49967747-Vektori-seminarski

5/12/2018 49967747-Vektori-seminarski - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/49967747-vektori-seminarski 1/19

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH

STUDIJANIŠ

SEMINARSKI RADIZ MATEMATIKE

TEMA: VEKTORI

Student: Predrag Milić rer 10/11



Sadržaj:1 Uvod 3

2 Vektor i skalar 4

3 Podela vektora prema prirodi fizičke veličine 6

4 Proizvod i količnik vektora i skalara 6

5 Jedinični vektor ili ort vektora 7

6 Vektor položaja ili radijus vektor 7

7 Sabiranje i oduzimanje vektora 8

8 Razlaganje vektora na komponente 8

9 Kolinearni i komplanarni vektori 9

10 Projekcija vektora 1011 Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora 10

12 Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora 12

13 Vektorski ili spoljašnji proizvod dva vektora 14

14 Orjentacija površine i predstavljanje površine vektorom 16

15 Proizvod tri vektora 17

16 Literatura 20

2



1. Uvod

Holanđanin Simon stevin, po prvi put od svih naučnika, pominje vektore u svojimdelima 1585. godine. On je preko usmerenih duži dao princip paralelograma sila.Mehanika, tj. Njen deo statika je prva nauka u kojoj je nastao vektor, a sila je predstavljala konkretni obrazac vektorske veličine. Razvojem mehanike fizičari sudolazili do novih otkrića I zaključaka, koji su sadržali odnose vektorskih veličina,odnosno svi zakoni mehanike su se odnosili na usmerene fizičke veličine (I u statici,kinetici I dinamici). Sto godina nakon Stevinovog dela, Njutn izlaže svoj drugi zakongde dokazuje da su ubrzanje I sila uvek jednako usmereni. Jednom rečju fizičari Imatematičari su pronašli mnogo važnih odnosa mežu vektorima I negovoreći o njima.Prve operacije sa vektorima predstavljao je elementarni geometriski metod, pomoćukojeg je vektor uziman kao celina I predstava jedne fizičke veličine. Ali to nije

zadovoljavalo komplikovane zadatke mehanike I to naročito u prostornom prikazivanju.1637. Descartes uvodi koordinatni sistem. Nešto kasnije kad je uveden koordinatnisistem sa tri koordinate mnogo je bilo lakše računanje u prostoru pomoću istog. Timedobijamo novi metod računanja sa vektorskim veličinama, analitički metod. Ovajmetod je počeo uvoditi Parent 1700-te godine ali ga je u stvari razvio Klero tek 1731.godine. U svom delu “Recherches sur les courbes a double courbure”. Analitičkimetod vektorske veličine nije predstavljao niti nazivao vektorima, nego je vektor razlagao na tri komponente po koordinatnim osama u prostoru i smatrao ih skalarima,te je s njima računao kao sa običnim matematičkim funkcijama, primenjujući na njihobične zakone algebre i analize beskonačno malih veličina.

U XVII i XVIII veku Deskartesov sistem je postao univerzalan pa su ga koristili iveliki matematičari tog doba. Analitički metod u tom dobu dostiže kulminaciju baš udelu Lagranžea “Analitička mehanika”, koja je objavljena 1788. godine u Parizu. Uovom delu nema crteža, nego je sve svedeno na matematičke algebarske operacije, pasu geometriske kao i mehaničke veličine podvrgnute algebarskom računu analitičkimmetodom (za svaku geometrisku veličinu koja je postavljala neku fizičku veličinu,uzima se po tri broja koji predstavljaju komponente na koordinatnim osama). Mnoginaučnici su te geometriske veličine, dakle i vektorske veličine, posmatrali u celini.Posmatrali su ih izolovano, pa i pored svojih vanrednih genijalnosti nisu uspeli dati prost, jasan i pristupačan metod operisanja sa tim veličinama.I pored pozitivnih strana analitičkog metoda, istina je da vektorska veličina, koju taj

metod razlaže na tri komponente, predstavlja neku fizičku veličinu u celini i kaocelina, tj. analitički metod je rastavlja pa te delove analizira bez veze sa celinom; nevodi računa o fizičkoj stvarnosti koju vektor odražava i prikazuje. Vektor kaokonkretno jedinstvo brojne veličine, pravca i smera u analitičkom metodu izgubisvoje kvalitete i razlaže se na svoje delove, koji su drugačijeg karaktera, nego što jesam vektor, a da se i ne govori o fizičkoj stvarnosti.

