sarcina limitd pentru grinda dublu incastrati solicitatdca in figura 4.28. Se dd o"= 250 Nlmm?.

L 3m L 3m L 3m L- r

Figura4.28

240 x 14 mm

100 x 14 mm

Rdspuns;qr=367,75 kN/m.

: l lL


Capitolul 5

FLAMBAJUL BAREI DREPTE5.1 INTRODUCERE

Flambajul este fenomenul de pierdere a stabilitilii formei de echilibru la baretedrepte comprimate. Se remarcd agadar faptul ci flambajul este specific solicitdrii decompresiune, nefiind compatibil cu solicitarea de intindere.

'tAVIIIII4

irtirudeF ent ici* fl8mbal lmpGjbil

Pl

fuvi lr lr lr lr l

t l' ,1w

@Erp6iuns @ntrici+ flamlcaiul esta posibil

Figura 5.1

Pericolul pierderii stabilitdtii formei de echilibru apare in cazul barelor zvelte incare se dezvolti tensiuni normale ce pot proveni dintr-un efort axial de compresiune, dinincovoiere sau din combinalia incovoiere cu efort axial (compresiune excentrici). Deasemenea, fenomenulde flambaj poate apare in cazul barelor drepte cu secliune dublusimetrici deschisd, supuse la torsiune ?mpiedicati (flambaj prin incovoiere - torsiune).

5.2 FLAMBAJUL SIMPLU

Pentru barele comprimate axlal, fenomenul de pierdere a stabilit5lii formei deechilibru este denumit flambaj simplu. Sub o anumiti valoare a fo(ei de compresiuneaxiale, barele pot flamba, gi deci iegi din exploatare, inainte ca tensiunile normale sdatingd valoarea rezistenlei de calcul.

Valoarea forfei pentru care bara pdrdsegte pozilia iniliald rectilinie de echilibru gitrece Tntr-o pozilie curbilinie de eehilibru este numiti fogd ertfied_ de f.lambaj gi senoteazd cu P* . Fo(a criticd se determind eu formula lui Euler

o _ nt .Ell t r -4

in care : E - modululde elasticitate longitudinal,I - momentulde inerfie alsecliunii,tt - lungimea de flambaj .

(5.1)


CAt timp forla axiald P . P", , bara rdmAne dreapti, fiind in echilibru stabil. Pentru

P=P",, bara este Tn echilibru indiferent gi dacd PtPo., para flambeazd 9i nu mai

satisface conditiile de exploatare; in final, bara cedeazi prin atingerea limitei de curgeresau a rezistenleide rupere.

@bservafie: in cazul flambajului nu mai funclioneazi ipoteza micilor deformalii.in consecinld:

. echilibrul nu mai poate fi exprimat pe forma nedeformati a barei (se vaexprima pe forma der.ormatd a elementului);

- nu mai este valabil principiul suprapunerii efectelor.Condilia de stabilitate, care exprimi evitarea scoaterii din lucru a unui element

prin flambaj, se scrie sub forma

o=$=o." (b.2)- A-- . ,. P-.unde o", =;r reRrezinti tensiunea criticd de flambaj.

Pentru calculul practic, relalia (5.2) se transformd pentru a pune in eviden!5rezistenla de calcul R prin introducerea coeficientului de flamhai I , definit ca

t -oo,R

Cu aceastd notatie, conditia de stabilitate devineN

-<Ro'A

formd utilizati pentru calculul practic la flambaj al barelor drepte comprimate axial.@bservafie: Stabilirea semnificaliei coeficientului de flambaj g, Din relalia

(5.3)

(5.4)

(*)6- =%-=to.R

se poate scrie succesiv :

n ' .El n ' .E. i2 nz -E6,=

l?A=--4-= ^z

=q'K

| . , i ^ x ' .E 1A

=' ' 4=x *=?

^, =e(f)

in care: i -razade giralie ( inerlie ) a sec{iunii,7" - coeficientul de zveltele

Analiza acestor mdrimi se va face in paragraful urmitor.

5.3 CALCULUL PRACTIC LA FLAMBAJ

in cazul ludrii in considerare a flambajului, condilia de rezistenli specificisolicitirii de compresiune centrici a barelor drepte (studiatd in partea Tntdi a Rezistenfeimaterialelor) este inlocuiti cu condilia de stabilitate :

t : "::*

tII

t;


Compresiune centrice firi luarea inconsiderare a flambajului (ReMat l)

* Condilia de rezistenld:IPI

Fl-"" =;-r- < RA

"lecti"

Gompresiune centrici cu luarea inconsiderare a flambajului (ReMat lll

. Condilia de stabilitate:

tot__ :-{L-=*I lmex

g. Aereaiv

=>Din analiza celor doui relalii de mai sus, se observd faptul ci diferenta conste Tn

aparifia, in condifia de stabilitate, a coeficientului <p. in cele ce urmeazd, vom face oprezentare succinte, din aproape ln aproape, a coeficienfilor gi mdrimilor legate defenomenul de flambaj.

{1) q - coeficientul de flamhal- ia valori cuprinse ?ntre 0 9i 1;

@bservafie: - pentru E - 0 , avem lol* -+ oo ;

- pentru q=1, condilia de stabilitate se transformd incondi{ie de rezistentd (dispare flambajul );

- valorile g sunt tabelate (Anexa 8.4) in funcfie de valorile coeficientului dezveltete l,.

@bservafie: Tabelele - cdte unul pentru fiecare calitate de material (OL37, OL44

9i OL52) - sunt structurate pe cAte trei coloane, conlin6nd valorile coeficienlilor (t,€gi

tp ) pentru fiecare dintre cele trei curbe de flambaj (A, B 9i C).

rea pe se realizeazi Tn func{ie de tipulconform tabeluluidin Anexa 8.3.(2) i - eoefieientul de zveltefe al barei

- se calculeazd cu relaliat)

tr=?I

(5.5)

existAnd cdte o valoare corespunzdtoare fiecireia dintre axele principale ale sectiuniitransversale (y qiz) :

! .x, =;L

t ,

] " r=?lz

{3) /, - Iundimea de flamhai a harei, reprezinti distanla dintre doui puncte succesive

de inflexiune sau de extrem ale axeideformate a barei.Observalie: Lungimile de flambaj pe cele doui axe (Oy Si Oz) pot fi diferite. De

exemplu, pentru verificarea la flambaj a tilpiisuperioare (talpa comprimati) a grinzii deacoperig a halei din figura de maijos se obline:

/,, = AB : BC = CD = DE = t or.r -,{ ;,.^f-. : '.,I*ih

"-! t= AC=CE=2.| . iF - \

ii,. Y"-p:lt $ ilg,--re$i9,11 _jj

t t ' . .^ ' i , , , ' * , pa1i l : \ l ; : : '

\;.*-_;: -:.;;;5-;"'

1

202 Rezistenla materlalelor ll

Figura 5.2

- I, depinde de: (a) lungimea efectivi a barei (l );(b) modulde rezemare al barei la capete;(c) modul de incircare al barei;(d) varia{ia secliunii transversale in lungul barei.

- pentru aplicaliile curente, lungimile de flambaj ale barelor cu secliune constantdpe lungime, incircate cu forld concentratd la capete sunt reprezentate in figura 5.3. Sepoate generaliza sub forma :

[ . t = I t . {

unde coeficientul p ia valorile din figura 5.3.

Figura 5.3

Tn exemplele de calcul din aceasid carte se va considera cd barele au rezemiriidentice pe cele doui direc$i 9i l, = 4 a = l r .

0,50,7

:Il ' \l rXi\tir

1,0

{

I


(4) i - raza princioald de ine4ie (de aintier- este o caracteristici geometricd a secliunii transversale a barei, cu valori

distincte pentru cele doud axe principale (Oy gi Oz) :

i, =lF. lL' '

=\ iA

unde: - iy gi I, sunt momentele de inerlie in raport cu axele principale centraleale secliunii;

- A este aria secliuniitransversale a barei.Din punctul de vedere al modului de calcul la flambaj, se disting doui tipuri de

sectiuni:, sectiunicu ambele axe (Oy giOz) materiale;. secliunicu o axd materiali gi una imateriald.

5.3.1 SECT|UN| CU AMBELE AXE MATERTALE

Pentru aceste secliuni ambele axe principale centrale "taie" materialul (figura 5.4).

rZ

Figura 5.4

L Verificare.8@: - lungimea barei l;

- secliunea transversali (formd gi dimensiuni);- incdrcarea P;- rezisten{a de calcul R.

. Se cer€: - verificarea condilieide stabilitatep' <R

gr in .A

'@.:1o. Se stabilegte lungimea de flamhraj tt = Ir. { , pe baza rezemdrilor reale ale bareigi a valorilor corespunzitoare ale coeficientului p (Figura 5.3).2o. Se calculeazi caracteristicile geometrice ale sectiunii transversale :

A - aria;lr,l, - momentele de ine(ie axiale fali de axele principale ale secliunii.

(5.7)


@bservafie: in cazul secliunilor alcituite din doui profile laminate (figura S.4, dgi f ), se dau (sau se scot din tabele) caracteristicile geometrice ale unui profil :

lA,'j ,,,l l "

Pentru secliune rezulti :A = 2.Arl ' = 2 ' lYt

I z^rz lt .=2'1t . ,+A, f : l I

L ' ( '2 l l

unde c este distanla intre centrele de greutate ale celor doud profile (misuratd in raportcu axa Oz ).3o. Se calculeazd razele principale de ine(ie (de giralie) ale sectiunii:

4". Se stabilesc coeficientii de

^ ( ,/,_ = -:-

t -

de flambaj (Anexa 8.4), prin interpolare, se oblin coeficienlii de

r, +Q,

L,. ) 9.6o. Coeficientul de flambaj al secfiunii este valoarea minimi dintre cele ob{inute maisus: g=gm;n =min(gr;g.)

7". Se verifici condilia de stabilitate:

Dacd inegalitatea este indepliniti,sau "stdlpul nu flambeazi".

ll. incircare capabili (Efort capabil). Date: - lungimea barei 4:

- secliunea transversalf,;- rezistenta de calcul R;

=P.Rrp'A

vom spune cd "st6lpul nu igi pierde stabilitatea'

ii-'' = t/i

. /i_

"={Rzveltele

0,t . .=+

' i ,

5o. Din curbeleflambaj:

io*1.",

. Se cere: - incircarea (sarcina) capabili P*o

F

l.l

: l,

a


. Rezolv.are:Pagii 1" + 6" sunt identici cu cei descrigi la problema de verificare; diferd doar ultimulpas.7". Din conditia de stabilitate se stabilegte

205

P*o =g.A.R

@bservafie: Varia{ia mirimilor care intervin in calculul la flambajdrepte:

. Se pornegte de la presupunerea cd momentul de ine(iesecliuniscade.

. Atunci :

^ ( ,+

i(pmin apare

(5.8)

al barelor

(l) al

(5.e)

unel

l , t

. Rezultd cd coeficientul

minimS 1.,n.. Astfel, verificarea sau determinarea sarcinii capabile se pot efectua directpe ciirec[ia (Oy sau Oz ) uncie momeniuirie ineriie axiaiesie minim.

lll. Dimensionare..re,: - lungimea barei X,;

- incdrcarea P;- rezistenla de calcul R.

. Se cere: - forma gi dimensiunile sec{iunii barei

. Rezolvare:Dimensionarea secliunii nu poate fi efectuatd direct din conditia de stabilitate,

deoarece apar doud necunoscute dependente (q Si A ) .

Dimensionarea la flambaj a barelor comprimate centric se face printr-o metoddaproximativa, numitd metada coeficientului de profil.

Coeficientul de profil se definegte prin :

3l=

de

l l I

\ lF*flambaj

n'-E ,=O=-*' t ' .Rpe direclia cu ine(ie

.A2J(=-

II

iar valorile lui sunt aproximativ constante pentru diferite tipuri de secliuni. In Anexa 8.2,sunt date valorile uzuale ale coeficientului de profil k.

1". Se stabilegte lungimea de flambaj, lindnd cont de lungimea reald (!. ), modul derezemare gi vaioriie coeficienliior p (figura 5.3 )

! . ,=yt . ! ,

2". Din Anexa 8.2 se aleg (Tn funclie de forma sec$unii), coeflcienlii de profil:

,A 'Kv =J-

ly

,A2l ( - =-

'1

Rezbtonta materialelor ll

3o. Se calculeaz5 coeficientii :

lk. R1.=Ir .1 l -'vP

4o. Din curbele de flambaj ( Anexa 8.4) se oblin :

€, +9,

1, + <?,

e=emrn =min(gr;q,)gise considerd

este oricum una aproximative.

5o. Se calculeaze aria necesard a

@bservafie: lnterpolarea nu este obligatorie, deoarece metoda de dimensionare

Psectiunii ft-^- = iar in cazul sectiunilor

<p.R

alcituite se obtine pentru un profil A'n"" =

"k6o. Se aleg dimensiunile secliunii (sau profilul laminat) astfel incAt A"r ) An". sau, in

cazul sectiunilor alcituite din doud profile A,.*, ) A,.n"" .

7". in mod obtigatoriu se face verificarea secliunii alese, urmand pagii 2' + 7" dela problema de verificare. Metoda coeficientului de profil fiind o metodd aproximativi nugaranteazd rezultatul final. Astfel, secliunea aleasi poate sd nu verifice condifia de

stabilitate (o* >R) sau, dimpotrivi, sd fie supradimensionati (o,,, (<R), in ambele

situalii se revine la punctul 6" gi se alege o altd secliune; evident aceasta trebuie, larAndulei, verificatd!

. , EvEf, ITI I E NE AAI AT ITt t-r\Ltttr LL ut- \rr. lLt LrL

m Exemplul 5.1: Sd se verifice stabilitatea stdlpului din figura 5.5, gtiind cd

R = 210N/mm'. Sd se determlne apoiincdrcarea capabild aferenti acestuia .

P=3000kN

tvI

I

P

i, q

o10 0.99820 0_98340 o.s2760 o atc80 0.694

100 0.552120 o.432

Figura 5.5

-a

Rezittenla materialelor ll

Rezolvare

a) Verificarea stilpului1o. Se stabilegte lungimea de flambaj :

1., : 1t. (.

unde, datoriti prinderilor (incastrare - jos; simpli rezemare - sus), rezulti $:0,7[t =0] . 4m = 2,8m = 280cm = 2.B00mm .

2". Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii :R = 2. (30 '2)+ 60 .1 = 1B0cm2;

t" =2.1 q3+(so z).st ' l+' '9=o' *(t.oo).0' = 133.360cma' 112 J 12 \-- l

,, =r.l ' ' rt!r ' + (zo,so)'o'.l.s1. + (oo.r),0? = e.' 'scmaL_

3o. Se calculeazdrazele principale de inerlie igiratie) ale sec{iunii:

i, =,F=,m+ =27,22cm;' VA U 180cm'

,, = ,l+= ./n;?o=!:T' = z,o7cm.\l A V 180cm'

4". Se stabilesc coeficienfii de zveltele :

x,=!=i999m =1o,z9i' i, 27,22cm

?"_:!r _ 28ocm :39.60.' i. 7,A7cm

@bservalie: Coeficienlii de zveltele l" 9i coeficienlii de flambaj a suntadimensionali.5". Din tabetul r = r(q) prezentat Tn figura 5.5, prin interpolare, se calculeazdcoeficienlii de flambaj pe direcfiile Oy giOz :

.Lr=10,29 l "= 0 -+ g=1,000

X=24 -) <o = 0.983

+20 [] (-o,otz)[e]+ 10,29 x

-+x- 10'29'{:0'017) =*0,009 -) e, =1,000+(-o,oos)=9,99120

.I, = 39,60 ?,. =2O -+ e = 0,983

l"=40 -) q=A,927

+ 2o [r] (- o,oso)[,p]+ 19,60 x


-*=1gq#ps)=-0,055Rezultd ie'

= o'ssi;

lq. = 0,928.

9. = 0,983 + (- o,oss) = 0,gze

6",

7",

lo^ lr r rmax

lo^ lI r t ro l

Coeficientul de flambaj al secliunii este: tp = min(9r;9,)= 0,928 .

Se verificd conditia de stabilitate :P

= <Re.A

3.000 -103= ---------------t = 179,60N/mm' < R = 210N/mm2.0,928 ' (1 B0 . 1 O'?mnn: 7

Rezultd cd stAlpul nu igi pierde stabititatea (nu flambeazd).

b) incircarea capabili a stiilpuluiPagii 1o + 6o au fost parcurgi la verificare .

7". Se determind, din condilia de stabilitate, valoarea incdrcArii capabile :P*p = e. A. R : 0,928. 180. 1O'z . 210 =3.507.840N=3.go7,g4kN.

@ Exemplul 5.2: Sd se dimensioneze din profit laminat I stAlpul din figura 5.6. $e ddR = 210N/mm2.

Figura 5.6

Rezolvare1o. Lungimea de flambaj este :

t t =0,5 4 = 2m= 200cm = 2000rnm2". Din tabele (Anexa 8.2), pentru secliune profil l, se aleg coeficien{ii de profil

ky=0,48 i k.=11.

iI

iItII


3o. Se calculeazd coeficientii:

4". Prin interpolare se oblin coeficienlii de flambaj (+, gi e. ):

'€v=33,94 6 A

=162A8

20,241,5

0,9830,927

(+20,70) ... (-0,056)(+13,74). . . x

-+ .o.. = 0.983 + 13'74'(-0'056) = 0.946' 20.7

'4 .=162,48 F

134,6182,6

(p

0,5520,432

50

6"

(+48,00) .. . (-0,120)(+27,83) .. . x

-) (P, = o,ssz + 27'83;!-=oJZO) = 0,482' 40,0Rezulti 9 = min(0,946;0,482) = O,+gZ.Aria necesari a secliuniieste:

An"" =+= -'-,3?9999. u =3457,81mm2 =35,58cm29.R 4,482.210N/mm'

Din tabelele cu profile laminate | , se alege profilul 122, cuA"1 = 39,6 ) An"" = 34,58cm2 .

Momentele de ine(ie (efective) ale secliuniisunt:

lv = 3.060cmo ; l, = 162crna .

@bservafie: Urmeazd etapa de verificare a secliunii alese.Razele principale de inerlie :

. l l ' lg.oooi , , = . l- i =. i : : = 9,41cm;' v A ll34,58

' .=,1+ = ̂lX=2,16cm'\J A .\134,58

Goeficienlii de zveltele :

x., =L= 39tt =z1zs;' iu 9,41cm

7".

8".


degirdosgdep6SE

tn

fie

tnr

E€

oo

)'. = != 39!! = e2,5e.' i. 2,16cm

Se stabilesc (prin interpolare ) valorile efective ale coeficienlilor de flambaj

' Lv =21'25

__+ qy

' L' = 92,59

(+20)(.+1,25)

_ n oR? _ 1,25.(-.0,056) _'24

l"

80100

l, <p

2A 0,99340 4,927

. . . (-0,056)X

0,980

(p

0,6940,552

Se alege

(+20) ... (-0,142)(+12,59). . . x

-> 9. = 0,694 +12',59'\-0',142) = 0,60520

q = min(0880;0,60s)= 9,695

= P =R

Qer 'Aer10". Se verificd conditia de stabilitate: lo,l, | ,p lmax

lo*1."* = **ry# := = 146,09N/mm2 < R = 210N/nnm2.0,605"3.690mm' t f qq+

Agadar, alegerea fdcutd (profil 122) este corespunzitoare.

5.3.2 SECTIUNT GU O AXA MATERTALA $t UNA TMATERTALAt

Acest tip de secliune este specific stAlpilor alcitui{i din elemente mult depirtatesolidarizate intre ele cu pldcule pozilionate in lungul axei barei, la anumite distante(figura 5.7).

Seclilnea A - A

pEcule sudate la distanla l,

rnontant

- i -

Figura 5.7

., -, ' ' , ' . a' t l l l

*t ,3

, _ o_' _ 1filru u^^n,'u,

i i "ns, ' d/)

i lz(a*iit"t"ti"tg)

-\


O secfiune este cu atat mai eficientA la flambaj, cu cat materialul este dispus maideparte de axele centrale (deoarece cregte momentul de inerfie gi, implicit, raza degiratie, scizAnd coeficientul de zveltele). Marea,majoritate a secliunilor alcdtuite avf,nddoui axe materiale au moment de inerfie redus pe una din direc(iile principale, fiind decisensibile la flambaj in plan paralel cu aceasti axd. Acest neajuns poate fi Tnldturat prindepdrtarea profilelor de aceasti axd principald gi implicit cregterea momentului de ine(iep6nd la o valoare apropiati de cea corespunzdtoare celeilalte direc{ii principale. Altesecliuni alcituite din elemente mult depirtate solidarizate cu pldcule sunt reprezentate?n figura 5.8.

. rZ: , rZ .<---E+ <------a-*

Figura 5.8

Cele doui profile (elemente longitudinale) care alcdtuiesc secliunea se numescman'.anti. Axa centrald care inteisecteazi montanlii se numegte axd maieriaid iarceafaltd, care nu taie montanliieste axa imateriald.

StAlpii solidarizali cu plicute pot prezenta doud forme de pierdere a stabilitilii:flambaJul local * se produce atunci cdnd montantul se incovoaie Tntre doudpldcufe- Evitarea flambajului local se realizeazd prin mdsuri constructive, delimitare a distanleidintre doud plicule consecutive.

- flambatul general - se produce prin incovoierea Tntregii bare, iar siguranta severifici prin calcul.

@bservatie: ln aplica{iile prezentate vom considera cE axa imateriald este infiecare caz axa Oz; in cazul in care axa imateriald ar fi axa Oy (gi nu Oz), ar trebuiinversate rela{iile corespunzitoare mdrimilor aferente celor doud axe .

in acest paragraf se utilizeazA urmitoarele nota[ii pentru caracteristicilegeometrice ale montantului (figura 5.9):

41 - aria montantului;

lur,lzr - momentele de iner{ie in raport cu axele principale ale montantului (Gry,

9i G,z, );e - excentricitatea axelor centrale principale proprii ale montantului;

r : ri - - l 'v' - i . = i ' '1 - razelede inertie (oiratie) ale montantrrhri.'Yt

IA, , ' ' ' 1A. - ' ' - ' ' ' - \e"--r ' - '

Figura 5.9

211


c - distanta intre centrele de greutate ale celor doi montanfi;lt - distanla lntre axele a doud plecute consecutive;(. - lungimea stAlpului(barei).se consideri cd pldculele au rol constructiv, de solidarizare a barei gi nu

contribuie la preluarea efortului axial.Asigurarea barei impotriva flamhaJului local se

constructivd

!.1 < 40. i ,1

realizeazi prin condi{ia

{5,8)Aceasti condilie limiteazd distanla dintre doui pldcule consecutive.ln generaldistan{al, se alege multiplu de 10 mm giconstantd pe lungimea stAlpului.

verificarea flambajului general se face cu conditia de stabilitate:

oq, =-\<R

unde pr,n = min(rp'rps).

coeficientul de flambaj ey se determini pentru axa materiald oy analogsecliunilor cu dou6 axe materiale (paragrafulS.3.1).

ll I{ curba de flambail , -+ i ,=f / t*^,=t '%*,

Pe direclia axei imateriale Oz se determind un coeficient de flambajtransformaf tp,., dupd schema urmdtoare:

drba ds flambaj

(5.e)

(5.10)Rezultd ci verificarea stf,lpilor avdnd secliune alcdtuiti din elemente depdrtate se

face dupd regulile de la secliunile pline, inlocuind insd pe ),. cu X.o.in cele ce urmeazd se va detalia modul de rezolvare al celor trei probleme ale

Rezistenlei materialelor pentru secliunile cu o axd materiald gi una imateriald.

l. Verificare. Date: - lungimea barei t;

- alcdtuirea secliunii transversale (tipul montantului gi distanta intrecentrele de greutate ale montan{ilor c);

n- /.1l . -+ i . =.1* +L- =aIvA . i . l; )' l-)'o =

'[d*t"'', l l - r ^

L4 |

1,r= - l? -) / , t =--- 1VA, 1. , )

in schema de mai sus intervin urmdtoarele mdrimi:. coeficientul de zveltete al montantului

0A !1

o, =;

. coeficientul de zveltele transformat

?\. = JE+11

iII

tt

\


- distanla intre Pl6cu[e /';

- incdrcarea P;

- rezistenta de calcula materialului R.. Wgg,: - verificarea flambajului localgigeneral.. Rezolvare:1o. Se stabilegte lungimea de flambaj 1,, abarei, in funclie de rezemare (coeficientul

P- f igura 5'3) ! . , =1s..( .

2o. Se calculeazi caracteristicile geometrice ale secliunii transversale:

- se cunosc (din tabelele cu profile) caracteristicile geometrice ale montantului:

A1, lyr, 1,,, e (pentru profilele asimetrice)

- se determini razele de giralie (ine(ie) ale montantului

,r : l*, - l l ",,, _

\lA,- se calculeazd caracteristicile geometrice pentru intreaga secliune (figura 5.10)

A = 2.Ar i , =1p=iu,

i.=ff*i,,'

t

i i ilc, i c,iI -'-oi- -'lr : li r i

213

l, =2' lyt

r. = z[t.,I.A. I, IJ

(c+t-

\2 )'

e

Ni 'c-i - i ; - l]A:

+-*r l

Figura 5.10

@bservafie: in unele probleme se di dimensiunea a a secliunii. in acest caz,

distanfa dintre centrele de greutate ale montanlilor se poate stabili cu ugurinld:c=a-2'e

Yz1

l}

z1


3". Verificarea flambajului local se face cu relafia (b.B)(,1 < 40 . i . l

Din acest punct, calculul se sepai-i pe cele doui axe prineipaie;t Calculul pe axa materiald Oy:

4". Se determind coeficientul de zveltete0

l , =1lz

5"' Din curba de flambaj, prin interpolare liniari se obline coeficientul de flambaj:lv+9'

o Calculul pe axa materiald Az:6o, Se determind coeficientiide zveltete

, - ( ,'u , - l l ,

L. ,=?lz't

gi se calculeazi coeficientul de zveltete transformat

\u - J)"1*E,7". Din curba de flambaj, prin intei'polare liniaie, rezuiti

f r , + Qu.Pentru verificarea flambajului generaf se mai determind:

8". Coeficientul de flambaj al sec{iunii este

e = gmin = min (gr,<po)

9'. Se verifici conditia de stabilitate lo I, I e lmax

D- ' -<R<p.A

Dacd inegalitatea este satisfacute, Ee spune ci stdlpul nu flambeazi.

@bservatie: Secliunile alcdtuite din elemente depdrtate se incadreazi pe curbade flambaj B pe ambele directii.

ll. incircare capabild. Date: - lungimea barei !;

- distanla l,lntre plicu{e;

- rezistenla de calcula materialului R;- alcdtuirea secfiuniitransversale - tipul montantului;

- distanla c intre centrele de greutate alemontantilor.

. Se cere: - determinarea fortei capabile p",o

. Rezolvare:Etapele de calcul sunt identice cu cele ale problemeide verificare (1"+B'), cu

exceplia ultimului pas, care devine:poo = q. A .R


lll. Dimensionare. Date: - lungimea barei l;

- incdrcarea P;- rezistenla de calcula materialului R;

. gg-€Ig.: - alcituirea secliunii transversale - tipul montantului;- distanla c intre centrele de greutate alemontan[ilor.

- distanla I, intre pldcule.

'@l€Ie,:1". Dimensionarea la flarnbaj este o problemd complexi care implici determinareaunui numdr mare de necunoscute (caracteristicile geometrice ale montantului:41, ly' 1..,; distanla intre montanli c Ai pldcule /, ), multe dintre acestea dependente.

Abordarea problemei de dimensionare se face in trei etape:(a) - dimensionarea montantului prin aplicarea metodei coeficientului de profil pe direcliaaxei materiale (Oy):

Se stabilesc: 41, lr1, 1,, gi, daci este necesar, e;

(b) - stabilirea distanlei /, intre axele pliculelor se face din condilia de evitare aflambajului local:

!.1 < 40.i.1

Lungimea panoului (/,) se atege multiplu de 1Omm gi astfelincAt, pe cdt posibll,

bara sd se dividi in panouriegale.(c) - determinarea distanlei intre montanli se face din condi,tia de echistabilitate a

secliuniil , = xn (5 '1 1)

Condilia (5.11) exprimd faptul ci secliunea are momente de inerlie egale pe axamateriald 9i cea imateriali.

Pagii pe care ii presupune acest calcul sunt practic invergi celor parcurgi laverificare gi sunf schematizali mai ios.

Verificare

i /^ \ ' It ,=2.11"* l i l .A, l

L\z/ j

, t r' , :do

00)". = .--_; lut =:-

- lz lzt

L,, = Jt **,

Dimensionare

^ / ;2 . ^z l: -=ynt*ot f _ x.=rEiAtr=Ay

)

^ ( , ( . ,Lr:-7 = l .= i -

l= L,

n-

' ,={ t+t .=1a.4

r. -2.1r.,*l,9)' .n,l= "' L ' ' \2) . l

(b)

(c)

(a)

(d)

(d)

(c)

(b)

(a)


ln continuare sunt detaliate relatiile de calcul utilizate in calculul practic de

dimensionare al barelor ccmprimate centric, cu secliune alcituitd din elemente

depirtate.

1o. Se stabilegte lungimea de flambaj: 1,, =1t.'!.

2o. Se alege forma secliunii gi ?n funclie de aceasta, ooeficientul de profil k, din

Anexa 8.2.

3o. Se calculeazi coeficientul: Eu = n,,/qI' l l P

4o. Din curba de flambaj corespunzitoare rezulti coeficientul de flambaj pe direc{ia

axeimateriale Oy: l, ilrbadel!91!!L )cP, (aProximativ)'

5o. Se determind aria necesar6 a sec-tiuniip

An* =rQr 'R

6o. Din tabelul cu profile laminate se alege montantul gi se extrag caracteristicile

geometrice ale acestuia: A1, lr1, l.r.

ln continuare se face verificarea pe direclia axei materiale (Oy) a secliunii alese.

7". Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii pe direclia axei materiale:

A=2A.

l ' =21' t

i , = i r , , =, f*1.tAr

8". Se determind coeficientul de zveltele gi, in funclie de acesta, se calcuieazi - prin

interpolare - coeficientul de flambaj real (valoarea exacti):

^ l. srba d€ flambai

^t =i l ) QY'

9o. Se verificd stabilitatea secliunii pe direclia axei materiale:

o = P aR* gr 'A

@bservafie: Daci nu este satisficuti condilia de stabilitate, se revine la punctul6" gise alege un profilcu arie maimare, dupd care se parcurg pagii 7'+9"; procedeulserepeti pdni cdnd este verificatS condilia de stabilitate.10'. Se stabilegte distanla intre plicule (lungimea panoului) /, din condifiile:

. < 40' i . . ;

. mult iplu de 1Omm;

. si rezulte un numdr intreg de panouri ,

Notd: i,,, =,F

4

d

o

c

I

tF

T


11". Se calculeazd coeficientul de zveltete al montantului pe inSlfimea unui panou:

^ l ,&r=:-

tr,

12". Din condifia de echistabilitate (5.11) se determine valoarea coeficientului dez\reltete de directia axeimateriale (Oz):

x,: J*,113". Se calculeazd raza de ine(ie pe direcfia imaterialS

v

i .= i r' l \Z

14." Se stabilegte valoarea momentuluide inerfie pe direclia imateriald (Oz):

t . = i | .A (*)

15". EgalAnd valoarea momentuluide ine(ie exprimatd prin relalia

f r tz lt .=2.1t , ,+[9] .Al- L- ' \2) j

sl valoarea (*), oblinutA in pasul 14', se obline o ecuatie de gradul l, din care serjetermind ciisianla c ciintre cenireie cie greuiate aie monianliior.

(a) De obicei in schilele de execulie se trece dimensiunea a (lilimeadetenninatd ?n func{ie de c Ai rotunjitd in sus la multiplu de 10 mm.

(b) Nu este necesard verificarea, deoarece procedeul de determinare alintre montanti este unul exact, Condifia de echistabilitate impliciegalitatea tensiunilor convenlionale la flambaj in cele doui plane:

secfiunii),

distanteide fapt

0*9r 'A 9u'A

@bservafie: Pot si apard gi combinafii ale celor trei probleme (verificare,dimensionare, forli capabili); de exemplu se poate cere verificarea stdlpului pe direcliaaxei materiale gi apoi stabilirea distanlei dintre montanlii din condilia de echistabilitate asecliunii.

/ EXEMPLE DE CALCUL

ES.Exemplul 5.3: Pentru stalpul metalic lncastrat la bazi gi liber la vdrf, solidarizat cuplicule din figura 5.11 se cere:

a) verificare la flambajb) stabilirea fortpi capabile.

Pentru profil 130 se dau: Ar = 69,1cm2

lvr = 9.800cma; l,r = 451cmo;

R=210N1mmz.

218 Rezlstenp materlalelor ll

r$

r-:,-I c=1somml

11 = 6o crn

Figura 5.11

Rezolvarea) Verifi carea stf,lpului1o- Lungimea de flambaj este: /r : tr.l :2.3m = 6m = 600cm = 6.000mm

2". Caracteristicile geometrice alesecfiunii:

A = 2 'A, =2.69,1= 138,2cm2

lv = 2 ' lvr= 2 ' 9.800 = 19.600cm4

, . [ , , A i " ) ' l n l" ,^ ."n"( ibr l ' l_.o,c_tE,- tE-*4iz&z' l izr

r nr ' [ t .J ] ; ' ' Lrr '1- ' "" ' I2J I

: ( , 'u ' \ , ' ' rJ\ ' r I '

Razele de giralie:

= @=1191cm1/ 138,2

:792cm

= a55cm

Se verificd flambajul local: 4, = 60cm; 4O .i.., =40 . 2,55 = 102cm

Rezultd ! 1 < 40. i., gi nu se produce flambajul local al montantului.

Se determind coeficientul de zveltele pe direclia axeimateriale Oy

x = L- 6oocm = 50.3g' iu 11,91cm

i r=#, t rt =! ;

30

4516et

4"

="#.:

. \

Rezbtente materlalelor ll 2{9

50 Coeficientul de flambaj pe directia axei materiale rezulti:

Lv = 50,38

60. Se determind coeficientul de zveltele pe directia axei imateriale Oz:

-) av :o,ez7.!g*@=0,87G

(+ 2o) (-o,ose)

(+ 10,3s) x

-+ tp,, =0,829.19:q#A=0,G99

^ l, 600cml,- : r=-: : - :J=75,76' i, 7,92cm

x,=1, - 6ocm =23.b3i.r 2,55cm

It, = 79,33

+ l.r = JE;n = Jrs;/63 +'zs,$, = 7e,33

7". Din curba de flambaj, prin interpolare liniard rezultd

(+20) (- o,r ss)(+ 1ep3) x

Bo. Se alege <p = min(0,876 ; 0,699) = 0,699

9o. Se veriflcd condilia de stabilitate

rr P 2.000'103Nlc^l =207,04 N/mmz <R=210N/mm2r-er,* g,A 0,699.(139,2.102)mm.

Deci, st5lpulnu-gi pierde stabilitatea (nu flambeazd).

b) incircarea capabili a stlilpuluiPagii 1"+8" sunt identici cu cei parcurgi la verificare. lncircarea capabil5 a

st5lpului se calculeazi din condilia de stabilitate gi rezulti10' . P*p = 9. A. R =0,699.(138,2.10t)mm' . 210N/mm2 = 2.028.637,gN =

= 2.028,64kN.

Q Exemplul 5.4: Si se dimensioneze stAlpul cu pldcule din figura 5.12, din doudprofile U dispuse fafd in fa!i.

Se va utiliza curba de flambaj din exemplul 5.2.Se dd rezistenta de calcul a ofelului R = 210N/mmz.

RezolvareEtapa (a) - Stabilirea montantului (profil laminat U)1o. Lungimea de flambaj

Ir =4,7.4,5 = 3, i5m:3iScm = 3150mm

220 Rezletenla materialelor tl

io=4,5m

Figura 5.12

2o - Din Anexa 8.2 se alege coeficientul de profil pe direc{ia axei material: k, = 1,26(pefitru sectiune alcdtuiti din doud profile U, dispuse fald ?n fa!a).3". Se calculeazd coeficientul

7

4". Prin interpolare liniard din curba de flambaj, oblinem rp" (coeficientul aproximativ

de flambaj)

. -f^r"'^

I€q

(+ 3o,t) (- o,res)(+ 18,62) x

-+ ev :o,B2s.gg#g :0,145

5".

6".

7".

Se determind aria necesard a unuimontant:

Al,nr" =P 350.103 = 1118,57mm2 = 11,19cm22.<p'R 2'0,745.210N/mmz

Din tabelele cu profile laminate U se alege profilul U10, cu:A'a =13,5 cm2 )A'no =11,1 gcmt gi lyr =205cma , lrr =2g,3cm*

in continuare se face verificarea sectiunii alese: .

Se calculeazd caracteristicile geometrice ale secliunii pe direclia axei materialeA, =2'Ar."r = 2 '13,5=27Cm2

lr .a1 =2 ' l r , : 410cma

: : /1" l+ lorr : r r t=!A ={t=3'9cm

\


80. Se calculeazi coficientulde zveltele pe direclia axei materiale

?u., =!+= 31:JT = 80,76' i, 3,9cm

Prin interpolare, se obline coeficientul de flambaj real gu:

Lv = 80,76

0,76.(-0,142)-) gy,* = 0,694 + = 0,688

20

9". Se verifici condilia de stabilitate pe direclia axei materiale Oy:.D

lo'î=---i ' <Rvl 9y,er 'Aet

P-1 = Uffiffi

= 1 88'42Ni mm2 < R = 21oN/mmz

Rezultd cd alegerea a doui profile U10 este corespunzdtoare.

Etapa (b) - Stabilirea distanfei dintreplicute (/.')

10". carcutim '"

= Jk*

= J#

=\47cm

Din condilia de a nu se produce flambaj local, rezulti distanla maximi intrepldeule

| 1,. = 4O'i., = 4A' 1,47 = 5B'$crn

Se alege l, 3ln,^, = 58,Bcm , astfel ca lunginnea stdlpului !. = 4,5m sd se imparti

intr-un numir ?ntreg de panouri; numdrul minim necesar este:I 450cm

n"*=lrn* =uu,,Bot=' 'o"

Se vor considera n=g intervale, de lungime t, = ! =1{T* = 500mm.

Etana {c} - Stabilirea distantei intre montanti-11". Coeficientul de zveltete al montantului este:

1"" - /, - Socm =34.01

' i,'r 1,47cm

12". Se determind coeficientul de zveltele pe direclia axei imateriale Oz clin cond$ade echistabilitate a sectiunii. Rezulti:

?,. = ,l*, - rl = Js0,z62 -34,012 =732i .

Rezietenfa materialelor ll

13". Raza de inerlie pe direclia imateriali este

i, = += +::n = 4,3ocm .'

^". t alc

14". Momentul de inerlie pe direclia imateriali este egal cul, = i,. .,A = 4,302 . 27 = 4gg,23cma .

15'. Se exprimd momentul de ine(ie in funclie de caracteristicile geometrice ale

montantutui t.=21t.,-i:l ' A,l= 4ss,z3 .L\z)J

Rezulti: z.lzg,gn(9-)' ,u,ul =4ss,z3L\4/ l

gi, dupd efectuarea calculelor, obfinemc = B,08cm.

Cu aceasta, distanla intre profile va fi€t=c*2e; e=1,55cm;3 = 8,08 + 1,55 . 2 = 1 1,18cm.

gise rotunjegta in sus la multiplu de 10 mm. in final, rezultia=120 mm.

5.4 FLAMBAJUL BARELOR SOLICITATE LA INCOVOIERECU COMPRESIUNE

Barele solicitate la compresiune centrici au sdgelile w nule p6ni la atingereaincdrcdrilor critice Po, c6nd este posibili o configuralie de echilibru instabil cu w:e0.Pierderea de stabilitate produsi in acest fel se numegte flamhaj prin hifurcare (figura5.13).

""-Jw*0t.

lr""

Figura 5.13

E,l l

s(pic(

e1pl

\


Comportarea barelor solicitate la incovoiere gi compresiune (figura 5.14) estecalitativ diferit5.

l"

Figura 5.14

Tncircarea transversald produce incovoierea barei gi apar astfel sdgeliile wo ;e 0 .E^*^l^

- . . : - l^ n

---1. .^ ^ ^ ' . r l i !4-q4+--- - - - - - r - - -x- . - r : Iioiieie axiaie i, pioquc o sijpiimeniaie a aGesIUr sagEli. La ursirrerea rurrer r, sagcurc

se miresc, bara deformdndu-se continuu. in acest caz nu se mai pune problemapierderii stabilitdlii formei iniliale de echilibru, ci a apariliei deforma{iilor mari. ln

consecin{d echilibrul trebuie exprimat pe forma deformati, ln teoria de ordinul ll.Pentru valori reduse ale fo(ei de compresiune P, aceasta poate fi echilibratd de

eforturile care se produc in bari. Peste o anumiti valoare a forfei, echilibrul nu maipoate fi menlinut gi bara realizeazd un salt ajungind intr-o noui pozilie de echilibru.

Valoarea f,* a fortpi de stabilitate se realizeazAprin timitarea echilibrului (figura 5.15).

Figura 5.15

Calculul sdgelii gi a momentului incovoietor in teoria de ordinul ll se poate face cu

formulele lui P6rry

(5.12)


$ i M,, =Jb-' -%

(s.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

ln ecualiile (5.12) gi (5.13) semnificalia termenilor este urmitoarea:wr, Mr - sigeatd gi moment incovoietor in teoria de ordinul | (liniard)

W,,, M,, - sigeati gi moment Tncovoietor in teoria de ordinul ll (neliniard);

r'ElP.: T - forld critici euleriani pentru bara comprimatd centric_i ,

Formulele lui P6rry sunt riguros valabile numai pentru condifiile de rezemare giincircare in care au fost deduse. Pentru incircdri diferite se introduce un coeficient decorec-tie c (Anexa 9).

Tn mod obignuit se noteazd cup

R=1-l=1- o

PE 6E

unde o este tensiunea dati de fo(a axiali P gi o. este tensiunea criticd.

Po--

AR n'E

ot=A=f

Relalia generalizatd pentru momentul de ordinul ll se scrie atunci sub forma

M,, = 9 'M,, 'n

Condilia de stabilitafe pentru barele solicitate la incovoiere cu compresiune se,/ exprimd prin relalia empiricd:

{517)

ln aceasti relalie se consideri:, t

' e=emin =min(<pu,q,J, deoarece flambajul se poate produce dupd oricare dintre axele

principale;

' tensiunea criticd o- (cu care se determind coeficientii n si c) se determinicorespunzdtor axei pe care se suprapune vectorul moment incovoietor.

9bservafie: Dacd N < 0,15 'q .A .R , se neglijeazi influenla efortului axial asupraincovoierii gise va considera

I l :C=1.

in continuare se vor detalia cele trei probleme ale Rezistentei materialelor.

l. Verificarc

'Date: - lungimea bareigimodulde rezemare- incdrcirile- sec$unea {forma gi dimensiuni)- rezistenfa de calcul

--d!4l-

-\


. Se cere: - verificarea stabilitafli bareiin teoria de ordinul ll.

. Rezolvare:1o. Se traseazd diagramele de eforturi Nsecliunile periculoase

r rl(1ll /"'*'' LMu'**'

gi M in teoria de ordinul I gi se stabilesc

ei e{*':-,

(aria)(momentele de iner{ie)

(razele de inerlie)

(modulul de rezisten!5 in raport cu axa fati de care se

2". Sedetermind caracteristicile,geometrice alesec{iunii:Aly ,

i r=

wy

l .

r{i''. =sau W.

produce incovoierea);Se face maiint6i calculul la flambaj (conform paragrafului 5.2).