3



Znači, kod analitičkog metoda se umesto jednog broja upotrebljavaju tri, pa je vrlovelik broj analitičkih jednačina a često je i složenost veća pod uticajem izabranogkoordinatnog sistema.Razvojem fizike i mehanike u drugoj polovini 19-tog veka ponovo se prišlo posmatranju. To je opet upotreba ranijeg geometriskog metoda ali ipak na višem

stepenu. Uzimajući vektor kao celinu stvori se novi aparat kako za obeležavanje, takoi za proučavanje i prikazivanje. Pronađeni su i novi metodi vektorske algebre, analizei uopšte teorija vektora.Prvi radovi iz teorije vektora:

1. “Učenje o liniskom istezanju” Herman Grasman (1844)2. “Lekcije o kvaternionima” Vilia Roman Hamilton (1853)

Ova dela nisu bila odmah širom prihvaćena jer su bila matematički vrlokomplikovana i teško dostupna. Ali i pored toga dati su izvesni pojmovi i operacije izvektorskog načina. Hamilton je dao pojam polja i nekih diferencijalnih operacija u polju. Do proizvoda vektora Hamilton je došao 1843. a Grasman nezavisno od njega1844. godine.

Tek u drugoj polovini 19-tog veka je razgrađena teorija vektora. Tada se pojavljuje plejada fizičara koji razvijaju vektorski račun, kao što su: James Maxwell (“Traktat oelektricitetu i magnetizmu”), John Willard Gibbs, Heaveside, Abraham i u XX vekuMax Planck. Fizičar Gibbs je uglavnom dao i formu vektorskog računa još 1881.godine.Savremena fizika je usvojila vektorski račun u svim važnim oblastima. Ali...ipak postoje još neka pitanja iz oblasti matematičke fizike isl. Gde se vektori tek počinju primenjivati. Danas, elektrodinamika, hidromehanika itd. se jednostavno ne moguzamisliti bez vektora. Neosporno je to da simbolika u teoriji vektora ne osvaja na blizinu i zbog vraćanja na komponente prilikom definitivnog izračunavanja irešavanja pojedinih zadataka i pitanja.

Opet svaki prigovor se obara prirodnošću, praktičnošću i kratkoćom, čak ielegantnošću vektora. Zato teorija vektora predstavlja najelegantniji metod u fizici.Savremenici ih jednostavno moraju znati.

2.Vektor i skalar

Poznato je da se neke fizičke veličine mogu prikazivati jednim brojem. Ogovarajući brojevi određenih jedinica ne zahtevaju nove dopunske komponente za karakterisanjeveličine koju prikazuju. Te veličine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivajuse skalarne veličine ili skalari. Broj koji tu veličinu kvantitativno prikazuje naziva se

brojna vrednost skalarne veličine. Brojevi moraju biti realni, a mogu biti pozitivni inegativni. Zato se obična algebra može smatrati kao skalarna algebra.Prirodno, skalari potiču iz fizike, ali oni su i fizičke i matematičke veličine. Prirodaskalarnih fizičkih veličina ne iscrpljuje se jednim brojem koji predstavlja njenuvrednost, tj. njena brojna vrednost nije njena jedina karakteristika. Na primer masa; jedna njena karakteristika je odgovarajući broj jedinica ali ona je i mera za inercijutela. Skalarne veličine se označavaju običnim slovima kao t (vreme), m (masa), V(zapremina) itd.

4



Vrlo su važne veličine koje se ne mogu baš najbolje prikazati jednim brojem. Akouzmemo, na primer silu. Na neko telo može delovati manja ili veća sila pa to predstavlja intezitet. Odmah se postavlja pitanje u kom pravcu deluje ta sila, ali i pravac ima dva smera, što znači...Ovakve veličine su orjentisane i nazivaju sevektorske velićine ili vektori.

Znači karakteristike vektora su;1. intezitet (jačina)2. pravac3. smer.

Intezitet vektora se može nazvati i dužinom vektora, veličinom vektora, mernim brojem vektoraitd. Ali intezitet nije ništa drugo nego apsolutna vrednost vektora.Za vektorske veličine važi slično kao i za skalarne veličine (da imaju različitasvojstva prema svojoj prirodi) pa se ne može reći da ih navedena tri svojstva vektora potpuno karakterišu. Ali, za kvantitativno fizičko prikazivanje, ispostavlja se da su tatri elementa vektora vrlo efikasni, pa je utoliko veća i njihova važnost, ako i vektorauopšte.

Vektor se predstavlja usmerenom duži, a dužina duži predstavlja veličinu vektora.Vektor ima početnu tačku ili početak i naravno krajnju tačku ili kraj. Smer vektoraoznačava se strelicom na kraju duži.