3". Se calculeazd lungimea de flambaj a barei

l, = 1t. !.

4". Se determini coeficienlii de zvete{e gi coeficienlii de flambaj prin interpolareliniard

^ lcA, =

J- -------J Qy

t. .

^ [ ,L' :

' - - - - ) Qz

t-

g=g, in =min(qr,q.) .

este necesard considerarea influenlei efortului axial asupra

gise alege

5'. Se verificd daciincovoierii:

dac{N<0,15.g, in 'A'R -+ nu este necesargi c=n=1 gisetrece la pasulS' ;

N > 0,15.qr,n .A.R -+ este neeesar gi se trece la pasul 6"-

6'. Se determind tensiunea normali din mnpresiune

o:PA

gitensiunea critici dupd Euler

n2 -Eor=T_

unde 1" se ia cu acelagi indice ca gi M (dupn axa pe care se produce incovoierea).

7'. Se calculeazi coeficientulde corecfie n

n=1-9oE

gi se seoate din tabel (Anexa 9) coeficientul cfun$e de schema de incircare a barei.

Itz

-A


8". Se verificd conditia de stabilitate:N cMo'"* =rp."a+; '* <x

Dacd aceasta este satisfdcuti, se spune ci bara nu igi pierde stabilitatea.@bservafie: Sdgeata ln teoria de ordinul ll se determind cu formula lui p6rry:

w'' :! l- 'n

Sdgeata in teoria liniard wr se determind cu metodele prezentate in capitoleleanterioare (de exemplu cu formula lui Maxwell - Mohr).

ll. DimensionareNu se poate realiza direct datoritd numdrului prea mare de necunoscute

dependente care intervin in relafia de stabilitate; in general, dimensionarea se face prinincerciri.

lll. incircare capabilS. Date: - lungimea bareigimodulde rezemare;

- secliunea (formd gidimensuni);- rezistenla de ealpu!;' pozi{ia incircdribr; dacd existi mai multe incircdri, se dd gi o relalie intreacestea astfel incit eforturile si fie exprimate in funclie de o singurivariabild (P, q, etc.).

'se gere: - determinarea valoriimaxime a incdrcirii necunoscute (p""0, Q*0, etc.).. Rezolvare:

Pagii 2" +7' sunt practic identicicu ceiaiverificdrii. primulpas se modificd in felulurmdtor:

1'. $e traseazi diagramele de eforturi N gi M in teoria de ordinul l, prinsuprapunere de efecte (din fiecare incircare). Se vor considera ca secfiuni periculoasetoate secliunile ln care o diagramd simpld (fie de efort axial N,, fie de momentlncovoietor M,;;inregistreazd un extrem. Considerdnd ci avem n ?ncdrcdri simple, intr-osecfiune periculoasd, fie aceasta C, diagramele de eforturi se obfin, prin insumare deefecte, ca funcfii de incdrcarea necunoscutd (fie aceasta p). Rezulti

ru"(n) = iru,

ru"(p) = tM,in continuare se parcurg pagii 2" +7" cagifn prouf"ra de verificare. ln ultimul

pas se scrie condilja de stabilitate la limiti, in toate secfiunile periculoase.8'. Rezultd deci ecualii de forma

o,u*=ffi.;ry=*

=**

c(

-\


din rezolvarea cerora rezult5 valoarea fo(ei capabile Pf;J corespunzetoare eforturilor din

secliunea C.Dupd rezolvarea ecuafiilor de stabilitate din toate secliunile periculoase se

selecteazd valoarea fo(ei capabile; aceasta este valoarea minimi gi pozitivi dintre toaterezultatele oblinute.

/ EXEMPLE DE CALCUL

El Exemplul 5.5: Sd se verifice stilpuldin figura 5.16 gisi se determine sigeata la vArfin teoria de ordinul ll. Secliunea este alcdtuiti din profil 130 gise dau:

Ar = 69,1cm2;

lo,, = 9.800cmo;

ir, = 11,9cm;

Wr' = 653cm3;

R = 210N/mm2;

E=2,1.10s N/mmz

=3kN..-.> sectiunea 1-1

I

Figura 5.16

Rezolvare

a) Verificarea stilpului in teoria de ordinul ll1". Se traseazi diagramele de eforturi in teoria de ordinul I (figura 5.17). Se constaticd forla P produce numai efort axial, iar Q numai incovoiere in planul principal xOz:

lM,l ,"* = Q' / = 3' 2 = 6kNm.

lrr = 451cm*;

i.., = 2,56cm;

Wrr=73,2cma;

I P=100kN

+o

1-I

elc\l I

' lI+


I P=100kN

V @-AnTII I

L, l

t-.. .....".-.-...1

6 kNm

Q=3kN

Z/100 kN

Figura 5.17

Din analiza diagramelor de eforturi rezufte o singuri secliune periculoase, situatdin incastrare:

[!ir,ti = 6kNm{ I .,md

[lNl'* = lookN

Caracteristicile geornetrice ale secliunii sunt cunoscute, deci se poate trece lacalculu I flambajul ui (pentru solicitarea centrici P).2". Lungimea de flambaj a barei este aceeagi pe ambele direclii:

t t =V.1.=2.2=4m.

3". Se determini coeficienlii de zveltele gi cei de flambaj. Deoarece direclia deinerlie minimi este reprezentati de axa Oz a secfiunii

irin =ir = 2,56cm,

este suficienti considerarea flambajuluiin acest plan. Rezultin t, 41099, = 156.2bn'=j=2,s6arn

secliunile I flambeazd in plan paralel cu tilpile dupi curba B. Din Anexa 8.4 obtinem:

1 0..."..............(- o,oez)6,25.. . . . . . . . . . . , . . . x

l. I

150 0,303160 0,271

o

6.25 x {- 0.032)x - -fu=-:z: -0,02gi, prin interpolare liniar6, rezultd: emin =(p, =0,303-0,02=O,283.

4". Se verificd dacd este necesari considerarea influenlei efortului axial asupraincovoierii; se calculeazi

0,15-q* -A.R = 0,15x0,283x69,1.102 x210 = 61599,19N = 61,6kNqi

N=100kN>61,6kN,deci determinarea coeficien$lor c ai n in teoria de ordinul ll este necesari.

-l

Rezlstenfa materialelor ll 229

5". Pentru stabilirea coeficien{ilor c Ai n se calculeazi mai intiitensiunea normali

o = I - 1o'103- = 14.47N/mm,A 69,1.10.

gi tensiunea critici dupd Euler (dupd axa Oz, pe care este posibil flambajul);

o= =# ="i\?\!^?' = B4,BeN/mm2.' L., (156,25)6'. Coeficientulde corectie n este:

n = 1-9 ' t lL7

o. = 1-EAb: o'B3o'

Din tabel (Anexa 9) se scoate coeficientul c pentru bara Tncastratd la un capit 9iliberd la cel5lalt incircati cu forfe concentrate, axial gi transversal (pozifia 9):

c = 1 +0,2349 = t* o,n4ff= 1,040.oE 84,89

7". Se verifici condilia de stabilitate Tn secliunea periculoasd, linAnd cont ciincovoierea se produce dupd axa Oz:

. ' *9. ! . - 1oo'103 ,1010. 6 '106 -'- = Jil;l,,lu}.,,l#l;;ff;i1-,,0f#

72'2 103= 155,265N/mm2,

decistdlpulverifici in teoria de ordinul ll.@bservafie: Tensiunile normale ln teoria de ordinul I (c = n :1) sunt

olJ"" = 51,137 +83,102 = 134,239N/mm2.

Se poate observa cd in teoria de ordinul ll, cregterea tensiunilor normaledatorate considerdrii efectuluifor[ei axiale asupra Tncovoierii, este de 15,66%.

b) DetermiEarea siqefii la virf ?n teoria de ordinul llSe aplicd formula lui P6rry, sub forma:

wu =Sn

unde coeficientul n s-a determinat la punctula) (6")

n = t-* :0,830.

1". Calculul sdgelii in teoria de ordinul I se poate tuce cu formula lui Maxwell-Mohr(sau oricare aiii meiocii energeiicd). Deoarece eforiui axiai nu prociuce sdgeatd, se vaconsidera numai efectul incovoierii (figura 5. 1 8).

lntegralele se efectueazi cu regula luiVeregciaghin 9i rezultd (incovoierea aparein planulxOz):

:!


@Ail

t1L-1

IIt lfJ

6 kNm

*lI

-,L

@

EkNm

Figura E.1B

2'. Sdgeata in teoria de ordinul ll este:w'| 8'45 -'to.18mm.wrr=lt

o.g3o@bservatie: Sdgeata in teoria de ordinul ll are o cregtere de 20,43o/o fafi de cea

obfinuti in teoria liniard. Se constati ci sdgeata are o cregtere mai pronuntati decfittensiunea normald in teoria neliniari.

I p=t00kN

a=3kN +

- lIII

t

E Exemplul 5.6: Bara din figura 5.19,a este comprimati centric de forfasolicitatd transversal de forfa uniform distribuitd q. secliunea barei estedoui profile U20 (figura 5-19,b). Se cunosc:

. caracteristicile geometrice ale profilului U20 (figura 5.19,c)A.r=32,2cm2; e=2,01cm; b=75mm| - , l o4 Anm4. l^ t - { o{^-3. i - '7 -rd^^.ty1 -rv lvvl l l r vYyl- lwlv l l l , ly l - r r ,Vt l l l ,

lrr = 148cma i W.t:27cms; itr =2,14em;. rezisten{a de ealcul gi modululde elasticitate longitudinal

R = 210N/mm2

E:2,1.105N|mmr.

P = 300kN gialcdtuitd din

I

i4profl U.

c)i

.I

Ii

t

Figura 5.19

RezFtenF materialelor ll

a) detenninarea ln teoria de ordinul ll a fortpi maxime care poate acliona bara(q*o);

b) sigeata in teoria de ordinul ll in sec{iunea maxim solicitati (pentru qoo

determinat la punctul precedent).

Rezolvarea) Determinarea fortei q."p@1". Trasarea diagramelor de eforturi (figura 5.20).

3'. Lungimea de flambaj Ir=V.{ ,=1,0 '5m=5m

il , tO. l ; i

\_@ i'g ,1zs q

Figura 5.20

Secliunea maxim solicitati este la jumitatea deschiderii

J N=-300kN

]u=rrlt, =3,125q [kN'm]

2". Caracteristicile geometricealese{iunii:

A = 2A., = 2. 32,2= 64,4cm2;

l, = 2lrr -+ i, = i9 =7,70cm;

Distanla dintre centrele de greutate ale profilelor este

c = (b - e) = 2'(z,s - z,ol)= 1 o,98cmf rxz - l l - '

- r

t. =211.,. |,:l ' . R, | = zlr+a +(qgq] .ez,2l = 2.23l,o2cmaL,\2/ ' .1

-L \2) )

-+i. = E,=W=5,8ecm'

P.300 kN

300 [kNl@@

4'. Direclia cu inege minimd este dupd axa principald Oz. Coeficientul de zveltele pe

aceasti direc$e rezutti. , _t, _ Soocm =g4.g9.n'=T =

s,89"* -vr 've '

2?2 Rezistenfa rnaterialelor ll

Din curba de flambaj B se obline1 '{80 0,69490 o,622

gi, prin interpolare liniard rezultd1 0......^...........(_ o,ozz)4,89.. . . . . . . . . . . . . . . X :

n=1-g=0,905oE

c = 1,0.

limitd, scrisd in secfiunea de la jumitatea deschiderii

N cM.6-- - - +- ' t =R-max

er in.A '

n W, "

gi, explicitdnd termenii, se obline

300.103 * 1 .3,125.q.106_rrr . ,0,659x 64,4.102 ' 0,905 2.191.103

- 4 'v '

Dupi efectuarea calculelor se obline ecuafia :

70,689+9,039.e = 210de unde rezulti

* _ a,ggx (:o,ozz) = _{,o.b10

(Pmrn = gz = 0,694-0,035 = 0,6595'. Severificfr influenlaefortuiuiaxialasupraincovoierii

0,15. rp^,n .A'R = 0,15x0,659x 04,4.102 x210x 10-3 = l33,6gkN.N=300kN>133,68kN,

deci este necesare considerarea acestei influen{e.6". Se determind:

o=f = l?! i9: =46,58N/mm2A e4.4.1A2

o- =n?i -3 '142 x2'1 '1o5

' =l-=ff i=4e1'61N/mm'z

t r - l t -500cm-or,v:t= r ,?0", =64,94'

7". coeficien{ii de coreclie pentru calculul Tn teoria neliniard sunt:

gidin tabel (Anexa 9) rezulti

8'. Condilia de stabilitate, ladevine:

q*" = 15,41kN/m.

aRezistenla materialelor ll 233

b) Siqeata la iumitatea deschiderii (sectiunea maxim solicitati)1". Sdgeata Tn teoria de ordinul l, pentru Q = Q""p = 15,41kN/m , se determini cu formula

lui Maxwell- Mohr (figura 5.21)

Figura 5.21

w^= f i t ro* =L(r*?-r4B.1Gx2.s*9*tzs)=" EtrJ Ely\ 3 I )

: fr##Hrc= 1 5,63mm = 1,5.cm'

Pentru calculul sigelii a fost consideratd numai incovoiei"ea din forlele q,deoarece compresiunea axialS nu produce sigeatd.2'. in teoria de ordinul ll, sigeata rezulti cu formula lui P6rry:

w,,=5=r:u9:T =\723cm." n 0.905

Sigeata este cu aproximativ 10% mai mare decAt in teoria de ordinul l.

PROBLEME PROPUSE

ox Problema 5.1: Si se verifice stabilitatea st6lpului din figura 5.22,gtiind ci

R = 210N/mm2.

I P=2500kN

1i{. l l

- l l+L wFigura 5.22

15,4.| kN/m


Rdspuns.' o. =210N/mm'

0x Problema 5,2: si se dimensioneze, linand cont de flambaj, stalpul cu secliuneinelari din figura 5.23. Se df,:

t = 0,10D

9iR = 210N/mm2 .

Figura 5.23

f-.Rdspuns; An"" = 39,68cm2

$ealege: D=120mm, t=12mm.

s Problenna 5.3: Se considerd bara dublu incastratd comprimati centric din figura 5.24.Secliunea barei se realizeazd din doud profile U16, sudate continuu, agezate in douivariante: (1) spate in spate

Q)tup in fa!6.Caracteristicile geometrice ale profilului U16 sunt:

A, =24cm2:

lr,, = 925cmoi l.r = 85,3cma;e = 1,B4cm;b = 65mm.

$tiind cd rezistenla de calcul a olelului este R = 210N/mmz , se cere :a) si se siabileasci fo(a capabili in cele doui variante de execufie;b) si se calculeze raportul intre inerlia minimi giforfele capabile oblinute in cele

doui variante de execufie.