A-početak vektora; B-krajnja tačka vektora

Vektori se obeležavaju malim slovima latinice sa strelicom iznad ( a ) ili velikimslovima latinice sa strelicama ( AB ).Brojna vrednost vektora ili modul vektora označavamo istim slivom kao i vektor, ali bez strelice, npr. Modul vektora a označavamo sa | a |.Apsolutna vrednost (intezitet) vektora je skalarna veličina koja ne može bitinegativna.Dva vektora su međusobno jednaka ako su jednaki njihovi inteziteti (apsolutnevrednosti), ako su istog pravca i istog smera.

ba = ako su sve tri karakteristike vektora jednake. Dva jednaka vektora ne moraju biti prestavljeni jednom istom usmerenom duži već to mogu biti i paralelne duži.

Ako je vektor a nepokretan, onda se vektor b ,koji mu je jednak, može paralelnim pomeranjem poklopiti sa vektorom a tj. Tačke A i C će se pokolopiti, kao početne i tačke B i D kao završne.

CD AB

CDbb ABaa

CDb ABa

||

|||| =====

===

Nulti vektor je onaj vektor čija je dužina jednaka nuli.

5



00 =a

Početak i kraj nulti vektora se nalaze u jednoj tački. Svi nulti vektori su međusobno jednaki. Oni mogu biti bez pravca pa se predstavljaju kao geometriska tačka. Ali, akonulti vektor predstavlja limes vektora konačne dužine koja opada prema nuli onda se

smatra da nulti vektor uzima pravac tog vektora. Nulti vektor se smatra bezorjentacije i to tako da se obični vektor ne menja sabiranjem sa nultim vektorom, a proizvod običnog i nultog vektora je jednak nuli.

3.Podela vektora prema prirodi fizičke veličine

Početak vektora posmatran kao “napadna” tačka vektora može biti proizvoljno uzet, amože biti određen u izvesnom domenu ili potpino u čitavom prostoru pa prema tomevektori se dele na:

I SLOBODNI VEKTORI – kod ovog vektora napadna tačka se može proizvoljnoizabrati u prostoru pri čemu modul, pravac i smer vektora ostaju nepromenjeni.Slobodni vektor se može paralelno pomerati, a da ne dođe do ikakve promene. Kao primer slobodnog vektora uzimamo brzinu translatornog kretanja tela. Svaka tačkatela ima istu brzinu pri translatornom kretanju pa zato možemo odabrati bilo koju zanapadnu tačku našeg slobodnog vektora.II LINISKI VEKTORI – kod ovog vektora se početna tačka može pomerati po linijikoja se poklapa sa pravcem vektora. Primer klizećeg vektora je vektor sile koja delujena čvrsto telo. Pomeranje napadne tačke sile duž prave koja se poklapa sa pravcemsile ne remeti prvobitno kretanje.III VEZANI VEKTORI – ovom vektoru određena je početna tačka pa se on ne

može pomerati, jer će u različitim tačkama biti drugačiji. Primer vezanog vektora jevektor polja gde je u svakoj tački polja različiti vektor kao predstavnik fizičkeveličine u dotičnom polju.

4. Proizvod i količnik vektora i skalara

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta veće apsolutnevrednosti koliko taj skalar ima jedinica. Istog smera ako je skalar pozitivan, asuprotnog ako je negativan. To znači da je proizvod vektora a i skalara k novivektor b , koji ima isti pavac kao i vektor a i isti smer ako je k>0, a suprotan smer

ako je k<0.

Apsolutna vrednost vektora b je: k ab ||=

Ako je k=1, onda je ab = , a to znači da su jednakivektori paralelni i istog smera. Ako je k=-1, onda je

ab −= pa se za takva dva vektora kaže da su

međusobno suprotni, a samim tim znači da su paralelni (da imaju iste brojnevrednosti) ali su suprotnog smera. Takvi vektori se nazivaju antiparalelni.

6



Iz ovoga sledi:k aak ⋅=⋅ k,m – skalarne veličine

amak amk

ak mamk amk

+=+

⋅=⋅=⋅

)(

)()()(

Vektor a se može dobiti ako se vektor b podeli skalarom k k ba = .

Kao količnik dobija se vektor istog pravca kao i prvobitni vektor, a apsolutne veličineonoliko puta manje koliko jedinica ima ta skalarna veličina. Novi vektor ima isti smer kao i prvobitni ako je skalar pozitivan, a suprotan smer ako je negativan. Uopšte, akose neki vektor a podeli skalarnom veličinom dobija se vektor, a ako se taj vektor označi sa c njegova apsolutna vrednost biće:

||

||||

m

acc ==

5. Jedinični vektor ili ort vektoraVektor čija je apsolutna vrednost jednaka jedinici naziva se jedinični vektor. Svakivektor se može prikazati kao proizvod svojeg inteziteta i jediničnog vektora koji jeorentisan kao taj dati vektor.Jedinični vektor koji ima isti pravac i smer kao dativektor naziva se jedinični vektor ili ort datog vektora.Jedinični vektor se običnooznačava isto kao i njegov vektor ali sa indeksom nula.

1|| 0

0

0

=

=

⋅=

a

a

aa

aaa

Svaki vektor je jednak proizvodu svoje apsolutne vrednosti i svoga orta, a ort jednogvektora jednak je količniku tog vektora i apsolutne vrednosti istog vektora.

6. Vektor položaja ili radijus vektor

Položaj neke tačke se određuje vektorom,a usvojeno je da to bude vektor položaja iliradijus vektor. Usvojeno je i to da se vektor položaja neke tačke završava u toj tački,odnosno da je orjentisan ka toj tački. Ort vektora položaja se označava kao 0r .

||

||

0

00

r

r

r

r r

r r r r r

==

⋅=⋅=

7. Sabiranje i oduzimanje vektora

7



Imamo vektor a i vektor b . Zbir ta dva vektora se dobija kada na vrh vektora a stavi početak vektora b koji se paralelno samom sebi prenese. Zbir cba =+ jetakođe vektor koji počinje u početku vektora a , a završava se na završetku tako prenesenog vektora b . Pravilo sabiranja vektora poznato je u fizici kod paralelograma sila.

Zbir tri vektora ),,( cba nalazi se kada se sa vektorom a sabere vektor b , pa satim zbirom sabere vektor c ili kada se na taj a nanese b , a na kraj b nanese c

, a zbir ova tri vektora je vektor koji polazi iz početka vektora a , a završava se uzavršetku vektora c . To znači da za sabiranje vektora važi pravilo poligona kojevaži i za proizvoljan broj vektora.Za zbir vektora važe sledeća svojstva :1. komutativnost abba +=+

2. asocijativnost )()( cbacba ++=++

3. distributivnost ck bk ak cbak ⋅+⋅+⋅=++⋅ )(

Oduzimanje vektora vrši se na taj način što se razlika dva vektora dobija kao zbir prvog vektora i vektora koji je suprotan drugom vektoru, odnosno )( baba −+=− .

8. Razlaganje vektora na komponente

Iz pravila o sabiranju vektora proizilazi da se jedan vektor prema potrebi možerazložiti na dva ili više vektora tako da dati vektor bude njihov vektorski zbir. Vektorina koje se dati vektor razlaže nazivaju se komponente vektora.Pravci komponenata mahom zavise od prirode i zahteva problema koji se tretira. Ufizici se vektori ( sile, brzine...) razlažu uglavnom na dve ili tri komponente. Ali,ogromna većina problema zahteva razlaganje na dve komponente u ravni, i to skororedovno na dve komponente koje su međusobno normalne.Uzmimo, npr, kosi hitac. Za nalaženje potrebnih veličina odmah se na početkurazlaže brzina, kojom se telo baci, na dve komponente i to na jednu horizontalnu idrugu vertikalnu.

8



Ako se neki vektor c može razložiti na dve komponente, onda važi relacija :

bl ak c +=

Na isti način se može izraziti i veći broj komponenata vektora c ,

bl ak c

bl ak c

222

111

+=

+=

____________ bl l l ak k k cccc nnn ⋅++++⋅+++=+++= )...()...(... 21212

ako je 0=c , onda i 0...21=+++ nk k k i 0...21 =+++ nl l l .

9. Kolinearni i komplanarni vektori

Dva vektora su kolinearna kada su paralelna jednoj pravoj ili se nalaze na jednoj pravoj. Znači, kolinearni vektori mogu biti vektori različite brojne vrednosti i smera,a glavno je samo da budu paralelni.Pošto je proizvod vektora i skalara takođe vektor onda kažemo da je vektor ak b = kolinearan vektorom a .

Uslov kolinearnosti dva vektora može se prikazivati i ovako:

0

0

=+

=−

=+−

ba

k

bak

λ η

η λ

Tri ili više vektora su komplanarni kada su paralelni jednoj ravni ili se nalaze u jednoj ravni. Neka su data tri vektora a ,b i c u jednoj ravni. Onda je moguće vektor razložiti na dve komponente 1c i 2c kojesu paralelne vektorima a i b .