T

Rezistenla materlalelor ll 235

varianta (2)l*

T *z1

iz1

. l

* r*ztvzl

Figura 5.24

Rdspunsuri: a)

b)

tx Probfema 5.4: StAlpul incastrat la bazd gi liber la vdrf din figura 5.25 are sectiuneaalcituitd din doui profile U30 solidarizate cu plicule. $tiind c5;

Ar = 58,8cm2;

lr, = 8030cmo; ir,, :11,7cm;

l.r = 495cmai iut = 2,90cm;

e = 2,70cm;

gi rezistenla de calcul este R:210N/mm' , sd se verifice stdlpul.

I p=2100kN| 2U,o

. v r-",-::/_1r PiT| | #" i N"

" l I Ui JI I 1"" j ; " - ll. I I :oomm I

-'t- 77277

ll!@---lf,rr?lItr tlt --rl*t".l f*l lsoo mmlSm----troq1 1IH HI+ILtFF--Trr\flt<t L-...-l

Figura 5.25

PS)o = 467,7tt<t,t

PiSJ = s36,6+trt'tl(z) p(z)

1f;y=a'6+; ffi=1,28'z mp


Rdspuns.' o, = 203,62N/mm2.

.s Problema 5.5: Pentru stAlpul din figura 5.26, av6nd secliunea alcdtuitd din profile Isolidarizate cu pl5cule, se cere:

a) dimensionarea montantutui (R = ZtoN/mmt);b) stabilirea distan[ei dintre pldcule 1,:c) determinarea distanlei c intre centrele de greutate ale montantilor.

J"=:"* I

iIo:

. - . -a- . - , -

i!t

fz

+y

lfL----rrrrrzl

lturr---FfilTl@h".dl Il.Ml -

Finr rra 6 DAr lvurq vt&v

i

II

IiIi

Rdspunsuri: a) montant h2b) t1=400mm (10 panour i )c) c = 120mm

aY' Probfema 5'6: Pentru stdlpul metallic din figura 5.27, av?nd sectiunea solidarizatd cuplScule, se cere:

a) Stabilirea forlei capabile pe direcfia materialS, gtiind ci montantut U20 areurmdtoarele caracteristici geometrice:

A, =32,2cm2i

lr, = 191Ocma; i, =7,70cmi

lr =14&cmai irr =2,14cmi

e = 2,01cm;b) determinarea distanlei a intre montanli, din condilia de echistabilitate a

sec!iunii;

\


c) considerAnd a = 100mm, sA se stabileasci forfa capabil5 corespunzdtoare.Se di R = 210N/mm2 ,

l*'

Figura 5.27

EE

@

x'c

ocG

(o

ioi

- -+-.II

iiz

Rdspunsuri: o) P*p,v = 907,46kN;

b) a = 120mm;c) Pop = 792,5kN.

rr Problema 5.7: Grinda static nederminate din figura 5.28 este solicitatd la incovoieregiefort axial.

Se cere:a) verificarea grinzii ?n teoria de ordinul ll;b) sdgeata la jumdtatea deschiderii in teoria de ordinul ll.Se dd: R = 21ON/mmt , E =2,1.106 N/mm' .

N=4O0kN N=4O0kN<--

Figura 5.28

200x12 mm

ffi

Rdspunsuri: 8) o,", =224,25N1mm2:

b) w[ = -2mm.


lndicafie: $istemul este o datd static nedeterrninat. Pentru trasarea diagramei demoment incovoietor trebuie ridicatd nederminarea, prin aplicarea teoremei lui Menabrea^^. . ^ f - - . .1^: i r^ .^. ,^t l i r^L- / . ,^- : ^^- l t^r . . r 4\lcru cr rrJt i l rurr t t lvrd,(wt i i l - rvtui l r (vtrz, t udlJi l .u lul oj .

rF Problema 5.8: Pentru stAlpul din figura 5.29 se cere sd se calculeze lungimeamaximd €,.* p€ care o poate lua consola, astfel incit si fie verificati conditia de

stabilitate in teoria de ordinul ll.

Se dau: R = 210N/mm' , E =2,1'1Oo N/mmz .

Caracteristicile geometrice ale profilului U30 sunt:

A, = 58,8cm2;

lr., = B030cmu; W' = 535cm3; ir,, - 11,7cmi

lrr = 495cmo; W.l :67,8cm3; irr = 2,90cm;

e=2,70cm; b=100mm-

+-+I tp=750kN

a ts Fhr l f f iFl I ht:i'H-'| | r*H)

i ??h? 7i rz

Figura 5.29

Rdspuns; ln funclie de rqodulde dispunere a secliunii, avem:e* = 5,83cm - in cazul in care P actioneazd Tn planul (xoy);

e,,* = 13,75cm - in cazul?n care P acfioneazd in planul (xOz);

IE-

Rezlstenta materialelor ll 239

Capitolul 6

CALCULUL PRACTTC LA $OC6.1 INTRODUCERE

Solicitarea prin goc se caracterizeazd prin aplicarea incdrcdrii asupra elementuluide construc{ie intr-un timp foarte scurt, astfel incdt viteza de deformare 9i acceleraliileimprimate sunt mari. in mod real, fenomenul gocului este urmat de vibralii libere aleelementului structural, inso{lte de aparilia deformaliilor plastice.

Studiul experimental al caracteristicilor mecanice ale materialelor aratd cdaplicarea dinamicd a incdrcirii conduce la cregterea limitei de curgere odatd cu vitezade incircare, iar ruperea are, in consecinli, un caracter mai casant. Modulul deelasticitate E nu este practic influenlat de viteza de incircare.

Analiza rdspunsului elementelor solicitate la goc relevi faptul ci deformaliile gideplasdrile maxime apar inainte ca forlele de amcrtizare si atenueze efectul acliuniidinamice. Rezultd astfel cd pentru evaluarea siguranfei unui element de construclieprezinti interes doar faza premergitoare inceputului vibrafiilor.

Studiul riguros al solicitdrilor prin goc este deosebit de complex, necesitAndluarea in considerare a caracterului pronunlat aleator al acliunilor 9i modificdrilecaracteristicilor mecanice ale materialelor.

Calculul practie simplificat, pe baza ciruia se oblin rezultate suficient deexacte pentru situaliile curente, admite urmitoarele ipoteze:

(1)comportarea elementelor se considerd elastici, fdrd incursiuni in domeniulplastic;

(2) deplasirile sistemului supus la goc sunt propo(ionale cu fo(ele aplicate(static sau dinamic);

(3) deformarea sistemului se produce instantaneu;(4) se neglijeazd masa (9i respectiv ine(ia) corpului care sr.lportd gocul;(5) corpul care produce gocul este rigid gi, dupd impact, funclioneazd solidar cu

elementul structural.Rdspunsu/ dinamic al elementelor de construclie (deplasare, tensiune sau efort)

se determind cu relatia:

Ro =V.R,r (6.1)

unde: R", este rispunsul structurii la actiunea statici a incdrcdrilor;

V este coefrcient dinamie, sau multiplicator de impact.

Determinarea coeficieniului dinamic se bazeazi pe iegea conservirii energiei inprocesul ciocnirii. Relaliile de calcul ale acestuia depind de direclia pe care se migcdcorpul care produce impactul; se disting astf.eldoud situ4tii:

- goc verticat(cdderea corpurilor, fortp produse de ciocanele utilajelor, deplasdribrugte ale ro$lor podurilor rulante datoritd neplaneitilii ciii de rulare, etc.);

- goc oizontal(izbirea elementelor de construclie de cdtre vehicule sau maserezultate in urma unor explozii etc.)


6.2 EVALUAREA COEFICIENTULUI DINAMIC

6.2.1 $OC VERTTCAL

Pentru $oc vertical transversal (figura 6.1,a) sau longitudinalcoeficientul dinamic are expresia:

(figura 6.1,b),

(6.2)

unde: v' - viteza corpului care cade in momentul impactului;g - acceleralia gravitalionald;

h - indllimea de la care cade corpul.intre aceste mirimiexisii relafia :

v, = nEQlh (6.3)Mdrimea 5r, reprezinti deplasarea care s-ar produce dacd forla P ar actiona

static pe direclia de migcare a corpului care produce impactul 9i are un caracterconventional.

tuP=m.S*

*t .lnI

{|

60"

'4"-,1:Ii

Figura 6.1

@bsenrafie: Daci se cunoagte masa corpului care produce impactul m,incdrcarea corespunzitoare este reprezentatd de greutatea acestuia

P=m.g (6.4)undeg=9,81m/s'?.

Din rela$a (6.2) rezulti ci pentru h > 0, coeficientul dinamic V > 2. ln realitate,coeficientul dinamic oblinut pe cale experimentali are valori mai reduse, deci calcululsimplificat ete acoperitor. Abaterile sunt datorate in special nerespectirii ipotezelorintroduse in par4raful 6.1, dintre care cele mai importante sunt:

- apariga deformalilor plastice Tn zona de impact;- cediri de reazeme sau imbindri:- neglijarea rmseicorpului lovit.

5*.

\


6.2.2 $OC ORTZONTAL

$oculorizontalse produce atuncic6nd forfa impulsivi P nu incarcd bara dupdlovire (figura 6.2).

(1)..m.v

241

^^ ----4-a: - : l . - .^ ! : - - - - - - t

oe uuill ' lala lJa uuPa rtilPdul,

dinamic rezultS:

Figura 6.2

a-J- h J- . - - r .lur+a r nu Pluuuue ruutu

\!r=-L' Jg '6"

'lreuailru. uueilcteillul

(6.5)

semnifica{ia termenilor fiind aceeagi ca gi in paragraful precedent.

6.3 CALCULUL DE REZTSTENTA gt RtctDtTATE LA gOC

Elementle de construc$isolicitate prin goc lucreazd in cond$i de siguranfi dacieste satisfdcutd condilia de rczistenp:

oc"rr* - V. arr""* < R

in care: R este rezistenta de calcula materialului;

(6.6)

ry este coeficientul dinamic (vezi paragraful 6.2) gi

ost,md este tensiunea maxima calculatd in ipoteza acliunii statice a forlei

impulsive P.Pentru exploatarea normal5, elementul de constructie trebuie sd satisfaci gi

condilia de rtgiditate:6din.rr, = ip.6r,.no* (fro, tu. , /

in care: 5,.,* este deplasarea pe direc{ia de migcare a corpului care produce

impactulTn ipoteza ac{iunii statice a forlei P 9if"o, este deplasarea maxim admisd prin standarde gi norme.

Mdrimea tensiunii o", gi a deplasdrii 6", este propo(ionald cu forfa P, considerati

a fi aplicatd static. Multiplicatorul ry (coeficientul dinamic) depinde de viteza corpului in

momentul impactului 9i deplasarea 6$, care apare la numitor- relaliile (6.2) 9i (6.5).

P=m'g


Legat de acestea se pot face urmdtoarele @bservafii:(a) Cu cAt rigiditatea unui element de construclie cregte, deplasarea 6.,

scade gi coeficientul dinamic cregte. Tn consecinld, cregferea rigiditdliiamplificd efectul dinamic al forlei.

(b) Reducerea coeficientului dinamic se poate obline prin inlroducereaunui straf de amortizare ln zona impactului. Straturile de amortizarese realizeazd din materiale elastice cu modul de elastieitate E redus(cauciuc, lemn) care permit deplasdri mari sub forta P aplicatd static.

@bservalie: Utilizarea stratului amortizor este mult mai ra[ionali in cazulelementelor supuse la qoc longitudinal (de exemplu piloli bdtuli in teren) decAtdimensionarea secliuniidin condilia de rezisten!5 infaza de batere.

Solicitirib prin goc sunt deosebit de periculoase in cazul elementelor deconstruclie in care se produc concentriri de tensiuni (variafii brugte ale se{iunii,crestituri, goluri, etc.). Ruperea prin goc se poate produce casant - chiar gi la materialeductile, sub sarcini statice - datoritd faptului ci deformatiile plastice nu se pot dezvoltacomplet la viteze mari de aplicare a incdrcirii. Materialele casante vor fi testate inprealabil la goc Ai, pe cdt posibil, evitate.

Tn continuare sunt prezentate etapele de calcul pentru cele trei probleme aleRezistenfei Materialelor.

l. Verificare. Date: - schema staticd a barei;

- forla P care produce gocul- indllimea h sau viteza v,;sectiunea barei;

- rezistenla de calcu! a nnaterlalului R;- modululde elasticitate E.

. Se cere: - verificarea eonditiei de rezistenfi gide rigiditate la goc.

. Rezolvare:1o. Pe schema statici a barei se considerd ac{iunea staticd a forlei P qi se determinddeplasarea pe direc$a acesteia 5o.

@bseruafie: Determinarea deplasirii 6", se poate face cu formula Maxwell-Mohr(paragraful 3.2.2.2) sau afte metodd (de exemplu cu metoda grinzii fictive pentru bareleincovoiate sau direct pentru barele comprimate axial).2". Se determini coeficientul dinamic cu relafiile (6,2) sau (6.5), respectiv

y=1+\ l g'6"' 1 6o

a,, - V'

Y /-----=-

{9 'ba

pentru goc vertical

pbnku goc orizontal.

3o. Se face calcululstatic al barei (trasarea diagramelor de efoiluri) in urma cdruia sestabilegte efortul maxim (Nn'. sau M* ) gi secliunile periculoase.

T


4". Se determind tensiunile extreme in secliunile periculoase, cu relaliile specificesolicitdrii simple care apare:

243

respectiv

pentru compresiune centricd,

pentru incovoiere,

sau prin suprapunere de efecte in cazul solicitirilor compuse.5". Se calculeazi tensiunea dinamicd gi se compari cu rezistenla de calcul - relatia(6.6):

60.

ddin.oa" = V'o"t.tu* ( R'

Dacd este satisficutd condilia de maisus, se spune ci bara rezistd la goc.Verificarea condi{iei de rigiditate la 9oc presupune stabilirea deplasirii dinamice

661n = g '6.1 ,

care se compara apoi cu valoarea admisibili dati f,0,.

ll. Dimensionare. re,: - schema statice a barei;

- forfa P care produce gocul

- inalfimea h sau viteza v,;

- sectiunea barei;- rezistenla de calcula materialului R;- modululde elasticitate E;

. Se cere: - stabilirea dimensiunilor secliuniitransversale.

. Flaznlrraro'

f l 6-*iderdnd for{a P aplicatd static, se determini deplasarea pe direclia fortpi, cafuncfie de carac.teristicile geometrice ale secliunii (aria A pentru solicitarea axiale,respectiv momentulde ine(ie I pentru incovoiere) -+ 0",(R;l).

2o. $e precizeazi coeficientul dinamic -+ ,y(n;t).