9



λ µ

η µ

µ λ η

=−

=−

=++

=+−−

+=

l

k

cba

cbl ak

bl ak c

0

0

10. Projekcija vektora

Poznato je da se projekcija neke tačke na datoj osi dobija kada se iz te tačke povučenormala na tu osu. Presečna tačka normale iz te tačke i ose biće projekcija tačke naosi. Kao projekcija vektora na nekoj osi uzima se rastojanje među pravama provučenim kroz krajnje tačke vektora normalno na datu osu.

Projekcija vektora ABa = na osi XX

predstavljena je sa 11 B A . Veličina te projekcije je rastojanje među dvemanavedenim pravama.Projekcija vektora na osi se smatraskalarnom veličinom, a projekcijavektora na pravoj vektorskomveličinom.Ako sa α označimo ugao između

vektora a i ose x onda će projekcija iznositi α cosaa x = .

11. Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu.Koordinate vektora

Neka su OX, OY i OZ tri uzajamno normalne orijentisane prave koje se seku u tačkiO. Orijentisane prave OX, OY i OZ se nazivaju koordinatne ose i to x-oca, y-osa , z-osa, a tačka O je koordinantni početak. Ovim elementima je određen Dekardov pravougli koordinantni sistem u prostoru.Dat je vektor aOP = u koordinantnom sistemu. Dati vektor možemo razložiti na trivektora duž koordinantnih osa.

OC OBOAaOP ++==

Vektori, OC OBOA ,, predstavljaju komponente vektora a . Projekcije vektora a

na ose su algebarske veličine: z y x aOC aOBaOA === ,,

To su koordinate vektora aOP = . Koordinantni ortovi ji, i k isto tako su ortovi ( jedinični vektori ) komponenata vektora a , pa prema tome :

k aOC jaOBiaOA z y x === ,, .

Tako se vektor a može napisati u obliku zbira njegovih komponenata koje su paralelne sa koordinantnim osama tj.

k a jaiaa z x

++=

10



321cos,cos,cos α α α aaaaaa z y x

===

Po Pitagori 2222

z y x aaaa ++= , pa sledi 222|| z y x aaaa ++= .

1. Neka su dati ),,( 111 z y xa = i ),,( 222 z y xb = proizvoljni vektori. Tada je

k z j yi xa 111 ++= i k z j yi xb222

++= . Sabiranjem ova dva vektora dobijamo :

k z z j y yi x xk z j yi xk z j yi xba )()()()()( 2121212211 +++++=+++++=+ tj.

).,,(212121z z y y x xba +++=+

2.

),,(

)()()()(

111

111111

111

z y xa

k z j yi xk z j yi xa

k z j yi xa

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

=

++=++=

++=

3. - a je suprotan vektoru ),,( 111 z y xa = pa sledi ),,( 111 z y xa −−−=−

4. ),,(),,()( 222111 z y x z y xbaba −−−+=−+=− tj.

),,( 212121 z z y y x xba −−−=−

13. Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora

Dato je telo koje se moše kretati po horizontalnoj podlozi. Ako na njega deluje drugo telo

silom F , onda je iz elementarne fizike poznato da se rad vrši samo ako se telo pomeriloza izvesno rastojanje. Uzmimo najpre slučaj da sila F deluje paralelno podlozi i neka jetaj određeni put s. Znamo da je pri tom izvesni rad A=Fs. Rad je prema svojoj priroditipično skalarna veličina. Odmah se vidi da je ta skalarna veličina u ovom slučaju jadnaka proizvodu intenziteta vektora sile i vektora puta.

11



U opštem slučaju sila ne deluje baš u pravcu kretanja tela, nego sa tim pravcem zahvataneki ugao q.

Prema tome rad vrši samo ona komponenta tih sila koja je u pravcu kretanja tela. Zato sesila F razlaže na komponente 1 F i 2 F . Prva je definisana kao pomeraj tela, a druga je

nmormalna na nju. Sila 2 F ne izaziva nikakvo pomeranje tela, pa ne vrši ni rad, tako da

aktivna sila koja vrši rad nije celokupna sila F , nego samo njena komponenta 1 F .