3o . Se determind tensiunea normald staticS -+ c,,(n;W)

4". Se scrie conciilia cie rezisienti la goc, la limitioo' , : y(A;t) .o. ,(AW)< R

Tn cazul Tn care caracteristicile numerice pot fi exprimate prin intermediul uneisingure mirimi, ecua$a rezultati se poate rezolva numeric sau analitic. Este cazulsecfiunilor simple - circulare (raza R);

- dreptunghiulare (l = 1.'.2).D

Pentru celelalte caz:n (de exemplu, profile laminate), se considere inecua{ia:

\ r (A; l ) -o. , (A;W)<R ,

care se rezolvi prin incerciri, linAnd seama de sodimentulde profile disponihri!5o. Se stabilesc dimensiunile finale 9i se verificd secliunea aleasd. in cazul cAnd nueste satisfdcuti inegalitatea de verificare, se alege o noud secliune.

Rezietenta materialelor ll

i

iItIIt

lll. Sarcini capabilfr. Date: - schema statici a barei:

- dircnfiz fnrtoi P'

- indllimea h- sau viteza v,;

- rezistenfa de calcul a materialului R;- modulul.de elasticitate E.

' 9e cere: - forla maximi care poate solicita bara (sarcina capabile la goc).. Rezolvare:1o. Din forfa P aplicatd static se deterrnind deplasarea -+ a,,(p);

2". Se precizeazl coeficientul dinamic -r V(P);3o. Se calculeazd tensiunea statici extreme -+ oo(R)

4" - Din condilia de rezistenli la goc, scrisi la lirnitd, se ob{ine o ecua{ie eie forma:ry(e)1o"(r)= 3

prin rezolvarea cdreia se obline sarcina capabili P.

/ EXEMPLE DE CALCUL

E Exemplul6.1: Se consideri grinda metalicd din figura 6.3, incastratd in A gi simplurezematd in B, avAnd secfiunea alcdtuitd din doud profile U20 . Pe capdtul tiber C algrinziicade o masi de 100 kg de la o indllime h=3cm .

Se dau:

- caracterisicile geometrice ale profilului U20 : lur = 1910cma;

W,., = 191cm3;

- R=210N/mm2; E=2j .105N/mm2:- I = 9,81m/s2'

Se cere :(a) si se determine sdgeata dinamici in capdtultiber C ;(b) verificarea grinzii la goc ;(c) sd se stabileasci Tnillimea maximd h,,* de la care poate sd cadd

masa m = 100k9, astfel inc6t grinda si nu cedeze la impact .

Figura 6.3

u 4m t 2m t

Rezistenla materialolor ll

RezolvareGrinda ABC este o dati static nedeterminatd gi este solicitati la goc transversal

de cdtre fo(aP = m. g = 100k9. 9,81m/s2 = 981daN = 9,B1kN.

a) Siqeala dinamici in sectiunea C1o. Se calculeazi sigeata static6 in secfiunea C (w.,,"), consider6nd grinda

solicitatd static de forta P (fig. 6.a).. Bara este o dati static nedeterminatd 9i se va ridica mai ?ntAi nedeterminarea,

aplicind metoda efortu rilor (paragrafu I 3.2.3.2):

P = 9.81 kN

P .9,81 kN

Figura 6.4

se construiegte sistemul de bazd ( S.B.) prin eliminarea unei legdturisuplimentare (figura 6.4.,b)se traseaza diagramele de momente Mo din forla P gi m, din necunoscutastatic nedeterminatd X, ='lse calculeazi coeflcienlii :

e- r ' dx=1.0.0.4=y=21,83t i , , ,=Jt l l r -

3 30-

t l l lA,o = fMo.ml.dx =- j ts,oz.+.2*a.39,54.4.+ l= -soe,z+

Lvt

a)


- se formeaze ecualia6,1 .X, * A,o = g

girezulti necunoscuta

X. =-A,o -966,24 =17.167skN.' 6,, 21,33

Cu aceastd valoare, diagrama de mornente finald este reprezentatd in figura6.4,c.

. Se calculeaze sageata in secliunea C, aplicdnd formula Maxwell-Mohr (figura6.5).

P = 9,81 kN

Rezulti:

Penbu sec$unea alcStuiti din doui profile U dispuse fa!5 in faln (figura 6.3)

l , =2. |y =2'1.91O = 3.820cm4

W, = 2'Wr, =2.191= 382cm3,

Figura 6.5

1 t . ,

wsr,c =r ' l (M, +Mr) 'm'dxt r lY 6

= -l- [1. s8.86 . o. 3 . o - 1. os.oz . 4. 2 -1. os.oz . +.?. q1 =ElyLz 3 2 2 3 - i

_ 65,4kN'm3EI,

rezultd

L

T


Cu aceasta, se obfine sigeata statici in capdtul liber

w-^ = 6?'4'1012 . =B.o4mm .21.14".3.820.10"

2o. Se calculeazd coeficientul dinamic pentru $oc vertical :

3o. Sigeata dinamicd este:Wdin.c - V'Wut.c = 3,909.8,04 = 31,429mm ^:3,14Cm

b) Verificarea qrinzii la eocCoeficientul dinamlc a fost stabilit in paragraful precedent.

1". Se determind tensiunile extreme in cazul solicitdrii statice. Din diagramamomentelor incovoietoare (figura 6.4,c) rezulte lMl*- = 19,62kN.m gi tensiunile normale

lol - lMl* -19'62'1q6 =5136N/mm2r rsr , ru W 382.10"

2o. Tensiunile dinamice vor fi

6oe' : V' lqo* : 3'909' 51'36 : 200'77N/mm2

gi 6e" =200,77t1lmmz <R=210N/mm2 ,

decigrinda rezisti la goc.

c) Determinarea inil$mii h,,-. (de la care poate se cadi sarcina P)Din condilia de rezistenfi, scrisi la limiti

6dinr*, = V.a 'lol*,,'", = R

rezultd vo,a, =-E- =g*=4,088 .lolr,,,"* 51'36

Mai departe, d in expresi" "o"fi"'"ntulu

i dinamic

v:1+.h*t=ly =4,088' I 8,04

obtinem h* = 34,33mm.

C0 Exemplul6.2: Pe mijlocul unei grinzi metalice de secfiune dreptunghiulari cadegreutatea P=1kN de la o ?nd[ime H=20cm .

(a) Se se dimensioneze grinda considerAnd I = t,b

(b) Sd se calculeze sdgeata dinamicd.Se dau: R = 21oN/mm2 qi E = 2,1 '105N/mmz .

248 Rczistenla materialelor ll

=1kN

+Lr1'- i - ' t ' ' Y

iz

+hl-f

H=20cm

Figura 6.6

b*

iIi

iIIIiIIII

IIIIIIIIIIIIIIIIIiII

I

Rezolvarea) Dlmensionarea qrinzii1o, Se calculeazd sdgeata statici la jumdtatea deschiderii.

Pentru grinda simplu rezematd aceastra este: (Anexa 10)

P.fw.t

48.Ely

Secliunea dreptunghiulari are momentulde ine(ie :

, b 'h ''v -*Tr-

hgi, lindnd cont de raportul impus al laturilor (i = , ), rezulti

, _ o.(z.u) ' =z.bott = --12 3

er: aceasta, sigeata devine

1000.(3000)3 3!v_=-

" 48.2,1.10' , 2.bo4.417.857.143

unde toate mirimile sunt exprimate in [trt] Si [mm] .2". Coeficientul dinamic pentru goc vertical este

2.200\ - r=1+ =1+

4.O17.857.143

3". Tensiunea maximi apare in sectiunea de la jumdtatea deschiderii, unde avemrnomenful incovoietor

' ba = 1 + {1+ 0,9955 .10-4 . b4

P' t 1'ooo'3'ooo =7so.oooN.mm,fvfd=7-=- 4

- . =/cU.uuul \ . lT l lT l r

M.O- ='-'W'

Exprim6nd modululde rezistenli in func{ie de raportul impus al laturilor, rezultd

w. ' = q ' l ' - b '4 'ba =2 'buv 6 6 3-

gieste egali cu:


750.000.3o., = __I16il =

Din condifia de rbzisten[d la 9oc rezulte

sau, rearanjand termenii

1.125.000b3

9l

40

0,0001866 .b" -Ecuatia se rezolva numeric. Notdm:

F(b) = 6,6991866. b3 -./t + o,ssss' 10* . b4giavem:

rb=0 -) f (O)=-to b = 100 -+ F(b): 86,82

Se injumdtSlegte intervalulo b=50. b=60. b:55

>1

-) F(b)= -163s7

-) F(b)= #727-+ F(b): 0,8471

o b = 56 -+ F(o)= 146a6Se alege ca gi solulie b = 55mm . RezuJti h:2'55 = 110mm.Se verifici sectiunea aleasd (bxh = 55x1 10mm ):

1.ooo.(a.ooo)'=0,4391mm;W"t =48. 2,1., 1 05 . 6.1 00.41 6,667

V=1+ = 31,20;

= 6,7618N1mmz;4.11.091,667

55.11o'zvv.. = ---:: = 1 1.091,667;v6

. 6drn =3120'6,7618=21096N/mm2 oR=210N/mm2-

Depdgirea rezistenlei de calcul este de aproximativ 0,5% (valoare acceptabili),

deci sec{iunea aleasi satisface conditia de rezistenli la goc.

b) Siqeata dinamiciSdgeata maximd apare la jumitatea deschiderii

wain = V' wst = 31'20' 0 '4391 = 13'7mm'

6sl

ooin =v.oo =t* l?*o,ssss.ro*.t* ) t ' t 'ot ;ooo nr ' to

t + Jt + o,ggss.10-4 .b4 < 0,0001866 .b3

', = 91P = G.1oo.41o,o67mma;

1+ 0,9955.104

1.000.3.000


[E Exemplul6.3: O greutate P = lOkNcade axial, de lac.fAln mofalin da conlir rna nifrati a - Arm Qx FA

evv:rs. rv Fq(r qts s _

-vt

| | ! vq 99

R = 21 0 N/mmz gi E = 2,1 . 105 N/mmt .

15 cm inSlfime, pe varful unuiverifice stAlpul, gtiind ce

H=1m

Figura 6.7

Eo

lf,

n

Rezolvare

1'Stdlpului, solicitat la compresiune axiali, Tieste aplicat un goc longitudinal.Deplasarea la vArf din acliunea statici a forlei P este

^ P.H 10-103x1^^^

'": EA =0,02976mm

A=a2 =4x4=16cm2Coeficientul dinamic2".

V=1+ . . l^ 2x15= 1 + ^11 * :--:-:-:=-:- = 32,76v 0,02976

Tensiunea normalg staticd in stdlp este

o", =9=|! jg=6,25N/mm'* A 16.10'4". Cond(ia de rezistenfd,se scrie ::

ocin : Y'o"t : 32,76x 6,25 = 204,78N/mmt < R =210N/mm2.

Deplasarea dinamic6 la v6rf esteJ* : Y .A"r :32,76x 002976 = 0,975mm.

t* !4.,

L-

-TlI

Rez'Ftenfa matcfi alelor ll

E Exemplul 6.4: Un stAlp metatic, confeclionat din profil 140, este lovit la vdrfde o greutate P, care se deplaseazd Eu viteza de v = 1m/s. gtiind cd:

lv = 29.210cm4; W, = 1.460cm3;

l, = 1.160cma; W, = 149cm3;g = 9,81m/s2;

R=210N/mm2; E=2,1.10sN/mm2,se cere sd se determine masa maximi a curpului care lovegte, astfel Tncit stilpul sdrespecte condilia de rezisten!*fa 9oc.

v=1m/s

Figura 6.8

Rezolvare1" ' Se considere @ P ca filrd aplicati static transversal pe axa stilpului. lnaceasli ipotez6, sdgeata hvirf este (Anexa 10):

Pt3*o =EEr2". Coeficientul dinambse calculeazi cu relalia (6.5)

, i Y=d; , , , ,gi,lnlocuind expresia sege$, se ob{ine '

-rtsII

Elto ls,i I

' l+

Vu/- -{

Momentul stalic nraxim este in incastrare

JIEIffi

gi tensiunea maximd rezultilMro = P' l

P.totr,t"t =F


4". Condilia de rezistenld la goc este

ooin =Y'o"t (R

gi, scriind la limitS, rezulti

v $Et p. t n- . . - : r -=| \

t , ' lg ' ( . 'P wDe aici rezultd sarcina capabili la goc

P=91-.R:.W'?3v2El

Mirimile care intervin se inlocuiesc in expresia de mai sus avind ca un1dfi demdsurd de bazi [N]9i [mm]:

r=99'9i? ' -u90.2102 .w2 - 471*7sw2' - -3*tood 2J{ot ' -=

r" Io/ |

Deoarece nu s-a precizat axa dupd care se produce gocul, vom evalua fo(acapabil5 pe ambele axe:

- pe axa Oy:

P. = j,716751'169: = 125.28N' . 29.210

- pe axa Oz:

P- =171.675149'- L 160

=32,85N

Rezulti

P = min(P'P.)= 32,851.tiar masa maximi a corpului care produce impactul poate fi

f f i ." , =!:3:S=3,3sks.g 9,81

PROBLEME PROPU$E

f Problema 6.{: O grindd metalici este incastratd la ambele capete gi are secliuneaalcituitd din profil 124(y=4.250cmat Wy =3S4cm3). La jumitatea deschiderii cade osarcind P=SkN, de la o ini l l ime h=Scm. $t i ind cn ( ,=6m, R=210Nlmm2 giE = 21.f 0s V*mt , se cere:

a) verificarea grinzii la goc;b) Tneqinea maximd de la care poatd si cadi sarcina p.

F'

'I


=5kN

Figura 6.9

@

Rdspunsurt: 8) qan =144,45N1mrn2 <R

b) h,", =11,14cm.

c* Problema 6.2: Stdlpul metalic simplu rezemat din figura 6.10 este lovit la jumdtatea

Tnallimii de sarcina P=10kN, care se deplaseaze orizontal, cu viteza v:1m/s.

Seciiunea stf,ipuiui esie aiciiuiti dii-r doufi pr-ofiie i40, suciaie coniinuu. $iiinci cd sarcina

P se poate deplasa pe oric€lre dintre axele sec{iunii (Oy sau Oz), se cere:a) verffiearea stAlPului la goc;

b) sd se determine viteza maxime a sarcinii P;

c) segeata dinamicS.Se dau:

R: 210lVmht , E =2,1.705 N/mmz , g =9,81m/s2 .

Profil 140:

lr., : 29-21Ocma; W' = 1.460cm3;

lr = 1.160cma; W,, = 149cmt;

b =155mm; A, =118cm2.

@-i15+P=10kN

iz1

h.GtIl,r vrtr r4O

Figura 6,10

-;)

254 Rozistenta materialelor ll

Rdspunsuri: ?) oo,n,y = 85,63N/mm2, cdin,, = 176,60N/mmz < R.

b) V.*,, =2,45m1s, Vr*.. = 1,19m1s

Vr"* = min(vrr",r,v*"*,,) : !1 gm/s.

c) woin.v = 3,06mm; wdin,, = 4,07mm.

cx Problema 6.3: Sd se dimensioneze grinda simplu rezematd din figura 6.11, realizatildin lemn gi avdnd secliune pdtrati, gtiind ci este solicitatd la goc vertical, de sarcinaP = 2kN , care cade la jurndtatea deschiderii, de la tnilfim€? h = 3cm. Se dau:

R = 210N/mm2 9i E = 2,1.10s N/mmz.

ffi1+r+

Figura 6.11

h=3cm

=2kN

*

Rdspuns; bn"" > 13,5cm; se alege b = 15cm.

.i' Problema 6.4: Pe capdtul liber al unei console metalice, avdnd secfiunea din figura6.12, cade o sarcind P, de la iniltimea h = 1Scm.

-si se determine:a) vatoarea maxirni a sarcinii P, astfelinc6t grinda sd reziste la goc;b) sdgeata dinamici in capitul liber.

Se dau: E :13N/mm2 9i E = 1.10a N/mm2 .

Figura 6.12

r.db-

Rdspunsuri: ?) P*u* = 2,36kN;

b) wo* = 6,36mm.

b

\


ANEXA 1

1.1 Mdrirni mecanice gi unitifi de misuri

1.2 Denumirile gi simbolurile prefixelor pentru formareamultipli lor Ei submultipli lor uzuali

Denumireaprefxului

submultipli multlpll

mili centi deci deca hecto kilo

Simbolul prefixului m d da h k

Factor de multiplicare 10-3 10-' 10' 10 1o'? 103

Nr.crt.

Mirimeamecanici

Denumireaunit5[iide

misuri in Sl

SimbolUnitil idamilsuri

utilizate inaplicafiicurente

Echivalenfa cuunitilile de m{surd Sl

Obs.

1. Fo(d,incircareconcentrate

newton N KN 1kN = 103N

2. For!5distribuiti- liniar

- pe suprafald

newton pe metru

newton pe metrupdtrat

Nm

Nm-

KNm

KNF

1$=103I

1q=10'+m.

3. Tensiunemecanicd(efort unitar)

newton pe

milimetru pdtratN

mm-daN-...-.;cm'

t d"T = 1o-1 -\cm' mm'

4. Moment(incovoietorsaude torsiune)

nowfnn nri mctn t N.m kN-mdaN-cm

lk} l -m = 106N.mm1kN.m = 1OadaN.cm

256 Rezlstenfa materialelor ll

ANEXA 2

2.1 Rezistenle de calcul pentru construclii civire, industriale giagricole din ofel (STAS 10{08/0 - 78}

in l N ILmm'l

Specificafie Simbol Coeficient aplicatfafi de R

Marcao,telului

oL37 oL52

Produse laminateRezistenla normatdRezistenla de calcul- intindere,compresiune,

incovoiere;- forfecare.

Gordoane de sudurilmbindricap la cap solicitate la:- compresiune;- intindere;

- forfecare.imbiniri de col!, solicitate laforfecare

lmbindri nituite cu.nituri din- forfecare;- presiune pe per4iigiurii.

imbiniri bulonate cu guruburidin grupa- forfecare; , ,

- presiune pe perelii giurii;- intindere in t'rjd.

imbinid bulonate cu guruburi'brub- forfecare:- presiune pe peretiigiurii;- intindere in tiji.

B.

D.

E.

RN

RRr

RiR;

RiR;

Rl

RlR3Ri

R:

RiRi

R;

0,6

1,0

0,8

0,6

o,7

0,9

2,A

0,8

2,O

0,8

0,6

1,6

O,B

230

21A120

210

170

130

150

oL34170

42A

(4.6)

17Q

420

174

130

340

170

350

300180

(6.6)

240

600

240

180

480

240

300

240

180

21A

oL44220

600

Rezistenla nnaterialelor ll 257

ANEXA 2

2.2 Rezistenfe caracteristice gi de calcul (valori de bazi) alebetoanelor obignuite

^l-NlIn l - lLmm'l

Tipul rezistenlei Notatia

Glasa de beton

ttc

3,5ttc

5BC

7,5B€t0

Bct5

Bc2A

EC

25BC

3{tIrc35

rtc40

Bc50

BC

60

caracteristice

compresiune R* a 4,5 6,4 8,5 12,5 16,6 20,5 24,3 28 31,6 38,5 45

intindere Rk 0,76 0,92 1,19 1,43 1,65 1,86 2.03 2,2 2,51 2,78

de calcul(valori de

bazi)

compresiune R" a,a 3,2 4,7 o,5 9,5 12.5 15 18 20,5 22,5 26,5 31,5

intindcre R, AE 0,6 0,8 0,95 1.1 1,25 't ,35 1,45 1,65 1,85

258 Rezlstenfa materialelor ll

ANEXA 2

2.3 Rezistenfe de rupere, limite de curgere, rezistenfe de calculVatori informative, in

f#l

Materialul SolicitareaRezistenfa de

rupereo,

Limlta decurgere

0c

Rezistenla decalcul

Ofel OL37 in piese cut<' l6mm16<t<40mm

r, c, Ini , C, In

370370

240230

220210

Otel OL,{4 in piese cut<1&nm16<t<40mm

I, C, InI, C, In

440440

290280

260250

Olel OL52 in piese cut<1anm16<t<40mm

I, C, InI, C, ln

520520

360350

315310

Olel OLT35 in levit < 16rnm I, C, In 350 230 210

oFr oLT45 rn levit<1&nm I, C, In 450 260 240

Otel tumat OT40 I , C, In 400 150Otel turnat OT50 I, C, In 500 210Fonti Fc 150 I

clbu

30045160

Fonte Fc 200 l l 200360

OU180

Aila|e AFMn SaU At-Mq eCrurSaI I , G, In 170-230 120-160 100-140Aliaje Al-Mg-Si cdlit-revenit t ,c,h 200-270 140-190 120-160Aliaje Al-Zn-Mg I, C, In 30G.580 200-500 170-250Potiesteri amati cu fibre de stidetip roving

I

c300-450260-450

o5-1 't u

60-175Zidarie de piatra bruta cu mortarde ciment'

8,$.17

Ziddrie de piatr5 lucrate [n asizecu mortarde ciment*

1,6-2,4

Ziderie uscat6* o,E-1,2Ziderie de cdrAmidS* U

tlU,O-J

a,o2-0,'t2Beton simplu 8100-8300 b,c-1u,c

0,75-'t,35

?_ 100,45-0,9

Lemn molid sau brad- in lungul fibrelor

- perpendicular pe fibret lIc

334552-77

60-100

1315

1 1-132-2,5

LenngonmgS*il--tnfr€dfrrebr

-perpeldohpefrrc

ct lI

5293123

't7-21

13-15

l-lntindere; C-comWesine;ln-incovoiere; ll -intinderedinincovoiere:F-Forfecarefunclie de caliti$b 1*fei $ mortarului

L

\*

Rezistenfa materialelor ll 25S

ANEXA 2

2.4 Moduli de elasticitatetransversald

9i coeficienfi de contraclie

Material

Modul deelasticitate

longitudlnal EIN/mm2]

Moduld€

elasticitatetransversal G

IN/mm2]

Coeficient decontractie

transversali p

hI

O[eluri carbon

Oleluri aliate

Fonti cenugie albi

Cupru laminat

Cupru trefilatgronz fosforos laminat

Aluminiu laminat

Duraluminiu laminat

Zinc laminat

Plumb

Sticld

Granit

Calcar

Marmurd

Gresie

Zidirb de piatri

Ztdefie de cir5midd

Beton marca

B 150 -B 400

Lemn:

- in lungul fibrelor

- transversal pe fibre

Cauciuc

Bachelitii

Celuloid

(2,0 + 2,1).105

(2,1+2,21-105

(1, '15+ 1,60)-10s

1,1.105. ^ .^5| ,J ' lu

1 ,1 5.105

0,69.10s

0,71.105

0,84-105

o,17.105

0,56.105

0,49.105

0,42.105

0,56.105

0,18.105

(0,06 + 0,1) .105

(0,027+0,030) .105

(0,21 +0,33).105

(0,1 + 0,12) .10s

(0,00*0,01).105

0,000 08.10s

0,000 43.105

(0,000 143+

+0,000 275) .105

(8,0 + 8,1) .104

(8,0 + 8,1)-104

4,5.104

4,0.104

z+,:r' I u

4,2-104

(2,6 + 2,9).104

3,7.1A1

2,2.101

0,70-104

2,2'101

(0,08 + 0,13).104

0,055-104

O,24 + O,28

0,25 + 0,30

0,23 + 0,27

0,31 + 0,34

0,32 * 0,35

0,32 + 0,36

o,27

4,42

0,25

a,2g

o,470,36

0,33 + 0,38

260 Rezastenla materialelor ll

ANEXA 3.1

Caracteristici pentru profilul cornier cu aripi egale

Conform:STAS 424- 80

PROFIT CORNIER CU ARIPI EGALEDimensiuni, mase, mdrimi statice

Lungimi fixs4+12m

Calile!ioL 37

Exemptu oe notare pe desen:Pentru a=50mm; g=5 mm; l=10225 mm;

L 50x50x5 ...10225

v-Yr

+-e+*tz1 z

| = momentul de inertie raportat la axa deincovoiere respective

w = modulul de rezistenti raportat la axa deincovoisr€ rcspedive

r";-,l| = raza de gkalie rapoilatA b axa de

Incovoiere respectivd

Denumirea

L

urmenstunue Secltunrl

ImmlAna

seqiunliA

tcrnl

Masa

llnlarA

lkEml

ursranFaxelof

e

tcml

ManmrB slaoce oemru axe|g de ncovo|ereY _Y:Z-Z

a s r f1lvol t

[cm'l

wvoW'

lcmtl

iv=1,

lclnl20x20x3 atJ 3,s 2 o,88 0,60 0,3s 0,28 0,5920x20x4 4 1,,+,5 1,14 u,ti4 u,4'l 0,36 0,5E25x25x3

25 3,51,42 o,72 0,80 0,/15 u,/5

25x25x4 1,85 1,45 0,76 1,01 0.sE o.7425x25x5 5 z,2t) 0,E0 t,20 o,7'l 0,7330x30x3

30J

2,51,74 I ,Jt i 0,u4 1,4U 0,65 o,90

30x30x4 4 2,27 1,78 O,EE 1.EO 0,85 0,8930x30x5 c 2.7E 2,14 0,92 2,16 1,04 0,66

35x35x335 z.J

zJn 1,tiu o,gtt 2.29 0,90 1,0635x35x4 2,67 2.09 1,00 2,95 r ,1u Lr)t35x35x5 5 3,28 2,51 ' |,o4 3,50 1,45 1,0440x40x3

40 6

2,35 1,84 1,07 3,45 1,14 1,21

40x40x4 3,08 2,42 4,47 lq5 1,2140x40x5 5 ?70 2,97 1b 5,43 ' l ,91 1,ZU

45x45x445 qR

3,49 2,t4 ,23 6,43 1,97 | ,JO

45x45x5 4,30 3,38 1,28 td+ 2,43t15x45x6 6 5,06 4,OrJ ,32 9,16 2,88 1,:J4

50*5Ox45t)

4

3,53,89 3,06 ,36 8,97 ?,46 1,52

50<5O"5 5 4,E0 I , t I +v 1 1,0 3,05 1,515(h5OR6 6 AAA ,45 12,E 3,61 1,505&d0x7 7 6,56 6 {( 4A 14,6 4,16 1,4S

6tb<6(}r560 I

5,62 4,57 ,Bl 19,4 4,45 ,42@r6Ox6 6 aai 5,42 22,8 5,ZC .8260x60xB I 9,03 7,Q9 ,77 29.2 6,89 ,8060x60x10 lo 't, ' tu 8,69 ,85 34,9 4,41 t6

70x70x6

70

6

I {s

8,1 3 6,38 YJ 36,9 7,?7 2,137Qx70x7 9,40 7.38 97 42,4 or4 | 2,1270x70xE 6 10,60 U,3U z,tJ1 47,5 9,52 2,11

70x7Ox9 I 11,90 9,it4 2,O5 52,6 10,6 2,1470x70x'10 10 13,10 10,3 2.W 57,2 11,1 2,09

b

-1


Anexa 3.1 (continuare)

Denumirea

L

urmensrunrle seqlunll

lmml

Aria

seqiuniiA

tffil

Masa

liniara

lklml

ursranlaaxelot

e

lcm]

Manmrte sEtce pentru axele deincovoiereY 'Y:z 'z

a g, r f1lv=l t

tcrn'lW"=W'

tcmllv= l r

lcml80x80xG

80 10 f,

9.35 2,17 55,8 9.57 2,4480x80x8 E 12,30 2,26 72,2 12,6 2,4380x80x10 1U 1,9 2,54 87,5 2,41

90x90xB90

E11

13,90 10,9 2,50 104 16,1 2,7490x90x9 15,50 1?,2 2,54 116 18,0 2,14

90x90x1 0 10 (, tu 13,4 2,5E 125 zt. 2,7490x90x1 1 11 18.70 14,7 2,ttz 138 21,6 2,72100x100x8

100 12 o

12,2 2,74 145 19,9 3,061 00x100x 1 0 10 19.2 15,U 2.AZ 177 24,6 3,04100x100x12 ZZ7 17,A 2,90 207 29,',| 3,03120x,l 20x10 120 an l? 232 r 6.2 ? al ?ta 36,0 3,61

120x120x12 12 1l ,a 2' t .6 3,,10 36E J,bJ

130x1 30x130

12'1/t

:u.o 8.6 3,81 472 54,4 3,97{?n,{2n- 4"7 58,2 5,!i4

130x 1 30x o 16 sr"3 30.9 3,EO 6(]5 AqR 3,92140x140x

14012

15 7,53a5 25-5 3.S w2 4,31

140x140x 37.6 8.4 3.S8 689 66,8 4,30140xluK}x 6 16 122 cf 3 4.?n Tt2 79,1 4,28150x150x12

15012

16 I

34,E a3 , . .12 r37 67,7 4,601 50x150x14 14 rto,/t zj 845 tE-2 4,5E

1 50x1 50x 1 6 1A 45.7 J5:, .;d 9ir9 Ea,7 4,56

1 50x1 50x1 I 18 51,0 4I),1 15/ iEo ttt,3 4,9

16012

17 8,s+.E 913 746 rl,9i

160x160x14 14 43,3 :x,o a,4r '[ 0116 9.E 1,92

160x160x 1 6 l6 49,1 34,5 r5 IUJ.U 4.E9160x160x18 18 54,8 /tit,u {,Et lEl 114,0 4,47