),cos(cos),cos(cos1

1

s F s F s F A s F F F F

s F A

⋅⋅=⋅⋅=⇒==

⋅=

θ θ

Ovo je skalarani proizvod dva vektora.1. Skalarni ili unutrašnji proizvod dva vektora je proizvod apsolutne

vrednosti ( intenziteta ) jednog vektora i projekcije drugog vektora.2. Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih apsolutnih vrednosti

( intenziteta ) i kosinusa ugla između tih vektora.Taj proizvod je skalarna veličina pa se zato naziva skalarnim.Skalarni proizvod : vektor-tačka-vektor ),cos(|||| bababa ⋅⋅=⋅

Iz ovoga se može videti da skalarni proizvod dva međusobno normalna vektora je jednak nuli.

1. komutativni zakonabbaabba ⋅=⋅⇒= ),cos(),cos(

2. distributivni zakon

.......)(

)(

+⋅+⋅+⋅=+++

⋅+⋅=+⋅

d acabad cba

cabacba

Ovo se može proširiti i na proizvod vektorskih polinoma.

22

2

))((

2)(

0cos

)()(

babbaababa

bbbaaaba

aaaaa

d bd acbcad cba

−=⋅−⋅=−+

⋅+⋅±⋅=±

=⋅=⋅

⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+

3. asocijativni zakon abk bak bak bak )()()( =⋅⋅=⋅=⋅

12



Skalarni proizvod dva vektora u analitičkom obliku :

222

0

)()(

k jik k j jii

k iik jk k ji j ji

babababa

k b jbibk a jaiaba

k b jbibb

k a jaiaa

z z y y x x

z y x z y x

z y x

z y x

===⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

++=⋅

++⋅++=⋅

++=

++=

Zadatak 5. Vektori a i b su uzajamno ortogonalni , a vektor c gradi sa njima uglove

od3

π . Ako je 8||,5||,3|| === cba , naći:

a)

622

1856552

2

1839

3cos||||60cos||2

3cos||||9

6293)3)(23(2

2

−=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=−−

=−−+=+−

π π cbbca

cbbcabacbba

b)

162402464259

3cos||||2

3cos||||2

2cos||||2||||||

222)(

222

2222

=++++

=+++++

=+++++=++

π π π cbcabacba

cbcabacbacba

c)

373240725761009

3cos||||12

3cos||||6||9||4||

126494)32(

222

2222

=−−++

=−−++

=−−++++=−+

π π cbcacba

cbcabacbacba

14. Vektorski ili spoljasnji proizvod dva vektora

Vektorski proizvod dva vektora a i b je vektor c čiji je intezitet jednak povrsini paralelograma, čije su stranice dati vektori i koji je normalan na tu povrsinu, a takvog jesmera da za posmatrača, koji stoji uz vektor c rotacija najkraćim putem od a vektorado b vektora bude pozitivna (suprotno smeru kazaljke na satu ).Vektori a ,b i c činedesni koordinatni sistem.Kao znak vektorskog mnozenja usvojeno je x.

Ako je q ugao između a i b , a 0c ortvektora c biće:

ccb xac ⋅== 0

Apsolutna vrednost vektorskog proizvoda :θ sin|||| abb xacc ===

13



Promenom reda faktora ( ba, ) menja se znak proizvoda tj. dobija se c− pa zbogtoga se uzima: a xbb xa −= . To znači da za vektorski proitvod ne važi komutativnizakon nego umesto njega važi antikomutativni ili alterativni zakon. Posmatranjem paralelograma stranice a i b zaključujemo da se vektorski proizvod ne menja kada se jednom faktoru doda vektor paralelan sa drugim faktorom.

321 b xab xab xa ==

Vrhovi 321 ,, bbb su na pravojkoja je paralelna sa a

Za vektorski proizvod vazi distributivni zakon:cabacba ×+×=+× )(

Pri množenju vektorskog proizvoda skalarom važi asocijativni zakon:bambambam ×=×=×⋅ )()(

Uslov paralelnosti vektora je: 0=×ba tj. ugao između njih je nula stepeni, što znači dasu paralelni. Vektorski proizvod nekog vektora samim sobom je jednak nuli: 0=×aa .Uslov kolinearnosti vektora: 00 =×⇒=×+× babaaak λ .Kod vektorskog proizvoda ne postoji deljenje kao obrnuta operacija množenju. To značida, ako se zna vektorski proizvod i jedan faktor, ne može se tek tako odrediti drugi faktor.Vektorski proizvod koordinatnih ortova: jik ik jk ji =×=×=× ,, .

Vektorski proizvod dva vektora u analitičkom obliku

Data su dva vektora: k a jaiaa z y x ++= i k b jbibb z y x ++= , onda je:

( )k baba jbabaibababa x y y x z x x z y z z y −+−+−=× )()( .