ANEXA 3.2

Garacteristici pentru profilul I

H = tneltjmea prcfilului

d = grosimea inimii

R = raza de rotuniire interioari a tiilpilor

r = raza de rotunjire a t5lpilor la varf

| = momentul de Inerye raportat la axa de incovoiere rcspectva

W = modulul de re-zislenli raportat la axa de Tncov,oiere respectiva

rii =

J; = raza d€ giralie mportatd la axa de incovoiore respectiverA

Sy = momentul static alsemiseqiunii

b = lStimea tSlpilor

t = grosimea medie a telpilor

Penlru h=220mm; l=1250 mm;| 22 . . .125A

: " j ' 14.1

\

Rezistenla materlalelor Il 263

ANEXA 3.3

Caracteristici pentru profilul U

Conform:STAS 5&t - 80

PROFIL UDimensiuni, mase, merimi slatice

Lungimifixe6+12 m

CalitefloL 37

Exemptu d€ notare pe desen:pentru h=120mm; l=1250 mm;

u 12 ... 1250

h = indgmea profilului

d = grosimea inimil

t = grosimea medie a Hlpilor

| = momentul de ine4ie raportat la axa de Incovoiere rospectivi

W = modulul de rezistenla raportat la axa de incovoiere respectivg

r

' =

{ O = raza de giralie raportat5 la axa de incovoiere respedive

Sy = momentul stalic alsemiseqiunii

b = Elimea telpilor

ey = distanta axei Z - Z de la marginea extedoarl a inimii

Simbol

u

Dimensiunib segiuniiInrn]

Ariasecliunii

A

Icm'l

Masaliniare

Ikdrnl

Manmtte statice pentru axeie de inCovoiera

sy

tcmtl

gy

Icml

z-zh b d t ly

tcmlwy

Icnrliy

Icmltz

Icmtl

tYz

Icmli"

Icml6.5 42 5,5 7,5 9.03 7,09 57.5 17,7 2,52 14,1 s,07 1,25 1.42

80 45 6 8,0 11,4 E,El 106 26,5 3,10 19,4 o,Jo 1,33 15,9 1,451A 1(n 5Ll ti a2 a 10,6 205 41,2 ?o{ 29,3 8,49 ' t ,47 24,5 ,RR12 120 55 I,t) 17,0 13.4 364 60,7 4,62 43,2 1 1,1 1,59 36,3 1,6014 r40 w 10.0 20,4 16,0 605 86,4 5,45 62,7 14,8 1,t5 51,4 14416 160 10,5 24,O 18,8 925 t to 6,21 85,3 1E.3 1,89 6E,E 1,8318 180 70 8,0 11.0 2t,0 22,0 r350 150 I o.vo 2,O2 89,6 1,9220 204 7q 1 1,5 'd2,2 25,3 1910 lv l IQ 144 2.14 114 2,Q122 220 80 9,0 12,5 37,4 29,4 2690 245 I 8,48 197 33,6 2.30 146 z, t424 244 85 13.0 42,3 33,2 3600 s00 | 9,22 24E 39,6 2,42 179 2,23zo 260 90 10 t4.0 48,3 3 /,9 4820 311 I

q@ 317 47,7 2,s6 221 2,36ou 300 100 10 16,0 56,E 46,2 8030 It95 67,6 2,90 J to 2.70


ANEXA 4

Canacteristici geometrice ale sectiunitor simpte

II

iI

iII

, b.h31., = --'12

, h.b 'l - =-'12

l . - = b 'h(6 ' *6t it ' 12' /

w"=S-o

W- = h'b ''6

^ n.D2A=-

4

r I n 'D4t. , = l - ='164

. Tr 'D4'o - -3t

W.. =W- =' t t 'Dtv '32

R = tUD'( t -or)

r, =r, = ";?- (,'-".)to = t-! ' t 6-o.;

w, =w, =t.f '{. '-" ')

Rezlstenta materaalelor ll

ANEXA 5

Diagrame de moment simple

Bara simplu rezemati, cu TncdrcareGonsolape deschidere pe capitul consolei

M,*=+l lM.* l = P' l

' ^12

M*=t,

v2 '. u2

H{2


ANEXA 6

Rezultantele gi pozifiile centrului de greutatepentru

diagramele de moment simple

Forma diagramei RezultantaB--:4:-

- - -a-__r__: J^

ru4,tua Gett t t r r rLrr LrE

greutate

R=M.s?=b=

st

R = 1M's2

1a=*S

3

o=3'

R = l -M."3

1I

f l=-S4

.3o:-S

4

2R =:M.s

?

3a =-S

B,5O=-S

8

Rezistenla materlalelor ll 267

ANEXA 7

Formule de integrare numericd (regula lui Veregciaghin)

Diagramam

DiagramaM

tTll

M.m's 1v .r . ,2 *t(r ,

+ m,) .s

1v.r . ,2

1-M.m.s., **(',

+ 2mr).s

1u.*. ,2

1rr,,t .r. .6 f n,t(z,.n, + m,).s

M2 j { t , * M,) .m.sf { t , *2M,).m.s

| [ t r , +mr).M, +(m, +zm,).Mr] .s

M 1u.r . .3 frur.r " #t(rq + 3m,).s

I

- rvr . i l t -sa

1 " . - -

i t rvr . rn .s

f rur(sm, + nr,).s

3u.r . .3 f nr.* u f rr,r(s*, + 3mr).s

?u.*- ,3

aru.r . .12 f rtlls*, + 5m,).s


ANEXA 8

8.1 Coeficienfi pentru stabilirea lungimii de flambaj

l , = F' l

$chemastaticd

I'I

u 1,0 2,O 0,7 0,5

L-"-


ANEXA 8

,A,8.2 Coeficienli de profil: K =

T

Sectiunea

Axa y

.A'K --'1 ,

Axa y

.A'K --, 1,

Secliunea

Axa y

.A'J( =-

' l ,

Axaz

,A,l ( =-' l

5,10 1,32 ffiZP

-.- . -> v

2t

h<20 0,60

7,0h>20 0,50

4,60

t=10 2,0 h<20 1,20 6,70

t=15 1,8 h>20 1,0 7,60

/ r \( j>"\ i /

i2,90

fr:J.,lH--il

i

h <20 1,20

1,90h>20 1,0

JiLt=10 4,0 4,0 h<20 1,75 1,80

t=15 3,6 3,6 h>20 1,20 1,20

h<20 0,58 h<20 9,65-t-1

I

nlI+ 26L

h26L

hh>20 0,48 h>20 11

h<20 1,16 2,80 -ryJ2sL

t)

2s!-DW h>20 0,90 3,24

III

IIII

270 Rezistenp materialelor ll

ANEXA 8

8.3 incadrarea in curbele de flambaj

*@bsewaSi:

- Fbmbajul se produce prin incovoiere-risucire dacd g pentru l, Tn raport cu axa desimetrie esE md mic dec6t q pentru l, in raport cu axa perpendiculari pe axa de simetrie; ?nacest caz verificaea prercterii stabiliti{ii se face cu l,tr =1.1,r, c6nd coeficientul q luat din

tabelele B esie rnai mic decat g determinat cu 2!, luat din tabelele C.- ln acelagi mod se face gi veriflcarea barelor dinf+ singurd comierd.

Nf,

crt.Tipul profilulul Gurba de

flambaj

1.

a. Tuburi laminate la cald,suduri

b. Profile dublu T, laminate sausudate, din tabld oxieupatii,care flanrbeazd in planparaletcu inima

A#--{ -l l ---tr. r L

Y*#++++

A- Rc

2.

a. Chesoane sudate,profite solidarizate

b- Profile dublu T, laminate sausudate, din tabli oxlcupat-,care flambeazd in planparalel cu tilpile

lr-Fl-++*t -

t

T

I

I

frI

- t - -

- lT l -

B-Rc

3.

Profile deschisen cu o axi desimetrie

a. Flambaj in plan cu axa desimetrie y-y

b. Flambai in plan perpendlcularpe axa de simetrie*

4? -+-- nlrc- f l - - f - , -8rF

/1kf f i G. Rc

\.


ANEXA 8

8.4 Coeficienti q, E pentru olel OL37 [n. =zoo=$l\ " mm'J

A B cI I e I q q A q €

10 0,997 10,0 10 0,996 10,0 10 0,992 10,0.tnLV n nao

vrv9v,n ,l on n oo2

vrvu9.)n a .)n rr oa(r ar la

30 o,974 34,4 30 0,960 30,6 30 0,931 31,340 0,952 40,9 40 o,927 41,5 40 0,881 42,650 0,921 52,1 50 0,893 53,2 50 Q,821 55,260 0,879 9,0 60 0,829 65,9 60 0,755 69,17A 0,826 77,4 70 o,7M 6U,1 70 0,686 84,580 4,762 91,6 80 0,694 96,0 80 0,619 t01 ,90 0,690 t08,3 90 0,662 114,1 90 0,555 120,8100 0,616 127,4 100 0,552 134,6 100 0,496 142,2110 0,546 14B,9 110 0,488 157,6 110 0,443 165,3124 4,482 172,O 120 4,432 182,6 12A 0,396 190,7


ANEXA 9

Gobficienli c pentru corectarea momentelor de ordinul ll

Schema de incircare Goeficientul c

M"

lM'l>lMrl 7777?J',{,.H)+0,4k

1,0

f , lI I

A

n2 .E0r = -------:-

-Az

1-0,31*oE

1- 0,49oE

I :. Q1p s-

'oE

1- 0,49oE

1-0,6i-oE

= 1,0

1+0,2344LoE

R.ezistenfa materialelor ll

ANEXA 10

valori maxime ale sdgelilor pentru citeva tipuri de incirciri simple

Schema staticdValoarea extremi a sigelii

gi sectiunea in care se produce

w,a,:H , '"

X= 4.

X

w,* =S , ," *=,

w** =W ," x=[ ,

Prtw*e*:4BEl ' la x:V

Solaw- 'ma 384E1

,A *=t

Mî2w* : rJGi h x=+

J3


Bi bliosrafie selectivd

1. Beleg, A. A., Voinea, R. P., Rezistenla materialelor pentru ingineri constructori, vol. ll,

Editura Tehnici, Bucuregti, 1953.

2. Bia, C., Rezistenla materialelor Il, lnstitutul Politehnic Cluj-Napoca, 1977.

3. Bia, C., ffle, V,, Soare, M. V,, Rezr'stenla materialelor gi teoria etasticitdffl Editura

Didacticd gi PedagogicA, Bucuregti, 1983.

4. Caracostea, A., Rezrsfenla materialelor giteoria elasticitd,tii, sec!. lll in Manual pentru

caleulul construcliilor, Editura Tehnicd, Bucuregti, 1 977.

5. Citirig, A., Petrina, M., Sfafiba construc[iilor- Metode de calcul gi apticalii, Editura

Dacia, Ciuj-Napoca, 1991.

6. Deutsch, 1., Goia, 1., Curtu, 1., Neamfu, T., Sperchez, F., probteme de rezistenta

matertablor, Editura Didactica gi Pedagogicd, Bucuregti, 1 983.

7. Diaconu, M., Probleme de rezistenla materialelor, partea l, Institutul Politehnic lagi,

1979.

8. Diaconu, M., Gorbdnescu, D., Rezistenla mateialelor, vol. 3 9i4, Institutul politehnic

lasi, 1990.

9. Gere, J. M., Timoshenko, S. P., Mechanics of Mateials, Chapman & Hall, New york,

1994.

10. Gioncu, v., lvan, M., Bazele calculului struc'turilor la stabititate, Editura Facla,

Timigoara, 1983.

11 Gorbenescu, D., Popa, A. G., Ancag, A. D., Rezrstenla materialelar,vol.l, Editura

Fundatiei $tiinli 9i Tehnici, Bucuregti, 2005.

12. lfle.V.. Elia. C.. Rezisten{a materialelor,vsl. ll, Institutu! Politehnic Cluj-Napoca, 1927.

13. fffe,V., Elia. c.. 9.a.. Rezrsfen,ta materiatelor - culegere de problerne, Institutul

Politehnic Cluj-Nry, 1987.

Rezistenfa matorialelor ll 27s

14. fvan, M., Vulpe, A., Bdnuf, V., Sfafic4 stabilitatea gidinamica eonstrucliitor, Editura

Didacticd gi Pedagogicd, Bucuregti, 1 982.

15. Juncan, N., Toader, 1., Construclii metalice, vol. l, lnstitutul Politehnic Cluj-Napoca,

1984.

16. Ma(ian, 1., Cucu, H. L., Probleme de sintezd din rezisten[a materialelar, Editura U. T.

Pres, Cluj-Napoca, 2004.

17. Ma(ian, f., loani, A. M., Rezrstenla materialelor, vol. ll, Institutul Politehnic Cluj-

Napoca,1991.

18. Massonnet, C., Cescotto, S., M6canique des matdriaux" Sciences et lettres, Lidge,

1979.

19. Mateescu, D., Caraba, 1., Construclii metalice, Editura DidacticS gi pedagogici,

Bucuregti, 1981.

20. Mazilu, P., Rezistenla mateialelor; lnstitutul de Constructii Bucuregti, 1974.

21. MissirVlad, 1., lbinescu, M., Sfrenghtof Mateials, Editura Cermi, lagi, 1998.

22. One[, T., Tertea, 1., Proiectarea betonului structural, Casa C6(ii de gtiinld, Cluj-

Napoca, 1995.

23. Panfel, E., loani, A., Turda, D., Popa, A., Lessons af S'trenght of Materiats. Theory &

Problems, Part ll, Editura Napoca Star, Cluj-Napoa,20A4.

24. Popa, A. G., Rezisfen{a materialetor.'indrumdtor de lucrdi, Universitatea Tehnicd din

Cluj-Napoca, 1998.

25. Posea, N., Anghel, Al., Manea, C., Hotea, Gh., Rezisfenla materiatetor. probleme,

Editura $tiinlifica 9i Enciclopedicd, Bucuregti, 1 986.

26. Soare, M. V., ll le, V., Bia, C., Panlel, E., Petrina, P., lordache, D., Soare. C

Re zi ste n! a m ate i al e I or i n ap I i cali i, Editura Teh nic.i, Bu curegti, 1 996.

4,:'s: { -*&*ro

27., : ,. Fn@oplq"q3$6Xe6s11

27. fgdose 1., Qonslan.tinesgg, Q..,M,; Stpica;,M., &zrsfenfa rqat*ialelor,Aplicalii,

Editura Tehnic6, Buolrggti, leeO. . ,, : { , . l, ,'.:

2S. Ungr4.egrur, N:, Rozlgfeofa natenaaor St teoda eta$ata$i,fnqiutuf Foltehnic lagi,

1979.

'-tli"-

*\ --;

i'l' Y, ./*.\'r )1. ' rwd 'g'

t'q e Ej\ \ - . t 6

Documents

49631758 Cucu Popa Rezistenta Materialelor 2