Ako označimo cba =× vidi se da su projekcije vektora c na koordinatnim osamavezane sa projekcijama vektora – faktora sledećim relacijama:

x y y x z z x x z y y z z y xbabacbabacbabac −=−=−= ;;

Vektorski proizvod se može prikayati i determinantom:

z y x

z y x

bbb

aaa

k ji

ba =× a možemo koristiti i šemu:

14



Zadatak 6. Koji uslov treba da ispunjavaju vektori a i b da bi vektoribaba −∧+ 22 bili kolinearni.

Rešenje:

04)2(222

2222)2()2(2)2()2(

=×=×=×+×=

=×−×+×−×=−×+−×=−×+

abababab

bbabbaaababbaababa

sledi, pošto su ova dva vektora kolinearna onda su a i b kolinearni.

15. Orijentacija površine i predstavljanje površine vektorom

U raznim oblastima fizike i matematike obe strane jedne površi ne igraju istu ulogu.Poznato je da između struje i magnetnog polja jednog provodnika nije isti na obe strane površine strujnog kola. Pojavila se potreba za orijentaciju površine a to znači da se jednastrana površine usvoji kao pozitivna, druga kao negativna. Kada je površini dat smer cirkulacije onda je pozitivni smer normale, odnosno normalni ort n te površine takav da posmatraču koji stoji uz normalni ort, cirkulacija teče u pozitivnom smeru ( pravilodesnog zavrtnja ). Strana površine prema normali n naziva se pozitivnom stranom, asuprotna strana je negativna strana.

Konvencijalno je uzeto da se orijentisana površina predstavlja vektorom, koji ima brojnu vrednost jednaku brojnoj vrednosti te površine a smer vektora je smer

pozitivne normale na površini ( pravilo desne šake ). Napadna ( početna ) tačka M tog vektora je bilo kojatačka te površine. Brojna vrednost te površine neka je S,onda je vektor koji predstavlja tu orijentisanu površinu :

nS S ⋅=gde je n jedinični vektor vektora S .

Kada se usvoji desni koordinatni sistem onda je pozitivnastrana površine orijentisana tako da osobi koja biišla po konturi u ravni u smeru orijentacije pozitivnastrana površine u ravni ostaje stalno na levoj strani.Tu se radi o zatvorenoj ravnoj orijentisanoj površini.

Kada bi se usvojio levi koordinantni sistem onda bi pozitivna strana površine bila ona strana koja jenegativna.Kada se radi o orijentaciji površina nekog tela, ondatreba da se zna da su površinski vektori orijentisani

u smeru izvan tela. Tako su spoljašnje strane ravnih površina poliedara pozitivne. Na primer, trostrana piramida :

15



iz jednog temena idu 3 vektora cba ,, i to su ivice piramide, a ostale ivice predstavljajurazlike odgovarajućih vektora.

- glavno je da vektorski zbir stranica trougla bude jednak nuli- dvostruka površina DAB je predstavljena kao baS ×=32 , DBC kao cbS ×=22

, DCA kao acS ×=42 i ABC kao )()(2)()(2 11 bcbaS abacS −×−=∨−×−=

.

16. Proizvod tri vektora

Tri vektora se međusobno mogu množiti na osnovu skalarnog i vektorskog proizvodatako da se dobija jedna od tri kombinacije proizvoda.

1. Skalarni proizvod dva vektora se pomnoži trećim vektorom2. Vektorski proizvod dva vektora se skalarno pomnoži trećim ( mešoviti proizvod )3. Vektorski proizvod dva vektora se vektorski pomnoži trećim ( dvostruki vektorski

proizvod )

1. Skalarni proizvod dva vektora je skalar. Proizvod tog skalara sa trećim vektorom jevektor kolinearan sa trećim vektorom. Ako imamo tri vektora cba ,, onda je njihov proizvod :

),cos()()()( bacbacabbaccba ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

Ovakvi proizvodi su različitog pravca i smera, pa je )()()( cabcbacba ⋅⋅≠⋅⋅≠⋅⋅

2. Prema definiciji ovaj proizvod je cba ⋅× )( . Vektorsko-skalarni proizvod je skalar akose sluzimo desnim koordinatnim sistemom i ako uzmemo da vektori cba ,, polaze iz istetačke ali da nisu komplanarni onda:

- Vektorski proizvod ba× brojno je jednak površini paralelograma ( stranica a i b) i predstavljen je vektorom baS ×= ( koji jenormalan na ravan vektora a i b .

- V hS cS cS =⋅=⋅⋅=⋅ θ cos gde je Vzapremina paralelopipeda.-pošto ugao može biti i tup:

V cba ±=⋅× )(

Mešoviti proizvod tri vektora brojno je jednak zapremini paralelopipeda, čije su ivice dativektori, sa pozitivnim znakom ispred ako je

16



redosled vektora isti kao kod osa usvojenog sistema, a sa negativnim ako je redosledobrnut.Cikličnom permutacijom tri vektora se ne menja njihov mešoviti proizvod:

bacacbcba ⋅×=⋅×=⋅× )()()( , a svakom drugom permutacijom se menja znak proizvoda kao na primer cabcba ⋅×−=⋅× )()( .

Mešoviti proizvod vektora se ne menja kada se međusobno zamene znaci vektorskog iskalarnog množenja ali samo ako se ne menja redosled faktora: )()( cbacba ×⋅=⋅× .Ako su u mešovitom proizvodu tri vektora dva vektora međusobno identična ili ako sudata tri vektora komplanarna onda je taj proizvod jednak nuli.

cbacbacaa ,,0)(0)( ⇔=×⋅∧=×⋅ su komplanarniMešoviti proizvod koordinatnih ortova je jednak jedinici: iik ji ⋅==×⋅ 1)( , a u obrnutomredosledu je: 1)()( −=−⋅=×⋅ ii jk i

Analitički oblik mešovitog proizvoda:

[ ] z y x

z y x

z y x

x y y x z x x z y z z y z y x

z y x

z y x

z y x

ccc

bbb

aaa

k cbcb jcbcbicbcbk a jaiacba

k c jcicc

k b jbibb

k a jaiaa

=⋅−+⋅−+⋅−⋅++=×

++=

++=

++=

)()()()()(

3. Prema definiciji ovaj proizvod je )( cba ×× . Vektorsko-vektorski proizvod je vektor. On je

normalan i na vektor proizvoda cb× i na vektor a . To znači da se konačni vektor nalazi uravni cb∧ tj. on je komplanaran sa njima.

Iz uslova komplanarnosti se dobija: cmbk cba +=×× )( gde su k i m skalarni faktori. Oveskalarne faktore nije lako odrediti pa se uvodi pomoćni vektor d koji je u ravni sa cb∧ inormalan je na vektor c .

17



Smer vektora d tako da vektori bcd ,, budu redosleda desnog sistema. Množenjem se dobija:

[ ] )()(

)()(

d bk ad cb

d bk d cba

⋅⋅=⋅××

⋅⋅=⋅××

Sa slike vidimo da je vektor d cb ×× )( usmeren po vektoru c i :

)()()(),cos(2sin),sin()( d bcd cbd bcd bcbd cbbcd d cb ⋅=××⇒⋅===××

π

zamenom se dobija

cak

d bk d bcaad cb

⋅=

⋅⋅=⋅⋅=⋅×× )())(()(

Da bi dobili m relaciju cmbk cba ⋅+⋅=×× )( ćemo da napišemo u oblikucmbcacba −⋅⋅−=×× )()( odakle je )( bam ⋅−= . Napokon se dobija:)()()( baccabcba ⋅−⋅=××

Vektorsko-vektorski proizvod tri vektora transformira se u razliku dva vektora, od kojih je prvi proizvod srednjih vektora i skalarnog proizvoda krajnjih vektora, a drugi proizvoddrugog vektora iz zagrade i skalarnog proizvoda ostala dva vektora.

Ciklična permutacija dovodi do tri potpuno različita vektora.

)()()(

)()()(

)()()(

acbbcabac

cbaabcacb

baccabcba

⋅⋅−⋅⋅=××

⋅⋅−⋅⋅=××

⋅−⋅⋅=××

Promena mesta zagrade izaziva promenu:cbacba ××≠×× )()(

Analitičko izvođenje-ako je )( cb p ×= onda je koordinata na x-osi

)()()( z x x z z x y y x y y z z y xcbcbacbcba pa pacba −−−=−=××

-ako dodamo identitet0=− x x x x x x cacba b

matematički sledi)()()()()( baccabbababaccacacabcba x x z z y y x x x z z y y x x x ×−×=++−++=××

- ako je ca = matematički sledi )()(2

baabaaba ⋅⋅−⋅=××

Literatura:

18



1. Dr inž. Dragiša M. IvanovićVektorska analiza

2. Jovan D. KečkićMatematika za III razred srednje škole

3. Srđan Ognjanović, Živorad Ivanović

Zbirka rešenih zadataka za treći razred gimnazija i tehničkih škola

19

Documents

49967747-Vektori-seminarski